Untergrundstudien zur Messung der Strangeness

Untergrundstudien zur Messung der
Strangeness-Vektorformfaktoren
des Protons durch paritätsverletzende
Elektronenstreuung
unter Rückwärtswinkeln
Dissertation
zur Erlangung des Grades
,,Doktor der Naturwissenschaften”
am Fachbereich Physik
der Johannes Gutenberg-Universität
in Mainz
von
Luigi Capozza
geb. in Negrar (Italien)
Mainz, den 19. August 2010
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
1
1 Theoretische Grundlagen
1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Strangeness im Nukleon . . . . . . . . .
1.3 Modellrechnungen . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Vektor-Meson-Dominanz . . . . .
1.3.2 Kaon-Loops . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Nukleonmodelle . . . . . . . . .
1.3.4 Gitter-QCD . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Übersicht der Modellrechnungen .
1.4 Weitere Aspekte der Messung . . . . . .
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2 Paritätsverletzung und Strangeness im Nukleon
2.1 Messprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Experimentelle Anforderungen . . . . . . . .
2.3 Bisherige Messungen . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 SAMPLE . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 HAPPEx . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 G0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 A4-Experiment
3.1 Allgemeine Beschreibung . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Polarisierte Quelle . . . . . . . . . . .
3.1.2 Beschleuniger . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Polarisationsmessung . . . . . . . . . .
3.1.4 Target und Luminositätsmonitore . . .
3.2 Cherenkov-Kalorimeter . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Anforderungen an das Kalorimeter . . .
3.2.2 Bleifluorid . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Geometrie des Kalorimeters . . . . . .
3.2.4 Photomultiplier und Ausleseelektronik
3.3 Messung unter Rückwärtswinkeln . . . . . . .
I
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II
INHALTSVERZEICHNIS
3.4
Szintillationszähler-Elektronentagger . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4 Extraktion der Asymmetrie
4.1 Allgemeine Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Zählratenbestimmung . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Korrektur apparativer Asymmetrien . . . . . . .
4.2 Untergrund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Untergrundquellen . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Untergrund aus dem Zerfall ungeladener Pionen
4.2.3 Konversionsuntergrund . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Behandlung des Konversionsuntergrunds . . . . . . . . .
4.3.1 Konversionsuntergrundabzug . . . . . . . . . . .
4.3.2 Systematische Untergrunduntersuchung . . . . .
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5 Simulation von Streuprozessen
5.1 Allgemeines zum Ereignisgenerator . . . . . . . .
5.1.1 Anfangszustand . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Abtastung von Endzuständen . . . . . . . .
5.2 Streuprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Elastische Streuung . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Innere Bremsstrahlung . . . . . . . . . . .
5.2.3 Inelastische Streuung . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Erzeugung und Zerfall ungeladener Pionen
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6 Detektorantwortverhalten
6.1 Cherenkov-Kalorimetrie . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Linearität . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Energieauflösung . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Simulation der Kalorimeterantwort . . . . . . . . . .
6.2.1 Simulation der Lichtsammeleffizienz . . . .
6.2.2 Simulation des Energieauflösungsvermögens
6.2.3 Messungen des Energieauflösungsvermögens
6.3 Simulation der Szintillationszähler . . . . . . . . . .
6.4 Untersuchungen zum Untergrundabzug . . . . . . .
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7 Resultate und Schlussfolgerungen
7.1 Simuliertes Gesamtspektrum . . . . . .
7.2 Simulierter Konversionsuntergrund . . .
7.3 Korrektur der Asymmetrie . . . . . . .
7.4 Messung der Strangeness-Formfaktoren
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A Geometrische Details
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161
INHALTSVERZEICHNIS
B Wertvolle Formeln
B.1 Kinematische Größen . . . . . . . . . . . . . . .
B.1.1 Elastische Streuung . . . . . . . . . . . .
B.1.2 Inelastische Streuung . . . . . . . . . . .
B.1.3 Zerfall ungeladener Pionen . . . . . . . .
B.2 Wirkungsquerschnitte . . . . . . . . . . . . . . .
B.3 Strahlungskorrekturen . . . . . . . . . . . . . . .
B.4 Peaking-Approximation zum Strahlungsschwanz
B.5 Matrixelemente für die Pionproduktion . . . . . .
Literaturverzeichnis
III
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173
IV
INHALTSVERZEICHNIS
[...] ≪Quando
mi diparti’ da Circe, che sottrasse
me più d’un anno là presso a Gaeta,
prima che sı̀ Enëa la nomasse,
né dolcezza di figlio, né la pieta
del vecchio padre, né ’l debito amore
lo qual dovea Penelopè far lieta,
vincer potero dentro a me l’ardore
ch’i’ ebbi a divenir del mondo esperto
e de li vizi umani e del valore;
ma misi me per l’alto mare aperto
sol con un legno e con quella compagna
picciola da la qual non fui diserto.
L’un lito e l’altro vidi infin la Spagna,
fin nel Morrocco, e l’isola d’i Sardi,
e l’altre che quel mare intorno bagna.
Io e ’ compagni eravam vecchi e tardi
quando venimmo a quella foce stretta
dov’ Ercule segnò li suoi riguardi
acciò che l’uom più oltre non si metta;
da la man destra mi lasciai Sibilia,
da l’altra già m’avea lasciata Setta.
“O frati”, dissi “che per cento milia
perigli siete giunti a l’occidente,
a questa tanto picciola vigilia
d’i nostri sensi ch’è del rimanente
non vogliate negar l’esperı̈enza,
di retro al sol, del mondo sanza gente.
Considerate la vostra semenza:
fatti non foste a viver come bruti,
ma per seguir virtute e canoscenza”.
Li miei compagni fec’ io sı̀ aguti,
con questa orazion picciola, al cammino,
che a pena poscia li avrei ritenuti;
e volta nostra poppa nel mattino,
de’ remi facemmo ali al folle volo,
sempre acquistando dal lato mancino.
[...]
Einleitung
Die Beschreibung der niederenergetischen Eigenschaften der Hadronen durch
die Quantenchromodynamik (QCD), die zurzeit als die fundamentale Theorie der
starken Wechselwirkung angenommen wird, ist ein offenes Forschungsgebiet. Hierbei ist die direkte Beobachtung von Effekten der QCD-Freiheitsgrade bei niederenergetischen Prozessen von großer Bedeutung. Eine Möglichkeit dazu bietet sich
durch die Separation der Beiträge einzelner Flavours zu den Hadroneneigenschaften. Insbesondere Effekte der Seequarks (wie das s-Quark im Nukleon) werden im
Gegensatz zu Valenzquarks als zweifellose Signatur für Effekte der QCD-Quarks
angesehen.
Im Laufe des letzten Jahrzehnts ist die paritätsverletzende Elektronenstreuung
zu einer Standardmethode geworden, um die Beiträge der einzelnen Flavours zum
elektromagnetischen Stromoperator des Nukleons zu separieren. Das A4-Experiment an MAMI zählt zu den vier weltweit existierenden Versuchen, die der Messung der paritätsverletzenden Asymmetrie im Wirkungsquerschnitt der elastischen
Elektron-Nukleon-Streuung gewidmet sind.
Vor dieser Arbeit hatte die A4-Kollaboration zwei solche Messungen veröffentlicht. Beide waren Vorwärtswinkelmessungen bei den Viererimpulsüberträgen |q 2 |
von jeweils 0.23 und 0.10 (GeV/c)2 . Aus diesen Ergebnissen können Linearkombinationen der Strangeness-Vektorformfaktoren GsE und GsM des Protons extrahiert
werden. Um die Separation der beiden beim höheren |q 2 |-Wert zu erhalten, wurde
eine Messung unter Rückwärtswinkeln durchgeführt.
Im A4-Experiment wird ein longitudinal polarisierter Elektronenstrahl an einem Flüssigwasserstoff-Target gestreut, und einzelne elastisch gestreuten Elektronen werden mit einem Cherenkov-Kalorimeter gezählt. Die Energieauflösung des
Detektors reicht aus, um elastische von inelastischen Streuereignissen zu trennen.
Unter Rückwärtswinkeln enthält allerdings das Energiespektrum erhebliche Beiträge von γ-Quanten aus dem Zerfall ungeladener Pionen, die im Target durch
Elektro- und Photoproduktion erzeugt werden. Diese Beiträge können nicht anhand
der kalorimetrischen Energiemessung von den elastisch gestreuten Elektronen unterschieden werden.
Um die Messung unter diesen Umständen zu ermöglichen, wurde ein Plastikszintillator zum Tagging von Elektronen vor dem Kalorimeter installiert. Durch
Einstellung einer Koinzidenzschaltung zwischen den beiden Detektoren können
1
2
EINLEITUNG
Elektron- bzw. γ-Ereignisse in zwei unterschiedliche Energiespektren histogrammiert werden.
Aufgrund der Wechselwirkungen der γ-Quanten in der Aluminium-Vakuumkammer, die sich vor dem Szintillationszähler befindet, können γ-Ereignisse fehlerkannt und als Untergrund im Elektronenspektrum registriert werden.
Im Rahmen dieser Arbeit wurde dieser Untergrund studiert und eine Methode
entworfen, um die Asymmetriemessung entsprechend zu korrigieren. Dazu wurde das Energiespektrum mit Hilfe von Monte-Carlo-Simulationen untersucht. Zum
einen wurden die relevanten Streuprozesse der Strahlelektronen im Target identifiziert, und ein Ereignisgenerator für die Abtastung von Endzuständen aus den jeweiligen differentiellen Wirkungsquerschnitten wurde implementiert. Zum anderen
wurden das Antwortverhalten der beiden Detektoren sowie die Koinzidenzbedingung anhand von G EANT-Simulationen und Testmessungen detailliert untersucht.
Die Simulationen geben die gemessene Energiespektren mit einer Verträglichkeit der Größenordnung 5% wieder. Darüber hinaus wurde die Anwendbarkeit des
entworfenen Verfahrens zur Untergrundbehandlung bewiesen.
Unter Anwendung dieser Untergrundkorrektur an die Rückwärtswinkeldaten
mit der Strahlenergie von 315 MeV konnte eine weitere Linearkombination der
Strangeness-Vektorformfaktoren bei q 2 = − 0.22 (GeV/c)2 gemessen werden, die
in Kombination mit der Vorwärtswinkelmessung beim selben q 2 für die Separation
der beiden seltsamen Formfaktoren GsE und GsM verwendet wurde.
Die Arbeit ist folgendermaßen strukturiert: Die theoretischen Grundlagen der
Messung werden im ersten Kapitel zusammengefasst. Im zweiten Kapitel wird das
Messprinzip der Strangeness-Vektorformfaktoren über die Messung von Neutralstromobservablen besprochen. Ein Überblick der experimentellen Herausforderungen dieser Messungen sowie der bis heute erschienenen Weltresultate wird gegeben. Das A4-Experiment wird im Kapitel 3 in Details beschrieben. Besonders betont werden die Eigenschaften von Kalorimeter und Szintillatoren. Im Kapitel 4
wird zuerst eine Beschreibung der A4-Datenanalyse gegeben. Zweitens werden die
mögliche Untergrundquellen eingegangen und eine anschauliche vorläufige Studie des zu erwartenden γ-Untergrunds unter Rückwärtswinkeln präsentiert. Zuletzt
wird das Verfahren zur Untergrundbehandlung geschildert und die Notwendigkeit
systematischer Untergrundstudien diskutiert. Solche systematische Studien werden
dann in den folgenden zwei Kapiteln ausführlich vorgestellt. In Kapitel 5 wird der
Ereignisgenerator für die Simulation der Streuprozesse beschrieben, während das
Kapitel 6 sich mit dem Antwortverhalten des Detektors und mit der Untersuchung
der Koinzidenzauslösung befasst. Die Resultate werden im letzten Kapitel zusammengefasst. Erstens werden die Simulationsergebnisse mit dem gemessenen Spektrum verglichen. Zweitens wird die Machbarkeit der Methode zur Untergrundbehandlung bewiesen. Schließlich werden die Messergebnisse für GsE und GsM angegeben und Schlussfolgerungen für die statischen elektromagnetischen Eigenschaften des Protons, die mit der Strangeness verbunden sind, gezogen.
Kapitel 1
Theoretische Grundlagen
1.1 Einleitung
Experimente an Teilchenbeschleunigern erlauben die Erforschung der Naturphänomene auf den kleinsten Längenskalen und somit das Studium der Materie auf
dem Niveau ihrer fundamentalsten Bausteine. In diesem Zusammenhang wird in
der Regel zwischen Teilchenphysik und Hadronenphysik unterschieden.
Angesichts des heutigen Kenntnisstandes wird in der Teilchenphysik hauptsächlich die elektroschwache Wechselwirkung untersucht, die sehr erfolgreich vom sogenannten Standardmodell von Glashow, Weinberg und Salam beschrieben wird
[1]. Hierbei finden die unbekannten Phänomene bei einer sehr kleinen Längenskala
statt, und somit werden Teilchenbeschleuniger mit sehr hoher Energie benötigt.
Objekt der Untersuchung der Hadronenphysik sind hingegen die starken Kräfte,
die für die Wechselwirkung zwischen Hadronen, für ihre Struktur sowie für den
Aufbau der Atomkerne verantwortlich sind. Im Gegensatz zur Teilchenphysik ereignen sich in der Hadronenphysik die unverstandenen Phänomene bei relativ großen
Längenskalen, was die Nieder- bis Mittelenergie-Streuexperimente, d.h. Experimente an Beschleunigern mit Strahlenergien von unter einem GeV bis zu einigen
GeV, zu den am besten geeigneten Werkzeugen für die Forschung in diesem Gebiet
der Physik machen.
Die Unkenntnis der physikalischen Vorgänge bei großen Skalen hängt mit den
Begriffen der asymptotischen Freiheit und des Confinements zusammen. Unter
asymptotischer Freiheit versteht man, dass die zwischen den Teilchen wirkenden
Kräfte schwach werden, wenn die Wechselwirkung bei kleinen Abständen (oder
großen Energien) beobachtet wird. Somit verhalten sich die Teilchen quasi frei, und
von der Theorie her können perturbative Ansätze angewandt werden. Tatsächlich
lassen sich die hochenergetischen Prozesse der starken Wechselwirkung durch eine
Eichtheorie, die Quantenchromodynamik (QCD), beschreiben, für die die perturbativen Standardmethoden der Quantenfeldtheorien anwendbar sind, da die Kopplungskonstante in diesem Energieregime klein ist. Darüber hinaus ist die Theorie
3
4
KAPITEL 1. THEORETISCHE GRUNDLAGEN
renormierbar und besitzt daher eine umfangreiche Vorhersagekraft.
Aus dieser Theorie kann schließlich die asymptotische Freiheit durch die Renormierungsgruppen-Gleichung hergeleitet werden [2, 3, 4]. Allgemeiner lässt sich
zeigen, dass die asymptotische Freiheit eine Eigenschaft von Yang-Mills-Theorien
mit spezifischen nicht-abelschen Eichgruppen, wie SU(3) im Falle der QCD, ist.
Die asymptotische Freiheit ergibt sich, weil die Kopplungskonstante αs der YangMills-Wechselwirkung mit zunehmender Energieskala abnimmt. Aus diesem Befund kann das Confinement, d.h. die Abwesenheit von farbgeladenen Zuständen im
Teilchenspektrum, qualitativ verstanden werden. Ein formaler Beweis aus der QCD
ist jedoch nicht bekannt.
Wenn man sich nun der Beschreibung von niederenergetischen Prozessen der
starken Wechselwirkung zuwendet, kann man keine perturbativen Ansätze verwenden, denn die Kopplungskonstante αs wird bei großen Längenskalen groß, und eine
Entwicklungsreihe in Potenzen von αs konvergiert nicht oder nur sehr langsam.
Das Studium der starken Kräfte im nichtperturbativen Energiebereich ist ein offenes Feld, für dessen Erforschung Experimente bei niedrigen bis mittleren Energien
notwendig sind.
Seitens der Theorie können quantenfeldtheoretische Ansätze bei großen Skalen
im Rahmen von effektiven Feldtheorien (EFT) mit phänomenologischen Lagrangedichten verwendet werden. Der systematische Aufbau solcher Theorien aus einer
fundamentaleren Theorie, die bei kleineren Abständen gilt und deren wichtige Symmetrien berücksichtigt werden müssen, ist bekannt [5, 6].
Wenn man die QCD als fundamentale Theorie betrachtet, spielen bei den niederenergetischen Eigenschaften der Hadronen die chirale Symmetrie der QCD mit
masselosen Quarks und deren spontane Brechung durch ein endliches VakuumQuarkkondensat die entscheidende Rolle. Unter Berücksichtigung dieser Symmetrie kann eine systematische Entwicklung in äußeren Impulsen und leichten Quarkmassen hergeleitet werden. Diese EFT nennt sich chirale Störungstheorie (χPT, chiral perturbation theory) [7].
Obwohl die χPT die konsistente und systematische Niederenergieentwicklung
der QCD darstellt, bereitet die Praxisanwendung dieses theoretischen Ansatzes häufig große Schwierigkeiten. Zuerst ist die Konvergenz der Störungsreihe in vielen
Fällen langsam, denn die Impulse der beteiligten Teilchen sind nicht sehr klein im
Vergleich zur Skala der spontanen Symmetriebrechung (Λχ ≃ 1 GeV). Wenn auch
s-Quarks miteinbezogen werden, dann ist ein weiterer Entwicklungsparameter relativ groß, nämlich die s-Quarkmasse. Zweitens ist die Theorie nicht renormierbar, da sie im Prinzip unendlich viele Parameter (Niederenergiekonstanten) enthält,
die nur teilweise aufgrund der chiralen Symmetrie untereinander verbunden sind.
Diese sollten dann durch entsprechend viele gemessene Größen festgelegt werden.
Häufig ergibt sich aber der Fall, dass man weniger oder genausoviele Messgrößen
wie Niederenergiekonstanten zur Verfügung hat und somit die Aussagen der Theorie nicht prädiktiv sind.
Die andere populäre Methode, um QCD-Rechnungen im nichtperturbativen Be-
1.2. STRANGENESS IM NUKLEON
reich durchzuführen, sind die Gittersimulationen. Darauf wird in Abschnitt 1.3.4
näher eingegangen.
1.2 Strangeness im Nukleon
Eine grundsätzliche Frage der starken Wechselwirkung betrifft die Beziehung
zwischen den fundamentalen Freiheitsgraden der QCD-Lagrangedichte, Quarks und
Gluonen, die in der Physik bei kleinen Abständen relevant sind, mit den effektiven
Niederenergiefreiheitsgraden, den Hadronen, die die Physik bei großen Abständen
dominieren.
Andererseits können viele Niederenergieeigenschaften der Hadronen im Rahmen von nichtrelativistischen Valenzquarkmodellen verstanden werden. Dabei werden die Hadronen als gebundene Zustände von schweren Konstituenten beschrieben, die sich langsam bewegen und nichtrelativistisch betrachtet werden. Allerdings ist es schwierig, diese schweren “Konstituentenquarks” mit den QCD-Quarks
zu identifizieren, die in Experimenten der tiefinelastischen Streuung, für deren Beschreibung die QCD perturbativ angewendet werden kann, eine viel kleinere Masse
aufweisen.
Es wurde daher vorgeschlagen [8], diese Konstituentenquarks als effektive niederenergetische Freiheitsgrade zu interpretieren, die mit den QCD-Quarks nichts
zu tun haben und durch die Wechselwirkung mit dem starken Feld oder mit den
Goldstone-Bosonen der chiralen Symmetriebrechung eine dynamische Masse erhalten.
Um echte QCD-Quarkeffekte in der Hadronstruktur zu beobachten, müssen daher die sogenannten Seequarks betrachtet werden, wie z.B. Effekte der s-Quarks im
Nukleon. Gerade durch solche Effekte wird versucht, existierende experimentelle
Befunde zu erklären, die von den Vorhersagen der Valenzquarkmodelle abweichen.
s̄s-Operator. Das bekannteste Beispiel davon ist der Beitrag des s-Quarks zur
Nukleonmasse [9]. Diese kann als
MN = M0 + σ + σs
geschrieben werden, wobei
m̂
¯ |Ni ,
hN| ūu + dd
2MN
ms
=
hN| s̄s |Ni
2MN
σ =
σs
und m̂ = (mu +md )/2. M0 stammt aus dem Gluongehalt und aus dem q̄q-Kondensat,
während σ und σs auf der expliziten Brechung der chiralen Symmetrie beruhen.
Der Beitrag σ von den leichten Quarkmassen kann von der Pion-Nukleon-Streuung
5
6
KAPITEL 1. THEORETISCHE GRUNDLAGEN
durch den sogenannten Σ-Term extrahiert werden, indem eine isospingerade Kombination von Streuamplituden vom nichtphysikalischen Chang-Dashen-Punkt, s =
MN2 und t = m2π , durch Dispersionsrelationen zu t = 0 extrapoliert wird. Man
erhält σ ≃ 45 MeV [10].
Eine weitere Kombination von Matrixelementen der q̄q-Operatoren, die mit den
Massen der pseudoskalaren Mesonen und der Hyperonen in Beziehung gesetzt werden, hat man im chiralen Limes und mit der Annahme vollständiger SU(3)-Symmetrie:
m̂
¯ − 2s̄s |Ni
hN| ūu + dd
2MN
m2π
3
(MΞ − MΛ ) ≃ 25 MeV .
=
2 m2K − m2π
δ =
Das Resultat wird unter Berücksichtigung von Effekten der SU(3)-Symmetriebrechung zu δ ≃ 35 MeV [10].
Aus der Differenz zwischen σ und δ ergibt sich eine Abschätzung für die Größe
des Grundzustand-Erwartungswerts des s̄s-Operators und für den Beitrag des sQuarks zur Nukleonmasse σs ≃ 130 MeV.
s̄γ µ γ5 s-Operator. Informationen über Matrixelemente der Quark-Axialvektorströme erhält man aus den Messungen der polarisierten tiefinelastischen Streuung. Hierbei streut man polarisierte Leptonen (Elektronen oder Myonen) bei großen Energien
an polarisierten Protonen oder Deuteronen. Unter der sehr umfangreichen Literatur
zu diesem Thema findet man z.B. die Neuveröffentlichung [11], die eine sowohl
von der experimentellen als auch der theoretischen Seite her vollständige Übersicht
bietet.
Zur niedrigsten Ordnung in der elektromagnetischen Kopplungskonstante hängt
der Wirkungsquerschnitt für die polarisierte Streuung von zwei Strukturfunktionen g1,2 (x, q 2 ) ab (x ist hier die Bjorken-Variable x = −q 2 /2q · P und P µ ist
der Nukleon-Viererimpuls), die sich durch die Messung von Doppelpolarisationsobservablen separieren lassen und bei festem x nur sehr schwach von q 2 abhängen.
Diese Strukturfunktionen können im Rahmen des sogenannten “einfachen Partonmodells”, wobei das Nukleon analog zur Impulsapproximation der Kernphysik
als ein Gas freier punktförmiger Teilchen angesehen wird, durch Partonverteilungen q(x) beschrieben werden, welche der longitudinalen Impulsverteilung der Partonen entsprechen. In diesem Modell ist das Scaling exakt, und die Strukturfunktionen hängen nur von x ab. Das Partonmodell ist äquivalent zur führenden TwistNäherung in der Operatorproduktentwicklung der QCD, wobei die Partonen Quarks
und Gluonen entsprechen.
Trennt man in den Quark-Partonverteilungen die Beiträge von den beiden Helizitätszuständen q(x) = q+ (x) + q− (x), wobei +/− den zum Nukleonspin parallelen bzw. antiparallelen Helizitätszuständen entsprechen, und führt die Größe
1.2. STRANGENESS IM NUKLEON
∆q(x) = q+ (x) − q− (x) ein, so hat man für die longitudinal polarisierte tiefinelastische Streuung
1X 2
Qj [∆qj (x) + ∆q̄j (x)] ,
g1 (x) =
2 j
wobei die Summe über die Quarkflavours läuft und Qj die elektrische Ladung des
Flavour j darstellt.
Unter diesen Annahmen entspricht das Integral
Z
∆qj = dx(∆qj (x) + ∆q̄j (x))
dem Beitrag des Flavours j zum Nukleonspin und kann durch das Matrixelement
hN| q̄j γ µ γ5 qj |Ni ausgedrückt werden. Der gesamte Beitrag der Quarks zum Nukleonspin ergibt sich unter Vernachlässigung der Beiträge von schweren Flavours
als
∆Σ = (∆u + ∆ū) + (∆d + ∆d̄) + (∆s + ∆s̄)
und wurde nach der Ellis-Jaffe-Summenregel [12], die mit der Annahme ∆s =
∆s̄ = 0 hergeleitet wird, zu ∆Σ ≃ 0.59 abgeschätzt. Die Messung des EMCExperimentes [13] deutet im Gegensatz dazu ∆Σ ≃ 0 an.
Viele Aspekte wie etwa die Gluonbeiträge zum Spin werden im Rahmen des
einfachen Partonmodells nicht berücksichtigt, und diese Betrachtung ist deshalb zu
naiv, um aus diesem Befund drastische Schlussfolgerungen zu ziehen. Allerdings
weisen die Resultate des EMC-Experimentes darauf hin, dass das Matrix-Element
hN |s̄γ µ γ5 s| Ni verschieden von Null ist.
s̄γ µ s-Operator. Ende der achtziger Jahre wurde von Kaplan und Manohar [14]
gezeigt, dass Matrixelemente des s-Quark-Vektorstromoperators s̄γ µ s durch Neutralstrom-Experimente zugänglich werden können. Bei solchen Messungen ist der
Zugang zu den gesuchten Matrixelementen etwas direkter als bei den anderen sQuark-Operatoren, denn die Beiträge der einzelnen Flavours zu den Formfaktoren
können separiert werden. Dies wird im Kapitel 2 detailliert vorgestellt. Die Vektorkopplung des Nukleons an den elektromagnetischen Strom wird für die elastische
Streuamplitude in der niedrigsten Ordnung in der Feinstrukturkonstante durch die
Formfaktoren GE,M beschrieben, die mit der Ladungs- und Magnetisierungsverteilung im Nukleon verbunden werden können. Bei dem Impulsübertrag q 2 = 0 stellen
diese Formfaktoren statische Eigenschaften der Nukleonen dar. Hierzu werden das
2
magnetische Moment µN und der mittlere quadratische Ladungsradius rN
folgendermaßen definiert:
dGE 2
(q = 0) ,
dq 2
= GM (q 2 = 0) .
2
rN
= 6
µN
7
8
KAPITEL 1. THEORETISCHE GRUNDLAGEN
Die Beiträge zu den elektromagnetischen Formfaktoren von der Kopplung des sQuarks zum Photonfeld werden mit GsE und GsM bezeichnet und ergeben sich durch
das Matrixelement hN| s̄γ µ s |Ni. Die entsprechenden Beiträge zu den statischen
Eigenschaften werden mit rs2 und µs bezeichnet.
Zur Messung der Strangeness-Vektorformfaktoren sind eine Reihe von Experimenten entworfen worden, die Neutralstrom-Effekte in der Elektronenstreuung
untersuchen, indem sie die Paritätsverletzung der schwachen Wechselwirkung ausnutzen. Ein von diesen Experimente wird von der A4-Kollaboration am Mainzer
Mikrotron betrieben.
1.3 Modellrechnungen
Die Strangeness-Vektorkopplung des Nukleons ist im Rahmen verschiedener
theoretischer Ansätze untersucht worden, und einige Reviews existieren in der Literatur [15, 16]. Hier werden nur einige von diesen Ansätzen und Modellen kurz
vorgestellt.
1.3.1 Vektor-Meson-Dominanz
Die ersten Abschätzungen vom seltsamen magnetischen Moment und Ladungsradius des Nukleons wurden aus Dispersionsrelationsanalysen der isoskalaren elektromagnetischen Formfaktoren des Nukleons gewonnen. Phänomenologisch lassen
sich die Formfaktoren mit Multipolfunktionen anfitten, wobei die Pole sich im zeitartigen Bereich des Viererimpulsübertrags (q 2 > 0) befinden. Die Annahme der
Vektor-Meson-Dominanz besagt, dass die Lage dieser Pole der Masse von existierenden isoskalaren Vektormesonen entsprechen, die dieselben Quantenzahlen wie
das Photon (J P C = 1−− ) besitzen und somit zum elektromagnetischen Strom der
Nukleonen koppeln.
Eine berühmte Rechnung mit diesem Ansatz ist die von Jaffe [17]. Er benutzt die
Resultate von Höhler et al. [18], wobei zwei Pole bei etwa 0.84 GeV bzw. 0.97 GeV
im isoskalaren Kanal identifiziert werden konnten. Diese werden den Vektormesonen ω(780) und φ(1020) zugewiesen. Das φ(1020) ist fast ausschließlich ein |s̄siZustand, wie man vom Verzweigungsverhältnis von φ → KK zu φ → πππ unter
Berücksichtigung der OZI-Regel feststellen kann. In der Tat sind die physikalischen
ω- und
√φ-Zustände eine Mischung der reinen Flavourzuständen |s̄si und (|ūui +
¯ )/ 2, wobei der kleine Mischungswinkel zu ǫ = 0.053 ± 0.005 bestimmt wurdd
de [17]. Wenn man, wie bei Jaffe, die Kontinuum-Beiträge von Zwischenzuständen
aus mehreren Pseudoskalaren vernachlässigt, deutet eine starke φN-Kopplung, was
einer starken Verletzung der OZI-Regel in der Nukleon-Vektorkopplung entspricht,
1.3. MODELLRECHNUNGEN
9
auf große Beiträge von s̄γ µ s hin. Tatsächlich erhält man in der Analyse
rs2 = (0.16 ± 0.06) fm2 ,
µs = (−0.31 ± 0.09) n.m. ,
wobei die Fehler aus der Mittelung zwischen Resultaten aus drei verschiedenen
Anpassungen stammen, die sich durch die Form der Fitfunktion unterscheiden.
Eine Verbesserung dieser Resultate wurde von Hammer et al. vorgenommen
[19]. Neben der Miteinbeziehung von inzwischen verfügbar gewordenen Daten wurde eine Verfeinerung der Fitfunktion vorgeschlagen, um die Bedingungen von der
bei großen Impulsüberträgen geltenden störungstheoretischen QCD zu berücksichtigen. Darüber hinaus wurde ein besserer Wert für den ωφ-Mischungswinkel ǫ verwendet, der die Symmetriebrechung im Vektor-Nonett sowohl von der starken als
auch von der elektromagnetischen Wechselwirkung besser berücksichtigt. Die aktualisierten Resultate lauten:
rs2 = (0.21 ± 0.03) fm2 ,
µs = (−0.24 ± 0.03) n.m. .
In [20] findet man eine Studie der Effekte des 3π-Kontinuums, das fast nur in
der gemischten Resonanzform ρπ beiträgt, und des K̄K-Kontinuums. Diese Beiträge von KK→NN sind im Dispersionsintegral als Branchcut im zeitartigem Bereich enthalten und können über analytische Fortsetzung von den NK-Streudaten
(I=0)
abgeschätzt werden. Für den Pauli-Formfaktor F2
wird die Stärke des φs fast
komplett vom K̄K-Kontinuum ersetzt. Da dieses aber auch zum Strangeness-Vektorstrom koppelt, hat man einen ähnlichen Wert für µs = −0.28. Für den Dirac(I=0)
Formfaktor F1
sättigt jedoch das K̄K-Kontinuum die ganze Stärke der φ-Resonanz nicht. Wenn man das φ sogar ausschaltet und durch ein effektives ρπ-Kontinuum ersetzt, übernimmt diese neue Komponente einen wichtigen Teil der Resonanzkraft. Da sie aber viel weniger am s̄γ µ s-Strom koppelt, hat dieser Austausch eine
signifikante Auswirkung auf den Wert des seltsamen quadratischen Radius, der sich
von 0.42 fm2 zu −0.15 fm2 ändert.
1.3.2 Kaon-Loops
Wenn man die leichten (u, d und s) Quarkfelder als Vektor im Flavourraum
betrachtet, kann der Strangeness-Vektorstrom als
hN| s̄γµ s |Ni = hN| q̄γµ
=
λ8
λ0
−√
3
3
1
1 0
Jµ − √ Jµ8
3
3
q |Ni
(1.1)
10
KAPITEL 1. THEORETISCHE GRUNDLAGEN
geschrieben werden. Hierbei sind λ0,a=1...8 die Einheitsmatrix bzw. die Gell-MannMatrizen und Jµ0,8 die entsprechenden Vektorströme der baryonischen SU(3)-Multiplettzustände. Hiermit wird eine Beziehung zwischen dem betrachteten s-QuarkOperator und den Operatoren hadronischer Freiheitsgrade erstellt. Für niederenergetische Prozesse kann die chirale Störungstheorie angewandt werden. Insbesondere kann die Wechselwirkung von Baryonen mit den Pseudoskalaren im Rahmen
der Heavy Baryon (HB)χPT beschrieben werden. Dabei werden die Baryonen als
Dirac-Felder eingeführt und die Teilchen-/Antiteilchen-Komponenten durch FoldyWouthuysen-Transformation in der Hamilton-Funktion voneinander getrennt, damit
eine Entwicklung in 1/MB (MB die Baryonmasse) möglich wird.
In Ref. [21] wird GsM (q 2 ) zur chiralen Ordnung O(p3 ) (eine Schleife) berechnet.
Mit dieser Rechnung kann keine Vorhersage für µs = GsM (0) gemacht werden, denn
eine der auftretenden Niederenergiekonstanten, nämlich das magnetische Moment
des SU(3)-Singuletts G0M (q 2 = 0), kann nicht von anderen Observablen festgelegt
werden. Dafür ist der q 2 -Verlauf von GsM (q 2 ) eine modell-unabhängige Vorhersage,
wenn ein Messwert dieses Formfaktors verwendet wird. Bemerkenswert ist, dass
die zu berechnende Streuamplitude zwei Beiträge enthält,
Jµ8
(a)
(b)
Jµ0,8
,
und dass zu dieser Ordnung nur der Oktettstrom zur Kaonschleife (a) beiträgt,
während sie unabhängig von der Kopplung an den Singulettstrom ist. Somit ist die
q 2 -Abhängigkeit von GsM , die einzig von (a) kommt, eine parameterfreie Vorhersage. Zudem sind KΛ und KΣ die einzigen in der Schleife bei (a) zugelassenen
Zwischenzustände, da π- und η-Beiträge erst in der nächsten Ordnung vorkommen.
Diese Überlegungen motivieren a posteriori gewisse Modellrechnungen, wie
beispielsweise [22]. Dabei berechnen die Autoren die Strangeness-Vektorkopplung
im Rahmen eines einfachen Modells mit Baryonen und Pseudoskalaren, die über
effektive lokale Kopplungen wechselwirken. Nur Nukleonen, Pionen und die leichtesten Strangeness-Kanäle (KΛ) werden betrachtet, und die Beiträge von diesen
werden als s-Quark-Beiträge interpretiert. Im Rahmen eines solchen Modells ist
natürlich kein konsistentes Zählschema vorhanden und daher keine eindeutige Kontrolle der Unsicherheiten möglich. Außerdem ist eine Willkür bei der Regularisierung von Integralen der Art (a) unvermeidlich.
Aus diesen erhält man große Beiträge von der Strangeness, die allerdings sehr
stark von der ausgewählten Cutoff-Energie abhängen, und die elektromagnetischen
Formfaktoren werden nicht gut reproduziert. Es wird behauptet, dass es an der Vernachlässigung der unterliegenden Nukleonstruktur und insbesondere dessen endlicher räumlicher Ausdehnung liegt. Diese sollte für die Skala des ultravioletten
Cutoffs verantwortlich sein und wird dann anhand zweier Modelle, eines cloudy bag
1.3. MODELLRECHNUNGEN
model (CB) und eines nichtrelativistischen Konstituentenquarkmodells (NRCQ),
abgeschätzt. Dadurch werden die Strangeness Beiträge stark eingeschränkt. Man
kommt auf die Werte [22]:
CB: µs = −0.0260 n.m., rs2 = −0.0097 fm2 ,
NRCQ: µs = −0.0324 n.m., rs2 = −0.0077 fm2 .
In der Literatur findet man diverse Abschätzungen dieser Art [23, 24, 25], die auch
sehr unterschiedliche Resultate haben.
1.3.3 Nukleonmodelle
Da Strangeness-Beiträge, und allgemeiner Seequark-Effekte, eng mit der Nukleonstruktur verbunden sind, bieten sie eine Testumgebung für Nukleonmodelle
an. Hier werden zwei von solchen Modellen erwähnt: das Skyrme-Modell und das
Chiral Quark Soliton Model (χQSM). Beide sind solitonische Modelle und finden
ihre Begründung im Groß-Nc -Limes der QCD [26]. Außerdem sind beide auf der
chiralen Symmetrie aufgebaut, die für die Niederenergie-Dynamik der Hadronen
eine sehr wichtige Rolle spielt.
Skyrme-Modell. Im Rahmen des Skyrme-Modells betrachtet man eine phänomenologische Lagrangedichte, die nur pseudoskalare Freiheitsgrade enthält, und explizit chirale Symmetrie aufweist. Im wesentlichen handelt es sich dabei um die χPTLagrangedichte L2 zur niedrigsten Ordnung [7], die mit dem sogenannten WessZumino-Term ergänzt wird. Dieser enthält vier Ableitungen der Mesonfelder und
ist einer der zehn Terme, die in der nächsten Ordnung in der chiralen Entwicklung
(L4 ) vorkommen.
Die Baryonen tauchen im Modell als solitonische Lösungen der klassischen Bewegungsgleichungen des pseudoskalaren Feldes auf, die durch den O(p4 )-Term stabilisiert werden und von einer topologischen Ladung, auch Windungszahl genannt,
charakterisiert sind. Diese Windungszahl wird mit der Baryonzahl identifiziert.
Obwohl die Quarksfreiheitsgrade gar nicht vorkommen und die s-Quark-Matrixelemente über Operatoren wie in (1.1) ausgewertet werden, hat sich das Modell
für die Abschätzung der axialen Strangeness-Formfaktoren und die Interpretation
der EMC-Messung erfolgreich gezeigt [27]. Für die Vektorformfaktoren der Strangeness bei q 2 =0 ergibt sich [28]:
rs2 = −0.10 fm2 ,
µs = −0.13 n.m.
χQSM. Dieses Modell basiert auf das von Nambu und Jona-Lasinio vorgeschlagene Modell zur Beschreibung der Wechselwirkung zwischen Nukleonen und Pionen [29]. Die verwendete Lagrangedichte enthält Vierfermionen-Wechselwirkungen
11
12
KAPITEL 1. THEORETISCHE GRUNDLAGEN
mit chiraler Symmetrie zwischen Nf Quarkfeldern (Nf ist hier die Anzahl der Flavours), und wird durch die Einführung von Mesonfeldern (σ und ~π ) semibosonisiert
[30]. Das Skalarfeld σ wird eingefroren durch die Einführung der chiralen KreisBedingung σ 2 + ~π 2 = M 2 . Man erhält somit eine Theorie von Quarks, die mit
Pseudoskalaren wechselwirken und dadurch eine dynamische Masse M bekommen.
Das entspricht in gewisser Weise dem in [8] vorgeschlagenen Bild der effektiven
Konstituentenquark-Freiheitsgrade.
Die Baryonen werden als gebundene Zustände dieser chiralen Quarks mit einer
semiklassischen solitonischen Mesonfeld-Konfiguration realisiert. Die Baryonzahl
wird allerdings nicht mit der Windungszahl des Solitons identifiziert, sondern ist
durch den Valenzquarkstrom gegeben.
Das Modell kann nach Anpassung von wenigen Parametern an gemessene Größen viele Eigenschaften der Baryonen relativ gut beschreiben [30]. Für die Strangeness-Vektorkopplung des Nukleons wurde es auch eingesetzt [31, 32], und dabei
besteht, wie es im Dreiflavourfall aufgrund der starken expliziten Brechung der
SU(3)-Symmetrie üblich ist, eine Zweideutigkeit. Nämlich muss eine einzige Yukawa-Masse für die Beschreibung des Solitonprofils festgelegt werden, die die Effekte
aller Pseudoskalare wiedergibt. Die Grenzfälle für diesen Wert sind die Kaon- und
die Pionmasse, die unterschiedliche Resultate ergeben [31]:
Mπ : µs = 0.074 n.m., rs2 = −0.220 fm2 ,
MK : µs = 0.115 n.m., rs2 = −0.095 fm2 .
In der Referenz [32] werden im Rahmen des χQSMs auch für die jeweiligen Experimente spezifische Messgrößen berechnet, und sie stimmen mit den experimentellen
Resultaten immer gut überein.
1.3.4 Gitter-QCD
Der Ausgangspunkt der Gitter-Eichtheorien ist die Formulierung der entsprechenden Kontinuum-Eichtheorie durch Funktionalintegrale. Die Raumzeit wird diskretisiert, damit die Anzahl der Integrationen im Pfadintegral bei endlichem Volumen endlich ist, und die Observablen werden dann numerisch durch Monte-CarloIntegration nicht-perturbativ und modellunabhängig berechnet.
Diese Methode enthält einige Unsicherheiten, die sorgsam berücksichtigt werden müssen. Der Kontinuumlimes und der Limes zu unendlichem Volumen dürfen
keine Modellabhängigkeit einführen. Außerdem werden in den Regel einige Approximationen vorgenommen, um den riesigen Rechnenaufwand zu bewältigen, der
mit diesen Rechnungen verbunden ist. Zum einen werden häufig die Fluktuationen
der fermionischen Freiheitsgrade unter der Annahme vernachlässigt, dass die wichtigsten Beiträge nur von Gluonschleifen kommen, was oft auch der Realität entspricht. Diese Theorie nennt sich quenched QCD (QQCD). Zum anderen werden in
der Regel die Massen der Quarks auf Werte gesetzt, die größer als die erwarteten
1.3. MODELLRECHNUNGEN
physikalischen Strommasse sind, um den numerischen Aufwand für die Inversion
des Dirac-Operators zu senken. Um Observablen zu berechnen, müssen dann Extrapolationen zu den physikalischen Quarkmassen durchgeführt werden, und dabei
können systematische Fehler auftreten. Diese Extrapolationen werden heute zunehmend mit Hilfe der chiralen Störungstheorie durchgeführt, indem die funktionale
Form der Extrapolationskurve von den Vorhersagen der χPT bedingt wird. Man
redet in diesem Fall von chiralen Extrapolationen.
Es existieren zwei Rechnungen von µs [33, 34], die von Simulationsdaten der
Gitter-QCD stammen, beide im Rahmen der QQCD, aber mit dem Vorteil, dass bis
zu sehr kleinen u- und d-Quarkmassen simuliert werden konnte. Für das s-Quark
wurde die physikalische Masse tatsächlich erreicht. In beiden Fällen werden chirale Extrapolationen verwendet, und zwar mit der Variante der χPT, die der QQCD
entspricht und daher das Verhalten der QQCD bei kleinen Quarkmassen beschreibt.
Diese Theorie heißt quenched chirale Störungstheorie (QχPT) und kann formal aufgebaut werden, indem in die QCD-Lagrangedichte Geistfelder eingeführt werden,
die die Determinante des Dirac-Operators exakt kompensieren und somit die Beiträge der fermionischen Quantenfluktuationen zum Pfadintegral “ausschalten” [35].
Ähnlich wie bei der Konstruktion der chiralen Störungstheorie aus der QCD kann
die QχPT aus dieser Lagrangedichte als niederenergetische EFT aufgebaut werden.
In der Rechnung [33] werden Standardmethoden der Gitter-QCD verwendet, um
die Strangeness-Beiträge zu extrahieren. Die Kopplung des elektromagnetischen
Stroms zum s-Seequark ergibt sich aus der Auswertung einer Dreipunktfunktion,
die einen Protonpropagator in Korrelation mit einer unverbundenen (disconnected), an den Vektorstrom gekoppelten s-Quark-Schleife enthält. Das Resultat für
GsM lässt sich nicht signifikant von Null unterscheiden:
GsM (q 2 = −0.1 GeV2 ) = 0.05 ± 0.06 ,
wobei der Fehler statistische Unsicherheit und die theoretische Modellabhängigkeit
enthält.
In der zweiten Rechnung [34] wird eine bessere Genauigkeit erreicht, indem
mehr Informationen aus Phänomenologie und chiraler Symmetrie ausgenutzt werden.
Die gemessenen magnetischen Momente aller Baryonen im SU(3)-Oktett gehen ein, und die Beiträge von Valenzquarks und Seequarks zu diesen magnetischen
Momenten werden unterschieden. Überall in der Rechnung wird die Gültigkeit
der Isospinsymmetrie angenommen. Für die Valenzquarkbeiträge werden die Effekte der Umgebung berücksichtigt, wobei nach der Isospinsymmetrie zum selben
Isospin-Multiplett gehörende Baryonen als gleiche Umgebung betrachtet werden.
Für das Nukleon wird der gesamte Seequark-Beitrag zum magnetischen Moment
13
14
KAPITEL 1. THEORETISCHE GRUNDLAGEN
0.4
VMD [17]
VMD [19]
Skyrme [28]
χQSM (Mπ ) [31]
χQSM (MK ) [31]
q-Gitter [33]
q-Gitter [34]
0.3
0.2
rs2 [fm2 ]
0.1
0.0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
−0.4
−0.2
0.0
µs [n.m.]
0.2
0.4
Abbildung 1.1: Übersicht der in diesem Kapitel erwähnten Modellrechnungen für µs und
rs2 . Hierbei entsprechen die mit VMD bezeichneten Punkte den Resultaten
der auf Vektormesondominanz basierten Multipolfits (s. Abs. 1.3.1). Die
beiden χQSM-Punkte stellen die Vorhersagen des chiralen Quarksolitonmodells dar, wobei die dazugehörige Yukawa-Masse (Abs. 1.3.3) gleich
jeweils die Pion- bzw. die Kaonmasse ist. Die q-Gitter-Bänder beziehen
sich auf die im Abs. 1.3.4 herbeigerufenen Ergebnisse von quenched Gittersimulationen.
in Flavour-Beiträge (l GuM = l GdM und l GsM ) unterteilt, und l GsM = GsM stellt den
gesamten Beitrag vom s-Quark zum magnetischen Moment dar.
Man kann GsM als Funktion von l Rds ≡ l GsM /l GdM , den magnetischen Momenten der Baryonen (p, n, Σ± , Ξ0 und Ξ− ) und dem Verhältnis uN /uH zwischen den
u-Valenzquark-Beiträgen zu einem Nukleon und zu einem Hyperon umschreiben,
wobei uN /uH entweder für up/uΣ oder für un /uΞ steht. Der Faktor l Rds muss modellabhängig abgeschätzt werden, und die u-Valenzquark-Beiträge (up , un , uΣ , etc.)
können vollständig, d.h. unter Berücksichtigung aller Beiträge von Quarkschleifen,
anhand QQCD-Gitterdaten und der in [36] vorgestellten diagrammatischen Methoden berechnet werden.
Der resultierende Wert des magnetischen Moments der Strangeness ist
µs = (−0.046 ± 0.019) n.m. ,
wobei der Fehler hauptsächlich von der Statistik der Simulation und von der Mo-
1.4. WEITERE ASPEKTE DER MESSUNG
dellabhängigkeit in der Bestimmung von l Rds kommt.
1.3.5 Übersicht der Modellrechnungen
Die hier aufgelisteten theoretischen Abschätzungen von µs und rs2 stellen nur
eine sehr eingeschränkte Auswahl der für diese Größen verfügbaren Rechnungen
dar und wurden im Wesentlichen wegen ihrer historischen Bedeutung gewählt. Zusammenfassend sind sie in Abb. 1.1 gemeinsam auf der µs -rs2 -Ebene aufgetragen.
Ausführlichere Aufstellungen von theoretischen Ansätzen und Modellrechnungen
können in der Literatur gefunden werden [15, 16, 37].
1.4 Weitere Aspekte der Messung
Da die Messung der Strangeness-Vektorstrommatrixelemente über die elektroschwache Nukleonkopplung erfolgt (siehe nächstes Kapitel), sind die Experimente
auf die effektiven Elektron-Quark-Kopplungen über ungeladene Ströme C1q empfindlich, die durch die effektive Vierfermionwechselwirkung
X
GF
√
ēγ
γ
e
C1q q̄γ µ q
Leq
=
−
µ 5
NC
2
q
definiert werden. Präzisionsmessungen dieser Parameter im Niederenergieregime
haben eine wichtige Auswirkung auf die Physik des Standardmodells.
Eine gemeinsame Analyse der Messungen über paritätsverletzende Elektronenstreuung (PVES) inklusive der Messergebnisse der A4-Kollaboration zusammen
mit Messungen der Paritätsverletzung in atomaren Systemen ist in Ref. [38] präsentiert. Durch die Einbeziehung der PVES-Resultate hat sich die Einschränkung
der C1q -Parameter um ein Faktor fünf verbessert. Dabei haben sich die Standardmodell-Vorhersagen für diese Größen bestätigt, und Einschränkungen für mögliche
Erweiterungen des Standardmodells auf der TeV-Skala werden dadurch gesetzt.
15
16
KAPITEL 1. THEORETISCHE GRUNDLAGEN
Kapitel 2
Paritätsverletzung und Strangeness
im Nukleon
In diesem Kapitel wird eine Einführung in die physikalische Fragestellung der
Arbeit gegeben. Erstens wird der experimentelle Zugang zu den Strangeness-Vektorformfaktoren durch Neutralstromexperimente erläutert. Zweitens werden die allgemeinen experimentellen Anforderungen dieser Art von Messungen übersichtlich
besprochen, und schließlich werden die bisherigen Messergebnisse zu den betrachteten Observablen zusammengefasst.
2.1 Messprinzip
Im Rahmen einer Beschreibung des Nukleons durch die fundamentalen Freiheitsgrade der QCD sind Matrixelemente von Quark-Stromoperatoren für die Struktur der Nukleonkopplung an die Eichbosonen des Standardmodells der elektroschwachen Wechselwirkung verantwortlich. Insbesondere kann das Photonfeld unter dieser Annahme nur an den elektromagnetischen Stromoperator der Quarkfelder
jfµ koppeln. Dieser ist durch das Produkt des Vektorstromoperators mit der elektrischen Ladung des Quarks Qf (ausgedrückt in Einheiten der Elementarladung e>0)
gegeben:
jfµ = −ieQf f¯γ µ f .
(2.1)
µ
Dadurch kann das Matrixelement Jγ des elektromagnetischen Stromoperators
des Nukleons für die elastische Streuung als eine Kombination der Matrixelemente
der Stromoperatoren (2.1) geschrieben werden:
X
µ
−ieQf hN| f¯γ µ f |Ni ,
(2.2)
Jγ =
f =u,d,s
wobei |Ni die unbekannte, von allen nichtperturbativen Effekten der QCD abhängige
Wellenfunktion des Nukleons ist.
17
18
KAPITEL 2. PARITÄTSVERLETZUNG UND STRANGENESS IM NUKLEON
Andererseits ist die von Lorentzinvarianz, Ladungs- und Paritätserhaltung bedingte allgemeinste Form des Strommatrixelements der elastischen Streuung:
µ
σ µν qν
2
′
µ
2
F2 (q ) N(p) =
(2.3)
Jγ
= −ie N̄(p ) γ F1 (q ) + i
2M
µ
∗
γ
p, S
p′ , S ′
=
.
