Was man für die Theorie-Diplomprüfung können sollte!

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Was man für die
Theorie-Diplomprüfung
können sollte!
David Riemenschneider
Felix Spanier
12. November 2001
Inhaltsverzeichnis
1 Mathematische Grundlagen
1.1
9
Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.1
Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2
Differentialoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3
Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4
Delta-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5
Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6
1.7
1.5.1
Skalare Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.2
Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.1
Legendre-Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.2
Hermite-Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.3
Bessel-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.4
Neumann-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.5
Laguerre-Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Lorentztensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Elektrodynamik
2.1
15
Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1
Coulomb-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2
Feldgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3
2.2
2.3
2.4
2.1.3
Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.4
Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1
Kraftgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2
Feldgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.3
Ampere-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.4
Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.5
Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Maxwell-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.1
Faraday’sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2
Maxwell’scher Verschiebungsstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.3
Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.4
Allgemeine Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.5
Kovarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.6
Relativistische Formulierung
Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.1
2.5
Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Feld einer bewegten Punktladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.1
Lienard-Wiechert-Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.2
Strahlungsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5.3
Dipolstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Quantenmechanik
3.1
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
33
Wellenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.1
Welle-Teilchen-Dualismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.2
Klein-Gordon-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.3
Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2
3.3
3.4
3.5
Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.1
Bewegungsgleichung im Schrödinger-Bild . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.2
Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.3
Erwartungswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.4
Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.5
Ehrenfest-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.6
Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.7
Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . 38
1D-Quantensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.1
Potentialtopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.2
Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.3
Potentialstufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Näherungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.1
Ricatti-Glrichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.2
WKB-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Allgemeine Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5.1
Ket-Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5.2
Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5.3
Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5.4
Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5.5
Eigenwertgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5.6
Unitäre Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5.7
Meßprozeß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5.8
Unterschiedliche Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5.9
Operatormechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.5.10 Allgemeine Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.6
3D-Quantensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5
3.7
3.8
3.9
3.6.1
Schrödinger-Gleichung in Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . 46
3.6.2
Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.6.3
Zentralfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.6.4
Identische Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.7.1
Zeitunabhängige Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.7.2
Zeitabhängige Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.7.3
Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.8.1
Emission und Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.8.2
Auswahlregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Streutheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.9.1
Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.9.2
Partialwellenzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.9.3
Born’sche Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.10 Relativistische Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.10.1 Klein-Gordon-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.10.2 Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6
Vorwort
Diese Zusammenfassung dient der Vorbereitung zur Diplomprüfung in theoretischer Physik bei Herrn Schlickeiser. Als Themen waren vereinbart:
Elektrodynamik im Vakuum, kovariante Formulierung, Wellen, etc.
Quantenmechanik Darstellung der QM, 1D-/3D-Systeme, Näherungsverfahren, Streuung
Ich hoffe, daß sie weiterhilft, übernehme aber keine Garantie für die Richtigkeit. Ich
möchte mich insbesondere bei Katrin Kämpgen für ihr Skript QM I, bei Matthias Berse
für jede erdenkliche Form von Prüfungsvorbereitungsunterlagen und bei Michael Knop
für Unmengen seelischer Unterstützung bedanken.
7
8
Felix Spanier
Theorie-Diplomprüfung
12. November 2001
1 Mathematische Grundlagen
1.1
1.1.1
Vektoren
Koordinatensysteme


dx~ex + dy~ey + dz~ez
d~r = dρ~eρ + ρdφ~eφ + dz~ez


dr~er + rdθ~eθ + r sin θdφ~eφ
1.2
kartesisch
zylindrisch
sphärisch
(1.1)
Differentialoperatoren
 ∂Φ
∂Φ
∂Φ
kartesisch

 ∂x ~ex + ∂y ~ey + ∂z ~ez
∂Φ
1 ∂Φ
∂Φ
∇Φ = ∂ρ ~eρ + ρ ∂φ ~eφ + ∂z ~ez
zylindrisch

 ∂Φ
1 ∂Φ
er + 1r ∂Φ
eθ + r sin
eφ sphärisch
∂r ~
∂θ ~
θ ∂φ ~

~
~x
~z
∂ Ay
∂A
∂A


kartesisch
 ∂x + ∂y + ∂z
∂Aφ
∂ρAρ
∂A
1
1
~
∇· A = ρ ∂ρ + ρ ∂φ + ∂zz
zylindrisch


2
∂Aφ
∂
sin
θA
 1 ∂r Ar + 1
1
θ
+ r sin
sphärisch
r sin θ
∂θ
θ ∂φ
r 2 ∂r
 ∂A
∂A
∂A
y
y
∂Ax
∂Az
∂Ax
z

( ∂y − ∂z )~ex + ( ∂z − ∂x )~ey + ( ∂x − ∂y )~ez
~ = ( 1 ∂Az − ∂Aφ )~eρ + ( ∂Aρ − ∂Az )~eφ + 1 ( ∂ρAφ − ∂Aρ )~ez
∇× A
ρ ∂φ
∂z
∂z
∂ρ
ρ
∂ρ
∂φ

 1 ∂ sin θAφ ∂Aθ
∂rAφ
1
1 ∂Ar
1 ∂rAθ
(
−
)~
e
+
(
−
)~
e
r
θ + r ( ∂r −
r sin θ
∂θ
∂φ
r sin θ ∂φ
∂r
 2
∂2Φ
∂2Φ
∂ Φ

kartesisch

 ∂x2 + ∂y2 + ∂z 22
1 ∂
∂Φ
1 ∂ Φ
∂2Φ
zylindrisch
∆Φ = ρ ∂ρ (ρ ∂ρ ) + ρ2 ∂ρ2 + ∂z 2


1
∂2Φ
 1 ∂ 2 (rΦ) + 1 ∂ (sin θ ∂Φ ) +
(
) sphärisch
r
∂r2
r 2 sin θ ∂θ
∂θ
kartesisch
zylindrisch
∂Ar
eφ
∂θ )~
sphärisch
r 2 sin2 θ ∂φ2
(1.2)
9
10
1
Mathematische Grundlagen
Theorie-Diplomprüfung
Dazu noch einige Rechenregeln
∆ = div · grad
(1.3)
rot · gradΦ = 0
~ = A
~ · gradΦ + ΦdivA
~
div(ΦA)
~ = 0
div · rotA
(1.4)
(1.5)
(1.6)
~ = grad(divA)
~ − rot(rotA)
~
∆A
1.3
(1.7)
Integration
Z
I
~ =
~
Gauß
dV ∇· A
dF~ · A
V
F
Z
I
~
~
~
Stokes
dF · ∇× A =
d~r · A
F
C
Z
I
Green 1
dV ((∇Φ) · (∇G) + Φ∆G) =
dF~ · Φ(∇G)
V
F
Z
I
Green 2
dV (Φ∆G − G∆Φ) =
dF~ · (Φ∇G − G∇Φ)
V
1.4
(1.8)
(1.9)
(1.10)
(1.11)
F
Delta-Funktion
Die Delta-Funktion ergibt sich aus der Greens-Funktion des Laplace-Operators:
∆
1
|~r − ~r0 |
= −4π δ (~r − ~r0 )
(1.12)
Folgende Regeln sind noch von Bedeutung
δ (x − x0 )
|h0 (x0 )|
h(x0 ) = 0
exp(±ikr)
(∆ + k 2 )
= −4π δ (r)
r
δ (h(x)) =
Felix Spanier
(1.13)
(1.14)
(1.15)
12. November 2001
Theorie-Diplomprüfung
1.5
1.5
Potentiale
11
Potentiale
1.5.1
Skalare Potentiale
1.5.2
Vektorpotential
1.6
Polynome
1.6.1
Legendre-Polynome
Die allg. Lösung für die Laplace-Gleichung ∆Φ = 0 in Kugelkoordinaten wird durch
einen Separationsansatz gegeben:
1 ∂2
1
(rΦ) + 2
2
r ∂r
r sin θ
∂Φ
sin θ
∂θ
+
1
∂2Φ
r2 sin2 θ ∂φ2
= 0
(1.16)
U (r)
Ansatz Φ(r, θ, φ) =
P (cos θ)Q(φ) (1.17)
r
P Q d2 U
1
dP
U P d2 Q
+
U
Q
sin
θ
+
= 0
(1.18)
r dr2
r3 sin θ
dθ
r3 sin2 θ dφ2
1 d2 U
sin θ d
dP
−r2 sin2 θ
−
sin
θ
(1.19)
U dr2
P dθ
dθ
Die rechte Seite ist nur von φ abhängig, die linke überhaupt nicht:
1 d2 Q
= −m2
Q dφ2
⇒ Q00 + m2 Q = 0
(1.20)
(1.21)
Q(φ) = Qm (φ) = exp(imφ)
(1.22)
Einsetzen liefert nun:
1
d
r 2 d2 U
= −
2
U dr
P sin θ dθ
Setze: x = cos θ
2
d U
λ
− 2 U (r) = 0
2
dr
r
d
dP
m2
(1 − x2 )
+ λ−
P (x) = 0
dx
dx
1 − x2
12. November 2001
dP
sin θ
dθ
+
m2
(1.23)
sin2 θ
(1.24)
(1.25)
(1.26)
Felix Spanier
12
1
Mathematische Grundlagen
Theorie-Diplomprüfung
Zylindersymetrie
Wir setzen nun m = 0, betrachten also erst einmal nur die Zylindersymetrie:
(1 − x2 )P 00 − 2xP 0 + λP
= 0
∞
X
Ansatz P (x) =
ak xk
(1.27)
(1.28)
k=0
∞
X
(ak+2 (k + 2)(k + 1) − ak (k − 1) − 2kak + λak ) xk = 0
(1.29)
k=0
⇒ ak+2 =
k(k + 1) − λ
ak (1.30)
(k + 2)(k + 1)
a
Der Limes k+2
ak geht gegen 1, damit die Summe nicht divergiert, muß die Reihe abbrechen. Dies wird erfüllt mit λ = k(k + 1). Daraus folgt, daß λ = l(l + 1). Die Iteration
wird mit den Startwerten a0 = 1 und a0 = 0 für gerade l zu wählen (für ungerade l
genau umgekehrt).
Es existiert auch ein expliziter Ausdruck für Pl
1 dl 2
(x − 1)l
2l l! dxl
= 1
Pl (x) =
(1.31)
⇒ P0
(1.32)
P1 = x
1
P2 =
(3x2 − 1)
2
1
(5x3 − 3x)
P3 =
2
(1.33)
(1.34)
(1.35)
Orthogonalität
Der Beweis der Orthogonalität läuft über den Differentialoperator:
Dop Pl = −l(l + 1)Pl
d
d
Dop =
(1 − x2 )
dx
dx
(Pl0 , Dop Pl ) = −l(l + 1)(Pl0 , Pl )
0
0
(Pl , Dop Pl0 ) = −l (l + 1)(Pl , Pl0 )
0
0
⇒ [l (l + 1) − l(l + 1)](Pl , Pl0 ) = 0
Felix Spanier
(1.36)
(1.37)
(1.38)
(1.39)
(1.40)
12. November 2001
Theorie-Diplomprüfung
1.6
Polynome
13
Kugelflächenfunktionen
Betrachtet man nun den Fall m 6= 0, so erhält man die Kugelflächenfunktionen:
l+m
m d
(−)m
(1 − x2 ) 2 l+m (x2 − 1)l
l
dx
s2 l!
Plm (x) =
2l + 1 l − m m
P (cos θ) exp(imφ)
4π (l + m)! l
Ylm (θ, φ) =
1.6.2
(1.41)
(1.42)
Hermite-Polynome
d2 u(y)
+ ( − y 2 )u(y) = 0
dy 2
u(y) ∼ exp(±y 2 /2)
(1.43)
(1.44)
2
→ u(y) = v(y) exp(−y /2)
00
0
⇒ v − 2yv + ( − 1)v = 0
∞
X
v =
am y m
(1.45)
(1.46)
(1.47)
m=0
(k + 2)(k + 1)ak+2 − 2kak + ( − 1)ak = 0
(1.48)
Abbruch = 2n + 1
(n = 0, 1, 2, . . . )
(1.49)
n
d
Hn (y) = (−)n exp(y 2 )
exp(−y 2 ) (1.50)
dy n
Hn0 = 2nHn−1
(1.51)
H0 = 1
(1.52)
H1 = 2x
(1.53)
2
H2 = 4x − 2
1.6.3
(1.54)
Bessel-Funktionen
jl (x)
=
j0 (x)
=
j1 (x)
=
x1
12. November 2001
jl →
l
(−x)
1 d
x dx
l
sin x
x
sin x cos x
−
x2
x
l
x
(2l + 1)!
sin x
x
(1.55)
(1.56)
(1.57)
(1.58)
Felix Spanier
14
1.6.4
1
Mathematische Grundlagen
Theorie-Diplomprüfung
Neumann-Funktionen
nl (x)
=
l
−(−x)
1 d
x dx
l
cos x
x
(1.59)
cos x
x
cos x sin x
n1 (x) = − 2 −
x
x
(2l − 1)!
x 1 nl → −
xl+1
n0 (x)
1.6.5
=
−
(1.60)
(1.61)
(1.62)
Laguerre-Polynome
d p
= (−1)
Lq (x)
dx
q
d
x
Lq (x) = e
(e−x xq )
dx
Lpq−p (x)
1.7
p
(1.63)
(1.64)
Lorentztensoren
In der Lorentztrafo werden 4-Vektoren der Form
(xα ) = (ct, x, y, z)
(1.65)
(xα ) = (ct, −x, −y, −z)
(1.66)
benutzt. Diese Vektoren werden mit den Transformationsmatrizen Λ relativistisch transformiert
x0µ = Λνµ xν

