15.12.10 - TU Dortmund

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Wintersemester 2010/2011 - Statistik für Ökonomen
Bemerkung 1
a) Zwei Zufallsvariablen X und Y heißen unkorreliert, wenn
σXY = 0 gilt
b) Wenn X und Y unabhängig, dann gilt σXY = 0 (also auch
ρXY = 0); Umkehrung gilt i.A. nicht (Grund: Nichtlineare
Abhängigkeiten zwischen X und Y möglich, werden durch
σXY jedoch nicht erfasst)
Weiterhin gilt:
c) −1 ≤ ρXY ≤ 1
d) ρXY = 1 ⇔ Y = a X + b mit a > 0 und b ∈ R
e) ρXY = −1 ⇔ Y = a X + b mit a < 0 und b ∈ R
f) Var (a X + b Y ) = a2 Var (X) + b2 Var (Y ) + 2ab Cov (X, Y )
(a, b ∈ R, sie Bem. a), Punkt iii) nach Bsp. 10.5)
Dr. Hendrik Hansen
248
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Bemerkung 2
Fazit zu Erwartungswert, Varianz & Kovarianz/Korrelation
• Wichtige charakteristische Kennzahlen einer bzw. zweier
Zufallsvariablen
• Theoretische Gegenstücke zu arithmetischem Mittel,
empirischer Varianz und empirischer Kovarianz/Korrelation
aus Teil A
Dr. Hendrik Hansen
249
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Kapitel 11: Ausgewählte Verteilungen
Beispiel 11.1
a) Flugzeugmotoren einer bestimmten Marke fallen bei einem
gegebenen Flug mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/10 aus.
Bei mehrmotorigen Maschinen dieser Firma treten die Ausfälle
unabhängig voneinander auf. Ein Flugzeug erreicht sein Ziel,
wenn wenigstens die Hälfte der Motoren läuft. Für einen Flug
steht wahlweise eine zwei- oder eine viermotorige Maschine
zur Verfügung.
Mit welcher Maschine werden Sie fliegen, wenn Ihnen
Ihr Leben lieb ist?
Dr. Hendrik Hansen
250
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Beispiel 11.1 (Fortsetzung)
b) Jedes zweite Los gewinnt!“ verspricht der Vereinsvorsitzende,
”
als er vor 100 geladenen Gästen die Tombola der
Jahresabschlussfeier eröffnet. Nach der Preisvergabe
beschweren sich 10 Personen, die jeweils fünf Lose gekauft
haben, dass sie nicht einmal gewonnen haben.
Wie ist die Aussage des Vorsitzenden zu beurteilen?
Dr. Hendrik Hansen
251
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Definition 11.1
Ein Zufallsexperiment mit zwei möglichen Ausgängen heißt
Bernoulli-Experiment.
Beispiel 11.2
Beispiele für Bernoulli-Experimente
a) Einfacher Münzwurf: Ω = { Kopf“, Zahl“}
”
”
b) Elfmeter: Ω = { Schütze trifft“, Schütze trifft nicht“}
”
”
c) Wahlverhalten einer Person: Ω = { CDU ja“, CDU nein“}
”
”
d) Börse im Vergleich zum Vortag:
Ω = { DAX gestiegen“, DAX gefallen“}
”
”
e) ...
Dr. Hendrik Hansen
252
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Definition 11.2
Wiederhole Bernoulli-Experiment n−Mal, wobei Wahrscheinlichkeit
für Erfolg“ oder Misserfolg“ konstant & Wiederholungen
”
”
unabhängig voneinander; definiere nun X = Anzahl der ’Erfolge’
”
bei diesen n Wiederholungen“ (diskrete Zufallsvariable), dann heißt
X binomialverteilt mit Parametern n und p (kurz: X ∼Bin(n, p)),
wobei
n x
p (1 − p)n−x
f (x) = P (X = x) =
x
E (X) = np
n
x
[
n
n
=
=
Dr. Hendrik Hansen
und
Var (X) = np (1 − p)
n!
