Lösung 1

MLAE1 – Mathematik: Lineare Algebra für Ingenieure 1
Dr. Christoph Kirsch
Herbstsemester 2015
ZHAW Winterthur
Lösung 1
Aufgabe 1 :
a) Wir werten zuerst den Ausdruck in der Klammer aus, d. h. wir berechnen die
Vereinigung A ∪ B:
A ∪ B = {x ∈ N | x ∈ A ∨ x ∈ B} = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8} .
(1)
Das Element 5 liegt zwar sowohl in A als auch in B, taucht aber in der Vereinigungsmenge nur einmal auf (sonst wäre es keine Menge, vgl. Def. 1)! Jetzt
berechnen wir die Differenz:
(A ∪ B) \ C = {x ∈ N | x ∈ A ∪ B ∧ x 6∈ C} = {2, 6, 7, 8} .
(2)
Die Zahlen 1, 3, 5 ∈ A ∪ B sind bereits in C enthalten und liegen daher nicht in
der Differenzmenge.
b) Die Vereinigung A ∪ B haben wir bereits in a) berechnet. Also berechnen wir
gleich die Differenz:
C \ (A ∪ B) = {x ∈ N | x ∈ C ∧ x 6∈ A ∪ B} = ∅.
(3)
Weil alle Elemente der Menge C bereits in A ∪ B enthalten sind, ist die Differenzmenge leer.
c) Wir werten zuerst den Ausdruck in der Klammer aus, d. h. wir berechnen den
Durchschnitt A ∩ C:
A ∩ C = {x ∈ N | x ∈ A ∧ x ∈ C} = {1, 3, 5} = C.
(4)
Wir erhalten A ∩ C = C, weil C ⊆ A gilt. Jetzt berechnen wir die Vereinigung
dieser Menge mit der Menge B:
(A ∩ C) ∪ B = {x ∈ N | x ∈ A ∩ C ∨ x ∈ B} = {1, 3, 5, 6, 7, 8} .
(5)
Wie schon in a) liegt das Element 5 sowohl in A ∩ C als auch in B, kommt in
der Vereinigung aber nur einmal vor.
Aufgabe 2 :
a) {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31},
b) {−5, −2, 1, 4, 7} (berechne zuerst die möglichen Werte für k: k ∈ {−1, 0, 1, 2, 3}),
c) {n ∈ N | n = 6k ∧ k ∈ N ∧ 1 ≤ k ∧ k ≤ 7} (die ersten 7 Zahlen der “Sechserreihe”),
4 2 d)
− 7 , 7 (Lösung eines linearen Gleichungssystems).
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Aufgabe 3 :
a) f ist keine Funktion, weil sie dem Element b ∈ D kein Element in Z zuordnet.
b) g ist keine Funktion, weil sie dem Element q ∈ A zwei Elemente 1, 2 ∈ B
zuordnet.
c) F ist eine Funktion: sie ordnet jedem Element in X genau ein Element in Y zu.
Der Graph von F ist gegeben durch
GF = {(x, F (x)) | x ∈ X} = {(1, a), (3, h), (4, a)}.
(6)
Aufgabe 4 :
a) Die Gegenzahl −x ist diejenige Zahl in F5 , die zu x addiert werden muss, um
0 zu erhalten. Mit der Tabelle der Addition erhalten wir daher die folgenden
Gegenzahlen:
x 0 1 2 3 4
(7)
−x 0 4 3 2 1
b) Der Kehrwert x−1 ist diejenige Zahl
um 1 zu erhalten. Mit der Tabelle
folgenden Kehrwerte:
x
x−1
in F∗5 , mit der x multipliziert werden muss,
der Multiplikation erhalten wir daher die
1 2 3 4
1 3 2 4
(8)
c) Wir gehen wie im Kap. 1.4.1 der Vorlesung vor und addieren zunächst auf beiden
Seiten der Gleichung die Gegenzahl von 4:
(A2)
(A3)
(7)
2 · x = 2 · x + 0 = 2 · x + 4 + (−4) = 3 + (−4) = 3 + 1 = 4.
(9)
Jetzt multiplizieren wir mit dem Kehrwert von 2 auf beiden Seiten:
(M2)
(M3)
(9)
(8)
x = 1 · x = 2−1 · 2 · x = 2−1 · 4 = 3 · 4 = 2.
(10)
Es gilt also L = {2}. In der Tat gilt
2 · 2 + 4 = 4 + 4 = 3.
Vorlesungswebseite: http://home.zhaw.ch/~kirs/MLAE1
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(11)