Kern- und Teilchenphysik SS 2008 3. ¨Ubung

Uni Postdam
DESY, Zeuthen
S. Riemann/A. Schälicke
Kern- und Teilchenphysik SS 2008
DESY
3. Übung
3.1
Breit-Wigner-Form
(3 Punkte)
In der Quantenmechanik ist die Wellenfunktion eines Teilchen in Ruhe gegeben durch

ψ e−iEt = ψ e−imt für t ≥ 0
0
0
ψ(t) =
0
sonst
(1)
Für m reell zerfällt das Teilchen nicht, addiert man aber einen kleinen imaginären Anteil, m = m0 − 21 iΓ,
zerfällt das Teilchen nach dem exponentiellen Zerfallsgesetz N (t) = N0 e−λt .
a) Zeigen Sie, dass für den Zusammenhang zwischen Breite Γ und Zerfallskonstante λ gilt: λ = Γ.
b) Bestimmen Sie die Fouriertransformierte von ψ,
1
φ(ω) = √
2π
+∞
Z
dt ψ(t)e+iωt .
(2)
−∞
c) Finden Sie die Breit-Wigner-Form durch Normierung des Quadrates der Fouriertransformierten |φ|2
auf 1.
3.2
Betatron (Ray transformer Wideroe 1928)
(4 Punkte)
Das Betatron ist ein Ringbeschleuniger, der zur Beschleunigung von Elektronen auf Energien bis zu
einigen 10 MeV verwendet wird. Im Gegensatz zum Zyklotron bleibt der Bahnradius der Teilchen während
der Beschleunigung konstant. Deshalb muss das Magnetfeld mit steigender Teilchenenergie während der
Beschleunigungszeit anwachsen. Das sich ändernde Magnetfeld induziert gemäß der Maxwellgleichung
~ =−
rotE
~
dB
dt
(3)
ein elektrisches Feld, das im Betatron als Beschleunigungsspannung genutzt wird.
a) Welches Magnetfeld B wird benötigt, um Elektronen mit dem Impuls p auf einer Kreisbahn zu
halten? Wie groß ist B für p = 10 MeV/c und R = 1 m?
b) Bestimmen Sie den Energiezuwachs pro Meter, den ein Elektron während des Umlaufes erfährt, in
Abhängigkeit von der zeitlichen Änderung des mittleren Magnetfeldes hBi in dem von der Elektronbahn umschlossenen Bereich.
c) Finden Sie die für den Betrieb eines Betatrons notwendige Relation zwischen dem Magnetfeld
am Ort der Elektronbahn B(r0 ) und dem mittleren Magnetfeld hBi des von der Elektronbahn
umschlossenen Bereiches (Wideroe-Bedingung).
b.w.
1
3.3
Tumortherapie
(4 Punkte)
Beim Durchgang durch Materie ionisieren schnelle geladene Teilchen die Atome oder Moleküle, auf die
sie treffen, und verlieren schrittweise Energie. Dabei steigt der Energieverlust pro Wegeinheit während
des Weges, den das Teilchen zurücklegt, an. Kurz vor dem Ende des Weges durchläuft der Energieverlust
ein Maximum (Bragg-Peak), und fällt dann abrupt auf (fast) Null ab. Dies ist von großer praktischer
Bedeutung bei der Strahlentherapie. Die Kurve, die dies beschreibt, heißt Bragg-Kurve, benannt nach
William Henry Bragg.
a) Bestimmen Sie aus der Bethe-Bloch-Gleichung in ihrer nichtrelativistischen Form
dE
4me c2 E
4πne (h̄cα)2 mp c2
−
ln
=
dx
2E
me c2
mp c2 I
den maximalen Energieverlust von Protonen dE
dx max in Wasser.
(4)
b) Wo befindet sich der Punkt maximaler Energieabgabe entlang der Bahn (das Bragg-Maximum),
wenn die kinetische Ausgangsenergie E = 120 MeV beträgt?
Hinweis: Zur Bestimmung von Reichweiten können Sie den Logarithmus in der nichtrelativistischen
Bethe-Bloch-Formel als konstant annehmen. Das mittlere Ionisiationspotential für Wasser beträgt IH2 O =
75 eV.
3.4
Teilchenidentifikation
(3 Punkte)
Ein mit CO2 gefüllter Čerenkovzähler soll zum Nachweis von π ± -Mesonen (mπ = 139, 6 MeV) eingesetzt
werden. Man beachte, dass die Suszeptibilität χ = −1 proportional zum Druck und das Quadrat des Brechungsindex n2 proportional zur Dielektrizitätskonstante ist. Bei Normaldruck ist der Brechungsindex
n = 1.00043.
a) Ab welchem Brechungsindex erzeugen Pionen mit einer Energie von 3 GeV Čerenkovlicht?
b) Wie hoch muss der Druck sein, um Pionen oberhalb einer Energie von 3 GeV im CO2 nachzuweisen?
c) Ab welcher Energie erzeugen bei diesem Druck auch Kaonen (mK ± = 493.7 MeV) Čerenkovlicht
im Detektor?
Hinweis: Die Proportionalitätskonstante zwischen Dielektrizitätskonstante und dem Quadrat des Brechungsindex n2 laßt sich leicht aus dem Grenzfall = 1 bestimmen.
Konstanten
Lichtgeschwindigkeit
Elementarladung
Plancksches Wirkungsquantum
Reduziertes Wirkungsquantum
Konversionskonstante
Masse des Elektrons
Masse des Neutrons
Masse des Protons
Kehrwert der Feinstrukturkonstante
c = 299 792 458 m/s
e = 1,602 176 487(40) · 10−19 C
h = 4,13566733(10) · 10−15 eV s
h̄ = 6,58211899(16) · 10−16 eV s
h̄c = 197,326 968(17) MeV fm
me = 0,510998910(13) MeV
mn = 939,565346(23) MeV
mp = 938,272013(23) MeV
α−1 = 137,035999679(94)
2