x!·(n−x)! ”Binomialkoeffizient“,
n
n
0 = 1, 1 = n ]
n
x
= 0 für x > n,
253
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Beispiel 11.3
a) Motorenausfälle bei Flugzeugen, vgl. Bsp. 11.1 a)
X1 = Anzahl ausfallende Motoren in zweimotoriger Maschine
X2 = Anzahl ausfallende Motoren in viermotoriger Maschine
Bsp. 11.1 a): Ausfälle unabhängig voneinander mit Wahrscheinlichkeit 1/10 ⇒ X1 ∼ Bin (2; 0, 1) & X2 ∼ Bin (4; 0, 1)
Für die Absturzwahrscheinlichkeiten gilt somit
P (Absturz Fl. 1) = P (X1 > 1) = P (X1 = 2)
=
2
2
· 0, 12 (1 − 0, 1)0
= 1 · 0, 12 · 0, 90 = 0, 01
Dr. Hendrik Hansen
254
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Beispiel 11.3 (Fortsetzung)
a) Motorenausfälle bei Flugzeugen (Fortsetzung)
P (Absturz Fl. 2) = P (X2 > 2) = P (X2 = 3) + P (X2 = 4)
=
4
3
· 0, 13 (1 − 0, 1)1 +
4
4
· 0, 14 (1 − 0, 1)0
= 4 · 0, 13 · 0, 91 + 1 · 0, 14 · 0, 90
= 0, 0036 + 0, 0001 = 0, 0037
→ Absturzwahrscheinlichkeit Flugzeug 1 = 1% vs. Absturzwahrscheinlichkeit Flugzeug 2 = 0,37% → Flugzeug 2
sollte bevorzugt werden!
Dr. Hendrik Hansen
255
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Beispiel 11.3 (Fortsetzung)
b) Tombola, vgl. Bsp. 11.1 b)
X = Anzahl der Gewinne bei fünf gekauften Losen
Vorsitzender: P (Los gewinnt) = 0, 5 ⇒ X ∼ Bin (5; 0, 5)
Wahrscheinlichkeit, bei fünf Losen keinen Gewinn zu erzielen
5
· 0, 50 (1 − 0, 5)5
P (5 Lose, kein Gewinn) = P (X = 0) =
0
= 1 · 0, 50 · 0, 55
= 0, 03125 ≈ 3, 1%
→ zieht eine Person 5 Lose, so ist Wahrscheinlichkeit für 5
Nieten 3,1% (wenn Aussage des Vorsitzenden wahr); es haben
jedoch bereits 10% der Gäste (10 von 100) bei 5 Losen nur
Nieten gezogen → Aussage des Vorsitzenden fragwürdig
Dr. Hendrik Hansen
256
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Bemerkung
a) Sei X Bin(n, p)−verteilt, dann ist eine Zufallsvariable
Y = n − X Bin(n, 1 − p)−verteilt
◮
Dr. Hendrik Hansen
Beispiel n−maliges Würfeln; X = Anzahl Würfe mit
”
Augenzahl<3“ → X ∼Bin(n, 1/3); Y = n − X = Anzahl
”
Würfe mit Augenzahl≥3“ → Y ∼Bin(n, 2/3)
257
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Bemerkung (Fortsetzung)
b) f (x) Binomialverteilung für verschiedene n und p
0.5
0.4
0.3
f(x)
0.0
0.1
0.2
0.3
0.0
0.1
0.2
f(x)
0.4
0.5
0.6
n=5,p=0.3
0.6
n=5,p=0.1
0
1
2
x
3
4
5
0
1
3
4
5
4
5
0.6
0.5
0.0
0.1
0.2
0.3
f(x)
0.4
0.5
0.4
0.3
f(x)
0.2
0.1
0.0
0
Dr. Hendrik Hansen
x
n=5,p=0.8
0.6
n=5,p=0.5
2
1
2
x
3
4
5
0
1
2
x
3
258
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Bemerkung (Fortsetzung)
b) f (x) Binomialverteilung für verschiedene n & p (Fortsetzung)
0.3
0.2
f(x)
0.0
0.1
0.2
0.0
0.1
f(x)
0.3
0.4
n=10,p=0.3
0.4
n=10,p=0.1
0
2
4
x
6
8
10
0
2
6
8
10
8
10
0.4
0.3
0.0
0.1
0.2
f(x)
0.3
0.2
f(x)
0.1
