Z usatzt ex te

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Z u s a t z t ex t e
Die Zusatztexte wurden aus dem Lehrbuch Kompaktkurs Physik von
H. Pfeifer, H. Schmiedel und R. Stannarius entnommen.
B.G.Teubner, 2004, ISBN 3-519-00472-0
Kapitel
Thema
Abschnitt
Wellen
Kap. 5
Wellen, Wellengleichung
Wellenausbreitung
5.2
5.3
Der zweite Hauptsatz
der Thermodynamik
Kap. 9
Der Carnot-Zyklus
Der 2. Hauptsatz der Thermodynamik
9.1
9.2
Dämpfe und reale
Gase
Kap. 13
Die Van-der-Waals-Gleichung,
Virialentwicklung
13.1
Elektrostatik
Kap. 16
Dielektrika
16.6
Magnetfelder
Kap. 18
Magnetostatik
18.4
Wellenoptik
Kap. 22
Kohärenz
Interferenz
22.1
22.2
Polarisation
des Lichtes
Kap. 23
Polarisation
Fresnel-Formeln
Natürliche Doppelbrechung
Zirkular und elliptisch
polarisiertes Licht
Optische Aktivität
23
23.1
23.2
23.3
Strahlungsformeln
25.2
Wärmestrahlung
23.4
Physikal isches Praktikum
Prof. Dr. Dr. h.c. Harry Pfeifer
Prof. Dr. Herbert Schmiedel
Prof. Dr. Ralf Stannarius
Kompaktkurs Physik
mit virtuellen Experimenten und Übungsaufgaben
August 2004
B. G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH,
Wiesbaden
84
5 Schwingungen und Wellen
mit x0 (t) = 2x̂ cos{[(ω1 − ω2 )/2]t + (α1 − α2 )/2}, ωs = (ω1 + ω2 )/2 und αs =
(α1 +α2 )/2, d.h. es entsteht eine Schwingung mit der mittleren Frequenz (ω1 +ω2 )/2
und einer Amplitude x̂s = |x0 (t)|, die periodisch zwischen 0 und dem Maximalwert
2x̂ schwankt. Diese Erscheinung nennt man Schwebung (beat phenomenon). A 32
(3) Senkrechte Polarisation (~ea1 = ~ex , ~ea2 = ~ey ), gleiche Amplitude (x̂ = ŷ = â)
und gleiche Frequenz (ωx = ωy = ω). Es ergibt sich in der x-y-Ebene i.Allg. eine
Ellipse (elliptisch polarisierte Schwingung, elliptically polarized oscillation), die
für αx −αy = 0, π, 2π usw. zu einer linear polarisierten Schwingung und für αx −αy =
π/2, 3π/2, 5π/2 usw. zu einer zirkular polarisierten Schwingung entartet (s.Abb.39).
(4) Senkrechte Polarisation (~ea1 = ~ex , ~ea2 = ~ey ), gleiche Amplitude (x̂ = ŷ = â)
und kommensurable (commensurate) Frequenzen (d.h. der Quotient beider ist
eine rationale Zahl ). Es ergeben sich in der x-y-Ebene geschlossene Kurven, die
man als Lissajous-Figuren (Lissajous figures, Jules Antoine Lissajous 1822-1880)
bezeichnet. Sie lassen sich einfach konstruieren und finden in der Messtechnik bei
der Bestimmung von Frequenzverhältnissen Anwendung: Die Zahl der Berührpunkte
der Figur mit dem einhüllenden Quadrat der Kantenlänge 2â, die man in x-Richtung
zählt, zu der entsprechenden Zahl in y-Richtung ist gleich dem Verhältnis ωy /ωx .
Als Beispiel zeigt Abb.40 die Lissajous-Figur für ein Frequenzverhältnis ωy /ωx = 2.
A 33
(2)
(1)
y
y
x 2a
2a
2a
(3)
y
x 2a
2a
x
2a
Abbildung 39.
Lissajous-Figuren
für ein Frequenzverhältnis 1, gleiche Amplituden,
aber verschiedene
Phasendifferenzen:
(1) αx − αy = 0,
(2) αx − αy = π/2,
(3) αx − αy = π
5.2 Wellen
Wenn man ein Teilchen eines Fluids oder eines Festkörpers zu einer erzwungenen
Schwingung mit der Frequenz ω anregt, so erfahren, infolge der Wechselwirkungskräfte zwischen den Teilchen, zunächst die unmittelbaren Nachbarn eine aufgeprägte
Kraft der gleichen Frequenz. Diese Nachbarn beginnen deshalb (phasenverschoben)
5.2 Wellen
85
y
x
2a
2a
Abbildung 40. Lissajous-Figur für x = â cos(ωt + αx ) und
y = â cos(2ωt + αy ) mit αx − αy = π/4
ebenfalls erzwungene Schwingungen auszuführen, die sie analog an ihre nächsten
Nachbarn übertragen, so dass schließlich die Auslenkungen aller Teilchen aus ihren
Ruhelagen sowohl eine zeitliche als auch räumliche Periodizität aufweisen. Erfolgt
die Auslenkung in der Ausbreitungsrichtung dieser Erregung, so spricht man von
einer longitudinalen Welle (longitudinal wave) im Gegensatz zu den transversalen Wellen (transverse waves) bei senkrechter Auslenkung. Harmonisch nennt man
eine Welle (harmonische Welle, harmonic wave), wenn die Auslenkungen aus den
Ruhelagen harmonische Schwingungen sind (s.S.16). In Abb.41 ist die Entstehung einer harmonischen longitudinalen Welle in einem eindimensionalen Kristall, der sich
in x-Richtung erstreckt, durch eine Folge von Momentaufnahmen dargestellt. Für
die Zeitintervalle zwischen den Aufnahmen wurde eine Viertelperiode der harmonischen Schwingungen gewählt. Während also jedes einzelne Teilchen eine erzwungene
Schwingung mit der gleichen Periode (period) T ausführt, hängt seine Nullphase
vom Ort der Ruhelage des betreffenden Teilchens ab.
Den kleinsten Abstand zwischen Teilchen mit gleicher Nullphase bezeichnet man als
Wellenlänge (wave length oder wavelength) λ (s.Abb.41). Damit lässt sich eine
eindimensionale harmonische longitudinale Welle in der Form
2π
2π
ˆ
ξ(t, x) = ξ cos
t∓
x
(137)
T
λ
schreiben, wobei ξ(t, x) die Auslenkung in x-Richtung zur Zeit t für ein Teilchen
bezeichnet, dessen Ruhelage die Koordinate x besitzt. Das Minuszeichen gilt für
eine in die positive x-Richtung fortschreitende Welle und das Pluszeichen für die
entgegengesetzte Richtung. Führt man in Analogie zur Kreisfrequenz (angular
frequency) ω = 2π/T die Kreiswellenzahl (circular wave number) kx = 2π/λ ein,
so ergibt sich aus Gl.(137)
ξ(t, x) = ξˆ cos(ωt ∓ kx x).
(138)
Für eine Welle im dreidimensionalen Raum ist kx x durch kx x + ky y + kz z zu ersetzen, so
dass sich an Stelle von Gl.(138) die allgemeine Gleichung ξ(t, ~r) = ξˆ cos(ωt − ~k~r) mit dem
86
5 Schwingungen und Wellen
Zeitpunkt der
Momentaufnahme
t9
t8
t7
t6
λ
t5
t4
Abbildung 41. Ausbildung einer
longitudinalen harmonischen Welle
in einem eindimensionalen Kristall,
der sich in x-Richtung erstreckt. Für
die Zeitpunkte ti der Momentaufnahmen gilt: t1 = 0, t2 = T /4,
t3 = 2T /4, t4 = 3T /4, t5 = T usw.
t3
t2
Ortskoordinate x
t1
t5−t1 = T
Wellenzahlvektor oder Wellenvektor (circular wave vector) ~k = kx~ex + ky ~ey + kz ~ez
ergibt. Hierbei gilt (kx2 + ky2 + kz2 )1/2 = 2π/λ.
Für die Phasengeschwindigkeit (phase velocity) υP , das ist die Geschwindigkeit,
mit der sich eine herausgegriffene Phase, z.B. ein Maximum einer harmonischen
Welle, bewegt, gilt auf Grund der Definitionen von λ (Weg) und T (Zeit) υP = λ/T .
Dafür kann man mit kx = 2π/λ und ω = 2π/T auch
υP =
ω
kx
(139)
schreiben. Beim Übergang von einem Medium in ein anderes bleibt die Frequenz
erhalten (erzwungene Schwingungen der Teilchen), jedoch wird sich i.Allg. die Wellenlänge, die von der Stärke der Wechselwirkung zwischen den Teilchen und ihrem
mittleren Abstand abhängt, ändern.
Wenn in einem Medium das Produkt aus Wellenlänge und Frequenz nicht konstant
ist, sondern von der Frequenz abhängt, spricht man von Dispersion (dispersion).
Diese Erscheinung führt zu der Notwendigkeit, eine weitere Geschwindigkeit einzuführen: Um Signale mit einer Welle zu übertragen, muss diese moduliert werden,
denn eine harmonische Welle liefert beim Empfänger nur eine harmonische Schwingung mit den zeitlich konstanten Parametern Amplitude, Frequenz und Nullphase.
Erst durch Modulation (modulation), d.h. durch zeitliche Variation einer dieser
drei Größen, ist es möglich, Signale zu übermitteln. Wir betrachten als einfachstes
5.2 Wellen
87
Signal einen Rechteckimpuls, der durch Erhöhung der Amplitude einer harmonischen Welle über ein kurzes Zeitintervall realisiert wird (Amplitudenmodulation,
amplitude modulation). Durch eine mathematische Operation, die sog. Fourierzerlegung, kann man diese Welle mit zeitabhängiger Amplitude in harmonische Wellen
zerlegen, die unterschiedliche aber zeitlich konstante Amplituden, Frequenzen und
Nullphasen besitzen. Wenn nun diese einzelnen Wellen infolge der Dispersion unterschiedliche Phasengeschwindigkeiten haben, so wird sich der Impuls im Laufe der
Zeit verformen und sein Schwerpunkt wird sich mit einer Geschwindigkeit bewegen,
die i.Allg. nicht mit der Phasengeschwindigkeit der unmodulierten Welle übereinstimmt. Diese Geschwindigkeit, mit der sich ein Signal fortpflanzt, das einer Welle
aufmoduliert ist, nennt man Gruppengeschwindigkeit (group velocity) υG . Eine
einfache Rechnung liefert dafür eine zu Gl.(139) analoge Beziehung:
υG =
A 34
dω
.
dkx
(140)
A 35
Wir betrachten zwei harmonische Wellen mit den Frequenzen ω und ω + ∆ω und den
zugehörigen Kreiswellenzahlen kx und kx + ∆kx . Die beiden Wellen verstärken sich
(Maximum der Erregung), wenn die beiden Phasen gleich sind, d.h. für ωt − kx x =
(ω + ∆ω)t − (kx + ∆kx )x. Daraus ergibt sich 0 = t∆ω − x∆kx , oder für die Geschwindigkeit, mit der sich das Maximum fortbewegt, x/t = ∆ω/∆kx . Nach dem Grenzübergang
folgt die gesuchte Gl.(140).
In einem Fluid kann sich nur eine longitudinale Welle ausbilden. Die Ausbreitung
dieser Welle erfolge in x−Richtung und wir betrachten ein Volumenelement, das
zum Zeitpunkt t die Größe A∆x (s.Abb.42) besitze, wobei A die Querschnittsfläche
senkrecht zu x bezeichnet. Mit der mittleren Dichte ρ des Fluids und den vom Ort
(x) und der Zeit (t) abhängigen Größen Druck (p) und Geschwindigkeit (υx ) ergibt
sich aus dem 2. Newton’schen Axiom
∂υx
1 ∂p
≈−
.
∂t
ρ ∂x
(141)
Die Differentialquotienten wurden als partielle Ableitungen geschrieben, da bei den
jeweiligen Differentiationen die anderen unabhängigen Variablen konstant zu halten
sind.
Für die Kraft, die z.Zt. t auf das Massenelement ρA∆x wirkt, gilt Fx = −[p(t, x +
∆x) − p(t, x)]A oder Fx = [−(∂p/∂x)∆x]A. Einsetzen dieses Ausdrucks in das 2. Newton’sche Axiom (ρA∆x)(dυx /dt) = Fx und Vernachlässigung des in der Geschwindigkeit
quadratischen Terms (dυx /dt = ∂υx /∂t + (∂υx /∂x)υx ≈ ∂υx /∂t) liefert die Gl.(141).
88
5 Schwingungen und Wellen
Um eine zweite Gleichung zu erhalten, betrachten wir den Zeitpunkt t + dt. Unter
Verwendung der Definitionsgleichung für die Kompressibilität κ = −(1/V )dV /dp
(s.Gl.(80), S.53) folgt mit κ = κa
∂p
∂υx
= −κa .
∂x
∂t
(142)
Zur Zeit t + dt befindet sich die linke Seite des Volumenelementes (s.Abb.42) bei
x + υx (x)dt und die rechte Seite bei x + ∆x + υx (x + ∆x)dt. Wegen υx (x + ∆x) =
υx (x) + (∂υx /∂x)∆x ergibt sich für die Volumenänderung zwischen t und t + dt der
Wert dV = A(∂υx /∂x)∆xdt. Einsetzen von dV und V = A∆x in die Definitionsgleichung der Kompressibilität κ = −(1/V )dV /dp (s.Gl.(80), S.53) liefert die Beziehung
κ = −(∂υx /∂x)dt/dp oder mit dp/dt = ∂p/∂t die gesuchte Gl.(142). Für κ ist die
adiabatische Kompressibilität κa einzusetzen, da bei den Schallwellen sehr schnelle Volumenänderungen auftreten, die deshalb ohne Austausch von Wärmeenergie mit der
Umgebung, d.h. adiabatisch erfolgen.
x
x+∆ x
A
p(x+∆ x)
p(x)
vx (x)
v x (x+ ∆ x)
Abbildung 42. Zur Ableitung der Phasen- und Gruppengeschwindigkeit der longitudinalen Welle, die sich in xRichtung in einem Fluid ausbreitet
Differenziert man die Gl.(141) nach x und die Gl.(142) nach t, so müssen die beiden
Ausdrücke gleich sein, und man erhält die eindimensionale Wellengleichung
(one-dimensional wave equation) für den Druck
∂2p
1 ∂2p
=
.
∂t2
κa ρ ∂x2
(143)
Die allgemeine Lösung dieser Wellengleichung lautet p(t, x) = p(u) mit u =
t ∓ (κa ρ)1/2 x, wie man leicht durch Einsetzen in Gl.(143) zeigen kann. Die spezielle
Lösung p(t, x) = p̂ cos(ωu) oder p(t, x) = p̂ cos[ωt ∓ ω(κa ρ)1/2 x] stellt die harmonische Welle dar. Ein Vergleich mit der Gl.(138), S.85, liefert unter Verwendung
der Formeln für die Phasengeschwindigkeit υP (Gl.(139), S.86) bzw. die Gruppengeschwindigkeit υG (Gl.(140), S.87) das Ergebnis
5.3 Wellenausbreitung
υP = υG = √
1
.
κa ρ
89
(144)
In ähnlicher Weise ergeben sich die in Tab.17 zusammengestellten Formeln für
die Phasen- und Gruppengeschwindigkeiten mechanischer Wellen. Führt man in
Gl.(143) die Phasengeschwindigkeit υP nach Gl.(144) ein und erweitert auf drei
Dimensionen, so erhält man die dreidimensionale Wellengleichung (threedimensional wave equation) für den Druck
2
∂2p ∂2p
∂ p
∂2p
2
=
υ
+
+
.
(145)
P
∂t2
∂x2
∂y 2
∂z 2
Ü 35
Ü 36
Ü 37
A 36
Tabelle 17. Phasengeschwindigkeit mechanischer Wellen (κa = adiabatische Kompressibilität, ρ = Dichte, E = Elastizitätsmodul, K = Kompressionsmodul, G = Torsionsmodul, σ
= Oberflächenspannung). Die Gruppengeschwindigkeit (υG ) ist mit Ausnahme der Oberflächenwellen gleich der Phasengeschwindigkeit (υP )
Wellenart
Phasengeschwindigkeit
Beispiel
longitudinale Welle in
einem Fluid
p
Luftsäule in einem Rohr
(Orgelpfeife)
longitudinale Welle in
einem dünnen Stab
p
durch Eisenbahnschienen
übertragener Schall
transversale Seilwelle
(Spannkraft F ,
Querschnittsfläche A)
p
Saite eines Streichinstruments
longitudinale Welle in
einem Festkörper
p
longitudinale Erdbebenwellen
Torsionswelle
(Scherwelle)
p
periodische
Achse
Oberflächenwelle einer tiefen
Flüssigkeit (k = 2π/λ,
g = Erdbeschleunigung)
p
Wellen auf Wasseroberflächen
1/(κa ρ)
E/ρ
F/(ρ A)
[K + (4/3)G]/ρ
G/ρ
(g/k) + σk/ρ
Verdrillung
einer
5.3 Wellenausbreitung
5.3.1 Stehende Wellen
Wenn eine in die positive x-Richtung fortschreitende harmonische Welle p(t, x) =
p̂ cos(ωt − kx x) an der Stelle x = ` auf ein anderes Medium trifft, kommt es i.Allg. zu
90
5 Schwingungen und Wellen
einer Reflexion, d.h. es entsteht eine Welle, die sich von x = ` aus in die negative xRichtung ausbreitet. Die Amplitude p̂r dieser reflektierten Welle muss zwischen den
Grenzwerten 0 und p̂ liegen. p̂r = 0 bedeutet, dass die gesamte Leistung der Welle
p(t, x) in das andere Medium übergeht, d.h. es tritt keine Reflexion auf. In der Optik
bezeichnet man dieses Medium dann als schwarzen Körper (black body), in der
Nachrichtentechnik spricht man von Anpassung (matching). Der andere Grenzfall
p̂r = p̂ heißt Totalreflexion (total reflection). Zur vollständigen Charakterisierung
der reflektierten Welle muss außer ihrer Amplitude noch die Nullphase bekannt sein.
Ist die Differenz der Nullphasen für die beiden Wellen p(t, x) und pr (t, x) an der
Stelle x = ` null, so verstärken sie sich an dieser Stelle maximal (Reflexion am
losen Ende, soft reflection), während sie sich bei einer Phasendifferenz π maximal
schwächen (Reflexion am festen Ende, hard reflection). Zur Beschreibung der
Effekte, die sich aus der Überlagerung einer hinlaufenden und einer reflektierten
Welle ergeben, nehmen wir der Einfachheit halber an, dass bei x = 0, von wo aus
die Welle p(t, x) startet, Anpassung vorliegt, so dass im Gebiet 0 ≤ x ≤ ` nur die
beiden Wellen p(t, x) und pr (t, x) existieren. Für den Spezialfall einer Totalreflexion
am losen Ende gilt
pr (t, x) = p̂ cos(ωt + kx x − kx 2`).
(146)
Das positive Vorzeichen von kx x resultiert aus der Tatsache, dass die reflektierte
Welle in die negative x-Richtung läuft, während die Nullphase −kx 2` sichert, dass
die beiden Wellen p(t, x) und pr (t, x) bei x = ` die gleiche Nullphase, nämlich −kx `,
besitzen. An der Stelle x gilt also zum Zeitpunkt t für die Gesamterregung, die man
als stehende Welle (standing wave) bezeichnet,
p(t, x) + pr (t, x) = 2p̂ cos(kx x − kx `) cos(ωt − kx `).
(147)
Aus p(t, x)+pr (t, x) = p̂ cos(ωt−kx x)+ p̂ cos(ωt+kx x−kx 2`) folgt unter Verwendung des
Additionstheorems cos α + cos β = 2 cos[(α − β)/2] cos[(α + β)/2] und unter Beachtung
von cos(α − β) = cos(β − α) sofort die Gl.(147).
Die Gl.(147) beschreibt eine harmonische Schwingung mit einer vom Ort abhängigen
Amplitude |2p̂ cos(kx x − kx `)|. Wegen kx = 2π/λ ist die Amplitude an den Stellen
x = `−λ/4, `−3λ/4 usw. gleich null. Man nennt diese Stellen die Knoten (nodes) der
stehenden Welle, während für x = `, `−λ/2 usw. die Amplitude den Maximalwert 2p̂
besitzt (Bäuche, antinodes, der stehenden Welle). Eine analoge Überlegung liefert
für die Totalreflexion am festen Ende Knoten an den Stellen x = `, ` − λ/2 usw. und
Bäuche bei x = ` − λ/4, ` − 3λ/4 usw. Zusammengefasst ergeben sich aus diesen
Ergebnissen die beiden folgenden Aussagen:
(1) Der Abstand zwischen einem Bauch und einem benachbarten Knoten ist λ/4.
(2) Bei Reflexion an einem festen (losen) Ende entsteht an der Reflexionsstelle ein
Knoten (Bauch).
5.3 Wellenausbreitung
91
Wenn sowohl bei x = 0 als auch bei x = ` eine Reflexion auftritt, so entsteht
ein resonanzfähiges System. Im Gegensatz zum linearen Oszillator (s.S.78) gibt es
hier aber unendlich viele Resonanzen, die sog. Eigenschwingungen (eigenmodes).
Als erstes Beispiel betrachten wir die beidseitig eingespannte Saite (string) eines
Streichinstrumentes. Aus der Forderung, dass sich an beiden Enden, d.h. bei x = 0
und x = `, ein Knoten ausbilden muss, folgt die Resonanzbedingung zu ` = nλ/2
mit n = 1, 2, 3 usw. Die Erregung für n = 1 nennt man die Grundschwingung
(fundamental vibration) oder auch die 1. Eigenschwingung (first harmonic). n = 2
wird als 1. Oberschwingung (first overtone) oder auch als 2. Eigenschwingung
(second harmonic) bezeichnet usw. Die Resonanzfrequenzen ergeben sich aus der
Formel für die Phasengeschwindigkeit υP = λf = (F/ρA)1/2 (s.Tab.17, S.89) mit
λ = 2`/n zu
s
n
F
f=
(148)
,
2` ρA
wobei F die Kraft bezeichnet, mit der die Saite gespannt wird, deren Querschnittsfläche A und deren Dichte ρ ist. Für die Eigenschwingungen einer Luftsäule (air
filled pipe), die sich in einem Rohr der Länge ` befindet, das am einen Ende offen
und am anderen Ende mit einem Deckel verschlossen ist (gedackte Orgelpfeife,
closed organ pipe) muss ` gleich den möglichen Abständen zwischen Knoten und
Bauch sein, d.h. ` = (2n − 1)λ/4 mit n = 1, 2, 3 usw. Unter Verwendung der Formel
für die Phasengeschwindigkeit (Gl.(144), S.89) ergeben sich die Resonanzfrequenzen
zu
r
1
2n − 1
f=
.
(149)
4`
κa ρ
Eine einfache Überlegung zeigt, dass für die beidseitig offene Orgelpfeife (open
organ pipe) der Faktor (2n − 1) in Gl.(149) durch 2n zu ersetzen ist. Ü 38
5.3.2 Der Doppler-Effekt
Zur Behandlung des Doppler-Effekts (Doppler effect, Johann Christian Doppler
1803-1853) betrachten wir im Folgenden eine Schallquelle, die harmonische Wellen
mit der Frequenz f aussendet. Wenn die Schallquelle in dem Medium ruht, in dem
sich die Schallwellen ausbreiten, so sei deren Wellenlänge λ.
Ein Beobachter, der sich einer solchen Schallquelle mit der Geschwindigkeit υB
nähert (moving detector), überstreicht in einer Sekunde f + υB /λ Wellenmaxima,
d.h. er registriert eine erhöhte Frequenz fB = f + υB /λ. Diese Beziehung lässt sich
wegen υP = λf auch in der Form
fB = f (1 + υB /υP )
(150)
92
5 Schwingungen und Wellen
schreiben. Entfernt sich der Beobachter von der im Medium ruhenden Schallquelle,
so ist υB in Gl.(150) durch −υB zu ersetzen, d.h. die Frequenz verringert sich.
In dem anderen Fall, bei dem der Beobachter im Medium ruht und sich die Schallquelle mit der Geschwindigkeit υS dem Beobachter nähert (moving source), verkürzt
sich die Wellenlänge der Schallwellen in dieser Richtung, denn die Schallquelle verfolgt die von ihr ausgesandte Welle, so dass sich die Wellenlänge um diejenige Strecke
reduziert, die die Schallquelle in der Zeit T = 1/f zurücklegt. Es ergibt sich also
λS = λ − υS T , oder, wegen fS = υP /λS und f = υP /λ,
fS =
f
.
1 − υS /υP
(151)
A 37
Bei Entfernung der Schallquelle ist υS in Gl.(151) durch −υS zu ersetzen, d.h. der
Beobachter registriert einen tieferen Ton. Diese Erscheinung ist dem Besucher von
Motorrad- oder Autorennen wohlbekannt. Während der Annäherung des Fahrzeugs
hört er einen höheren und beim Entfernen einen tieferen Ton als der Tourenzahl
des Motors entspricht. Mit wachsender Geschwindigkeit υS der Schallquelle wird
die Wellenlänge λS = λ − υS T immer kleiner, bis sie für λ = υS T , d.h. für υS =
υP , verschwindet. Die Wellen drängen sich dabei an der Frontseite der Schallquelle
zusammen und es entsteht die Schallmauer (sound barrier). A 38
a)
b)
c)
x
d)
2α
Abbildung
43.
Ausbreitung der Schallwellen eines Flugzeugs,
das sich mit der Geschwindigkeit
υS
in
die
x-Richtung
bewegt: a) υS = 0, b)
υS < υP , c) υS = υP , d)
υS > υP , wobei υP die
Schallgeschwindigkeit
bezeichnet
In Abb.43 ist die Ausbreitung der Schallwellen für ein Flugzeug (Pfeifton des Motors) (a) im Stand, (b) bei Unterschallgeschwindigkeit, (c) bei Erreichen der Schallgeschwindigkeit und (d) im Überschallbereich dargestellt. Im Überschallflug bilden
die zusammengedrängten Schallwellen einen Mach-Kegel (Mach cone, Ernst Mach
1838-1916), für dessen Öffnungswinkel α man leicht an Hand von Abb.43d die Beziehung
υP
sin α =
(152)
υS
5.4 Schallwellen (Akustik)
93
ableitet. Den Quotienten υS /υP , d.h. den Kehrwert von sin α, bezeichnet man als
Mach-Zahl (Mach number). Das Auftreffen des Mach-Kegels, den z.B. ein mit
Überschallgeschwindigkeit fliegendes Objekt erzeugt, wird am Erdboden akustisch
als Knall registriert.
5.4 Schallwellen (Akustik)
Schallwellen (sound waves) sind longitudinale oder transversale mechanische Wellen, die sich in elastischen Medien ausbreiten. Für den Menschen liegt der Hörbereich (audible frequency range) zwischen 16 Hz und 20 kHz, wobei die obere Grenzfrequenz mit wachsendem Alter immer niedriger wird und in die Größenordnung
von 10 kHz kommt. Wellen mit Frequenzen im Gebiet zwischen 20 kHz und 10 GHz
bezeichnet man als Ultraschallwellen (supersonic waves), solche oberhalb von 10
GHz als Hyperschallwellen (hypersonic waves). Die letzteren treten als thermische Gitterschwingungen in Festkörpern auf. Eine harmonische Welle im Hörbereich
nennt man einen Ton (tone). Ein Klang (sound) besteht aus einem Grundton und
mehreren Obertönen. Sind einige Obertöne besonders intensiv, so spricht man von
einem Akkord (accord). Töne, Klänge und Akkorde sind streng periodisch. Nichtperiodische akustische Erregungen nennt man Geräusch (noise). Für die Schallgeschwindigkeit in Luft gilt nach Gl.(144), S.89, υP = (κa ρ)−1/2 , wobei ρ die Dichte
der Luft und κa = (pγ)−1 die adiabatische Kompressibilität (s.S.53) der Luft bezeichnet. Ersetzt man in dieser Beziehung die Dichte der Luft nach Gl.(91), S.58, so
folgt
p
υP = RT γ/M .