Λνµ



= 


(1.67)
1
q
2
1−( vc )
vq 1
2
c
1−( vc )
0
0
vq 1
2
c
1−( vc )
1
q
2
1−( vc )
0
0
0 0



0 0 


1 0 
0 1
(1.68)
Für Tensoren zweiter Stufe gilt ein analoges Verfahren
T 0µϑ = Λµγ Λϑρ T ργ
Felix Spanier
(1.69)
12. November 2001
2 Elektrodynamik
2.1
2.1.1
Elektrostatik
Coulomb-Gesetz
Aus experimentellen Befunden findet man eine Kraftbeziehung zwische zwei Ladungen
in folgender Form:
~ = k q1 q2 ~r1 − ~r2
K
|~r1 − ~r2 |3
~ r) =
K(~
N
X
qqi
i=1
~r − ~ri
|~r − ~ri |3
(2.1)
(2.2)
Daraus läßt sich nun die Feldstärke E ermitteln
~
~ r) = K(~r)
E(~
q
(2.3)
Ladungsdichten
Die Ladungsdichte wird entweder als Mittelwert oder als Limes definiert:
(
ρat = lim∆V →0
ρ(~r) =
∆q
hρat i = ∆V
ρ(~r) =
N
X
qi δ (~r − r~i )
∆q
∆V
(2.4)
(2.5)
i=1
15
16
2
Elektrodynamik
Theorie-Diplomprüfung
Einsetzen in die Feldstärke liefert:
N
X
~r − r~i
|~r − r~i |3
i=1
N Z
X
~r − r~i
=
d3 r0 ρ(~r)
|~r − r~i |3
∆Vi
~ r) =
E(~
qi
(2.6)
i=1
=
N
X
∆Vi ρ(~
ri )
~r − r~i
|~r − r~i |3
Zi=1
~r − r~i
≈ d3 r0 ρ(~r0 )
|~r − r~i |3
2.1.2
Feldgleichung
Aus der Feldstärke läßt sich ein skalares Potential entwickeln:
~ r) = −∇
E(~
Z
d3 r 0
ρ(~r0 )
= −∇Φ(~r)
|~r − ~r0 |
(2.7)
Daraus lassen sich die Maxwell-Gleichungen der Elektrostatik entwickeln:
~ r) = 4πρ(~r)
∇E(~
~ r) = 0
∇ × E(~
(2.8)
(2.9)
In integraler Formulierung ergibt sich daraus
I
F
~ = 4π
dF~ · E
Z
d3 rρ(~r) = 4πQV
(2.10)
V
Aus diesen Gleichungen kann man die Poisson-Gleichung erhalten
∆Φ(~r) = −4πρ(~r)
(2.11)
Bei Berechnung von Φ in mehreren Abschnitten müssen Φ und Φ0 stetig sein.
Anwendungen
Homogen geladene Kugel
Felix Spanier
12. November 2001
Theorie-Diplomprüfung
2.1
Elektrostatik
17
Energie
Die Energie des elektrostatischen Feldes
Z
1
d3 r Φ(~r)ρ(~r)
U =
2
Z
1
d3 r Φ(~r)∆Φ(~r)
= −
8π
Z
1
~ r)|2
=
d3 r |E(~
8π
2.1.3
(2.12)
(2.13)
(2.14)
Randwertprobleme
Bei der Betrachtung von Randwertproblem muß man zwei Fälle unterscheiden:
Leiter hier ist das Feld im Inneren 0
Isolator es kann ein Feld im Inneren existieren
Aus Gauß’schen und Stokes’schen Satz folgt, daß Felder an Leitern nur eine Normalkomponente besitzen. Es gilt
∂Φ
∂n
∂Φa ∂Φi
−
∂n
∂n
= 4πσ0
(2.15)
= 4πσ0
(2.16)
Es gibt zwei Typen von Randwertproblemen
von Neumann
∂Φ
∂n
= −4πσ(~r)
Dirichlet Φ |R = Φ0 (~r)
Bei der Lösung der DGL für Φ gibt es eine homogen und eine pertikuläre Lösung. Die
partikuläre Lösung ergibt sich aus der Feldgleichung für Ladungen.
Bildladungen
Bildladungen sind eine Modellvorstellung, mit denen sich Randbedingungen realisieren
lassen. Sie äußern sich in Influenzladungen auf der Oberfläche
12. November 2001
Felix Spanier
18
2
Elektrodynamik
Theorie-Diplomprüfung
Legendre-Polynome
Mit Hilfe der Legendre-Polynome (s. 1.6.1) lassen sich Randwertprobleme in Kugelkoordinaten und Zylinderkoordinaten lösen.
Zylinderkoordinaten Φ(r, θ) =
P∞ l=0
l
P r<
1
l+1 Pl (cos θ)
r−r 0 =
r>
max(r, r0 ) und r< = min(r, r0 ).
Entwicklung
al rl +
bl
rl+1
Pl (cos θ)
Dabei ist θ der Winkel zwischen r und r0 , r> =
Kugelfunktionen
Die Kugelfunktionen sind gegeben durch:
s
2l + 1 (l − m)! m
P (cos θ) exp(imΦ)
4π (l + m)! l
(2.17)
1 ∂2
+
Ylm (θ, Φ) = −l(l + 1)Ylm (θ, Φ)
sin2 θ ∂Φ2
(2.18)
Ylm (θ, φ) =
Sie genügen folgender DGL:
1 ∂
sin θ ∂θ
∂
sin θ
∂θ
Dabei ist der Vorfaktor Konvention. Die Kugelfunktionen sind eine vollständiges orthonormales System. Deshalb läßt sich allgemein die Lösung in Kugelfunktionen entwickeln:
Φ(r, θ, Φ) =
∞ m=+l
X
X
l=0 m=−l
Felix Spanier
(alm rl +
blm
)Ylm (θ, Φ)
rl+1
(2.19)
12. November 2001
Theorie-Diplomprüfung
2.1.4
2.2
Magnetostatik
19
Multipolentwicklung
Bei lokalisierten Ladungsverteilungen läßt sich das Potential mit Hilfe der Kugelfunktionen berechnen. Hierzu wird die Orthogonalität gebraucht
1
|~r − r~0 |
= 4π
∞ X
+l
X
l=0 m=−l
Z
Φ(~r) =
Z
=
d3 r 0
l
r<
1
Y ∗ (θ0 , φ0 )Ylm (θ, φ)
l+1 lm
2l + 1 r>
ρ(r~0 )
|~r − r~0 |
d3 r0 ρ(~r0 )
(2.20)
(2.21)
X 4π r0 l
Y ∗ (θ0 , φ0 )Ylm (θ, φ)
2l + 1 r0 l+1 lm
(2.22)
l,m
r
Z
4π
l ∗
d3 r0 ρ(r~0 )r0 Ylm
(θ0 , φ0 )
2l + 1
∞ X
+l r
X
4π qlm
Ylm (θ, φ)
Φ(~r) =
2l + 1 rl+1
qlm =
(2.23)
(2.24)
l=0 m=−l
Für die niederen Multipolelemente gibt es eine kartesische Darstellung
Z
Ladung q =
d3 r0 ρ(~r0 )
Z
Dipolmoment pi =
d3 r0 x0 i ρ(~r0 )
Z
2
Quadrupolmoment Qij =
d3 r0 3x0 i x0 j − r0 δij ρ(~r0 )
Daraus ergibt sich das Potential
Z
ρ(~r0 )
Φ(~r) =
d3 r 0
|~r − ~r0 |
3
3
q X
∂ 1 1 X
∂ ∂ 1
=
−
pi
+
Qij
+ ···
r
∂xi r 6
∂xi ∂xj r
i=1
2.2
(2.25)
(2.26)
(2.27)
(2.28)
(2.29)
i,j=1
Magnetostatik
Das Magnetfeld hängt vom Strom ab, in der Magnetostatik werden nur zeitlich konstante
Ströme betrachtet. Bei der Betrachtung von Strömen muß man die Kontinuitätsgleichung
beachten:
Z
I
d
3
d r ρ(~r, t) +
dF~ · ~j(~r, t) = 0
(2.30)
dt V
F
∂ρ(~r, t)
⇒
+ ∇ · j(~r, t) = 0
(2.31)
∂t
12. November 2001
Felix Spanier
20
2.2.1
2
Elektrodynamik
Theorie-Diplomprüfung
Kraftgesetz
Analog zum Coulomb-Gesetz definieren wir die Kraft, die ein Magnetfeld auf ein stromdurchflossenes Leiterstück ausübt
~ r) =
dK(~
~ r) =
⇒ dB(~
~ r) =
B(~
I ~ ~
dl × B(~r)
c
I ~
~r − r~0
dl ×
c
|~r − r~0 |3
Z
~r − r~0
1
d3 r0 ~j ×
c
|~r − r~0 |3
(2.32)
(2.33)
(2.34)
Hieraus kann man folgende Kraftgleichung berechnen
1~
~ r)
j(~r) × B(~
c
Punktladung ~j(~r) = q~v δ (~r − ~r0 )
~v
~ r~0 )
K = q × B(
c
~k(~r) =
2.2.2
(2.35)
(2.36)
(2.37)
Feldgleichung
Gleichung 2.34 läßt sich folgendermaßen umformen
~ r) =
B(~
=
=
=
~ r) =
A(~
~r − r~0
d3 r0 ~j ×
|~r − r~0 |3
Z
1
1
−
d3 r0 ~j × ∇
c
|~r − r~0 |
Z
~j(r~0 )
1
∇ × d3 r 0
c
|~r − r~0 |
~ r)
∇ × A(~
Z
~j(r~0 )
1
∇ × d3 r 0
+ ∇Λ(~r)
c
|~r − r~0 |
1
c
Z
(2.38)
(2.39)
(2.40)
(2.41)
(2.42)
Der zweite Umformungsschritt kann gemacht werden, weil ∇ nur auf ~r wirkt. Λ kann
beliebig gewählt werden, da seine Rotation verschwindet. Häufig wird Λ = 0 gewählt
werden, daraus folgt
~ r) = 0
∇ · A(~
Felix Spanier
Coulombeichung
(2.43)
12. November 2001
Theorie-Diplomprüfung
2.2
Magnetostatik
21
Weiterhin gilt
~ r) = ∇× ∇× A
~ = ∇∇ · A
~ − ∆A
~ = −∆A
~
∇ × B(~
Z
1
1
=
d3 r0 ~j(r~0 )∆
c
|~r − ~r0 |
4π ~
=
j(~r)
c
Zusammenfassend ergeben sich die Feldgleichungen der Magnetostatik
~ r) = 0
∇· B(~
~ r) = 4π ~j(~r)
∇× B(~
c
(2.44)
(2.45)
(2.46)
(2.47)
(2.48)
Magnetischer Fluss
Der magnetische Fluß durch eine Fläche ist definiert als
Z
~
Φm =
dF~ · B
I
ZF
~ =
~
dF~ · B
d3 r ∇· B
F
2.2.3
(2.49)
(2.50)
V
Ampere-Gesetz
Aus den Feldgleichungen läßt sich eine integrale Form mit Hilfe des Stokes’schen Satzes
bestimmen
I
Z
4π
~
d~r · B =
dF~ · ~j
c F
C
(2.51)
4π
=
IF
c
Anwendung des Gauß’schen Satzes liefert den Beweis für die Nichtexistenz von magnetische Monopolen
2.2.4
Anwendung
Draht
Lösung über Ampere-Gesetz
Spule
Lösung über Laplace-Gleichung für Magnetfelder
12. November 2001
Felix Spanier
22
2.2.5
2
Elektrodynamik
Theorie-Diplomprüfung
Dipol
Dipolmoment
1
µ=
2c
2.3
Z
d3 r ~r × ~j(~r)
(2.52)
Maxwell-Gleichung
Aus der Tatsache, daß bei der Beobachtung von Ladung die Wahl des Inertialsystems
eine Rolle spielt (bewegte Ladung ist Strom), folgen die Maxwell-Gleichungen
~ r, t) = 4πρ(~r, t)
∇· E(~
(2.53)
~
~ r, t) = − 1 ∂ B(~r, t)
∇× E(~
c
∂t
~ r, t) 4π
1
∂
E(~
~ r, t) =
∇× B(~
+ ~j(~r, t)
c
∂t
c
~ r, t) = 0
∇· B(~
(2.54)
(2.55)
(2.56)
Aus diesen Feldgleichungen ergeben sich Kontinuitätsgleichung und Lorentzkraft direkt
~ − 1 ∂ ∇· E
~ = 4π ∇· ~j
∇·(∇× B)
(2.57)
c ∂t
c
∂ρ
⇒−
= ∇· ~j
(2.58)
∂t
2.3.1
Faraday’sches Gesetz
~ = −B/c,
~˙
Integriert man die Gleichung ∇× E
so erhält man
I
Z
1∂
~
~ r, t)
d~r · E = −
dF~ · B(~
c ∂t F
C
I
~
V =
d~r · E
(2.59)
(2.60)
C
1 dΦm
c dt
Das Vorzeichen ergibt sich aus der Lenz’schen Regel
⇒V =−
2.3.2
(2.61)
Maxwell’scher Verschiebungsstrom
I
C
Felix Spanier
1∂
c ∂t
für j = 0
~ =
d~r · B
Z
~
dF~ · E
(2.62)
F
(2.63)
12. November 2001
Theorie-Diplomprüfung
2.3.3
2.3
Maxwell-Gleichung
23
Energie
~ = − c ∇·(E
~ ×B
~ − 1 ∂ (E
~2 + B
~ 2)
~j · E
4π
8π ∂t
(2.64)
Energiedichte
uem =
1 ~2 ~2
(E + B )
8π
(2.65)
Poynting-Vektor (Energietransport)
~ × B)
~
~ = c (E
S
4π
(2.66)
∂uem
~ = −~j · E
~
+ ∇· S
∂t
(2.67)
Poynting-Theorem
2.3.4
Allgemeine Lösung
~ und B
~ lassen sich durch die Potentiale Φ und A
~ ausdrücken. Drückt man
Die Felder E
die inhomogenen Feldgleichungen dadurch aus, erhält man
~
1 ∂ ∇· A
∆Φ +
= −4πρ
c ∂t
~
1 ∂2A
1 ∂Φ
4π
~
~
∆A − 2 2 − ∇ ∇· A +
= − ~j
c ∂t
c ∂t
c
(2.68)
(2.69)
Da die Potentiale nicht eindeutig festgelegt ist folgende Trafo möglich
~ r, t) → A(~
~ r, t) + ∇Λ(~r, t)
A(~
1 ∂Λ(~r, t), t
Φ(~r, t) → Φ(~r, t) −
c
∂t
(2.70)
(2.71)
Zur Entkopplung wird die Lorentzeichung gewählt
~+
∇· A
1 ∂Φ
=0
c ∂t
(2.72)
Daraus ergeben sich die folgenden entkoppelten Gleichungen
1 ∂2Φ
c2 ∂t2
2~
~ r, t) − 1 ∂ A
∆A(~
c2 ∂t2
∆Φ(~r, t) −
= −4πρ(~r, t)
(2.73)
4π
ρ(~r, t)
c
(2.74)
= −
Überraschenderweise gibt es eine homogene und spezielle Lösung.
12. November 2001
Felix Spanier
24
2
Elektrodynamik
Theorie-Diplomprüfung
Homogene Lösung
Die homogene Lösung ist die Wellengleichung
∆Φhom = −~k 2
∂ 2 Φhom
= −ω 2
∂t2
(2.75)
d3 k (a1 (~k) + ia2 (~k)) exp[i(~k · ~r − ωt)]
(2.77)
(2.76)
Daraus folgt
Z
Φhom (~r, t) = Re
Retardierte Potentiale
Die retardierten Potentiale sind die partikulären Lösungen. Man erhält sie durch FourierTrafo
Z
exp(+iω|~r − ~r0 |/c)
Φω (~r) =
d3 r0 ρω (~r0 )
(2.78)
|~r − ~r0 |
Z
r0 |
r0 , t − |~r−~
3 0 ρ(~
c )
(2.79)
⇒ Φret (~r, t) =
d r
|~r − ~r0 |
Analog dazu für das Vektorpotential
~ ret (~r, t) = 1
A
c
Z
0
~j(~r0 , t − |~r−~r | )
c
d r
|~r − ~r0 |
3 0
(2.80)
Aus physikalischen Gründen wird nur die retardierte Lösung (mit Minuszeichen) verwendet, da avancierte Potentiale Ursache und Wirkung vertauschen. Anschaulich bedeuten
retardierte Potentiale, daß die beobachtete Ursachenzeit mit der Entfernung von der
Quelle zusammenhängt.
2.3.5
Kovarianz
In der kovarianten Formulierung wird der 4-Strom eingeführt:
(j α ) = (cρ, jx , jy , jz )
(2.81)
Aus dieser Definition folgt, daß die Ladung q Lorentzinvariant ist. In dieser Formulierung
lautet die Kontinuitätsgleichung
∂α j α (x) = 0
(2.82)
Felix Spanier
12. November 2001
Theorie-Diplomprüfung
2.3
Maxwell-Gleichung
25
Weiter definiert man das 4-Potential
(Aα ) = (Φ, Ax , Ay , Az )
4π α
⇒ 2Aα (x) =
j (x)
c
1 ∂2
2 = ∂β ∂ β = 2 2 − ∆
c ∂t
(2.83)
(2.84)
(2.85)
Relevant ist noch die Lorentz-Eichung
∂α Aα (x) = 0
(2.86)
Aus diesen Definitionen folgt der Feldstärketensor
F αβ = ∂ α Aβ − ∂ β Aα

