1. ¨Ubungsblatt zur Statistik III - Schätzen und Testen

1. Übungsblatt zur
Statistik III - Schätzen und Testen
Müller WS 2016/2017
Aufgabe 1 (4 Punkte):
Ein Würfel mit unbekannter Anzahl k ∈ IN von Seiten wird fünf mal geworfen mit folgendem
Ergebnis:
7, 2, 11, 4, 10.
Geben Sie zwei verschiedene sinnvolle Punktschätzfunktionen und zwei verschiedene sinnvolle
Bereichschätzfunktionen für k vollständig an. Welche Schätzungen ergeben diese Schätzfunktionen für das Datenbeispiel?
Aufgabe 2 (3 Punkte):
Aus Recycling-Glas werden Porzellan-Scherben durch eine Maschine automatisch entfernt. In
jeweils 10 Proben gereinigtem Glas à 1 kg wurden folgende Anzahlen von Porzellan-Scherben
gezählt:
0, 3, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 0, 0.
Von Interesse ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Probe frei von Porzellan-Scherben ist. Eine
sinnvolle Annahme für die Verteilung der Anzahl der Porzellan-Scherben in einer Probe ist die
Poisson-Verteilung, also X1 , . . . , X10 ∼ P ois(λ), wobei λ ∈ (0, ∞) der unbekannte Parameter
ist. Von Interesse ist dann
a(λ) = Pλ (X1 = 0) = e−λ .
Geben Sie zwei verschiedene Punktschätzfunktionen für a(λ) an und begründen Sie, warum Sie
sich für diese Schätzfunktionen entschieden haben. Welche Schätzungen ergeben diese Schätzfunktionen für das Datenbeispiel? Achtung: Diese Aufgabe hat eine Fortsetzung in Aufgabe 1
der 8. Übung!
Aufgabe 3 (3 Punkte):
Es wurden folgende Lebenszeiten bis zum Ausfall eines elektronischen Bauteils beobachtet (in
Wochen)
48, 75, 42, 32, 102, 99, 53, 44, 21, 4.
Geben Sie zwei verschiedene Entscheidungsregeln für folgende Hypothesen vollständig an:
H0 : Die erwartete Lebenszeit ist nicht kleiner als 50 Wochen.
H1 : Die erwartete Lebenszeit ist kleiner als 50 Wochen.
Für welche Hypothese würden sich diese Entscheidungsregeln jeweils bei dem Datenbeispiel
entscheiden? Achtung: Diese Aufgabe wird in Aufgabe 3 der 5. Übung und in Aufgabe 1 der
11. Übung wieder aufgegriffen!
2. Übungsblatt zur
Statistik III - Schätzen und Testen
Müller WS 2016/2017
Aufgabe 1 (3 Punkte):
Seien X1 , . . . , XN u.i.v. mit Bernoulli-Verteilung Bin(1, p) mit unbekanntem Parameter p ∈
[0, 1]. Welche Schätzfunktionen pb1 , pb2 , pb3 , pb4 , pb5 , pb6 für p gegeben durch
pb1 (x1 , . . . , xN ) = x1 ,
1
pb2 (x1 , . . . , xN ) = (x1 + xN ),
2
1
pb3 (x1 , . . . , xN ) = (x1 + xN + 1),
4
N
1 X
pb4 (x1 , . . . , xN ) =
xn ,
N n=1
1
pb5 (x1 , . . . , xN ) =
N +1
1
pb6 (x1 , . . . , xN ) =
N +2
1+
1+
N
X
n=1
N
X
n=1
xn
xn
!
!
,
,
sind erwartungstreu? Begründen Sie die Antworten. Die Schätzfunktionen pb3 und pb6 haben
den Vorteil, dass sie nie 0 oder 1 annehmen, auch wenn nur Nullen oder nur Einsen beobachtet
werden. Achtung: Die Schätzfunktionen dieser Aufgabe sollen auch in Aufgabe 2 der 3. Übung
betrachtet werden!
