Klausursammlung Mathe_V4_2_lg1_kr2

Hochschule für
Technik und Wirtschaft
des Saarlandes
University of Applied Sciences
Fakultät für Ingenieurswissenschaften
Bachelorstudiengang Biomedizinische Technik
Prof. Dr. W. Langguth
Klausuraufgabensammlung Mathematik
Klausuraufgaben zur Mathematik 1 - 3
von
Wolfgang Langguth
Aufgabenstellungen mit Ergebnissen
Version 4.2
Bearbeitung unter Mitwirkung von
Dipl.-Math. Ulrich Sonn
Dipl.-Ing. Rolf Kröner-Naumann
Dipl. Math. Kerstin Gozemba
9. Juli 2013
Hochschule für Technik und Wirtschaft
Fachbereich Elektrotechnik
Studiengang Biomedizinische Technik
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Mathematik 1
2.1 Vektorrechnung . .
2.2 Ungleichungen . .
2.3 Determinanten und
2.4 Funktionen . . . .
2.5 Komplexe Zahlen .
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
. 3
. 9
. 10
. 20
. 24
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
29
29
31
33
37
41
43
. . . . . . . . . . . . .
Laplacetransformation
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
47
47
54
56
61
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Gleichungssysteme
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
3 Mathematik 2
3.1 Differentialrechnung . . . . . . . . .
3.2 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Integrale . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Taylorreihen . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Fourierreihen . . . . . . . . . . . . .
3.6 Gewöhnliche Differentialgleichungen
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4 Mathematik 3
4.1 Laplacetransformation . . . . . . . . . .
4.2 Gewöhnliche Differentialgleichungen und
4.3 Funktionen mehrerer Variabler . . . . .
4.4 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Lösungen Mathematik 1
5.1 Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Determinanten und Lineare Gleichungssysteme
5.4 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
66
66
68
70
76
77
6 Lösungen Mathematik 2
6.1 Differentialrechnung . . . . . . . . .
6.2 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Integrale . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Taylorreihen . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Fourierreihen . . . . . . . . . . . . .
6.6 Gewöhnliche Differentialgleichungen
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
80
80
81
82
84
85
87
. . . . . . . . . . . . .
Laplacetransformation
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
89
89
91
92
94
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7 Lösungen Mathematik 3
7.1 Laplacetransformation . . . . . . . . . .
7.2 Gewöhnliche Differentialgleichungen und
7.3 Funktionen mehrerer Variabler . . . . .
7.4 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . .
8 Formelsammlung
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
99
9 Abbildungen
101
Abbildungsverzeichnis
112
1
Kapitel 1
Einleitung
Die Aufgaben sind den Mathematik - Klausuren von Prof. Dr. W. Langguth im (alten)
Fachbereich Elektrotechnik und dem Bachelor - Studiengang Biomedizinische Technik seit
etwa dem Jahr 2000 entnommen worden und sollen den Studierenden zur eigenständigen
und zielgerichteten Vorbereitung auf die Klausuren dienen. Lösungen in Form von Endergebnissen sind zur Kontrolle, Musterlösungen jedoch prinzipiell nicht angegeben, da sie
von den Studierenden selbst im Rahmen der Klausurvorbereitung erarbeitet werden sollen.
Eigene Lösungen oder Lösungswege und Probleme, die bei der Lösung auftreten, können
in den Übungsstunden zur Mathematik besprochen werden. Auch in der Vorlesung besteht
Gelegenheit zur Diskussion offener Fragen.
Die vorliegende Version beinhaltet die Aufgaben und Lösungen aller bis einschließlich WS
2012/2013 erstellten Klausuren. Zukünftige Klausuren werden fortwährend eingearbeitet.
Seit dem Wintersemester 2011/2012 dürfen in den Klausuren keine Taschenrechner, Formelsammlungen oder andere Hilfsmittel benutzt werden. Den Klausuren waren ab diesem
Zeitpunkt die benötigten Formeln und Werte beigefügt. Zur Bearbeitung der nach diesem
Zeitpunkt gestellten Klausuren (ohne Taschenrechner !) sind die den Klausuren beigefügten
Formeln im letzten Kapitel zusammengestellt.
Sollten Sie Fehler oder Unklarheiten entdecken oder aber Fragen haben, bitte schicken Sie
mir eine E-Mail oder nehmen Sie mit mir Rücksprache.
[email protected]
Tel. 0681 - 5867-279
Saarbrücken, den 9. Juli 2013
gez. Wolfgang Langguth
c Wolfgang Langguth
2
Kapitel 2
Mathematik 1
2.1
Vektorrechnung
1. (a) Untersuchen Sie, ob die vier Punkte
P = (1, 2, 2), Q = (3, 5, 6), R = (1, 3, 2), S = (5, 2, 3)
des R3 in einer Ebene liegen.
(b) Berechnen Sie die Fläche des Dreicks, das von den Punkten P, Q, und R aufgespannt wird.
(22.03.2001)
2. Die Vektoren ~a und ~b schließen einen Winkel von π4 ein. Gesucht ist der Flächeninhalt
des Dreiecks, das von den Vektoren ~a − 3~b und 4~a + 3~b aufgespannt wird, wenn |~a| =
|~b| = 9 gilt.
(29.08.2001)
3. (a) Spannen folgende Vektoren ein rechtwinkliges Dreieck auf?






6
2
4
~a =  3  , ~b =  1  , ~c =  2  .
−1
1
−2
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks.
(b) Finden Sie die allgemeine Form
der folgende Gleichung erfüllt:
 des
 Vektors
 ~u , 
1
1
~u × ~a = ~b × ~a mit ~a =  1  , ~b =  1 .
−2
0
(04.03.2002)
4. (a) Die Eckpunkte eines Dreiecks sind gegeben durch die Ortsvektoren






6
2
4
~a =  3  , ~b =  1  , ~c =  2  .
−1
1
−2
Ist das Dreieck rechtwinklig? Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks.
(b) Finden Sie die allgemeine Form des
Gleichung
 Vektors
 ~u , der
 folgende


 erfüllt:
1
1
1
(~u − ~c) × ~a = ~b × ~a mit ~a =  1  , ~b =  1 , ~c =  1 .
−2
0
1
(30.08.2002)
5. (a) Untersuchen Sie, ob die vier Punkte
P = (1, 2, 3), Q = (3, 5, 7), R = (1, 3, 9), S = (5, 2, 1)
des R3 in einer Ebene liegen.
3
(b) Berechnen Sie die Fläche des Dreicks, das von den Punkten P, Q, und R aufgespannt wird.
(21.03.2003)
6. (a) Gegeben seien drei Eckpunkte eines Würfels
O = (0, 0, 0), A = (6, 7, 6), B = (2, 6, −9).
Diese Punkte sind die Eckpunkte der Kanten OA und OB. Bestimmen Sie das Volumen des Würfels und den Endpunkt C der dritten, vom Ursprung ausgehenden
Kante OC.
(b) Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks, das von den Punkten O, A, und B aufgespannt wird.
(06.10.2003)
7. Gegeben seien die Eckpunkte einer Pyramide
 
 


 
1
1
0
4
O =  0 , A =  1 , B =  4 , C =  2 .
4
0
0
0
(a) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche ABC.
(b) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
(c) Berechnen Sie die Höhe der Pyramide in Bezug auf die Grundfläche ABC.
(04.03.2004)
8. Die Vektoren ~a, |~a| = 4 und ~b, |~b| = 5 schließen einen Winkel von φ = π/3 ein.
(a) Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks, das von den Vektoren ~u = 3~a − 4~b und
~v = ~a + 2~b aufgespannt wird.
(b) Wie groß ist das Volumen des Körpers, das von diesem Dreieck und dem Vektor
~c, |~c| = 2 aufgespannt wird, der mit der (~u, ~v ) - Ebene einen Winkel von δ = π/4
einschließt?
(30.07.2004)
9. Die Vektoren ~a = (2, 5, 7) und ~b = (3, 1, 4) spannen ein Parallelogramm auf. Berechnen
Sie
(a) die Länge der beiden Diagonalen des Parallelogramms, den Schnittwinkel der
Diagonalen und die Fläche des Parallelogramms.
(b) Wie groß ist der Winkel zwischen dem Vektor ~c = (1, 0, 0) und der von den
Vektoren ~a und ~b aufgespannten Ebene?
(28.02.2005)
10. Die Vektoren ~a = (1, 2, 3) und ~b = (3, 5, 7) spannen ein Parallelogramm auf. Berechnen
Sie
(a) die Länge der beiden Diagonalen des Parallelogramms, den Schnittwinkel der
Diagonalen und die Fläche des Parallelogramms.
(b) Wie groß ist der Winkel zwischen dem Vektor ~c = (0, 2, 0) und der von den
Vektoren ~a und ~b aufgespannten Ebene?
(29.08.2005)
11. Die Vektoren ~a = (1, 2, 4) und ~b = (3, 6, 8) spannen ein Parallelogramm auf. Berechnen
Sie
(a) die Länge der beiden Diagonalen des Parallelogramms, den Schnittwinkel der
Diagonalen und die Fläche des Parallelogramms.
4
(b) Wie groß ist der Winkel zwischen dem Vektor ~c = (0, 2, 1) und der von den
Vektoren ~a und ~b aufgespannten Ebene?
(13.03.2006)
a| = 3
12. Die Vektoren
~a und ~b schließen einen Winkel von 3π
4 ein und haben die Beträge |~
~
~
und b = 4. Bestimmen Sie zwei solche Vektoren ~a und b und berechnen Sie den
Flächeninhalt des Dreiecks, das von den Vektoren ~c = ~a +2~b und d~ = ~a −4~b aufgespannt
wird.
(28.02.2007)
a |= 4
13. Die Vektoren ~a und ~b schließen einen Winkel von 5π
4 ein und haben die Beträge | ~
~
~
und | b |= 2. Bestimmen Sie zwei solche Vektoren ~a und b und berechnen Sie den
Flächeninhalt des Dreiecks, das von den Vektoren ~c = ~a + ~b und d~ = ~a − ~b aufgespannt
wird.
(13.08.2007)
14. (a) Liegen die folgenden vier Punkte des R3 in einer Ebene?
A = (−1, 2, 4), B = (0, 3, 5), C = (1, 7, 3), D = (−1, 1, 5)
(b) Sind die Punkte A, B und D die Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks?
(c) Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks, das von den Punkten A, B, und C aufgespannt wird.
(09.01.2008)
15. (a) Die Eckpunkte eines Dreiecks sind gegeben durch die Ortsvektoren



 
3
2
2
~ =  −3  , C
~ =  5 .
~ =  5 , B
A
3
7
7

Ist das Dreieck rechtwinklig? Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks.
(b) Finden Sie die allgemeine Form des Vektors ~u , der



1
~ a−~b) = ~c×(~a−~b) mit ã =  2  , b̃ = 
(~u+d)×(~
−2
folgende Gleichung erfüllt:

 
 
1
2
1
1  , c̃ =  1  , d̃ =  1  .
1
1
2
(26.02.2008)
16. Die Vektoren ~a und ~b schließen einen Winkel von 3π
a |= 2
8 ein und haben die Beträge | ~
und | ~b |= 3. Bestimmen Sie zunächst zwei solche Vektoren ~a und ~b. Bestimmen Sie
dann den reellen Parameter λ so, dass die Vektoren ~c = ~a +λ~b und d~ = ~a −λ~b ein rechtwinkliges Dreieck aufspannen. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses rechtwinkligen
Dreiecks.
(5.08.2008)
17. Die Vektoren ~a und ~b schließen einen Winkel von
und | ~b |= 4.
3π
5
ein und sind vom Betrag | ~a |= 3
(a) Bestimmen Sie zunächst zwei solche Vektoren ~a und ~b.
(b) Bestimmen Sie dann den reellen Parameter λ so, dass die Vektoren ~c = 2~a − λ~b
und d~ = ~a + λ~b ein gleichschenkliges Dreieck aufspannen.
(c) Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks. Welchen Winkel schließen die
beiden gleichen Schenkel miteinander ein? Wie groß sind die beiden anderen Winkel des Dreiecks?
(06.01.2009)
5
18. Gegeben seien die Ortsvektoren der Punkte A, B, C, D:
 

 
 
√ 
1
4
2
2+ 2
~ =  2 ,B
~ =
~ =  5 ,D
~ =  3 .
,C
A
3
3
5
5
3
(a) Bilden die Punkte A, B, C, D die Eckpunkte eines Parallelogramms?
(b) Sind die Punkte A, B, C die Eckpunkte eines gleichseitigen oder eines gleichschenkligen Dreiecks?
(c) Berechnen Sie die Winkel und die Fläche des Dreiecks ABC.
(18.02.2009)
a |= 2
19. Die Vektoren ~a und ~b schließen einen Winkel von 2π
3 ein und haben die Beträge | ~
und | ~b |= 2. Bestimmen Sie den reellen Parameter λ so, dass der Summenvektor der
Vektoren ~c = ~a + 2 λ~b und d~ = ~a − 3 λ~b die Länge 8 hat. Welchen Winkel schließen die
Vektoren ~c und d~ ein? Bestimmen Sie einen Vektor ~e der Läge 1, der senkrecht auf ~c
und d~ steht. Wie groß ist der Rauminhalt des Spats, der von den Vektoren ~c, d~ und ~e
aufgespannt wird?
(24.08.2009)
20. Die Vektoren ~a und ~b schließen einen Winkel von
und | ~b |= 2.
3π
4
ein und sind vom Betrag | ~a |= 1
(a) Bestimmen Sie den reellen Parameter λ so, dass die Vektoren ~c = ~a − λ~b und
d~ = ~a + λ~b ein rechtwinkliges Dreieck aufspannen.
(b) Berechnen Sie explizit den Flächeninhalt, die Länge der drei Seiten und die
beiden restlichen Winkel des Dreiecks.
(c) Liegt der Vektor ~e = π ~a + π ~b in der gleichen Ebene wie das Dreieck?
6
3
(07.01.2010)
21. (a) Gegeben
 seien
 die Vektoren:






2
−1
3
5
~a =  −1  , ~b =  2  , ~c =  0  , d~ =  4  .
3
0
−1
−3
~ und (~a × ~b) × (~c × d).
~
Berechnen Sie (~a × ~b) · (~c × d)
(b) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms, dessen Diagonalen gegeben sind durch die Vektoren 2m
~ − ~n und 4m
~ − 5~n. Dabei sind m
~ und ~n zwei
Einheitsvektoren die einen Winkel von π/4 miteinander einschließen.
(08.03.2010)
22. (a) Gegeben
seien dieVektoren:

 
 
 
1
−1
1
5
~a = −1 , ~b =  0  , ~c =  0  , d~ = −2 .
−1
5
5
2
~ und ((~a × ~b) × ~c ) × d.
~
Berechnen Sie (~a × ~b) · (~c × d)
(b) Die beiden Einheitsvektoren m
~ und ~n schließen einen Winkel von π/3 ein. Die
Diagonalen einer Schar von Parallelogrammen sind gegeben durch die Vektoren
2m
~ − λ~n und 4m
~ − 5~n, λ sei ein reeller Parameter. Für welche Werte von λ hat
das zugehörige Parallelogramm einen Flächeninhalt von 3 FE?
(23.08.2010)
23. (a) m
~ und n seien zwei Einheitsvektoren, die einen Winkel von π4 miteinander einschließen. √
√
~c = m
~ − 2 2 λ ~n und d~ = m
~ + 2 2 ~n seien die Diagonalen eines Parallelogramms.
i. Für welche(n) Wert(e) von λ haben die Diagonalen einen Schnittwinkel von
π
4?
6
ii. Berechnen Sie allgemein für alle und speziell für diese(n) Wert(e) von λ den
Flächeninhalt des Parallelogramms.
(b) Berechnen Sie für beliebige Vektoren ~a, ~b und ~c des R3 den Ausdruck
h
i
~a + 2 ~b − ~c · ~a − ~b × ~a − 2 ~b − ~c
Vereinfachen Sie Ihr Ergebnis so weit wie möglich!
(15.01.2011)
24. (a) Für welche(n) Wert(e) von λ liegen die drei Vektoren


 


λ
1
1
→
−
−
→
→
a =  1 , b =  1 , −
c = 1 
4
2
−1
in einer Ebene?
−
Berechnen Sie dafür die Darstellung (Linearkombination) des Vektors →
a durch
→
−
→
−
b und c .
→
−
π
→
ein. Berechnen
(b) Die (neuen!) Vektoren −
a und b schließen einen Winkel von
4
→
−
→
−
→
−
Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das von den
−
Vektoren c = a − 2 b und
→
−
→
−
→
→
→
d = 3−
a + 2 b aufgespannt wird, wenn |−
a | = b = 5 gilt.
(25.07.2011)
25. Gegeben seien die Punkte P1 (2, 1, −3), P2 (−3, 3, 5), P3 (1, 4, 1). Berechnen Sie anhand
elementarer Überlegungen und ohne eine fertige Formel zu verwenden, den Abstand
des Punktes P1 von der Geraden, die durch die Punkte P2 und P3 geht.
(21.03.2011)
26. (a) Vereinfachen Sie die beiden folgenden Ausdrücke so weit wie möglich:
i. (2~a + 5~b − 3~c) · (~a − 3~b − 4~c)
ii. (2~a + 5~b − 3~c) × (~a − 3~b − 4~c)
~
(b) Zerlegen
Vektor
 ~a in Komponenten senkrecht und parallel zum Vektor b
 den 
 Sie
−2
−5
~a = −1 , ~b =  3 
2
4
(c) ~u und ~v seien zwei Einheitsvektoren mit ∠(~u, ~v ) = π6 . Berechnen Sie die Länge
der Diagonalen sowie die Fläche des von den Vektoren ~a = 2~u + ~v und ~b = ~u − 2~v
aufgespannten Parallelogramms.
Hinweis: cos( π6 ) =
1
2
√
3, sin( π6 ) =
1
2
(10.01.2012)
 
 
1
−2
13
1
27. (a) Gegeben seien die drei Vektoren ~a =  1  , ~b =  1  und ~c = −5
4
−1
−1
5
Stellen, falls möglich, den Vektor ~c als Linearkombination der beiden anderen
Vektoren dar.
 
 
1
1
(b) Gegeben seien die Vektoren ~a = −1 und ~b = k , k ∈ R sowie die Gleichung
2
k


~r × ~a = ~b
(2.1)
i. Bestimmen Sie alle Werte von k, für denen die Gl. (2.1) Lösungen haben
kann
ii. Berechnen Sie für jeden Wert von k die entsprechende Lösungsmannigfaltigkeit ~r
7
(19.03.2012)
28. (a) Berechnen Sie mit Hilfe der Vektorrechnung den Abstand zwischen einer Ecke
eines Einheitswürfels (Würfel der Kantenlänge 1) und einer seiner Diagonalen,
die nicht durch diese Ecke geht.
(b) Gegeben seien die drei Punkte P, Q und R mit den Ortsvektoren p~, ~q, ~r, die die
Ebene E definieren.
i. Zeigen Sie, dass der Vektor
~s = ~p × ~q + ~q × ~r + ~r × ~p
(2.2)
senkrecht auf der Ebene E steht.
ii. Finden Sie mit Hilfe des Vektors ~s einen Ausdruck für den Abstand der Ebene
E vom Ursprung.
(30.07.2012)
29. (a) Ausgehend vom Punkt C wird ein Dreieck von den beiden Vektoren ~a und ~b mit
dem Zwischenwinkel γ aufgespannt. Berechnen Sie die Länge der Seitenhalbierenden vom Punkt C zur gegenüberliegenden Seite des Dreiecks, c.
π
(b) ~u und ~v seien zwei Einheitsvektoren mit ∢(~u, ~v ) = , λ ein reeller Parameter.
4
Berechnen Sie die Länge der Diagonalen sowie die Fläche des von den Vektoren
~a = ~u + λ ~v und ~b = ~u − 3~v aufgespannten
Parallelogramms. Für welchen Wert
√
von λ hat die Fläche den Wert 2 ?
π 1√
1√
2, sin
2
=
4
2
4
2
(c) Welche geometrischen Eigenschaften die die Vektoren ~a, ~b, ~c, d~ zueinander haben
können Sie jeweils aus den beiden folgenden Gleichungen ableiten?
~ =0
i. (~a × ~b) · (~c × d)
Hinweis: cos
π
=
~ =0
ii. (~a × ~b) × (~c × d)
(10.01.2013)
30. (a) ~u und ~v seien zwei beliebige Vektoren des R3 . Zeigen Sie allgemein, dass die
Vektoren ~u + ~v und ~u − ~v genau dann senkrecht zueinander stehen, wenn |~u| = |~v |
gilt.
(b) Die Punkte A, B und C haben die Ortsvektoren
 
 
 
1
−2
3
~a = 2 , ~b =  3  , ~c = −1
4
5
2
i. Zeigen Sie, dass der Punkt P = (1 − 3λ, 2 + λ, 4 + λ), λ ∈ R auf der Geraden
durch A und B liegt. Berechnen Sie den Abstand von P zu C als Funktion
von λ . Wie groß ist der kürzeste Abstand, und in welcher geometrischen
Situation tritt er ein?
ii. Finden Sie einen Vektor senkrecht zu AB und AC, wie lautet die Gleichung
der Ebene ABC?
iii. Zeigen Sie, dass der Punkt D = (2, −2, 11) in einer Ebene senkrecht zur Ebene
ABC liegt und dass AD senkrecht zu AB steht. Berechnen Sie das Volumen
der schiefen Pyramide (Tetrahedron), die (das) von ABCD aufgespannt wird.
(22.02.2013)
8
2.2
Ungleichungen
Gegeben sind die folgenden Ungleichungen. Führen Sie für die Funktionen auf beiden Seiten
der Ungleichung eine erste allgemeine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Polstellen, asymptotisches Verhalten, keine Ableitungen) und skizzieren Sie beide Funktionen. Bestimmen
Sie die reelle Lösungsmenge der Ungleichung.
1.
x2 + 2x − 1 ≥ 4x + 1
(22.03.2001)
2.
x2 + 3x − 5 ≥ 5x + 1
(29.08.2001)
3.
−x2 − 5x + 1 ≥ 6x + 5
(04.03.2002)
2
4.
x − 5x + 1 ≥ 6x + 5
(30.08.2002)
5.
2x2 + 3x − 1 ≥ 5x + 10
(21.03.2003)
6.
−x2 − 3x + 1 ≥ 15x + 10
(06.10.2003)
7.
x2 + 5 >
2
−3x +5
2x+1
8.
−2x2 + 7 >
9.
x+3>
10.
x2 + 6 >
(04.04.2004)
2
−x +7
2x+1
(30.07.2004)
x+18
3x−2
(28.02.2005)
−3x2 +6
4x+1
(29.08.2005)
2
−9x +12
6x−3
11.
x2 + 4 >
12.
2x2 − 5 >
(13.03.2006)
−4x2 +10
2x−1
(28.02.2007)
2
13.
x2 − 5 >
−2x +5
2x−1
14.
x2 − 3 <
4x2 +x−6
x+2
((13.08.2007)
(09.01.2008)
2
15.
x2 − 2x − 3 ≤
−2x +2x+6
3x−2
(26.02.2008)
16.
x3 − 2x − 3 >
−2x2 −5x+6
3x−2
(05.08.2008)
17.
x3 − 3x − 1 <
18.
x2 −3x+2
x−3
>
19.
x
3x2 −2
x
2x+1
20.
x3 − 3x − 1 ≤
>
(06.01.2009)
≤
x
2 x+3
22.
2x
3 x 2 −4
≤
x
2 x+6
x2 +8x+3
x−3
(07.01.2010)
(08.03.2010)
(23.03.2010)
2
x
x+5
−x<
(18.02.2009)
24.08.2009)
x
3 x 2 −4
x
3x2 −3
2x +5x+2
x−2
x2 −4x+3
x−2
21.
23.
2
−
4
3
(15.01.2011)
x
Gibt es Bereiche, in denen Sie eventuell relative Extrema oder Wendepunkte erwarten?
Begründen Sie Ihre Antwort!
x2 +5
3 x+1
24.
x2 + 5 ≤
25.
2x2 − 2 ≤
26.
3x−4
2x+3
27.
x2 + x − 4 ≥
28.
1
x−2
29.
x+2
x2 +x−2
30.
(x+5)2 (x−1)
(x2 +6x+5)(x+5)
x2 −2x+2
x−1
−5≤
≥
5x−5
x2 −4
(21.03.2011)
+6x
(25.07.2011)
+ 6x
10−14x
4x−4
x2 −4
x+1
−
+1≤
(10.01.2012)
(19.03.2012)
+ 6x
4
x−1
2
x−1
≥
(30.07.2012)
−
1
x+1
1
x+2
(10.01.2013)
(22.02.2013)
+x−2
9
2.3
Determinanten und Lineare Gleichungssysteme
1. Betrachten Sie das folgende Lineare Gleichungssystem (LGLS)


 

1
1
1
x
−1
 −1
a
1  y  =  3 
2 −4 −2
z
−1
(a) Gibt es Werte des reellen Parameters a, für den das Gleichungssystem lösbar
oder unlösbar ist? Gibt es Werte von a, für die es eindeutig lösbar ist oder für die
es unendlich viele Lösungen hat? Geben Sie ggf. die entsprechenden Werte mit
Begründung an.
(b) Bestimmen Sie die eindeutige Lösung des LGLS für einen von Ihnen passend
gewählten Wert des Parameters a.
(22.03.2001)
2. (a) Entwickeln Sie folgende Determinante durch geeignete Rückführung auf einfachere Determinanten
2
−3
|A| =
7
8
−1
3 −5
5 −4
6
−2
1
4
5 −3
2
(b) Untersuchen Sie folgendes Gleichungssystem auf seine eindeutige Lösbarkeit.
1.2x − 0.9y + 1.5z = 2.4
0.8x − 0.5y + 2.5z = 1.8
1.6x − 1.2y + 2.0z = 3.2
Je nach Lösbarkeit geben Sie an: Die Lösung, die Anzahl der von einander abhängigen Gleichungen, oder die Anzahl der Gleichungen, die zueinander in Widerspruch stehen.
(29.08.2001)
3. (a) Zeigen Sie durch elementare Umformungen, die den Wert der Determinante nicht
verändern, dass die folgende Determinate verschwindet:
−1 2 0
2 8 6
|A| =
−1 16 2
1 6 4
6
15
15
12
(b) Untersuchen Sie, ob das folgende inhomogene lineare Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat:
3x + 2y + 2z = −2
−2x − 4y − 3z = 7
−4x − 5y − 2z = −7
(04.03.2002)
4. (a) Überprüfen Sie mittels elementarer Umformungen, die den Wert der Determinante nicht verändern, ob die folgende Determinante verschwindet. Dokumentieren
und begründen Sie die, von Ihnen vorgenommenen Umformungen nachvollziehbar!
−1
2
|A| =
−1
1
10
1
4
8
3
0
3
1
2
2
5
5
4
(b) Überprüfen Sie, ob das folgende inhomogene lineare Gleichungssystem eine Lösung hat:
3x + 2y + z = −2
−2x − 4y − 2z = 7
−4x − 5y − 4z = −7
(30.08.2002)
5. Betrachten Sie das folgende Lineare Gleichungssystem (LGLS) mit dem reellen Parameter a:


 

2
1
1
x
−1
 −2
a
1  y  =  3 
2 −4 −2
z
−1
(a) Gibt es Werte des reellen Parameters a, für den das Gleichungssystem lösbar
oder unlösbar ist? Gibt es Werte von a, für die es eindeutig lösbar ist oder für die
es unendlich viele Lösungen hat? Geben Sie ggf. die entsprechenden Werte mit
Begründung an.
(b) Bestimmen Sie die eindeutige Lösung des LGLS für einen von Ihnen passend
gewählten Wert des Paramters a.
(21.03.2003)
6. (a) Untersuchen Sie die Lösungsstruktur des folgenden linearen Gleichungssystems
und bestimmen Sie alle Lösungen:
2x − 5y + 2z = 0
x + 4y − 3z = 1
2x − 18y + 10z = −2
(b) Berechnen Sie die Determinante:
a
2
0 0
−2
b
2 0
|A| =
0 −2
c 2
0
0 −2 d
(06.10.2003)
7. (a) Untersuchen Sie das Lösungscverhalten des folgenden linearen Gleichungssystems:
x1 + 2x2 + 3x3 = b1
4x1 + 5x2 + 6x3 = b2
7x1 + 8x2 + 9x3 = b3
Welche Beziehung muß zwischen den Größen b1 , b2 und b3 bestehen, damit das
Gleichungssystem lösbar ist? Wählen Sie dementsprechende Werte und berechnen
Sie die allgemeine Lösung.
(b) Berechnen Sie den Rang der Matrix C:

1
2
3
4
 3
1
5
6
C=
 1 −3 −1 −2
5
0
7
8




(04.03.2004)
11
8. (a) Untersuchen Sie das Lösungsverhalten des folgenden linearen Gleichungssystems:
3x1 + 4x2 + 5x3 = b1
6x1 + 7x2 + 8x3 = b2
9x1 + 10x2 + 11x3 = 0
Welche Beziehung muß zwischen den Größen b1 6= 0 und b2 6= 0 bestehen, damit das Gleichungssystem lösbar ist? Wählen Sie dementsprechende Werte und
berechnen Sie dafür die allgemeine Lösung.
(b) Für welche reellen oder komplexen Werte von t verschwindet die Determinante
der folgenden Matrix B:


t+1
2
−t
B =  −2 t − 2 0 
t
2
t
(30.07.2004)
9. (a) Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem in Abhängigkeit des Parameters b:
x1 + 2x2 + 9x3 = 1
4x1 + 6x2 + 8x3 = 2
3x1 + 7x2 + bx3 = 4
Für welchen Wert von b ist dieses Gleichungssystem überhaupt lösbar? Geben Sie
eine allgemeine Lösung an.
(b) Berechnen Sie die Determinante der Matrix C. Wie groß ist der Rang von C
abhängig vom Wert des Parameters b?

