Statistische Physik I (SS 2015): Tutorium 7

Statistische Physik I (SS 2015): Tutorium 7
20. Dichteoperatoren
(a) Gegeben seinen 2 Dichteoperatoren mit Matrixdarstellung



2 1 0
1
1
1
1 2 0 ,
ρ̂1 =
ρ̂2 =  1
4
4
0 0 0
0
1
1
0

0
0 
2
(1)
in der Basis |0i, |1i, |2i. Berechnen Sie die Reinheit und die Entropie von ρ̂1,2 sowie die Operatoren
Ĉ1 = e−xρ̂1 und Ĉ2 = cos( π2 ρ̂2 ). Hinweis: Diagonalform!
(b) Gegeben Sei der großkanonische Dichteoperator
ρ̂G =
1 −β(Ĥ−µN̂ )
e
ZG
(2)
und ein beliebiger anderer Dichteoperator ρ̂0 . Zeigen Sie, dass aus der Ungleichung für die Boltzmann’sche Eta-Funktion
H(ρ̂G , ρ̂0 ) ≤ 0
(3)
folgt, dass
J(ρ̂G ) ≤ J(ρ̂0 ),
(4)
wobei J(ρ̂) das entsprechende großkanonische Potential bezeichnet.
21. Zustandsdichten
(a) Die Rotation eines starren Körpers mit Trägheitsmoment I wird durch den Hamiltonoperator
Ĥ =
B ~ˆ 2
L ,
h̄2
(5)
~ˆ = (L̂x , L̂y , L̂z ) bezeichnet den Drehimpulsmit Rotationskonstante B = h̄2 /(2I) beschrieben. L
operator mit Eigenwertgleichungen
~ˆ 2 |l, ml i = h̄2 l(l + 1)|l, ml i,
L
L̂z |l, ml i = h̄ml |l, ml i,
(6)
wobei l = 0, 1, 2, ... und ml = −l, −l + 1, . . . , l. Berechnen Sie die Zustandsdichte D(E) der
Energieniveaus eines starren Rotors für E B.
(b) Berechnen Sie die Zustandsdichte D(E) für Teilchen mit Spin S in einer 3D harmonischen Falle
mit 1-Teilchenhamiltonoperator
Ĥ =
X
i=x,y,z
p̂2i
1
+ mωi2 q̂i2 .
2m 2
1
(7)
Benutzen Sie, falls hilfreich,
Z
Z
Z
X
X
3
d xi F (E =
xi ) = dE F (E) d3 xi δ(E −
xi ).
i
(8)
i
22. Relativistisches Fermi Gas
Betrachten Sie ein extrem relativistisches Gas aus Fermionen mit Spin 1/2 und Energiedispersionsrelation
q
E~k = c2 h̄2 |~k|2 + m2 c4 ≈ ch̄|~k|.
(9)
(a) Berechnen Sie die Fermi Energie EF eines extrem relativistischen Fermi Gases als Funktion der
Teilchendichte n = N/V .
(b) Zeigen Sie, dass für ein extrem relativistisches Fermi Gas der Zusammenhang
U = 3pV
für alle Temperaturen gilt und berechnen Sie U (T = 0) bzw p(T = 0).
Kreuze für: 20a); 20b); 21a); 21b); 22a); 22b)
2
(10)