Übungsblatt 5 (08.07.2011) - Lehrstuhl für Optik, Uni Erlangen

Experimentalphysik für Naturwissenschaftler 2
Universität Erlangen–Nürnberg
SS 2011
Übungsblatt 5 (08.07.2011)
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1) Magnetische Feldlinien
Welche der folgenden Feldlinienbilder sind richtig und welche nicht?
Lösung
a) richtig (Permanentmagnet)
b) richtig (Draht, Stromrichtung aus der Zeichenebene heraus)
c) richtig (Spule)
d) falsch (keine magnetischen Ladungen)
1
e) falsch (Feldlinien können sich nicht kreuzen)
f) falsch (Feldlinien zeigen außerhalb eines Permanentmagneten immer vom Nord- zum Südpol)
2) Die Halskette
Ein Patient liegt in einem Kernspintomographen. Er hat vergessen, vorher
seine silberne Halskette abzunehmen. Durch einen technischen Fehler bricht
während der Untersuchung das Magnetfeld von anfänglich B = 4 T zusammen, d.h. es fällt innerhalb von 0.1 s annähernd linear auf Null ab.
~ senkrecht auf
a) Wie groß ist der Induktionsstrom in der Kette, wenn B
der Flächennormalen steht?
Lösung
Z
Uind = −
Iind =
∆B
= 1.26 V
∆t
Uind
= 2πr1 ρs = 394 A
ḂdF = πr12
Uind
Uind
= Lρs
R
A
πr22
b) Um wieviel K erwärmt sich die Kette?
Lösung
∆Q = ∆W = P · ∆t = U · I · ∆t
∆Q = mc∆T
VTorus = 2π 2 r1 r22
m = ρ · V = 20.73 g
=⇒ ∆T =
U · I · ∆t
= 10.2 K
m·c
Hinweise: Betrachten Sie die Kette als Torus mit r1 = 10 cm und r2 = 1 mm. Silber hat den spezifischen
J
Widerstand ρs = 1.6 · 10−8 Ωm, die Wärmekapazität c = 0.235 gK
und die Dichte 10.5 cmg 3 . Vernachlässigen Sie
die Temperaturabhängigkeit dieser Größen.
3) Wasserkondensatoren
Gegeben ist ein Plattenkondensator (Plattenabstand d = 20 cm, Plattenfläche A = 400 cm2 ), der zur Hälfte
mit Wasser (Dielektrizitätskonstante W = 80.3) gefüllt werden kann. Es liegt eine Spannung von U = 240 V an.
2
Berechnen Sie die Kapazität des Kondensators für folgende Fälle:
a) Ohne Wasser
Lösung
C=
0 A
= 1.77pF
d
b) Das Wasser steht senkrecht zu den Platten
Lösung
Betrachtung als zwei parallel geschaltete Kondensatoren mit CLuft =
Platten-Fläche):
C = CLuft + CWasser =
0 A
2d
und CWasser =
W 0 A
2d
(jeweils halbe
0 A
· (1 + W ) = 72.0 pF
2d
c) Das Wasser steht parallel zu den Platten
Lösung
Betrachtung als zwei in Reihe geschaltete Kondensatoren mit CLuft = 2d0 A und CWasser =
halber Plattenabstand):
2A·0
1
d
C= 1
=
1
1 = 3.50 pF
1
+
+
CLuft
CWasser
W
2W 0 A
d
(jeweils
4) Frequenz-Filter
Eine elektrische Reihen-Schaltung bestehe aus einer Wechselstromquelle Ue , einem Kondensator der Kapazität C und einem ohmschen Widerstand R (siehe Skizze). Wir betrachten die Spannung Ua die am Widerstand
abgegriffen wird.
3
a) Bestimmen Sie den Betrag der Ausgangsspannung |Ua | in Abhängigkeit von dem der Eingangsspannung
|Ue |. Machen Sie sich die √
Frequenzabhängigkeit dieses Verhältnisses klar. (Erinnerung: Der Betrag einer
komplexen Zahl ist: |c| = c · c∗ )
Lösung
Ua = R · I
Ue
I=
Zges
Zges = ZR + ZC = R +
1
iωC
R
=⇒ Ua = Ue ·
1
R + iωC
s
R
R
|Ua | =
1 ·
1 · |Ue |
R + iωC R − iωC
s
R2
=
· |Ue |
R2 + ω21C 2
=√
RωC
ω 2 R2 C 2
+1
· |Ue |
Mit wachsender Frequenz nähert sich die Ausgangsspannung immer mehr der Eingangsspannung an, d.h.:
lim |Ua | = |Ue |
ω→∞
Deshalb spricht man bei dieser Schaltung von ’Hochpass-Filter’.
b) Dimensionieren Sie nun R und C so, dass beim Ton A (f1 = 110 Hz) die Ausgangsspannung 60% der
Eingangsspannung beträgt.
Lösung
4
k = 0.6
RCω
√
=k
2
ω R2 C 2 + 1
R2 C 2 ω 2
= k2
ω 2 R2 C 2 + 1
1
1 + 2 2 2 = k −2
R C ω
1
k −2 −
r1
1
1
RC =
= 1.09 · 10−3 s = 1.09 · 10−3 ΩF
−2
2πf k − 1
R2 C 2 ω 2 =
c) Nun wird anstelle des Kondensators eine Spule der Induktivität L eingebaut. Bestimmen Sie wie in Aufgbe
a) die Frequenzabhängigkeit von |Ua |. Welche Eigenschaften besitzt diese Schaltung?
Lösung
Lösung wie in a), nur dass jetzt gilt Z = R + iωL
R
=⇒ Ua = Ue ·
r R + iωL
R
R
·
· |Ue |
|Ua | =
R + iωL R − iωL
R
=√
· |Ue |
R 2 + ω 2 L2
Für größere ω nimmt die Ausgangsspannung ab, es handelt sich bei dieser Schaltung nun also um einen
Tiefpass-Filter.
1
Hochpass
Tiefpass
0.8
|Ua| / |Ue|
0.6
0.4
0.2
0
Frequenz ω
5
d) Welche (einfache) Möglichkeiten gibt es noch, einen Tief- bzw. Hochpassfilter zu konstruieren?
Lösung
– Hochpass: Schaltkreis wie a): Abgreifen von Ua an Kondensator: |Ua | =
– Tiefpass: Schaltkreis wie c): Abgreifen von Ua an Spule: |Ua | =
√
√
1
|Ue |
1+R2 C 2 ω 2
ωL
|Ue |
R2 +L2 ω 2
e) Wir erzeigen nun einen Bandpassfilter, indem wir die Schaltungen aus a) und c) kombinieren. Wir schalten
im Aufbau a) (Skizze) zum Kondensator eine Spule in Reihe. Stellen Sie ohne Rechnung die zugehörige
Gleichung für |Ua | auf.
Lösung
R
|Ua | = q
R2 + (ωL −
1 2
)
ωC
· |Ue |
f) Wählen Sie nun L und C so, dass für den Kammerton a1 (f = 440 Hz) der Betrag der Ausgangsspannung
maximiert wird.
Lösung
Die maximale Ausgangsspannung wird erreicht am Minimum des Nenners aus e):
ωL −
=⇒ LC =
1
=0
ωC
1
1
= 2 2 = 131 ns = 131 · 10−9 F H
2
ω
4π f
6