(153)
Bei T = 273 K ergibt sich also für die Schallgeschwindigkeit (sound velocity) in
Luft (M ≈ 29, 0 · 10−3 kg/mol, s.S.55, sowie γ = 1, 4) 331,0 m/s, was relativ gut mit
dem experimentellen Wert von 331,45 m/s für trockene Luft [LID90] übereinstimmt.
Wesentlich ist auch, dass die Schallgeschwindigkeit nach Gl.(153) nicht vom Druck
abhängt, dass sie mit der Wurzel aus der Temperatur zu- und mit der Wurzel aus
der molaren Masse abnimmt.
5.4.1 Größen des Schallfeldes
Nach Abschn.5.2, gilt für die Zeit- und Ortsabhängigkeit des Drucks bei einer harmonischen Welle, die sich in die positive x−Richtung bewegt, p(t, x) = p̂ cos[ω(t−x/υP )]
mit ω = 2π/T und ω/υP = 2π/λ. Da sich der Gesamtdruck aus der Summe von
p(t, x) und dem statischen Druck ps zusammensetzt, bezeichnet man p(t, x) genauer als den Schallwechseldruck (sound pressure). Wie wir noch sehen werden, ist
bei den üblichen Schallintensitäten die Amplitude p̂ des Schallwechseldrucks um
9 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik
Werner Heisenberg: Der erste Trunk aus dem Becher der Naturwissenschaft macht atheistisch, aber auf dem Grund des Bechers wartet Gott.
9.1 Der Carnot-Zyklus
Wir beginnen mit der Definition von rechts- bzw. linksläufigen Zyklen (Zyklus =
Kreisprozess, cycle): Bei einem rechtsläufigen Zyklus (clockwise cycle) werden
die verschiedenen Zustände im p-V -Diagramm im Uhrzeigersinn durchlaufen.
p
1
2
Abbildung 51. Beispiel für einen
rechtsläufigen Zyklus
V
A 43
A 44
Dies ist schematisch in der Abb.51 dargestellt, wo man vom Ausgangszustand 1
zunächst über höhere Drücke nach 2 und dann bei niedrigeren Drücken wiederRzurück
2
nach 1 gelangt. Die senkrecht schraffierte Fläche Ak wird durch das Integral 1 pdV
auf dem oberen Weg und die horizontal schraffierte Fläche A= durch das entsprechende Integral auf dem unteren Weg gegeben, so dass
H sich wegen
H δW = −pdV (s.S.112)
für die am System insgesamt verrichtete Arbeit δ W = − pdV = −Ak + A= < 0
ergibt: Bei einem rechtsläufigen Zyklus verrichtet das System Arbeit, d.h. es wandelt
Wärmeenergie in mechanische Energie um (Wärmekraftmaschine, heat engine).
Wenn dagegen der Zyklus entgegen dem Uhrzeigersinn
durchlaufen wird (linksläufiH
ger Zyklus, anticlockwise cycle), folgt analog δ W > 0, was bedeutet, dass man
am System Arbeit verrichten muss. Diese wird verwendet, um Wärmeenergie zu
transportieren. Dient der Transport zur Abkühlung eines Raumes, wobei die Wärmeenergie einem großen Reservoir, z.B. der Umgebung, zugeführt wird, so spricht man
118
9 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik
von einer Kältemaschine (refrigeration machine). Wenn man aber einem Raum auf
diese Weise, d.h. durch periodische Wiederholung eines linksläufigen Zyklus, Wärmeenergie zuführt, die einem großen Reservoir, z.B. dem Grundwasser, entzogen wird,
so nennt man die Anlage eine Wärmepumpe (heat pump). A 45 A 46
Beim Carnot-Zyklus (Carnot cycle, Sadi Carnot 1796-1832) wird vorausgesetzt,
dass alle Zustandsänderungen reversibel erfolgen.
Wärmereservoir T1
∆ Q 12 > 0
Wärmeschalter
Arbeitsgas
∆ W< 0
∆Q
34
<0
Wärmereservoir
Wärmeschalter
Abbildung 52. Schematische Darstellung
einer Apparatur zur Realisierung des CarnotZyklus. Da das Arbeitsgas nach Vollendung
eines Zyklus wieder die gleiche innere Energie
wie am Anfang besitzt, gilt ∆Q12 + ∆Q34 +
∆W = 0. Ein Beispiel für den Verlauf von
Druck und Volumen für 1 Mol Luft als Arbeitsgas mit T1 = 1000 K und T2 = 500 K
zeigt die Abb.53
T2 < T
1
Einen Prozess bezeichnet man als reversibel (reversible), wenn das System dabei nur thermodynamische Gleichgewichtszustände (charakterisiert durch Zustandsgrößen wie z.B. p, T ) durchläuft. Dies bedeutet insbesondere, (1.) dass die Reibung
vernachlässigbar sein muss, denn nur unter dieser Bedingung wird verhindert, dass
mechanische Energie irreversibel (irreversibly), d.h. unumkehrbar, in Wärmeenergie übergeht (Dissipation, dissipation), (2.) dass sich bei einem thermischen Kontakt des Systems mit der Umgebung die Temperaturen von System und Umgebung
nur infinitesimal unterscheiden, denn nur dann kann das System durch eine einheitliche Temperatur beschrieben werden, und (3.) dass es im System nur infinitesimale
Druckdifferenzen geben darf, denn dann kann man es mit einem einheitlichen Druck
beschreiben.
Der Carnot-Zyklus besteht aus zwei isothermen (1 → 2 und 3 → 4) und zwei adiabatischen (2 → 3 und 4 → 1) Zustandsänderungen, also aus insgesamt vier Takten
(s.Abb.53). Im 1. Takt (1 → 2) dehnt sich das Gas, das aus n Molen eines idealen
Gases bestehe (die Erweiterung auf nichtideale Gase findet man im Abschn.9.2 auf
S.123), isotherm vom Volumen V1 auf V2 im Kontakt mit einem heißen Reservoir
der Temperatur T1 aus (in Abb.52 ist der obere Wärmeschalter geschlossen). Für
9.1 Der Carnot-Zyklus
119
die dabei zugeführte Wärmeenergie ∆Q12 und die am Gas verrichtete Arbeit ∆W12
folgt nach einer kleinen Zwischenrechnung
∆Q12 = −∆W12 = nRT1 ln(V2 /V1 ).
(186)
RV2
Für die am Gas verrichtete Arbeit ∆W12 gilt (s.S.112) ∆W12 = − V 1 pdV . Unter Verwendung der Zustandsgleichung für ideale Gase (s. Gl.(161), S.98) p = nRT1 /V liefert die
Integration ∆W12 = −nRT1 ln(V2 /V1 ). Die zugeführte Wärmeenergie ∆Q12 ergibt sich
aus dem 1. Hauptsatz (s. Gl.(179), S.111) mit ∆U12 = 0 (isotherme Zustandsänderung)
zu ∆Q12 = −∆W12 .
A 47
A 48
Abbildung 53. Beispiel eines Carnot-Zyklus (Isothermen 1 → 2 und 3 → 4,
Adiabaten 2 → 3 und 4 →
1) im p-V -Diagramm für 1
Mol Luft (Adiabatenkoeffizient γ = 1,4) als Arbeitsgas
mit T1 = 1000 K und T2 =
500 K
Im 2. Takt (2 → 3) (beide Wärmeschalter in Abb.52 sind geöffnet) dehnt sich das Gas
adiabatisch vom Volumen V2 auf V3 aus, wobei die Temperatur von T1 auf T2 absinkt.
Wegen der adiabatischen Zustandsänderung, d.h. ∆Q23 = 0, folgt für die dabei am
Gas verrichtete Arbeit ∆W23 aus Gl.(179), S.111, mit ∆U23 = nCVm (T2 − T1 )
∆W23 = nCVm (T2 − T1 ).
(187)
Im 3. Takt wird das Gas isotherm vom Volumen V3 auf ein bestimmtes Volumen V4
(s.u.) im Kontakt mit einem kalten Reservoir der Temperatur T2 komprimiert (in
Abb.52 ist der untere Wärmeschalter geschlossen). Es ergibt sich analog zu Gl.(186)
V4
∆Q34 = −∆W34 = nRT2 ln
.
(188)
V3
120
9 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik
Der 4. Takt schließlich (beide Wärmeschalter in Abb.52 sind geöffnet) besteht aus
einer adiabatischen Kompression von V4 auf V1 . Dabei erwärmt sich das Gas. Die
bisher noch nicht festgelegte Größe von V4 muss nun so gewählt werden, dass die
Erwärmung wieder auf die ursprüngliche Temperatur T1 führt, damit der Zyklus
geschlossen ist. Für die beim 4. Takt am Gas verrichtete Arbeit ∆W41 gilt analog
zu Gl.(187)
∆W41 = nCVm (T1 − T2 ).
(189)
Für die insgesamt am Gas verrichtete Arbeit ∆W = ∆W12 + ∆W23 + ∆W34 + ∆W41
folgt durch Einsetzen der Gln.(186)-(189) und unter Verwendung der dritten PoissonGleichung (s.Gl.(183), S.113)
V2
∆W = −nR(T1 − T2 ) ln
.
(190)
V1
Aus ∆W = ∆W12 + ∆W23 + ∆W34 + ∆W41 erhält man durch Einsetzen der Gln.(186)(189) ∆W = −nRT1 ln(V2 /V1 ) − nRT2 ln(V4 /V3 ). Die dritte Poisson-Gleichung (s. die
Gln.(183), S.113) liefert für den 2. Takt T1 V2γ−1 = T2 V3γ−1 und für den 3. Takt T2 V4γ−1 =
T1 V1γ−1 . Die Division dieser beiden Gleichungen durcheinander gibt V2 /V1 = V3 /V4 und
damit folgt für ∆W die Gl.(190).
A 49
A 50
Die von uns gewählte Umlaufsrichtung (rechtsläufiger Zyklus) bedeutet, dass wir
den Carnot-Zyklus als Wärmekraftmaschine behandelt haben. Der Wirkungsgrad
(efficiency) ηWK einer Wärmekraftmaschine ist definiert als Quotient aus der von der
Maschine verrichteten Arbeit (−∆W ) und der ihr vom heißen Reservoir zugeführten
Wärmeenergie (+∆Q12 )
ηWK =
−∆W
∆Q12 + ∆Q34
=
.
∆Q12
∆Q12
Für eine Carnot-Maschine folgt durch Einsetzen der Gln.(190) und (186)
−∆W
T1 − T2
Carnot
ηWK
=
=
.
∆Q12 Carnot
T1
(191)
(192)
Von der zugeführten Wärmeenergie ∆Q12 wird also nur der Bruchteil ηWK in mechanische Energie umgewandelt, der Rest wird bei der Temperatur T2 an das kalte
Reservoir (Kühler) abgegeben. Dies erfolgt beim 3. Takt. Für diese Wärmeenergie
(−∆Q34 ) ergibt sich aus Gl.(188) unter Verwendung der Beziehung V2 /V1 = V3 /V4
(s. den kleingedruckten Text nach Gl.(190))
V2
− ∆Q34 = nRT 2 ln
.
(193)
V1
9.1 Der Carnot-Zyklus
121
Setzt man für T1 und T2 die Temperaturen ein, die beim Ottomotor auftreten (Kühlertemperatur T2 ≈ 350 K, Temperatur nach Zünden des Benzin-LuftGemisches T1 ≈ 2700 K), so würde sich nach Gl.(192) ein Wirkungsgrad von 0,87
ergeben, der noch deutlich über dem Idealwert von 0,56 für den Ottomotor bei einer
Verdichtung von 8 liegt (s.S.115).
Für die Verwendung des Carnot-Prozesses als Wärmepumpe (heat pump) muss
der Zyklus entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufen und die an das wärmere Reservoir abgegebene Wärmeenergie (−∆Q12 ) möglichst groß gemacht werden. Der
Wirkungsgrad ηWP einer Wärmepumpe ist durch das Verhältnis von −∆Q12 und
der zugeführten Arbeit ∆W gegeben
−∆Q12
∆W
und es folgt aus Gl.(192) für den Carnot-Prozess
ηWP =
Carnot
ηWP
=
T1
.
T1 − T2
(194)
(195)
Dieser Wirkungsgrad ist wegen T1 > T2 stets größer als 1.
Als Anwendungsbeispiel wollen wir die Wirkungsgrade für (ideale) Wohnungsheizungen
betrachten: Für Öl-, Gas- oder Kohleheizungen liegt der Wirkungsgrad bei ca. 70%, d.h.
1 J chemische Energie gibt 0,7 J Wärmeenergie. Bei einer elektrischen Wohnungsheizung
ist der Wirkungsgrad der Kraftwerke entscheidend. Er liegt bei der Verwendung von
fossilen Brennstoffen in der Nähe von 40%, d.h. 1 J chemische Energie liefert nur 0,4
J Wärmeenergie. Bei einer elektrisch betriebenen Wärmepumpe mit einer gewünschten
Zimmertemperatur von 23°C und unter Verwendung des Grundwassers mit z.B. 8°C als
das kalte Reservoir folgt für den größtmöglichen Wirkungsgrad 0, 4 · 296/(296 − 281) =
7, 89, also 789%. Dies bedeutet, dass durch 1 J chemische Energie 7,89 J Wärmeenergie
erzeugt werden.
Bei der Verwendung des Carnot-Prozesses zur Kälteerzeugung (Kältemaschine,
refrigeration machine) muss der Zyklus ebenfalls entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufen werden, jedoch soll hier die dem kalten Reservoir entzogene Wärmeenergie
(∆Q34 ) möglichst groß sein. Der Wirkungsgrad ηKM wird demzufolge durch das
Verhältnis von ∆Q34 und der am System verrichteten Arbeit ∆W gegeben:
∆Q34
.
∆W
Aus den Gln. (193) und (190) folgt für den Carnot-Prozess
ηKM =
Carnot
ηKM
=
T2
.
T1 − T2
(196)
(197)
122
9 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik
Für eine ideale Kältemaschine zur Abkühlung von Zimmertemperatur (T1 = 300 K)
auf die Temperatur des flüssigen Heliums (T2 = 4 K) ergibt sich nach Gl.(197) ein
Wirkungsgrad von nur 0,014. Dies bestätigt die allgemeine Erfahrung, dass die Erzeugung
tiefer Temperaturen kostenaufwendig ist.
Aus Gl.(192) folgt mit −∆W = ∆Q12 +∆Q34 (1. Hauptsatz) zunächst die Beziehung
(∆Q12 +∆Q34 )/∆Q12 = (T1 −T2 )/T1 , woraus sich 1+∆Q34 /∆Q12 = 1−T2 /T1 oder
∆Q12 /T1 + ∆Q34 /T2 = 0 ergibt. Bezeichnen wir allgemein die bei einer Temperatur
Ti zugeführte Wärmeenergie mit ∆Qi , so lässt sich die letztere Gleichung in der
Form
∆Q2
∆Q1
+
=0
T1
T2
(198)
schreiben. Da man den Quotienten ∆Qi /Ti als (zugeführte) reduzierte Wärmeenergie (reduced heat) bezeichnet, besagt Gl.(198), dass beim Carnot-Zyklus die
Summe der zugeführten reduzierten Wärmeenergien verschwindet. Wenn aber bei
den Zustandsänderungen irreversible Anteile, wie z.B. Reibungsverluste enthalten
sind (es ist dann natürlich kein Carnot-Zyklus mehr), dann wird der Wirkungsgrad
Carnot
= (T1 − T2 )/T1 und die Summe der zugeführten reduzierten
ηWK kleiner als ηWK
Wärmeenergien kleiner als null.
p
Abbildung 54. Zerlegung eines beliebigen Zyklus im p-V −Diagramm in (differentiell kleine) Teilzyklen bestehend aus je 2 Isothermen und 2 Adiabaten (s.Abb.49, S.114)
V
Ein beliebiger Zyklus lässt sich im p-V -Diagramm in differentiell kleine Teilzyklen
zerlegen, die aus jeweils zwei Isothermen und zwei Adiabaten entsprechend den 4
Takten beim Carnot-Zyklus bestehen (s.Abb.54). Da sich aber auf den gemeinsamen
Isothermen und Adiabaten benachbarter Teilzyklen die Beträge ∆Q/T kompensieren, weilP
sie entgegengesetzt durchlaufen werden, bleibt nur die Randkurve übrig und
es folgt i ∆Qi /Ti ≤ 0, oder nach dem Übergang zu differentiell kleinen Größen,
9.2 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik
I
δQ
≤ 0,
T
123
(199)
wobei das ”kleiner als” für irreversible und das Gleichheitszeichen für reversible
Zyklen steht. Diese Beziehung gilt entsprechend der obigen Ableitung zunächst nur
für ideale Gase. Nach dem 2. Hauptsatz der Wärmelehre gilt sie aber allgemein.
9.2 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik
Der 2. Hauptsatz der Thermodynamik (second law of thermodynamics) ist,
ebenso wie der 1. Hauptsatz (der Energiesatz), ein Erfahrungssatz. Er ist nur scheinbar komplizierter als der 1. Hauptsatz, da er oft ganz verschieden formuliert wird.
Wir werden im Folgenden vier äquivalente Formulierungen kennenlernen.
Die einfachste und aus der täglichen Erfahrung unmittelbar ableitbare Formulierung
stammt von Rudolf Emanuel Clausius (1822-1888) und lautet:
Wärmeenergie geht ohne äußere Beeinflussung stets von dem wärmeren zum kälteren Körper über.
Als Ergebnis eines solchen Übergangs von Wärmeenergie erwärmt sich der kältere
Körper auf Kosten des wärmeren Körpers, der sich dabei abkühlt, bis eine einheitliche Temperatur, die Mischungstemperatur (mixing temperature), erreicht ist.
Zu einer zweiten Formulierung gelangen wir durch die Kopplung einer beliebigen
Wärmekraftmaschine (WK) mit einer idealen Wärmepumpe (WP, Carnot-Maschine)
entsprechend Abb.55: Die Wärmekraftmaschine nimmt vom heißen Reservoir (T1 )
heißes Reservoir (T1 )
∆Q1
WK
∆Q’1
∆W
WP
(Carnot−Maschine)
∆Q
2
∆Q’2
Abbildung 55. Kopplung von einer beliebigen Wärmekraftmaschine
(WK) mit einer Carnot-Maschine,
die hier als Wärmepumpe (WP)
betrieben wird, zum Beweis, dass
der Wirkungsgrad einer beliebigen Wärmekraftmaschine höchstens
gleich dem einer Carnot-Wärmekraftmaschine sein kann
kaltes Reservoir (T2 )
die Wärmeenergie Q1 > 0 auf, gibt an das kalte Reservoir (T2 ) die Wärmeenergie
13 Dämpfe und reale Gase
Georg Christoph Lichtenberg: Acht Bände hat er geschrieben.
Er hätte gewiss besser getan, er hätte acht Bäume gepflanzt
oder acht Kinder gezeugt.
13.1 Die Van-der-Waals-Gleichung, Virialentwicklung
Als Dampf (vapor), genauer gesagt als gesättigten Dampf (saturated vapor), bezeichnet man das Gas, das sich in einem abgeschlossenen Volumen über einer Flüssigkeit bildet. Ein derartiges Gas heißt auch reales Gas (real gas). Dessen Druck im
Gleichgewicht mit der Füssigkeit bei der gegebenen Temperatur heißt Sättigungsdampfdruck. Für Wasserdampf gibt es im Englischen wegen der großen technischen Bedeutung ein eigenes Wort (steam). Ungesättigter Dampf (unsaturated
vapor) liegt vor, wenn der Dampfdruck niedriger ist als der Sättigungsdampfdruck.
Überhitzter Dampf (superheated vapor) besitzt eine höhere Temperatur als der
gesättigte Dampf. Mit Vergrößerung des Volumens bei konstanter Masse (Stoffmenge) erfolgt schließlich der Übergang zum idealen Gas (ideal gas). Den Druck des
gesättigten Dampfes bezeichnen wir mit psv , wobei sv an saturated vapor erinnern
soll. psv ist stoffspezifisch und hängt von der Temperatur ab, aber nicht vom Volumen. Den dampfförmigen, den flüssigen und den festen Zustand eines Stoffes nennt
man seine drei Aggregatzustände (aggregation states). Demgegenüber bezeichnet
man als Phasen (phases) homogene Gebiete eines Stoffes, die durch unterschiedliche
Anordnung der Teilchen charakterisiert sind. Zu den Phasen zählen also neben den
drei Aggregatzuständen evtl. noch verschiedene Modifikationen (polymorphs) des
Stoffes im festen Zustand. Beispielsweise sind Graphit und Diamant zwei Modifikationen des festen Kohlenstoffes.
In Abb.62 ist das p-V -Diagramm einer bestimmten Stoffmenge (z.B. 1 kg) für den
Bereich schematisch dargestellt, in dem nur der gasförmige oder der flüssige oder
beide Aggregatzustände auftreten können.
Im schräg schraffierten Gebiet liegt der Stoff in diesen beiden Zuständen vor, man
spricht von der Koexistenz (coexistence)des flüssigen und des gasförmigen Aggregatzustandes. Demzufolge muss der Druck gleich dem Sättigungsdampfdruck psv
und damit unabhängig vom Volumen sein (horizontale Geradenstücke in Abb.62). Im
punktierten Gebiet ist das Volumen, das der vorgegebenen Stoffmenge zur Verfügung
steht, so klein, dass der Stoff nur im flüssigen Aggregatzustand existieren kann. Dies
bedingt einen sehr starken Anstieg des Drucks mit abnehmendem Volumen. Für
große Volumina dagegen (V → ∞) erfolgt der Übergang zum idealen Gas, so dass
der Druck entsprechend Gl.(161), S.98, umgekehrt proportional zum Volumen abnehmen muss. Oberhalb einer gewissen Temperatur, die man als kritische Temperatur (critical temperature) Tc des Stoffes bezeichnet, gibt es keinen Unterschied
mehr zwischen dem flüssigen und dem gasförmigen Aggregatzustand. Der Druck, bei
146
13 Dämpfe und reale Gase
p
Abbildung 62.
Schematische Darstellung des p-V Diagramms eines Stoffes im
Bereich flüssig/gasförmig. Der
kritische Punkt ist durch den
Wendepunkt der Isothermen
T4 = Tc mit dem kritischen
Druck p = pc und dem kritischen Volumen V = Vc geT6
geben. Wurde das Diagramm
T5
für 1 kg des Stoffes aufgenomT 4 = T c men, so ist die kritischen Dichte ρc = 1 kg/Vc
pc
T1 T 2
Vc
T3
V
dem das Gebiet der Koexistenz verschwindet, nennt man den kritischen Druck
(critical pressure) pc . An dieser Stelle besitzt die Isotherme der kritischen Temperatur einen Wendepunkt. Wenn das p-V -Diagramm für eine Masse m des Stoffes
dargestellt wird, ist das zugehörige kritische Volumen (critical volume) Vc mit der
kritischen Dichte (critical density) über die Beziehung ρc = m/Vc verknüpft. Am
kritischen Punkt wird die Dichte der Flüssigkeit ρliq gleich der Dichte des gesättigten
Dampfes ρsv . Die aus Abb.62 entnehmbare Abhängigkeit des Dampfdrucks psv von
der Temperatur T ist schematisch in Abb.63 dargestellt.
p
sv
p
c
Abbildung 63. Dampfdruckkurve entsprechend
den horizontalen Geradenstücken im p-V Diagramm von Abb.62
T 1 T2 T 3 T4=Tc
T
13.1 Die Van-der-Waals-Gleichung, Virialentwicklung
147
Die Dampfdruckkurve endet bei der kritischen Temperatur Tc , da oberhalb davon
kein Unterschied mehr zwischen Flüssigkeit und Dampf besteht. Bei T = Tc wird
ρliq = ρsv . Die Tab.29 enthält einige Zahlenwerte für den Dampfdruck von Wasser.
Tabelle 29. Der Sättigungsdampfdruck psv des Wassers in kPa für Temperaturen ϑ in °C
zwischen 0 °C und der kritischen Temperatur 373,99 °C [LID90]. Man beachte die Umrechnung T /K = ϑ/°C+273,15
ϑ/ °C
psv / kPa
ϑ/ °C
psv / kPa
0
0,01
5
10
15
20
0,61129
0,61173
0,87260
1,2281
1,7056
2,3388
25
50
100
200
300
373,99
3,1690
12,344
101,32
1553,6
8583,8
22064
Eine Flüssigkeit siedet, wenn ihr Dampfdruck gleich dem äußeren Luftdruck ist. Bei
dieser Temperatur, die man als Siedetemperatur (boiling point) Tb bezeichnet,
muss also die Dampfbildung nicht nur an der Oberfläche, sondern auch im Inneren
erfolgen. Es bilden sich die bekannten Blasen, die allerdings bei einer gleichmäßigen Temperaturverteilung nur im oberen Teil der Flüssigkeit auftreten, da in den
tieferen Schichten zum äußeren Luftdruck noch der Schweredruck der Flüssigkeit
hinzukommt. Unter verringertem Luftdruck siedet die Flüssigkeit schon bei niedrigeren Temperaturen. Dies erklärt, warum man in den Bergen Speisen länger als im
Tal kochen muss, bis sie gar sind und weshalb durch Kochen in Drucktöpfen Energie
gespart werden kann. Das Sieden unter verringertem Druck wird in der Technik bei
der sog. Vakuumdestillation verwendet.
In der Tab.30 sind für Wasser, schweres Wasser, Ammoniak, Kohlendioxid und Helium die kritischen Drücke und Temperaturen sowie die Siedetemperaturen für einen
äußeren Druck von 101,325 kPa zusammengestellt.
Das in Abb.62 dargestellte Verhalten kann näherungsweise durch die empirische vander-Waals-Gleichung (van der Waals equation, Johannes Diderik van der Waals
1837-1923)
(p + a (n/V )2 )(V − nb) = nRT
(237)
beschrieben werden. Hierin bezeichnet p den Druck (in Pa), V das Volumen (in m3 ),
T die Temperatur (in K), n die Stoffmenge (in mol) des Gases und R die allgemeine
Gaskonstante (R = 8, 314472(15) Jmol−1 K−1 [COD98]), a und b sind die van-derWaals-Konstanten (van der Waals coefficients), für die man einige Zahlenwerte in
der Tab.31 findet.
148
13 Dämpfe und reale Gase
Tabelle 30. Kritischer Druck pc in MPa, kritische Temperatur in °C (ϑc ) und Siedetemperatur bei einem äußeren Druck von 101,325 kPa in °C (ϑb ) [LID90]. Bei CO2 bezeichnet
ϑb die Sublimationstemperatur in °C (s. S.162). Man beachte die Umrechnung T / K =
ϑ/ °C + 273,15
Stoff
kritischer Druck
pc in MPa
Wasser (H2 O, water) 22,064
schweres Wasser
21,671
(D2 O, heavy water)
Ammoniak
11,4
(NH3 , ammonia)
7,37
Kohlendioxid
(CO2 , carbon dioxide)
Helium (4 He, helium) 0,227
kritische Temperatur
ϑc in °C
Siedetemperatur
ϑb in °C
+373,99
+370,74
+100
+101,42
+132,5
+31
−267, 96
−33, 35
−78, 5 (Sublimation)
−268, 93
Zur Interpretation der van-der-Waals-Gleichung vergleichen wir sie mit der Zustandsgleichung des idealen Gases (Gl.(161), S.98). Es folgt
pideal = p + a(n/V )2
(238)
Videal = V − n b.
(239)
und
Der tatsächliche Druck p ist also um den Term a(n/V )2 , der Binnendruck (internal
pressure) genannt wird, kleiner als der des idealen Gases pideal . Die Ursache dafür
sind die Anziehungskräfte zwischen den Teilchen, die beim idealen Gas vernachlässigt
werden. Andererseits folgt aus Gl.(239), dass das tatsächliche Volumen V um den
als Kovolumen (internal volume) bezeichneten Term nb größer ist als das Volumen
des idealen Gases Videal . Dies wird verständlich, da beim idealen Gas angenommen
wurde, dass die Teilchen kein Eigenvolumen besitzen, sondern punktförmig sind.
