Tableaux-Methode für Pl-1

Algorithmen der Prädikatenlogik
Aufzählungsverfahren für PL-1
Tableaux-Methode für Pl-1
Definition 5.1
Sprache: ¬, ∧, ∨, →, ∀, ∃ (zunächst ohne =)
Formeln der Sprache in Klassen einteilen:
◮
Atomare und negierte atomare Formeln.
◮
α-Formeln (wie in A-Logik)
A ∧ B, ¬(A ∨ B), ¬(A → B), ¬¬A, α1 , α2 wie gehabt.
◮
β-Formeln (wie A-Logik)
◮
γ-Formeln
◮
δ-Formeln
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¬(A ∧ B), (A ∨ B), (A → B)
∀xA, ¬∃xA (A ∈ Form)
∃xA, ¬∀xA (A ∈ Form)
227
Algorithmen der Prädikatenlogik
Aufzählungsverfahren für PL-1
Tableaux-Methode für Pl-1 (Forts.)
◮ Regeln zur Tableau-Konstruktion:
α, β Regeln zur Verarbeitung α, β Formeln.
• γ-Regeln:
γ
∀x A ¬∃x A
γ[t] Ax [t] ¬Ax [t]
t beliebiger Term, Substitution erlaubt.
• δ-Regeln:
δ
∃x A ¬∀x A
δ[y ] Ax [y ] ¬Ax [y ]
! y Variable (oder c Konstante 0-stellig) y neu“:
”
y kommt noch nicht in Formeln im Ast zu Ax [y ] frei vor und
die Substitution ist erlaubt.
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228
Algorithmen der Prädikatenlogik
Aufzählungsverfahren für PL-1
Tableaux-Methode für Pl-1 (Forts.)
◮ Systematische Konstruktion eines Modells:
Falls die Sprache keine F -Symbole enthält reichen die
Bezeichner“ für Elemente des Definitionsbereichs aus.
”
Sonst wähle als Definitionsbereich für die Interpretation eine
geeignete abgeschlossene Termmenge.
• Führe soviele Terme“ ein wie notwendig.
”
Existentielle Formeln benötigen Lösungen“, solche dürfen
”
nicht eingeschränkt sein (anderswie verwendet worden sein).
◮ δ-Formeln brauchen nur einmal erfüllt“ zu werden.
”
γ-Formeln hingegen müssen für alle Objekte die eingeführt
wurden garantiert werden, müssen somit immer weiterhin
beachtet werden.
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229
Algorithmen der Prädikatenlogik
Aufzählungsverfahren für PL-1
Tableaux-Methode für Pl-1 (Forts.)
Lemma 5.2
Sei Γ eine Menge von Formeln über einer abgeschlossenen
Termmenge (Universum) U mit
1. Für keine Formel A gilt A ∈ Γ und ¬A ∈ Γ.
2. Für jede α-Formel in Γ gilt α1 , α2 ∈ Γ.
3. Für jede β-Formel in Γ gilt β1 ∈ Γ oder β2 ∈ Γ.
4. Für jede γ-Formel in Γ gilt γ[t] ∈ Γ für alle t ∈ U.
5. Für jede δ-Formel in Γ gibt es ein t ∈ U mit δ[t] ∈ Γ.
֒→ Dann ist Γ erfüllbar.
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230
Algorithmen der Prädikatenlogik
Aufzählungsverfahren für PL-1
Tableaux-Methode für Pl-1 (Forts.)
! Problem: U kann unendlich sein. Erst recht wenn F -Symbole
vorhanden!
◮ Sprachen mit =“ dann Funktionskonstanten und Terme.
”
• ǫ-Regel
t1 = t2
A[t1 ← t2 ]
֒→ In einer Formel A kann ein Term t1 durch einen gleichen“
”
Term t2 ersetzt werden, wenn im Ast zu A der Knoten mit der
Markierung t1 = t2 vorkommt. ∀x x = x als Wurzel der =
Tableaux zulassen. ◭
◮ Problematische Regel, da sie zu einer Formelexplosion führt.
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231
Algorithmen der Prädikatenlogik
Aufzählungsverfahren für PL-1
Tableaux-Methode für Pl-1 (Forts.)
Satz 5.3
Sei A ∈ Form(L), Σ ⊆ Form(L)
a) |= A gdw es gibt ein abgeschlossenes Tableau für ¬A.
b) Σ |= A gdw es gibt ein abgeschlossenes Tableau für Σ ∪ {¬A}.
◮ Systematische Tableaux-Konstruktion:
Σ,
α, δ, γ, β
Reihenfolge der Regelanwendungen:
t Ax [t] muss erlaubt sein.
y neu bei δ-Regel beachten (frei).
◮ Falls keine Funktionskonstanten in L Interpretation mit
{c1 , c2 , . . . } als Konstanten.
!
Beachte:
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232
Algorithmen der Prädikatenlogik
Aufzählungsverfahren für PL-1
Beispiele
Beispiel 5.4 (|= (∀xA → B) → ∃x(A → B), x nicht frei in B)
¬((∀x A → B) → ∃x (A → B))
∀x A → B
¬∃x (A → B)
¬∀x A
B
¬Ax [a]
¬(A → B)x [a]
¬(A → B)x [a]
Ax [a]
Ax [a]
¬B
¬B
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233
Algorithmen der Prädikatenlogik
Aufzählungsverfahren für PL-1
Beispiel 5.5 (Γ = {∀xA ∨ ∀xB}, C ≡ ∀x(A ∨ B). Gilt Γ |= C ?)
∀x A ∨ ∀x B
¬∀x (A ∨ B)
¬(Ax [a] ∨ Bx [a])
¬Ax [a]
¬Bx [a]
∀x A
∀x B
Ax [a]
Bx [a]
! γ-Formeln dürfen nicht abgehakt werden, da man immer
wieder neue Terme einführen kann und γ[t] erfüllt werden
muss!
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234
Algorithmen der Prädikatenlogik
Aufzählungsverfahren für PL-1
Beispiele (Forts.)
Beispiel 5.6 (∃x ¬p(x, x) |= ¬∀x∃yp(x, y ))
Gibt es Modelle für {∃x ¬p(x, x), ∀x∃y p(x, y )}
∃x ¬p(x, x)
∀x∃y p(x, y)
¬p(a, a)
∃y p(a, y)
p(a, b)
∃y p(b, y)
p(b, c)
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235
Algorithmen der Prädikatenlogik
Aufzählungsverfahren für PL-1
֒→ Interpretation:
p(x, y ) a b c d e · · ·
a
0 1
1
b
1
c
d
1
1
e
..
