Grundlagen der Informatik I Übung

Grundlagen der Informatik I
Übung
Studiengang Wirtschaftsingenieurwesen
Wintersemester 2013/2014
Autor:
Prof. Dr.-Ing. habil. Hans-Joachim Böhme
HTW Dresden, Fachbereich Informatik/Mathematik
Friedrich-List-Platz 1, 01069 Dresden
E-Mail: [email protected]
Hinweis: Die Rechte am Dokument liegen ausschließlich beim Verfasser.
1 Zahlendarstellung im Rechner
Rechner „denken“ binär!
Daraus lässt sich unmittelbar folgern: Alles, was sich mit binärer Codierung darstellen
lässt, kann in einem Rechner verarbeitet werden.
Allgemein handelt es sich bei allen behandelten Zahlensystemen inklusive des uns
am geläufigsten Dezimalsystems um ein Stellenwertsystem oder Positionssystem.
Stellenwertsystem:
 Stelle/Position bestimmt Wert der jeweiligen Ziffer
 niederwertigste Stelle steht rechts
 hat Basis b
 Zifferposition hat Wert, der Potenz der Basis b an der entsprechenden
Stelle/Position entspricht
o für n-te Position Wert bn-1
Zahlenwert  z n  b n  ...  z i  b i  ...  z 0  b 0
Berechnung des Zahlenwertes (Interpretation der Zahl):
1) Multiplikation der Ziffern zi mit den zugehörigen Stellenwerten (Potenzen) bi
2) Summation/Addition der Produkte
Für Zahlendarstellung im Rechner gilt:
Basis b  2
Dies gilt für alle im Rechner verwendeten Zahlendarstellungen gleichermaßen, also
auch für die vom Dual- bzw. Binärsystem abgeleiteten Oktal- und
Hexadezimaldarstellungen.
Oktalsystem  Basis b  8  2 3
Hex  System  Basis b  16  2 4
Beispiele:
Dualsystem:
 2 5  0
 2 4  1
 2 3  1
 2 2  1
 21  1
 20
101110 2  1
 32  0  8  4  2  0
 4610
1
 82  0
 81  7
 80
6078  6
Oktalsystem:
 6  64  0  8  7  1
 384  0
 7
 39110
Hexadezimalsystem:
2
1
0
2 BE16  2
16
11
16
14
16







 2  256  11 16  14 1
 512

176  14
 70210
Die Wertigkeit der Basis bestimmt den notwendigen Werteumfang der einzelnen
Stellen (Ziffern, Koeffizienten) im Stellenwertsystem.
Dual:
Oktal:
Hexadezimal:
0,1
0,1,...,7
0,1,...,15
2 Zustände kodierbar
8 Zustände kodierbar
16 Zustände kodierbar
2 Ziffernwerte
8 Ziffernwerte
16 Ziffernwerte
Hexadezimal: [0,1,2,..., 9, A, B, C, D, E, F]
Einstellige Hex-Zahl F drückt damit das Produkt 15 mal 160 aus
Umwandlung vom Dezimalsystem in Dual-/Oktal-/Hexadezimalsystem
Prinzip: fortgesetzte ganzzahlige Division der Dezimalzahl durch die entsprechende
Basis liefert als Restwerte (modulo Operation) die Ziffern (Koeffizienten) für die
jeweilige Potenz der Basis
Beispiele:
Dual:
z10 = 46
46 : 2 = 23
23 : 2 = 11
11 : 2 = 5
5:2=2
2:2=1
1:2=0
Rest 0
Rest 1
Rest 1
Rest 1
Rest 0
Rest 1
niederwertigste Stelle
höchstwertige Stelle
z2 = 101110
2
Oktal:
z10 = 391
391 : 8 = 48
48 : 8 = 6
6:8=0
Rest 7
Rest 0
Rest 6
niederwertigste Stelle
höchstwertige Stelle
z8 = 607
Hex:
z10 = 702
702 : 16 = 43
43 : 16 = 2
2 : 16 = 0
Rest 14 = E niederwertigste Stelle
Rest 11 = B
Rest 2
höchstwertige Stelle
z16 = 2BE
Umwandlung vom Dualsystem in Oktal-/Hexadezimalsystem



einfach, da alle Systeme die gleiche Basis 2 beinhalten
Oktal: jeweils 3 Dualziffern bzw. –stellen zusammengefasst
Hex: jeweils 4 Dualziffern bzw. –stellen zusammengefasst
Beispiele:
Dual > Oktal:
z 2  101
 110