0.0
0
Dr. Hendrik Hansen
x
n=10,p=0.8
0.4
n=10,p=0.5
4
2
4
x
6
8
10
0
2
4
x
6
259
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Bemerkung (Fortsetzung)
c) Tabellierte Verteilungsfunktion der Bin (n; 0, 5)−Verteilung
n
x
0
1
0,5000
2
0,2500
3
0,1250
4
0,0625
5
0,0313
1
1
0,7500
0,5000
0,3125
0,1875
1
0,8750
0,6875
0,5000
1
0,9375
0,8125
1
0,9688
2
3
4
5
Dr. Hendrik Hansen
1
260
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Definition 11.3
Stetige Gleichverteilung, siehe u.a. Beispiel 9.4
Gemäß Bsp. 9.4 a) heißt eine stetige Zufallsvariable X
gleich-/rechteckverteilt auf Intervall [a, b] (kurz: X ∼ R [a, b]), falls
f (x) =
(
1
b−a
a≤x≤b
sonst
0
Weiterhin gilt
F (x) =
E (X) =
Dr. Hendrik Hansen
a+b
2
und


0
x−a
 b−a

1
x<a
a≤x≤b
x>b
Var (X) =
(b − a)2
12
261
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Beispiel 11.4
a) Abfüllanlage für Getränkedosen ist auf 0,33 Liter eingestellt
Abweichungen von ±0, 004 L. akzeptabel
Befürchtung/Vermutung/Wissen: Anlage weicht um ±0, 009
L. vom Sollwert ab, Abweichungen auf diesem Intervall
gleichverteilt
Frage: Falls Befürchtung wahr,
Dr. Hendrik Hansen
◮
mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt abgefüllte Menge einer
Dose im akzeptablen Bereich?
◮
Erwartungswert/Standardabweichung?
262
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Beispiel 11.4
a) Abfüllanlage für Getränkedosen (Fortsetzung)
Annahme also: X ∼ R [0, 321; 0, 339]
Gesucht: P (0, 326 < X ≤ 0, 334) = F (0, 334) − F (0, 326)
(siehe Bem. 2a) nach Definition 9.4); Nach Def. 11.3 gilt
F (x) =
x − 0, 321
x − 0, 321
=
für 0, 321 ≤ x ≤ 0, 339
0, 339 − 0, 321
0, 018
Also ist
F (0, 334) − F (0, 326) =
=
Dr. Hendrik Hansen
0, 334 − 0, 321 0, 326 − 0, 321
−
0, 018
0, 018
0, 008
= 0, 444
0, 018
263
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Beispiel 11.4
a) Abfüllanlage für Getränkedosen (Fortsetzung)
Weiterhin gilt
E (X) =
Var (X) =
0, 321 + 0, 339
= 0, 33 und
2
(0, 339 − 0, 321)2
= 0, 000027 → σX = 0, 0052 Lit.
12
→ Obwohl Erwartungswert=0,33 Liter=Sollwert, beträgt
Wahrscheinlichkeit, im Toleranzbereich ±0, 004 Litern zu
liegen, lediglich 44,4 %; Grund: σX = 0, 0052 > 0, 004
→ viele Abfüllmengen außerhalb des Toleranzbereiches
b) Anderes Beispiel für stetige Gleichverteilung: S1-Verspätung
(siehe Kapitel 9 & 10)
Dr. Hendrik Hansen
264
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Definition 11.4
Sei µ ∈ R und 0 < σ 2 ∈ R. Besitzt eine stetige Zufallsvariable X
die Dichte
f (x) = √
1
2 πσ 2
e− 2 (
1
x−µ 2
σ
) ,
x ∈ R,
so heißt X normalverteilt mit Parametern µ und σ 2
(kurz: X ∼ N (µ, σ 2 )), wobei
E (X) = µ und
Var (X) = σ 2
Falls µ = 0 und σ 2 = 1, so heißt X standardnormalverteilt.