0 −Ex −Ey −Ez
 Ex
0
−Bz By
= 
 Ey Bz
0
−Bx
Ez −By Bx
0
1 αβγδ
F̃ αβ =
Fγδ
2
(2.87)




(2.88)
(2.89)
Die Maxwell-Gleichungen lassen sich für physikalische Felder daher so formulieren
2.3.6
4π α
j
c
= 0
∂β F βα =
(2.90)
∂β F̃ βα
(2.91)
Relativistische Formulierung
Der Feldstärketensor ist ein Lorentz-Tensor zweiter Stufe, der entsprechend transformiert
wird
F0
αβ
0
= Λαγ Λβδ F γδ
F = ΛF Λ
~ 0k = E
~k
⇒E
T
~ 0 ⊥ = γ(E
~
~ ⊥ + v × B)
E
c
~ 0k = B
~k
B
~ 0 ⊥ = γ(B
~ ⊥ − v × E)
~
B
c
12. November 2001
(2.92)
(2.93)
(2.94)
(2.95)
(2.96)
(2.97)
Felix Spanier
26
2.4
2.4.1
2
Elektrodynamik
Theorie-Diplomprüfung
Wellen
Ebene Wellen
Ebene Wellen erfüllen die DGL
(∂x2 −
1 2
∂ )f (x, t) = 0
c2 t
~ r, t) = ReA~0 exp(i(±kx − ωt))
A(~
(2.98)
(2.99)
Durch Definition zweier richtungsabhängiger Vektoren erkennt man, daß man zwei Ausbreitungsrichtungen unterscheiden kann
ξ = x − ct
(2.100)
η = x + ct
1
= ∂x2 − 2 ∂t2
∂ξ∂η
c
(2.101)
∂2
(2.102)
Weiterhiin gilt
~ = 0
∇· A
~k ⊥ A
~
~
~ r, t) = − 1 ∂ A
E(~
c ∂t
~ r, t) = ∇× A
~
B(~
~ ⊥ ~k
⇒E
~ ⊥ ~k
B
(2.103)
(2.104)
(2.105)
(2.106)
(2.107)
(2.108)
Polarisation
Die komplexe Amplitude E~0 = ik A~0 kann in in Real- und Imaginärteil zerlegt werden
E~0 = a~1 + ia~2
= (b~1 + ib~2 ) exp(−iα)
b~1 · b~2 = 0
(2.109)
(2.110)
(2.111)
Aus den beiden erhaltenen Amplitudenvektoren und der Ausbreitungsrichtung läßt sich
ein orthogonales Koordinatensystem konstruieren. Die daraus resultierenden Lösungen
sind der Sinus und der Cosinus. Man kann linear, zirkular und elliptisch polarisiertes
Licht unterscheiden.
Felix Spanier
12. November 2001
Theorie-Diplomprüfung 2.5
Feld einer bewegten Punktladung
27
Energie und Impuls
2.5
2.5.1
a(t) = Rea0 exp(−iωt)
(2.112)
b(t) = Reb0 exp(−iωt)
1
ha(t)b(t)i =
Re(a0 b∗0 )
2
1 ~2 ~2
hE + B i
⇒ huem i =
8π
1 ~ ~ ∗
1 ~ ~ ∗
B0 B0 =
E0 E0
=
8π
8π
~ = c hE
~ × Bi
~
hSi
4π
~k
= huem ic
k
(2.113)
(2.114)
(2.115)
(2.116)
(2.117)
(2.118)
Feld einer bewegten Punktladung
Lienard-Wiechert-Potentiale
Bei der Betrachtung einer bewegten Punktladung ergeben sich folgende Ladungsdichte
und Ströme
ρ(~r, t) = q δ (~r − r~0 (t))
~j(~r, t) = q~r˙0 (t) δ (~r − r~0 (t))
Z
|~r − r~0 |
1
0
⇒ Φ(~r, t) = q dt0
)
δ (t − t +
|~r − r~0 |
c
Z
q
~r˙0
|~r − r~0 |
0
~
A(~r, t) =
dt0
)
δ (t − t +
c
|~r − r~0 |
c
(2.119)
(2.120)
(2.121)
(2.122)
(2.123)
Bei der Integration muß man folgende Rechenregel beachten
Z
0
0
0
dt g(t ) δ (f (t ) − α) =
12. November 2001
g(t0 )
df /dt0
(2.124)
f (t0 )=α
Felix Spanier
28
2
Elektrodynamik
Theorie-Diplomprüfung
Daraus ergeben sich dann die Lienard-Wiechert-Potentiale
Φ(~r, t) =
~ r, t) =
A(~
q
~ ret )~r˙0 (tret )
R(tret ) − 1c R(t
q
~r˙0 (tret )
(2.125)
(2.126)
~ ret )~r˙0 (tret )
c R(tret ) − 1 R(t
c
~ ret ) = ~r − r~0 (tret )
R(t
~
R = |R|
(2.127)
(2.128)
|~r − ~r0 (tret )|
tret = t −
c
R
c(t − tret )
µ
(R ) =
=
~
~r − r~0 (tret )
R
(2.129)
(2.130)
Im System des bewegten Teilchens ergibt sich erwartungsgemäß das Feld einer Punktladung
Die Berechnung der EM-Felder erfordert Kenntnis der Größen
∂tret
∂t
~2
∂R
∂tret
∂R
⇒
∂t
∂tret
∂t
,
∇tret
(2.131)
~
∂R
~ ~r˙0
= −2R
∂tret
~ ~r˙0 ∂tret
R
= =−
R ∂t
1
=
~
1 − ~n · β
~
= 2R
~n
1
~−1
c ~n · β
"
#
2)
~
(~
n
−
β)(1
−
β
~ r, t) = q
⇒ E(~
~ 3
R2 (1 − ~nβ)
(2.132)
(2.133)
(2.134)
∇tret =
(2.135)
tret
"
#
~ × β]
~˙
q ~n × [(~n − β)
+
~
c
R(1 − ~nβ)
~ 0 (~r, t) + E
~ a (~r, t)
= E
~ r, t) = ~n × E
~ 0 (~r, t) + ~n × E
~ a (~r, t)
B(~
~ 0 (~r, t) + B
~ 0 (~r, t)
= B
~
R
~n =
R
˙
~
~ = r0
β
c
Felix Spanier
(2.136)
tret
(2.137)
(2.138)
(2.139)
(2.140)
(2.141)
12. November 2001
Theorie-Diplomprüfung 2.5
2.5.2
Feld einer bewegten Punktladung
29
Strahlungsenergie
Bewegte Ladungen strahlen in das Raumwinkelelement Ω folgende Energie ab
dP
dΩ
=
=
=
=
dE
~n
= R2 S~
dtdΩ
cR2 ~
~
~n(E × B)
4π
cR2 ~
~ a)
~n(Ea × B
4π
~ × β]
~˙
q 2 ~n × [(~n − β)
4πc
~ 6
(1 − ~nβ)
(2.142)
(2.143)
(2.144)
(2.145)
Geht man auf die pro retardierter Zeiteinheit abgestrahlte Leistung an
dP 0
dΩ
=
dP ∂t
dΩ ∂tret
(2.146)
=
~ × β]
~˙
q 2 ~n × [(~n − β)
~ 5
4πc
(1 − ~nβ)
(2.147)
~
~nβ
β
~˙
~nβ
=
β̇
cos θ =
(2.148)
cos θ0
(2.149)
Nichtrelativistischer Grenzfall
β 1
dP
q 2 ~˙ 2 2 0
=
=
β sin θ
dΩ
dΩ
4πc
2q 2 ~˙ 2
Larmor-Formel P =
β
3c
dP 0
(2.150)
(2.151)
(2.152)
Beschleunigung und Geschwindigkeit parallel
~ k β
~˙
β
q 2 ~˙ 2
sin2 θ
dP
=
β
dΩ
4πc (1 − β cos θ)5
d dP
= 0
d cos θ dΩ
1 p
⇒ cos θmax =
( 15β 2 + 1 − 1)
3β
12. November 2001
(2.153)
(2.154)
(2.155)
(2.156)
Felix Spanier
30
2
Elektrodynamik
Theorie-Diplomprüfung
Relativistischer Übergang
Indem man nach einem Lorentz-Skalar sucht, der bei v → 0 in Gleichung 2.148 übergeht,
erhält man einen relativistischen Ausdruck für P
!
2q 2 6 ˙ 2 (~v × ~v˙ )2
P = 3 γ ~v −
(2.157)
3c
c2
Man kann nun zwei Spezialfälle untersuchen
 2 2
2
 2q3 γ 6 d~v = 2q22 3 d~p
dt
dt
3m c
3c
P =
 2q2 γ 4 d~v 2 = 2q2 γ 2 d~p 2
dt
dt
3m2 c3
3c3
2.5.3
~v k ~v˙
~v ⊥ ~v˙
(2.158)
Dipolstrahlung
Beim Hertz’schen Dipol wird ein umgrenztes Strom-/Ladungs-Gebiet angenommen,daß
zeitlich oszilliert
ρ(~r, t) = ρ(~r) exp(−iωt)
~j(~r, t) = ~j(~r) exp(−iωt)
Z
~j(~r0 , tret )
1
~
Aret (~r, t) =
d3 r
c
|~r − ~r0 |
~ r et(~r) exp(−iωt)
= A
Z
0
~ 0
~ r et(~r) = 1 d3 r j(~r ) exp(ik|~r − ~r |)
A
c
|~r − ~r0 |
~ r, t) = B(~
~ r)e−iωt
B(~
~ r) = ∇× A
~ ret (~r)
B(~
~ r, t) = E(~
~ r)e−iωt
E(~
~ r) =
E(~
i
~ r)
∇× B(~
k
(2.159)
(2.160)
(2.161)
(2.162)
(2.163)
(2.164)
(2.165)
(2.166)
(2.167)
Man nimmt jetzt die sogenannte Langwellennäherung (Dipolnäherung) an, bei der die
Exponentialfunktion durch 1 angenähert wird.
ikr Z
~ ret (~r) = 1 e
A
d3 r ~j(~r0 )
(2.168)
c r
∂ρ
∇· ~j = −
= iωρ
(2.169)
∂t
eikr
~ ret (~r) = −ik~
A
p
(2.170)
r
Z
p~ =
Felix Spanier
d3 r0 ~r0 ρ~r0
(2.171)
12. November 2001
Theorie-Diplomprüfung 2.5
Feld einer bewegten Punktladung
31
Daraus ergeben sich dann folgende Ergebnisse für die Felder
~ r) =
B(~
~ r) =
E(~
eikr 2
1
k (1 −
)(~n × p~)
r
ikr
1 1
eikr 2
k ((~n × p~) × ~n) + ( − ik)(3~n(~np~) − p~)
r
r r
(2.172)
(2.173)
Es gibt nun zwei Näherung: die Fernzone und die Nahzone
eikr 2
k (~n × p~)
r
~ = B
~ × ~n
E
~ = ik (~n × p~)
Nahzone B
r2
~ = 3~n(~np~) − p~
E
r3
~ =
Fernzone B
