Bemerkung (Fortsetzung) - Fakultät Statistik (TU Dortmund)
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TU Dortmund
Wintersemester 2010/2011 - Statistik für Ökonomen
Bemerkung (Fortsetzung)
d) Eigenschaften des Erwartungswertes: X1 , ..., Xn beliebige
Zufallsvariablen; a1 , a2 , . . . , an , b ∈ R beliebige Konstanten;
g : R → R beliebige Funktion. Dann gilt:
◮
◮
◮
E (a1 X1 + b) = a1 E (X1 ) + b
E
n
P
i=1
ai Xi
=
n
P
ai E (Xi )
i=1
P
g(xi ) f (xi ),
falls X1 diskret
i
E (g(X1 )) =
R∞
g(x) f (x) dx, falls X1 stetig
−∞
◮
Dr. Hendrik Hansen
Falls X1 , ..., Xn stochastisch unabhängig, so gilt außerdem
E (X1 · ... · Xn ) = E (X1 ) · ... · E (Xn )
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Bemerkung (Fortsetzung)
e) (Schwaches) Gesetz der großen Zahlen:
X1 , ..., Xn unabhängige Zufallsvariablen, die alle die gleiche
Verteilung (d.h. gleiche Dichte/Wahrscheinlichkeitsfunktion
und gleiche Verteilungsfunktion) wie X besitzen. Dann gilt für
ein beliebiges ε > 0:
lim P (| X̄n − E (X) | < ε) = 1
n→∞
f) Interpretation des (schwachen) Gesetzes der großen Zahlen:
Seien x1 , ..., xn Realisationen der Zufallsvariablen aus Teil e).
Dann gilt
n
1X
xi = E (X).
lim
n→∞ n
i=1
Dr. Hendrik Hansen
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Beispiel 10.2
1.5
●
●
●
●
●
●
●
●
1.0
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
0.5
●
0.0
Durchschnittliche Anzahl Kopf
2.0
a) X = Anzahl Kopf bei zweimaligem Münzwurf“
”
→ E (X) = 1, vgl. Bsp. 10.1
●
0
5
10
15
20
25
Anzahl n der (zweimaligen) Münzwürfe
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Beispiel 10.2 (Fortsetzung)
b) Betrachte abermals Beispiel 2.4 bzw. 3.1: Lebensdauer (in
Betriebsstudien) von Ventilen in kunststoffverarbeitendem
Betrieb
Dr. Hendrik Hansen
◮
Lebensdauern als unabhängige Zufallsvariablen mit gleicher
Verteilung auffassbar → bei wachsendem Stichprobenumfang
konvergiert arithmetisches Mittel gegen Erwartungswert dieser
Verteilung (Grund: Gesetz der großen Zahlen)
◮
Bei vorliegenden Daten (n = 30) gilt: x̄a = 313, 17 (vgl.
Beispiel 3.1)
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Bemerkung
Weiteres Lagemaß aus Kapitel 3: p−Quantil (Wert xp , für den
mindestens ein Anteil p · 100 Prozent der Daten kleiner/gleich xp ,
und mindestens ein Anteil (1 − p) · 100 Prozent der Daten
größer/gleich xp ist) → definiere nun p−Quantil einer Verteilung
(zunächst lediglich stetiger Fall)
Definition 10.2
Für eine stetige Zufallsvariable X und ein p ∈ [0, 1] heißt der Wert
xp mit
P (X ≤ xp ) = p
p-Quantil der Verteilung von X.
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Beispiel 10.3
a) X = S1-Verspätung Haltestelle Universität Dortmund“, vgl.
”
Beispiel 9.4 b) bzw. 10.1 c); Frage: Welche Verspätung wird
in 4 von 5 Fällen nicht überschritten?
