Zur Abstraktion des Integralbegriffs

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7. Wie a. a. O. schlieszt man aus 5 und 6: ,f;! ist ein ,f;!1 oder ein,f;!2
oder direkte Summe eines .PI und eines ,f;!2' Dabei kann ,f;!1 endlich oder
unendlichdimensional sein. Im ers ten Fall besteht ,f;!1 aus den Systemen
von k reellen Zahlen. das innere Produkt von (~I"'" ~k) und (171 •...• 17k)
k
ist durch X en ~n 17n definiert (en feste positive Zahlen) und das Produkt
n=l
durch (Çl 171 •...• Çk 17k). Im zweiten Fall besteht,f;!1 aus den abzählbar
unendlichen Folgen reelIer Zahlen mit konvergentem X en ~~. das innere
Produkt und das Produkt sind ähnlich erklärt wie soeben (letztes nicht
für alle Paare). ,f;!2 besteht aus den im endlichen oder unendlichen
Intervall definierten reellen Funktionen. für dief cp
(~)2 d ç im
f
Lebesgue existiert. das innere Produkt von cp und lP ist durch
Sinne von
cp (~) lP (~) d ~
erklärt. das Produkt (nicht für alle Paare) durch cp (ç) 'lP (ç). Summe usw.
sind in allen Fällen in natüriicher Weise erklärt.
9t 1 besteht aus den Elementen von .PI' für die auch X ç~ existiert.
9t 2 aus denen von ,f;!2' die als Funktionen nach Vernachlässigung einer
Menge vom Masz null beschränkt sind.
9t ergibt sich als ein 9t 1 oder ein 9t 2 oder als direkte Summe eines
9t 1 und eines 9t 2 • Damit ist über 9t. das in 9t überalldicht liegt. alles
gesagt. was sich überhaupt sagen läszt.
Man kann dies Ergebnis übrigens noch etwas anders aussprechen.
wenn man die en aus dem inneren Produkt in das Produkt hinein~
transformiert.
8. Auf Grund der vorstehenden Untersuchungen läszt sich die Gesamt~
heit der meszbaren Funktionen über dem endlichen oder unendlichen
Intervall abstrakt einführen durch Adjunktion gewisser Operatoren zu 9t.
Wir gehen darauf nicht näher ein.
Mathematics.
Zur Abstraktion des Integralbegri[fs. By HANS
FREUDENTHAL. (Communicated by Prof. L. E. J. BROUWER.)
(Communicated at the meeting of May 23. 1936.)
In den letzten Jahren haben verschiedene Verfasser Verallgemeinerungen
des Integralbegriffs formuliert. die sich bei allerlei Anwendungen als
nötig erwiesen haben I). Diese Verallgemeinerungen reichen aber für die
Bedürfnisse der Anwendungen noch nicht aus. Hier folgt eine Verallge~
I) Wir knüpfen hier an A. KOLMOGOROFF an [Math. Ann. 103. 654-682. (1930)].
712
meinerung. die. wie ich hoffe. vorläufig allen Ansprüchen genügen wird.
Der Begriff des Limes längs teilweise geordneter Mengen. auf den wir
uns stützen werden. wird vielleicht auch noch anderer Anwendungen
fähig sein.
1. (1. 1) p. und v sollen im Folgenden immer alle natürlichen Zahlen
durchlaufen. p./. v'. p.". v" unendlich viel natürliche Zahlen. Folgen sollen
immer abzählbar unendlich sein 2). Teilfolgen sollen ihre Anordnung immer
der ganzen Folge entnehmen. 9J1 und
seien immer teil wei se geordnete
Mengen (Elemente m. n). Die Menge (9J1. IJl) der Elementepaare (Tn. n).
mE 9J1. nE
sei stets 50 teilweise geordnet. dasz (m. n) -== (m/. n/) dann
und nur dann gilt. wenn m -== m'. n -== n'. Ist 91 eine Menge von Teilmengen einer gewissen Menge. 50 sei .. -==" die Inklusionsbeziehung.
