Musterlösung¨Ubung 7

PCI (Biol./Pharm.) Thermodynamik Musterlösung Übung 7 H.P. Lüthi / R. Riek – HS 2015
Musterlösung Übung 7
Aufgabe 1: Heizen eines Chalets
a) Man betrachte die Wärmepumpe, welche während eines Zyklus dt die folgende elektrische
Arbeit leistet: δw = P dt (siehe Abbildung 1-1).
Chalet(mit(der(
Temperatur(T(
7(δQ(
δW(
Wärmepumpe(
δQ0(
Lu2(aussen,(mit(T0(
Abbildung 1-1: Eine Wärmepumpe zum Aufheizen des Chalets.
Bei einem geschlossenen Kreisprozess gilt für die innere Energie U:
I
dU = 0 = δw + δq + δq0
(1.1)
und der Entropie S:
I
dS = 0 =
δq0 δq
+
T0
T
(1.2)
Mit δq = −cp dT und δw = P dt kann man U nun umschreiben zu:
P dt − cp dT + δq0 = 0
P dt cp dT
δq0
−
+
= 0
T0
T0
T0
Mit
cp dT
T
=
δq0
T0
aus Gleichung 1.2 folgt:
cp dT
T
=
cp dT − P dt
T0
(1.3)
Wenn man nun über die totale Heizdauer ∆t integriert, erhält man:
cp ln
T1
cp (T1 − T0 ) P ∆t
=
−
T0
T0
T0
cp
T1
∆t =
[(T1 − T0 ) − T0 ln( )] = 3 h
P
T0
(1.4)
(1.5)
1
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30
1
25
25
20
20
p/bar
p/bar
30
15
1
15
4
10
10
4
W
W
2
5
2
5
3
0
0
2
4
6
8
V/L
10
3
12
14
0
0
5
10
15
V/L
Abbildung 2-1: p, V -Diagramm von Stirling-Prozess (links) und Carnot-Prozess (rechts). Beide fahren entlang
derselben Isothermen und leisten daher dieselbe Menge an Arbeit. Der Wärmeverbrauch in beiden Prozessen
ist jedoch unterschiedlich.
b) Wenn man die Forscher als Heizung betrachten würde, wäre die Heizdauer:
∆t00 =
cp (T2 − T1 )
= 26.45h
10 ∗ Pm
(1.6)
Die Wärme, die produziert wird, ist:
t ∗ Pm = Q = 12000kJ = 2866kcal
(1.7)
Damit kann jeder Forscher etwa 955 gram Fondue verspeisen. Man kann also zusammenfassend sagen, dass es sich lohnt eine Heizpumpe zu benutzten, wenn man es schnell warm
bekommen möchte.
c) Standardgleichung der Entropie verwenden:
∆S = M ∗ Cm ∗ ln
T2
= 897JK −1
T1
(1.8)
Aufgabe 2: Stirlingmotor
a) In Abbildung 2-1 ist das p, V -Diagramm von einem Stirling-Prozess und einem gleichartigen Carnot-Prozess dargestellt. Sie gleichen einander bis auf die Tatsache, dass die
Punkte 2 und 3 sowie 1 und 4 durch isochore Linien anstatt durch Adiabaten miteinander
verknüpft sind.
2
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b) Die vier Zustände sind die Kombinationen von Th und Tk mit Va und Vb . Danach muss
nur noch der Druck mit der idealen Gasgleichung
pi =
nRTi
Vi
(2.1)
ermittelt werden. Richtig kombiniert ergibt sich für die vier Zustände:
Zustand V /L T /K p/bar
1
2 700 29.10
2
10 700
5.82
3
10 300
2.49
4
2 300 12.47
c) Die Arbeit, welche entlang einer Isotherme im reversiblen Fall verrichtet wird ist
ZVj
Wij = −
ZVj
pdV = −nRT
Vi
Vj
dV
= −nRT ln
V
Vi
(2.2)
Vi
Da im isothermen Fall die innere Energie konstant bleibt, gilt ausserdem Qij = −Wij .
Bei der isochoren Temperatur wird keine Volumenarbeit geleistet und daher wird
Qij = ∆Uij = ncV (Tj − Ti ).
(2.3)
Man erhält also pro Takt
Takt
12
23
34
41
W/kJ Q/kJ
-9.367 9.367
0
-12.0
4.015 -4.015
0
12.0
d) Mit diesem Stirlingmotor erhält man eine Arbeit von |W | = |W12 + W34 | = 5.35kJ pro
Zyklus.
e) Die Effizienz dieser Maschine ist
η=
|W |
= 0.25.
|Q12 | + |Q41 |
(2.4)
Im vergleich dazu beträgt der Wirkungsgrad einer Carnot-Maschine, die zwischen den
Temperaturen 300K und 700K läuft, η = 0.57. Der Grund für die schlechtere Effizienz
ist die zusätzlich einzuspeisende Wärme |Q41 |, die ein Stirlingprozess für die isochore
Erwärmung benötigt. Diese läuft beim Carnot-Prozess adiabatisch ab, und benötigt daher keine Wärmezufuhr. Stirnling-Maschinen werden deshalb vor allem bei sehr niedrigen
Temperaturdifferenzen eingesetzt, wo der Term |Q41 | vernachlässigbar ist gegenüber |Q12 |
und daher annähernd der Carnot-Wirkungsgrad erreicht wird.
