Spieler i

3. Spiele in extensiver Form
3.1 Extensive Form, Spielbaum und Teilspiele
3.2 Strategien in extensiven Spielen
4. Spiele mit vollkommener Information
4.1 Teilspielperfekte Nash-Gleichgewichte
4.2 Das ‚chain-store‘-Paradox
4.3 Vorwärtsinduktion
Einführung in die Spieltheorie (für Betriebs- und Volkswirte)
 2003 Dr. B. Hehenkamp
3.1 Extensive Form, Spielbaum und Teilspiele
Spiel in extensiver Form
•
Wer?
! Liste der Spieler i
•
Was?
! Liste von möglichen Strategien si für alle Spieler i
•
Wieviel? ! Auszahlungen Ui(si,s-i), die jeder Strategiekombination
(si,s-i) einen Wert zuordnen
• Wann?
! Zeit- und Informationsstruktur, d.h.
-) wann hat ein Spieler über was zu entscheiden und
-) über welche vorherigen Entscheidungen ist er zu
diesem Zeitpunkt informiert
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DEF Spielbaum
Ein Spielbaum ist eine Menge von Knoten und Kanten (Graph)
•
mit eindeutigem Startpunkt (Wurzelknoten),
•
ohne Zykel (es ist nicht möglich, einen Knoten, den man bereits
verlassen hat, noch einmal zu erreichen ! eindeutig gerichtete
Zeitachse),
•
mit eindeutigen Vorgängerknoten für jeden Knoten (jeder Knoten
kann nur von genau einem anderen Knoten aus erreicht werden).
Knoten
↔ Entscheidungspunkt für genau einen Spieler
abgehende Kanten
↔ Entscheidungsalternativen für diesen Spieler
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DEF Spiel in extensiver Form
•
einen Spielbaum mit eindeutigem Startknoten (Wurzel/Ursprung),
•
eine Zerlegung der Knotenmenge, die jeden Knoten genau einem
Spieler zuweist (zusätzl. Spieler „Natur“ repräsentiert den Zufall),
•
eine weitere Zerlegung in sog. Informationsmengen, so dass
(a) jede Zugfolge durch den Spielbaum von Ursprung bis Endpunkt
höchstens einmal durch eine Informationsmenge geht,
(b) von jedem Knoten einer Informationsmenge die gleiche Anzahl
Kanten abgeht und
(c) die Informationsmengen des Spielers „Natur“ einelementig sind,
•
ggf. eine W’vtlg. für den Spieler „Natur“
•
eine Auszahlungsfunktion U(z)=(U1(z),..., Un(z)), die jedem Endpunkt
z einen Auszahlungsvektor zuordnet; Ui(z): Auszahlung von Spieler i
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3.2 Strategien in extensiven Spielen
DEF reine Strategie
Eine reine Strategie für einen Spieler legt für jede seiner Informationsmengen eine Handlungsalternative fest.
Diese wird dann und nur dann ausgeführt, wenn die Informationsmenge
tatsächlich im Spielverlauf erreicht wird.
Bemerkungen
" Anzahl reiner Strategien
" Zusammenhang zwischen extensiver und Normalform
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DEF perfekte Erinnerung
Ein Spiel hat perfekte Erinnerung, wenn sich jeder Spieler an seine
bisherigen Entscheidungen erinnern kann.
DEF gemischte Strategie
Eine gemischte Strategie für einen Spieler ist eine W’vtlg. über der
Menge seiner reinen Strategien.
DEF Verhaltensstrategie
Eine Verhaltensstrategie für einen Spieler legt für jede seiner
Informationsmengen eine W’vtlg. über die Menge der zur
Informationsmenge gehörenden Handlungsalternativen fest.
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DEF realisationsäquivalente Strategien
Eine gemischte Strategie und eine Verhaltensstrategie heißen
realisationsäquivalent, wenn sie dieselbe W’vtlg. über der Menge der
Endpunkte implizieren.
Satz (Kuhn, 1953)
In einem Spiel mit perfekter Erinnerung gibt es zu jeder gemischten
Strategie eine realisationsäquivalente Verhaltensstrategie.
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DEF Gemischte Strategie (Verhaltensstrategie)
für Spieler i ordnet jeder seiner
Eine gemischte Strategie qi
Informationsmengen h i ∈ H i eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die
an h i zulässigen Züge (Aktionen) zu:
qi : H i → ∆
h → q ( a ) = ( q ( a 1 ), K , q ( a k ( h ) )),
i
i
i
i
i
k (h )
i
q ( a ) = 1,
j=1 i j
wobei A i (h i ) = {a 1 ,K , a k ( h ) } die Menge der an h i zulässigen Züge und
k(hi) deren Anzahl bezeichnet.
Die gemischte Strategie qi heißt vollständig gemischt, falls qi(aj)>0 für
alle j und alle h i .
m it
∑
i
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Gemischte Strategien und Nash-Gleichgewicht
DEF
Eine Strategie q*i von Spieler i heißt beste Antwort für Spieler i auf die
Strategiewahl q-i der anderen Spieler, falls
Ũi(q*i, q-i) ≥ Ũi(qi, q-i),
für alle qi.
Schreibweise: q *i ∈ b i (q −i ) .
DEF
Eine Strategienkombination (q*1,...,q*n) heißt Nash-Gleichgewicht, falls
Ũi(q*i, q*-i) ≥ Ũi(qi, q*-i),
für alle Strategien qi von Spieler i und alle Spieler i,
d.h. falls q *i ∈ b i (q *−i ) für alle Spieler i.
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