(1 .2) In A (Elemente: a. (J. y) sei ein eindeutiger Limesbegriff gegeben;
dabei lassen wir konvergente Folgen zu. die nur für fast alle Nummern
erklärt sind. Wir werden einen Limesbegriff einführen für .. Folgen" 'In.
nE
die übrigens nicht für alle n erklärt zu sein brauchen.
(1.3) Eine Teilfolge a n,. • n,. -== n,-+l. von an. nE IJI.heiszt Stammfolge.
wenn für jede Folge n~ (-== n~+ d. mit n;. =- n ,_ . lim an,v existiert und den-
m
m.
m.
selben Wert hat. Mit a nv ist dann auch a n ". Stammfolge. wenn n~ + 1 =- n~ =- n,.
für alle v.
(1 .1) (++)3) In 91 (ebenso in 9J1) gebe es zu je zwei Elementen eins,
das =- den beiden ist.
(1 .5) Je zwei Stammfolgen von a n haben densetben Limes. (Klar.)
(1 .6) Unter dem Stammlimes von an. slim a n verstehen wir den Limes
n E IJl
einer (also nach 1 . 5 aller) ihrer Stammfolgen.
2. An den Limesbegriff kann man verschiedene Forderungen stellen.
(2. I) (+) Für jede gewähnliche Folge ziehe die Existenz des Limes
die des Stammlimes und die Gleichheit beider nach sich. - Das ist
sicher erfüllt, sobald gilt:
(2.1/) (+) Mit irgend einer Folge konvergiert auch jede Teilfolge
nach demselben Limes.
(2.2) (+) Für jede gewähnliche Folge ziehe die Existenz des Stammlimes die des Limes und die Gleichheit beider nach sich. - Das ist
sicher erfüllt. sobald gilt:
(2.2/) (+) Kann man aus jeder Teilfolge von av eine nach a konvergente Teilfolge ausziehen, so konvergiert a,. nach a. - Denn dann
hat man, wenn a v ' eine Stammfolge und al" irgendeine Teilfolge von a v
2) Auf translinite Fo~gen läszt sich alles oh ne Mühe übertragen.
3) (+1 hinter der Nummer kennzeichnet eine axiomatische Forderung. die nur da
vorausgesetzt wird. wo sie ausdrücklich erwähnt ist ; (++) eine. die im weiteren Verlauf
immer vorausgesetzt wird.
743
ist. zu jedem v' ein 11-' (v')
==- v'.
und es existiert lim
,.'
a,u'(V')
= lim av,. also
lim a v = lim a,.,.
(2 . 3) Man bemerkt übrigens. dasz (2. 1) und (2. 2) zusammen (2. 1/)
naeh sieh ziehen.
(2.4) (+) Existiert slim slim al'-V' so existiert slim al'-'" und beide sind
~.~
I'-
gleich. 4)
(2 . 5) (+) Existiert slim
al'V
= a und slim al'V =
(I'-. v)
al'-'
so aueh slim
v
UI'-
= a.
ft
(2 . 6) Unter gewissen Voraussetzungen. auf die wir nicht eingehen
wollen. genügt es. 2. 4 und 2. 5 allein für den Fall vorauszusetzen. dasz
~m und 91 die Folge der natürlichen Zahlen ist. urn sie allgemein be~
weisen zu können. - Uebrigens sind in metrisehen Räumen alle unsere
Forderungen ohne weiteres erfüllt.
(2 . 7) Die Folge nv (-== nv + 1) "sehöpft 91 aus". wenn zu jedem nE 91
ein " mit nz ==- n existiert.
(2.8) 91 besitze eine aussehöpfende Folge; es gelte 2.2. Dann sind
die Aussagen .. slim a n = a" und .. lim a nv = a für jede aussehöpfende Folge"
n EI)1
v
äquivalent; falls eine Stammfolge existiert. ist jede Teilfolge mit aus~
sehöpfender Indexfolge Stammtolge. - Denn sei slim a n
a. nv eine
aussehöpfende Folge und a n ,. eine Stammfolge. Dann gibt es eine Teil~
folge n~ von n. mit n~ ==- n~. Also ist an",. Stammfolge von an•• also (naeh
2 . 2) lim a n •
a. - Andererseits ist mit irgendeiner Folge aueh jede .. grö~
=
v
=
szere" aussehöpfend; die zweite Aussage zieht also naeh sich. dasz eine
aussehöpfende Folge eine Stammfolge liefert. - Sehlieszlieh ergibt si eh
der Rest ähnlich wie der erste Teil der Behauptung.