12. November 2001
(2.174)
(2.175)
(2.176)
(2.177)
Felix Spanier
32
Felix Spanier
2
Elektrodynamik
Theorie-Diplomprüfung
12. November 2001
3 Quantenmechanik
3.1
3.1.1
Wellenmechanik
Welle-Teilchen-Dualismus
Experimente haben gezeigt, daß Licht Teilcheneigenschaften besitzt (photoelektrischer
Effekt, p = λh ) und Teilchen auch Welleneigenschaften besitzen (de Broglie-Wellenlänge
λ = hp )
Da Photonen durch die Maxwell-Gleichung beschrieben werden
∇2 f −
1 ∂2φ
c2 ∂t2
= 0
Z
Z
h
i
3
φ(~r, t) =
d k
dω A(~k, ω) exp(i(~k · ~r − ωt))
(3.1)
(3.2)
⇒ ω 2 = k 2 c2
(3.3)
Aus dieser Gleichung kann man nun erste Ersetzungsregeln folgern
∂
∂xn
∂
∂t
= ikn
(3.4)
= −iω
(3.5)
⇒ pn = −ih̄
E = ih̄
∂
∂xn
∂
∂t
(3.6)
(3.7)
Aus diesen Gleichungen folgt die Impuls-Energie-Relation für Photonen E 2 = p2 c2 . Setzt
p2
man nun die Relation für nicht-relativistische Teilchen E = 2m
ein, so erhält man
ih̄
∂Ψ(~r, t)
h̄2
=−
∆Ψ(~r, t)
∂t
2m
(3.8)
Dies ist die freie Schrödinger-Gleichung für nicht-relativistische Teilchen. Sie ist linear
und homogen (Superpositionsprinzip) und in erster Ordnung in der Zeit.
33
34
3
3.1.2
Quantenmechanik
Theorie-Diplomprüfung
Klein-Gordon-Gleichung
Analog zur Herleitung der freien Schrödinger-Gleichung kann man mit der relativistische
Energie-Impuls-Relation E 2 = m2 c4 + p2 c2
− h̄2
∂2Ψ
∂t2
= −h̄2 c2 ∆Ψ + m2 c4 Ψ
(3.9)
(3.10)
Diese dreiste Gleichung ist zwar relativistisch, aber 2. Ordnung in der Zeit.
3.1.3
Interpretation
Ψ ist eine komplexe Wahrscheinlichkeitsamplitude. |Ψ|2 ist die Wahrscheinlichkeit, ein
Teilchen zu finden. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude erlaubt Interferenz, schließt aber
den Teilchencharakter nicht aus. Der Widerspruch zwischen Teilchen und Wellen ist
somit aufgelöst.
3.2
3.2.1
Schrödinger-Gleichung
Bewegungsgleichung im Schrödinger-Bild
Die Wellenfunktion soll die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im System beschreiben und
die zeitliche Entwicklung durch die Schrödinger-Gleichung gegeben sein. Dazu sollen
zwei Postulate erfüllt sein:
1. Ψ(t) ist vollst. Beschreibung des Systemzustands ⇒ dynam. Gleichung muß 1.
Ordnung in t sein
2. Das Superpositionsprinzip soll gelten ⇒ dynam. Gleichung muß linear in Ψ sein.
Aus diesen Postulaten folgt die Form der Schrödinger-Gleichung
ih̄
∂Ψ
= ĤΨ(t)
∂t
(3.11)
Dabei ist Ĥ der Hamilton-Operator, der für das System charakteristisch ist und außerdem linear ist. Betrachtet man nun ein Wellenpaket, so erhält man
h̄2
∆
(3.12)
2m
Der Hamilton-Operator kann aus dem korrespondierendem klassischen System durch
Übergang zu Operatoren gebildet werden. Der Übergang zum korrespondierenden
System ist nur in kartesischen Koordinaten gültig.
Ĥ = −
Felix Spanier
12. November 2001
Theorie-Diplomprüfung
3.2.2
3.2
Schrödinger-Gleichung
35
Norm
Da sich ein Teilchen irgendwo aufhalten muß, gilt
∞
Z
d3 x |Ψ(~x, t)|2 = 1
(3.13)
−∞
Betrachtet man nun die Normerhaltung
∂
|Ψ|2 =
∂t
−ih̄
⇒
Z
⇒
∂Ψ∗
∂t
∂
|Ψ|2
∂t
∂
(ΨΨ∗ )
∂t
∂Ψ
∂Ψ∗
= Ψ∗
+Ψ
∂t
∂t
= (ĤΨ)∗
1
1
= Ψ∗
ĤΨ + Ψ − (ĤΨ)∗
ih̄
ih̄
h
i
1
=
Ψ∗ ĤΨ − Ψ(ĤΨ)∗
Zih̄
d3 x Ψ∗ ĤΨ =
d3 x Ψ(ĤΨ)∗
(3.14)
(3.15)
(3.16)
(3.17)
(3.18)
(3.19)
Operatoren Ĥ, die diese Gleichung erfüllen heißen hermitesch der selbstadjungiert.
Kontinuitätsgleichung
Definition: Wahrscheinlichkeitsstrom
~j = Re( h̄ Ψ∗ ∇Ψ) = h̄ (Ψ∗ ∇Ψ − (∇Ψ)∗ Ψ)
im
2im
(3.20)
Daraus kann man nun die Kontinuitätsgleichung folgern
∇· ~j +
3.2.3
∂
|Ψ|2 = 0
∂t
(3.21)
Erwartungswerte
Z
hx̂i =
d3 x Ψ∗ x̂Ψ
= hΨ|x̂|Ψi
12. November 2001
(3.22)
(3.23)
Felix Spanier
36
3.2.4
3
Quantenmechanik
Theorie-Diplomprüfung
Operatoren
Rechenregeln
[Â, B̂] = −[B̂, Â]
(3.24)
[Â1 Â2 , B̂] = [B̂, Â1 ]Â2 + Â1 [B̂, Â2 ]
[Â, [B̂, Ĉ]] + [B̂, [Ĉ, Â]] + [Ĉ, [Â, B̂]] = 0
(3.25)
(3.26)
Drehimpulsoperator
~l = ~x × p~
⇒ ˆlx = ŷ p̂z − ẑ p̂y
[ˆli , ˆlj ] = ih̄ijk ˆlk
3.2.5
(3.27)
(3.28)
(3.29)
Ehrenfest-Theorem
Zeitliche Ableitung eines Operators F̂
d
hF i =
dt
d
dt
Z
=
Z
=
=
Z
d3 x Ψ∗ F̂ Ψ
(3.30)
d3 x [Ψ̇∗ F̂ Ψ + Ψ∗ F̂ Ψ̇]
(3.31)
i
i
d3 x [ Ĥ ∗ Ψ∗ F̂ Ψ + Ψ∗ F̂ (− ĤΨ)]
h̄
h̄
(3.32)
i
h[Ĥ, F̂ ]i
h̄
(3.33)
Der letzte Schritt kann gemacht werden, wenn man einen zeitlich unabhängigen Operator
F̂ annimmt, ansonsten gilt
∂ F̂
i
d
hF i = h
+ h[Ĥ, F̂ ]ii
dt
∂t
h̄
(3.34)
Weiterhin steckt in de Überlegung die Tatsache, daß Ĥ hermitesch ist.
Wollen wir nun die Analogie zur klassische Mechanik bilden, so müssen wir die Erwar-
Felix Spanier
12. November 2001
Theorie-Diplomprüfung
3.2
Schrödinger-Gleichung
37
tungswerte von Impuls und Ort berechnen
h̄ ∂V
i ∂xk
d
∂V
⇒ hpk i = h
i
dt
∂xk
d
pk
hxk i = h i
dt
m
∂V
d2
i
⇒ 2 hxi = h
dt
∂xk
[Ĥ, p̂k ] = −
(3.35)
(3.36)
(3.37)
(3.38)
Die Erwartungswerte quantenmechanischer Größen verhalten sich also wie klassische
Größen.
3.2.6
Unschärferelation
Definition der Unschärfe
∆x =
p
=
p
h(δx)i2
hx2 i
−
(3.39)
hxi2
(3.40)
x̃ = x − hxi
(3.41)
Herleitung der Relation über
Z
+∞
0 ≤ I(λ) =
dx|x̃Ψ + iλp̃Ψ|2
−∞
2
⇒ λ1,2
= λ (∆p)2 − h̄λ + (∆x)
v
u
u h̄2
h̄
(∆x)2
u
=
±
−
4
2
2(∆p)2 u
t|4(∆p) {z (∆p) }
(3.42)
(3.43)
(3.44)
≤0
⇒ (∆px )(∆x) ≥
h̄
2
(3.45)
Aus Minimumsüberlegung und der Unschärferelation können Nullpunktsenergien gewonnen werden (Atom, HO).
Allg. Unschärferelation
1
∆A · ∆B ≥ |h[A, B]i|
2
12. November 2001
(3.46)
Felix Spanier
38
3
3.2.7
Quantenmechanik
Theorie-Diplomprüfung
Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
Seperationsansatz für die Wellenfunktion
Ψ(x, t) = Φ(x)f (t)
∂f
= f ĤΦ(x)
⇒ ih̄Φ
∂t
1
1 ∂f
=
ĤΦ(x) = E
⇒ ih̄
f ∂t
Φ
(3.47)
(3.48)
(3.49)
ĤΦ = EΦ
(3.50)
iEt
f (t) = exp(−
)
h̄
(3.51)
Dies ist nun eine Eigenwertgleichung, die ja ohnehin jeder lösen kann. Es ist weiterhin
von Vorteil, daß die Seperationskonstante E die Energie des Systems beschreibt.
3.3
1D-Quantensystem
Für reale Systeme gilt folgende Form der (zeitunabhängigen) Schrödignergleichung
d2 Ψ 2m
+ 2 [E − V (x)]Ψ = 0
dx2
h̄
(3.52)
Zur Lösung dieser Gleichung müssen Randbedingungen beachtet werden
1. Stetigkeit und Eindeutigkeit
2. Differenzierbar (außer an Unstetigkeitsstellen von V )
3. Normierbar
Felix Spanier
12. November 2001
Theorie-Diplomprüfung
3.3.1
3.3
1D-Quantensystem
39
Potentialtopf
V
⇒ ΨII