Hierbei ist q = p − p′ der Viererimpulsübertrag, M die Nukleonmasse und F1,2 (q 2 )
die Pauli- und Dirac-Formfaktoren. Kombiniert man Gl. (2.3) mit Gl. (2.2), so kann
man Flavour-Formfaktoren folgendermaßen definieren (f = u, d, s):
σ µν qν f 2
µ
′
µ f 2
¯
F (q ) N(p) .
(2.4)
hN| f γ f |Ni ≡ N̄(p ) γ F1 (q ) + i
2M 2
Daraus folgt, dass die Nukleonformfaktoren als Linearkombination der FlavourFormfaktoren geschrieben werden können:
X
f
(q 2 )
(2.5)
F1,2 (q 2 ) =
Qf F1,2
f =u,d.s
Hierzu ist es üblich, die sogenannten Sachs-Formfaktoren GE,M einzuführen. Sie
sind definiert als (τ = −q 2 /4M 2 )
(f )
GE
(f )
GM
(f )
≡ F1
≡
(f )
F1
(f )
− τ F2
+
(2.6)
(f )
F2
und für sie gilt aus (2.5) die Beziehung:
X
GE,M (q 2 ) =
Qf GfE,M (q 2 )
(2.7)
f =u,d.s
Der experimentelle Zugang zu Matrixelementen der Quark-Vektorstromoperatoren und insbesondere zu hN| s̄γ µ s |Ni kann durch die Messung der Flavour-Formfaktoren erreicht werden. Natürlich ist es nur möglich, die gesamten Formfaktoren der Nukleonen direkt zu messen. Die Separation der Flavour-Beiträge ist daher
zunächst ein sehr unterdeterminiertes Problem, denn für jede Messgröße gäbe es
drei Unbekannte. Eine erste Reduzierung der Anzahl der Freiheitsgrade erhält man
unter Berücksichtigung der Isospin-Symmetrie. Formal entspricht diese folgende
Bedingungen für die Flavour-Formfaktoren Gf,p , Gf,n von Proton bzw. Neutron
(Tiefindizen E und M werden dabei unterdrückt):
Gu,p = Gd,n ≡ Gu
Gd,p = Gu,n ≡ Gd
Gs,p = Gs,n ≡ Gs
(2.8)
2.1. MESSPRINZIP
19
Dank diesen Bedingungen hat man für jede Formfaktorart – elektrisch und magnetisch – jeweils zwei bekannte Messgrößen, d.h. den Proton- bzw. den NeutronFormfaktor, aber noch immer drei zu trennende Unbekannte, d.h. die drei FlavourFormfaktoren. In Ref. [39] wurden die Effekte der Isospinsymmetrie-Brechung im
Rahmen der chiralen Störungstheorie berechnet. Dabei wurde eine Rechnung zur
LO für GE bzw. zur NLO für GM durchgeführt, die Beiträge der Ordnung O(p4 )
bzw. O(p5 ) beinhalten. Dazu wird nur ein nicht von der Symmetrie bedingter Gegenterm gebraucht, der durch einen Resonanzsättigungs-Ansatz (resonance saturation) modellabhängig abgeschätzt. Die Isospinbrechung kommt dabei aufgrund der
ρ0 -ω-Mischung zustande. Die von dieser Rechnung vorhergesagten Effekte auf die
Strangeness-Formfaktoren sind eine Größenordnung kleiner als die Fehlerbalken
der Messergebnisse und können unbedenklich vernachlässigt werden.
Die zur Separation der Flavour-Formfaktoren bei (2.8) fehlenden Bedingungen
können unter Berücksichtigung der Universalität der Vektorstromoperatoren an der
Messung von Neutralstrom-Observablen erhalten werden. Die von Lorentz- und
Eichinvarianz allgemeinste erlaubte Kopplung des Nukleons an ein Z0 -Boson ergibt
für die elastische Streuung folgendes Matrixelement des Neutralstromoperators (θW
ist der Weinberg-Mischungswinkel)
σ µν qν
−ie
µ
′
µ
2
2
µ
2
N̄(p ) γ F̃1 (q ) + i
F̃2 (q ) + γ γ5 GA (q ) N(p)
hJZ i =
2 sin 2θW
2M
µ
0
Z
p, S
p′ , S ′
=
.
(2.9)
Hierbei sind F̃1,2 die schwachen Pauli- und Dirac-Formfaktoren, mit denen ähnlich
wie in Gl. (2.6) die schwachen Sachs-Formfaktoren G̃E,M definiert werden können.
Aufgrund der Paritätsverletzung
in der schwachen Wechselwirkung ist bei hJZµ i im
Gegensatz zu Jγµ eine Axialvektor-Kopplung erlaubt, die durch den zusätzlichen
Axialformfaktor GA (q 2 ) parametrisiert wird.
Analog zu (2.2) kann der Vektoranteil von hJZµ i = hVZµ i + hAµZ i durch Matrixelemente der Vektoranteile der Quark-Neutralstromoperatoren ausgedrückt werden:
X
−ie
Qw hN| f¯γ µ f |Ni ,
(2.10)
hVZµ i =
2 sin 2θW f
f =u,d,s
2
w
wobei Qw
f = 2I3 − 4Qf sin θW die im Standardmodell festgelegten schwachen
Quark-Vektorladungen sind (I3w ist die dritte Komponente des schwachen Isospins),
8 2
Qw
u = +1 − sin θW
3
4
Qw
= −1 + sin2 θW
d
3
4
Qw
= −1 + sin2 θW ,
s
3
(2.11)
20
KAPITEL 2. PARITÄTSVERLETZUNG UND STRANGENESS IM NUKLEON
¯ µ f |Ni dieselben wie bei (2.2) bleiben (Univerwährend die Matrixelemente hN| fγ
salität der Vektorstromoperatoren). Wenn man wie in (2.5) und (2.7) eine Zerlegung
der schwachen Formfaktoren in Flavour-Formfaktoren unternimmt, stellt man wegen deren Definition (2.4) fest, dass die schwachen Formfaktoren eine neue Linearkombination der selben Flavour-Formfaktoren darstellen:
X
f
2
F̃1,2 (q 2 ) =
Qw
f F1,2 (q )
2
G̃E,M (q ) =
f =u,d.s
X
f
2
Qw
f GE,M (q )
(2.12)
f =u,d.s
Durch die Messung der schwachen Vektor-Formfaktoren des Nukleons erhält
man die zur Separation der Flavour-Beiträge fehlenden Bedingungen.
Um die Streuung von Neutralströmen zu beobachten und Z 0 -Matrixelemente zu
messen, kann die Paritätverletzung ausgenutzt werden, da diese die elektromagnetische Streuung von der schwachen phänomenologisch unterscheidet. Berücksichtigt man die schwache Wechselwirkung, so hängt der Wirkungsquerschnitt σR,L der
Streuung longitudinal polarisierter Elektronen vom Vorzeichen der Elektronhelizität
ab (die Indizen R und L kennzeichnen den Wirkungsquerschnitt für Elektronen mit
rechts- bzw. linkshändiger Helizität). Eine Messung der paritätsverletzenden Asymmetrie
σR − σL
(2.13)
APV =
σR + σL
bietet die gewünschte Sensitivität zu den schwachen Formfaktoren an.
Der Wirkungsquerschnitt der elektroschwachen elastischen Streuung lässt sich
zur niedrigsten Ordnung in der Kopplungskonstante folgendermaßen schreiben:
σ ∝ γ∗
+
Z0
wobei
k, s
µ
γ∗
k ′ , s′
2
2
= |Mγ + MZ | ,
≡ jγµ = i e ē(k ′ )γ µ e(k) ,
(2.14)
(2.15)
µ
k, s
Z0
k ′ , s′
−ie
ē(k ′ )γ µ [gV + gA γ5 ]e(k)
2 sin 2θW
die elektroschwachen Kopplungen des Elektrons sind. Hierbei hat man
≡ jZµ =
gV = −1 + 4 sin2 θW ,
gA = 1 .
(2.16)
(2.17)
(2.18)
2.1. MESSPRINZIP
21
Das Verhältnis der Amplituden Mγ und MZ in (2.14) bestimmt die Größenordnung
der paritätsverletzenden Asymmetrie. Für diese beiden gilt:
jγ · hJγ i
,
q2
jZ · hJZ i
+ O(q 2 /MZ2 ) .
= −
MZ2
Mγ = −
(2.19)
MZ
(2.20)
Im Energieregime, das hier von Interesse ist, ist |q 2 | < 1 GeV2 , und somit können
Terme höherer Ordnung in q 2 /MZ2 vernachlässigt werden. Die Helizitätsabhängigkeit vom Interferenzterm MZ M∗γ lässt sich im Leptontensor folgendermaßen berücksichtigen:
X
e2
±
ηµν
≡
ē′ γµ [gV + gA γ5 ](1 ± γ5 ) e ē γν (1 ± γ5 )e′ .
(2.21)
16 sin 2θW ′
s,s
Mit dem Hadrontensorterm
W µν ≡
ergibt sich für die Asymmetrie:
1 X µ ν ∗
hJ i Jγ
2 ′ Z
(2.22)
S,S
q 2 (η + − η − ) · W
+ O (q 2 /MZ2 )2
(2.23)
2
2
MZ |jγ · hJγ i |
µ
µ
−
+
−
q 2 (a+
µ − aµ ) hVZ i + (vµ − vµ ) hAZ i
= − 2
+ O (q 2 /MZ2 )2 .
MZ
jγ · hJγ i
APV = −
Bei q 2 ≃ −0.1 GeV2 liegen die zu erwartenden Asymmetriewerte im Bereich von
|APV | ≤ 10−5 , und an diesem sehr kleinen Wert liegt die experimentelle Herausforderung dieser Messung.
Zur Separation der Strangeness-Beiträge muss die Abhängigkeit der Asymmetrie von den verschiedenen Formfaktoren aufgelöst werden. Von den sechs unabhängigen Vektor-Formfaktoren behält man die vier elektromagnetischen Gp,n
E,M
und die zu bestimmenden GsE,M . Dazu bleibt noch die Abhängigkeit vom ProtonAxialformfaktor GpA . In der Literatur [15] wird die Asymmetrie in die folgenden
Terme aufgespalten,
APV
AV
AA
AS
A
z }|0 {
= AV + AA + AS :
ǫGpE GnE + τ GpM GnM
=
(1 −
−
ǫ(GpE )2 + τ (GpM )2
p
√
(1 − 4ŝ2Z ) 1 − ǫ2 τ (1 + τ )GpM GpA
,
= a
ǫ(GpE )2 + τ (GpM )2
ǫGp Gs + τ GpM GsM
= aρ′eq E p E2
.
ǫ(GE ) + τ (GpM )2
−aρ′eq
4κ̂′eq ŝ2Z )
,
22
KAPITEL 2. PARITÄTSVERLETZUNG UND STRANGENESS IM NUKLEON
√
Hier ist der gesamte Vorfaktor a = −Gµ q 2 /4πα 2, wobei Gµ die beim Myonzerfall gemessene Fermi-Konstante ist und α = e2 /4π ≃ 1/137 die Feinstrukturkonstante.
Mit ρ′eq und κ̂′eq werden elektroschwache Strahlungskorrekturen zur effektiven
paritätsverletzenden Elektron-Quark-Kopplung ēγ µ γ5 ef¯γµ f bezeichnet, die im Rahmen des MS-Renormierungsschema berechnet werden [40]. Die Strahlungskorrekturen zu AA , wo die Axialvektor-Kopplung im Nukleonvertex enthalten ist, sind im
axialen Formfaktor GA miteinbezogen [41]. Der elektroschwache Mischungswinkel
tritt in die Konstante ŝ2Z = sin2 θ̂W (MZ ) = 0.23119 ein, wobei die Definition
sin2 θ̂W (µ) ≡
ĝ ′ 2 (µ)
ĝ 2 (µ) + ĝ ′ 2 (µ)
gilt, und ĝ(µ) und ĝ ′ (µ) die im MS-Renormierungsschema bei der Skala µ evaluierten SU(2)- bzw. U(1)-Kopplungskonstanten sind [40].
Der kinematischer Faktor ǫ = [1 + 2(1 + τ ) tan2 (θ/2)]−1 (θ ist der polare Streuwinkel) entspricht für die Einphotonaustausch-Streuamplitude unter Vernachlässigung der Elektronenmasse dem transversalen Linearpolarisationsgrad des ausgetauschten virtuellen Photons, wobei die “transversale” Ebene senkrecht zum Impulsübertrag liegt.
Der Axialformfaktor GA kann entweder durch eine Modellrechnung abgeschätzt
[41] oder anhand einer Asymmetrie-Messung mit einem Deuteron-Target bestimmt
werden. Wenn dieser Formfaktor bekannt ist, kann der Wert von A0 berechnet werden, der der paritätsverletzenden Asymmetrie unter der Annahme entspricht, dass
beide Strangeness-Formfaktoren verschwinden: GsE = GsM = 0.
Zieht man A0 vom gemessenen Wert APV der Asymmetrie ab, erhält man eine Linearkombination von GsE und GsM . Auf der GsM -GsE -Ebene lässt sich dieses
Resultat als eine Gerade darstellen, deren Steigung nur von q 2 , ǫ und den elektromagnetischen Proton-Formfaktoren abhängt, während deren Achsenabschnitt proportional zu AS ist.
Ein zur Rosenbluth-Separation ähnliches Verfahren bietet dann die Möglichkeit,
diese beiden Formfaktoren zu separieren. Zwei Messungen mit demselben q 2 können durch geeignete Wahl der Strahlenergie unter zwei verschiedenen Streuwinkeln und somit bei unterschiedlichen Werten des ǫ-Parameters durchgeführt werden. Man erhält dann zwei Geraden unterschiedlicher Steigung, deren Schnittpunkt
die Werte von GsM und G2E einzeln bestimmt.
Bei Rückwärtswinkeln wird ǫ sehr klein und die Asymmetrie ist auf GsE sehr
wenig empfindlich. Bei Vorwärtswinkeln nährt sich ǫ der Eins und die Steigung
der Gerade in der GsM -GsE -Ebene nimmt den endlichen Wert η ≡ τ GpM /ǫGpE an.
Man beachte,
dass in diesem letzten Fall die Empfindlichkeit auf GA aufgrund des
√
Faktors 1 − ǫ2 in AA sehr gering ist.
2.2. EXPERIMENTELLE ANFORDERUNGEN
2.2 Experimentelle Anforderungen
Um die paritätsverletzende Helizitätsasymmetrie APV durch ein Streuexperiment zu messen, wird ein longitudinal polarisierter Elektronenstrahl mit abwechselndem Helizitätsvorzeichen auf ein Nukleon-Target (in der Regel Wasserstoff oder
Deuterium) gelenkt. Mit Hilfe eines Teilchendetektors kann die Zählrate der mit der
jeweiligen Spineinstellung gestreuten Elektronen bestimmt werden und somit die
gesuchte Asymmetrie.
Wie im Abschnitt 2.1 besprochen wurde, sind die Effekte der neutralen Ströme
bei der Energieskala der hier betrachteten Experimente stark unterdrückt, und das
Z 0 -Austausch-Matrixelement in Gl. (2.14) wird lediglich durch den Interferenzterm
mit dem Photonaustausch-Diagramm experimentell zugänglich. Durch diesen Interferenzterm erhält die zu messende Asymmetrie einen Beitrag der Größenordnung
|MZ /Mγ | ∼ 10−5 . Die Planung einer dafür genügend genauen Messung ist zwar
herausfordernd, aber vorstellbar. Der |MZ |2 -Term dagegen würde einen Effekt der
Ordnung 10−10 ergeben, der eine Messgenauigkeit fordert, die allerdings zur Zeit
des A4-Experimententwurfs, d.h. Mitte der neunziger Jahre, unerreichbar war.
Das Design der Experimente zur Messung der paritätsverletzenden Asymmetrie
wird also von deren Größenordnung diktiert, sowohl was die statistische als auch
die systematische Unsicherheit angeht.
Statistische Unsicherheit. Die A4-Kollaboration hat sich für ein Zählexperiment
entschieden. D.h., einzelne elastische Streuereignisse müssen für beide Polarisationseinstellungen nachgewiesen, identifiziert und gezählt werden. Rein statistisch
betrachtet muss die Anzahl der registrierten Ereignisse NR,L bei wiederholten Messungen gemäß der Poisson-Verteilung
streuen. Die Standardabweichung dieser Verp
teilungen ist dann δNR,L = NR,L und stellt den statistischen Fehler der Messgrößen NR,L dar. Dieser pflanzt sich in die Summe N
√ = NR + NL und in die Differenz ∆ = NR − NL gleichmäßig als δN = δ∆ = N fort. Für eine Asymmetrie
A = ∆/N gilt nach gaußscher Fehlerfortpflanzung
s 2
2
δN
δ∆
δA = A
+
∆
N
r
N
1
= A
+
(2.24)
2
∆
N
r
1
A2
+
=
N
N
1
= √ + O(A2 ) .
N
Ist ein statistischer Fehler der Großenordnung δA ∼ 10−7 erwünscht (das entspricht
einer relativen Genauigkeit von etwa 1%), so können die Terme der Ordnung A2 ∼
23
24
KAPITEL 2. PARITÄTSVERLETZUNG UND STRANGENESS IM NUKLEON
10−10 in der letzten Formel vernachlässigt werden. Somit ist die Anzahl der nachzuweisenden Ereignisse N = (δA)−2 ∼ 1014 .
Typische Gesamtmesszeiten für eine der hier besprochenen Messungen betragen ungefähr tausend Stunden. Daher muss die Zählrate, mit der die Signalereignisse registriert werden, in der Größenordnung von 10 MHz liegen. Dafür müssen
Luminosität und Detektorakzeptanz größtmöglich gewählt werden.
Die Luminosität setzt sich als Produkt von Strahlstrom, Targetdichte und Targetlänge zusammen. Der Strahlstrom ist an MAMI beschleunigertechnisch kein limitierender Faktor, denn Strahlströme bis zu 100 µA sind erreichbar. Beschränkend
ist jedoch die Wärmeleistung, die der Elektronenstrahl im Target deponiert und die
proportional zum Strahlstrom ist. Um die höchstmögliche Targetdichte zu gewinnen, hält man das Target durch ein Kühlungssystem in der flüssigen Phase. Das
Target-Kühlungssystem muss in der Lage sein, die vom Elektronenstrahl deponierte Wärmeleistung zu verkraften, was einen Grenzwert für den Strahlstrom setzt.
Die Länge des Targets kann aus zwei Gründen nicht beliebig groß gewählt
werden. Erstens erfahren die Strahlelektronen durch Streuung und Bremsstrahlung
Energieverluste, Ablenkungen und Depolarisation entlang des Targets, die zum systematischen Fehler der Messung beitragen. Zweitens ist bei einem sehr langen Target der Streuwinkelbereich, der in der Detektorakzeptanz enthalten ist, sehr umfangreich, was zu einer großen Streuung der Impulsüberträge bei den nachgewiesenen
Streuereignissen führt. Wichtig wäre aber, dass der q 2 -Wert in der Messung gut
bekannt und möglichst wenig gestreut sei. Dasselbe Argument erzwingt eine Begrenzung der Winkelabdeckung des Detektors, denn je größer die Winkelakzeptanz,
desto breiter ist die q 2 -Verteilung.
Schließlich setzt die maximale Aufnahmerate des Detektors eine Grenze für die
Rate der nachzuweisenden Streuereignisse, und dadurch wird die zulässige Luminosität insgesamt begrenzt.
Systematische Unsicherheit. Die Größenordnung der Helizitätsasymmetrie bedeutet auch eine Herausforderung für die Beherrschung der systematischen Fehler. In dieser Hinsicht richtet sich der Hauptaugenmerk beim Entwurf von ParitätsStreuexperimenten auf die sogenannten helizitätskorrelierten Verschiebungen der
Strahlparameter und der Targetdichte. Hängt eine dieser Größen systematisch vom
Helizitätszustand ab, d.h., ist ihr Mittelwert während der Messung mit den jeweiligen Polarisationsrichtungen unterschiedlich, so können sich Verschiebungen im
gemessenen Asymmetriewert ergeben. Um diese apparativen Asymmetriebeiträge
zu unterdrücken und abschätzen zu können, müssen Strahlparameter und Targetdichte ständig überwacht und womöglich durch Rückkopplungen geregelt werden.
In anderen Worten muss die Strahlqualität für Paritätsexperimente im Vergleich zu
anderen “Standard”-Experimenten an Elektronenbeschleunigern deutlich verbessert
werden, und die Strahlparameter müssen deutlich genauer gemessen werden.
Ein anderer wichtiger Schwerpunkt der betrachteten Experimente ist die Mes-
2.3. BISHERIGE MESSUNGEN
sung der Strahlpolarisation. Die Standardmethoden zur Polarisationsmessung haben
eine absolute Genauigkeit von einigen Prozenten, und somit dominiert normalerweise die Unsicherheit der Polarisation den systematischen Fehler der Helizitätsasymmetrie. Da die Polarisationswerte in der Regel groß sind und um die 80%
betragen, ist diese Genauigkeit angesichts des relativen Fehlers der Helizitätsasymmetrie hinreichend. Solche Unsicherheiten werden hingegen für die Extraktion der
Strangequark-Beiträge kritisch, weil diese im Vergleich zur gemessenen Asymmetrie sehr klein sind, wie man a posteriori sagen kann. Unter diesem Aspekt wird die
Strahlpolarisationsmessung zu einem wichtigen Thema bei Paritätsexperimenten.
Ein Überblick der experimentellen Methoden, die bei Elektronen-Streuexperimenten zur Messung der paritätsverletzenden Asymmetrie und der StrangequarkFormfaktoren angewandt werden, sowie eine Auflistung der existierenden Experimente wird in [37] gegeben.
2.3 Bisherige Messungen
Die neue Generation von paritätsverletzenden Elektronenstreuung-Experimenten ist ausdrücklich zur Messung der Strangness-Vektorformfaktoren konzipiert worden. Insgesamt vier solcher Experimente an drei verschiedenen Elektronenbeschleunigern wurden aufgebaut. Das erste von diesen war das SAMPLE-Experiment am
MIT-BATES. Zwei weitere Experimente – HAPPEx und G0 – werden am ThomasJefferson-Beschleuniger (TJNAF) durchgeführt. Schließlich wird das Experiment
der A4-Kollaboration an Mainzer Mikrotron (MAMI) betrieben.
2.3.1 SAMPLE
Das an der MIT-BATES-Anlage durchgeführte SAMPLE-Experiment ergab zwischen 1998 und 2001 die ersten Messungen der paritätsverletzenden Asymmetrie
zur Untersuchung der Nukleonstruktur. Ein Review des SAMPLE-Experiments findet man in der Ref. [42]. Eine schematische Darstellung des Experimentes ist in
Abb. 2.1 gezeigt. Der Nachweis von gestreuten Elektronen basiert auf einem flussintegrierenden Luft-Cherenkov-Detektor. Die Streuwinkelakzeptanz war unter Rückwärtswinkeln zwischen 130◦ und 170◦ .
Insgesamt wurden drei Messungen durchgeführt. Mit Wasserstoff bei einer Strahlenergie von 200 MeV (|q 2 | = 0.1(GeV/c)2 ) und mit Deuterium (quasielastische
Streuung) bei 125 MeV (|q 2 | = 0.04(GeV/c)2) und bei 200 MeV (|q 2 | = 0.09
(GeV/c)2 ). Sehr wichtig sind die Deuterium-Messungen für die Separation von
GsM und GA . Durch solche Messungen werden die Modellrechungen von GA [41]
bestätigt, die bei den anderen Experimenten als theoretischer Input zur Extraktion
der Strangeness-Beiträge verwendet werden.
25
26
KAPITEL 2. PARITÄTSVERLETZUNG UND STRANGENESS IM NUKLEON
Abbildung 2.1: Das SAMPLE-Experiment am MIT-BATES-Beschleuniger [42]. Der
Elektronenstrahl wurde sowohl an einem Wasserstoff- als auch an
einem Deuterium-Target gestreut. Rückgestreute Elektronen erzeugten
Cherenkov-Strahlung in der Luft, die mit Hilfe von Spiegeln auf 10
gut abgeschirmte Photomultiplier fokussiert wurde. Das gemessene Signal war proportional zum Fluss der gestreuten Elektronen. Obwohl bei
den gewählten Strahlenergien (125 MeV und 200 MeV) der Untergrund
von inelastischen Prozessen sehr unterdrückt war, musste der Beitrag von
Pion-Zerfallprodukten durch Monte-Carlo-Simulationen abgeschätzt werden, und eine wichtige Korrektur zur resultierenden Asymmetrie wurde
angebracht.
Die Messung am Wasserstoff [44] ergab:
s
T =1
APV
H2 (200MeV) = (−5.61±0.67stat ±0.88syst )ppm = −5.56+3.37GM +1.54GA
Die Rechnung von Zhu et al. [41] ergibt GTA=1 = −0.83 ± 0.26, was GsM bestimmt
zu:
GsM = 0.37 ± 0.20stat ± 0.26syst ± 0.07rad.corr. .
Der letzte Fehler stammt aus der Rechnung des Axialformfaktors.
Die Resultate der Messungen mit Deuterium-Target [43] sind:
T =1
s
APV
D2 (200MeV) = (−7.77 ± 0.73stat ± 0.62syst )ppm = −7.06 + 0.77GM + 1.66GA
s
T =1
APV
D2 (125MeV) = (−3.51 ± 0.57stat ± 0.58syst )ppm = −2.14 + 0.27GM + 0.76GA
Alle SAMPLE Messungen sind in Abb. 2.2 graphisch zusammengefasst.
2.3. BISHERIGE MESSUNGEN
SAMPLE, MIT-Bates
D2
Q2=0.1 (GeV/c)2
Zhu, et al.
H2
•Backward angles
•target: p, d
APV = (-5.61 ± 0.67 ± 0.88) ppm
Using Zhu et al. for GAe(T=1):
GMs = 0.37 ± 0.20 ± 0.26 ± 0.07
Abbildung 2.2: Resultate des SAMPLE-Experiments. Links sind die Messungen
bei
13
2
T
=1
s
0.1 (GeV/c) am Wasserstoff und Deuterium auf der GA -GM -Ebene
aufgezeichnet [43]. Die Ein- bzw. Zwei-Standardabweichungen entsprechenden Bänder sind aufgetragen. Die violette Ellipse ist die sich aus den
Messungen ergebenden 2σ-Bedingung für die beiden Formfaktoren. Der
grüne Band ist die Modellrechnung des axialen Formfaktors nach Zhu et
al. [41] und die gelbe Ellipse die Bedingung, die sich aus der Kombination der Rechnung und der H2 -Messung ergibt. Beide Ellipsen sind in
Übereinstimmung. Rechts werden die gemessenen Asymmetriewerte (volle Punkte) für die beiden Deuterium-Messungen zusammen mit den Asymmetrien aus der Modellrechnung [41] für GA (leere Punkte) unter der Annahme GsM = 0.15 n.m. gezeigt. Die graue Bänder zeigen die Variation
der berechneten Asymmetrie durch eine Änderung von GsM um ±0.6 n.m.
[42].
2.3.2 HAPPEx
Das “Hall A Proton Parity Experiment” (HAPPEx) ist in der Halle A am TJNAF
aufgebaut [46]. Der Detektor besteht aus zwei hochauflösenden magnetischen Spektrometern, die eine sehr gute Trennung der elastischen Ereignisse von den inelastischen erlauben. Im Vergleich zu den anderen Paritätsexperimenten ist der abgedeckte Raumwinkel beim HAPPEx sehr klein. Um eine genügend hohe Rate zu
erreichen, wurden die Spektrometer unter einem kleinen Winkel aufgestellt. Bei
der ersten Messung [46, 47] betrug dieser Winkel 12◦ , und dies entsprach bei einer
Strahlenergie von 3.3 GeV einem q 2 von −0.48(GeV/c)2 . Die gemessene Asymmetrie und die darausfolgende Linearkombination von GsE und GsM sind:
A = (−15.05 ± 0.98stat ± 0.56syst ) ppm
27
KAPITEL 2. PARITÄTSVERLETZUNG UND STRANGENESS IM NUKLEON
0.10
0.05
SAMPLE
0.15
GsE
28
A4
HA
PP
Ex
-H
0.00
HAPPEx-He
−0.05
−0.10
−0.15
q 2 = −0.1 (GeV/c)2
−1.0
−0.5
0.0
GsM
0.5
1.0
Abbildung 2.3: Messresultate für GsE und GsM bei |q 2 |∼0.1(GeV/c)2 . Für das SAMPLEBand [44] wurde der von Zhu et al. [41] berechnete Wert von GA verwendet. Für die anderen Resultate ist das irrelevant, da alle VorwärtswinkelMessungen sind. Das A4-Band entspricht die Messung mit einer Strahlenergie von 570 MeV [45]. Die Ellipsen entsprechen den Bereichen von
68.3% bzw. 95.5% confidence level und wurden unter Berücksichtigung
aller Korrelationen berechnet.
GsE + 0.392GsM = 0.014 ± 0.020exp ± 0.010FF ,
wobei der mit FF bezeichnete Fehler die Unsicherheit der elektromagnetischen Nukleonformfaktoren enthält.
Zwei weitere Messungen bei kleinerem Streuwinkel (6◦ ), mit einer Strahlenergie von 3 GeV und q 2 ∼ −0.1(GeV/c)2 wurden für die quasielastische Streuung
an einem 4 He-Target bzw. für die elastische Streuung am Wasserstoff durchgeführt.
Durch die Messung am Helium kann der elektrische Strangeness-Formfaktor GsE
sauber bestimmt werden. Die erhaltenen Asymmetrien und Linearkombinationen
von Formfaktoren sind [48, 49, 50]:
AHe = (+6.40 ± 0.23stat ± 0.12syst )ppm
GsE = 0.002 ± 0.014exp ± 0.007FF
AH = (−1.58 ± 0.12stat ± 0.04syst )ppm
GsE + 0.09GsM = 0.007 ± 0.011stat ± 0.004syst ± 0.005FF
Die HAPPEx-Resultate zusammen mit den anderen Messungen bei diesem q 2 sind
in Abb. 2.3 dargestellt. Verwendet man all diese Messergebnisse für einen gemein-
2.3. BISHERIGE MESSUNGEN
Abbildung 2.4: Aufbau des G0-Experiments. Rückgestoßene Protonen werden von einem
toroidalen Magnetfeld auf eine φ-symmetrische Anordnung von Plastikszintillatoren fokussiert und hier gezählt. Die Separation der Untergrundbeiträge von geladenen Pionen und inelastisch rückgestoßenen Protonen
erfolgt durch Flugzeitmessung.
samen χ2 -Fit, so erhält man als beste Werte und Standardfehler für GsM und GsE :
GsM = 0.19 ± 0.29 ,
GsE = −0.002 ± 0.022 .
Die entsprechenden 68.3%- und 95.5%-Vertrauensbereiche sind in Abb. 2.3 als Ellipsen aufgezeichnet.
2.3.3 G0
Das G0-Experiment [51, 52] findet am TJNAF (Hall C) statt. Der Aufbau wurde anfangsweise für die Messung der Helizitätsasymmetrie in der Vorwärtsstreuung
am Proton entworfen. Die große Besonderheit im Konzept des G0-Apparats ist, dass
statt der gestreuten Elektronen die rückgestoßenen Protonen nachgewiesen werden.
Der Detektor (Abb. 2.4) besteht aus acht supraleitenden Magneten, die ein toroidales Magnetfeld erzeugen, das die Teilchen je nach ihrem Impuls auf unterschiedlichen Plastikszintillatoren fokussiert. Durch Anwendung eines gepulsten Strahls
können durch Flugzeit-Messung die elastisch gestoßenen Protonen von den geladenen Pionen sowie von den Protonen aus inelastischer Streuung getrennt werden.
Wie im Falle des A4-Experiments werden einzelne Ereignisse gezählt. Die Winkelakzeptanz des Spektrometers liegt zwischen 60◦ und 75◦ . Dieser Winkelbereich
der nachgewiesenen Protonen entspricht mit einer Strahlenergie von 3 GeV einem
Streuwinkelbereich für elastisch gestreuten Elektronen zwischen 7◦ und 15◦ . Somit
kann die Messung der Asymmetrie bei verschiedenen q 2 -Werte zwischen −0.1 und
−1 (GeV/c)2 gleichzeitig erfolgen, und es besteht die Möglichkeit, den q 2 -Verlauf
29
30
KAPITEL 2. PARITÄTSVERLETZUNG UND STRANGENESS IM NUKLEON
Abbildung 2.5: Vorwärtswinkel-Resultate vom G0-Experiment [51]. Auf der y-Achse ist
die Linearkombination der Strangeness-Vektorformfaktoren aufgetragen,
die proportional zu APV −A0 ist. Die inneren Fehlerbalken entsprechen der
statistischen Unsicherheit, die äußeren der gesamten. Die grauen Bänder
zeigen die gesamte systematische Unsicherheit (oben) und den Teil davon
(unten), der vom theoretischen Fehler von A0 stammt. Die Nulllinie hängt
von A0 ab und wurde mit der Formfaktor-Parametrisierung von Kelly [53]
berechnet. Die Kurven in der unteren Tafel zeigen den Null-StrangenessVerlauf unter Verwendung anderer Parametrisierungen. Gestrichelt: Friedrich und Walcher [54]. Punktiert: “Rosenbluth”-Methode von Arrington
[55] für das Proton und Kelly [53] für das Neutron. Die zwei runden Punkten sind die HAPPEx-Messungen. Für die A4-Resultate ist der Parameter η
aufgrund des sehr unterschiedlichen Streuwinkels inkompatibel mit diesem
Plot, daher werden sie nicht aufgezeichnet.
der Strangeness-Beiträge zur Asymmetrie zu bestimmen, wie in Abb. 2.5 gezeigt
wird.
Kapitel 3
A4-Experiment
Der experimentelle Aufbau des A4-Versuchs entspricht dem Standardentwurf
eines Teilchen-Streuexperimentes. Die Mainzer Experimentieranlage MAMI verfügt über einen Elektronenbeschleuniger, der einen kontinuierlichen, polarisierten
Elektronenstrahl erzeugt. Der Strahl wird an einem Flüssigwasserstoff-Target gestreut und die gestreuten Teilchen durch ein Detektorsystem nachgewiesen.
In diesem Kapitel werden die verschiedenen Bestandteile des Experiments vorgestellt. Da ein sich Teil dieser Arbeit mit der Untersuchung der Detektorantwort
befasst, wird eine eingehendere Beschreibung des Nachweisapparats gegeben.
3.1 Allgemeine Beschreibung
Die Hauptbestandteile des experimentellen Aufbaus sind in Abb. 3.1 dargestellt.
Essentiell für die Erzeugung eines hochenergetischen polarisierten Elektronenstrahl
sind die Photoeffekt-Elektronenquelle und der MAMI-Beschleuniger. Die Polarisation des Strahls wird mit zwei verschiedenen Polarimetern absolut gemessen: Einmal pro Woche mit einem in der A1-Spektrometerhalle gelegenen Møller-Polarimeter und “online” mit dem A4-Compton-Rückstreupolarimeter. Dazu werden die
Polarisationsschwankungen mit einem Transmissions-Compton-Polarimeter überwacht, welches sich hinter dem Target unmittelbar vor dem Strahlfänger befindet.
Der Elektronenstrahl soll an einem Protontarget gestreut werden. Dafür wird
ein Hochleistungs-Flüssigwasserstofftarget verwendet. Die Dichtefluktuationen des
Targets werden durch acht Wasser-Cherenkov-Luminositätsmonitore überwacht.
Das Detektorsystem besteht aus einem elektromagnetischen Kalorimeter zur
Spektroskopie der Streuprodukte und aus einem Plastik-Szintillationszähler für die
Elektronenidentifizierung bei Rückwärtswinkel-Messungen, wo eine Trennung des
Signals vom γ-Untergrund nötig ist. Diese Aspekte werden in den nächsten Kapiteln detailliert behandelt.
In den nächsten Abschnitten werden Details über alle Bestandteile des Experimentes präsentiert.
31
32
KAPITEL 3. A4-EXPERIMENT
MAMI
Linac
HDSM
Polarisierte e− -Quelle
RTMs
Compton-Rückstreupolarimeter
MøllerPolarimeter
ℓ-H2 -Target
Detektor
PbF2 -Kristalle
Luminositätsmonitore
Transmission-ComptonPolarimeter
PlastikSzintillatoren
Abbildung 3.1: Schematische Darstellung des A4-Experimentaufbaus. Ein polarisierter
Elektronenstrahl wird durch eine Photoquelle erzeugt und in den vierstufigen MAMI-Beschleuniger eingespeist. Nachdem der beschleunigte
Strahl durch ein Compton-Rückstreupolarimeter geführt worden ist, wird
er an einem Flüssigwasserstoff-Target gestreut. Die Streuprodukte werden
vom A4-Detektorsystem nachgewiesen. Vor dem Strahlfänger befindet sich
noch ein Transmissions-Compton-Polarimeter zur Überwachung der Polarisationsschwankungen. Wöchentlich wird der Strahl in die A1-Halle geleitet, um eine Møller-Polarisationsmessung durchzuführen.
3.1. ALLGEMEINE BESCHREIBUNG
33
SL-Photokathode
PockelsZelle (λ/4)
LASER
LinearPolarisator
GVZ
(λ/2)
Drehbare
λ/2-Platte
1111
0000
0000
1111
0000
1111
0000
1111
100 kV
e−
Quad.-Triplett
Zum Injektor
270◦ -Dipol
Wien-Filter
Abbildung 3.2: Schematische Darstellung der polarisierten Elektronenquelle.
3.1.1 Polarisierte Quelle
Zweck der Elektronenquelle ist, einen polarisierten Elektronenstrahl zu erzeugen, der in den MAMI-Beschleuniger eingespeist werden soll, wobei die Anforderungen des A4-Experimentes an die Strahlqualität sehr hoch sind. Einerseits erfordert die kleine zu messende Asymmetrie einen hohen Strahlstrom (20 µA), einen
hohen Polarisationsgrad und eine schnelle (50 Hz) Umschaltung der Polarisationsrichtung. Andererseits müssen alle systematischen Effekte unter Kontrolle sein. Am
wichtigsten hierbei ist, dass der Strahlstrom möglichst polarisationsunabhängig ist,
und die Spinrichtung genau bekannt und am besten nach Wunsch einstellbar ist.
Das Funktionsprinzip der polarisierten Elektronenquelle [56] ist in Abb. 3.2
schematisch dargestellt. Der Lichtstrahl eines Halbleiterlasers wird zuerst linearpolarisiert und dann durch eine Pockelszelle geführt. Die Pockelszelle ist ein doppelbrechendes optisches Gerät, das wie eine Wellenplatte wirkt, deren Phasenverschiebung durch die Anwendung eines longitudinalen elektrischen Feldes verändert werden kann. Dieses elektrische Feld kann elektronisch mit einem 50 Hz-Takt umgeschaltet werden, damit die Phasenverschiebung in der Zelle von +λ/4 zu −λ/4 und
umgekehrt gewechselt wird. Die lineare Polarisation des einfallenden Lichts wird
dadurch in eine rechts- bzw. linkshändige Zirkularpolarisation umgewandelt.
Der zirkularpolarisierte Lichtstrahl trifft die Oberfläche einer Photokathode, aus
der durch Photoeffekt Elektronen ins Vakuum ausgestoßen werden. Diese Elektronen werden dann durch eine Hochspannung von 100 kV extrahiert und beschleunigt.
Der so entstandene Elektronenstrahl wird anschließend fokussiert und durch einen
Ablenkmagnet in den Linac-Injektor des MAMI-Beschleunigers eingespeist.
Damit der Elektronenstrahl polarisiert ist, muss die Polarisation des Laserstrahls
bei der Photoemission an die aus dem Kathodenkristall ausgelösten Elektronen
34
KAPITEL 3. A4-EXPERIMENT
Leitungsband
S1/2
Eγ
σ = +1
P3/2
∆E
Valenzband
P1/2
Mj
−3/2
−1/2
+1/2
+3/2
Abbildung 3.3: Vereinfachtes Niveausschema einer anisotropen Kristallanordnung
(Strained-Layer oder Super-Lattice). Die Entartung der P3/2 -Niveaus
wird aufgrund der Gitteranisotropie aufgehoben, und es entsteht eine
Aufspaltung ∆E zwischen den Mj =±1/2- und Mj =±3/2-Niveaus. Mit
zirkularpolarisierten Photonen der scharf ausgewählten Energie Eγ ist nur
noch der Übergang zum Leitungsbandzustand Mj =−1/2 möglich, was
eine Polarisation der herausgelösten Elektronen bedeutet.
übertragen werden. Dies geschieht bei Kristallgittern mit reduzierter Symmetrie,
typischerweise Kristalle mit einer bevorzugten Richtung. Hierbei treten Aufspaltungen in den Valenzniveaus auf, die zur Selektion gewisser Übergänge führen und
letztendlich zur Polarisation der herausgelösten Elektronen. Eine vereinfachte Beschreibung dieses Effektes ist in Abb. 3.3 geschildert. Der Photoemissionsübergang
liegt dabei zwischen einem P-Zustand des Valenzbands und einem S-Zustand des
Leitungsbands. Die Energie der absorbierten Photonen ist sehr scharf um einen bestimmten Wert Eγ gepikt, was wegen der von der Spin-Bahn-Kopplung verursachten Niveausaufspaltung Übergänge aus den P1/2 -Zuständen ausschließt. Aufgrund
der Zirkularpolarisation des Lichtes (in dem Beispiel ist die Helizität rechtshändig)
entsteht die Auswahlregel ∆Mj = +1. Die einzigen erlaubten Übergängen sind in
Abb. 3.3 gezeichnet. Wegen der Anisotropie des Kristallgitters hebt sich weiterhin die Entartung der P3/2 -Zuständen auf. Die kleine aufgetretene Aufspaltung ∆E
reicht aus, um den in Abb. 3.3 als durchgezogene Linie gezeichneten Übergang zu
selektieren. Der Spin der Elektronen im Endzustand ist somit festgelegt, und der
erzeugte Strahl ist polarisiert.
Bei der polarisierten Quelle an MAMI wird ein Gallium-Arsenid-Kristall (GaAs)
verwendet. Um eine anisotropische oder uniaxial deformierte Anordnung zu erhalten, werden entweder “Strained-Layer”- oder “Superlattice”-Kristalle eingesetzt.
Bei Strained-Layer-Kathoden lässt man den Kristall auf einem Puffer wachsen, der
aus eine Mischung von GaAs und GaP besteht (GaAs0.7 P0.3 ). Da die Gitterkonstante dieser Mischung von der von GaAs leicht abweicht, wächst das Kristall in eine
3.1. ALLGEMEINE BESCHREIBUNG
Richtung angespannt. Ein Superlattice (SL, Übergitter) ist eine periodische Abfolge
einer Heterostruktur, bei der die beteiligten Komponenten aus Schichten von wenigen Monolagen bestehen. Somit ist die Symmetrie auf der Schichtebene anders als
die in der senkrechten Richtung. Die beiden Komponenten können dieselbe Gitterkonstante besitzen und daher ist keine Gitterspannung vorhanden. Da keine Relaxation auftreten kann, ist das Gitter mechanisch stabiler als bei Strained-Layers, was
ein Vorteil von Superlattices ist. Die an MAMI eingesetzte SL-Photokathode enthält
die Heterostruktur In0.16 Al0.2 Ga0.64 As/Al0.28Ga0.72 As, mit der die besten Polarisationswerte (bis 80%) erzielt werden [57].
Ein großer Aufwand wird beim Aufbau und Betrieb der polarisierten Quelle
getrieben, um alle unerwünschten systematischen Effekte zu minimieren, die die
Asymmetriemessung verfälschen können.
Ein solcher Effekt ist die Strahlstromasymmetrie, die sich auf die zu messende Asymmetrie aufsummiert. Diese Asymmetrie kann zustande kommen, wenn
die Quantenausbeute an der Photokathode nicht gleich für beide Polarisationseinstellungen ist. Dies liegt meistens daran, dass die Einstellungen der Pockelszelle
nicht exakt Phasenverschiebungen von ±λ/4 entsprechen. Dadurch behält das Licht
einen kleinen Anteil an Linearpolarisation, der zudem je nach Einstellung unterschiedlich sein kann. Darüber hinaus können sowohl das Vakuumfenster vor der
Photokathode als auch die Kathode selbst (etwa bei nicht isotroper Relaxation) auf
das Licht doppelbrechend wirken und dessen Polarisation weiter beeinflussen. Die
auf dieser linearen Polarisation beruhende Stromasymmetrie kann aber durch eine weitere Kompensator-Halbwellenplatte minimiert werden. Diese befindet sich
zwischen Pockelszelle und Kathode (Abb. 3.2) und ihre Achse kann um die Strahlrichtung gedreht und unter einem beliebigen Winkel zum Anfangspolarisator eingestellt werden. Die Übertragungsfunktion der Polarisation vom Anfangspolarisator zur Kathode ist eine ziemlich komplizierte Funktion dieses Winkels [57] und die
resultierende Stromasymmetrie hängt durch eine oszillierende Funktion mit ihm zusammen. Diese Funktion kann direkt vermessen und die Kompensatorwellenplatte
entsprechend optimal eingestellt werden.
Eine weitere wichtige Komponente der Elektronenquelle ist der sogenannte
Wien-Filter [58]. Dieses Gerät wird dafür verwendet, die Spinrichtung der longitudinal polarisierten Elektronen zu drehen und beliebig einzustellen. Der Wien-Filter
besteht aus einer Kavität, in der ein in die vertikale Richtung zeigendes magnetisches Feld und ein zu ihm senkrechtes elektrisches Feld erzeugt werden. Beide Feldrichtungen stehen senkrecht auf der Strahlausbreitungsrichtung, und die Feldstärken
sind so ausgewählt, dass die Lorentzkraft und die elektrostatische Kraft sich genau
ausgleichen. Beim Durchlauf durch den Filter werden dann die Elektronen zwar
nicht abgelenkt, aber der Elektronenspin erfährt eine Thomas-Präzession, die durch
geeignete Wahl der magnetischen und elektrischen Feldstärke einen gewünschten
Winkel zwischen −90◦ und +90◦ erreichen kann. Unter Berücksichtigung der weiteren Präzessionen entlang des Beschleunigers ist es möglich, die Spineinstellung
35
36
KAPITEL 3. A4-EXPERIMENT
am Experimentort bei jeder Strahlenergie nach Wunsch einzustellen.
Zuletzt muss eine weitere Halbwellenplatte erwähnt werden, die für das A4Experiment bedeutsam ist. Diese befindet sich vor der Pockelszelle und kann in
den Laserstrahl hinein- und herausgefahren werden. Ihre Achse steht unter 45◦
zum Anfangspolarisator und dadurch wird die Linearpolarisation um 90◦ gedreht,
was das Vorzeichen der Zirkularpolarisation nach der Pockelszelle ändert. Sie wird
Generalvorzeichen-Wechsler (GVZ) genannt, denn das Vorzeichen der am Experiment gemessenen Asymmetrie muss sich umkehren, wenn sie hineingefahren wird.
Der Betrag der Asymmetrie sollte jedoch unverändert bleiben. Die GVZ-Wellenplatte kann daher für die Untersuchung systematischer Effekte verwendet werden.
Alle Besonderheiten bezüglich der polarisierten Quelle sowohl von der physikalischen als auch von der technischen Seite werden von Aulenbacher in [57]
detailliert beschrieben.
3.1.2 Beschleuniger
Der Lageplan des Beschleunigers ist in Abb. 3.4 aufgezeichnet. Der MAMIBeschleuniger [59] ist eine Elektronmaschine, die einen kontinuierlichen, polarisierten Strahl erzeugt. Die maximale Strahlenergie beträgt 1508 MeV mit einem
Strahlstrom bis 100 µA. Die Beschleunigung erfolgt durch einen Injektor-Linearbeschleuniger, drei aufeinander folgende Rennbahn-Miktrotrone (RTM, racetrack
microtron) und ein Harmonisches Doppelseitiges Mikrotron (HDSM), auch MAMIC benannt.
Ein RTM besteht aus einem Linearbeschleuniger und zwei 180◦ -Ablenkmagneten. Die Elektronen werden mehrmals im Linac beschleunigt und bei jedem Umlauf
folgen zwei Halbkreisbahnen in den Ablenkmagneten, die einen immer größeren
Radius haben. Deswegen ist für jeden Rücklauf eine bestimmte Strahlführung vorhanden. Die maximale Energie, die erreicht werden kann, ist von den Dimensionen
der Ablenkmagneten festgelegt. Beim größtmöglichen Rücklauf muss der Strahl
extrahiert werden.
Da bei jedem Umlauf denselben Linac benutzt wird, kann ein RTM nur funktionieren, wenn sich die Geschwindigkeit der Elektronen nach jeder Beschleunigung
nur geringfügig ändert. Deshalb müssen die in einen RTM eingespeisten Elektronen
schon ultrarelativistisch sein. Aus diesem Grund wird ein Injektor-Linearbeschleuniger gebraucht, der die Elektronen von der an der Photoquelle erreichten Extraktionsenergie von 100 keV auf die Injektionsenergie von 3.97 MeV des ersten RTMs
beschleunigt.
Die letzte Beschleunigungsstufe findet im HDSM MAMI-C statt [60]. Ein Doppelseitiges Mikrotron funktioniert sehr ähnlich wie ein normales Rennbahn-Miktrotron. Der Unterschied besteht darin, dass bei jedem Umlauf die Elektronen zweimal beschleunigt werden. Das HDSM besteht dann aus zwei Linacs und vier 90◦ Ablenkmagneten. Obwohl der Rest des Beschleunigers mit der Hochfrequenz von
3.1. ALLGEMEINE BESCHREIBUNG
37
Taggerhalle
Ex−Halle 4
A4
HDSM
RTM2
RTM1
Injektor−Linac
A2
10 m
Ex−Halle 3
RTM3
Polarisierte
Elektronenquelle
Spektrometerhalle
A1
Abbildung 3.4: Lageplan der Beschleunigeranlage MAMI am Institut für Kernphysik der
Universität Mainz. Das A4-Experiment befindet sich in den Experimentierhallen 3 und 4. In der Halle 3 ist das Compton-Rückstreupolarimeter sowie
der Ausleseelektronikturm “Medusa” aufgebaut. In der Halle 4 sind Target, Kalorimeter und Transmissions-Compton-Polarimeter installiert. Das
A1-Møller-Polarimeter befindet sich in der Spektrometerhalle.
38
KAPITEL 3. A4-EXPERIMENT
Tabelle 3.1: Beschleunigerparameter
RTM1
Eingangsenergie [MeV]
Ausgangsenergie [MeV]
Energiegewinn/Umlauf [MeV]
Umläufe
Magnetischer Fluss [T]
Magnetgewicht [t]
Größter Bahnumfang [m]
RTM2
RTM3
HDSM
3.97
14.86
0.599
18
14.86
180.0
3.24
51
180.0
855.1
7.50
90
855.1
1508
16.64 - 13.9
43
0.1026
1.3
0.964
0.555
43
2.17
1.2842
450
4.43
1.53 - 0.95
250
9.20
0.80
1
2.45
3.55
2
2.45
8.87
5
2.45
8.57 - 10.10
4-5
2.45 - 4.90
Linaclänge [m]
Anzahl der Klystrone
Frequenz [GHz]
2.45 GHz betrieben wird, muss die Grundfrequenz von MAMI-C 4.90 GHz betragen, um die Bedingung dynamischer Stabilität bei der festgelegten Hallenlänge zu
erfüllen. Doch für eine bessere longitudinale Strahlstabilität wird nur der erste Linac auf der doppelten Hochfrequenz eingestellt, während der zweite Linac auf 2.45
GHz läuft.