Der näherungsweise Charakter der van-der-Waals-Gleichung (Gl.(237)) äußert sich
darin, dass sie das Verhalten im Gebiet der Koexistenz der beiden Aggregatzustände
(schräg schraffiertes Gebiet in Abb.62, S.146) nicht richtig widergibt. In Abb.64 sind
Tabelle 31. Van-der-Waals-Konstanten für Kohlendioxid, Wasser und Wasserstoff [LID90]
Stoff
a/ Pa m6 mol−2
b / m3 mol−1
Kohlendioxid (CO2 , carbon dioxide)
Wasser (H2 O, water)
Wasserstoff (H2 , hydrogen)
0,364
0,554
0,0248
4, 267 · 10−5
3, 049 · 10−5
2, 661 · 10−5
13.1 Die Van-der-Waals-Gleichung, Virialentwicklung
149
die nach Gl.(237) für 1 Mol Wasser unter Verwendung der van-der-Waals-Konstanten
nach Tab.31 berechneten Isothermen dargestellt. A 59
Abbildung 64.
Isothermen für 1 Mol
Wasser berechnet nach
der
van-der-WaalsGleichung (s.Gl.(237))
und unter Verwendung
der Zahlenwerte von
Tab.31. T1 = 500 K,
T2 = 550 K, T3 = 600 K,
Tc ≈ 647 K, T4 = 700 K
Man erkennt, dass die Ergebnisse im Gebiet der Koexistenz nicht richtig sein können.
Einerseits sind negative Werte für den Druck physikalisch unsinnig und andererseits
findet man experimentell auch nicht den S-förmigen Kurvenverlauf. Dieser Kurve
kann man aber den Sättigungsdampfdruck psv , also die Ordinate des horizontalen
Stückes des tatsächlichen Kurvenverlaufs (s.Abb.62, S.146) entnehmen, indem man
eine horizontale Gerade für die betreffende Isotherme so zieht, dass der Inhalt der
von der Horizontalen und dem oberen Schleifenstück begrenzten Fläche gleich dem
Inhalt der Fläche zwischen der Horizontalen und dem unteren Schleifenstück ist
(Maxwell-Konstruktion, Maxwell construction).
Geringe Teile der von der van-der-Waals-Gleichung gelieferten S-förmigen Schleife
können bei entsprechender Sorgfalt (Beobachtung von labilen Zuständen) experimentell realisiert werden: Wenn bei Verringerung des Volumens infolge einer Abwesenheit von Kondensationskeimen keine Flüssigkeitsausscheidung (Tröpfchenbildung) stattfindet, kann das Gas einen höheren Druck als den Sättigungsdampfdruck
annehmen (übersättigter Dampf, supersaturated vapor). Andererseits kann sich
eine Flüssigkeit unter einem geringeren Druck als dem Sättigungsdampfdruck befinden, ohne zu sieden (Siedeverzug, delay in boiling). Allerdings sind diese Zustände
labil.
Bei Gültigkeit der van-der-Waals-Gleichung lassen sich das kritische Volumen Vc und
die kritische Temperatur Tc in einfacher Weise aus der Stoffmenge n, der Gaskonstanten R und den van-der-Waals-Konstanten a und b berechnen.
150
13 Dämpfe und reale Gase
Die Differentiation der van-der-Waals-Gleichung (Gl.(237), S.147) p = nRT (V − nb)−1 −
a(n/V )2 nach dem Volumen liefert dp/dV = −nRT (V − nb)−2 + 2an2 V −3 . Nullsetzen
dieser Ableitung gibt die 1. Bedingung (V −nb)2 (RT )−1 = V 3 (2an)−1 . Damit es sich um
einen Wendepunkt handelt, muss auch die 2. Ableitung d2 p/dV 2 = 2nRT (V − nb)−3 −
6an2 V −4 verschwinden. Die daraus folgende 2. Bedingung (V −nb)3 (RT )−1 = V 4 (3an)−1
dividieren wir durch die erste, womit sich V = Vc = 3nb ergibt. Dieses Ergebnis setzen
wir in die 1. Bedingung ein und erhalten schließlich T = Tc = 8a/(27bR).
Neben der van-der-Waals-Gleichung gibt es noch zahlreiche andere Möglichkeiten,
das Verhalten realer Gase analytisch zu beschreiben. Eine allgemeine besteht darin,
den Druck durch eine Reihenentwicklung nach dem Quotienten n/V darzustellen:
p=
nRT
1 + A(T ) (n/V ) + B(T ) (n/V )2 + ... .
V
(240)
Man bezeichnet dies als Virialentwicklung (virial expansion) und die Koeffizienten A(T ) ,B(T ) usw. als Virialkoeffizienten (virial coefficients). Sie hängen nur von
der Temperatur ab und sind charakteristische Größen des betreffenden Gases. Die
Temperatur, für die der erste Virialkoeffizient verschwindet, nennt man die BoyleTemperatur (Boyle temperature, Robert Boyle 1627-1691) TB . Bei dieser Temperatur kann das reale Gas noch am ehesten durch die Zustandsgleichung des idealen
Gases (Gl.(161), S.98) beschrieben werden. Für Wasser ergibt sich, wenn man die
Gültigkeit der van-der-Waals-Gleichung voraussetzt, TB = 2185 K. A 60 Ü 68
Schreibt man die van-der-Waals-Gleichung (Gl.(237), S.147) in der Form p = nRT V −1
(1 − nb/V )−1 − a(n/V )2 , so liefert die Entwicklung des ersten Summanden p =
nRT V −1 [1 + nb/V + (nb/V )2 + ...] − nRT V −1 [an/(RT V )] oder p = nRT V −1 [1 + (b −
a/RT )(n/V ) + b2 (n/V )2 + ...], woraus man durch Vergleich mit der Virialentwicklung
(Gl.(240)) A(T ) = b − a/RT und B(T ) = b2 erhält. Die erste Gleichung liefert für die
Boyle-Temperatur TB = a/Rb.
13.2 Der Joule-Thomson-Effekt
Die Anziehungskräfte zwischen den Teilchen eines realen Gases (Term a in der vander-Waals-Gleichung, Gl.(237), S.147) und ihre Eigenvolumina (Term b) sind die
Ursache für den Joule-Thomson-Effekt (Joule-Thomson effect, James Prescott
Joule 1818-1889, William Thomson = Lord Kelvin 1824-1907), der bei der Kühlung
und Gasverflüssigung eine wichtige Anwendung gefunden hat. Das reale Gas wird
von dem Kolben 1 mit dem konstanten Anfangsdruck p1 und bei einer Anfangstemperatur T1 durch eine gedrosselte Leitung (z.B. eine Düse oder ein Rohrstück
mit einem Wattepfropfen) hindurchgepresst. Auf der anderen Seite wird der Druck
p2 < p1 durch Verschiebung des Kolbens 2 aufrecht erhalten (s.Abb.65). Unter der
180
16 Elektrische Gleichfelder (Elektrostatik)
~ und die Ladung −Q eine gleich
Die Ladung +Q erfährt eine Kraft EQ in Richtung von E
große, aber entgegengesetzt gerichtete Kraft. Für den Betrag des dadurch erzeugten
~ · |~
p| sin ϑ, wobei
Drehmoments (s.S.40) folgt also EQ(`/2) sin ϑ + EQ(`/2) sin ϑ oder |E|
ϑ den Winkel zwischen der Richtung des Dipolmoments und der elektrischen Feldstärke
bezeichnet. Da das Drehmoment in die Abbildungsebene hineingerichtet ist (Rechtsschraube), kann man auf Grund der Definition des Vektorproduktes (s.S.11) schreiben
~ Um den elektrischen Dipol aus der senkrechten Richtung zu E
~ in die um den
T~ = p
~ × E.
Winkel ϑ geneigte Richtung zu drehen, muss die Ladung +Q um die Strecke (`/2) cos ϑ
~ bewegt werden. Dies führt zu einer Abnahme der
in Richtung der wirkenden Kraft QE
potentiellen Energie um den Betrag EQ(`/2) cos ϑ. Ein gleichgroßer Term ergibt sich für
die mit der Drehung verbundene Bewegung der Ladung −Q, so dass man - auf Grund
der Definition des skalaren Produktes (s.S.21) - für die potentielle Energie des Dipols
~ schreiben kann.
bezüglich seiner senkrechten Orientierung Wpot = −~
p·E
Ü 87
16.6 Dielektrika
Wir beginnen mit zwei Experimenten: Ein idealer Plattenkondensator habe im Vakuum die Kapazität Cv . Im ersten Experiment bringen wir auf diesen Kondensator die
Ladung Qv . Dies bedeutet, dass die eine Platte die Ladung +Qv und die andere die
Ladung −Qv erhält. Dann messen wir die Spannung, für die gemäß Gl.(270), S.172,
Uv = Qv /Cv gelten muss. Nach Ausfüllung des Raumes zwischen den beiden Platten mit einem isolierenden Stoff, den man als Dielektrikum (dielectric) bezeichnet,
verringert sich die Spannung auf U < Uv . Im zweiten Experiment legen wir an die
Platten des Kondensators eine konstante Spannung Uv an und messen die von ihm
gespeicherte Ladung. Im Vakuum muss nach Gl.(270), S.172, Qv = Cv Uv gelten.
Nach Ausfüllung mit dem Dielektrikum erhöht sich die Ladung auf Q > Qv , und
zwar um den gleichen Faktor, um den die Spannung im ersten Experiment abnahm.
Diese experimentellen Befunde lassen sich dadurch erklären, dass das Dielektrikum
die Kapazität des Kondensators vergrößert. Man schreibt
C = εr Cv ,
(284)
wobei εr ≥ 1 die relative Dielektrizitätskonstante oder Permittivitätszahl
oder Dielektrizitätszahl (permittivity oder dielectric constant) des Materials ist,
sofern dieses den gesamten Feldraum ausfüllt. Einige Zahlenwerte sind in Tab.36
zusammengestellt. A 68 A 69
Wenn das elektrische Feld, das auf das Dielektrikum einwirkt, zeitlich periodisch ist,
so hängt εr von der Frequenz f ab, d.h. es gilt εr = εr (f ). Für Stoffe, die aus polaren Molekülen bestehen, wie z.B. Wasser, tritt die Frequenzabhängigkeit bereits im
16.6 Dielektrika
181
Tabelle 36. Experimentelle Werte für die relative Dielektrizitätkonstante εr einiger Stoffe [LID90]. ϑ bezeichnet die Temperatur in °C. Man beachte die Umrechnung T /K =
ϑ/°C+273,15
Stoff
Polystyrol (polystyrene)
Silizium (Si, silicon)
Germanium (Ge, germanium)
Wasser (H2 O, water)
Methanol (CH3 OH, methanol)
Benzol (C6 H6 , benzene)
Stickstoff (N2 , nitrogen) 0,1 MPa
Sauerstoff (O2 , oxygen) 0,1 MPa
Luft (dry air, CO2 free) 0,1 MPa
ϑ/ °C
25
20
20
0
20
60
100
20
25
20
25
20
20
20
εr
2, 55 ± 0, 01
11,8
16,0
87,90
80,20
66,73
55,51
33,62
32,63
2,284
2,274
1,000547
1,000495
1,000537
MHz-Bereich auf und führt zu einer monotonen Abnahme von εr . So verringert sich die
relative Dielektrizitätskonstante des Wassers auf ca. 1,8, wenn man zu Frequenzen von
der Größenordnung 1014 Hertz (Frequenzbereich des Lichtes, s.S.289) übergeht. Die Ursache dafür wird auf S.187 behandelt. Abgesehen von dieser monotonen Abnahme findet
man noch bei allen Stoffen oberhalb von ca. 1012 Hz Bereiche, in denen εr eine charakteristische Frequenzabhängigkeit zeigt, wie sie schematisch in der oberen Abbildung von
√
Abb.156, S.316, für die Größe n ∝ εr dargestellt ist. Die Ursachen dafür werden auf
S.187 erläutert. Die Werte in Tab.36 gelten für f → 0.
Für die Verringerung der elektrischen Spannung im ersten Experiment gilt gemäß
Gl.(284) U/Uv = 1/εr . Dies bedeutet, dass auch die elektrische Feldstärke um den
Faktor 1/εr verringert wird. Die Ursache dafür sind Ladungen, die an der Oberfläche des Dielektrikums durch das Anlegen des elektrischen Feldes erzeugt werden
und die man Polarisationsladungen (polarization charges) nennt. Im Gegensatz
dazu bezeichnet man die Ladungen auf den Kondensatorplatten (hier Qv ) als freie
Ladungen (free charges). Die Größe Qp der Polarisationsladungen ergibt sich aus
der Bedingung Qv − Qp = Qv /εr (s.Abb.80) zu
Qp = Qv (1 − 1/εr ).
(285)
Man beachte, dass diese Gleichung nur für einen idealen Plattenkondensator (s.Abb.74,
S.173) gilt, der vollständig mit dem Dielektrikum ausgefüllt ist.
182
z
16 Elektrische Gleichfelder (Elektrostatik)
−Qv
+Q p
−Qp
+Q v
Abbildung 80. Die auf der Oberfläche des Dielektrikums durch Polarisation erzeugten Ladungen Qp sind die Ursache für die Verringerung der elektrischen Feldstärke im Inneren des Dielektrikums
Polarisationsladungen in einem Leiter lassen sich experimentell leicht nachweisen, indem
man zwei sich berührende Leiterplatten in das elektrische Feld bringt und so orientiert,
dass die Platten senkrecht zur elektrischen Feldstärke stehen. Nach Trennung der beiden
Platten im Feld sitzt dann auf der einen Platte die Polarisationsladung Qp und auf der
anderen −Qp . Sind die Platten mit gut isolierenden Griffen versehen, so kann man die
Ladungen mühelos aus dem Feld herausbringen und anschließend messen. Wenn das
Feld von einem idealen Plattenkondensator herrührt, auf den die Ladung Qv gebracht
wurde (1. Experiment von S.180), so muss Qp = Qv gelten, da im Inneren eines Leiters
kein elektrisches Feld existieren darf. Dies bedeutet gemäß Gl.(285), dass die (statische)
relative Dielektrizitätskonstante eines Leiters unendlich ist.
Das durch die Ladungen Qp im Dielektrikum erzeugte Dipolmoment pro Volumen,
d.h. die Größe Qp `/(A`), nennt man elektrische Polarisation (electric polarization). Da die Richtung des Dipolmomentes von der negativen zur positiven Ladung
(s.S.178) festgelegt wurde, kann man die elektrische Polarisation als Vektor P~ definieren und man erhält nach einer kleinen Zwischenrechnung
~
P~ = ε0 (εr − 1)E.
(286)
Für den Betrag der elektrischen Polarisation gilt definitionsgemäß P = Qp `/(A`), woraus
mit Gl.(285) und unter Verwendung der Beziehung Qv = ε0 AEv (s. den kleingedruckten
Text nach Gl.(273) auf S.175) folgt P = ε0 Ev (1 − 1/εr ). Die Ersetzung von Ev durch
εr E schließlich liefert die gesuchte Gl.(286).
Die Größe εr − 1 wird elektrische Suszeptibilität (electric susceptibility) χe genannt. Die früher übliche cgs-Suszeptibilität (cgs susceptibility), für die wir κe
schreiben, wurde durch die Beziehung κe = (εr −1)/(4π) definiert, so dass χe = 4πκe
16.6 Dielektrika
183
gilt. Korrekterweise muss man χe und entsprechend auch κe als Volumensuszeptibilitäten bezeichnen, da P~ als Dipolmoment pro Volumen definiert ist. Die
Definitionen der Massensuszeptibilität (mass susceptibility) und der molaren
Suszeptibilität (molar susceptibility) kann man der Tab.37 entnehmen.
Tabelle 37. Die drei verschiedenen elektrischen Suszeptibilitäten
Bezeichnung
Definition
Einheit
Volumensuszeptibilität
χe = εr − 1
Massensuszeptibilität
χe, ma = χe /ρ
(Dichte ρ)
m3 / kg
molare Suszeptibilität
χe, mo = χe M/ρ
(molare Masse M )
m3 / mol
1
Die Unterscheidung in freie Ladungen und Polarisationsladungen macht es notwendig, darauf hinzuweisen, dass die Größe Q im verallgemeinerten Coulomb-Gesetz
(s.Gl.(272), S.174) nur die freien Ladungen bezeichnet, die sich innerhalb der geschlossenen Fläche befinden, denn diese sind die Ursache der elektrischen Erregung
des leeren Raumes und der Polarisation der Dielektrika. Führt man den als elektrische Flussdichte oder elektrische Verschiebung (electric displacement) bezeichneten Vektor
~ = εr ε 0 E
~
D
ein, so erhält das verallgemeinerte Coulomb-Gesetz die einfache Form
I
~ · d~a = Q.
D
(287)
(288)
(A)
~ durch die Oberfläche (A),
Diese Gleichung besagt, dass der Fluss des Vektors D
die das Volumen mit der freien Ladung Q umfasst, unabhängig davon ist, ob und in
welcher Verteilung Dielektrika den Raum erfüllen. Der analoge Fluss der elektrischen
Feldstärke dagegen wird wegen Gl.(287) auch durch die Dielektrika und damit auch
durch die Polarisationsladungen bestimmt.
~ gemäß der Definition (s.Gl.(265), S.169)
Während man die elektrische Feldstärke E
~
durch die Kraft auf eine Punktladung ermitteln kann, muss man zur Messung von D
die Gl.(288) verwenden, da diese die elektrische Flussdichte mit einer direkt messbaren
Größe, nämlich der elektrischen Ladung, verknüpft: Wir bringen an die betreffende Stel~ gemessen werden soll, zwei sich berührende Leiterplatten gleicher Größe
le, an der D
(Fläche A) und messen, wie im kleingedruckten Text auf S.182 beschrieben, die Ladung
Qp für verschiedene Orientierungen. Die Normale zu derjenigen Orientierung der Plat~ an. Der Betrag von D
~ folgt
ten, für die Qp maximal wird, gibt dann die Richtung von D
184
16 Elektrische Gleichfelder (Elektrostatik)
aus Gl.(288) zu Qp,max /A, indem wir mit dem Integral die Platte umschließen, die die
Ladung +Qp,max trägt.
Aus Gl.(288) folgt die wichtige Tatsache, dass die senkrechte Komponente D⊥
der elektrischen Flussdichte stetig durch eine Grenzfläche zwischen Stoffen mit unterschiedlichen relativen Dielektrizitätskonstanten (εr1 und εr2 ) hindurchgeht. Damit folgt aber aus Gl.(287), dass sich die senkrechte Komponente der elektrischen
Feldstärke E⊥ beim Übergang von 1 nach 2 sprunghaft um den Faktor εr1 /εr2 ändern
muss. Für die zur Grenzfläche parallelen Komponenten dagegen gilt das Umgekehrte:
Ek geht stetig hindurch, während Dk springt.
Zum Beweis füllen wir die linke Hälfte eines idealen Plattenkondensators, an den eine konstante Spannung U angelegt wird (s.Abb.74, S.173), mit einem Dielektrikum der relativen
Dielektrizitätskonstante εr1 aus und die rechte Hälfte mit εr2 . Die elektrische Feldstärke
verläuft damit parallel zur Grenzfläche. Da andererseits die elektrische Feldstärke in beiden Hälften den gleichen Wert, nämlich U/` besitzen muss, geht Ek stetig durch die
Grenzfläche hindurch, während nach Gl.(287) Dk links den Wert εr1 ε0 U/` und rechts
den Wert εr2 ε0 U/` besitzen muss, was bedeutet, dass Dk beim Durchgang durch die
Grenzfläche von 1 nach 2 um den Faktor εr2 /εr1 springt.
Unter Verwendung dieser Aussagen ergibt sich aus Abb.81 die Beziehung
tan α1
εr1
=
,
tan α2
εr2
E1
E1
α1
E1||
(289)
1
E 2||
E2
α2
E2
2
Abbildung 81. Zum Brechungsgesetz für
elektrische Feldlinien beim Übergang von einem Dielektrikum (1) zu einem anderen (2)
16.6 Dielektrika
185
die man als Brechungsgesetz für elektrische Feldlinien (law of refraction for
electric field lines) bezeichnet. Vom Snellius’schen Brechungsgesetz (Snell’s law) für
Lichtstrahlen (Gl.(446), s.S.305) unterscheidet es sich dadurch, dass der Tangens
an Stelle des Sinus und die relative Dielektrizitätskonstante εr an Stelle des Brechungsindexes n steht und dass die Indizes auf der rechten Seite nicht vertauscht
sind.
Aus Abb.81 liest man ab tan α1 = E1k /E1⊥ und tan α2 = E2k /E2⊥ . Wegen E1k =
E2k folgt durch Division tan α1 / tan α2 = E2⊥ /E1⊥ . Ersetzt man hier noch E⊥ durch
D⊥ /εr ε0 (s.Gl.(287), S.183) und beachtet die Stetigkeitsbedingung D2⊥ = D1⊥ , so ergibt
sich die Gl.(289).
Wir kommen nun zurück zu dem Experiment, das auf S.180 beschrieben wurde.
Durch Ausfüllen des Raumes zwischen den beiden Platten eines idealen Plattenkondensators mit einem isolierenden Stoff der relativen Dielektrizitätskonstante εr
~ v = (Uv /`)~ez auf
(s.Abb.80, S.182) verringert sich die elektrische Feldstärke von E
~
~
E = Ev /εr . Einsetzen dieser Beziehung in die Gl.(286), S.182, gibt
~ =E
~ v − P~ /ε0 .
E
(290)
Der zweite Summand auf der rechten Seite dieser Gleichung beschreibt die feldschwächende Wirkung der Polarisationsladungen Qp . Allerdings gilt Gl.(290) nur
unter der Voraussetzung, dass das Dielektrikum den gesamten Raum ausfüllt. Für
~ als auch P~ vom betracheine beliebige Verteilung des Dielektrikums hängt sowohl E
teten Ort im Dielektrikum ab und es lässt sich keine zu Gl.(290) analoge Beziehung
aufschreiben. In all den Fällen aber, bei denen man das vom Dielektrikum ausgefüllte
~ und P~ innerhalb
Raumgebiet durch ein Rotationsellipsoid annähern kann, hängen E
des Dielektrikums nicht vom Ort ab (sie sind homogen). Für den Fall, dass die Sym~ v gerichtet ist, gilt
metrieachse ~a des Rotationsellipsoids parallel oder senkrecht zu E
[SOM49]
~ =E
~ v − N P~ /ε0 .
E
(291)
N ist der Entelektrisierungsfaktor (depolarization factor), für den Zahlenwerte
in Tab.38 angegeben sind. Für einen Rundstab, der parallel zum elektrischen Feld
~ v orientiert ist, ergibt sich also N = 0 und für die senkrechte Anordnung N = 1/2.
E
Durch Einsetzen von Gl.(286), S.182, in Gl.(291) folgt
~ =
E
~v
E
,
1 + (εr − 1)N
woraus man ersieht, dass der Feldschwächungsfaktor 1/[1 + (εr − 1)N ] ist.
(292)
186
16 Elektrische Gleichfelder (Elektrostatik)
Tabelle 38. Entelektrisierungsfaktor N für Rotationsellipsoide mit dem Achsenverhältnis
a/b, wobei a die Länge der Rotationsachse und b den Durchmesser des Rotationsellipsoids
senkrecht dazu bezeichnet. Die Formeln für beliebige Werte von a/b findet man bei [SOM49]
Achsenverhältnis a/b
des Rotationsellipsoids
Rotationsachse a parallel
zum elektrischen Feld
Rotationsachse a senkrecht
zum elektrischen Feld
a/b = ∞ (Rundstab)
a/b 1
a/b = 1 (Kugel)
a/b 1
a/b = 0 (Kreisscheibe)
0
(a/b)−2 ln(2a/b)
1/3
1 − (π/2)(a/b)
1
1/2
1/2[1 − (a/b)−2 ln(2a/b)
1/3
(π/4)(a/b)
0
Nach Tab.38 besitzt ein dielektrischer Stab mit kreisförmigem Querschnitt (Rundstab) in
einem elektrischen Feld bei paralleler Orientierung ein um den Faktor 1 + (εr − 1)/2 mal
größeres elektrisches Dipolmoment als bei senkrechter Stellung. Dies entspricht einer um
den gleichen Faktor verringerten potentiellen Energie (s.Gl.(283), S.179, mit cos ϑ = 1),
weshalb sich ein solcher Stab bei drehbarer Aufhängung parallel zum elektrischen Feld
einstellt.
A 70
A 71
A 72
A 73
Je nach dem Mechanismus für das Entstehen der Polarisationsladungen spricht
man von Verschiebungspolarisation (displacement polarization) oder Orientierungspolarisation (orientation polarization). Die Verschiebungspolarisation tritt
bei allen Stoffen auf, während die Orientierungspolarisation noch bei denjenigen
Stoffen hinzukommt, die aus polaren Molekülen aufgebaut sind.
Zur Verschiebungspolarisation: In isotropen Medien werden durch Anlegen eines
~ die positiv geladenen Atomkerne gegenüber den Elektroelektrischen Feldes E
nenhüllen der Atome oder Moleküle in Richtung dieses elektrischen Feldes verschoben, so dass ein elektrisches Dipolmoment p~α entsteht, für das man
~
p~α = αE
(293)
schreiben kann. α besitzt die Einheit Asm2 /V und heißt Polarisierbarkeit (polarizability) des betreffenden Atoms bzw. Moleküls. Für die elektrische Polarisation P~
ergibt sich, wenn cα die Konzentration der Teilchen mit der Polarisierbarkeit α ist,
gemäß der Definition von S.182,
~
P~ = cα αE.
(294)
Die Konzentration cα berechnet sich aus der molaren Masse Mα und der Dichte
ρα des Stoffes unter Verwendung der Anzahl der Teilchen in einem Mol (AvogadroKonstante NA ) zu cα = NA ρα /Mα . Ein Vergleich der Gln.(294) und (286), S.182,
liefert die Beziehung εr − 1 = αcα /ε0 . Dies ist aber nur für verdünnte Systeme
16.6 Dielektrika
187
richtig, bei denen das von den Nachbardipolen erzeugte elektrische Feld am Ort des
~ ist. Die
betrachteten Dipols klein gegen das von außen angelegte elektrische Feld E
Berücksichtigung dieser Wechselwirkung (s. z.B. [GRE84]) führt zu der Beziehung
cα
εr − 1
=
α.
εr + 2
3ε0
(295)
Sie wird Clausius-Mosotti-Gleichung (Clausius-Mosotti equation) genannt, da
Rudolf Emanuel Clausius (1822-1888) und Ottaviano Fabricio Mosotti (1791-1863)
halbempirisch einen Zusammenhang zwischen dem Quotienten (εr − 1)/(εr + 2) und
molekularen Konstanten gefunden hatten. Die Gl.(295) geht für verdünnte Systeme
(εr ≈ 1) in die obige Näherungsformel εr − 1 = αcα /ε0 über.
Die Orientierungspolarisation kommt hinzu, wenn einige Teilchen ein permanentes elektrisches Dipolmoment p~ besitzen. Da die Orientierung dieser Dipolmomente
zwei konkurrierenden Einflüssen unterliegt, nämlich der ausrichtenden Wirkung des
elektrischen Feldes und der destruktiven Wirkung der thermischen Bewegung, ergibt sich auf Grund der Boltzmann-Verteilung (s.S.103) ein effektives elektrisches
~ der Größe
Dipolmoment in Richtung von E
p~eff =
p2 ~
E.