5
 3

C=
1
5

2
3
4
1
5
6 

−3 −1 −2 
b
7
8
(28.02.2005)
10. (a) Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem in Abhängigkeit des Parameters b:
x1 + 2x2 + 3x3 = 1
4x1 + 5x2 + 6x3 = 2
7x1 + 8x2 + bx3 = 3
Welche Bedingung muß b erfüllen, damit dieses Gleichungssystem überhaupt lösbar ist? Geben Sie eine allgemeine Lösung an.
(b) Berechnen Sie die Determinante der Matrix C. Wie groß ist der Rang von C
abhängig vom Wert des Parameters a?


1
2
3
5
 1
1
5
6 

C=
 1 −3 −1 −2 
5
a
7
8
(29.08.2005)
12
11. (a) Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem in Abhängigkeit des Parameters b:
2x1 + 3x2 + 4x3 = 2
5x1 + 6x2 + 7x3 = 3
8x1 + 9x2 + bx3 = 4
Welche Bedingung kan man an b stellen, so daß dieses Gleichungssystem lösbar
ist? Geben Sie sämtliche Lösungen an.
(b) Berechnen Sie die Determinante der Matrix C. Wie groß ist der Rang von C
abhängig vom Wert des Parameters b?


2
3
4
6
 1
1
5
6 

C=
 1 −3 −1 −2 
5
b
7
8
(13.03.2006)
12. Betrachten Sie folgendes Lineares Gleischungssystem (LGS):
ax1 + x2 + x3 = −1
−2x1 + ax2 + x3 = 3
2x1 − 4x2 − x3 = −1
(a) Diskutieren Sie die Lösungsstruktur dieses inhomogenen und des zugehörigen
homogenen LGS in Abhängigkeit des reellen Parameters a.
(b) Berechnen Sie die Lösung des inhomogenen LGS für a = 4 und die Lösung des
homogenen LGS für a = 0 .
(28.02.2007)
13. Betrachten Sie folgendes lineares Gleichungssystem (LGS):
2ax1 + x2 + x3
−2x1 + ax2 − x3
x1 − 4x2 + x3
=
=
−1
1
=
−1
(a) Diskutieren Sie die Lösungsstruktur diese inhomogenen und des zugehörigen LGS
in Abhängigkeit des reellen Parameters a.
(b) Berechnen Sie die Lösung des inhomogenen LGS für a = 0 und des homogenen
LGS für a = 3.
(13.08.2007)
14. Untersuchen Sie das Lösungsverhalten des folgenden linearen Gleichungssystems:
2x1 + x2 + 1x3
3x1 + 2x2 + 3x3
= a
= b
4x1 + 3x2 + 5x3
= 1
Welche Beziehung muss zwischen den Größen a 6= 0 und b =
6 0 bestehen, damit das
Gleichungssystem lösbar ist? Wählen Sie dementsprechende Werte und berechnen Sie
die allgemeine Lösung.
(09.01.2008)
15. Betrachten Sie das folgende Lineare Gleichungssystem


 
1 1 2
x1
 1 2 a   x2  = 
1 2 b
x3
(LGS)

2
3 
3
(a) Diskutieren Sie die Lösbarkeit und die Lösungsstruktur des LGS in Abhängigkeit
der reellen Parameter a und b.
13
(b) Bestimmen Sie die eindeutige Lösung des LGS für einen von Ihnen passend gewählten Satz von Werten der Parameter a und b.
(26.02.2008)
16. Berechnen Sie die Determinante der Matrix C. Wie groß ist der Rang von C abhängig
von den Werten der Parameters a und b?


1 2
3
4
 3 1
5
6 

C=
 a 3 −1 −2 
5 b
7
8
(26.02.2008)
17. Betrachten Sie folgendes lineares Gleichungssystem (LGS):
x + ay + 2z
4x + 6y + az
= 2
= 6
2x + 3y + 6z
= 3
(a) Diskutieren Sie die Lösungsstruktur diese inhomogenen und des zugehörigen homogenen LGS in Abhängigkeit des reellen Parameters a.
(b) Berechnen Sie die Lösung des inhomogenen LGS für a = 12 und für a = 3.
(05.08.2008)
18. Berechnen Sie die Determinante der Matrix C. Wie
von den Werten der Parameter a und b?

a 3 4 1
 3 a b 2
C =
 a 3 1 1
5 a 7 4
groß ist der Rang von C abhängig




Erläutern und begründen Sie die Abhängigkeit der Determinante vom Parameter b !
(05.08.2008)
19. Untersuchen Sie das Lösungsverhalten des folgenden linearen Gleichungssystems:
x1 + ax2 + x3
2x1 + ax2 + 6x3
=
=
1
1
ax1 + x2 + x3
=
1
(a) Gibt es Werte des reellen Parameters a für die das Gleichungssystem genau eine,
keine oder unendlich viele Lösungen hat?
(b) Bestimmen und wählen Sie für jeden Fall - sofern möglich - die entsprechenden
Werte für a und berechnen Sie die jeweils zugehörige Lösung, bzw. bestimmen
Sie den Wert von a für den es ggf. keine Lösung gibt.
(c) Begründen Sie in jedem Fall möglichst detailliert das Lösungsverhalten des Systems
(6.1.2009)
20. Betrachten Sie folgendes lineares Gleichungssystem (LGS):
3x1 + 3x2 + 5x3
9x1 + 6x2 + 11x3
=
=
a1
a2
2x1 + x2 + 2x3
=
a3
(a) Diskutieren Sie die Lösungsstruktur des zugehörigen homogenen LGS sowie die
des inhomogenen LGS in Abhängigkeit der reellen Parameter a1 , a2 , a3 .
14
(b) Berechnen Sie die Lösung des inhomogenen LGS für einen geeignet gewählten
Parametersatz, für den das LGS lösbar ist.
(18.02.2009)
21. Berechnen Sie die Determinante der Matrix C. Wie
von den Werten der reellen Parameter a und b?

1 a 1 a
 a 3 a 4

C=
1 2 1 3
4 b 1 8
groß ist der Rang von C abhängig




Erläutern und begründen Sie die Abhängigkeit der Determinante vom Parameter b
(18.02.2009)
22. Betrachten Sie folgendes lineares Gleichungssystem (LGS):
2 x1 + x2 + 4 x3
=
0
4 x1 + 2 x2 + a x3
x1 + a x2 + 2x3
=
=
0
15
(a) Diskutieren Sie die Lösungsstruktur diese inhomogenen und des zugehörigen homogenen LGS in Abhängigkeit des reellen Parameters a.
(b) Berechnen Sie die Lösung des inhomogenen LGS für a = 2 und für a = 8.
(24.08.2009)
23. Berechnen Sie die Determinante der Matrix C. Wie
von den Werten der Parameter a und b?

3 a 2 4
 a 1 2 b
C=
 3 a 2 1
a 2 1 a
groß ist der Rang von C abhängig




Begründen Sie die Art der Abhängigkeit der Determinante vom Parameter b ! (24.08.2009)
24. Untersuchen Sie das Lösungsverhalten des folgenden linearen Gleichungssystems:
x1 + ax2 + x3
=
ax1 + x2 + 2x3
ax1 + x2 + 3x3
=
=
−1
1
1
(a) Gibt es Wertemengen des reellen Parameters a für die das Gleichungssystem
keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen hat? Bestimmen Sie für jeden
dieser Fälle die entsprechenden Wertemengen von a.
(b) Berechnen Sie - falls möglich - für jeden Fall, für den es genau eine oder mehrere
Lösungen gibt, die entsprechende Lösungsmenge des LGS. Wählen Sie dazu je
einen repräsentativen Wert für a aus der jeweiligen Wertemenge von a.
(c) Begründen Sie in jedem Fall möglichst detailliert das Lösungsverhalten des Systems.
(07.01.2010)
25. Untersuchen Sie das Lösungsverhalten des folgenden linearen Gleichungssystems:
2 x1 + x2 + x3
4 x1 + 5 x2 + 3 x3
=
=
a
b
3 x1 + 3 x2 + 2x3
=
1
a, b ∈ R
Welche Beziehung muss zwischen den Parametern a und b bestehen, damit das Gleichungssystem lösbar ist? Wählen Sie einen dementsprechenden Parametersatz und
berechnen Sie die zugehörige Lösung.
(08.03.2010)
15
26. Berechnen Sie die Determinante der Matrix C.

1+a
 1
C =
 1
1
1
1+b
1
1
1
1
1+c
1

1
1 

1 
1+d
(08.03.2010)
27. Untersuchen Sie das Lösungsverhalten des folgenden linearen Gleichungssystems:
2 x1 + x2 + x3 = 1
4 x1 + 5 x2 + a x3 = 1
a x1 + 3 x2 + 2x3 = 1
a∈R
Berechnen Sie für jeden Fall, für den das Gleichungssystems lösbar ist, die, eine oder
die allgemeine Lösung.
(23.08.2010)
28. Berechnen Sie die Determinante der Matrix C.

2
1
1 1 + b

C =
1 1+c
2
1
1
1+b
1
1

1+a
1 

1 
1+d
(23.08.2010)
29. Untersuchen Sie das Lösungsverhalten das folgende lineare inhomogene und das zugeordnete homogene Gleichungssystem:
a x1 − x2 + x3 = 2
3x1 + a x2 + 2x3 = −2
x1 − 2x2 + x3 = 1
a x1 − x2 + x3 = 0
3x1 + a x2 + 2x3 = 0
x1 − 2x2 + x3 = 0
(a) Diskutieren Sie die möglichen Lösungsmannigfaltigkeiten der Gleichungssysteme
in Abhängigkeit vom Wert des reellen Parameters a .
(b) Berechnen Sie für alle möglichen Fälle je eine exemplarische Lösung für einen von
Ihnen gewählten Wert von a.
(c) Begründen Sie in jedem Fall möglichst detailliert das Lösungsverhalten des Systems.
(15.01.2011)
30. Untersuchen Sie das Lösungsverhalten des folgenden linearen Gleichungssystems:
2 x1 + 3 x2 + x3 = −1
−4 x1 − 8 x2 − 3 x3 = 7
−2 x1 − 5 x2 − 2x3 = a
a∈R
Bestimmen Sie die Lösung des zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystems.
Gibt es Werte für a, für die das inhomogene Gleichungssystem Lösungen hat? Wie
viele Werte können dies maximal sein? Begründen Sie Ihre Antwort. Bestimmen Sie
ggf. diese Lösungen.
(21.03.2011)
31. Berechnen Sie die folgende Determinante durch elementare Umformungen ohne die
explizite Berechnung von (3, 3) - oder (2, 2) - Unterdeterminanten:
1 −1 3 −5
−3 2 −4 6 C=
4 7 −2 2
8
5 −3 π (21.03.2011)
16
32. Untersuchen Sie das Lösungsverhalten des folgenden linearen Gleichungssystems:
x1 +
x1 +
x2 +
(1 + a) x2 +
x3 =
x3 =
x1 +
x2 +
(1 + a) x3 =
a
2a,
b
a, b ∈ R
Bestimmen Sie die Lösungen des inhomogenen und des zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit der reellen Parameter a und b.
(25.07.2011)
33. Zeigen Sie:
x +x
2
1
2
x1 − x2
2
x1
y1 + y2
2
y1 − y2
2
y1
1 1 x1
1 = 2 x
2
1
y1 y2 (25.07.2011)
34. (a) Gegeben seien die Matrizen
3 −p
A=
,
1 2q
p
B=
q
0
q
Für welche Werte der Parameter p und q gilt AB = BA?
(b) Gegeben sei die Koeffizientenmatrix A

2 −1
A = −1 2
1
4
und die rechte Seite ~b :

 
3
u
−2 , ~b =  v 
9
w
i. Welcher Bedingung müssen u, v und w genügen, damit das Gleichungssystem
A ~x = ~b lösbar ist?
ii. Es sei u = 0 und v = 1. Für welchen Wert von w ist das Gleichungssystem
lösbar und wie lautet die Lösung?
x
35. (a) Berechnen Sie die Matrizen X =
z
y
u
(10.01.2012)
1 0
2
mit der Eigenschaft X =
0 1
(b) Bestimmen Sie die Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit der reellen Parameter a und b.
a2 x1 +
5 x2 +
x3 =
a x1 + (a + 3) x2 +
x1 +
2 x2 +
3 x3 =
x3 =
b
0,
0
a, b ∈ R
(19.03.2012)
36. Berechnen Sie für alle Werte der reellen Parameter a, b ∈ R den Rang der Matrix
1 2 3 4
4 3 2 1
A = a 2 3 4 4 3 2 b (19.03.2012)
17
37. (a) Gegeben seien die Matrizen


−3 −8 12
7 −9
A= 3
1
2 −2
und
B=A−E
mit der Einheitsmatrix E. Berechnen Sie A2 und auf möglichst einfache Art und
Weise AB und B2
(b) Bestimmen Sie die Koeffizienten a0 , a1 und a2 so, dass das die Parabel
y(x) = a0 + a1 x + a2 x2
durch die Punkte mit den Koordinaten (x, y) = (2, −3), (9, 4) und (t, 4) verläuft.
Finden Sie die Lösungen für alle t ∈ R
(30.07.2012)
38. Bestimmen Sie die Nullstellen von
2
x + x − 6
D(x) = x2 − 3
x−3
39. Gegeben sei die Koeffizientenmatrix A

1 1
0 1
A=
0 0
a 0
4x − 8
3x − 5
x−3
14
7 6
(30.07.2012)
und die rechte Seite ~b :

 
0 0
1
1
1 0
 , ~b =  
1
1 1
0 1
1
(a) Diskutieren Sie die Lösungsstruktur des homogenen A~x = ~0 und des inhomogenen
A~x = ~b Gleichungssystems in Abhängigkeit des reellen Parameters a.
(b) Bestimmen Sie die nichttriviale Lösung des homogenen, sowie je eine Lösung für
die verschiedene Lösungstypen des inhomogenen Systems.
(10.01.2013)
40. (a) Gegeben sei das folgende Gleichungssystem:
x + y + 3z = 5
y+z =a
by + z = 2
i. Für welche Werte von a und b hat das Gleichungssystem keine Lösung?
ii. Für welche Werte von a und b hat das Gleichungssystem genau eine Lösung?
iii. Für welche Werte von a und b hat das Gleichungssystem unendlich viele
Lösungen?
(b) Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem
x1 + x2 + 2x3 − x4 − 4x5 = 0
−x1 + x3 + 2x4 − 5x5 = 0
2x1 − x2 − 5x3 − 4x4 + 15x5 = 0
2x1 + 3x2 + 7x3 − x4 − 17x5 = 0
(22.02.2013)
41. (a) Bewerten Sie folgenden Aussagen mit richtig oder falsch:
◮ Sie brauchen keine Begründungen anzugeben!
i. det((2A)−1 (AT )(2AT )) = det(A) für alle regulären Matrizen A.
ii. Gilt: det(AB −1 ) = det(A−1 B), so gilt auch: A = B.
18
iii. Die quadratischen Matrizen A und AT haben immer den gleichen Rang.
iv. A = (aij ) sei die 2013 × 2013 Matrix mit
(
1 , für i ≤ j,
aij =
0 , für i > j.
Dann besitzt A eine Inverse.
(b) Von der Matrix A und ihrer Inversen A−1 sind folgende
und z sind unbekannt:



1 0
z
1 −1
4  , A−1 = y −3
A = 0 z
0 −1 −3
0 z
Elemente bekannt, x, y

x
−4
z
Bestimmen Sie die Matrix X so, dass gilt: A−1 XA = A2 + A
(22.02.2013)
19
2.4
Funktionen
1. (a) Lösen Sie die Gleichung
sin(x) sin(2x) = 2 cos(x)
(b) Zeigen Sie unter Verwendung der Definition der Hyperbelfunktionen
cosh2 (x) + sinh2 (x) = cosh(2x)
(22.03.2001)
2. (a) Lösen Sie die Gleichung
cos(x) cos(2x) = 2 cos(x)
(b) Zeigen Sie unter Verwendung der Definition der trigonometrischen Funktionen
cos(2x) + sin2 (x) = cos2 (x)
(29.08.2001)
3. Zeigen Sie unter Verwendung der Definition der trigonometrischen Funktionen
cos2 (x) =
1
(1 + cos(2x))
2
(04.03.2002)
4. Zeigen Sie unter Verwendung der Eulersch’en Beziehung die Richtigkeit folgender Beziehung
cos(2x) = 1 − 2 sin2 (x)
(30.08.2002)
5. (a) Bestimmen Sie die reellen Lösungswerte von x der Gleichung
sin(x) sin(2x) = cos(x)
(b) Zeigen Sie unter Verwendung der Definition der Hyperbelfunktionen
sinh(2x) = 2 sinh(x) cosh(x)
(21.03.2003)
6. (a) Lösen Sie die Gleichung
ln(x3 ) + 3 ln(x2 ) − ln(2x) = 10
(b) Bestimmen Sie die reellen Lösungswerte der Gleichung
sin(2x) = cot(x) im Intervall x ∈ [−2π, 2π]
(06.10.2003)
7. (a) Lösen Sie die Gleichung tan(x) = sin(2x) für alle reelle Werte von x.
(b) Zeigen Sie unter Verwendung der Definition der Hyperbelfunktionen
cosh(2x) = sinh2 (x) + cosh2 (x) = 2 cosh2 (x) − 1.
(04.03.2004)
8. (a) Lösen Sie die Gleichung cot(x) = cos(2x) + 1 für alle reelle Werte von x.
(b) Zeigen Sie entweder unter Verwendung der Eulerschen Relation oder der Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen
sin(3x) = 3 sin(x) − 4 sin3 (x).
(30.07.2004)
20
9. (a) Lösen Sie die Gleichung sin(x)(cos(2x) + 1) = sin(2x) für alle reelle Werte von x.
(b) Zeigen Sie unter Verwendung der Eulerschen Formel
sin(3x) = 3 sin(x) − 4 sin3 (x).
(28.02.2005)
10. (a) Lösen Sie die Gleichung sin(x)(cos(2x) + 1) = 2 sin(2x) für alle reelle Werte von
x.
(b) Zeigen Sie unter Verwendung der Definition der hyperbolischen Funktionen
coth(2x) =
1 + coth2 (x)
.
2 coth(x)
(29.08.2005)
11. (a) Lösen Sie die Gleichung sin(2x)(cos(4x) + 1) = 2 sin(4x) für alle reelle Werte von
x.
(b) Zeigen Sie unter Verwendung der Definition der hyperbolischen Funktionen
coth(6x) =
1 + coth2 (3x)
.
2 coth(3x)
(13.03.2006)
12. (a) Lösen Sie die Gleichung cot(x) sin(2x) = cos(x) für alle reellen Werte von x.
(b) Zeigen Sie unter Verwendung der Definition der hyperbolischen Funktionen
tanh(6x) = 2
coth(3x)
1 + coth2 (3x)
(28.02.2007)
13. (a) Lösen Sie für alle reellen Werte von x die Gleichung:
tan(x) cos(2x) = sin(x).
(b) Zeigen Sie unter Verwendung der Definition der hyperbolischen Funktionen, dass
gilt:
x
sinh(x)
tanh
=
.
2
1 + cosh(x)
(13.08.2007)
14. (a) Lösen Sie für alle reellen Werte von x die Gleichung:
ln(x4 ) + 2 ln(x2 ) − (ln(2x))2 = 10.
(b) Zeigen Sie unter Verwendung der Eulerschen Relation, dass gilt:
cos(3x) = 4 cos3 (x) − 3 cos(x).
(26.02.2008)
15. (a) Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Gleichung:
−2e4x − 2e2x + 2e2x
2
− 1 = 0.
(b) Zeigen Sie unter Verwendung der Eulerschen Formel:
4 sin(x)3 + sin(3x) − 3 sin(x) = 0.
(05.08.2008)
21
16. (a) Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Gleichung:
sinh(x)2 · exp(x) − cosh(x) = 0,
mit
exp(x) = ex .
(b) Zeigen Sie unter Verwendung der Eulerschen Formel:
cos(3x) − 4 cos(x)3 + 3 cos(x) = 0.
(18.02.2009)
17. (a) Lösen Sie die Gleichung:
1
1
4 x − 3 x− 2 = 3 x+ 2 − 2 2 x−1
(b) Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung:
2 sin2 (x) + sin2 (2 x) = 2.
(24.08.2009)
18. (a) Lösen Sie die Gleichung:
x
1
1
2 2 − 6 x+ 2 − 6 x− 2 + 2 2 x+1 = 0
(b) Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung:
2 cos2 (x) = 2 − sin2 (2 x).
(8.3.2010)
19. (a) Lösen Sie die Gleichung:
1
1
2 4 x − 16 x+ 3 − 16 x+ 2 + a · 2 2 x+1 = 0, a ∈ R
Ist die Gleichung für alle Werte von a lösbar?
(b) Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung:
2 sin2 (x) + cos2 (2 x) − 2 = 0
(23.08.2010)
20. Lösen Sie die Gleichung:
5
1
3 a 2 x − 2 x+ 2 − 2 x− 2 + a 2 x+1 = 0,
a>0
(21.03.2011)
21. (a) Vereinfachen Sie durch entsprechende Umformungen:
ln(ln(x))
i. f (x) = x ln(x) . Bestimmen Sie den Definitionsreich von f (x).
ii. f (x) = sin(arctan(x))
(b) Lösen Sie die Gleichung
aα+x + baβ−x = c,
a, c > 0
(25.07.2011)
22. (a) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung
2 cos2 (x) + sin2 (2x) − 2 = 0
22
(b) Berechnen Sie aus den drei Gleichungen
(a b)r = 3 , a−r =
1
1
, a r = 16
2
die drei positiven Zahlen a, b, r ∈ R+ .
(19.03.2001)
23. Bestimmen Sie jeweils alle Lösungen der Gleichungen
ln(x) ln(x)
3
4
25
+
=
(a)
4
3
12
(b) tan(x) + tan(2x) = 0
(30.07.2012)
24. (a) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichungen
(i)
(ii)
2
log9 (3−x ) = −2
√
ln( x) = ln(32 ) − ln(3)
(b) Berechnen Sie aus den drei Gleichungen
(a b)r = 5 , a−r =
die drei positiven Zahlen a, b, r ∈ R+ .
23
1
1
, a r = 16
2
(22.02.2013)
2.5
Komplexe Zahlen
1. Bestimmen Sie Betrag und Phase sowie alle Quadratwurzeln der komplexen Zahl
z=
j3
2−j
+ (j − 1)2
(22.03.2001)
2. (a) Geben Sie die Bereiche in der komplexen Zahlenebene an, in denen ein Punkt z
liegen kann, der folgende Ungleichungen erfüllt:
π
π
< arg(z) ≤
4
4
p
√
4
2
(b) Bestimmen Sie alle Werte von −8 + 8j 3, j = −1.
2 < |z| ≤ 7 und −
(29.08.2001)
3. (a) z1 und z2 seien zwei komplexe Zahlen. Zeigen Sie, dass gilt:
z1 |z1 |
=
z2 |z2 | .
(b) Bestimmen Sie alle Werte von
1/6
1 1p
6j
, j 2 = −1.
− +
4 4
(04.03.2002)
4. (a) z1 und z2 seien zwei komplexe Zahlen. Zeigen Sie, dass gilt:
|z1 z2 | = |z1 ||z2 |.
(b) Bestimmen Sie durch explizite Rechnung alle Werte von
1/4
(1 + j)
, j 2 = −1.
in Polarform und kartesischer Form.
(30.08.2002)
5. (a) Geben Sie die Bereiche in der komplexen Zahlenebene an, in denen ein Punkt z
liegen kann, der folgende Ungleichungen erfüllt:
1 < |z| ≤ 2 und 0 < arg(z) ≤
(b) Bestimmen Sie alle Werte von
3π
4
p
√
−2 + 2j 3 − j, j 2 = −1.
6. (a) Bestimmen Sie alle Werte von
s
3
(21.03.2003)
(1 + j)2 2
, j = −1
1−j
in kartesischer Form.
(b) Welche Bedingungen muss ein Punkt z = x + jy der komplexen Zahlenebene
erfüllen, um sich innerhalb eines Kreises mit dem Mittelpunkt z0 = a + jb und
dem Radius r zu befinden?
(06.10.2003)
7. (a) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung
5
2 − 2j
z3 =
, j 2 = −1.
2 + 2j
24
(b) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil von
π
− j ln(2) , j 2 = −1.
z = cot
4
Hinweis: Benutzen Sie die Eulersche Formel für sin(x) und cos(x).
(04.03.2004)
8. (a) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung
4
z =
3 − 3j
3 + 3j
9
, j 2 = −1.
(b) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil von
z = tan(3 − j), j 2 = −1.
Hinweis: Benutzen Sie die Eulersche Formel für sin(x) und cos(x).
(30.07.2004)
9. (a) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung
z 6 + 2z 3 + 2 = 0, j 2 = −1.
(b) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil von
π
z = tan
− j ln(3) , j 2 = −1.
4
Hinweis: Benutzen Sie die Eulersche Formel für sin(x) und cos(x).
(28.02.2005)
10. (a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil von
π
z = sin
+ j ln(2) , j 2 = −1.
2
Hinweis: Benutzen Sie die Eulersche Formel für sin(x) und cos(x).
(b) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung
z5 =
4 − 4j
4 + 4j
6
, j 2 = −1.
(29.08.2005)
11. (a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil von
z = sin(π + j ln(3)), j 2 = −1.
Hinweis: Benutzen Sie die Eulersche Formel für sin(x) und cos(x).
(b) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung
6
z =
3 − 4j
3 + 4j
3
, j 2 = −1.
(13.03.2006)
12. Betrachten Sie die komplexe Zahl
a=
2j 3
3 − 2j
, j 2 = −1.
+ (j + 2)2
(a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil sowie Betrag und Phase von a.
(b) Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung z 4 = a und geben Sie diese in
kartesischer Darstellung an.
25
(28.2.2007)
13. (a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil sowie Betrag und Phase der komplexen
Zahl a,
1 − 2j
a=
, j 2 = −1.
3
2j + (j + 3)2
(b) Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung
j
, j 2 = −1.
32
Geben Sie die Lösungen in kartesischer Darstellung an. Skizzieren Sie die Lage
der Zahl b und aller Lösungen der Gleichung in der Gauß’schen Zahlenebene.
z5 = b =
(13.08.2007)
14. (a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil sowie Betrag und Phase der komplexen
Zahl a,
1
4 − 2j
j 2 = −1.
a=
2 + 1+j,
3
4j + (2j + 1)
(b) Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung
z 4 = b = 1 + j,
j 2 = −1.
Geben Sie die Lösungen in kartesischer Darstellung an. Skizzieren Sie die Lage
der Zahl b und aller Lösungen der Gleichung in der Gauß’schen Zahlenebene.
(26.02.2008)
15. (a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil sowie Betrag und Phase der komplexen
Zahl a,
4 − 2j
j
a=
j 2 = −1.
2 + 1 + 2j ,
4j 5 + (2j 3 + 1)
(b) Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung
z 5 = b = 1 − 2j,
j 2 = −1.
Geben Sie die Lösungen in kartesischer Darstellung an. Skizzieren Sie die Lage
der Zahl b und aller Lösungen der Gleichung in der Gauß’schen Zahlenebene.
(05.08.2008)
16. (a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil sowie Betrag und Phase der komplexen
Zahl za ,
1−j
1
za =
j 2 = −1.
3 − 1−j,
3
3
3j + (1 − j )
(b) Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung
z 4 = zb = 8 − 4j,
j 2 = −1.
Geben Sie die Lösungen in kartesischer Darstellung an. Skizzieren Sie die Lage
der Zahl zb und aller Lösungen in der Gauß’schen Zahlenebene.
(18.02.2009)
17. (a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil sowie Betrag und Phase der komplexen
Zahl a:
a=
2−j
j
+
,
j 3 + (1 + j)4
1−j
j 2 = −1
(b) Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung
z2 = b = 1 +
p
−1 + j
Geben Sie die Lösungen in Polarkoordinaten und in kartesischer Darstellung an.
Skizzieren Sie die Lage von b und aller Lösungen der Gleichung in der Gauß’schen
Zahlenebene.
(8.3.2010)
26
18. (a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil sowie Betrag und Phase der komplexen
Zahl a:
a=
2+j
j
+
,
j 5 + 2(1 − j)3
1 − 2j
j 2 = −1
(b) Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung
z2 = b = 1 + j −
p
−2 − j
Geben Sie die Lösungen in Polarkoordinaten und in kartesischer Darstellung an.
Skizzieren Sie die Lage von b und aller Lösungen der Gleichung in der Gauß’schen
Zahlenebene.
(23.08.2010)
19. (a) z1 , z2 ∈ C seien zwei komplexe Zahlen. Zeigen Sie, dass allgemein gilt:
z1 |z1 |
=
z2 |z2 |
(b) Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung
√
z3 = b = 1 + j 3
Geben Sie die Lösungen in kartesischer Darstellung an. Skizzieren Sie die Lage
von b und aller Lösungen der Gleichung in der Gauß’schen Zahlenebene.
(21.3.2011)
20. (a) Welche Menge in der komplexen Ebene wird durch
π
3π
M = z 1 ≤ |z| < 2, ≤ arg(ϕ) <
4
4
beschrieben?
(b) Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung
s
1−j
2
z =b=1+j 1+
1+j
Geben Sie die Lösungen in kartesischer Darstellung an. Skizzieren Sie die Lagen
von b und aller Lösungen der Gleichung in der Gauß’schen Zahlenebene.
(25.07.2011)
21. (a) Welche Menge in der komplexen Ebene wird durch
M = {z = x + jy ∈ C | |4z − 5j| ≤ Im(4z − 3j) ∩ |z + j| ≤ 4} , j 2 = −1
beschrieben? Bilden Sie dazu die Durchschnitssmenge der Mengen
M1 = {z ∈ C | |4z − 5j| ≤ Im(4z − 3j)} und M2 = {z ∈ C | |z + j| ≤ 4} ,
(b) Bestimmen Sie die Real- und Imaginärteile folgender komplexer Zahlen z = x+jy:
√ 7
i. z = 1 + 3j
2 + 3j
ii. z =
4 − 5j
iii. z 2 = 1 + j
(19.03.2012)
22. (a) Bestimmen Sie die Real- und Imaginärteile folgender komplexer Zahlen z = x+jy:
!5
1
√ i. z =
j 1 − 3j
27
1 + 3j
ii. z = 1 + j 3 ·
4 − 6j
1
iii. z = (1 − j) 3
(b) Welche komplexen Zahlen erfüllen die Gleichung |z + 1 + j| = |z − 1 − j| ?
(30.07.2012)
23. (a) Welche Figur in der komplexen Ebene wird durch
t jt
e , t ∈ [0, 4π] , j 2 = −1
M = z = x + jy ∈ C | z =
2π
beschrieben? Skizzieren Sie die Figur.
(b) Bestimmen Sie die Real- und Imaginärteile folgender komplexer Zahlen z = x+jy:
i. z = (3 + 3j)7
2 − 3j
ii. z =
−4 + 5j
iii. z 2 = 1 + j
(22.02.2013)
28
Kapitel 3
Mathematik 2
3.1
Differentialrechnung
Berechnen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen nach der Variablen x. Vereinfachen Sie Ihr Ergebnis so weit wie möglich.
p
1. f (x) = cos(x) xcos(2x) + x ln(x)
(07.08.2001)
p
2. f (x) = sin(x) xsin(3x) + x exp(x)
(04.04.2002)
3. f (x) = x4 cot(x4 ) + x2 arctan( x1 )
(09.08.2002)
4. f (x) = x3 cot(x5 ) + x3 arccot( x12 )
(27.03.2003)
5. f (x) = sinh(x3 ) ln2 (ax) + cos(x2 ) tan(x2 ), a reell
(10.10.2003)
6. f (x) = x5 coth(2x) ln(bx) − sin(x4 ) cot(x4 ), b reell
(07.04.2004)
7. f (x) = xa sinh(4x) exp(ax) − cos2 (x2 ) tan(x2 ), a reell
(06.08.2004)
8. f (x) = xa cosh(−ax) exp(−3x) − sin2 (x4 ) cot(x4 ), a reell
(07.03.2005)
9. f (x) = xb cos(4ax) exp(−ax) − sinh3 (x2 ) coth(x2 ), a, b reell
(26.07.2005)
10. f (x) = xb tan(x3 ) − x4 · arccot( x12 ), b reell
(01.03.2006)
11. f (x) = xb sin(4bx) exp(−ax2 ) − sinh3 (x4 ) coth(x4 ), a,b reell
p
12. f (x) = exp( ln(ax)) + sin(bx)xtan(x) , a,b reell
(05.03.2007)
14. f (x) = cos(x) ln(x)sin(x) + cos(ex cos(x3 ))
(03.03.2008)
13. f (x) = exp((ln(ax))2 ) + cot(x sin(x2 )),
n
15. f (x) = sin(x) arctan(x)x + ecos(x)e
a reell
x3
2
17. f (x) = cos(x)ecos(bx) + sin(sin(sin(x)2 ))
18. f (x) = cos(x) (tan(x))ln(x ) + esin(x) cot(x
19. f (x) = sin(x2 ) sin(x2 ) cos(x
2
)−1
+√
(20.08.2007)
(16.06.2008)
16. f (x) = cos(x2 )(2x)cos(2x) + cos(tan(x2 ) cos(x2 ))
2
(21.06.2007)
2
(05.03.2009)
)
sinh(x)
cosh(x) e sinh(x)
20. f (x) = sin(x2 ) ecos(ax) ln(bx)−bx + sin(cos((ex )2 ))
p
n ln(c x2 )
21. f (x) = cos( sin(ax)) + cos(bx) ee
)
√
n
2
22. f (x) = sin( x) cot(x2 ) ex + cos(esin(x ) )
p
23. f (x) = sin(x2 ) asin(bx) ln(cx) + cos(ln((ex )2 )), a,b,c ∈ R+
29
(28.07.2008)
(06.07.2009)
(25.08.2009)
(09.03.2010)
(02.06.2010)
(26.08.2010)
(22.03.2011)
24. f (x) = sinh (tanh (ln (2 x))) +
q
√
a cos a x + eax ,
a∈R
Hinweis: Prüfen Sie, ob Vereinfachungen möglich sind.
25. f (x) = cosh (ln(a tanh(b sin(x)))) + cos 1 − sin2 (x) bcos(bx)
(15.06.2011)
a,b ∈ R+ (02.08.2011)
26. Berechnen Sie die zweite Ableitung der Funktion f (x) nach der Variablen x:
q
2
f (x) = e x + ln (x)
Vereinfachen Sie Ihr Ergebnis so weit wie möglich!
(02.02.2012)
27. Betrachten Sie die Funktion
f (x) = tan arcsin x2
1√
2.
2
Welchen Wert hat f (x0 ) an der Nullstelle von t(x) : t(x0 ) = 0 ? Schätzen Sie diesen
Wert ab.
(15.06.2012)
Bestimmen Sie die Tangente t(x) an die Funktion f (x) im Punkt x =
28. Betrachten Sie die Funktion
f (x) = sin arctan
!!
√
1 − x2
,x>0
x
(a) Bestimmen Sie die Sekante, die durch die Kurvenpunkte bei x = 0 und x = 1
geht.
(b) In welchem Punkt berührt die Tangente mit der gleichen Steigung wie diese Sekante die Funktion f (x)?
(c) In welchen Punkten schneidet diese Tangente die x- und die y-Achse?
(22.08.2012)
29. Betrachten Sie die Funktion
y = f (x) = ea ln(x)+b , a, b ∈ R
Bestimmen Sie die Parameter a und b so, dass die Steigung der Funktion bei x = e
den Wert 10 hat und ihre Krümmung dort verschwindet. Skizzieren Sie die Funktion
und finden Sie eine Erklärung für Ihr Ergebnis.
(28.02.2013)
30
3.2
Grenzwerte
Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
ln(x)
1. limx→0+ cos(x)−1
x
2. limx→0+
sin(x)−x
2x2
(07.08.2001)
ln2 (x)
3. limx→0+
ln( sin(x)
)
x
cos(x)−1
4. limx→0+
sin(3x)−3x
x(cos(2x)−1)
(04.04.2002)
(09.08.2002)
(27.03.2003)
5. Für welche reellen Werte von a existiert der Grenzwert
limx→0+ x(cos(2x)−1)
sin(4x)−ax ln(x) ,
und für welche(n) Wert(e) existiert er nicht?
(10.10.2003)
6. limx→0+
7. limx→0+
1
x
−
1
sin(x)
ln(1−cos(x))
ln(x)
8. (a) limx→0+
(07.04.2004)
(06.08.2004)
ln(sin(x))
ln(x)
(b) limx→π (sin(x))
sin(x)
(07.03.2005)
ln(x−sin(x))
ln(x)
(26.07.2005)
10. limx→0+
sin(x2 )
x sin(x)
(01.03.2006)
11. limx→0+
ln(2x−sin(2x))
ln(x)
(05.03.2007)
12. limx→0+
x sin(ax)
1−cos(bx)
(21.06.2007)
9. limx→0+
13. limx→0
x(1−cos(ax))
,
sin(bx3 )
14. limx→0
x(x−sin(ax))
1−cos(bx)
15. limx→0
cos(ax)−1
x(2x−ebx +e−bx )
a, b reell
,
(20.08.2007)
a, b reell
,
(03.03.2008)
a, b reell
(16.06.2008)
16. Für welchen Wert des reellen Parameters a existiert der folgende Grenzwert?
Berechnen
für diesen Wert von a.
Sie den Grenzwert
1
, a reell
(28.07.2008)
limx→0 x12 − cos(ax)−1
17. limx→0
18. limx→0
19. limx→0
ln(1−cos(2x))
ln(ax)
1
x sin(x)
x (x−tan(a x))
1−cos(b x)
,
(05.03.2009)
a reell
,
a, b 6= 0 ,reell.
− cot2 (x)
(06.07.2009)
(25.08.2009)
20. limx→ π2 cos(x)cos(2x) + 1
21. limx→0
1−cos(x)2
sin(ax2 )
,
(09.03.2010)
a 6= 0, reell.
(03.06.2010)
22. limx→0 x1 ( x1 − cot(x))
x
sin
−1
2
23. limx→π sin(x)
(26.08.2010)
(22.03.2011)
24. Berechnen
Sie den Grenzwert:
1
limx→0 x22 + cos(x)−1
(15.06.2011)
31
25. limx→0
1
sin(x)
+
1
ln(1−x)
26. limx→1 [ln(x) ln(1 − x)]
x+1
27. limx→∞ x ln aa x−1
,
28. limx→0
(02.08.2011)
(02.02.2012)
(15.06.2012)
a∈R
sin(x+x3 )−x
sin(x3 ) cos(x3 )
(22.08.2012)
29. Bestimmen Sie auf geeignete Weise den Grenzwert
limx→0 tanh(c ln(x)), c ∈ R in Abhängigkeit des Parameters c.
32
(28.02.2013)
3.3
Integrale
1. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
Z
A=
5
cosh (x)dx, B =
Z
Z
3
x ln(2x) ln(3b)dx, C =
x2 + 2x + 29
dx
x3 + 4x2 + 29x
(07.08.2001)
2. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
A=
Z
sinh5 (2x)dx, B =
Z
x2 ln(3x) ln(4a)dx, C =
Z
x2 + 2x + 28
dx
x3 + 6x2 + 28x
(04.04.2002)
3. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
A=
Z
dx
q
, B=
x 9 + 16 ln2 (x)
Z
1
ln(ln(x))dx, C =
x
Z
x3 + x − 1
dx
(x2 + 1)(x − 1)
(09.08.2002)
4. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
A=
Z
dx
q
, B=
x 4 − 8 ln2 (x2 )
Z
3
2
x ln (x)dx, C =
Z
x3 + x − 1
dx
(x2 − 4)(x + 1)
(27.03.2003)
5. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
A=
Z
cos(x) dx
, B=
1 − cos(x)
Z
sin(ln(x))dx, C =
Z
x3 + x2 + x + 1
dx
x3 + x2 + x
(10.10.2003)
6. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
A=
Z
∞
exp(−4x2 + ln(x))dx, B =
0
Z
x ln2 (4x)dx, C =
Z
1
dx
1 + x3
(07.04.2004)
7. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
A=
Z
0
π/2
sin(x) cos(x)
dx, B =
1 + sin(x)
Z
sin(x) ln(cos2 (x))dx, C =
Z
6x3 + 8x + 4
dx
(x2 + 16)(x2 + 36)
(06.08.2004)
33
8. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
A=
Z
x
√
dx, B =
2
x +x−1
Z
exp(−δt) cos(ωt)dt, C =
Z
3x + 5
dx
(x − 1)(x + 5)(x + 7)2
(07.03.2005)
9. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
A=
,
Z
Z
(exp(2x) + 3) exp(x)
dx
dx, B =
(exp(2x) + 16)(exp(2x) + 32)
sin(x) + 2 cos(x)
Z
2x − 1
dx
C=
(x + 1)(x + 3)(x2 + 16)
(26.07.2005)
10. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
A=
Z
√
x
dx, B =
2
x − 4x + 7
Z
exp(−δt) sin(ωt)dt, C =
Z
2x + 4
dx
(x + 2)(x + 3)(x2 + 36)
(01.03.2006)
11. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
A=
Z
dx
, B=
sin(2x) + 2 cos(x)
Z
x
dx, C =
cos2 (x)
Z
2x − 1
dx
(x + 2)(x + 4)(x2 + 9)
(05.03.2007)
12. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
A=
Z
sin(x)dx
, B=
cos(x) + sin(2x)
Z
x
dx, C =
sin2 (x)
Z
x3 − x2 + 1
dx
(x − 2)(x − 1)(x2 + 2x + 2)
(21.06.2007)
13. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
Z
Z
dx
A=
dx, B = cos(ln(x))dx,
sin(x) + cos(x) + 1
C=
Z
x3 + x2 + x + 2
dx
x3 + 2x2 + x
(20.08.2007)
14. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
Z
Z
cos(x)
x
A=
dx, B =
dx,
sin(x) − cos(2x)
(tan(x))2
C=
Z
(x2
x−1
dx
− 1)(x + 1)(x2 + 4)
(03.03.2008)
15. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
Z
Z
A = x2 cos(x3 ) sin(2x3 )dx, B =
π/2
cos(x) ln(3 sin(x)n )dx
π/4
(16.06.2008)
34
16. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
A=
Z
x sin(x2 )
dx,
cos(2x2 )
Z
C=
B=
Z
π/2
sin(x) ln((1 + cos(x))3 )dx
π/4
x2 − 1
dx
(x2 − 4)(x + 1)(x2 + 9)
(28.07.2008)
17. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
A=
Z
Z ln(2)
x2 cos(x3 )
dx,
B
=
cosh(x) ln((1 + sinh(x))2 )dx
sin(x3 ) + 1
0
Z
2x3 − 3x2 + 1
C=
dx
(x2 + 2x + 4)(x − 1)(x2 − 9)
(05.03.2009)
18. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
A=
Z
√
2π
x sin(x2 ) cos(2x2 ) dx,
B=
0
19. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
Z √ 2
Z 2
x cos(x)
x +4
A=
dx,
B
=
dx
x3
sin3 (x)
Z
C=
x arctan(x)
√
dx
1 + x2
(06.07.2009)
Z
x3
x4 + 1
dx
− x2 + x − 1
(25.08.2009)
20. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
Z
Z
Z
√
√
3 cos(x) + 7 sin(x)
x3 − 2 x2 + 4
A=
dx B = ln 1 − x + 1 + x dx C =
dx
5
5 cos(x) + 2 sin(x)
x − 4 x4 + 4 x3
(09.03.2010)
21. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
A=
Z
0
π/2
sin(2x) cos(x)
dx,
1 + cos(x)
B=
Z
ln(2)
0
sinh(x) ln 1 + cosh(x)2 dx
Es dürfen nur die Grundintegrale aus dem Skript verwendet werden.
(03.06.2010)
22. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
Z
Z
Z
p
cos(x)
x5 + 1
A=
dx B = ln x + 1 + x2 dx C =
dx
cos(x) + sin(x)
x6 + x4
Es dürfen nur die Grundintegrale aus dem Skript verwendet werden.
(26.08.2010)
23. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
Z
Z
Z
x3 − 2 x2 + 1
tan(x)
A=
dx B = cosh(x) ln(1 + ex ) dx C =
dx
5
1 + tan(x)
x − 3 x4 + 3 x3 − x2
Es dürfen nur die Grundintegrale aus dem Skript verwendet werden.
35
(22.03.2011)
24. Berechnen Sie explizit (nur die Rückführung auf Grundintegrale ist erlaubt, keine
Formelsammlung) folgende Integrale
A=
Z
0
∞
1
dx,
sinh(x) + 3 cosh(x)
B=
Z
x
dx
sinh2 (x)
Bevor Sie das Integral A berechnen, überlegen Sie, was das Ergebnis sein könnte.
Skizzieren Sie Ihre Überlegungen.
(15.06.2011)
25. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
Z
Z
Z
1
x3 + 2 x2 + x − 3
bx
A=
dx,
B
=
x
sin(a
x)
e
dx,
C
=
dx
2
x3 − 3 x2 + 4 x − 2
a2 sin (x) + b2 cos2 (x)
(02.08.2011)
a, b ∈ R
26. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
Z
Z
Z
sin(x)
x2 − x − 2
A = tan3 (x) dx, B = x2
dx
C
=
dx
3
5
4
cos (x)
x − 5x + 9x3 − 9x2 + 8x − 4
(02.02.2012)
27. Berechnen Sie die Integrale
A=
Z
B=
Z
√
1−3 x
√ dx,
1+3 x
1
0
3
x2 ln x3
dx
Begründen Sie das numerische Ergebnis von B mathematisch exakt!
28. Berechnen Sie die Integrale
A=
Z
4x
√
dx
2
1 − x (3 + x2 )
B=
Z
x2 ln(
p
4
x2 + 1) dx
(15.06.2012)
(22.08.2012)
29. Berechnen Sie das uneigentliche Integral
C=
Z∞
−∞
1
e3x
dx
1 + ex
(22.08.2012)
30. Berechnen Sie explizit folgende Integrale
Z
1
A=
cot3 (a ln(bx)) dx, a, b ∈ R,
x
B=
Z
12x3 + 36
√
dx
5
3x + 2
(28.02.2013)
31. Berechnen Sie explizit das folgende Integral
Z 4
x + 5 x3 + 16 x2 + 26 x + 22
dx
C=
x3 + 3 x2 + 7 x + 5
und als Alternative oder als Zusatzaufgabe (3 Punkte) berechnen Sie:
Z
1
C=
dx
1 + x4
Hinweis und Vorschlag: Bestimmen Sie hier zunächst die komplexen Nullstellen des
Nenner und faktorisieren Sie ihn dann in zwei reelle Polynome 2. Grades als Grundlage
für die PBZ.
(28.02.2013)
36
3.4
Taylorreihen
1. Entwickeln Sie für die Funktion
f (x) =
1 − cos(x)
x
durch Reihenentwicklung eine Näherungsformel, deren Fehler im Intervall |x| ≤ 1
kleiner als 0.001 ist. Sie können zur Lösung bekannte Taylorreihen verwenden.
(07.08.2001)
2. Entwickeln Sie für die Funktion
f (x) =
x − sin(x)
x3
durch Reihenentwicklung eine Näherungsformel, deren Fehler im Intervall |x| ≤ 0.5
kleiner als 0.001 ist. Sie können zur Lösung bekannte Taylorreihen verwenden.
(04.04.2002)
3. Bestimmmen Sie genügend viele Glieder der Taylor-Reihe der Funktion
1
f (x) = √
1 + x5
um die Funktion an der Stelle x = 0.5 auf sechs Dezimalstellen genau auszuwerten.
(09.08.2002)
4. Bestimmmen Sie genügend viele Glieder der Taylor-Reihe der Funktion
f (x) = √
3
1
1 + x5
um die Funktion an der Stelle x = 0.5 auf sechs Dezimalstellen genau auszuwerten.
Berechnen Sie damit den Wert von f (x) an dieser Stelle mit dieser Genauigkeit.
(27.03.2003)
5. Entwickeln Sie für die Funktion
f (x) =
1 − cos(x)
2x2
durch Reihenentwicklung eine Näherungsformel, deren Fehler im Intervall |x| ≤ 0.7
kleiner als 1.5 · 10−4 ist. Sie können zur Lösung bekannte Taylorreihen verwenden.
(10.10.2003)
6. Entwickeln Sie das folgende Integral durch Reihenentwicklung des Integranden bis zur
vierten Dezimale genau:
2
Z π/6 sin(2x)
I=
dx.
x
0
Sie können bekannte Taylor-Reihen unter Angabe der Quelle und der dort angegebenen
Formel benutzen. Begründen Sie Ihr Ergebnis durch eine Fehlerabschätzung.
(07.04.2004)
7. Entwickeln Sie das folgende Integral durch Reihenentwicklung des Integranden bis zur
dritten Dezimale genau:
Z 0.6
I=
x exp(−x2 )dx.
0
Sie können bekannte Taylor-Reihen unter Angabe der Quelle und der dort angegebenen
Formel benutzen. Wie viele Terme der Taylor-Reihe benötigen Sie? Begründen Sie Ihr
Ergebnis durch eine Fehlerabschätzung.
(06.08.2004)
37
8. Entwickeln Sie das folgende Integral durch Reihenentwicklung des Integranden auf
sechs Dezimalen genau:
Z 0.9
sin(−x2 )
dx.
I=
x
0
Sie können bekannte Taylor-Reihen unter Angabe der Quelle und der dort angegebenen
Formel benutzen. Wie viele Terme der Taylor-Reihe benötigen Sie? Begründen Sie Ihr
Ergebnis durch eine Fehlerabschätzung.
(07.03.2005)
9. Entwickeln Sie das folgende Integral durch Reihenentwicklung des Integranden bis zur
vierten Dezimale genau:
Z
0.9
I=
x tanh(−x2 )dx.
0
Sie können bekannte Taylor-Reihen unter Angabe der Quelle und der dort angegebenen
Formel benutzen. Wie viele Terme der Taylor-Reihe benötigen Sie? Begründen Sie Ihr
Ergebnis durch eine Fehlerabschätzung und vergleichen Sie die Fehlerabschätzung mit
dem tatsächlichen Fehler.
????
(26.07.2005)
10. Bestimmmen Sie genügend viele Glieder der Taylor-Reihe der Funktion
x
(1 + x4 )1/3
f (x) =
um die Funktion an der Stelle x = 0.6 auf fünf Dezimalstellen genau zu berechnen. Wie
viele Terme der Taylor-Reihe benötigen Sie? Begründen Sie Ihr Ergebnis durch eine
Fehlerabschätzung und vergleichen Sie die Fehlerabschätzung mit dem tatsächlichen
Fehler.
(01.03.2006)
11. Berechnen Sie das folgende Integral durch Reihenentwicklung des Integranden bis zur
vierten Dezimale genau:
Z 0.5
I=
x2 tanh(−2x2 )dx
0
Sie können bekannte Taylorreihen unter Angabe der Quelle und der dort angegebenen
Formel benutzen. Wie viele Terme der Taylorreihe benötigen Sie? Begründen Sie Ihr
Ergebnis durch eine Fehlerabschätzung und vergleichen Sie die Fehlerabschätzung mit
dem tatsächlichen Fehler.
(05.03.2007)
12. Berechnen Sie das folgende Integral durch Reihenentwicklung des Integranden auf eine
Genauigkeit von 1 × 10−9 :
I=
Z
0.5
0
1 − cos(x2 )
dx
x4
Sie können bekannte Taylorreihen unter Angabe der Quelle und der dort angegebenen
Formel benutzen. Wie viel Terme der Taylorreihe benötigen Sie? Begründen Sie Ihr
Ergebnis durch eine Fehlerabschätzung.
(20.08.2007)
13. Berechnen Sie das folgende Integral durch Reihenentwicklung des Integranden auf eine
Genauigkeit von 1 × 10−7 :
I=
Z
π/3
x sin(−x2 )dx
0
Sie können bekannte Taylorreihen unter Angabe der Quelle und der dort angegebenen
Formel benutzen. Wie viele Terme der Taylorreihe benötigen Sie? Begründen Sie Ihr
38
Ergebnis durch eine Fehlerabschätzung.
Berechnen Sie den exakten Wert des Integrals und vergleichen Sie es mit Ihrem Ergebnis. Wie groß ist der wirkliche Fehler? (0.5 Zusatzpunkte).
(03.03.2008)
14. Berechnen Sie das folgende Integral durch Reihenentwicklung des Integranden auf eine
Genauigkeit von 1 × 10−9 :
I=
Z
π/4
x2 (1 − cos(−x3 ))dx
0
Sie können bekannte Taylorreihen unter Angabe der Quelle und der dort angegebenen
Formel benutzen. Wie viele Terme der Taylorreihe benötigen Sie? Begründen Sie Ihr
Ergebnis durch eine Fehlerabschätzung.Wie groß ist der exakte Fehler? Vergleichen Sie
ihn mit Ihrem Ergebnis und kommentieren Sie!
(28.7.2008)
15. Berechnen Sie das folgende Integral durch Reihenentwicklung des Integranden auf eine
Genauigkeit von 1 × 10−7 :
I=
Z
0.5
√
4
0
x3
dx
1 + x3
Sie können bekannte Taylorreihen unter Angabe der Quelle und der dort angegebenen
Formel benutzen. Wie viele Terme der Taylorreihe benötigen Sie? Begründen Sie Ihr
Ergebnis durch eine Fehlerabschätzung.
(05.03.2009)
16. Berechnen Sie die Reihenentwicklung des folgenden unbestimmten Integrals unter Benutzung bekannter Taylorreihen:
I(x) =
Z
e−x
dx
x3
Berechnen Sie nun das das bestimmte Integral
I=
Z
0.2
0.1
e−x
dx
x3
auf eine Genauigkeit von 1×10−4. Wie viele Terme der Reihenentwicklung des Integrals
benötigen Sie? Begründen Sie Ihr Ergebnis durch eine Fehlerabschätzung. (25.08.2009)
17. Berechnen Sie die ersten 5 Terme der Reihenentwicklung des folgenden unbestimmten
Integrals unter Benutzung bekannter Taylorreihen:
Z p
I(x) =
cos(x) dx
Berechnen Sie nun das das bestimmte Integral
I=
Z
π/6
0
p
cos(x) dx
auf eine Genauigkeit von 1×10−3. Wie viele Terme der Reihenentwicklung des Integrals
benötigen Sie? Begründen Sie Ihr Ergebnis durch eine möglichst exakte Fehlerabschätzung.
(09.03.2010)
18. Berechnen Sie die ersten 6 Terme der Reihenentwicklung des folgenden unbestimmten
Integrals unter Benutzung bekannter Taylorreihen:
Z
x2
√
I(x) =
dx
3
1 + x5
39
Berechnen Sie nun das das bestimmte Integral
Z 0.4
x2
√
I=
dx
3
1 + x5
0
auf eine Genauigkeit von 1 × 10−10 . Wie viele Terme der Reihenentwicklung des Integrals benötigen Sie? Begründen Sie Ihr Ergebnis durch eine möglichst exakte Fehlerabschätzung.
(26.08.2010)
19. Berechnen Sie ein Polynom Pn (x) als Näherungsfunktion für die Funktion
sin(x)
,
1 + cos(x)
f (x) =
die diese im Intervall I = [0, 2] mit einer absoluten Genauigkeit von ǫ = 0.1 approximiert.
Wie viele Terme der Reihenentwicklung benötigen Sie? Begründen Sie Ihr Ergebnis
durch eine möglichst exakte, zumindest mit einer heuristischen Fehlerabschätzung.
Sie dürfen dazu bekannte Taylorreihen unter Angabe der Quelle und der verwendeten
Formel verwenden.
(22.03.2011)
20. Berechnen Sie das Integral
J =
Z
2
3
cos(x) e−x dx
0
mit Hilfe einer Reihenentwicklung auf eine Genauigkeit von 5 Dezimalstellen. Führen
Sie eine Fehlerabschätzung durch und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem tatsächlichen Fehler.
Sie dürfen dazu bekannte Taylorreihen unter Angabe der verwendeten Formel verwenden.
(02.08.2011)
21. Berechnen Sie ein Polynom P4 (x) vom Grad 4 als Näherungsfunktion für die Funktion
f (x) = (1 + x)2 ln(1 + x)
Zeigen Sie, dass der Fehler ǫ(x) = |f (x) − P4 (x)| des Polynoms im Intervall x ∈ [0, 0.1]
1
kleiner ist als 10−6 .
(02.02.2012)
3
22. Berechnen Sie das Taylor’sche Näherungspolynom 2. Ordnung, P2 (x), der Funktion
f (x) = ln 1 + sin(x)
um den Entwicklungspunkt x0 = 0 und zeigen Sie, dass gilt
|f (x) − P2 (x)| ≤ 2 · 10−4 für x ∈ [0, 0.1]
Bemerkung: Sollten Sie das Leibnitz-Kriterium verwenden wollen, so müßten Sie zunächst zeigen, dass die Taylorreihe von f (x) alternierend ist.
(22.08.2012)
23. Betrachten Sie die Funktion
f (x) =
1
4+x
(a) Bestimmen Sie die allgemeine Form der Mac Laurin’schen Reihe (Taylor Reihe
um x = 0) von f (x) und berechnen Sie deren Konvergenzradius.
(b) Bestimmen Sie die allgemeine Form der Taylor Reihe von f (x) um x = 1 und
berechnen Sie deren Konvergenzradius.
(c) Bestimmen Sie die allgemeine Form der Taylor Reihe von g(x) = ln(x + 4) um
x = 1 und berechnen Sie deren Konvergenzradius.
(d) Gibt es für die von Ihnen gefundenen Konvergenzradien eine gemeinsame Erklärung? Wenn ja, welche?
(28.02.2013)
40
3.5
Fourierreihen
1. Zeichnen Sie die folgende Funktion der Periode T = 8 und berechnen Sie ihre FourierReihe:
2 − t für −4 ≤ t ≤ 0
f (t) =
t − 6 für 0 ≤ t ≤ 4
(24.03.1998)
2. Berechnen Sie die Fourier-Reihe der folgenden Funktion der Periode
T = 2π:
f (t) = A exp(t), t ∈ [0, 2π]
Geben Sie das Amplitudenspektrum bis f = 5ω an.
(xx.xx.xxxx)
3. Berechnen Sie die Fourier-Reihe der folgenden der Periode T = 6:
f (t) =
−t − 4 für
−4 + t für
−3 ≤ t ≤ 0
0≤t≤3
Fertigen Sie zunächst eine Zeichnung der Funkton an und geben Sie das Linienspektrum (erste 5 Spektrallinien) an.
(Sept. 2000)
4. Berechnen Sie die Fourier-Reihe der folgenden Funktion mit der Periode T = 4:
1
−t − 4 für −2 ≤ t ≤ 0
f (t) =
−4 + t für 0 ≤ t ≤ 2
8
Fertigen Sie eine Zeichnung der Funktion an, berechnen Sie die Fourierkoeffizienten
und geben Sie explizit das Linienspektrum der ersten vier Spektrallinien an.
5. Berechnen Sie die Fourier-Reihe der folgenden Funktion mit der Periode T = 2:
1
−t3 − 1 für −1 ≤ t ≤ 0
f (t) =
−2 + t3 für 0 ≤ t ≤ 1
4
Fertigen Sie eine Zeichnung der Funktion an, berechnen Sie die Fourierkoeffizienten
und geben Sie explizit das Linienspektrum der ersten vier Spektrallinien an.
(27.03.2003)
6. Berechnen Sie die Fourierreihe der Funktion
f (t) =
1
(t − π)2 ,
π
0 ≤ t < 2π,
die periodisch auf die Menge der reellen Zahlen fortgesetzt wird.
Fertigen Sie eine Zeichnung der Funktion an, berechnen Sie die Fourierkoeffizienten und
geben Sie die Fourierreihe an. Welche Werte haben die ersten vier Fourierkoeffizienten?
(20.08.2007)
7. Berechnen Sie die Fourierreihe der Funktion
1
f (t) = (t − 1)2 − ,
2
0 ≤ t < 2,
die periodisch mit der Periode T = 2 auf die die Menge der reellen Zahlen fortgesetzt
wird.
Fertigen Sie eine Zeichnung der Funktion an, berechnen Sie die allgemeine Form der
Fourierkoeffizienten an und bn und geben Sie die Fourierreihe an. Welche Werte haben
die ersten vier Fourierkoeffizienten von an und bn ?
(28.07.2008)
41
8. Berechnen Sie die Fourierreihe der Funktion
f (t) = t cos(t),
−π ≤ t < π,
die periodisch mit der Periode T = 2π auf die die Menge der reellen Zahlen fortgesetzt
wird.
Fertigen Sie eine Skizze der Funktion an, berechnen Sie die allgemeine Form der Fourierkoeffizienten an und bn und geben Sie die Fourierreihe an. Welche Werte haben die
ersten vier Fourierkoeffizienten von an und bn ?
(25.08.2009)
9. Berechnen Sie die Fourierreihe der Funktion
f (x) = sinh(ax),
−π ≤ x < π,
a ∈ R,
die periodisch auf die Menge der reellen Zahlen fortgesetzt wird.
Fertigen Sie eine Zeichnung der Funktion an, berechnen Sie die Fourierkoeffizienten und
geben Sie die Fourierreihe an. Skizzieren Sie das Spektrum der periodischen Funktion
für die ersten fünf Fourierkoeffizienten.
(26.08.2010)
10. Gegeben sei die periodische Funktion f (t) der Periode T = π
f (t) =
1 π
− sin(t),
2
4
0≤t≤π
• Bestimmen Sie die zugehörige Kreisfrequenz ω und berechnen Sie die Fourierreihe
von f (t)
• Berechnen und vergleichen Sie die Integrale
Z
2 π 2
J1 =
f (t) dt
π 0
(
)
Z
5
2 π
a0 X
J2 =
f (t)
+
an cos(nωt) + bn sin(nωt) dt
π 0
2
n=1
Kommentieren und erklären Sie die unterschiedlichen Werte der beiden Integrale!
Bemerkung: Sie dürfen Integraltafeln benutzen!
42
(02.08.2011)
3.6
Gewöhnliche Differentialgleichungen
1. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung
y ′′ (x) − 3y ′ (x) = (3x + 2) exp(3x) + sin(3x)
Wie lautet die Lösungsschar, die durch den Punkt P (x = 0, y = 1) geht?
(07.08.2001)
2. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung
y ′′ (x) − 2y ′ (x) = (2x + 2) exp(3x) + cos(3x)
Gibt es eine Lösungsschar, die durch den Punkt P (x = 0, y = 2) geht? Wenn ja, geben
Sie diese an!
(04.04.2002)
3. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung
y ′′ (x) − 2y ′ (x) + y(x) = (2x + 2) exp(x) + 2 sin(x) + cos(3x)
Wie lautet die Lösungsschar, die die Bedingung y ′ (0) = 1 erfüllt?
(10.10.2003)
4. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung
y ′′ (x) − 2y ′ (x) + 2y(x) = cos(x) exp(x) + x exp(−x).
Wie lautet die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen
y(0) = 0, y ′ (0) = 1?
(07.04.2004)
5. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung
y ′′ (x) + 3y ′ (x) − 4y(x) = x exp(x) + sin(x).
Wie lautet die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen
y(0) = 0, y ′ (0) = 0?
(06.08.2004)
6. Bestimmen Sie die homogene und die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung
√
y ′′ (x) + 2y ′ (x) + 3y(x) = x + exp(−x) sin( 2x).
Wie lautet die Lösungsschar zu den Anfangsbedingungen
y(0) = 0, y ′ (0) = beliebig?
(07.03.2005)
7. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung
y ′′ (x) + 4y ′ (x) + y(x) = sin(x) + sinh(2x).
Wie lautet die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen
y(0) = 0, y ′ (0) = 0?
(26.07.2005)
43
8. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung
y ′′ (x) − 6y ′ (x) + 5y(x) = sin(x) + exp(5x).
Wie lautet die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen
y(0) = 0, y ′ (0) = 0?
(01.03.2006)
9. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung
y ′′ − 3y ′ + 2y = cos(2x) + sinh(2x)
Wie lautet die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen
y ′ (0) = 1, y(0) = 1?
(05.03.2007)
10. Berechnen Sie die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung
y ′′ (x) + 2y ′ (x) + 2y(x) = (x + 1) sin(x)
Bestimmen Sie die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen y(0) = 1, y ′ (0) = 1.
(03.03.2008)
11. Gegeben ist die Differentialgleichung (DGl)
y ′′ (t) + 2y ′ (t) = (t + 1)e−2t + sin(2t)
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der homogenen und der inhomogenen Differentialgleichung. Wie lautet die spezielle Lösung der DGl zu den Anfangsbedingungen
y(0) = 1, y ′ (0) = 0. Gibt es eine Lösungsschar, die durch den Punkt y(t = 0) = 0
geht? Wenn ja, bestimmen Sie sie.
(6.1.2009)
12. Betrachten Sie die Differentialgleichung (DGl)
2y ′′ (t) + 3y ′ (t) + y(t) = (t − 2)e−t + 3 cos(t) − sin(t)
Bestimmen Sie mittels geeigneter Ansätze für die Lösungsfunktion die allgemeine Lösung der homogenen und der inhomogenen DGl. Wie lautet die spezielle Lösung der
DGl zu den Anfangsbedingungen y(0) = 0, und y ′ (0) = 1. Gibt es eine Lösungsschar,
die die Anfangssteigung y ′ (0) = 0 besitzt? Wenn ja, bestimmen Sie diese. (27.02.2009)
13. Berechnen Sie die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung
y ′′ (x) + 2y ′ (x) + y(x) = 2ex − 2 cos(x)
Bestimmen Sie die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen y(0) = 1 und y ′ (0) =
1.
(05.03.2009)
14. Bestimmen Sie mittels geeigneter Ansätze die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (DGL)
y ′′ (t) + 3y ′ (t) + 2y(t) = (2t + 1)e−2t − 20 cos(−2t)
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der homogenen und der inhomogenen DGL. Wie
lautet die spezielle Lösung der DGL zu den Anfangsbedingungen y(0) = 0, y ′ (0) = 1.
Gibt es Lösungen, die durch den Punkt y ′ (t = 0) = 1 gehen? Wenn ja, bestimmen Sie
diese.
(05.01.2010)
44
15. Betrachten Sie die Differentialgleichung (DGl)
2y ′′ (t) − 3y ′ (t) − 2y(t) = 50 (t − 1)e−t/2 + 68 cos(2t)
Bestimmen Sie mittels geeigneter Ansätze für die Lösungsfunktion die allgemeine Lösung der homogenen und der inhomogenen DGl. Wie lautet die spezielle Lösung der
DGl zu den Anfangsbedingungen y(0) = 1, und y ′ (0) = 0. Gibt es Lösungen, die die
zur Zeit t = 0 die Steigung y ′ (0) = 1 besitzen? Wenn ja, bestimmen Sie diese.
(02.03.2010)
16. Gegeben ist die Differentialgleichung (DGl)
y ′′ (x) − 2 y ′ (x) + 5 y(x) = ex (cos(2x) + 1)
Bestimmen Sie die allgemeine Losung der homogenen und der inhomogenen Differentialgleichung. Wie lautet die spezielle Losung der DGl zu den Anfangsbedingungen
y(0) = 1, y ′ (0) = 1? Gibt es Lösungen, die durch den Punkt y(0) = 0 geht? Wenn ja,
bestimmen Sie diese.
(09.03.2010)
17. Betrachten Sie die Differentialgleichung
y ′ (x) − tan(x) y(x) + 2 sin(x) = 0
(a) Bestimmen und diskutieren Sie die allgemeine Lösung.
(b) Bestimmen und diskutieren Sie die speziellen Lösungen zu y(0) = 0 und y(0) = 1.
(15.01.2011)
18. Gegeben ist die Differentialgleichung (DGl)
x x
2 y ′′ (x) + 2 y ′ (x) + y(x) = e− 2 cos(x) + cos
2
Bestimmen Sie die allgemeine Losung der homogenen und der inhomogenen Differentialgleichung. Wie lautet die spezielle Losung der DGl zu den Anfangsbedingungen
1
1
1
y(0) = − , y ′ (0) =
? Gibt es Lösungen, die durch den Punkt y ′ (0) = gehen?
6
12
3
Wenn ja, bestimmen Sie diese.
(22.03.2011)
19. Betrachten Sie die folgende lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
y ′′ + 2y ′ + 1 + ω 2 y = ekt cos(ωt), k, ω ∈ R
(a) Bestimmen Sie für k = −1 und jeweils für ω = 0 und ω = 2 die allgemeine Lösung yh (t) der zugehörigen homogenen Differentialgleichung und geben Sie
die jeweiligen Ansätze für die speziellen Lösungen ysp (t) an.
(b) Es sei nun k = 0.
Geben Sie für beliebiges ω 6= 0 einen Ansatz für die spezielle Lösung ysp (t) an.
Berechnen Sie eine spezielle Lösung und geben Sie die allgemeine Lösung der
Differentialgleichung an.
1
(c) Berechnen Sie die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen y(0) =
1 + 4ω 2
und y ′ (0) = 0.
(10.1.2012)
20. Gegeben ist die Differentialgleichung (DGl)
tan(x) y ′ (x) + 1 + tan2 (x) y(x) = tan(x)
für
π
x ∈ 0,
2
Bestimmen Sie die allgemeine Losung der homogenen und der inhomogenen Differentialgleichung. Wie lautet die spezielle Losung der DGl mit lim y(x) = 0? (02.02.2012)
x→0+
45
21. Betrachten Sie die Differentialgleichung (DGl)
d2
d
y(t) + a1 y(t) + a0 y(t) = s(t)
dt2
dt
(3.1)
mit zunächst unbekannten Koeffizienten a1 und a0 und unbekannter Inhomogenität
s(x). Die beiden Funktionen
y1 (t) = sin(t) + 2 et
y2 (t) = sin(t) + et − e−t
seien Lösungen dieser DGl.
(a) Bestimmen Sie mit dieser Information die unbekannten Größen der Differentialgleichung (3.1),
(b) die allgemeine Lösung der Differentialgleichung und
(c) die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen y(0) = 3 und y ′ (0) = 2.
22. (a) Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems
ty ′ =
1
,
y+1
y(0) = 0
Für welche Werte von t ist die Lösung definiert?
(b) Betrachten Sie das folgende Anfangswertproblem mit dem reellen Parameter a
y ′′ − 2y + y ′ = eat ,
y(0) = 0, y ′ (0) = 0
i. Bestimmen Sie die Lösung für a 6= 1
ii. Bestimmen Sie die Lösung für a = 1
iii. Zeigen Sie, dass sich die Lösung aus (ii) sich als Grenzfall der Lösung aus (i)
ergibt.
(28.02.2013)
46
Kapitel 4
Mathematik 3
4.1
Laplacetransformation
1. Berechnen Sie explizit aus der Definitionsgleichung der Lapacetransformation die Laplacetransformierte F (s) folgender Funktionen f (t) (Sie dürfen Integraltafeln benutzen)
sin(t) für 0 ≤ t ≤ π
a) f(t) =
b) f(t) = t3 exp(−2t).
t
für
t≥π
Für welchen Wertebereich der Laplacevariablen s existieren die Laplacetransformierten
in a) und b) ?
(14.03.1998)
2. Berechnen Sie unter Anwendung geeigneter Sätze zur Laplace - Transformation die
inverse Laplacetransformierte der Funktion
F (s) =
2s + 3
.
s2 − 2s + 5
(14.03.1998)
t
3. Berechnen Sie die Faltung f (t) = t ∗ e und deren Laplacetransformierte F (s) =
L {t ∗ et }.
(14.03.1998)
4. Berechnen Sie explizit aus der Definitionsgleichung der Lapacetransformation die Laplacetransformierte F (s) der Funktionen f (t) (Sie dürfen Integraltafeln benutzen)
sin(t) für 0 ≤ t ≤ π/2
a) f(t) =
b) f(t) = t3 exp(−5t).
1
für
t ≥ π/2
Für welchen Wertebereich der Laplacevariablen s existieren die Laplacetransformierten
in a) und b) ?
(01.03.2002)
5. Berechnen Sie explizit ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation die Laplacetransformierte F (s) folgender Funktion f (t). Sie dürfen Integraltafeln
unter Angabe der Quelle und der benutzten Formel benutzen
f (t) = t · cosh(2t) · exp(−2t)
Für welchen Wertebereich der Laplacetransformierten s ist die Laplacetransformierte
definiert? Begründen Sie Ihre Antwort!
(02.08.2007)
6. Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f (t) der Laplacetransformierten F (s):
1−s
F (s) = 2
(s + 4)(s − 2)
(02.08.2007)
47
7. Berechnen Sie explizit ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation die Laplacetransformierte F (s) folgender Funktion f (t). Sie dürfen Integraltafeln
unter Angabe der Quelle und der benutzten Formel benutzen
f (t) =
t cos(2t + π)
t
für
für
0≤t≤π
t≥π
Für welchen Wertebereich der Laplacevariablen s ist die Laplacetransformierte F (s)
definiert? Begründen Sie Ihre Antwort!
(08.01.2008)
8. Bestimmen Sie mit geeigneten Verfahren die Originalfunktion f (t) der Laplacetransformierten F (s):
4s − 6
· e−4(s−1)
F (s) = 2
s + 4s + 13
(08.01.2008)
9. Berechnen Sie explizit ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation die Laplacetransformierte F (s) folgender Funktion f (t). Sie dürfen Integraltafeln
unter Angabe der Quelle und der benutzten Formel benutzen
f (t) = t2 · cosh(t + b) · exp(t), b reell
Für welchen Wertebereich der Laplacetransformierten s ist die Laplacetransformierte
definiert? Begründen Sie Ihre Antwort!
(12.03.2008)
10. Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f (t) der Laplacetransformierten F (s):
1 − 2s
F (s) =
(2s2 + 4)(s2 − 1)
(12.03.2008)
11. Berechnen Sie explizit ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation die Laplacetransformierte F (s) folgender Funktion f (t). Sie dürfen Integraltafeln
unter Angabe der Quelle und der benutzten Formel benutzen
f (t) = t · sinh(2t − b) · exp(at − b), a, b reell
Für welchen Wertebereich der Laplacetransformierten s ist die Laplacetransformierte
definiert? Begründen Sie Ihre Antwort!
(05.08.2008)
12. Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f (t) der Laplacetransformierten F (s):
1 + s + s2 + s3
F (s) = 2
(s + 9)(2s2 − 1)
(05.08.2008)
13. Berechnen Sie explizit ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation die Laplacetransformierte F (s) folgender Funktion f (t). Sie dürfen Integraltafeln unter Angabe der Quelle und der benutzten Formel und / oder Sätze zur
Laplacetransformation unter deren Angabe benutzen.
f (t) =
t sin(πt)
− 32
für
für
0≤t≤
t ≥ 32
3
2
Für welchen Wertebereich der Laplacevariablen s ist die Laplacetransformierte F (s)
definiert? Begründen Sie Ihre Antwort!
(6.1.2009)
48
14. Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f (t) der Laplacetransformierten F (s):
s+1
F (s) =
(4s2 + 16)(4s2 − 9)
(6.1.2009)
15. Berechnen Sie explizit ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation oder unter der Verwendung geeigneter Sätze die Laplacetransformierte F (s)
der folgenden Funktion f (t).
f (t) = t2 · cosh(at − b)e−at+b , a, b ∈ R.
Sie dürfen bei der expliziten Berechnung Integraltafeln unter Angabe der Quelle und
der benutzten Formel benutzen, bei der Verwendung von Sätzen sind diese anzugeben. Für welchen Wertebereich der Laplace- variablen s ist die Laplacetransformierte
definiert? Begründen Sie Ihre Antwort nachvollziehbar!
(27.02.2009)
16. Berechnen Sie explizit ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation die Laplacetransformierte F (s) der Funktion f (t):
f (t) = t · sin3 (ω · t),
ω ∈ R.
Für welchen Wertebereich der Laplacevariablen s ist die Laplacetransformierte definiert?
Begründen Sie Ihre Antwort!
Hinweis: Sie dürfen Integraltafeln unter Angabe der Quelle und der benutzten Formel
benutzen.
(18.08.2009)
17. Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f (t) der Laplacetransformierten F (s):
2 s3 − s2 − 1
F (s) =
(s + 1) 2 (s2 + 1) 2
(18.08.2009)
18. Berechnen Sie explizit ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation die Laplacetransformierte F (s) folgender Funktion f (t). Sie dürfen Integraltafeln unter Angabe der Quelle und der benutzten Formel und / oder Sätze zur
Laplacetransformation unter deren Angabe benutzen.
f (t) =
t cos(πt) für
2te2−t für
0≤t<2
t≥2
Für welchen Wertebereich der Laplacevariablen s ist die Laplacetransformierte F (s)
definiert? Begründen Sie Ihre Antwort!
(5.1.2010)
19. Bestimmen Sie mit geeigneten Sätzen der Laplacetransformation die Laplacetransformierte F (s) der Originalfunktion f (t):
f (t) = t(t − 1)e−(t−5) sin(3t) cos(3t)
Geben Sie die von Ihnen benutzten Sätze an der entsprechenden Stelle an. Vereinfachen
Sie Ihr Ergebnis so weit wie möglich.
(5.1.2010)
49
20. Berechnen Sie explizit, ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation und ohne die Verwendung bekannter Sätze zur Laplacetransformation, die
Laplacetransformierte F (s) der Funktion f (t) :
f (t) = cos2 (t) sinh(t) .
Führen Sie die Berechnung durch Rückführung des Laplaceintegrals auf Grundintegrale der Integralrechnung durch. Für welchen Wertebereich der Laplacevariablen
s ist die Laplacetransformierte definiert? Begründen Sie Ihre Antwort im Verlauf der
Rechnung ausführlich, nachvollziehbar und nicht nur formal an den entsprechenden
Stellen!
(02.03.2010)
21. Berechnen Sie die Laplacetransformierte F (s) der Funktion f (t) :
f (t) = t2 sinh(at + b) e−at−b , a, b ∈ R
unter Verwendung geeigneter Sätze, sowie durch Rückführung der Integrale auf Grundintegrale der Integration durch. Für welchen Wertebereich der Laplacevariablen
existiert die Laplacetransformierte? Begründen Sie wiederum Ihre Antwort inhaltlich
und nachvollziehbar im Verlauf der Rechnung!
(02.03.2010)
22. Berechnen Sie ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation und/oder
unter der Benutzung geeigneter Sätze die Laplacetransformierte F (s) der Funktion
f (t):
f (t) = t · cos2 (ω t) e−t ,
ω ∈ R.
Stellen Sie das Ergebnis so geschlossen wie möglich dar. Für welchen Wertebereich der
Laplacevariablen s ist die Laplacetransformierte definiert? Begründen Sie Ihre Antwort!
Hinweis: Sie dürfen Integraltafeln (aber keine Tafeln zu Laplace-Transformation) unter Angabe der Quelle und der benutzten Formel benutzen.
(30.08.2010)
23. Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f (t) der Laplacetransformierten F (s):
F (s) =
s2 − 4
(s + 1) · (s2 + 2 s + 2)
(30.08.2010)
24. Bestimmen Sie mit geeigneten Methoden und Sätzen der Laplacetransformation die
Originalfunktion f (t) der Bildfunktion
F (s) = −
1
2 s + 1 −2 s
+ 2
e
2
s
s (s + 1)
Geben Sie die von Ihnen benutzten Sätze an der entsprechenden Stelle an.
Vereinfachen Sie Ihr Ergebnis so weit wie möglich.
(15.01.2011)
25. Betrachten Sie die Bildfunktion
F (s) =
1
(s − 1) (s + 2)2
(a) Welches Zeitverhalten der Originalfunktion erwarten Sie, ohne dass Sie eine Rücktransformation durchgeführt haben? Welchen Definitionsbereich DF ∈ C erwarten Sie daher für die Bildfunktion?
(b) Berechnen Sie das Verhalten der Zeitfunktion f (t) bei t = 0 und im limes t → ∞?
(c) Erscheinen Ihnen Ihre Ergebnisse glaubwürdig, plausibel und konsistent?
Begründen Sie Ihre Antworten ausführlich.
(15.01.2011)
50
26. Berechnen Sie ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation und/oder
unter der Benutzung geeigneter Sätze die Laplacetransformierte F (s) der Funktion
f (t):
f (t) = ω t · cos(ω t + φ) e−(ω t+φ) ,
ω ∈ R+ , φ ∈ R.
Stellen Sie das Ergebnis so geschlossen wie möglich dar. Für welchen Wertebereich der
Laplacevariablen s ist die Laplacetransformierte definiert? Begründen Sie Ihre Antwort!
Hinweis: Sie dürfen Integraltafeln (aber keine Tafeln zu Laplace-Transformation) unter Angabe der Quelle und der benutzten Formel benutzen.
(25.08.2011)
27. Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f (t) der Laplacetransformierten F (s):
F (s) =
s2 + s − 1
(s2 + 1) (s2 + 2 s + 5)
(25.08.2011)
28. Berechnen Sie explizit1 und/oder unter Benutzung von geeigneten Sätzen2 zur Laplacetransformation einen geschlossenen Ausdruck für die Laplacetransformierte F (s)
von
f (t) = e−2(t−1) t sin(ω(t − 1)) Θ(t − 1)
mit Θ(t) =
1 für
0 für
t>0
t<0
Für welche Werte von s ist F (s) definiert? Begründen Sie dies mathematisch nachvollziehbar und stichhaltig.
(10.1.2012)
29. (a) Berechnen Sie die Originalfunktion3 von
F (s) =
s+2
(s + 1) (s2 + 4 s + 1)
(b) Betrachten Sie die Laplacetransformierte
F (s) =
3s − 1
s2 + 2s − 3
Untersuchen Sie das Grenzwertverhalten der Originalfunktion f (t) bei t = 0 und
für t → ∞ im Bild- und im Originalraum. Kommentieren und erklären Sie Ihre
Ergebnisse.
(10.1.2012)
30. Berechnen Sie ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation und/oder
unter der Benutzung geeigneter Sätze die Laplacetransformierte F (s) der Funktionen:
f (t) = | cos(ωt)| ,
g(t) = | cos(ωt)| e
−t
ω ∈ R+
Erläutern Sie Ihre Rechnung und stellen Sie das Ergebnis so geschlossen wie möglich
dar.
(22.3.2012)
1 Sie
dürfen die beigefügten Grundintegrale verwenden, ansonsten nur die Laplacetransformierten
der 1, von sin(ωt) und cos(ωt).
2 deren Verwendung ist jeweils anzugeben!
3 die Verwendung der oben angegebenen Laplacetransformierten und von Sätzen zur Laplacetransformation ist wie oben erlaubt
51
31. Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f (t) der Laplacetransformierten F (s):
F (s) =
a + b s2
,
s4 − ω 4
a , b ∈ R, ω ∈ R+
(22.3.2012)
32. Berechnen Sie ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation und/oder
unter der Benutzung geeigneter Sätze die Laplacetransformierte F (s) der Treppenfunktion:

A



2A
f (t) =
 3A


...
für
für
für
usw.
0<t<a
a < t < 2a
2a < t < 3a
...
(30.08.2012)
33. Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f (t) der Laplacetransformierten F (s):
F (s) =
3 a2
,
s3 + a3
a ∈R
(30.08.2012)
34. Berechnen Sie die Laplacetransformierte von f (t) = cos2 (t) sowohl über die Definitionsgleichung der Laplacetransformation als auch mit Hilfe des Satzes für periodische
Funktionen. Sind beide Ergebnisse gleich? Bestimmen und begründen Sie in beiden
Fällen den Konvergenzbereich der Laplacetransformation.
(11.01.2013)
35. Berechnen Sie explizit4 und/oder unter Benutzung von geeigneten Sätzen5 zur Laplacetransformation einen geschlossenen Ausdruck für die Laplacetransformierte F (s)
von
1
f (t) = √ e−at (1 − 2at)
πt
2 Rx
2
Hinweis: Φ(x) = √ 0 e−t dt, lim Φ(x) = 1
x→∞
π
(11.01.2013)
36. (a) Berechnen Sie die Originalfunktion6 von
F (s) =
1
2
(s − 2)
(s2
2
+ 2 s + 2)
Begründen Sie den Zusammenhang der Struktur Ihrer Lösung mit dem Polstellenplan von F (s).
(b) Zusatzaufgabe (+ 2 Punkte): Betrachten Sie die Laplacetransformierte
F (s) =
s − 1 + e−s
s2 (1 − e−s )
und bestimmen Sie die zugehörige Originalfunktion.
(11.01.2013)
4 Sie dürfen die beigefügten Grundintegrale verwenden, ansonsten nur die Laplacetransformierten
der 1, von sin(ωt) und cos(ωt).
5 deren Verwendung ist jeweils anzugeben!
6 die Verwendung der oben angegebenen Laplacetransformierten und von Sätzen zur Laplacetransformation ist wie oben erlaubt
52
37. (a) Berechnen Sie die Laplacetransformierte F (s) der Funktion
(
1
für 0 ≤ t < 2
f (t) =
2 −t
e e
für t > 2
Bestimmen Sie durch eine explizite Betrachtung den Konvergenzbereich
von F (s).
(b) Gegeben sei die Laplacetransformierte einer Zeitfunktion f (t) in der Form: L{t f (t)} =
1
. Bestimmen Sie die Laplacetransformierte L{e−t f (2 t)}.
s (s2 + 1)
(07.03.2013)
38. Gegeben sei das Anfangswertproblem