Die wesentlichen Parameter des Beschleunigeraufbaus werden der Vollständigkeit halber in der Tabelle 3.1 angegeben.
Sehr wichtig für das A4-Experiment sind die Überwachungs- und Regelungssysteme der Strahlparameter. Relevant sind dabei der Strahlstrom, die Energie, die
Lage und die Einfallsrichtung am Targetort. Fluktuationen dieser Parameter können
entweder helizitätskorreliert oder nicht helizitätskorreliert sein. Im ersten Fall führen
solche Fluktuationen zu einer breiteren Verteilung der gemessenen Asymmetriewerte. Im zweiten Fall verursachen sie eine Verschiebung des zentralen Wertes dieser
Verteilung, die korrigiert werden muss. Deswegen werden die Signale der Strahlmonitore im Laufe der Messung über die Zeitfenster von 20 ms zwischen sukzessiven
Polarisationsumschaltungen gemittelt und gespeichert.
3.1.3 Polarisationsmessung
Die im Experiment gemessene Asymmetrie Agemes ergibt sich als das Produkt
der gesuchten, physikalischen Asymmetrie Aphys mit der Strahlpolarisation P :
Agemes = P · Aphys .
(3.1)
Um Aphys aus der Messung zu extrahieren, muss die Polarisation möglichst genau
gemessen werden, denn der Messfehler von P geht direkt in den systematischen
Fehler von Aphys hinein.
3.1. ALLGEMEINE BESCHREIBUNG
Aus diesem Grunde werden für die A4-Messung vier verschiedene Polarimeter
verwendet. Jedes Polarimeter basiert auf einem unterschiedlichen Messprinzip und
bietet einen gegenseitig systematischen Test der Polarisationsmessung. Im folgenden wird die Funktionsweise jedes Polarimeters kurz erläutert und die Besonderheiten der jeweiligen Messung betont.
Mott-Polarimeter. Unter Mott-Streuung versteht man die elastische Streuung von
Spin-1/2-Teilchen an einem Coulomb-Potential, wie z.B. die Streuung von Elektronen an einem schweren Spin-0-Kern. Dabei müssen die Elektronen einen genügend
geringen Impuls tragen, damit die Kernstruktur nicht aufgelöst wird bzw. das Target einen vernachlässigbaren Rückstoß aufnimmt. Andererseits soll dieser Impuls
genügend groß sein, damit die Abschirmung durch die atomaren Elektronenhüllen
unbedeutend ist. Im Fall des MAMI-Mott-Polarimeters wird dieser Konzept dadurch realisiert, dass der Elektronenstrahl nach dem Injektor-Linac mit einer Energie von etwa 3.5 MeV auf eine Goldfolie geleitet wird. Aufgrund der Spin-BahnKopplung weist der differentielle Wirkungsquerschnitt eine azimutale Modulation
auf, deren Amplitude proportional zur transversalen Komponente des Elektronspins
ist und deren Extrempunkte auf der zur Impuls-Spin-Ebene senkrechten Richtung
liegen. Bei Umklappen der Spinstellung ändert sich das Vorzeichen dieser Modulation. Das führt zu einer Einzelspin-Asymmetrie in den bei festem φ-Winkel gemessenen Zählraten, die wie der Wirkungsquerschnitt moduliert und proportional zur
Strahlpolarisation ist.
Die Raten der elastischen Streuereignisse werden mit einem magnetischen Spektrometer gemessen, das sich unter einem für die Analysierstärke optimalen Streuwinkel befindet. In wenigen Minuten kann bei 80% Strahlpolarisation eine Messgenauigkeit der Asymmetrie von 1% erreicht werden. Insgesamt kostet diese Messung als Zeitaufwand für das A4-Experiment knapp eine Stunde und kann mehrmals
wöchentlich durchgeführt werden. Somit bietet sie eine systematische Überwachung
der anderen Polarisationsmessungen [57].
Eventuell kann das Mott-Polarimeter auch eigenständig geeicht werden und eine
absolute Polarisationsbestimmung ergeben. Der systematischer Fehler in der Analysierstärke beträgt aber zirka 4%, was für das A4-Experiment nicht optimal ist.
Møller-Polarimeter. Das Messprinzip des A1-Møller-Polarimeters wurde vom
Hall-C-Polarimeter am JLAB übernommen [61]. Es beruht auf der doppelt polarisierten Elektron-Elektron-Streuung (Møller-Streuung). Dabei wird der longitudinal polarisierte Elektronenstrahl an einem völlig magnetisierten Eisen-Target gestreut. Der Wirkungsquerschnitt der Møller-Streuung an den polarisierten EisenElektronen enthält einen Term, der proportional zum Produkt der Strahlpolarisation
mit der Targetpolarisation ist. Diese ist sehr genau bekannt, denn das Target, eine
10 µm dicke Reineisenfolie, wird mit Hilfe eines 4 T-Supraleitungsmagneten zur
Sättigung magnetisiert. Das Polarimeter ist in der A1-Spektrometerhalle aufgebaut
39
40
KAPITEL 3. A4-EXPERIMENT
Abbildung 3.5: Schematischer Aufbau des Transissions-Comptonpolarimeters.
und erreicht eine Messgenauigkeit von etwa 2% [62]. Diese Messung ist allerdings
mit einer zeitaufwendigen Umstellung und Optimierung der Strahlführung verbunden und kann bis acht Stunden dauern. Deswegen kann sie nur einmal wöchentlich
durchgeführt werden. Die notwendige Interpolation zwischen sukzessiven Messwerten wird durch das A4-Transmission-Comptonpolarimeter ermöglicht, führt aber
trotzdem zu einem systematischen Fehler bis 4% [63].
Jedenfalls ist die Møller-Messung bis zur Inbetriebnahme des A4-ComptonRückstreupolarimeter für das A4-Experiment die präziseste zur Verfügung stehende
absolute Polarisationsmessung gewesen.
Transmissions-Compton-Polarimeter. In dieser Variante der Compton-Polarimetrie wird ein longitudinal polarisierter Elektronenstrahl durch Bremsstrahlung
in einen zirkularpolarisierten γ-Strahl umgewandelt, dessen Polarisation dann bei
der doppeltpolarisierten Compton-Streuung an den Elektronen eines Magneten gemessen wird. Das A4-Transmissions-Compton-Polarimeter (TCP) befindet sich im
Strahlrohr vor dem Strahlfänger und ist im Betrieb seit 2002 [64]. Sein Aufbau
ist in Abb. 3.5 schematisch dargestellt. In zwei Graphit-Streuern wird der γ-Strahl
erzeugt und vom restlichen Elektronenstrahl gereinigt. Die Compton-Streuung findet in einem permanenten Sm2 Co17 -Magneten statt. Der daraus entstehende Elektronenfluss hängt von der Zirkularpolarisation der γ-Quanten ab und wird in einem Aluminium-Wandler vermessen. Aufgrund der Unkenntnis der Analysierstärke
kann kein absoluter Wert der Polarisation bestimmt werden. Dafür können aber
die Polarisationsschwankungen im Laufe der Messung “online” überwacht werden,
denn das TCP misst eine signifikante Compton-Asymmetrie für jeden fünfminutigen
Messlauf. Benutzt man die Messwerte der anderen Polarimeter als Eichung, so kann
man den zeitlichen Verlauf der Polarisation nachvollziehen (s. Abb. 3.6).
Eine weitere Anwendung des TCPs ist die Messung des Winkels der Spinrichtung zur Strahlachse am Experimentort. Die Compton-Asymmetrie ist proportional zur longitudinalen Strahlpolarisation. Wenn die Spinstellung mittels des Wien-
3.1. ALLGEMEINE BESCHREIBUNG
41
100
Polarisation [%]
80
60
GVZ OUT
GVZ IN
40
20
0
42500
43000
43500
Messlaufnr.
44000
Abbildung 3.6: Interpolation zwischen absoluten Polarisationsmessungen mittels des
TCPs. Die blauen Punkte sind Messwerte des Mott-Polarimeters, das helle Dreieck eine Møller-Polarimeter-Messung. Mit diesen wurde das TCP
geeicht und rote und grüne Punkte (GVZ “in” und “out”) sind die Echtzeitmessungen des TCPs, die die Überwachung der Polarisationsänderungen
ermöglichen.
TCP-Asymmetrie [ppm]
120
100
80
60
40
20
0
−20
−40
−80 −60 −40 −20
0
20
40
60
◦
Spinstellung nach Wien-Filter [ ]
80
Abbildung 3.7: Spindrehung durch den Wien-Filter und Bestimmung der Spinstellung am
Experimentort. Die Kurve ist ein Cosinus-Fit. Der Hochpunkt entspricht
einen longitudinalen Spin in der A4-Experimentierhalle. Die Phasenverschiebung entsteht durch die Spinpräzession entlang des Beschleunigers.
42
KAPITEL 3. A4-EXPERIMENT
Filters zwischen −π/2 und π/2 gedreht wird, zeigt die vom TCP gemessene Asymmetrie ein cosinusförmigen Verlauf, aus dessen Phase man den genauen Spinwinkel
ermitteln kann (s. Abb. 3.7).
Compton-Rückstreupolarimeter. Bei diesem Polarimeter wird die ComptonStreuung eines zirkularpolarisierten Laserstrahls an den Strahlelektronen ausgenutzt. Das Polarimeter ist in der Experimentierhalle 3 aufgebaut (Abb. 3.8) und
besteht aus folgenden Bestandteilen. Vier Dipolmagneten bilden eine magnetische
Schikane, die den Elektronenstrahl für eine etwa 2.5 m lange Strecke parallel versetzt [65]. Ein Intra-Cavity-Lasersystem erzeugt entlang der versetzten Strahlachse
einen zirkularpolarisierten Laserstrahl der Wellenlänge 514.5 nm (2.4 eV) [66]. Dieser überlappt sich mit dem Elektronenstrahl innerhalb der resonanten Laserkavität
und erfährt Compton-Streuung. Die in die Richtung des Elektronenimpuls zurückgestreuten Photonen nehmen bei 855 MeV e-Strahlenergie bis 26 MeV auf und
können in einem Lu1.8 Y0.2 SiO2 -Kalorimeter (LYSO) nachgewiesen werden [67].
Aufgrund des Impulsverlusts wird das streuende Elektron in den Ausgangsmagneten der Schikane aus der Strahlachse abgelenkt und von einem SzintillationsFaserdetektor in Koinzidenz mit dem γ-Photon detektiert. Das hilft, um den zum
Großteil vom Strahlhalo verursachten Bremsstrahlungsuntergrund im Photondetektor um etwa ein Faktor 10 zu unterdrücken [68].
Im LYSO-Detektor wird die Spinasymmetrie in der Anzahl der Compton-Ereignisse gemessen. In Abb. 3.9 wird ein Beispiel solcher Messung gezeigt. Unter
Umstellung der GVZ-Wellenplatte (s. Abs. 3.1.1) ändert sich nur das Vorzeichen
der Asymmetrie, ihr Betrag nicht. Diese setzt sich als Produkt von beiden Strahlpolarisationen und von der Compton-Asymmetrie zusammen, und aus ihrem Wert
kann die e-Strahlpolarisation absolut bestimmt werden. Die Genauigkeit der Messung ist bei kleinen Strahlenergien stark von der Statistik begrenzt. Bei 855 MeV
oder 1.5 GeV kann hingegen eine statistische Unsicherheit von 1% in etwa einem
Tag erreicht werden. Der systematische Fehler [68] ist vom Messfehler in der Laserpolarisation dominiert und wird zurzeit noch untersucht. Er wird voraussichtlich
auch in der Größenordnung von 1% liegen.
Der große Vorteil dieser Polarisationsmessung besteht darin, dass die Messung
gleichzeitig und mit denselben Strahlbedingungen wie der A4-Experimentbetrieb
durchgeführt werden kann.
3.1.4 Target und Luminositätsmonitore
Target. Als Proton- bzw. Neutrontarget werden beim A4-Experiment entweder
Flüssigwasserstoff oder Flüssigdeuterium verwendet. Um die Luminosität zu steigern, wird das Target in der flüssigen Phase gehalten, weshalb die Anwendung eines Kühlungssystems notwendig wird [69]. Dieses muss bei einem Strahlstrom von
20 µA in der Lage sein, Leistungen bis zu 100 W aufzunehmen. Außerdem ist es
3.1. ALLGEMEINE BESCHREIBUNG
43
Abbildung 3.8: Technische Zeichnung des Compton-Rückstreupolarimeters. Der Elektronenstrahl wird durch eine magnetische Schikane geführt und mit einem
polarisierten Laserstrahl überlappt. Die Compton-rückgestreuten Photonen
werden mittels eines Kalorimeters nachgewiesen.
1.5
Asymmetrie [%]
1
GVZ OUT
0.5
0
−0.5
GVZ IN
−1
−1.5
56350 56400 56450 56500 56550 56600
Messlaufnr.
Abbildung 3.9: Beispiel von gemessenen Compton-Asymmetrien gegen Messlaufnummer
bei 855 MeV Strahlenergie. Die Polarisation des Laserstrahls beträgt etwa
80% [66], und unter Berücksichtigung der Analysierstärke [68] erhält man
einen Wert für die Polarisation des Elektronenstrahls von (71±1)%, wobei
nur der statistische Fehler enthalten ist, während der systematische noch
abgeschätzt werden muss.
44
KAPITEL 3. A4-EXPERIMENT
234 mm
100 mm
66°
42°
40°
Strahl
160 mm
(a)
(b)
Abbildung 3.10: Schema der Targetzelle für (a) Rückwärtswinkel bzw. (b) Vorwärtswinkel.
Die Wandstärken von Aluminium-Targethut und -Düse betragen jeweils
250 µm und 200 µm. Die von (a) Austritts- bzw. (b) Eintrittsfenster beträgt 50 µm. Bei (a) wurde die Wandstärke an der Targetspitze (Eintrittsfenster) auf 100 µm verkleinert.
sehr wichtig, die Dichtenfluktuationen im Target möglichst zu unterdrücken. Insbesondere muss das Targetkochen vermieden werden, denn das führt zur Bildung von
Blasen, die großes Signalrauschen verursachen [70]. Da die Energie vom Strahl sehr
lokalisiert entlang der Strahlachse deponiert wird, muss in dieser Hinsicht die Targetflüssigkeit in einem turbulenten Zustand gehalten werden. Das wird geschafft,
indem der Flüssigwasserstoff im Kreislauf mit einem Fluss von mehreren hunderten Gramm pro Sekunde fließt. Somit kann das Target auf einer Temperatur von
etwa 14 K mit Fluktuationen im 10−3 -Bereich betrieben werden. Kühl- und Kreislaufsystem werden computergesteuert und alle Temperaturen und sonstige wichtige
Parameter alle 60 Sekunden gespeichert und zur Datenerfassung zur Verfügung gestellt.
Eine schematische Darstellung der Targetzelle ist in Abb. 3.10 gezeigt. Die
Länge der Zelle beträgt 10 cm für die Messung unter Vorwärtswinkeln und 23.4 cm
für Rückwärtswinkel. Diese Länge wird bei gegebener Messzeit durch die Optimierung des gesamten Asymmetriefehlers errechnet, bei dem außer der Statistik auch
die aus der Targetausdehnung stammende Unsicherheit in Q2 berücksichtigt wird
[63].
Die Targetzelle befindet sich innerhalb einer zylindrischen Aluminium-Vakuumkammer mit einem inneren Durchmesser von 84 cm und einer Wandstärke von
5 mm im Polarwinkelbereich der Kalorimeterakzeptanz, ansonsten 1 cm, um die
mechanische Stabilität zu sichern.
3.2. CHERENKOV-KALORIMETER
Luminositätsmonitore. Die Fluktuationen der Targetdichte werden mit Hilfe von
Luminositätsmonitoren überwacht. Führt man die Messung der Luminosität mit der
des Strahlstroms zusammen, so erhält man die Targetdichte. Schwankungen in diesem Wert können dieselben Auswirkungen auf die Asymmetrie haben wie schon
für die Strahlparameter besprochen. Sie können helizitätskorreliert oder -unkorreliert sein und zum systematischen bzw. statistischen Fehler beitragen.
Die Messung der Luminosität erfolgt durch acht Wasser-Cherenkov-Detektoren
[71], die an der Querwand der Vakuumkammer aufgebaut sind. Sie sind symmetrisch um die Strahlachse gelegen und decken den Raumwinkel zwischen 4.4◦ und
10◦ in Polarrichtung ab (s. Abb. 3.12). Das Signal L der Luminositätsmonitore
ist proportional zum Gesamtfluss der geladenen Teilchen, die in den abgedeckten
Raumwinkel gestreut werden. Genauso wie die Signale der Strahlmonitore wird
dieses Signal über Zeitfenster von 20 ms integriert und der Integrationswert nach
jedem Zeitfenster (Polarisationsumschaltung) gespeichert.
3.2 Cherenkov-Kalorimeter
Die Zählung der elastischen Streuereignisse erfolgt beim A4-Experiment durch
den Einarmnachweis einzelner elastisch gestreuter Elektronen. Da die Kinematik
der elastischen Streuung eine feste Beziehung zwischen Streuwinkel und Endenergie des Elektrons erzwingt, kann die Erkennung der elastischen Ereignisse durch die
Energiemessung der gestreuten Teilchen erzielt werden. Wenn einzelne Ereignisse
gezählt werden müssen, kann die Zählrate aufgrund der unvermeidlichen Totzeiten
des Detektors nicht beliebig groß sein. Dies setzt für die anwendbare Luminosität
eine Grenze, deren Wert kleiner als die technisch realisierbaren Werte ist. Wegen
der erwünschten großen Statistik ist dann eine große Raumwinkelakzeptanz erforderlich, was die Anwendung eines magnetischen Spektrometers ausschließt. Daher
entschloss sich die A4-Kollaboration für ein elektromagnetisches Kalorimeter [72].
3.2.1 Anforderungen an das Kalorimeter
Das elektromagnetische Kalorimeter soll folgende Anforderungen erfüllen:
• Es soll großen Zählraten (in der Größenordnung von 100 MHz) bewältigen
können;
• Das Energieauflösungsvermögen soll gut genug sein, um die Trennung der
elastischen Ereignisse von den inelastischen zu ermöglichen.
Diese Bedingungen haben die folgenden entscheidenden Kriterien für die Wahl
des Detektormaterials bestimmt:
• Kurze Abklingzeiten der Lichtpulse. Der Signalpuls jedes Ereignisses muss
eine möglichst kurze Zeitdauer haben, um die Totzeit zu verringern und das
45
46
KAPITEL 3. A4-EXPERIMENT
Pile-up zu unterdrücken. Dadurch sind Cherenkov-Strahler favorisiert, denn
dabei dauert der Lichtblitz genauso lang wie der elektromagnetische Schauer.
• Hohe Lichtausbeute. Die Energieauflösung ist von der Photonenstatistik am
Photomultiplierfenster dominiert und verbessert sich mit zunehmender einfallender Lichtintensität. Eine starke Lichterzeugung und eine gute Durchsichtigkeit (lange Absorptionlängen) im Wellenlängebereich der PhotomultiplierSensitivität sind optimal. Für Cherenkov-Strahler entspricht die Bedingung
der Erzeugung einer großen Lichtmenge einem hohen Brechungsindex.
• Strahlenfestigkeit. Um die nötige Statistik zu erreichen, muss man mit Messzeiten von mehreren tausend Stunden bei einem Strahlstrom von 20 µA rechnen, der eine Äquivalentdosisleistung in der Experimentierhalle im mSv/hBereich erzeugt. Das Detektormaterial darf unter diesen Bedingungen keine
erheblichen Strahlenschäden aufweisen.
• Hohe Dichte und kurze Strahlungslänge. Abgesehen von den technischen
Schwierigkeiten, große Detektormodule herzustellen, soll der Detektor ausreichend segmentiert sein, damit der Nachweis weiterer Ereignisse nur in
einen kleinen Bereich des Raumwinkels von der Totzeit eines Moduls gesperrt wird. Um andererseits Verminderungen der Energieauflösung durch
Schauerverluste zu vermeiden, müssen die Signale von mehreren Kanälen
summiert werden. Sind die Schauerausdehnungen viel größer als die Dimensionen eines Detektormoduls, so sprechen zu viele Module auf ein einzelnes
Ereignis an, und das Problem der Totzeitverluste tritt wieder auf. Um die Ausdehnung des elektromagnetischen Schauers zu begrenzen, sollte das Detektormaterial eine hohe Dichte und eine kurze Strahlungslänge besitzen.
Im Rahmen der Vorstudien zum Aufbau des A4-Experimentes wurden mehrere
Materialien, sowohl Cherenkov-Strahler als auch Szintillatoren, in Betracht genommen. Untersucht durch experimentelle Tests wurden die Eigenschaften von: BaF,
PbWO4 , Bleiglas SF5, flüssiges Xe und PbF2 [73, 74, 75, 76, 77]. Die letztendliche
Entscheidung fiel auf Bleifluorid (PbF2 ) [78].
3.2.2 Bleifluorid
Ein Überblick der Grundideen der elektromagnetischen Kalorimetrie mittels
Cherenkov-Strahler zusammen mit einer besonderen Betrachtung des Falles von
PbF2 wird in Kapitel 6 angegeben. In diesem Abschnitt werden die zu dieser Arbeit
relevanten Eigenschaften von PbF2 zusammengefasst.
PbF2 kann als kubischer oder orthorombischer Ionenenkristall erscheinen. Allerdings können großvolumige PbF2 -Kristalle (auf der cm3 -Skala) nur in der kubischen Form hergestellt werden. Es handelt sich um einen reinen Cherenkov-Strahler,
3.2. CHERENKOV-KALORIMETER
47
(a)
(b)
250
Absorptionslänge [cm]
Brechungsindex
2.1
2.0
1.9
1.8
1.7
300
400
500 600
λ [nm]
700
800
200
150
100
50
0
300
400
500 600
λ [nm]
Abbildung 3.11: Optische Eigenschaften von Bleifluorid als Funktion der Wellenlänge λ:
(a) Brechungsindex, (b) Absorptionslänge nach Bestrahlung mit einer
aufgenommenen Dosis von 100 Gy. Die Daten wurden von [76] genommen.
der keine Szintillationskomponente im ausgestrahlten Licht aufweist. Daher betragen die Abklingzeiten der Lichtpulse von PbF2 nur wenige Nanosekunden, die im
wesentlichen von der Ausbreitung des Lichtes entlang des Kristalles stammen, da
die Lichterzeugung sich praktisch instantan ereignet (typische Dauer ∼ 0.1 ns).
Die optischen Eigenschaften sind für ein Cherenkov-Material sehr wichtig, denn
sie bestimmen die Lichtausbeute. Entscheidend sind dabei der Brechungsindex und
die Absorptionlänge. Diese beiden Parameter von PbF2 sind in Abb. 3.11 aufgezeichnet. Die hohen Werte des Brechungsindex sorgen für eine gute Intensität (für
einen Cherenkov-Strahler) des ausgestrahlten Lichts (s. Kapitel 6 für quantitative
Abschätzungen). Außerdem ist PbF2 durchsichtig für Photonen im Wellenlängebereich, bei dem typischerweise die Sensitivität der Photomultiplier liegt (300600 nm). Diese Durchsichtigkeit nimmt zwar mit der aufgenommenen Strahlendosis ab, aber kann durch Ausbleichen mittels UV-Strahlung wieder erstellt werden.
Alle diese Aspekte der Strahlenschäden von PbF2 wurden von Achenbach et al.
[79] untersucht.
Die für den Durchgang von Teilchen relevanten physikalischen Eigenschaften von Bleifluorid sind in der Tabelle 3.2 zusammengefasst. Der große Bleianteil (85% vom Gewicht) bestimmt wesentlich die kernphysikalischen Charakteristika. Die kurze Strahlungslänge und der kleine Molière-Radius ermöglichen die
Absorption von großen Energiemengen in einem relativ kompakten Volumen. Die
kritische Energie, oberhalb derer radiative Prozesse über Stoßvorgänge dominieren
[40], ist bei hohem Z unvermeidlich klein. Das ist angesichts der Cherenkov-Lichtausbeute von Nachteil, weil die hochenergetische Schauerkomponente von γ-Quanten dominiert ist, aber dieser Effekt wird durch den hohen Brechungsindex ausgeglichen, bei dem schon niederenergetischen Elektronen und Positronen gut ober-
700
800
48
KAPITEL 3. A4-EXPERIMENT
Tabelle 3.2: Physikalische Parameter von PbF2 (die Werte wurden von [77] genommen).
Der Wert des mittleren Anregungspotentials wurde nach den Formeln von
Seltzer und Berger [80] berechnet. Mit effektiver Strahlungslänge wird hier
das Verhältnis der Strahlungslänge zur Dichte gemeint. Für die Definition des
Cherenkov-”Molière-Radius” siehe Text. Die kinetische Energieschwelle der
Cherenkov-Lichterzeugung für Elektronen und Positronen bezieht sich auf die
Wellenlänge 450 nm (Brechungsindex ≃1.8).
Dichte
Molekulargewicht
hZ/Ai
Mittleres Anregungspotential
Strahlungslänge
Eff. Strahlungslänge
Molière-Radius
Cherenkov-“Molière-Radius”
Cherenkov-Schwelle (e± )
Kritische Energie
7.77 g/cm3
245.21 g/mol
0.408
577.5 eV
7.22 g/cm2
0.93 cm
2.2 cm
1.8 cm
≃ 104 keV
9.04 MeV
halb der Cherenkov-Schwelle liegen. Der Vorteil bei dieser Gestaltung liegt daran,
dass die Lichtausbeute auch bei sehr kleinen Energien – vergleichbar mit der kritischen Energie – einen linearen Zusammenhang mit der deponierten Energie aufweist. Hierzu auch wird im Kapitel 6 eine ausführliche, quantitative Betrachtung
präsentiert.
3.2.3 Geometrie des Kalorimeters
In Abb. 3.12 ist eine technische Zeichnung des elektromagnetischen Kalorimeters gezeigt. Der Detektor ist zylindrisch und azimutal-symmetrisch. Zusammen
mit der Streukammer und dem Target ist er auf einer drehbaren Plattform aufgebaut, um Messungen sowohl unter Vorwärts- als auch unter Rückwärtswinkel zu
ermöglichen. Der abgedeckte Streupolarwinkelbereich ist 30◦ bis 40◦ unter Vorwärtswinkeln bzw. 140◦ bis 150◦ unter Rückwärtswinkeln.
Das Kalorimeter besteht aus 1022 Bleifluorid-Kristallen, die in sieben Ringen
angeordnet sind. Die Kristalle sind auf Aluminiumrahmen montiert (s. Abb. 3.12
oben), die wiederum mit zylindrischer Symmetrie um die Strahlachse aufgebaut
sind. Die genaue Position, Orientierung sowie Abmessungen der Kristalle sind im
Anhang A angegeben.
Die Abmessungen der Kristalle waren von der technischen Machbarkeit ihrer
Herstellung festgelegt. Die Länge der Kristalle beträgt je nach Ring zwischen 16
und 20 Strahlungslängen, was die vollständige Absorption der Energie der nachzuweisenden Teilchen gewährleistet. Da diese Energie mit dem Streuwinkel abnimmt,
3.2. CHERENKOV-KALORIMETER
Abbildung 3.12: Technische Zeichnung des Kalorimeters zusammen mit dem Szintillationstagger, der Vakuumkammer und der rotierbaren Plattform. In der oberen Ausschnittsvergrößerung wird die Anordnung der Kristalle auf einem
Aluminium-Trägerrahmen gezeigt.
49
KAPITEL 3. A4-EXPERIMENT
Quanteneffizienz
50
10−1
10−2
10−3
200
300
400
500
λ [nm]
600
700
800
Abbildung 3.13: Quanteneffizienz der XP2900-Photomultiplier von Photonis als Funktion der Wellenlänge. Die Kurve wurde durch die Spectral-SensitivityCharacteristics berechnet, die von [81] genommen wurde. Die Werte enthalten die Effekte der Transmittanz durch das Glasfenster und die Photoeffizienz der Kathode.
sind die Kristalle, die sich bei der Vorwärtsrichtung-Konfiguration unter größeren
Winkeln befinden, kürzer. Bei der Rückwärtswinkel-Konfiguration sind die zu messenden Energien deutlich niedriger, so dass die Kristalllängen keine Limitierung
bedeuten.
Die transversale Ausdehnung der Kristalle ist ausreichend, damit bei zentralem
Einschuss durchschnittlich 95% der bei einem elektromagnetischen Schauer entstehenden Cherenkov-Photonen innerhalb eines 3×3-Kristallenclusters ausgestrahlt
werden. Der Querschnitt der Kristalle beträgt ungefähr 28 mm×28 mm. Dieser Wert
muss mit dem in der Tabelle 3.2 mit Cherenkov-”Molière-Radius” bezeichnetem
C
Wert RM
verglichen werden. Dieser entspricht für die Cherenkov-Lichterzeugung
in einem elektromagnetischen Schauer dem gewöhnlichen Molière-Radius RM für
C
die Energiedeposition im Schauer. RM
ist kleiner als RM , weil die geladenen Teilchen, die am Rand des Schauers Energie deponieren, im Mittel kinetische Energien
unterhalb der Cherenkov-Schwelle besitzen.
Um die Lichtsammeleffizienz zu steigern, sind die Kristalle in einer reflektierenden Papierhülle aus Immobilon-P eingewickelt. Die Dicke dieser Papierfolien beträgt ungefähr 120 µm, und der Reflektionskoeffizient hat für Wellenlängen größer
als 280 nm einen nahezu konstanten Wert von etwa 95% [76, 77].
3.2.4 Photomultiplier und Ausleseelektronik
Das Cherenkov-Licht wird mittels konventioneller Photomultiplier-Röhren
(PMT) nachgewiesen. Die von diesen erzeugten Strompulse werden dann vom elektronischen Datenerfassungssystem MEDUSA ausgelesen, verstärkt, integriert und
3.2. CHERENKOV-KALORIMETER
digitalisiert. Im folgenden werden die für diese Arbeit relevanten Eigenschaften
von PMTs und Ausleseelektronik zusammengefasst.
Photomultiplier. Die für die Simulation der Detektorantwort wichtigste Eigenschaft der PMTs ist die Quanteneffizienz. Sie wird hier als die Anzahl der erzeugten Photoelektronen pro einfallendem Lichtquant definiert und beschreibt die gesamte Antwort des PMTs (nicht nur die der Photokathode). Die Effekte, die im
Wesentlichen diesen Parameter bestimmen, sind die Transmission durch das Eintrittsfenster und die Lichtsensitivität der Kathode. Bei den kurzen Wellenlängen
spielt das Glasfenster die entscheidende Rolle, denn unterhalb einer typischerweise im UV-Bereich liegenden Cutoff-Wellenlänge fällt die Transmittanz schnell auf
Null. Oberhalb der Cutoff-Wellenlänge ist sie ziemlich konstant und beträgt in der
Regel mehr als 90%. Bei großen Wellenlängen wird die Elektronemission an der
Photokathode bestimmend und auch hier gibt es einen Grenzwert, oberhalb dessen
keine Photoabsorption mehr möglich ist. Die Quanteneffizienz QE(λ) kann aus der
radiant sensitivity S(λ) berechnet werden. Diese Größe gibt das Verhältnis des an
der Anode gemessenen Stroms zur aufgestrahlten Lichtleistung an und hängt mit
der Quanteneffizienz folgendermaßen zusammen [81]:
W
124 · nm
%.
(3.2)
× S(λ)
QE(λ) ≃
λ
mA
Der Verlauf von S mit λ nennt sich Spectral-Sensitivity-Characteristics und wird
normalerweise vom Hersteller gemessen.
Im A4-Kalorimeter sind PMTs vom Typ XP2900 von Photonis aufgebaut [81].
Sie sind 98 mm lang und haben einen äußeren Durchmesser von 28.5 mm. Der
Durchmesser der Photokathode beträgt 24 mm und das Fenster besteht aus einem
Borosilikatglas, das eine Cutoff-Wellenlänge von 270 nm hat. Das Photokathodenmaterial ist ein Bialkalien-Antimonid aus SbKCs. Die Funktion QE(λ) ist in
Abb. 3.13 aufgezeichnet.
Ausleseelektronik. Die Ereignisrate im PbF2 -Kalorimeter liegt bei Vorwärtsstreuung in der Größenordnung von 100 MHz. Aufgrund dieser hohen Rate muss die
Logik der Datenerfassung grundsätzlich auf dem Hardwareniveau implementiert
sein, denn eine vereinfachte Datenaufnahme mit darauffolgender Offline-Analyse
benötigte eine ungeheure Speicherkapazität, die jenseits der Möglichkeiten der A4Kollaboration steht.
Die im elektronischen Datenaufnahmesystem implementierte Logik muss die
Ereignis-Identifikation, die Energiemessung und die Unterdrückung von Vielfachereignissen (Pile-up) gewährleisten. Das Signal von jedem Detektormodul wird daher
von einer Elektronikkarte verarbeitet, die folgende Algorithmen implementiert.
1. Ein von einem Streuereignis produzierter Strompuls wird erkannt und die
Hardware-Datenerfassung getriggert.
51
52
KAPITEL 3. A4-EXPERIMENT
ring 1
ring 2
R7
R6
R5
R4
R3
ring 3
R8
4
3
2
R2
ring 4
R9
5
0
1
R1
ring 5
R10
6
7
8
R16
ring 6
R11
R12
R13
R14
R15
ring 7
Abbildung 3.14: Schematische Zeichnung zur MEDUSA-Logik. Jeder Kasten stellt ein
Detektormodul dar. Zeile und Spalten entsprechen Kristallringen bzw.
Trägerrahmen (146 im ganzen Detektor). Die Kastenfarbe entspricht: Rot
- Lokalmaximum, gelb - “Nachbarmodule”, blau - “Randmodule”. Jedes Ereignis wird zum Lokalmaximum zugeordnet und das Signal von
allen Nachbarnmodulen wird analog aufsummiert. Zur Verwerfung von
Pile-up-Ereignissen wird die Präsenz von Lokalmaxima im ganzen 5×5Modulencluster innerhalb der Randzone geprüft. Ein Beispiel eines zu
verwerfenden Ereignisses ist rechts gezeigt.
2. Ein Ladungswert wird durch Integration des Pulses über ein Zeitfenster von
20 ns gemessen.
3. Nach den ersten 5 ns prüft ein Puls-Shaper, ob neue Pulse einkommen, um
Doppeltreff-Ereignisse zu verwerfen (“zeitliches Pile-up”).
4. Der Ladungswert wird mit den Werten der direkten Nachbarnmodulen (Kasten 1, 3, 5, 7 in Abb. 3.14) verglichen, um das räumliche Maximum (“Lokalmaximum”) zu finden und das Ereignis zu einem bestimmten Modul zuzuordnen.
5. Die Anwesenheit mehrerer Lokalmaxima innerhalb eines 5×5-Modulenclusters (s. Abb. 3.14) wird geprüft, um räumlich auflösbare Doppeltreffer zu
identifizieren. Somit wird das “räumliche Pil-up” unterdrückt.
6. Die Ladungswerte im 3×3-Modulencluster um das Lokalmaximum werden
analog aufsummiert. Der Ladungswert vom Lokalmaximum und der Summenwert werden zur Histogrammiereinheit weitergeleitet.
7. Die Histogrammiereinheit ist mit einem 8-Bit-ADC für das Summensignal
und einem 6-Bit-ADC für das Lokalmaximumsignal bestückt. Die beiden
Werten werden damit digitalisiert und zweidimensional histogrammiert.
3.3. MESSUNG UNTER RÜCKWÄRTSWINKELN
3.3 Messung unter Rückwärtswinkeln
Um die im Kapitel 2 besprochene rosenbluthartige Separation der StrangenessFormfaktoren zu erreichen, ist neben der Vorwärtswinkel-Messung auch eine Rückwärtswinkel-Messung nötig. Um die Messungen unter Rückwärtswinkeln zu ermöglichen, waren einige Modifikationen des Experimentaufbaus erforderlich.
Hallenumbau. Für die Messung unter Rückwärtswinkeln musste der Detektor
um 180◦ um die Targetposition gedreht werden. Eine Anforderung bei der Planung
dieses Umbaus war, dass das Wiederumdrehen zu Vorwärtsrichtung mit minimalem
Aufwand möglich sei. Deswegen wurde eine rotierbare Plattform entwickelt [82],
auf der der Detektor montiert ist (Abb. 3.12). Die Plattform ist mit Öl-Gleitfüßen
bestückt, mit denen sie auf einer Stahl-Bodenplatte ohne für das Kalorimeter schädliche mechanische Vibrationen gleiten kann.
Die gesamte Vakuumkammer muss sich zusammen mit dem Detektor um das
Target drehen. Das erforderte eine Verlängerung der Vakuumkammer, denn die Luminositätsmonitore sind auf dieser aufgebaut und müssen aber in der selben Position relativ zum Target bleiben, d.h. in Vorwärtsrichtung, weil sie für die MøllerStreuung optimiert sind.
Detektorerweiterung. Unter Rückwärtswinkeln sind die Beiträge zum Energiespektrum im Bereich des Peak der elastischen Ereignisse von beim Zerfall ungeladener Pionen erzeugten γ-Quanten erheblich (s. Kapitel 5), und die Trennung der
Signal- von den Untergrundereignissen ist allein durch die kalorimetrische Messung nicht möglich. Da der Untergrund hauptsächlich aus γ-Ereignisse besteht, bietet sich die Möglichkeit, einen zusätzlichen Detektor einzuführen, der geladene von
ungeladenen Teilchen unterscheidet. Die Anforderung an einen solchen “Elektronentagger” sind folgende.
• Die Messung mit hoher Zählrate muss möglich sein. Die erwartete Ereignisrate unter Rückwärtswinkeln ist zwar eine Größenordnung kleiner als unter
Vorwärtswinkeln, aber zur Vereinfachung des Detektorbaus und -betriebs sollte jedes Taggermodul möglichst viele Kalorimetermodule abdecken, um die
Anzahl der Kanäle zu vermindern.
• Die kalorimetrische Energiemessung soll vom neuen Detektor möglichst wenig beeinflusst werden. Dafür müssen Energieverluste verringert werden, und
somit sind Detektormaterialien mit kleinen Dichten bzw. großen Strahlungslängen bevorzugt.
• Die Nachweiseffizienz für Elektronen soll natürlich maximal sein. D.h., ein
gut messbares Signal muss beim Durchqueren von geladenen Teilchen erzeugt werden.
53
54
KAPITEL 3. A4-EXPERIMENT
• Wie bei der Wahl des Kalorimetermaterials ist auch in diesem Fall eine gute
Strahlenfestigkeit wichtig.
Insgesamt wurden drei Prototypen verschiedener Detektorsorten entwickelt und
getestet [83]. Zwei von diesen basierten auf Cherenkov-Strahlern, Aerogel und Gas,
der dritte war ein Plastikszintillator. Der große Vorteil der betrachteten CherenkovMaterialien ist ihre sehr kleine Dichte, die sehr kleine Energieverluste gewährleistet.
Andererseits ist die Lichtausbeute und somit die Signalstärke bei einem Plastikszintillator viel besser. Die Energieverluste sind in diesem Fall nicht vernachlässigbar
und für dünne Schichten Landau-verteilt. Dafür entsteht aufgrund der starken Korrelation zwischen Lichtausbeute und Energiedeposition eine natürliche untere Grenze
für das Signal minimal ionisierender Teilchen, was eine sehr hohe Nachweiseffizienz bietet.
Darüber hinaus war die technische Realisierbarkeit eines Szintillationstaggers
einfacher und ökonomisch günstiger. Aerogel ist ein sehr fragiles Material und ist
teurer als Kunststoff, besonders bei ausgedehnten Stücken. Ein Gas-Detektor ist von
der Strahlenfestigkeit her am geeignetsten, er erfordert aber die Entwicklung eines
Gas-Leitungssystem, was für die Entwicklung und den Betrieb deutlich aufwendiger ist.
Aus diesen Gründen wurde ein Szintillationszähler als Elektronentagger ausgewählt.
3.4 Szintillationszähler-Elektronentagger
In diesem Abschnitt folgt eine Beschreibung des Elektronentaggers und eine
kurze Erläuterung der elektronischen Logik zur Erstellung einer Koinzidenzmessung mit dem Kalorimeter. Schließlich wird eine Messung zur Bestimmung der
Lichtabschwächlänge im Szintillationsmaterial präsentiert.
Material und Geometrie. Das ausgewählte Szintillationsmaterial ist EJ-204 [84],
das Polyvinyltoluene als polymerische Base hat. Seine Dichte beträgt 1.032 g/cm3
und seine Strahlungslänge 42.5 cm. Die für die späteren Rechnungen und Simulationen nötigen Materialparameter sind in der Tabelle 3.3 zusammengefasst. Die
Lichtausbeute für Elektronen liegt über 10000 Photonen pro MeV mit der höchsten
Intensität bei einer Wellenlänge von 408 nm. Die Lichtpulse haben eine Zeitbreite
(FWHM) von ungefähr 2.2 ns, die den Nachweis von Ereignissen mit hohen Raten
ermöglicht.
In Abb. 3.15-(a) wird eine technische Zeichnung des Elektronentaggers (links)
und dessen Installation in den Experimentaufbau (rechts) gezeigt. Insgesamt besteht
der Detektor aus 72 Modulen, die auf einem ringförmigen Träger aus Edelstahl
montiert sind. Jedes Modul besteht wiederum aus einem Szintillatorstab, der an
3.4. SZINTILLATIONSZÄHLER-ELEKTRONENTAGGER
(a)
(b)
Abbildung 3.15: (a) Links: Technische Zeichnung des Elektronentaggers. Die 72
Module sind auf einem ringförmigen Aluminium-Träger aufgebaut.
Rechts: Zeichnung des Gesamtaufbaus mit Elektronentagger und PbF2 Kalorimeter. Jedes Taggermodul deckt zwei Kalorimeterrahmen ab (Abb.
3.12), d.h. 14 Kristalle. Zwei Module sind breiter und decken drei Rahmen (21 Kristalle) ab. (b) Photo eines Taggermoduls. Es besteht aus einem
stabförmigen Plastikszintillator, der an einem Photomultiplier angekoppelt ist.
55
56
KAPITEL 3. A4-EXPERIMENT
Tabelle 3.3: Eigenschaften der polymerischen Base Polyvinyltoluene des für den Elektronentagger eingesetzten Szintillationsmaterials (die Daten wurden von [85] und
vom Datenblatt des Herstellers genommen).
Dichte
H-C-Atomdichtenverhältnis
Strahlungslänge
Mittlere Anregungsenergie
1.032 g/cm3
11/10
43.90 g cm−2
64.7 eV
einen Photomultiplier gekoppelt ist. Ein Photo eines Taggermoduls ist in Abb. 3.15(b) zu sehen.
Um eine lückenlose Abdeckung der Raumwinkelakzeptanz des Kalorimeters
zu sichern, sind die Szintillatoren abwechselnd auf zwei konzentrischen Ringen
gelegen, damit benachbarte Module sich um einige Millimeter überlagern. Jedes
Modul deckt zwei Kalorimeter-Kristallrahmen (14 Kristallen) ab. Da es insgesamt
146 Rahmen gibt und die Taggermodule auf zwei Ringe verteilt sind, müssten zwei
Szintillatoren breiter geschnitten werden und decken somit drei Kalorimeterrahmen
(21 Kristalle).
Abmessungen der Szintillatoren und Details über ihre Platzierung werden im
Anhang A angegeben.
Signalauslese und Koinzidenzlogik. Die Ausleseelektronik des Elektronentaggers einschließlich Vorverstärkung, Signalverarbeitung, Schwellenvergleichs und
Vetoerzeugung sowie die Einstellung der Koinzidenz mit dem Kalorimeter und
sämtliche dazugehörige Kalibrationsmessungen werden in der Dissertation von R.
Kothe [86] detailliert beschrieben.
Hier sei nur die Grundidee der Koinzidenzlogik erwähnt. Die Ausleseelektronik eines Taggermoduls ist mit den Histogrammiereinheiten der vom betrachteten
Modul abgedeckten Kalorimetermodule zusammengeschaltet. Wenn ein Ereignis
ein Taggersignal innerhalb eines passend eingestellten CFD-Schwellenintervalls erzeugt, wird ein dediziertes Bit auf diesen Histogrammiereinheiten während eines
Zeitfensters von etwa 20 ns auf eins gesetzt. Für den Rest der Zeit bleibt dieses Bit
auf Null. Kalorimeter-Ereignisse werden mit diesem Bit-Wert histogrammiert, so
dass die gespeicherte Datenmenge ein Faktor zwei größer im Vergleich zur Messung ohne Tagger ist. Bei der Auslese wird dann der Wert dieses Bits verwendet,
um die Ereignisse in “Koinzidenz-” bzw. “Nichtkoinzidenz-”Spektren aufzuteilen,
welche Energiespektren geladener bzw. neutraler Teilchen entsprechen.
Messung der effektiven Abschwächlänge. Aufgrund der Lichtabschwächung
im Material hängt die Stärke des Signals bei gegebener Energiedeposition vom
Abstand zwischen Ausstrahllage und Photomultiplier ab. Für die Simulation der
Detektorantwort (Kapitel 6) war eine Bestimmung der Signal-Abschwächeffekte
3.4. SZINTILLATIONSZÄHLER-ELEKTRONENTAGGER
60
57
Co
HV
d
PMT
dF
F
ADC
Plastik-Szintillator
ℓ
Abbildung 3.16: Schematische Darstellung des Messverfahrens zur Untersuchung der
Licht-Abschwächung im Szintillator (Erklärung im Text).
nötig.
Dazu wurde eine Messung durchgeführt, wie in Abb. 3.16 schematisch dargestellt. Ein 60 Co-Präparat wurde auf einer Höhe d = 3 cm zur Oberfläche eines
Szintillatormoduls in unterschiedlichen Abständen ℓ vom Photomultiplier gehalten.
Um die Zählrate zu optimieren, musste man auf einen Kollimator verzichten. Dadurch war eine Berechnung des mittleren Abstands ℓ̄ erforderlich. Näherungsweise
wurde angenommen:
Z
dΩ(ℓ, d)
1
dF ℓ
,
(3.3)
ℓ̄ =
4π F
dF
wobei die Fläche F den mittleren horizontalen Querschnitt des Szintillators darstellt, und dΩ(ℓ, d) den vom Flächenelement dF abgedeckten Raumwinkel (Abb. 3.16).
Die größten Korrekturen |ℓ̄ − ℓ| hat man an den Rändern und betragen weniger als
3 mm (s. Tabelle 3.4). Um die Unsicherheit in der Vermessung von ℓ sowie in der
Berechnung von ℓ̄ durch die Näherung (3.3) zu berücksichtigen, wurde ein Fehler
von δ ℓ̄ = ±5 mm angenommen.
Das Ausgangssignal des Photomultipliers wurde vorverstärkt und in einen ADC
eingegeben. Somit wurde für jeden Abstand ein Energiespektrum gemessen. Diese Energiespektren sind in Abb. 3.17-(a) aufgezeichnet. Die Energieauflösung ist
nicht hinreichend, um die beiden γ-Linien vom 60 Co-Präparat aufzulösen. Doch
sieht man eine gemeinsame Struktur, deren Lage eine deutliche Abhängigkeit vom
Abstand der Quelle zum Photomultiplier aufweist. Die Spektren lassen sich im
Peakbereich mit einer Funktion gut anpassen, die aus der Summe einer Gaußkurve
und eines Polynoms zweiten Grads besteht. Der Mittelwert der Gaußkurve kann allerdings nicht unmittelbar als Peak-Position verwendet werden, denn er zeigt eine
deutliche Korrelation mit der unteren Grenze des Fitbereichs. Das liegt daran, dass
die gewählte Fitfunktion nur phänomenologisch und nicht physikalisch begründbar
ist. Deswegen wurde zur Bestimmung der Peak-Lage folgende Prozedur angewendet: Durch einen vorläufigen Fit wurde eine grobe Abschätzung von Mittelwert µ0
und Standardabweichung σ0 der Gaußkurve ermittelt. Die untere Grenze des Fit-
58
KAPITEL 3. A4-EXPERIMENT
counts / 103
20
15
ℓ = 5.5 cm
10
5
ℓ = 37.5 cm
0
0
100
200
300
400 500 600
ADC channel
700
800
900
Abbildung 3.17: Mit dem Szintillator aufgenommene 60 Co-Energiespektren. Die
Abhängigkeit der Peak-Position vom Abstand ℓ des Präparats zum
Photomultiplier ist deutlich zu erkennen.
Tabelle 3.4: Daten zur Messung der Abschwächeffekte. Der Abstand der Quelle zum Photomultiplier ist ℓ, und ℓ̄ ist der angenäherte mittlere Abstand der Ausstrahllage
unter Berücksichtigung der Raumwinkel-Akzeptanz. Die angenommene Unsicherheit dieses Wertes ist ±5 mm. Die Werte der Peak-Position und ihre Fehler
wurden durch die im Text beschriebene Fit-Prozedur bestimmt.
ℓ [cm]
ℓ̄ [cm]
Peak-Pos. [ADC]
5.50
7.50
12.50
17.50
22.50
27.50
32.50
37.50
5.68
7.64
12.56
17.52
22.48
27.44
32.36
37.22
439.5 ± 0.9
435.1 ± 0.9
425.0 ± 0.8
412.9 ± 1.1
406.2 ± 1.4
396.7 ± 0.6
388.7 ± 1.1
384.2 ± 0.9
peak pos. [ADC channel]
3.4. SZINTILLATIONSZÄHLER-ELEKTRONENTAGGER
59
440
χ2 /ndf = 14.1/6
430
χ2 /ndf = 2.7/5
420
410
400
390
380
5
10
15
20
ℓ̄ [cm]
25
30
35
Abbildung 3.18: Anpassung der Abschwächfunktion des Szintillators. Die gestrichelte
Kurve ist ein exponentieller Fit: A exp(−ℓ̄/λeff ). Die durchgezogene
Kurve eine Fitfunktion der Form (3.4).
bereichs wurde in Schritten von σ0 /10 von µ0 − 2σ0 bis µ0 − σ0 variiert, und für
jeden Grenzwert wurde ein Fit durchgeführt. Mittelwert und Standardabweichung
der Ergebnisse für den Parameter µ0 der Gaußkurve wurden als Peak-Position bzw.
deren Fehler verwendet. Die so erhaltenen Werte sind in der Tabelle 3.4 angegeben.
Die Abhängigkeit der Peak-Position von ℓ folgt aus einer effektiven Abschwächung im vorliegenden Detektor und kann in der Simulation benutzt werde. Aufgrund der Reflexion an den Szintillatorwänden entspricht sie jedoch nicht der charakteristischen Abschwächung im gegebenen Material, denn die Länge des Detektors (∼40 cm) ist deutlich kleiner als die für dieses Material typische Abschwächlänge (∼160 cm). Man erwartet also, eine längere effektive Abschwächlänge λeff zu
messen, weil mit größerem Abstand zum Photomultiplier der Abstand zur hinteren
Wand kleiner ist und daher die Reflexionskomponente des Lichtes stärker.