.
◮ Es gibt Interpretation mit nur 2 Elementen
¬p(a, a), p(a, b), p(b, a), p(b, b), die Modell sind.
֒→ Vorschrift neu“ kann aufgeweicht werden.
”
! Erst alle Konstanten verwenden, falls diese Wahl zu führt
müssen neue Konstanten einführt werden, sonst Modell
gefunden.
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236
Algorithmen der Prädikatenlogik
Aufzählungsverfahren für PL-1
Beispiele (Forts.)
∃x ¬p(x, x)
∀x∃y p(x, y)
¬p(a, a)
∃y p(a, y)
p(a, b)
∃y p(b, y)
p(b, a)
Interpretation z.B.:
a b
a 0 1
b 1 0
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237
Algorithmen der Prädikatenlogik
Aufzählungsverfahren für PL-1
Beispiel 5.7 (Gilt |= ∀x(p(x) ∨ q(x)) → (∀xp(x) ∨ ∀xq(x)) ?)
¬(∀x (p(x) ∨ q(x)) → (∀x p(x) ∨ ∀x q(x)))
∀x (p(x) ∨ q(x))
¬(∀x p(x) ∨ ∀x q(x))
¬∀x p(x)
¬∀x q(x)
¬p(a)
¬q(b)
p(a) ∨ q(a)
p(b) ∨ q(b)
q(a)
p(a)
p(b)
I = ({a, b} :
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q(b)
I (p)(a) = I (q)(b) = F ,
I (p)(b) = I (q)(a) = W )
238
Algorithmen der Prädikatenlogik
Aufzählungsverfahren für PL-1
Beispiel 5.8
∀x∃y p(x, y ), ∀x ¬p(x, x) |= ∃x∃y ∃z (p(x, y ) ∧ p(y , z) ∧ ¬p(x, z))
∀x∃y p(x, y)
∀x ¬p(x, x)
¬∃x∃y∃z (p(x, y) ∧ p(y, z) ∧ ¬p(x, z))
¬p(c1 , c1 )
∃y p(c1 , y)
p(c1 , c2 )
¬p(c2 , c2 )
∃y p(c2 , y)
¬(p(c1 , c2 ) ∧ p(c2 , c1 ) ∧ ¬p(c1 , c1 ))
¬p(c1 , c2 )
¬p(c2 , c1 )
p(c1 , c1 )
p(c2 , c3 )
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239
Algorithmen der Prädikatenlogik
Aufzählungsverfahren für PL-1
Beispiele (Forts.)
Interpretation:
p(c1 , c1 ) = F p(c1 , c2 ) = W
p(c2 , c1 ) = F p(c2 , c3 ) = W
c1
c2
c3
c4
..
.
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p(c2 , c2 ) = F
p(c3 , c3 ) = F . . .
c1 c2 c3 c4 c5
0 1
0 0 1
0 1
0 1
240
Algorithmen der Prädikatenlogik
Aufzählungsverfahren für PL-1
Beispiele Formeln mit = : Monoide und Gruppen
Beispiel 5.9
{∀x∀y ∀z (x · y ) · z = x · (y · z)
∀x x · 1 = x
∀x x · x̄ = 1}
Gruppenaxiome
Behauptung: Es gilt: Aus Gruppenaxiome
|= ∀x 1 · x = x
und
|= ∀x x̄ · x = 1
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241
Algorithmen der Prädikatenlogik
Aufzählungsverfahren für PL-1
∀x x = x
Axiome
¬∀x 1 ◦ x = x
¬∀x x ◦ x = 1
¬b ◦ b = 1
b◦b=1
(b ◦ b) ◦ 1 = b ◦ b)
b◦b=1
(b ◦ b) ◦ (b ◦ b) = b ◦ b
(b ◦ b) ◦ (b ◦ b) = ((b ◦ b) ◦ b) ◦ b
(b ◦ b) ◦ b = b ◦ (b ◦ b)
(b ◦ b) ◦ b = b ◦ 1
b◦1=b
b ◦ (b ◦ b) = b
(b ◦ b) ◦ b = b
(b ◦ b) ◦ (b ◦ b) = b ◦ b
(b ◦ b) ◦ (b ◦ b) = 1
b◦b=1
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242
Algorithmen der Prädikatenlogik
Aufzählungsverfahren für PL-1
Entscheidbare Fälle (Präfixe) Allgemeingültigkeit
L Sprache ohne Funktionskonstanten
abgeschlossene Formeln
1. ∀x1 · · · ∀xm ∃y1 · · · ∃ym A
A quantorenfrei
2. ∀x1 · · · ∀xm ∃y ∀z1 · · · ∀zn A
3. ∀x1 · · · ∀xm ∃y1 ∃y2 ∀z1 · · · ∀zn A
4. ∃y1 · · · ∃yn ∀x1 · · · ∀xm ∃zA
5. ∀x1 · · · ∀xm ∃y1 ∃y2 ∃y3 ∀z1 · · · ∀zn A
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n, m ≥ 1 n. entsch.
m, n ≥ 0 n. entsch.
243
Algorithmen der Prädikatenlogik
Aufzählungsverfahren für PL-1
Beispiel 5.10 (Typ 2. Formel)
¬∀x1 ∀x2 ∃y∀z A
¬∀x2 ∃y∀z Ax1 [a]
¬∃y∀z Ax1 ,x2 [a, b]
¬∀z Ax1 ,x2 ,y [a, b, a]
¬∀z Ax1 ,x2 ,y [a, b, b]
Ax1 ,x2 ,y,z [a, b, a, a1 ]
Ax1 ,x2 ,y,z [a, b, b, a2 ]
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244
Algorithmen der Prädikatenlogik
Resolventenmethode
Resolventenmethode (PL1 - Resolutionsverfahren)
◮ Formeln in Klauselnormalform auf Erfüllbarkeit testen.
Definition 5.11
Eine Formel A ∈ Form(L) ist in Klauselform (KLF), wenn sie die
Gestalt
A ≡ ∀x1 ∀x2 · · · ∀xn [C1 ∧ C2 ∧ · · · ∧ Ck ]
hat. Dabei sind die Cj Klauseln (d. h. Disjunktionen von Literalen
ohne Wiederholungen) und die Variablen x1 , . . . , xn sind alle
Variablen, die in den Cj vorkommen.
◮ ∀x1 , . . . , ∀xn Präfix
[C1 ∧ · · · ∧ Ck ] Mantisse (Matrix).