z8  5
Dual > Hex:
6
z 2  1001
 1101

z16  9
1310
 9D16
3
2 Zahlendarstellung im Rechner (Fortsetzung)
Mit der bislang behandelten Zahlendarstellung im Rechner können wir lediglich nichtnegative, ganze Zahlen repräsentieren, was natürlich nicht den tatsächlichen
Gegebenheiten im Rechner entspricht. Wie werden nun vorzeichenbehaftete Zahlen
und Brüche in einer „rechnerverständlichen“ Darstellungsform repräsentiert? Und wie
rechnet der Rechner mit der ihm innewohnenden binären Zahlendarstellung?
2.1 Rechnen mit Dualzahlen
2.1.1 Wiederholung der schriftlichen Ausführung der Grundrechenarten
im Dezimalsystem
Schriftliche Addition:
Von rechts beginnend mit Übertrag auf die jeweils nächsthöhere Stelle bzw. Potenz
zur Basis 10
3
+ 2
4
9
1
8
7
6
1
Summand
Summand
Übertrag
1
Ergebnis
---------------------------6
4
5
7
-------------Summe
6+1=7 Übertrag 0; 7+8=15 Übertrag 1; 9+Übertrag1+4=14 Übertrag 1;
2+Übertrag1+3=6
Schriftliche Subtraktion:
Man "füllt" die abzuziehende Zahl (Zahl des Subtrahenden) soweit auf, dass die Zahl
des Minuenden erreicht wird; auch hier gibt es Übertrag, nämlich immer dann, wenn
die Zahl des Minuenden kleiner als die Zahl des Subtrahenden ist, was bedeutet,
dass eine Zehnerpotenz übersprungen wurde
Übertrag
Ergebnis
2
1
7
9
5
6
1
4
Minuend
Subtrahend
-----------------------------7
8
7
1
1
1
---------------Differenz
4 bis 11 = 7 Übertrag 1; 6+1 bis 15 = 8 Übertrag 1; 9+1 bis 17 = 7 Übertrag 1;
1+1 bis 2 = 0
Schriftliche Multiplikation:
Ein Produkt ist die Addition gleicher Summanden, wobei ein Faktor den jeweiligen
Summanden und ein weiterer Faktor die Anzahl der Summierungen darstellt. Dies ist
insbesondere für die technische Realisierung im Rechner von Interesse, da man für
das Ausführen einer Multiplikation eigentlich nur ein Addierwerk benötigt.
Bei der schriftlichen Multiplikation wird die erste Zahl mit den einzelnen Ziffern der
zweiten Zahl nacheinander, beginnend bei der letzten Stelle, multipliziert. Für jede
4
neue Ziffer wird eine neue Zeile benötigt. Man schreibt jede Multiplikation
untereinander und addiert die einzelnen Werte.
37 x 31 = 1147
---------37
111
---------1147
Faktor1 x Faktor2 = Produkt
Schriftliche Division:
Wir beginnen von links aus zu suchen, welchen möglichst kurzen Abschnitt des
Dividenden wir durch den Divisor teilen können.
871 : 5 = 174,2
5
---------37
35
---------21
20
---------10
10
---------0
Dividend : Divisor = Quotient
Analog zu den Zahlen im Dezimalsystem lassen sich mit Dualzahlen die gängigen
arithmetischen Grundoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division
durchführen. Tatsächlich werden die benötigten Algorithmen sogar einfacher und
lassen sich effizient mit logischen Schaltungen elektronisch realisieren. Die
Einführung von Dualzahlen in der Rechentechnik brachte daher viele Vorteile.
2.1.2 Grundrechenarten im Dualsystem
Duale/binäre Addition:
Die binäre Addition ist eine grundlegende Basisoperation in der Computerwelt. Will
man zwei nicht negative Binärzahlen A und B addieren, kann man dies wie im
Dezimalsystem tun. Nur muss man beachten, dass beim Ergebnis keine Zwei an der
jeweiligen Stelle notiert wird, sondern eine Null und ein Übertrag an die nächste
Stelle. Dies geschieht analog zu dem Fall einer Dezimaladdition, wenn sich eine Zahl
größer oder gleich Zehn bei der Addition einer Stelle ergibt:
Die Zahlen werden übereinander aufgeschrieben. Nun arbeitet man von rechts nach
links alle Binärziffern (=Bits) von A und B simultan ab und erzeugt in jedem
Zwischenschritt ein Ergebnisbit sowie ein Merkerbit (auch Übertrag genannt). Dabei
werden die Bits entsprechend der Tabelle unten zusammengezählt. Alle
5
Ergebnisbits, von rechts nach links aneinandergereiht, stellen das Resultat dar.
Entsteht beim letzten Zwischenschritt ein Merkerbit, so bekommt das Resultat links
eine zusätzliche 1.
Es gelten folgende Rechenregeln:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1 + 1 = 0 Übertrag 1
Am besten sieht man dies anhand eines Beispieles. Hier werden die Zahlen A und B
zusammengezählt. In jedem Schritt wird ein anfallendes Merkerbit bei der nächsten
Ziffer notiert.
A = 10011010 (154 dezimal)
B = 00110110 (54 dezimal)
Merker = 11111
-------Ergebnis = 11010000 (208 dezimal)
========
Duale Subtraktion:
Es gelten folgende Rechenregeln:
0−0=0
0 − 1 = −1 (dargestellt als 1 und Übertrag 1)
1−0=1
1−1=0
0 - 1 mit Übertrag 1 = 0 mit Übertrag 1
1 - 1 mit Übertrag 1 = 1 mit Übertrag 1
Es wird im nachfolgenden Beispiel die Subtraktion der dual codierten Dezimalzahlen
110 − 23 = 87 durchgeführt. Die kleinen Einsen in der dritten Reihe zeigen den
Übertrag. Das Verfahren ist das Gleiche, wie es in der Schule für das Dezimalsystem
unterrichtet wird. Etwas ungewohnt sieht der Fall 0-1 aus. Zum Beispiel im Fall 2 − 9
im Dezimalsystem, denkt man sich eine Zehnerstelle vor die Zwei, wodurch sich die
Subtraktion 12 − 9 ergibt. Die gedachte Zehnerstelle wird dann als Übertrag an die
nächste Stelle weitergereicht. Im Dualsystem geschieht das Gleiche. Aus 0 − 1 wird
10 − 1. Es kann als Ergebnis also eine 1 hingeschrieben werden, die vor die 0
gedachte Eins muss dann als Übertrag an die nächste Stelle geschrieben und von
dieser zusätzlich abgezogen werden.
Das Verfahren funktioniert (wie auch im Dezimalsystem) nicht, wenn der Minuend
kleiner ist als der Subtrahend.
Beispiel:
A = 1101110 (110 dezimal)
B =
10111 (23 dezimal)
Merker = 1 111
-------Ergebnis = 1010111 (87 dezimal)
Die Subtraktion einer positiven Zahl ergibt dasselbe Ergebnis wie die Addition zu
einer negativen Zahl mit dem gleichen Betrag.
6
Duale Multiplikation:
Es gelten folgende Rechenregeln:
0x0=0
1x0=0
0x1=0
1x1=1
Die Multiplikation wird im Dualsystem genauso durchgeführt wie im Dezimalsystem.
Dadurch dass nur 0 und 1 als Ziffern vorkommen ist die schriftliche Multiplikation
jedoch sogar einfacher. Das folgende Beispiel, in dem die Zahlen 1100 (12) und
1101 (13) multipliziert werden, zeigt die Vorgehensweise.
Zuerst schreibt man die Aufgabenstellung in eine Zeile und zieht zur Vereinfachung
einen Strich darunter.
1100 · 1101
-----------
1100 · 1101
----------1100
Die erste Ziffer des zweiten Faktors ist eine Eins und
deshalb schreibt man den ersten Faktor rechtsbündig unter
diese Eins.
Auch für alle weiteren Einsen des zweiten Faktors schreibt
man den ersten Faktor rechtsbündig darunter.
1100 · 1101
----------1100
1100
0000
1100
Die so gewonnenen Zahlen zählt man dann zum Ergebnis der Multiplikation
zusammen.
1100 · 1101
----------1100
+
1100
+
0000
+
1100
----------10011100 (156)
7
Ein besonders einfacher Fall ist die Multiplikation einer positiven Dualzahl mit der
Zahl 10 (2). In diesem Fall muss lediglich an die positive Dualzahl eine 0
angehangen werden:
1101 · 10 = 11010
11010 · 10 = 110100
usw.
Für diese Rechenoperation existieren einfache Befehle in der Digitaltechnik.
Duale Division:
Es gelten folgende Rechenregeln:
0 : 0 = nicht definiert
1 : 0 = nicht definiert
0:1=0
1:1=1
Im nachfolgenden Beispiel erfolgt die Division von 1000010 / 11 (entspricht 66:3 im
Dezimalsystem):
1000010 ÷ 11 = 010110 Rest 0 (= 22 dezimal)
− 011
----00100
− 011
---0011
− 011
----000
− 00
--0
Bei der Division zweier positiver Dualzahlen verbleibt immer ein Rest 1, wenn die
letzte Ziffer des Dividenden eine 1 ist. Die Anwendung der Modulo-Funktion mit dem
Divisor 10 (2) auf positive Dualzahlen ergibt ergibt immer 1, wenn die letzte Ziffer des
Dividenden 1 ist und 0, wenn die letzte Ziffer des Dividenden 0 ist:
1101 mod 10 = 1
1100 mod 10 = 0
Für diese Rechenoperation, die einer UND-Verknüpfung mit 1 entspricht, existieren
einfache Befehle in der Digitaltechnik.
8
Ein besonders einfacher Fall ist die Division mit Rest einer positiven Dualzahl durch
die Zahl 10 (2). In diesem Fall muss lediglich die letzte Ziffer des Dividenden
gestrichen werden. Ist die letzte Ziffer des Dividenden eine 1, so verschwindet dieser
Rest. Entspricht bei diesem Verfahren die Anzahl der Divisionen durch 2 der Anzahl
der Stellen des Dividenden, so ist das Endergebnis immer 0:
1101 ÷ 10 = 110
110 ÷ 10 = 11
11 ÷ 10 = 1
1 ÷ 10 = 0
Für diese Rechenoperation existieren einfache Befehle in der Digitaltechnik.
9
3 Zahlendarstellung im Rechner (Fortsetzung)
3.1 Vorzeichendarstellung
Darstellung ganzer Zahlen mit separatem Vorzeichen-Bit
Als ganze Zahlen bezeichnet man die natürlichen Zahlen unter Hinzunahme der
negativen Zahlen. Für die Kenntnis einer ganzen Zahl ist also nicht nur der absolute
Zahlenwert nötig, sondern auch noch das Vorzeichen, '+' oder '-'. Für diese zwei
Möglichkeiten benötigen wir also ein weiteres Bit an Information.
So bietet sich zunächst eine Darstellung an, in der das erste Bit von links gesehen
das Vorzeichen repräsentiert (0 für '+' und 1 für '-') und der Rest den Absolutwert.
Diese Darstellung nennt man die Vorzeichendarstellung.
Bei einer Breite von 4 Bit erhalten wir:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
0011 = +3
0100 = +4
0101 = +5
0110 = +6
0111 = +7
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
1011 = -3
1100 = -4
1101 = -5
1110 = -6
1111 = -7
Bei näherem Hinsehen hat diese Darstellung aber eine Reihe von Nachteilen:



Die Zahl 0 wird durch zwei verschiedene Bitfolgen darstellt (als '+0' und als '0').
Das Rechnen ist komplizierter geworden, man kann nicht mehr einfach zwei
Zahlen untereinander schreiben und addieren.
je breiter die Zahlendarstellung, umso größer ist die Zahl der ungenutzten Bits
Im Folgenden wird eine Variante beschrieben, die diese Probleme vermeidet und
deshalb zu einer gebräuchlichen Darstellung geworden ist, die
Zweierkomplementdarstellung.
Komplementdarstellung
Die Zweierkomplementdarstellung ist die gebräuchliche interne Repräsentation
ganzer positiver und negativer Zahlen. Sie kommt auf sehr einfache Weise zu
Stande.
Wir erläutern Sie zunächst für den Fall N = 4.
Mit 4 Bits kann man einen Bereich von 24 = 16 ganzen Zahlen abdecken. Den
Bereich kann man frei wählen, also z.B. die 16 Zahlen von -8 bis +7.
10
Man zählt nun von 0 beginnend aufwärts, bis man die obere Grenze +7 erreicht,
anschließend fährt man an der unteren Grenze -8 fort und zählt aufwärts, bis man die
Zahl -1 erreicht hat.
Auf diese Weise erhält man nun folgende Zuordnung von Bitfolgen zu ganzen
Zahlen:
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
Jetzt sieht man auch den Grund, wieso der Bereich von -8 bis +7 gewählt wurde und
nicht etwa der Bereich von -7 bis +8:
Bei dem mit 0 beginnenden Hochzählen wird bei der achten Bitfolge zum
ersten Mal das erste Bit zu 1. Springt man also ab der 8. Bitfolge in den
negativen Bereich, so hat man die folgende Eigenschaft: Bei den
Zweierkomplementzahlen stellt das erste Bit das Vorzeichen dar.
Das Zweierkomplement hat zudem den Vorteil, dass die '0' nur einmal vorkommt.
Darstellbar sind mit dem Zweierkomplement die Zahlen von -2N-1 bis 2N-1-1.
Zweierkomplementzahlen werden auch als signed binary numbers oder signed
integers bezeichnet.
Berechnung des Zweierkomplements
Das Zweierkomplement erhält man, indem man zunächst das Einerkomplement
bildet und anschließend 1 addiert.
Das Einerkomplement erhält man durch bitweises Vertauschen der Werte 0 und 1.
Man erhält zum Beispiel die Zweierkomplementdarstellung von -6, indem man zuerst
die Binärdarstellung von +6, also (0110)2 bildet.
Davon bildet man das Einerkomplement - also (1001)2 - und addiert 1.
Man erhält also als Zweierkomplementdarstellung der Zahl (-6)10 die Binärdarstellung
(1010)2.
Addition von Zweierkomplementzahlen
Da das Bilden des Negativen einer Zahl so einfach ist, kann man die Subtraktion auf
eine Negation mit anschließender Addition zurückführen.
Um z.B. (2-6) zu berechnen, addieren wir einfach 2 + (-6).
Das sieht binär so aus:
0010
|| = (2)10
+ 1010
|| Zweierkomplement von ( -6)10 (s.o.)
11
--------1100
Das erste Bit des errechneten Ergebnisses zeigt uns an, dass es sich um eine
negative Zahl handelt.
Ihren Betrag finden wir, indem wir erneut das Zweierkomplement bilden, also
zunächst die einzelnen Bits vertauschen (Einerkomplement) und dann 1 addieren:
Einerkomplement von 1100 = 0011
Zweierkomplement --> 0011 + 0001 = 01002 = 410
Zusammen mit der Vorzeicheninformation von eben erhalten wir als Ergebnis der
Rechnung also (-4)10
Prinzipiell kann man beliebige Zahlenformate vereinbaren, in der Praxis werden fast
ausschließlich Zahlenformate mit 8, 16, 32 oder 64 Bits eingesetzt. In den meisten
Programmiersprachen gibt es vordefinierte ganzzahlige Datentypen mit
unterschiedlichen Wertebereichen.
Je größer das Format, desto größer ist natürlich der erfasste Zahlenbereich. Einige
typische Formate sind z.B.:
Wertebereich
7
Bytes Java
C++
8 Bit byte
char
7
-2 ... 2 -1
oder
-128 ... 127
-215 ... 215-1
oder
16 Bit short int/short
-32.768 ... 32.767
-231 ... 231-1
oder
32 Bit int
int/long
64 Bit long
----
-2.147.483.648 ... 2.147.483.647
-263 ... 263-1
oder
-9.223.372.036.854.775.808 ... 9.223.372.036.854.775.807
12
3.2 Darstellung rationaler und reeller Zahlen
3.2.1 Festkommazahlen
Eine Festkommazahl ist eine Zahl, die aus einer festen Anzahl von Ziffern besteht.
Die Position des Dezimalkommas ist dabei fest vorgegeben, daher der Name.
Der Grundgedanke hinter Festkommazahlen ist die exakte Darstellung ohne
Rundungsfehler eines Ausschnitts der rationalen Zahlen.
Üblicherweise sind per Definition die ersten n kleiner/gleich k Stellen
Vorkommastellen und die restlichen m = k − n Nachkommastellen.
Aufgrund der exakten Darstellung ist die Menge aller Festkommazahlen einer
vorgegebenen Länge k im Vergleich zu den Gleitkommazahlen sehr gering.
Durch die feste Position des Dezimalkommas fällt Rechenaufwand im Vergleich zur
Rechnung mit Gleitkommazahlen weg. Wird in einem Computerprogramm eine
binäre Festkommadarstellung gewählt, können zudem die zur Umrechnung und
Korrektur notwendigen Multiplikationen und Divisionen durch schnelle
Schiebeoperationen ersetzt werden.
Formal:
Definition einer ganzen Zahl im B-adischen Zahlensysten:
N 1
n   bi B i  b0 B 0  ...  bN 1 B N 1
i 0
Definition einer gebrochenen Zahl im B-adischen Zahlensystem
n
N 1
i
b
B
i
i   M 1
Rechnen mit Festkommazahlen
Bei der Rechnung mit Festkommazahlen wird verfahren wie bei der Rechnung mit
ganzen Zahlen. Die Position des Kommas ist bei der Addition und Subtraktion nicht
von Belang. Alles bisher erläuterte zur Addition und Subtraktion von Dualzahlen
bleibt unverändert gültig.
Bei der Multiplikation von ganzen Zahlen gilt: Das Produkt zweier N-stelligen ergibt
eine 2N-stellige Zahl. Da die Größe der darstellbaren Zahlen in Computern in der
Regel vorgegeben ist (typisch 16, 32 oder 64 Stellen) wählen wir als Ergebnis nur
wieder die niederwertigsten N Stellen. Wenn eine der höherwertigen Stellen eine
Ziffer ≠ 0 enthält, ist ein Überlauf aufgetreten, der über einen gesonderten
Mechanismus abzufangen ist.
13
Für Festkommazahlen wählt man als Bezugspunkt die Stelle, an der das Komma
steht. Man wählt also vom doppeltlangen Ergebnis wiederum N Stellen vor und M
Stellen nach dem Komma. Alle anderen Stellen werden verworfen. Das kann
genauso zu Überläufen führen wie bei der ganzzahligen Multiplikation. Zusätzlich
können aber auch Nachkommastellen ausgelöscht werden, die zu weit „hinter“ dem
Komma stehen, wodurch ein Teil der Genauigkeit verloren gehen kann.
Wir betrachten im nachfolgenden Beispiel nur den gebrochenen Teil, denn wir wissen
bereits wie wir den ganzzahligen Teil konvertieren können. Eine Möglichkeit ist
folgendes Verfahren, das man „Wiederholte Multiplikation mit abschneiden“ nennt:
Man multipliziert die zu konvertierende Zahl mit der Basis B. Die Stelle, die dabei vor
das Komma gerät, ist die erste Ziffer der binären Darstellung. Diese subtrahiert man
vom Ergebnis und bekommt wieder einen B-adischen Bruch mit einer 0 vor dem
Komma. Mit diesem verfährt man genauso, usw.
Beispiel:
Die Dezimalzahl 0,75625 soll ins Binärsystem (Basis B=2) gewandelt werden:
Da die Anzahl der zur Verfügung stehenden binären Nachkommastellen vorgegeben
und damit begrenzt ist, lässt sich mit dieser Darstellung keine beliebige Genauigkeit
erreichen, sondern der dezimale Wert oft nur näherungsweise erreichen.
3.2.2 BCD
Bevor wir zur Gleitkommadarstellung von Zahlen kommen, soll noch eine weitere
Darstellungsmöglichkeit behandelt werden, deren Name sich aus dem Begriff Binary
Coded Decimals herleitet.
Um eine Zahl als BCD-Zahl darzustellen, wird jede dezimale Ziffer (0 bis 9) durch
jeweils 4 Bit, also ein Halbbyte (Nibble), im Dualsystem dargestellt (0000 bis 1001).
Die übrigen sechs Werte, die mit 4 Bit darstellbar sind (10102 bis 11112), stellen
keine gültigen BCD-Zahlen dar (Pseudotetraden). Sie werden in manchen Systemen
zur Kodierung von Vorzeichen, Überträgen oder Kommata verwendet.
14
Zur Kodierung von Zahlen mit mehr als einer Dezimalziffer werden die BCDDarstellungen der einzelnen Ziffern hintereinander gesetzt (zum Beispiel wird die
Zahl 2687 als 0010 0110 1000 0111, beziehungsweise ohne trennende Leerzeichen
als 0010011010000111 dargestellt). Mit einem Byte (8 Bit) können also zwei
Dezimalziffern dargestellt werden.
Beispiel:
1234567890 im Dezimalsystem entspricht
3
5
6
7
8
9
0
1
2
4