2

− (t − 2 π) + 1
4π 2
y ′′ (t) + 4 y (t) = g(t) =


sin (t) + 1
0 ≤ t < 2π
,
t ≥ 2π
y ′ (0) = 0, y(0) = 0
Berechnen Sie die Laplacetransformierte F (s) = L{y} von y(t).
Berechnen Sie nicht die Lösung y = y(t)!
(07.03.2013)
39. Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f (t) der Laplacetransformierten F (s):
F (s) =
(s −
s+1
− 4s + 5)2
1)2 (s2
(07.03.2013)
40. Zusatzaufgabe (Antworten Sie ohne Begründung)
Die Rücktransformation von
F (s) =
s2
2s+1
+ 4s + 13
ist
1
sin(3t))
3
1
(b) f (t) = e−2t (2 cos(3t) − sin(3t))
3
1
(c) f (t) = 2 cos(3(t + 2)) − sin(3(t + 2))
3
1
(d) f (t) = 2 cos(3(t − 2)) − sin(3(t − 2))
3
(a) f (t) = e2t (2 cos(3t) −
(07.03.2013)
53
4.2
Gewöhnliche Differentialgleichungen und Laplacetransformation
1. Bestimmen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die Lösung der Differentialgleichung
y ′′ (t) − 3y ′ (t) + 2y(t) = e−t
mit
y(0) = −1, y′ (0) = 0.
(14.03.1998)
2. Lösen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die Differentialgleichung
y ′′ (t) − 2y ′ (t) + y(t) = exp(t) sin(t)
für die Anfangsbedingungen y(0) = 0, y ′ (0) = −1. Wie lautet die allgemeine Lösung
der homogenen Differentialgleichung?
(02.08.2007)
3. Lösen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die Differentialgleichung
y ′′ (t) + y ′ (t) − 2y(t) = et cos(2t)
für die Anfangsbedingungen y(0) = 0, y ′ (0) = −1. Bestimmen Sie die allgemeine
Lösung der homogenen und der inhomogenen Differentialgleichung.
(08.01.2008)
4. Lösen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die Differentialgleichung
y ′′ (t) + 4y ′ (t) + 5y(t) = exp(−2t) sin(t)
für die Anfangsbedingungen y(0) = 1, y ′ (0) = −1. Wie lautet die allgemeine Lösung
der homogenen und die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung?
(12.03.2008)
5. Lösen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die Differentialgleichung
y ′′ (t) − 2y ′ (t) + 6y(t) = exp(−2t) cosh(2t)
für die Anfangsbedingungen y(0) = 1, y ′ (0) = 1. Wie lautet die allgemeine Lösung
der homogenen und die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung?
(05.08.2008)
6. Lösen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die Differentialgleichung
y ′′ (t) − 2y ′ (t) + 5y(t) = e−4t sinh(t)
39
. Wie lauten die allgemeinen Lösunfür die Anfangsbedingungen y(0) = 1, y ′ (0) = 40
gen der homogenen und der inhomogenen Differentialgleichung?
(27.02.2009)
7. Bestimmen Sie mit der Methode der Laplacetransformation die allgemeinen Lösungen
der homogenen und der inhomogenen Differentialgleichung von
3
y ′′ (t) + 3y ′ (t) + 3y(t) = e− 2 t cos(2t)
3
Wie lautet die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen y(0) = −
und y ′ (0) =
13
4
?
13
(18.08.2009)
8. Berechnen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die allgemeine homogene und inhomogene Lösung der Differentialgleichung
y ′′ (t) − 2y ′ (t) + 2y(t) = et sin(t)
Wie lautet die spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen y(0) = 1, y ′ (0) = 1?
(02.03.2010)
54
9. Bestimmen Sie mit der Methode der Laplacetransformation die allgemeinen Lösungen
der homogenen und der inhomogenen Differentialgleichung
y ′′ (t) + 2y ′ (t) − 3y(t) = et sin(t)
Wie lautet die spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung zu den Anfangs2
(30.08.2010)
bedingungen y(0) = − , y ′ (0) = 1 ?
3
10. Bestimmen Sie mit der Methode der Laplacetransformation die allgemeinen Lösungen
der homogenen und der inhomogenen Differentialgleichung
√
y ′′ (t) − 2y ′ (t) + 3y(t) = et sin( 2 t)
Wie lautet die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen y(0) = 1, y ′ (0) = 1 ?
’
(25.08.2011)
11. Bestimmen Sie ausschließlich mit der Methode der Laplacetransformation die allgemeinen Lösungen der inhomogenen und der zugeordneten homogenen Differentialgleichung
(
0
für 0 ≤ t < 1
′′
′
y (t) − 2y (t) − 3y(t) =
e1−t für 1 ≤ t
Wie lautet die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen y(0) = 1, y ′ (0) = −1 ?
(22.3.2012)
12. Gegeben ist die Differenzialgleichung
ẍ(t) + 2 κ ẋ(t) + 25 x(t) = f (t)
(4.1)
(a) Lösen Sie mittels Laplace-Transformation die homogene Differenzialgleichung für
κ = 3 und den Anfangsbedingungen x(0) = 1, ẋ(0) = 1.
(b) Lösen Sie mittels Laplace-Transformation die inhomogene Differenzialgleichung
für κ = 0 und den Anfangsbedingungen x(0) = 0, ẋ(0) = 0 für
i. f (t) = cos(3 t)
ii. f (t) = cos(5 t)
Warum sind in den beiden Fällen die Lösungsfunktionen verschieden, obwohl
jeweils eine harmonische Anregung f (t) vorliegt?
(c) Lösen Sie mittels Laplace-Transformation die inhomogene Differenzialgleichung
für κ = 0 und den Anfangsbedingungen x(0) = 0, ẋ(0) = 0 für
1 für t ∈ [0, T ]
f (t) =
, T > 0, fest
(4.2)
0 für t ∈ (T, ∞)
Kann man die Dauer des Anregungsimpulses so wählen, dass das System nach
Ende der Anregung (t > T ) nicht mehr schwingt? Wie müsste T dann gewählt
werden?
(30.08.2012)
13. Bestimmen Sie ausschließlich mit der Methode der Laplacetransformation die Lösung
der Differentialgleichung
(
sin(t) für 0 ≤ t < 2π
y ′′ (t) + y(t) =
0
für t ≥ 2π
zu den Anfangsbedingungen y(0) = a, a ∈ R, y ′ (0) = 0. Diskutieren Sie die Zusammensetzung und den zeitlichen Verlauf der Lösung in Abhängigkeit vom Wert des
Parameters a.
(07.03.2013)
55
4.3
Funktionen mehrerer Variabler
1. Gegeben sei die Funktion zweier Variablen
z = f (x, y) = x3 y 2 (12 − x − y).
Welche Definitionsbereiche besitzt diese Funktion und ihre ersten partiellen Ableitungen? Bestimmen Sie die Extremwerte von f (x, y) für positive x und y.
(14.03.1998)
2. Gegeben sei die Funktion zweier Variablen
z = f (x, y) = (x − y)(xy − 4).
Welche Definitionsbereiche besitzt diese Funktion und ihre ersten partiellen Ableitungen? Bestimmen Sie die Extremwerte von f (x, y).
(13.08.1999)
3. Gegeben sei die Funktion zweier Variablen
z = f (x, y) = (x − 2y)(xy − 8).
Welche Definitionsbereiche besitzt diese Funktion und ihre ersten partiellen Ableitungen? Bestimmen Sie die Extremwerte von f (x, y).
(03.04.2000)
4. Gegeben sei die Funktion zweier Variablen
z = f (x, y) = xy(10 − 2x − 5y).
Welche Definitionsbereiche besitzt diese Funktion und ihre ersten partiellen Ableitungen? Bestimmen Sie die Extremwerte von f (x, y).
(27.07.2000)
5. Gegeben sei die Funktion zweier Variablen
z = f (x, y) = 2xy(10 − x − 6y).
Welche Definitionsbereiche besitzt diese Funktion und ihre ersten partiellen Ableitungen? Bestimmen Sie die Extremwerte von f (x, y).
(13.03.2001)
6. Gegeben sei die Funktion zweier Variablen
z = f (x, y) = x3 y 3 (1 − x + y).
Welche Definitionsbereiche besitzt diese Funktion und ihre ersten partiellen Ableitungen? Bestimmen Sie die Extremwerte von f (x, y).
(08.08.2001)
7. Gegeben sei die Funktion zweier Variablen
z = f (x, y) = x2 − 3y 2 + 20xy + 10x − 6y + 10.
Welche Definitionsbereiche besitzt diese Funktion und ihre ersten partiellen Ableitungen? Bestimmen Sie die Extremwerte von f (x, y).
(01.03.2002)
56
8. Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktionen
a) f(x, y) = x3 − 3x + y3 − 12y
b) f(x, y) = ex (2x + y2 )
(16.03.2005)
9. Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktionen
1+x+y
a) f(x, y) = p
1 + x2 + y 2
b) f(x, y) = x3 + y3 − 3axy, a > 0
(17.08.2005)
10. Berechnen Sie die lokalen Extrema der Funktionen
a) f(x, y) = 4(x − 2)(y2 + 10y) + 3x3
1+x+y
b) f(x, y) = p
1 + x2 + y 2
(07.03.2006)
11. Berechnen Sie die lokalen Extrema der Funktion
f (x, y) = 4(x2 − 4)(y 2 + 10y) + 3y 3
(23.02.2007)
12. Berechnen Sie die lokalen Extrema der Funktion
f (x, y) = 4(x2 − 4)(y 2 − 4) + 3y 2
(02.08.2007)
13.
• Skizzieren Sie das Gebiet B im 3. und 4. Quadranten der (x, y)-Ebene, das begrenzt wird durch die Kreise um den Ursprung mit dem Radius r = 2 und r = 3
und die Kurven y = x2 und y = − x4 .
• Berechnen Sie für die Funktion f (x, y) = 2 · x2 + y 2 das Doppelintegral über das
Gebiet B
(02.08.2007)
14. Berechnen Sie die lokalen Extrema der Funktion
f (x, y) = 4x(x − 2)(y 2 − 4) + 3y 2
(12.03.2008)
15. (a) Skizzieren Sie das Gebiet B im 1. und 2. Quadranten der (x, y)-Ebene, das begrenzt wird durch die Kreise um den Ursprung mit dem Radius r = 3 und r = 5
und die Kurven y = πx und y = − π1 x.
(b) Berechnen Sie für die Funktion f (x, y) = x · y das Doppelintegral über das Gebiet
B
(12.03.2008)
16. Berechnen Sie die lokalen Extrema der Funktion
f (x, y) = 4x2 (x2 − 2)(y 2 − 4) + y 2
(05.08.2008)
57
17. (a) Skizzieren Sie das Gebiet B in der (x, y)-Ebene, das begrenzt wird durch die
Funktionen y = 6 − (x − 2)2 und y = (x − 2)2 − 4
(b) Berechnen Sie für die Funktion f (x, y) = x · y das Doppelintegral über das Gebiet
B. Vereinfachen Sie ihr Ergebnis so weit wie möglich.
(05.08.2008)
18. Berechnen Sie die lokalen Extrema der Funktion
f (x, y) = 4x2 (x2 − 2)(y 2 − 1) − 5y 2
(27.02.2009)
19. (a) Skizzieren Sie das Gebiet A in der (x, y)-Ebene, das begrenzt wird durch die
Funktionen y = x3 − 4 und y = 4x2 − 4
(b) Berechnen Sie für die Funktion f (x, y) = x2 − y 2 das Doppelintegral über das
Gebiet A.
Z
I=
f (x, y)dA
A
(27.02.2009)
20. Berechnen Sie die lokalen Extrema der Funktion
p
f (x, y) = (a − x) (a − y) (x + y − a)
(18.08.2009)
21. (a) Skizzieren Sie das Gebiet B in der (x, y)-Ebene, das durch die Ungleichung x2 +
y 2 ≤ 2 x beschrieben wird.
(b) Berechnen
Sie mit der Funktion f (x, y) = (1 − x2 − y 2 ) 2 das Doppelintegral
RR
f (x, y) dx dy durch eine geeignete Parametrisierung des Integrals.
B
(18.08.2009)
22. Berechnen Sie die lokalen Extrema der Funktion
f (x, y) = (x2 + y 2 ) e−2xy
(02.03.2010)
23. Berechnen Sie die lokalen Extrema der Funktion
f (x, y) = (x − 1)3 + y 3 − 3 (x − 1) y
(30.08.2010)
24. (a) Skizzieren Sie das Gebiet B in der (x, y)-Ebene
x2
y2
+
< 1, −2 x ≤ y ≤ x
B = (x, y) |
9
9
(b) Berechnen das Doppelintegral
ZZ
f (x, y) dx dy,
B
2
2
mit f (x, y) = x y e−x − y
durch eine geeignete Parametrisierung des Integrals.
(30.08.2010)
25. (a) Berechnen Sie die Punkte, in denen die Tangente an die Kurve
f (x, y) = x4 + 4y 2 − 2x2 − 2y − 2 = 0
parallel oder senkrecht zur x-Achse verläuft
58
(b) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Flächen, die durch die Funktionen
a2
,
2
x
y= ,
2
xy = 2a2
xy =
y = 2x
eingeschlossen werden
(25.08.2011)
26. Gegeben sei die Funktion
2
f (x, y) = x y ey − x ,
x,y ∈ R
(a) Bestimmen Sie die lokalen Extrema von f (x, y).
(b) Bestimmen Sie den maximalen und minimalen Wert von f (x, y) im Gebiet
A = (x, y) | x2 − 3 ≤ y ≤ 0 .
(22.3.2012)
27. (a) Skizzieren Sie das Integrationsgebiet und berechnen Sie das Doppelintegral
ZZ
o
n
π
J =
x y dS mit B = (r, ϕ) 0 ≤ ϕ ≤ , 1 ≤ r ≤ a cos2 (ϕ) .
4
B
(b) Gegeben sei das Doppelintegral
J =
Z
1
2
(Z
√
2x−x2
f (x, y) dy
2−x
)
dx
Skizzieren Sie das Integrationsgebiet B und formulieren Sie das Integral mit vertauschter Integrationsreihenfolge.
(22.3.2012)
28. (a) Gegeben sei die Funktion
f (x, y, z) = x2 + x y + sin2 (x y z)
Berechnen Sie das vollständige Differential von f (x, y, z) im Punkt P = (1, 1, π)
(b) Berechnen Sie die Tangente an die Kurve
f (x, y) = 2x3 + 2y 3 − 9xy = 0
im Punkt P = (1, 2)
(c) Welcher Punkt der Fläche
z(x, y) =
p
1 + (x − 2 y)2
hat den kleinsten Abstand zum Punkt P = (1, −2, 0)?
(30.08.2012)
29. Berechnen Sie die Integrale
(a) der Funktion f (x, y) = 3 x y über das Gebiet, das von den Funktionen
y = 6x, y =
6
, y =x−1
x
und der x-Achse begrenzt wird.
x+y
(b) der Funktion f (x, y) = 2
über das Gebiet, das von den Funktionen
x + y2
p
ϕ
r = x2 + y 2 = 1, r(ϕ) = , ϕ ∈ [π, 3π]
π
und der x-Achse begrenzt wird.
59
(30.08.2012)
30. (a) Skizzieren Sie das Integrationsgebiet B und berechnen Sie das Doppelintegral
3
ZZ
Z Z √
2
J =
x/2
dS =
dy dx
B
0
3
2x
Wie groß ist die Fläche, die von den beiden Funktionen, die das innere Integral
begrenzen, eingeschlossen wird? Ist sie gleich dem Wert des Doppelintegrals J ?
Formulieren Sie weiterhin das Integral mit vertauschter Integrationsreihenfolge.
(b) Berechnen Sie das Doppelintegral
Z (Z
1
J =
−1
0
−
√
)
ln(x2 + y 2 + 1) dx
1−y 2
dy
Skizzieren Sie das Integrationsgebiet und berechnen Sie zur Kontrolle dessen Fläche, bevor Sie das Doppelintegral J berechnen.
(07.03.2013)
31. Zusatzaufgabe (Antworten Sie ohne Begründung)
Vertauschen Sie die Integrationsreihenfolge im folgenden Doppelintegral
Z8 Z2
f (x, y)dydx =
Zs Zq
r
0 x/4
f (x, y)dxdy
p
Was ist q ?
(a) 4y
(b) 16y 2
(c) x
(d) 8
(07.03.2013)
60
4.4
Eigenwerte und Eigenvektoren
1. Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix:


2
1 −1
A =  −1
0
1 
−1 −1
2
Müssen die Eigenvektoren von A zueinander orthogonal sein? Wenn ja, warum? Überprüfen Sie unter diesem Gesichtspunkt Ihr Ergebnis.
(14.03.1998)
2. Bestimmen Sie die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren der Matrix:


4
2 −2
0
2 
A =  −2
−2 −2
4
Müssen die Eigenvektoren von A zueinander orthogonal sein? Wenn ja, warum? Überprüfen Sie unter diesem Gesichtspunkt Ihr Ergebnis.
(13.08.1999)
3. Bestimmen Sie die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren der Matrix:


2
1 −1
0 −1 
A= 1
−1 −1
2
Müssen die Eigenvektoren von A zueinander orthogonal sein? Wenn ja, warum? Überprüfen Sie unter diesem Gesichtspunkt Ihr Ergebnis.
(03.04.2000)
4. Bestimmen Sie die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren der Matrix:

1 1
A= 1 1
−1 1

−1
1 
−1
Müssen die Eigenvektoren von A zueinander orthogonal sein? Wenn ja, warum? Überprüfen Sie unter diesem Gesichtspunkt Ihr Ergebnis.
(27.07.2000)
5. Bestimmen Sie die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren der Matrix:

1 2
A= 2 1
−1 2

−1
2 
−1
Müssen die Eigenvektoren von A zueinander orthogonal sein? Wenn ja, warum? Überprüfen Sie unter diesem Gesichtspunkt Ihr Ergebnis.
(13.03.2001)
6. Bestimmen Sie die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren der Matrix:


1
1 −1
2 −1 
A= 1
−1 −1
1
Müssen die Eigenvektoren von A zueinander orthogonal sein? Wenn ja, warum? Überprüfen Sie unter diesem Gesichtspunkt Ihr Ergebnis.
(08.08.2001)
61
7. Bestimmen Sie die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren der Matrix:


1
1 −1
4 −1 
A= 1
−1 −1
1
Müssen die Eigenvektoren von A zueinander orthogonal sein? Wenn ja, warum? Überprüfen Sie unter diesem Gesichtspunkt Ihr Ergebnis.
(26.07.2002)
8. Bestimmen Sie die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren der Matrix:


1
1
1
4 −2 
A= 2
−1 −2
1
Müssen die Eigenvektoren von A zueinander orthogonal sein? Wenn ja, warum? Überprüfen Sie unter diesem Gesichtspunkt Ihr Ergebnis.
(17.04.2003)
9. Bestimmen Sie das charakteristische Polynom der Matrix:


1
1
a
4 −1 
A= 1
−2 −1
1
(a) Wählen Sie für a einen geeigneten Wert, damit A orthogonale Eigenvektoren
besitzt. Begründen Sie Ihre Wahl.
(b) Berechnen Sie mit diesem Wert von a die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren von A.
(18.08.2004)
10. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren des Systems:

9 + 3j
0
A=
−3j
0
9 + 3j
4j

3j
−4j 
9 + 3j
Die Eigenvektoren sind in normierter Form anzugeben.
(16.03.2005)
11. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren des Systems:

1 j
A =  −j 1
0 2

0
2 
1
Die Eigenvektoren sind in normierter Form anzugeben. Warum sind die Eigenwerte
reell? Stehen die Eigenvektoren senkrecht aufeinander? Begründen Sie Ihr Ergebnis.
(17.08.2005)
12. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren des Systems:

4 + 2j
0
A=
−2j
0
4 + 2j
6j

2j
−6j 
1 + 2j
Die Eigenvektoren sind in normierter Form anzugeben.
(07.03.2006)
62
13. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren des Systems:

4 0
A= 0 4
2 6

2
6 
1
Geben Sie die Eigenvektoren in normierter Form an. Was können Sie über die Eigenschaften der Eigenvektoren aussagen? Begründen und überprüfen Sie Ihre Aussage!
(23.02.2007)
14. Berechnen Sie das charakteristische Polynom, Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix:

2 0
A= 0 2
1 1

1
2 
0
Normieren Sie die Eigenvektoren. Welche Eigenschaften haben die Eigenvektoren? Begründen und verifizieren Sie Ihre Aussage!
(02.08.2007)
15. Berechnen Sie das charakteristische Polynom, Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix


1 0 j
A =  0 1 1  , j 2 = −1.
−j 1 0
Normieren Sie die Eigenvektoren. Welche Eigenschaften haben die Eigenvektoren? Begründen und verifizieren Sie Ihre Aussage!
(12.03.2008)
16. Berechnen Sie das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und normierten Eigenvektoren der Matrix


2 j j
A =  −j 2 1  , j 2 = −1.
−j 1 2
Welche Eigenschaften haben die Eigenvektoren? Begründen und verifizieren Sie Ihre
Aussage! Im Fall mehrfacher Eigenwerte, bestimmen Sie, falls möglich, einen zugeordneten Satz orthonormaler Eigenvektoren.
(05.08.2008)
17. Berechnen Sie das charakteristische Polynom,
vektoren der Matrix

2 1
A= 1 4
1 1
die Eigenwerte und normierten Eigen
1
1 .
2
Welche Eigenschaften haben die Eigenvektoren? Begründen und verifizieren Sie Ihre
Aussage! Im Fall mehrfacher Eigenwerte, bestimmen Sie, falls möglich, einen zugeordneten Satz orthonormaler Eigenvektoren.
(27.02.2009)
18. Berechnen Sie das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren der Matrix


1 −a −a
1
0  , a ∈ R.
A= a
a
0
1
Welche Eigenschaften haben die Eigenwerte, welche die Eigenvektoren? Gibt es dafür
Begründungen? Wenn ja, geben Sie diese an.
(18.08.2009)
63
19. Berechnen Sie das charakteristische Polynom,
vektoren der Matrix

4 2
A= 2 1
2 1
die Eigenwerte und normierten Eigen
2
1 .
1
20. Berechnen Sie das charakteristische Polynom,
genvektoren der Matrix

1 0
A = 0 1
1 1
die Eigenwerte und die normierten Ei-
Welche Eigenschaften haben die Eigenvektoren? Begründen und verifizieren Sie Ihre
Aussage! Im Fall mehrfacher Eigenwerte bestimmen Sie, falls möglich, einen zugeordneten Satz orthonormaler Eigenvektoren.
(02.03.2010)

−1
−1
1
Welche Eigenschaften haben die Eigenwerte, welche die Eigenvektoren? Gibt es dafür
Begründungen? Wenn ja, geben Sie diese an.
(30.08.2010)
21. Zeigen Sie, dass λ = j Eigenwert der Matrix


12 −11 6 6
15 −10 2 7

A=
 4 −1 −1 1
5 −1 −4 3
ist. Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren von A und geben Sie die zugehörigen Eigenräume an.
(25.08.2011)
22. Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren von A , geben Sie die zugehörigen
Eigenräume an und kommentieren Sie Ihr Ergebnis:


−2 0 3
A =  0 4 0
−6 0 7
Gibt es einen Vektor ~v , der die Gleichung A~v = 2~v erfüllt?
(22.3.2012)
23. Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A,


2
1 −1
2 −1
A= 1
−1 −1 2
und geben Sie die zugehörigen Eigenräume an. Berechnen Sie eine Orthornormalbasis
von Eigenvektoren und geben Sie eine orthornormale Matrix B und eine Diagonalbasis
D an, so dass B T AB = D gilt.
(30.08.2012)
24. Bestimmen Sie eine orthornormale Basis des R3 , die aus Eigenvektoren der folgenden
Matrix besteht:


1 1 1
A = 1 1 1
1 1 1
Können Sie schon vor der Eigenwert- und -vektorberechnung Aussagen über die zu
erwartenden Eigenwerte und die Struktur der Eigenvektoren machen?
Finden Sie eine Matrix Q derart, daß mit einer Diagonalmatrix D gilt: A = QDQT
(07.03.2013)
25. Zusatzaufgabe (Antworten Sie ohne Begründung)
Es seien A eine n × n - Matrix und λ, µ ∈ R, λ 6= µ zwei verschiedene Eigenwerte von
A. Was ist richtig?
(a) λ ist Eigenwert von AT
64
(b) λ ist Eigenwert von −A
(c) ~u sei Eigenvektor zum Eigenwert λ und ~v sei Eigenvektor zum Eigenwert µ. Dann
sind ~u und ~v linear unabhängig.
(07.03.2013)
65
Kapitel 5
Lösungen Mathematik 1
5.1
Vektorrechnung
1. (a) (~q − p~) · {(~r − p~) × (~s − p~)} 6= 0.
√
(b) A∆ = 5.
√
2. A∆ = 1215
2.
4 ·
3. (a) ~a − ~b = ~c,√~a · ~b 6= 0, ~a · ~c 6= 0, ~b · ~c 6= 0,
A∆ = 2 · 5.




0
1
(b) ~u =  0  + λ ·  1 , λ ∈ R.
2
−2
4. (a) (~b − ~a) · (~
c − ~a) 6= 0,
√
A∆ = 2 · 5.



0
(b) ~u =  0  + λ · 
5
(~b − ~a) · (~c − ~b) 6= 0, (~c − ~a) · (~c − ~b) 6= 0,

1
1 , λ ∈ R.
−2
5. (a) (~q − p~) · {(~r − p~) × (~s − p~)} 6= 0.
√
(b) A∆ = 86.
6. (a) V = 1331, C = (−9, 6, 2).
(b) A∆ =
121
2 .
7. (a) A∆ = 9.
(b) V = 10.
(c) h =
10
3 .
√
8. (a) A∆ = 50 · 3.
√
(b) V = 50
6.
3 ·
√
√
√
9. (a) d~1 = 182, d~2 = 26, γ ≈ 40.89◦, AP = 13 · 3.
(b) δ ≈ 35.26◦.
√
√
√
10. (a) d~1 = 165, d~2 = 29, γ ≈ 175.94◦, AP = 6.
(b) δ ≈ 54.74◦.
√
11. (a) d~1 = 4 · 14,
√
~ d2 = 6, γ ≈ 168.51◦, AP = 4 · 5.
(b) δ ≈ 23.58◦.
√ 
 

3
−2 ·√ 2
√
12. ~a =  0 , ~b =  2 · 2 , A∆ = 18 · 2.
0
0
66

 √ 
4
−√ 2
√
13. ~a =  0 , ~b = 
2 , A∆ = 4 · 2.
0
0

14. (a) (~b − ~a) · {(~c − ~a) × (d~ − ~a)} = 0
(b) (~b − ~a) · (~c − ~a) 6= 0, (~b − ~a) · (d~ − ~a) = 0
√
(c) A∆ = 32 · 6.
√
15. (a) (~b − ~a) · (~c − ~a) = 0, A∆ = 4 · 17




0
1
(b) ~u =  − 31  + λ ·  − 31 , λ ∈ R
0
1
 


2
cos( 3π
8 )

16. (a) ~a =  0 , ~b = 3 ·  sin( 3π
8 )
0
0
(b) λ =
2
3
(c) A∆ = 4 · sin( 3π
8 )
 


3
cos(ϕ)
17. (a) ~a =  0 , ~b = 4 ·  sin(ϕ)  mit ϕ =
0
0
(b) λ =
3π
5
3
8 cos(ϕ)
~ ≈ 91, 46o; β = γ ≈ 44, 27o
c, d)
(c) A∆ = 27
4 · tan(ϕ) ≈ 20, 77; α = ∠(~
18. (a) nein (D ∈
/ Ebene (ABC))
(b) nein (alle Seitenlängen verschieden)
~ AC)
~
~ BC)
~
~ BC)
~
(c) α = ∠(AB,
≈ 33, 31o; β = ∠(AB,
≈ 116, 89o; γ = ∠(AC,
≈
o
29, 79 p
√
A∆ = 12 34 + 8 2 ≈ 3, 366
 


−1
2
√
√
~ ≈ 163, 64o
19. ~a =  0 , ~b =  3 , λ = −1 + 13, γ = ∠(~c, d)
0
0


0
√ √
1

0√ ,VSpat = 10 3( 13 − 1) ≈ 45, 13
~e = √13−1
1 − 13
 
 √ 
1
−√ 2
20. ~a =  0 , ~b = 
2 
0
0
(a) λ =
1
2
(b) A∆ =
√
2
2 ,
|~c| =
p
p
√ √ 2 + 2, d~ =
2 − 2, f~ = 2, α = ∠(~c, f~) = 22, 5o,
~ f~) = 67, 5o
β = ∠(d,
(c) ja [in (x1 , x2 )-Ebene]
~ = 0
21. (a) (~a × ~b) · (~c × d)


−4
~ = 12 ·  7 
(~a × ~b) × (~c × d)
−1
√
3
(b) F = 2 · 2
~ = 76
22. (a) (~a × ~b) · (~c × d)


−1
((~a × ~b) × ~c) × d~ =  0 
1
67
(b) λ =
5
2
−
√
3
1
, λ2 = 58
23. (a) λ1 = 12
Aallg = λ + 1 Aλ1 =
13
12
Aλ2 =
13
8
(b) 4~a · (~b × ~c)
24. (a) λ = 1 , ~a = 53~b − 23 ~c)
√
(b) A = 50 2
25. keine Lösungsangabe
i. 2 ~a2 − 15 ~b2 + 12 ~c2 − ~a~b − 11 ~a~c − 11 ~b~c
ii. −11~a × ~b − 5~a × ~c − 29~b × ~c


− 12
19 
3 ~
(b) a~b = 10
b; a~⊥b =  − 10
26. (a)
4
5
p
√ p
√
~ ~
(c) d1 = 10 − 3 3; d2 = 10 + 3 3; A =
5
2
F.E.
27. (a) ~c = 14 ~a − 32~b
(b)
i. Gleichung lösbar für k = −1
 1 
 1 
ii. ~r = 
28. (a) d =
q
2
3
2
1
2
2
 + λ −1 
2
0
1
(b) i. zu zeigen: P~Q × P~R = ~s
ii. d = ~s|~s·~p|
r
1
29. (a) |~s| = 2 a2 + b2 + 2 |~a| ~b cos(γ)
q
√
(b) i. d~1 = 4 + 2 2(λ − 3) + (λ − 3)2 ;
√
2
(λ + 3) F.E.
√2
iii. A = 2 ⇔ λ = −1
ii. A =
~ d2 = λ + 3;
(c) Die von den Vektoren ~a und ~b aufgespannte Ebene E1 liegt zu der von den Vektoren ~c und d~ aufgespannte Ebene E2
i. senkrecht
ii. parallel
30. (a) Ansatz: (~u + ~v ) · (~u − ~v ) = 0 ...
p
√
√
(b) i. d(λ) = 11λ2 + 22λ + 17 = 11(λ + 1)2 + 6 ; dmin = d(−1) = 6 ;
P (4, 1, 3) ist Lotfußpunkt des von C auf die Gerade gefällten Lotes




1
1
ii. ~n =  −4  ; EbeneABC :  −4  ~x − 21 = 0
7
7
iii. AD = n → D in Ebene senkrecht zu ABC ;
AD · AB = 0 ; VT etraeder = 11
5.2
Ungleichungen
√ √
1. L = −∞, 1 − 3 ∪ 1 + 3, ∞
√ √
2. L = −∞, 1 − 7 ∪ 1 + 7, ∞
i
h
√
√
3. L = −11−2 105 , −11+2 105
i
i h
h
√
√
4. L = −∞, 11−2 137 ∪ 11+2 137 , ∞
68
h √
h
i
√ i
5. L = −∞, 1−2 23 ∪ 1+2 23 , ∞
√ √ 6. L = 3 · −3 − 2 · 2 , 3 · −3 + 2 · 2
7. L = −∞, − 21 ∪ ]0, ∞[
8. L = −2, − 21 ∪ 0, 74
9. L = −4, 23 ∪ ]2, ∞[
10. L = −∞, − 41 ∪ ]0, ∞[
11. L = −∞, 12 ∪ ]xs , ∞[
√ √
12. L = −∞, − 21 · 10 ∪ − 21 , 12 ∪ 12 · 10, ∞
13. L = −∞, − 25 ∪ 0, 12 ∪ ]2, ∞[
√ √ 14. L = −2, 1 − 5 ∪ 0, 1 + 5
q
q i
h
i i
10
2
15. L = 1 − 10
,
0
∪
,
1
+
3
3
3
16. L =
i
h
√
1− 13
,
0
3
h
i √
∪ 0, 23 ∪ 1+3 13 , ∞
√ √ 17. L = −∞, 1 − 6 ∪ 2, 1 + 6
18. L = ]−∞, 1[ ∪ 2, 52 ∪ ]3, ∞[
i q
√ h
iq 2 1
19. L = − 23 , 31 − 310 ∪ − 12 , 0 ∪
3, 3 +
20. L = ]−∞, −1] ∪ {0} ∪ ]3, 4]
√ h
10
3
21. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 1, Seite 101
h √ h h √
h
√ h
h √
(b) L = −∞, − 23 ∪ 1−3 22 , − 2 3 3 ∪ 0, 2 3 3 ∪ 1+3 22 , ∞
22. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 1, Seite 101
h √
h √ h h √
h
√ h
(b) L = ]−∞, −3[ ∪ 2−3 52 , − 2 3 3 ∪ 0, 2 3 3 ∪ 2+3 52 , ∞
23. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 1, Seite 101
(b) L = ]−5, −1[ ∪ − 12 , 0 ∪ ]0, 1[ ∪ ]3, ∞[
24. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 1, Seite 101
√ √
(b) L = − 31 , 0 ∪ 3 − 6, 3 + 6
25. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 1, Seite 101
h
i
√ i
√ i
(b) L = 0, 9−4 33 ∪ 1, 9+4 33
26. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 1, Seite 102
(b) L = − 23 , 1 ∪ 23
13 , ∞
27. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 1, Seite 102
i
h √
h
√ i
(b) L = −∞, 5−2 61 ∪ ]−1, 0] ∪ 5+2 61 , ∞
28. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 1, Seite 102
(b) L = ]−∞, −2[ ∪ ]1, 2[ ∪ 23
11 , ∞
29. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 1, Seite 103
h i
h
√
√ i
(b) L = −1−2 21 , −2 ∪ 1, −1+2 21
30. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 1, Seite 103
(b) L = ]∞, −5[ ∪ ]−5, −1[ ∪ [0, 2]
69
5.3
Determinanten und Lineare Gleichungssysteme
1. (a) Unlösbar gdw. a = 2.
Eindeutig lösbar gdw. a 6= 2.
(b) Für a = −1: x = − 76 , y = − 65 , z = 1.
2. (a) |A| = 766
(b) ∞ viele Lösungen; Gleichung 3 ist das 4/3-fache von Gleichung 1.
3. (a) |A| = 0
(b) Eindeutig lösbar.
4. (a) |A| = 0
(b) Eindeutig lösbar.
5. (a) Unlösbar gdw. a = 37 .
Eindeutig lösbar gdw. a 6= 73 .
7
(b) Für a = −1: x = − 10
, y = − 35 , z = 1.