Tatsächlich ergibt ein einfacher exponentieller Fit der Form A exp(−ℓ̄/λeff ) die
Abschwächlänge λeff = 227 cm, und diese Anpassung ist nicht optimal, wie in
Abb. 3.18 (gestrichelte Linie) gezeigt wird. Eine viel bessere Beschreibung erhält
man mit dem Ansatz (durchgezogene Linie):
A exp[−ℓ̄/λeff ] + B exp[−(2L − ℓ̄)/λeff ] ,
(3.4)
wobei L die Länge des Szintillators ist, während A und B angepasst werden. Der
zweite Term dieser Fitfunktion soll die reflektierte Lichtkomponente näherungsweise berücksichtigen. Hierbei nimmt λeff den Wert von 100 cm an, der aus zwei
60
KAPITEL 3. A4-EXPERIMENT
Gründen kürzer als der nominelle Wert für die Abschwächlänge des Materials ist.
Erstens berücksichtigt das Modell (3.4) nur die kürzesten Wege sowohl für die
direkte als auch für die reflektierte Lichtkomponente. Durchschnittlich ist aber der
zurückgelegte Weg länger, denn das Licht wird in alle Richtungen ausgestrahlt.
Grob wird die Mittelung über alle mögliche Wege der “direkten” und der “reflektierten” Lichtkomponente durch die Konstanten A und B unabhängig voneinander
parametrisiert. Das ist allerdings angesichts Abb. 3.18 hinreichend, um die Datenpunkte gut anzupassen.
Zweitens wurde die Messung durchgeführt, nachdem der Detektor schon über
1000 Stunden im Experiment eingesetzt worden war, und somit muss das Material
in gewissem Maße aufgrund der aufgenommenen Strahlungsdosis undurchsichtiger geworden sein. Dieser Effekt ist sichtbar, kann aber nur einen Teil der Differenz
zwischen der nominellen und der nach dem Fit (3.4) gemessenen effektiven Absorptionslänge erklären. Das wird in Kap. 6 anhand einer Analyse deutlicher gemacht,
bei der auch Simulationsergebnisse mitberücksichtigt werden.
Wenn man die eine oder die andere Kurve in Abb. 3.18 verwendet, beträgt die
Abweichung in der simulierten Abschwächung maximal etwa 3%, was für die Simulation der Koinzidenzbedingung völlig unbedeutsam ist, und zwar wird dieses
Maximum erreicht, wenn die Ausstrahllage in der Nähe der Szintillatorränder liegt.
Das betrifft dann nur die Nachweiseffizienz der in der Datenanalyse nicht miteinbezogenen Randringe des Kalorimeters.
Kapitel 4
Extraktion der Asymmetrie
In diesem Kapitel wird die Datenanalyse des A4-Experiments beschrieben. Insbesondere wird die Frage der Untergrundbeiträge angegangen.
Zuerst folgt eine allgemeine Darstellung des “Standard”-Analyseverfahrens, das
schon bei den A4-Vorwärtsmessungen entwickelt wurde und sich zu den Rückwärtsdaten unverändert übertragen lässt. Zweitens wird die Notwendigkeit eines
systematischen Studiums der Untergrundbeiträge für die Rückwärtsmessungen anhand einer semiquantitativer Vorstudie geschildert und die verwendete Untergrundbehandlung beschrieben. Anschließend werden die Methoden zur Untersuchung des
Untergrunds vorgestellt, die der Hauptbestandteil dieser Arbeit ist.
4.1 Allgemeine Beschreibung
Zweck der Datenanalyse ist die Extraktion der im Kapitel 2 vorgestellten paritätsverletzenden Asymmetrie APV . Diese hängt mit der gemessenen Asymmetrie
AMess in den Zählraten der mit entgegengerichteter Polarisation elastisch gestreuten
Elektronen folgendermaßen zusammen:
X
AMess = P APV +
ai ∆Xi .
(4.1)
i
Hier ist P der Polarisationsgrad des Elektronenstrahls, und die ∆Xi -Terme in der
Summe stellen zu korrigierenden apparativen Asymmetrien dar (siehe Par. 4.1.2).
Bei gegebener Messzeit T ist die gemessene Zählrate der elastischen Ereignisse
proportional zur Anzahl der nachgewiesenen Ereignisse N ± , wobei ± die Polarisationsrichtung darstellt. Diese Anzahl von Ereignissen ist wiederum proportional
zum elastischen Wirkungsquerschnitt σ ±
N ± = T L± σ ± ,
(4.2)
und die Luminosität L± setzt sich als Produkt der Targetdichte ρ± mit dem Strahlelektronenfluss I ± und der Targetlänge zusammen. Mittels der im Kapitel 3 beschriebenen Luminositätsmonitore und der PIMO-Strahlstrommonitore kann die
61
62
KAPITEL 4. EXTRAKTION DER ASYMMETRIE
über einen Messlauf1 gemittelte Targetdichte bestimmt, und eine dazu normierte
Ereigniszahl
N±
Ñ ± = ±
ρ
definiert werden. Somit kann man für die gemessene Zählratenasymmetrie schreiben:
Ñ + − Ñ −
.
(4.3)
AMess =
Ñ + + Ñ −
Die in der Definition von Ñ ± nicht enthaltene Strahlstromasymmetrie wird bei (4.1)
zusammen mit den apparativen ∆Xi -Beiträgen berücksichtigt.
Für die Bestimmung von AMess und die Extraktion von APV müssen in der Datenanalyse zwei Hauptaufgaben bewältigt werden.
• Die elastischen Ereignisse für beide Polarisationsrichtungen müssen anhand
der gemessenen Energiespektren erkannt und gezählt werden.
• Die Beiträge von apparativen Asymmetrien zur erhaltenen Rohasymmetrie
müssen bestimmt und subtrahiert werden.
Anschließend muss die so bestimmte Asymmetrie noch durch die Strahlpolarisation geteilt werden, um die gesuchte physikalische Asymmetrie zu ermitteln.
Dieses Verfahren muss für alle Messläufe im Datensatz wiederholt werden. Histogrammiert man die so gemessenen Werte von APV , erhält man eine gaußförmige
Verteilung, deren Mittelwert das endgültige Messresultat ist.
Im folgenden wird kurz vorgestellt, wie die beiden erwähnten Aufgaben in der
Datenanalyse bearbeitet werden.
4.1.1 Zählratenbestimmung
Ein Beispiel für ein bei Vorwärtswinkeln mit einer Strahlenergie von 855 MeV
gemessenes Energiespektrum ist in Abb. 4.1 dargestellt. Deutlich zu erkennen ist der
Peak der elastischen Ereignisse, der bei dieser kinematischen Konfiguration nahezu
untergrundfrei gemessen wird. Bei festem Streuwinkel ist die Energie der elastisch
gestreuten Elektronen aufgrund des Energie-Impulserhaltungssatzes festgelegt (Anhang B.1) und der dazugehörige Peak kann für die Energieeichung des Spektrum
verwendet werden.
Um die Anzahl der Ereignisse N ± zu ermitteln, muss der elastische Peak von
jedem Kalorimetermodul und für beide Polarisationsrichtungen identifiziert und integriert werden. Das Analyseverfahren, das zu diesem Zweck angewandt wird, ist
in [63] detailliert beschrieben und wird hier nur kurz zusammengefasst.
Um die Lage des Peaks zu bestimmen, wird den Spektren eine asymmetrische
Gauß-Funktion angepasst. Durch die unterschiedlichen Breiten dieser Kurve wird
1
Die gewählte Dauer eines Messlaufs im A4-Experiment ist 5 min, d.h. 150 s je Polarisationsrichtung.
4.1. ALLGEMEINE BESCHREIBUNG
63
)-P
ea
k
32
∆
(1
2
counts / 103
300
200
π0
-S
c
un hw
te ell
el re S e
as ch
tis n
ch itt
er gre
ob
Pe nz
er
ak e
eS
ch
ni
ttg
re
nz
e
400
100
0
0
25
50
200
75
100
400
125 150
ADC-Kanal
600
E [MeV]
175
200
800
225
250
1000
Abbildung 4.1: Energiespektrum bei 855 MeV, Vorwärtswinkeln. Der Peak bei etwa
730 MeV entspricht den elastischen Ereignissen. Bei gegebenem Streuwinkel ist die Energie der nachgewiesenen Elektronen festgelegt und die
Lage des Peaks kann zusammen mit dem ADC-Offset für die Energieeichung des Spektrums verwendet werden. Die Struktur bei etwa 450 MeV
entspricht der Anregung der ∆(1232)-Resonanz, und die Ereignisse bei
niedrigeren Energien sind hauptsächlich von γ-Quanten aus dem π 0 -Zerfall
verursacht.
der links vom Peak sichtbare Effekt des Strahlungsschwanz berücksichtigt. Aus der
gefitteten Breite der rechten Peakseite wird zusätzlich auch die Energieauflösung
des betrachteten Detektormoduls gemessen. Wenn die Peakposition und die Energieauflösung festliegen, können die Integrationsgrenzen für die Berechnung von
N ± entschieden werden. Dafür werden folgende Kriterien verfolgt:
Untere Integrationsgrenze: Wie schon erwähnt, entspricht die Lagebestimmung
des Peaks elastischer Ereignisse einer Energieeichung des Spektrums. Anhand der
so festgelegten Energieskala kann die Lage der Schwelle für inelastische Ereignisse
Eπ′ 0 , d.h. für die Produktion eines ungeladenen Pions, ermittelt werden. Dabei haben die gestreuten Elektronen eine niedrigere Energie als die elastisch gestreuten,
denn ein Teil der Energie muss für die Erzeugung eines Pions an das Targetnukleon
übertragen werden (Anhang B.1). Darüber hinaus kann aus der mit dem Fit gemes-
64
KAPITEL 4. EXTRAKTION DER ASYMMETRIE
′
′
senen Energieauflösung σ(Eelas
) bei der Peakenergie Eelas
die Energieauflösung
′
σ(Eπ0 ) bei der Schwellenenergie bestimmt werden. Um sicherzustellen, dass inelastische Ereignisse nur sehr geringfügig zur gemessenen Ereignisanzahl beitragen,
wird die untere Integrationsgrenze bei der Energie Eπ′ 0 + 1.6 · σ(Eπ′ 0 ) gelegt.
Obere Integrationsgrenze: Die obere Grenze des Integrationsbereichs ist durchaus unkritisch, denn sie dient nur dazu, von der im Kapitel 3.2.4 vorgestellten
elektronischen Logik unerkannte Pileup-Ereignisse, die allerdings sehr wenig beitragen [86], von der Ereignisanzahl N ± auszuschließen. Bei solchen Ereignissen
überlagern sich die elektromagnetischen Schauer von zwei gestreuten Teilchen und
ergeben Signale, die bis zu zweimal das Signal eines elastischen Ereignisses betragen. Daher liegen im Energiespektrum die Einträge dieser Ereignisse zum Großteil rechts vom elastischen Peak. Die obere Grenze wird anhand einer Formanalyse
des Spektrums festgelegt. Bei der Energie, an der die Pileup-Ereignisse über die
elastischen zu dominieren anfangen, weist das Spektrum eine relativ abrupte Steigungsänderung auf, die sich als eine Nullstelle oberhalb der Peaklage in der zweiten Ableitung des logarithmierten Spektrums erweist. Bei dieser Nullstelle wird die
obere Integrationsgrenze gesetzt [63].
4.1.2 Korrektur apparativer Asymmetrien
Aufgrund des sehr kleinen Werts der zu messenden Asymmetrie ist der Messwert
auf Schwankungen der Strahlparameter sehr empfindlich. Im Kapitel 3 wurde schon
die Unterscheidung zwischen nicht helizitätskorrelierten und helizitätskorrelierten
Schwankungen vorgestellt. Wie dort bereits erwähnt, verursachen erstere lediglich
eine breitere Verteilung der gemessenen Asymmetriewerte, ohne den Mittelwert
dieser Verteilung zu beeinflussen, zweitere hingegen führen zu einer Verschiebung
des Mittelwerts. Diese Verschiebung ist in der Gl. (4.1) durch die Summe der ∆Xi Terme dargestellt. Hierbei ist Xi einer der in der Tabelle 4.1 aufgelisteten Strahlparameter, bzw. entspricht sein Messwert einer Abweichung vom jeweiligen Sollwert. Dank der eingesetzten Strahlregelungssysteme ist diese Abweichung dermaßen klein, dass für die mit ihnen verbundene Änderung der Detektorzählrate R± der
lineare Ansatz gilt
X ∂R
∂r
±
R = R(0) ± r(0) +
(0) ±
(0) Xi ,
(4.4)
∂Xi
∂Xi
i
wobei R(Xi ) ≡ (R+ (Xi ) + R− (Xi ))/2 und r(Xi ) ≡ (R+ (Xi ) − R− (Xi ))/2.
Für den polarisationsabhängigen Anteil kann auch der lineare Term in den Xi vernachlässigt werden, denn wegen des anzunehmenden stetigen Verhaltens der Funktionen R(Xi ) und r(Xi ) wird erwartet
∂r
∂R
(0) Xi ≪
(0) Xi < r(0) ≪ R(0) .
∂Xi
∂Xi
(4.5)
4.1. ALLGEMEINE BESCHREIBUNG
65
Tabelle 4.1: I. Differenzen ∆Xi zwischen den Mittelwerten der Strahlparameter bei verschiedenen Polarisationsrichtungen. Für den Strahlstrom ist die Stromasymmetrie angegeben. II. Durch den multilinearen Fit ermittelte apparative Asymmetrien.
I. Differenzen
Strahlparameter
horiz.
vert.
horiz.
vert.
Lage [µm]
Einfallswinkel [nrad]
Energie [eV]
Strom (Asymmetrie) [ppm]
854 MeV
−0.03±0.01
+0.05±0.01
−3.57±0.68
+8.99±0.46
−8.13±0.37
−0.15±0.15
570 MeV
−0.26±0.02
+0.13±0.01
−29.46±1.67
+12.47±1.05
+3.58±0.29
−1.08±0.16
315 MeV
(−86.97±0.08)·10−3
(−23.84±0.02)·10−3
−8.53±0.08
−2.40±0.02
−0.41±0.02
−0.30±0.03
II. Apparative Asymmetrien [ppm]
Strahlparameter
Lage
Einfallswinkel
horiz.
vert.
horiz.
vert.
Energie
Strom
Gesamtkorrektur
854 MeV
−0.05
+0.18
−0.01
+0.04
+0.02
−0.15
570 MeV
−0.26
+0.42
−0.05
+0.04
+0.01
−1.08
315 MeV
+0.61
−0.86
−0.09
+0.10
+0.16
−0.25
+0.14±0.39
Die zweite Ungleichheit entspricht der experimentellen Bedingung einer hinreichend guten Strahlqualität, während die dritte (und die erste) wegen der kleinen
Größenordnung der paritätsverletztenden Asymmetrie gilt. Im folgenden werden
die Terme der Art ∂r/∂Xi vernachlässigt, und infolgedessen gilt durch zeitliche
Integration für die Ereigniszahl
X
N ± = N(0) ± n(0) +
νi hXi i± ,
(4.6)
i
wobei N und n das Integral von R bzw. r darstellen und hXi i± den Mittelwert von
Xi während der Messzeit mit ±-Polarisationsrichtung bezeichnet. Aus (4.5) folgt
νi hXi i± ≪ N(0), und die Terme in der Summe in (4.6) können N(0) gegenüber
ignoriert werden. Mit der Notation
∆Xi = hXi i+ − hXi i−
(4.7)
erhält man für die Asymmetrie
N+ − N−
n(0) X νi
=
+
∆Xi ,
N+ + N−
N(0)
2N(0)
i | {z }
≡ ai
(4.8)
66
KAPITEL 4. EXTRAKTION DER ASYMMETRIE
was in der Form (4.1) geschrieben ist.
Die Differenzen zwischen den Mittelwerten der Strahlparameter bei beiden Polarisationsrichtungen werden mit Strahlmonitoren gemessen. Der lineare Ansatz
(4.4) und die darauf folgenden Näherungen erlauben die Bestimmung der ai -Koeffizienten durch eine multilineare Regression [63].
4.2 Untergrund
Neben der elastischen Elektron-Proton-Streuung tragen auch andere Streuprozesse zu den vom Kalorimeter registrierten Ereignissen bei. Solche Ereignisse bilden einen Untergrund, der die Asymmetriemessung verfälschen kann, denn allgemein haben die Untergrundprozesse eine unterschiedliche Helizitätsasymmetrie.
Das im letzten Abschnitt beschriebene Verfahren zur Bestimmung der Anzahl von
Ereignissen erlaubt nur die energetische Trennung der elastischen Streuereignisse von den Untergrundereignissen. D.h., die nachgewiesenen Teilchen (Elektronen
oder Photonen) aus Untergrundprozessen müssen eine Energie besitzen, die sich mit
der von der kalorimetrischen Energiemessung gestattenen Energieauflösung von der
Energie der elastisch gestreuten Elektronen unterscheiden lässt. Ist das nicht der
Fall, so tragen die Untergrundereignisse zu den zwischen den Schnittgrenzen liegenden Einträgen im Energiespektrum bei. Hierzu muss man beachten, dass sowohl
gestreute Elektronen als auch bei Streuprozessen ausgestrahlte γ-Quanten Beiträge
geben können, denn das Kalorimeter erzeugt dasselbe Signal beim Einfall von Teilchen der beiden Sorten mit der gleichen Energie (s. Kapitel 6).
4.2.1 Untergrundquellen
Mögliche Untergrundprozesse, die Elektronen oder hochenergetische γ-Quanten
in die Detektor-Winkelakzeptanz hineinstreuen können, sind:
• Inelastische Streuung am Proton. Bei den vorkommenden Energien erfolgt
die inelastische Streuung durch die Elektroproduktion von einem oder mehreren Pionen. Da ein Teil der Strahlenergie für die Mesonenerzeugung an das
Target übertragen werden muss, hat das gestreute Elektron eine niedrigere
Energie als bei der elastischen Streuung. Die Energiedifferenz ist in der Regel
größer als die Energieauflösung, und es bestehen keine relevanten Beiträge
zum elastischen Peak.
• Streuung an Aluminiumkernen in den Targetwänden. Wesentlich dabei
ist die quasielastische Streuung an den Kernnukleonen sowie die inkohärente
Pion-Elektroproduktion. Die quasielastische Streuung ergibt einen aufgrund
des Fermimpulses der Nukleonen verbreiterten Peak im Energiespektrum.
Dieser Peak liegt im selben Energiebereich wie der Peak der elastischen Streuung am Proton und kann nicht durch die Energiemessung unterschieden wer-
4.2. UNTERGRUND
den. Die Beiträge sind wegen der kleinen Wandstärken gering, aber gleichwohl betrachtungsbedürftig. Dazu hat man einen Beitrag von kohärenten Prozessen wie die elastische Streuung am Kern, die aber bei den betrachteten
Strahlenergien unbedeutsam sind.
• Zerfall ungeladener Pionen. Die an Wasserstoff- sowie an Aluminiumkernen erzeugten π 0 -Teilchen zerfallen zu fast 99% in zwei γ-Quanten. Diese
haben im Ruhesystem des Pions jeweils eine Energie von mπ0 /2 ≃ 70 MeV,
aber im Laborsystem besitzen sie aufgrund des endlichen π 0 -Impulses Energien, die je nach kinematischer Konfiguration fast bis zur Energie der elastisch gestreuten Elektronen betragen können. Es wird im folgenden gezeigt,
dass dieser Prozess bei Vorwärtswinkelmessungen keine große Rolle spielt,
während er bei Rückwärtsmessungen sehr wichtig ist.
• Andere Prozesse sind entweder aus kinematischen Gründen immer energetisch getrennt vom elastischen Peak, wie im Falle der Møller-Streuung an den
atomaren Elektronen im Target, oder soviel unwahrscheinlicher als die elastische Streuung am Proton, dass ihre Beiträge unbedenklich sind, wie etwa bei
Großwinkel-Bremsstrahlung.
Die Wichtigkeit dieser Prozesse bei den verschiedenen Messkonfigurationen des
A4-Experiments hängt von den kinematischen Bedingungen sowie vom Verlauf der
Wirkungsquerschnitte ab.
Vorwärtswinkel. Bei Vorwärtswinkeln kann man anhand von Rechnungen und
Simulationen zeigen, dass die Untergrundbeiträge hauptsächlich von der Streuung
am Aluminium kommen. Für die Strahlenergien von 570 MeV und 854 MeV sind
die Beiträge vom π 0 -Zerfall klein und die von der inelastischen Streuung am Proton vernachlässigbar. Bei der zur Zeit laufenden Messung mit 1.5 GeV sind die
Beiträge dieser beiden Prozesse im Bereich der elastischen Linie höher, und ihre
Berücksichtigung bei der Datenanalyse ist erforderlich. Immerhin ist die Methode
der Abschätzung eines Verdünnungsfaktors möglich (wie es für die A4-Messungen
bei Vorwärtswinkeln gemacht wurde, s. [45, 87, 88]).
Rückwärtswinkel. Der Zerfall ungeladener Pionen in γ-Quanten bei Rückwärtswinkeln ist sowohl mit der Strahlenergie von 315 MeV als auch für die Messung mit
transversalem Spin bei 420 MeV viel wichtiger als bei Vorwärtswinkeln. Hier liegen
die Beiträge vom π 0 -Zerfall in derselben Größenordnung wie die der elastischen
Streuung. Deswegen war eine neue Behandlung des Untergrundes sowohl seitens
des Detektorsystems als auch der Datenanalyse erforderlich. Im nächsten Abschnitt
wird eine detailliertere Studie dieser Untergrundquelle präsentiert.
Für die anderen Untergrundprozesse ist die Situation jedoch besser. Beiträge
von am Proton inelastisch gestreuten Elektronen sind aufgrund der bei kleineren
67
68
KAPITEL 4. EXTRAKTION DER ASYMMETRIE
Energien besseren absoluten Energieauflösung durch die kalorimetrische Messung
einfacher zu separieren. Außerdem liegt für die Messung mit der Strahlenergie von
315 MeV die Elektronenergie, die der π 0 -Produktionsschwelle entspricht, knapp
oberhalb der Energieakzeptanz des Detektors, und somit tragen die inelastischen
Elektron-Streuereignisse zum Spektrum nur geringfügig bei.
Im Vergleich zu den Vorwärtsmessungen trägt die Streuung an den Aluminiumkernen in den Targetwänden zum Signal-Untergrund-Verhältnis im elastischen
Peakbereich auch weniger bei. Das liegt an der bei dem Rückwärtsaufbau im Einsatz gebrachten längeren Targetzelle, mit der 234 mm Flüssigwasserstoff gegenüber
insgesamt 0.15 mm Aluminium auf der Strahlachse liegen. Mit der bei Vorwärtsmessungen eingesetzten Targetzelle sind es 100 mm Wasserstoff und 0.30 mm Aluminium.
4.2.2 Untergrund aus dem Zerfall ungeladener Pionen
Um die Notwendigkeit einer ausführlichen Studie der γ-Untergrundbeiträge für
die Messung bei Rückwärtswinkeln zu schildern, wird hier eine kurze Einführung
in die zu erwartenden Energiespektren gegeben. Dafür werden lediglich die relevanten kinematischen Aspekte diskutiert, die Verläufe der differentiellen Wirkungsquerschnitte gezeichnet und eine grobe Berücksichtigung der Energieverluste von
gestreuten Elektronen vorgestellt, weil dieser Effekt sehr stark das Signal-Untergrund-Verhältnis bei Rückwärtswinkeln beeinflusst. Auf alle anderen hier nicht betrachteten Details über Detektorgeometrie und -antwort wird in den folgenden Kapiteln über die Simulation des Energiespektrum eingegangen.
Zum Vergleich zwischen Vor- und Rückwärtsstreuung werden die Wirkungsquerschnitte mit der Strahlenergie 854 MeV und dem Streuwinkel 35◦ bzw. 315 MeV
und 145◦ betrachtet. Bei diesen kinematischen Konfigurationen hat man denselben
|q 2 |-Wert von etwa 0.22 (GeV/c)2 , und sie wurden im Experiment für die Separation der Strangeness-Formfaktoren bei diesem q 2 ausgewählt.
Kinematik. Erst wird gezeigt, wie beim Pionzerfall erzeugte Photonen Energien
im Bereich der elastisch gestreuten Elektronen haben können. Die Photonenergie im
Laborsystem hängt vom Impuls des zerfallenden Pions und dem Winkel θπγ zwischen diesem und dem Photonimpuls ab. Der erlaubte Bereich dieses Winkels ist
immer von 0◦ bis 180◦ , weil sich das Photon mit Lichtgeschwindigkeit bewegt. Die
maximale Photonenergie ergibt sich mit θπγ = 0 und kann bei gegebener Pionenergie durch Gl. (B.14) berechnet werden. D.h., um die größtmögliche Photonenergie
unter einem bestimmten Ausstrahlwinkel zu ermitteln, muss der maximale Pionimpuls unter demselben Produktionswinkel gefunden werden. Diese kinematische
Rechnung wird im Anhang B.1 erläutert.
Die größte Photonenergie als Funktion des Ausstrahlwinkels im Laborsystem
4.2. UNTERGRUND
69
1000
Energie [MeV]
800
854 MeV, vorwärts
600
400
200
315 MeV, rückwärts
0
0
20
40
60
80 100 120
Winkel [◦ ]
140
160
180
Abbildung 4.2: Die schwarzen Kurven zeigen die maximale Energie der im Pionzerfall
ausgestrahlten Photonen als Funktion des Ausstrahlwinkels im Laborsystem für die Strahlenergien 854 MeV (oben) und 315 MeV (unten). Die
roten Bänder deuten für dieselben Strahlenergien die erwarteten Energiebereiche des elastischen Peakspbei einer angenommenen relativen Energieauflösung von σE /E = 4%/ E/GeV. Innen- und Außenband beziehen
sich auf ein σE bzw. zwei σE ums Maximum. Die senkrechten Linien
zeigen die Winkelakzeptanz für beide Detektorkonfigurationen (Vor- und
Rückwärtswinkel).
ist für beide betrachteten Strahlenergien in Abb. 4.2 zusammen mit den erwarteten
Energiebereichen der elastisch gestreuten Elektronen gezeigt. Wie man erkennt, liegen die oberen Energiegrenzen des Zerfallspektrums in der Nähe des Peaks und sind
mit dem vorliegenden Energieauflösungsvermögen von den elastischen Ereignissen
nicht trennbar.
Zählraten-Abschätzung – Elektroproduktion. Da rein kinematisch die Separation der elastischen Streuereignisse von den π 0 -Zerfällen allein durch die Energiemessung mit dem A4-Kalorimeter unmöglich ist, wird eine Abschätzung der
erwarteten Zählraten für beide Ereignissorten benötigt, um das Signal-UntergrundVerhältnis bzw. die Kontamination der gemessenen Anzahl elastischer Ereignisse durch Pionzerfälle zu quantifizieren. Dafür muss das Zerfallspektrum unter einem beliebigen Streuwinkel in Form eines effektiven differentiellen Wirkungsquerschnitts für γ-Erzeugung der Art
d3 σγ
(E, ω1 , θ1 )
dΩ1 dω1
70
KAPITEL 4. EXTRAKTION DER ASYMMETRIE
berechnet werden. Hierbei gelten für die kinematischen Variablen die Definitionen
vom Anhang B.1. Zur Berechnung von dσγ wird folgendes benötigt:
1. Der differentielle Wirkungsquerschnitt für π 0 -Elektroproduktion
d3 σπ
(E, ωπ , θπ )
dΩπ dωπ
muss berechnet werden. In dieser Arbeit (Kapitel 5) wird das an die Weltdaten
angepasste phänomenologische Modell MAID [89] verwendet. Die Integration über den gesamten Raumwinkelbereich des Elektrons wird numerisch
durchgeführt.
2. Die Winkelverteilung der Zerfallphotonen bei gegebenem Pionimpuls
d2 ρ
(θπγ )
dΩπγ
ist im Anhang B.1.3 zusammen mit der Beziehung (B.13) zwischen Photonenergie und Ausstrahlwinkel ausgearbeitet.
3. Beide Einzelteile müssen mit folgendem Integral zusammengefaltet werden:
Z
dωπ dΩπ
d2 ρ
d3 σπ
δ(ω1 − ω1 (ωπ , θπγ )) .
dΩπ dωπ dΩπγ
(4.9)
Zählraten-Abschätzung – Photoproduktion. Eine wichtige Komponente des
γ-Untergrunds aus dem π 0 -Zerfall kommt durch bremsstrahlungsinduzierte Photoproduktion zustande. Dabei strahlt ein Strahlelektron im Target durch Bremsstrahlung ein γ-Quant ab, das inkohärent von einem weiteren Targetproton absorbiert wird und ein Pion erzeugt. In anderen Worten wirkt das Targetmaterial
sowohl als Radiator für die Erzeugung eines reellen γ-Strahls als auch als Target für π 0 -Photoproduktion. Insgesamt ähnelt die Dynamik dieses Doppelprozesses
der der Elektroproduktion, und daher ist die Form des daraus resultierenden Energiespektrums in beiden Fällen ähnlich. Die absolute Stärke des PhotoproduktionsSpektrums, oder der totale effektive Wirkungsquerschnitt für den Doppelprozess,
hängt aber sehr stark von der Dicke des Targets ab. In der Referenz [90] von Tsai
findet sich die Aussage, dass der Beitrag zur Pionproduktion von direkter Elektroproduktion näherungsweise gleich dem Beitrag von einer reellen Bremsstrahlung
ist, wenn die Dicke des erzeugenden Radiators ungefähr 1/50 Strahlungslängen beträgt. Die Länge von 234 mm des A4-Targets entspricht 2.7% der Strahlungslänge
von Flüssigwasserstoff.
Zur Berechnung der γ-Ausbeute wird gebraucht:
4.2. UNTERGRUND
71
1. Der differentielle Wirkungsquerschnitt für Photoproduktion
d2 σπphoto
(kγ , θπ )
dΩπ
kann ebenfalls im Rahmen des MAID-Modells berechnet werden. Er ist nur
zweifach differentiell, weil es sich bei der Photoproduktion um ein Zweikörperendzustand handelt. kγ ist die Energie des Bremsstrahlungsphoton und
dazu besteht eine feste Beziehung ωπ (kγ , θπ ) zwischen Polarwinkel des Pionimpulses und Pionenergie.
2. Die Winkelverteilung der Zerfallphotonen bei gegebenem Pionimpuls ist dieselbe wie in der Elektroproduktion.
3. Der Photonenfluss Iγ (E, t, kγ ) gibt die Anzahl der Bremsstrahlungsphotonen
pro Strahlelektron bei einer Targettiefe von t Strahlungslängen im Energiebereich zwischen kγ und kγ + dkγ an [90, 91, 92]:
Iγ (E, t, kγ ) =
1 (1 − kγ /E)4/3 − exp[−(7/9)t]
kγ 7/9 + (4/3) log(1 − kγ /E)
(4.10)
4. Im Faltungsintegral gibt es wegen der Beziehung zwischen θπ und ωπ eine Integration weniger, dafür muss über die Anfangsenergie kγ integriert werden:
Z
dkγ dΩπ Iγ (E, t, kγ )
d2 σπphoto d2 ρ
δ(ω1 − ω1 (θπγ )) .
dΩπ dΩπγ
(4.11)
Der letzte Ausdruck hängt von der Ausstrahllage t ab, da der Photonenfluss mit der
Targettiefe steigt. Für die Zählratenabschätzung wird hier diese Abhängigkeit nicht
beachtet und als feste Erzeugungsposition die Mitte des Targets angenommen. Doch
in der vollen Simulation wird der Effekt berücksichtigt.
Energieverluste von Elektronen. Um den Detektor zu erreichen, müssen gestreute Elektronen und ausgestrahlte Photonen einige Materialschichten durchqueren, und dabei können ihre Impulse verändert werden, was zu einer Modifikation
der gemessenen Spektrumsform führt. Die wichtigsten Materialschichten sind die
Aluminiumwand der Vakuumkammer (5 mm Stärke) und die Aluminiumrahmen
des Kalorimeters (10 mm). Die Summe dieser Materialdicken muss durch sin θ geteilt werden, um die effektive Weglänge im Aluminium zu ermitteln. Für θ = 35◦
oder 145◦ erhält man eine effektive Länge von etwa 26 mm (oder 0.29 AluminiumStrahlungslängen).
Wegen der möglichen Wechselwirkungen der Photonen mit der Materie kann
ein γ-Quant entweder absorbiert werden (durch Photoeffekt oder Paarbildung) oder
72
KAPITEL 4. EXTRAKTION DER ASYMMETRIE
seinen Impuls stark verändern (durch Compton-Streuung) oder ungestört zum Detektor gelangen. Bei der betrachteten Materialdicke ist der letzte Fall der wahrscheinlichste. Die Elektronen hingegen verlieren immer durch Ionisation und Mehrfachstreuung eine gewisse Energie. Das führt zu einer relativen Verschiebung des
gemessenen Elektron- zum γ-Energiespektrum. Um diesen Effekt zu quantifizieren,
kann man den mittleren Energieverlust von Elektronen wegen Kollisionen nach der
Formel von Seltzer und Berger [80] berechnen
τ 2 (τ + 2)
K Z
dE
log
=− 2
(4.12)
dx
2β A
2
1 + τ 2 /8 − (2τ + 1) log 2
I
+
− 2 log − δ(β) ,
γ2
m
wobei K = 0.307 MeV g−1 cm2 , Z und A Atomzahl und Massenzahl des Mediums
sind, β und γ die relativistischen Faktoren des Elektrons und τ = γ − 1. I ist die
mittlere atomare Anregungsenergie (I = 166 eV für Aluminium [93]) und δ(β)
die sogenannte Dichteeffekt-Korrektur, die mit den Formeln in [93, 94] berechnet
werden kann.
Bei den betrachteten Energien sind die radiativen Energieverluste von Elektronen auch sehr wichtig und durchschnittlich größer als die Kollisionsverluste. Die
entstehenden γ-Quanten werden aber meistens unter sehr kleinen Winkeln zum
Elektronimpuls ausgestrahlt, und daher sammelt sich zum Großteil ihre Energie
im Kalorimeter, und trägt zur Signalstärke bei. Somit ist der zu erwartende mittlere
Energieverlust wegen radiativer Prozesse kleiner als der, der aus Gl. (4.12) resultiert. Trotzdem werden aufgrund dieser Strahlungsprozesse vor dem Kalorimeter
im Energiespektrum sichtbare Effekte erwartet, die mit der Verbreiterung des elektromagnetischen Schauers verbunden sind: Neben dem Beitrag zum mittleren Energieverlust muss auch ein Einfluss auf die effektive Energieauflösung folgen. Diese
Effekte lassen sich nur anhand von detaillierten Simulationen berücksichtigen und
quantifizieren. Für die vorläufige Betrachtung in diesem Kapitel werden sie nicht
betrachtet.
Die Resultate dieser vorläufigen Studie sind in Abb. 4.3 dargestellt. Die roten
Kurven zeigen den Verlauf des effektiven differentiellen Wirkungsquerschnitts für
γ-Ausstrahlung. Die gestrichelten Linien enthalten nur den Beitrag von direkter
Elektroproduktion, während die durchgezogenen Linien sich aus der Summe von
Elektro- und Photoproduktionsanteil ergeben. Zur Illustration ist einer Gaußkurve an der erwarteten Stelle des elastischen Peak gezeichnet (grün, gestrichelt). Ihre Fläche entspricht dem strahlungskorrigierten differentiellen Wirkungsquerschnitt
der elastischen Streuungp
und ihre Breite der erwarteten Energieauflösung unter der
Annahme σE /E = 4%/ E/GeV. Die verschobenen blauen Gaußkurven berücksichtigen den Energieverlust der gestreuten Elektronen im Aluminium der Streukammer und des Detektorrahmens. Offensichtlich ist dieser Verschiebung bei der
4.2. UNTERGRUND
73
dσ/dΩdE ′ [nb sr−1 MeV−1 ]
4
E = 854 MeV, θ = 35◦
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
200
400
600
′
E [MeV]
800
1000
dσ/dΩdE ′ [nb sr−1 MeV−1 ]
1.2
E = 315 MeV, θ = 145◦
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
50
100
150
200
′
E [MeV]
250
300
350
Abbildung 4.3: Rote Kurven: Differentielle Wirkungsquerschnitte für γ-Erzeugung aus π 0 Zerfall durch Elektroproduktion allein (gestrichelt) und für die Summe aus
Elektro- und bremsstrahlungsinduzierter Photoproduktion (durchgezogen).
Die grünen und blauen Gaußkurven zeigen die Lage der elastischen Linie
ohne bzw. mit Berücksichtigung der Energieverluste von Elektronen. Ihre
Fläche entspricht dem Wirkungsquerschnitt für elastische Streuung und ihre Breite der erwarteten Energieauflösung (σE /E = 4% bei 1 GeV). Der
Abfall der Photonenspektren bei kleinen Energien beruht auf der Kinematik der Reaktion.
74
KAPITEL 4. EXTRAKTION DER ASYMMETRIE
Tabelle 4.2: Zusammenfassung zur Abschätzung des γ-Untergrundbeitrags zum elastischen Peak. Angegeben sind: die Energie der elastisch gestreuten Elektronen
Eel , der mittlere Energieverlust ∆E im Aluminium der Vakuumkammerwand
und des Kalorimeterrahmens, die erwartete Energieauflösung σE bei der Peakenergie (mit σE /E = 4% bei 1 GeV) und die maximale Energie der π 0 Zerfallsphotonen. Der untere Teil der Tabelle zeigt die zweifach differentiellen Wirkungsquerschnitte für: elastische Streuung unter Berücksichtigung der
Strahlungskorrekturen (s. Kapitel 5), γ-Erzeugung durch π 0 -Zerfall, wobei der
dreifach differentielle Wirkungsquerschnitt von Abb. 4.3 über die γ-Energie
von Eel − ∆E − 2σE integriert wurde.
Strahlenergie
Streuwinkel
Elastische Energie
Energieverlust
Energieauflösung
Max γ-Energie
d2 σelas
[nb sr−1 ]
dΩ
d2 σγ
[nb sr−1 ]
dΩ
854 MeV
35◦
315 MeV
145◦
734.0 MeV
14.6 MeV
34.3 MeV
727.0 MeV
195.5 MeV
13.8 MeV
17.7 MeV
185.2 MeV
219.3
8.620
1.059
13.204
Messung unter Rückwärtswinkel für das Signal-Untergrund-Verhältnis relevant. Einige wichtige Größen sind in der Tabelle 4.2 zusammengefasst.
In Abb. 4.4 werden unter Rückwärtswinkel mit einer Strahlenergie von 315
MeV gemessene Energiespektren gezeigt. Das Gesamtspektrum (oben) entspricht
den Erwartungen der vorliegenden Zählratenabschätzungen, dass durch die kalorimetrische Messung keine Trennung der elastischen Streuereignisse möglich ist und
dass das Signal-Untergrund-Verhältnis in der abgeschätzten Größenordnung liegt.
Durch die Anwendung der Szintillationszähler als Tagger für gestreute geladene
Teilchen, wie im Kapitel 3 beschrieben, wird das Elektronenspektrum vom Spektrum der ungeladenen Teilchen separiert. Beide Spektren sind unten in Abb. 4.4
aufgezeichnet. Hierbei wurde die Energieskala so geeicht, dass die Lage des Peaks
im Elektronenspektrum der nominellen Energie elastisch gestreuter Elektronen unter dem gegebenen Streuwinkel entspricht, ohne die Energieverluste der Elektronen
zu berücksichtigen. Konsequenterweise ist die Eichung für das Spektrum der ungeladenen Teilchen so, dass die Ereignisse zu größeren Energien zugeordnet werden.
Ein qualitativer Vergleich mit Abb. 4.3 bestätigt die Erwartung, dass bei dieser
Messung der bedeutendste Untergrundbeitrag aus dem Zerfall ungeladener Pionen
stammt. Sowohl das Flächenverhältnis als auch die relative Lage der gemessenen
Spektren entspricht in guter Näherung dem Verlauf der Wirkungsquerschnitte. Man
beachte dabei, dass die Kurve des Wirkungsquerschnitts für γ-Abstrahlung keinen
Effekt der Energieauflösung enthält und dass im gemessenen Spektrum der Abfall
4.2. UNTERGRUND
75
140
120
Gesamtspektrum
counts / 103
100
80
60
40
20
0
0
50
100
150
200
′
E [MeV]
250
300
350
300
350
120
counts / 103
100
γ-Spektrum
e− -Spektrum
80
60
40
20
0
0
50
100
150
200
′
E [MeV]
250
Abbildung 4.4: Unter Rückwärtswinkel mit einer Strahlenergie von 315 MeV gemessene Spektren. Oben: das Gesamtspektrum ohne Ereignistagging durch
den Szintillationszähler. Unten: Trennung durch den Szintillatortagger der
Ereignisse ungeladener Teilchen (γ-Quanten) von denen geladener Teilchen (Elektronen). Die Energieeichung der Spektren wurde durch die Zuweisung der nominellen Energie der elastisch gestreuten Elektronen (s.
Tab. 4.2) zur Lage der Peak im Elektronenspektrum vorgenommen.
76
KAPITEL 4. EXTRAKTION DER ASYMMETRIE
bei niedrigeren Energien durch die Akzeptanz des ADCs bestimmt wird, während
er im Wirkungsquerschnitt kinematischer Natur ist.
4.2.3 Konversionsuntergrund
Dank des Einsatzes des Szintillationstaggers ist die Messung der Asymmetrie in
der elastischen Streuung unter Rückwärtswinkeln durchaus möglich. Wie man am
Spektrum der geladenen Teilchen in Abb. 4.4 erkennt, ist das Signal-UntergrundVerhältnis im Bereich der elastischen Linie angemessen. Um dieses zu quantifizieren, müssen die restlichen Untergrundquellen untersucht werden. Die bedenklichsten Beiträge kommen von γ-Ereignissen, bei denen ein Signal im Plastikszintillator erzeugt wird und die daher im geladenen Teilchenspektrum gezählt werden. Der
Hauptmechanismus dafür basiert auf den Wechselwirkungen der γ-Quanten in der
Wand der Vakuumkammer, die sich zwischen Target und Szintillationszähler befindet, oder im Plastik-Szintillatormaterial selbst. Bei solchen Ereignissen werden
geladene Teilchen erzeugt, die Energie im Szintillator deponieren. In diesem Sinne
wird von Konversionsuntergrund gesprochen. Dazu ist die Elektron-Positron-Paarbildung am wichtigsten, aber die Beiträge von der Compton-Streuung sind auch
relevant, während der Photoeffekt bei diesen Energien vernachlässigbar ist.
Einen einfachen Ausdruck für den totalen Wirkungsquerschnitt für Paarbildung
in der Näherung vollständiger Abschirmung (complete screening) des elektrischen
Kernfeldes durch die Hüllenelektronen findet man in [40]
CS
σPaar
=
7 A
,
9 X0 NA
(4.13)
wobei NA die Avogadro-Zahl, A das Molargewicht und X0 die Strahlungslänge
sind (26.98 g mol−1 bzw. 24.01 g cm−2 für Aluminium). Wie dort angegeben, ist
diese Näherung für große γ-Energien verwendbar, und wenn das Konversionsmedium Elemente mit hohen Atomzahlen enthält. In dem betrachteten Fall von Photonen mit Energien bis 200 MeV auf Aluminium (Z=13) kann sie definitiv nicht benutzt werden, wie in Abb. 4.5 gezeigt wird. Für eine Abschätzung der Konversionswahrscheinlichkeit müssen die Effekte der unvollständiger Abschirmung des Kernfeldes berücksichtigt werden, und das wurde nach den Vorschriften von Tsai [90]
vollbracht. Die dazugehörigen Formel sind allerdings zu länglich, um hier wiedergegeben zu werden. Es sei nur erwähnt, dass sie die Coulomb-Korrekturen zum
Born-Term enthalten [95, 96] und die Abschirmung durch die Screening-Funktionen berücksichtigt werden, die sich sowohl aus den elastischen [97] als auch inelastischen [98, 99] Atom-Formfaktoren ergeben. Für das Aluminiumatom wurden die
Formfaktoren der Thomas-Fermi-Molière-Theorie (TFM) [100] verwendet.
Die gleiche Betrachtung muss für das Szintillationsmaterial Polyvinyltoluene
angewandt werden, denn dieses besteht aus Elemente mit noch kleineren Atomzahlen, nämlich Kohlenstoff (Z=6) zu 91.5% des Gewichts und Wasserstoff (Z=1)
zu 8.5%. Hierzu wurden die TFM-Atomformfaktoren für Kohlenstoff benutzt und
4.2. UNTERGRUND
77
2.5
σ/Atom [barn]
2
CS
σPaar
1.5
ning
γ → e± - incomplete scree
1
0.5
0
Compton
0
50
100
150
200
k [MeV]
250
300
350
Abbildung 4.5: Wirkungsquerschnitte pro Atom für Paarbildung und Compton-Streuung
in Aluminium. Die Kurve der inkohärenten Compton-Streuung wurde
durch Integration der Klein-Nishina-Formel [101, 102] berechnet, und die
Paarbildung-Kurve nach den Formeln von Tsai [90]. Ein Vergleich mit dem
CS im Fall vollständiger Abschirmung (Gl. (4.13))
Wirkungsquerschnitt σPaar
zeigt, dass jene Näherung im betrachteten Fall nicht gültig ist.
für Wasserstoff die sich aus der exakten Grundzustands-Wellenfunktion ergebenden
Formfaktoren.
Um die Wechselwirkungswahrscheinlichkeit in beiden Materialschichten zu ermitteln, muss der totale Wirkungsquerschnitt pro Atom mit der Volumendichte der
Atome im Medium und der Dicke der Materialschicht multipliziert werden. Das
Resultat dieser Rechnungen ist in Abb. 4.6 dargestellt. Die gezeichneten Werte
sollten aus zwei folgenden Gründen als eine obere Grenze für die erwartete Wahrscheinlichkeit der Fehlerkennung von γ-Ereignissen angenommen werden, weil eine Wechselwirkung nur dann zum Auslösen eines Triggers führt, wenn im Szintillator genügend Licht erzeugt wird:
1. Die totalen Wirkungsquerschnitte sind als Integral über alle Energien der beteiligten geladenen Teilchen errechnet. Wenn diese Energien aber zu kleine
Werte haben, können die geladenen Teilchen entweder vor dem Szintillationszähler absorbiert werden oder in diesem nicht genug Szintillationslicht
erzeugen, um ein Trigger auszulösen. Ähnliche Überlegungen gelten für die
Integration über die Entstehungswinkel der geladenen Teilchen.
2. Es wurde stets die gesamte effektive Dickea der Szintillator-Kunststoffschicht
betrachtet, obwohl die von den entstandenen geladenen Teilchen zurückgelegte Strecke im Szintillator – und somit die Menge des ausgestrahlten Lichtes
78
KAPITEL 4. EXTRAKTION DER ASYMMETRIE
Wahrscheinlichkeit [%]
10
9
8
7
Szintillator
6
Streukammer
5
4
0
50
100
150
200
ω [MeV]
250
300
350
Abbildung 4.6: Wechselwirkungswahrscheinlichkeiten im Aluminium der Streukammerwand und im Plastikszintillator als Funktion der Photonenergie ω. Die Kurven enthalten Beiträge von inkohärenter Compton-Streuung an Atomelektronen und von Paarbildung im atomaren elektrischen Feld.
Element
Streukammerwand
Plastik-Szintillator
a
Al
C
H
Volumendichte
[cm−3 ]
6.03 · 1022
4.73 · 1022
5.23 · 1022
Effektive Dickea
[cm]
0.87
3.49
Die effektive Dicke ergibt sich als Verhältnis der Materialdicke zum Sinus des Einfallwinkels θ. Hier
wurde beispielhaft θ=145◦ angenommen.
– von der Lage der Wechselwirkung im Szintillator abhängt.
Mit diesen Überlegungen kann man die hier berechneten Wechselwirkungswahrscheinlichkeiten benutzten, um eine Abschätzung des zu erwartenden Konversionsuntergrunds zu gewinnen. Multipliziert man die Summe der Wahrscheinlichkeiten
von Abb. 4.6 mit dem Wirkungsquerschnitt für γ-Erzeugung aus dem π 0 -Zerfall
(Abb. 4.3), so erhält man die Wirkungsquerschnitte, die in der oberen Tafel in
Abb. 4.7 gezeigt sind. Der für diese Diskussion interessante Energiebereich liegt
zwischen ungefähr 100 MeV und 200 MeV, also im Peakbereich und wo die erwartete Untergrundrate nicht vernachlässigbar ist. Bei kleineren Energien ist der
Vergleich nicht sehr brauchbar: Zum einen, weil die Absorption der geladenen Teilchen aus der Konversion vor dem Szintillationszähler wahrscheinlicher wird, hier
aber nicht berücksichtigt wurde, und zum anderen, weil im gemessenen Spektrum
4.2. UNTERGRUND
79
dσ/dΩdE ′ [nb sr−1 MeV−1 ]
0.25
0.2
Elastisch
Konversionsuntergrund
0.15
0.1
0.05
0
0
50
100
150
200
′
E [MeV]
250
300
350
250
300
350
25
Gemessenes Koinzidenzspektrum
counts / 103
20
15
10
5
0
0
50
100
150
200
′
E [MeV]
Abbildung 4.7: Abschätzung des Konversionsuntergrunds. Die rote Kurve oben ist das Produkt aus der Konversionswahrscheinlichkeit (Summe der beiden Funktionen in Abb. 4.6) mit dem in Abb. 4.3 aufgezeichneten differentiellen Wirkungsquerschnitt des γ-Untergrunds. Effekte der Energieauflösung sind bei
der Berechnung dieser Kurve nicht enthalten. Die erwartete elastische Linie
wird analog zu Abb. 4.3 als Gaußkurve in blau dargestellt. Zum qualitativen Vergleich wird unten ein gemessenen Spektrum gezeigt.
80
KAPITEL 4. EXTRAKTION DER ASYMMETRIE
ADC-Schwelleneffekte auftreten. Darüber hinaus sollte beachtet werden, dass die
Lage des elastischen Peaks nicht um den mittleren Energieverlust ∆E korrigiert
wurde, da auch im gemessenen Spektrum die Energieeichung durch die nominelle
elastische Streuenergie erfolgt. Im Gegenteil wurde als grobe Abschätzung für die
Energieverluste bei Konversionsereignissen die Kurve des Untergrundes um ∆E zu
kleineren Energien verschoben. Das liegt daran, dass im genannten Energiebereich
der dominierende Konversionsmechanismus die Elektron-Positron-Paarbildung ist.
Dabei werden meistens zwei minimal ionisierende Teilchen erzeugt, und daher erwartet man einen etwa doppelt so großen Energieverlust.
Die Effekte der Energieauflösung sind in der gezeigten Kurve nicht enthalten.
Das gesamte Energieauflösungsvermögen, das die Effekte der Schwankungen im
elektromagnetischen Schauer beinhaltet, ist für die Konversionsuntergrundereignisse voraussichtlich anders als für nicht konvertierte γ-Ereignisse, denn für die ersten
fängt der elektromagnetische Schauer früher an und entwickelt sich breiter im Kalorimeter, was zu größeren Fluktuationen in der Energiemessung führt.