0001 0010 0011 0100 0101 0110 01111000 1001 0000
BCD-Zahlen werden hauptsächlich in kaufmännischen Anwendungen zur Darstellung
von Geldbeträgen verwendet, um die Rundungsfehler zu vermeiden, die beim sonst
erforderlichen Zahlbasiswechsel in den Nachkommastellen auftreten.
15
4 Zahlendarstellung im Rechner (Fortsetzung)
4.1 Gleitkommazahlen
Bisher haben wir nur ganze Zahlen betrachtet. Nun wollen wir auch reelle
(gebrochene) Zahlen zulassen. Wie kann man aber
1.) das Komma darstellen, wo die beiden binären Zeichen 0 und 1 schon belegt
sind? Und wie kann man
2.) einen unendlichen Zahlenbereich (zwischen zwei beliebigen reellen Zahlen
liegen unendlich viele weitere reelle Zahlen!) mit endlich vielen Ziffern (Bits)
so darstellen, dass ein endliches System (unser Computer) damit rechnen
kann?
Bei der Gleitpunktdarstellung ist die Kommastelle Bestandteil der Zahl. Dies
erreicht man durch einen kleinen Kunstgriff:
Die technisch wissenschaftliche Notation gibt die Kommaposition über einen
Exponenten an. So kann z.B. die Zahl 3,84 auch so geschrieben werden:
1. 384 x 10-2
2. 0,0384 x 102
3. 38,4 x 10-1
Gesucht ist eine Darstellung, die folgendes leistet:

Sie soll ein möglichst großes Intervall der reellen Zahlen umfassen.

Ihre Genauigkeit soll bei kleinen Zahlen sehr hoch, bei großen Zahlen
niedriger sein
(Bei einem Betrag von 500.000€ auf dem Konto ist es relativ unwichtig, wie
viel Cent hinter dem Komma stehen.
Beim Versuch mit dem letzten Kleingeld eine DVB-Fahrkarte zu kaufen
spielen Cents eine ungleich wichtigere Rolle.)
Die Gleitpunktdarstellung erfüllt diese beiden Forderungen. Die Idee dahinter ist
ganz einfach:
Kleine Zahlen benötigen wenige Stellen vor dem Dezimalpunkt, so dass wir ihnen
viele Stellen hinter dem Punkt und damit eine größere Genauigkeit spendieren
können.
Bei großen Zahlen ist es genau umgekehrt.
Der Vorteil ist, dass man auf kurze und übersichtliche Weise einen sehr großen
Zahlenbereich darstellen kann. Diese Darstellungsweise hat auch enorme Vorteile für
die Zahlendarstellung in Computern: Hier ist man durch die Hardware auf eine oder
wenige Wortgrößen (Anzahl von Bits) festgelegt, in denen ein Operand untergebracht
werden muss. Würde nun nur die normale Dualdarstellung verwendet, könnte man
bereits die Zahl 10 Milliarden in einem 32-Bit Wort nicht mehr darstellen. Wenn man
16
andererseits auch gebrochene Zahlen in Festkommadarstellung zulassen möchte
und jeweils 16 Bit vor und 16 Bit nach dem Komma verwendet, scheitert man bereits
an der Zahl 100000. Der Bereich darstellbarer Zahlen ist in diesem Falle
 215 bis 215  216
Gleitpunktzahlen bestehen nach dem Gesagten also aus drei Bestandteilen:



Dem Vorzeichenbit: V
Dem Exponenten: E
Der Mantisse: M
Das Vorzeichenbit gibt an, ob die vorliegende Zahl positiv ('0') oder negativ ('1') ist.
Der Exponent ist eine Binärzahl, zum Beispiel im Bereich -127 bis +127, die angibt,
mit welcher Potenz einer Basiszahl b die vorliegende Zahl zu multiplizieren ist.
Die Mantisse besteht aus Binärziffern m1...mn und gibt den Wert der vorliegenden
Zahl an.
Der Zahlenwert ergibt sich aus der Formel:
Wert = Mantisse x BasisExponent
wobei das Vorzeichen +1 ist, wenn V=0 ist und -1, wenn V=1 ist. Dabei wird die
Mantisse als positive Dualzahl und der Exponent als Dualzahl in
Zweierkomplementdarstellung interpretiert.
In den obigen Beispielen haben die Gleitpunktzahlen keine einheitliche Darstellung
bezüglich der Vorkommastelle.
Folglich gibt es unendlich viele Darstellungsmöglichkeiten für eine Zahl!
--> Zur Bildung der normierten Gleitpunktzahl muss diejenige Darstellung gefunden
werden, in der das (binäre) Ergebnis eine 1 vor dem Komma führt.
Normierte Gleitpunktzahlen
Motivation für eine Normierung:
Es soll für jede darstellbare Zahl genau eine Darstellung als Gleitpunktzahl geben.

eindeutige Darstellung durch Normierung.