1
6. (a) ∞ viele Lösungen; ~x = 14 ·  0  + λ · 
−1
(b) |A| = abcd + 4ab + 4ad + 4cd + 16.
7
8

1 , λ ∈ R.
13
8
7. (a) Lösbar gdw. b3 = 2b2 − b1 .



−1
1
Für b1 = b2 = b3 = 1: ~x =  1  + λ ·  −2 , λ ∈ R.
0
1
(b) Rg(C) = 2
8. (a) Lösbar gdw. b1 = 2b2 .




− 10
1
3
3  + λ ·  −2 , λ ∈ R.
Für b1 = 2 und b2 = 1: ~x = 
0
1
(b) t1 = 0; t2/3 =
√
3±j 39
4
9. (a) Lösbar ∀b ∈ R;










−1
 1 


0

~x =
−1
19




  1  + λ ·  −14  , λ ∈ R


0
1
(b) |C| = −16b;
Rg(C) =
10. (a) Lösbar ∀b ∈ R;
~x =
















1
3
3
4
f ”ur
f ”ur
b 6= 41
f ”ur
b = 41
b=0
b 6= 0

−1
1 
2 
3 ·


0

−1
1
·  2  + λ ·  −2  , λ ∈ R
0
1
70
f ”ur
f ”ur
b 6= 9
f ”ur
b=9
(b) |C| = −10a − 42;
Rg(C) =
11. (a) Lösbar ∀b ∈ R;
~x =















3 f ”ur
4 f ”ur
a = −21/5
a 6= −21/5

1
3

−3
1 
4 
3 ·


0

−3
1
·  4  + λ ·  −2  , λ ∈ R
0
1
(b) |C| = −12b − 24;
Rg(C) =
3
4
f ”ur
f ”ur
f ”ur
b 6= 10
f ”ur
b = 10
b = −2
b 6= −2
12. (a) Inhom. LGS unlösbar gdw. a ∈ {−2, 4}. In diesem Fall hat das hom. LGS ∞ viele
Lösungen.
Inhom. LGS eindeutig lösbar gdw. a ∈ R\{−2, 4}. In diesem Fall hat das hom.
LGS nur die triviale Lösung.
 
 0 
(b) Linhom = {} für a = 4 und Lhom =  0  für a = 0 .


0
13. (a) Inhom. LGS unlösbar gdw. a ∈ { 23 , 3}. In diesem Fall hat das hom. LGS ∞ viele
Lösungen.
Inhom. LGS eindeutig lösbar gdw. a ∈ R\{ 23 , 3}. In diesem Fall hat das hom.
LGS nur die triviale Lösung.

 



0 
−1



(b) Linhom =  0  für a = 0 und Lhom = λ ·  1  , λ ∈ R für a = 3 .




−1
5
14. Lösbar gdw. a = 2b − 1. 



1
−2
Für b = 0 , a = −1: ~x =  3  + λ ·  −3 , λ ∈ R.
0
1
15. (a) eindeutig lösbar gdw. a 6= b.
∞ viele Lösungen, wenn a = b.
 
 1 
(b) Für a = 2 und b = 3: L =  1  .


0
16. |C| = 2b · (1 − a);
Rg(C) =
4 f ”ur
3 f ”ur
b 6= 0 ∧ a 6= 1
b=0∨a=1
17. (a) Inhom. LGS hat ∞ viele Lösungen, wenn a = 12; unlösbar gdw. a = 32 . In beiden
Fällen hat das hom. LGS ∞ viele Lösungen.
Inhom. LGS eindeutig lösbar gdw. a ∈ R\{ 23 , 12}. In diesem Fall hat das hom.
LGS nur die triviale Lösung.
71
(b) Linhom
Linhom
für a = 12 :

~x = 
10
7
1
21
0


1 

=  13  für a = 3 .


0


+λ·
− 22
7
2
21
1

, λ ∈ R
18. |C| = −6a2 + 6a + 18;
d.h. |C| unabhängig von b
(
√
√
13 1+ 13
, 2√ }
3 f ”ur
a ∈ { 1−2 √
Rg(C) =
4 f ”ur a ∈ R\{ 1−2 13 , 1+2 13 }
19. (a) detA = 0 gdw. a ∈ {− 54 ; 1}
i. a = 1 : Inhom. LGS hat ∞ viele Lösungen; hom. LGS hat ∞ viele Lösungen.
ii. a = − 54 : Inhom. LGS hat keine Lösung; hom. LGS hat ∞ viele Lösungen.
iii. a ∈ R\{− 54 ; 1} : Inhom. LGS hat genau eine Lösung; hom. LGS hat nur die
triviale Lösung.
 


0
−5
(b) i. a = 1 : ~x =  1  + λ ·  4 , λ ∈ R
0
1
ii. a = − 45 : Linhom = { }


5
iii. a = 0 : ~x = 14  5 
−1
20. (a) detA = 0 ⇒
i. hom. LGS hat ∞ viele Lösungen; inhom. LGS hat ∞ viele oder keine Lösungen
ii. inhom. LGS ist lösbar, wenn a1 − a2 + 3a3 = 0
 1 
 1 
−3
−3
(b) gewählt: a1 = a2 = 1 , a3 = 0 ⇒ ~x =  23  + λ ·  − 34 , λ ∈ R
0
1
21. |C| = −3a2 + 3a + 3;
d.h. |C| und Rang C unabhängig von b
(
√
√
5 1+ 5
, 2 √}
3 f ”ur
a ∈ { 1−2 √
Rg(C) =
4 f ”ur a ∈ R\{ 1−2 5 , 1+2 5 }
22. (a) detA = 0 gdw. a ∈ { 21 ; 8}
i. a = 8 : Inhom. LGS hat ∞ viele Lösungen; hom. LGS hat ∞ viele Lösungen.
ii. a = − 21 : Inhom. LGS hat keine Lösung; hom. LGS hat ∞ viele Lösungen.
iii. a ∈ R\{ 21 ; 8} : Inhom. LGS hat genau eine Lösung; hom. LGS hat nur die
triviale Lösung.




−1
−2
(b) i. a = 8 : ~x =  2  + λ ·  0 , λ ∈ R
0
1


−5
ii. a = 2 : ~x =  10 
0
23. |C| = 3a2 + 6a − 27;
d.h. |C| und Rang C unabhängig von b
√
√
3 f ”ur
a ∈ {−1 − √
10; −1 + √
10}
Rg(C) =
4 f ”ur a ∈ R\{−1 − 10; −1 + 10}
72
24. (a) detA = 0 gdw. a ∈ {−1; 1}
i. a = −1 : Inhom. LGS hat ∞ viele Lösungen; hom. LGS hat ∞ viele Lösungen.
ii. a = 1 : Inhom. LGS hat keine Lösung; hom. LGS hat ∞ viele Lösungen.
iii. a ∈ R\{−1; 1} : Inhom. LGS hat genau eine Lösung; hom. LGS hat nur die
triviale Lösung.


 
−1
1
(b) i. a = −1 : ~x =  0  + λ ·  1 , λ ∈ R
0
0
ii. a = 1 : Linhom = { }


−1
iii. a = 0 : ~x =  1 
0
25. LGSlösbar,
wenn a
+ b − 2= 0; allgemeine Lösung für a = 0 und b = 2 :
− 31
− 31
2 


− 31 
~x =
+λ·
3
0
1
26. |C| = abcd + abc + acd + abd + bcd
27. detA = 0 gdw. a ∈ {3; 8}
(a) a = 3: LGShat ∞ 
viele Lösungen;

2
− 31
3
~x =  − 13  + λ ·  − 13 , λ ∈ R ist eine allgemeine Lösung
0
1
(b) a = 8 : LGS ist unlösbar
(c) a ∈ R\{3; 8} : LGS hat genau
 1 eine
 Lösung;
Lösung für a = 0:
4
~x =  0 
1
2
28. |C| = −cd − 2bcd + ac + 2abc
√
√
29 −3+ 29
;
}
2
29. (a) wenn detA = 0, d.h. a ∈ { −3−2
i. hom. LGS

hat ∞ viele Lösungen:


~x = λ · 


√
+
(−1+ 29)
+
√
(−25+3 29)
+
√
2(−6+ 29)
+
√
(−25+3 29)
1


, λ ∈ R


ii. inhom. LGS hat keine Lösungen, da Rg(A) = 2 < Rg(A|b) = 3
√
√
29 −3+ 29
;
}
2
(b) wenn detA 6= 0, d.h. a ∈ R\{ −3−2
i. hom. LGS hat genau eine Lösung, die triviale.


− 85
ii. inhom. LGS hat genau eine Lösung; für a = 0: ~
x =  − 35 
7
5
30. det(A) = 0 → homogenes LGS: ∞ Lösungen, inhomogenes LGS: ∞ Lösungen oder
unlösbar
 1 
4
Lösungen homogen: ~x = λ ·  − 12 , λ ∈ R
1
Lösungen inhomogen:
(a) a 6= 6 → Rg(A) = 2 < Rg(A|b) = 3 → unlösbar
73

(b) a = 6 → ~x = 
13
4
− 25
0


+λ·
1
4
− 12
1

, λ ∈ R
31. Durch elementare Umformungen (i.w. Gauß-Algorithmus) auf Dreiecksform bringen;
det(C) = −6π + 234
32. detA = a2
(a) wenn detA = 0, d.h. a = 0 :


−λ − µ
, λ, µ ∈ R
λ
i. hom. LGS hat ∞ viele Lösungen : ~x = 
µ
ii. inhom. LGS :
• wenn b = 0: hom. LGS hat ∞ viele Lösungen (wie hom. LGS)
• wenn b 6= 0: hom. LGS hat keine Lösung, da Rg(A) 6= Rg(A|b)
(b) wenn detA 6= 0, d.h. a 6= 0
i. hom. LGS hat genau eine Lösung: den Nullvektor
 a2 −b 
a
ii. inhom. LGS hat genau eine Lösung: ~x = 
1
b−a
a

33. Determinante vereinfachen und nach den bekannten Regeln umformen
34. (a) L = {(p, q) | (0, 0), (0, 2)}

  26

7
4
x1
27 u + 9 v − 27 w
7
1
(b) i. ~x =  x2  =  27
u + 59 v + 27
w 
2
1
1
x3
−9 u − 3 v + 9 w
 7 


4
− 27
9
1
 für alle w ∈ R
ii. ~x =  59  + w ·  27
1
−3
+ 91
1 0
−1 0
35. (a) X1 =
, X2 =
0 1
0 −1
2
1−x2
u 1−u
x
z
z
X3 =
, X4 =
z −x
z −u
2
2
1−x
−x
−u 1−u
z
z
X5 =
, X6 =
z
x
z
u
1
0 z
X7 =
z 0
(b) det(A) = a3 − 3a2 − 4a + 12 = (a − 2)(a + 2)(a − 3)
→ det(A) = 0 gdw. a ∈ {−2, 2, 3}.
a = −2 : nur lösbar, wenn b=0 ;
a=2
: nur lösbar, wenn b=0 ;

− 23
~x = λ ·  −1 
1


1
~x = λ ·  −1 
1
 b 

9
~x =  0  + λ · 
0
 1 
−4
~x = b ·  14 
− 14
a = 3 , b beliebig:
a=0

→ det(A) 6= 0;
74
27
117
8
− 13
1


36. det(A) = −5(a − 1)(b − 1)
a 6= 1
a 6= 1
a=1
a=1
∧
∧
∧
∧
b 6= 1
b=1
b 6= 1
b=1
⇒
⇒
⇒
⇒
Rg(A) = 4
Rg(A) = 3
Rg(A) = 3
Rg(A) = 2
37. (a) A2 = A ; A · B = 0 ; B 2 = −A + E
(b) det(A) = 7(t2 − 11t + 18)
t = 2 : keine Lösung




18
−5
t = 9 : ~x =  1  + λ  −11 
0
1
t 6= 2 ∧ t 6= 9 :

~x = 
− 5t+8
t−2
t+9
t−2
1
− t−2
38. det(A) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)


39. (a) det(A) = 1 − a
(b)
40. (a)
i. wenn det(A) = 0, d.h. wenn a = 1 :
• hom. LGS hat ∞ viele Lösungen
• inhomogenes LGS hat ∞ viele Lösungen oder keine Lösung
ii. wenn det(A) 6= 0, d.h. wenn a 6= 1 :
• hom. LGS hat nur die triviale Lösung ~x = 0
• inhomogenes LGS hat genau eine Lösung
i. a = 1 :


−1
 1 

• homogen: ~x = 
 −1 
1



1
 0 



• inhomogen: ~x = 
 1  + λ
0
ii. a 6= 1 (z.B. a = 0):
 
0
 0 

• homogen: ~x = 
 0 
0


0
 1 

• inhomogen: ~x = 
 0 
1

−1
1 

−1 
1
• b 6= 1 , a beliebig : genau eine Lösung
• b = 1 , a = 2 : ∞ viele Lösungen
• b = 1 , a 6= 2 : keine Lösung




1
3
 −3 
 5 




 + µ 0 
1
(b) ~x = λ 




 0 
 4 
0
1
41. (a)
i. richtig
ii. falsch
iii. richtig
75
iv. richtig


2 −1 −1
(b) X = 0 −2 −4
0 1
2
5.4
Funktionen
1. (a) L =
n
(2n+1)π
2
o
|n∈Z
(b) Verwendung von cosh(x) =
n
o
2. (a) L = (2n+1)π
|
n
∈
Z
2
(b) Verwendung von cos(x) =
3. Verwendung von cos(x) =
ex +e−x
2
ejx +e−jx
2
und sinh(x) =
und sin(x) =
ex −e−x
.
2
ejx −e−jx
.
2j
ejx +e−jx
.
2
jx
jx
und sin(x) = e
4. Verwendung von cos(x) = e +e
2
n
o n
o
5. (a) L = (2n+1)π
| n ∈ Z ∪ (2m+1)π
|m∈Z
2
4
−jx
(b) Verwendung von cosh(x) =
ex +e−x
2
−e−jx
.
2j
und sinh(x) =
6. (a) x = 21/8 · e5/4
5π
3π
7π
(b) L = ± π4 , ± π2 , ± 3π
4 ,± 4 ,± 2 ,± 4
n
o
7. (a) L = {nπ | n ∈ Z} ∪ (2m+1)π
|
m
∈
Z
4
(b) Verwendung von cosh(x) =
8. (a) L = nπ
2 |n∈Z
ex +e−x
2
und sinh(x) =
(b) Verwendung der Additionstheoreme
cos(α ± β) = cos(α) · cos(β) ∓ sin(α) · sin(β)
sin(α ± β) = sin(α) · cos(β) ± cos(α) · sin(β)
9. (a) L = nπ
2 |n∈Z
(b) Verwendung von sin(x) =
10. (a) L = nπ
2 |n∈Z
ex −e−x
.
2
ex −e−x
.
2
und
ejx −e−jx
.
2j
(b) Verwendung von cosh(x) =
11. (a) L = nπ
4 |n∈Z
ex +e−x
2
x
−x
x
−x
x
−x
und sinh(x) =
ex −e−x
.
2
x
−x
x
−x
(b) Verwendung von cosh(x) = e +e
und sinh(x) = e −e
.
2
2
n
o n
o n
o
| n ∈ Z ∪ (6m13+1)π | m1 ∈ Z ∪ (6m23+5)π | m2 ∈ Z
12. (a) L = (2n+1)π
2
(b) Verwendung von cosh(x) = e +e
und sinh(x) = e −e
.
2
2
o n
o
n
(6l+4)·π
13. (a) L = {n · π | n ∈ Z} ∪ (6m+2)·π
|
m
∈
Z
∪
|
l
∈
Z
3
3
(b) Verwendung von cosh(x) = e +e
und sinh(x) =
2
n
o
√
√
14. (a) L = 12 · e4− 6−8 ln(2) , 12 · e4+ 6−8 ln(2)
(b) Verwendung von cos(x) =
n
√ o
15. (a) L = 12 ln( 1+2 3 )
(b) Verwendung von cos(x) =
√ 16. (a) L = 12 ln(2 + 5)
ex −e−x
.
2
ejx +e−jx
2
und sin(x) =
ejx −e−jx
.
2j
ejx +e−jx
2
und sin(x) =
ejx −e−jx
.
2j
76
jx
und sin(x) =
(b) Verwendung von cos(x) = e +e
2
17. (a) L = 32
n
o n
o
(2m−1)π
(b) L = (2n−1)π
|
n
∈
Z
∪
|
m
∈
Z
2
4
18. (a) x0 =
54
1 ln( 49 )
2 ln( 32 )
(b) L = {nπ | n ∈ Z} ∪
ln(
2a
√
3
)
n
−jx
ejx −e−jx
.
2j
(1+8m)π (3+8m)π (5+8m)π (7+8m)π
,
,
,
4
4
4
4
o
|m∈Z
3−2 2
19. (a) x0 = 12 ln(2)
a ∈ R+ \{0}
n
o
p√
p√
(b) L = − arcsin( 12
5 + 1 + k · π, arcsin( 12
5+1+k·π |k ∈Z
20.
x0 =
2 ln(3)− 12 ln(2)−ln(3+a)
2ln(a)−ln(2)
21. (a)
i. f (x) = ln(x)
x
ii. f (x) = 1+x
2
√
√
ln(c− c2 −4baα+β −ln(2)−α ln(a) ln(c+ c2 −4baα+β −ln(2)−α ln(a)
(b) L =
,
ln(a)
ln(a)
22. (a) L = {kπ , k ∈ Z} ∪
(b) r =
1
2
, a=4, b=
23. (a) L = e , e−1
(b) L = kπ
3 ,k ∈ Z
24. (a)
i. L = {−2, 2}
ii. L = {9}
(b) r = 12 ;
5.5
a = 4;
n
(2l+1)π
4
9
4
b=
o
,l ∈ Z
25
4
Komplexe Zahlen
1. |z| =
1
3
√
5, arg(z) = arctan(2). Für w2 = z: w1 ≈ 0.73 + 0.45j und w2 = −w1 .
2. (a) Zeichnung: siehe Abbildungung in Kapitel 8
√
√
√
√
(b) z1 = 3 + j; z2 = −1 + j 3; z3 = − 3 − j; z4 = 1 − j 3
3. (a) Verwendung der Polarform von z1 und z2 .
(b) z1 ≈ 0.87 + 0.17j; z2 ≈ 0.28 + 0.83j; z3 ≈ −0.58 + 0.66j; z4 = −z1 ; z5 = −z2 ;
z6 = −z3 ;
z7 ≈ 0.88 − 0.4j; z8 ≈ 0.79 + 0.56j; z9 ≈ −0.1 + 0.96j; z10 = −z7 ; z11 = −z8 ;
z12 = −z9
4. (a) Verwendung der Polarform von z1 und z2 .
(b) z1 ≈ 1.07 + 0.21j; z2 ≈ −0.21 + 1.07j; z3 = −z1 ; z4 = −z2
5. (a) Zeichnung: siehe Abbildungung in Kapitel 8
(b) z1 ≈ 1.09 + 1.62j; z2 = −z1 ; z3 ≈ 0.95 − 1.86j; z4 = −z3
6. (a) z1 ≈ 0.79 + 0.79j; z2 ≈ −1.08 + 0.29j; z3 ≈ 0.29 − 1.08j
(b) (x − a)2 + (y − b)2 < r2 Zeichnung: siehe Abbildungung in Kapitel 8
√
√
7. (a) z1 = j; z2 = − 21 3 − 21 j; z3 = 12 3 − 21 j
(b) z =
8
17
+
15
17 j
8. (a) z1 ≈ 0.38 + 0.92j; z2 ≈ −0.92 + 0.38j; z3 = −z1 ; z4 = −z2
cos(3)
sinh(1) cosh(1)
(b) z = cossin(3)
j
2
2 (3)+sinh2 (1) −
2
cos (3)+sinh (1)
77
9. (a) z1 ≈ 0.79 + 0.79j; z2 ≈ −1.08 + 0.29j; z3 ≈ 0.29 − 1.08j; z4 ≈ 0.79 − 0.79j;
z5 ≈ 0.29 + 1.08j; z6 ≈ −1.08 − 0.29j
(b) z =
10. (a) z =
9
41
−
40
41 j
5
4
(b) z1 ≈ 0.81 + 0.59j; z2 ≈ −0.31 + 0.95j; z3 = −1; z4 ≈ −0.31 − 0.95j; z5 ≈
0.81 − 0.59j;
11. (a) z = − 43 j
(b) z1 ≈ 0.99 + 0.12j; z2 ≈ 0.39 + 0.92j; z3 = −0.6 + 0.8j; z4 = −z1 ; z5 = −z2 ;
z6 = −z3 ;
12. (a) a =
5
13
−
12
13 j;
|a| = 1; arg(a) ≈ 5, 107 ≈ 292, 61o
(b) z1 ≈ 0.29 + 0.96j; z2 = j · z1 ; z3 = −z1 ; z4 = −z2
13. (a) a = − 41 j; |a| = 14 ; arg(a) =
3π
2
1
j;
2
z3 ≈ −0, 48 + 0, 16j; z4 ≈ −0, 29 − 0, 41j;z5 ≈
(b) z1 ≈ 0, 48 + 0, 16j; z2 =
0, 29 − 0, 41j
Lage der Lösungen: siehe Zeichnung im Anhang
14. (a) a = − 65 + 16 j; |a| =
√
26
6 ;
arg(a) ≈ 2, 944 ≈ 168, 7o
(b) z1 ≈ 1, 07 + 0, 21j; z2 = j · z1 ; z3 = −z1 ; z4 = −z2
Lage der Lösungen: siehe Zeichnung im Anhang
14
+
15. (a) a = − 15
13
15 j;
|a| =
√
365
15 ;
arg(a) ≈ 2, 393 ≈ 137, 1o
(b) z1 ≈ 0, 60 + 1, 01j; z2 ≈ −0, 76 + 0, 88j; z3 ≈ −1, 08 − 0, 47j; z4 ≈ 0, 11 − 1, 17j;
z5 ≈ 1, 15 − 0, 26j
Lage der Lösungen: siehe Zeichnung im Anhang
7
16. (a) za = − 10
+
1
10 j;
|za | =
√
2
2 ;
arg(a) ≈ 3, 0 ≈ 171, 9o
(b) zb1 ≈ 0, 20 + 1, 72j; zb2 ≈ −1, 72 + 0, 20j; zb3 ≈ −0, 20 − 1, 72j; zb4 ≈ 1, 72 − 0, 20j
Lage der Lösungen: siehe Zeichnung im Anhang
31
17. (a) a = − 34
+
29
34 j;
21
+
18. (a) a = − 25
7
25 j;
|a| =
√
1802
34 ;
arg(a) ≈ 2, 3895 ≈ 136, 9o
(b) zb1 ≈ 1, 28 + 0, 43j; zb2 ≈ −1, 28 − 0, 43j; zb3 ≈ 0, 94 − 0, 58j; zb4 ≈ −0, 94 + 0, 58j
Lage der Lösungen: siehe Zeichnung im Anhang
|a| =
√
7 10
25 ;
arg(a) ≈ 2, 82
(b) zb1 ≈ 1, 26 + 0, 97j; zb2 ≈ −1, 26 − 0, 97j; zb3 ≈ 1, 17 − 0, 19j; zb4 ≈ −1, 17 + 0, 19j
Lage der Lösungen: siehe Zeichnung im Anhang
19. (a) keine Lösungsangabe
√
(b) z1 = 3 2(cos( π9 ) + j sin( π9 )) ≈ 1, 18 + 0, 43j;
√
7π
z2 = 3 2(cos( 7π
9 ) + j sin( 9 )) ≈ −0, 96 + 0, 81j;
√
3
13π
z3 = 2(cos( 9 ) + j sin( 13π
9 )) ≈ −0, 21 − 1, 24j;
Lage der Lösungen: siehe Zeichnung im Anhang
20. (a) Menge in der komplexen Ebene siehe Zeichnung im Anhang
(b) b1 ≈ 1, 46 + 1, 10j; z1,1 ≈ −1, 28 − 0, 43j; z1,2 ≈ +1, 28 + 0, 43j
b2 ≈ 0, 55 − 1, 10j; z2,1 ≈ +0, 94 − 0, 55j; z2,2 ≈ −0, 94 + 0, 55j
Lage der Lösungen: siehe Zeichnung im Anhang
2
21. (a) M1 : y ≥ x2 + 1 ; M2 : ( x4 )2 + ( (y+1)
4 ) ≤ 1
Schnittmenge in der komplexen Ebene siehe Zeichnung im Anhang
√
(b) i. Re(z) = 64 ; Im(z) = 64 3
7
; Im(z) = 22
ii. Re(z) = − 41
41
√
iii. z1 = 4 2(cos( π8 ) + j sin( π8 )) ≈ 1, 099 + j0, 455
√
z2 = 4 2(− cos( π8 ) − j sin( π8 )) ≈ −1, 099 − j0, 455
78
22. (a)
√
1
i. Re(z) = − 643 ; Im(z) = − 64
8
1
; Im(z) = 13
ii. Re(z) = 13
√
√
6
iii. z1 : Re(z1 ) = 6 2 cos 7π
2 sin 7π
12 ≈ −0, 29 ; Im(z1 ) = √
12 ≈ 1, 08
√
6
6
15π
z2 : Re(z2 ) = 2 cos 12 ≈ −0, 79 ; Im(z2 ) = 2 sin 15π
12 ≈ −0, 79
√
√
6
23π
≈
1,
08
;
Im(z
)
=
z3 : Re(z3 ) = 6 2 cos 23π
2
sin
3
12
12 ≈ −0, 29
(b) z = −y + jy = x − jx
23. (a) Spirale um Ursprung; Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 2, Seite 107
(b)
i. Re(z) = 8 · 37 = 17496 ; Im(z) = Re(z)
23
2
ii. Re(z) = − 41
; Im(z) = 41
√
iii. z1 = 4 2(cos( π8 ) + j sin( π8 )) ≈ 1, 099 + j0, 455
√
z2 = 4 2(− cos( π8 ) − j sin( π8 )) ≈ −1, 099 − j0, 455
79
Kapitel 6
Lösungen Mathematik 2
6.1
Differentialrechnung
cos(2x)
)
x
1. f ′ (x) = − sin(x) · xcos(2x) + cos(x) · xcos(2x) · (−2 sin(2x) ln(x) +
1
(− ln(ln(x))
+ x2 ln(x)
)
x2
2. f ′ (x) = cos(x) · xsin(3x) + sin(x) · xsin(3x) · (3 cos(3x) ln(x) +
3. f ′ (x) = 4x3 cot(x4 ) −
4x7
sin2 (x4 )
+ 2x arctan( x1 ) −
4. f ′ (x) = 3x2 (cot(x5 ) + arccot( x12 )) −
5x7
sin2 (x5 )
+
+
p
x
ln(x) ·
sin(3x)
)
x
x2
x2 +1
2
1+ x14
5. f ′ (x) = 3x2 cosh(x3 ) ln2 (ax) + sinh(x3 ) 2 ln(ax)
+ 2x cos(x2 )
x
6. f ′ (x) = 5x4 coth(2x) ln(bx) −
2x5 ln(bx)
sinh2 (2x)
+ x4 coth(2x) + 4x3 sin(x4 )
+ 4 cosh(4x) + a sinh(4x)] + 2x(sin2 (x2 ) − cos2 (x2 ))
7. f ′ (x) = xa eax [ a sinh(4x)
x
8. f ′ (x) =
xa a cosh(ax)
e3x [
x
+ a sinh(ax) − 3 cosh(ax)] − 4x3 (cos2 (x4 ) − sin2 (x4 ))
9. f ′ (x) =
xb b cos(4ax)
eax [
x
− 4a sin(4ax) − a cos(4ax)] − 4x sinh(x2 ) cosh2 (x2 ) − 2x sinh3 (x2 )
3x(b+2)
cos2 (x3 )
10. f ′ (x) =
bxb
x
11. f ′ (x) =
xb
·[ b sin(4bx)
+4b cos(4bx)−2ax sin(4bx)]−8x3
x
e(ax2 )
12. f ′ (x) =
2x
tan(x3 ) +
√1
ln(ax)
e
√
ln(ax)
− 4x3 arccot( x12 ) −
2x
1+ x14
sinh(x4 ) cosh2 (x4 )−4x3 sinh3 (x4 )
ln(x)
+ b cos(bx)xtan(x) + sin(bx)xtan(x) ( cos
2 (x) +
2
13. f ′ (x) = x2 (ln(ax)e(ln(ax)) ) −
tan(x)
x )
sin(x2 )+2x2 cos(x2 )
sin2 (x sin(x2 ))
x
x
3
14. f ′ (x) = − sin(x) ln(x)sin(x) +cos(x) ln(x)sin(x) (cos(x) ln(ln(x))+ xsin(x)
ln(x) )−e sin(e cos(x ))·
(cos(x3 ) − 3x2 sin(x3 ))
15. f ′ (x) = cos(x) arctan(x)(x
n
)
n
+ sin(x) arctan(x)(x ) ( nx
n
ln(arctan(x))
x
+
xn
arctan(x)·(1+x2 ) ) +
(x3 )
3
e(x ) (3x2 cos(x) − sin(x)) · ecos(x)·e
16. f ′ (x) = −2x sin(x2 )(2x)cos(2x) + cos(x2 )(2x)cos(2x) [ cos(2x)
− 2 sin(2x) ln(2x)]
x
−2x sin(sin(x2 )) cos(x2 )
2
17. f ′ (x) = − sin(x)ecos(bx) − 2b cos(x) cos(bx) sin(bx)ecos(bx)
+2 cos(sin(sin(x)2 )) cos(sin(x)2 ) sin(x) cos(x)
2
2
2
18. f ′ (x) = − sin(x) tan(x)ln(x ) + cos(x) tan(x)ln(x ) · ( x2 ln(tan(x)) +
+ cot(x2 )(cos(x) −
2x sin(x) sin(x) cot(x2 )
sin2 (x2 ) )e
80
ln(x2 )
sin(x) cos(x) )
19. f ′ (x) = (−2x sin(x2 ) · ln(sin(x2 )) +
sinh(x)
√
− 21 sinh(x)·e
2x cos2 (x2 )
sin(x2 ) )
(sinh(x)+cosh2 (x))
2
· sin(x2 )cos(x ) + √
cosh(x)
cosh(x)esinh(x)
(cosh(x)esinh(x) )3
20. f ′ (x) = 2x cos(x2 ) ecos(ax) ln(bx)−bx +sin(x2 )(−a sin(ax) ln(bx)+ cos(ax)
−b) ecos(ax) ln(x)−bx −
x
2 cos(cos((ex )2 )) · sin((ex )2 ) · e2x
√
2 n
2 n
2 n
a cos(ax) sin( sin(ax))
)
′
√
21. f (x) = −
− b sin(bx) e(cx ) + cos(bx) e(cx ) 2n(cx
x
2
22. f ′ (x) = e(x
n
)
h
sin(ax)
√
cos( x) cot(x2 )
√
2 x
−
2
x cos(x ) sin(bx) ln(cx)
23. f ′ (x) = √
·a
+
2
sin(x )
2 sin(2x)
24. f ′ (x) =
25. f ′ (x) =
26.
27.
16x
(4x2 +1)2
i
√
n
2
2
+ sin( x) cot(x2 ) n xx −2x sin(esin(x ) ) esin(x ) cos(x2 )
h
p
sin(x2 )·ln(a)· b cos(bx) ln(x) +
i
b cos(x) sinh(ln(a tanh(b sin(x))))
+bcos(bx) 2 sin(cos2 (x)) cos(x) sin(x)
sinh(b sin(x)) cosh(b sin(x))
√
′′
f (x) =
1
4
√
xex2 (4x4 +8x2 −1)
x2
29. a = 1 , b = ln(10); f (x) = 10x
Grenzwerte
1. GW = 0
2. GW = 0
3. GW =
1
3
4. GW =
9
4
5. GW definiert, wenn a 6= 4
6. GW = 0
7. GW = 2
8. GW = 1
9. GW = 3
10. GW = 1
11. GW = 3
12. GW =
2a
b2
13. GW =
a2
2b
14. GW =
2−2a
b2
15. GW =
a2
4b−4
·asin(bx) ln(cx) −
√
28. (a) s(x) = −x + 1
√
(b) t(x) = −x + 2
√ √ (c) P1 = 0; 2 ; P2 =
2; 0
6.2
sin(bx)
x
x+eax )(1+a·eax )
√
√
a cos(a x+eax ) x+eax
2
sin(a
−1
1 2√
cosh( 4x
4x2 +1 ) − 4 a
2
x2
f (x) = 12 xe x(2x +1) ;
√
√
t(x) = 8 9 6 x − 5 9 3
√
x0 = 1650 ; f (x0 ) ≈ 0, 2
′
√
2x sin( x)
2
sin (x2 )
16. für a = 0: GW nicht definiert
für a =
6 0: GW = ∞
81
− cos(cos2 (x))b ln(b) sin(bx)
17. für a = 0: GW nicht definiert
für a =
6 0: GW = 2
18. GW =
2−2a
b2
19. GW =
5
6
20. GW = 1
21. GW =
1
a
22. GW =
1
3
23. GW = 1
24. GW = − 16
1
2
25. GW =
26. GW = 0
27. GW =
2
a
28. GW =
5
6
,
a 6= 0