V0
=
0


V0
x≤0
0<x<a
x≥a
d2 Ψ
− κ2 Ψ = 0
dx2
r
(3.53)
(3.54)
2m(V0 − E)
(3.55)
h̄2
(
B exp −κx
x>a
⇒ ΨII =
(3.56)
A exp(+κx) x < 0
1
Eindringtiefe ∆x =
(3.57)
κ
κ kann angenähert werden, wenn man annimmt, daß die Potentialbarriere größer als
die kinetische Energie ist. Für diesen Fall kann man auch einfach die Lösung im Topf
angeben
κ =
n2 π 2 h̄2
2ma2
nπx
Ψn (x) = An sin(
)
a
r
2
An =
a
En =
3.3.2
(3.58)
(3.59)
(3.60)
Harmonischer Oszillator
−
12. November 2001
h̄2 d2 Ψ 1
+ mω 2 x2 Ψ = EΨ
2m dx2
2
1 h̄ d
Absteigeoperator â− = √ (
− imωx)
2m i dx
1 h̄ d
Aufsteigeoperator â+ = √ (
+ imωx)
2m i dx
⇒ a− a+ − a+ a− = h̄ω
1
⇒ (a+ a− + h̄ω)Ψ = EΨ
2
1
(a+ a− + h̄ω)(a+ Ψ) = (E + h̄ω)(a+ Ψ)
2
1
Nullpunktsenergie E0 =
h̄ω
2
mω 1
2
4 − mωx
e 2h̄
Ψ0 (x) =
πh̄
(3.61)
(3.62)
(3.63)
(3.64)
(3.65)
(3.66)
(3.67)
(3.68)
Felix Spanier
40
3
Quantenmechanik
Theorie-Diplomprüfung
Bei Lösung über einen Potenzreihenansatz erhält man die Hermite-Polynome (s. 1.6.2).
Nullpunktsenergie
hEi = hĤi
h̄2
hp2 ihx2 i ≥
4
∂E
= 0
∂hp2 i
mωh̄
⇒ hp2 i =
2
1
⇒ hE0 i =
h̄ω
2
3.3.3
(3.69)
(3.70)
(3.71)
(3.72)
(3.73)
Potentialstufe
√
2m(E−V0 )
Ähnlich dem Potentialtopf. Wellenvektoren k =
berechnen, Lösung einseth̄
zen, Stetigkeit beachten. Transmissions- und Reflektionskoeffizienten berechnen. Strom
h̄
j = Re( im
Ψ∗ ∂Ψ
∂x ) berechnen.
Unendl. hohe Potentialstufe
Lsg. in der Stufe exponentiell abfallend.
3.4
3.4.1
Näherungsverfahren
Ricatti-Glrichung
Wählt man für die zeitunabhängige, eindimensionale Schrödinger-Gleichung den Ansatz
h̄2 00
φ (x) + [E − V (x)]φ(x) = 0
2m
iS(x)
)
h̄
= 2m[E − V (x)] + ih̄S 00 (x)
φ(x) = exp(
⇒ S 0 (x)2
Felix Spanier
(3.74)
(3.75)
(3.76)
12. November 2001
Theorie-Diplomprüfung
3.5
Allgemeine Formulierung
41
Läßt man nun h̄ → 0 gehen (was dem Übergang in die klassische Mechanik entspricht),
so erhält man
S00 (x)2 = 2m[E − V (x)] = p(x)2
Z
p
S0 (x) = ± dx 2m[E − V (x)]
Z
= ± dxp(x)
3.4.2
(3.77)
(3.78)
(3.79)
WKB-Methode
Ausgehend von der Ricatti-Gleichung kann man S nun nach Potenzen von h̄ entwickeln.
In erster Ordnung erhalten wir die WKB-Näherung
Z
const.
i
φ(x) ≈ p
exp(±
dxp(x))
(3.80)
h̄
|p(x)|
Diese Näherung ist gültig, wenn
|
dV
m|h̄ p3
dx
(3.81)
Anwendungen
Potentialbarriere Hier beschreibt die WKB-Näherung nur Teilchen ohne Reflexion
Penetrabilität Durchlässigkeit von beliebig geformten Potentialbarrieren
p
h̄κ =
2m(V (x) − E)
Z x2
T ≈ exp −
dx κ(x)
(3.82)
(3.83)
x1
Alphazerfall Berechnung der Tunnelwahrscheinlichkeit im Coulomb-Potential
!
r
Z
2Ze2
2 Ra
− Eα )
P = exp −
dr 2M (
r
h̄ R0
3.5
3.5.1
(3.84)
Allgemeine Formulierung
Ket-Vektor
Zustände werden durch Elemente des Hilbertraums ausgedrückt. Ket-Vektoren |Ψi sind
solche Elemente. Physikalische Größen werden durch Operatoren auf diese Zustände
ausgedrückt Â|Ψi
12. November 2001
Felix Spanier
42
3.5.2
3
Quantenmechanik
Theorie-Diplomprüfung
Metrik
Um eine Metrik einzuführen benötigt man einen dualen Vektorraum, hier die BraVektoren hΨ|
Rechenregeln
ha|bi
=
hb|ai∗
(3.85)
|bi
=
Â|ai
(3.86)
⇒ hb| = ha|†
hermitesch ha|Â
†
=
(3.87)
ha|Â
(3.88)
Für hermitesche Operatoren gibt es nur reelle Eigenwerte. Weiterhin gilt
(ÂB̂)† = B̂ † †
(3.89)
(3.90)
3.5.3
Basis
Es gibt eine orthogonale, normierte Basis des Hilbertraums
X
|ai =
hn|ai|ni
(3.91)
n
Für die Basis gilt
X
3.5.4
hn|mi = δnm
(3.92)
|nihn| = 1
(3.93)
Operatoren
Für die Darstellung von Operatoren gilt
F̂ |am i = |ϕm i = |F̂ am i
X
|ϕm i =
|an ihan |F̂ |am i
(3.94)
(3.95)
n
=
X
|an iFnm
(3.96)
n
Ĉ = F̂ · Ĝ
X
⇒ Cmn =
Fml Gln
(3.97)
(3.98)
l
Es gilt außerdem das Baker-Campbell-Hausdorff-Theorem
exp(Â + B̂) = exp(−[Â, B̂]/2) exp(Â) exp(B̂)
Felix Spanier
(3.99)
12. November 2001
Theorie-Diplomprüfung
3.5.5
3.5
Allgemeine Formulierung
43
Eigenwertgleichung
Wie im vorherigen Abschnitt beschrieben, kann man Operatoren als Matrizen schreiben,
somit kann man auch die zugehörigen Gleichungen als Eigenwertgleichungen in MatrixForm schreiben.
Zu beachten sind sog. entartete Eigenwerte, zu denen mehrere linear unabhängige Eigenzustände existieren. Aber auch diesen Eigenwerten lassen sich Orthonormalsysteme
erzeugen und zwar mit Hilfe des Schmidt’schen Orthonormalisierungsverfahren.
3.5.6
Unitäre Transformationen
Unitäre Transformationen dienen dem Wechsel der Darstellungsform von Operatoren.
Nehmen wir nun die Eigenzustände des Operator L̂ (Ψn ) und zum Operator M̂ (Φν )
an, so existieren zum Operator F̂ unterschiedliche Matrixelemente in den beiden System
(Fmn und Fµν ).
hµ| =
X
hm|µi =
X
Snµ hn|
(3.100)
Snµ hm|ni
(3.101)
Snµ δmn
(3.102)
n
n
=
X
n
⇒ Fµν
= Smµ
X
X
∗
=
Snµ
hn|F̂
Smν |mi
n
=
(3.104)
m
XX
n
⇒ F̂M
(3.103)
∗
Snµ
hn|F̂ |miSmν
(3.105)
m
= S † F̂L S
(3.106)
Es muß gelten S ∗ = S † , S muß also unitär sein, da gilt
δµν
= hµ|νi
X
X
∗
=
Smµ
hm|
§nν |ni
m
=
=
12. November 2001
XX
(3.107)
(3.108)
n
∗
Smµ
Snν δmn
m n
(S † S)µν
(3.109)
(3.110)
Felix Spanier
44
3
3.5.7
Quantenmechanik
Theorie-Diplomprüfung
Meßprozeß
Der Zustand eines Systems zur Zeit t0 wird durch |Ψ(t0 )i beschrieben. Meßbare Größe
werden durch Operatoren beschrieben, die auf die Zustände wirken. Im allgemeinen wird
der Zustand durch den Meßprozeß verändert, außer es handelt sich um einen Eigenzustand.
Ob zwei Größen gleichzeitig meßbar sind, hängt davon ab, ob ihr Kommutator verschwindet.
3.5.8
Unterschiedliche Darstellungen
Schrödinger-Bild
Im Schrödinger-Bild sind die Zustände zeitabhängig, der Hamilton-Operator ist zeitunabhängig.
ih̄
∂
|ΨS (t)i = Ĥ|ΨS i
∂t
i
|ΨS (t)i = e h̄ Ĥ(t−t0 ) |ΨS (t0 )i
(3.111)
(3.112)
= Ŝ(t, t0 )|ΨS (t0 )i
(3.113)
Hieraus kann man die zeitliche Entwicklung eines Operators ablesen
d
∂ F̂S
1
hΨS (t)|F̂S |ΨS (t)i = hΨS (t)|
|ΨS (t)i + hΨS (t)|F̂S Ĥ − Ĥ F̂S |ΨS (t)i
dt
∂t
ih̄
(3.114)
Der Kommutator in der vorhergehenden Gleichung stammt aus dem Ehrenfest-Theorem.
F̂s ist zeitunabhängig und kommutiert mit Ĥ, daher sind alle Matrixelemente Konstanten
der Bewegung.
Heisenberg-Bild
Im Heisenberg-Bild steckt die Zeitentwicklung in den Operatoren. Der Übergang vom
Schrödinger- zum Heisenberg-Bild geschieht unter zur Hilfenahme eines unitären Operators.
i
S = exp[− Ĥ(t − t0 )]
h̄
hΨS |F̂S |ΨS i = hΨH |F̂H |ΨH i
F̂H
⇒
Felix Spanier
dF̂H
dt
†
= S F̂S S
=
i
∂ F̂
[F̂H , Ĥ] + ih̄
h̄
∂t
(3.115)
(3.116)
(3.117)
(3.118)
12. November 2001
Theorie-Diplomprüfung
3.5
Allgemeine Formulierung
45
Wechselwirkungsbild
Nehmen wir ein System an, in dem der Hamilton-Operator einen zeitlich variablen und
ein zeitlich unabhängigen Anteil hat.
Ĥ = Ĥ0 + Ŵ (t)
⇒ ih̄
∂
|ΨS (t)i = (Ĥ0 + Ŵ )|ΨS (t)i
∂t
i
|ΨD (t)i = e h̄ Ĥ0 (t−t0 ) |ΨS (t)i
(3.119)
(3.120)
(3.121)
†
(3.122)
†
(3.123)
= S (t, t0 )|ΨS (t)i
F̂D = S F̂S S
Für Ŵ = 0 geht das Dirac-Bild in das Heisenbergbild über.
ih̄
∂
|ΨD (t)i = ŴD |ΨD (t)i
∂t
WD = S † Ŵ S
dF̂D
dt
3.5.9
=
1
∂ F̂D
[F̂D , Ĥ0 ] +
ih̄
∂t
(3.124)
(3.125)
(3.126)
Operatormechanik
Die Operatormechanik ist formell identisch mit der klassischen Hamilton-Gleichung. Ihr
Ursprung ist das Ehrenfest-Theorem.
dF̂H
=
dt
⇒ x̂˙ =
p̂˙ =
∂ F̂H
1
+ [F̂H , Ĥ]
∂t
ih̄
1
[x̂, Ĥ]
ih̄
1
[p̂, Ĥ]
ih̄
(3.127)
(3.128)
(3.129)
(3.130)
12. November 2001
Felix Spanier
46
3.5.10
3
Quantenmechanik
Theorie-Diplomprüfung
Allgemeine Unschärferelation
Schwarz-Ungleichung hg|f i2 ≤ hg|gihf |f i
2
(3.131)
2
∆A = (hA i − hAi )
1
2
(3.132)
à = A − hAi
2
|hΨ|ÃB̃|Ψi|
(3.133)
2
2
≤ hΨ|Ã |ΨihΨ|B̃ |Ψi
2
(3.134)
2
= (∆A) (∆B)
ÂB̂ =
=
⇒
3.6
3.6.1
ÂB̂ + B̂ Â
2
≥
(3.135)
ÂB̂ + B̂ Â ÂB̂ − B̂ Â
+
2
2
ÂB̂ + B̂ Â ih̄
+
2
2
2
h̄
4
(3.136)
(3.137)
(3.138)
3D-Quantensysteme
Schrödinger-Gleichung in Kugelkoordinaten
Unter Verwendung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung führen wir Kugelkoordinaten ein
1 ∂ 2∂
L̂2
(r
)
−
r2 ∂r
∂r
r2 h̄2
(3.139)
h̄2
∂
∂
∂2
= −
sin ϑ (sin ϑ ) +
2m
∂ϑ
∂ϑ
∂ϕ2
(3.140)
∆ =
3.6.2
Drehimpuls
2
L̂
L̂± = L̂x ± iL̂y
L̂+ L̂− =
L̂2x
2
= L̂
+ L̂2y
− L̂2z
(3.141)
+ i[L̂y , L̂x ]
(3.142)
+ h̄L̂z
(3.143)
[L̂i L̂j ] = ih̄ijk L̂k
(3.144)
Die zuletzt angeführten Regeln für Drehimpulse gelten für jede Art von Drehimpuls
(die Vertauschungsregel definiert eine Größe als Drehimpuls). Die Größe L̂2 kommutiert
mit jeder einzelnen Komponente des Drehimpulses, bildet also ein System gleichzeitg
meßbarer Eigenwerte.
[L̂2 , L̂2i ] = 0
2
⇒ [L̂ , L̂± ] = 0
Felix Spanier
(3.145)
(3.146)
12. November 2001
Theorie-Diplomprüfung
3.6
3D-Quantensysteme
47
L̂2 f
= λf
(3.147)
L̂z f
= µf
(3.148)
L̂z (L̂± f ) = (µ ± h̄)(L̂± f )
(3.149)
Weiterhin gilt
2
L̂± L̂∓ = L̂ ± h̄L̂z ∓ h̄L̂z
2
⇒ L̂ f
= (L̂− L̂+ +
L̂2z
+ h̄L̂z )f
2
= h̄ l(l + 1)f
(3.150)
(3.151)
(3.152)
Die Eigenwerte von L̂z sind die h̄m, für L̂2 sind es die l(l + 1)h̄2 . Es gilt −l ≤ m ≤ l.
In Ortsdarstellung gilt
Lx =
Ly =
Lz =
h̄
∂
∂
− sin φ
− cos φ
i
∂θ
tan θ ∂φ
h̄
∂
∂
+ cos φ
− sin φ
i
∂θ
tan θ ∂φ
h̄ ∂
i ∂φ