Da durch die Normalisierung im Binärsystem immer eine 1 vor dem Komma
stehen muss, kann man diese auch weglassen.
17
In der Mantisse werden dann nur noch die Stellen hinter dem Komma
notiert! (Die führende "1," steht also gedacht links vor der Mantisse.)

Durch die Einsparung der führenden 1 können die Bits der Mantisse optimal
ausgenutzt werden, was besonders bei unendlich vielen Nachkommastellen
(periodische Zahlen) eine höhere Rechengenauigkeit ermöglicht.
Gleitpunktzahlen nach IEEE 754
Nach IEEE 754 (Institute of Electrical and Electronics Engineers) normierte
Gleitpunktzahlen verwenden b = 2 als Basiszahl.
Zwei von IEEE verabschiedete Normen werden heute in den meisten Rechnern
verwendet:

Short Real (einfache Genauigkeit) mit insgesamt 32 Bit:
Vorzeichen - 1 Bit, Exponent - 8 Bit, Mantisse - 23 Bit

Long Real (doppelte Genauigkeit) mit insgesamt 64 Bit:
Vorzeichen - 1 Bit, Exponent - 11 Bit, Mantisse - 52 Bit
Im Folgenden betrachten wir einige Beispiele im Short Real Format mit 32 Bit:
V Exponent --->
Mantisse ------------------------------------>
1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
-3,7510 = 1100 0000 0111 0000 0000 0000 0000 00002
= C070000016
V Exponent --->
Mantisse ------------------------------------>
0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3,7510 = 0100 0000 0111 0000 0000 0000 0000 00002
= 4070000016
Rechenfehler mit Gleitpunktzahlen
Dezimale Gleitpunktzahlen und binäre Gleitpunktzahlen kann man ineinander
umrechnen.
Allerdings geht dieser Umrechnungsvorgang in beiden Richtungen nicht immer auf,
wenn wir jeweils eine bestimmte Anzahl von Ziffern für die Mantisse vorschreiben
(also die Genauigkeit einer Zahl begrenzen, indem wir die folgenden Stellen
18
abschneiden).
So lässt sich zum Beispiel die dezimale Zahl 0,1 nicht exakt durch eine 32-BitGleitpunktzahl darstellen, wie das folgende Beispiel zeigt:
V Exponent --->
Mantisse ------------------------------------>
0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1
0,110 ≈ 0011 1101 1100 1100 1100 1100 1100 11012
= 3DCCCCCD16
(Im 64-Bit-Format mit doppelter Genauigkeit sieht man, dass der Wert der Zahl
eigentlich = 0,10000000149011612 ist)
V Exponent --->
Mantisse ------------------------------------>
0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
0,110 ≈ 0011 1101 1100 1100 1100 1100 1100 11002
= 3DCCCCCC16
(Im 64-Bit-Format mit doppelter Genauigkeit sieht man, dass der Wert der Zahl
eigentlich = 0,09999999403953552 ist)
Wertebereiche reeller Zahlen in Programmiersprachen
Wertebereich
38
38
-3,4x10 bis +3,4x10
308
-1,7x10
bis +1,7x10
308
Bit
Java
C++
32
float
float
64
double
double
Konvertierung reeller Zahlen in 32-Bit IEEE 754 Gleitpunktzahlen

Zunächst das generelle methodische Vorgehen:
1. Das Vorzeichen wird mit 0 für positive Zahlen und 1 für negative Zahlen
codiert.
2. Konvertierung des ganzzahligen Anteils
3. Der gebrochene Anteil wird sukzessive mit 2 multipliziert.
 Wenn das Ergebnis größer (oder gleich) 1 ist, wird 1 subtrahiert und
eine 1 als Ergebnis notiert.
 Wenn das Ergebnis kleiner als 1 ist, wird erneut mit 2 multipliziert und
eine 0 als Ergebnis notiert.
 Diese Berechnung wird solange wiederholt, bis das Ergebnis gleich 0
ist.
 (Achtung! Dieser Prozess kann unendlich lange fortschreiten. Die
Genauigkeit der Berechnung wird durch die für die Mantisse verfügbare
Anzahl der Stellen begrenzt!)
4. Das Ergebnis wird als Festkomma-Zahl notiert.
19
5. Die Festkomma-Zahl wird normalisiert, d.h. das Komma wird so weit nach
rechts oder links verschoben, bis vor dem Komma eine 1 steht.
6. Die Anzahl der Stellen, um die das Komma verschoben wird, ergibt den Wert
des Exponenten.
7. Wird das Komma nach rechts verschoben, ist der Exponent negativ, wird er
nach links verschoben, ist der Exponent positiv.
8. Der Exponent e wird als natürliche Zahl e' codiert mit Wert e' = e + 127
(Zum Exponenten addiert man einen sog. Bias von 127 und speichert das
Ergebnis als vorzeichenlose 8-Bitzahl. Dies ist eine weitere Methode, um
positive und negative Zahlen darzustellen. Sie wird im Falle von
Gleitpunktzahlen angewendet, um Vergleiche zwischen verschiedenen
Gleitpunktzahlen technisch besonders einfach zu machen.)
9. Die Nachkommastellen (!) werden genommen und auf die Breite der
Mantisse nach rechts mit Nullen aufgefüllt.
10. Die Bits werden in der Reihenfolge Vorzeichen - Exponent - Mantisse
angeordnet.
Die Konvertierung am Beispiel