֒→ PKNF und Präfix enthält kein ∃ Quantor.
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245
Algorithmen der Prädikatenlogik
Resolventenmethode
! Beachte: In Literalen kommen nun Variablen vor.
L und M sind konjugierte (komplementäre) Literale, wenn
L = M̄
(A Atom, ¬A ≡ Ā, Ā ≡ A).
◮ p(x), ¬p(y ) sind nicht konjugiert oder komplementär.
Nach Substitution z. B. x ← a, y ← a, p(a), ¬p(a) sind
konjugiert. Aber auch x ← x, y ← x, p(x), ¬p(x).
◮ Ziel: Resolventenmethode verallgemeinern auf Formeln mit
Variablen und Funktionen (d.h. Terme).
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246
Algorithmen der Prädikatenlogik
Resolventenmethode
Skolemisierung
Lemma 5.12 (Skolem)
Jede Formel A der P-Logik erster Stufe kann effektiv in eine
erfüllbarkeitsäquivalente Formel A′ in Klauselform transformiert
werden.
◮ A ist erfüllbar gdw A′ ist erfüllbar.
◮ Anwendung: Nachweis der Allgemeingültigkeit
|= B gdw {¬B} unerfüllbar gdw (¬B)′ unerfülllbar.
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247
Algorithmen der Prädikatenlogik
Resolventenmethode
Skolemisierung: Verfahren
Beweis:
A gegeben. Transformiere A wie folgt:
Schritt
Schritt
Schritt
Schritt
1:
2:
3:
4:
Schritt 5:
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Bilde den existentiellen Abschluss von A.
Eliminiere alle überflüssigen Quantoren.
Umbenennung mehrfach quantifizierter Variablen.
Ersetze Operatoren, die von ∧, ∨, ¬
verschieden sind. z. B. →, If . . . , ↔ . . .
Schiebe ¬ nach innen, bis sie vor den Atomen stehen.
Insbesondere ¬¬A durch A ersetzen.
¬∀xA
∃x¬A, ¬(A ∨ B)
(¬A ∧ ¬B)
¬(A ∧ B)
(¬A ∨ ¬B)
248
Algorithmen der Prädikatenlogik
Resolventenmethode
Skolemisierung: Verfahren (Fort.)
Schritt 6:
Schritt 7:
Schritt 8:
Schritt 9:
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Schränke Quantoren auf ihren Wirkungsbereich ein:
Qx(A ∗ B)
A ∗ QxB x nicht frei in A
QxA ∗ B x nicht frei in B
Eliminiere existentielle Quantoren durch Einführung
von Skolem Funktionen. Wähle dabei die erste Teilformel
(von links) der Form ∃yB(y ) und ersetze sie durch
By [f (x1 , . . . , xn )], n ≥ 0, wobei
a) x1 . . . xn alle unterschiedlichen freien Variablen in
∃yB(y ) sind, die links von ∃yB(y )
universell quantifiziert sind.
b) f eine frische“ n-stellige Funktionskonstante.
”
Schiebe ∀ Quantoren nach links.
Bringe Matrix in KNF und simplifiziere.
249
Algorithmen der Prädikatenlogik
Resolventenmethode
Skolemisierung
◮
◮
Korrektheit Aj ≡ · · · ∃yB(y )
Aj+1 ≡ · · · By [f (x1 , . . . , xn )]
Behauptung: Aj ist erfüllbar gdw Aj+1 ist erfüllbar.
Sei I Modell für Aj : Für jede mögliche Belegung der Variablen
x1 , . . . , xn muss es ein oder mehrere Werte für y geben, mit
denen Aj wahr wird.
I ′ wie I zusätzlich eine n-stellige Funktionskonstante
f : f (x1 , . . . , xn ) gibt für Wertetupel für x1 . . . xn ein (den) y
Wert als Funktionsergebnis.
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250
Algorithmen der Prädikatenlogik
Resolventenmethode
Beispiele
Beispiel 5.13
∀x {p(x) → ∃z {¬∀y [q(x, y ) → p(f (x1 ))] ∧ ∀y [q(x, y ) → p(x)]}}
1. Existentieller Abschluss und Elimination von überf. Quantoren:
∃x1 ∀x {p(x) → {¬∀y [q(x, y ) → p(f (x1 ))] ∧ ∀y [q(x, y )
→ p(x)]}}
2. Umbenennung von y :
∃x1 ∀x {p(x) → {¬∀y [q(x, y ) → p(f (x1 ))] ∧ ∀z [q(x, z)
→ p(x)]}}
3. Elimination von →:
∃x1 ∀x {¬p(x) ∨ {¬∀y [¬q(x, y ) ∨ p(f (x1 ))] ∧ ∀z [¬q(x, z)
∨p(x)]}}
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251
Algorithmen der Prädikatenlogik
Resolventenmethode
Beispiele (Forts.)
4. ¬ nach innen:
∃x1 ∀x {¬p(x) ∨ {∃y [q(x, y ) ∧ ¬p(f (x1 ))] ∧ ∀z [¬q(x, z)
∨p(x)]}}
5. Quantoren auf Geltungsbereich einschränken:
∃x1 ∀x {¬p(x) ∨ {[∃y q(x, y ) ∧ ¬p(f (x1 ))] ∧ [∀z ¬q(x, z)
∨p(x)]}}
6. Eliminieren der Ex.-Quantoren ∃x1 und ∃y (0 - stellige bzw.
1-stellige Funktionseinführung):
∀x {¬p(x) ∨ {[q(x, g (x)) ∧ ¬p(f (a))] ∧ [∀z ¬q(x, z) ∨ p(x)]}}
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252
Algorithmen der Prädikatenlogik
Resolventenmethode
Beispiele (Forts.)
7. Quantoren nach links:
∀x∀z {¬p(x) ∨ {[q(x, g (x)) ∧ ¬p(f (a))] ∧ [¬q(x, z) ∨ p(x)]}}
8. KNF + Simplifikation:
∀x∀z {[¬p(x) ∨ q(x, g (x))] ∧ [¬p(x) ∨ ¬p(f (a))] ∧ [¬p(x)
∨¬q(x, z) ∨ p(x)]}
A′ ≡ ∀x {[¬p(x) ∨ q(x, g (x))] ∧ ¬p(f (a))}
◮
A′ ≡ ∀x[[¬p(x) ∨ q(x, g (x))] ∧ [¬p(f (a))]] Erfüllbar?
