Ubungsblatt 12 - IWR Heidelberg

Übungen zur Einführung in die Geometrie
Übungsblatt 12
Dozent: Dr. D. Vogel
Übungen: Dipl. Math. Ralf Butenuth
19.01.2011
Übung 1 (4 Punkte) Für ein sphärisches Dreieck 4(a, b, c) mit Winkeln (α, β, γ)
gilt α + β + γ < 3π. Zeigen Sie, dass man 3π beliebig nahe kommen kann, indem sie
zeigen, dass es für jedes hinreichend kleine ε > 0 ein sphärisches Dreieck 4(a, b, c)
mit Winkeln (α, β, γ) und α + β + γ = 3π − ε gibt.
Übung 2 (4 Punkte) Sei 4(a, b, c) ein sphärisches Dreieck mit Seitenlängen (A, B, C)
und Winkelgrößen (α, β, γ).
(a) Beweisen Sie die sphärische Version des Satzes von Pythagoras: Ist γ ein rechter
Winkel, so gilt cos(C) = cos(A) cos(B).
(b) Aus der Analysis ist die Potenzreihenentwicklung
cos(x) =
∞
∑
(−1)n
n=0
x2n
2n!
des Kosinus bekannt. Zeigen Sie, dass der sphärische Satz des Pythagoras mit
dieser Entwicklung in einer ersten Näherung in den euklidischen Pythagoras
C 2 = A2 + B 2 übergeht.
Übung 3 (4 Punkte) In dieser Aufgabe wird die Erde als Kugel mit einem Radius
von 6378 km idealisiert.
(a) Berechnen Sie den kürzesten Abstand von Heidelberg (49◦ 240 4400 Nord, 8◦ 420 3600
Ost) nach Honolulu (21◦ 180 3200 Nord, 157◦ 490 3400 West). In welchem Kurswinkel
relativ zum Nordpol müsste ein Flugzeug nach Honolulu idealerweise starten?
(b) Berechnen Sie den kürzesten Abstand von Heidelberg nach Santiago de Chile (33◦ 270 000 Süd, 70◦ 400 000 West). In welchem Kurswinkel relativ zum Nordpol
müsste ein Flugzeug nach Santiago de Chile idealerweise starten?
Übung 4 (4 Punkte) Stereographische Projektionen sind winkeltreue und kreistreue
Abbildungen aller Punkte einer Sphäre bis auf einen ausgewählten Punkt N auf die
Tangentialebene T an S2 in −N , wobei −N den Antipol von N auf S2 bezeichne.
Dazu sei P ∈ S2 r {N }. Zu jeder Tangente g an S2 , die durch P verläuft, definiere
ρ(g) als den Schnitt von T mit der eindeutigen Ebene, die g und N beinhaltet. Zeigen
Sie, dass die so erhaltene Projektion winkeltreu ist, d.h. für zwei Tangenten g, h an
S2 , die den selben Punkt P berühren gilt ∠(g, h) = ∠(ρ(g), ρ(h)).
– bitte wenden –
Übungen zur Einführung in die Geometrie
Übungsblatt 12
Dozent: Dr. D. Vogel
Übungen: Dipl. Math. Ralf Butenuth
19.01.2011
Dieses Blatt kann bis spätestens 9:15 Uhr am Mittwoch, den 26.01.2011, im
Zettelkasten neben Hörsaal 6 eingeworfen werden. Bitte denken Sie daran, Ihre Namen
und Ihre Matrikelnummern mit anzugeben und alle Blätter, zum Beispiel mit einem
Schnellhefter, zusammen zu halten.
Die Aufgaben werden in der Übung ab Montag, den 31.01.2011 besprochen.
Weitere Hinweise zur Vorlesung finden Sie unter:
www.iwr.uni-heidelberg.de/∼Ralf.Butenuth/Geometrie.