 1 , wenn c < 0
0 , wenn c = 0
29. GW =

−1 , wenn c > 0
6.3
Integrale
1. A =
=
B=
C=
2. A =
=
B=
C=
3. A =
1
5
1
5
1
4
sinh5 (x) +
2
3
sinh3 (x) + sinh(x) + c
cosh4 (x) sinh(x) +
4
15
4
1
16
arctan( x+2
5 )
+ ln(|x|) + c
ln(3b) · x · ln(2x) −
− 25
·
sinh(x) cosh2 (x) +
ln(3b) · x + c
5
3
1
1
1
10 cosh (2x) − 3 cosh (2x) + 2 cosh(2x) + c
4
2
1
2
10 sinh (2x) cosh(2x) − 15 cosh(2x) sinh (2x)
1
1
3
3
3 ln(4a) · x · ln(|3x|) − 9 ln(4a) · x + c
√ ) + ln(|x|) + c
− √419 · arctan( x+3
19
1
4
4 arsinh( 3
C = x+
ln2 (|x|) − 18 x4 ln(|x|) +
3
4
+
4
15
cosh(2x) + c
ln(|x|)) + c
C = C = x + 12 ln(|x − 1|) + 14 ln(x2 + 1) +
√
√
4. A = 18 2 arcsin( 2 ln(x2 )) + c
1 4
4x
sinh(x) + c
4
B = ln(ln(|x|)) · ln(|x|) − ln(|x|) + c
B=
8
15
ln(|x − 2|) −
11
4
1 4
32 x
1
2
arctan(x) + c
+c
ln(|x + 2|) + ln(|x + 1|) + c
1
1
5. A = − sin(x)
− cot(x) − x + c = − tan(
x ) − x + c
2
B=
x
2
· (sin(ln(|x|) − cos(ln(|x|)) + c
C = x + ln(|x|) − 12 · (ln(x2 + x + 1) −
6. A =
B=
C=
√1
3
√ )+c
arctan( 2x+1
3
1
8
2
1 2
1 2
1 2
2 x · ln (|4x|) − 2 x · ln(|4x|) + 4 x + c
1
1
2
√1
3 ln(|x + 1|) − 6 · (ln( x − x + 1 ) + 3
√ )+c
· arctan( 2x−1
3
7. A = 1 − ln(2)
B = − cos(x) · ln(cos2 (x)) + 2 cos(x) + c
C=
1
20
arctan( x4 ) −
11
2
5 (ln(x
+ 16) −
1
30
arctan( x6 ) +
82
26
2
5 (ln(x
+ 36) + c
8. A =
√
x2 + x − 1 −
1
2
ln(x +
1
2
+
√
x2 + x − 1) + c
ω
δ 2 +ω 2 · exp(−δt) · sin(ωt)
7
1
− 16
ln(|x + 7|) + x+7
+c
δ
B = − δ2 +ω
2 · exp(−δt) · cos(ωt) +
C=
1
48
5
12
ln(|x − 1|) +
ln(|x + 5|)
√
29 2
128
1 x
9. A = − 13
64 arctan( 4 e ) +
B=
√
2 5
5
1
arctan( 4√
ex ) + c
2
2 tan( x
)−1)
√2
)+c
5
7
1|) + 50
ln(|x + 3|)
· artanh(
3
11
C = − 34
ln(|x +
− 425
ln(x2 + 16) +
√
√ )+c
10. A = x2 − 4x + 7 + 2arsinh( x−2
3
p
√
2
= x − 4x + 7 + 2 ln(x − 2 + (x − 2)2 + 3) + c
141
1700
ω
δ 2 +ω 2 · exp(−δt) · cos(ωt)
1
36) + 45
arctan( x6 ) + c
δ
B = − δ2 +ω
2 · exp(−δt) · sin(ωt) −
C=
2
45
+c
1
45
ln(|x + 3|) −
1
11. A = − 14 sin(x)+1
−
1
8
ln(x2 +
ln(|sin(x) − 1|) +
1
8
arctan( x4 ) + c
+c
ln(|sin(x) + 1|) + c
B = x tan(x) + ln(|cos(x)|) + c
5
C = − 26
ln(|x + 2|) +
12. A =
1
2
9
50
ln(|sin(x) + 1|) −
ln(|x + 4|) +
1
6
1
2
B=
1
2 x cos(ln(|x|))
ln(|x − 2|) − 51 ln(|x − 1|) +
13. A = ln(tan( x2 ) + 1) + c
B=
C=
1
3
7
20
1
3
ln(|2 sin(x) − 1|) −
arctan( x3 ) + c
ln(|2 sin(x) + 1|) + c
ln(x2 + 2x + 2) −
1
x+1
1
10
arctan(x + 1) + c
+c
ln(sin(x) + 1) + c
−x cot(x) − 12 x2 + ln(|sin(x)|) + c
1
1 1
1
2
25 ln(|x + 1|) − 5 x+1 − 25 ln(x +
15. A = − 16 cos(x3 ) −
1
3
109
975
+ 12 x sin(ln(|x|)) + c
C = x + 2 ln(|x|) − 3 ln(|x + 1|) +
14. A =
ln(x2 + 9) +
ln(|sin(x) − 1|) −
B = −x cot(x) + ln(|sin(x)|) + c
C=
2
325
4) −
3
50
arctan( x2 ) + c
cos(3x3 ) + c = − 29 cos3 (x3 ) + c
√
√
√
ln(3) + n 22 ln( 2) − n 22 − n ≈ 0, 322 − 0, 048n
B = ln(3) −
√
√
16. A = 42 artanh( 2 cos(x2 )) + c
√
2
2
1
18
B = −3 ln(1 + cos(x)) − 3 cos(x) ln(1 + cos(x)) + 3 cos(x) + 3; B( π2 ) − B( π4 ) ≈ 0.6176
C=
1
52
ln(|x − 2|) +
B=
1
3
7
2
C=
47
266
17. A =
3
52
ln(|x + 2|) −
1
26
ln(x2 + 9) +
1
39
arctan( x3 ) + c
ln(sin(x3 ) + 1) + c
ln(7) − 7 ln(2) −
3
2
≈ 0.45866
ln(x2 + 2x + 4) +
√
74· 3
399
√ )−
arctan( x+1
3
10
21
ln(|x + 3|) +
2π
18. A = [− 31 cos3 (x2 ) + 21 cos(x2 )] = 0
0
√
B = 1 + x2 arctan(x) − arsinh(x) + c
(
√
√
2
− 12 √xx2+4 − 12 · artanh( x2 + 12 x2 + 4) + c, wenn x < 0
√
19. A =
2
− 12 xx2+4 − 12 · arcoth( x2 + 12 x2 + 4) + c, wenn x > 0
2
B = − 12 sinx2 (x) − x cot(x) + ln(sin(x)) + c
C=
1 2
2x
20. A =
1
2
C=
1
4
+x−
1
2
ln(x2 + 1) − arctan(x) + ln(x − 1)) + c
ln(tan2 (x) + 1) − ln(5 + 2 tan(x)) + x + c
√
√
B = x ln( 1 − x + 1 + x) + 12 arcsin(x) − 12 x + c
ln(x) −
1
x
−
1 1
2 x2
−
1
4
ln |x − 2| −
1 1
2 x−2
83
+c
7
57
ln(|x − 3|) + c
21. A = 2 ln(2) − 1 ≈ 0, 3863
B=
ln( 41
16 ) − ln(2) −
5
4
22. A =
1
2
C=
1
x
1
2
−
π
2
+ 2 arctan( 54 ) ≈ 0, 2044
ln(tan(x) + 1) − 14 ln(tan2 (x) + 1) + 21 x + c
√
B = x · arsinh(x) − x2 + 1 + c
1
3x3
−
+
1
2
ln(x2 + 1) + arctan(x) + c
23. A = − 12 ln(tan(x) + 1) +
B=
C=
24. A =
1
2
4 ln(tan (x) + 1)
1
1
sinh(x) ln(1 + ex ) − 2 ex + 2 x + c
1
−3 ln(x) + x1 + 3 ln(x − 1) + x−1
+c
√
2
4 π
√
2
2
−
+ 21 x + c
√
arctan( 2) ≈ 0, 4352
B = −x coth(x) + ln(sinh(x)) + c
arctan( a tan(x)
)+c
b
h
i
h
b2 −a2
−ax
bx
−
+
e
cos(ax)
B = ebx sin(ax) a2bx
2
2
2
2
+b
(a +b )
a2 +b2 +
25. A =
26. A =
B=
1
ab
1
2
ln(cos(x)) +
2
x
1
2 cos2 (x)
1
1
2 cos2 (x)
+c
− x tan(x) − ln(cos(x)) + c
C = − ln(x − 1) + 53 ln(x − 2) + 15 ln(x2 + 1) −
√
√
27. A = −x + 43 x − 49 ln(1 + 3 x) + c
B = −2
28. A = −2artanh(
B=
29. C =
1 3
12 x
2
3
√
1−x2
)
2
ln(x2 + 1) −
+c
1 3
18 x
√
3π
2ab
(a2 +b2 )2
1
5
√
√
ln( 1 − x2 − 2) − ln( 1 − x2 + 2)
=
+ 61 x −
C=
6.4
1 2
2x
+ 2x + 2 ln(x + 1) +
Zusatzaufgabe:
√
2
8
√
2
+x√2+1
ln( xx2 −x
)+
2+1
√
2
4
1
2
1
6
arctan(x) + c
ln(x2 + 2x + 5) +
√
arctan(x 2 − 1) +
√
2
4
1
2
365
27
arctan( x+1
2 )+c
√
arctan(x 2 + 1) + c
Taylorreihen
1. f (x) =
x
2!
−
x3
4!
+
x5
6!
2. f (x) =
1
3!
−
x2
5!
+ R3 (x4 )
+ R4 (x7 )
3. f (x) = 1 −
1
2
x5 +
1·3
2·4
4. f (x) = 1 −
1
3
x5 +
2
9
5. f (x) =
1
4
−
x2
48
+
x10 −
x10 −
x4
1440
1·3·5
2·4·6
14
81
+c
arctan(x) + c
1
30. A = − 2a
cot2 (a ln(bx)) − a1 ln(sin(a ln(bx))) + c
p
20
80
2
B = 5 (3x + 2)4 513
(3x + 2)3 − 20
63 (3x + 2) + 81 (3x + 2) +
31. C =
i
x15 + R5 (x20 )
x15 + R5 (x20 )
+ R4 (x6 )
R π/6
128 4
256 6
2
6. I = 0 (4 − 16
3 x + 45 x − 315 x )dx ≈ 1, 8603...
10
4
R5 (x) ≤ T5 = 18·10!
· ( π6 )9 ≈ 0, 47 · 10−4
R 0.6
3
5
7
7. I = 0 (x − x1! + x2! − x3! )dx ≈ 0, 151...
8
−3
T4 = 0.6
48 ≈ 0, 35 · 10
R 0.9 x
5
9
13
8. I = 0 (− 1!
+ x3! − x5! + x7! )dx ≈ 0, 39052507...
18
−8
T5 = 0.9
; Iexakt = 0, 3905250961...; ∆ = 2, 29 · 10−8
18·9! ≈ 2, 2 · 10
84
R 0.9
2
17
62
9. I = 0 (−x3 + 13 x7 − 15
x11 + 315
x15 − 2835
x19 )dx ≈ 0, 14873...
62
T6 ≤= 56700 · 0.924 ≈ 8, 7 · 10−5 ; Iexakt = 0, 1487108786...; ∆ = 2, 4 · 10−5
35
13
10. f (x) = x − 31 x5 + 29 x9 − 14
+ 243
x17 + R6 (x21 ) ≈ 0, 576117...
81 x
1·4·7·10
T5 = 4!·35 · 0.617 ≈ 2, 4 · 10−5 ; fexakt (0.6) = 0, 576116...; ∆ = 0, 1 · 10−5
R 0.5
12
16
+ 2176
+ R5 (x20 )dx ≈ −0, 01192...
11. I = 0 (−2x4 + 83 x8 − 64
15 x
315 x
64
13
−4
T3 = 195 · 0.5 ≈ 0, 4 · 10 ; ∆I2 ,I3 ≤ 1 · 10−6
R 0.5 1
1 4
1 12
8
− 4!
x + 14
+ R5 (x16 )dx ≈ 0, 249739884...
12. I = 0 ( 2!
6! x − 8! x
1
13
−10
T4 = 13·8! · 0.5 ≈ −2, 3 · 10
Rπ
1 7
1 11
1 15
1 19
1 3
x + 3!
x − 5!
x + 7!
x − 9!
x + R6 (x23 ))dx ≈ −0, 271698307...
13. I = 03 (− 1!
24
T6 = 24·3π24 ·11! ≈ 0, 3 · 10−8 ; Iexakt = −0, 271698303...; ∆ = 4 · 10−9
Rπ 1 8
1 14
1 20
1 26
14. I = 04 ( 2!
x − 4!
x + 6!
x − 8!
x + R5 (x32 ))dx
π
π
−9
T4 ( 4 ) ≈ 1, 3 · 10
> F ; T5 ( 4 ) ≈ 2, 8 · 10−12 < F ; → 4Terme erforderlich ;
Iexakt = 0, 0062436458...; ∆T4 ,exakt ≈ 1 · 10−10
R 0.5
5
15
195
x9 − 128
x12 + 2048
x15 + R6 (x18 ))dx ≈ 0, 01536023...
15. I = 0 (x3 − 14 x6 + 32
195
−7
T5 = 32768·216 ≈ 0.9 · 10
R 0.2
1 0
1 1
1 2
1 3
1 −1
x − 3!
x + 4!
x − 5!
x + 6!
x + R7 (x4 ))dx ≈ 32, 83053...
16. I = 0.1 ( x−3 − x−2 + 2!
1
2 3
−5
T6 = 3·5! ( 10 ) ≈ 0, 2 · 10
1
1
x3 − 480
x5 + R(x7 ) ≈ 0, 51155...
17. I = x − 12
1 π 5
T3 = 480 ( 6 ) ≈ 8 · 10−5
1 8
2
7
35
13
18. I6 = 13 x3 − 24
x + 117
x13 − 729
x18 + 5589
x23 − 2916
x28 +R(x33 ) ≈ 0, 02130614072719...
7
18
−10
T4 = 729 (0, 4) ≈ 6, 6 · 10
≥F
35
T5 = 5589
(0, 4)23 ≈ 4, 4 · 10−12 ≤ F ; I4 = 0, 0213061407228
1
1
407
19. P4 (x) = 12 x + 24
x3 + 240
x5 + 954240
x7 + R(x9 )
f (2) = 1, 5574 ; |f (2) − P4 (2)| = 0, 036 < F ;
|f (2) − P3 (2)| = 0, 091 < F ;
|f (2) − P2 (2)| = 0, 22 > F ; ⇒ 3 Terme erforderlich.
R2
1
x5 − 0 · x6 + R6 (x7 ))dx ≈ 0, 4570035...
20. IT5 = 03 (1 − x + 31 x3 − 16 x4 + 30
Iexakt = 0, 4569968...; ∆T5 ,exakt ≈ 0, 67 · 10−5 < F
21. P4 (x) = x +
3
2
x2 +
1
3
x3 −
1
12
x4 + R(x5 );
1
3
R5 (x) =
10−6
22. P2 (x) = x − 12 x2 + R(x3 )
23. (a) Ta (x) = 14 − 412 x + 413 x2 − 414 x3 + · · · + (−1)n+1 41n xn−1 + · · · ;
Konvergenzradius: −4 < r < 4
2
3
n
(x−1)
(b) Tb (x) = 15 − x−1
− (x−1)
+ · · · + (−1)n (x−1)
52 +
53
54
5n+1 + · · · ;
Konvergenzradius: −4 < r < 6
2
3
4
1 (x−1)
n
(c) Tc (x) = ln(5)+ 11 x−1
+ 13 (x−1)
− 14 (x−1)
+· · ·+(−1)n+1 n1 ( x−1
5 −2
52
53
54
5 ) + ···;
Konvergenzradius: −4 < r ≤ 6
(d) Konvergenzradius in allen drei Fällen durch die Polstelle in den Ableitungsfunktionen bei xp = −4 nach unten beschränkt.
6.5
Fourierreihen
1. a0 = 0; an =
f (t) = −16 ·
f (t) =
···
− π162
0
− n216
·π 2
∞
X
[
n=1
,
,
n gerade
;
n ungerade
bn =
0
16
− n·π
, n gerade
, n ungerade
(2n − 1)π
1
(2n − 1)π
1
cos(
t) +
sin(
t)]
2
2
(2n − 1) π
4
(2n − 1)π
4
cos( π4 t)− 16
π
16
3π
16
5π
16
5π
sin( π4 t)− 3216π2 cos( 3π
4 t)− 3π sin( 4 t)− 52 π 2 cos( 4 t)− 5π sin( 4 t)−
85
2. a0 =
A 2π
π (e
f (t) =
n=1:
n=2:
n=3:
n=4:
n=5:
− 1); an =
A
2π
2π (e
− 1) + · · ·
3. a0 = −5; an =
A e2π −1
π ( 1+n2 );
bn =
n·A 1−e2π
π ( 1+n2 )
A
+ 2π
(e2π − 1)[cos(t) − sin(t)]
A
+ 5π (e2π − 1)[cos(2t) − 2 sin(2t)]
A
+ 10π
(e2π − 1)[cos(3t) − 3 sin(3t)]
A
+ 17π (e2π − 1)[cos(4t) − 4 sin(4t)]
A
+ 26π
(e2π − 1)[cos(5t) − 5 sin(5t)] + · · ·
0
− n212
·π 2
, n gerade
;
, n ungerade
bn = 0 , da f(t) gerade
∞
X
5
1
(2n − 1)π
f (t) = − − 12 ·
cos(
t)
2
2
2
(2n − 1) π
3
n=1
12
5π
12
7π
12
9π
f (t) = − 25 − π122 cos( π3 t)− 3212π2 cos( 3π
3 t)− 52 π 2 cos( 3 t)− 72 π 2 cos( 3 t)− 92 π 2 cos( 3 t)−···
0
, n gerade
3
;
bn = 0 , da f(t) gerade
4. a0 = − 4 ; an =
− n21·π2 , n ungerade
∞
3 X
1
(2n − 1)π
f (t) = − −
cos(
t)
2
2
8 n=1 (2n − 1) π
2
f (t) = − 38 −
1
5π
1
7π
cos( π2 t) − 321π2 cos( 3π
2 t) − 52 π 2 cos( 2 t) − 72 π 2 cos( 2 t) − · · ·
3
, n gerade
0
, n gerade
2n2 π 2
5. a0 = − 58 ; an =
;
b
=
n
1
6
1
−
,
n
ungerade
−
,
n ungerade
4
4
n π
2nπ
2nπ
5
3 4−π 2
1
3
1 4−9π 2
1
f (t) = − 16 + 2 π4 cos(πt)− 2π sin(πt)+ 8π2 cos(2πt)+ 3 18π4 cos(3πt)− 6π
sin(3πt)+
3
32π 2 cos(4πt) + · · ·
6. a0 =
2π
3 ;
1
π2
an =
4
πn2 ;
bn = 0 , da f(t) gerade
f (t) =
∞
π X 4
+
cos(nt)
3 n=1 n2 π
4
1
a1 = π4 ; a2 = π1 ; a3 = 9π
; a4 = 4π
f (t) = π3 + 4 cos(t)
+ cos(2t)
+ 49 cos(3t)
+
π
π
π
7. a0 = − 31 ; an =
4
π 2 n2 ;
1 cos(4t)
4
π
+···
bn = 0 , da f(t) gerade
∞
1 X 4
f (t) = − +
cos(nπt)
6 n=1 n2 π 2
a1 = π42 ; a2 = π12 ; a3 = 9π4 2 ; a4 = 4π1 2
f (t) = − 16 + 4 cos(πt)
+ cos(2πt)
+ 49 cos(3πt
+
π2
π2
π2
1 cos(4πt)
4
π2
+···
8. a0 = 0 ; an = 0 , da f(t) ungerade
8
b1 = − 12 ; b2 = 43 ; b3 = − 43 ; b4 = 15
1
4
3
f (t) = − 2 sin(t) + 3 sin(2t) − 4 sin(3t) +
8
15
sin(4t) − · · ·
9. a0 = 0 ; an = 0 , da f(t) ungerade
b1 = (−1) ·
−eaπ +e−aπ
π(a2 +1) ; b2
−eaπ +e−aπ
π(a2 +25) ;
=2·
−eaπ +e−aπ
π(a2 +4) ; b3
= (−3) ·
−eaπ +e−aπ
π(a2 +9) ; b4
b5 = (−5) ·
f (t) = b1 sin(t) + b2 sin(2t) + b3 sin(3t) + +b4 sin(4t) + b5 sin(5t) · · ·
Skizze der Fourier-Koeffizienten: siehe Abbildung in Kapitel 8
10. a0 = 0 ; bn = 0 , da f(t) achsensymmetrisch
P∞
an = 4n21−1 ; S(t) = n=1 4n21−1 cos(2nt)
J1 = 0, 11685; J2 = 0, 11673; Fehler ≤ 0.000125
86
=4·
−eaπ +e−aπ
π(a2 +16)
6.6
Gewöhnliche Differentialgleichungen
1. y(x)=
17
18
2. y(x)=
269
117
− C2 +
1
18
1
18
cos(3x) −
sin(3x) + e3x ( 21 x2 + 13 x + C2 )
− C2 + C2 e2x + e3x ( 23 x − 29 ) −
1
13
cos(3x) −
1 3
2
3. y(x)= ex ( 59
50 − C1 + C1 x + 3 x + x ) + cos(x) −
4. y(x)=
1 x
50 e (−8 cos(x)
42 −4x
5. y(x)= − 2125
e
−
+ sin(x)(56 + 25x)) +
2
25
2
39
sin(3x)
cos(3x) −
1 −x
(5x
25 e
3
50
sin(3x)
+ 4)
5
1 x
cos(x) − 34
sin(x) + 250
e (25x2 − 10x + 27)
√
√
√
6. y(x)= − 92 + 13 x + e−x (C1 sin( 2x) + cos( 2x)( 29 − 42 x))
7. y(x)= C1 e(−2+
mit C1 =
√
3 3
52
√
3)x
+
1 x
e +
8. y(x)= − 16
9. y(x)=
10. y(x)=
22 x
15 e
−
+ C2 e(−2−
7
312
3
26
1
20
3
34
−
1
4
≈ 0.12236, C2 =
cos(x) +
cos(2x) −
53 −x
sin(x)
25 e
√
3)x
+
1
13
3
20
cos(x) +
√
− 3523
sin(2x) −
+
7
312
1 5x
208 e (52x
sin(x) +
21 −x
cos(x)
25 e
+
1 2x
26 e
1 −2x
24 e
1
25 (5x
+
+ 16 e−2x
≈ −0.07749
− 11)
1 2x
8 e (4x
+ 3) sin(x) +
− 3)
1
25 (−10x +
4) cos(x)
11. allgemeine Lösung homogen: y0 (t) = C1 + C2 · e−2t
allgemeine Lösung inhomogen: yinhom (t) = C1 + e−2t · (C2 − 34 t − 14 t2 ) −
1
8 sin(2t)
1
spezielle Lösung zu y(0) = 1, y ′ (0) = 0: C1 = 13
8 , C2 = − 2
1
spezielle Lösung zu y(0) = 0: C2 = 8 − C1 .
1
8
cos(2t) −
1
12. allgemeine Lösung homogen: y0 (t) = C1 · e− 2 t + C2 · e−t
1
allgemeine Lösung inhomogen: yinhom (t) = C1 · e− 2 t + C2 · e−t −
spezielle Lösung zu y(0) = 0, y ′ (0) = 1: C1 = C2 = 0
spezielle Lösung zu y ′ (0) = 0: C1 = − 21 · C2 + 12 .
1
2
· t2 · e−t + sin(t)
13. allgemeine Lösung inhomogen: yinhom (t) = C1 · x · e−x + C2 · e−x + 12 · ex − sin(x)
spezielle Lösung zu y(0) = 1, y ′ (0) = 1: C1 = 2 , C2 = 12
yispez (t) = 2 · x · e−x + 12 · e−x + 12 · ex − sin(x) = 2 · x · e−x + cosh(x) − sin(x)
14. allgemeine Lösung homogen: y0 (t) = C1 · e−2t + C2 · e−t
allgemeine Lösung inhomogen: yinhom (t) = C1 ·e−2t +C2 ·e−t −e−2t (t2 +3t)+cos(2t)−
3 · sin(2t)
spezielle Lösung zu y(0) = 0, y ′ (0) = 1: C1 = −9 , C2 = 8
spezielle Lösung zu y ′ (0) = 1: C2 = −2 · C1 − 10
1
15. allgemeine Lösung homogen: y0 (t) = C1 · e2t + C2 · e− 2 t
1
1
allgemeine Lösung inhomogen: yinhom (t) = C1 · e2t + C2 · e− 2 t + e− 2 t (−5t2 + 6t) − 5 ·
cos(2t) − 3 · sin(2t)
spezielle Lösung zu y(0) = 1, y ′ (0) = 0: C1 = 65 , C2 = 24
5
spezielle Lösung zu y ′ (0) = 1: C2 = 4 · C1 − 2
16. allgemeine Lösung homogen: y0 (x) = ex (C1 sin(2x) + C2 cos(2x))
allgemeine Lösung inhomogen: yinhom (x) = ex (C1 sin(2x)+C2 cos(2x)+ 14 x sin(2x)+ 14 )
spezielle Lösung zu y(0) = 1, y ′ (0) = 1: C1 = 0 , C2 = 34
spezielle Lösung zu y ′ (0) = 0: C2 = − 41
17. allgemeine Lösung: yallg (x) =
1
2
cos(2x)+ 12 +C
cos(x)
spezielle Lösung zu y(0) = 0: C = −1, yspez1 (x) =
spezielle Lösung zu y(0) = 1: C = 0, yspez2 (x) =
1
2
1
2
cos(2x)− 12
cos(x)
cos(2x)+ 21
cos(x)
x
18. allgemeine Lösung homogen: y0 (x) = e− 2 (C1 sin( x2 ) + C2 cos( x2 ))
x
allgemeine Lösung inhomogen: yinhom (x) = e− 2 (C1 sin( x2 ) + C2 cos( x2 ) −
1
x
2 x sin( 2 ))
1
spezielle Lösung zu y(0) = − 61 , y ′ (0) = 12
: C1 = 0 , C2 = 21
1
′
spezielle Lösung zu y (0) = 3 : C1 = C2
87
2
3
cos(x) +
19. (a)
i. k = −1, ω = 0 : y0 (t) = e−t (C1 t + C2 )
Ansatz ysp (t) = t2 Ae−t
ii. k = −1, ω = 2 : y0 (t) = e−t (C1 sin(2t) + C2 cos(2t))
Ansatz ysp (t) = te−t (A cos(2t) + B sin(2t))
(b) k = 0, ω 6= 0, beliebig : Ansatz ysp (t) = A cos(ωt) + B sin(ωt)
sin(ωt)
yallg (t) = e−t (C1 sin(ωt) + C2 cos(ωt)) + cos(ωt)+2ω
4ω 2 +1
(c) ysp (t) =
−e−t 2ω sin(ωt)+cos(ωt)+2ω sin(ωt)
4ω 2 +1
20. allgemeine Lösung homogen: y0 (x) =
C
tan(x)
allgemeine Lösung inhomogen: yinhom (x) =
spezielle Lösung: yspeziell (x) =
21. (a) a1 = 0;
a0 = −1;
− ln(cos(x))+c
tan(x)
− ln(cos(x))
tan(x)
s(t) = 2 sin(t) + 3et − e−t
(b) allg. Lösung inhomogen: yinhom (t) = C1 et + C2 e−t + 32 tet − 21 te−t − sin(t)
(c) spez. Lösung: C1 = 52 ; C2 = 12
q
22. (a) y(x) = −1 ± 1 + 2t x , definiert für t 6= 0
(b)
i. yi (t) =
ii. yii (t) =
1 1
3 a+2
1
9
e−2t −
e−2t −
1
9
1
1
3 a−1
et +
1
3
et +
1
1
a+2 a−1
t et
iii. zu zeigen: lima→1 (yia (t)) = yii (t)
88
eat
Kapitel 7
Lösungen Mathematik 3
7.1
Laplacetransformation
1. a) F (s) =
(πs3 +2s2 +πs+1)e−sπ +s2
s2 (s2 +1)
, Re s > 0
6
b) F (s) = (s+2)
4 , Re s > −2
2. f (t) = et 2 cos(2t) + 25 sin(2t)
3. f (t) = et − t − 1, F (s) =
4. a) F (s) =
b) F (s) =
5. F (s) =
6. f (t) =
s+e−s(π/2)
s(s2 +1) ,
6
(s+5)4 ,
s2 +4s+8
s2 (s+4)2 ,
1
8
Re s > 0
Re s > −5
Re s > 0
3
8
cos(2t) −
sin(2t) − 18 e2 t
7. F (s) = e(−πs) ( s2πs
+4 +
8. f (t) =
9. F (s) =
10. f (t) =
11. F (s) =
12. f (t) =
2
3
s2 −4
(s2 +4)2
+
πs+1
s2 )
−
s2 −4
(s2 +4)2 ,
Re s > 0
e(12−2t) (6 cos(3t − 12) − 7 sin(3t − 12))
e(−b)
s3
1
3
1
s2 (s−1)
+
e(b)
(s−2)3 ,
√
cos( 2t) −
1 e(−2b)
2 (s−a−2)2
8
19
−
cos(3t) +
Re s > 2
√
2
12
√
sin( 2t) − 14 e(−t) −
1
1
2 (s−a+2)2 ,
8
57
sin(3t) +
Re s > a + 2
3
38
cosh(
+3sπ 2 +2s2 −2π 2
− 3s )
(s2 +π 2 )2
a
R
lim − 23 · e−st dt < ∞
a→∞
3
3
13. F (s) = 12 e− 2 s ( 3s
Re s > 0 ⇒
1 (t)
12 e
+
√
2
2 t)
+
√
3 2
38
sinh(
√
2πs
(s2 +π 2 )2
3
2
1
14. f (t) = − 100
cos(2t) −
1
= − 100
cos(2t) −
1
200
+
1
s3 ,
Re s > 0 und Re s > −2a
16. F (s) =
24ω 3 ·s(s2 +5ω 2 )
(s2 +ω 2 )2 ·(s2 +9ω 2 )2 ,
cosh( 32 t) +
3
1
2t
120 e
sin(2t) +
e(2b)
(s+2a)3
1
100
1 − 32 t
600 e
1
200
15. F (s) =
+
sin(2t) +
Re s > 0
17. f (t) = 12 (sin(t) + t cos(t)) − t · e−t
89
1
150
sinh( 32 t)
2
2 t)
e−2s (−2s3 −2sπ 2 −s2 +π 2 )+s2 −π 2
2e−2s (2s+3)
(s+1)2
+
18. F (s) =
(s2 +π 2 )2
Ra −(s+1)t
lim te
dt < ∞, wenn Re s > −1
a→∞ 2
19. F (s) =
−6e5 (s3 +33s+70)
(s2 +2s+37)3
20. F (s) =
1
s4 +15
4 (s2 −1)(s2 +2s+5)(s2 −2s+5)
21. F (s) =
1
−e−2b (s+2a)
3 +
22. F (s) =
s4 +4s3 +6s2 +4s+1+2ω 2 s2 +4ω 2 s+2ω 2 +8ω 4
(s+1)2 (s2 +2s+1+4ω 2 )2
23. f (t) =
1
s3
Re (s) > 1
Re (s) > a
Re (s) > 0
e−t (−3 + 4 cos(t) − 2 sin(t)
24. f (t) = −(1 + e−t+2 )
25. (a) da sp = 1 > 0 → limt→∞ f (t) = ∞ → Re(s) > 1
ansonsten Widerspruch zu Grenzwertsatz: limt→∞ f (t) = ∞ 6= 0 = lims→0 s·F (s)
(b) f (t) = 91 et − 19 e−2t − 13 t · e−2t
limt→0 f (t) = 0 (= lims→∞ s · F (s))
limt→∞ f (t) = ∞ (6= lims→0 s · F (s), da s → 0 ∈
/ DF )
26. F (s) =
ω·e−φ ·[(s2 +2sω) cos(φ)−2sω sin(φ)−2ω 2 sin(φ)]
;
(s2 +2sω+2ω 2 )2
27. f (t) =
2
5
28. F (s) =
+8
ω e−s (ss2 +6s+ω
;
+4s+4+ω)2
cos(t) −
3
sin(t)
10
2
29. (a) f (t) =
− 25 cos(2t)e(−t) +
2
9
20
Re (s) > 0
sin(2t)e(−t)
Re (s) > −2
√
√
√
− 12 et + 12 e2t (cosh( 3t) + 3 sinh( 3t))
(b) limt→0 f (t) = 3 (= lims→∞ s · F (s))
limt→∞ f (t) = ∞ (6= lims→0 s · F (s), da s → 0 ∈
/ DF ; Re(s) > 1)
sπ
30. F (s) =
G(s) =
31. f (t) =
32. F (s) =
1
2ωe− 2ω −se−
− sπ
s2 +ω 2
1−e ω
2ωe−
1
+s
(s+1)π
2ω
−(s+1)e−
(s+1)2 +ω 2
(s+1)π
1−e− ω
sπ
ω
+s+1
1 (a+bω 2 ) sinh(ωt)+sin(ωt)(−a+bω 2 )
2
ω3
A eas
s eas +1
33. f (t) = e(−a t) + e( 2
1
a t)
h√
i
√
√
3 sin( 32 a t) − cos( 32 a t)
34. in beiden Fällen: F (s) =
35. F (s) =
sπ
ω
s2 +2
s (s2 +4)
,
Re(s) > 0
s
(s+a)3/2
1
2t
−t
[(6 − 20t) cos t + (33 + 15t) sin t]}
500 {e (5t − 6) + e
(
1 − t wenn 0 ≤ t < 1
(b) f (t) =
; Kippschwingung mit der Periode 1
0
wenn t = 1
36. (a) f (t) =
37. (a) F (s) =
(b) F (s) =
38. F (s) =
39. f (t) =
−e−2s +s+1
s(s+1)
1
4
ln(1 +
,
Re(s) > −1
4
(s+1)2 )
e−2πs (2π 2 s3 +s2 +1)−2π 2 s4 +2πs3 −s2 +2πs−1
2π 2 s3 (s2 +1)(s2 +4)
1
4
et (2t + 5) −
1
4
e2t [cos(t)(t + 5) + sin(t)(3t − 4)]
40. richtig: Antwort b)
90
7.2
Gewöhnliche Differentialgleichungen und Laplacetransformation
1. y(t) =
1
6
e−2t + 8et − 15 et
2. y(t) = −et · sin(t)
allgemeine Lösung homogen: y0 (t) = C1 · et + C2 · et · t
3. y(t) = − 13 · et +
16
39
· e−2t +
1
t
13 (−e cos(2t)
+ 32 et sin(2t)
allgemeine Lösung homogen: y0 (t) = C1 · et + C2 · e−2t
1
(−et cos(2t)+ 23 et sin(2t)
allgemeine Lösung inhomogen: yinhom (t) = C1 ·et +C2 ·e−2t + 13
4. y(t) = e−2t · ( 32 · sin(t) + cos(t)) −
1
2
· t · e−2t
allgemeine Lösung homogen: y0 (t) = e−2t · (C1 sin(t) + C2 cos(t)
allgemeine Lösung inhomogen: yinhom (t) = e−2t ·(C1 ·sin(t)+(C2 cos(t))− 12 ·t·e−2t ·cos(t)
√
√
√
9
1
1
5. y(t) = et · ( 305 · sin(t 5) + 10
cos(t 5)) + 60
· e−4t + 12
√
√
allgemeine Lösung homogen: y0 (t) = et · (C1 sin(t 5) +
C2 cos(t 5) √
√
1
1
allgemeine Lösung inhomogen: yinhom (t) = et ·(C1 sin(t 5)+C2 cos(t 5)+ 60
·e−4t + 12
6. y(t) =
79
80
· et · cos(2t) −
1
80
· e−5t +
1
40
· e−3t
allgemeine Lösung homogen: y0 (t) = et · (C1 sin(2t) + C2 cos(2t))
allgemeine Lösung inhomogen: yinhom (t) = et · (C1 sin(2t) + C2 cos(2t)) −
1
−3t
40 · e
√
3
√
3
1
80
· e−5t +
√
1
4
7. spezielle Lösung inhomogen: y(t) = 393 · e− 2 t · sin( 23 t) + 13
· e− 2 t · cos( 23 t) − 13
·
3
−2t
· cos(2t)
e
√
√
3
3
allgemeine Lösung homogen: y0 (t) = C1 · e− 2 t · sin( 23 t) + C2 · e− 2 t · cos( 23 t)
√
√
3
3
allgemeine Lösung inhomogen: yinhom (t) = C1 · e− 2 t · sin( 23 t) + C2 · e− 2 t · cos( 23 t) −
4
− 32 t
· cos(2t)
13 · e
8. spezielle Lösung inhomogen: y(t) = et ( 12 · sin(t) − 12 · t · cos(t) + cos(t))
allgemeine Lösung homogen: y0 (t) = et (C1 · sin(t) + C2 · cos(t))
allgemeine Lösung inhomogen: yinhom (t) = et (C1 · sin(t) + C2 · cos(t)) − 12 · t · et · cos(t)
1
4
−3t
· sin(t) − 17
· cos(t)) − 22
9. spezielle Lösung inhomogen: y(t) = et (− 17
51 e
allgemeine Lösung homogen: y0 (t) = C1 et + C2 e−3t
1
4
allgemeine Lösung inhomogen: yinhom (t) = C1 et + C2 e−3t − 17
· sin(t) − 17
· cos(t)
√
√
10. allgemeine Lösung homogen: y0 (t) = y(0) · et cos( 2t) + (y ′ (0) − y(0)) · √12 · et sin( 2t)
√
√
√
allgemeine Lösung inhomogen: yinhom (t) = y0 (t) + 14 · et (sin( 2t) − 2 · t cos( 2t))
√
√
√
√
spezielle Lösung: y(t) = 14 · et (sin( 2t) − 2 · t cos( 2t)) + et cos( 2t)
11. allgemeine Lösung homogen: y0 (t) = y(0) · ( 54 e3t − 14 e−t ) + y ′ (0) · ( 14 e3t − 14 e−t )
1 3t+1
1 1−t
allgemeine Lösung inhomogen: yinhom (t) = 16
e
− 16
e
· [4t + 1] + y0 (t)
1 3t+1
1 1−t
3t
spezielle Lösung: y(t) = 16 e
− 16 e
· [4t + 1] + e
12. (a) xa (t) = e−3t (cos(4t) + sin((4t))
1
1
(b) xbi (t) = − 16
cos(5t) + 16
cos(3t)
1
xbii (t) = 10 t sin(5t)
(
1
1
cos(5t) + 25
wenn t < T
− 25
(c) xc (t) =
1
− 25 [cos(5t) − cos(5 (t − T ))] wenn t > T
Für T = 2π: Ausklingen der Schwingung bei t = 2π.
(
(a − π) cos(t)
wenn t > 2π
13. y(t) =
1
1
(a − 2 t) cos(t) + 2 sin(t) wenn t < 2π
Wenn a = π: Ausklingen der Schwingung bei t = 2π.
91
7.3
Funktionen mehrerer Variabler
1. Definitionsbereich D: x, y ∈ R;
partielle Ableitungen: fx = −x2 y 2 (3y − 36 + 4x); fy = −x3 y(3y − 24 + 2x);
Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = {x = x, 0} ∪ {0, y = y} ∪ {6, 4}
Extrema: lokales Maximum in P (6; 4)
2. Definitionsbereich D: x, y ∈ R;
partielle Ableitungen: fx = 2xy − 4 − y 2 ; fy = −2xy + 4 + x2 ;
Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = {2, 2} ∪ {−2, −2}
Extrema: keine
3. Definitionsbereich D: x, y ∈ R;
partielle Ableitungen: fx = 2xy − 8 − 2y 2 ; fy = −4xy + 16 + x2 ;
Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = {4, 2} ∪ {−4, −2}
Extrema: keine
4. Definitionsbereich D: x, y ∈ R;
partielle Ableitungen: fx = −y(5y − 10 + 4x); fy = −2x(−5 + x + 5y);
Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = {0, 0} ∪ {0, 2} ∪ {5, 0} ∪ 53 , 23 ; lokales Maximum
in P ( 53 ; 32 )
5. Definitionsbereich D: x, y ∈ R;
partielle Ableitungen: fx = −4y(3y − 5 + x); fy =−2x(−10
+ x + 12y);
5
; lokales
Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = {0, 0} ∪ 0, 53 ∪ {10, 0} ∪ 10
3 , 9
5
Maximum in P ( 10
;
)
3 9
6. Definitionsbereich D: x, y ∈ R;
partielle Ableitungen: fx = −x2 y 3 (−3y − 3 + 4x); fy = −x3 y 2 (−4y − 3 + 3x);
Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = {0, y = y} ∪ {x = x, 0} ∪ 37 , − 73 ; lokales
Minimum in P ( 37 ; − 73 )
7. Definitionsbereich D: x, y ∈ R;
partielle Ableitungen: fx = 2x + 20 ∗+10; fy =−6y + 20x − 6;
15
53
Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = 103
, − 103
; kein Extremum
8. (a) partielle Ableitungen: fx = 3(x − 1)(x + 1); fy = 3(y − 2)(y + 2);
Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = {1, 2} ∪ {1, −2} ∪ {−1, 2} ∪ {−1, −2} ; lokales
Minimum in P1 (1; 2); lokales Maximum in P2 (−1; −2)
(b) partielle Ableitungen: fx = ex (2x + y 2 + 2); fy = 2ex y;
Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = {−1, 0} ; lokales Minimum in P (−1; 0)
2
9. (a) partielle Ableitungen: fx = √y
−xy−x+1
;
(1+x2 +y 2 )3
2
fy = √x
−xy−y+1
;
(1+x2 +y 2 )3
Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = {1, 1} ;lokales Maximum in P (1; 1)
(b) partielle Ableitungen: fx = 3x2 − 3ay; fy = 3y 2 − 3ax;
Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = {0, 0} ∪ {a, a} ; lokales Minimum in P (a; a)
10. (a) partielle Ableitungen: fx = 4y 2 + 40y + 9∗2 ; fy = 8(x − 2)(y
+ 5); 10
Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = {2, −1} ∪ {2, −9} ∪ 10
3 , −5 ∪ − 3 , −5
10
;lokales Minimum in P1 ( 10
3 ; −5) , lokales Maximum in P2 (− 3 ; −5)
2
(b) partielle Ableitungen: fx = √y
−xy−x+1
;
(1+x2 +y 2 )3
2
fy = √x
−xy−y+1
;
(1+x2 +y 2 )3
Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = {1, 1} ; lokales Maximum in P (1; 1)
2
11. partielle Ableitungen: fx = 8xy(y + 10); fy = 8x2 y + n40x2 − 32y −o160
n + 9y ;
o
√
√
Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = {2, 0} ∪ {−2, 0} ∪ 0, 16+49 106 ∪ 0, 16−49 106 ∪
nq
o n q
o
√
53
53
16−4 106
), lokales Minimum
2 , −10 ∪ −
2 , −10 ; lokales Maximum in P1 (0;
9
√
106
in P2 (0; 16+49
)
2
12. partielle Ableitungen: fx = 8x(y − 2)(y + 2); fny = 2y(4x
o −n13);
o n √
o
√
√
13
13
Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = {0, 0} ∪ − 213 , 2 ∪
,
2
∪
−
,
−2
∪
2
2
n√
o
13
2 , −2 lokales Maximum in P (0; 0)
92
13. (a) Gebiet B: s. Zeichnungen im Anhang
Z Z
(2r2 cos2 (φ) + r2 sin2 (φ))rdrdφ ≈ 54.14
(b)
| {z }
(B)
14. partielle Ableitungen: fx = 8(y − 2)(y + 2)(x − 1); fy = 2y(2x
− 1)(2x
−3); Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = {1, 0} ∪ 12 , 2 ∪ 12 , −2 ∪ 32 , 2 ∪ 23 , −2 ;
lokales Maximum in P (1; 0)
15. (a) Gebiet B: s. Zeichnungen im Anhang
Z Z
(r2 cos(φ) sin(φ))rdrdφ ≈ −55.49
(b)
| {z }
(B)
16. partielle Ableitungen: fx = 16x(y − 2)(y + 2)(x − 1)(x + 1); fy = 2y(2x2 − 2x − 1)(2x2 +
2x − 1);
q
√
3
Lösungsmenge für fx = fy = 0: L = {0, 0} ∪ {−1, 0} ∪ {1, 0} ∪ − 1 − 2 , −2 ∪
q
q
q
q
q
√
√
√
√
√
1 − 23 , −2 ∪ − 1 + 23 , −2 ∪
1 + 23 , −2 ∪ − 1 − 23 , 2 ∪
1 − 23 , 2 ∪
q
q
√
√
− 1 + 23 , 2 ∪
1 + 23 , 2 ; lokale Maxima in P1 (1; 0) und P2 (−1; 0) ; lokales
Minimum in P3 (0; 0)
17. (a) Gebiet B: s. Zeichnungen im Anhang
(b)
√
2+
R 5
x·(
√
x=2− 5
−x2 +4x+2
R
y dy )dx =
y=x2 −4x
80
3
√
5
18. partielle Ableitungen: fx = 16x(x2 − 2)(y 2 − 1); fy = 2y(4x4 − 8x2 − 5);
lokale Maxima in P1 (1; 0) und P2 (−1; 0)
19. (a) Gebiet A: s. Zeichnungen im Anhang
(b) I =
R4
x=0
4xR2 −4
y=x3 −4
x2 − y 2 dy dx = − 400384
35
20. a > 0: Maximum in P ( 23 a; 23 a)
21. (a) Gebiet B: s. Zeichnungen im Anhang
(b) Parametrisierung: x = r cos(ϕ) + 1, y = r sin(ϕ)
2π
R R1 5
→I=
(r − 4r4 cos(ϕ) + 4r3 cos2 (ϕ)) dr dϕ =
ϕ=0 r=0
4π
3
22. Minimum in P (0, 0)
23. Minimum in P (2, 1)
24. (a) Gebiet B: s. Zeichnung Seite 108
(b) Parametrisierung: x = r cos(ϕ), y = r sin(ϕ)
5,176
R
R3 3 −r2
→I=
sin(φ) cos(φ)
(r e ) dr dφ =
ϕ= π
4
r=0
3
40
− 34 e−9
1
13
25. (a) P1 = (0, 14 , − 94 ) ; P2 = (−1, 14 , − 13
4 ) ; P3 = (1, 4 , − 4 )
(b) A =
3
2
a2 ln(2)
26. (a) Minimum in P ( √12 , −1) , Maximum in P (− √12 , −1)
(b) f (x, y) maximal (minimal), wenn x = − √12 (x =
31a4
1280
√1 )
2
1
− 16
; Gebiet B: s. Zeichnung Seite 110
√
R 1 R 1−y2 +1
(b) I = 0
f (x, y) dx dy; Gebiet B: s. Zeichnung Seite 110
2−y
27. (a) I =
93
28. (a) df = 3 dx + dy
17
x+
(b) y(x) = − 15
(c) S( 16 , − 13 ,
√
61
6 )
47
15
29. (a) J = 54 ln(3) + 17
(b) J = 2
30. (a) Gebiet B: s. Zeichnung Seite 110
J = − 32
Fläche zwischen den Funktionen A =
29
18
(b) Gebiet B: s. Zeichnung Seite 110
J = π (ln(2) − 12 )
31. q = 4y
7.4
Eigenwerte und Eigenvektoren
1. charakteristische Gleichung: λ3 − 4λ2 + 5λ − 2 = 0
 