Dr. Hendrik Hansen
265
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Wintersemester 2010/2011 - Statistik für Ökonomen
Bemerkung
0.6
0.6
a) Dichte der Normalverteilung für verschiedene µ und σ 2
0.5
µ=2
0.3
f(x)
0.0
0.1
0.2
0.3
0.0
0.1
0.2
f(x)
σ2 = 1
0.4
σ2 = 1
0.4
0.5
µ=0
−4
−2
0
2
4
−4
−2
4
2
4
0.6
0.5
0.3
f(x)
0.4
σ2 = 0.5
0.0
0.1
0.2
0.3
0.0
0.1
0.2
f(x)
2
µ=2
σ2 = 2
0.4
0.5
µ=0
−4
−2
0
x
Dr. Hendrik Hansen
0
x
0.6
x
2
4
−4
−2
0
x
266
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Wintersemester 2010/2011 - Statistik für Ökonomen
Bemerkung (Fortsetzung)
b) X ∼ N (µ, σ 2 ) → Dichte von X symmetrisch um µ, d.h.
f (µ − x) = f (µ + x) für alle x ∈ R
c) X ∼ N (µ, σ 2 ), dann gilt
X −µ
∼ N (0, 1)
σ
d) X1 , ..., Xn unabhängig mit Xi ∼ N (µi , σi2 ), dann gilt
! n
"
n
n
X
X
X
Xi ∼ N
µi ,
σi2
i=1
Dr. Hendrik Hansen
i=1
i=1
267
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Wintersemester 2010/2011 - Statistik für Ökonomen
Beispiel 11.5
Angenommen, die monatliche Rendite (in %) einer Aktie ist eine
normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert 0,5 und Varianz
4. Mit welcher Wahrscheinlichkeit steigt der Kurs dieser Aktie dann
in einem Monat um mehr als 5%?
X = monatliche Rendite in %“
”
⇒
P (X > 5) = 1 − P (X ≤ 5) = 1 −
X ∼ N (0, 5; 4)
Z5
−∞
√
1 x−0,5 2
1
· e− 2 ( 2 ) dx
2π · 4
Schwer zu berechnen → Anwendung von Bem. c) nach Def. 11.4
Dr. Hendrik Hansen
268
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Beispiel 11.5 (Fortsetzung)


 X − 0, 5
5 − 0, 5 

P (X > 5) = 1 − P (X ≤ 5) = 1 − P 
≤


2
2
| {z }
∼N (0,1)
= 1 − FN (0,1) (2, 25) = 1 − Φ(2, 25)
= 1 − 0, 9878
= 0, 0122 = 1, 22%.
(Hierbei bezeichnet Φ(x) die Verteilungsfunktion der
N (0, 1)-Verteilung)
→ Eine monatliche Kurssteigerung um mehr als 5% ist lediglich
mit einer Wahrscheinlichkeit von 1,22% zu erwarten.
Dr. Hendrik Hansen
269
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Bemerkung
a) Tabellierte Verteilungsfunktion Φ(x) der N (0, 1)-Verteilung
an der Stelle x = x1 + x2
x2
x1
···
···
0,0
..
.
..
.
2,1
0,9821
···
0,9838
0,9842
0,9846
···
2,2
0,9861
···
0,9875
0,9878
0,9881
···
2,3
0,9893
0,9904
0,9906
0,9909
..
.
..
.
···
..
.
..
.
..
.
···
Dr. Hendrik Hansen
..
..
.
.
0,04
0,5160
0,05
0,5199
0,06
0,5239
..
.
..
.
..
.
···
···
0,00
0,5000
..
.
..
.
270