◮
Suche also das 0, 8−Quantil x0,8 der Gleichverteilung aus
Beispiel 9.4 b)
◮
X stetig → x0,8 so, dass P (X ≤ x0,8 ) = 0, 8
P (X ≤ x0,8 )
⇔ x0,8
= F (x0,8 ) =
=
x0,8
= 0, 8
20
20 · 0, 8 = 16
→ Mit 80 prozentiger Wahrscheinlichkeit beträgt die
Verspätung nicht mehr als 16 Minuten
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230
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Beispiel 10.3 (Fortsetzung)
0
0.2
0.4
F(x)
0.6
0.8
1
a) Verspätung S-1 (Fortsetzung)
−8
0
8
X0,8=16
24
Verspätung x in Minuten
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231
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Beispiel 10.3 (Fortsetzung)
0
(d.h. 80% Wahrscheinlichkeitsmasse)
−5
0
X0,8=16
(d.h. 20% Wahrscheinlichkeitsmasse)
Flächeninhalt links vom 0,8−Quantil=0,8
Flächeninhalt rechts vom 0,8−Quantil=0,2
f(x)
0.05
a) Verspätung S-1 (Fortsetzung)
20
25
Verspätung x in Minuten
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232
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Beispiel 10.3 (Fortsetzung)
b) X = Augensumme bei zweimaligem Würfeln“, vgl. u.a.
”
Beispiel 9.3
◮
Auch hier gesucht: 0, 8−Quantil → Versuch, obwohl X
diskret, Definition 10.2 anzuwenden
◮
Nach Beispiel 9.3 gilt
P (X ≤ x) = F (x) =
(
26/36 = 0, 72
für 8 ≤ x < 9
30/36 = 0, 83 für 9 ≤ x < 10
→ ein x0,8 mit P (X ≤ x0,8 ) = 0, 8 existiert nicht
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233
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Beispiel 10.3 (Fortsetzung)
b) Zweimaliges Würfeln (Fortsetzung)
1.0
Verteilungsfunktion zweifaches Würfeln
●
●
●
0.8
●
0.6
●
F(x)
●
0.4
●
0.2
●
●
0.0
●
●
2
4
6
8
10
12
Augensumme x
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234
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Beispiel 10.3 (Fortsetzung)
b) Zweimaliges Würfeln (Fortsetzung)
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235
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Bemerkung
Fasse, für eine diskrete Zufallsvariable X und ein p ∈ [0, 1], den
Wert xp mit
F (xp ) ≥ p und F (x) < p für x < xp
als p−Quantil der Verteilung von X auf
Beispiel 10.4
(Augensumme zweimaliges Würfeln, vgl. Beispiel 10.3 b))
Es gilt
P (X ≤ x) = F (x) =
26/36 = 0, 72
30/36 = 0, 83
für 8 ≤ x < 9
für 9 ≤ x < 10
→ Gemäß der Bemerkung nach Beispiel 10.3 gilt x0,8 = 9
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Bemerkung
◮
Neben Lagemaßen in Teil A von Interesse: Streuungsmaße
(siehe etwa Bsp. 4.1: Zwei unterschiedlich schwankende
Aktienkurse X, Y mit x̄a = ȳ a )
◮
Jetzt: Wie weit streuen Realisierungen einer Zufallsvariablen
X um E(X) herum; Betrachte etwa Zufallsvariablen X und
Y mit E(X) = E(Y ) → folgendes Bild möglich
f(y)
f(x)
E(X)=E(Y)
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237
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Definition 10.3
Sei X beliebige Zufallsvariable. Dann heißt
2
σX
= Var (X) = E (X − E (X))2
Varianz von X und
σX =
Standardabweichung von X.
q
2
σX
Bemerkung
Sei X beliebige Zufallsvariable. Dann gilt (vgl. Bem. e) nach Bsp.
4.4):
Var (X) = E X 2 − [E (X)]2
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238
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Beispiel 10.5
a) X = Augensumme bei zweimaligem Würfeln“, vgl. u.a.