(3.153)
(3.154)
(3.155)
Die Eigenfunktionen des Drehimpulses sind die Kugelfunktionen.
Ylm (ϑ, ϕ) = Nlm Plm (cos ϑ)eimϕ
s
2l + 1 (l − m)!
Nlm =
4π (l + m)!
⇒ |Ylm |2 = 1
(3.156)
(3.157)
(3.158)
Es kann ganz- und halbzahlige l geben (Spin)
Spin
Quantenmechanische Teilchen haben einen zusätzlichen Freiheitsgrad, den Spin. Er besitzt kein klassisches Analogon. Der Nachweis des Spins geschieht meist über den SternGerlach-Versuch, den Einstein-de-Haas-Versuch und den Zeeman-Effekt. Man unterscheidet Teilchen mit ganz-(Bosonen) oder halbzahligen (Fermionen) Spin. Für Fermionen gibt es nur die Spin-Einstellung ± 21 h̄ und die Quantenzahlen s = 12 , ms = ± 22 . In
12. November 2001
Felix Spanier
48
3
Quantenmechanik
Theorie-Diplomprüfung
den angegebenen Beispielen werden Fermionen behandelt.
1 1
| , i = |+i
2 2
1 1
| , − i = |−i
2 2
3h̄2
|±i
Ŝ 2 |±i =
4
1
Ŝz |±i = ± h̄|±i
2
1
Spinore χ(+) =
0
0
χ(−) =
1
3h̄2 1 0
⇒ Ŝ 2 =
0 1
4
h̄ 1 0
Ŝz =
2 0 −1
0 1
Ŝ+ = h̄
0 0
0 0
Ŝ+ = h̄
1 0
h̄ 0 1
⇒ Ŝx =
2 1 0
h̄ 0 −i
⇒ Ŝy =
2 i 0
(3.159)
(3.160)
(3.161)
(3.162)
(3.163)
(3.164)
(3.165)
(3.166)
(3.167)
(3.168)
(3.169)
(3.170)
Drehimpulsaddition
Drehimpulse werden über die Clebsch-Gordon-Koeffizienten addiert.
|j1 , j2 , J, M i =
X
m1 ,m2
J
M
|j1 , m1 ; j2 , m2 i hj1 , m1 ; j2 , m2 |J, M i
|
{z
}
(3.171)
CG-Koeffizienten
= |j1 − j2 |, . . . , j1 + j2
(3.172)
= m1 + m2 = −J, . . . , J
(3.173)
Die CG-Koeffizienten kann man über Leiteroperatoren geschickt ausrechnen. Zwei wichtige Spezialfälle sind
Felix Spanier
12. November 2001
Theorie-Diplomprüfung
3.6
3D-Quantensysteme
49
Spin-Bahn-Kopplung
Jˆ = L̂ + Ŝ
(3.174)
1
1
1
1
|l, , l + , M i = α|l, M − ; +i + β|l, M + ; −i
2
2
2
2
1
1
1
1
|l, , l − , M i = α0 |l, M − ; +i + β 0 |l, M + ; −i
2
2
2
2
α2 + β 2 = 1
02
02
0
0
α +β
αα
1
Jˆ2 |l, , l +
2
(3.175)
(3.176)
(3.177)
= 1
(3.178)
+ ββ = 0
1
1
3
1
1
, M i = h̄2 (l + )(l + )|l, , l + , M i
2
2
2
2
2
Jˆ2 = L̂2 + Ŝ 2 + 2L̂z Ŝz + L̂+ Ŝ− + L̂− Ŝ+
1
1
1
⇒ |l, , l± , M i = √
2
2
2l + 1
r
1
1
± l + ± M |l, M − ; +i +
2
2
r
(3.180)
(3.181)
!
1
1
l + ∓ M |l, M + ; −i
2
2
(3.182)
Spin-Spin-Kopplung Ähnlich der Spin-Bahn-Kopplung nur viel einfacher
1 1
| , , 1, 1i = |+, +i
2 2
1 1
1
| , , 1, 0i = √ (|+, −i + |−, +i)
2 2
2
1 1
| , , 1, −1i = |−, −i
2 2
1 1
1
| , , 0, 0i = √ (|+, −i − |−, +i)
2 2
2
3.6.3
(3.179)
(3.183)
(3.184)
(3.185)
(3.186)
Zentralfelder
V (~r) = V (r)
2
h̄
∂
2
2mr ∂r
1
L̂2 Ψn = (E − V (r))Ψn
2mr2
Ψn = R(r)Ylm (ϑ, ϕ)
2
2
2mr
h̄
∂
∂
⇒−
r2 R(r) −
l(l + 1)R = (E − V (r))R(r)
2mr2 ∂r
∂r
h̄2
u(r)
R(r) =
r
h̄2 l(l + 1)
h̄2 d2 u
u = Eu
−
+ V (r) +
2m dr2
2m r2
|
{z
}
−
r2
∂
Ψn
∂r
(3.187)
+
(3.188)
(3.189)
(3.190)
(3.191)
(3.192)
Vef f
12. November 2001
Felix Spanier
50
3
Quantenmechanik
Theorie-Diplomprüfung
Coulomb-Felder
V (r) = −
Ze2
r
(3.193)
(3.194)
Wir betrachten zuerst Zustände mit E < 0
r
8µE
ρ =
− 2 r
h̄
r
2
Ze
µc2
λ =
−
h̄c
2E
(n − l − 1)!(2l + 1)! 2l+1
⇒ unl = e−ρ/2 ρl+1
Ln−l−1 (ρ)
((n + l)!)2
p
X
((p + k)!)2
k
Lp (ρ) =
(−1)i
ρi
(p − i)!(k + i)!i!
(3.195)
(3.196)
(3.197)
(3.198)
i=0
Der Radialanteil des Problems wird mit Hilfe der Laguerre-Polynome beschrieben.
Wasserstoffatom
Es liegt ein Coulomb-Feld vor, daher auch Lösung wie oben beschrieben mit Kugelflächenfunktionen und den Laguerre-Polynomen. Zu den Zuständen gehören bestimmte
Energien und Radien
h̄2
me2
e2 Z 2
= −
aB 2n2
aB =
(3.199)
En
(3.200)
Die Energiezustände sind 2n2 -fach entartet, d.h. zu jedem Energieeigenwerte gibt es
mehrere Zustände.
3.6.4
Identische Teilchen
Bei der Betrachtung identischer Teilchen muß beachtet werden, ob es sich um Bosonen
oder Fermionen handelt. Hieran erkennt man, ob die Wellenfunktionen symetrisch oder
antisymetrisch sein müssen.
Aus der Antisymetrie fü Fermionen folgt das Pauli-Prinzip. Bei Fermionen muß die
sogenannte Slater-Determinante 0 sein.
Felix Spanier
12. November 2001
Theorie-Diplomprüfung
3.7
3.7.1
3.7
Störungstheorie
51
Störungstheorie
Zeitunabhängige Störungstheorie
In der Zeitunabhängigen Störungstheorie geht man von einem ungestörten HamiltonOperator H 0 und einer Störung H 0 aus.
Ĥ 0 |Ψ0n i = En0 |Ψ0n i
0
Ĥ = Ĥ + λH
|Ψn i =
En =
(3.201)
0
(3.202)
|Ψ0n i + λ|Ψ1n i + λ2 |Ψ2n i +
En0 + λEn1 + λ2 En2 + . . .
...
(3.203)
(3.204)
Setzt man diese Ausdrücke in die Schrödinger-Gleichung und ordnet die Ausdrücke nach
Potenzen von λ, so erhält man
(H 0 + λH 0 )(Ψ0n + λΨ1n + . . . ) = (En0 + λEn1 + . . . )(Ψ0n + λΨ1n + . . . ) (3.205)
H 0 Ψ0n + λ(H 0 Ψ1n + H 0 Ψ0n ) + λ2 (H 0 Ψ2n + H 0 Ψ1n ) + . . .
= En0 Ψ0n + λ(En0 Ψ1n + En1 Ψ0n ) + λ2 (En0 Ψ2n + En1 Ψ1n + En2 Ψ0n ) (3.206)
Man betrachtet nun die einzelnen Ordnungen und läßt λ → 1 gehen. In nullter Ordnung
erhält man erwartungsgemäß das ungestörte Problem.
Erste Ordnung
H 0 Ψ1n + H 0 Ψ0n = En0 Ψ1n + En1 Ψ0n
hΨ0n |H 0 Ψ1n i
+ hΨ0n |H 0 Ψ0n i
hΨ0n |H 0 Ψ1n i
=
=
=
=
⇒
En1
=
En0 hΨ0n |Ψ1n i +
hH 0 Ψ0n |Ψ1n i
hEn0 Ψ0n |Ψ1n i
En0 hΨ0n |Ψ1n i
hΨ0n |H 0 |Ψ0n i
En1 hΨ0n |Ψ0n i
(3.207)
(3.208)
(3.209)
(3.210)
(3.211)
(3.212)
Dies ist ein offensichtlich interessantes Ergebnis, denn die Störung der Energie entspricht
dem ungestörten Erwartungswert der Störung. Im nächsten Schritt wollen wir noch den
12. November 2001
Felix Spanier
52
3
Quantenmechanik
Theorie-Diplomprüfung
gestörten Zustand bestimmen.
(H 0 − En0 )Ψ1n = −(H 0 − En1 )Ψ0n
X
(n) 0
Ψ1n =
cm
Ψm
(3.213)
(3.214)
m6=n
X
0
(Em
m6=n
X
−
= −(H 0 − En1 )Ψ0n
0
En0 )c(n)
m Ψm
(3.215)
0
0
0
0
0
0
1
0
0
(Em
− En0 )c(n)
m hΨl |Ψm i = −hΨl |H |Ψn i + En hΨl |Ψn i
(3.216)
m6=n
hΨ0m |H 0 |Ψ0n i
0
En0 − Em
X hΨ0 |H 0 |Ψ0 i
m
n
Ψ0m
0
En0 − Em
⇒ c(n)
=
m
Ψ1n =
(3.217)
(3.218)
m6=n
Zweite Ordnung
hΨ0n |H 0 Ψ2n i + hΨ0n |H 0 Ψ1n i = En0 hΨ0n |Ψ2n i + En1 hΨ0n |Ψ1n i + En2 hΨ0n |Ψ0n i (3.219)
⇒ En2 = hΨ0n |H 0 |Ψ1n i − En1 hΨ0n |Ψ2n i
X hΨ0 |H 0 |Ψ0 ihΨ0 |H 0 |Ψ0 i
m
n
n
m
=
0
En0 − Em
(3.220)
(3.221)
m6=n
Entartete Eigenzustände
Bisher sind wir davon ausgegangen, daß die Eigenzustände nicht entartet sind. Bei einem
gestörten System kann die Entartung aufgehoben werden. Zur Lösung des Problems wird
eine weitere Quantenzahl herangezogen, in diesem Beispiel die Drehimpulsquantenzahl.
⇒ hnl|Ĥ0 −
En0 |nk 1 i
0
0
Ĥ0 |nli = En0 |nli
(3.222)
Ĥ|nki = Enk |nki
(3.223)
1
Enk
hnl|nk 0 i
+ hnl|Ĥ |nk i −
= 0
n
X
1
⇒
ckl hnl|Ŵ |n¯li = ckl Enk
(3.224)
(3.225)
l̄=1
Die ckl bilden ein lineares Gleichungssystem
0
H11 − Enk
W12
...
W1N
W21
W
−
E
.
.
.
W
22
2N
nk
..
..
.
.
WN 1
WN N − Enk Felix Spanier
(3.226)
12. November 2001
Theorie-Diplomprüfung
3.7.2
3.7
Störungstheorie
53
Zeitabhängige Störungstheorie
Im Gegensatz zur zeitunabhängigen Störungstheorie nehmen wir nun einen zeitunabhängigen Hamilton-Operator mit zeitabhängiger Störung an
Ĥ = Ĥ0 + V̂ (t)
Ĥ0 Ψ0k
Ψ0k (t)
ih̄
(3.227)
Ek0 Ψ0k
i 0
Ψ0k e− h̄ Ek t
=
=
(3.228)
(3.229)
∂
Ψ = (H0 + V̂ (t))Ψ
∂t
X
Ψ(t) =
ck (t)Ψ0k (t)
(3.230)
(3.231)
k
X
i 0
∂ X
ih̄
ck (t)Ψ0k (t) =
V̂ (t)ck (t)e− h̄ Ek t Ψ0k
∂t
k
k
X
i 0
∂ X
ih̄
ck (t)hΨ0n |Ψ0k i =
ck (t)e− h̄ Ek t hΨ0n |V̂ (t)|Ψ0k i
∂t
k
k
dcn
1 X
⇒
=
ck (t)eiωnk t Vnk (t)
dt
ih̄
(3.232)
(3.233)
(3.234)
k
h̄ωnk = En − Ek
hΨ0n |V̂
Vnk =
(3.235)
(t)|Ψ0k i
(3.236)
Dies ist soweit die exakte Lösung der zeitabhängigen Störungstheorie. Im nächsten
Schritt wollen wir eine Näherung machen.
Fermis Goldene Regel
Wenn die Störung klein ist, wählen wir einen Ansatz wie in der zeitunabhängigen Theorie
V
→ λV
(3.237)
cn →
λ0 c0n
ċ0n
=
ċ1n
=
ċj+1
n
=
0
1 X 0 iωnk t
ck e
Vnk
ih̄
k
1 X j iωnk t
ck e
Vnk
ih̄
+
λ1 c1n
+
λ2 c2n
+ ...
(3.238)
(3.239)
(3.240)
(3.241)
k
12. November 2001
Felix Spanier
54
3
Quantenmechanik
Theorie-Diplomprüfung
Wir nehmen nun an, daß sich das System zu Beginn im Zustand m befindet
c0k = δkm
1 iωnm t
e
Vnm
⇒ ċ1n =
ih̄
Z t
1
⇒ c1n =
dt0 eiωnm t Vnm + δnm
ih̄ 0
(3.242)
(3.243)
(3.244)
Im nächsten Schritt nehmen wir das Potential als zeitlich begrenzt an.
c1n (t
> T) =
=
W (ω) =
V (t) =
⇒ c1n =
=
Pnm =
Z
1 T 0 iωnm t
dt e
Vnm
ih̄ 0
Z +∞
1
dt0 eiωnm t Vnm
ih̄ −∞
Z +∞
1
√
dteiωt V (t)
2π −∞
Z +∞
1
√
dωe−iωt W (ω)
2π −∞
Z +∞
Z +∞
1
√
dω
dt0 ei(ωnm −ω)t Wnm (ω)
2πih̄ −∞
−∞
√
2π
Wnm (ωnm )
ih̄
|c1n |2
(3.245)
(3.246)
(3.247)
(3.248)
(3.249)
(3.250)
(3.251)
Diese Übergangswahrscheinlichkeit ist Fermis Goldene Regel. Deutlich zu erkennen ist
der Resonanzübergang für die Frequenzen.
3.7.3
Anwendungen
Feinstruktur
Es gibt mehrere Effekte, die zur Korrektur im Wasserstoff beitragen
Bohr Energie
Feinstruktur
Lamb Shift
Hyperfeinstruktur
α2 mc2
α4 mc2
α5 mc2
(m/mp )α4 mc2
Tabelle 3.1: Korrekturen im Wasserstoffatom
Felix Spanier
12. November 2001
Theorie-Diplomprüfung
3.7
Störungstheorie
55
Relativistische Korrektur Bei der Betrachtung des Hamilton-Operators für das
Wasserstoff-Atom erkennt man, daß man sich Gedanken über relativistische Korrekturen
machen sollte.