(2 . 9) Ist ~n eine endliche Menge oder die Menge der endlichen Mengen
natürlicher Zahlen. so besitzt 91 aussehöpfende Folgen. (Klar.)
(2 . 10) Besitzen lJJl und 91 aussehöpfende Folgen. so aueh (1JJl. 91). (Klar.)
(2 . 11) Besitzen lJJl und 91 aussehöpfende Folgen und gilt 2 . 2. so
folgen 2. 4 und 2. 5 aus ihrer abgesehwäehten Formulierung 2 . 6. (Folgt
aus 2.8.) Das ist deswegen wichtig. weil wir 2.4 und 2.5 nur für den
Fall verwenden werden. dasz lJJl und 91 der Voraussetzung von 2.9
genügen.
3. (3. 1) (+) In A gebe es eine kommutative. assoziative und stetige
Addition. 5)
(3.2) Ist a,. E: A ftir alle v de6.niert. so verstehe man unter I* a. den
•
4) Siehe zu dieser und den andern Anforderungen an den Lirnesbegriff: GARRET BIRKHOPP,
Annals of Math. (2) 35, 861-875 (1934).
5) Wir verzichten auf die übrigen Gruppeneigenschaften, erstens weil es z.B. irn Gebiet
der reellen Zahlen nützlich ist,
1)0 oder 00 als ei ne Zahl aufzufassen (man braucht
dann unendliche Integralwerte nicht beson jers zu erklären), zweitens urn uns den wichtigen
Schrltt 3.6 nicht zu versperren.
+
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lim f3n' wo 91 die Menge aller endlichen Mengen VI" • ,v, bedeute und
IJl
f3n = a,.,
a,., gesetzt sei. Ist av nur für v= 1. ... , " erklärt, 50 sollen
lim ~ und ~ * dasselbe bedeuten. - Die Definition von ~ * kommt im
Wesentlichen auf die der unbedingten Konvergenz hinaus.
(3.3) Ist X* a,. = a und X* a;. = a' so ist ~* a~ = a
a', wenn
a;v-I = av und a;. = a~ gesetzt ist. (Folgt aus der Stetigkeit der Addition.)
(3.4) Gilt 2.4, 50 folgt aus der Existenz von ~* X* aflV die von
nE
+ ... +
+
x * al,v
fl.'·)
und die Gleichheit beider. (Klar nach 3.3.)
(3.5) Gilt 2.5, und ist X* aflV
~~
= a,
~* aflV
=a
fl ,
so ist ~* afl = a.
fl
v
(Klar nach 3.3.)
(3.6) Unter [A] verstehe man die Menge der nichtleeren Teilmengen
von A (Elemente von [A] ebenfalls in eckigen Klammern), in der es
einen Limesbegriff (abhängig von dem in A) gebe, bei dem die Addition
eine stetige Operation sei; unter [a]
ff3] verstehe man dabei die Menge
der a
f3 mit a E [a], f3 E [f3]. - Wie der Limesbegriff in A von dem in A
abhängt, ist für das folgende gleichgültig; man wird aber mindestens
verlangen: Ist lim [a,.] = [a], 50 ist aE [a] dann und nur dann, wenn
a,. E [a v ] so existieren, dasz lim av = a. 6)
+
+
4. (4. 1) (+ +) ~ (Elemente: (a, 0, c, 1;, 1)) sei eine teilweise geordnete
Menge; es gebe in ~l ein kleinstes Element 0 und zu je zwei Elementen
a und 0 ein grösztes Element c a./'-- 0 mit c -oe=: a, C -oe=: O.
(4. 1 .2) (+) Ist für jedes C mit a./'-- C ~ 0 auch o./'-- C ~ 0, so ist a-oe=:o.