4.3 Behandlung des Konversionsuntergrunds
Im letzten Abschnitt wurde gezeigt, dass die Beiträge des Konversionsuntergrunds zum Peak der elastischen Ereignisse nicht vernachlässigbar sind. Deswegen
ist eine Behandlung dieses Untergrunds bei der Datenanalyse erforderlich. D.h., der
aus dem elastischen Peak extrahierten Asymmetrie muss eine Korrektur angebracht
werden, die von folgenden Größen abhängt:
1. Der Anteil von Untergrundereignissen, die im Integrationsintervall enthalten
sind;
2. Die Helizitätsasymmetrie, die diese Ereignisse besitzen.
4.3.1 Ein einfaches Verfahren zum Konversionsuntergrundabzug
Da der Konversionsuntergrund aus dem π 0 -Zerfall stammt, können diese beiden
Größen im Prinzip aus den Daten ermittelt werden, weil das mitgemessene Spektrum der ungeladenen Teilchen von den π 0 -Zerfallereignissen dominiert ist und daher eine direkte Messung des γ-Spektrums aus dem π 0 -Zerfall darstellt.
Die Verteilung des Konversionsuntergrunds im Energiespektrum der geladenen Teilchen unterscheidet sich vom γ-Spektrum nur wegen der energieabhängigen
Konversionswahrscheinlichkeit und der Energieverluste der sekundären geladenen
Teilchen. Diese beiden Effekte können als Teil der Detektorantwort auf Streuereignisse angesehen werden, und wenn man sie kennt, kann der Konversionsuntergrund
direkt aus dem γ-Spektrum erhalten werden.
4.3. BEHANDLUNG DES KONVERSIONSUNTERGRUNDS
81
90
80
γ-Spektrum
Elektronenspektrum
counts / 103
70
60
50
40
Konversionsuntergrund
30
20
10
0
0
50
100
150
200
Energy [MeV]
250
300
350
Abbildung 4.8: Abschätzung des Beitrags vom Konversionsuntergrund zum ElektronenSpektrum durch das gemessene γ-Spektrum. Das gefüllte blaue Spektrum wurde durch energieunabhängige Skalierung und Verschiebung des γSpektrums erhalten. Als Skalierungs- und Verschiebungs-Parameter wurden repräsentativ die Werte 0.12 bzw. 2×∆E=27.7 MeV verwendet, die
sich aus der hier geschilderten vorläufigen Betrachtung ergeben. Man erkennt schon, dass die Konversionswahrscheinlichkeit überschätzt wird,
denn links vom elastischen Peak werden Beiträge vom Strahlungsschwanz
erwartet, und daher kann der Konversionsuntergrund nicht das gesamte
Elektronenspektrum ausmachen.
Dafür können einige Annahmen gemacht werden, um die Aufgabe zu vereinfachen. Zuerst kann die Energieabhängigkeit der Konversionswahrscheinlichkeit vernachlässigt werden, weil sie sich im Peak-Bereich (150-200 MeV) nur wenig ändert
(siehe Abb. 4.6). Zweitens können aus demselben Grund auch die Energieverluste bei Konversionsereignissen als energieunabhängig angesehen werden. Letztlich
werden die Unterschiede in der Energieauflösung von unkonvertierten und konvertierten γ-Ereignissen vernachlässigt.
Diesen Annahmen folgt, dass die Verteilung der Konversionsereignisse näherungsweise dieselbe Form des γ-Spektrums besitzt, und kann von diesem durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor und durch eine Verschiebung zu niedrigeren
Energien erhalten werden. Ein Beispiel ist in Abb. 4.8 gegeben. Dabei ist das γSpektrum mit dem konstanten Faktor κ = 0.12 skaliert (siehe Abb. 4.6 bei ungefähr
200 MeV) und um s = 2 × ∆E = 27.7 MeV zu kleineren Energien verschoben
worden.
Es wird sich anhand von detaillierten Simulationen zeigen, dass diese einfache
82
KAPITEL 4. EXTRAKTION DER ASYMMETRIE
Methode der Untergrundbestimmung praktikabel ist. Darüber hinaus müssen die
beiden benötigten Parameter – Skalierungsfaktor κ und Verschiebung s – mittels
solcher Simulationen bestimmt werden.
Für die Korrektur der Asymmetrie wurden zwei unterschiedliche Verfahren angewandt [103, 104]. Im ersten Verfahren werden zwei Asymmetrien Aγ und Ae aus
den beiden Spektren extrahiert. Ae wird durch das im Abschnitt 4.1 beschriebene
Verfahren für die Festlegung der Integrationsgrenzen bestimmt. Aus diesen werden
die entsprechenden Integrationsgrenzen für das γ-Spektrum durch Verschiebung zu
höheren Energien berechnet. Mit den neuen Integrationsgrenzen werden Aγ und
der Kontaminationsfaktor ǫ = κNγ /Ne bestimmt, wobei Nγ und Ne die Ereignisanzahl in den beiden Spektren zwischen den jeweiligen Integrationsgrenzen sind. Die
korrigierte Asymmetrie ergibt sich dann als
Akorr =
Ae − ǫAγ
.
1−ǫ
Im zweiten Verfahren wird das Histogramm des γ-Spektrums für beide Polarisationseinstellungen skaliert und zu kleineren Energien verschoben, und dieses
Histogramm wird vom Spektrum der geladenen Teilchen abgezogen. Aus diesen
subtrahierten Histogrammen wird dann die korrigierte Asymmetrie extrahiert. Um
die von der Untergrundverdünnung eingeführte systematische Unsicherheit zu berücksichtigen, wird die Asymmetrie für jedes Bin im Histogramm berechnet. Ein
gewichteter Mittelwert wird dann gebildet, wobei die Bin-Gewichtung vom abgeschätzten Untergrundinhalt in jedem Bin abhängt.
Beide Verfahren ergeben miteinander verträgliche Resultate, aber mit dem zweiten wird eine etwas bessere Unsicherheit erzielt, weil die in den Spektren enthaltene
Information über die Verteilung des Untergrunds effektiver ausgenutzt wird.
4.3.2 Notwendigkeit einer systematischen Untergrunduntersuchung
Wie gezeigt wurde, sind bei Messungen unter Rückwärtswinkeln Untergrundprozesse nicht vernachlässigbar. Insbesondere erfordert der Beitrag des sogenannten Konversionsuntergrunds zum Signal der elastischen Ereignisse eine Korrektur
an der extrahierten Asymmetrie.
Die im vorangegangenen Kapitel geschilderte vorläufige Behandlung des Konversionsuntergrunds basiert an verschiedenen Stellen auf Vereinfachungen.
• Die endliche Ausdehnung des Targets wurde vernachlässigt und somit die
Ablenkungen und die Energieverluste der Strahlelektronen in der Targetzelle. Da die Wirkungsquerschnitte der Streuprozesse vom Streuwinkel und von
der Energie des einfallenden Elektrons abhängen, ergibt sich für jeden Ort
im Target durch Mittelung über alle Strahlelektronen eine unterschiedliche
4.3. BEHANDLUNG DES KONVERSIONSUNTERGRUNDS
effektive Raumwinkelabdeckung des Detektors und ein effektiver Wirkungsquerschnitt. Die gesamten Energieverteilungen der in jedes Detektormodul
gestreuten Teilchen ergeben sich dann aus der Überlagerung der Beiträge aus
allen Bereichen des Targets.
Besonders wichtig wäre die Berücksichtigung der Targetausdehnung bei der
Photoproduktion von Pionen, da diese von Bremsstrahlungsphotonen induziert wird, deren Fluss mit der Tiefe im Target wächst.
• Die Energieverluste der Elektronen in den Materialschichten zwischen Target und Detektor wurden durch die mittleren Kollisionverluste angenähert.
Schwankungen dieser Verluste und Ablenkungen der Elektronen in solchen
Materialschichten tragen aber zur Energieauflösung bei.
Die radiativen Verluste wurden gar nicht betrachtet. Man erwartet aber, dass
sie die relative Verschiebung des Elektronenspektrums zum γ-Spektrum beeinflussen und auch einen Beitrag zur Energieauflösung ergeben.
• Die Schauerverluste für falsch erkannte γ-Ereignisse (der sog. Konversionsuntergrund) wurden sehr grob mit dem zweifachen mittleren Kollisionsverlust der Elektronen abgeschätzt. Für die vorgeschlagene Untergrundbehandlung wird eine genauere Untersuchung der Verschiebung des Konversionsspektrums benötigt.
• Die Abhängigkeit der Konversionswahrscheinlichkeit von der γ-Energie wurde nur durch die totalen Wirkungsquerschnitte der Paarbildung und der Compton-Streuung berücksichtigt, wobei über alle Energien der sekundären Teilchen integriert wurde. Wenn aber diese Energie klein ist, können die erzeugten geladenen Teilchen vor dem Szintillator absorbiert werden oder zu wenig Licht im Szintillator erzeugen, um ein Koinzidenzsignal auszulösen. Die
effektive Triggerwahrscheinlichkeit des Szintillationstaggers bei diesen Prozessen wird dadurch beeinflusst.
• Die gesamte Strecke im Szintillationszähler wurde für die Berechnung der
Konversionsrate in Anspruch genommen. Doch wenn Konversionsprozesse
kurz vor dem Austritt des γ-Quants aus dem Zähler stattfinden, ist die Triggerwahrscheinlichkeit gering.
• Es wurde keine detaillierte Beschreibung der Detektorantwort unter Berücksichtigung der Schauerfluktuationen und -verluste verwendet. Wegen dieser
Fluktuationen erwartet man aber Abweichungen von der Ladungsstatistik,
und zwar könnten diese für die drei Fälle von Elektron-, γ- und Konversionsereignissen unterschiedlich sein.
All diese Aspekte können mittels Monte-Carlo-Simulationen berücksichtigt
werden. Anhand solcher Simulationen muss bewiesen werden, dass das vorgeschla-
83
84
KAPITEL 4. EXTRAKTION DER ASYMMETRIE
gene Verfahren zur Untergrundsubtraktion praktikabel ist. D.h., dass der Konversionsuntergrund in guter Näherung aus dem γ-Spektrum durch einfache Skalierung
und Verschiebung abgeschätzt werden kann, und dass die Unterschiede in der Energieauflösung vernachlässigbar sind. Zu diesen Zwecken werden folgende Resultate
aus der Simulation benötigt.
1. Das gemessene Energiespektrum muss reproduziert werden.
2. Das Antwortverhalten des Detektors zu den einzelnen Bestandteilen des Spektrums (Signal, γ-Quanten und Konversionsuntergrund) muss geklärt werden,
um zu prüfen, ob die Annahmen für den Untergrundabzug erfüllt sind.
3. Der vom Spektrum der neutralen Teilchen abgeschätzte Konversionsuntergrund muss mit dem simulierten Konversionsspektrum übereinstimmen.
Zusätzlich sollen als Resultat der Simulation die Parameter für Skalierung und Verschiebung bestimmt werden.
Hierzu stellen sich zwei getrennte Hauptaufgaben:
a) Ein theoretisches Energiespektrum muss durch Abtastung der Wirkungsquerschnitte oder durch Ereignisgewichtung berechnet werden. Dafür wurde ein
Ereignisgenerator implementiert, der sowohl die endliche Targetlänge als auch
die Verteilungen der gestreuten Teilchen berücksichtigt.
b) Das Detektorantwortverhalten muss in allen Details unter Berücksichtigung
der Geometrie des Apparats und der Wechselwirkungen der Teilchen mit den
vorhandenen Materialien betrachtet werden. Ein geeignetes Werkzeug dafür
ist die am CERN entwickelte Software-Bibliothek G EANT. Im Rahmen dieser
Arbeit wurde die Bibliothek mehrfach verwendet.
Die Erarbeitung dieser beiden Aufgaben wird in den nächsten zwei Kapiteln vorgestellt.
Kapitel 5
Simulation von Streuprozessen
Voraussetzung zur erfolgreichen Analyse der Rückwärtswinkeldaten ist das
quantitative Verständnis des Energiespektrums. Dieses Verständnis erhält man,
wenn das gemessene Spektrum mit einer Monte-Carlo-Simulation vollständig reproduziert wird. Diese herausfordernde Aufgabe wurde in vorherigen Arbeiten ansatzweise [105, 106] unternommen, aber noch nicht geleistet.
Für die vollständige Simulation des Energiespektrums benötigt man neben der
Berücksichtigung der Detektorantwort die Kenntnis der Streuprozesse, denen die
Strahlelektronen im Target unterliegen. Konkret müssen die Streuwahrscheinlichkeiten dieser Prozesse und die Winkel- und Energieverteilungen der gestreuten Teilchen bekannt sein. Mathematisch bedeutet dies, dass die totalen und differentiellen Wirkungsquerschnitte der betrachteten Prozesse numerisch berechnet werden
müssen. Die differentiellen Wirkungsquerschnitte werden dann als Wahrscheinlichkeitsdichteverteilungen für die relevanten kinematischen Variablen der gestreuten
Teilchen interpretiert, und von ihnen können die Endzustände der Streuprozesse
abgetastet werden.
Um diese numerischen Rechnungen durchzuführen, wurde ein Ereignisgenerator implementiert. Seine allgemeinen Eigenschaften werden im Abschnitt 5.1 vorgestellt. Im Rest des Kapitels werden dann die Rechnungen zu den Wirkungsquerschnitten besprochen.
5.1 Allgemeines zum Ereignisgenerator
Im Rahmen des Ereignisgenerators müssen für jedes Streuereignis alle Variablen festgelegt werden, die den Anfangszustand für die auf die G EANT-Bibliothek
basierte Simulation der Detektorantwort definieren. Unter Streuereignis versteht
man hier jede Wechselwirkung zwischen einem Strahlelektron und einem Targetkern, bei der Teilchen ausgesendet werden, deren Impuls in der Energie- und Winkelakzeptanz des Detektors liegt. Der Endzustand dieser Wechselwirkung bestimmt
dann den Anfangszustand der Detektorantwort-Simulation.
85
86
KAPITEL 5. SIMULATION VON STREUPROZESSEN
Ein solcher Zustand wird durch folgende Informationen charakterisiert:
• Lage des Wechselwirkungspunkts im Target.
• Impuls der in die Detektorakzeptanz gestreuten Teilchen.
• Wahrscheinlichkeit der Wechselwirkung, die zur Ereignisgewichtung beim
Vergleich mit dem gemessenen Spektrum verwendet werden soll.
Um diese Informationen zu erhalten, benötigt man neben der Kenntnis von differentiellen und totalen Wirkungsquerschnitten einen Anfangszustand für die zu simulierende Wechselwirkung und eine Methode, um die Endzustände aus den Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu würfeln. Der Anfangszustand der Wechselwirkung
ergibt sich aus Lage und Impuls eines Strahlelektrons.
5.1.1 Anfangszustand
Um den Anfangszustand der Streuereignisse zu würfeln, müssen Ablenkungen
und Energieverluste der Strahlelektronen in der Targetzelle bis zum Wechselwirkungspunkt berücksichtigt werden. In der Regel werden bei hohen Energien nur die
radiativen Verluste berücksichtigt und die Impulsablenkungen vernachlässigt, wie
nach [90]. Bei einer Strahlenergie von 315 MeV und mit einem 23 cm langen Target, was mehr als 2% der Strahlungslänge von Flüssigwasserstoff entspricht, sind
die von Kollisionen verursachten Energieverluste nicht mehr vernachlässigbar, und
die Ablenkungen der Impulsrichtung aufgrund der Mehrfachstreuung werden bedeutsam.
All diese Effekte können mit Hilfe von G EANT berücksichtigt werden, da es
ein dafür gut geeignetes Werkzeug darstellt. Die Grundidee ist, dass jedes einzelne Strahlelektron durch das Target bis zum Wechselwirkungspunkt verfolgt wird
und die Tracking-Information von G EANT für den Impuls des zu bestimmenden
Anfangszustands verwendet wird.
Da aber die Wahrscheinlichkeit der zu simulierenden Streuprozesse sehr klein
ist (der Größenordnung 10−8 ), wäre eine völlig kohärente Simulation dieser Prozesse, bei der Streuereignisse mit ihrer tatsächlichen Wahrscheinlichkeit generiert
werden, zu ineffizient und die notwendigen Rechenzeiten, um eine hinreichende
Statistik zu erhalten, zu lang.
Eine sehr gute Effizienz kann hingegen erreicht werden, wenn man sich zunutze
macht, dass viele Strahlelektronen sehr ähnliche Vorgänge während des Durchquerens des Targets erfahren. Daraus folgt, dass jede simulierte Spur wie eine Mittelung
über viele Strahlelektronen angesehen werden kann. Aus derselben Spur können
daher mehrere Anfangszustände erzeugt werden. Dafür werden “weiche” Prozesse,
die sehr wahrscheinlich sind und in der Regel nur kleine Ablenkungen und Energieverluste verursachen, von den abzutastenden “harten” Streuprozessen unterschieden, die viel unwahrscheinlicher sind, doch ein Signal im Detektor auslösen. Die
5.1. ALLGEMEINES ZUM EREIGNISGENERATOR
ersten werden durch die in G EANT enthaltenen Verschmierungsprozesse (Bremsstrahlung, Ionisation und Mehrfachstreuung) in einer kohärenten Simulation betrachtet, in der die Strahlelektronen durch das ganze Target verfolgt werden. Aus
dieser Simulation erhält man für jedes Elektron eine Reihe von durch Lage und Impuls charakterisierten Anfangszuständen, die für die Abtastung der harten Prozesse
verwendet werden. Das geschieht jedoch, ohne die G EANT-Simulation der weichen
Prozesse zu beeinflussen.
Auf zwei Aspekte sollte allerdings geachtet werden. Einerseits muss die Normierung der gesamten Simulation beim Vergleich mit dem gemessenen Spektrum
konsistent berechnet werden.
Andererseits soll die mittlere Anzahl der generierten Ereignisse pro verfolgtem
Strahlelektron, oder die Anzahl der verfolgten Elektronen bei gegebener Anzahl
von generierten Ereignissen, so gewählt werden, dass der resultierende Satz von
Anfangszuständen nicht zu stark von der spezifischen Stichprobe der simulierten
Spuren beeinflusst wird. Enthält die Stichprobe aus Zufall eine sehr unwahrscheinliche Spur, z.B. wenn ein Elektron am Anfang des Targets ein hochenergetisches
γ-Quant ausstrahlt, und ist die Anzahl der Abtastungen aus dieser Spur sehr hoch
im Vergleich mit der Gesamtzahl der simulierten Detektorereignisse, so wird der
unwahrscheinliche Vorgang im Ereignissatz unnatürlich stark vertreten.
Die Anzahl der Abtastungen pro verfolgtem Strahlelektron wurde gesteuert, indem die Schrittlänge des G EANT-Trackings auf ein Maximum von 1 mm begrenzt
wurde und nach jedem Tracking-Schritt das Verhältnis der Schrittlänge zu einer
festgelegten Referenzlänge lref als Wahrscheinlichkeit für das Auslösen einer Endzustandsabtastung benutzt wurde. Für die Prozesse, bei denen keine Gewichtung
durch den differentiellen Wirkungsquerschnitt angewandt wurde (s. nächsten Abschnitt), wurde dieser Wahrscheinlichkeitswert noch mit dem Verhältnis des totalen Wirkungsquerschnitts zu einem prozessbezogenen Referenzquerschnitt multipliziert (typischerweise dem maximalen totalen Wirkungsquerschnitt im betrachteten Energiebereich). In der vorliegenden Simulation wurden für jede Art von Streuprozessen Stichproben in der Größenordnung von 105 Strahlelektronspuren erzeugt,
und die Referenzlänge wurde so gewählt, dass aus jeder Spur ungefähr zehn Mal
abgetastet wurde. Somit erhielt man für jeden Streuprozess etwa eine Million Ereignisse, die zur Detektorsimulation übergeben wurden.
In Abb. 5.1 werden Beispiele für durch das hier beschriebene Verfahren erhaltene Verteilungen von Lage der Wechselwirkung, Energie und Impulsrichtung des
Strahlelektrons vor der Streuung gezeigt. Dabei ist die Strahlenergie 315 MeV, und
Strahl- und z-Richtung sind parallel zueinander. Wie man von der oberen Tafel in
der Abbildung erkennt, liegt die Verbreiterung entlang des Targets eines anfangsweise kleinen Strahlflecks in der Größenordnung von einem Millimeter. Im mittleren Bild wird gezeigt, dass die Energieverluste der Strahlelektronen der für minimal
ionisierende Teilchen durch dünne Materialschichten typischen Landau-Verteilung
folgen, deren Maximum ungefähr linear mit der durchquerten Targettiefe zunimmt.
Unten in der Abbildung sieht man schließlich, wie sich die Verteilung der Impuls-
87
88
KAPITEL 5. SIMULATION VON STREUPROZESSEN
4
3
x [mm]
2
1
0
−1
−2
−3
−4
0
Ereigniszahl
104
50
100
z [mm]
150
200
z < 1 cm
10 cm < z < 11 cm
20 cm < z < 21 cm
103
102
101
300
305
310
315
E0 [MeV]
10000
Ereigniszahl
8000
z < 1 cm
10 cm < z < 11 cm
20 cm < z < 21 cm
6000
4000
2000
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
θ0 [◦ ]
1
1.2
1.4
Abbildung 5.1: Oben: Auf die zx-Ebene projizierte Verteilung der Wechselwirkungspunkte. Ihre Streuung kommt wegen der Ablenkungen der Strahlelektronen zustande. Mitte: Verteilung der Energie der Strahlelektronen bei unterschiedlichen Tiefen im Target. Unten: Verteilung der Impuls-Polarwinkel der
Strahlelektronen bei unterschiedlichen Tiefen im Target
5.1. ALLGEMEINES ZUM EREIGNISGENERATOR
richtungen entlang des Targets ausbreitet.
5.1.2 Abtastung von Endzuständen
Sobald der Impuls des Strahlelektrons unmittelbar vor dem Streuprozess festliegt, ist der Wirkungsquerschnitt für den Prozess im Prinzip berechenbar und die
Abtastung von einem Endzustand möglich.
Die Abtastung eines Endzustands soll die Impulse der in der DetektorantwortSimulation zu verfolgenden Teilchen ergeben. Im Wesentlichen müssen für jedes
Endzustandsteilchen zwei Variable nach dem jeweiligen differentiellen Wirkungsquerschnitt gewürfelt werden: Die Energie und der polare Streuwinkel, wobei die
z-Achse für jedes Ereignis entlang des Impulses des Anfangselektrons liegt. Der
azimutale Streuwinkel wird im Allgemeinen für alle Prozesse, die nur ein Teilchen im Endzustand enthalten, gleichverteilt gewürfelt. Bei Prozessen mit mehr
als einem Endzustandsteilchen ist jedoch der ϕ-Winkel von nur einem Teilchen frei
wählbar, für die anderen Teilchen muss der mehrfach differentielle Wirkungsquerschnitt berücksichtigt werden. Wie dies bei jedem einzelnen Prozess realisiert ist,
wird, wo es nötig ist, in den nächsten Abschnitten beschrieben.
Zur Abtastung der Endzustände wurden zwei verschiedene Methoden angewandt.
1. Gleichförmige Verteilungen der Variablen werden angenommen, und der differentielle Wirkungsquerschnitt für die Ereignisgewichtung wird verwendet.
2. Die Variablen werden nach der vom differentiellen Wirkungsquerschnitt gegebenen Verteilung gewürfelt.
Im ersten Verfahren wird jedes Ereignis mit folgendem Faktor gewichtet:
dσ
VΦ ,
dΦ
wobei I, ρV und T der experimentelle Strahlstrom, die Volumendichte des Targets
und die Messzeit sind, dσ/dΦ der nach dem passenden Phasenraumelement abgeleitete differentielle Wirkungsquerschnitt und VΦ das Phasenraumvolumen, in dem
die kinematischen Variablen gleichförmig gewürfelt worden sind. Die Vorteile dieses Verfahrens sind, dass der entsprechende Algorithmus einfacher zu implementieren ist und dass derselbe Satz von simulierten Detektorantwortereignissen für
mehrere Prozesse verwendet werden kann. Das ist für die Entwicklungs-, Test- und
Auswertungsphase der Gesamtsimulation sehr praktisch, denn die Simulation der
Detektorantwort stellt den zeitaufwendigsten Teil des Simulationsverfahrens dar.
Die Gewichtungsmethode ist allerdings nur für Prozesse anwendbar, die ein
kontinuierliches Energiespektrum ergeben. Ist das Spektrum diskret, wie z.B. im
Fall der elastischen Streuung am Proton, wo bei gegebenem Streuwinkel die Energie festgelegt ist, oder ist es sehr scharf um eine bestimmte Energie gepikt, so ist
die Methode nicht anwendbar.
IρV T lref
89
90
KAPITEL 5. SIMULATION VON STREUPROZESSEN
In solchen Fällen wurde dann die 2. Methode (direkte Abtastung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen) verwendet. Dabei muss der differentielle Wirkungsquerschnitt über den ausgewählten kinematischen Bereich integriert, normiert und
die so erhaltene Stammfunktion invertiert werden.
Wie schon im letzten Abschnitt erwähnt, wird in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit für die Auslösung der Abtastung nach jedem Tracking-Schritt in der Strahlelektron-Simulation mit dem Faktor σ(E0 )/σmax multipliziert, wobei σ(E0 ) der totale Wirkungsquerschnitt mit der von G EANT berechneten Anfangsenergie E0 ist,
und σmax ein Referenzquerschnitt, der größer als der maximale Wert von σ(E0 ) im
betrachteten Energiebereich sein muss, damit σ(E0 )/σmax immer kleiner als eins
ist. Somit werden die simulierten Ereignisse beim Vergleich mit dem gemessenen
Spektrum für jeden Prozess mit dem gemeinsamen Gewichtsfaktor histogrammiert:
IρV T lref σmax .
Wahl der kinematischen Bereiche. Um alle Beiträge von Streuprozessen zum
gemessenen Spektrum zu berücksichtigen, müssen Energie und Impulsrichtung der
Endzustandsteilchen in einem Phasenraumvolumen erzeugt werden, das die gesamte Akzeptanz des Detektors abdeckt.
Für die Energie besteht immer eine kinematische obere Grenze. Nur eine untere
Grenze muss festgelegt werden. Obwohl diese sehr unkritisch ist, weil den Niederenergiebereich des Spektrums weit entfernt vom Peak der elastischen Ereignisse
liegt und für diese Arbeit uninteressant ist, wurde festgestellt, dass Elektronen mit
Energien unterhalb etwa 20 MeV fast komplett vor dem Kalorimeter absorbiert werden und zum Spektrum nicht beitragen. Energien in dieser Größenordnung wurden
dann je nach Prozess als untere Grenze gewählt.
Der zu simulierende Winkelbereich muss jedoch sorgfältig ausgewählt werden,
denn bei den betrachteten Energien sind die Ablenkungen der gestreuten Teilchen
dermaßen, dass zum Spektrum jedes Detektormoduls auch solche Teilchen beitragen, die in einen deutlich größeren als in den vom Detektormodul geometrisch abgedeckten Winkelbereich gestreut werden. Für den Polarwinkel θ wurde anhand
von Versuchsimulationen ein Optimum gefunden, das eine noch gute Effizienz erlaubt, aber auch die vollständige Abdeckung der Detektorakzeptanz gewährleistet.
Der gewählte Winkelbereich ist 130◦ < θ < 157◦ . In Abb. 5.2 (oben) wird die
Wahl dieses Winkelbereichs begründet. Dabei wurde ein Histogramm des Polarwinkels bei den in der Simulation nachgewiesenen Ereignissen erzeugt und auf alle
simulierten Ereignisse normiert. Die so erhaltene Nachweiswahrscheinlichkeit als
Funktion von θ wird Null an den Bereichsrändern. In blau ist dasselbe Resultat für
die nur in den inneren fünf Ringen nachgewiesenen Ereignisse gezeigt, d.h. für die
Detektormodule, die in der Datenanalyse tatsächlich verwendet werden.
Für den Azimutwinkel ϕ kann eine Optimierung der Simulationseffizienz durch
folgende Überlegung erzielt werden: Die Kalorimetermodule sind in sieben Ringen
zu je 146 Kristallen angeordnet. Dafür sind die Kristalle auf Aluminiumrahmen
5.1. ALLGEMEINES ZUM EREIGNISGENERATOR
91
Nachweiswahrscheinlichkeit
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
125
130
135
140
145
150
155
160
◦
θ[ ]
×103
16
14
Ereigniszahl
12
10
8
6
4
2
0
−15
−10
−5
0
ϕ [◦ ]
5
10
15
Abbildung 5.2: Oben: Simulierte Nachweiseffizienzen als Funktion des Polarwinkels θ für
das gesamte Kalorimeter (rot) bzw. für die inneren fünf Ringe (blau). Unten: Verteilung des Azimutwinkels ϕ (s. Erklärung im Text) der zu einem
Modul beitragenden Ereignisse. Der vom betrachteten Modul abgedeckte
ϕ-Winkelbereich wird von den gestrichelten Linien eingeschlossen. Anhand dieser Plots werden die passenden Abtastungsbereiche für die beiden
Variablen θ und ϕ verifiziert.
92
KAPITEL 5. SIMULATION VON STREUPROZESSEN
montiert, und jeder Rahmen trägt sieben Kristalle. Im Prinzip sollte den ϕ-Bereich
so gewählt werden, dass alle zu einen bestimmten Detektorrahmen beitragenden
Ereignisse simuliert werden. Insbesondere sollen auch die beitragenden Teilchen
generiert werden, die direkt nach dem Streuprozess auf einen anderen Rahmen gerichtet sind und wegen Ablenkungen vor dem Detektor oder Schauerfluktuationen
im Kalorimeter von einem Modul des betrachteten Rahmens registriert werden.
Aufgrund der ϕ-Symmetrie des Detektors erwartet man, dass auf den ausgewählten Rahmen gerichteten Teilchen, die in einem Nachbarrahmen histogrammiert werden, dieselbe Antwort ergeben wie die auf den Nachbarrahmen gerichteten Teilchen, die in dem ausgewählten Rahmen registriert werden. Anstatt einen
breiten ϕ-Bereich zu wählen, können daher die Teilchenimpulse nur in den vom betrachteten Modul geometrisch abgedeckten ϕ-Bereich erzeugt werden, wenn man
alle Ereignisse mithistogrammiert, die zu allen Modulen im selben Ring beitragen.
Um alle Beiträge zu berücksichtigen, müssen dann genügend Kalorimeterrahmen in
der Geometriedefinition der G EANT-Simulation der Detektorantwort enthalten sein.
Mit acht Rahmen konnte das Histogramm in Abb. 5.2 (unten) erzeugt werden. Dabei wurden die Einträge, die zu Nachbarrahmen gehören, entlang der ϕ-Achse entsprechend verschoben. Der vom Zentralmodul abgedeckten ϕ-Winkelbereich wird
in der Abbildung von den gestrichelten Linien gezeigt. Bei ungefähr 34% der zum
Modul beitragenden Ereignisse liegt der ϕ-Winkel außerhalb dieses Bereichs.
5.2 Streuprozesse
Der nachzuweisende Prozess im A4-Experiment ist die elastische Elektronstreuung am Proton. Um diesen Prozess zu simulieren, müssen Strahlungskorrekturen
und der dazugehörige Strahlungsschwanz berücksichtigt werden.
Die anderen zum Spektrum beitragenden Prozesse stellen mögliche Untergrundquellen dar. Hier wurden die inelastische Streuung von Elektronen sowie Erzeugung
und Zerfall von ungeladenen Pionen betrachtet.
5.2.1 Elastische Streuung
Im Gegenteil zu den anderen Prozessen ist die elastische Elektron-Proton-Streuung diskret. D.h., bei gegebenem Streuwinkel ist die Elektronenergie vom Viererimpuls-Erhaltungsprinzip festgelegt. Das schließt die Möglichkeit eines Gewichtungsverfahren für die Simulation dieses Prozesses aus.
Die Streuamplitude ergibt sich zur niedrigsten Ordnung in der Kopplungskonstante α durch das Diagramm (a) in Abb. 5.3. Die Kopplung am Nukleonvertex
wurde schon in der Gleichung 2.3 angegeben. Der daraus entstehende Wirkungsquerschnitt lässt sich durch die Rosenbluth-Formel schreiben [107, 108]:
Æ
5.2. STREUPROZESSE
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
93
Abbildung 5.3: Virtuelle Beiträge zur elastischen Streuamplitude. Das Diagramm (a) gibt
einen Beitrag der Ordnung α2 zum Wirkungsquerschnitt. Die Interferenz
zwischen (a) und allen anderen angezeigten Termen trägt zur Ordnung α3
bei. (b) und (c) stellen die Vakuumpolarisation bzw. die Elektronvertexkorrektur dar. Die Born-Beiträge zur Zwei-Photonaustausch-Amplitude werden von den Diagrammen (d) und (e) gezeichnet. (f) ist die Born-Korrektur
zum Nukleonvertex.
wobei
2 2
d2 σ GE (q ) + τ G2M (q 2 )
d2 σ 2
2
2 θ
,
+ 2τ GM (q ) tan
=
dΩ Ros
dΩ Mott
1+τ
2
d2 σ E′
α2
·
cos2 (θ/2)
=
dΩ Mott 4E 2 sin4 (θ/2) E
(5.1)
(5.2)
der Wirkungsquerschnitt für die Elektronenstreuung an einem spinlosen Target endlicher Masse ist.
Strahlungskorrekturen zur elastischen Streuung Bei den im A4-Experiment
vorkommenden Strahlenergien ist die Größe der Quantenfluktuationen dermaßen
bedeutsam, dass Einschleifenkorrekturen zur nächsten Ordnung in der Kopplungskonstante berücksichtigt werden müssen. Solche Korrekturen zur elastischen Streuung erhält man durch die Interferenz zwischen dem Beitrag (a) zur Streuamplitude von Abb. 5.3 und den Diagrammen (b) bis (f). Die wichtigsten Beiträge zu
diesen Diagrammen (mit der Ausnahme des Vakuumpolarisationsdiagramms (b))
sind die niederenergetischen Anteile der jeweiligen Schleifenintegrale [109]. Deswegen können bei den Amplitudentermen (d), (e) und (f) die hadronischen Zwischenzustände durch Dirac-Propagatoren beschrieben werden und die Beiträge von
angeregten Zuständen vernachlässigt werden. Darüber hinaus wird die Nukleonkopplung am Photon mit den beiden Onshell-Formfaktoren beschrieben.
94
KAPITEL 5. SIMULATION VON STREUPROZESSEN
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Abbildung 5.4: Beiträge niedrigster Ordnung zum reellen Strahlungsprozess. Das Integral
über die Photonenergie von Null bis ∆r des daraus resultierenden Wirkungsquerschnitts hebt die Infrarotdivergenzen der virtuellen Korrekturen von Abb. 5.3 auf. Für größere Photonenergien beschreibt dieser Wirkungsquerschnitt den Strahlungsschwanz vom Peak elastischer Ereignisse. Bei der Kinematik des A4-Experiments dominieren die Bethe-HeitlerAmplituden (i) und (ii) über die Protonabstrahlungsbeiträge. Für die Subtraktion der Infrarotdivergenzen der Amplituden (d), (e) und (f) in Abb. 5.3
werden die sogenannten Born-Beiträge (iii) und (iv) gebraucht. Bei diesen
wird die pγ-Kopplung durch die Onshell-Dirac- und -Pauli-Formfaktoren
beschrieben und die hadronischen Zwischenzustände werden durch Diracpropagatoren ersetzt. Angeregte Zwischenzustände spielen dabei keine
wesentliche Rolle.
Die Diagramme (c) bis (f) sind alle infrarotdivergent. Wie es in Quantenfeldtheorie-Lehrbüchern (z.B. [102, 110]) erklärt wird, heben sich die in QED-Schleifendiagrammen vorkommenden Infrarotdivergenzen zu jeder Ordnung in der Störungsreihe exakt auf, wenn reelle Korrekturen miteinbezogen werden. Diese Korrekturen berücksichtigen die Abstrahlung von niederenergetischen Gammaquanten
(Soft-Photonen), deren Gesamtenergie so niedrig ist, dass der Strahlungsprozess
nicht vom eigentlichen – in diesem Fall elastischen – Prozess experimentell unterschieden werden kann.
Die Amplitude für die Abstrahlung eines Gammaquants zur Ordnung α3 setzt
sich aus den in Abb. 5.4 gezeigten Beiträgen zusammen. Aufgrund des DreikörperEndzustands ist der Wirkungsquerschnitt fünffach differentiell, und die Integration
über den Photonraumwinkel ergibt den semiinklusiven Querschnitt:
Z
d5 σγ
d3 σγ
=
dΩ
.
(5.3)
γ
dΩdω ′
dΩdΩγ dω ′
Für die Korrektur des elastischen Wirkungsquerschnitts muss d3 σγ noch über
die Photonenergie ω ′ von Null bis zu einem willkürlichen Schnitt ∆r integriert werden. Der Wert von ∆r muss kleiner als die Energieauflösung des Detektors sein.
5.2. STREUPROZESSE
Dieses Integral hat eine Infrarotdivergenz, die die Divergenz der virtuellen Korrekturen exakt aufhebt.
Der daraus folgende strahlungskorrigierte Wirkungsquerschnitt lässt sich folgendermaßen schreiben,
Z ∆r
3
d2 σ d2 σ d2 σ ′ d σγ
≡ (1 + δ(∆r ))
dω
=
+
,
(5.4)
dΩ korr
dΩ virt
dΩdω ′
dΩ Ros
0
wobei d2 σ/dΩ|virt die virtuellen Korrekturen enthält.
Die Korrektur δ(∆r ) wurde in [109] berechnet, und ein korrekter Ausdruck ist
in [111] zu finden. Das Resultat ist im Anhang B, Gl. (B.19) wiedergegeben. Da
der Ausdruck allgemein für ein Kerntarget der Ladung Z gilt, werden die Terme
in (B.19) nach der Z-Potenz sortiert, damit sich leicht erkennen lässt, zu welchen
Amplituden sie zurückzuführen sind. Alle Terme mit einem Faktor Z auszulassen,
ist äquivalent, die Diagramme mit mehr als einem Protonvertex zu vernachlässigen,
wie schon in [106] und [112] gemacht wurde. Diese sind (d), (e) und (f) in Abb. 5.3
bzw. (iii) und (iv) in Abb. 5.4. Dadurch erhält man die kürzere Formel
α 28 13
−q 2
δ(∆r ) = −
−
log 2
(5.5)
π 9
6
m
2 )
E′
E
1
−q 2
log
,
2 log
− 3 log η +
+ log 2 − 1
m
∆r
2
E
die sich numerisch viel einfacher evaluieren lässt. Die aus den beiden Ausdrücken
resultierenden Korrekturen δ(∆r ) werden für die kinematischen Konfigurationen
des A4-Experimentes in der Tabelle 5.1 zusammengefasst. Man sieht, dass die Korrekturen des Wirkungsquerschnitts aufgrund der Soft-Photonen im Bereich von etwa 7% (bei 315 MeV) bis etwa 15% (bei 1508 MeV) liegen. Der Unterschied zwischen (B.19) und (5.5) beträgt in jeden Fall weniger als 2%, daher kann die vereinfachte Formel (5.5) für die Simulation der elastischen Streuung verwendet werden.
5.2.2 Innere Bremsstrahlung
Für Photonenergien ω ′ > ∆r versteht sich d3 σγ /dΩdω ′ als der Wirkungsquerschnitt für den Strahlungsschwanz aus dem Peak der elastischen Ereignisse. Die
Konsistenz der Betrachtung erfordet, dass die Summe
Z
3
d2 σ ′ d σγ
(1 + δ(∆r ))
dω
+
,
dΩ Ros
dΩdω ′
∆r
nicht vom zu wählenden Wert von ∆r abhängt.
Da die Formel für die Korrektur δ(∆r ) durch Vernachlässigung der nichtinfraroten Terme in den jeweiligen Amplituden bzw. Integralen erhalten wurde, stimmt sie
am besten, wenn ∆r sehr klein ist, eventuell viel kleiner als die Energieauflösung
95
96
KAPITEL 5. SIMULATION VON STREUPROZESSEN
Tabelle 5.1: δ(∆r ) evaluiert nach Gl. (B.19) (mit Z-Termen) und Gl. (5.5) (ohne Z-Terme).
Alle Korrekturen sind negativ, bei den tabellierten Werten wird das MinusVorzeichen ausgelassen. Der Schnittwert ∆r beträgt jeweils eine aufgrund der
Energieauflösung erwartete Standardabweichung
bei der Energie E ′ . Als rep
′
′
präsentativer Wert wurde ∆r /E = 4%/ (E /GeV) angenommen
Kinematik
145 ,
315 MeV
◦
145 ,
420 MeV
.
35◦ ,
570 MeV
◦
35 ,
855 MeV
35◦ , 1508 MeV
◦
mit Z-Termen
0.079
0.086
0.103
0.120
0.146
ohne Z-Terme
0.066
0.070
0.099
0.114
0.135
Diff.
0.013
0.016
0.004
0.006
0.011
des Experiments. Um alle Beiträge zum elastischen Peak zu simulieren, muss dann
der Strahlungsschwanz betrachtet werden. Darüber hinaus möchte man das Energiespektrum auch unterhalb der elastischen Linie quantitativ verstehen.
Das invariante Matrixelement für die Amplituden in Abb. 5.4 hängt vom Polarisationsvektor ǫµr des ausgestrahlten Photons ab,
Mγr = ǫµr Mµ ,
(5.6)
und die Summe von |Mγr |2 über alle Polarisationen kann anhand der Beziehung
[102]
X
µν
ǫµr ǫ∗,ν
(5.7)
r = −g
r
als
|M|2 =
X
r
|Mγr |2 = −M∗µ Mµ
(5.8)
geschrieben werden. Durch Anwendung der QED-Feynman-Regeln nehmen die
Bethe-Heitler-Beiträge (i) und (ii) (Abb. 5.4) folgende Gestalt an (die kinematischen Größen sind in Anhang B.1 definiert):
ie3
lµν hBH,ν
(P ′ − P )2 BH
/′ + /q′ + m ν
/ − /q′ + m µ
µk
′ ′
νk
γ +γ
γ e(k, s) , (5.9)
= ē(k , s ) γ
−2k · q ′
2k ′ · q ′
MµBH =
µν
lBH
hνBH = N̄(P ′, S ′ ) Γν (P ′ − P ) N(P, S)
mit
Γν (q) = F1 (q 2 )γν + i
F2 (q 2 )
σνσ q σ .
2MN
5.2. STREUPROZESSE
97
104
103
BH
BH+Born
102
101
100
′
d5 σ
[pb MeV−1 sr−2 ]
dE dΩdΩ∗γ
105
10−1
−180
−120
−60
0
60
120
180
θγ∗ [◦ ]
Abbildung 5.5: Differentieller Wirkungsquerschnitt für die Abstrahlung eines γ-Quants.
Die Strahlenergie ist E = 315 MeV und die Energie des gestreuten Elektrons E ′ = 150 MeV, sein Streuwinkel im Laborsystem θ = 145◦ . Aufgetragen ist der fünffach differentielle Wirkungsquerschnitt als Funktion des
polaren γ-Ausstrahlwinkels θγ∗ im CM-System (im Anhang B.1 definiert).
Der Azimutwinkel ist φ∗γ = 0. Für die elastischen Formfaktoren wurde die
Dipolparametrisierung verwendet.
Die Born-Beiträge (iii) und (iv) ergeben
MµB = −
ie3
lB,ν hµν
B
(k − k ′ )2
lBν = ē(k ′ , s′ ) γ ν e(k, s)
P
/ − /q′ + M µ
µν
′
′
Γ (−q ′ )
hB = N̄(P , S ) Γν (k − k ′ )
−2P · q ′
/ ′+ /q′ + m ν
µ
′ P
′
+Γ (−q )
Γ (k − k ) N(P, S) .
2P ′ · q ′
Nach Quadrierung dieser Amplituden wie in Gl. (5.8) und Summierung über
Proton- und Elektronspin mittels der Standardmethode der Dirac-Matrizenspurbildung erhält man durch die Anwendung von (B.18) den differentiellen Wirkungsquerschnitt, dessen Ausdruck zu lang ist, um hier wiedergegeben zu werden. Die
dazu notwendige algebraische Rechnung wurde im Rahmen dieser Arbeit mit Hilfe der Computer-Bibliothek GiNaC [113] durchgeführt. Ein Beispiel für die A4Kinematik bei Rückwärtswinkeln ist in Abb. 5.5 angegeben. An dem Plot erkennt
98
KAPITEL 5. SIMULATION VON STREUPROZESSEN
man, dass in diesem kinematischen Regime die Beiträge der Born-Amplituden (iii)
und (iv) in Abb. 5.4 vernachlässigbar sind.
Die Abb. 5.5 zeigt, dass die größten Beiträge zum Wirkungsquerschnitt für
die Elektronstreuung mit Ausstrahlung eines hochenergetischen γ-Quants aus zwei
sehr begrenzten Raumwinkelbereichen des γ-Impulses zustande kommen. Diese befinden sich nah an der Impulsrichtung des einlaufenden oder auslaufenden Elektrons, weil in diesen Gebieten jeweils k · q ′ oder k ′ · q ′ sehr klein werden (der
Größenordnung m2 ). Da die Invarianten k · q ′ bzw. k ′ · q ′ in Gl. (5.9) im Nenner
stehen, ergeben sich bei solchen Winkelkonfigurationen große Beiträge zur Streuamplitude.
Aus diesem Grund wird in der Literatur [111, 112] zur Integration über dΩγ
des fünffach differentiellen Wirkungsquerschnitts häufig die sogenannte PeakingApproximation verwendet. Bei dieser Näherung werden nur die γ-Winkelbereiche
um die scharfen Peaks in Abb. 5.5 berücksichtigt, und der kleine Winkel zwischen
Elektron (einlaufendem oder auslaufendem) und γ-Quant wird für die Integration über diese Winkelbereiche als Null betrachtet. Für den Strahlungsschwanz von
der elastischen Streuung ergibt sich dann ein dreifach differentieller Wirkungsquerschnitt, der wie die inkohärente Überlagerung zwei Beiträge gestaltet ist:
d3 σ d3 σ d3 σ =
+
.
(5.10)
dΩdE ′ tail
dΩdE ′ in dΩdE ′ fin
Formeln für diese beiden Beiträge werden im Anhang B.4 angegeben.
Für die Simulation des Strahlungsschwanzes muss allerdings beachtet werden,
dass die Antwort des Detektors auf hochenergetische γ-Quanten sehr ähnlich zur
Antwort auf Elektronen derselben Energie ist. In dieser Hinsicht müssen die bei der
inneren Bremsstrahlung in die Detektorakzeptanz hineingestrahlten γ-Quanten für
die Simulation des Spektrums berücksichtigt werden. Da diese γ-Quanten hauptsächlich in die Richtung des Strahls oder des gestreuten Elektrons ausgestrahlt werden, können sie wichtige Beiträge zum Spektrum ergeben, wenn das Elektron in
Richtung des Detektors gestreut wird. In diesem Fall hat das Elektron eine kleinere
Energie als die elastisch gestreuten Elektronen, wird aber von einem γ-Quant ins
Kalorimeter begleitet, so dass das gemessene Signal der Summe beider Energien
entspricht.
Es ist dann notwendig, Winkel und Energieverteilung der beiden Teilchen mit
einer gewissen Genauigkeit zu betrachten. Das kann nicht im Rahmen der PeakingApproximation geschehen, da diese nur den inklusiven Wirkungsquerschnitt des
Strahlungsschwanzes d3 σ/dE ′ dΩ in der Nähe des elastischen Peaks gut beschreibt.
Um die Beiträge zum Wirkungsquerschnitt von γ-Quanten in Strahlrichtung bzw.
in Richtung des Detektors zu unterscheiden, dürfen jedoch die einzelnen Terme in
(5.10) nicht verwendet werden, wie man anhand der Abb. 5.6 erkennen kann. Dabei
wurde eine explizite Integration des fünffach differentiellen Wirkungsquerschnitts
durchgeführt, bei der der Raumwinkel des γ-Impulses in zwei Bereiche unterteilt
δ [%]
d3 σ [nb MeV−1 sr−2 ]
dE ′ dΩ
5.2. STREUPROZESSE
99
100
AZS
10−1
10−2
EZS
10
−3
10
1
0.1
0
20
40
60
80
100
120
E [MeV]
140
160
180
200
′
Abbildung 5.6: Vergleich der Peaking-Approximation (PA) mit der expliziten Integration des Bethe-Heitler-Wirkungsquerschnitt (BH). Die Strahlenergie ist hier
315 MeV, die Energie des gestreuten Elektrons 150 MeV und sein Streuwinkel 145◦ . Oben: Die Beiträge von Anfangszustandsstrahlung (AZS)
und Endzustandsstrahlung (EZS) aus der PA sind jeweils in rot bzw. blau
gestrichelt aufgezeichnet. Die gleichen Beiträge in der BH-Rechnung Integration des Bethe-Heitler-Wirkungsquerschnitt sind durchgezogen dargestellt und wurden durch Trennung der γ-Raumwinkelintegration berechnet.
Für die EZS wurde über ein Kegel mit einem Öffnungswinkel von 20◦ um
die Impulsrichtung des gestreuten Elektrons integriert. Die AZS enthält die
restlichen Beiträge. Unten: Relative Abweichung der beiden Rechnungen.
Rot entspricht der AZS, blau der EZS und schwarz der Summe von beiden.
100
KAPITEL 5. SIMULATION VON STREUPROZESSEN
10000
9000
10000
Zä hlereignisse
8000
7500
7000
6000
5000
5000
2500
4000
0
3000
0
0.5
1
1.5
2
2000
1000
0
0
2
4
6
8
10 12
θeγ [◦ ]
14
16
18
20
Abbildung 5.7: Verteilung vom Winkel θeγ zwischen dem γ-Impuls und dem Impuls des
gestreuten Elektrons bei den erzeugten Ereignissen der EZS. Im angezeigten Winkelbereich wurden bei der Detektorantwort-Simulation beide Teilchen (Elektron und γ-Quant) verfolgt. Die Winkelverteilung weist den bei
der Bremsstrahlung typischen Peak bei m/E ′ auf.
wurde:
d3 σγ
=
dΩdE ′
"Z
θeγ >20◦
dΩγ +
Z
θeγ <20◦
dΩγ
#
d5 σγ
,
dΩdΩγ dE ′
(5.11)
wobei θeγ der Winkel zwischen γ- und Elektronimpuls ist. Der Grenzwert von 20◦
wurde so ausgewählt, damit im zweiten Term alle möglichen Konfigurationen enthalten sind, bei denen ein γ-Quant und ein Elektron gleichzeitig ins Kalorimeter
gestreut werden. Bei diesem Verfahren ist es sinnvoll, zwischen Anfangs- und Endzustandsstrahlung zu unterscheiden (AZS bzw. EZS).
In Abb. 5.6 wird gezeigt, dass bei den hier betrachteten kinematischen Konfigurationen die AZS- bzw. EZS-Beiträge zum Strahlungsschwanz durch die jeweiligen
Terme in der Formel (5.10) nicht richtig abgeschätzt werden. Obwohl die Summe
im Peakbereich (ab etwa 160 MeV) besser als ein Prozent berechnet wird, betragen die Abweichungen der jeweiligen Anfangs- und Endzustandsbeiträge zwischen
20% und 50%.