Aufgabe 2 (3 Punkte):
Let be X1 , . . . , XN independent and identically distributed (i.i.d.) random variables with existing variance v = varθ (X1 ) ∈ (0, ∞). Is b
v given by
vb(x1 , . . . , xN ) =
N
N
1 X X
(xn − xm )2
N
2
n=1 m=n+1
an unbiased estimator for v or how must vb be changed to be unbiased (unbiased = erwartungstreu)?
Aufgabe 3 (4 Punkte):
Seien (X1 , Y1 ), . . . , (XN , YN ) unabhängige und identisch verteilte zweidimensionale (bivariate)
Zufallsvektoren mit existierender unbekannter Kovarianz c = covθ (X1 , Y1 ) ∈ IR. Ergibt die
empirsiche Kovarianz sxy gegeben durch
N
sxy =
1 X
(xn − x)(yn − y)
N − 1 n=1
(x = (x1 , . . . , xN ), y = (y1 , . . . , yN )) eine erwartungstreue Schätzfunktion für c? Gehen Sie
ähnlich wie bei der Erwartungstreue der empirischen Varianz in der Vorlesung vor.
Aufgabe 4∗ (4 Punkte):
Geben Sie einen alternativen Beweis für die Erwartungstreue der empirischen Varianz mit Hilfe
des Satzes von Lancaster.
3. Übungsblatt zur
Statistik III - Schätzen und Testen
Müller WS 2016/2017
Aufgabe 1 (4 Punkte):
Berechnen Sie jeweils den mittleren quadratischen Fehler für die Schätzfunktionen pb1 , pb2 , pb3 , pb4
und pb6 aus Ausgabe 1 der 2. Übung. Bestimmen Sie für jedes p ∈ [0, 1] diejenige Schätzfunktion
aus pb1 , pb2 , pb4 , pb6 mit dem kleinsten mittleren quadratischen Fehler.
Aufgabe 2 (3 Punkte):
Welche der Schätzfunktionen pb1 , pb2 , pb3 , pb4 , pb5 , pb6 aus Aufgabe 1 der 2. Übung ist stark bzw.
schwach konsistent für p? Begründen Sie die Antworten.
Aufgabe 3 (3 Punkte):
Seien (X1 , Y1 ), . . . , (XN , YN ) unabhängige und identisch verteilte zweidimensionale (bivariate)
Zufallsvektoren mit existierender unbekannter Kovarianz c = covθ (X1 , Y1 ) ∈ IR. Zeigen Sie, dass
die empirische Kovarianz (siehe Aufgabe 3 der 2. Übung) stark konsistent für die theoretische
Kovarianz c = covθ (X1 , Y1 ) ist.
Aufgabe 4∗ (3 Punkte):
Beweisen Sie Lemma 2.2.2.
4. Übungsblatt zur
Statistik III - Schätzen und Testen
Müller WS 2016/2017
Aufgabe 1 (4 Punkte):
In der Viehzucht ist ein männliches Kalb weniger wert als ein weibliches. Ein Biochemiker
behauptet, ein Mittel entwickelt zu haben, das den Anteil an Geburten von weiblichen Kälbern
über den normalen Wert p = 50% erhöht. Das Mittel wird in 24 Fällen getestet; dabei werden
18 weibliche Kälber geboren.
(a) Wie sollte eine Viehzuchtanstalt entscheiden, die höchstens mit Wahrscheinlichkeit α =
0.01 das Mittel empfehlen will, obwohl es nicht wirkt?
(b) Das neue Mittel ist ökonomisch attraktiv, wenn es eine Steigerung auf p = 70% bewirkt.
Wie groß ist bei der in (a) benutzten Entscheidungsregel die Wahrscheinlichkeit dafür,
das Mittel abzulehnen, obwohl es ökonomisch attraktiv ist?
Achtung: Diese Aufgabe hat eine Fortsetzung in Aufgabe 1 der 5. Übung!