T

1
= mc2  q
1−
=
≈
⇒ Hr0 =
Er1 =
=
p̂2 Ψ =
Er1 =
=
En =
Erl =
v 2
c
− 1
p
p2 c2 + m2 c4 − mc2
p4
p2
−
+ ...
2m 8m3 c2
p̂4
− 3 2
8m c
1
− 3 2 hΨ|p̂4 |Ψi
8m c
1
− 3 2 hp̂2 Ψ|p̂2 Ψi
8m c
2m(E − V )Ψ
1
−
(E 2 − 2EhV i + hV 2 i)
2m 1
1
1
−
En2 + 2En e2 h i + e4 h 2 i
2m
r
r
ungestörte Energie
En2
4n
−
−3
2mc2 l + 1/2
(3.252)
(3.253)
(3.254)
(3.255)
(3.256)
(3.257)
(3.258)
(3.259)
(3.260)
(3.261)
(3.262)
Spin-Bahn-Kopplung Aus Sicht des Elektrons bewegt sich das Proton und erzeugt somit ein Magnetfeld, dieses wirkt wechsel mit dem Magnetfeld, das der Spin des Elektrons
erzeugt. Dieses Magnetfelder führen (wer hätte damit gerechnet) zu einer Korrektur des
Hamilton-Operators.
H =
J2 =
L̂ · Ŝ|Ψi =
h
1
i =
r3
1
Eso
=
e2
Ŝ · L̂
m2 c2 r3
(L + S)(L + S) = L2 + S 2 + 2L · S
h̄2
(j(j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1))
2
1
l(l + 1/2)(l + 1)n3 a3
En2 n(j(j + 1) − l(l + 1) − 3/4)
mc2
l(l + 1/2)(l + 1)
(3.263)
(3.264)
(3.265)
(3.266)
(3.267)
(3.268)
12. November 2001
Felix Spanier
56
3
Quantenmechanik
Theorie-Diplomprüfung
Insgesamt folgt daraus für die Feinstruktur die Gesamtformel
Ef1s
En
=− 2
h̄
α2
1+ 2
n
n
3
−
j + 1/2 4
(3.269)
Stark-Effekt
Der Stark-Effekt tritt in elektrischen Feldern auf. Da in nicht angeregtem Zustand die
Störung erster Ordnung verschwindet tritt hier der quadratische, ansonsten der lineare
Stark-Effekt auf.
Quadratischer Stark-Effekt
H 0 = e|E|~ez
1
E100
(3.270)
= e|E|h100|ẑ|100i
(3.271)
= 0
(3.272)
2
E100
= e2 |E|2
∞
X
n=2
≈ e2 |E|2
pdip
|hn10|ẑ|100i|2
E1 − En
|h210|ẑ|100i|2
E1 − E2
9
= − a3B E 2
4
2E 2
9 ~ 3
= − 100 = |E|a
B
~
2
|E|
(3.273)
(3.274)
(3.275)
(3.276)
Linearer Stark-Effekt Da der lineare Effekt nur im angeregten Zstand auftritt betrachten wir nur den ersten angeregten Zustand. Da wir entartete Zustände haben, müssen
Felix Spanier
12. November 2001
Theorie-Diplomprüfung
3.7
Störungstheorie
57
wir hier auch mit der entarteten Theorie arbeiten.


