Ubungsblatt 10 - IWR Heidelberg

Übungen zur Einführung in die Geometrie
Übungsblatt 10
Dozent: Dr. D. Vogel
Übungen: Dipl. Math. Ralf Butenuth
22.12.2010
Übung 1 (4 Punkte) Zeigen Sie:
(a) Sind P und P 0 zwei isomorphe projektive Ebenen, so sind auch die dualen Ebenen P ? und (P 0 )? projektiv isomorph.
(b) Ist P eine projektive Ebene, so sind die Automorphismengruppen Aut(P) und
Aut(P ? ) isomorph.
Übung 2 (4 Punkte) Zeigen Sie:
(a) Seien A = (P, G) und A0 = (P0 , G0 ) aﬃne Ebenen, ϕ : P → P0 ein aﬃner
Isomorphismus und A = (P, G) bzw. A0 = (P0 , G0 ) die projektiven Abschlüsse.
Dann gibt es genau eine Fortsetzung von ϕ zu einem projektiven Isomorphismus
Φ : A → A0 .
(b) Sei P = (P, G) eine projektive Ebene und F ∈ G. Dann ist PF projektiv Isomorph zu P.
Übung 3 (4 Punkte) Sei
S2 :=
{
 
x1
}
x2  ∈ R3 | k(x1 , x2 , x3 )t k = 1
x3
die Einheitskugel des R3 bezüglich der Norm k(x1 , x2 , x3 )t k :=
√
x21 + x22 + x23 .
(a) Zeigen Sie, dass die Abbildung π : S2 → PR : x 7→ Rx surjektiv ist.
(b) Sei p ein Punkt in P2 (R). Geben Sie π −1 (p) an.
(c) Beschreiben Sie das Urbild einer Geraden in P2 (R) bezüglich π.
– bitte wenden –
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Übungsblatt 10
Dozent: Dr. D. Vogel
Übungen: Dipl. Math. Ralf Butenuth
22.12.2010
Übung 4 (4 Punkte) Zeigen Sie:
(a) Für M ∈ GL3 (K) ist die Abbildung
ϕM : PK → PK , p = Kx 7→ KM x
ein projektiver Automorphismus von P2 (K).
(b) Sind x, y, z und x0 , y 0 , z 0 jeweils drei Punkte in PK in allgemeiner Lage, so existiert ein ϕ ∈ Aut(P2 (K)) mit ϕ(x) = x0 , ϕ(y) = y 0 und ϕ(z) = z 0 .
(c) Sind F, G, H, und F 0 , G0 , H 0 jeweils drei Geraden in P2 (K) die jeweils nicht alle
einen gemeinsamen Schnittpunkt haben. Dann gibt es ein ϕ ∈ Aut(P2 (K)) mit
ϕ(F ) = F 0 , ϕ(G) = G0 und ϕ(H) = H 0 .
(d)
{
∼
Aut(P2 (K)) = ϕ : PK → PK | ∃ M ∈ GL3 (K), σ ∈ Aut(K)

 

x1
σ(x1 ) }
mit ϕ = K x2  7→ KM σ(x2 ) .
σ(x3 )
x3
Empirische Untersuchungen zeigen angeblich, dass zwei Winkel in einer Zeichnung nur
dann verläßlich voneinander unterschieden werden können, wenn sie sich mindestens
um 15◦ unterscheiden. Ein “allgemeines“ spitzwinkliges Dreieck sollte unter anderem
weder wie ein gleichschenkliges Dreieck noch wie ein rechtwinkliges Dreieck wirken.
Das motiviert die folgende Deﬁnition:
Definition: Ein spitzwinkliges Dreieck heißt allgemein, wenn sich jeder seiner Winkel
um wenigstens 15◦ von einem rechten Winkel unterscheidet und sich je zwei seiner
Winkel voneinander ebenfalls um mindestens 15◦ unterscheiden.
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Übungsblatt 10
Dozent: Dr. D. Vogel
Übungen: Dipl. Math. Ralf Butenuth
22.12.2010
Übung 5 (2 Bonuspunkte)
(a) Zeigen Sie, dass es bis auf Ähnlichkeit genau ein allgemeines spitzwinkliges Dreieck gibt. Dabei heißen zwei Dreiecke ähnlich, wenn ihre Winkelgrössen paarweise
gleich sind.
(b) Ihre quadratische Schultafel habe ein Karomuster, also ein rechtwinkliges Gitter, von 15 Punkten pro Achse. Finden Sie eine möglichst gute Näherung des
allgemeinen Dreiecks mit Eckpunkten auf den Gitterpunkten für diese Tafel.
Bemerkungen:
(a) Ein allgemeines Dreieck ist nur solange allgemein, wie es unauﬀällig gezeichnet
wird.
(b) Eine Freihandzeichnung des allgemeinen Dreiecks ist sehr riskant und sollte nur
von erfahrenen und geübten Pädagogen live vor der Klasse zelebriert werden.
(c) Es ist eventuell lohnenswert, die Eckpunkte des allgemeinen Dreiecks unauﬀällig
an der Tafel im Klassenraum zu makieren, zum Beispiel mit kleinen Bohrlöchern.
Dabei sollten Sie sich allerdings nicht vom Hausmeister erwischen lassen.
Übung 6 (2 Bonuspunkte)
(a) Erstellen Sie eine GEONExT-Skizze, die den Sachverhalt von Aufgabe 2, Blatt
9 erklärt. Diese Skizze soll zu einem Dreieck ∆ mit beweglichen Eckpunkten den
Umkreis, die 3 Ankreise und den Feuerbachkreis des Ankreisdreiecks konstruieren.
(b) Erweitern Sie die Skizze aus Teil (a), so dass auch der Feuerbachkreis von ∆
konstruiert wird. Was fällt Ihnen auf?
Hinweis: Diese Bonusaufgabe können Sie per Email an ihren Tutor abgeben.
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Dozent: Dr. D. Vogel
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22.12.2010
Übung 7 (1 Bonuspunkt) Sei ϕ : x 7→ x + (−0.3, −1)t ∈ Aut(A2 (R)),
∆0 = 4{(0, 0)t , (0, −1)t , (−1.5, −1)t } und ψ die Spiegelung an der y-Achse. Deﬁniere
induktiv ∆i := ϕ(∆i−1 ) für i ≥ 1. Sei
X=
4
∪
∆i ∪ (−2, −5)t , (0, −5)t ∪ (−0.5, −5)t , (−0.5, −6)t ∪ (−0.5, −6)t , (0, −6)t .
i=0
Erstellen Sie eine festlich dekorierte Skizze der Menge X ∪ ψ(X). Das Team der
Einführung in die Geometrie wünscht Ihnen eine frohe und erholsame Weihnachtszeit
und einen guten Start in das neue Jahr.
Dieses Blatt kann bis spätestens 9:15 Uhr am Mittwoch, den 12.01.2011, im
Zettelkasten neben Hörsaal 6 eingeworfen werden. Bitte denken Sie daran, Ihre Namen
und Ihre Matrikelnummern mit anzugeben und alle Blätter, zum Beispiel mit einem
Schnellhefter, zusammen zu halten.
Die Aufgaben werden in der Übung ab Montag, den 17.01.2011 besprochen.
Weitere Hinweise zur Vorlesung ﬁnden Sie unter:
www.iwr.uni-heidelberg.de/∼Ralf.Butenuth/Geometrie.