Aufgabe 2∗ (3 Punkte):
Seien X1 , . . . , XN u.i.d. mit Xn ∼ N (µ, 4). Leiten Sie einen unverfälschten Test zum Niveau
α = 0.05 für H0 : µ ≥ 1 gegen H1 : µ < 1 her und plotten Sie dessen Gütefunktion für N = 20.
Wie entscheidet der Test, wenn x. = 0.8 und N = 20 ist?
Aufgabe 3 (6 Punkte):
Seien X1 , . . . , XN u.i.d. mit Bin(1, p)-Verteilung. Sei qN,p (α) das α-Quantil der BinomialverteiP
lung Bin(N, p) und x. = N
n=1 xn .
a) Zeigen Sie, dass ϕ gegeben durch ϕ(x) = 1A(x) (x) mit Ablehnungsbereich
A(x) = {x. < qN,p0 (0.025) oder x. > qN,p0 (0.975)}
immer ein Test zum Niveau α = 0.05 für H0 : p = p0 gegen H1 : p 6= p0 ist.
b) Bestimmen Sie diese Tests für p0 = 0.3 und N = 5 und N = 20 und plotten Sie deren
Gütefunktionen. Sind diese Tests unverfälscht?
c) Finden Sie für N = 5 einen Test zum Niveau α = 0.05, dessen Fehlerwahrscheinlichkeiten
2. Art noch kleiner sind. Finden Sie für N = 20 sogar zwei alternative Tests mit ähnlichen
Fehlerwahrscheinlichkeiten 2. Art. Plotten Sie auch deren Gütefunktionen. Gibt es darunter
einen Test, der unverfälscht ist?
d) Welche Entscheidung werden bei den verschiedenen Tests gefällt, wenn
5
X
n=1
20
X
n=1
xn = 4 bzw.
xn = 10 bzw.
5
X
xn = 5 im Fall von N = 5,
n=1
20
X
xn = 11 im Fall von N = 20
n=1
gilt?
Achtung: Diese Aufgabe hat eine Fortsetzung in Aufgabe 1 der 6. Übung!
5. Übungsblatt zur
Statistik III - Schätzen und Testen
Müller WS 2016/2017
Aufgabe 1 (3 Punkte):
Bestimmen Sie für die Fragestellung in Aufgabe 1 der 4. Übung einen unverfälschten randomisierten Binomial-Tests zum Niveau α = 0.01. Wie groß ist bei diesem Test die Wahrscheinlichkeit dafür, das Mittel abzulehnen, obwohl es ökonomisch attraktiv ist? Plotten sie die
Gütefunktionen des nichtrandomisierten Tests und des randomisierten Tests. Welcher Test ist
vorzuziehen?
Aufgabe 2 (4 Punkte):
Das Gewicht von 10 Neugeborenen, deren Mütter eine bestimmte Stoffwechselkrankheit hatten,
betrug in kg
3.83, 4.31, 4.05, 4.29, 4.04, 4.21, 4.17, 4.36, 3.94, 4.23.
Kann man daraus schließen, dass Neugeborenen von diesen Müttern ein erwartetes Gewicht von
mehr als 4 kg haben? Formulieren Sie geeignete Null- und Alternativhypothesen und testen Sie
dann die Hypothesen mit einem Test zum Niveau α = 0.05. Nehmen Sie dazu an, dass die
Gewichte normalverteilt sind mit Standardabweichung von 0.2 kg. Welche Entscheidung treffen
Sie? Wie würde die Entscheidung ausfallen, wenn Sie zum Niveau α = 0.01 testen würden?
Achtung: Diese Aufgabe hat Fortsetzungen in Aufgabe 3 der 6. Übung, in Aufgabe 2 und 3
der 13. Übung und in Aufgabe 1 der 14. Übung!
Aufgabe 3 (3 Punkte):
Bestimmen Sie einen geeigneten Test zum Niveau α = 0.05 für die Fragestellung in Aufgabe
3 von der 1. Übung. Nehmen Sie dazu an, dass die Lebenszeiten eine Exponentialverteilung
besitzen und unabhängig und identisch verteilt sind.