Beispiel: Konvertierung von (-3.75)10 in eine Gleitpunktzahl:
1. Vorzeichen: 1
2. 3 = (11)2
3. 0.75 * 2 = 1.5
1.5 - 1 = 0.5 --> 1 als Ergebnis notieren.
0.5 * 2 = 1
1 - 1 = 0 --> 1 als Ergebnis notieren.
4. Festkomma-Darstellung: (11.11)2
5. Normalisieren: 1.111 * 21
Da die erste Ziffer immer 1 ist, fällt diese nach der Normalisierung weg!
6. Exponent: 1 --> e' = 1 + 127 = 128 = (1000 0000)2
7. Die Nachkommastellen der Mantisse m mit Nullen auffüllen:
m = (111 0000 0000 0000 0000 0000)2
8. Das Ergebnis: 1100 0000 0111 0000 0000 0000 0000 0000
Gleitkomma-Arithmetik
Die Multiplikation von Gleitkommazahlen ist einfach, denn es gilt laut den
Potenzgesetzen:
e1
e2
e1  e 2
1
2
1
2
m 2 m 2  m m 2
20
Das bedeutet, dass die Mantissen als normale Dualzahlen multipliziert werden
können und die Exponenten addiert werden. Das gleiche gilt für die Division.
Schwieriger ist dagegen die Addition: Hier muss zunächst dafür gesorgt werden,
dass die Exponenten angeglichen werden, denn eine Addition der Mantissen kann
entsprechend den Potenzgesetzen nur dann richtig ausgeführt werden, wenn die
Exponenten gleich sind:
m1  2e1  m2  2e1  m1  m2   2e1
Zu diesem Zweck muss zunächst ermittelt werden, welcher Exponent der größere ist
und die Exponentendifferenz d wird mittels einer Subtraktion gebildet. Sodann wird
die Mantisse der Zahl mit dem kleineren Exponenten um d Stellen nach rechts
verschoben, wobei von links Nullen nachgezogen werden. Dies entspricht einer
Division der Mantisse durch 2d bei gleichzeitiger Vergrößerung des Exponenten um
d. Nun kann die Addition auf den angepassten Mantissen durchgeführt werden,
wobei der größere Exponent der Operanden zum Exponenten des Ergebnisses wird.
Durch die Addition kann es passieren, dass im Ergebnis eine Folge von führenden
Nullen entsteht. Um aber für nachfolgende Operationen die Genauigkeit nicht
einzuschränken, wird die Mantisse des Ergebnisses nun wieder nach links
verschoben, bis die erste signifikante Stelle eine 1 ist. Wenn die Verschiebedistanz d’
ist, muss schließlich der Exponent noch um d’ vermindert werden, damit der Wert
des Ergebnisses nicht verändert wird.
21
5 Computerorganisation / Schaltalgebra (Boolesche
Algebra)
Computerorganisation
Literatur:
- Tanenbaum, Andrew S./Goodman, James: Computerarchitektur
- Gumm, Hans-Peter; Sommer, Manfred: Einführung in die Informatik
Einleitung
Ein digitaler Computer ist eine Maschine, die Probleme für Personen dadurch lösen
kann, daß sie Instruktionen ausführt, die sie von ihnen erhalten hat. Eine Reihe
von Instruktionen, die beschreiben, wie eine bestimmte Aufgabe auszuführen ist,
nennt man Programm.
Die elektronischen Schaltungen eines Computers können eine begrenzte Menge
einfacher Instruktionen erkennen, in die alle Programme konvertiert werden
müssen, ehe sie ausgeführt werden können. Diese grundlegenden Instruktionen sind
selten komplizierter als beispielsweise:
o
o
o
Addiere 2 Zahlen.
Prüfe eine Zahl, um festzustellen, ob sie Null ist.
Kopiere einen Datenteil von einem Speicherbereich des Computers in
einen anderen.
Insgesamt betrachtet, bilden die primitiven Instruktionen eines Computers die so
genannte Maschinensprache (Machine Language).
Personen, die einen neuen Computer entwerfen, müssen entscheiden, welche
primitiven Instruktionen in seine Maschinensprache einzubeziehen sind.
Normalerweise versuchen sie, die primitiven Instruktionen so einfach wie möglich
zu halten, um die Komplexität und somit die Kosten der erforderlichen Elektronik zu
reduzieren.
Da die meisten Maschinensprachen derart einfach sind (Folgen von Nullen und
Einsen!), lassen sie sich von Personen nur mit Schwierigkeiten benutzen.
Dies hat im Laufe der Zeit zur Strukturierung von Computern als Reihe von
Abstraktionen geführt. Dabei baut jede Abstraktion auf der jeweils
darunterliegenden auf.
Auf diese Weise kann die Komplexität gemeistert werden, und Computersysteme
lassen sich systematisch und organisiert entwickeln. Wir nennen diese Methode
strukturierte Computerorganisation (Structured Computer Organization).
22
Strukturierte Computerorganisation
Wie bereits gesagt, besteht zwischen dem, was für Menschen, und dem, was für
Computer bequem ist, ein Riesenunterschied.
Leute möchten X, während der Computer nur Y schafft.
Das führt zu einem Problem.
Dieses Problem kann auf zweierlei Weise angegangen werden. Beide Methoden
betreffen das Design einer neuen Instruktionsmenge, die sich von Menschen
leichter als die eingebauten Maschineninstruktionen benutzen läßt.
Insgesamt bilden diese neuen Instruktionen auch eine Sprache, die wir L1 nennen,
ebenso wie die eingebauten Maschineninstruktionen eine Sprache bilden, die wir
L0 nennen.
Die beiden Ansätze unterscheiden sich in der Ausführung der in L1 geschriebenen
Programme von einem Computer, der doch nur Programme ausführen kann, die in
seiner Maschinensprache - L0 - geschrieben wurden.
1. Bei der ersten Methode, ein in L1 geschriebenes Programm auszuführen,
wird jede in ihm enthaltene Instruktion zuerst durch eine entsprechende Folge
von Instruktionen in L0 ersetzt. Das daraus resultierende Programm besteht
gänzlich aus L0-Instruktionen.
Der Computer führt dann statt des alten L1-Programms das neue L0Programm aus.
Diese Technik heißt Übersetzung (Translation).
2. Bei der zweiten Methode wird ein Programm in L0 geschrieben, das in L1
geschriebene Programme als Eingabedaten übernimmt und sie ausführt,
indem alle Instruktionen nacheinander geprüft und direkt als
entsprechende Folge von L0-Instruktionen ausgeführt werden.
Diese Technik, bei der zunächst kein neues Programm in L0 erzeugt werden
muss, heißt Interpretation, und das auszuführende Programm wird
Interpreter genannt.
Übersetzung und Interpretation ähneln sich.
Bei beiden Methoden werden die in L1 geschriebenen Instruktionen letztlich
abgearbeitet, indem entsprechende Folgen von L0-Instruktionen ausgeführt
werden.
Der Unterschied besteht darin:

Bei der Übersetzung wird zuerst das gesamte L1-Programm in ein L0Programm konvertiert, das L1-Programm weggeworfen und das neue L0Programm in den Computerspeicher geladen und ausgeführt wird. Zur
Ausführungszeit läuft das neu generierte L0-Programm im Computer und
steuert diesen.

Bei der Interpretation wird jede L1-Anweisung nach der Prüfung und
Dekodierung unmittelbar ausgeführt. Es wird kein übersetztes Programm
generiert. Hier hat der Interpreter die Kontrolle über den Computer.
23