3kT
(296)
Für die Wahrscheinlichkeitsdichte der potentiellen Energie Epot gilt (s.Gl.(171), S.103)
P (Epot ) = G(Epot ) exp(−Epot /kT ), wobei G(Epot ) das statistische Gewicht der Energie
~ und
bezeichnet. Für Epot ist die Größe −Ep cos ϑ mit ϑ als dem Winkel zwischen E
p
~ einzusetzen (s.Gl.(283), S.179). Aus G(Epot )dEpot = G(ϑ)dϑ mit G(Epot ) = K ergibt sich G(ϑ) = KpE
R π sin ϑ für das statistische Gewicht von ϑ. Die Konstante K folgt
aus der RBedingung 0 G(ϑ)dϑ = 1 zu K = (2pE)−1 . Damit erhält man die Beziehung
π
peff = 0 (p cos ϑ)(1/2) sin ϑ exp [(pE/kT ) cos ϑ] dϑ oder, unter der bei nicht zu tiefen Temperaturen gut erfüllten Näherung exp[(pE/kT ) cos ϑ] ≈ 1 + (pE/kT ) cos ϑ, die
Gl.(296).
Eine analoge Behandlung wie nach Gl.(293) führt dann in Erweiterung von Gl.(295)
zur Debye-Gleichung (Debye equation, Peter Debye 1884-1966)
cα
εr − 1
p2
=
α + (cp /cα )
,
(297)
εr + 2
3ε0
3kT
wobei cp die Konzentration der Teilchen mit permanentem Dipolmoment bezeichnet.
Die Ausrichtung eines polaren Moleküls nach Anlegen eines elektrischen Feldes erfolgt
nicht momentan, sondern mit einer gewissen Zeitverzögerung. Die Zeitkonstante heißt
dielektrische Relaxationszeit (dielectric relaxation time). Wegen der Zeitverzögerung
verringert sich der Beitrag der Orientierungspolarisation mit wachsender Frequenz und
188
16 Elektrische Gleichfelder (Elektrostatik)
verschwindet schließlich vollständig. Dies ist die Ursache für die auf S.181 erwähnte
Frequenzabhängigkeit der relativen Dielektrizitätskonstante.
Ü 88
Ü 89
Ü 90
Ü 91
218
18 Magnetfelder
Für die Induktivität eines geraden zylindrischen Leiterstücks mit dem Radius R und der
Länge ` ergibt sich unter den Voraussetzungen ` R und µr = 1 die Beziehung [PFE77]
L = µ0 (2π)−1 ` [ln(2`/R) − 0, 75]. Dies bedeutet, dass ein Drahtstück der Länge ` = 0, 01
m und mit einem Radius R = 5 · 10−4 m eine Induktivität von ca. 6 nH besitzt.
Ü 108
Ü 109
Ü 110
A 83
18.4 Magnetostatik
Bringt man Materie in ein Magnetfeld, so werden in den Elektronenhüllen der Atome
und Moleküle innere Ströme (internal currents, s.Abb.102 und S.393) induziert,
die nach der Lenz’schen Regel (s.S.208) das erzeugende Magnetfeld schwächen. Diese Erscheinung nennt man Diamagnetismus (diamagnetism). Im Gegensatz dazu
nennen wir die bisher behandelten Ströme (s.Abschn.17, S.189ff.), die durch elektrische Leiter geführt und mit Amperemetern gemessen werden können, freie Ströme
(free currents). Während die freien Ströme auf Grund des Durchflutungsgesetzes
(s.Gl.(317), S.201) unmittelbar die Wirbel (s. die Legende zu Abb.93 auf S.201)
~ an einem beliebigen Ort ~r liefern, werden die Wirder magnetischen Feldstärke H
~ an diesem Ort sowohl von den freien als auch
bel der magnetischen Flussdichte B
von den inneren Strömen und damit von der relativen Permeablilität µr des Stoffes
und ihrer Verteilung im Raum bestimmt. Dies ist analog zur Elektrostatik, wo die
freien Ladungen Q gemäß dem verallgemeinerten Coulomb-Gesetz (Gl.(290), S.185)
Abbildung 102. Innere Ströme in einem zylinderförmigen Stück Materie, die nach Anlegen eines Magnetfeldes, das in die Zeichenebene hinein gerichtet ist, senkrecht zum Querschnitt induziert werden. Die Ströme gleichen
sich im Inneren aus, da an jeder Trennungsfläche beiderseits entgegengesetzt gleich große
Ströme fließen. Damit bleibt nur an der Oberfläche ein effektiver Kreisstrom übrig, der
rings um den Zylinder fließt
~ r) sind, während die Quellen der elekdie Quellen der elektrischen Flussdichte D(~
~
trischen Feldstärke E(~r) durch die freien Ladungen und die Polarisationsladungen
18.4 Magnetostatik
219
und damit durch die relative Dielektrizitätskonstante εr des Stoffes und ihre Verteilung im Raum bestimmt werden. Da außerdem die elektrische Kraftwirkung durch
~ (s.Gl.(265), S.169) und die magnetische Kraftwirkung
die elektrische Feldstärke E
~ (s.Gl.(324), S.210) bestimmt wird, ergibt sich
durch die magnetische Flussdichte B
die physikalische Analogie (physical analogy) der Tab.43.
Tabelle 43. Physikalische Analogie zwischen elektrischen und magnetischen Größen
Elektrische Größen
Magnetische Größen
~
elektrische Feldstärke E
~
elektrische Flussdichte D
~
magnetische Flussdichte B
~
magnetische Feldstärke H
~ = εr ε 0 E
~ = µr µ0 H
~ (s.Gl.(288), S.183) und B
~
Andererseits legen die Beziehungen D
(s.Gl.(319), S.203) die in der Tab.44 aufgelistete formale Analogie (formal analogy) nahe.
Tabelle 44. Formale Analogie zwischen elektrischen und magnetischen Größen
Elektrische Größen
Magnetische Größen
Einheit
V/m
Symbol
~
H
Einheit
Feldstärke
Symbol
~
E
Flussdichte
~ = ε0 E
~ +P
~e
D
As/m2
~ = µ0 H
~ +P
~m
B
Vs/m2
Influenz- bzw.
Induktionskonstante
ε0
As/Vm
µ0
Vs/Am
relative Dielektrizitätskonstante
bzw. relative Permeabilität
εr
~ = εr ε0 E)
~
(D
1
µr
~ = µr µ0 H)
~
(B
1
Suszeptibilität
χe = εr − 1
~e
P
~e = χe ε0 E)
~
(P
1
χm = µr − 1
~m
P
~m = χm µ0 H)
~
(P
~ = χm H
~
M
1
Bezeichnung
Polarisation
Magnetisierung (magnetization) -
As/m2
-
A/m
Vs/m2
A/m
Mit dieser Tabelle lassen sich Formeln, die in der Elektrostatik (s.Abschn.16, S.166ff.)
abgeleitet wurden, einfach auf den magnetischen Fall übertragen. Einige Beispiele
sind in der Tab.45 zusammengestellt. In der vorletzten Zeile dieser Tabelle tritt
der gleiche Faktor N bei der elektrischen und der magnetischen Feldstärke auf. Er
wird deshalb sowohl Entelektrisierungsfaktor als auch Entmagnetisierungsfaktor
(demagnetization factor) genannt. Zahlenwerte findet man in der Tab.38, S.186.
Beim magnetischen Analogon zum verallgemeinerten Coulomb-Gesetz (letzte Spalte
in Tab.45)
220
18 Magnetfelder
Tabelle 45. Analogien zwischen Formeln der Elektrostatik und der Magnetostatik
Energiedichte des Feldes
Stetigkeit der Feldgrößen
an Grenzflächen
Schwächung des Feldes
durch Polarisation der Materie
Oberflächenintegral
der Flussdichte
Elektrostatik
RD 0
~ · dD
~0
E
0
(s.Gl.(278), S.177),
bzw. für εr = const:
~ · D
~ /2
E
(s.Gl.(279), S.177)
Magnetostatik
RB 0
~ · dB
~0
H
D⊥ , Ek
(s.S.184)
~ =E
~v − NP
~e /ε0
E
(s.Gl.(291), S.185)
H
~ · d~s = Q
D
(s.Gl.(272), S.174)
B⊥ , Hk
I
~ · d~a = 0
B
0
bzw. für µr = const:
~ · B
~ /2
H
~ =H
~ v − NP
~m /µ0
H
H
~ · d~s = 0
B
(339)
(A)
steht auf der rechten Seite null, da es bis heute trotz intensiver Anstrengungen
(noch?) nicht gelungen ist, magnetische Ladungen (magnetic charges), die auch
magnetische Monopole (magnetic monopoles) genannt werden, experimentell
nachzuweisen.
n
I
Abbildung 103. Zur Berechnung der Anziehungskraft
eines Elektromagneten. A ist die Querschnittsfläche des
Eisenjochs und `Lu die Dicke des Luftspaltes
F
A
Lu
Als Beispiel für die Anwendung der Tatsache, dass B⊥ stetig durch eine Grenzfläche geht, wollen wir die Anziehungskraft eines Elektromagneten (electromagnet, s.Abb.103) berechnen. Der Luftspalt `Lu sei klein gegen die Wurzel aus der
Querschnittsfläche A des Eisenjochs (`Lu A1/2 ) und die relative Permeabilität
18.4 Magnetostatik
221
des Eisens µr groß gegen 1, so dass das magnetische Streufeld vernachlässigt werden
kann. Dann folgt für die Anziehungskraft
F = µ0
µr nI
`µ + 2µr `Lu
2
A,
(340)
wobei n die Windungszahl der Feldspule, I den Feldstrom und `µ die Weglänge der
magnetischen Feldlinien im Eisen bezeichnet.
Aus dem Durchflutungsgesetz (s.Gl.(317), S.201) folgt Hµ `µ + 2HLu `Lu = nI, wobei Hµ
die magnetische Feldstärke im Eisen und HLu die magnetische Feldstärke im Luftspalt
ist. Wegen der Stetigkeit von B⊥ gilt Bµ = BLu oder (s.Gl.(319), S.203) Hµ = HLu /µr .
Setzen wir dies in die Gleichung Hµ `µ + 2HLu `Lu = nI ein, so ergibt sich HLu =
µr nI/(`µ + 2µr `Lu ). Die Energie des magnetischen Feldes in den beiden Luftspalten wird
damit zu (s.Tab.45) Em,Lu = 2`Lu A(µ0 /2)[µr nI/(`µ +2µr `Lu )]2 . Für die Energie des Magnetfeldes im Eisen erhalten wir Em,µ = `µ Aµ0 µr [nI/(`µ +2µr `Lu )]2 /2, so dass sich für die
Gesamtenergie des Magnetfeldes Em = Em,Lu + Em,µ = (A/2)µ0 µr (nI)2 /(`µ + 2µr `Lu )
ergibt. Damit folgt für die Kraft F = −dEm /d`Lu = Aµ0 (µr nI)2 (`µ + 2µr `Lu )−2 . Für
n = 200, I = 10 A, `µ = 0, 25 m, A = 2 · 10−4 m2 , µr = 300 und `Lu = 0 beträgt
somit die Anziehungskraft F = 1448 N. Bei einem Luftspalt von nur 1 mm verringert
sich dieser Wert auf ungefähr 125 N, d.h. auf ≤ 10%.
Der am Anfang dieses Abschnitts (s.S.218) beschriebene Diamagnetismus (diamagnetism) lässt sich makroskopisch dadurch nachweisen, dass die magnetische
Suszeptibilität χm (s.Tab.44, S.219) kleiner als null (Lenz’sche Regel, s.S.208) und
temperaturunabhängig ist. Der Diamagnetismus tritt bei allen Stoffen auf, er wird
aber in den Fällen, bei denen der Stoff (permanente) elementare magnetische Dipole
(z.B. Übergangsmetallionen) enthält, meist durch deren Wirkung völlig überdeckt.
Es ergibt sich dann eine positive Suszeptibilität, die je nach der Stärke der Wechselwirkung zwischen den Dipolen sogar sehr groß gegen eins werden kann. Bei vernachlässigbarer Wechselwirkung jedoch liegen die gleichen Bedingungen vor wie bei
der Orientierungspolarisation in der Elektrostatik (s.S.186) und es ergibt sich durch
Übertragung der Gl.(297), S.187,
χm =
C
T
(341)
mit
m2I
.
(342)
3k
cp ist die Konzentration und mI das magnetische Moment der elementaren Dipole.
C = cp µ0
Aus Gl.(297), S.187, folgt für den Anteil, der von den elementaren Dipolen herrührt (α =
0) und bei Vernachlässigung der Wechselwirkung zwischen den Dipolen (εr + 2 ≈ 3) die
222
18 Magnetfelder
Beziehung εr − 1 = cp p2 /(3kT ε0 ). Die Übertragung auf den magnetischen Fall (εr → µr ;
ε0 → µ0 ; p → pm ) ergibt mit pm = µ0 mI (s.Gl.(326), S.212) und χm = µr − 1 (s.Tab.44,
S.219) die gesuchten Gln.(341) und (342).
Die Gl.(341) wird als Curie-Gesetz (Curie’s law, Pierre Curie 1859-1906) und die
Konstante C als Curie-Konstante (Curie constant) bezeichnet. In der Tab.46 sind
Zahlenwerte für die magnetische Suszeptibilität (magnetic susceptibility) χm
von einigen diamagnetischen und paramagnetischen Stoffen zusammengestellt. Korrekterweise muss man χm magnetische Volumensuszeptibilität nennen, da in
der Literatur, analog zum elektrischen Fall (s.Tab.37, S.183), auch die magnetische Massensuszeptibilität χm,ma = χm /ρ und die molare magnetische Suszeptibilität (molar magnetic susceptibility) χm,mo = χm M/ρ verwendet werden,
wobei ρ die Dichte und M die molare Masse des Stoffes darstellt. Darüber hinaus
ist es oft auch noch üblich, Messwerte für die magnetische cgs-Suszeptibilität
κm = χm /(4π) anzugeben.
Tabelle 46. Experimentelle Werte für die magnetische Suszeptibilität χm = µr − 1 einiger
diamagnetischer und paramagnetischer Stoffe [LID90]
Stoff
T /K
χm · 106
Wismut (Bi, bismuth)
Kupfer (Cu, copper)
Wasser (H2 O, water)
Stickstoff (N2 , nitrogen) 0,1 MPa
293
296
293
293
−165
−9, 63
−9, 03
−0, 0667
Aluminium (Al, aluminum)
Platin (Pt, platinum)
Sauerstoff (O2 , oxygen) 0,1 MPa
Sauerstoff flüssig (liquid oxygen)
293
290
293
70,8
+ 20,8
+ 279
+
1,76
+ 4220
Eisen, Nickel, Kobalt und einige andere Stoffe zeigen Ferromagnetismus (ferromagnetism). Dieser beruht auf einer Kopplung zwischen den elementaren magnetischen Dipolen und ist damit eine kollektive Eigenschaft, d.h. es gibt keine ferromagnetischen Atome oder Moleküle. Ein ferromagnetischer Stoff, er wird auch als
Ferromagnetikum (ferromagnet) bezeichnet, besitzt eine charakteristische Temperatur TC , die sog. Curie-Temperatur (Curie temperature, Pierre Curie 1859-1906).
Einige experimentelle Werte sind in der Tab.47 zusammengestellt.
Oberhalb der Curie-Temperatur gilt das Weiss-Gesetz (Curie-Weiss law, Pierre
Weiss 1865-1940)
C
χm =
,
(343)
T − TC
so dass für T TC paramagnetisches Verhalten vorliegt. Unterhalb der CurieTemperatur dagegen (ferromagnetisches Verhalten) ist die magnetische Suszeptibi-
18.4 Magnetostatik
223
Tabelle 47. Curie-Temperatur TC in Kelvin für einige Ferromagnetika [HER94]
Ferromagnetikum
chemisches Symbol
TC / K
Eisen (iron)
Kobalt (cobalt)
Nickel (nickel)
Cu-Mn-Al-Legierung (Cu-Mn-Al alloy)
Gadolinium (gadolinium)
Dysprosium (dysprosium)
Fe
Co
Ni
Cu2 MnAl
Gd
Dy
1042
1400
631
603
289
87
lität χm sehr groß und hängt sowohl von der Größe der magnetischen Feldstärke
H als auch von der Vorgeschichte ab. Die Abb.104 zeigt schematisch die Abhängigkeit der Magnetisierung M = χm H eines Ferromagnetikums von der magnetischen
Feldstärke H. Eine solche Abhängigkeit nennt man Hysterese- oder HysteresisKurve (hysteresis cycle). Der gestrichelte Teil in Abb.104 heißt Neukurve (virgin
curve). Er gehört nicht zur Hysterese-Kurve und beschreibt die Abhängigkeit der
Magnetisierung von der magnetischen Feldstärke für ein ursprünglich unmagnetisches Material. Die Pfeile an der Kurve geben die Umlaufsrichtung an. MS heißt
Sättigungsmagnetisierung (saturation magnetization), MR Remanenz (remanence oder residual magnetization oder retentivity) und HC Koerzitivkraft oder
(coercive force oder coercivity). Permanentmagnete (permanent magnets) sind
magnetisierte Stäbe aus ferromagnetischem Material mit großer Remanenz. Aus
Abb.104 geht hervor, dass man bei ferromagnetischen Materialien eine magnetische
Suszeptibilität i.Allg. nicht eindeutig angeben kann. Man definiert deshalb die Anfangssuszeptibilität (initial susceptibility) χam durch die Steigung der Neukurve
am Nullpunkt
dMneu
χam =
.
(344)
dH
H=0
M
MS
MR
−HC
H
Abbildung 104. Hysterese-Kurve eines
ferromagnetischen Materials
224
18 Magnetfelder
Trägt man nicht die Magnetisierung M , sondern die magnetische Flussdichte B als
Funktion der magnetischen Feldstärke H auf, so ergibt sich eine ähnliche Kurve wie
in Abb.104, jedoch mit dem Unterschied, dass keine Sättigung auftritt. Das heißt,
für H > 0 verläuft die Kurve bei großen Werten von H nicht horizontal, sondern
steigt linear an. Analog ändert sich das Verhalten für H < 0.
Nach Tab.44, S.219, gilt B = µ0 H + Pm , woraus mit Pm = µ0 M und und M = χm H
die Beziehung B = µ0 H + µ0 M folgt. Selbst wenn die Magnetisierung M ihren Sättigungswert MS erreicht hat, wächst B wegen des ersten Terms noch linear mit H an.
Beim einmaligen Durchlaufen der Hysterese-Kurve eines Ferromagnetikums mit dem
Volumen V geht die magnetische Energie
I
~ · dM
~
(345)
∆Wm = µ0 V
H
in Form von Wärme verloren.
RB
~ 0 dB
~ 0 . Dies bedeutet, dass bei
H
H
~ B
~ verloren geht. Mit
einem Durchlaufen der Hysterese-Kurve die Energie ∆Wm = V Hd
~
~
~
~
~
~
~
~
B = µ0 H+Pm und Pm = µ0 M (s.Tab.44, S.219) folgt zunächst B = µ0 H+µ
0 M und nach
H
~ M
~,
Einsetzen in das Umlaufintegral und Durchführung der Integration ∆Wm = µ0 V Hd
H
~ H
~ ist Null.
denn das Umlaufintegral Hd
Nach Tab.45, S.220, gilt für die magnetische Energie V
0
Aus diesem Grunde verwendet man in Transformatoren, Elektromotoren und Generatoren Ferromagnetika mit einer möglichst schmalen Hysterese-Schleife (magnetisch weiches Material, soft magnetic material). Im Gegensatz dazu benötigt man
für Permanentmagnete und vor allem für digitale magnetische Informationsspeicher
(Disketten, Festplatten) magnetisch hartes Material (hard magnetic material),
bei dem die Hysterese-Kurve näherungsweise zu einem Rechteck mit den Kanten
parallel zu den M -H-Achsen entartet ist, so dass Remanenz und Koerzitivkraft maximale Werte annehmen. Die Ursache des Ferromagnetismus ist die Ausbildung von
Weiss-Bezirken (Weiss domains oder ferromagnetic domains, Pierre Weiss 18651940). Das sind Gebiete, in denen die elementaren magnetischen Dipole infolge ihrer
Wechselwirkung untereinander parallel ausgerichtet sind. Jeder Weiss-Bezirk wirkt
damit wie ein magnetischer Dipol, aber mit entsprechend größerem Dipolmoment.
Für M = 0 sind die Weiss-Bezirke statistisch im Raum orientiert. Nach Anlegen
eines Magnetfeldes mit wachsender Intensität klappen immer mehr Bezirke in die
Richtung des Magnetfeldes, was sich mit einer Induktionsspule und nach genügender Verstärkung akustisch durch Rauschen in einem Lautsprecher nachweisen lässt
(Barkhausen-Effekt, Barkhausen effect, Heinrich Georg Barkhausen 1881-1956).
Beim Antiferromagnetismus (antiferromagnetism), den einige Festkörper, wie
18.4 Magnetostatik
225
z.B. α-Fe2 O3 , MnO oder MnF2 zeigen, existieren ebenfalls magnetische Bezirke,
jedoch sind innerhalb eines Bezirks die elementaren magnetischen Dipole antiparallel ausgerichtet, so dass das resultierende Dipolmoment eines solchen Bezirks null ist.
Mit wachsender Temperatur zerbrechen diese Bezirke. Es entsteht damit eine wachsende Zahl ungekoppelter elementarer magnetischer Dipole, die schließlich zu einem
paramagnetischen Verhalten des Festkörpers führen. Die Temperaturabhängigkeit
der magnetischen Suszeptibilität χm ist schematisch in Abb.105 dargestellt. Oberhalb der Néel-Temperatur (Néel temperature, Louis Eugène Felix Néel, 19042000) TN , d.h. für T > TN , gilt das Néel-Gesetz (Néel’s law)
C
,
(346)
T +θ
wobei θ und TN die beiden charakteristischen Temperaturen eines antiferromagnetischen Materials sind.
χm =
χm
Abbildung 105. Temperaturabhängigkeit der
magnetischen Suszeptibilität χm bei einem Antiferromagnetikum. Oberhalb der Néel-Temperatur
TN gilt die Gl.(346)
−θ
TN
T
Beim Ferrimagnetismus (ferrimagnetism) existieren, wie beim Antiferromagnetismus, Bezirke, in denen die elementaren magnetischen Dipole antiparallel ausgerichtet sind, jedoch haben jeweils benachbarte Dipole unterschiedliche Dipolmomente,
so dass sie sich nur zu einem gewissen Bruchteil kompensieren. Damit verhalten sich
ferrimagnetische Festkörper, wie z.B. Magnetit (FeOFe2 O3 ), ähnlich wie Ferromagnetika. Durch Einbau von Fremdatomen an Stelle des Eisens (es entsteht XOFe2 O3
mit X=Mn, Co, Ni, Cu, Mg, Zn u.a.) kann man die Hysteresekurve gezielt verändern.
Da diese Materialien, die man als Ferrite (ferrites) bezeichnet, außerdem nichtleitend sind und deshalb keine Wirbelstromverluste zeigen, finden sie in der Elektronik
als Spulenkernmaterial breite Anwendung.
Die im vorliegenden Abschnitt beschriebenen magnetischen Erscheinungen treten
auch in der Elektrostatik auf. Ferroelektrika (ferroelectrics) sind z.B. Seignettesalz (COOK-CHOH-CHOH-COONa · 4H2 O) oder Bariumtitanat (BaTiO3 ), deren
relative Dielektrizitätskonstante εr durchaus Werte über 1000 erreichen kann. Die
226
18 Magnetfelder
Remanenz existiert auch, dem Permanentmagneten entspricht das Elektret (electret). Antiferroelektrische Eigenschaften besitzt z.B. WO3 und auch Kristalle mit
ferrielektrischen Eigenschaften sind bekannt Ü 111 Ü 112
22 Wellenoptik
Max von Laue: Wirklichkeit ist etwas, das Wirkungen ausübt.
22.1 Kohärenz
Nach der Quantenphysik wird eine elektromagnetische Welle dann abgestrahlt, wenn
ein System, z.B. ein Atom, aus einem angeregten Zustand (excited state) in einen
energetisch tiefer liegenden Zustand, z.B. den Grundzustand (ground state), d.h.
den tiefsten, stabilen Energiezustand, übergeht. Die Frequenz f der Welle folgt aus
der Beziehung f = ∆E/h, wobei h die Planck-Konstante (s.A.1, S.1245) und ∆E
den Energieunterschied zwischen den beiden Zuständen bezeichnet. Die Dauer τ des
Emissionsvorgangs nennt man auch mittlere Lebensdauer (mean life time) des
angeregten Zustandes. Mit den Methoden der Quantenphysik ist es möglich, sowohl
die Energiedifferenz ∆E als auch die zugehörige Lebensdauer τ zu berechnen. Wir
nehmen diese Größen hier als gegeben an. Aus τ ergibt sich mit der Lichtgeschwindigkeit c für die Länge λc des Wellenzuges (Kohärenzlänge, coherence length)
`c = cτ
(478)
und für die Halbwertsbreite der zugehörigen Spektrallinie
∆f ≈
1
.
τ
(479)
A 123
Zum Beweis dieser letzteren Gleichung verwenden wir das Fourier-Theorem (Fourier theorem, Joseph Fourier 1768-1830), wonach sich jede beliebige Zeitfunktion
F (t) (abgesehen von ”exotischen” Fällen) durch eine Überlagerung von harmonischen Schwingungen darstellen lässt. Für F (t) wählen wir die Komponente E(t)
der elektrischen Feldstärke der elektromagnetischen Welle senkrecht zu ihrer Ausbreitungsrichtung. Dann gilt (Fourier-Transformation, Fourier transformation)
Z
∞
[Ec (ω) cos ωt + Es (ω) sin ωt]dω
E(t) =
(480)
0
mit
Ec (ω) =
1
π
Z
+∞
E(t) cos ωtd t
−∞
und Es (ω) =
1
π
Z
+∞
E(t) sin ωtd t.
(481)
−∞
Man beachte, dass Ec (ω) und Es (ω) spektrale Dichten sind, die die Einheit Vs/m
besitzen. Die Größe
332
22 Wellenoptik
1/2
Ê(ω) = Ec2 (ω) + Es2 (ω)
(482)
bezeichnet man als das Amplitudenspektrum der Zeitfunktion E(t). Die Anwendung dieser Beziehungen auf den in Abb.168a dargestellten Wellenzug (wave train)
liefert unter der Voraussetzung, dass der Wellenzug aus einer großen Anzahl von Perioden besteht (ω0 τ 1), für das Amplitudenspektrum, das in Abb.168b dargestellt
ist,
Ê0 τ sin[(ω0 − ω)τ /2] (483)
Ê(ω) =
.
2π [(ω0 − ω)τ /2] E(t )
−1
f0
^
E
0
a)
−τ/2
τ/2 t
0
Abbildung 168.
a) Wellenzug E(t) der Dauer τ , der
Amplitude Ê0 und der Frequenz f0 . b) Amplitudenspektrum Ê(ω) des Wellenzuges
E(t). ∆f ist die Halbwertsbreite der Spektrallinie
^
2π (ω)
^
τE
0
1,0
0,5
(∆ f ) τ
b)
−3 −2 −1 0
1
2
3
( f −f ) τ
0
Einsetzen von E(t) = Ê0 cos ωt für −τ /2 ≤ t ≤ +τ /2 und E(t) = 0 für |t| > τ /2
R +τ /2
in die beiden Gln.(481) liefert Ec = π −1 −τ /2 Ê0 cos ω0 t cos ω tdt und, wegen der Symmetrie, Es = 0. Das Integral formen wir mit Hilfe des Additionstheorems
α cos β =
R +τcos
/2
(1/2) cos(α + β) + (1/2)cos(α − β) zu dem Ausdruck Ec = Ê0 (2π)−1 −τ /2 [cos(ω0 +
ω)t + cos(ω0 − ω) t] dt um. Unter der Voraussetzung ω0 τ 1 folgt Ec = (Ê0 /π){sin[(ω0 −
ω)τ /2]}/(ω0 − ω), womit sich nach Einsetzen in die Gl.(482) und mit Es = 0 die gesuchte
Gl.(483) ergibt.
22.1 Kohärenz
333
Das Hauptmaximum des Amplitudenspektrums E(ω) in Abb.168b) wird umso
größer, je länger die mittlere Lebensdauer τ des angeregten Zustands ist. Gleichzeitig wird die Frequenzdifferenz |f0 − f | zu den Nebenmaxima immer geringer.