Entscheidung wird dann gefällt?
PWelche
N
Hinweis: Zeigen Sie per Induktion, dass die Summe n=1 Xn =: T von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsgrößen X1 , . . . , XN mit Exponential-Verteilung Exp(λ) eine sogenannte
Erlang-N-Verteilung mit Dichte
(λ t)N −1 −λt
e 1[0,∞)(t)
fT,λ (t) = λ
(N − 1)!
und Verteilungsfunktion
FT,λ (t) =
1 − e−λt
N
−1
X
n=0
(λt)n
n!
!
1[0,∞) (t)
besitzt. Bestimmen Sie damit den P-Wert. Welchen Schluss ziehen Sie für die Daten aus Aufgabe
3 von der 1. Übung? Achtung: Diese Aufgabe hat eine Fortsetzung in Aufgabe 1 der 11. Übung!
Aufgabe 4∗ (3 Punkte):
Man zeige für den Gauß-Test
ϕN (x) = 1{√N |x.−µ0 | >F −1
σ
N (0,1)
(1− α
)}
2
(x)
für H0 : µ = µ0 gegen H1 : µ 6= µ0 , dass dieser ein konsistenter asymptotischer Test zum Niveau
α ist.
6. Übungsblatt zur
Statistik III - Schätzen und Testen
Müller WS 2016/2017
Aufgabe 1 (4 Punkte):
Seien X1 , . . . , XN u.i.v. mit Bin(1, p)-Verteilung.
a) Bestimmen Sie (1 − α)-Konfidenzintervalle für p mittels der Pearson-Clopper-Werte für
N = 5, α = 0.05 und α = 0.1 und stellen Sie diese in einer Tabelle wie im Skript da. Welche
Intervalle sind größer?
b) Bestimmen Sie mittels der (1 − α)-Konfidenzintervalle Tests zum Niveau α = 0.05 für die
Fragestellungen in Aufgabe 3 der 4. Übung. Welchen Tests aus Aufgabe 3 der 4. Übung entsprechen diese Tests?
Aufgabe 2 (2 Punkte):
Seien X1 , . . . , XN u.i.v. mit Normalverteilung, d.h. Xn ∼ N (µ, σ 2 ), wobei µ ∈ IR unbekannt
und σ 2 ∈ IR+ bekannt sind. Bestimmen Sie das zweiseitige Konfidenzintervall zum Niveau γ für
µ. Wie verändert sich das Konfidenzintervall, wenn der Stichprobenumfang N bzw. das Niveau
γ vergrößert wird? Geben Sie eine Interpretation für die beiden Veränderungen.
Aufgabe 3 (2 Punkte):
Bestimmen Sie für die Fragestellung aus Aufgabe 2 der 5. Übung ein halbseitiges Konfidenzintervall zum Niveau 0.95. Wie wird damit die Fragestellung aus Aufgabe 2 der 5. Übung
beantwortet? Achtung: Diese Aufgabe wird in Aufgabe 3 der 13. Übung fortgesetzt!
Aufgabe 4∗ (3 Punkte):
Beweisen Sie Satz 4.3.2.
Aufgabe 5∗ (3 Punkte):
Simulieren Sie 1 000 und 10 000 mal die Konfidenzbereichschätzung für µ aus Aufgabe 2 zu
einem gegebenen Niveau γ und einem gegebenen Stichprobenumfang N. Wie oft fällt in den
beiden Simulationen das zugrunde gelegte µ in den Konfidenzbereich? Geben Sie den R-Code
an.