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253
Algorithmen der Prädikatenlogik
Resolventenmethode
Beispiele (Forts.) - Tableaux:
∀x {[¬p(x) ∨ q(x, g(x))] ∧ [¬p(f (a))]}
[¬p(a) ∨ q(a, g(a))] ∧ ¬p(f (a))
¬p(a) ∨ q(a, g(a))
¬p(f (a))
¬p(a)
[¬p(f (a)) ∨ q(f (a), g(f (a)))] ∧¬p(f (a))
¬p(f (a)) ∨ q(f (a), g(f (a)))
¬p(f (a))
¬p(f (a))
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q(a, g(a))
[¬p(f (a)) ∨ q(f (a), g(f (a)))] ∧¬p(f (a))
¬p(f (a)) ∨ q(f (a), g(f (a)))
¬p(f (a))
q(f (a), g(f (a)))
254
Algorithmen der Prädikatenlogik
Resolventenmethode
Terme: a, f (a), g (a), g (f (a)), g (g (a)), g (g (f (a))), g (g (g (a))).
T = {a, g n (a), g n (f (a)) n ≥ 0} Definitionsbereich
◮ Erfüllbar:
I = ({a}, f (a) := a, g (a) := a, p(a) = 0, q(a, a) = 1)
! Bei nicht Erfüllbarkeit: im endlich abgeschlossenen Tableau
kommen nur endlich viele Grundterme (Terme ohne Variablen)
vor, d. h. eine endliche Menge von Grundinstanzen der Matrix
ist unerfüllbar.
Herbrand-Interpretationen.
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255
Algorithmen der Prädikatenlogik
Resolventenmethode
Herbrand-Universum
Definition 5.14 (Herbrand-Universum)
Sei A ∈ Form. Das Herbrand-Universum HA ist die Menge aller
Terme, die aus den Individuenkonstanten (0-stellige
Funktionskonstanten) und den Funktionskonstanten, die A
vorkommen, gebildet werden können.
Enthält A keine Individuenkonstante, so wird eine hinzugenommen.
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256
Algorithmen der Prädikatenlogik
Resolventenmethode
Herbrand-Universum (Forts.)
Beispiel 5.15
•
֒→
A ≡ ∀x{[¬p(x) ∨ q(x, g (x))] ∧ ¬p(f (a))}
HA = {a, f (a), g (a), g (g (a)), g (f (a)), · · · }
Die Menge der Grundterme in a, f 1-stellig, g 1-stellig.
•
B ≡ ∀x∃y [p(f (x), y , g (x, y ))]
֒→ HB ≡ {a, f (a), g (a, a), f (g (a, a)), g (a, f (a)), . . . }
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257
Algorithmen der Prädikatenlogik
Resolventenmethode
Das Herbrand-Universum (Forts.)
Definition 5.16 (Herbrand-Interpretation)
Eine Herbrand-Interpretation für eine (abgeschlossene) Formel A
ist eine Interpretation I = (HA , . . . ), die
a) jeder Individuenkonstante a in A den Term a ∈ HA zuordnet.
b) jeder n-stelligen Funktionskonstante f , die in A vorkommt,
eine Funktion I (f ) : HAn → HA zuordnet, die die Terme
t1 , . . . , tn ∈ HA auf den Term f (t1 , . . . , tn ) ∈ HA abbildet.
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258
Algorithmen der Prädikatenlogik
Resolventenmethode
Der Satz von Herbrand
Satz 5.17
• Eine Formel A in Klauselform ist erfüllbar gdw A ist in einer
Herbrand-Interpretation erfüllbar.
• A ist unerfüllbar gdw A unerfüllbar in allen
Herbrand-Interpretationen.
◮
Festlegung der Definitionsbereiche der Interpretationen.
Sei A ≡ ∀x1 · · · ∀xn [C1 ∧ · · · ∧ Ck ].
Eine Grundinstanz einer Klausel Cj (1 ≤ j ≤ k) von A ist eine
Klausel, die man erhält, wenn man alle Individuenvariablen in
Cj durch Terme aus HA ersetzt, d. h. eine Grundsubstitution
xi ← ti auf Cj anwendet. Solche Klauseln, die keine
Individuenvariablen enthalten heißen Grundklauseln.
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259
Algorithmen der Prädikatenlogik
Resolventenmethode
Herbrand-Prozeduren
Satz 5.18 (von Herbrand)
Eine Formel A in Klauselform ist genau dann unerfüllbar, wenn es
eine endliche Konjunktion von Grundinstanzen ihrer Klauseln gibt,
die unerfüllbar ist.
! Konjunktionen von Grundklauseln sind wie aussagenlogische
Formeln in KNF zu behandeln.
Tableaux-Davis-Putnam-(Grund)-Resolution anwendbar.
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260
Algorithmen der Prädikatenlogik
Resolventenmethode
Herbrand-Prozeduren (Forts.)
֒→ Herbrand-Prozeduren
A Formel in KLF mit n-Klauseln und Herbrand Universum HA .
• Erzeuge systematisch alle Grundklauseln Gj aus den Klauseln
Cj (1 ≤ j ≤ n) von A.
• Prüfe, ob die Konjunktion (aller) Grundklauseln unerfüllbar ist.
◮ Probleme:
• Systematische Erzeugung der Grundklauseln.
• Auswahl von Grundklauseln, die man auf Erfüllbarkeit testet.
• Welches Verfahren wählt man.
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261
Algorithmen der Prädikatenlogik
Resolventenmethode
Grundresolventenmethode
◮ A ≡ [∀x∃y p(x, y ) ∧ ∀y ∃z q(y , z)] → ∀x∃y ∃z
(p(x, y ) ∧ q(y , z))
gilt |= A? Transformiere ¬A in KLF
◮ B ≡ ∀x∀y ∀y1 ∀z[p(x, f (x)) ∧ q(y , g (y ))∧
(¬p(a, y1 ) ∨ ¬q(y1 , z))]
◮ HB = {a, f (a), g (a), f (f (a)), f (g (a)), . . .
◮ Bilde Grundinstanzen:
[p(a, f (a)) ∧ q(a, g (a)) ∧ [¬p(a, a) ∨ ¬q(a, a)]]
∧
..
.
∧[p(a, f (a)) ∧ q(f (a), g (f (a))) ∧ [¬p(a, f (a)) ∨ ¬q(f (a),
g (f (a)))]
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262
Algorithmen der Prädikatenlogik
Resolventenmethode
Grundresolventenmethode (Forts.)
◮ Teste, ob erfüllbar:
Grundresolventenmethode
1.
2.
3.
4.