(4 . 2) Unter einer Zerlegung von a verstehen wir eine endliche oder
abzählbar unendliche Menge ! ae I mit den folgenden Eigenschaften :
1. al.' ~ o. 2. a2 ./'-- a~
o. 3. ai' -oe=: a. 4. Zu jedem 0 mit a./'-- 0 o.
gibt is ein e mit a2 ./'-- 0
o. 3 (a) sei die Menge der Zerlegungenvon a 7).
(4.3) Ist ! ael E 3(a) und 0
a, so ist ! ae ./'-- 0 IE 3 (0). - Nur 4.2.3
bedarf eines Beweises: Sei c' = C ./'-- 0 -::f 0, dann ist C' ./'-- a
0, also für
ein geeignetes e: c' ./'-- ae 0, c./'-- (0 ./'-- ae)
o.
(4.4) Ist ! ael E 3(a) und für jedes feste e auch ! ae~ IE 3(ae), so ist
! al!~ I E 3 (a).
(4.5) Gilt 4. 1 .2 und ist (für jedes feste e) ! ae~ IE 3(ae) und ferner
! ae7 1E· 3(a), 50 ist ! aeI E 3(a). - Wir brauchen 4. 1 .2, um 4. 2 . 3 zu
beweisen: ist a2 ./'-- C ~ 0, 50 ist (für ein geeignetes 0) ae7 ./'-- C 0, also
a ./'-- c 0, wo raus nach 4. 1 . 2 die Behauptung folgt.
(4.6) a(a) =- a' (a) bedeute: jedes Element von a ist -oe=: einem geeig~
neten von 5'.
=
=
*-
*-
*-
*-
<
*-
*-
*-
6) Wenn der Limes existiert, soll er also gleich dem unteren abgeschlossenen Limes
[F. HAUSDORFF. Mengenlehre. § 28. 2 (1927)) sein.
7) Für manche Zwecke wäre es übrigens nützlich. an den Begriff .. Zerlegung" noch
weitere Forderungen stellen zu dürfen (z.B. Endlichkeit). Wir gehen darauf nicht näher ein.
745
(4. 7) Zu je zwei Elementen van 3(a) gibt es eins, das ~ beiden ist.
im Sinne van 1.4. (Klar nach 4.3 und 4.4.)
5. (5 . 1) Die Funktion q; ordne jedem van 0 verschiedenen Element
van m ein Element van A zu.
(5.2) q; (a(a)) bedeute I* q; (ai? ) (siehe 3.2), wo 1ae 1= a(a) E 3(a) ist.
3(a) ist also ein
m
e
q;
J
(d~)
bedeute slim q;(a(a)) (siehe 4.7 und 1 .6.)
3(a)E3 (a)
a
(5 . 3 . 1) Ist 1 a(J7 1= a(a e ), 1 a(> I eine endliche Zerlegung van a,
lai?71= a'(a) (siehe 4 . 4), sa ist q; (a'(a))=Iq;(a(a e )), d.h., faBs die
rechte Seite existiert, existiert die linke. (Klar nach 3. 3.)
(5 . 3 . 2) Ist 1a e 1 eine endliche Zerlegung van a, sa ist
J- J
I
a
Oe
d.h., wenn die rechte Seite existiert, existiert die linke. (Klar.)
(5.4.1) Gilt 2.4 und ist la(>71=a(a(» ,lae != a(a) und la[> 71= a' (a)
(siehe 4 . 4), sa ist q; (a' (a)) = 2" * q; (a(a e )), d. h., faBs die rechte Seite
(!
existiert, existiert die linke. (Klar nach 3 . 4.)
(5.4 . 2) Gilt 2.4 undist la(> IE 3 (a), sa
istJq;(d~)=;*J(d~),
d.h .•
a
oe
faBs die rechte Seite existiert, existiert die linke. (Klar.)
(5 . 5 . 1) Gilt 2.5 und 4. 1 .2, sa gilt das Ergebnis van 5.4. 1 in
dem Sinne, dasz aus der Existenz der q; die der rechten Seite folgt.
(Klar nach 3. 5 und 4. 5.)
(5 . 5 . 2) Gilt 2. 5 und 4 . 1 . 2, sa gilt das Ergebnis van 5 . 4 . 2 in
dem Sinne, dasz aus der Existenz der Integrale die der Summe folgt.