Aufgabe 6 (2 Punkte):
Beweisen Sie folgenden Satz: Ist Y1∗ ∼ Bin(1, p1 ), Y2∗ ∼ Bin(1, p2 ) und ist [pu (Yi∗ ), po(Yi∗ )] ein
1 − α2 -Konfidenzintervall für pi für i = 1, 2, dann ist der Test gegeben durch
Lehne H0 : |p1 − p2 | ≤ p0 ab, falls
pu (Y1∗ ) > p0 + po (Y2∗ ) oder pu (Y2∗ ) > p0 + po (Y1∗ ),
d.h. die Konfidenzintervalle haben einen Abstand von mehr als p0 ,
ein Test zum Niveau α für H0 : |p1 − p2 | ≤ p0 gegen H1 : |p1 − p2 | > p0 .
7. Übungsblatt zur
Statistik III - Schätzen und Testen
Müller WS 2016/2017
Aufgabe 1 (2 Punkte):
Let be X1 , . . . , XN i.i.d. with binomial distribution, i.e. Xn ∼ B(M, p), where M is known.
Determine the maximum likelihood estimator for p and for var(Xn ) = Mp(1 − p).
Aufgabe 2 (2 Punkte):
Seien X1 , . . . , XN u.i.v.
(a) Man bestimme die Maximum-Likelihood-Schätzfunktion für λ für den Fall, dass Xn eine
Exponential-Verteilung E(λ) besitzt.
(b) Man bestimme die Maximum-Likelihood-Schätzfunktion für p für den Fall, dass Xn eine
Geometrische Verteilung G(p) besitzt.
Aufgabe 3 (4 Punkte):
Um die Anzahl M der Fische in einem Teich zu bestimmen, werden bei der Capture-RecaptureMethode N Fische gefangen, markiert und wieder ausgesetzt. Nach einer Weile, währenddessen
die Fische sich gut vermengt haben, werden m Fische gefangen. Von diesen wird die Anzahl
x der markierten Fische notiert. Bestimmen Sie eine Maximum-Likelihood-Schätzung für M
basierend auf x = 3 bzw. x = 5 und m = 10, N = 20.
Aufgabe 4 (2 Punkte):
Seien X1 , . . . , XN u.i.v. mit geometrischer Verteilung G(p). Bestimmen Sie die MomentenSchätzfunktion für p. Vergleichen Sie diese mit der Maximum-Likelihood-Schätzfunktion.
8. Übungsblatt zur
Statistik III - Schätzen und Testen
Müller WS 2016/2017
Aufgabe 1 (3 Punkte):
Betrachten Sie die Fragestellung aus Aufgabe 2 der 1. Übung bezüglich der Porzellanscherben
im recycelten Glas. Zeigen Sie, dass die Momenten-Schätzfunktion b
a gegeben durch
!
N
1 X
b
a(x) = exp −
xn
N n=1
keine erwartungstreue Schätzfunktion für a(λ) = e−λ ist.
Aufgabe 2 (3 Punkte):
Let be X1 , . . . , XN i.i.d. with exponential distribution Exp(λ). Determine the most efficient
unbiased estimator for λ1 and check whether the assumptions of the information inequality of
Rao/Cramér/Frechêt are satisfied.
Aufgabe 3 (4 Punkte):
a) Die Zufallsgröße X : Ω → N0 habe eine geometrische Verteilung G(p) mit p ∈ (0, 1). Bestimmen Sie die einzige erwartungstreue Schätzfunktion für p.
b) Seien X1 , . . . , XN u.i.v. mit geometrischer Verteilung G(p). Bestimmen Sie die höchsteffiziente Schätzfunktion für 1p .
Aufgabe 4∗ (4 Punkte):
Beweisen Sie folgende Aussagen:
a) Für die Fisher’sche Information gilt unter naheliegender Zusatzvoraussetzung
2
∂
Iθ (X) = −Eθ 2 ln fθ (X)
∂ θ
für alle θ ∈ Θ.
b) Sind X1 , . . . , XN u.i.v., dann gilt (mit X = (X1 , . . . , XN ))
Iθ (X) = N Iθ (X1 )
für alle θ ∈ Θ.