5.
p(a, f (a))
q(f (a), g (f (a)))
¬p(a, f (a)) ∨ ¬q(f (a), g (f (a)))
¬q(f (a), g (f (a)))
1R3
2R4
? Wie wählt man die Klauseln und Substitutionen geschickt!
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263
Algorithmen der Prädikatenlogik
Resolventenmethode
Substitutionen
1.
2.
3.
p(x, f (x))
q(y , g (y ))
¬p(a, y1 ) ∨¬q(y1 , z)
4.
5.
¬q(f (a), z)
Prof. Dr. Madlener: Logik
x ← a p(a, f (a))
Substitutionen
y1 ← f (a)
¬p(a, f (a)) ∨ ¬q(f (a), z)
1R3 x ← a y1 ← f (a)
2R4 y ← f (a) z ← g (f (a))
264
Algorithmen der Prädikatenlogik
Resolventenmethode
Definition 5.19 (Erinnerung)
Eine Substitution θ ist eine endliche Menge der Form
{hv1 , t1 i, . . . , hvn , tn i}, vi ist Individuenvariable vi 6= vj , ti Terme
(Term(V, F), F Funktionskonstanten ti 6≡ vi , i = 1, . . . , n.
{v1 , . . . , vn } ist der Definitionsbereich der Substitution hvi , ti i
◮ Bindung“ für vi .
”
◮
θ induziert Abbildungen
bzw.
Wie üblich:
◮
◮
◮
◮
◮
θ : Term(V, F) → Term(V, F)
θ : AForm → AForm
θ(vi ) ≡ ti i = 1, . . . , n
θ(v ) ≡ v sonst
θ(f (t1 , . . . , tn )) ≡ f (θ(t1 ), . . . , θ(tn ))
θ(p(t1 , . . . , tn )) ≡ p(θ(t1 ), . . . , θ(tn ))
θ(t = t ′ ) ≡ θ(t) = θ(t ′ )
Prof. Dr. Madlener: Logik
265
Algorithmen der Prädikatenlogik
Resolventenmethode
Substitutionen (Forts.)
◮
Komposition von Substitutionen: wie üblich.
θσ erst θ, dann σ.
Identität als Substitution erlaubt.
◮ Betrachte t1 ≡ f (g (x), y ), t2 ≡ f (z, g (a))
Frage: Gibt es Substitution θ mit t1 θ = t2 θ d.h.
θ(f (g (x), y )) ≡ θ(f (z, g (a)))
◮ θ heißt dann Unifikator von t1 und t2 .
{x ← a y ← g (a) z ← g (a)} sind
{y ← g (a) z ← g (x)} Unifikatoren
Unifikationsalgorithmen
Allgemeinster Unifikator: σ (MGU) (Most General Unifier).
Eigenschaft: Ist θ Unifikator, so gibt es τ mit θ = στ .
Prof. Dr. Madlener: Logik
266
Algorithmen der Prädikatenlogik
Resolventenmethode
Unifikation
Definition 5.20 (Unifikator)
Sei S = A1 ∨ · · · ∨ An {A1 , . . . , An } eine Disjunktion (Menge)
atomarer Formeln Aj (1 ≤ j ≤ n). Eine Substitution θ heißt
Unifikator für S, falls A1 θ ≡ A2 θ ≡ · · · ≡ An θ (insbesondere
müssen die Prädikatskonstanten der Ai alle identisch sein).
◮ Gibt es für S einen solchen Unifikator, dann heißt S
unifizierbar.
◮ Ein Unifikator θ heißt allgemeinster Unifikator oder MGU
für S, wenn es für jeden Unifikator σ von S eine Substitution
τ gibt, so dass σ = θτ .
Prof. Dr. Madlener: Logik
267
Algorithmen der Prädikatenlogik
Resolventenmethode
Unifikationsalgorithmen
Satz 5.21
Sei S = {A1 , . . . , An } Menge von atomaren Formeln, dann ist es
entscheidbar ob S unifizierbar ist und ein MGU σ lässt sich
berechnen.
Beweis:
Unifikationsalgorithmen für atomare Formeln in Präfix Notation.
Idee: Bestimme Disagreement set“ durch Tiefensuche.
”
Prof. Dr. Madlener: Logik
268
Algorithmen der Prädikatenlogik
Resolventenmethode
Unifikationsalgorithmen (Forts.)
Darstellung atomarer Formeln
Prädikatskonstante
t1
tn
p(x, g (f (y, z), x), y)
p(x, g (a, b), b)
p(x, g (g (h(x), a), y), h(x))
֒→ DS: {f (y , z), a, g (h(x), a)} nicht unifizierbar.
◮ DS: {. . . , v , . . . , t, . . . }, v kommt nicht in t vor.
Ändere: σ : v ← t.
◮
Berechne DSσ dann weiter bis entweder ein Unifikator
bestimmt wurde oder nicht-unifizierbar als Ergebnis vorliegt.
! Es gibt sehr effiziente Unifikationsverfahren (lineare Zeit).
Siehe hierfür Literatur.
Prof. Dr. Madlener: Logik
269
Algorithmen der Prädikatenlogik
Resolventenmethode
PL1-Resolutionsverfahren
Definition 5.22 (Allgemeine Resolventenregel)
Seien C1 und C2 Klauseln ohne gemeinsame Variablen.
Seien A1 ∨ · · · ∨ Ak und ¬B1 ∨ ¬B2 ∨ · · · ∨ ¬Bl Teildisjunktionen
von C1 bzw. C2 , so dass A1 , . . . , Ak , B1 , . . . , Bl unifizierbar sind,
mit allgemeinsten Unifikator θ und sei
Ai θ ≡ Bj θ ≡ p(r1 , . . . , rn ) [Faktor]
Die Resolvente von C1 und C2 ist dann die Klausel
C1 θ\p(r1 , . . . , rn ) ∪ C2 θ\¬p(r1 , . . . , rn ) als Menge von Literalen.
Prof. Dr. Madlener: Logik
270
Algorithmen der Prädikatenlogik
Resolventenmethode
Resolutionsverfahren (Forts.)
Satz 5.23 (Robinson)
Eine Formel A in Klauselform ist genau dann unerfüllbar, wenn die
leere Klausel aus A mit der Resolventenregel hergeleitet werden
kann.
◮ [Annahme: Klauseln in A sind variablendisjunkt] Immer
erreichbar da
∀x̄[C1 (x̄) ∧ · · · ∧ Ck (x̄)] |==| ∀x̄1 ∀x̄2 · · · ∀x̄k
[C1 (x̄1 ) ∧ · · · ∧ Ck (x̄k )]
◮ Beachte allgemeine Resolventenregel k, l ≥ 1
◮ Viele Varianten: Unit-Resolution, lineare Resolventenregel....
