Lineare Algebra I

Lineare Algebra I
Übung, LVA 405.111-3
C. Fuchs, M. Ober, P. Tadic
6. Übungsblatt, WS 2013/14
19.11.2013
1. Sei G eine Gruppe und S ⊆ G. Die von S erzeugte Untergruppe hSi ist definiert
durch hSi = {a1 · · · an ; n ∈ N, ai ∈ S oder a−1
i ∈ S}; also die Menge aller endlichen
Produkte von Elementen aus S bzw. deren Inversen. Zeige, dass hSi die kleinste
Untergruppe von G ist, die S enthält, d.h. hSi ⊆ G ist eine Untergruppe und jede
Untergruppe von G, die S enthält, enthält bereits hSi. Wie sieht hSi für |S| = 1
aus?
2. Welche der folgenden Abbildungen sind Gruppenhomomorphismen? a) f1 : Z →
Z, z 7→ 2z, b) f2 : Z → Z, z 7→ z + 1, c) f3 : Z → Q\{0}, z 7→ z 2 + 1, d)
f4 : C → R, z 7→ |z|. Dabei ist die Verknüpfung in Z, R und C die Addition, in
Q\{0} die Multiplikation.
3. Sei R ein Ring, M eine beliebige nichtleere Menge und S = RM = {M → R}. Auf
S sind durch (f + g)(m) = f (m) + g(m), (f · g)(m) = f (m) · g(m) Operationen
erklärt. Zeige, dass S mit diesen Operationen ein Ring ist. Ist S ein Körper, falls R
ein Körper ist?
√
√
√
4. Sei n ∈ N und n ∈ R≥0 . Beweise, dass Q( n) = {a + b n; a, b ∈ Q} ein Unterkörper von R ist.
5. Betrachte auf R2 die übliche Vektoraddition und definiere ? : R × R2 → R2 durch a)
λ ? t (v1 , v2 ) := t (λv1 , v2 ), b) λ ? t (v1 , v2 ) := t (0, 0). Ist R2 mit diesen Operationen
ein Vektorraum über R? Überprüfe, welche Axiome gelten und welche nicht erfüllt
sind.
6. Sei K ein Unterkörper eines Körpers (L, +, ·). Zeige, dass (L, +) zusammen mit
der auf K × L eingeschränkten Multiplikation ein Vektorraum über K ist. Gib für
K = Z/2Z, K = Q, K = R und K = C je mindestens ein Beispiel für einen solchen
Vektorraum an.
7. Seien V, W Vektorräume über einem Körper K. Zeige, dass das kartesische Produkt
V × W mit den Operationen (v, w) + (v 0 , w0 ) := (v + v 0 , w + w0 ), λ · (v, w) := (λv, λw)
ebenfalls ein Vektorraum über K ist.
8. Welche der folgenden Teilmengen von Rn sind Unterräume?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
{ t (v1 , . . . , vn ); v1 ≤ 0},
{ t (v1 , . . . , vn ); v1 vn = 0},
{ t (v1 , . . . , vn ); v1 + · · · + vn = 0},
{ t (v1 , . . . , vn ); v12 + v22 + · · · + vn2 = 0},
{ t (v1 , . . . , vn ); v1 = v2 = · · · = vn },
{ t (v1 , . . . , vn ); v1 ≤ v2 ≤ · · · ≤ vn }.