Serie 11 - D-MATH

D-MAVT, D-MATL
Prof. Dr. Paul Biran
Analysis II
FS 15
Nicolas Herzog
Serie 11
Abgabetermin für die schriftlichen Aufgaben: Freitag, 22. Mai in der Übungsstunde
oder im Fach im HG J 68.
1. Man suche die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
y0 =
2 − sin(x + 2y)
.
2 sin(x + 2y)
Hinweis: Substitution.
2. Finden Sie die allgemeine Lösung der
Differenzialgleichung
y
y 0 = − + cos x2 .
x
Die Lösungskurven sehen Sie rechts.
3. Die Differenzialgleichung
2x − x2 y 00 + x2 − 2 y 0 + 2 (1 − x) y = 0
besitzt die Lösung y1 : x 7−→ ex . Bestimmen Sie mit Hilfe der Substitution y(x) =
z(x)ex die allgemeine Lösung.
4. Man bestimme die Gleichung der durch den Punkt (1, 1) gehenden Lösungskurve der
Differentialgleichung
(y 2 − 3x2 ) + 2xyy 0 = 0.
Bitte wenden!
5.
a) Man bestimme ein ebenes Vektorfeld ~v , welches in jedem Punkt in R2 eine Ellipse der durch c > 0 parametrisierten Schar
(x − 1)2 + 9y 2 = c
senkrecht schneidet.
b) Man bestimme die Feldlinien des in (a) gefundenen Vektorfeldes ~v .
6. Man bestimme die Orthogonaltrajektorien der Kurvenschar
y−1
= C.
x−1
Man skizziere diese Trajektorien.
7. Betrachten Sie die 3-parametrige Kurvenschar
y(x) = C1 cos(C3 x) + C2 sin(C3 x)
mit den Parametern C1 , C2 , C3 ∈ R. Finden Sie eine zugehörige Differentialgleichung.
Siehe nächstes Blatt!
Bitte schicken Sie Ihre Lösungen zu den MC-Fragen bis Freitag, 22.5.2015 um 15:00
Uhr ab.
Bemerkung: Bei einigen MC-Aufgaben sind mehrere Antworten richtig. Eine MCAufgabe ist dann korrekt gelöst und wird mit einem Punkt bewertet, wenn Sie genau
die richtigen Antworten angeben. Andernfalls wird sie mit Null bewertet. – Falls Sie
die Lösung nicht wissen, raten Sie nicht. So erhalten wir eine gute Rückmeldung über
allfällige Unklarheiten. Viel Erfolg!
1. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung y(x) der Differenzialgleichung
2y 00 − y 0 − 6y = e3x .
3
(a) y(x) = C1 e2x + C2 e− 2 x .
3
(b) y(x) = C1 e2x + C2 e− 2 x + 91 e3x .
3
(c) y(x) = C1 ex + C2 e− 2 x + 19 e3x .
Bitte wenden!
2. Das Wachstum einer Taufliegen-Population unter Laborbedingungen kann näherungsweise durch die Differenzialgleichung
f 0 (t) = 0, 0006 · (350 − f (t)) · f (t)
beschrieben werden. Dabei bezeichnet f (t) die Anzahl der Taufliegen zur Zeit t in
Tagen. Für welche Zahlen a > 0 ist die Funktion
f (t) =
350
a·
e−0,21t
+1
eine Lösung der Differenzialgleichung?
(a) Für kein a.
(b) Nur für a = 350 = limt→∞ f (t).
(c) Nur für a = ln(| − 0, 21|).
(d) Nur für a = ln
1
|−0,21|
.
(e) Für jedes a.
3. Klicken Sie die richtige Aussage an:
Die Differenzialgleichung y 0 =
1
y
x2
+ sin x
(a) ist linear.
(b) lässt sich durch eine Substitution u =
y
x
lösen.
(c) ist separierbar.
(d) lässt sich durch eine Substitution u = x + y lösen.
Siehe nächstes Blatt!
4. Welche der folgenden Aussagen stimmt?
(a) Jede separierbare Differentialgleichung ist eine homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung.
(b) Jede lineare Differentialgleichung 1. Ordnung ist separierbar.
(c) Jede homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung ist separierbar.
(d) Jede homogene Differentialgleichung 1. Ordnung ist separierbar.
5. Gegeben ist eine lineare und homogene Differenzialgleichung, welche y : x 7→
sin x als Lösung besitzt. Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
(a) x 7→ cos x ist ebenfalls eine Lösung.
(b) x 7→ sin(2x) ist ebenfalls eine Lösung.
(c) x 7→ 2 sin(x) ist ebenfalls eine Lösung.
(d) x 7→ sin(x) + 2x ist ebenfalls eine Lösung.
6. Welche der folgenden Differenzialgleichungen ist linear?
(a) (y 0 − 2)2 = y
(b) y 00 +
(c) y 0 =
y
1
y0
+
= 2
2
1−x
1+x
x
2xy
− y2
x2
(d) y 00 + y 0 + y 2 = 0
(e) y = xy 0 + (y 0 )2
Bitte wenden!
7. Gegeben seien Funktionen s, t : R2 −→ R. Welche aus den folgenden Bedingungen garantieren die Exaktheit der Differenzialgleichung s(x, y) = t(x, y) · y 0 ?
(a) Für alle (x, y): sy (x, y) = tx (x, y).
(b) Für alle (x, y): sx (x, y) = ty (x, y).
(c) Für alle (x, y): sy (x, y) = −tx (x, y).
1
(d) Für alle (x, y): sx (x, y) = − ty (x,y)
.
(e) Keine.
8. Welche aus den folgenden Gleichungen sind exakt?
(a) ex sin y + 3y − (3x − ex sin y)y 0 = 0.
(b)
y
x
+ 6x + (log x − 2)y 0 = 0, x > 0.
(c) (y log x + xy)y 0 = −x log y − xy.
(d) y 0 = − ax+by
, a, b, c, d > 0 Konstante.
bx+cy