9. Übungsblatt zur
Statistik III - Schätzen und Testen
Müller WS 2016/2017
Aufgabe 1 (2 Punkte):
Seien X1 , . . . , XN u.i.v. mit diskreter Verteilung Pθ , θ ∈ Θ. Zeigen Sie, dass T gegeben durch
T (x) = x = (x1 , . . . , xN ) immer suffizient für {PθX ; θ ∈ Θ} ist. T ist damit die triviale suffiziente
Statistik für {PθX ; θ ∈ Θ}.
Aufgabe 2 (2 Punkte):
Seien X1 , . . . , XN u.i.v. mit Binomial-Verteilung Bin(M, p), wobei M bekannt und p ∈ [0, 1] unbekannt ist. Zeigen Sie, dass die Ordungsstatistik T gegeben durch T (x) = (x(1) , x(2) , . . . , x(N ) )
mit x(1) ≤ x(2) ≤ . . . ≤ x(N ) eine suffiziente Statistik für {PpX ; p ∈ [0, 1]} ist.
Aufgabe 3 (3 Punkte):
Let be X1 , . . . , XN i.i.d. with uniform distribution U θ − 12 , θ + 12 , i.e.
fθ (xn ) = 1[θ− 1 ,θ+ 1 ] (xn ),
2
2
with θ ∈ IR. Show that T given by T (x) = (x(1) , x(N ) ) = (minn xn , maxn xn ) is sufficient for
{PθX ; θ ∈ Θ}.
Aufgabe 4 (3 Punkte):
Seien X1 , X2 u.i.v. mit geometrischer Verteilung G(p), p ∈ (0, 1), d.h. P (Xi = k) = p(1 − p)k
für k ∈ N0 , i = 1, 2. Verbessern Sie die Schätzfunktion b
a für 1−p
gegeben durch b
a(x1 , x2 ) = x1
p
mit Hilfe des Satzes von Rao-Blackwell.
10. Übungsblatt zur
Statistik III - Schätzen und Testen
Müller WS 2016/2017
Aufgabe 1 (3 Punkte):
Seien X1 , . . . , XN u.i.v. mit Verteilung Pθ , θ ∈ Θ. Zeigen Sie, dass T gegeben durch T (x) =
c, c ∈ IR, immer eine vollständige Statistik für {PθX ; θ ∈ Θ} ist. T ist damit die triviale
vollständige Statistik für {PθX ; θ ∈ Θ}.
Aufgabe 2 (4 Punkte):
Seien X1 , . . . , XN u.i.v. mit Binomial-Verteilung Bin(M, p), wobei M bekannt und p ∈ [0, 1] unbekannt ist. Zeigen Sie, dass die Ordungsstatistik T gegeben durch T (x) = (x(1) , x(2) , . . . , x(N ) )
mit x(1) ≤ x(2) ≤ . . . ≤ x(N ) keine vollständige Statistik für {PpX ; p ∈ [0, 1]} ist. Betrachten Sie
dazu

1
, für t = (0, 0, . . . , 0, 0, 1, 1),

N
M

(
)
(
) (M1 )

2
1


−1
,
für t = (0, 0, . . . , 0, 0, 0, 2),
f (t) =
N (M

2)




0,
sonst.
Aufgabe 3 (3 Punkte):
Let be X1 , . . . , XN i.i.d. with Binomial distribution Bin(M, p) where M ∈ IN is known and
p ∈ [0, 1] is unknown. Derive the uniformly best unbiased estimator (BUE) for p. Use the
theorem of Lehmann-Scheffé.
11. Übungsblatt zur
Statistik III - Schätzen und Testen
Müller WS 2016/2017
Aufgabe 1 (3 Punkte):
Bestimmen Sie den trennschärfsten Test für die Fragestellung aus der Aufgabe 3 der 1. Übung.
Beachten Sie Aufgabe 3 der 5. Übung.
Aufgabe 2 (4 Punkte):
An einer Kreuzung wurden in den Jahren 1980 bis 1989 folgende Anzahlen von Unfällen beobachtet:
0, 1, 0, 4, 2, 0, 2, 3, 1, 0.