Nebenmaxima treten gar nicht mehr auf, wenn die Amplitude Ê0 des Wellenzuges
nicht konstant ist, sondern exponentiell abnimmt. Die Halbwertsbreite (full width
at half maximum, abgekürzt mit FWHM) ∆f der Spektrallinie ergibt sich aus der
Bedingung {sin[π(τ /2)∆f ]}/[π(τ /2)∆f ] = 1/2 (s.Gl.(483)) zu ∆f ≈ 1, 21/τ , womit
die Gl.(479) bewiesen ist. Für isolierte Atome und Übergänge im sichtbaren Licht
ist τ von der Größenordnung 10 ns. Dieser Wert verkürzt sich aber mit zunehmender Dichte des Gases und mit wachsender Temperatur durch die Stöße zwischen
den Atomen. Die entsprechende Vergrößerung der Linienbreite nach Gl.(479), S.331,
heißt Stoßverbreiterung (impact broadening oder collisional broadening). Wenn
die auftretenden Energieunterschiede ∆E (s.S.331) nicht alle gleich, sondern über
einen gewissen Bereich verteilt sind, ergibt sich die beobachtete Spektrallinie als
Überlagerung von Spektrallinien mit verschiedenen Resonanzfrequenzen. Die dadurch bedingte Vergrößerung der Linienbreite nennt man inhomogene Linienverbreiterung (inhomogeneous line broadening). In Gasen führt der Doppler-Effekt zu
einer inhomogenen Verbreiterung der Spektrallinien.
Bei den als Laser (light amplification by stimulated emission of radiation) bezeichneten Lichtquellen werden Atome, Ionen oder Moleküle durch äußere Anregung, z.B
durch elektromagnetische Strahlung mit einer Frequenz, die größer sein muss, als die
des gewünschten Laserlichts (fL ), in einen angeregten Zustand gebracht. In diesem
Zustand soll das Teilchen die Energie Ea und eine möglichst lange Lebensdauer besitzen. Außerdem muss unterhalb von Ea ein Zustand mit der Energie Eu = Ea − hfL
existieren, wobei h die Planck-Konstante bezeichnet. Der Laser funktioniert nur
dann, wenn sich im oberen Energieniveau Ea mehr Atome befinden als im unteren (Besetzungsinversion, population inversion). Sobald dann eines der Teilchen
spontan vom angeregten Zustand nach diesem unteren Zustand übergeht, sendet es
Licht der Frequenz fL aus, durch das weitere Teilchen infolge der induzierten Emission (s.S.419) veranlasst werden, den Übergang von Ea nach Eu zu vollziehen. Dabei
senden sie, und das ist das Wesentliche, Licht mit der gleichen Frequenz (fL ) und mit
der gleichen Phase aus. Indem man dieses Licht durch Reflexion an zwei gegenüber
liegenden Spiegeln immer wieder das Lasermaterial durchlaufen lässt, kommt es zu
einer lawinenartigen Verstärkung der Lichtintensität. Die Abstrahlung dieses Laserlichts realisiert man meist dadurch, dass einer der beiden Spiegel teildurchlässig ist.
In Abb.169 ist der Aufbau des weit verbreiteten Helium-Neon-Lasers schematisch
dargestellt. In einer Gasentladungsröhre (Länge 0,3...1 m) befinden sich die Edelgase Helium und Neon (Mischungsverhältnis etwa 10:1) bei niedrigem Druck (0,3...1
kPa). Nach Zündung mit einem Hochspannungsimpuls ( ≈ 10 kV) brennt eine Glimmentladung in der Kapillare (Durchmesser ≈ 1 mm) bei einer Spannung von etwa 1
kV. Die Parameter der Gasentladung sind so gewählt, dass sich für die Neon-Atome
334
22 Wellenoptik
Kathode
S1
Anode
Glaskapillare
+
−
S2
Abbildung 169. Prinzipskizze des Gaslasers. Der Spiegel S2 ist teildurchlässig.
E /eV
20,55
1
S0
3
19,77
S1
e−He−
Stöße
Ne∗ 5s
He∗−Ne−
Stöße
0,633 µm
Ne∗ 4s
1,15 µm
Ne∗ 3p
Ne∗ 3s
Wandstöße
0
He
Ne
Abbildung 170. Energieniveauschema des Helium-Neon-Gasgemisches. Eingezeichnet
sind die Laserübergänge zwischen den Niveaus Ne∗ 4s bzw. Ne∗ 5s und Ne∗ 3p. Die Niveaus
Ne∗ 4s und Ne∗ 5s sind stärker besetzt als die Ne∗ 3p-Niveaus (Besetzungsinversion). Sie
werden vorwiegend durch Atomstöße zwischen angeregten Heliumatomen und Neonatomen
gefüllt. Die unteren Ne∗ 3p-Laserniveaus werden durch spontane Strahlungsübergänge zu
den Ne∗ 3s-Niveaus entleert, und diese wiederum durch Stöße mit der Wand der Kapillare.
22.1 Kohärenz
335
eine Besetzungsinversion zwischen den 4s- und 5s-Niveaus (obere Energieniveaus
Ea , die Elektronenkonfigurationen der angeregten Neon-Atome ist Ne∗ 4s bzw. Ne∗
5s (mit Ne∗ =1s2 2s2 2p5 ), s.S.472, 1255) und den 3p-Niveaus (untere Energieniveaus
Eu , die Elektronenkonfigurationen der niedriger angeregten Neon-Atome ist Ne∗ 3p)
einstellt, s. Abb.170. Diese Besetzungsinversion kommt zum einen dadurch zustande, dass die in der Überzahl vorhandenen Helium-Atome durch Elektronenstöße in
die angeregten Niveaus 3 S1 und 1 S0 (die Elektronenkonfigurationen der angeregten
Helium-Atome He∗ ist 1s2s, s. Abb.251, S.478) gelangen, die auf Grund der Auswahlregeln für elektrische Dipolübergänge (s.S.464) eine so lange Lebensdauer besitzen,
dass sie nicht durch Photonenemission in den Grundzustand zurückkehren, sondern
viel eher mit nichtangeregten Neon-Atomen zusammenstoßen und dabei ihre Energie
an die Neon-Atome weitergeben, die sich dann in den angeregten Zuständen Ne∗ 5s
bzw. Ne∗ 4s befinden. Der Energietransfer He∗ + Ne → He + Ne∗ 4s/5s ist besonders
günstig, da die Ne∗ 5s- bzw. Ne∗ 4s-Energieterme nahezu den gleichen energetischen
Abstand vom Grundzustand besitzen wie die angeregten 3 S1 und 1 S0 -Zustände des
Heliums (Resonanzenergieübertragung). Auf der anderen Seite ist die mittlere Lebensdauer der angeregten Zustände Ne∗ 5s bzw. Ne∗ 4s etwa um den Faktor 10 größer
als die der Ne∗ 3p-Niveaus, die spontan in die darunter liegenden Ne∗ 3s-Zustände
zerfallen. Die Ne∗ 3s-Zustände sind ebenso wie die 3 S1 und 1 S0 -Zustände des Heliums
metastabil (elektrische Dipolübergänge in den Grundzustand sind verboten). Damit
die Besetzungsinversion im Neon-Energieniveauschema (s. Abb.170) aufrecht erhalten werden kann, müssen die Ne∗ 3s-Niveaus hinreichend schnell durch Übergänge
in den Grundzustand entvölkert werden. Dies ist möglich durch Stöße der Ne-Atome
mit der Wand der Kapillare, die daher möglichst eng gewählt wird. Aus dem Energieniveauschema in Abb.170 sieht man, dass im Helium-Neon-Laser bei mehreren
Übergängen eine Besetzungsinversion vorhanden ist, d. h. dass mehrere Übergänge
für eine Laserstrahlung ausgewählt werden können. Die beiden gebräuchlichsten sind
die von Ne∗ 5s nach Ne∗ 3p (λ = 632, 8 nm) bzw. von Ne∗ 4s nach Ne∗ 3p (λ = 1152
nm). Die Auswahl eines speziellen Übergangs und seiner Strahlungsfeldcharakteristik (d.h. Frequenzbreite, Polarisation und transversale Intensitätsverteilung) für
die Lasertätigkeit heißt Modenselektion (mode selection). Die Verstärkung einer
gewünschten Linie erreicht man dadurch, dass man im aktiven Lasermaterial (hier
Neon-Atome mit Besetzungsinversion) stehende Wellen der betreffenden Wellenlänge
mit einer bestimmten transversalen Intensitätsverteilung erzeugt. In Abb.169 wird
durch die Anordnung der beiden Spiegel ein optischer Resonator gebildet, in dem
sich stehende Lichtwellen bilden können, deren Wellenlänge, analog zu den stehenden Schallwellen in einer Pfeife mit geschlossenen Enden (vgl.S.91), der Bedingung
κλ/2 = ` genügen muss. Die ganze Zahl κ ist gewöhnlich sehr groß, für ` = 30
cm und λ = 632,8 nm erhält man κ ≈ 9, 5 · 105 . Die transversale Intensitätsverteilung im Laserstrahl wird durch strahlbegrenzende Blenden und die Größe und
Krümmung der Resonatorspiegel bestimmt und kann durch zwei kleine ganze Zahlen
(l, m) charakterisiert werden. Das Zahlentripel (κ, l, m) definiert eine Eigenmode
336
22 Wellenoptik
(eigenmode) des optischen Laserresonators. Der Wellenlängenabstand benachbarter
longitudinaler Moden ergibt sich zu ∆λ = 2`/κ − 2`/(κ + 1) ≈ 2`/κ2 . Für den
Frequenzabstand ∆f ≈ |(c/λ2 )∆λ| folgt mit λ = 2`/κ und ∆λ ≈ 2`/κ2 die Beziehung ∆f ≈ c/(2`). Im betrachteten Beispiel ergibt sich also ∆f ≈ 0, 5 GHz. Da
sich die Neon-Atome im Laser bewegen (Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung)
und da die Photonenemission der Atome durch Stöße gestört wird, sind die von
den Atomen in der Gasentladungsröhre emittierten Spektrallinien inhomogen verbreitert (Doppler- und Stoßverbreiterung), wobei die Halbwertsbreite bei etwa 1...2
GHz liegt und damit im vorliegenden Beispiel 2...4 longitudinale Eigenmoden des
Resonators umfaßt. Der optische Resonator des Lasers verstärkt diese die Spektrallinie überlappenden Eigenmoden, die man dann in der Laserstrahlung wiederfindet.
Die spektrale Breite der Lasermoden wird durch die Güte des Resonators (in Analogie zur Güte eines Schwingkreises, s.Gl.398) und durch die Quanteneigenschaften
des Lichtfeldes im Laser bestimmt. Die Güte des optischen Resonators wächst mit
den Reflexionskoeffizienten der verwendeten Spiegel und wird durch Strahlungsverluste (Streuung und Absorption bei der ausgewählten Wellenlänge an Laserbauelementen) kleiner. Durch Dämpfung unerwünschter Moden (Wahl geeigneter Filter
und Blenden) kann man Einmodenlaser (single mode laser) konstruieren, deren
spektrale Breite nur wenige Hertz beträgt. Die Festlegung der Polarisationsrichtung der Laserstrahlung erfolgt in Abb.169 durch die das Laserrohr auf beiden Seiten abschließenden Brewster-Fenster (Brewster windows). Dies sind planparallele
Glasplatten, die um den Brewster-Winkel zur Symmetrieachse der Spiegel geneigt
sind. Die zu verstärkenden Wellen, deren elektrischer Feldvektor in der Zeichenebene
(Einfallsebene) schwingt, treten ohne Verlust in das Brewster-Fenster ein. Alle anderen Wellenlängen und Polarisationsrichtungen werden an den Brewster-Fenstern
von der Symmetrieachse wegreflektiert, erleiden dadurch Verluste und werden nicht
verstärkt. Nach vielfachem Hin- und Herlaufen der Welle bleibt schließlich nur noch
die gewünschte Mode mit der linearen Polarisation übrig. Das vom Laser emittierte
Licht zeichnet sich durch eine zeitlich und räumlich weit ausgedehnte feste Phase und
Polarisationsrichtung aus. Es ist gebündelt und kann durch zusätzliche Linsen weiter
fokussiert werden. Durch schnelle Schaltung der Güte des Resonators können kurze (Piko- bis Femtosekunden) und sehr intensive (Giga- bis Terawatt) Lichtimpulse
erzeugt werden.
In der Tab.70 sind experimentell bestimmte Linienbreiten ∆f für verschiedene Lichtquellen angegeben. Die daraus mit den Gln.(478) bzw. (479), S.331, berechneten
Werte für die mittlere Dauer (τ ) und Länge (Kohärenzlänge λc ) der emittierten
Wellenzüge besitzen nur dann eine physikalische Bedeutung, wenn die Linien homogen verbreitert sind. Dies gilt für Laserlicht und näherungsweise auch für das Licht
gekühlter Spektrallampen.
Eine Analogie zum Schall soll schließlich noch die Bedeutung der verschiedenen Arten von Licht erläutern: Wir betrachten eine größere Anzahl im Raum verteilter
Lautsprecher (Lichtquellen). Natürliches weißes Licht entspricht dann dem Schall,
22.2 Interferenz
337
der entsteht, wenn jeder Lautsprecher zu statistisch verteilten Zeiten einen Ton abgibt, der nur kurz ist und dessen Frequenzen über ein breites Intervall verteilt sind.
Natürliches farbiges Licht, wie man es nach dem Durchgang durch ein Farbfilter
erhält, bedeutet, dass die Frequenzen auf ein mehr oder weniger schmales Intervall
beschränkt sind. Das Licht, das von einer Spektrallinie herrührt, entspricht dem
Schall, bei dem alle Frequenzen gleich sind. Die Analogie zum kohärenten Licht
(coherent light), ist der Schall, der entsteht, wenn alle Lautsprecher mit der gleichen
Frequenz und jeder mit fester Phase einen (im Idealfall unendlich langen) Ton abgeben. Zwischen kohärenten Lichtstrahlen besteht demnach über einen bestimmten
Raum- und Zeitbereich eine feste Phasenbeziehung. Ü 137 Ü 138
Tabelle 70. Linienbreite ∆f und daraus berechnete mittlere Dauer (τ ) und Länge (λc ) der
emittierten Wellenzüge für einige Lichtquellen. λc ist die Kohärenzlänge der betreffenden
Lichtquelle (s.S.331)
Lichtquelle
∆f
14
Hz
τ = 1/∆f
λc = c0 τ
weißes Licht mit Farbfilter
ca. 10
(0,01 ps)
(3 µm)
Spektrallampe bei Zimmertemperatur
1,5 GHz
(0,67 ns)
(0,2 m)
Spektrallampe gekühlt (77 K)
500 MHz
2 ns
0,6 m
Halbleiterlaser
2 MHz
0,5 µs
150 m
Einmoden-Helium-Neon-Laser
10 Hz
0,1 s
30000 km
22.2 Interferenz
Die Überlagerung kohärenter Lichtstrahlen nennt man Interferenz (interference).
Handelt es sich um parallele Strahlen, so spricht man von Fraunhofer-Interferenz
(Fraunhofer interference, Joseph von Fraunhofer 1787-1826), ansonsten von FresnelInterferenz (Fresnel interference, Jean Augustin Fresnel 1788-1827). Räumliche
Hindernisse, wie z.B. eine Kante oder ein Schirm mit einem Spalt, geben Anlass zu Interferenzen, deren Gesamtheit man als Beugung (diffraction) bezeichnet. Interferenzfarben (interference colors) treten dann auf, wenn von einfallendem weißem Licht ein gewisser Wellenlängenbereich durch Interferenz ausgelöscht
wird. Auf diese Weise entstehen z.B. die schillernden Farben der Seifenblasen, der
dünnen Ölschichten auf regennassen Fahrbahnen oder auch der (sich beim Erhitzen
bildenden) dünnen Oxidschichten auf blanken Metalloberflächen (Anlauffarben,
annealing colors). Die Ursache ist die Interferenz zwischen dem an der Vorderund der Rückseite einer durchsichtigen Schicht reflektierten Licht. Als Beispiel für
Fraunhofer-Interferenzen betrachten wir die Newton-Ringe (Newton rings, Isaac
Newton 1643-1727). Auf eine plankonvexe Linse, die auf einer ebenen Glasplatte
338
22 Wellenoptik
liegt (s.Abb.171), falle von oben senkrecht paralleles Licht mit der Wellenlänge λ.
Dann sieht man (bei Betrachtung von oben) konzentrische dunkle Ringe, die nach
außen hin in ihrer Intensität umso stärker abnehmen, je kleiner die Kohärenzlänge
des Lichtes ist. Für den Radius dieser Ringe ergibt sich
r = (κ R λ)1/2
(484)
mit κ = 0, 1, 2, ... Diese Gleichung kann bei bekanntem Krümmungsradius R der
Linse zur Wellenlängenmessung benutzt werden.
Licht
R
R
Abbildung 171.
Zur Entstehung der Newton-Ringe. R ist der
Krümmungsradius der plankonvexen Linse und 2` der Wegunterschied zwischen den beiden Strahlen, die, im Abstand r von der Mitte,
an der Unterseite der Linse bzw. der
Oberseite der Glasplatte reflektiert
werden
r
Der Wegunterschied zwischen den beiden Strahlen, die an der Unterseite der Linse bzw.
an der Oberseite der Glasplatte reflektiert werden, ist nach Abb.171 gleich 2`. Diese
Größe ergibt sich aus der Beziehung r2 + (R − `)2 = R2 und unter der Voraussetzung
` R zu 2` = r2 /R. Da bei der Reflexion an der Oberseite der Glasplatte (d.h. an
der Grenze von einem optisch dünneren (Luft) zu einem optisch dichteren Stoff (Glas))
ein Phasensprung π auftritt (s.S.373), beträgt die gesamte Phasenverschiebung zwischen
den beiden reflektierten Strahlen (2`/λ)2π + π. Auslöschung tritt auf, wenn diese Phasenverschiebung gleich (2κ + 1)π mit κ = 0, 1, 2, ... ist. Damit folgt 2`/λ = κ. Einsetzen
von 2` = r2 /R ergibt r2 = κRλ, d.h. die gesuchte Gl.(484).
Fresnel-Interferenzen lassen sich mit zwei punktförmigen Lichtquellen erzeugen. Allerdings müssen die beiden Lichtquellen kohärentes Licht ausstrahlen. Diese Bedingung erfüllt man am einfachsten dadurch, dass man mit Hilfe der geometrischen
Optik von einer realen punktförmigen Lichtquelle L zwei virtuelle Bilder L1 und L2
entwirft, die dann Fresnel-Interferenzen erzeugen (s. die Abb.172 und Abb.173).
Die mitunter für kohärent verwendete Bezeichnung interferenzfähig sollte man nach
Möglichkeit vermeiden, da sich, wie im nächsten Abschnitt gezeigt wird, auch mit
nichtkohärenten Lichtquellen Interferenzen erzeugen lassen.
22.3 Interferenz inkohärenter Strahlungsquellen
339
L
L2
L1
L1
L2
L
S
Interferenzgebiet
Interferenzgebiet
Abbildung 172. Fresnel’scher Doppelspiegel (Fresnel mirrors). S ist ein Schirm,
mit dem die Lichtquelle L gegenüber dem
Interferenzgebiet abgedeckt wird, so dass
dort nur die beiden virtuellen Lichtquellen
L1 und L2 interferieren
Ü 139
Ü 140
A 124
A 125
A 126
Abbildung 173. Fresnel’sches Biprisma (Fresnel biprism)
A 127
A 128
A 129
A 130
A 131
22.3 Interferenz inkohärenter Strahlungsquellen
In Abb.174 bezeichnen L1 und L2 zwei punktförmige Lichtquellen mit dem Abstand
`, die Licht der gleichen Frequenz und Intensität abstrahlen. Das Licht sei jedoch
inkohärent.
Der Schirm, auf dem die Interferenzen gemessen werden sollen, sei parallel zu `. Da
es sich um inkohärentes Licht handelt, kommt es nicht zur Ausbildung von FresnelInterferenzen: Die von einem Detektor D gemessene Intensität I zeigt bei einer Verschiebung auf dem Schirm parallel zu ` keinerlei Periodizitäten. Wenn man aber zwei
Detektoren D0 und D einsetzt und deren jeweils zum gleichen Zeitpunkt gemessenen
Intensitäten I0 und I miteinander multipliziert, so ergibt sich nach Mittelung über
eine große Anzahl von Einzelmessungen
hI0 Ii =
1 2
hI0 i{2 + cos[(2π`/λ) sin δ]}.
3
(485)
23 Polarisation des Lichtes
Marie von Ebner-Eschenbach: Wer nichts weiß, muss alles
glauben.
Licht gehört zu den elektromagnetischen Wellen (electromagnetic waves). Diese
ergeben sich als Lösung der Maxwell-Gleichungen beispielsweise für das Feld eines
elektrischen Dipols, dessen Dipolmoment eine Funktion der Zeit ist (s.S.280). Nehmen wir eine sinusförmige Zeitabhängigkeit mit der Frequenz f an und betrachten
Abstände vom Dipol, die groß sind gegen die Wellenlänge λ = c/f , wobei c die Lichtgeschwindigkeit in dem betreffenden Dielektrikum (Medium) bezeichnet, so liefert
die Theorie die für das Folgende wesentlichen Aussagen:
~
~
(1) Die elektrische E(t)
und die magnetische Feldstärke H(t)
stehen senkrecht aufeinander und senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung der elektromagnetischen Wellen
(s.S.285).
~ · d~a, wobei sich
(2) Die durch eine Fläche d~a transportierte mittlere Leistung ist S
~ (Poynting-Vektor, s.S.286) aus dem über die Zeit gemittelten Vekder Vektor S
~ =
torprodukt der elektrischen und magnetischen Feldstärke ergibt, d.h. es gilt S
~
~
hE(t) × H(t)it .
(3) Die elektrische und die magnetische Feldstärke sind in Phase und für den Zusam1/2
1/2
~
~
menhang zwischen ihren Beträgen gilt |E(t)|(ε
= |H(t)|(µ
(s.Gl.(426),
r ε0 )
r µ0 )
S.286).
Wir brauchen also im Weiteren zur Beschreibung der elektromagnetischen Wellen
~
nur den Vektor E(t)
anzugeben. Außerdem kann man für die meisten Stoffe, die in
der Optik eine wesentliche Rolle spielen, µr = 1 setzen. A 135 A 136 A 137
Zur Definition der Polarisation des Lichtes (polarization of light) betrachte
man die Abb.201. Die Ausbreitung der elektromagnetischen Welle mit der Frequenz f und der Wellenlänge λ erfolge in z-Richtung, d.h. senkrecht zur Zeichenebene auf den Beobachter zu. Wenn dann die elektrische Feldstärke ständig in
einer die z-Achse enthaltenden, vorgegebenen Ebene senkrecht zu z liegt, z.B.
~
E(t)
= ~ex Êx sin[ωt − (2π/λ)z] mit ω = 2πf und ~ex als dem Einheitsvektor in
x-Richtung (s.Abb.201, oberes Bild), dann spricht man von einer linear polarisierten Welle (plane-polarized wave). Diese Ebene, im vorliegenden Fall ist es
die x-z-Ebene, nennt man die Schwingungsebene (plane of oscillation). Die dazu
senkrechte Ebene, in der der Vektor der magnetischen Feldstärke liegt, heißt Polarisationsebene (plane of polarization). Ü 145 A 138 A 139
In der neueren, vor allem englischsprachigen Literatur, scheint sich allerdings zunehmend
die Verwendung des Begriffs Polarisationsebene für jene Ebene durchzusetzen, in der das
elektrische Feld schwingt.
370
23 Polarisation des Lichtes
y
linear
z
x
y
rechtselliptisch
z
x
y
rechtszirkular
polarisiert
z
x
Abbildung 201. Zur Definition der
Polarisation einer elektromagnetischen
Welle. Der Pfeil stellt die elektrische
~
Feldstärke E(t)
dar. Die Ausbreitung der
Welle erfolgt in z-Richtung, d.h. senkrecht zur Zeichenebene auf den Betrachter zu
Addiert man zu dieser Welle eine zweite, senkrecht dazu linear polarisierte Welle (ihre Schwingungsebene ist die y-z-Ebene in Abb.201) mit einer Phasenverschiebung
von +π/2, so ergibt sich eine rechtselliptisch polarisierte Welle (right-handed
~
elliptically polarized wave) E(t)
= ~ex Êx sin[ωt − (2π/λ)z] + ~ey Êy cos[ωt − (2π/λ)z]
(s.Abb.201, mittleres Bild), die im Spezialfall gleicher Amplituden (Êx = Êy = Ê)
rechtszirkular polarisierte Welle (right-handed circularly polarized wave) heißt
(s.Abb.201, unteres Bild). Für eine Phasenverschiebung von −π/2 kehrt sich die Umlaufsrichtung in dem mittleren und unteren Bild von Abb.201 um und man spricht
von einer linkselliptisch (left-handed) bzw. linkszirkular (left-handed circularly)
polarisierten Welle.
Wir betrachten einen rechtszirkular polarisierten Lichtstrahl. Dann gilt: (1) Die Momentaufnahme des elektrischen Feldes stellt eine Rechtsschraube dar. (2) In einer festen Ebene
senkrecht zur Ausbreitungsrichtung dreht sich die elektrische Feldstärke bei Betrachtung
entgegen der Strahlrichtung im Uhrzeigersinn (s.Abb.201, unteres Bild). Damit besteht
also die Ausbreitung des rechtszirkular polarisierten Lichtsstrahls in einer Parallelverschiebung der Rechtsschraube, d.h. ohne Drehung, längs ihrer Achse.
23.1 Die Fresnel-Formeln
371
23.1 Die Fresnel-Formeln
Wir betrachten Licht, das auf die ebene Grenzfläche zwischen zwei verschiedenen
Medien treffe und nehmen zunächst an (1. Fall ), dass das Licht linear polarisiert
sei mit der elektrischen Feldstärke senkrecht zur Einfallsebene (s.Abb.202). Durch
die Indizes e, r und g kennzeichnen wir die einfallende, die reflektierte bzw. die
gebrochene Welle. Dann ergibt sich aus der Forderung nach der Stetigkeit der zur
Grenzfläche parallelen Komponente der elektrischen Feldstärke (s.S.184) eine erste
Gleichung, nämlich
Ee + Er = Eg .
(511)
Er
Ee
α1 α
1
Eg
α2
n1
n2
Abbildung 202. Eine linear polarisierte
elektromagnetische Welle trifft auf die ebene Grenzfläche zwischen zwei Medien mit
den Brechungsindizes n1 und n2 . Die Schwingungsebene stehe senkrecht auf der Einfallsebene, was durch die Punkte angezeigt wird.
Ee , Er und Eg bezeichnen die elektrische
Feldstärke für die einfallende, die reflektierte
bzw. die gebrochene Welle
Eine zweite Gleichung folgt aus der Tatsache, dass in der Grenzfläche keine Energieanreicherung oder Energieverarmung stattfinden darf. Da der Poynting-Vektor
proportional zu nE 2 ist, wobei n den Brechungsindex des betreffenden Mediums
bezeichnet, ergibt sich
(Ee2 − Er2 )n1 cos α1 = Eg2 n2 cos α2 .
(512)
~ = hE(t)
~
~
Für den Poynting-Vektor S
× H(t)i
t (s.S.286) können wir schreiben S ∝
~
~
E(t)H(t), da E(t)
und H(t)
senkrecht aufeinander stehen und in Phase sind (s.S.369).
Wegen E(εr ε0 )1/2 = H(µr µ0 )1/2 (s.S.369) sowie der Beziehung n = (εr µr )1/2 (s.Gl.(447a),
S.306) folgt mit µr = 1, dass S in jedem Zeitpunkt proportional zu nE 2 (t) sein muss.