! Ziel ist es, so schnell wie möglich die leere Klausel herzuleiten,
d. h. soviel Literale wie möglich zu faktorisieren“.
”
Prof. Dr. Madlener: Logik
271
Algorithmen der Prädikatenlogik
Resolventenmethode
Beispiel
Beispiel 5.24
A ≡ ¬∃y ∀z [p(z, y ) ↔ ¬∃x [p(z, x) ∧ p(x, z)]]
• Frage gilt |= A?
¬A ≡ ¬¬∃y ∀z [p(z, y ) ↔ ¬∃x [p(z, x) ∧ p(x, z)]]
֒→ KLF(¬A)
∀z∀x [ [¬p(z, a) ∨ ¬p(z, x) ∨ ¬p(x, z)]∧
[p(z, f (z)) ∨ p(z, a)]∧
[p(f (z), z) ∨ p(z, a)]]
Prof. Dr. Madlener: Logik
272
Algorithmen der Prädikatenlogik
Resolventenmethode
Beispiel (Forts.)
◮
Klauseln (nach Umbenennen der Variablen, variablendisjunkt)
1. ¬p(z1 , a), ¬p(z1 , x1 ), ¬p(x1 , z1 )
2. p(z2 , f (z2 )), p(z2 , a)
3. p(f (z3 ), z3 ), p(z3 , a)
• Resolvente von 2. und 1. mit Teildisjunktionen
¬p(z1 , a), ¬p(z1 , x1 ), ¬p(x1 , z1 ) in 1. und p(z2 , a) in 2.
Der Unifikator hx1 , ai, hz2 , ai, hz1 , ai MGU.
•
Prof. Dr. Madlener: Logik
4.
p(a, f (a))
273
Algorithmen der Prädikatenlogik
Resolventenmethode
Beispiel (Forts.)
• Resolvente 3. und 1. mit Teildisjunktionen
¬p(z1 , a), ¬p(z1 , x1 ), ¬p(x1 , z1 ), p(z3 , a)
◮ DS:
{z1 , z1 , x1 , z3 }
{a, z1 }
x1 ← z 1 z 3 ← z 1
z1 ← a
•
5.
x1 ← a z 1 ← a
z3 ← a
p(f (a), a)
• Resolvente 4., 1. mit Teildisjunktionen
p(a, f (a)), ¬p(x1 , z1 )
x1 ← a, z1 ← f (a)
•
Prof. Dr. Madlener: Logik
6. ¬p(f (a), a)
274
Algorithmen der Prädikatenlogik
Resolventenmethode
Beispiel (Forts.)
• Resolvente 5., 6.
•
7.
֒→ Also gilt
|= A ≡ ¬∃y ∀z [p(z, y ) ↔ ¬∃x [p(z, x) ∧ p(x, z)]]
Prof. Dr. Madlener: Logik
275
Algorithmen der Prädikatenlogik
Logisches Programmieren und Prolog
Logisches Programmieren und Prolog
◮ Sprache der Logik zur Darstellung von Wissen (deklarativ)
über Strukturen. Wissensherleitung durch logische Folgerung
(deduktiv, Resolution usw.)
◮
•
•
•
•
•
•
•
0
1
2
3
4
5
6
Prozedurale Sicht von Resolution
Z = ((Y · 2) + X ) − Y
Funktion von X , Y
2 ≡ succ(succ(0))
goal(X , Y , Z ) : − mult(Y , 2, A), add(A, X , B), subt(B, Y , Z ).
add(R, succ(S), succ(T )) : − add(R, S, T ).
add(T , 0, T ).
subt(succ(R), succ(S), T ) : − subt(R, S, T ).
subt(T , 0, T ).
mult(R, succ(S), T ) : − mult(R, S, U), add(R, U, T ).
mult(R, 0, 0).
Prof. Dr. Madlener: Logik
276
Algorithmen der Prädikatenlogik
Logisches Programmieren und Prolog
Logisches Programmieren und Prolog
◮
goal, add, subt, mult sind 3-stellige P-Konstanten zur
Darstellung der Funktionen, die den ersten beiden
Argumenten als Wert 3-Argumente zuordnen.
◮ Wie berechnet“ sich ((Y · 2) + X ) − Y , wenn
”
X ← succ(succ(0)) und Y ← succ(0)
? −goal(succ(succ(0)), succ(0), Z )
?
. With Z = succ(succ(succ(0)))
Prof. Dr. Madlener: Logik
277
Algorithmen der Prädikatenlogik
Logisches Programmieren und Prolog
Horn-Logik
Erinnerung: Klauseln {L1 , L2 , . . . , Ln } Menge von Literalen
= {A1 , . . . , An } ∪ {¬B1 , . . . , ¬Bm }, Aj , Bj Atome.
◮ Hornlogik: Klauseln mit höchstens einem positiven Literal,
d. h. n ≤ 1. Einteilung:
{A, ¬B1 , . . . , ¬Bm } m > 0
{A}
{¬B1 , . . . , ¬Bm } m > 0
∅
Prof. Dr. Madlener: Logik
Regel Klausel
Fakt Klausel
Goal Klausel
leeres Goal
◭
◭
◭
◭
278
Algorithmen der Prädikatenlogik
Logisches Programmieren und Prolog
Horn-Logik
◮
֒→
•
•
•
Formeln in KLF: Endliche Mengen von Literalen.
Hornklausel
Formel von PL-1
• {A, ¬B1 , . . . , ¬Bm }
∀ (A ∨ ¬B1 ∨ · · · ∨ ¬Bm )
bzw. (∀ ((B1 ∧ · · · ∧ Bm ) → A))
•
{A}
∀ (A)
•
{¬B1 , . . . , ¬Bm }
∀ (¬B1 ∨ · · · ∨ ¬Bm )
bzw. ¬∃ (B1 ∧ · · · ∧ Bm )
false
Notationen:
Formel
logisches Programm Prolog
∀ ((B1 ∧ · · · ∧ Bm ) A ← B1 , . . . , Bm
A : − B1 , . . . , Bm .
→ A)
∀ (A)
A←
A.
¬∃ (B1 ∧ · · · ∧ Bm ) ← B1 , . . . , Bm
? −B1 , . . . , Bm .
Prof. Dr. Madlener: Logik
279
Algorithmen der Prädikatenlogik
Logisches Programmieren und Prolog
Horn-Logik (Forts.)
