I Einleitung - Gehirn und Geist

I Einleitung
1 Newtons Gravitationstheorie
Im Jahr 1687 veröffentlichte Newton seine „Philosophiae naturalis principia mathematica“, in denen er die Mechanik und die Gravitationstheorie behandelt. Newtons
Gravitationstheorie war ein wichtiger Schritt zur Vereinheitlichung der Physik: Sie
erklärte die Fallgesetze und die Keplergesetze im Rahmen einer einzigen Theorie.
Die Allgemeine Relativitätstheorie (ART) ist eine relativistische Verallgemeinerung der Newtonschen Gravitationstheorie. Wir beginnen daher mit einer kurzen
Einführung in Newtons Theorie.
In Newtons Gravitationstheorie wird die Bewegung von N Massenpunkten, die sich
gegenseitig durch Gravitation anziehen, durch
d 2r i
mi
= −G
dt 2
N
mi mj (r i − rj )
j =1, j = i
|r i − rj |3
(1.1)
beschrieben. Dabei gibt r i (t) die Position des i-ten Körpers zur Zeit t an, und mi
seine Masse. Die Gravitationskonstante G ist experimentell zu
G = (6.674 ± 0.001) · 10−11
m3
kg s2
Gravitationskonstante
(1.2)
bestimmt1. Für die in (1.1) eingeführte Gravitationskraft gilt:
• Sie ist anziehend und wirkt in Richtung des Vektors rj − r i .
• Sie ist proportional zum Produkt der beiden Massen.
• Sie fällt mit dem Quadrat des Abstandes ab.
1 2010 CODATA recommended values unter http://physics.nist.gov/cuu/constants. Einen Überblick über die Methoden zur Bestimmung der Gravitationskonstanten gibt G. T. Gillies, Rep. Progr.
Phys. 60 (1997) 151.
1
T. Fließbach, Allgemeine Relativitätstheorie,
DOI 10.1007/978-3-8274-3032-8_1, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012
2
Teil I Einleitung
Die Beziehung (1.1) kann als Grundgleichung der Newtonschen Gravitationstheorie
angesehen werden. Hiermit können etwa Wurfparabeln, Keplerellipsen und Kometenbahnen beschrieben werden. Wir bringen diese Grundgleichung in eine andere
Form, die für die angestrebte Verallgemeinerung besser geeignet ist. Dazu führen
wir das skalare Gravitationspotenzial Φ(r) ein:
mj
(r )
Φ(r) = −G
= −G d 3 r (1.3)
|r − rj |
|r − r |
j
Im letzten Ausdruck wurde über die einzelnen Beiträge dm = (r ) d 3 r der Massendichte summiert. Den Bahnvektor des herausgegriffenen i-ten Massenpunkts
in (1.1) bezeichnen wir nun mit r = r(t) = r i (t). Aus (1.1) und (1.3) folgt dann
m
d 2r
= −m ∇Φ(r)
dt 2
Bewegungsgleichung
in Newtons Theorie
(1.4)
Dies ist die Bewegungsgleichung eines Teilchens im Gravitationsfeld. Das Gravitationspotenzial Φ(r) wird durch die Massen aller anderen Teilchen bestimmt. Aus
(1.3) folgt die Feldgleichung für Φ(r),
Φ(r) = 4πG(r)
Feldgleichung in
Newtons Theorie
(1.5)
Dies ist eine lineare partielle Differenzialgleichung zweiter Ordnung; als Quelle des
Felds tritt auf der rechten Seite die Materiedichte (r) auf. Im Folgenden betrachten
wir (1.5) und (1.4) als die Grundgleichungen der Newtonschen Gravitationstheorie.
Diese Gleichungen (1.5) und (1.4) haben dieselbe Struktur wie die Feldgleichung der Elektrostatik,
Φe = −4πe
(1.6)
und die nichtrelativistische Bewegungsgleichung eines geladenen Teilchens:
m
d 2r
= −q ∇Φe
dt 2
(1.7)
Dabei ist e die Ladungsdichte und Φe das elektrostatische Potenzial. Als Kopplungskonstante der Wechselwirkung tritt in (1.7) die Ladung q auf, also eine von
der Masse m auf der linken Seite unabhängige Größe; die Masse m und die Ladung
q sind unabhängige Eigenschaften des betrachteten Körpers. Analog dazu wäre es
denkbar, dass die an die Gravitation gekoppelte schwere Masse (m rechts in (1.4))
sich von der trägen Masse (m links in (1.4)) unterschiede. Dies ließe die Struktur
der Newtonschen Gravitationstheorie ungeändert. Experimentell stellt man jedoch
mit hoher Präzision fest, dass die Gravitationskraft proportional zur trägen Masse
ist. Galilei formulierte dies so: „Alle Körper fallen gleich schnell“. Sofern dies gilt,
sind schwere und träge Masse zueinander äquivalent. Diese Äquivalenz erscheint
Kapitel 1 Newtons Gravitationstheorie
3
in der Newtonschen Theorie zufällig; in der ART ist sie dagegen ein grundlegender
Ausgangspunkt.