Beim Ereignisgenerator wurden AZS und EZS als zwei unterschiedliche Prozesse betrachtet. Während für die AZS nur der Elektronimpuls gewürfelt wurde, das
erste Integral in Gl. (5.11) also als ein dreifach differentieller Wirkungsquerschnitt
betrachtet wird, wurde für die EZS der fünffach differentielle Wirkungsquerschnitt
der Bethe-Heitler-Diagramme für die Abtastung von vier unabhängigen Variablen
5.2. STREUPROZESSE
101
eingesetzt. Diese sind die Energie und der polare Streuwinkel des Elektronimpulses
und Polar- und Azimutwinkel des γ-Impulses. In der Detektorantwort-Simulation
wurden dann für jedes Ereignis beide Teilchen verfolgt.
In Abb. 5.7 wird die Verteilung der erzeugten Winkel zwischen den Impulsen
beider Quanten gezeigt. Da es sich um einen Bremsstrahlungsprozess handelt, weist
die Winkelverteilung einen scharfen Peak bei θeγ =m/E ′ auf. Da die Inversion der
Stammfunktionen für die Abtastung der Elektronenergie und -polarwinkel eingesetzt wurde, war es aus Effizienzgründen nötig, eine Rejection-Prozedur für die
Winkel des γ-Impulses anzuwenden. Dabei muss die Abtastung der θeγ -Variable
aufgrund des scharfen Peaks ihrer Verteilung sehr vorsichtig durch ImportanceSampling vollbracht werden.
5.2.3 Inelastische Streuung
Die Strahlenergie von 315 MeV liegt oberhalb der Schwelle für die Erzeugung
von π-Mesonen, welche in der Elektron-Proton-Streuung der inelastische Kanal
niedrigster Energie ist. Inelastisch gestreute Elektronen haben eine kleinere Energie
als die elastisch gestreuten und tragen zum Energiespektrum links vom elastischen
Peak bei. Um mögliche Beiträge zur Messung von diesem Prozess zu untersuchen,
muss er in der Simulation des Spektrums in Betracht gezogen werden. Man wird
allerdings feststellen, dass diese Ereignisse energetisch sehr gut vom zu integrierenden Peak getrennt sind und schon im Schwellenbereich der Energieakzeptanz
des Detektors liegen, so dass sie nur sehr eingeschränkt überhaupt beitragen.
Zu diesem Prozess muss im Ereignisgenerator nur der Impuls des Elektrons
abgetastet werden. Dafür wird der dreifach differentielle inklusive Wirkungsquerschnitt für die Pion-Elektroproduktion
Z
d5 σ
d3 σ
=
dΩ
(5.12)
π
dE ′ dΩ
dE ′ dΩdΩπ
gebraucht. Da es sich um einen Dreikörperendzustand handelt, hat man insgesamt
fünf unabhängige kinematische Variablen und d3 σ/dE ′dΩ muss durch die Integration vom exklusiven fünffach differentiellen Wirkungsquerschnitt über alle Richtungen des Pionimpulses berechnet werden.
Für das invariante Matrixelement wird das phänomenologische Modell MAID
[89] verwendet, dessen Parameter an die Weltdaten zur Pionproduktion angepasst
sind. Das Modell betrachtet die Streuamplitude durch die Einphotonaustausch-Näherung:
M =
= ē(k ′ , s′ ) ieγ µ e(k, s)
i
hP ′ , kπ | Jˆµ |P i ,
′
2
{z
}
(k − k ) |
= Jµ
wobei die Definitionen der kinematischen Variablen von Anhang B.1 gelten.
102
KAPITEL 5. SIMULATION VON STREUPROZESSEN
Die Form der Stromfunktion Jµ ist von Lorentzinvarianz, Paritäts- und Stromerhaltung bedingt und enthält maximal sechs unabhängige Strukturfunktionen dreier unabhängiger kinematischer Variablen. Betrachtet man den Fall unpolarisierter
Streuung, so reduziert sich die Anzahl der notwendigen Strukturfunktionen auf vier.
In dieser Arbeit werden die kinematischen Variablen
q 2 = (k − k ′ )2 , die Schwerp
punktenergie des hadronischen Systems W = (P + q)2 und der Polarwinkel des
Pionimpulses im selben Bezugsystem θπ∗ verwendet.
In der Regel wird der differentielle Wirkungsquerschnitt folgendermaßen faktorisiert [114]:
d5 σ
d2 σv
α E′ W 2 − M 2 1
=Γ
Γ= 2
,
(5.13)
dE ′ dΩdΩπ
dΩπ
2π E −2Mq 2 1 − ǫ
wobei Γ als Fluss von bei der Elektronstreuung erzeugten virtuellen Photonen angesehen werden kann und dσv /dΩπ als der Wirkungsquerschnitt für die Erzeugung
eines Pions durch Absorption eines virtuellen Photons. Die Definition des Polarisationsparameters ǫ der virtuellen Photonen wurde schon im Kapitel 2 angegeben. Die
Formel für Γ entsteht durch Vernachlässigung der Elektronmasse und kann an dieser Stelle so verwendet werden, denn nachweisbare Elektronen sind immer ultrarelativistisch und ihre Streuwinkel immer groß. Der Absorptionquerschnitt dσv /dΩπ
wird in [114] für den unpolarisierten Fall als Kombination von vier Antwortfunktionen RT , RL , RT T und RT L geschrieben, die der Antwort auf die verschiedenen
Polarisationszustände des virtuellen Photons entsprechen. Diese Antwortfunktionen hängen von den drei obengenannten kinematischen Variablen ab und können
mit Hilfe des MAID-Computerprogramms [115] berechnet werden.
Die Effekte der elektromagnetischen Strahlungskorrekturen zu diesem Prozess
wurden schon in [106] untersucht und sind bei den vorliegenden kinematischen
Bedingungen vernachlässigbar.
5.2.4 Erzeugung und Zerfall ungeladener Pionen
Für die Beiträge vom π 0 -Zerfall muss erst die Winkel- und Energieverteilung
der erzeugten ungeladenen Pionen berechnet werden. Anhand dieser Verteilungen
sollen dann die Impulse der Zerfallsphotonen abgetastet werden, die schließlich der
Detektorantwortsimulation übergeben werden. Da das π 0 zu fast 99% in zwei γQuanten zerfällt [40], wurden die anderen Zerfallsarten vernachlässigt.
Für die Abtastung der γ-Impulse wurden zur Mehrfachprüfung drei unterschiedliche Methoden angewendet. Alle drei Methoden ergeben statistisch kompatible Resultate.
1. Der π 0 -Impuls wurde aus den differentiellen Wirkungsquerschnitten für Elektro- und Photoproduktion abgetastet, die γ-Impulse isotrop im Ruhesystem
des Pions gewürfelt und ins Laborsystem transformiert. Schließlich wurden
nur die Ereignisse behalten, bei denen es einen γ-Impuls in dem bei Abs. 5.1.2
festgelegten Raumwinkelbereich gibt.
5.2. STREUPROZESSE
2. Ein γ-Impuls wurde gleichmäßig in den kinematischen Bereiche von Abs. 5.1.2
gewürfelt, ein π 0 -Impuls wurde innerhalb der kinematisch erlaubten Grenzen
ebenfalls gleichmäßig gewürfelt und eine Ereignisgewichtung berechnet.
3. Die im Kapitel 4 vorgestellten effektiven Wirkungsquerschnitte (4.9) und
(4.11) für die Ausstrahlung von Zerfallsphotonen wurden verwendet, entweder um die γ-Impulse direkt abzutasten oder um gleichförmig verteilte γImpulse zu gewichten.
Wie schon im Kapitel 4 gezeigt, kommen wichtige Beiträge sowohl aus der
Elektro- als auch aus der bremsstrahlungsinduzierten Photoproduktion des π 0 zustande.
Elektroproduktion
Die Energie- und Winkelverteilung der π 0 -Impulse aus der Elektroproduktion kann durch Integration des exklusiven fünffach differentiellen Wirkungsquerschnitts bestimmt werden. Hierzu muss bei der Integration der Viererimpulserhaltungs-δ-Funktion im Phasenraumfaktor von (B.18) die Elektronenergie (statt der
Pionenergie, wie bei (5.14)) eliminiert werden. Dann wird über alle Impulsrichtungen des Elektrons integriert:
Z
d5 σ
d3 σ
= dΩ
,
(5.14)
dωπ dΩπ
dωπ dΩπ dΩ
inklusive die Stelle θ = 0, d.h. Elektronvorwärtsstreuung. Vernachlässigt man die
Elektronmasse, so wird an dieser Stelle q 2 = 0 und der Wirkungsquerschnitt divergiert, denn der Photonpropagator ist proportional zu 1/q 2 . Deswegen kann hier die
Faktorisierung (5.13) mit dem angegebenen Flussfaktor Γ nicht verwendet werden.
Um dieses Problem zu umgehen, wurde ein alternativer Rechenweg gefunden,
bei dem die Elektronmasse immer berücksichtigt wird. Die Summe des Betragquadrats der Streuamplitude über alle Anfangs- und Endspinzustände lässt sich als
Kontraktion eines leptonischen mit einem hadronischen Tensor schreiben:
2
1
4πW
2
|M| = 2 2
ηµν W µν ,
(5.15)
(q )
M
wobei der hadronische Tensor nach der Konvention von [114] als
2
M
Jµ Jν∗
Wµν =
4πW
definiert ist, und für den leptonischen Tensor ergibt sich
1 2
1
e2
α β
.
2Kµ Kν + q gµν − qµ qν + ihǫµναβ q K
ηµν =
2m2
2
2
103
104
KAPITEL 5. SIMULATION VON STREUPROZESSEN
Hier ist K = (k + k ′ )/2 und h die Helizität des einfallenden Elektrons, die sich in
der unpolarisierten Streuung zu Null mittelt. Somit hat man ηµν = ηνµ . Dank dieser
Eigenschaft und wegen der Definition von Wµν reduziert sich die Kontraktion in
(5.15) zu (i, j = 1, 2, 3)
X
X
X
ηµν W µν = η00 W00 −
η0i 2ReW0i +
ηii Wii +
ηij 2ReWij . (5.16)
i
i
i<j
Betrachtet man alle Tensorelemente im pπ 0 -Schwerpunktsystem mit dem im Anhang B.1 definierten Koordinatensystem, so gibt es feste Beziehungen zwischen
den Wij und den mit MAID berechenbaren Antwortfunktionen. Wenn man dazu
die Stromerhaltungsgleichungen
ηµν q µ = ηµν q ν = 0
Wµν q µ = Wµν q ν = 0
(5.17)
(5.18)
beachtet, kommt man zur geschlossenen Form
2 " 2
2
2
1
|q|
4πW
|q|
2
|M| =
− 1 ηzz RL + 2
− 1 ηxz RT L cos ϕπ
(q 2 )2
Mp
ω2
ω2
#
+ (ηxx + ηyy )RT + (ηxx − ηyy )RT T cos 2ϕπ
(5.19)
für das Betragquadrat der Streuamplitude, wobei alle kinematischen Variablen im
pπ 0 -Schwerpunktsystem ausgewertet werden. Die Ableitung der Gl. (5.19) befindet
sich im Anhang B.5.
Photoproduktion
Die Erzeugung von Ereignissen mit Photoproduktion ist etwas komplexer als
mit den bisher besprochenen Prozessen, denn es handelt sich hier um einen Doppelprozess, wobei zwei “harte” Vorgänge nacheinander erfolgen. Im Ereignisgenerator
soll in diesem Fall Folgendes simuliert werden:
• Die Abstrahlung hochenergetischer γ-Quanten von Strahlelektronen durch
Bremsstrahlung;
• Die Propagation dieser Photonen durch das Target bis zum Wechselwirkungspunkt;
• Die Photoproduktion des π 0 -Mesons und sein Zerfall.
Die ersten beiden Punkte werden mit Hilfe einer G EANT-Simulation erledigt. Diese ist ähnlich zur im Abs. 5.1.1 beschriebenen Simulation des Anfangszustands der
5.2. STREUPROZESSE
“harten” Streuprozesse. Der Unterschied zu jener Simulation ist, dass hier der Anfangszustand aus einem Bremsstrahlungsphoton anstatt eines Strahlelektrons besteht. Deswegen müssen hier neben den Strahlelektronen auch die von G EANT erzeugten Bremsstrahlungsphotonen mit einer Energie oberhalb der π 0 -Produktionsschwelle verfolgt werden. Für die ersten kann die innerhalb G EANTs festgelegte
Schrittlänge1 fürs Tracking verwendet werden. Für die zweiten wird analog zur Simulation von Abs. 5.1.1 eine Begrenzung der Schrittlänge von 1 mm eingeführt
und dann dasselbe Verfahren zur Auslösung der Abtastung von Endzuständen benutzt, die früher für die Strahlelektronspuren angewendet wurde. Dabei konnte man
aber annehmen, dass die Strahlelektronen, die anfangsweise sehr ähnliche Impulse haben, auch ähnlichen Vorgängen beim Durchqueren des Targets unterliegen,
so dass von der selben Spur mehrere Endzustände abgetastet werden konnten. Das
gilt nicht für die Bremsstrahlungsphotonen, weil sie nach einem kontinuierlichen
Energiespektrum (s. Abb. 5.8) abgestrahlt werden. Deswegen wurde in diesem Fall
die Referenzlänge lref (s. Abs. 5.1.1) so ausgewählt, dass die mittlere Anzahl der
abgetasteten Endzustände pro simulierter γ-Spur um die eins liegt.
Somit erhält man einen Satz von Anfangszuständen mit γ-Quanten, und die
Abtastung der Endzustände der Photoproduktion kann aus dem differentiellen Wirkungsquerschnitt analog zur Elektroproduktion durchgeführt werden.
Zur Illustration ist die Energieverteilung der beim Abtasten verwendeten Bremsstrahlungsphotonen in Abb. 5.8 dargestellt. Für die Normierung wurde die Anzahl
der simulierten Strahlelektronen verwendet. Die Y-Achse zeigt also die Wahrscheinlichkeitsdichte pro Strahlelektron. Zum Vergleich wird eine Rechnung nach Olsen
und Maximon [116] für eine feste Strahlenergie von 315 MeV gezeigt. Die Unterschiede ergeben sich aus den Energieverlusten der Elektronen entlang der Targetzelle. Diese und ihre Abhängigkeit von der Abstrahllage sowie die Ablenkungen
der Elektronimpulse von der Anfangsrichtung werden in der G EANT-Simulation
berücksichtigt.
Schließlich wird der differentielle Wirkungsquerschnitt für die Photoproduktion
gebraucht. Dieser ist allerdings einfacher als bei der Elektroproduktion, denn man
hat hier ein Zweikörperendzustand. Es gibt also nur zwei unabhängige kinematische Variablen, von denen eine (der Azimutwinkel) nicht bedeutsam ist. Die Abtastung von Endzuständen ist daher auch einfacher. Die Formel des differentiellen
Wirkungsquerschnitts im Schwerpunktsystem für unpolarisierte Photonen ist nach
[114]:
|k∗π |
d2 σ
=
RT ,
(5.20)
dΩ∗π
|q∗ |
1
Diese Schrittlänge wird für jeden Schritt anhand der mittleren Freiweglänge berechnet, die ihrerseits
vom Impuls des verfolgten Teilchens und den Wirkungsquerschnitten der zu simulierenden Prozesse
abhängt.
105
106
KAPITEL 5. SIMULATION VON STREUPROZESSEN
Wahrscheinlichkeitsdichte [MeV−1 ]
×10−3
0.20
0.18
0.16
0.14
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
140
160
180
200
220 240
Eγ [MeV]
260
280
300
320
Abbildung 5.8: Im Target erzeugtes Bremsstrahlungsspektrum. Enthalten sind die Beiträge
sowohl vom Flüssigwasserstoff als auch von den Aluminiumfenstern. Die
Normierung entspricht der Wahrscheinlichkeitsdichte pro Strahlelektron.
Das Histogramm (rot) stammt aus der im Text beschriebenen G EANTSimulation der Anfangszustände für die Photoproduktion von Pionen. Die
Kurve (blau) wurde nach [116] berechnet, wobei die unvollständige Abschirmung berücksichtigt wurde. Dabei wurden für Wasserstoff die exakten Atomformfaktoren von [90] und für Aluminium die Fermi-ThomasFormfaktoren [90, 116] eingesetzt.
wobei jetzt q = (ω, q) der Viererimpuls des reellen Photons ist. Diese Formel erhält
man, indem man den Photonfluss in Gl. (5.13) gleich eins setzt und alle Terme in
5.19 weglässt, die longitudinalen Polarisationszuständen des Photons entsprechen
(RL und RT L ). Diese würden allein kinematisch verschwinden, weil der Faktor
|q|2 /ω 2 − 1 für ein reelles Photon Null ist. Der Term mit RT T cos 2ϕπ bleibt im
Fall der Photoproduktion proportional zum Linearpolarisationsgrad der Photonen
und soll nicht in (5.20) berücksichtigt werden, denn die Bremsstrahlung weist keine Linearpolarisation auf, wenn man über alle Impulsrichtungen der abstrahlenden
Elektronen mittelt [116].
Kapitel 6
Detektorantwortverhalten
Eine Studie der Detektorantwort ist erforderlich, um einen Vergleich zwischen
dem theoretisch erwarteten und dem gemessenen Spektrum zu ermöglichen. Ein
im Target gestreutes oder erzeugtes Teilchen wird im Detektor ein Signal geben,
das sowohl vom Anfangszustand des Teilchens als auch von dessen Wechselwirkungen mit den Materialien auf seinem Weg zum Detektor und im Detektor selbst
abhängt. Im vorigen Kapitel wurde ein Ereignisgenerator präsentiert, der den Anfangszustand zur Simulation der Detektorantwort erzeugt. Dieser Anfangszustand
wird durch Position und Impuls eines primären Teilchens charakterisiert. Um die
Detektorantwort zu solchen Anfangszuständen zu berücksichtigen, wurde die Programmbibliothek G EANT verwendet, die die Verfolgung der Teilchen durch die Materie unter Berücksichtigung ihrer wichtigsten Wechselwirkungen mit dem Medium
erlaubt.
G EANT3-Simulationen zur Detektorantwort wurden zuerst in [76, 77] vorgenommen, allerdings war dabei der Zweck, die intrinsische Energieauflösung des
Detektormaterials (PbF2 ) zu untersuchen. In [106] wurde dann die Geometrie des
gesamten Detektoraufbaus in einer G EANT4-Simulation definiert, um den Einfluss
der zwischen Target und Kalorimeterkristallen liegenden Materialschichten auf die
Detektorantwort zu berücksichtigen. Somit ist man in der Lage, die Antwort des Detektors auf eine beliebige Verteilung von Anfangsteilchen zu simulieren. In dieser
Arbeit wurde die Simulation von [106] auf diversen Ebenen erweitert:
• Die Effekte der Cherenkov-Photonstatistik wurden weiter untersucht und systematisiert, was zur Entwicklung eines Algorithmus zur Simulation der Lichtsammlung ohne Verfolgung aller Cherenkov-Photonen führte. Die Methode
wurde dann geprüft, indem Testmessungen zum Energieauflösungsvermögen
reproduziert werden konnten.
• Die Plastikszintillatoren zur Koinzidenzmessung unter Rückwärtswinkeln wurden in die Definition des Detektoraufbaus eingeführt, und ihr Antwortverhalten wurde u.a. durch Vergleich mit Testmessungen untersucht. Das war nötig,
107
108
KAPITEL 6. DETEKTORANTWORTVERHALTEN
um die Separation der Streuereignisse in zwei Spektren durch das Szintillatortriggersignal quantitativ zu verstehen und somit auch die Konversionsuntergrundbeiträge zum Spektrum der geladenen Teilchen zu quantifizieren.
• Das Antwortverhalten mit primären γ-Quanten wurde studiert, um die im
Kap. 4 vorgestellte Methode zum Untergrundabzug zu motivieren und die
dazu notwendigen Parameter abzuschätzen.
Zuerst folgt eine einführende allgemeine Betrachtung der physikalischen Prinzipien der elektromagnetischen Kalorimetrie mit Cherenkov-Detektoren, bei der
die theoretisch zu erwartenden Eigenschaften von Bleifluorid vereinfacht berechnet werden. Diese Rechnungen stellen einen weiteren Test der Simulationsresultate
dar.
6.1 Elektromagnetische Cherenkov-Kalorimetrie
Die Anwendung des Cherenkov-Effekts gehört zu den Standardmethoden in der
Physik der Teilchendetektoren. Cherenkov-Detektoren werden aufgrund ihrer Eigenschaften meistens zur Teilchenidentifikation oder für Zählexperimenten bei hohen Zählraten verwendet. Vorteilhaft ist dabei:
• Die sehr kurze Zeitdauer der erzeugten Lichtpulse, die sehr kurzen Totzeiten
entspricht und den Nachweis von Teilchen bei hohen Raten erlaubt;
• Die Empfindlichkeit auf die Geschwindigkeit der Teilchen, die in der Regel
in Verbindung mit anderen Detektoren zur Identifikation der Teilchensorte
dient;
• Die Charakteristika des ausgestrahlten Lichts, wie z.B. die Ausstrahlrichtung,
die ausgenutzt werden kann, um die Geschwindigkeit des Teilchens zu messen oder seine Spur zu rekonstruieren.
6.1.1 Linearität
Der Cherenkov-Detektor des A4-Experiments soll allerdings, außer der Aufzählung von Elektronen bei hohen Zählraten, auch die kalorimetrische Messung
der Elektronenergie gewährleisten. Um mit einem Cherenkov-Detektor Kalorimetrie zu betreiben, muss es einen linearen Zusammenhang zwischen der Energie des
einfallenden Teilchens und der Lichtausbeute vom Radiator geben. Dieser lineare
Zusammenhang besteht erst aus dem Zusammenspiel des Cherenkov-Effekts mit
dem Phänomen der elektromagnetischen Schauerbildung. Im folgenden wird die
Entstehung dieses linearen Zusammenhangs insbesondere bei Bleifluorid erläutert.
6.1. CHERENKOV-KALORIMETRIE
109
Cherenkov-Effekt. Die Cherenkov-Strahlung entsteht, wenn ein geladenes Teilchen sich in einem optisch dichten Medium mit einer Geschwindigkeit bewegt, die
größer als die Lichtgeschwindigkeit im selben Medium ist. Hat das Medium einen
Brechungsindex n, so beträgt die Gruppengeschwindigkeit des Lichtes im Medium c/n, und die Bedingung für die Ausstrahlung von Cherenkov-Licht von einem
Teilchen der Geschwindigkeit v = βc ist
β>
1
.
n
Die Anzahl Nph der ausgestrahlten Photonen pro Weglängen- und Wellenlängeneinheit ist durch
1
2παz 2
d2 Nph
(6.1)
1− 2 2
=
dxdλ
λ2
β n (λ)
gegeben. Hierbei ist x die vom geladenen Teilchen zurückgelegte Weglänge, z seine
auf die Fundamentalladung normierte elektrische Ladung, λ die Wellenlänge des
ausgestrahlten Lichts und α die Feinstrukturkonstante.
Wenn man von keiner starken Abhängigkeit des Brechungsindex von der Wellenlänge ausgeht, kann man Gl. (6.1) über λ integrieren zu
dNph
=
dx
1
d2 Nph
1
1
2
,
dλ
≃ 2παz 1 − 2 2
−
dxdλ
β n
λmin λmax
λmin
Z
λmax
(6.2)
was die Anzahl der pro Weglänge im Wellenlängebereich zwischen λmin und λmax
ausgestrahlten Cherenkov-Photonen angibt. In Abb. 6.1 ist das Integral von Gl. (6.1)
als Funktion der kinetischen Energie η eines Elektrons dargestellt
Prinzipiell hängt dann die Lichtausbeute eines Cherenkov-Radiators, und dadurch die Stärke des gemessenen Signals, nur von der Geschwindigkeit und der im
Detektor zurückgelegten Weglänge der nachzuweisenden Teilchen ab, jedoch nicht
von ihrer Energie.
Elektromagnetische Schauerbildung. Wenn ein hochenergetisches Elektron, Positron oder γ-Quant sich in einem dichten Medium bewegt, entstehen aufgrund der
elektromagnetischen Wechselwirkung des Teilchens mit den Materialatomen neue
Quanten (sekundäre Teilchen), die dann weiter mit dem Medium wechselwirken,
und weitere Quanten erzeugen. Die Kaskade von Teilchen, die sich so entwickelt,
wird elektromagnetischer Schauer genannt, und die Energie der sekundären Quanten reduziert sich im Lauf des Prozesses, bis die gesamte Energie des Anfangsquants
(primäres Teilchen) sich auf atomare Anregungs- oder Ionisationsenergie auflöst.
Wenn das betrachtete Medium ein Cherenkov-Radiator ist, können alle geladene
Teilchen des Schauers (Elektronen und Positronen), die eine Geschwindigkeit oberhalb der Cherenkov-Schwelle haben, zur Lichtausstrahlung beitragen. Um die Anzahl der entstehenden Cherenkov-Photonen abzuschätzen, muss man die gesamte
110
KAPITEL 6. DETEKTORANTWORTVERHALTEN
70
dN/dx [mm−1]
60
50
40
30
PbF2
H2 O
20
10
0
0.1
1
η [MeV]
10
Abbildung 6.1: Anzahl der von Elektronen ausgestrahlten Cherenkov-Photonen im
Wellenlängebereich zwischen λmin = 300 nm und λmax = 800 nm pro
Weglänge als Funktion der kinetischen Energie. Für PbF2 wurde Gl. (6.1)
numerisch integriert, um die Abhängigkeit des Brechungsindex von der
Wellenlänge zu berücksichtigen. Zum Vergleich wird dieselbe Kurve für
Wasser gezeigt, wobei der Brechungsindex als konstant und gleich 1.33
[85] angenommen wird.
Spurlänge (track length) kennen, die geladene Schauerteilchen mit allen Geschwindigkeiten zurücklegen.
In der sogenannten “Approximation B” von Rossi [117] hängt die Gesamtspurlänge T von allen Schauerelektronen und -positronen mit der Energie E0 des primären Teilchens folgendermaßen zusammen:
E0
X0 .
(6.3)
ǫ
Hier ist X0 die Strahlungslänge des Materials [40] und ǫ seine kritische Energie.
Diese wird von manchen Autoren als die Energie definiert, bei der das radiative Bremsvermögen (stopping power) |dE/dx|Brems gleich dem Kollisionsbremsvermögen |dE/dx|Koll ist [40]. Nach der Definition von Rossi [117] ist ǫ die Energie, bei der der mittlere Kollisionen-Energieverlust eines Elektrons in einer Strahlungslänge genauso groß wie seine Energie ist:
dE = ǫ.
(6.4)
X0 · (ǫ)
dx
T =
Koll
Mit der Hochenergienäherung |dE/dx|Brems = E/X0 sind beide Definitionen äquivalent.
6.1. CHERENKOV-KALORIMETRIE
111
t(η)/T [MeV−1 ]
1
PbF2
H2 O
0.1
0.01
0.001
2
4
6
8
10
12
η [MeV]
14
16
18
20
Abbildung 6.2: Verlauf der durch T dividierten Funktion von Gl. (6.7). Zum Vergleich sind
die Kurven für Bleifluorid und für Wasser aufgetragen. Der einzige Unterschied stammt aus den unterschiedlichen Werten von ǫ. Für Bleifluorid hat
man ǫ = 9.04 MeV, für Wasser ǫ = 78.72 MeV [85]. Bei kleinerem ǫ
ist die Energieverteilung der zur Gesamtspurlänge beitragenden geladenen
Teilchen zu kleineren Energien verschoben.
Der Wert von ǫ fällt wie Z −1 ab, wobei Z die Atomzahl des Mediums ist, da bei
hohem Z die Bremsstrahlung schon bei niedrigeren Energien über die Kollisionsprozesse dominiert.
Im Bezug auf elektromagnetische Schauer hat der Wert von ǫ mit der Energieverteilung der geladenen Teilchen zu tun, die zur Gesamtspurlänge T beitragen.
Qualitativ liegt der größte Anteil dieser Energieverteilung unterhalb von ǫ, während
die Teilchen im Schauer, die eine größere Energie als ǫ haben, meistens γ-Quanten
sind.
Das kann man quantitativer verstehen, wenn man die Spurlänge Tη der geladenen Teilchen betrachtet, die eine Energie größer als η besitzen. Mit der Notation
von Fabjan [118] modifiziert sich Gl. (6.3) zu (ξ = 2.29 η/ǫ):
Tη = F (ξ)
E0
X0 (= F (ξ) T ).
ǫ
(6.5)
In der Theorie von Rossi [117] lässt sich F (ξ) durch die folgende Formel berechnen
(Ei(x) ist die sogenannte Integralexponentialfunktion) [118, 119]:
F (ξ) = 1 + ξ e ξ Ei(−ξ) .
(6.6)
Die Spurlänge t(η)dη der geladenen Teilchen mit kinetischer Energie zwischen η
112
KAPITEL 6. DETEKTORANTWORTVERHALTEN
und η + dη ist dann gegeben durch
t(η) = −
E0 F ′ (ξ) dξ
1 dTη
= − X0
,
A0 dη
ǫ
A0 dη
(6.7)
wobei die Konstante A0 = 1−F (ξ(E0 )) aus Normierungsgrunden eingeführt wird1 .
Bezüglich der Scaling-Variablen ξ ist die Form dieser Funktion bis auf konstante
Faktoren vom Medium und von der Anfangsenergie E0 unabhängig. In Abb. 6.2
ist der Verlauf der auf die Gesamtspurlänge T normierten Funktion von Gl. (6.7)
aufgezeichnet. Wie man aus dem Vergleich von Kurven verschiedener kritischer
Energien erkennt, sind bei kleinerem ǫ die Energien der zu T beitragenden Teilchen
um kleinere Werte verteilt.
Die Approximation von Gl. (6.5), und somit Gl. (6.7), gilt streng genommen nur
in dem Bereich η ≪ E0 . Der genaue Abfall der Kurven in Abb. 6.2 bei η ≃ E0 ist
aber für die Abschätzung der Cherenkov-Lichtausbeute im folgenden uninteressant,
sofern der Fall E0 > ǫ betrachtet wird.
Cherenkov-Kalorimetrie. Im letzten Abschnitt wurde gezeigt, dass bei elektromagnetischen Schauern tatsächlich ein linearer Zusammenhang zwischen Spurlänge
der geladenen Schauerteilchen und Energie der Einfallteilchen besteht, wie sich aus
den Gleichungen (6.3) und (6.5) schließen lässt. Allerdings sollte man, um eine
Abschätzung der erwarteten Lichtausbeute zu ermitteln, die Formeln der Spurlänge
mit denen der Cherenkov-Strahlung kombinieren.
Unter Berücksichtigung des Zusammenhangs zwischen Geschwindigkeit und
kinetischer Energie eines Teilchens der Masse m:
s
1
β(η) = 1 −
(6.8)
(η/m + 1)2
kann die Anzahl der Cherenkov-Photonen, die von im Energiebereich zwischen η
und η + dη Schauerteilchen abgestrahlt werden, durch das Produkt von Gl. (6.2) mit
Gl. (6.7) ausgedrückt werden:
dNph
dNph
= t(η) ·
(β(η)) .
dη
dx
(6.9)
Der Verlauf dieser Funktion ist in Abb. 6.3 dargestellt. Um den Vergleich zwischen
max
verschiedenen Medien zu vereinfachen, wurden die Kurven durch den Faktor Nph
dividiert:
dNph
max
(β = 1) · Tη thr ,
(6.10)
Nph
=
dx
1
Durch die Normierungskonstante A0 gibt Gl. (6.7) im Gültigkeitsbereich der betrachteten Näherung,
E0 ≫ ǫ, die Beziehung (6.5) wieder, denn in dem Fall gilt A0 ≃ 1. Durch die Einführung von A0
RE
gilt Gl. (6.3) für die Gesamtspurlänge T = 0 0 dη(dT /dη) für alle Werte von E0 .
6.1. CHERENKOV-KALORIMETRIE
113
max
dNph /dη / Nph
[MeV−1 ]
0.3
0.25
PbF2
H2 O
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0.1
1
10
η [MeV]
100
Abbildung 6.3: Anzahl der abgestrahlten Cherenkov-Photonen pro Energieeinheit als
Funktion der kinetischen Energie des abstrahlenden Schauerteilchens. Die
Energie E0 des einfallenden Teilchens ist 500 MeV. Die Kurven sind durch
max dividiert (Erklärung im Text). Die linke Flanke der Kurden Wert Nph
ven wird meistens von der Energieabhängigkeit der Cherenkov-Strahlung
bestimmt (siehe Abb. 6.1), der rechte Abfall hingegen von der Energieverteilung der Schauerteilchen (Abb. 6.2), da bei hohen Energien die Anzahl
der abgestrahlten Cherenkov-Photonen in der Weglängeneinheit konstant
ist.
Tabelle 6.1: Vergleich der wichtigen Parameter für die Abschätzung der CherenkovLichtausbeute in verschiedenen Medien. Von links nach rechts geben die Spalten der Tabelle folgende Parameter an: 1. Brechungsindex n bei der Welmax
lenlänge λ = 300 nm; 2. Kritische Energie; 3. Strahlungslänge; 4. Nph
(siehe Text) dividiert durch die Energie E0 des einfallenden Teilchens; 5.
Abschätzung der Lichtausbeute pro MeV im linearen Bereich, d.h. die 4. Spalte multipliziert mit dem asymptotischen Wert der jeweiligen Kurve in Abb.
6.4.
n @ 300 nm
PbF2
H2 0
Luft
1.94
1.33
1+1.72E-4
ǫ [MeV]
9.04
78.72
87.92
X0
max
Nph
/E0 [MeV−1 ]
Alim [MeV−1 ]
9.3 mm
360.8 mm
30.39 m
63.4
183.4
53.6
57.5
177.8
42.1
114
KAPITEL 6. DETEKTORANTWORTVERHALTEN
1
0.9
tot
max
Nph
(E0 ) / Nph
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
PbF2
H2 O
Luft
0.3
0.2
0.1
0
0
100
200
300
E0 [MeV]
400
500
Abbildung 6.4: Abschätzung der gesamten Lichtausbeute von verschiedenen CherenkovStrahlern als Funktion der Energie des einfallenden Primärteilchens. Die
Kurven wurden durch Gl. (6.11) errechnet. Als Beispiel eines Mediums
mit kleinem Brechungsindex wird auch das Ergebnis für Luft gezeigt
(n = 1 + 1.72 · 10−4 , ǫ = 87.92 MeV [85]). Wegen der Normierung
max gilt, dass ein konstanter Verlauf einem linearen Zusammenhang
auf Nph
zwischen Energieeintrag und Lichtausbeute entspricht. Die Gültigkeit der
dargestellten Kurven wird im Text diskutiert.
wobei ηthr die Schwellenenergie für die Produktion von Cherenkov-Photonen und
somit Tη thr die sogenannte “sichtbare” Spurlänge [119] ist.
Um eine Abschätzung der Lichtausbeute zu bekommen, muss das Integral
Z E0
dNph
tot
Nph (E0 ) =
dη
(6.11)
dη
η thr
max
durchgeführt werden. In Abb. 6.4 ist dieses Integral dividiert durch Nph
als Funktion von E0 dargestellt. Als Beispiel für ein Medium mit kleinem Brechungsindex
wird auch die Kurve für Luft gezeichnet.
In dem Fall E0 > ǫ liegt fast die Gesamtfläche unter den Kurven in Abb. 6.3 bei
η-Werten, die viel kleiner als E0 sind, und Gl. (6.7) ist für die Berechnung von t(η)
anwendbar. Wenn allerdings E0 ≃ ǫ oder kleinere Werte annimmt, ist der Verlauf
der Kurven von Abb. 6.4 nicht sehr genau. Darüber hinaus ist in diesem Energiebereich die gesamte Näherung von Rossi nicht gültig, da dann Compton-Streuung
und hochenergetische Ionisation nicht vernachlässigt werden können. Der Verlauf
der Kurven bei sehr kleinen E0 -Werte ist jedoch von der Cherenkov-Lichterzeugung
bestimmt (s. Abb. 6.1) und die Werte von t(η) spielen keine große Rolle.
6.1. CHERENKOV-KALORIMETRIE
115
Wenn man das für das A4-Experiment interessante Energieregime (E0 größer
als 50 MeV) betrachtet, das innerhalb des Gültigkeitsbereichs der verwendeten
Näherungen liegt, kann man schließen, dass man für Bleifluorid eine gute Linearität zwischen erzeugter Lichtmenge und zu messender Energie erwartet. Im Fall
von Wasser ist hingegen die erwartete Linearität unterhalb etwa 200 MeV deutlich
schlechter, während man für Luft mit gar keiner linearen Antwort rechnen kann.
In der Tabelle 6.1 werden die für die Lichtausbeute entscheidenden Parameter für verschiedene Materialien angegeben. Von großer Bedeutung ist, neben dem
Brechungsindex und der kritischen Energie, die Strahlungslänge X0 . Diese legt die
Skala für die typische Gesamtspurlänge fest, bei großen Strahlungslängen legen die
Teilchen durchschnittlich längere Wege zurück, und dadurch erhöht sich die Lichtausstrahlung. Proportional zu X0 sind aber auch die Dimensionen des elektromagnetischen Schauers, die die Größe des Detektors bestimmen. Diese ist wiederum
aus zwei Gründen wichtig: Erstens muss man mit limitiertem Platz rechnen, und
zweitens muss außer der Lichterzeugung auch der Lichtnachweis berücksichtigt
werden. Wenn das Licht über großen Abständen propagieren muss, um den Photomultiplier zu erreichen, wird die Abschwächung aufgrund der Absorption bedeutsam. Diese Argumente schließen beispielsweise die Verwendung von Wasser als
Kalorimetermaterial aus.
Insgesamt ist für das A4-Experiment ein Material wie PbF2 ideal. Eine ausführliche Untersuchung von verschiedenen Cherenkov-Materialien hat zur Entscheidung für PbF2 geführt [76, 77].
6.1.2 Energieauflösung
Außer einer linearen Antwort ist für eine kalorimetrische Messung auch das
Energieauflösungsvermögen wichtig. Alle im letzten Abschnitt angegebenen Formeln gelten für durchschnittliche Schauerverhalten und bieten keine Vorhersage
über die wegen statistischer Fluktuationen erwarteten Abweichungen von diesem
Verhalten. Betrachtet man eine monoenergetische Quelle der Energie E0 , so führen
diese Fluktuationen dazu, dass das erhaltene Signal s um einen Wert s0 mit einer Standardabweichung σs verteilt ist. In der Regel [119] geht man von einer
gaußförmigen Antwortfunktion aus und σs wird folgendermaßen ausgedrückt:
a0
σs
a1
=√ ⊕
⊕b
s0
E0 E0
(6.12)
Da s0 linear mit√E0 zusammenhängt, ergibt der a0 -Term einen Beitrag zu σs , der
proportional zu E0 ist. Er beruht darauf, dass die Fluktuationen in der Anzahl der
Ladungsträger der Poissonstatistik folgen. Der a1 -Term in Gl. (6.12) hängt nicht
von der Energie ab und stammt aus elektronischem Rauschen. Er kann für jeden
Detektor gemessen werden. Schließlich ist der b-Term linear in E0 und enthält die
Effekte von Schauerleckagen, Fluktuationen in der Gesamtspurlänge sowie Verlusten bei Lichtsammlung und -nachweis.
116
KAPITEL 6. DETEKTORANTWORTVERHALTEN
Eine Abschätzung der Energieauflösung durch einfache Formeln ist nicht möglich. Um ihren Einfluss auf ein gemessenes Spektrum zu betrachten, müssen daher
detaillierte Simulationen des Detektors durchgeführt werden.
6.2 Simulation der Kalorimeterantwort
Die in Abschnitt 6.1 gegebene allgemeine Betrachtung der Cherenkov-Kalorimetrie ist aus verschiedenen Gründen nicht hinreichend, um die Detektorantwort zu
verstehen:
• Die angewandte Näherung ist im Falle von Medien mit großem Z nicht optimal, denn viele Schauerteilchen haben eine zu kleine Energie, um ComptonStreuung und hochenergetische Ionisation zu vernachlässigen.
• Alle angegebenen Formeln gelten für durchschnittliche Schauerverhalten und
bieten keine Vorhersage über die wegen statistischer Fluktuationen erwarteten
Abweichungen von diesem Verhalten.
• Geometrische Details des konkreten Detektoraufbaus müssen berücksichtigt
werden, weil die endliche Ausdehnung des Detektors zu Verlusten der Energiedeposition im elektromagnetischen Schauer führt.
• Neben der Lichterzeugung spielen auch die Lichtausbreitung durch die Kristalle sowie Lichtsammlung und -nachweis eine entscheidende Rolle für die
Energieauflösung.
Um all diese Aspekte zu berücksichtigen, ist es nötig, eine ausführliche G EANTSimulation des elektromagnetischen Schauers durchzuführen, bei der die Geometrie des Detektors detailliert eingegeben und auch jedes Cherenkov-Photon verfolgt
werden muss. Eine solche G EANT4-Simulation des A4-Detektors wurde implementiert und ist in Ref. [106] beschrieben.
Es muss allerdings in Betracht gezogen werden, dass G EANT zwar dafür geeignet ist, die Entwicklung von elektromagnetischen Schauern zu simulieren, wobei das Ergebnis der Simulation die Verteilung der Energiedeposition in den Materialien ist. Hierbei bezeichnet man als deponiert die Energie, die von Schauerteilchen an Atome als Anregungs- und Ionisationsenergie oder an sekundäre Teilchen
übertragen wird, deren kinetische Energie unter einer festgelegten Schwelle liegt.
Die Entwicklung von elektromagnetischen Schauern kann gut reproduziert werden,
denn die zu simulierenden Prozesse hängen in guter Näherung nicht von den Charakteristika der einzelnen Detektormodule, sondern nur von wenigen Materialienparametern wie etwa Dichte, Strahlungslänge, Atomzahl usw. ab.
Der Effekt der Photonstatistik auf die Energieauflösung kann hingegen durch
eine G EANT-Simulation nicht vollständig reproduziert werden, weil verschiedene
6.2. SIMULATION DER KALORIMETERANTWORT
Aspekte von den spezifischen Eigenschaften der einzelnen Detektormodule abhängen und daher nicht berücksichtigt werden können. Hierfür hat man beispielsweise:
• Die Lichtpropagation durch einen Kristall wird von mehreren Faktoren beeinflusst, die sehr charakteristisch für jeden einzelnen Kristall sind, wie z.B.
die Anwesenheit von Streuzentren oder optischen Defekten.
• Die Reflexion des Lichtes an den Oberflächen zwischen Kristall und reflektierender Papierhülle ist, da letztere in Handarbeit gefertigt wurde, nicht in
allen Einzelheiten bekannt.
• Die Durchsichtigkeit der Kristalle hängt deutlich von der Bestrahlungszeit ab
und ändert sich daher auch zwischen unterschiedlichen Messläufen.
• Die Details der einzelnen optischen Kopplung zwischen Kristall und Photomultiplierfenster beeinflussen die Lichtsammlung.
• Die Quanteneffizienz der Photomultiplier kann nur durch die vom Hersteller
angegebenen nominellen Werte berücksichtigt werden. Beim einzelnen Photomultiplier können sich aber Abweichungen von diesen Werten ergeben.
Durch eine G EANT-Simulation kann jedoch die Einwirkung der Photonstatistik auf
das Antwortverhalten eines idealen Detektors untersucht werden. Damit ist gemeint, dass eine Simulation des Cherenkov-Schauers, die Lichterzeugung, -ausbreitung und -nachweis miteinbezieht, durch Verfolgung aller Cherenkov-Photonen
durchgeführt werden kann und als Resultat die Anzahl Npe der in jedem Photomultiplier erzeugten Photoelektronen ausgibt. Für eine solche Simulation werden
nur folgende Parameter benötigt, deren Werte stichprobenartig gemessen werden
können: Brechungsindex und Absorptionlänge von PbF2 , Reflexions- und Rauheitskoeffizient der Papierhülle, Quanteneffizienz des Photomultipliers.
Obwohl es trotz dieser Einschränkungen möglich ist, eine ausführliche Simulation des Cherenkov-Lichtschauers zu realisieren, kann eine solche Simulation aufgrund der großen Anzahl der zu verfolgenden Cherenkov-Photonen und der damit verbundenen Rechenzeiten nicht für die Simulation des Energiespektrums mit
hinreichender Statistik verwendet werden. Die Simulation des elektromagnetischen
Schauers hingegen ist auch für eine große Anzahl von Ereignisse (∼ 106 ) praktikabel.
Wie schon in [76] vorgeschlagen, kann allerdings die Sammelwahrscheinlichkeit des Lichtes, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass ein in einem Kristall ausgestrahltes Photon das Photomultiplierfenster trifft, einmalig durch Verfolgung der Lichtquanten in einer Simulation bestimmt werden. Nachher werden nur die Anfangszustände der Photonen benötigt (Lage und Impuls) und nicht mehr ihre Verfolgung
durch die Kristalle, um die vollständige Detektorantwort zu beschreiben. Dieses
Verfahren wird im nächsten Abschnitt vorgestellt.
117
118
KAPITEL 6. DETEKTORANTWORTVERHALTEN
6.2.1 Simulation der Lichtsammeleffizienz
Obwohl die Lichtausbeute von PbF2 im betrachteten Energiebereich einen linearen Zusammenhang mit der deponierten Energie aufweist, ist die Ausstrahlrichtung
der erzeugten Photonen nicht isotrop, sondern stark mit der Entwicklungsrichtung
des elektromagnetischen Schauers korreliert. Dies kommt zustande, weil der Winkel θc zwischen dem Impuls des ausstrahlenden Teilchens und der Ausstrahlrichtung
bei Cherenkov-Strahlung festgelegt ist:
cos θc =
1
.
nβ
(6.13)
Die Lichtsammeleffizienz – und somit die Nachweiswahrscheinlichkeit der Lichtquanten – hängt stark von der Ausstrahllage und -richtung ab. Bei Schauern, die sich
ungefähr entlang der Kristallachse entwickeln, wird das Licht immer mit ähnlichen
Richtungsverteilungen erzeugt, was dazu führt, dass die Sammeleffizienz ungefähr
konstant bleibt und die Signalstärke in guter Näherung proportional zur Lichtausbeute ist. Die Entwicklung der elektromagnetischen Schauer weist allerdings statistische Fluktuationen auf, die im Kalorimeter noch stärker werden, wenn man
bedenkt, dass die Schauer schon in den Materialschichten vor den PbF2 -Kristalle
anfangen. Besonders bei Ereignissen, die zum Konversionsuntergrund beitragen,
bei denen also ein γ-Quant vor dem Szintillationszähler wechselwirkt, sind diese
Fluktuationen sorgsam zu betrachten.
Da die für die Verfolgung aller Cherenkov-Photonen notwendige Rechenzeiten
allerdings viel zu lang sind, um genügend Statistik zu erreichen, muss eine Parametrisierung der Lichtsammeleffizienz verschafft werden. Solche Parametrisierung
soll das ermöglichen, anhand von Ausstrahllage und -richtung bezüglich der Kristallachse und Wellenlänge des Lichtquantes die Wahrscheinlichkeit zu berechnen,
dass das betrachtete Photon zum Photomultiplierfenster kommt.
Zu diesem Zweck wurde eine G EANT-Simulation implementiert, in der optische
Photonen unterschiedlicher Wellenlängen aus verschiedenen Anfangspositionen im
Kristall und mit verschiedenen Anfangsrichtungen verfolgt werden. Diese Photonen
können entweder absorbiert werden oder den Kristall verlassen2 oder das Photomultiplierfenster erreichen. Durch Aufzählen der zum Fenster gesammelten Photonen
wurde eine statistische Häufigkeit bestimmt und somit die Sammelwahrscheinlichkeit als Funktion der Anfangsvariablen abgeschätzt.
Es gäbe im Prinzip sechs Anfangsvariablen: drei Ortskoordinaten und drei Impulskomponenten. Dieser sechsdimensionale Raum sollte in Bins (Klassen) unterteilt werden, die aufgrund der großen Dimensionalität sehr zahlreich wären und für
die Abschätzung der Sammelwahrscheinlichkeit ungenügende Einträge enthielten.
2
In diesem Fall könnte das Photon zum Signal eines Nachbarkristalls beitragen. Aufgrund der hohen
Reflektivität der Papierhülle ist diese Möglichkeit jedoch sehr unwahrscheinlich und der Effekt kann
vernachlässigt werden.
6.2. SIMULATION DER KALORIMETERANTWORT
119
0.90
0.7
0.75
0.6
0.5
0.60
prob.
0.4
0.45
0.3
0.30
0.2
0.1
0.15
180
150
120
z [mm]
90
60
30
0
−1
−0.5
0
0.5
1
cos θ
Abbildung 6.5: Beispiel für die statistisch ermittelte Sammeleffizienz. Die betrachtete Wellenlänge ist 450 nm.
Es ist deswegen notwendig, die Anzahl der betrachteten Dimensionen zu reduzieren. Hier wurde den Ansatz gewählt, die Abhängigkeit der Sammelwahrscheinlichkeit von den transversalen Ortskoordinaten und vom Azimutwinkel zu vernachlässigen. Hierbei und im Folgenden muss man verstehen, dass die z-Achse entlang der
Kristallachse ausgewählt wurde. Darüber hinaus gibt der Wert von z den Abstand
zum Photomultiplierfenster an und cos θ=0 entspricht einem Impuls in Richtung des
Photomultipliers.
In Abb. 6.5 ist ein Beispiel für die so bestimmte Sammeleffizienz bei einer
bestimmten Wellenlänge λ abgebildet. Wie man erwartet, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon den Photomultiplier trifft, am größten, wenn das Photon mit
θ = 0 ausgestrahlt wird. Diese nimmt dann mit dem Abstand ab. Für θ → π wächst
die Wahrscheinlichkeit wieder, weil das Photon durch eine einzige Reflexion zum
Photomultiplier gelangen kann. In diesem Fall ergeben sich die größten Werte bei
großen Abständen z, denn so ist der zurückzulegende Weg am kürzesten.
Es wurde ein Gitter im dreidimensionalen (λ,z,θ)-Raum erzeugt, und die statistische Häufigkeit der gesammelten Photonen an jedem Gitterknoten wurde durch
gleichförmige Abtastung der drei Variablen x, y, und φ als Mittelwert über alle
120
KAPITEL 6. DETEKTORANTWORTVERHALTEN
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
200 300 400 500 600 700 800 900
λ [nm]
200 300 400 500 600 700 800 900
λ [nm]
Abbildung 6.6: Gültigkeitsprüfung der parametrisierten Sammeleffizienz. Die Histogramme stellen das Wellenlängespektrum der Photonen dar, die das Photomultiplierfenster erreichen. Die roten Punkte sind das Ergebnis einer
vollständigen Simulation von 106 Ereignissen mit gleichförmig verteilten
Anfangszuständen. Dabei wurden die Photonen mit G EANT durch den Kristall verfolgt. Die grünen Linien wurden aus den Anfangszuständen durch
die Anwendung der Parametrisierung der Sammeleffizienz erhalten. Bei
den vier Plots wurden verschiedenen Schnitte in der Transversalkoordinaten x, y und im φ-Winkel angewendet. Diese Schnitte werden in den obenlinks abgebildete Diagramme schematisch dargestellt. Das Quadrat gibt
den (x,y)-Schnitt an und der Kreis den φ-Schnitt. Weitere Schnitte wurden
verwendet und ergeben dieselbe Verträglichkeit wie die aufgezeichneten
Beispiele.