|1i = |200i



|2i = |210i
|ii =

|3i = |211i



|4i = |21 − 1i
Hij0
= hi|Ĥ 0 |ji

0 eE
eE 0
= 
0
0
0
0
(3.277)
(3.278)
0
0
0
0

0
0

0
0
H 0c = E1c
E1
E1
 
1
1

= eE ⇒ c = 
0
0
 
1
−1

= −eE ⇒ c = 
0
0
1
3eaB
⇒ √ (Ψ200 + Ψ210 ) , E 1 = −
2
2
1
3ea
B
√ (Ψ200 − Ψ210 ) , E 1 =
2
2
Ψ211 , Ψ21−1 , E 1 = 0
(3.279)
(3.280)
(3.281)
(3.282)
(3.283)
(3.284)
(3.285)
Linear im Feld, kleine Aufspaltung, großes Dipolmoment
12. November 2001
Felix Spanier
58
3
Quantenmechanik
Theorie-Diplomprüfung
Zeeman-Effekt
Analog zum Stark-Effekt in elektrische Feldern läßt sich in magnetischen Feldern der
Zeeman-Effekt beschreiben.
~ ex = ∇× A
~
B
(3.286)
~
∇· A = 0
(3.287)
q ~ 2
1 p~ − A + V (~x)
(3.288)
H =
2m
c
1
h̄
e~ 2
=
∇+ A
+ V (~x)
(3.289)
2m i
c
h̄ie ~
e2 ~ 2
= Ĥ0 −
A · ∇+
A
(3.290)
2
|mc {z } |2mc
{z }
V̂z
Ĥ 0
V̂z ist der Zeeman-Störoperator. Wir nehmen nun ein konstantes Feld an.
~ = 1 (B
~ × X)
~
A
(3.291)
2
e
~
⇒ V̂z = −
(~x × ih̄∇) · B
(3.292)
2m
e ~ ~
=
L·B
(3.293)
2m
Man kann nun Fälle unterscheiden, in denen der Spin eine Rolle spielt und in denen er
vernachlässigt wird. Wichtig ist hierbei die Größe des externen Magnetfeldes.
Abschätzung des internen Magnetfeldes
|Vz | =
|HSB | =
⇒
Bint
Bext
=
Bint =
Starker Zeeman-Effekt
3eh̄
Bext
2mc
e2 h̄2
2m2 c2 a3B
eh̄
3mca3B
eh̄
≈ 4 · 104 G
3mca3B
(3.294)
(3.295)
(3.296)
(3.297)
Das Magnetfeld möge in z-Richtung zeigen
Bex Bint
e
V̂z =
B(L̂z + 2Ŝz )
2mc
eB
eB
⇒ Ĥ|nlml ms i = Ĥ0 |nlml ms i +
L̂z |nlml ms i +
Ŝz |nlml ms i
2mc
2mc
eB
0
= Enl
+
(ml h̄ + 2ms h̄)|nlml ms i
2mc
Felix Spanier
(3.298)
(3.299)
(3.300)
(3.301)
12. November 2001
Theorie-Diplomprüfung
3.8
Strahlung
59
Schwacher Zeeman-Effekt Beim schwachen Zeeman-Effekt dominiert die Spin-BahnKopplung
Bext Bint
Ez1
=
V̂z
=
χ
=
χ
=
g
=
g J~2
=
=
3.8
⇒G
=
V̂z
=
⇒ Ez1
=
(3.302)
hnljmj |V̂z |nljmj i
eB
eB
(Lz + Sz ) =
(Jz + Sz )
2mc
2mc
e ~ ~
µs + µl = −
(J + S)
2mc
g J~
e
−
G
2m
χJ~
e ~2 ~ ~
(J + S · J)
2mc
j(j + 1) + s(s + 1) − l(l + 1)
1+
2j(j + 1)
−gBJz
eh̄B
Gmj
2mc
(3.303)
(3.304)
(3.305)
(3.306)
(3.307)
(3.308)
(3.309)
(3.310)
(3.311)
(3.312)
Strahlung
Die grundlegende Theorie der Strahlung ist im Teil über Elektrodynamik beschrieben.
Die Interaktion mit Atomen wird in diesem Kontext über die zeitabhängige Störungstheorie beschrieben.
0
Hab
= Vab cos(ωt)
|Vab |2 sin2 ((ω − ω0 )t/2)
Pa→b (t) =
(ω − ω0 )2
h̄2
3.8.1
(3.313)
(3.314)
Emission und Absorption
~ = E0 cos(ωt)k̂
E
H
0
0
Hba
= −qE0 z cos(ωt)
(3.316)
= ℘E0 cos(ωt)
(3.317)
℘ = qhΨb |z|Ψa i
|℘|E0 2 sin2 ((ω − ω0 )t/2)
Absorption Pa→b (t) =
h̄
(ω − ω0 )2
12. November 2001
(3.315)
(3.318)
(3.319)
Felix Spanier
60
3
Quantenmechanik
Theorie-Diplomprüfung
Man findet, daß die Wahrscheinlichkeit für die induzierte Emission genauso groß ist. Es
gibt zusätzlich noch den Effekt der spontanen Emission, die im Rahmen der QED erklärt
werden kann.
Für nicht monochromatisches Licht erhält man durch Integration über alle Wellenlängen
Rb→a =
=
dP
dt
π
|℘|2 ρ(ω0 )
0 h̄2
(3.320)
(3.321)
Spontane Emission
Sei A die Rate der spontane Emission und Bab , Bba die Raten der induzierte Absorption
und Emission, sowie ρ(ω0 ) die Energiedichte, dann gilt
dNb
dt
dNb
dt
= −Nb A − Nb Bba ρ(ω0 ) + Na Bab ρ(ω0 )
(3.322)
= 0
(3.323)
⇒ ρ(ω0 ) =
Na
Nb
=
ρ(ω0 ) =
Planck: ρω =
⇒ Bba =
A =
A
(Na /Nb )Bab − Bba
e−Ea /kB T
= eh̄ω0 /kB T
e−Eb /kB T
A
eh̄ω0 /kB T Bab − Bba
h̄
ω3
π 2 c3 eh̄ω/kB T − 1
Bab
ω 3 h̄
Bba
π 2 c3
(3.324)
(3.325)
(3.326)
(3.327)
(3.328)
(3.329)
Die A und B sind die Einstein-Koeffizienten. Die hier vorgeführte Rechnung wird vor
allem beim Laser benötigt, wo man möglichst starke induzierte Emission haben möchte.
3.8.2
Auswahlregeln
Ob ein Übergang von einem Atomzustand zum nächsten erlaubt ist, kann man an Hand
dr Übergangsmatrix feststellen. Auch ohne diese direkt zu berechnen kann man direkt
Aussagen treffen:
1. ∆m = ±1, 0
2. ∆l = ±1
Felix Spanier
12. November 2001
Theorie-Diplomprüfung
3.9
Streutheorie
61
Die Berechnung der Auswahlregeln funktioniert mit Hilfe der Drehimpulse
hn0 l0 m0 |~r|nlmi 6= 0
(3.330)
[Lz , x] = ih̄y
(3.331)
[Lz , z] = 0
0 0
(3.332)
0
0
0 0
0
⇒ hn l m |[Lz , z]|nlmi = (m − m )h̄hn l m |z|nlmi
2
2
2
2
2
[L , [L , r]] = 2h̄ (rL − L r)
0 0
0
2
2
4
0 0
0
⇒ hn l m |[L , [L , r]]|nlmi = h̄ hn l m |~r|nlmi
3.9
Streutheorie
3.9.1
Allgemeines
(3.333)
(3.334)
(3.335)
Der Lösungsansatz für Streuprobleme ist die Partialwellenzerlegung, bei der man von
einer einfallenden ebenen Welle und einer ausfallenden sphärischen Welle ausgeht. Die
Kugelwelle wird durch die Drehimpulsquantenzahl l beschrieben und hat die Amplitude
f (θ). Zur Beschreibung der Streuung benötigt man den differentiellen Wirkunsquerschnitt
dσ
= |f (θ)|2
(3.336)
dΩ
Hierbei ist dΩ das Raumwinkelelement. Integriert man über den gesamten Raumwinkel,
erhält man den totalen Wirkunsquerschnitt.
3.9.2
Partialwellenzerlegung
eikr
Ψ(r, θ) = A(eikz + f (θ)
)
r
r
2mE
k =
>0
h̄
(3.337)
(3.338)
Wir nehmen nun ein sphärisch symetrisches Potential an, das wir mit einem Seperationsansatz lösen.
−
h̄2 d2 u
h̄2 l(l + 1)
+
(V
(r)
+
)u = Eu
2m dr2
2m r2
u(r) m
Ψ(r, θ, ϕ) =
Y (θ, ϕ)
r l
(3.339)
(3.340)
Wir nähern für große r an und können das Potential vernachlässigen.
d2 u
+ k2 u = 0
dr2
12. November 2001
(3.341)
Felix Spanier
62
3
Quantenmechanik
Theorie-Diplomprüfung
Als Lösung ergeben sich eine aus- und eine einlaufende Kugelwelle. Nur die auslaufende
Welle ist eine vernünftige Lösung des Streuproblems
u(r) = Ceikr
(3.342)
Dieser Ansatz funktioniert nur bei lokalisierten Streuzentren (kr 1), also nicht bei
Coulombpotentialen.
Im Zwischenbereich gilt
d2 u
l(l + 1)
+ (k 2 −
)u
dr2
r2
x
d2 u
l(l + 1)
+ (1 −
)u
dx2
x2
u(x)
2
2
d F
1 dF
(l + 1/2)
⇒
+
+ (1 −
)F (x)
dx2
x dx
x2
F (x)
= 0
(3.343)
= kr
(3.344)
= 0
(3.345)
= x1/2 F (x)
(3.346)
= 0
(3.347)
= α1 Jl+ 1 (x) + α2 Nl+ 1 (x)
2
(3.348)
2
Jν (x) sind die Bessel- und Nν (x) die Neumann-Funktionen. Zusätzlich definiert man die
Hankel-Funktionen h1ν = Jν + iNν
Nun erhält man als exakte Lösung der Wellenfunktion


X
Ψ(r, θ, ϕ) = A eikz +
clm h1l (kr)Ylm (θ, ϕ)
(3.349)
l,m
⇒ f (θ, ϕ) =
1X
(−i)l+1 clm Ylm (θ, ϕ)
k
(3.350)
1 X
|clm |2
k2
(3.351)
l,m
σ =
l,m
Im nächsten Schritt ersetzen wir die kartesischen Koordinaten der einlaufenden Welle
durch sphärische Koordinaten
eikz =
X
(Alm jl (kr) + Blm nl (kr))Ylm (θ, ϕ)
(3.352)
m,l
Bl = 0
(3.353)
l
(3.354)
Al = i (2l + 1)
∞
X
⇒ eikz =
il (2l + 1)jl (kr)Pl (cos θ)
(3.355)
l
Felix Spanier
12. November 2001
Theorie-Diplomprüfung
3.9
Streutheorie
63
Harte Kugel
(
∞ r≤a
V (r) =
(3.356)
0 r>a
⇒
∞
X
r
il (2l + 1)jl (ka) +
l=0
cl = −il
Ψ(a, θ) = 0
(3.357)
2l + 1 1
cl hl (ka) Pl (cos θ) = 0
4π
(3.358)
p
!
4π(2l + 1)
jl (ka)
h1l (ka)
4π X
jl (ka) 2
|
l = 0∞ (2l + 1)| 1
2
k
hl (ka)
σ =
(3.359)
(3.360)
Da h1l = jl + inl kann man nun zwei Grenzfälle unterscheiden:
1. ka 1
σ =
≈
∞
jl2 (ka)
4π X
(2l
+
1)
k2
jl2 (ka) + n2l (ka)
4π
k2
l=0
∞
X
l=0
(2l + 1)
jl2 (ka)
n2l (ka)
= 4σgeom
(3.361)
(3.362)
(3.363)
2. ka 1
σ = 2σgeom
(3.364)
Streuphasendarstellung
Die Koeffizienten lassen sich auch als Phasenverschiebung der Streuung beschreiben
Ψ(r, θ) = A
∞
X
(2l + 1)il jl (kr) + γl h1l (kr) Pl (cos θ)
(3.365)
l=0
cl = il
⇒ f (θ) =
p
4π(2l + 1)γl
∞
X
1
(−i)l (2l + 1)γl Pl (cos θ)
k
l=0
iδl
−iγl = e sin δl
1
δl =
ln(1 + γl )
2i
12. November 2001
(3.366)
(3.367)
(3.368)
(3.369)
Felix Spanier
64
3
Quantenmechanik
Theorie-Diplomprüfung
Einsetzen mit den δl liefert jetzt die Streuamplituden
f (θ) =
∞
1X
(2l + 1)eiδl sin δl Pl (cos θ)
k
(3.370)
1
k2
(3.371)
l=0
∞
X
σ =
|cl |2
l=0
∞
X
4π
sin2 δl
k2
l=0
1X
(2l + 1) sin2 δl
k
=
⇒ Im(f (0)) =
(3.372)
(3.373)
l
4π
σ
k
⇒ Im(f (0)) =
3.9.3
(3.374)
Born’sche Näherung
Annahme: r r0 , daher Vereinfachungen
−
h̄2 2
∇ Ψ + V Ψ = EΨ
2m
(∇2 + k 2 )Ψ = Q
√
2mE
k =
h̄
2m
Q =
VΨ
h̄2
(∇2 + k 2 )G(r) = δ 3 (r)
eikr
G(r) = −
4πr
Ψ(r) = Ψ0 (r) −
(3.375)
(3.376)
(3.377)
(3.378)
(3.379)
(3.380)
m
2πh̄2
Z
eik|r−r0 |
V (r0 )Ψ(r0 )d3 r0
|r − r0 |
(3.381)
Erste Näherung
|~r − ~r0 | ≈ r − r̂~r0
⇒
eik|~r−~r0 |
|~r − ~r0 |
≈
eikr
r
(3.382)
~
eik·~r0
(3.383)
Ψ0 (~r) = Aeikz
Ψ(~r) = Aeikz −
Felix Spanier
(3.384)
eikr
m
2πh̄2 r
Z
~
eik·~r0 V (r0 )Ψ(r0 )d3 r0
(3.385)
12. November 2001
Theorie-Diplomprüfung 3.10
Relativistische Quantenmechanik
65
Born’sche Reihe
Die Born’sche Reihe entsteht durch wiederholte Anwendung der Green’schen Funktion
des Problems auf das Potential.
Z
Z
Z
Ψ = Ψ0 + gV Ψ0 + gV gV Ψ0 + · · · + (gV )n Ψ0 + . . .
(3.386)
g(r) = −
m eikr
2πh̄2 r
3.10
Relativistische Quantenmechanik
3.10.1
Klein-Gordon-Gleichung
(3.387)
Die Klein-Gordon-Gleichung ist zu Beginn des Kapitels schon eingeführt worden. Hier
noch einmal die Ergebnisse
3.10.2
h̄2 ω 2 = c2 + h̄2 k 2 + m2 c4
mc 2 1 ∂2
−∆+
Ψ = 0
c2 ∂t2
h̄
(3.388)
(3.389)
Dirac-Gleichung
Die Dirac-Gleichung erhält man, wenn man aus der Energie-Impuls-Relation die Wurzel
zieht
p
E =
p2 c2 + m2 c4
(3.390)
p
h̄ ∂Ψ
−
=
−h̄2 c2 ∆ + m2 c4 Ψ
(3.391)
i ∂t
Nach dem Ansatz von Dirac verwendet man jetzt die Darstellung mit Hilfe von Matrizen
h̄c
∂Ψ
∂Ψ
h̄ ∂Ψ
∂Ψ
−
=
α1 1 + α2 2 + α3 3 + βmc2 Ψ = HΨ
(3.392)
i ∂t
i
∂x
∂x
∂x
Die Größen müssen nun die Klein-Gordon-Gleichung erfüllen. Um dies zu zeigen, quadrieren wir die obige Gleichung
− h̄
2∂
2Ψ
∂t2
2 2
= −h̄ c
1,2,3
X
k,l
2 2
3
∂Ψ
αk αl + αl αk ∂ 2 Ψ
h̄mc3 X
2 4
+
(αj β + βαj ) j + β 2 m
(3.393)
c Ψ
2
i
∂x
∂xk ∂xl
j
2 4
= (−c h̄ ∆ + m c )Ψ
12. November 2001
(3.394)
Felix Spanier
66
3
Quantenmechanik
Theorie-Diplomprüfung
Hieraus ergeben sich folgende Bedingugen für die Matrizen
αk αl + αl αk = 2δkl
(3.395)
αj β + βαj
= 0
(3.396)
2
= 1
(3.397)
Sp(αj ) = 0
(3.398)
β
Aus der Tatsache, daß die Eigenwerte nur ±1 sein können und die Summe der Eigenwerte
(die Spur) 0 ist, folgt, daß die Dimension der Matrizen gerade sein muß. Weiterhin kann
man folgern, daß die kleinste Dimension 4 ist.
Die Lösung für die Matrizen sind die sogenannten Viererspinoren, die sich für die α aus
den Pauli-Spinmatrizen ergeben. β ergibt sich aus 2 × 2-Einheitsmatrizen
0 σj
αj =
(3.399)
σj 0
1 0
β =
(3.400)
−1 0
 
ψ1
ψ 2 

⇒Ψ = 
(3.401)
ψ 3 
ψ4
Ψ ist der Spinor.
Letztlich interessiert uns noch die Lorentz-invariante Form. Dazu definieren wir
γ0 = β
k
⇒
(3.402)
k
γ = βα
h̄
− γ ν ∂ν − mc Ψ = = 0
i
(3.403)
(3.404)
Man stellt fest, daß die Dirac-Gleichung auch negative Energien als Lösung zuläßt. Die
Interpretation dieser Energien führt zu Antiteilchen
Felix Spanier
12. November 2001
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