Die Gleichungen (1.4) und (1.5) der Newtonschen Gravitationstheorie sind für
viele Zwecke ausreichend, zum Beispiel für die Berechnung einer Fahrt zum Mond.
Es ist jedoch auch klar, dass diese Gleichungen nicht streng gültig sein können;
denn sie sind nicht relativistisch. Daher ist die Newtonsche Gravitationstheorie aus
heutiger Sicht nur als Grenzfall einer allgemeineren Theorie akzeptabel. Die ART
ist eine solche allgemeinere Theorie.
2 Ziel der Allgemeinen Relativitätstheorie
Das Ziel der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) ist die relativistische Verallgemeinerung der Newtonschen Gravitationstheorie (1.5, 1.4). Diese Verallgemeinerung kann verglichen werden mit dem Übergang von der Elektrostatik (1.6, 1.7) zur
Elektrodynamik. Eine Skizze der Ähnlichkeiten und der Unterschiede zwischen diesen Verallgemeinerungen ermöglicht eine erste, vorläufige Beschreibung der Struktur der aufzustellenden Gravitationstheorie.
Die folgende Diskussion setzt die Kenntnis der Speziellen Relativitätstheorie (SRT)
und der Elektrodynamik voraus; im Gegensatz zum Vorgehen in den folgenden Kapiteln werden die eingeführten Größen hier nicht näher erläutert. Die für die Entwicklung der ART relevanten Aspekte der SRT und der Elektrodynamik werden
aber in Teil II in einiger Ausführlichkeit dargestellt.
Wir skizzieren die wohlbekannte Verallgemeinerung der Elektrostatik zur relativistischen Theorie, der Elektrodynamik. In einer dynamischen Theorie hängen
die Ladungsdichte e (r, t) und das Potenzial Φe (r, t) von der Zeit t ab. Wenn man
nun lediglich e = e (r, t) und Φe = Φe (r, t) in (1.6) einsetzt, erhält man ein
Fernwirkungsgesetz; das heißt eine Änderung der Ladungsdichte e an einem Ort
würde ein gleichzeitige Änderung des Felds Φe an allen anderen Orten implizieren.
Damit sich solche Änderungen nur mit Lichtgeschwindigkeit c fortpflanzen, muss
der Laplace-Operator in (1.6) durch den d’Alembert-Operator ersetzt werden,
1 ∂2
−
(2.1)
c2 ∂t 2
Lässt man relativ zueinander bewegte Inertialsysteme zu, so ist die Ladungsdichte
e zwangsläufig mit einer Stromdichte verknüpft; Ladungsdichte und Stromdichte
transformieren sich ineinander. In der vollständigen Theorie tritt daher an die Stelle
der Ladungsdichte e die Stromdichte j α ,
e ⇒
e c, e v i = j α
(2.2)
⇒
2=
Dabei bezeichnet v i die kartesischen Komponenten der Geschwindigkeit v. Der
Verallgemeinerung der Quellterme (2.2) entspricht eine analoge Verallgemeinerung
der Potenziale,
Φe ⇒
Φe , Ai = Aα
(2.3)
Die relativistische Verallgemeinerung der Feldgleichung lässt sich somit durch
Φe = −4πe
⇒
4
2 Aα =
4π α
j
c
(2.4)
Kapitel 2 Ziel der Allgemeinen Relativitätstheorie
5
ausdrücken. Die 0-Komponente der vier rechten Gleichungen reduziert sich im statischen Fall auf die linke Gleichung. Die rechten Gleichungen sind äquivalent zu
den Maxwellgleichungen. Sie sind noch zu ergänzen durch die zugehörige Eichbedingung der Potenziale und die relativistische Verallgemeinerung der Bewegungsgleichung (Kapitel 6). Für gegebene Quellen werden sie durch die retardierten Potenziale gelöst.