Die dritte Gleichung schließlich ist das Brechungsgesetz (s.Gl.(446), S.305)
372
23 Polarisation des Lichtes
sin α1
n2
=
.
sin α2
n1
(513)
A 140
Aus diesen drei Gleichungen folgen nach einer einfachen Zwischenrechnung die Beziehungen
sin(α1 − α2 )
sin(α1 + α2 )
(514)
2 sin α2 cos α1
.
sin(α1 + α2 )
(515)
Er = −Ee
und
Eg = E e
Die Gl.(512) dividiert durch die Gl.(511) gibt wegen a2 − b2 = (a − b)(a + b) die
Beziehung (Ee − Er )n1 cos α1 = Eg n2 cos α2 . Mit Gl.(513) folgt (Ee − Er ) cos α1 =
(Eg cos α2 ) sin α1 / sin α2 . Hier ersetzen wir Eg nach Gl.(511) und erhalten (Ee −
Er ) cos α1 sin α2 = (Ee + Er ) cos α2 sin α1 . Die Auflösung dieses Ausdrucks nach Er
gibt Er = Ee · [cos α1 sin α2 − sin α1 cos α2 ]/[cos α1 sin α2 + sin α1 cos α2 ]. Unter Beachtung des Additionstheorems sin(α1 ± α2 ) = sin α1 cos α2 ± sin α2 cos α1 ist dies
identisch mit der gesuchten Gl.(514). Setzen wir die Gl.(514) in Gl.(511) ein, so folgt
Eg = Ee [sin(α1 + α2 ) − sin(α1 − α2 )]/ sin(α1 + α2 ). Für den Zähler ergibt sich unter
Verwendung des erwähnten Additionstheorems 2 sin α2 cos α1 und damit die gesuchte
Gl.(515).
Im 2. Fall liegt die elektrische Feldstärke in der Einfallsebene (s.Abb.203).
Ee
α1 α
Er
1
n1
n2
α2
Eg
Abbildung 203. Eine linear polarisierte
elektromagnetische Welle trifft auf die ebene Grenzfläche zwischen zwei Medien mit
den Brechungsindizes n1 und n2 . Die Schwingungsebene liege in der Einfallsebene, was
~ e, E
~r
durch die Querstriche angezeigt wird. E
~ g bezeichnen die elektrische Feldstärke
und E
für die einfallende, die reflektierte bzw. die
gebrochene Welle
23.1 Die Fresnel-Formeln
373
Die Forderung nach der Stetigkeit der zur Grenzfläche parallelen Komponente der
elektrischen Feldstärke liefert hier an Stelle von Gl.(511) die Beziehung
Ee cos α1 + Er cos α1 = Eg cos α2 .
(516)
Die beiden anderen Bedingungen sind identisch mit den Gln.(512) und (513). Durch
Auflösung dieser Gleichungen nach Er und Eg analog zu dem kleingedruckten Text
oben ergeben sich die Beziehungen
tan(α1 − α2 )
tan(α1 + α2 )
(517)
2 sin α2 cos α1
.
sin(α1 + α2 ) cos(α1 − α2 )
(518)
Er = −Ee
und
Eg = Ee
Die Gln.(514), (515), (517) und (518) werden als Fresnel-Formeln (Fresnel equations) bezeichnet. Sie wurden 1822 von Jean Augustin Fresnel (1788-1827) ohne
Kenntnis der Theorie der elektromagnetischen Wellen auf viel kompliziertere Weise
abgeleitet. Wir wollen im Folgenden drei wichtige Schlussfolgerungen bzw. Anwendungen der Fresnel-Formeln behandeln.
(1) Die Gln.(514) und (517) besagen,
dass bei der Reflexion an einem optisch dichteren Medium (n2 > n1 ) die Phase
der reflektierten Welle um π springt, während sie sich für n2 < n1 nicht ändert.
Aus n2 > n1 folgt nach Gl.(513) die Ungleichung α1 > α2 . Setzt man dies in die Gln.(514)
und (517) ein, so ergibt sich eine Vorzeichenumkehr (Er ∝ −Ee ), was einem Phasensprung um den Winkel π entspricht. Bei n2 < n1 folgt α1 < α2 und Er ∝ +Ee .
(2) Aus der Gl.(517) folgt, dass Er verschwindet, sobald der reflektierte und der
gebrochene Strahl einen Winkel π/2 miteinander bilden (α1 + α2 = π/2, s.Abb.203),
da dann der Nenner unendlich wird. Es bleibt also bei einfallendem natürlichem, d.h.
unpolarisiertem Licht im reflektierten Strahl nur die Komponente Er nach Gl.(514)
übrig. Dies bedeutet:
Wenn der reflektierte und der gebrochene Strahl senkrecht aufeinander stehen, so
ist das reflektierte Licht zu 100% linear polarisiert, und zwar in der Weise, dass die
elektrische Feldstärke senkrecht auf der Einfallsebene steht (Brewster-Gesetz,
Brewster law, David Brewster 1781-1868).
Der gebrochene Strahl ist dagegen nur zum Teil linear polarisiert; denn es gibt sowohl eine Komponente der elektrischen Feldstärke senkrecht (Eg nach Gl.(515))
als auch parallel (Eg nach Gl.(518)) zur Einfallsebene. Allerdings muss die letztere
Komponente überwiegen, da ja dem natürlichen Licht durch die Reflexion ein linear
374
23 Polarisation des Lichtes
polarisierter Anteil entzogen ist. Das Brewster-Gesetz lässt sich anschaulich verstehen, wenn man den Übergang des Lichtes vom Vakuum (n1 = 1) zu einem Medium
(n2 > 1) betrachtet und bedenkt, dass eine linear schwingende Ladung (Hertz’scher
Dipol) nicht in ihrer Schwingungsrichtung strahlt (s.Gl.430, S.287). Da nun die am
Auftreffpunkt des einfallenden Strahles im Medium sitzenden Ladungen zu erzwungenen Schwingungen in Richtung der elektrischen Feldstärke (Richtung der Striche
am gebrochenen Strahl in Abb.203) angeregt werden, muss Er für α1 + α2 = π/2
verschwinden.
(3) Reflexminderung durch Beschichtung. Durch Bedampfung einer Linse mit einer dünnen durchsichtigen Schicht geeigneter Dicke ` und mit einem geeigneten
Brechungsindex nA (s.u.) lässt sich erreichen, dass praktisch das gesamte auffallende Licht in die Linse eintritt. Auf diese Weise erhöht man bei modernen Objektiven von Ferngläsern, Photoapparaten usw. die Lichtstärke (Antireflexionsschicht,
T-Optik, Vergütung von Linsen, antireflection coating). Eine vollständige Unterdrückung der Reflexion gelingt allerdings nur für senkrechten Einfall und eine
bestimmte Wellenlänge des Lichtes. Durch Übereinanderdampfen von Antireflexionsschichten für verschiedene Wellenlängen lässt sich aber die Reflexion auch in
gewissen Wellenlängenbereichen weitestgehend unterdrücken. Wenn man die Dicke
λ der Antireflexionsschicht so wählt, dass
` = λA /4
(519)
gilt, wobei λA die Wellenlänge des Lichtes in der Antireflexionsschicht bezeichnet, so
löscht sich die an der oberen Grenzfläche der Schicht reflektierte Welle (0 in Abb.204)
mit der an der unteren Grenzfläche reflektierten Welle (1 in Abb.204) aus. A 141
0 12
Luft
n Lu
Antireflexionsschicht
nA
Linse n Li
Abbildung 204. Zur Wirkungsweise einer Antireflexionsschicht. nLi , nA und nLu
bezeichnen die Brechungsindizes des Linsenmaterials, der Antireflexionsschicht bzw. der
Luft
23.2 Natürliche Doppelbrechung
375
Allerdings muss dafür die Beziehung nLi > nA > nLu erfüllt sein, da nur dann in
beiden Fällen die Reflexion an einem optisch dichteren Medium erfolgt und damit
der Phasenunterschied lediglich durch die Wegdifferenz 2` = λA /2 gegeben wird. An
der Interferenz mit der Welle 0 ist aber nicht nur die Welle 1 beteiligt, die einmal
durch die Schicht hin- und hergegangen ist, sondern es tragen auch alle diejenigen
Wellen zur Interferenz bei, die das zweimal (Welle 2 in Abb.204), dreimal usw. getan
haben. Damit es zur Auslöschung zwischen der Welle 0 und der Summe der Wellen
1, 2, 3, ... kommt, muss neben Gl.(519) noch die Bedingung
nA =
√
nLu nLi
(520)
erfüllt werden.
Aus Gl.(514), S.372, ergibt sich unter Verwendung des Additionstheorems sin(α1 ±α2 ) =
sin α1 cos α2 ± sin α2 cos α1 und unter der Annahme eines nahezu senkrechten Einfalls
(cos α1 ≈ cos α2 ≈ 1) die Gleichung Er = −Ee (sin α1 − sin α2 )/(sin α1 + sin α2 ).
Mit dem Brechungsgesetz (Gl.(513), S.372) vereinfacht sich diese Beziehung zu Er =
−Ee (n2 − n1 )/(n2 + n1 ). Das gleiche Resultat folgt für Er nach Gl.(517), S.373, da
bei kleinen Winkeln (senkrechter Auffall) der Tangens durch den Sinus ersetzt werden kann. Damit ergibt sich für den Reflexionsfaktor (Er /Ee ) an der Grenzfläche
Luft/Antireflexionsschicht ρ = −(nA − nLu )/(nA + nLu ), an der Grenzfläche Antireflexionsschicht/Linse σ = −(nLi − nA )/(nLi + nA ) und an der Grenzfläche Antireflexionsschicht/Luft −(nLu − nA )/(nLu + nA ) = −ρ. Die relative elektrische Feldstärke der Welle
0 ist damit ρ. Für die der Welle 1 folgt (−1)(1 + ρ) · σ(1 − ρ), wobei der erste Faktor die
Weglänge berücksichtigt. Der zweite Faktor ergibt sich aus der Stetigkeit der zur Grenzschicht parallelen Komponente der elektrischen Feldstärke, die auf der Seite der Luft
gleich Ee + ρEe ist. Der dritte Faktor berücksichtigt die Reflexion an der unteren Grenzfläche der Antireflexionsschicht und der vierte Faktor die Reflexion an der oberen Grenzfläche. Analog ergibt sich (−1)2 (1+ρ)σ 2 (−ρ)(1−ρ) für die relative elektrische Feldstärke
der Welle 2 usw. Die Summe der relativen elektrischen Feldstärken für die Wellen 1,2,3,...
ist also (−1)(1−ρ)(1+ρ)σ[1+ρσ+(ρσ)2 +...], wofür sich unter Verwendung der SummenP∞
formel n=0 q n = (1 − q)−1 (gültig für 0 < q < 1) der Ausdruck (−1)(1−ρ2 )σ(1−ρσ)−1
ergibt. Die Bedingung ρ + (−1) · (1 − ρ2 )σ(1 − ρσ)−1 = 0 (Auslöschung der Welle 0 durch
die Summe der Wellen 1,2,3,...) wird erfüllt für ρ = σ. Einsetzen der obigen Beziehungen
für ρ und σ liefert die Gleichung (nA − nLu )(nLi + nA ) = (nLi − nA )(nA + nLu ) oder
n2A = nLu nLi .
Ü 146
23.2 Natürliche Doppelbrechung
Ein Kristall (crystal) entsteht durch Aneinanderreihung der kleinsten Einheit der
betreffenden Kristallstruktur. Diese Einheit nennt man Elementarzelle oder Ein-
376
23 Polarisation des Lichtes
heitszelle (unit cell). Sie wird durch die drei Basisvektoren (unit vectors) ~a, ~b
und ~c aufgespannt. Diese Basisvektoren verbinden äquivalente Punkte des Kristalls
miteinander, d.h. Punkte, deren Umgebung im Kristall völlig gleich ist. Die Gesamtheit aller durch die Vektoren ~rn1 ,n2 ,n3 = n1~a + n2~b + n3~c mit ganzzahligen Werten
n1 , n2 , n3 entstehenden Punkte bildet das Gitter (lattice) des Kristalls. Alle Gitter
lassen sich in die sieben Kristallsysteme (crystal systems) einordnen, die in der
Tab.72 zusammengestellt sind.
Tabelle 72. Die sieben Kristallsysteme. Durch Kombination mit den in der letzten Spalte
angegebenen Zentrierungstypen entstehen die vierzehn Bravais-Gitter (s.Abb.205). ~a, ~b
und ~c sind die drei Basisvektoren der Einheitszelle. Vereinbarungsgemäß zeichnet man ~c
nach oben (s.Abb.205). In der Spalte ”Winkel zwischen den Basisvektoren” stellt die erste
Angabe den Winkel zwischen ~b und ~c dar, die zweite betrifft ~a, ~c und die dritte ~a, ~b
Kristallsystem
Länge der
Basisvektoren
(a 6= b 6= c)
Winkel zwischen
den Basisvektoren
(α 6= β 6= γ 6= α),
(α, β, γ 6= π/2)
Zentrierungstyp (zusammen mit dem Kristallsystem liefern sie die
Bravais-Gitter)
kubisch (cubic)
trigonal (trigonal)
a, a, a
a, a, a
π/2, π/2, π/2
α, α, α
P, I, F
P
tetragonal (tetragonal)
hexagonal (hexagonal)
a, a, c
a, a, c
π/2, π/2, π/2
π/2, π/2, 2π/3
P, I
P
rhombisch (rhombic)
monoklin (monoclinic)
triklin (triclinic)
a, b, c
a, b, c
a, b, c
π/2, π/2, π/2
π/2, β, π/2
α, β, γ
P, I, F, C
P, C
P
Der Würfel gehört zum kubischen und der ”Ziegelstein” zum rhombischen Kristallsystem. Das kubische Kristallsystem besitzt die größte und das trikline Kristallsystem die geringste Symmetrie. Das trigonale Kristallsystem wird mitunter auch
als rhomboedrisch (rhombohedral), das rhombische als orthorhombisch (orthorhombic) bezeichnet. Wenn die Einheitszelle nur an den Ecken besetzt ist, nennt man
sie primitiv (simple, Symbol P oder s); ist noch der Schnittpunkt der Raumdiagonalen besetzt, so heißt sie innenzentriert (body-centred, Symbol I oder b.c.).
Sind neben den Ecken noch die Zentren der Flächen besetzt, so wird die Einheitszelle flächenzentriert (face-centred, Symbol F oder f.c.) genannt. Das Symbol C
ist für die Fälle vorgesehen, bei denen die Flächen nicht gleichwertig sind und nur
die von ~a,~b aufgespannte Fläche zentriert ist (A und B betreffen die Flächen ~b, ~c
bzw. ~a, ~c). Ein Kristall, der aus primitiven Einheitszellen (P) besteht, enthält also, da hier alle Gitterpunkte den benachbarten Einheitszellen gemeinsam sind, nur
einen Gitterpunkt pro Einheitszelle. Bei A, B, C, I sind es zwei und bei F vier. Da
nicht alle Kombinationen der sieben Kristallsysteme mit jedem Zentrierungstyp
(packing type) I, F, A, B und C sinnvoll sind (d.h. die Symmetrie der primitiven
23.2 Natürliche Doppelbrechung
377
Einheitszelle erhalten, s. Tab.72), entstehen die vierzehn in Abb.205 dargestellten
Bravais-Gitter (Bravais-lattices, Auguste Bravais 1811-1863). A 142
Abbildung 205. Die vierzehn Bravais-Gitter (s. auch Tab.72)
In Kristallen, die zum kubischen Kristallsystem gehören, wie z.B. Steinsalz oder
Diamant, und in amorphen Stoffen (z.B. Glas) hängt die relative Dielektrizitätskonstante εr nicht von der Richtung des elektrischen Feldes ab. Für die elektromagnetischen Wellen bedeutet dies (s.Gl.(447a), S.306), dass der Brechungsindex
n unabhängig von der Ausbreitungsrichtung der Wellen ist. Man spricht von einem optisch isotropen Medium (isotropic medium). In allen anderen Fällen kann
eine optische Anisotropie (anisotropy) auftreten, die meist mit einer Anisotropie anderer Eigenschaften, wie z.B. der Wärmeleitfähigkeit oder des Elastizitätsmoduls verknüpft ist. Die optische Anisotropie bedeutet, dass der Brechungsindex
von der Ausbreitungsrichtung des Lichtes bezüglich der Einheitszelle des Kristalls
abhängt, oder, mit anderen Worten, dass der Brechungsindex ein Tensor sein muss.
378
23 Polarisation des Lichtes
Bei Kristallen, die zum trigonalen, tetragonalen oder hexagonalen Kristallsystem
gehören, ist dieser Tensor axialsymmetrisch, d.h. zwei seiner drei Hauptwerte sind
gleich (s.Tab.73). Man spricht dann von optisch einachsigen Kristallen (uniaxial
crystals). Die Richtung der Symmetrieachse des Tensors wird als optische Achse
(optical axis) und jede Ebene, die durch die optische Achse und einen nicht auf ihr
liegenden (beliebigen) Punkt bestimmt wird, als Hauptschnitt (principal section)
des Kristalls bezeichnet. Die optische Achse stimmt bei optisch einachsigen Kristallen mit der Symmetrieachse der betreffenden Elementarzelle überein. Bei Kristallen,
die zum rhombischen, monoklinen oder triklinen Kristallsystem gehören, können die
drei Hauptwerte verschieden sein, so dass der Kristall zwei optische Achsen besitzt
(optisch zweiachsige Kristalle, biaxial crystals).
Wir behandeln zunächst die Ausbreitung einer ebenen, linear polarisierten elektromagnetischen Welle in einem optisch einachsigen Kristall, indem wir denjenigen
Hauptschnitt betrachten, in dem der Vektor der Strahlrichtung (s.u.) liegt. Dann
gibt es zwei Möglichkeiten. Bei der einen steht die elektrische Feldstärke senkrecht
auf diesem Hauptschnitt (ordentliche Welle, ordinary wave, s.Abb.206, bei der
anderen liegt sie in dieser Ebene (außerordentliche Welle, extraordinary wave,
s.Abb.207).
Wenn wir im Folgenden von der Strahlrichtung (ray direction) sprechen, meinen
~ der betreffenwir die Richtung des Energietransportes, d.h. des Poynting-Vektors S
den elektromagnetischen Welle. Die Ausbreitungsrichtung der Welle (direction
of wave propagation) ist dagegen die Richtung des Wellenvektors ~k, also der Normalen auf den Flächen gleicher Phase der elektromagnetischen Welle. Diese Normale
wird in Abb. 209, S.382 als Wellennormale bezeichnet.
Tabelle 73. Hauptwerte des Brechungsindexes verschiedener Kristalle bei Zimmertemperatur und λ0 = 589, 3 nm [LID90], [KOH96]. no ist der Brechungsindex für die ordentliche
Welle, die ne gelten für die außerordentliche(n) Welle(n)
Kristall
Quarz
(SiO2 ,
quartz)
Kristallsystem trigonal
optische
Bezeichnung
Kalkspat
(CaCO3 ,
calcspar)
Natriumnitrat Gips
Glimmer,
(NaNO3 ,
(CaSO4 · 2H2 O, ostindisch
sodium nitrate) gypsum)
(mica)
trigonal
trigonal
monoklin
monoklin
n1 = 1, 5593
n2 = 1, 5944
n3 = 1, 5612
no = 1, 544
ne = 1, 553
no = 1, 658 no = 1, 5854
ne = 1, 486 ne = 1, 3369
n1 = 1, 5298
n2 = 1, 5228
n3 = 1, 5208
einachsigpositiv
einachsig-negativ
zweiachsig
Bei der ordentlichen Welle steht die elektrische Feldstärke stets senkrecht auf der
optischen Achse (s.Abb.206a, S.380), so dass die in Frage kommende relative Dielek-
23.2 Natürliche Doppelbrechung
379
trizitätskonstante und damit der zugehörige Brechungsindex no unabhängig vom
Winkel ϑ zwischen der Ausbreitungsrichtung und der optischen Achse ist: Das Licht
breitet sich in allen Richtungen mit der gleichen Geschwindigkeit (c0 /no ) aus. Im
Gegensatz dazu (s.Abb.207) hängt bei der außerordentlichen Welle die relative Dielektrizitätskonstante in Richtung des elektrischen Feldes von ϑ ab. Dies bedeutet,
dass auch der Brechungsindex n und damit die Lichtgeschwindigkeit (c0 /n) von
ϑ abhängen, woraus die Bezeichnung ”außerordentlich” resultiert. Wie man aus
Abb.207b leicht ablesen kann, folgt für die Lichtgeschwindigkeit der außerordentlichen Welle in Richtung der optischen Achse c0 /no und senkrecht dazu c0 /ne . In
Richtung der optischen Achse (ϑ = 0) besitzt die außerordentliche Welle also die gleiche Geschwindigkeit wie die ordentliche Welle (c0 /no ). Wenn die Geschwindigkeit
der außerordentlichen Welle in allen anderen Richtungen größer ist, dies bedeutet
ne < no , dann nennt man den Kristall einachsig-negativ (negative uniaxial), ansonsten einachsig-positiv (s.Tab.73). Die Abb.207b zeigt demzufolge die Verhältnisse
für einen einachsig-negativen Kristall.
Der außerordentliche Brechungsindex einer Welle, deren Normale den Winkel ϑ mit
der optischen Achse einschließt, ist gegeben durch
1
sin2 ϑ cos2 ϑ
=
+
.
n2 (ϑ)
n2e
n2o
(521)
~ D
~ = ε0 ↔
~ H,
~ B
~ = µ0 H
~ einer sich im Kristall ausbreitenden ebenen
ε r E,
Die Felder E,
Welle mit der Kreisfrequenz ω und dem Wellenvektor ~k besitzen alle den Phasenfaktor
~ = 0 liefert die Bedingung ~k · D
~ = 0, d.
exp{−i(ωt − ~k · ~r )}. Die Maxwell-Gleichung div D
~
~
h. der D-Vektor der Welle steht senkrecht auf dem Wellenvektor k. Wir betrachten einen
nichtabsorbierenden, optisch einachsigen Kristall mit der z-Achse als der Symmetrieach↔
se. Der Tensor der relativen Dielektrizitätskonstanten ε r ist dann diagonal und besitzt
die Hauptachsenwerte εxx = εyy = n2o und εzz = n2e , (s. Gl. 464, S.316). Die Energiedichte des elektrischen Feldes der Welle im Kristall, ausgedrückt durch den Vektor
~ Bei festgehaltenem Wert der Energie~ ist gegeben durch Wel = 1/(2ε0 )D
~ (↔
ε r )−1 D.
D,
~ auf dem Ellipsoid
dichte Wel = Wel0 liegen die möglichen Endpunkte der Vektoren D
2
2
2
2
2
(Dx + Dy )/no + Dz /ne = 2ε0 Wel0 . Der Vektor der außerordentlichen Welle schwingt in
der von der optischen Achse und von ~k aufgespannten Ebene (dies sei die x-z-Ebene) und
steht senkrecht auf dem Wellenvektor ~k, der mit der z-Achse den Winkel ϑ einschließen
soll. Die Schnittkurve der x-z-Ebene mit dem obigen Ellipsoid ist eine Ellipse. Normiert
man diese zu x2 /n2o + z 2 /n2e = 1, so ergibt der Abstand des Mittelpunkts der Ellipse
zum Punkt x = n(ϑ) · sin(π/2 − ϑ), z = n(ϑ) · cos(π/2 − ϑ) auf dem Umfang der Ellipse
gerade die Brechzahl der außerordentlichen Welle n(ϑ), da die Schwingungsrichtung von
~ mit der z-Richtung den Winkel π/2 − ϑ bildet. Setzt man die Werte für x und z in
D
die Ellipsengleichung ein, erhält man die gesuchte Gl.(521).
380
23 Polarisation des Lichtes
optische Achse
optische Achse
Wellennormale
c0 /no
a)
b)
optische Achse
optische Achse
Wellennormale
c0 /no
c0 /n
c0 /ne
a)
b)
Abbildung 206. a) Zur Ausbreitung
linear polarisierten Lichtes in einem optisch einachsigen Kristall. Die elektrische Feldstärke stehe senkrecht auf der
durch die optische Achse und die Ausbreitungsrichtung aufgespannten Ebene,
was durch die Punkte angedeutet wird
(ordentliche Welle). In diesem Fall ist die
Lichtgeschwindigkeit c0 /no unabhängig
vom Winkel ϑ zwischen der Ausbreitungsrichtung und der optischen Achse
(s.Abb.b)
Abbildung 207. a) Zur Ausbreitung
linear polarisierten Lichtes in einem optisch negativ einachsigen Kristall. Die
elektrische Feldstärke und die dielektrische Verschiebung (durch die Striche angedeutet) liegen in der durch die optische Achse und die Ausbreitungsrichtung
aufgespannten Ebene (außerordentliche
Welle). In diesem Fall hängt die Lichtgeschwindigkeit vom Winkel ϑ zwischen
der Ausbreitungsrichtung und der optischen Achse ab (s.Abb.b).
In optisch zweiachsigen Kristallen gibt es keine ordentliche Welle, sondern zwei außerordentliche Wellen. Diese sind senkrecht zueinander linear polarisiert und ihre
Geschwindigkeiten stimmen in zwei Richtungen, den beiden optischen Achsen, überein.
Um die Brechung des Lichtes beim Eintritt vom Vakuum in einen optisch einachsigen
Kristall zu behandeln, betrachten wir denjenigen Hauptschnitt, der senkrecht zur
Kristalloberfläche steht. Das heißt, die optische Achse liegt in der Einfallsebene und
bildet mit der Oberflächennormalen einen beliebigen Winkel γ (s.Abb.208). Wenn
das einfallende Licht linear polarisiert ist, und zwar in der Weise, dass die elektrische
Feldstärke senkrecht zur Einfallsebene steht, so muss sich das Licht im Kristall als
ordentliche Welle fortpflanzen. Im Snellius’schen Brechungsgesetz (s.Gl.(446), S.305)
ist also n1 = 1 (Vakuum) und n2 = no (ordentliche Welle) einzusetzen, d.h. es gilt
sin α1 / sin α2 = no . Liegt dagegen die elektrische Feldstärke in der Einfallsebene,
so folgt sin α1 / sin α2 = n(ϑ), wobei n nach Abb.207b eine Funktion des Winkels
zwischen der Wellennormalen und der optischen Achse (ϑ = γ + α2 ) ist (s. Gl.(521)).
23.2 Natürliche Doppelbrechung
α1
γ
he
isc hse
t
op Ac
381
Vakuum
einachsiger
Kristall
α2
Abbildung 208. Zur Brechung des Lichtes beim Eintritt in einen optisch einachsigen
Kristall
Da man natürliches, d.h. unpolarisiertes Licht stets in zwei senkrecht zueinander
linear polarisierte Wellen zerlegen kann, ergibt sich bei der Brechung von natürlichem
Licht die folgende Erscheinung, die man als Doppelbrechung (birefringence oder
double refraction) bezeichnet:
Ein einfallender Lichtstrahl spaltet in zwei gebrochene Strahlen auf, die beide linear
polarisiert sind.
Der eine Strahl, bei dem die elektrische Feldstärke senkrecht zur Einfallsebene steht,
gehorcht dem Snellius’schen Brechungsgesetz mit dem ordentlichen Brechungsindex
no . Er wird deshalb als ordentlicher Strahl bezeichnet. Bei dem anderen Strahl liegt
die elektrische Feldstärke ebenso wie die elektrische Verschiebung in der Einfall~ und D
~ sind aber in diesem Fall nicht mehr parallel zueinander, sondern
sebene. E
bilden einen Winkel δ miteinander. Um denselben Winkel weicht die Strahlrichtung
(s.S.378) von der Ausbreitungsrichtung der Welle (Normale auf den Ebenen gleicher Phase) ab. Den Verlauf des außerordentlichen Strahls kann man mit Hilfe des
Huygens-Prinzips (s.S.363ff.) konstruieren. Die Abb.209 zeigt dies für den Spezialfall
α1 = 0.
Die Doppelbrechung kann benutzt werden, um linear polarisiertes Licht zu erzeugen.
Dies ist am einfachsten dann möglich, wenn der ordentliche und der außerordentliche Strahl unterschiedlich stark von dem betreffenden Kristall absorbiert werden
(Dichroismus, dichroism). Ein klassischer Vertreter dieser Gruppe ist der grüne
Turmalin (tourmaline). Bestrahlt man eine ca. 1 mm dicke Turmalinplatte senkrecht mit natürlichem Licht, dann wird der ordentliche Strahl praktisch vollständig
absorbiert und nur der außerordentliche hindurch gelassen.