(5 .6. 1) Ist q; (a) = q;' (0)
q;" (0), sa ist q; (a (a)) = q;' (3 (a»
q;" (3 (a»),
d. h., wenn die rechte Seite existiert, existiert die linke. (Klar nach 3 . 3.)
+
(5.6.2) J(q;'
+ q;") = J
q;'
+
+J
q;", d . h., wenn die rechte Seite existiert,
existiert die linke. (Klar.)
(5.7) Jeder stetige Homomorphismus (Automorphismus) van mist mit
dem Integralzeichen vertauschbar. (Klar.)
(++)
6. (6. 1)
Es liegen jetzt drei Systeme A. A', A" mit den Eigenschaften van A var, und es gebe zu je zwei Elementen a E A, a' E A'
ein distributives stetiges "Produkt" in A". m sei eine Menge van Teil~
mengen einer Menge ~ (Elemente p). f ordne einem Element van ~ ein
Element van A' zu; f1- ordne einem Element (=f 0) van m ein Element
van A zu, und es sei f1-(O)=I*f1-(a e ), wenn la[> I= 3(a).
(6 . 2) J
-
a
f(p) f1-
(d~)
bedeute
J' q;(d~);
a
dabei sei
q;(~)
die Menge
f(~)
der
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f (p)
mit p €~. multipliziert mit ft (~). Man beachte. dasz
und cp
(~) €
f (~) € [A']
ist
[A"] (siehe 3.6). ,j'ist also ein Element von [A"]; enthält
dies Element genau ein Element von A". so schreibe man einfach
J.
(6.3-7) Es bereitet jetzt keine Schwierigkeit. die Sätze von 5.3-7
zu übertragen; wir verzichten auf die explizite Formulierung.
7. Man kann im abstrakten Aufbau nun noch einen Schritt weiter
zum gewöhnlichen Integral gehen. indem man von A. A'. A" noch fordert:
die Existenz einer N uil. die Existenz teilweiser Ordnungen in den A. A'. A"
(insbesondere des Begriffes .. positiv"). die untereinander und mit den
Topologien in gewissen nahelieJenden Beziehungen stehen. Positivität
und Monotonie von ft (1;). Wir führen auch das nicht näher aus.
Meteorology. - Meteorologisches zu den 3 holländischen Karakorum~
Expeditionen. I. Von W. BLEEKER. (Communicated by Prof. E. VAN
EVERDINGEN ).
(Communicated at the meeting of May 23. 1936) .
Einleitung.
Es liegen von drei holländischen Karakorum~Expeditionen (Leiter: dr.
PH. C. VISSER) dreimaltägliche einfache meteorologische Beobachtungen
vor (meistens von 7. 14 und 21 Uhr). welche nicht in extenso. sondern
zusammenfassend veröffentlicht werden sollen.
Die meisten benutzten meteorologischen Instrumente sind von der König~
lichen Niederländischen Geographischen Gesellschaft (Amsterdam) und
dem Königlichen Niederländischen Meteorologischen Institute (De Bilt in
der Nähe von Utrecht) den Expeditions~Mitgliedern leihweise zur Ver~
fügung gestellt und im Laboratorium des letzteren Institutes kontrolliert und
geeicht worden. Im allgemeinen haben Hypsometer. Barometer. Thermo~
meter. Psychrometer und Anemometer gut funktioniert. gelegentlich sind
sie auch in Indien mit den Instrumenten der offiziellen Institute verglichen
worden. Wo Zweifel an der Realität der Beobachtungsergebnisse auftrat.
wurden diese bei der Mittelrechnung ausgeschaltet.
Die Messreihen der drei Expeditionen beziehen sich auf folgende
Zeitabschnitten:
I: 25. Juni 1922
1. Oktober 1922.
11: 29. Mai 1925
7. Oktober 1925.
lIl: 7. Juni 1929
28. Juli
1930.
Die Ergebnisse der Monate Juni. Juli. August und September sind für
die 3 Expeditionen gesondert und zusammengefasst bearbeitet. Selbst~
verständlich darf man keinen zu grossen Wert auf die Ergebnisse der