◮ Eine Menge von Regeln und Fakten ist ein logisches
Programm P
d. h. die Programmformeln sind entweder Regeln oder Fakten.
• Eine Struktur R ist Modell von P, falls R Modell der
entsprechenden Formeln in P ist.
• P |= ϕ hat die übliche Bedeutung.
! Beachte: Sei P logisches Programm und ? −B1 , . . . , Bm ein
nichtleeres Ziel. Dann sind äquivalent
1. P ∪ {? − B1 , . . . , Bm } hat kein Modell (unerfüllbar)
2. P |= ∃(B1 ∧ · · · ∧ Bm )
֒→ Herbrand Interpretationen reichen aus: d. h. Termmengen und
Funktionen sind fest durch die Formeln (Programm) definiert.
Prof. Dr. Madlener: Logik
280
Algorithmen der Prädikatenlogik
Logisches Programmieren und Prolog
Horn-Logik (Forts.)
◮
Offen ist nur noch die Interpretation der P-Konstanten.
R ↔ I (R) = {r (t1 , . . . , tn ) | r P-Konstante, n-stellig
t1 , . . . , tn ∈ HP Grundterme
(t1 , . . . , tn ) ∈ rR }
Semantik logischer Programme (deklarative Semantik).
Sei P ein logisches Programm. Unter den Herbrand
Interpretationen die Modelle von P sind, gibt es ein minimales
Herbrand Modell MP :
MP = {r (t1 , . . . , tn ) | t1 , . . . , tn Grundterme und
•
P |= r (t1 , . . . , tn )}
◮ MP lässt sich rekursiv definieren.
Prof. Dr. Madlener: Logik
281
Algorithmen der Prädikatenlogik
Logisches Programmieren und Prolog
Horn-Logik (Forts.)
Satz 5.25
Sei ∃X1 · · · ∃Xk (B1 ∧ · · · ∧ Bm ) eine abgeschlossene existentielle
Formel und P logisches Programm. Dann sind äquivalent:
1. P |= ∃X1 · · · ∃Xk (B1 ∧ · · · ∧ Bm )
2. P |= (B1 ∧ · · · ∧ Bm )[X1 /t1 , . . . , Xk /tk ] für Grundterme
t1 , . . . , tk
3. Mp ist Modell von ∃X1 · · · ∃Xk (B1 ∧ · · · ∧ Bm )
4. Mp |= (B1 ∧ · · · ∧ Bm )[X1 /t1 , . . . , Xk /tk ] für Grundterme
t1 , . . . , tk
! Grundlage für Mp ist die Semantik (Bedeutung) von P.
(Beachte der Satz gilt nicht für universelle Formeln!)
Prof. Dr. Madlener: Logik
282
Algorithmen der Prädikatenlogik
Logisches Programmieren und Prolog
Horn-Logik (Forts.)
Beispiel 5.26
P über Signatur 0, succ (Fkt. Symbole), add ( 3 St. Pr.-Konstante)
P : add(X , 0, X ).
add(X , succ(Y ), succ(Z )) : −add(X , Y , Z ).
֒→ Offenbar ist
Mp = {add(succn (0), succm (0), succn+m (0)) n, m ∈ N}
Prof. Dr. Madlener: Logik
283
Algorithmen der Prädikatenlogik
Logisches Programmieren und Prolog
Wie werden existentielle Anfragen beanwortet?
◮
◮
(Frage 1) ? −add(succ3 (0), succ8 (0), Z )
JA mit Z = succ11 (0)
(Frage 2) ? −add(X , succ8 (0), Z )
?
(P |= ∃X ∃Z add(X , succ8 (0), Z ))
JA mit X = 0, Z = succ8 (0)
Z = succ8 (X )
mit X = succ(0), Z = succ9 (0) . . .
ist allgemeinste Lösung.
Prof. Dr. Madlener: Logik
284
Algorithmen der Prädikatenlogik
Logisches Programmieren und Prolog
Wie werden existentielle Anfragen beanwortet? (Forts.)
◮
(Frage 3) ? −add(succ3 (0), Y , Z )
?
(P |= ∃Y ∃Z add(succ3 (0), Y , Z ))
JA mit Y = 0, Z = succ3 (0)
mit Y = succ(0), Z = succ4 (0)
mit Y = succ2 (0), Z = succ5 (0) . . .
• Z = succ3 (Y ) ist jedoch keine allgemeinste Lösung:
◮ Da ∀Y add(succ3 (0), Y , succ3 (Y )) nicht logische Folgerung
von P ist (Übung!)
(Sie ist jedoch in Mp gültig!! Induktives Theorem)
Prof. Dr. Madlener: Logik
285
Algorithmen der Prädikatenlogik
Logisches Programmieren und Prolog
Wie werden existentielle Anfragen beanwortet? (Forts.)
◮
(Frage 4) ? −add(X , Y , succ3 (0))
?
(P |= ∃X ∃Y add(X , Y , succ3 (0))
X =0
succ(0)
Lösungssubstitutionen:
succ2 (0)
succ3 (0)
Prof. Dr. Madlener: Logik
Y = succ3 (0)
succ2 (0)
succ(0)
0
286
Algorithmen der Prädikatenlogik
Logisches Programmieren und Prolog
Lösungssubstitutionen
Sei G = ? −B1 , . . . , Bm ein goal, P logisches Programm, σ
Substitution, σ|G Einschränkung von σ auf die Variablen, die in G
vorkommen.
σ = {X1 ← t1 , . . . , Xn ← tn } ist eine korrekte
Lösungssubstitution für P ∪ {G } gdw X1 , . . . , Xn kommen in G
vor und P |= ∀ ((B1 ∧ · · · ∧ Bm )σ).
(Beachte: nicht äquivalent zu Mp |= ∀ ((B1 ∧ · · · ∧ Bm )σ) nur, falls
variablenfrei).
? Wie operationalisiert man die Bestimmung von korrekten
Operationale Semantik
Lösungssubstitutionen ?
Varianten der Resolution.
Prof. Dr. Madlener: Logik
287
Algorithmen der Prädikatenlogik
Logisches Programmieren und Prolog
SLD-Resolution –
(selective linear Resolution for definitive clauses)
◮ Sei G goal ? −A1 , . . . , Am und C ≡ A : − B1 , . . . , Bq eine
Programmformel (q = 0 erlaubt). Seien weiterhin G und C
variablendisjunkt und sei µ ein MGU von Ak und A.
(Die Klauseln können resolviert werden).