Für den Computer ist das L1-Programm nichts weiter als eine Ansammlung
von Daten.
In der Praxis werden beide Methoden und vermehrt auch eine Kombination von
beiden angewandt.
Sprachen und Ebenen
Bequemer als das Konzept der Übersetzung und Interpretation ist die Vostellung, wir
hätten es mit einem hypothetischen Computer oder einer virtuellen Maschine
(Virtual Machine) zu tun, deren Maschinensprache L1 ist. Wir nennen diese virtuelle
Maschine M1 (und die virtuelle Maschine, die L0 entspricht, nennen wir M0).
Könnte man eine solche Maschine kostengünstig genug produzieren, bestünde für
L1 oder eine virtuelle Maschine, die L1-Programme ausführt, überhaupt keine
Notwendigkeit.
Man könnte ganz einfach ihre Programme in L1 schreiben und sie vom Computer
direkt ausführen lassen.
Man könnte aber trotzdem Programme für die virtuelle Maschine schreiben, deren
Sprache L1 ist, auch wenn es zu teuer oder zu kompliziert wäre, sie mit
elektronischen Schaltungen zu bauen. Diese Programme können von einem in L1
geschriebenen Programm interpretiert oder übersetzt werden, das selbst direkt vom
vorhandenen Computer ausgeführt werden kann.
Anders ausgedrückt: Die Menschen können Programme für virtuelle Maschinen so
schreiben, als würden solche Maschinen wirklich existieren.
Die Erfindung einer ganzen Reihe von Sprachen, von denen jede ein bißchen
bequemer ist als ihre Vorgängerin, kann man endlos fortsetzen, bis man endlich eine
geeignete erreicht hat.
Jede Sprache benutzt ihre Vorgängerin als Grundlage, so daß wir einen Computer,
der diese Technik benutzt, als Reihe von Schichten (Layers) oder Ebenen (Levels)
betrachten können, die aufeinander aufbauen.
Die unterste Sprache bzw. Ebene ist die einfachste und die höchste die
ausgefeilteste.
24
Die meisten modernen Computer bestehen aus mehreren Ebenen. In dem hier
gezeigten Modell ist die Ebene 0 ganz unten die wahre Hardware der Maschine.
Ihre Schaltungen führen die Maschinenspracheprogramme der Ebene 1 aus.
Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, daß es unter unserer Ebene 0 noch eine
andere gibt. Diese Ebene fällt in das Hoheitsgebiet der Elektrotechnik und liegt damit
außerhalb der für dieses Seminar interessanten Themen. Sie heißt Geräteabene
(Device Level).
Auf ihr sieht der Designer die einzelnen Transistoren - die Primitiven der
untersten Ebene aus Sicht des Computer-Designers. Fragt einer, was sich im
Inneren von Transistoren abspielt, berührt er das Gebiet der Festkörperphysik.
Ebene 0 - Die digitale Logik
Auf Ebene 0 - der Ebene der digitalen Logik - heißen die uns interessierenden
Objekte Gatter.
Diese Gatter werden zwar aus analogen Komponentengebaut, wie etwa
Transistoren, können aber präzise als digitale Geräte modelliert werden.
Jedes Gatter hat einen oder mehrere digitale Eingänge (die Signale stellen 0
oder 1 dar), und jedes berechnet aus diesen Eingängen mittels einer einfachen
Funktion, beispielsweise AND oder OR, eine Ausgabe.
25
Jedes Gatter setzt sich mindestens aus einer Handvoll Transistoren zusammen.
Aus einer kleinen Anzahl von Gattern kann ein 1-Bit-Speicher gebildet werden,
der eine 0 oder eine 1 speichern kann.
Mehrere 1-Bit-Speicher (z.B. 16, 32 oder 64) können zu Registern gruppiert
werden.
Jedes Register kann von einer einzigen bis zu einer bestimmten maximalen
Anzahl Binärzahlen aufnehmen.
Gatter lassen sich auch so kombinieren, daß man mit ihnen direkt die
Hauptrechenmaschine (ALU) bilden kann.
Ebene 1 - die Mikroarchitektur
Als nächstes kommt die Mikroarchitekturebene. Auf dieser Ebene befindet sich
eine Gruppe von (üblicherweise) 8 bis 32 Registern, die einen lokalen Speicher
und eine Schaltung bilden, die man ALU nennt.
Die ALU kann einfache arithmetische Operationen durchführen.
Die Register sind mit der ALU verbunden.
Dies ist der Datenweg, über den die Daten fließen. Wie die Daten verarbeitet
werden, beschreibt der von-Neumann-Zyklus.
Ebene 2 - Die ISA-Ebene (Instruction Set Architecture)
Die Ebene 2 nennen wir ISA-Ebene.
Jeder Computer-Hersteller veröffentlicht ein Handbuch für jeden von ihm
verkauften Computer. Diese Handbücher behandeln die ISA-Ebene und nicht die
ihr zugrundeliegenden Ebenen darunter.
Die in diesen Handbüchern enthaltene Beschreibung der Instruktionsmenge
der Maschine betrifft in Wirklichkeit die Instruktionen, die vom Mikroprogramm
oder von Hardware-Schaltungen interpretativ ausgeführt werden (z.B. SSE 1-3,
MMX, oder 3Dnow!).
Ebene 3 - Die Betriebssystemmaschine
Die Ebene 3 ist eine hybride Ebene. Die meisten Instruktionen in ihrer Sprache
befinden sich auch auf der ISA-Ebene.
Außerdem gibt es dort eine Reihe neuer Instruktionen, eine andere
Speicherorganisation, die Möglichkeit, zwei oder mehr Programme
gleichzeitig auszuführen, und verschiedene andere Merkmale.
Diese auf Ebene 3 neu hinzukoemmenden Merkmale werden von einem
Interpreter ausgeführt, der auf Ebene 2 läuft. Historisch ist dies das
Betriebssystem.
Diese Anweisungen der Ebene 3, die mit denen der Ebene 2 identisch sind,
werden direkt vom Mikroprogramm (bzw. von festverdrahteten
Hardwareschaltungen) und nicht vom Betriebssystem ausgeführt.
Anders ausgedrückt, einige Anweisungen der Ebene 3 werden vom
Betriebssystem und andere direkt vom Mikroprogramm (z.B. vom BIOS)
interpretiert. Das ist mit "hybrid" gemeint. Wir nennen dies die Ebene der
Betriebssystemmaschine.
26
Ebene 4 - Assemblersprache
Die Ebene 4, diejenige der Assemblersprache, ist eigentlich die symbolische
Form einer der zugrundeliegenden Sprachen. Diese Ebene bietet die Möglichkeit,
Programme für die Ebenen 1, 2 und 3 im Vergleich zu den Sprachen der
jeweiligen Ebene etwas angenehmer zu gestalten.
Programme in Assemblersprache werden zuerst in die Sprache der Ebene 1, 2
oder 3 übersetzt und dann von der geeigneten virtuellen oder physischen
Maschine interpretiert.
Das Programm, das die Übersetzung ausführt, ist ein Assembler.
Ebene 5 - Hochsprachen
Die Ebene 5 befasst sich normalerweise mit einer Sprache, die auf die
Verwendung durch Anwendungsprogrammierer ausgerichtet wurde, die
bestimmte Probleme lösen müssen. Eine solche Sprache ist eine sogenannte
Hochsprache.
Davon gibt es praktisch Hunderte. Ein paar bekannte sind Basic, C, C++, Java,
LISP und Prolog.
Die in diesen Sprachen geschriebenen Programme werden allgemein von
Übersetzern in die Ebene 3 oder 4 übersetzt. Diese Übersetzer nennt man
Compiler, obwohl die Programme gelegentlich auch interpretiert werden.
Beispielsweise werden in Java geschriebene Programme oft interpretiert.
Die digitale logische Ebene
Die unterste Ebene der im letzten Abschnitt gezeigten Hierarchie ist die digitale
logische Ebene - die echte Computerhardware.
Die Grundelemente, aus denen alle digitalen Computer gebaut werden, sind
erstaunlich einfach.
Digitale Schaltungen lassen sich aus einer kleinen Zahl von primitiven Elementen
bauen, indem man diese auf vielfache Art und Weise kombiniert.
Im Folgenden werden diese primitiven Elemente beschrieben.
Gatter
Bei einer digitalen Schaltung gibt es nur zwei logische Werte. Normalerweise stellt
ein Signal zwischen 0 und 1 Volt einen Wert (z.B. eine binäre 0) und ein Signal
zwischen 2 und 5 Volt einen anderen Wert (z.B. eine binäre 1) dar.
Spannungen außerhalb dieser beiden Bereiche sind nicht zulässig.
Winzige elektronische Geräte namens Gatter (eengl. gates) können mit diesen
zweiwertigen Signalen verschiedene Funktionen berechnen.
Diese Gatter bilden die Hardware-Grundlage, auf der alle digitalen Computer
basieren.
27
Die Einzelheiten darüber, wie diese Gatter im Inneren funktionieren, sind nicht
Gegenstand dieses Seminars, sondern gehören zur Geräteebene, die direkt unter
unserer Ebene 0 liegt!
Wir schweifen jetzt aber dennoch kurz ab und werfen einen kurzen Blick auf das einfache - Grundkonzept.
Jede moderne digitale Logik beruht letztendlich auf der Tatsache, daß ein Transistor
so gebaut werden kann, daß er als sehr schneller, binärer Schalter arbeitet. In der
folgenden Abb. (a) ist ein einzelner bipolarer Transistor (der Kreis) in eine einfache
Schaltung eingebettet.
Abb (a): Transistor-Inverter
Dieser Transistor hat drei Verbindungen mit der Außenwelt: den Kollektor (Drain),
die Basis (Gate) und den Emitter (Source).
Liegt die Eingangsspannung Vin unter einem bestimmten kritischen Wert, schaltet
sich der Transistor aus und verhält sich wie ein unendlicher Widerstand.
Dies veranlaßt den Ausgang der Schaltung Vout, einen Wert nahe Vcc (eine extern
geregelte Spannung) anzunehmen, die normalerweise bei diesem Transistortyp bei
+5 Volt liegt.
Überschreitet Vin den kritischen Wert, schaltet sich der Transistor ein und funktioniert
wie ein Draht, wodurch Vout nach unten zur Masse (gemäß Konvention 0 Volt = kein
Strom) geschaltet wird.
Wichtig dabei ist folgendes: Wenn Vin auf Low liegt, liegt Vout auf High und
umgekehrt. Folglich ist diese Schaltung ein Inverter, der eine logische 0 in einer
logische 1 und eine logische 1 in eine logische 0 konvertiert.
Der Widerstand (Resistor) - die gezackte Linie - ist nötig, um den vom Transistor
gezogenen Strom zu begrenzen.
Die Zeit, die benötigt wird, um von einem Zustand in den anderen umzuschalten,
beträgt normalerweise ein paar Nanosekunden.
28

