10.¨Ubungsblatt zur Algebra Anne Henke, Sam Thelin, SS 2017 1

10.Übungsblatt zur Algebra
Anne Henke, Sam Thelin, SS 2017
1. (Zum Votieren.) Welche der folgenden Ideale sind prim, √
welche sind
√ maximal?
2
2
(i) hX + 1i / R[X];
(ii) hX + 1i / C[X];
(iii) h 2i / Z[ 2];
(iv) hX, Y i / R[X, Y ];
(v) hXY i / R[X, Y ];
(vi) hX − Y 3 i / R[X, Y ].
Begründen Sie jeweils Ihre Antwort.
2. (Zum Votieren.) Sei R ein Integritätsbereich und seien a, b ∈ R mit b 6= 0.
(a) Zeigen Sie, dass falls ggT(a, b) und kgV(a, b) in R existieren, dann sind sie eindeutig bis
auf Assoziiertheit.
(b) Angenommen R ist ein Hauptidealring. Zeigen Sie, mit Hilfe der Ideale (a) + (b) und
(a) ∩ (b), dass ggT(a, b) und kgV(a, b) in R existieren. Zeigen Sie auch, dass r, s ∈ R
existieren, sodass ggT(a, b) = ra + sb ist. Sie dürfen hierbei nicht benützen, dass R
faktoriell ist.
3. (Zum Votieren.) Ist R ein euklidischer Ring mit Gradabbildung d, dann kann man – analog wie für ganze Zahlen – den ggT(a, b) für a, b ∈ R mit dem Euklidischen Algorithmus
bestimmen: Sei r0 = a und r1 = b und für i ≥ 1 seien qi und ri+1 definiert durch
ri−1 = qi ri + ri+1
mit d(ri+1 ) < d(ri ) oder ri+1 = 0.
Dann gilt ggT(a, b) = rn mit n = max{i ≥ 1 : ri 6= 0}. Ausserdem gibt es r, s ∈ R mit
ggT(a, b) = ra + sb:
rn = rn−2 − qn−1 rn−1
= rn−2 − qn−1 (rn−3 − qn−2 rn−2 )
= ...
= r · r0 + s · r1 .
(a) Beweisen Sie, dass ggT(a, b) = rn ist.
(b) Bestimmen Sie in den folgenden Fällen sowohl ggT(a, b) als auch r, s ∈ R, sodass
ggT(a, b) = ra + sb ist:
i. R = Z[i], a = 5 + 8i, b = 6 + 4i;
ii. R = Q[X], a = X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1, b = X 5 + X 4 + X 3 + 2X 2 + 2X + 2;
iii. R = Z5 [X], a = X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1, b = X 5 + X 4 + X 3 + 2X 2 + 2X + 2.
√
√
4. (Zum Votieren.) Sei R = Z[ d] = {a + b d | a, b ∈ Z} mit d eine quadratfreie ganze Zahl
derart, dass R faktoriell
√ ist (also unzerlegbar gleich prim ist). Die Norm N : R → Z ist
definiert durch N (a + b d) = a2 − db2 . Zeigen Sie:
(a) Sei π ∈ R ein Primelement. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Primzahl p ∈ N mit
π | p und |N (π)| = p oder p2 .
(b) Sei π ∈ R derart, dass |N (π)| = p eine Primzahl ist. Dann ist π ein Primelement in R.
(c) Sei π ∈ R ein Primelement in R mit |N (π)| = p2 ein Primzahlquadrat. Dann ist π
assoziiert zu p, also π ∼ p.
(d) Für eine Primzahl p ∈ N gilt: p ist genau dann kein Primelement in R, wenn es ein
a ∈ R gibt mit |N (a)| = p.
5. (Schriftlich, 12 Punkte.)
(a) Sei p ∈ N eine ungerade Primzahl. Laut einem Satz von Euler gibt es genau dann
a, b ∈ N mit p = a2 + b2 , wenn p ≡ 1(mod 4) ist. Zeigen Sie, mit Hilfe von Aufgabe 4,
dass, bis auf Assoziiertheit, die Primelementen von Z[i] wie folgt sind:
i. a + ib mit a, b ∈ N und a2 + b2 eine Primzahl;
ii. p eine Primzahl mit p ≡ 3(mod 4).
(b) Schreiben Sie die folgenden Elemente als ein Produkt von Primelementen in Z[i]:
2,
5,
8 − i,
3 + 15i.
Bestimmen Sie aus den gefundenen Primfaktorzerlegungen den größten gemeinsamen
Teiler ggT(x, y) und das kleinste gemeinsame Vielfache kgV(x, y) für alle Paare x, y der
obigen vier Elemente. Begründen Sie Ihre Antwort.
6. (Zum Votieren.) Sei R ein faktorieller Ring und sei K = Quot(R).
(a) Seien f, g ∈ R[X] mit f | g in K[X] und f primitiv. Zeigen Sie, dass f | g in R[X].
(b) Sei f ∈ K[X] und g ∈ R[X] mit f und g normiert und f | g in K[X]. Zeigen Sie, dass
f ∈ R[X] ist.
Die Abgabe der schriftlichen Aufgaben erfolgt in der jeweiligen Übungsgruppe.