Als Polaroid-Filter (polaroid) bezeichnet man eine Kunststofffolie, in die langgestreckte, dichroitische Moleküle eingelagert sind. Durch Dehnung oder Einwirkung
elektrischer Felder werden diese Moleküle bei der Herstellung der Folie so ausge-
382
23 Polarisation des Lichtes
Vakuum
e
ch
tis se
p
o ch
A
Kristall
Abbildung 209. Konstruktion des außerordentlichen Strahls unter Verwendung des Huygens-Prinzips. Eine linear polarisierte Welle, deren elektrische
Feldstärke in der Einfallsebene liegt,
treffe senkrecht auf die Oberfläche eines einachsig-negativen Kristalls. Die gepunkteten bzw. gestrichelten Strecken
entsprechen den Lichtgeschwindigkeiten
c0 /no bzw. c0 /ne . Während sich die WelWellen−
E
lenfronten (Flächen gleicher Phase) im
front
Kristall in die gleiche Richtung wie im
D
δ
Poynting− Vakuum bewegen (Ausbreitungsrichtung
der Welle, s.S.378), weicht die StrahlrichVektor
Wellennormale
tung (s.S.378) davon ab
richtet, dass das Material als Ganzes wie ein dichroitischer Kristall wirkt. Solche
Polaroid-Filter lassen sich großflächig herstellen, jedoch liegt der Polarisationsgrad (degree of polarization), d.h. der prozentuale Anteil der Intensität des linear
polarisierten Lichtes, meist unter 99%. Für exakte Messungen reicht dies nicht aus.
Man muss dann Polarisationsprismen (polarization prisms) verwenden, bei denen
durch eine geeignete geometrische Anordnung der ordentliche und der außerordentliche Strahl räumlich voneinander getrennt werden. Das erste brauchbare Polarisationsprisma wurde von William Nicol (1768-1851) entwickelt. Dieses Nicol-Prisma
(Nicol prism) hat, infolge der schräg stehenden Endflächen, den Nachteil, dass der
durchgehende außerordentliche Strahl parallel verschoben ist. Außerdem sind diese
Prismen relativ lang.
Abbildung 210. Glan-Thompson-Prisma.
Der Doppelpfeil bezeichnet, wie üblich, die
optische Achse. Der an der Schicht (Kanadabalsam) zwischen den beiden Kalkspatkristallen total reflektierte ordentliche Strahl wird
an der geschwärzten Seitenwand absorbiert,
so dass nur der außerordentliche Strahl hindurch tritt
Am häufigsten wird heute das in der Abb.210 dargestellte Glan-ThompsonPrisma (Glan-Thompson prism, Paul Glan 1846-1898, Silvanus Philipps Thompson
1851-1916) benutzt, das senkrecht stehende Endflächen besitzt. Es handelt sich um
einen Kalkspatkristall, den man zunächst so schleift, dass die Endflächen parallel zur
23.3 Zirkular und elliptisch polarisiertes Licht
383
optischen Achse stehen. Danach wird er diagonal durchgeschnitten und anschließend
wieder mit einem durchsichtigen Klebstoff verkittet, dessen Brechungsindex zwischen
den beiden Werten für Kalkspat (1,486 und 1,658, s.Tab.73, S.378) liegen muss.
Gut geeignet dafür ist Kanadabalsam (Canada balsam) mit einem Brechungsindex n = 1, 542. Treffen der parallel verlaufende ordentliche und außerordentliche
Strahl an die verkittete Grenzfläche, so wird der ordentliche Strahl (wegen no > n)
total reflektiert und der außerordentliche Strahl infolge der normalen Brechung (wegen ne < n) an der dünnen Schicht Kanadabalsam nur geringfügig seitlich versetzt.
Durch Schwärzung der Seitenwand des Prismas erreicht man eine fast vollständige
Absorption des ordentlichen Strahls und damit einen Polarisationsgrad von nahezu
100%. Ü 147 Ü 148 Ü 149 Ü 150
23.3 Zirkular und elliptisch polarisiertes Licht
Wir betrachten eine Platte, die aus einem optisch einachsigen Kristall so heraus
geschnitten ist, dass die optische Achse parallel zur Oberfläche liegt. Damit geht
senkrecht auffallendes Licht unabhängig von seiner Polarisationsrichtung ungebrochen durch diese Platte hindurch, jedoch besitzen der ordentliche und der außerordentliche Strahl, in den das Licht durch den Kristall zerlegt wird, beim Austritt
aus der Platte eine Phasenverschiebung α (Verzögerungsplatte, retardation plate). Nennen wir die Vakuumwellenlänge des Lichtes λ0 , die Dicke der Platte `, den
Brechungsindex für den ordentlichen Strahl no und für den außerordentlichen Strahl
ne , so gilt
α = 2π
`
(no − ne ).
λ0
(522)
Wir bezeichnen mit λor die Wellenlänge des ordentlichen Strahles in dem Kristall, aus
dem die Platte gefertigt wurde. Dann erfährt der ordentliche Strahl beim Durchlaufen
dieser Platte die Phasenverschiebung 2π`/λor . Analog folgt für den außerordentlichen
Strahl, dessen Wellenlänge λau genannt werde, 2π`/λau . Wegen λor = λ0 /no und λau =
λ0 /ne (s.S.379) ergibt sich für die Differenz α dieser beiden Phasenverschiebungen die
Gl.(522).
Im Spezialfall |α| = π/2 spricht man von einem λ/4-Plättchen (quarter-wave plate)
und bei |α| = π von einem λ/2-Plättchen (half-wave plate).
Ein λ/4-Plättchen verwandelt i.Allg. linear polarisiertes in elliptisch polarisiertes Licht. Bei entsprechender Justierung ist dieses Licht zirkular polarisiert. Umgekehrt entsteht linear polarisiertes Licht, wenn man zirkular polarisiertes Licht
durch das λ/4-Plättchen schickt.
384
23 Polarisation des Lichtes
Wir lassen das linear polarisierte Licht so auf das λ/4-Plättchen fallen, dass die elektrische Feldstärke um π/4 gegenüber der optischen Achse geneigt ist. Dann besitzen der
ordentliche und der außerordentliche Strahl die gleiche Amplitude. Beim Austritt aus
dem λ/4-Plättchen überlagern sich also zwei Wellen, die die gleiche Ausbreitungsrichtung, die gleiche Amplitude und eine Phasenverschiebung von π/2 besitzen Dies ist aber
gerade eine zirkular polarisierte Welle (s.S.370). Umgekehrt ergibt sich beim Auftreffen
einer zirkular polarisierten Welle nach dem Durchgang durch das λ/4-Plättchen linear
polarisiertes Licht. Wenn der Winkel zwischen der elektrischen Feldstärke der einfallenden Welle und der optischen Achse zwischen 0 und π/4 liegt, entsteht am Ausgang
elliptisch polarisiertes Licht.
Um ein λ/4-Plättchen herzustellen, muss dieses nach Gl.(522) eine Dicke λ = (λ0 /4)·
|no −ne |−1 besitzen. Für Kalkspat und λ0 = 589, 3 nm bedeutet dies (s.Tab.73, S.378)
λ = 0, 86 mm, während sich für Quarz λ = 16, 4 mm ergibt. Da die Herstellung sehr
dünner Plättchen technisch schwieriger ist, bestehen die λ/4-Plättchen meist aus
Quarz.
Durch Verwendung eines Polarisationsfilters (polarizing filter), wie z.B. eines Polarisationsprismas, und eines λ/4-Plättchens lässt sich feststellen, ob ankommendes
Licht linear polarisiert (linearly polarized light) (l), zirkular polarisiert (circularly polarized light) (z), elliptisch polarisiert (elliptically polarized light) (e)
oder unpolarisiert (unpolarized light) (u) ist oder welche Mischung aus diesen verschiedenen Lichtarten vorliegt (Polarisationsanalyse, polarization analysis, s. die
Tab.74).
Mit Hilfe eines λ/2-Plättchens kann man die Polarisationsebene linear polarisierten
Lichtes um einen vorgegeben Winkel ∆φ drehen. Eine einfache Überlegung zeigt,
dass dies erreicht wird, wenn der Winkel β zwischen der elektrischen Feldstärke des
einfallenden Lichtes und der optischen Achse der Beziehung
β = ∆φ/2
(523)
genügt.
Die elektrische Feldstärke des einfallenden Lichtes besitze die Amplitude Ê und bilde
mit der optischen Achse den Winkel β. Dann folgt für die Amplitude des ordentlichen
Strahles Ê⊥ = Ê sin β und für die des außerordentlichen Strahles Êk = Ê cos β. Nach
Durchlaufen des λ/2-Plättchens gilt für die Komponente der elektrischen Feldstärke
senkrecht bzw. parallel zur optischen Achse E⊥ = Ê sin β cos(ωt − 2π`no /λ0 ) bzw.
Ek = Ê cos β cos(ωt − 2π`ne /λ0 ). Wegen π = 2π(`/λ0 )(no − ne ) lässt sich die Gleichung für E⊥ umschreiben in E⊥ = Ê sin β cos ωt − 2π`ne /λ0 ) − π], woraus man wegen
cos(γ − π) = − cos γ die Beziehung E⊥ = −Ê sin β cos(ωt − 2π`ne /λ0 ) erhält. Die Richtung der elektrischen Feldstärke hat sich also nach Durchgang durch das λ/2-Plättchen
um den Winkel 2β gedreht.
Ü 151
Ü 152
Ü 153
23.4 Künstliche Doppelbrechung
385
Tabelle 74. Schema einer Polarisationsanalyse zur Feststellung, ob Licht linear polarisiert
(l), zirkular polarisiert (z), elliptisch polarisiert (e) oder unpolarisiert (u) ist oder welche
Mischung aus diesen verschiedenen Lichtarten vorliegt
1. Experiment: Verwendung eines Polarisationsfilters
Änderung der Lichtintensität bei Drehung des Polarisa- Lichtart
tionsfilters
Auslöschung
keine Abhängigkeit
Minimum
l
u, z oder ( u+z )
e, ( u+e ) oder ( u+l )
2. Experiment: Vor das Polarisationsfilter wird ein λ/4-Plättchen gesetzt, das um die
Richtung des einfallenden Strahles gedreht werden kann (Drehwinkel β)
Im 1. Experiment hat sich keine Abhängigkeit ergeben, d.h. es liegt u, z oder ( u+z ) vor
Änderung der Lichtintensität bei Drehung des
Polarisationsfilters für beliebige Werte von β
Lichtart
keine Abhängigkeit
Auslöschung
Minimum
u
z
u+z
Im 1. Experiment hat sich ein Minimum ergeben, d.h. es liegt e, ( u+e ) oder ( u+l) vor
Änderung der Lichtintensität bei Drehung des
Polarisationsfilters für einen bestimmten Wert von β
Lichtart
Auslöschung
Minimum
keine Abhängigkeit
e
u+e
u+l
23.4 Künstliche Doppelbrechung
Stoffe, die von Natur aus optisch isotrop sind, können durch die Einwirkung äußerer
Kräfte (mechanische Verformung, Strömung, elektrische oder magnetische Felder)
doppelbrechend werden. Die Spannungsdoppelbrechung (photoelasticity oder
strain double refraction) wird vor allem bei Kunststoffen und Gläsern beobachtet. In
der Zugrichtung vergrößert sich der Abstand der Moleküle, wodurch der Brechungsindex kleiner wird, wogegen er sich senkrecht dazu vergrößert. Zur experimentellen
Untersuchung des Spannungszustandes mechanisch belasteter Bauteile, wie z.B. eines Kranhakens, stellt man ein Modell aus durchsichtigem Kunststoff her. Bringt
man dieses Modell zwischen gekreuzte Polarisationsfilter, so wird bei Belastung das
ansonsten schwarze Gesichtsfeld an den kritischen Stellen aufgehellt. Eine andere
Anwendung findet die Spannungsdoppelbrechung bei der Untersuchung von gläsernen Bauteilen (Linsen, Glasküvetten usw.), da rasch abgekühlte Gläser unter permanenten inneren Spannungen stehen. Die Verringerung dieser Spannungen durch
wiederholtes langsames Aufheizen und Abkühlen (Anlassen, annealing) lässt sich
mit Hilfe der Spannungsdoppelbrechung kontrollieren.
386
23 Polarisation des Lichtes
Legt man ein elektrisches Feld an eine Substanz an, die aus polaren, beweglichen Molekülen besteht, wie z.B. Nitrobenzol oder Schwefelkohlenstoff, so wird diese doppelbrechend mit der optischen Achse in Richtung des elektrischen Feldes (Kerr-Effekt,
Kerr effect, John Kerr 1824-1907). Für die Differenz aus dem Brechungsindex der
ordentlichen (no ) und der außerordentlichen (ne ) Welle gilt
no − ne = K E λ0 E 2 ,
(524)
wobei E die elektrische Feldstärke und λ0 die Vakuumwellenlänge bezeichnet. KE
nennt man Kerr-Konstante (Kerr constant). Sie hängt vom Material ab und verringert sich mit wachsender Temperatur (s. Boltzmann-Verteilung, S.103ff). Für
Nitrobenzol (C6 H5 NO2 ) bei Zimmertemperatur und λ0 = 589, 3 nm findet man
KE = 2, 48 · 10−12 m/V2 . Die Zeitkonstante für die Ausbildung und den Abbau
der Doppelbrechung ist sehr kurz, sie liegt in der Größenordnung der thermischen
Umorientierungszeiten der Moleküle (10−10 s). Aus diesem Grund lassen sich, indem man eine Kerr-Zelle zwischen gekreuzte Polarisationsfilter setzt, Lichtschalter
oder Lichtmodulatoren (Kerr shutter) bis zu Modulationsfrequenzen von mehreren hundert MHz realisieren.
Legt man an Stelle des elektrischen Feldes E ein Magnetfeld H an, so entsteht ebenfalls eine Doppelbrechung (Cotton-Mouton-Effekt, Cotton-Mouton effect, Aimé
Cotton 1869-1951, Jean Louis Mouton 1844-1879). Für diese gilt analog zu Gl.(524)
no − ne = K C λ0 H 2 .
(525)
KC heißt Cotton-Mouton-Konstante (Cotton-Mouton constant). Allerdings ist
dieser Effekt wesentlich schwächer (KC = 3, 81 · 10−14 m/A2 für Nitrobenzol bei
Zimmertemperatur und λ0 = 589, 3 nm) und langsamer, so dass er praktisch keine Anwendung gefunden hat. Abschließend sei erwähnt, dass sowohl die natürliche
als auch die künstliche Doppelbrechung in der Mikroskopie zur Erhöhung von Kontrasten Verwendung findet, indem man das Objekt zwischen gekreuzte Polarisationsfilter bringt (Polarisationsmikroskop, polarization microscope). Ü 154
23.5 Optische Aktivität
23.5.1 Drehung der Polarisationsebene
Unter optischer Aktivität (optical activity) versteht man die Fähigkeit bestimmter Stoffe, die Schwingungsebene linear polarisierten Lichtes beim Durchgang durch
diese Stoffe zu drehen. Zur Messung verwendet man ein Polarimeter (polariscope oder polarimeter). Die einfachste Ausführungsform besteht aus einer Lichtquelle,
deren Licht durch eine geeignete Optik parallel gemacht wird (Kollimator, collimator), einem ersten Polarisationsfilter (Polarisator, polarizer) und einem zweiten,
23.5 Optische Aktivität
387
drehbar angeordneten Polarisationsfilter (Analysator, analyzer). Der zu untersuchende Stoff wird zwischen den Polarisator und den zunächst um 90° gedrehten Analysator gebracht, so dass es zu einer Aufhellung des Gesichtsfeldes kommt. Durch
Nachdrehen des Analysators um einen Winkel α wird wieder Dunkelheit erzeugt.
Erfolgt die Drehung für den dem Lichtstrahl entgegen blickenden Beobachter im
Uhrzeigersinn (der Drehwinkel α ist negativ), so nennt man die Substanz rechtsdrehend (right rotating oder dextrorotatory) und im anderen Fall linksdrehend
(left rotating oder laevorotatory). Auf diese Weise lassen sich Drehungen der Polarisationsebene mit einer Genauigkeit von ca. 0,1° messen. Drehungen der Polarisationsebene werden bei einigen Festkörpern beobachtet, bei Lösungen optisch aktiver
Moleküle, bei Flüssigkristallen und bei beliebigen Stoffen, wenn man in Strahlrichtung ein Magnetfeld anlegt. Da sich eine linear polarisierte Welle in eine rechtszirkular und eine linkszirkular polarisierte Welle gleicher Amplitude zerlegen lässt,
kann man die Drehung dadurch erklären, dass diese beiden Wellen unterschiedliche
Geschwindigkeiten (cR und cL ) besitzen. Führt man noch unter Verwendung der Vakuumlichtgeschwindigkeit c0 die Brechungsindizes nR = c0 /cR und nL = c0 /cL ein,
so ergibt sich für den Winkel α, um den die Schwingungsebene nach Durchlaufen
der Strecke ` gedreht ist,
α=
π`
(nR − nL ),
λ0
(526)
wobei λ0 die Vakuumwellenlänge des Lichtes darstellt.
~ R der sich entlang der z-Achse ausbreitenden rechtszirFür die elektrische Feldstärke E
~ R (t, z) = ~ex Ê sin ωt−(2πnR /λ0 )z]+~ey Ê cos ωt−
kular polarisierten Welle gilt (s.S.370) E
~ L (t, z) = ~ex Ê sin ωt −
(2πnR /λ0 )z] und analog für die linkszirkular polarisierte Welle E
(2πnL /λ0 )z] −~ey Ê cos ωt − (2πnR /λ0 )z]. Nach Durchlaufen der Strecke z ergibt sich also
~ z) = E
~ R (t, z) + E
~ L (t, z). Unter Verwendung der Additionstheoreme sin β + sin γ =
E(t,
2 sin[(β + γ)/2] cos[(β − γ)/2] und cos β − cos γ = −2 sin[(β + γ)/2] sin[(β − γ)/2] folgt
~ z) = 2Ê sin ωt − πz(nR + nL )/λ0 ]{~ex cos[πz(nR − nL )/λ0 ] + ~ey sin[πz(nR −
damit E(t,
nL )/λ0 ]}. Für z = 0 ist die Amplitude demzufolge gleich 2Êx und für z = λ gleich
2Ê{~ex cos[πλ(nR − nL )/λ0 ] + ~ey sin[πλ(nR − nL )/λ0 ]}, so dass die Schwingungsebene um
den Winkel α = πλ(nR − nL )/λ0 gedreht wurde (s.Abb.211).
Die experimentell gefundene Tatsache, dass die Differenz der Brechungsindizes
nR − nL von der Vakuumwellenlänge abhängt, bezeichnet man als optische Rotationsdispersion (optical rotary dispersion, abgekürzt mit ORD). Es ist üblich,
an Stelle der Größe nR − nL den Drehwinkel in Grad (degree, Symbol °) pro durchstrahlter Schichtdicke ` anzugeben. Diese Größe (Kα ) wird Drehvermögen (optical
rotation) genannt. Nach Gl.(526) gilt unter Beachtung der Tatsache, dass 180° dem
Winkel π rad entsprechen,
388
23 Polarisation des Lichtes
y
Abbildung 211. Eine linear polarisierte Welle, deren Schwingungsebene mit der
x − z−Ebene zusammenfalle, breite sich in
z-Richtung aus, d.h. auf den Beobachter
zu. Nach Durchlaufen einer optisch aktiven
Schicht mit der Dicke λ sei die Schwingungsebene um den Winkel α gedreht. Für α > 0
ist der Stoff definitionsgemäß (s.S.386) linksdrehend und es gilt nach Gl.(526) nR > nL
α
z
x
Kα =
180◦
(nR − nL ).
λ0
(527)
Einige Messwerte für optisch aktive Festkörper (optically active solids) zeigt
die Tab.75. Dabei erfolgt die Drehung nur dann, wenn die Strahlrichtung mit der
optischen Achse zusammenfällt. Bei Quarz existieren sowohl rechts- als auch linksdrehende Kristalle.
Tabelle 75. Das Drehvermögen Kα einiger optisch aktiver Festkörper bei 20 °C
Vakuumwellenlänge λ0 / nm
Festkörper
Zinnober (HgS, cinnabar)
Quarz (SiO2 , quartz)
Natriumchlorat
(NaClO3 , sodium chlorate)
486,1
589,3
686,7
32,8
4,67
21,7
3,13
15,7
2,27
780,8
325
12,7
Eine Drehung der Schwingungsebene zeigen auch Flüssigkeiten und Lösungen, sofern
sie asymmetrische Moleküle enthalten. Die Asymmetrie muss aber derart beschaffen
sein, dass von dem Molekül ein Spiegelbildisomer (optical isomer oder enantiomer)
existiert, wie dies schematisch in der Abb.212 dargestellt ist. Das eine Isomer dreht
die Schwingungsebene des Lichtes in der einen, das andere in der entgegengesetzten Richtung, jedoch um den gleichen Betrag. Beispiele sind der Traubenzucker
(glucose, dextrose), der rechts dreht, und der linksdrehende Fruchtzucker (fructose oder laevulose). Beide Zucker besitzen die gleiche Summenformel C6 H12 O6 .
Ein Gemisch rechts- und linksdrehender Isomere gleicher Konzentration nennt man
Racemat (racemate); es bewirkt keine Drehung der Schwingungsebene.
23.5 Optische Aktivität
A
B
389
A
D
C
D
B
C
Abbildung 212. Spiegelbildisomere eines Moleküls bestehend aus den
Bauteilen (Atome, Molekülgruppen)
A, B, C und D in tetraedrischer Anordnung
Rohrzucker (saccharose, sucrose), der durch chemische Verbindung von Traubenund Fruchtzucker unter Wasseraustritt entsteht (C12 H22 O11 ), dreht die Schwingungsebene nach rechts. Der Drehwinkel von Lösungen ist proportional zur Konzentration der optisch aktiven Moleküle. Dies nutzt man aus, um z.B. bei zuckerkranken
Personen die Konzentration des Zuckers (Traubenzucker) im Harn zu bestimmen.
Besonders starke Drehungen der Schwingungsebene werden bei optisch anisotropen
Flüssigkristallen beobachtet. Flüssigkristalle (liquid crystals) sind Flüssigkeiten,
die aus langgestreckten Molekülen bestehen, die in gewissen Temperaturbereichen
geordnet sind. Es gibt im Wesentlichen drei Typen, die man als nematische (nematic), smektische (smectic) und cholesterische (cholesteric) Flüssigkristalle bezeichnet.
nematisch
smektisch
p0
2
cholesterisch
Abbildung 213.
Molekülorientierung in nematischen, smektischen und
cholesterischen Flüssigkristallen, p0 ist die Ganghöhe
(pitch) des cholesterischen
Flüssigkristalls
Wenn bei einem cholesterischen Flüssigkristall die Wellenlänge λ des Lichtes klein
gegen das Produkt p = p0 · |no − ne | aus Ganghöhe p0 (pitch) und Brechzahlanisotropie |no − ne | ist, dann dreht sich die Schwingungsebene entsprechend der
Schraubung (adiabatischer Fall). Für λ ≈ p wird diejenige zirkular polarisierte Welle, deren Drehsinn mit dem der Molekülordnung übereinstimmt, reflektiert. Wenn
schließlich die Wellenlänge λ groß gegen p ist, kommt es wieder zu einer Drehung
390
23 Polarisation des Lichtes
der Schwingungsebene, jedoch hängen Drehsinn und Betrag der Drehung in komplizierter Weise von λ und p0 sowie den Brechungsindizes für die ordentliche und die
außerordentliche Welle ab, wobei die optische Achse durch die Schraubenrichtung
gegeben ist [DEG74]. Cholesterische Flüssigkristalle besitzen Ganghöhen von ca. 0,2
µm bis ∞. Bei p = 3, 6 µm gilt für sichtbares Licht λ p und es ergibt sich ein
Drehwinkel von 105 Grad pro mm Schichtdicke (!).
Bei den heute weit verbreiteten Flüssigkristallanzeigen (liquid-crystal displays, abgekürzt mit LCD) befindet sich ein nematischer Kristall in einer 5 µm bis 15 µm dicken
Schicht zwischen zwei Glasplättchen. Diese sind innen mit lichtdurchlässigen Elektroden
überzogen, die so präpariert wurden, z.B. durch Einritzen von Furchen, dass sich die
Moleküle in einer Vorzugsrichtung anlagern. Sind die beiden Vorzugsrichtungen um 90°
gegeneinander verdreht, dann ordnen sich die Moleküle in der Schicht schraubenförmig,
wie bei einem cholesterischen Flüssigkristall, an. Setzt man nun noch vor dieses Plättchenpaar eine Polarisationsfolie (Polarisator) und dahinter eine zweite aber um 90° gedrehte Polarisationsfolie (Analysator), so geht das Licht durch diese Zelle (TN-Zelle,
twisted nematic cell) hindurch, da der Flüssigkristall die Schwingungsebene ja gerade
um 90° dreht. Wenn man aber zwischen die beiden Elektroden eine geringe Spannung
von ca. 1,5 V bis 5 V anlegt, dann orientieren sich die Moleküle in Richtung des elektrischen Feldes, also senkrecht zu den Plättchen. Die Drehung der Schwingungsebene
entfällt und die TN-Zelle wird lichtundurchlässig. Man kann aber auch - und dies ist
meist der Fall - in Reflexion arbeiten, indem man unmittelbar hinter die Analysatorfolie einen Aluminiumspiegel setzt. Werden die Elektroden schließlich noch in einzelne
geometrische Segmente mit getrennten Spannungszuführungen unterteilt, so lassen sich
die bekannten dunklen Ziffernsymbole vor einem grauen Hintergrund (diffus von dem
Aluminiumspiegel reflektiertes Licht) erzeugen. Der besondere Vorteil der LCD’s ist der
geringe Leistungsbedarf von nur etwa 5 mW/m2 .
Bringt man eine isotrope Substanz, wie z.B. Glas oder Schwefelkohlenstoff, in eine
stromdurchflossene Spule und schickt einen linear polarisierten Lichtstrahl hindurch,
so wird die Schwingungsebene gedreht. Diese Erscheinung nennt man Magnetorotation (magnetorotation) oder Faraday-Effekt (Faraday effect, Michael Faraday
1791-1867). Der Drehwinkel α ist proportional zur Dicke ` der durchstrahlten Substanz und zur Komponente BS der magnetischen Flussdichte in Strahlrichtung. Man
schreibt
α = KV ` B S .
(528)
Die Größe KV heißt Verdet-Konstante (Verdet constant, Marcel Emile Verdet
1824-1866). Sie ist eine von der Wellenlänge und der Temperatur abhängige Stoffkonstante (s.Tab.76). Die Gl.(528) besagt, dass für KV > 0 die Schwingungsebene
die gleiche Schraubung erfährt wie der felderzeugende Strom.
23.5 Optische Aktivität
391
Tabelle 76. Verdet-Konstante KV für einige Stoffe bei Zimmertemperatur und λ0 = 589, 3
nm
Stoff
KV / (rad T−1 m−1 )
Steinsalz (NaCl, sodium chloride)
Schwefelkohlenstoff (CS2 , carbon disulphide)
Wasser (H2 O, water)
Kohlendioxid (CO2 , carbon dioxide) bei 0,1MPa
10,8
12,3
3,8
0,0025
Wir betrachten einen linear polarisierten Lichtstrahl, der eine Spule in der positiven zRichtung durchsetzt. Der felderzeugende Strom soll mit der Strahlrichtung eine Rechtsschraube bilden, so dass nach der Korkenzieherregel (s.S.199) BS größer als null ist.
Damit ergibt sich aus Gl.(528) α > 0, was nach der Festlegung von S.386 einer Linksdrehung der Schwingungsebene entspricht (s.Abb.211, S.388).
