Hochdimensionale Statistik SS 2017 Prof. Dr. Holger Dette

Hochdimensionale Statistik
Prof. Dr. Holger Dette
SS 2017
Aufgabenblatt 3
Aufgabe 1 Sei X eine Zufallsvariable mit
E[exp(λX)] ≤ exp
λ2 σ 2 2
∀λ ∈ R
,
für ein σ > 0. Zeige, dass E[X 2 ] ≤ σ 2 .
Aufgabe 2 Zeige, dass für alle r1 , . . . , rn ∈ [0, 1] und A ⊂ [0, 1]n gilt
E[sup
a∈A
n
X
ai ri i ] ≤ E[sup
a∈A
i=1
n
X
ai i ],
i=1
wobei 1 . . . n Rademacher-Variablen sind.
Aufgabe 3 Sei F eine Menge gleichmäßig beschränkter Funktionen, d.h. es gibt
ein 0 < b < ∞, sodass kf k∞ ≤ b für alle f ∈ F. Zeige, dass für jedes n ∈ N und
δ>0
supf ∈F |E[f (X1 )]|
1
√
−δ
kPn − PkF ≥ Rn (F) −
2
2 n
2
mit Wahrscheinlichkeit ≥ 1 − 2 exp(− nδ
) gilt.
8b2
√
Hinweis: Zeige, dass EX,ε [kRn kF̄ ] ≥ EX [kRn kF ] − supf ∈F |E[f (X)]|/ n, wobei
F̄ = {f − E[f (X1 )]|f ∈ F} und nutze Proposition 3.8.
Aufgabe 4 Nimm an, dass F polynomial discrimination der Ordnung ν hat.
Zeige, dass für n ≥ 10 und xn1 = (x1 , . . . , xn )
r
D2 (xn1 )ν log(n + 1)
R(F(xn1 )/n) ≤ 3
n
P
gilt, wobei D2 (xn1 ) = supf ∈F n1 ni=1 f 2 (xi ).
P
Hinweis: Wende Proposition 2.12 auf R(F(xn1 )/n) = Eε [supf ∈F | n1 ni=1 εi f (xi )|]
an.