”
Beispiel 10.4; Gesucht: Var (X)
Var (X) = E X 2 − [E (X)]2
=
11
X
x2i · f (xi ) − 72 (da E (X) = 7, vgl. Bsp. 10.1 a))
i=1
= 22 ·
=
2
3
1
1
+ 32 ·
+ 42 ·
+ . . . + 122 ·
− 49
36
36
36
36
1974
210
− 49 =
36
36
≈ 5, 833
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239
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Beispiel 10.5 (Fortsetzung)
b) Varianz & Standardabweichung der Zufallsvariablen
X = S1-Verspätung Hst. Uni Dortmund“, s. u.a. Bsp. 10.3 a)
”
20
Z∞
Z20
1
x3 1
2
2
2
E (X ) =
x · f (x)dx = x · dx =
= 133
20
60 0
3
−∞
0
Außerdem ist E (X) = 10, vgl. Bsp. 10.1 c), also gilt:
1
1
Var (X) = E X 2 − [E (X)]2 = 133 − 100 = 33
3
3
r
1
→ σX =
33 = 5, 774 ∼ 5 Minuten & 46 Sekunden
3
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240
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Bemerkung
a) Eigenschaften der Varianz: Für beliebige Zufallsvariablen
X1 , ..., Xn gilt
i) Var (Xi ) ≥ 0
ii) Var (a Xi + b) = a2 Var (Xi ) für a, b ∈ R
iii) Sind die Zufallsvariablen X1 , X2 , . . . , Xn außerdem
unabhängig, so gilt weiter
! n
"
n
X
X
Var
ai Xi =
a2i Var (Xi ) für a1 , a2 , . . . , an ∈ R
i=1
Dr. Hendrik Hansen
i=1
241
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Bemerkung
b) Vorsicht: Für unabhängige Zufallsvariablen X und Y folgt
aus Teil a), Punkt iii) nicht, dass
Var (X − Y ) = Var (X) − Var (Y )
Grund:
Var (X − Y ) = Var (X + (−Y ))
= 12 · Var (X) + (−1)2 · Var (Y )
= Var (X) + Var (Y )
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242
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Beispiel 10.6
X = Anzahl Kopf bei zweimaligem Münzwurf“, s. u.a. Bsp. 10.2
”
a)
definiere außerdem Y = Anzahl Zahl bei zweimaligem Münzwurf“
”
→ Zufallsexperiment mit Ω = {(K, K), (K, Z), (Z, K), (Z, Z)}
ωi
X(ωi )
(K, K)
2
(K, Z)
1
(Z, K)
1
(Z, Z)
0
Y (ωi )
0
1
1
2
→ Zusammenhang zwischen X und Y (offensichtlich negativ, da
X ր wenn Y ց und umgekehrt)?
Dr. Hendrik Hansen
243
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Definition 10.4
Für zwei Zufallsvariablen X und Y heißt
σXY = Cov (X, Y ) = E [(X − E (X))(Y − E (Y ))]
Kovarianz von X und Y sowie
ρXY =
σXY
σX · σY
Korrelation von X und Y (vgl. Teil A: Definition 5.1 & 5.2).
Bemerkung
X und Y beliebige Zufallsvariablen. Dann gilt (vgl. Bem. a) nach
Beispiel 5.3)
Cov (X, Y ) = E (X Y ) − E (X) E (Y )
Dr. Hendrik Hansen
244
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Beispiel 10.7
X = Anzahl Kopf bei zweimaligem Münzwurf“,
”
Y = Anzahl Zahl bei zweimaligem Münzwurf“, s. u.a. Bsp. 10.6
”
Dr. Hendrik Hansen
ωi
X(ωi )
(K, K)
2
(K, Z)
1
(Z, K)
1
(Z, Z)
0
Y (ωi )
0
1
1
2
X(ωi ) · Y (ωi )
0
1
1
0
245
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Beispiel 10.7 (Fortsetzung)
Es gilt
E (X) = 0 · P (X = 0) + 1 · P (X = 1) + 2 · P (X = 2)
1
1
1
= 0 · + 1 · + 2 · = 1 = E (Y )
4
2
4
E (X · Y ) = 0 · P (X · Y = 0) + 1 · P (X · Y = 1)
1
1
1
= 0· +1· =
2
2
2
Cov (X, Y ) =
1
1
−1·1 = −
2
2
→ Negativer, linearer Zusammenhang zwischen X und Y , über
Stärke kann jedoch keine Aussage getroffen werden (siehe
Bem. c) nach Beispiel 5.3)
Dr. Hendrik Hansen
246
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Beispiel 10.7 (Fortsetzung)
Bestimme Stärke des linearen Zusammenhangs über Korrelation
Var (X) = E X 2 − [E (X)]2 (und E (X) = 1, vgl. Bsp. 10.1 b))
= 02 · P (X = 0) + 12 · P (X = 1) + 22 · P (X = 2) − 12
= 0·
1
1
1
1
+1· +4· −1 =
= Var (Y )
4
2
4
2
− 12
→ ρXY = q q
1
2
= −1
1
2
D.h. perfekt negativer linearer Zusammenhang (siehe Bem. nach
Bsp. 5.5); Plausibles Ergebnis: X + Y = 2 ⇔ Y = 2 − X
Dr. Hendrik Hansen
247