Bei diamagnetischen Stoffen lässt sich die Drehung klassisch auf die Beeinflussung
der Elektronenbewegung durch das magnetische Feld zurückführen. Es ergibt sich für
die Verdet-Konstante eine Proportionalität zur negativen Ableitung der Brechzahl
nach der Vakuumwellenlänge (s.Gl.(531), S.394). Im Spektralbereich normaler Dispersion, d.h. wenn dn/dλ0 < 0 gilt (s.S.312), folgt damit KV > 0. Für paramagnetische oder ferromagnetische Stoffe, d.h. Substanzen mit ungepaarten Elektronen, wie
z.B. Salze von Übergangsmetallionen sowie ihre Lösungen, ist die Verdet-Konstante
meist negativ. Die Tatsache, dass beim Faraday-Effekt, im Gegensatz zu den bisher behandelten Drehungen der Polarisationsebene, der Drehwinkel sein Vorzeichen
ändert, wenn man die Strahlrichtung umkehrt (BS in Gl.(528) wird zu −BS ), hat
interessante Konsequenzen, auf die im nächsten Abschnitt näher eingegangen wird.
23.5.2 Nichtreziproke Bauelemente
Ein ideales nichtreziprokes Bauelement (nonreciprocal unit) überträgt einen
Energiestrom in der einen Richtung ungeschwächt, in der anderen jedoch gar nicht.
Das bekannteste Beispiel aus der Mechanik ist das Ventil (valve), das einen Massenstrom nur in einer Richtung passieren lässt. Ein optisches Ventil (optical valve)
kann man unter Verwendung des Faraday-Effektes durch folgende Anordnung realisieren: Die magnetische Flussdichte BS der Feldspule und die Dicke ` der durchstrahlten Substanz werden so gewählt, dass der Drehwinkel α (s.Gl.(528)) für die beiden
Strahlrichtungen π/4 bzw. −π/4 beträgt. Links und rechts von der Feldspule werden
außerdem Polarisationsfilter angebracht, deren Durchlassrichtungen gegeneinander
um den Winkel π/4 verdreht sind. Auf diese Weise wird unpolarisiertes Licht, wenn
es von der einen Richtung kommt, als linear polarisiertes Licht hindurch gelassen,
in der anderen Richtung jedoch gesperrt. Praktische Anwendung findet dieses Prinzip in der Mikrowellentechnik beim Richtungsleiter (isolator). Da in Hohlleitern
414
25 Wärmestrahlung
Raumwinkel dΩ abgestrahlt wird, die Beziehung
dΦ = L cos ϑ da dΩ.
Ü 157
(543)
Ü 158
25.2 Strahlungsformeln
Wir bezeichnen mit dΦf die Leistung, die von einem Flächenelement da im Frequenzintervall von f bis f + df bei der Temperatur T in den Raumwinkel dΩ abgestrahlt
wird. Dann definiert man die spektrale Strahldichte (spectral radiance) Lf (ϑ, T )
durch die Gleichung
dΦf = Lf cos ϑ da dΩ df.
(544)
Der Zusammenhang mit der in Tab.81 definierten Strahldichte L ergibt sich unter
Beachtung von Gl.(543) zu
Z ∞
Lf df = L.
(545)
0
Der spektrale Absorptionskoeffizient (spectral absorptance) βf (ϑ, T ), der nicht
mit dem auf S.397 eingeführten Extinktionskoeffizienten α verwechselt werden darf,
ist das Verhältnis aus der Strahlungsleistung, die von einem Körper bei der Temperatur T im Frequenzintervall vonf bis f + df absorbiert wird, zu der Strahlungsleistung, die im gleichen Frequenzintervall unter dem Winkel ϑ auf den Körper fällt.
Analog definiert man den spektralen Reflexionskoeffizienten (spectral reflectance) γf (ϑ, T ) so, dass
βf + γf = 1
(546)
gilt. Ein schwarzer Körper (black body) absorbiert per definitionem alle auffallende Strahlung. Für derartige Körper, die wir im Folgenden mit dem Index s
kennzeichnen wollen, gilt also
βf s = 1.
(547)
Ein schwarz gestrichener oder berußter Körper erfüllt die Bedingung (547) nur unvollkommen, sehr gut dagegen ein kleines Loch in der Wand eines innen geschwärzten Hohlkörpers (s.Abb.226). Lichtstrahlen, die durch das Loch ins Innere gelangen,
werden vielfach reflektiert und wegen der Schwärzung der Wände jedesmal stark
in ihrer Intensität geschwächt, weshalb nur eine geringe Wahrscheinlichkeit besteht,
dass einfallendes Licht durch das Loch wieder nach außen gelangt. Dieses erscheint
daher absolut schwarz. Heizt man aber die Wände des Hohlraums auf, so wird die
aus der Öffnung austretende Strahlung bei höheren Temperaturen vom menschlichen
Auge wahrgenommen: Das Loch beginnt bei Temperaturen ab ca. 650°C zu leuchten,
25.2 Strahlungsformeln
415
Abbildung 226. Praktische Realisierung eines schwarzen Körpers durch das Loch in der
Wand eines innen geschwärzten Hohlkörpers.
Die Seitenbleche sind ebenfalls geschwärzt
und reduzieren zusätzlich die Wahrscheinlichkeit, dass einfallendes Licht wieder durch
das Loch austritt. Wenn die absolute Temperatur T des Körpers größer als null ist,
wirkt der schwarze Körper selbst als Strahler (Hohlraumstrahler, hohlraum radiator)
zunächst tiefrot und schließlich grellweiß (Wien’sches Verschiebungsgesetz, s.S.420).
Wegen der Realisierung des schwarzen Körpers durch derartige Hohlräume bezeichnet man die Strahlung des schwarzen Körpers, die schwarze Strahlung (blackbody
radiation), auch oft als Hohlraumstrahlung (cavity radiation).
Das Kirchhoff ’sche Strahlungsgesetz (Kirchhoff’s law of radiation, Gustav Robert Kirchhoff 1824-1887) besagt, dass die spektrale Strahldichte Lf eines beliebigen
Körpers proportional zu seinem spektralen Absorptionskoeffizienten βf ist und dass
die Proportionalitätskonstante für alle Körper den gleichen Wert besitzt. Auf Grund
der Definition des schwarzen Körpers (s.Gl.(547)) folgt, dass diese Proportionalitätskonstante gleich der spektralen Strahldichte Lf s des schwarzen Körpers sein muss.
Damit lässt sich das Kirchhoff’sche Strahlungsgesetz in der folgenden Form schreiben
Lf
= Lf s .
βf
(548)
Das Kirchhoff’sche Strahlungsgesetz beweisen wir für den Spezialfall senkrechter Strahlung (ϑ = 0). Das betrachtete System bestehe aus einem Lichtwellenleiter (s.S.309),
der auf der einen Seite senkrecht an die Oberfläche eines schwarzen Körpers und auf
der anderen Seite senkrecht an die Oberfläche eines beliebigen Körpers angekoppelt
ist. Beide Körper sollen nur über den Lichtwellenleiter Energie austauschen können
und sich im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur T befinden. Der schwarze Körper emittiert dann im Frequenzintervall df die Strahlungsleistung ∆Φf s =
Lf s Adf ∆Ω, wobei A die Querschnittsfläche des Lichtwellenleiters und ∆Ω das Intervall des Raumwinkels bezeichnet, in dem der Lichtwellenleiter die Strahlung überträgt
(s. den kleingedruckten Text auf S.309). Von dieser Leistung absorbiert der nichtschwarze Körper den Anteil βf ∆Φf s und reflektiert den Rest (1 − βf )∆Φf s . Außerdem emittiert der nichtschwarze Körper im gleichen Frequenzintervall df die Strahlungsleistung
∆Φf = Lf Adf ∆Ω. Wegen des vorausgesetzten thermischen Gleichgewichts muss gelten
∆Φf s = (1 − βf )∆Φf s + ∆Φf . Nach Einsetzen der Ausdrücke für ∆Φf s und ∆Φf folgt
Lf s = (1 − βf )Lf s + Lf und damit die gesuchte Gleichung Lf = βf Lf s .
416
25 Wärmestrahlung
Die spektrale Energiedichte (spectral energy density) ρs (f, T ) der schwarzen
Strahlung wird folgendermaßen definiert: Wir betrachten einen Hohlraum, der von
schwarzen Wänden begrenzt wird und der sich im thermischen Gleichgewicht bei
der Temperatur T befindet. Dann ist ρs (f, T )df dV die Energie, die das Volumenelement dV infolge der elektromagnetischen Strahlung mit Frequenzen zwischen f
und f + df enthält. Es lässt sich zeigen, dass ρs mit der spektralen Strahldichte Lf s
des schwarzen Körpers (s.S.414) in folgender Weise zusammenhängt:
ρs (f, T ) =
4π
Lf s ,
c0
(549)
wobei c0 die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum bezeichnet.
Ein kleines Loch der Fläche da in der Wand des Hohlraums soll das thermische Gleichgewicht nicht stören. Da die Hohlraumstrahlung über den Raumwinkel 4π isotrop verteilt
ist und sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet, folgt für die Leistung, die durch das
Loch im Frequenzintervall von f bis f + df in den Raumwinkel dΩ abgestrahlt wird,
dΦf s = (da)(cos ϑ)c0 (dΩ/4π)ρs df . Durch Vergleich mit der auf den schwarzen Körper
angewandten Gl.(544), S.414, erhält man die Beziehung Lf s = (c0 /4π)ρs , d.h. die gesuchte Gl.(549). Außerdem ersieht man, dass Lf s nicht von ϑ abhängt, oder, mit anderen
Worten, dass da ein Lambert-Strahler ist.
Mit Hilfe dieser Gleichung findet man leicht für die Strahlungsleistung, die von
der schwarzen Fläche da im Frequenzintervall von f bisf + df in den Halbraum
abgestrahlt wird, d.h. für die spezifische Ausstrahlung des schwarzen Körpers,
!
Z
c0
(550)
Ms =
Lf s cos ϑdΩ dadf = ρs (f, T )dadf.
4
(2π)
Für die spezifische AusstrahlungR giltRauf Grund der Definition der spektralen Strahlπ/2 2π
dichte Lf (s.Gl.(544), S.414) ( 0
Lf s cos ϑ sin ϑ dϑ dϕ )da df . Einsetzen der
0
Gl.(549) führt auf das Integral (
R π/2 R 2π
0
0
R π/2 R 2π
0
0
cos ϑ sin ϑ dϑ dϕ )c0 (4π)−1 ρs da df . Wegen
cos ϑ sin ϑ dϑ dϕ = π ergibt sich daraus die Gl.(550).
Da diese Strahlungsleistung messtechnisch gut zugänglich ist, kann man auf diese
Weise auch die spektrale Energiedichte ρs (f, T ) der schwarzen Strahlung experimentell bestimmen. Das Ergebnis zeigt die Abb.227.
Bei großen und kleinen Frequenzen wird ρs sehr klein. Dazwischen besitzt es ein
Maximum, das sich mit wachsender Temperatur nach höheren Frequenzen (kürzeren
Wellenlängen) verschiebt (Wien’sches Verschiebungsgesetz, s.S.420).
Nachdem alle Versuche zur Erklärung der Frequenz- und Temperaturabhängigkeit
von ρs aus den bisher bekannten Gesetzen der Physik gescheitert waren, trat Max
Planck (1858-1947) am 14. Dezember 1900 im Hörsaal des Physikalischen Instituts
25.2 Strahlungsformeln
417
Abbildung 227.
Die
spektrale
Energiedichte
ρs (f, T ) der schwarzen
Strahlung als Funktion der
Frequenz für verschiedene
Temperaturen
der Berliner Universität vor die Mitglieder der Deutschen Physikalischen Gesellschaft und zeigte, dass sich eine theoretische Begründung für die Funktion ρs (f, T )
nur finden lässt, wenn man eine der bisherigen Physik gänzlich fremde Annahme
zugrunde legt. Diese besteht darin, dass gewisse physikalische Größen, im vorliegenden Fall war es die Energie (eines harmonischen Oszillators mit der Eigenfrequenz
f ), nicht beliebige Werte annehmen können, sondern quantisiert sind. Mit der hierdurch begründeten Quantentheorie und der 1905 von Albert Einstein (1879-1955)
entwickelten Relativitätstheorie (s.Abschn.20.3, S.291ff.) begann eine neue Ära der
Physik und man bezeichnet heute die Gesamtheit der zuvor gewonnenen physikalischen Erkenntnisse und Gesetze als klassische Physik (classical physics). Der
wesentliche Punkt bei der von Max Planck vorgestellten Ableitung der Formel für
ρs (f, T ) war die Forderung, dass ein Resonator mit der Frequenz f Energie nicht
in beliebigen Portionen abgeben oder aufnehmen kann, sondern nur in ganzzahligen
Vielfachen des Energiequants (quantum of energy) hf, wobei die Naturkonstante h
die Größe
h = 6, 62606876(52) · 10−34 Js
(551)
besitzt [COD99] und als Planck-Konstante oder Planck’sches Wirkungsquantum (Planck constant) bezeichnet wird. Mit dieser Forderung ergibt sich die
Planck’sche Strahlungsformel (Planck’s radiation formula) A 147
ρs (f, T ) =
1
8πhf 3
.
c0 3 exp(hf /kT ) − 1
(552)
418
25 Wärmestrahlung
Die Bedingung für die Ausbildung stehender Wellen in einer Dimension der Länge `
lautet ` = nλ/2, wobei n eine ganze Zahl und λ die Wellenlänge bezeichnet. Diese Beziehung wenden wir auf die elektromagnetischen Wellen im Vakuum an, so daß λ die
zur Frequenz f gehörige Vakuumwellenlänge λ0 = c0 /f ist. Damit folgt für die Anzahl der stehenden Wellen (= Anzahl der Resonatoren) bei vorgegebener Länge ` und
Frequenz f die Gleichung n = 2`f /c0 . Die Erweiterung auf drei Dimensionen (Würfel
mit der Kantenlänge `) führt auf die Beziehung n21 + n22 + n23 = (2`f /c0 )2 . Mit dieser Gleichung lässt sich die Anzahl der stehenden Wellen im Frequenzintervall von f
bis f + df berechnen. Zu diesem Zweck gehen wir in das durch n1 , n2 und n3 aufgespannte kartesische Koordinatensystem. Das Volumen zwischen den Radien 2`f /c0
und 2`(f + df )/c0 ist 4π(2`f /c0 )2 2(`/c0 )df . Da n1 , n2 und n3 nur positiv sein dürfen,
kommt lediglich der entsprechende Kugelschalenoktant in Frage und es ergibt sich für die
Anzahl der stehenden Wellen (1/8)4π(2`f /c0 )2 2(`/c0 )df . Diese Zahl ist noch mit dem
Faktor 2 zu multiplizieren, da die elektromagnetischen Wellen zu den Transversalwellen
gehören (es sind jeweils zwei Wellen gleicher Frequenz aber unterschiedlicher Polarisationsrichtungen möglich). Damit folgt für die Anzahl der stehenden Wellen pro Volumen
der Ausdruck 8πf 2 c−3
0 df . Dieses Ergebnis ist unabhängig von der Form des Hohlraumes, für den im vorliegenden Fall ein Würfel gewählt wurde. Die Planck’sche Quantisierungsbedingung besagt, dass ein Resonator nur die diskreten Energien En = nhf
mit n = 0, 1, 2, ... annehmen kann, so dass sich für die mittlere Energie (s. BoltzmannP
P
Verteilung, S.103) die Beziehung hEi = [ n nhf exp(−nhf /kT )][ n exp(−nhf /kT )]−1
ergibt, wobei k die Boltzmann-Konstante und T die Temperatur bezeichnet. Nun gilt
P
exp(−nhf /kT ) = [1 − exp(−hf /kT )]−1 (s.A.6.4, S.1261, geometrische Reihe). Difn
ferenziert man die linke und die rechte Seite dieser Gleichung nach −1/(kT ), so folgt auP
ßerdem
nhf exp(−nhf /kT ) = [hf exp(−hf /kT )] · [1 − exp(−hf /kT )]−2 . Einsetzen
n
dieser beiden Gleichungen in die Beziehung für hEi liefert hEi = [hf exp(−hf /kT )][1 −
exp(−hf /kT )]−1 oder hEi = hf [exp(hf /kT ) − 1]−1 . Wir sehen, dass sich dieser Audruck
für hf kT vereinfacht zu hEi = kT , dem Ergebnis der klassischen Physik. Unter Verwendung der oben abgeleiteten Anzahl 8πf 2 c−3
0 df der stehenden Wellen pro Volumeneinheit und der Formel für die mittlere Energie hEi jeder dieser Wellen, folgt ρs (f, T )df =
−1
−1
(8πf 3 hc−3
oder ρs (f, T ) = 8πf 3 hc−3
, d.h. die
0 df )[exp(hf /kT ) − 1]
0 [exp(hf /kT ) − 1]
Gl.(552).
Von Albert Einstein (1879-1955) stammt eine Ableitung der Planck’schen Strahlungsformel, die davon ausgeht, dass die Teilchen der Hohlraumwand, die mit der
schwarzen Strahlung in Wechselwirkung stehen, ständig Photonen (s. den kleingedruckten Text auf S.404) emittieren und absorbieren. Die mittlere Dichte (mittlere
Anzahl pro Volumeneinheit) der dadurch im Hohlraum vorhandenen Photonen mit
Frequenzen zwischen f und f + df ist dann bis auf eine Proportionalitätskonstante
gleich der gesuchten Größe ρs (f, T )df . Bei dieser Ableitung musste Einstein allerdings eine Annahme über die Emission von Photonen machen, die damals eine reine
Hypothese darstellte und deren Richtigkeit erst Jahrzehnte später durch die Entwicklung des Lasers (s.S.333) bestätigt wurde: Wenn sich ein Teilchen in einem Zustand
25.2 Strahlungsformeln
419
mit der Energie E befindet, dann kann es bekanntlich ein auftreffendes Photon der
Energie hf absorbieren, indem es in einen angeregten Zustand mit der Energie E+hf
übergeht. Nach Einstein kann das auftreffende Photon aber auch mit der gleichen
Wahrscheinlichkeit das Teilchen vom angeregten Zustand in den Ausgangszustand
der Energie E versetzen, wobei ein zweites Photon gleicher Frequenz und Phase entsteht (induzierte Emission, stimulated emission). Die bis dahin allein bekannte
spontane Emission (spontaneous emission) von Photonen, d.h. der Übergang eines Teilchens von E + hf nach E ohne äußere Einwirkung, dominiert allerdings bei
den üblichen thermischen Lichtquellen (Glühlampen, Gasentladungen usw.); denn
es ergibt sich für den relativen Anteil rind der induzierten Emissionsübergänge der
Ausdruck
hf
(553)
rind = exp −
kT
der bei T ≈ 2200 K und λ0 ≈ 550 nm kleiner als 10−5 ist.
Es sei n(f ) bzw. n∗ (f ) die Dichte (Anzahl pro Volumeneinheit) der mit der Strahlung
wechselwirkenden Teilchen in der Hohlraumwand, deren Resonanzfrequenz f ist und die
im Grundzustand die Energie E0 , bzw. im angeregten Zustand die Energie E0 + hf besitzen. Das Verhältnis der Dichten (Anzahl der Teilchen pro m3 ) ergibt sich nach der
Boltzmann-Verteilung (s.S.103) zu n∗ (f )/n(f ) = exp(−hf /kT ). Für die Anzahl der pro
Zeit und Volumen absorbierten Photonen der Energie hf schreiben wir K1 n(f )ρs (f, T ),
wobei K1 ein Proportionalitätsfaktor ist. Die Anzahl der pro Zeit und Volumen emittierten Photonen der Energie hf folgt als Summe aus dem Beitrag der spontanen Emission K2 n∗ (f ), mit K2 als einem zweiten Proportionalitätsfaktor, und dem der induzierten Emission K1 n∗ (f )ρs (f, T ). Im thermischen Gleichgewicht muss demnach gelten
K1 n(f )ρs (f, T ) = K1 n∗ (f )ρs (f, T ) + K2 n∗ (f ). Unter Verwendung der obigen Formel
für das Verhältnis n∗ (f )/n(f ) erhalten wir ρs (f, T ) = (K2 /K1 )[exp(hf /kT ) − 1]−1 .
Die Einstein’sche Ableitung liefert also die Planck’sche Strahlungsformel (s.Gl.(552)),
wenn man für den Quotienten der beiden Proportionalitätsfaktoren K2 /K1 die Größe
8πhf 3 /c30 einsetzt. Diese Tatsache erlaubt eine Berechnung des relativen Anteils rind der
induzierten Emissionsübergänge an der Gesamtemission. Definitionsgemäß gilt rind =
[K1 n∗ (f )ρs (f, T )][K1 n∗ (f )ρs (f, T ) + K2 n∗ (f )]−1 . Setzen wir hier die obige Gleichung
ρs (f, T ) = (K2 /K1 ) · [exp(hf /kT ) − 1]−1 ein, so folgt rind = exp(−hf /kT ), d.h. die
Gl.(553).
Um die spektrale Energiedichte der schwarzen Strahlung nach Gl.(552) als Funktion
der Vakuumwellenlänge λ0 darzustellen, genügt Res nicht, f durchR c0 /λ0 zu erset∞
∞
zen; denn es muss ja außerdem die Bedingung 0 ρs (f, T )df = 0 ρs (λ 0 , T )dλ 0
(Gleichheit der Energiedichten) erfüllt werden. Man erhält A 148
ρs (λ0 , T ) =
8πhc0
1
.
λ50 exp[hc0 /(λ0 kT )] − 1
(554)
420
25 Wärmestrahlung
R∞
R∞
Die Bedingung für die Gleichheit der Energiedichten 0 ρs (f, T )df = 0 ρs (λ0 , T ) dλ0
wird erfüllt durch ρs (λ0 , T ) = ρs (f, T )|df /dλ0 |. Wegen f = c0 /λ0 oder |df /dλ0 | = c0 /λ20
folgt ρs (λ0 , T ) = ρs (f, T )c0 /λ20 und damit nach Einsetzen von Gl.(552) die gesuchte
Gl.(554). Das Produkt 2πhc20 wird mitunter als erste Strahlungskonstante (first radiation constant) und der Quotient hc0 /k als zweite Strahlungskonstante (second
radiation constant) bezeichnet.
Das Maximum dieser Funktion tritt auf, wenn die Bedingung dρs (λ0 , T )/dλ0 = 0
erfüllt ist. Einsetzen von Gl.(554) führt auf die Beziehung 5{1−exp[−hc0 /(λ0,max kT )]}
= hc0 /(λ0,max kT ). Das Ergebnis der numerischen Lösung [LID90]
λ0,max T = 2, 897756(24) · 10−3 m · K
(555)
wird Wien’sches Verschiebungsgesetz (Wien’s displacement law, Wilhelm Wien
1864-1928) genannt.
Als Nächstes wollen wir die Gesamtleistung berechnen, die von einem Quadratmeter eines schwarzen Körpers in den Halbraum abgestrahlt wird. Nach Tab.81,
S.413, ist dies gleich der spezifischen Ausstrahlung einer schwarzen Fläche (Ms ).
Unter Verwendung des Ausdrucks (550), S.416, und der Planck’schen Strahlungsformel erhält man nach Integration über den gesamten Frequenzbereich von 0 bis ∞
das Stefan-Boltzmann-Gesetz (Stefan-Boltzmann law, Joseph Stefan 1853-1893,
Ludwig Boltzmann 1844-1906)
Ms = σT 4 .
(556)
Die dabei auftretende Größe [COD99]
σ=
2π 5 k 4
= 5, 670400(40) · 10−8 W m−2 K−4
15 c20 h3
(557)
wird Stefan-Boltzmann-Konstante (Stefan-Boltzmann constant) genannt.
R∞
Der Ausdruck (550), S.416, liefert die Gleichung Ms = (c0 /4)R 0 ρs (f, T )df . Mit
∞ 3
der Planck’schen Strahlungsformel (Gl.(552)) folgt Ms = 2πhc−2
f [exp(hf
/kT ) −
0
0
R
−2
−1
4 ∞ 3
1] df . Die Substitution hf
/kT
=
ξ
führt
auf
M
ξ
[exp
ξ−
s = 2πhc0 (kT /h)
0
R∞
1]−1 dξ. Mit dem Integral 0 ξ 3 [exp ξ − 1]−1 dξ = π 4 /15 (s.S.1260) ergibt sich Ms =
4 4
(2π 5 /15)h−3 c−2
0 k T .
Unter der Annahme, dass die Sonne ein schwarzer Strahler ist, lässt sich die Oberflächentemperatur TS der Sonne sowohl mit Hilfe des Stefan-Boltzmann-Gesetzes
als auch des Wien’schen Verschiebungsgesetzes berechnen. Die extraterrestrische
Solarkonstante (solar constant) SS , das ist die Leistung, die an der äußeren Grenze der Erdatmosphäre beim mittleren Sonnenabstand senkrecht auf 1 m2 einfällt
(Energiestromdichte), hat den Wert [LID90]
25.3 Pyrometrie / Farben
SS = (1395 ± 30) W/m2 .
421
(558)
Nennen wir den Sonnenradius rS , so folgt aus dem Stefan-Boltzmann-Gesetz (s.Gl.
(556)) für die von der Sonnenoberfläche nach außen abgestrahlte Gesamtleistung
σTS4 4πrS2 . Dieser Wert muss gleich dem Produkt aus SS und der Kugeloberfläche
2
4πrSE
sein, wenn rSE den mittleren Abstand der Erde von der Sonne bezeichnet.
Daraus folgt TS ≈ 5800 K.
2
Aus der Gleichung σTS4 4πrS2 = SS 4πrSE
ergibt sich TS = (SS /σ)1/4 (rSE /rS )1/2 . Einsetzen
der Zahlenwerte SS = 1395 W/m2 , σ = 5, 6705 · 10−8 Wm−2 K−4 , rSE = 149, 6 · 109 m
und rS = 696 · 106 m liefert TS = 5806 K.
Das Maximum der spektralen Verteilung des Sonnenlichtes liegt bei einer Wellenlänge, für die das menschliche Auge unter ungünstigen Lichtverhältnissen (Dunkeladaption) seine maximale Empfindlichkeit besitzt (ca. 500 nm nach Abb.225, S.410).
Mit Hilfe des Wien’schen Verschiebungsgesetzes (Gl.(555)) erhält man daraus TS ≈
5800 K.
Das Sonnenspektrum stimmt in seiner Intensitätsverteilung für λ0 ≥ 600 nm recht gut
mit dem Planck’schen Strahlungsgesetz (Gl.(554)) überein. Im kurzwelligen Teil treten
jedoch merkliche Abweichungen sowohl nach niedrigeren als auch nach höheren Intensitäten auf, da sich hier einerseits die vielen eng zusammenliegenden Absorptionslinien
(Fraunhofer-Linien, s.S.312) bemerkbar machen und da sich andererseits eine zusätzliche
Strahlung aus den äußeren Schichten des Sonnenatmosphäre überlagert.
Ü 159
Ü 160
25.3 Pyrometrie / Farben
Die Pyrometrie (pyrometry) befasst sich mit der Messung von Temperaturen
durch die von dem betreffenden Körper ausgesandte Wärmestrahlung. Moderne
Schmalband- oder Spektralpyrometer (narrow-band pyrometers oder spectral
pyrometers) verwenden infrarotempfindliche photoelektrische Zellen (s.S.234) mit
vorgeschalteten optischen Filtern. Bei den optischen Pyrometern (optical pyrometers) wird das Bild des strahlenden Körpers in einer Ebene erzeugt, in der sich
ein Wolframfaden befindet. Dieser wird durch einen elektrischen Strom soweit aufgeheizt, bis er sich bei der Betrachtung durch ein Okular und Rotfilter nicht mehr
von dem Bild des strahlenden Körpers abhebt. Bei den Gesamtstrahlungspyrometern (total-radiation pyrometers) schließlich wird die Wärmestrahlung über
einen Hohlspiegel auf eine geschwärzte Folie fokussiert, die mit einer Thermosäule
(thermopile) verbunden ist. Thermosäulen bestehen aus mehreren Thermoelementen (s.S.520), die zur Erhöhung der pro vorgegebener Temperaturdifferenz erzeugten
http://www.springer.com/978-3-8351-0074-9
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