6.2. SIMULATION DER KALORIMETERANTWORT
mögliche Transversalpositionen und φ-Winkeln bestimmt. Solche dreidimensionalen Gitter wurden für alle sieben Kristalllängen (je Kalorimeterring) erzeugt, und
im Rahmen der Detektorantwortsimulation wurde zwischen den Werten an den Gitterknoten linear interpoliert.
Als Validierung für die Annahme, dass die Abhängigkeit von den transversalen
Ortskoordinaten und vom φ-Winkel vernachlässigbar ist, wurde ein weiteres Sample von einer Million Ereignissen simuliert. Dieses Mal wurden auch λ, θ und z
gewürfelt. Spektren der gesammelten Photonen wurden für die beiden Fälle erzeugt:
a) mit vollständiger Verfolgung der Photonen und b) nur durch die Anwendung der
Parametrisierung der Sammeleffizienz und die Kenntnis des Anfangszustands. Solche Spektren wurden unter der Anwendung von verschiedenen Schnitten in Transversalpositionen und φ-Winkeln erzeugt und verglichen. Beispiele dieser Resultate
sind in Abb. 6.6 dargestellt. Eine gute Verträglichkeit der beiden Verfahren wird
dabei bewiesen.
Im nächsten Abschnitt wird noch gezeigt, dass die Mittelung über transversale
Ortskoordinaten und φ-Winkel auch keine erheblichen Unterschiede in der simulierten Detektorantwort verursacht.
6.2.2 Simulation des Energieauflösungsvermögens
Hier wird explizit die relative Energieauflösung des Kalorimeters in der Standardform (6.12) aus Simulationsergebnissen extrahiert, d.h. die Parameter a0 und
b werden aus den Simulationsresultaten bestimmt. Dies hat zwei Zwecke: Erstens
wird der direkte Vergleich mit den Messungen der Energieauflösung möglich, und
somit kann das Simulationsverfahren geprüft werden. Zweitens können die Energieauflösungsparameter sowohl aus einer Simulation mit Verfolgung aller CherenkovPhotonen als aus durch die parametrisierte Lichtsammeleffizienz bestimmt werden,
was einen Test der Anwendung einer solchen Parametrisierung bietet.
Simulationsdaten. Es wurden 10000 elektroninduzierte Schauern simuliert. Die
Anfangsenergie E0 der Elektronen wurde zwischen 10 MeV und 1200 MeV zufällig
ausgewählt, die Richtung des primären Teilchens war senkrecht zur Kristallfrontfläche und zielte auf den Mittelpunkt dieser Oberfläche. Diese Konfiguration entspricht der 1998 durchgeführten Testmessungen zur Bestimmung des Energieauflösungsvermögens [77]. Bei diesen Messungen wurden Energiespektren mit einem
3×3-Kristallcluster vermessen, der direkt in der MAMI-Strahlrichtung unter zentralen Einschuss gestellt war.
Neben der Anfangsenergie E0 wurden von jedem Schauer für jedes Detektormodul k folgende Variablen gespeichert:
• Deponierte Energie Edk ;
k
• Anzahl der ausgestrahlten Cherenkov-Photonen Nph
;
121
122
KAPITEL 6. DETEKTORANTWORTVERHALTEN
100
Nph vs E0
Nph vs Ed
Nph / 103
80
60
40
20
0
0
200
400
600
E [MeV]
800
1000
1200
Abbildung 6.7: Beispiel für Ergebnisse der G EANT-Simulation von Cherenkov-Schauern
mit festen Einschussrichtungen und Eintrittspunkten. Für jedes Ereignis
ist die Anzahl der ausgestrahlten Photonen gegen die deponierte Energie
Ed (rot) oder die gesamte Energie E0 (grün) aufgetragen. Die Differenz
zwischen E0 und Ed entspricht dem Energieverlust aufgrund der Schauerleckagen. Diese Differenz ergibt eine Verschiebung nach links der roten
bezüglich der grünen Punkte.
k
• Anzahl der im Photomultiplier erzeugten Photoelektronen Npe
.
Die Gesamtwertvariablen Ed , Nph und Npe bezeichnen jeweils die Summe der entk
sprechenden Variablen über den 3×3-Modulencluster um das Maximum von Npe
.
Als Beispiel betrachte man die in Abb. 6.7 gezeigten Simulationsresultate. Die
Anzahl der Cherenkov-Photonen Nph ist sowohl gegen die Anfangsenergie E0 (grün)
als auch gegen die deponierte Energie Ed (rot) aufgetragen. Wie man schon von diesem Bild qualitativ erkennen kann, sind Ed und Nph viel stärker korreliert als E0 und
Nph , und zwar weichen die beiden Datensätze mit steigender Einschussenergie immer mehr voneinander ab, denn die Schauerverluste werden aufgrund der endlichen
Ausdehnung des Kristallenclusters größer. Die sehr starke lineare Abhängigkeit der
Lichtausbeute mit der deponierten Energie bestätigt die Erwartungen von Abs. 6.1
Analyse der Simulationsergebnisse. Zweck dieser Analyse ist die Untersuchung
der Korrelationen zwischen den Variablen E0 , Ed , Nph und Npe . Ansatzweise wer-
6.2. SIMULATION DER KALORIMETERANTWORT
123
den E0 und Ed als Inputparameter betrachtet, Nph und Npe als Signal oder Output. Allgemein kann man dann die Indizen weglassen. Gesucht wird eine Funktion f (N|E; pi), welche die Wahrscheinlichkeitsverteilung von N bei gegebenem E
angibt und von den zu definierenden Parametern pi abhängt. Aufgrund der im Abschnitt 6.1.2 beschriebenen allgemeinen Betrachtung der Energieauflösung wird für
f (N|E; pi ) eine gaußsche Form angenommen
(N − N̄(E))2
1
exp −
f (N|E) = p
,
(6.14)
2σN (E)2
2πσN (E)
und somit reduziert sich das Problem auf die Suche nach zwei Funktionen von E,
die jeweils den Mittelwert N̄ (E) und die Standardabweichung σN (E) von f (N|E)
angeben.
Für den Mittelwert N̄(E) wird folgender Zusammenhang vorausgesetzt:
N̄ (E) = m E − q [1 − exp(−E/λ)] .
(6.15)
Da eine starke lineare Korrelation zwischen den N- und den E-Variablen besteht,
kommt der wesentliche Beitrag zu diesem Ausdruck vom ersten Term. Der zweite Term wird eingeführt, um die bei kleinen Energien erwarteten Abweichungen
vom linearen Verhalten zu berücksichtigen. Im Fall von Nph ist dieser Term vernachlässigbar klein, was die Erwartung bestätigt, dass die Cherenkov-Lichterzeugung in Bleifluorid bis auf sehr kleine Energien linear ist. Betrachtet man aber die
Anzahl der Photoelektronen Npe , so stellt man fest, dass der zweite Term in (6.15),
obwohl nicht entscheidend, eine bessere Beschreibung der Daten ermöglicht. Das
liegt daran, dass sich bei kleineren Energien der elektromagnetische Schauer im
vorderen Teil des Kristalls entwickelt und somit die Cherenkov-Photonen einen
längeren Weg durch den Kristall zurücklegen müssen, um den Photomultiplier zu
erreichen. Diese leichte Abhängigkeit der Nachweiswahrscheinlichkeit von der Ausstrahllage entlang der Kristallachse wurde schon in [76] untersucht.
Die Form von σN (E) wird durch den empirischen Ansatz (6.12) festgelegt:
r
σN (E)
c
=
+d.
(6.16)
E
E
Hier entspricht der c-Term unter der Quadratwurzel dem von der LadungsträgerStatistik abhängenden a0 -Term in Gl. (6.12) und der d-Term dem auf den Schauerfluktuationen beruhenden b-Term. Der in der empirischen Formel enthaltene a1 Term ist vom elektronischen Rauschen verursacht und wird in der Simulation nicht
betrachtet.
Insgesamt hängt f (N|E; pi ) von fünf Parametern ab,
{pi } = {m, q, λ, c, d} ,
(6.17)
124
KAPITEL 6. DETEKTORANTWORTVERHALTEN
deren Werte aus den Simulationsdaten durch eine bedingte Anpassung (conditional
fit) der Wahrscheinlichkeitsverteilung f (N|E) an die (E, N)-Datensätze extrahiert
werden können.
Um eine bessere Konvergenz des Fits zu erreichen, wurde die reduzierte Variable ν = N/E eingeführt, deren bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung φ(ν|E)
auch gaußförmig ist und von denselben Parametern (6.17) abhängt. Der Mittelwert
ν̄(E) wird durch (6.15) definiert,
ν̄(E) = m −
q
[1 − exp(−E/λ)] ,
E
(6.18)
und die Standardabweichung σν (E) = σN (E)/E ist in Gl. (6.16) schon in der
richtigen Form angegeben.
Zwei Beispiele für (E, ν)-Datensätze sind in Abb. 6.8 gezeigt. Verwendet werden die Variablen Npe zusammen mit jeweils E0 (oben) bzw. Ed (unten). Die Fitresultate für den Mittelwert ν̄(E) sind ebenfalls eingezeichnet.
Um die Güte der Anpassung zu ermitteln, wurde ein χ2 -Wert folgendermaßen
errechnet: Der E-Bereich (E0 oder Ed ) wurde in Intervalle der Breite von 100 MeV
unterteilt. Für jedes Intervall wurde durch Projektion auf die ν-Achse ein Histogramm erzeugt. Beispiele für solche Histogramme sind in Abb. 6.9 dargestellt.
Da die bedingte Anpassung keine Aussage über die Verteilung der Variablen E
ermöglicht, wird diese berücksichtigt, indem die Werte Ei der einzelnen Ereignisse betrachtet werden. Jeder dieser Werte definiert eine φ(ν|Ei )-Verteilung, und die
Überlagerung aller dieser Verteilungen wurde gebildet. Die so erhaltenen Kurven
sind ebenfalls in Abb. 6.9 gezeigt. Mit diesen Kurven und Histogrammen wurde
der χ2 -Wert berechnet. Dieser hat streng genommen nicht die übliche statistische
Bedeutung, die man aus der χ2 -Verteilung erwartet, da die Fits an die ungebinnten Daten über Maximum-Likelihood erfolgt sind. Trotzdem kann dieser χ2 -Wert
als ein Maßstab für die Verträglichkeit der Fitresultate mit den angefitteten Daten
angesehen werden.
Durch dieses Fitverfahren wurden alle Kombinationen der N- und E-Variablen
sowohl für die vollständige Simulation (Verfolgung der Cherenkov-Photonen) als
auch mit der parametrisierten Sammeleffizienz analysiert. Die Resultate der Fits an
die Simulationsdaten sind in der Tabelle 6.2 angegeben.
Bei den Fits mit der Anzahl der erzeugten Cherenkov-Photonen (N = Nph )
wurden die Parameter q und λ von Gl. (6.15) nicht angepasst und somit wurde ein
reiner linearer Zusammenhang N̄ph (E) = m E vorausgesetzt. Zusätzlich wurde der
Fit mit ν = Nph /Ed ohne den d-Parameter ausgeführt, da er mit Null verträglich
war und die Konvergenz des Fits nur verschlechterte.
Im Kapitel 3 wurde die Absorptionslänge von Bleifluorid als Funktion der Lichtwellenlänge angegeben, die an Kristallen gemessen wurde, die eine Strahlendosis
von 100 Gy aufgenommen hatten. Es hat sich gezeigt, dass diese Werte die Energieauflösung bei den Messungen unter Rückwärtswinkeln gut reproduzieren können, da sie nach mehreren Jahren Betrieb am Strahl stattfanden. Zum Vergleich mit
6.2. SIMULATION DER KALORIMETERANTWORT
125
3.5
Npe /E0 [MeV−1 ]
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
200
400
600
E0 [MeV]
800
1000
1200
800
1000
1200
(a)
3.5
Npe /Ed [MeV−1 ]
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
200
400
600
Ed [MeV]
(b)
Abbildung 6.8: (E, ν)-Datensätze mit Verfolgung der Cherenkov-Photonen. Aufgetragen
ist die Anzahl der Photoelektronen in einem 3×3-Modulencluster pro MeV
(νpe = Npe /E) in Abhängigkeit von der Energie E0 des einfallenden Elektrons (a) bzw. der im Kristallcluster deponierten Energie Ed (b). Die Ergebnisse der bedingten Fits für den Mittelwert ν̄(E) der φ(ν|E)-Verteilung
werden als Kurven gezeigt.
126
KAPITEL 6. DETEKTORANTWORTVERHALTEN
120
0-100 MeV
100-200 MeV
200-300 MeV
300-400 MeV
400-500 MeV
500-600 MeV
600-700 MeV
700-800 MeV
800-900 MeV
900-1000 MeV
1000-1100 MeV
1100-1200 MeV
100
80
60
40
20
0
120
100
80
60
40
20
0
120
100
80
60
40
20
0
120
100
80
60
40
20
0
1
1.5
2
2.5 1
1.5
2
Npe /Ed [MeV−1 ]
2.5 1
1.5
2
2.5
Abbildung 6.9: Die Histogramme wurden durch Intervallbildung aus der Abb. 6.8-(b) erhalten. Hier sind allerdings die Daten der Simulation mit Parametrisierung
der Lichtsammeleffizienz aufgetragen. Der gesamte Datensatz wurde in
Ed -Bereiche der Breite von 100 MeV unterteilt und diese Untermengen
wurden auf die ν-Achse projiziert. Die Kurven sind keine direkten Fits an
diese Histogramme, sondern gewichtete Projektionen der aus dem Fit erhaltenen bedingten Verteilung φ(ν|Ed ) (s. Text).
6.2. SIMULATION DER KALORIMETERANTWORT
127
Tabelle 6.2: Fitergebnisse für verschiedene Kombinationen der N - und E-Parameter. Die
Bezeichnungen “voll.”, “param.” und “unbestr.” beziehen sich jeweils auf die
Simulation mit vollständiger Verfolgung der Cherenkov-Photonen, mit parametrisierter Lichtsammeleffizienz bzw. mit der Absorptionslänge von unbestrahlten PbF2 -Kristallen. Angegeben sind die Werte der Fitparameter, die jeweils angepasst wurden.
ν(E)
voll. Nph /Ed
Nph /E0
Npe /Ed
Npe /E0
m [MeV−1 ]
73.07 ± 0.01
69.14 ± 0.02
q
λ [MeV]
c [MeV]
d · 103
χ2 /ndof
1174 ± 17
2395 ± 71
500 ± 100
4.3 ± 0.3
3.7 ± 0.2
1.34
1.05
1.91 ± 0.01
1.79 ± 0.01
67 ± 14 345 ± 58
51 ± 8 271 ± 42
2.17 ± 0.09
3.01 ± 0.11
0.66
1.26
param.
Npe /Ed
Npe /E0
1.86 ± 0.01
1.75 ± 0.01
55 ± 9
44 ± 5
296 ± 43
235 ± 33
2.11 ± 0.08
2.88 ± 0.11
4.3 ± 0.2
3.0 ± 0.2
1.34
0.98
unbestr.
Npe /Ed
Npe /E0
3.10 ± 0.01
2.92 ± 0.01
37 ± 7
23 ± 4
236 ± 45
147 ± 32
4.73 ± 0.16
6.95 ± 0.21
3.3 ± 0.3
1.9 ± 0.3
0.98
0.89
den Testmessungen für die direkte Bestimmung des Energieauflösungsvermögens
werden allerdings die Werte der Absorptionslänge verwendet, die mit neuen (unbestrahlten) Kristallen gemessen wurden. Mit solchen Werten wurde dann eine zweite
Simulation ausgeführt, deren Resultate ebenfalls in der Tabelle 6.2 angegeben sind.
Bemerkenswert an der Tabelle ist Folgendes:
• Die Anzahl der ausgestrahlten Cherenkov-Photonen pro MeV deponierter
Energie liegt in der Größenordnung der im Abschnitt 6.1 angegebenen Abschätzung. Der Wert ist hier allerdings erwartungsgemäß etwas größer, denn
bei der Approximation von Rossi [117] werden nicht alle Schauerkomponenten berücksichtigt, die zur gesamte Spurlänge beitragen.
• Die Fits an die Simulationsdaten mit parametrisierter Lichtsammeleffizienz
weichen nur sehr wenig von den Resultaten der vollständigen Simulation ab,
was für die Anwendbarkeit der Parametrisierung spricht. Die Anzahl der Photoelektronen pro Energieeinheit ist dabei leicht kleiner, vermutlich wegen der
Mittelung über die transversalen Koordinaten, da man bei zentralem Treffer
der Kristalloberfläche erwartet, dass die Photonen meistens in der Nähe der
Kristallachse ausgestrahlt werden. Bei der Simulation des Spektrums, wobei
die Einschusspunkte über die ganze Kristalloberfläche verteilt sind, wird dieser Effekt unwesentlicher.
• Die Fitfunktion ν̄(E) aus Gl. (6.18) wurde heuristisch erfunden, um ν̄pe (E0 )
zu beschreiben, damit die Anpassungen mit den Messungen verglichen wer-
128
KAPITEL 6. DETEKTORANTWORTVERHALTEN
10
∆E/E [%]
8
6
4
2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
E [GeV]
1
1.2
Abbildung 6.10: Vergleich der Simulationergebnisse mit direkten Messungen des relativen Energieauflösungsvermögens. Die Punkte wurden 1998 mit einem
Testkalorimeter am Strahl gemessen [77]. Die rote Kurve ist ein Zweiparameterfit der Form (6.12), wobei der Rauschterm a1 am Pedestal gemessen wurde. Die grünen Kurven sind Simulationsergebnisse mit PbF2 Abschwächlänge für unbestrahlte Kristalle (durchgezogen) bzw. nach einer Strahlendosis von 100 Gy (gestrichelt). Die Funktion ist ebenso von
der Form (6.12), wobei die Parameter a0 und b ausschließlich durch die
Simulation bestimmt wurden, während a1 derselbe gemessene Wert wie
bei der Fitkurve zugewiesen wurde.
den können. Sie ist jedoch weniger für ν̄pe (Ed ) geeignet, wie man auch an
den χ2 -Werten erkennt.
6.2.3 Messungen des Energieauflösungsvermögens
Testmessungen zur Bestimmung des Energieauflösungsvermögens wurden 1998
durchgeführt [77]. Bei diesen Messungen wurden Energiespektren mit einem 3×3Kristallcluster vermessen, der direkt in der MAMI-Strahlrichtung unter zentralem
Einschuss gestellt war. Aus den so aufgenommenen Spektren konnte man die in
Gl. (6.12) definierte relative Energieauflösung R ≡ σs /s0 messen.
Insgesamt wurde mit drei verschiedenen Strahlenergien gemessen. Durch eine
Anpassung an den Verlauf von R(E0 ) wurden die Parameter a0 und b von Gl. (6.12)
bestimmt, während der Wert von a1 mit der Messung der Breite am Nullpunkt fest-
6.3. SIMULATION DER SZINTILLATIONSZÄHLER
129
gelegt wurde. Zusammengefasst sind die Ergebnisse:
a0 = (2.75 ± 0.01)% GeV1/2
a1 = (0.60 ± 0.05)% GeV
b = (1.66 ± 0.01)%
(6.19)
Der Fitverlauf ist in Abb. 6.10 als rote Kurve dargestellt. Auf demselben Plot ist
in grün die Kurve aufgetragen, die man aus den Simulationsresultaten vom letzten
Abschnitt erhält. Dabei wurde der Wert von a1 aus der Messung der Pedestalbreite
übernommen. Simulationsergebnisse und Fit an die Messwerte sind miteinander
verträglich. Dieses Resultat zeigt, dass das hier vorgestellte Simulationsverfahren
in der Lage ist, die Energieauflösung des A4-Kalorimeters zu reproduzieren.
Der Effekt der aufgenommenen Strahlendosis, die in der Simulation durch die
Werte der Absorptionslänge vom Bleifluorid berücksichtigt wird, ist in der Abbildung durch die gestrichelte Kurve deutlich zu sehen.
Es sei hier betont, dass die Formel (6.12) nicht ausreicht, um das im normalen
Experimentbetrieb gemessene Energiespektrum zu simulieren. Insbesondere, da der
Parameter b unter anderem von den Schauerleckagen abhängt, ist sein Wert auf die
Einschussrichtung und -position auf der Kristalloberfläche sehr empfindlich. Beim
normalen Experimentbetrieb werden die nachzuweisenden Teilchen an verschiedenen Stellen im Target und unter unterschiedlichen Winkeln gestreut. Außerdem
können sie von den Materialschichten abgelenkt werden, die sich auf ihrem Weg
zum Detektor befinden. Deswegen wird die Kristalloberfläche an verschiedenen
Stellen und mit unterschiedlichen Einfallswinkeln getroffen, was im vorgestellten
Messverfahren nicht der Fall war. Der in (6.19) gegebene Wert von b kann deswegen
für die effektive Energieauflösung beim normalen Experimentbetrieb nicht verwendet werden. Um die Detektorantwort in einer Simulation des Energiespektrums zu
berücksichtigen, bleibt es daher notwendig, die im Target gestreuten oder erzeugten Teilchen in einer G EANT-Simulation bis zum Kalorimeter zu verfolgen und den
elektromagnetischen Schauer im Kalorimeter vollständig zu simulieren.
6.3 Simulation der Szintillationszähler
Die Szintillatorzähler müssen aus zwei Gründen in die Simulation eingebaut
werden: Erstens muss für jedes Ereignis die Koinzidenzbedingung simuliert werden, um die Beiträge der verschiedenen Streuprozesse zum Spektrum der geladenen
Teilchen von denen zum Spektrum der neutralen Teilchen zu unterscheiden. Zweitens sollen die Unterschiede im Antwortverhalten der Apparatur zu γ-Ereignissen
im Spektrum der ungeladenen Teilchen und zu γ-Konversionsereignissen untersucht
werden, um die Parameter für den Untergrundabzug zu bestimmen.
Die entscheidende Bedingung für die Auslösung eines Koinzidenzereignisses
in der Elektronik ist, dass die Pulshöhe des Szintillatorsignals innerhalb eines gegebenen Schwellenbereichs liegt [86]. Im folgenden wird gezeigt, dass eine solche
130
KAPITEL 6. DETEKTORANTWORTVERHALTEN
Bedingung in der Simulation durch den Vergleich der simulierten Energiedeposition im Szintillationsmaterial mit Schwellenscan-Daten berücksichtigt werden kann.
Daraus resultiert eine Eichung der Spannungswerte der elektronischen Schwellen,
die dadurch in entsprechende Energiewerte übersetzt werden.
Simulation des Antwortverhaltens der Szintillatoren. Um die Koinzidenz zwischen Szintillatoren und Kalorimeter in der Detektorantwort zu berücksichtigen,
wurden zuerst Positionen und Maße der Szintillatoren (s. Anhang A) sowie die Eigenschaften des Szintillationsmaterial Polyvinyltoluene (Tab. 3.3) in die Definition
der Aufbaugeometrie für die G EANT-Simulation eingefügt.
Im Unterschied zur Cherenkov-Strahlung wird das Szintillationslicht isotrop
ausgestrahlt. Deswegen ist die Simulation der Energiedeposition eines Ereignisses
im Szintillatormaterial ausreichend, um die Antwort der Szintillationsdetektoren zu
reproduzieren. Die Effekte der Geometrie auf die Lichtpropagation können dann
vernachlässigt werden. Hier wurden allerdings die Effekte der Lichtabsorption untersucht (s. auch Kapitel 3.4), und es wurde festgestellt, dass diese von der aufgenommenen Strahlendosis abhängen, jedoch für die Bestimmung der Schwellenwerte keine bedeutsame Rolle spielen.
Zur Eichung der Szintillatoren muss die simulierte Energiedeposition mit den
gemessenen Signalen verglichen werden. Die deponierte Energie für ein minimal
ionisierendes Elektron in einer dünnen Materialschicht folgt der Landauverteilung
mit einem wahrscheinlichsten Wert (Peaklage der Landaukurve), der von der Dicke
der Materialschicht abhängt. Wie in Abb. 6.11 schematisch dargestellt wird, hängt
die mittlere Weglänge im Szintillatormaterial vom Streuwinkel ab, und somit von
dem Kalorimeterring, in dem das Ereignis registriert wird.
Formal betrachtet man hier den Abstand z des Schwerpunkts der Energiedeposition zum Photomultiplier. Aus einfachen geometrischen Überlegungen kann die
Abhängigkeit der mittleren Weglänge l(z) von z im Szintillator und somit eine naive Erwartung für die Abhängigkeit von z der deponierten Energie Ed (z) folgendermaßen geschrieben werden (Abb. 6.11):
Ed (z) = k · l(z) = k ·
h
hp 2
=k·
H + (z0 − z)2 .
sin α
H
(6.20)
Aus der Simulation von elastischen Elektron-Proton-Streuereignissen werden
die Variablen z und Ed ermittelt. Sortiert man die Ereignisse nach dem Kalorimeterring, zu dessen Spektrum sie beitragen, so erhält man die Verteilungen von z und
Ed , die jeweils in Abb. 6.12 bzw. Abb. 6.13 gezeigt werden. Die z-Verteilungen
lassen sich durch Gauß-Funktionen anpassen (mit der Ausnahme der Ringe 1 und
7, wo die Effekte der Szintillatorränder sichtbar sind). Die Ed -Verteilungen können,
wie erwartet, durch Landaukurven beschrieben Werden.
Wenn man nun die Peaklagen der Ed -Landaukurven gegen die Mittelwerte der
Gaußfits zu den z-Verteilungen aufträgt, erhält man eine ziemlich deutlich lineare
Abhängigkeit, wie man in Abb. 6.14 sehen kann, wobei ein Geradenfit an die Punkte
6.3. SIMULATION DER SZINTILLATIONSZÄHLER
131
n
Ri
n
Ri
g
g
7
1
h
PMT
Szintillator
H
z
Target
α
z0
Abbildung 6.11: Abhängigkeit der mittleren Weglänge im Szintillator vom Streuwinkel
α. Streuereignisse mit unterschiedlichen Streuwinkeln werden in unterschiedlichen Kalorimeterringen registriert. Die mittlere Weglänge im
Szintillator ist für zum Spektrum verschiedener Ringe beitragende Ereignisse unterschiedlich. Daher erwartet man nach Gl. (6.20) auch unterschiedliche deponierte Energien. Darüber hinaus ist die mittlere Lage
der Energiedeposition vom Ring abhängig. Diese mittlere Lage wird hier
durch den Abstand z vom Photomultiplier gekennzeichnet.
gezeigt ist. Zusätzlich wird dabei zum Vergleich die naive Erwartung für Ed (z) aus
Gl. (6.20) aufgezeichnet, wobei die Konstante k angepasst wurde.
Daten aus Schwellenscans und Eichung der Szintillatoren. Zur Eichung der
Szintillatorpulse und somit der Schwellenwerte für die Koinzidenzbedingung sollen die im letzten Abschnitt gezeigten Simulationsergebnisse mit einer Messung der
Pulshöhenverteilung bei elastischen Streuereignissen verglichen werden. Hierzu beschränkt man sich aus verschiedenen Gründen auf die elastischen Streuereignisse:
• Sie stellen eine nahezu monoenergetische Elektronenquelle dar, und somit ist
die deponierte Energie im Szintillator in sehr guter Näherung landauverteilt3.
3
Bei den hier betrachteten Energien ist die Abhängigkeit der Energiedeposition von der Einfallsteilichenenergie sehr schwach. Trotzdem würde ein kontinuierliches Spektrum der einfallenden
Teilchen zu eine Überlagerung vieler nebeneinanderliegenden Landauverteilungen führen, die sich
schwieriger als bei einer monoenergetischen Quelle durch eine einfache Landaukurve anfitten ließe.
Zä hlereinisse
132
KAPITEL 6. DETEKTORANTWORTVERHALTEN
700
600
500
400
300
200
100
0
Ring 1
0
700
600
500
400
300
200
100
0
150
Ring 2
300
450 0
Ring 5
0
150
150
Ring 3
300
450 0
Ring 6
300
450 0
150
150
Ring 4
300
450 0
300
450
150
300
Ring 7
300
450 0
150
z [mm]
Abbildung 6.12: Abstand zum Photomultiplier des Schwerpunkts der bei elastischen Ereignissen im Szintillator deponierten Energie. Simulierte elastische Ereignisse wurden nach dem Kalorimeterring, zu dessen Spektrum sie beitragen,
sortiert. Zu jedem Ereignis wurde die mittlere Lage der im Szintillator
deponierten Energie berechnet und als Abstand zum Photomultiplier in
einen der hier gezeichneten Histogramme (in rot) eingetragen. Gaußfunktionen wurden diesen Histogrammen angepasst und sind als blaue Kurven
dargestellt. Bei den Ringen 1 und 7 sind die Effekte der Szintillatorränder
sichtbar, und die Fits wurden nur innerhalb des gaußförmigen Bereichs
durchgeführt.
• Sie können am einfachsten simuliert werden, und ihr differentieller Wirkungsquerschnitt (und somit ihre Winkelverteilung) ist am besten bekannt.
• Sie sind im Experiment deutlich durch ein Peak im Spektrum der geladenen
Teilchen identifizierbar und aufzählbar.
Die Grundidee der Messung stammt von R. Kothe [86] und basiert darauf, dass
man das Kalorimeter als “Tagger” für die Szintillatorereignisse verwendet. Ein gewisser Schwellenbereich für die Szintillatorpulse wird eingestellt, und die vom Kalorimeter in Koinzidenz registrierten Ereignisse werden gezählt. Um sich auf die
elastischen Streuereignisse zu beschränken, integriert man dazu die obere Hälfte
des elastischen Peaks, denn diese ist in guter Näherung untergrundfrei, wie man a
posteriori erkennt (s. Kap. 7). Stabilere Resultate für einen schmalen Schwellenbe-
450
6.3. SIMULATION DER SZINTILLATIONSZÄHLER
133
400
Ring 1
200
0
400
Ring 2
200
0
400
Ring 3
Zä hlereignisse
200
0
400
Ring 4
200
0
400
Ring 5
200
0
400
Ring 6
200
0
400
Ring 7
200
0
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Ed [MeV]
Abbildung 6.13: Verteilung der im Szintillator deponierten Energie bei elastischen Ereignissen. Aus der selben Simulation von Abb. 6.12 werden hier die Werte der bei jedem Ereignis im Szintillator deponierten Energie histogrammiert. Die Ereignisse werden nach Kalorimeterring sortiert, und an jedem
Spektrum wird eine Landauverteilung angepasst.
134
KAPITEL 6. DETEKTORANTWORTVERHALTEN
7.2
7
6.8
Ed [MeV]
6.6
6.4
6.2
6
5.8
5.6
5.4
100
150
200
250
z [mm]
300
350
Abbildung 6.14: Mittlere im Szintillator deponierte Energie (simuliert) für elastische
Streuereignisse als Funktion der Schwerpunktlage z der deponierten
Energie (als Abstand von Photomultiplier dargestellt). Jeder Datenpunkt
entspricht einem Kalorimeterring. Die durchgezogene Linie ist ein linearer Fit, während die gestrichelte Linie durch die mittlere Weglänge im
Szintillator als Funktion der Koordinate z nach Gl. (6.20) berechnet wurde, wobei die Konstante k angepasst ist.
reich (4 mV) werden erreicht, wenn man die obere CFD-Schwelle ausschaltet, die
untere Schwelle in zwei sukzessiven Messungen auf die ausgewählten Grenzwerte
einstellt und die Resultate der beiden Messungen (Anzahl der elastischen Ereignisse) von einander abzieht. Fährt man nun die untere CFD-Schwelle von 14 mV in
Schritten von 4 mV bis 78 mV hoch, und wiederholt man das beschriebene Verfahren für alle Paare von aufeinanderfolgenden Schwellenwerten, so erhält man die
Spektren der im Szintillator deponierten Energie, siehe Abb. 6.15. Die Unterteilung
der Ereignisse in Kalorimeterringe erfolgt dabei automatisch.
Diese Spektren lassen sich mit folgender Funktion anfitten:
′
Z ∞
(x − x′ )2
x − xMPV
′
F (x) = A
exp − 2 ′
dx Land
,
(6.21)
∆x
2c · x
0
die die Faltung einer Landau- (Land) mit einer
√ Gaußverteilung zur Berücksichtigung einer Energieauflösung der Form σE = c E darstellt. Dabei werden folgende
Parameter angepasst: eine globale Amplitude A, die Peakposition der Landaukurve
xMPV , eine Breite der Landaukurve ∆x und die Konstante c für die Energieauf-
6.3. SIMULATION DER SZINTILLATIONSZÄHLER
135
6000
Ring 1
4000
2000
0
6000
Ring 2
4000
2000
0
6000
Ring 3
Zä hlereignisdichte [mV−1 ]
4000
2000
0
6000
Ring 4
4000
2000
0
6000
Ring 5
4000
2000
0
6000
Ring 6
4000
2000
0
6000
Ring 7
4000
2000
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Signal [mV]
Abbildung 6.15: Verteilung der Szintillator-Signalhöhen bei elastisch gestreuten Elektronen als Spektrum der im Szintillator deponierten Energie. Die Fitfunktion ist die Faltung einer Landaukurve mit einer Gaußverteilung zur
Berücksichtigung des Energieauflösungsvermögens (Gl. (6.21)).
136
KAPITEL 6. DETEKTORANTWORTVERHALTEN
lösung.
Im folgenden werden die durch diesen Fit an die gemessenen Daten ermittelten
Werte für die Peakposition und Breite der Landauverteilung mit den entsprechenden
Werten dieser Parameter, die sich aus dem Fit an die Simulationsdaten ergeben, verglichen. Dazu wurden diese beiden Parameter für die jeweiligen Kalorimeterringe
als Funktion der z-Koordinate, deren Werte aus der Simulation stammen, aufgetragen (Abb. 6.16). Hierzu werden zwei verschiedene Datensätze verwendet. Die erste
Messung (rote Punkte in Abb. 6.16) wurde 2006 durchgeführt, als die Szintillatoren fast neu und unbestrahlt waren. Zum Zeitpunkt der zweiten Messung (schwarze
Punkte in Abb. 6.16) waren die Szintillatoren schon seit über zwei Jahren im Einsatz und hatten eine große, aber leider schwierig zu quantifizierende Strahlendosis
aufgenommen, die eine schlechtere Durchsichtigkeit des Szintillationsmaterial zu
Folge hatte. Das zeigt sich in der deutlichen Steigungsänderung zwischen den beiden Datensätzen. Die absoluten Werte der Signale sind dabei unbedeutsam, denn
die Hochspannungsversorgung der Photomultiplier wurde im Laufe der Zeit stetig
hochgefahren, um diesen Effekt der Strahlenschäden zu kompensieren.
Die Datenpunkte ohne Bestrahlung lassen sich ohne Berücksichtigung der Lichtabschwächung beschreiben4 . Dazu wurde dann die Funktion
xMPV (z) = aMPV · Ed (z) + bMPV
(6.22)
angefittet, wobei Ed (z) der Geradenfit zu den Simulationsdaten ist, aMPV die gesuchte Eichkonstante und bMPV ein Offset. Es wird ein relativ großer Offset von
(8.4 ± 0.9) mV gebraucht, um die Daten anzupassen. Die Natur dieses Offsets wird
noch untersucht [83]. Die Abhängigkeit von jeglichem Offset fällt heraus, wenn
man die Breiten der Landaukurven betrachtet
∆x (z) = a∆ · ∆E (z) + b∆ ,
(6.23)
wobei ∆E (z) aus der Simulation stammt. Tatsächlich erhält man bei diesem Fit
einen mit Null verträglichen Offset, b∆ = (0.3 ± 0.3) mV. Die Steigungen, die man
aus den beiden Anpassungen erhält, sind miteinander kompatibel und betragen:
aMPV = (4.04 ± 0.15) mV/MeV
a∆ = (4.09 ± 0.61) mV/MeV .
Für die Datenpunkte nach der Bestrahlung muss die Lichtabschwächung berücksichtigt werden. Das wurde realisiert, indem die Fitfunktionen (6.22) und (6.23)
mit den Funktionen ergänzt wurden, die in Kap. 3.4 zur Bestimmung der effektiven
4
Verschiedene Versuche, eine Abschwächlänge aus diesen Daten zu ermitteln, führten zu großen Werten mit großen Unsicherheiten. Die Vernachlässigung der Abschwächung ist allerdings kompatibel
mit den Daten.
6.3. SIMULATION DER SZINTILLATIONSZÄHLER
137
41
40
39
Signal [mV]
38
37
36
35
34
33
32
31
30
100
150
200
250
z [mm]
(a)
300
350
250
z [mm]
(b)
300
350
3.2
3
Signal [mV]
2.8
2.6
2.4
2.2
2
1.8
100
150
200
Abbildung 6.16: (a) Peaklage xMPV der gemessenen Landaukurve (Abb. 6.15) gegen den
Abstand zum Szintillator z. (b) Breite ∆x der Landaukurve gegen z. Die
roten Punkte wurden 2006 (mit fast neuen Szintillatoren) genommen, die
schwarzen Punkte stammen aus Messungen zwei Jahre später. Die roten
Funktionen sind Geradenfits (s. Text), und die fast ununterscheidbaren
blauen und grünen Kurven sind Fits von der Form (6.24) bzw. (6.25).
138
KAPITEL 6. DETEKTORANTWORTVERHALTEN
Abschwächlänge verwendet wurden. Man hat dann die zwei Fälle:
xMPV,1 (z) = aMPV,1 · Ed (z) · exp[−z/λ1 ] + bMPV,1
(6.24)
xMPV,2 (z) = aMPV,2 · Ed (z) · exp[−z/λ2 ] (1 − q exp[2(z − L)/λ2 ])
+bMPV,2 ,
(6.25)
wobei λ1 und λ2 die entsprechenden effektiven Absorptionslängen sind, L die Länge
des Szintillators und q ein neuer Parameter, der dem Verhältnis B/A zwischen den
Parametern in der Formel (3.4) entspricht.
Beide Funktionen enthalten zu viele Parameter für die vorhandenen Daten. Da
aber der Offset ein elektronischer Effekt ist und daher nicht sehr stark von der aufgenommenen Strahlendosis abhängen sollte, kann man den Wert von bMPV aus dem
Fit (6.22) nehmen. Für den Fit (6.24) werden dann nur die Parameter aMPV,1 und
λ1 angepasst (Abb. 6.16 (a), grüne Kurve). Man erhält dadurch eine effektive Abschwächlänge von λ1 = (294 ± 29) cm, die im Einklang mit dem Wert von 227 cm
ist, den man bei der im Kapitel 3.4 beschriebenen Messung erhalten hat. Sei hierzu
erwähnt, dass die Messung der Abschwächlänge mit dem 60 Co-Präparat erst Ende
2008 durchgeführt wurde, nachdem die Szintillationsdetektoren weitere hunderte
Stunden im Einsatz am Strahl gewesen waren.
Für den Fit mit (6.25) musste außer dem Offset auch der Parameter q festgelegt werden. Da sein Wert hauptsächlich von der Geometrie des Szintillatormoduls
und nur wenig von der Absorptionslänge abhängen sollte, wurde er vom Fit an
die Messungen mit dem Präparat genommen. Das Resultat ist als blaue Kurve in
der oberen Tafel von Abb. 6.16 aufgezeichnet. Die beiden Fits (6.24) und (6.25)
überlagern sich fast vollständig und sind in der Abbildung kaum zu unterscheiden.
Dies bestätigt die schon in Kap. 3.4 angegebene Behauptung, dass die Anwendung
der einen oder der anderen Funktionsform in der Simulation gleiche Resultate ergibt. Die erhaltene Abschwächlänge beträgt in diesem Fall λ2 = (117 ± 12) cm,
also auch etwas länger, und somit verträglich, mit dem Wert von 100 cm aus der
Präparatmessung.
Zuletzt können die Breiten der Landaukurven aus den Daten nach der Bestrahlung (schwarze Punkte in Abb. 6.16 (b)) durch die Funktionen (6.24) und (6.25)
angefittet werden. Leider sind dabei die Fehlerbalken so groß5 , dass diese Daten
nur als Kompatibilitätsprüfung dienen. Insofern wurde nur a∆ angepasst, und die
Abschwächlängen wurden vom vorherigen Fit übernommen. Die Verträglichkeit
der Abschwächlängen aus den Fits der Landau-Peaklagen mit den Daten der Landaubreiten ist durch die grüne und die blaue Kurve in Abb. 6.16 (b) sichtbar gemacht.
Man erhält somit ein ziemlich konsistentes Gesamtbild, was die Überzeugung
erweckt, dass die hier ermittelte Werte der Parameter aMPV und bMPV für die Um5
Das liegt daran, dass der Schwellenscan bei viel niedrigeren Werte abgebrochen wurde. Daher ist
die Form der Landaukurve nicht sehr eindeutig bestimmt, und ihre Breite bekommt eine sehr starke
Korrelation mit dem Energieauflösungsparameter.
6.4. UNTERSUCHUNGEN ZUM UNTERGRUNDABZUG
rechnung der im Experiment eingestellten Schwellenwerte in Energiewerte verwendet werden können.
6.4 Untersuchungen zum Untergrundabzug
Zur Behandlung des Konversionsuntergrunds und zur entsprechenden Korrektur der Asymmetrie wird das in Kap. 4 beschriebene Verfahren angewendet. Dieses
beruht darauf, dass die im Spektrum der geladenen Teilchen enthaltenen Konversionsereignisse physikalisch die gleichen γ-Ereignisse sind, die das Spektrum der
ungeladenen Teilchen dominieren.
Der Ansatz zur Subtraktion des Konversionsuntergrund ist daher, dass die Form
seines Spektrums aus dem Spektrum der ungeladenen Teilchen durch eine Verschiebung und eine Skalierung erhalten werden kann. Die Verschiebung berücksichtigt
die Energieverluste der Konversionsteilchen vor dem Kalorimeter, während die Skalierung der Wahrscheinlichkeit der Konversionsprozesse entspricht.
Um die Anwendung des Subtraktionsverfahrens an den gesamten Datensatz zu
ermöglichen, müssen allerdings zwei vereinfachende Annahmen gemacht werden:
1. Der Unterschied in der effektiven Energieauflösung für die beiden Fälle von
konvertierten bzw. nicht konvertierten γ-Ereignissen wird nicht berücksichtigt.
Das würde zu einer Verformung des abzuziehenden Untergrundspektrums im
Vergleich zum gemessenen Spektrum der ungeladenen Teilchen führen. Solche Unterschiede in der effektiven Energieauflösung werden erwartet, weil
bei Konversionsereignissen der elektromagnetische Schauer schon vor dem
Kalorimeter anfängt, was zu stärkeren Schwankungen der im Kalorimeter deponierten Energie führt.
2. Die Abhängigkeit der Energieverluste sowie der Konversionswahrscheinlichkeit von der Energie des γ-Quants wird vernachlässigt. Verschiebungs- und
Skalierungsparameter werden dann als konstant angenommen.
Anhand der Detektorantwortsimulation muss bewiesen werden, dass diese Annahmen in guter Näherung gelten, und die Verschiebungs- und Skalierungsparameter müssen abgeschätzt werden.
Hierfür wurde eine G EANT-Simulation des Detektoraufbaus durchgeführt, bei
der mit γ-Quanten im Target angefangen wurde. Die Anfangslage wurde entlang der
Strahlachse über der gesamten Targetlänge gleichförmig verteilt gewürfelt. Die Anfangsrichtung und -energie der Teilchen wurde ebenso gleichförmig verteilt erzeugt.
Für den Polar- bzw. Azimutwinkel wurden die in Kap. 5 festgelegten Bereiche verwendet, während der Energiebereich von 10 bis 300 MeV betrug.
Ähnlich wie bei der Studie des Energieauflösungsvermögens (Abschnitt 6.2)
wurden für jedes Ereignis Anfangsenergie und Anzahl der in jedem Photomultiplier
139
140
KAPITEL 6. DETEKTORANTWORTVERHALTEN
nachgewiesenen Cherenkov-Photonen gespeichert. Zudem wurde hier noch die deponierte Energie im Szintillatormaterial vermerkt. Nach diesem Wert konnten dann
die Events in “Koinzidenz-” und “Nichtkoinzidenz-Ereignisse” unterteilt werden,
denn durch das im Abschnitt 6.3 beschriebene Verfahren zur Eichung der Szintillatorsignale können Schwellenwerte der deponierten Energie für die Auslösung
eines Triggersignals festgelegt werden.
Abb. 6.17 sind (Eγ ,Npe )-Scatterplots für (a) Nichtkoinzidenz- und (b) Koinzidenzereignisse in gezeigt, wobei Eγ die Energie des γ-Quants ist. Bedingte Anpassungen wie in Abs. 6.2 wurden mit der reduzierten Variable ν = Npe /Eγ durchgeführt. Da man nur an dem Energiebereich in der Nähe des elastischen Peaks interessiert ist, wurde den Eγ -Fitbereich auf 100 bis 250 MeV eingeschränkt, um vor
allem die Komplikationen zu vermeiden, die bei kleinen Energien entstehen, denn
bei diesen werden die Teilchen mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit vor dem Kalorimeter gestoppt.
Unterschiede in der Energieauflösung. Aus dem Vergleich der resultierenden
Standardabweichungen σν (Eγ ) kann die Änderung der effektiven Energieauflösung
zwischen Koinzidenz- und Nichtkoinzidenzereignisse abgeschätzt werden. Da der
betrachtete Energiebereich hier relativ klein ist, spielt die genaue Energieabhängigkeit von σν keine große Rolle. Deswegen wurde für eine bessere Konvergenz des
Fits der d-Term in Gl. (6.16) vernachlässigt. Dadurch erhält man für die Änderung
der Energieauflösung
r
cKoinz.
σνKoinz.
=
= 1.20
σνNichtk.
cNichtk.
Wie man anhand der vollen Simulation des Spektrums im folgenden Kapitel gezeigt
wird, kann diese Zunahme um 20% von σν bei Koinzidenzereignissen vernachlässigt werden.
Veschiebungsparameter. Zur Bestimmung des Verschiebungsparameters muss
lediglich der Unterschied des Mittelwertes N̄pe (Eγ ) zwischen Nichtkoinzidenz- und
Koinzidenzereignissen bei der passenden Energie berechnet werden. Aufgrund des
ausgewählten Fitbereichs reicht hier ein linearer Ansatz für N̄pe (Eγ ), denn die bei
kleinen Energien auftretenden Abweichungen vom linearen Verlauf, die im Abschnitt 6.2 durch den kleinen Exponentialterm in Gl. (6.15) berücksichtigt wurden,
sind hier ausgeschlossen. In Abb. 6.17 sind die Resultate der bedingten Anpassung
für N̄pe (Eγ ) aufgezeichnet.
Das relevante Eγ -Intervall für die Bestimmung des Verschiebungsparameters
entspricht dem Peakbereich der elastisch gestreuten Elektronen. Berücksichtigt man
ein ±2σ-Intervall um die Peakmitte, so bekommt man den Energiebereich zwischen
126 und 209 MeV für Eγ bei Nichtkoinzidenzereignissen. Des Weiteren soll beachtet werden, dass die maximale Energie der ausgestrahlten γ-Quanten aus kinematischen Gründen bei etwa 180 MeV liegt, was den relevanten Eγ -Bereich von oben
6.4. UNTERSUCHUNGEN ZUM UNTERGRUNDABZUG
141
500
400
Npe
300
200
100
0
100
120
140
160
180
Eγ [MeV]
(a)
200
220
240
120
140
160
180
Eγ [MeV]
(b)
200
220
240
500
400
Npe
300
200
100
0
100
Abbildung 6.17: (Eγ ,Npe )-Scatterplots aus der Simulation zum Antwortverhalten des Detektors auf γ-Quanten: (a) Nichtkoinzidenz- und (b) Koinzidenzereignisse. Die Geraden sind die Resultate des conditional Fits für N̄pe (Eγ ). In
der unteren Tafel ist zum Vergleich zusätzlich das Ergebnis von (a) als
gestrichelte Linie eingezeichnet.
142
KAPITEL 6. DETEKTORANTWORTVERHALTEN
Konversionswahrscheinlichkeit
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
50
100
150
Eγ [MeV]
200
250
300
Abbildung 6.18: Simulierte Konversionswahrscheinlichkeit als Funktion der γ-Energie. In
blau über dem entsprechenden Fitbereich ist ein linearer Fit gezeigt.
beschränkt. Als Verschiebungsparameter wird dann der Mittelwert des Unterschieds
zwischen den beiden in Abb. 6.17 gezeigten Geraden im Energiebereich zwischen
126 und 180 MeV ausgewählt, nähmlich etwa 65 Photoelektronen.
Aufgrund der leichten Steigungsdifferenz zwischen den beiden Geraden hat
man Abweichungen von diesem Wert, die an den Rändern des Intervalls nur ±5.7%
betragen, was die Annahme einer konstanten Verschiebung rechtfertigt. Es sei allerdings angemerkt, dass der Effekt der Vernachlässigung dieser Energieabhängigkeit
der Energieverluste die Zunahme der Signalschwankungen bei Koinzidenz- im Vergleich zu Nichtkoinzidenzereignissen teilweise konpensiert. Eine quantitativere Betrachtung dieser Kompensation erfolgt in Kap. 7.
Skalierungsparameter. Um den Wert des Skalierungsparameters zu bestimmen,
wurden die Koinzidenzereignisse nach Eγ histogrammiert. Die Einträge in jedem
Bin wurden dann auf die gesamte Anzahl der simulierten Ereignisse in dem Bin
normiert. Das so erhaltene Histogramm stellt eine Abschätzung der Konversionswahrscheinlichkeit als Funktion der γ-Energie dar und ist in Abb. 6.18 gezeigt. Im
selben Energiebereich, in dem die bedingte Anpassung zur Bestimmung der Antwortfunktion durchgeführt wurde (100-250 MeV), wurde hier ein linearer Fit angebracht. Betrachtet man nun den Eγ -Bereich, der dem elastischen Peak entspricht, so
hat man durchschnittlich eine Konversionswahrscheinlichkeit von 10.6%, und die
Abweichungen von diesem Wert im betrachteten Bereich betragen etwa ±0.25%.
6.4. UNTERSUCHUNGEN ZUM UNTERGRUNDABZUG
Somit ist die Annahme einer energieunabhängigen Konversionswahrscheinlichkeit
in guter Näherung bestätigt.
143
144
KAPITEL 6. DETEKTORANTWORTVERHALTEN
Kapitel 7
Resultate und Schlussfolgerungen
Die in den vorangegangenen Kapiteln erarbeiteten Kenntnisse zu den physikalischen Prozessen, die im A4-Experiment wirksam sind, und zur Detektorantwort
des PbF2 -Kalorimeters und des Plastikszintillator-Elektronentaggers können für die
Behandlung des Untergrunds aus fehlerkannten γ-Ereignissen bei der Asymmetriemessung angewandt werden.