Da Elektrostatik und Newtonsche Gravitationstheorie die gleiche mathematische Struktur haben, liegt der Versuch nahe, die Gravitationstheorie in analoger
Weise zu verallgemeinern. Im Vergleich zum Vorgehen in (2.1) – (2.4) ergeben sich
Ähnlichkeiten und Unterschiede, die wir kurz skizzieren.
Zunächst wird man die Ersetzung (2.1) auch in (1.5) vornehmen. Der nächste
Punkt ist dann die (2.2) entsprechende Verallgemeinerung der Massendichte. Hier
ergibt sich ein erster, wesentlicher Unterschied: Die Ladung q eines Teilchens ist
unabhängig davon, wie sich das Teilchen bewegt; dies gilt nicht für seine Masse. Als
Beispiel betrachte man ein Wasserstoffatom, das aus einem Proton (Ruhmasse mp ,
Ladung qp = e) und einem Elektron (Ruhmasse me , Ladung qe = −e) besteht. Im
Atom haben das Elektron und das Proton endliche Geschwindigkeiten. Die Ladung
des Atoms ist q = qp + qe = 0, für die Masse gilt dagegen m = mp + me .
Formal bedeutet dies, dass die Ladung ein Lorentzskalar ist; deshalb können wir
Elementarteilchen auch eine Ladung (und nicht etwa nur eine Ruhladung) zuordnen.
Im Gegensatz dazu ist nur die Ruhmasse eine Eigenschaft eines Elementarteilchens.
Da die Ladung ein Lorentzskalar ist, transformiert sich die Ladungsdichte
e = Δq/ΔV wie die 0-Komponente eines Lorentzvektors (der Stromdichte j α );
denn 1/ΔV erhält wegen der Längenkontraktion einen Faktor γ . Eine analog zu
e definierte Energie-Massendichte = Δm/ΔV transformiert sich dagegen wie
die 00-Komponente eines Lorentztensors, den wir als Energie-Impuls-Tensor T αβ
bezeichnen. Dies liegt daran, dass die Energie selbst die 0-Komponente eines 4Vektors (des Viererimpulses pα , Kapitel 4) ist. Daher tritt an die Stelle von (2.2) die
Ersetzung
c2 c v i
⇒
∼ T αβ
(2.5)
i
i
j
c v v v
Die hier nur unvollständig eingeführten Größen (Energie-Massendichte, EnergieImpuls-Tensor T αβ ) werden in Kapitel 7 definiert. Die Ersetzung (2.5) impliziert
eine analoge Verallgemeinerung des Gravitationspotenzials Φ zu einer zweifach
indizierten Größe, die wir als metrischen Tensor g αβ bezeichnen. Daraus ergäbe
sich folgende Struktur der relativistischen Feldgleichung der Gravitation:
Φ = 4πG
⇒
2 g αβ ∼ G T αβ
(2.6)
Die numerische Konstante in der rechten Gleichung ist so zu bestimmen, dass die
00-Komponente im statischen Fall mit der linken Gleichung übereinstimmt. Für
schwache Felder werden wir in der Tat relativistische Feldgleichungen mit ähnlicher
Struktur erhalten.
6
Teil I Einleitung
Wegen der Masse-Energie-Äquivalenz kommt eine grundlegende Komplikation
hinzu, die in der Elektrodynamik nicht auftritt: Da das Gravitationsfeld auch Träger von Energie ist, stellt es selbst eine Quelle des Felds dar. Dies führt zu einer
Nichtlinearität der exakten Feldgleichungen. Im Gegensatz dazu ist das elektromagnetische Feld nicht Quelle des Felds; die elektromagnetischen Felder (oder die
Photonen) tragen keine Ladung.
Wir fassen die wesentlichen Punkte, die die Struktur der gesuchten Gravitationstheorie bestimmen, zusammen:
1. Die ART ist eine relativistische Verallgemeinerung der Newtonschen Gravitationstheorie. Die identische Struktur der Newtonschen Theorie und der
Elektrostatik führt zu zahlreichen Analogien zwischen der ART und der Elektrodynamik.
2. Weil die Energie-Massendichte sich wie die 00-Komponente eines Lorentztensors transformiert, führt die Verallgemeinerung von (1.5) zu einer Tensorfeldgleichung und nicht wie in der Elektrodynamik zu einer Vektorfeldgleichung.
3. Weil das Gravitationsfeld Energie enthält, stellt es selbst eine Quelle des Felds
dar. Dies bedingt nichtlineare Feldgleichungen.