AM1: Analysis III - Institut für Mathematik
Werbung
Volker Branding, Steffen Fröhlich
Institut für Mathematik
Universität Potsdam
08.01.2010
AM1: Analysis III
Übungslatt 8
31. Parametrisierungen der Sphäre
Betrachten Sie die folgenden drei Parameterdarstellungen:
(P1) Stereographische Projektion:
X1 (u, v) =
R
(2u, 2v, 1 − u2 − v 2 )
1 + u2 + v 2
R
(cos u, sin u, sinh v)
cosh v
p
p
u
u
, R2 − v 2 sin R
,v
R2 − v 2 cos R
X3 (u, v) =
(P2) Mercatorabbildung:
X2 (u, v) =
(P3) Lambertprojektion:
Diese drei Abbildungen sind Beispiele für sogenannte Kartenentwürfe: Die stereographische Projektion
ist eine winkeltreue Zentralprojektion der Sphäre auf die Ebene, die Mercator- und Lambertprojektionen sind eine winkeltreue bzw. flächentreue Zylinderprojektion, bei welcher die Sphäre auf einen
umspannenden Zylinder projiziert wird.
(i) Zeigen Sie, dass alle drei Abbildungen Teile der Sphäre
2
SR
:= (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = R2
parametrisieren.
(ii) Berechnen Sie jeweils die Koeffizienten gij (u, v), i, j = 1, 2, der ersten Fundamentalformen sowie
die Oberflächenelemente W (u, v).
(iii) Entscheiden Sie, für welche Werte (u, v) ∈ R2 die Parametrisierungen regulär sind.
32. Winkeltreue Abbildungen
Gegeben seien zwei reguläre Parametrisierungen
c1 , c2 : I ⊂ R −→ T ⊂ R2
mit der Eigenschaft
c1 (t0 ) = c2 (t0 ) für ein t0 ∈ ˚
I,
sonst c1 (t) 6= c2 (t),
sowie eine reguläre 2-Fläche
X : T ⊂ R2 −→ R3 .
Unter dem Schnittwinkel α, welche zwei Kurven im Raum miteinander bilden, versteht man den kleineren der von den zugehörigen Einheitstangentialvektoren eingeschlossenen Winkel.
(i) Zeigen Sie, dass im gemeinsamen Schnittpunkt der Kurven c1 und c2 für deren Schnittwinkel α
gilt
ċ1 (t0 ) · ċ2 (t0 )
cos α =
.
|ċ1 (t0 )||ċ2 (t0 )|
(ii) Leiten Sie eine Formel zur Berechnung des Schnittwinkels α∗ zwischen den Raumkurven X ◦ c1 (t)
und X ◦ c2 (t) in Termen der Koeffizienten gij der ersten Fundamentalform der Fläche X her.
(iii) Zeigen Sie, dass α = α∗ für die Parametrisierungen X1 und X2 aus der vorigen Aufgabe gelten.
Solche Parametrisierungen nennt man winkeltreu.
33. Rechenregeln zu Differentialformen
Beweisen Sie folgende, aus der Vorlesung bekannte Rechenregeln.
1. Seien ω1 , ω2 und ω3 beliebige Differentialformen. Dann gilt das Assoziativgesetz
(ω1 ∧ ω2 ) ∧ ω3 = ω1 ∧ (ω2 ∧ ω3 ).
2. Sind ω1 und ω2 zwei ℓ-Formen, und ist ω3 eine m-Form, so gilt das Distributivgesetz
(ω1 + ω2 ) ∧ ω3 = ω1 ∧ ω3 + ω2 ∧ ω3 .
3. Bedeutet π : {1, . . . , ℓ} → {1, . . . , ℓ} die Permutation mit Vorzeichen sign (π), so gilt
dxi1 ∧ . . . ∧ dxiℓ = sign (π) dxiπ(1) ∧ . . . ∧ dxiπ(ℓ) .
Stimmen insbesondere zwei Indizes ij1 und ij2 überein, so verschwindet dieses Produkt. Daher ist
jede m-Form im Rn mit m > n identisch Null.
4. Für eine ℓ-Form ω1 und eine m-Form ω2 gilt die Vertauschungsregel
ω1 ∧ ω2 = (−1)ℓm ω2 ∧ ω1 .
34. Übung zum Dachprodukt
Seien ω1 eine p-Form, ω2 eine q-Form und ω3 eine r-Form. Wann gilt
ω1 ∧ ω2 ∧ ω3 = ω3 ∧ ω2 ∧ ω1 ,
und wann
ω1 ∧ ω2 ∧ ω3 = ω2 ∧ ω3 ∧ ω1 ?