Kann man behaupten, dass die erwartete Anzahl der Unfälle an dieser Kreuzung pro Jahr
kleiner als 2 ist? Stellen Sie geeignete Hypothesen auf und finden Sie dazu einen trennschärsten
Test. Nehmen Sie dazu an, dass die Unfallzahlen eine Poisson-Verteilung besitzen.
Aufgabe 3 (3 Punkte):
Let be X1 , . . . , XN i.i.d. with normal distribution N (µ, σ 2 ) where µ is known and σ 2 ∈ IR+ is
unknown. Determine the most most powerful test for H0 : σ 2 ≥ σ02 against H1 : σ 2 < σ02 .
12. Übungsblatt zur
Statistik III - Schätzen und Testen
Müller WS 2016/2017
Aufgabe 1 (4 Punkte):
Let be X1 , . . . , XN i.i.d. with normal distribution N (µ, σ 2) where µ ∈ IR and σ 2 ∈ IR+ are
unknown. Show that ϕ with ϕ(x) = 1K (x) and
(
)
PN
PN
1
1
2
2
(x
−
x)
(x
−
x)
n=1 n
n=1 n
K = x ∈ RN ; N −1
< k∗ oder N −1
> k∗∗
2
σ0
σ02
is a likelihood ratio test for H0 : σ 2 = σ02 against H1 : σ 2 6= σ02 .
Aufgabe 2 (4 Punkte):
Seien X1 , . . . , XN , Y1 , . . . , YM unabhängig, X1 , . . . , XN mit Normalverteilung N (µ1 , σ12 ) und
Y1 , . . . , YM mit Normalverteilung N (µ2 , σ22 ), wobei µ1 , µ2 ∈ IR und σ12 , σ22 ∈ IR+ unbekannt
sind. Zeigen Sie, dass ϕ mit ϕ(x, y) = 1K (x, y) und
(
)
PN
PN
1
1
2
2
(x
−
x)
(x
−
x)
n
n
n=1
n=1
K = (x, y) ∈ RN +M ; N1−1 PM
< k∗ oder N1−1 PM
> k∗∗
2
2
(y
−
y)
(y
−
y)
m
m
y=1
m=1
M −1
M −1
ein Likelihood-Qotienten-Test für H0 : σ12 = σ22 gegen H1 : σ12 6= σ22 ist.
Aufgabe 3 (2 Punkte):
X besitze eine χ2 -Verteilung mit n Freiheitsgraden, d.h. X ∼ χ2n , und Y besitze eine χ2 Verteilung mit m Freiheitsgraden, d.h. Y ∼ χ2m . Zeigen Sie, dass X + Y eine χ2 -Verteilung
mit n + m Freiheitsgraden besitzt, d.h. es gilt X + Y ∼ χ2n+m , falls X und Y stochastisch
unabhängig sind.
13. Übungsblatt zur
Statistik III - Schätzen und Testen
Müller WS 2016/2017
Aufgabe 1 (2 Punkte):
Seien X1 , . . . , XN , Y1 , . . . , YM unabhängig, X1 , . . . , XN mit Normalverteilung N (µ1 , σ 2 ) und
Y1 , . . . , YM mit Normalverteilung N (µ2, σ 2 ), wobei µ1 , µ2 ∈ IR und σ 2 ∈ IR+ unbekannt sind.
Zeigen Sie, dass
σ
b12 (X)
,
σ
b22 (Y )
wobei
N
σ
b12 (X)
1 X
=
(Xn − X)2 ,
N − 1 n=1
σ
b22 (Y
M
1 X
)=
(Ym − Y )2
M − 1 m=1
die empirischen Varianzen für die erste und zweite Stichprobe sind, eine F -Verteilung mit
Freiheitsgraden N − 1 und M − 1 besitzt.