Das goal
◮ G ′ ≡ ? − A1 µ, . . . , Ak−1 µ, B1 µ, . . . , Bq µ, Ak+1 µ, . . . , Ak µ ist
eine SLD-Resolvente von G und C über µ.
G
C
SLD als Regel
P-Klausel, goal
G
Prof. Dr. Madlener: Logik
goal′
′
288
Algorithmen der Prädikatenlogik
Logisches Programmieren und Prolog
SLD-Resolution: SLD-Ableitungen
◮ SLD-Ableitungen, wie üblich definieren:
SLD-Ableitungen sind Ableitung der Form
G0 , G1 , . . . , Gn , . . . Programmformeln C0 , C1 , . . . , Cn , . . .
Substitutionen µ0 , µ1 , . . . , µn , . . . , so dass
Gn+1 SLD-Resolvente von Gn und Cn über µn
(Hierbei kommen die Variablen in Cn+1 nicht in
G0 , G1 , . . . , Gn , C0 , . . . , Cn , µ0 , . . . , µn vor).
Prof. Dr. Madlener: Logik
289
Algorithmen der Prädikatenlogik
Logisches Programmieren und Prolog
Lösungssubstitution
Definition 5.27 (Lösungssubstitution)
Sei P logisches Programm, G goal.
Eine SLD-Widerlegung von P ∪ {G } ist eine endliche
SLD-Ableitung, bis zum Ziel Gn aus G , wobei Gn leer ist.
C0 , . . . , Cn−1 sind Varianten (Umbenennungen) von
Programmformeln aus P.
µ = (µ0 µ1 · · · µn−1 )|G ist die berechnete Lösungssubstitution.
Prof. Dr. Madlener: Logik
290
Algorithmen der Prädikatenlogik
Logisches Programmieren und Prolog
Bemerkung und Beispiel
Bemerkung 5.28
◮ Korrektheit und Vollständigkeit lassen sich beweisen!
Siehe etwa Leitsch: Resolutionskalküle
Beispiel 5.29
a : − b, c.
a : − d.
b : − d, e.
b : − f.
c.
c : − d, f .
d.
f.
Prof. Dr. Madlener: Logik
Klauseln
{a, b̄, c̄}
{a, d̄}
{b, d̄, ē}
{b, f¯}
{c}
{c, d̄, f¯}
{d}
{f }
291
Algorithmen der Prädikatenlogik
Logisches Programmieren und Prolog
Beispiel: Goal ? - a
{a, b, c}
{a}
{b, c}
{d, e, c}
{e, c}
{f , c}
{c}
{}
{b, d, e}
{d}
{a}
{b, c}
{d, e, c}
{e, c}
{b, f }
{f , c}{f }
{c} {c}
{}
Prof. Dr. Madlener: Logik
292
Algorithmen der Prädikatenlogik
Logisches Programmieren und Prolog
Operationale Semantik von PROLOG
◮
Prolog: Logik + Kontrolle
• Fixiere Reihenfolge der SLD-Schritte
◮
◮
◮
◮
Ordne Programmformeln (Liste)
Goals als Listen - erstes Literal
Bilde stets Resolventen mit Kopf der ersten Programmformel
mit erstem Literal des Goals, normale SLD-Resolution.
Probleme: Laufzeiten sind abhängig von den Reihenfolgen!
Oft hilft ein Umordnen der Literale im Goal oder in den
Programmklauseln.
Prof. Dr. Madlener: Logik
293
Algorithmen der Prädikatenlogik
Logisches Programmieren und Prolog
Beispiele
◮ P sei gegeben durch:
1 p(X , Z ) : − q(X , Y ), p(Y , Z ).
2 p(X , X ).
3 q(a, b).
SLD(P, G ) Baum aller N-SLD Resolventen
G ≡? − p(X , b)
?-p(x, b)
[x1 |x, z1 |b]
[x1 |b, x|b]
?-q(x, y1 ), p(y1 , b)
[x|a, y1 |b]
[x2 |b, z2 |b]
?-q(b, y2 ), p(y2 , b)
Prof. Dr. Madlener: Logik
Failure
Erfolg
?-p(b, b)
[x2 |b]
Erfolg
294
Algorithmen der Prädikatenlogik
Logisches Programmieren und Prolog
Beispiele (Forts.)
◮ Umordnung der Literale in Programmformeln
1 p(X , Z ) : − p(Y , Z ), q(X , Y ).
2 p(X , X ).
3 q(a, b).
G ≡? − p(X , b)
→ Depth First
kein Ergebnis.
Umordnung des SLD-Baums
Prof. Dr. Madlener: Logik
295
Algorithmen der Prädikatenlogik
Logisches Programmieren und Prolog
Beispiel 5.30 (Listen über Σ)
Gegeben Signatur Σ definiere Listen über Σ:
[·|·] : L(Σ)2 → L(Σ)
◮
2-stellige Funktion Infix-Notation
◮
Konstante [ ] bezeichne die leere Liste.
◮ Rekursive Definition:
◮
[ ] ist Liste über Σ
◮
[F |Rest] ist Liste über Σ, falls F Σ-Term oder Liste über Σ
◮
Rest Liste über Σ
F
Rest
• [F1 , F2 , . . . , Fn |Rest] := [F1 |[F2 | · · · |[Fn |Rest] · · · ]]
• [F1 , . . . , Fn ] := [F1 , . . . , Fn |[ ]]
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296
Algorithmen der Prädikatenlogik
Logisches Programmieren und Prolog
Beispiel: Listen über Σ (Forts.)
◮
Operationen auf Listen
• append([ ], M, M).
• append([X |L], M, [X |N]) : − append(L, M, N).
? −append([a, b], [a, Y ], Z )
Ergibt: .Z ← [a, b, a, Y ]
֒→ Weitere Operationen
element(X , [X |L]).
element(X , [Y |L]) : − unequal(Y , X ), element(X , L).
mirror([ ], [ ]).
mirror([X |L], M) : − mirror(L, N), append(N, [X ], M).
delete([ ], X , [ ]).
delete([X |L], X , M) : − delete(L, X , M)
delete([Y |L], X , [Y |M]) : − unequal(Y , X ), delete(L, X , M).
delete1([X |L], X , L).
delete1([Y |L], X , [Y |M]) : − unequal(Y , X ), delete1(L, X , M).
Prof. Dr. Madlener: Logik
297
Algorithmen der Prädikatenlogik
Logisches Programmieren und Prolog
Schlussaufgabe:
Formalisiere und beweise folgenden Satz:
If the professor is happy if all his students like logic, then he
is happy if he has no students.
Prof. Dr. Madlener: Logik
298