1. ¨Ubungsblatt zur Differentialgeometrie I

1. Übungsblatt zur Differentialgeometrie I
im WS 2005/2006 bei Prof. Dr. S. Goette
Abgabe Donnerstag, den 3.11.05
in der Vorlesung.
1
Bitte schreiben Sie Ihre Namen
(maximal zwei) auf Ihr Blatt.
Sei ein sphärisches Dreieck mit den Seiten a, b, c
und gegenüberliegenden Winkeln α, β, γ gegeben.
a) Folgern Sie die Dreiecksungleichung aus dem Seitencosinussatz.
b) Wann gilt Gleichheit?
c) Wie lautet die zugehörige duale Ungleichung für die Winkel?
2
3
Beweisen Sie Satz 2.25 über die Kongruenz von Strecken und Winkeln
in der sphärischen Geometrie.
Überprüfen Sie für eine der drei folgenden Sammlungen von Axiomen
Ihrer Wahl,
welche davon in der sphärischen Geometrie gelten.
a) Die Inzidenzaxiome I1–I4 und P.
b) Die Anordnungsaxiome A1–A5.
c) Die Kongruenzaxiome K1–K6.
4
Wenn sich zwei Großkreise auf der Sphäre S 2
unter einem Winkel α ∈ (0, π) schneiden,
zerlegen sie S 2 in zwei Paare von sphärischen Zweiecken
mit den Winkeln α bzw. π − α.
Drei Großkreise, die nicht durch einen Punkt gehen,
zerlegen die Kugel in vier Paare kongruenter Dreiecke.
Folgern Sie, dass ein Dreieck mit den Winkeln α, β, γ
die Fläche α + β + γ − π hat.
Setzen Sie dazu voraus,
dass ein Zweieck mit dem Winkel α den Flächeninhalt 2α hat.