Abb. (b) zeigt zwei in Reihe geschaltete Transistoren. Liegen V1 und V2 auf High,
leiten beide Transistoren, und Vout wird nach unten zur Masse (0 Volt) geschaltet.
Liegt einer der beiden Eingänge auf Low, schaltet der entsprechende Transistor aus
und der Ausgang geht auf High.
Anders ausgedrückt: Vout ist auf Low, aber nur dann, wenn sowohl V1 als auch V2 auf
High liegen.
Abb. (c) zeigt zwei parallel geschaltete Transistoren.
Liegt einer der Eingänge in dieser Konfiguration auf High, schaltet der der
entsprechende Transistor ein und zieht den Ausgang nach unten zur Masse.
Sind beide Eingänge auf Low, bleibt der Ausgang auf High.
Diese drei Schaltungen bilden die drei einfachsten Gatter. Sie heißen NOT, NAND
und NOR.
NOT-Gatter nennt man oft Inverter. Wir benutzen die beiden Begriffe als Synonyme.
Wenden wir nun die Konvention an, dass High (Vcc Volt) eine logische 1 und Low
(Masse) eine logische 0 ist, können wir den Ausgangswert als Funktion der
Eingangswerte ausdrücken.
Gatter sind die grundlegenden Bausteine der digitalen logischen Ebene. Aus den
vorhergehenden Darstellungen wird klar, dass das NAND- und NOR-Gatter je zwei
Transistoren benötigen, während das AND- und OR-Gatter jeweils drei
Transistoren braucht. Aus diesem Grund basieren viele Computer auf NAND- und
NOR-Gattern und nicht auf den bekannteren AND- und OR-Gattern.
29
Die nachfolgende Übersicht zeigt die wesentlichen Logikgatter in DIN-Darstellung
sowie die dazugehörigen Wertetabellen.
Die Boolesche Algebra
Um die Schaltungen zu beschreiben, die durch Kombination von Gattern gebaut
werden können, ist eine Algebra erforderlich, bei der Variablen und Funktionen nur
die Werte 0 und 1 annehmen können.
Eine solche Algebra nennt man boolesche Algebra nach ihrem Begründer, dem
englischen Mathematiker George Boole (1815-1864).
Da eine boolesche Funktion mit n Variablen nur 2n mögliche Kombinationen von
Eingabewerten hat, kann man die Funktion vollständig beschreiben, indem man
eine Tabelle mit 2n Reihen angibt, wobei jede Reihe den Wert der Funktion für eine
andere Kombination von Eingangswerten angibt.
Eine solche Tabelle heißt Wahrheitstabelle. Wollen wir uns darauf festlegen, die
Reihen einer Wahrheitstabelle immer in numerischer Reihenfolge (zur Basis 2)
anzuordnen, ergibt für zwei Variablen die Reihenfolge 00, 01, 10 und 11.
Die Funktion kann also vollständig mit der 2n-Bit-Binärzahl beschrieben werden, die
wir erhalten, wenn wir die Ergebnisspalte der Wahrheitstabelle vertikal lesen. Das
heißt: NAND ist 1110, NOR ist 1000, AND ist 0001 und OR ist 0111.
Arithmetische Schaltungen
Ein Computer, der keine arithmetischen Operationen durchführen kann, wäre
undenkbar. Folglich sind Schaltungen zur Durchführung von Addition, Multiplikation,
usw. ein unentbehrlicher Teil jeder CPU.
Als Beispiel wenden wir uns der Betrachtung von Schaltungen für die Addition zu, da
diese die zentralen Bausteine in Rechnern darstellen
30
Halbaddierer
Ein Halbaddierer ist eine Schaltung, die mit n Eingängen die Summe aus n
Binärzahlen und den daraus resultierenden Übertrag berechnen kann.
Sie enthält zwei Ausgänge, einen für die berechnete Summe und einen weiteren für
den Übertrag zur nächsten Stelle (nach links).
Als Beispiel betrachten wir den kleinstmöglichen Halbaddierer, d.h. eine
Schaltung, die zwei Binärzahlen x und y addieren soll.
An den Eingängen x und y liegen die zu addierenden Binärzahlen, am Ausgang s
entsteht das Summenbit und am Ausgang c der Übertrag (engl. carry):
Die Summe ergibt
sich also aus (A XOR
B) und der Übertrag
resultiert aus (A AND
B).
Volladdierer
Nun ist ein Halbaddierer zwar für die Addition der niederwertigen Binärzahlen
geeignet, reicht aber nicht aus, um den Übertrag von rechts durchzuführen.
Hier wird ein Volladdierer benötigt. Der Volladdierer muss nicht nur die Ausgänge s
(Summe) und cout (Carry out), sondern neben den zwei Eingängen A und B auch
den Eingang cin (Carry in) für den Übertrag von der rechten Position bereitstellen.
Auf Schaltungsebene muss ein Volladdierer also aus zwei Halbaddierern und
einem OR-Gatter bestehen:
Die Ausgangsleitung Summe ist 1, wenn eine ungerade Zahl von A, B, und Carry in
1 sind.
Carry out ist 1, wenn entweder A und B beide 1 sind (linker Eingang zum OR-Gate)
oder eine davon 1 und das Carry-in-Bit ebenfalls 1 ist.
Zusammen erzeugen die beiden Halbaddierer sowohl die Summen- als auch die
Übertragsbits.
Mit einer Kaskade von n-1 Volladdierern und einem Halbaddierer kann man ein
Addierwerk erstellen, das n-stellige Binärzahlen addieren kann. Jeder 1-Bit
Addierer ist für eine Stellenposition verantwortlich.
31
32