Zuerst muss hier gezeigt werden, dass die Simulation des Energiespektrums eine
quantitativ gute Beschreibung der Daten ergibt. Somit kann man sich überzeugen,
dass die entscheidenden Beiträge zum Energiespektrum verstanden sind. Zweitens
muss die Anwendbarkeit des im Kap. 4 vorgestellten Subtraktionsverfahrens des
Konversionsuntergrunds geprüft werden.
Angesichts dieser Resultate wurde das Subtraktionsverfahren an die Messung
der paritätsverletzenden Asymmetrie aus einem Datensatz von etwa 1000 Stunden
mit der Strahlenergie von 315 MeV an Wasserstoff unter Rückwärtswinkeln angewandt. Diese Messergebnisse werden hier vorgestellt und der Einfluss des Untergrundabzugs diskutiert.
Abschließend wird das Resultat der Asymmetriemessung mit der A4-Vorwärtsmessung bei der Strahlenergie von 855 MeV kombiniert, um die Strangeness-Vektorformfaktoren bei einem q 2 von −0.22 (GeV/c)2 zu separieren. Anhand eines
gemeinsamen Fits dieser Ergebnisse mit den Weltdaten bei q 2 = −0.1 (GeV/c)2
werden dann Rückschlüsse über die Beiträge der Strangeness zum magnetischen
Moment und zum Ladungsradius des Protons gezogen.
7.1 Simuliertes Gesamtspektrum
Kombiniert man die Streuprozesse, die mit dem in Kapitel 5 beschriebenen
Ereignisgenerator simuliert wurden, mit der Detektorantwort auf ihre Endzustandteilchen, die mit der Detektorsimulation in Kap. 6 bestimmt wurde, so erhält man
ein simuliertes Energiespektrum des Bleifluoridkalorimeters, das mit Messdaten
verglichen werden kann. Folgende Aspekte müssen betrachtet werden:
145
146
KAPITEL 7. RESULTATE UND SCHLUSSFOLGERUNGEN
Gemessenes Spektrum. Über die Energiespektren aus allen Kalorimetermodulen, die zum selben Ring (gleicher polarer Streuwinkel) gehören, wurde gemittelt,
um eine mittlere Detektorantwort zu erhalten, die nicht von einem einzelnen Detektormodul bestimmt ist, sondern repräsentativ für den ganzen Detektor ist.
Energieintervall. Der quantitative Vergleich zwischen Messung und Simulation
kann nur innerhalb eines geeignet ausgewählten Energieintervalls stattfinden, der
für die Zwecke der Analyse signifikant ist, in dem aber keine Effekte, die in der Simulation nicht berücksichtigt werden können, eine Rolle spielen. Hier wird das Intervall zwischen 100 und 300 MeV gewählt, weil es den ganzen Peakbereich enthält
und die typischen Integrationsgrenzen für die Extraktion der Asymmetrie deutlich
innerhalb dieses Bereichs liegen.
Bei niedrigeren Energien kann der Vergleich wegen Schwelleneffekten nicht
erfolgen. Hier hat man erstens die CFD-Schwelle des Summensignals eines 3×3Kristallclusters, die wegen elektronischen Rauschens die untere Kante des Spektrums verschmiert. Dies kann in der Simulation nicht berücksichtigt werden. Zweitens wird der Effekt der LM-Schwelle (Lokalmaximum, s. Kap. 3.2.4) in der Simulation idealerweise berücksichtigt. Betrachtet man aber ein über viele Kanäle gemitteltes Spektrum, so kann dieser Effekt auch nicht vollkommen reproduziert werden,
weil für jeden Kanal die effektive Lage dieser Schwelle auf der Energieskala wegen
Toleranzen der beteiligten elektronischen Bauteile unterschiedlich ist.
Gesamtnormierung. Die im Kapitel 5 beschriebene Gewichtung der Ereignisse
in der Simulation enthält die nominelle Luminosität und die Messdauer. Allerdings
muss mit Abweichungen der tatsächlichen Luminosität von der nominellen gerechnet werden. Einerseits ändert sich der Strahlstrom um einige Prozente nach jeder
Strahlabschaltung, andererseits ist der Wert der Targetdichte nur ein Literaturwert
und wurde nicht absolut gemessen. Letztendlich sind die relativen Änderungen der
Luminosität zwischen den beiden Polarisationseinstellungen für die Bestimmung
der Asymmetrie wichtig, jedoch ist der absolute Luminositätswert unwesentlich,
denn er fällt in der Berechnung der Asymmetrie weg.
Darüber hinaus sind auch die berechneten Wirkungsquerschnitte fehlerbehaftet. Beispielweise basiert die Berechnung der Pionproduktionsquerschnitt auf dem
phänomenologischen Fit MAID [89], während bei der elastischen Streuung Formfaktoren miteinbezogen werden müssen. Diese Bestandteile der Wirkungsquerschnitte führen durchaus zu Unsicherheiten der Größenordnung von einigen Prozent.
Um den Vergleich mit dem gemessenen Spektrum zu ermöglichen, wird die
Simulation mit einem gesamten Normierungsfaktor skaliert. Dieser Normierungsfaktor wird bestimmt, indem man das Integral des gemessenen Spektrums über das
für den Vergleich festgelegte Intervall durch das Integral des simulierten Spektrums
teilt. Durch dieses Verfahren ergibt sich je nach betrachtetem Spektrum eine Korrektur zwischen 4 und 5%.
7.1. SIMULIERTES GESAMTSPEKTRUM
Aluminium-Beiträge. Die Streuung der Strahlelektronen sowie die Erzeugung
von Teilchen an den Aluminiumwänden der Targetzelle tragen zum Energiespektrum bei. Diese Beiträge sind nicht in der Simulation enthalten und werden von
einer Messung mit leerem Target übernommen.
Dabei müssen folgende Umstände berücksichtigt werden. Erstens wurde die
Messung mit leerem Target bei einem niedrigen Strahlstrom (0.5 µA) durchgeführt,
deswegen müssen die entsprechenden Spektren durch das Verhältnis der nominellen
Stromwerte skaliert werden.
Zweitens muss man darauf achten, dass sich bei vollem Target Beiträge zur π 0 Erzeugung durch Photoproduktion am Austrittfenster der Targetzelle ergeben, die
in der Messung mit leerem Target vernachlässigbar sind, denn dabei ist nur das AlEintrittsfenster (∼ 10−3 Strahlungslängen) als Radiator für die Bremsstrahlungserzeugung vorhanden. Dieser Unterschied zwischen den beiden Messungen wurde
durch folgende Überlegung korrigiert: Die Form der π 0 -Zerfallsspektren von der
Elektro- und der Photoproduktion sind aufgrund der darunterliegenden kinematischen Verhältnisse sehr ähnlich, wie man auch an der Simulation des Wasserstoffspektrums erkennt. Zusätzlich kann auch für die Beiträge zum Spektrum von Eintrittund Austrittfenster die gleiche Form angenommen werden, wenn man die leichten Unterschiede im Streuwinkel vernachlässigt. Der einzige Unterschied zwischen
diesen beiden Beiträgen ist dann ein Gesamtfaktor zwei, weil die Wandstärke des
Austrittfensters nur die Hälfte der Wandstärke des Eintrittfensters beträgt. Da alle Beiträge dieselbe Form besitzen, kann die Photoproduktion am Austrittfenster
durch eine gesamte Skalierung des mit leerem Target gemessenen γ-Spektrums
berücksichtigt werden.
Der Skalierungsfaktor wurde folgendermaßen festgelegt: Da einerseits das volle Target einem Radiator von ungefähr 1/50 Strahlungslängen entspricht, erwartet
man am Austrittfenster schätzungsweise gleiche Beiträge von der Photo- wie von
der Elektroproduktion [90] (Abschätzung A). Andererseits kann das Verhältnis dieser Beiträge näherungsweise durch die für die Simulation berechnete Pionausbeute
am Wasserstoff abgeschätzt werden. Aus der Rechnung ergibt sich, dass die Photoproduktion am Wasserstoff – mit vollem Target – fast genauso wahrscheinlich
wie die Elektroproduktion ist. Doch im Gegensatz zum Al-Austrittfenster, worauf der Bremsstrahlungsfluss aus dem ganzen Target auftrifft, dient der Wasserstoff
gleichzeitig als Radiator und als Target für die Pionerzeugung, und die Bremsstrahlungsintensität wächst nahezu linear mit der Tiefe im Target. Das Verhältnis Photozu Elektroproduktion sollte dann am Austrittfenster ungefähr doppelt so groß wie
am Wasserstoff sein (Abschätzung B). Hier wird davon ausgegangen, dass dieses
Verhältnis zwischen den beiden Abschätzungen A und B liegt, und der Wert 1.5
wird angenommen. Beträgt die Photoproduktion 3/2 der Elektroproduktion am Austrittfenster und diese wiederum wegen des Verhältnisses der Wandstärken 1/3 des
gesamten gemessenen Aluminiumspektrums, so lässt sich der Beitrag der Photoproduktion durch den Skalierungsfaktor 1.5 berücksichtigen.
Diese grobe Abschätzung kann durchaus Fehler in der Größenordnung von 20%
147
148
KAPITEL 7. RESULTATE UND SCHLUSSFOLGERUNGEN
oder mehr tragen. Da aber die Aluminiumbeiträge nur wenige Prozente des gesamten Spektrums (mit vollem Target) darstellen, ist der dazugehörige Fehler akzeptabel.
Dieses Verfahren gilt für das Spektrum der ungeladenen Teilchen. Für die Korrektur des Spektrums der geladenen Teilchen müssen die Beiträge der Photoproduktion am Austrittfenster zum Konversionsuntergrund abgeschätzt werden. Dazu
wird erst das gemessene Spektrum der ungeladenen Teilchen mit dem Faktor 0.5
multipliziert, um eine Abschätzung der Photoproduktionsbeiträge allein zu bekommen. Dann wird die Methode der Skalierung und Verschiebung, die man für den
Untergrundabzug einsetzt, angewendet, um das gesuchte Konversionsspektrum der
Photoproduktion am Austrittfester abzuschätzen. Dieses Spektrum wird dann zum
Spektrum der geladenen Teilchen addiert. Das beschriebene Verfahren enthält nun
weitere Fehler wegen der Skalierung und Verschiebung, die aber insgesamt sehr
unbedenklich sind, weil das so abgeschätzte Konversionsspektrum nur einen kleinen Bruchteil des Beitrags der Al-Ereignisse zum Spektrum der geladenen Teilchen
darstellt. Die Al-Ereignisse tragen wiederum insgesamt nur bis höchstens 5% (im
Peakbereich) zum gesamten Spektrum bei vollem Target bei.
Anpassung der Energieauflösung. An verschiedenen Stellen in der Arbeit wurde erwähnt, dass die Simulation des Detektorantwortverhaltens das Energieauflösungsvermögens des Kalorimeters nicht in allen Einzelheiten reproduzieren kann.
Deswegen werden Abweichungen der simulierten Energieauflösung von der gemessenen erwartet. Um diese zu quantifizieren, wird eine Korrektur der Simulationsergebnisse durch einen Fit an das experimentelle Spektrum bestimmt. Diese Korrektur
sollte möglichst klein sein, da auf der Simulation die Rechtfertigung des Untergrundabzugsverfahrens basiert. Das simulierte Antwortverhalten des Detektors sollte
also möglichst bestätigt und die entscheidenden Effekte für die Energieauflösung
identifiziert werden. Sehr wichtig sind z.B. dabei die Strahlenschäden, die die Lichtabsorption in den PbF2 -Kristallen stark beeinflussen. Es wurde festgestellt, dass
man die beste Beschreibung der hier betrachteten Daten erhält, wenn man bei der
Detektorsimulation die gemessenen Absorptionslängen nach einer aufgenommenen
Strahlendosis von etwa 100 Gy berücksichtigt.
Für die Korrektur der aus der Simulation resultierenden Energieauflösung wurde folgendes Fitverfahren angewendet. Zu jedem simulierten Ereignis gehört ein
gewisses Signal s (Anzahl der nachgewiesenen Cherenkov-Photonen), das histogrammiert wird, um ein simuliertes Energiespektrum zu erhalten. Bevor diese √
Signale histogrammiert werden, werden sie durch eine Gaußverteilung der Breite c s
gestreut, wobei c eine anzupassende Konstante ist. Aus dem so korrigierten Simulationsspektrum und dem gemessenen Spektrum berechnet man dann die zu minimierende χ2 -Funktion:
b1
X
(Nb − Xb )2
2
,
χ =
2
N
b + Wb
b=b
0
7.2. SIMULIERTER KONVERSIONSUNTERGRUND
wobei
Xb =
X
wi ,
i
Wb2 =
X
wi2 ,
i
wi die Ereignisgewichte der Simulation sind und die i-Summe über alle Ereignisse
läuft, die beim gegebenen Wert von c in den Bin b fallen. Die Binnummern b0,1
entsprechen dem zum Vergleich ausgewählten Intervall, und Nb sind die Einträge
im Bin b des gemessenen Spektrums.
Um die durch dieses Fitverfahren angebrachte Änderung der simulierten Energieauflösung am Peak der elastischen Ereignisse zu quantifizieren, wurden die Breiten
des Peaks mit und ohne Korrektur verglichen. Der relative Unterschied zwischen
den beiden beträgt nur 2.2%, was eine Bestätigung der Simulation der Detektorantwort darstellt.
Verträglichkeit mit den Messungen. In Abb. 7.1 sind Beispiele von simulierten Energiespektren zusammen mit den entsprechenden gemessenen Spektren gezeigt. Die verschiedenen Beiträge werden durch unterschiedliche Farben sichtbar
gemacht.
Um die Verträglichkeit der beiden Spektren im ausgewählten Vergleichsintervall
zu quantifizieren, wurden die relativen Abweichungen (Nb − Xb )/Nb in jedem Bin
quadratisch und gewichtet gemittelt. Als Gewicht P
wurde die Anzahl der Ereignis1
se Nb dividiert durch das Integral des Spektrums bb=b
Nb angenommen. Die er0
haltenen Werte liegen für die Spektren der ungeladenen Teilchen je nach Kalorimeterring1 zwischen 4 und 6%, während für die Spektren der geladenen Teilchen
zwischen 2.5 und 5%.
Diese Ergebnisse zeigen, dass einerseits die entscheidenden Beiträge von Streuprozessen zum Energiespektrum richtig identifiziert und quantitativ genau abgeschätzt wurden. Andererseits ist die Simulation der Detektorantwort vertrauenswürdig und kann für die Bestimmung des Konversionsuntergrunds und der Parameter
zu dessen Behandlung verwendet werden.
7.2 Simulierter Konversionsuntergrund
Hier soll geprüft werden, inwieweit das in Kapitel 4 beschriebene Verfahren
zur Bestimmung der Konversionsuntergrundbeiträge zum Spektrum der geladenen
Teilchen anwendbar ist. Das bedeutet, dass das skalierte und verschobene Spektrum
1
Hierbei werden nur die fünf inneren Ringe betrachtet, die in der Asymmetriemessung verwendet
werden.
149
150
KAPITEL 7. RESULTATE UND SCHLUSSFOLGERUNGEN
150
Zählereignisse / 103
125
100
75
50
25
0
0
50
100
150
200
250
E [MeV]
300
350
400
0
50
100
150
200
250
E [MeV]
300
350
400
30
Zählereignisse / 103
25
20
15
10
5
Abbildung 7.1: Vergleich zwischen simuliertem und gemessenem Energiespektrum der ungeladenen (oben) bzw. geladenen (unten) Teilchen. Das gemessene Spektrum ist in rot dargestellt, die Simulation als gefülltes Histogramm. Die
Beiträge dazu sind: elastische Streuung und dazugehöriger Strahlungsschwanz (grün), inelastische Streuung (blau), Zerfall von elektro- (gelb)
und photoproduzierten (orange) π 0 -Mesonen. Zusätzlich werden die gemessenen Beiträge von den Aluminiumfenstern der Targetzelle zur Simulation addiert und sind in grau dargestellt.
7.3. KORREKTUR DER ASYMMETRIE
der ungeladenen Teilchen in guter Näherung die Verteilung der Konversionsuntergrundereignisse wiedergeben soll.
Um dieses zu beweisen, wird das gemessene Spektrum der ungeladenen Teilchen skaliert und verschoben. Dabei werden die Parameter verwendet, die sich aus
der im Kapitel 6.4 vorgestellten Studie ergaben. Das so verschobene und skalierte Spektrum wird dann mit dem simulierten Spektrum des Konversionsuntergrunds
verglichen.
Der simulierte Konversionsuntergrund enthält die π 0 -Zerfallsereignisse, die in
der Simulation als Koinzidenzereignisse anerkannt wurden, wobei die durch Elektrosowie Photoproduktion erzeugten π 0 -Mesonen betrachtet werden. Die Beiträge der
Aluminiumfenster zum Konversionsuntergrund können anhand der Messung mit
leerem Target abgeschätzt werden.
Oben in Abb. 7.2 sind zum Vergleich das simulierte Konversionsspektrum und
das verschobene und skalierte gemessene Spektrum der ungeladenen Teilchen eingezeichnet. Um einen besseren Vergleich zu ermöglichen, ist unten in Abb. 7.2 ein
Quantil-Quantil-Plot der beiden Histogramme gezeigt. Dabei wurde das Quantil zu
einer gewissen Energie E durch Integration des Spektrums von E bis 220 MeV berechnet und dann auf das Integral von 100 bis 220 MeV des gemessenen Spektrums
(verschoben und skaliert) normiert. Die den Quantilen entsprechende Energieskala
ist auf der oberen horizontalen Achse aufgetragen. Ein Vergleich der Punkte mit
der Identitätsgeraden (blau in der Abbildung) zeigt, dass die Verträglichkeit der
beiden Spektren im für die Asymmetriebestimmung wichtigen Energiebereich gut
ist, denn typische untere Integrationsgrenze liegen zwischen 160 und 180 MeV.
Oberhalb von 160 MeV weicht der Quantil-Quantil-Plot höchstens um 5% von der
Identitätsgeraden ab. Für den Punkt bei 157.5 MeV ist die Abweichung zirka 7%.
Für kleinere Energien wird dann die Übereinstimmung erwartungsgemäß schlechter, weil vor allem die Annahme einer konstanten Konversionswahrscheinlichkeit
ungültig wird. Das ist allerdings für die Untergrundabschätzung im Integrationsbereich des elastischen Peaks unbedeutsam.
7.3 Korrektur der Asymmetrie
Der Einbau in die Datenanalyse des A4-Experiments der hier untersuchten Methode zur Korrektur der Asymmetrie vom Konversionsuntergrund ist nicht Bestandteil dieser Arbeit. Eine Beschreibung der dazugehörigen technischen Details wird
daher hier nicht gegeben, sie werden in der sich noch in Vorbereitung befindenden
Arbeit [104] enthalten sein.
Der Vollständigkeit halber werden jedoch die Resultate des Korrekturverfahrens
für die Daten bei der Strahlenergie von 315 MeV präsentiert. Diese Resultate wurden von [120] genommen und für die Veröffentlichung [121] der Rückwärtsmessung
zu diesem q 2 -Wert verwendet.
In Abb. 7.3 ist die Änderung des extrahierten Asymmetriewerts bei Variation
151
152
KAPITEL 7. RESULTATE UND SCHLUSSFOLGERUNGEN
25
counts / 103
20
15
10
5
0
50
100
150
E [MeV]
E [MeV]
157.5
220.0 177.5 167.5
200
250
300
147.5
0.25
Q-Sim
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0.00
0.05
0.10
0.15
Q-Exp
0.20
0.25
Abbildung 7.2: Oben: Vergleich zwischen verschobenem und skaliertem γ-Spektrum
(schwarz) und simuliertem Untergrundspektrum (gefüllt). Die Farben der
Beiträge zum Simulationsspektrum sind dieselben wie in Abb. 7.1. Zur
Orientierung ist auch das gemessene Gesamtspektrum der geladenen Teilchen in rot gezeigt.
Unten: Quantil-Quantil-Plot der beiden zu vergleichenden Spektren (im
Text erklärt).
7.3. KORREKTUR DER ASYMMETRIE
153
21
Konversionswahrscheinlichkeit:
20
9%
10%
11%
A [ppm]
19
18
17
16
15
32
34
36
38
40
42
Energieverschiebung [MeV]
44
Abbildung 7.3: Empfindlichkeit der Asymmetrie auf die Simulationsparameter. Aufgetragen ist der Wert der aus den Daten extrahierten Asymmetrie für verschiedene Werte der zur Untergrundkorrektur verwendeten Parameter. Die Werte
der Energieverschiebung entsprechen jeweils einer ganzen Zahl von Bins
im gemessenen Spektrum. Die Fehlerbalken enthalten nur die statistische
Unsicherheit.
der Energieverschiebung und der Konversionswahrscheinlichkeit zu sehen. Aus den
Differenzen der Asymmetriewerte wurde der mit dem Korrekturverfahren verbundene systematische Fehler zu 0.28 ppm abgeschätzt, was bei dem gegebenen Zentralwert der Asymmetrie einem relativen Fehler von 1.6% entspricht. Der gesamte
systematische Fehler erhöht sich durch diesen Beitrag um 0.05 ppm auf 0.89 ppm.
Eine Prüfung des Korrekturverfahrens ist in Abb. 7.4 dargestellt, wobei die Abhängigkeit der Asymmetrie von der Lage der untere Integrationsgrenze sowohl für
die unkorrigierten als auch für die korrigierten Asymmetriewerte aufgetragen ist.
Während die unkorrigierten Asymmetriewerte aufgrund der zu niedrigeren Energien zunehmenden Untergrundkontamination eine stärkere Abhängigkeit mit dem
Schnittwert aufweisen, ändern sich die korrigierten Werte viel weniger, was für die
Gültigkeit der Korrekturmethode spricht.
Das Endresultat für die Helizitätsasymmetrie unter Rückwärtswinkeln bei der
Strahlenergie von 315 MeV und q 2 = −0.22(GeV/c)2 ist
ARL = (−17.23 ± 0.82stat. ± 0.89syst. ) ppm,
154
KAPITEL 7. RESULTATE UND SCHLUSSFOLGERUNGEN
19
unsubtr.
subtr.
A [ppm]
18
17
16
15
14
100
150
200
E [MeV]
250
300
Abbildung 7.4: Abhängigkeit der Asymmetrie von der unteren Integrationsgrenze. Die roten Punkte sind die ohne Anwendung des Korrekturverfahrens extrahierten Asymmetrien als Funktion der Lage der untere Integrationsgrenze. Die
blauen Punkte entsprechen den korrigierten Asymmetriewerten. Nur die
statistische Unsicherheit ist in den Fehlerbalken enthalten. Zur Orientierung wurden das Spektrum der geladenen Teilchen und das abgeschätzte
Konversionsuntergrundspektrum verblasst aufgetragen.
das mit dem theoretischen Asymmetriewert verglichen werden soll
A0 = (−15.87 ± 1.22) ppm,
der unter der Annahme, dass die Strangeness-Vektorformfaktoren Null sind, berechnet wird. Dabei stammt der Fehler hauptsächlich von der Unsicherheit im Axialformfaktor GA und in den elektromagnetischen Formfaktoren des Protons und des
Neutrons.
7.4 Messung der Strangeness-Formfaktoren
Aus der Differenz zwischen der gemessenen Helizitätsasymmetrie ARL und der
Erwartung ohne Berücksichtigung der Strangeness-Vektorformfaktoren A0 erhält
man die Linearkombination [121]
GsM + 0.26GsE = −0.12 ± 0.11exp ± 0.11theo .
7.4. MESSUNG DER STRANGENESS-FORMFAKTOREN
155
0.3
0.2
GsE
0.1
0.0
−0.1
−0.2
−0.3
−1.0
−0.5
0.0
GsM
0.5
1.0
Abbildung 7.5: Strangeness-Vektorformfaktoren bei q 2 = −0.22 (GeV/c)2 . Die Standardfehlerbänder entsprechen den A4-Messungen unter Vorwärts- (rot) bzw.
Rückwärtswinkeln (blau) bei diesem q 2 . Die Ellipsen stellen die Vertrauensregionen auf der GsM -GsE -Ebene für Wahrscheinlichkeiten von jeweils
68.3% und 95.5% dar.
Diese kann mit der Linearkombination aus der Asymmetriemessung von der A4Kollaboration unter Vorwärtswinkeln bei der Strahlenergie von 855 MeV und demselben q 2 [87]
GsE + 0.224GsM = 0.020 ± 0.029exp ± 0.016theo
kombiniert werden, um die beiden Strangeness-Formfaktoren voneinander zu separieren. Man erhält
GsM = −0.14 ± 0.11exp ± 0.11theo ,
GsE = 0.050 ± 0.038exp ± 0.019theo .
(7.1)
(7.2)
In Abb. 7.5 sind die Standardfehlerbänder der beiden Linearkombinationen zusammen mit den 68.3%- und 95.5%-Vertrauensellipsen für die Separation von GsM und
GsE aufgetragen. Dieses Resultat stellt die erste Separation von GsM und GsE durch
direkte Messungen bei diesem q 2 dar.
Die A4-Messungen bei q 2 = −0.22(GeV/c)2 können mit den schon im Kapitel 2 vorgestellten Weltdaten bei q 2 = −0.1(GeV/c)2 zusammengefügt werden, um
den q 2 -Verlauf der beiden Formfaktoren zu untersuchen und somit Rückschlüsse
156
KAPITEL 7. RESULTATE UND SCHLUSSFOLGERUNGEN
über die statischen elektromagnetischen Protoneigenschaften zu ziehen, die mit der
Strangeness verbunden sind, nämlich über den mittleren quadratischen Strangenessradius rs2 und den Strangenessbeitrag µs zum anomalen magnetischen Moment.
Dafür werden die Daten durch zwei verschiedene Ansätze gemeinsam angepasst. In beiden Fällen nimmt man für den q 2 -Verlauf von GsE eine lineare Form
an:
1
GsE (q 2 ) = rs2 q 2 .
6
s
2
Dabei wird die Analytizität von GE (q ) ausgenutzt, zusammen mit der Tatsache,
dass das Proton keinen Strangeness-Nettoinhalt hat, und somit GsE (0) = 0. Damit
man sich auf die erste Ordnung in der Reihenentwicklung um q 2 = 0 beschränken
kann, dürfen nur die Messdaten bei kleinen q 2 -Werten in die Anpassung miteinbezogen werden. Deswegen werden hier die Messungen bei höheren Impulsüberträgen
von HAPPEx [46, 47] und G0 [51] nicht verwendet.
Für GsM (q 2 ) wird beim ersten Ansatz ein konstanter Wert angenommen
GsM (q 2 ) = µs ,
was auch der Berücksichtigung nur der führenden Ordnung in q 2 entspricht. Dieser
Ansatz wird schon in der Referenz [122] verwendet, wobei ein ähnlicher Fit an die
Paritätsverletzungs-Weltdaten durchgeführt wird, allerdings aus zeitlichen Gründen
ohne Berücksichtigung der hier besprochenen A4-Messung [121].
Im zweiten Fit wird die in Ref. [21] angegebene q 2 -Abhängigkeit von GsM verwendet, die zu Ordnung O(p3 ) in HBχPT hergeleitet wurde und nur GsM (0) = µs
als freies Parameter enthält:
πmN MK 2
GsM (q 2 ) = µs +
5D 2 − 6F D + 9F 2 f (q 2 )
2
(4πFπ ) 3
!
p
2
2
2
−q
1
4
−
q
/M
K
,
f (q 2 ) = − + p
arctan
2 4 −q 2 /MK2
2MK
wobei mN und MK jeweils die Nukleon- und die Kaonmasse sind, Fπ ≃ 102 MeV
der Mittelwert zwischen Pion- und Kaonzerfallskonstanten, während D ≃ 3/4 und
F ≃ 1/2 die axialen SU(3)-Kopplungen im chiralen Limes darstellen.
Unter beiden Ansätzen für GsM (q 2 ) ist die Notwendigkeit, sich auf die Messungen bei niedrigem q 2 zu beschränken, offensichtlich. In beiden Fällen werden
die Parameter rs2 und µs gemeinsam an die gemessenen Linearkombinationen von
GsM und GsE angepasst. Die resultierenden q 2 -Verläufe von GsM und GsE werden in
Abb. 7.6 gezeigt, während in Abb. 7.7 die Vertrauensellipsen auf der µs -rs2 -Ebene
zu sehen sind. Dabei sind auch einige theoretische Abschätzungen für diese beiden
Größen aufgetragen.
Obwohl diese Fitverfahren nur näherungsweise gültig sind, können aus diesen Resultaten schon definitive Schlussfolgerungen gezogen werden. Am wichtigsten ist, dass die Strangeness-Beiträge zu den elektromagnetischen Eigenschaften des Protons kleiner sind als durch gewisse theoretische Ansätze erwartet. Die
7.4. MESSUNG DER STRANGENESS-FORMFAKTOREN
157
0.10
0.08
0.40
0.20
0.04
GsM
GsE
0.06
0.02
0.00
−0.20
−0.02
−0.04
0.00
0
0.1
0.2
0.3
2
2
|q | [(GeV/c) ]
0.4
−0.40
0
0.1
0.2
0.3
2
2
|q | [(GeV/c) ]
Abbildung 7.6: Abhängigkeit der Strangeness-Formfaktoren von q 2 . Der Datenpunkt bei
0.1 (GeV/c)2 enthält alle in Abb. 2.3 gezeigten Messungen. Der Punkt
bei 0.22 (GeV/c)2 stammt aus den beiden A4-Messungen bei diesem q 2 .
Die Kurven wurden erzeugt durch die im Text beschriebenen gemeinsamen Fits, wobei die blaue Kurve durch den ersten bzw. die rote durch den
zweiten Ansatz für GsM (q 2 ) zustande kommt.
auf Vektormesondominanz basierten Abschätzungen von rs2 und µs (wie in Ref.
[17] und [19]) galten, zur Zeit als sie entstanden, als sehr plausibel. Anhand dieser Abschätzungen wurden die Messungen der Paritätsverletzung in Elektronstreuexperimenten geplant, und die Helizitätsasymmetrien wurden mit der geplanten
Genauigkeit gemessen. Die Messungen zeigen, dass diese Strangeness-Effekte kleiner als erwartet sind, und somit sind die entsprechenden theoretischen Ansätze zumindest in der Form, in der sie angewandt wurden, ausgeschlossen.
Um diese Observablen signifikant zu bestimmen, müssen offensichtlich Messungen mit einer höheren Präzision entworfen werden. Das wäre technisch durchaus möglich, und tatsächlich werden zurzeit Messungen von Helizitätsasymmetrien
in der Größenordnung 10−7 mit einer relativen Genauigkeit von wenigen Prozenten
geplant [123], die allerdings der Bestimmung der schwachen Ladung des Protons
gewidmet sind.
Um die Erforschung der Hadronstruktur und der starken Kraft durch Messungen der Paritätsverletzung in der Elektronenstreuung weiter zu verfolgen, hätte man
aber die Schwierigkeit, dass die theoretische Interpretation der Resultate unsicher
wäre, wie man an den theoretischen Fehlern z.B. der Strangeness-Formfaktoren bei
q 2 = −0.22(GeV/c)2 in den Gl. (7.1) und (7.2) erkennt. Diese theoretischen Fehler
kommen hauptsächlich wegen der Unsicherheit des axialen und der elektromagnetischen Formfaktoren von Proton und Neutron zustande, die für die Bestimmung
der Strangeness-Formfaktoren aus der gemessenen Helizitätsasymmetrie gebraucht
werden.
0.4
158
KAPITEL 7. RESULTATE UND SCHLUSSFOLGERUNGEN
0.4
VMD [17]
VMD [19]
Skyrme [28]
χQSM (Mπ ) [31]
χQSM (MK ) [31]
q-Gitter [33]
q-Gitter [34]
0.3
0.2
rs2 [fm2 ]
0.1
0.0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
−0.4
−0.2
0.0
µs [n.m.]
0.2
0.4
Abbildung 7.7: Extrahierte statische Strangeness-Eigenschaften des Protons. In blau und
rot sind die Resultate des ersten bzw. zweitens Fits (Beschreibung
im Text) aufgezeichnet, wobei die Ellipsen den 68.3%- und 95.5%Vertrauensbereichen entsprechen. Die aufgetragenen theoretischen Rechnungen wurden in Kapitel 1 besprochen.
Die Genauigkeit, mit der die elektromagnetischen Formfaktoren bekannt sind,
wird sich allerdings in der nächsten Zukunft verbessern, denn sehr präzise Daten
sowohl von der MAMI-Anlage [124] als auch vom Jefferson-Lab. (TJNAF) [125]
werden demnächst veröffentlicht werden.
Die Unsicherheit des axialen Formfaktors GA könnte sich dank Fortschritten
seitens der Theorie verbessern, und experimentell werden die A4-Messungen unter Rückwärtswinkeln mit Deuterium-Target dazu beitragen. Hierzu befinden sich
schon Messdaten bei |q 2 | = 0.2 (GeV/c)2 in der Auswertung [104], und eine neue
Messung bei 0.1 (GeV/c)2 ist geplant.
Es wird interessant sein, zu sehen, wie sich die Bestimmung des StrangenessBeitrags zur Vektorkopplung des Nukleons durch diese neuen Kenntnisse verbessert.
[...]
Tutte le stelle già de l’altro polo
vedea la notte, e ’l nostro tanto basso,
che non surgëa fuor del marin suolo.
Cinque volte racceso e tante casso
lo lume era di sotto da la luna,
poi che ’ntrati eravam ne l’alto passo,
quando n’apparve una montagna, bruna
per la distanza, e parvemi alta tanto
quanto veduta non avëa alcuna.
Noi ci allegrammo, e tosto tornò in pianto;
ché de la nova terra un turbo nacque
e percosse del legno il primo canto.
Tre volte il fé girar con tutte l’acque;
a la quarta levar la poppa in suso
e la prora ire in giù, com’ altrui piacque,
infin che ’l mar fu sovra noi richiuso≫.
DANTE A LIGHIERI, La Divina Commedia,
Inferno, Canto XXVI, 90-142
Anhang A
Geometrische Details
Tabelle A.1: Position und Ausrichtung der Kristalle. Definitionen siehe Abb. A.1 - (a)
Ring-Nr.
1
2
3
4
5
6
7
α (◦ )
39.22
37.69
36.20
34.77
33.39
32.06
30.77
Di (mm)
737.8
779.5
822.6
867.2
913.5
961.4
1011.2
D0 (mm)
854.0
902.2
952.1
1003.8
1057.4
1112.9
1170.5
Ri (mm)
602.1
602.1
602.1
602.1
602.1
602.1
602.1
R0 (mm)
697.0
697.0
697.0
697.0
697.0
697.0
697.0
L (mm)
952.3
984.9
1019.4
1055.8
1094.1
1134.4
1176.9
Tabelle A.2: Abmessungen der Kristalle. Definitionen siehe Abb. A.1 - (b)
Ring-Nr.
1
2
3
4
5
6
7
l (mm)
150.0
155.1
160.6
166.3
172.3
178.7
185.4
Xi (mm)
25.9
25.9
25.9
25.9
25.9
25.9
25.9
X (mm)
30.0
30.0
30.0
30.0
30.0
30.0
30.0
Yil (mm)
25.5
25.5
25.5
25.5
25.5
25.4
25.4
161
Yl (mm)
29.5
29.5
29.5
29.5
29.5
29.5
29.4
Yiu (mm)
26.4
26.4
26.4
26.4
26.4
26.4
26.4
Yu (mm)
30.5
30.5
30.5
30.5
30.5
30.5
30.6
162
ANHANG A. GEOMETRISCHE DETAILS
l
X
Kristall
L
Xi
R0
Ri
α
Strahlachse
Target
Di
D0
(a)
Yu
Yiu
Xi
Yil
l
Yl
(b)
Abbildung A.1: (a) Definition der Ausrichtungs- und Positionsparameter der Kristalle.
(b) Definition der Kristallenabmessungen.
X
163
Tabelle A.3: Angabe der Abmessungen und Positionen der Szintillationszähler. Typ I: innere Module; Typ II: äußere Module; Typ III: breitere Module. Definitionen,
siehe Abb. A.2.
Typ
I
II
III
Anzahl L [mm] B [mm] H [mm] R [mm] z [mm]
34
36
2
400
409
400
50
50
68
20
20
20
472
520
472
739.5
784.5
739.5
(a)
B
H
L
(b)
H/2
Szintillator
L/2
R
Target
e−
C
z
Abbildung A.2: (a) Definitionen der Szintillatoren-Abmessungen. (b) Definition der Positionkoordinaten (C ist der Mittelpunk des Targets).
164
ANHANG A. GEOMETRISCHE DETAILS
Anhang B
Wertvolle Formeln
B.1 Kinematische Größen
B.1.1 Elastische Streuung
Die Massen von Elektron und Nukleon (Proton) werden mit m und M angedeutet. Die Viererimpulse von ein- und auslaufendem Elektron werden als1
Lab
k = (E, k) = (E, 0, 0, |k|)
(B.1)
Lab
k ′ = (E ′ , k′ ) = (E ′ , |k′ | sin θ, 0, |k′| cos θ)
E
Lab
≡ E/η
E′ =
1 + E/M(1 − cos θ)
(B.2)
für m = 0
(B.3)
bezeichnet, der Viererimpulsübertrag als
q = k − k ′ = (ω, q)
2
Q
= −q
2 Lab
(B.4)
′
= 2EE (1 − cos θ)
für m = 0.
(B.5)
Die Viererimpulse von ein- und auslaufendem Nukleon sind:
Lab
P = (E1 , P) = (M, 0, 0, 0)
P ′ = (E2 , P′)
β2 = |P′ |/E2
(B.6)
(B.7)
B.1.2 Inelastische Streuung
Wenn der Endzustand nicht (nur) dieselbe Teilchen wie der Anfangszustand
enthält, redet man von inelastischer Streuung. In dieser Arbeit ist der Endzustand
typischerweise ein Dreikörper-Zustand, wobei neben dem gestreuten Elektron ein
1
Es wird immer c = 1 angenommen.
165
166
ANHANG B. WERTVOLLE FORMELN
Nukleon und ein drittes Teilchen X entstehen. Für Elektron und Nukleon werden die im letzten Abschnitt gegebenen Definitionen der kinematischen Größen
übernommen.
Die invariante Masse oder Schwerpunktenergie des Nukleon-X-Systems wird
mit W bezeichnet,
W 2 = M 2 + q 2 + 2P · q
Lab
M 2 + q 2 + 2Mω
m=0
M 2 − 2EE ′ (1 − cos θ) + 2Mω .
=
=
(B.8)
Somit kann man die Energie des gestreuten Elektron schreiben als:
E′ =
M 2 + 2ME − W 2
.
2(M + E(1 − cos θ))
(B.9)
Bei verschiedenen Rechnungen wird vom Schwerpunktsystem von Nukleon und
X Gebrauch gemacht. Kinematische Größen in diesem Bezugsystem werden mit
einem Stern gekennzeichnet. Das Koordinatensystem wird so gewählt, dass die zAchse in die q∗ -Richtung zeigt, die x-Achse auf der Elektron-Streuebene liegt und
die y-Achse senkrecht dazu steht:
q∗
,
|q∗ |
k∗ × k′∗
,
=
|k∗ × k′∗ |
= ẑ ∗ × ŷ ∗ .
ẑ ∗ =
ŷ ∗
x̂∗
Im folgenden werden kinematische Notationen für spezifische inelastische Kanäle
angegeben.
ep → epγ:
Der Viererimpuls des ausgestrahlten γ-Quants ist
q ′ = (ω ′ , q′ ) .
ep → eNπ:
Der Viererimpuls des Pions ist
kπ = (ωπ , kπ ) ,
und seine Masse mπ . Für den geladenen bzw. ungeladenen Kanal versteht sich:
ep → enπ + :
ep → epπ 0 :
M = Mn , mπ = mπ+ bzw.
M = Mp , mπ = mπ0 .
B.1. KINEMATISCHE GRÖSSEN
167
B.1.3 Zerfall ungeladener Pionen
Die durch Elektro- oder Photoproduktion erzeugten ungeladenen Pionen zerfallen zu 98.8% [40] in zwei γ-Quanten. Die Viererimpulse der beiden Photonen
werden k1 und k2 benannt, ihre Energien ω1 und ω2 und die Richtung ihre Impulsen
durch die Einheitsvektoren k̂1 und k̂2 . Die Energie- und Impulserhaltung heißt
kπ = k1 + k2 .
(B.10)
Im Ruhesystem des Pions beträgt die Energie beider Photonen die Hälfte der Ruhemasse des Mesons und ihre Impulse stehen unter 180◦ zueinander. Bezeichnet man
die kinematischen Variablen in diesem Bezugssystem mit einem Stern, so hat man
kπ∗ = (mπ0 , 0)
mπ0
ω1∗ = ω2∗ =
2
k̂1∗ = −k̂2∗ .
Da das Pion ein spinloses Teilchen ist, erfolgt der Zerfall in seinem Ruhesystem
isotrop, und für die Wahrscheinlichkeitsdichte-Verteilung dρ der z.B. k̂1 -Richtung
gilt
d2 ρ
1
,
(B.11)
=
∗
dΩ1
4π
wobei die z-Richtung entlang des Pionimpulses im Laborsystem gewählt wurde.
Quadriert man (B.10), bekommt man
m2π0 − 2ωπ ω1 + 2ω1 |kπ | cos θπγ = 0
(B.12)
m2π0
2(ωπ − |kπ | cos θπγ )
(B.13)
ω1 (ωπ , θπγ ) =
Daraus ergibt sich für die größte bzw. kleinste Photonenergie
ωπ + |kπ |
2
ωπ − |kπ |
.
=
2
θπγ = 0 ⇒ ω1max =
θπγ = π ⇒ ω1min
und
(B.14)
(B.15)
Eine Beziehung zwischen dem Ruhesystem-Winkel θ1∗ und dem Laborwinkel θπγ
kann anhand der dazugehörigen Lorentz-Transformation (mit γ = ωπ /mπ0 und
β = |kπ |/ωπ ) verschafft werden:
|kπ |
ωπ
∗
1+
ω1 =
cos θ1
2
ωπ
ωπ
|kπ |
∗
ω1 cos θπγ =
cos θ1 +
2
ωπ
168
ANHANG B. WERTVOLLE FORMELN
Fügt man beide Gleichungen zusammen und berücksichtigt man (B.13), kommt
man auf
ωπ cos θ1∗ + |kπ |
cos θπγ =
,
ωπ + |kπ | cos θ1∗
m2π0
∂ cos θπγ
ωπ (ωπ + |kπ | cos θ1∗ ) − |kπ |(ωπ cos θ1∗ + |kπ |)
=
=
. (B.16)
∂ cos θ1∗
(ωπ + |kπ | cos θ1∗ )2
4ω12
Mit (B.16) wieder zusammen mit (B.13) erhält man für die Winkelverteilung im
Laborsystem
m2π0
d2 ρ
ω12
d2 ρ ∂ cos θ1∗ =
=
=
.
(B.17)
dΩπγ
dΩ∗ ∂ cos θπγ πm2 0
4π(ωπ − |kπ | cos θπγ )2
1
π
B.2 Wirkungsquerschnitte
Zur Berechnung von differentiellen Wirkungsquerschnitten für Streuprozesse
wurden die Standard-Formeln verwendet, die lorentz-invariante Streuamplituden
mit den in einem beliebigen Bezugsystem evaluierten relevanten kinematischen
Größen verknüpfen.
Wichtig dabei ist die Normierung der Spinoren, die in der Berechnung der Streuamplituden verwendet wird. In dieser Arbeit wurde die Konvention von Bjorken und
Drell [126] angewandt:
ū(p, s) u(p, s) = 1 ,
v̄(p, s) v(p, s) = −1 .
Diese führt für den allgemeinen Prozess
a + b → 1 + 2 + 3 + ...
mit invarianter Streuamplitude M und Anfangs- und Endzustand-Viererimpulsen
pa , pb bzw. ki (i = 1, 2, 3, ...) zum Wirkungsquerschnitt
Y
1
d3 ki
dσ =
Ka Kb S
Ki
|M̄|2
(B.18)
3
|va − vb |
(2π)
i=1,2,...
!
X
ki .
×(2π)4 δ (4) pa + pb −
i=1,2,...
Hierbei sind va,b die Geschwindigkeiten der Teilchen a und b. Wenn Ex und mx
Energie und Masse des Teilchens x sind, gilt dann
für Bosonen:
1
Kx =
2Ex
für Fermionen:
mx
Kx =
Ex
B.3. STRAHLUNGSKORREKTUREN
169
Mit |M̄|2 ist gemeint, dass |M|2 über die Spinrichtungen der Anfangszustandsteilchen gemittelt und über die Spinrichtungen der Endzustandsteilchen summiert
wird. Gibt es im Endzustand ni Teilchen der Sorte i, so hat man den statistischen
Faktor
Y 1
S=
.
ni !
i
B.3 Strahlungskorrekturen
Der Ausdruck für die Korrektur δ(∆r ) zur elastischen Elektron-Proton-Streuung
wurde von Mo und Tsai [111] gegeben und lautet:
α 28 13
−q 2
δ(∆r ) = −
−
log 2
(B.19)
π 9
6
m
E
E
E′
−q 2
− 3 log η − Φ 1 − ′ − Φ 1 −
2 log
+ log 2 − 1
m
∆r
E
E
′
M(M − E ′ )
M −E
E
−Φ
− 3 log η + Φ −
+Z 2 log η 2 log
∆r
E
2E ′ E2 − ME
′
′
2E ′ E2 − ME 2E (M − E ′ )
M
E
−
E
2
log
+Φ
+ log −Φ −
2E ′ E2 − ME
E(M − 2E ′ ) 2E ′
E′
2EE2 − ME ′ 2E(E2 − E ′ )
M(E2 − E ′ )
log M
−Φ
− log ′
+Φ
′
′
′
2E E2 − ME
2EE2 − ME
E (M − 2E) 2E
M M −E
M −E
2(M − E)
log M
−Φ −
+Φ
−Φ
− log E
E
M
2E − M 2E
′
′
′
M
M −E
M
M −E
2(M − E )
+Φ −
+ log ′
log
−Φ
+Φ
E′
E′
M
2E − M 2E ′
1 1
1
1 + β2
E2 + M
M
1 + β2
E2
log
−2 +
log
+ log
log
+Z 2 − log
M
η∆r β2
1 − β2
β2 2
1 − β2
2M
s
s
!
!
!
r
E2 − M 1 + β2
E2 − M 1 − β2
E2 − M
−Φ −
+Φ
−Φ
E2 + M 1 − β2
E2 + M 1 + β2
E2 + M
!!#)
r
E2 − M
+Φ −
.
E2 + M
Hierbei ist Z die Ladung des Targets, die im Ausdruck (B.19) beibehalten wird, weil
dieser für ein allgemeines Kerntarget gilt. Hier ist es nützlich die Z-Abhängigkeit
zu zeigen, denn die Z- und Z 2 -Terme stammen aus den Diagrammen in Abb. 5.3
und 5.4, die mehr als ein Protonvertex enthalten. Wenn man solche Diagramme vernachlässigen will, müssen diese Terme ausgelassen werden. Die Spence-Funktion
170
ANHANG B. WERTVOLLE FORMELN
Φ (Dilogarithmus Li2 ) ist folgendermaßen definiert:
Z x
− log |1 − y|
Φ(x) =
dy = Re Li2 (x)
y
0
(B.20)
Da Im Li2 (x) = 0 für x < 1, kann die Eigenschaft
1
Li2 (1 − x) + Li2 (1 − x−1 ) = − (log x)2
2
für folgende Umformung ausgenutzt werden:
2
E
1
E′
E′
−Φ 1 − ′ − Φ 1 −
=
log
.
E
E
2
E
(B.21)
(B.22)
B.4 Peaking-Approximation zum Strahlungsschwanz
Der differentiellen Wirkungsquerschnitt in der Peaking-Approximation lässt sich
wie in Gl. (5.10) als Summe von zwei Beiträgen schreiben, die der Ausstrahlung
vom Anfangszustands- bzw. Endzustandselektron entsprechen. Die Ausdrücke für
diese beiden Beiträge wurden von [111] und [112] genommen:
ts M + (E − ωs )(1 − cos θ) d2 σ d3 σ ′
(E − ωs , θ) ,
(E, E , θ) =
dΩdE ′ in
ωs
M − E ′ (1 − cos θ)
dΩ Ros
tp d2 σ d3 σ ′
(E, θ) .
(E, E , θ) =
dΩdE ′ fin
ωp dΩ Ros
Hierbei sind ωs und ωp unter Vernachlässigung der Elektronmasse m die Energie
des im Anfangs- bzw. Endzustand ausgestrahlten γ-Quants:
q 2 + 2M(E − E ′ )
,
2[M − E ′ (1 − cos θ)]
q 2 + 2M(E − E ′ )
,
=
2[M + E(1 − cos θ)]
ωs =
ωp
und
ts
tp
α 1 + x2s Xs
=
ln 2 − xs ,
π
2
m
2
α 1 + xp Xp
=
ln 2 − xp ,
π
2
m
wobei xs und xp der vom einfallenden bzw. auslaufenden Elektron bei der Ausstrahlung verlorene Energieanteil ist,
E − ωs
,
E
E′
=
,
E ′ + ωp
xs =
xp
B.5. MATRIXELEMENTE FÜR DIE PIONPRODUKTION
171
und
Xs = 2(E − ωs )E ′ (1 − cos θ) ,
Xp = 2EE ′ (1 − cos θ) .
B.5 Matrixelemente für die Pionproduktion
Hier soll die Gleichung (5.19) hergeleitet werden. Alle kinematischen Variablen sollen im Schwerpunktsystem nach der Definition vom Abs. B.1 ausgewertet
werden, und daher wird die dazugehörige Gekennzeichnung mit ∗ ausgelassen.
Die Stromerhaltungsbeziehungen (5.17) und (5.18) lauten explizit
|q|2
ηzz ,
ω2
|q|2
= 2 Wzz ,
ω
|q|
ηzi ,
ω
|q|
W0i =
Wzi .
ω
η00 =
W00
η0i =
Mit diesen können die Tensorelemente in Gl. (5.16) mit 0-Indizen eliminiert werden:
η00 W00 − 2η0z ReW0z + ηzz Wzz
−2η0x ReW0x + 2ηxz ReWxz
2
|q|2
− 1 ηzz Wzz ,
=
ω2
2
|q|
= −
− 1 2ηxz ReWxz .
ω2
Die Elemente des Leptontensors sind ausdrücklich:
ηxx =
ηxy =
ηxz =
ηyy =
ηyz =
ηzz =
e2
4m2e
0
e2
4m2e
e2
4m2e
0
e2
4m2e
(kix + kf x )2 − q 2
(kix + kf x )(kiz + kf z )
−q 2
(kiz + kf z )2 −q 2 − |q|2
| {z }
−ω 2
i
.
Der einzige von Null verschiedene nichtdiagonale Term ist im gewählten Koordinatensystem ηxz . Die Hadrontensorelemente als Funktion der MAID-Antwortfunk-
172
ANHANG B. WERTVOLLE FORMELN
tionen sind laut Gl. (23) von [114]:
1
(Wxx + Wyy )
2
= Wzz
1
=
(Wxx − Wyy )
2
= −ReWxz
RT =
RL
RT T cos 2ϕπ
RT L cos ϕπ
Fügt man alles zusammen, bekommt man die Gl. (5.19).
(B.23)
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