Aufgabe 2 (2 Punkte):
Bestimmen für die Fragestellung in Aufgabe 2 der 5. Übung einen Test, der nicht die Kenntnis
der Varianz voraussetzt. Führen Sie diesen Test durch und vergleichen Sie das Ergebnis mit
dem Ergebnis aus Aufgabe 2 der 5. Übung.
Aufgabe 3 (3 Punkte):
Bestimmen für die Fragestellung in Aufgabe 2 der 5. Übung ein einseitiges Konfidenzintervall,
das nicht die Kenntnis der Standardabweichung voraussetzt. Vergleichen Sie dieses mit dem
in Aufgabe 3 der 6. Übung bestimmten Konfidenzintervall und erklären Sie den Unterschied.
Bestimmen Sie für diese Daten auch das zweiseitige Konfidenzintervall ohne die Kenntnis der
Standardabweichung vorauszusetzen.
Aufgabe 4 (3 Punkte):
Die folgende Tabelle stellt das Gewicht von 10 Raucher, die mit dem Rauchen nach einer
Entwöhnungskur aufhörten, am Anfang der Entwöhnungskur und zwei Jahre nach der Entwöhnungskur dar:
Person
vorher
nachher
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
68.9 80.8 76.3 75.4 69.0 86.6 84.0 83.4 72.3 81.3
70.0 78.5 78.5 76.2 69.8 90.5 85.9 82.9 74.3 83.5
Kann man daraus schließen, dass das Aufhören mit dem Rauchen das Gewicht erhöht? Welche
Annahmen müssen dazu gemacht werden? Geben Sie auch ein zweiseitiges und ein geeignetes
einseitiges Konfidenzintervall für die Gewichtsänderung an. Welchen Schluss würde man ziehen,
wenn man das zweiseitige Konfidenzintervall benutzt?
14. Übungsblatt zur
Statistik III - Schätzen und Testen
Müller WS 2016/2017
Aufgabe 1 (4 Punkte):
Testen Sie für die Gewichtsdaten in Aufgabe 2 der 5. Übung die Nullhypothese, dass die Standardabweichung nicht größer als 0.2 ist. Bestimmen Sie auch zweiseitige Konfidenzintervalle für
die Varianz und für Standardabweichung. Enthält das Konfidenzintervall für die Standardabweichung die 0.2, die in Aufgabe 2 der 5. Übung angenommen wurde?
Aufgabe 2 (3 Punkte):
Die Wirksamkeit eines Medikamentes zur Minderung der Auswirkungen eines Alkoholgenusses
wird in zwei Versuchsreihen untersucht. In der ersten Gruppe wird die Reaktionszeit auf ein
Ereignis nach Alkoholgenuß gemessen, während den Personen der zweiten Gruppe vor dem Test
eine Kombination aus Medikament und Alkohol verabreicht wird. Als Meßergebnisse wurden
beobachtet:
1. Gruppe: 85, 106, 118, 81, 138, 90, 112, 119, 107, 95, 88, 103.
2. Gruppe: 96, 105, 104, 108, 86, 84, 99, 101, 78, 124, 121, 97, 129, 87, 109.
Unter der Annahme, daß diese Werte Realisationen zweier unabhängiger, jeweils normalverteilter Stichproben X1 , . . . , X12 ∼ N (µ1, σ12 ) und Y1 , . . . , Y15 ∼ N (µ2, σ22 ), untersuche man die
Frage, ob die beiden Stichproben eine unterschiedliche Streuung besitzen.
Aufgabe 3 (3 Punkte):
Untersuchen Sie für die Daten aus Aufgabe 2, ob die Reaktionszeiten unter dem Medikament
kürzer sind, d.h. die Wirkung des Medikament gegensinnig zu der des Alkohols ist.
Aufgabe 4∗ (3 Punkte):
Bestimmen Sie für die Daten aus Aufgabe 2 eine Punktschätzung und ein zweiseitiges Konfidenzintervall für µ1 − µ2 zum Niveau γ = 0.99 und γ = 0.95.