Aufgabe 3: Kühlschränke
Das Prinzip eines Kühlschrankes ist schematisch in Abbildung 3-1 dargestellt. Überträgt
man Wärme von der Region mit der tieferen Temperatur Tk zur Region mit der wärmeren
Temperatur Tw , muss zusätzlich Arbeit aufgewendet werden (vgl. Formulierung des 2. Hauptsatzes der Thermodynamik durch Clausius).
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`
`
Tw > Tk
Qw = −|Qw |
W = |W |
System
Qk = |Qk |
Tk
Abbildung 3-1: Schematische Darstellung des Prinzips eines Kühlschrankes. Tk ist die Temperatur der Region
mit der tieferen, Tw derjenigen mit der höheren Temperatur. Entsprechend sind Qk resp. Qw die vom System
mit der kälteren resp. wärmeren Region ausgetauschten Wärmemengen. W ist die am System geleistete Arbeit.
Gemäss der üblichen Vorzeichenkonvention gilt für den Betrieb der Maschine als Kühlschrank: Qk > 0, Qw < 0
und W > 0.
a) Da der Kühlschrank reversibel arbeiten soll, gilt:
∆S =
Qk Qw
+
=0
Tk
Tw
beziehungsweise
Tw
|Qw |
=
.
|Qk |
Tk
(3.1)
Man erhält damit für die Temperatur im Innern:
Tk = Tw
100kJ
|Qk |
= 293.15K ·
= 225.50K.
|Qw |
130kJ
Es handelt sich also um eine Tiefkühltruhe der Temperatur T = −47.7◦ C.
b) Die aufzuwendende Arbeit W ergibt sich mit Hilfe des 1. Hauptsatzes der Thermodynamik
und der Energieerhaltung für zyklische Prozesse:
W = −(Qw + Qk ) = |Qw | − |Qk |.
(3.2)
Unter Benutzung von (3.1) kann man schreiben:
Tw
Tw
293.15K
W =
|Qk | − |Qk | = |Qk |
− 1 = 50kJ ·
− 1 = 15.00kJ.
Tk
Tk
225.50K
c) Eine Möglichkeit, die Effizienz eines Kühlschrankes zu beurteilen, ist den Quotienten zwischen der aus der kühleren Region abgeführten Wärme |Qk | und der dazu aufzuwendenden
Arbeit |W | zu bilden:
|Qk |
ηK =
.
|W |
Dabei ist die Effizienz des Kühlschrankes umso besser, je grösser ηK ist. Mit (3.1) und
(3.2) findet man nun
−1 −1
|Qw |
|Qk |
|Qk |
|Qw | − |Qk |
ηK =
=
=
=
−1
|W |
|Qw | − |Qk |
|Qk |
|Qk |
−1
Tw
Tk
=
−1
=
.
(3.3)
Tk
Tw − Tk
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Da sinnvollerweise Tw > Tk gelten muss, kann ηK Werte im Bereich 0 ≤ ηK < ∞ annehmen.
Setzt man die in der Aufgabenstellung gegebenen Zahlenwerte in (3.3) ein, erhält man
ηK (Tw = 293.15K, Tk = 225.50K) = 3.33
ηK (Tw = 303.15K, Tk = 225.50K) = 2.90.
Man sieht, dass bei einer Erhöhung der Aussentemperatur von 20◦ C auf 30◦ C pro geleisteter Arbeit wesentlich weniger Wärme aus dem Innern des Kühlschrankes entfernt
wird.
d) Kühlschränke und Wärmepumpen arbeiten im Prinzip identisch, die Anwendung ist jedoch
verschieden.
Bei Kühlschränken ist man an der Region mit der tieferen Temperatur interessiert. Für
einen optimalen Betrieb muss dafür gesorgt werden, dass die Abwärme in der Region mit
der höheren Temperatur möglichst effizient weggeführt wird, da sonst die Temperatur dort
ansteigt, was zu einer geringeren Effizienz des Kühlschrankes führt (vgl. Teilaufgabe 3c)).
Bei Wärmepumpen ist man hingegen an der der wärmeren Region zugeführten Wärmemenge interessiert. Dabei sollte man auf eine möglichst stabile Temperatur der kälteren
Region (z.B. See im Winter) achten, damit die abgegebene Wärmemenge allein über die
von der Wärmepumpe geleistete Arbeit reguliert werden kann.
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