0
λ1,2 = 1 zweifacher Eigenwert; x
f1 = √12  1 ; x
f2 =
1


−1
λ3 = 2 einfacher Eigenwert; f
x3 = √13  1 
1


−2
√1 
1 
6
−1
A nicht symmetrisch → Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten nicht zwingend
orthogonal.
x1 · x
f
f2 = 0 → ⊥; x
f1 · x
f3 6= 0; f
x2 · x
f3 6= 0
2. charakteristische Gleichung: λ3 − 8λ2 + 20λ − 16 = 0


−1
λ1,2 = 2 zweifacher Eigenwert; x
f1 = √12  1 ; x
f2 =
0


−1
λ3 = 4 einfacher Eigenwert; f
x3 = √13  1 
1


1
√1  0 
2
1
A nicht symmetrisch → Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten nicht zwingend
orthogonal.
x2 · x
f
f3 = 0 → ⊥; x
f1 · x
f2 6= 0; f
x1 · x
f3 6= 0
3. charakteristische Gleichung: λ3 − 4λ2 + λ + 2 = 0


1
√
λ1 = 1 , x
f1 = √12  0 ; λ2 = 3+2 17 , x
f2 ≈
1


−1
1 
3.561 
x3 ≈ 3.832
f
1


1
1 
0.562 ; λ3 =
1.522
−1
√
3− 17
2
A symmetrisch → Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
x1 · x
f
f2 = 0 → ⊥; x
f1 · x
f3 = 0 → ⊥; x
f2 · f
x3 = 0 → ⊥;
4. charakteristische Gleichung: λ3 − λ2 − 4λ + 4 = 0


 
−1
1
λ1 = 1 , x
f1 = √13  1 ; λ2 = 2, x
f2 = √12  1 ; λ3 = −2 , f
x3 =
1
0


1/2
√2  −1/2 
6
1
A symmetrisch → Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
x1 · x
f
f2 = 0 → ⊥; x
f1 · x
f3 = 0 → ⊥; x
f2 · f
x3 = 0 → ⊥;
94
,
5. charakteristische Gleichung: λ3 − λ2 − 10λ + 10 = 0



−1
√

λ1 = 1 , f
x1 = 23  1/2 ; λ2 = 10 , x
f2 = √ 3 √ 
100+26 10
1


√
3
√
100−26 10
x3 = √
f


5− 10
3
√
4−2 10
3
1
√
5+ 10
3
√
4+2 10
3


1

√

 ; λ3 = − 10 ,
A symmetrisch → Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
x1 · x
f
f2 = 0 → ⊥; x
f1 · x
f3 = 0 → ⊥; x
f2 · f
x3 = 0 → ⊥;
6. charakteristische Gleichung: λ3 − 4λ2 + 2λ = 0




−1
1
√
√
√
λ1 = 0 , f
x1 = √12  0 ; λ2 = 2 + 2 , x
f2 = 21  − 2 ; λ3 = 2 − 2 , x
f3 =
1
1


−1
√
1
2 
2
1
A symmetrisch → Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
x1 · x
f
f2 = 0 → ⊥; x
f1 · x
f3 = 0 → ⊥; x
f2 · f
x3 = 0 → ⊥;
7. charakteristische Gleichung: λ3 − 6λ2 + 6λ = 0
 


−1
1
√
√
√
f2 = √ 1 √  −1 − 3 ; λ2 = 3 − 3 ,
λ1 = 0 , x
f1 = √12  0 ; λ2 = 3 + 3 , x
6+2 3
1
1


−1
√
x2 = √ 1 √  −1 + 3 
f
6+2 3
1
A symmetrisch → Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
x1 · x
f
f2 = 0 → ⊥; x
f1 · x
f3 = 0 → ⊥; x
f2 · f
x3 = 0 → ⊥;
8. charakteristische Gleichung: λ3 − 6λ2 + 4λ = 0




− 2+1√5
−3
√
√

; λ3 = 3− 5
λ1 = 0 , f
x1 = √114  2 ; λ2 = 3+ 5 , x
f2 = q 1 1
−2
5+ (2+√2)2
1
1


1√
− 2− 5

,f
x3 = q 1 1
−2 
5+ (2+√2)2
1
A nicht symmetrisch → Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten nicht zwingend
orthogonal.
x1 · x
f
f2 6= 0; f
x1 · f
x3 6= 0; f
x2 · x
f3 6= 0;
9. charakteristische Gleichung: λ3 − 6λ2 + 7λ + 2aλ − 7a − 4 = 0
(a) Wenn a = −2: A symmetrisch, Eigenvektoren orthogonal




−1
−1
(b) λ1 = 2 , x
f1 = √13  1 ; λ2 = 5 , x
f2 = √16  −2  ; λ3 = −1 , x
f3 =
1
1
 
1
√1  0 
2
1
x
f1 · x
f2 = 0 → ⊥; f
x1 · x
f3 = 0 → ⊥; f
x2 · x
f3 = 0 → ⊥;
10. det(A − λ · E) = (9 + 3j − λ)3 − 25 · (9 + 3j − λ) = 0 ; Substitution z = (9 + 3j − λ) →
z1 = 0, z2 = 5, z3 = −5 ; Rücksubstitution ergibt λ1 , λ2 , λ3 ;
 4 
 3

−5 · j
3
λ1 = 9 + 3j , x
f1 = 35  1 ; λ2 = 4 + 3j , x
f2 = √12  45 · j  ; λ3 = 14 + 3j ,
0
1
 3

·
j
5
x3 = √12  − 45 · j 
f
1
95
11. charakteristische Gleichung: λ3 − 3λ2 − 2λ + 4 = 0


−2j
√
0  ; λ2 = 1 + 5 , x
f2 =
λ1 = 1 , x
f1 = √15 
1
 1 
2j
√
x3 = √210  25 ;
f
1
√2
10


1
2j
√
5
2
1

; λ3 = 1 −
√
5 ,
Realteil symmetrisch, Imaginärteil schiefsymmetrisch → A ist hermetisch →
(a) alle Eigenwerte sind reell
(b) Eigenvektoren sind orthogonal
x
f1 · x
f2 = 0 → ⊥; x
f1 · x
f3 = 0 → ⊥; x
f2 · f
x3 = 0 → ⊥
12. charakteristische Gleichung: λ3 + (−9 − 6j)λ2 + (−28 + 36j)λ + 180 + 40j = 0
 
 2 
3
5j
f2 = √565  − 56 j ; λ3 = −4 + 2j ,
λ1 = 4 + 2j , x
f1 = √110  1  ; λ2 = 9 + 2j , x
0
1
 1 
−4j
x3 = √426  34 j 
f
1
13. charakteristische Gleichung: λ3 − 9λ2 − 16λ + 144 = 0


 1 
−3
−4
f3 =
λ1 = 4 , x
f1 = √110  1 ; λ2 = −4 , f
x2 = √426  − 43  ; λ3 = 9 , x
0
1
√5
65
A symmetrisch →


2
5
6
5
1


(a) ∃ genau 3 lin. unabh. Eigenvektoren
(b) Eigenvektoren sind orthogonal
x
f1 · x
f2 = 0 → ⊥; x
f1 · x
f3 = 0 → ⊥; x
f2 · f
x3 = 0 → ⊥;
14. charakteristische Gleichung: λ3 − 4λ2 + λ + 6 = 0
 1 


−3
−1
f2 = √12  1 ; λ3 = 3 , x
λ1 = −1 , x
f1 = √314  − 23 ; λ2 = 2 , x
f3 =
0
1


1
√1  2 ;
6
1
A nicht symmetrisch → Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten nicht zwingend
orthogonal.
x1 · x
f
f2 6= 0; f
x1 · f
x3 6= 0; f
x2 · x
f3 6= 0;
15. charakteristische Gleichung: λ3 − 2λ2 − λ + 2 = 0
 
 1 
j
−2j
q
λ1 = 2 , x
f1 = √13  1  ; λ2 = −1 , x
f2 = 23  − 12 ; λ3 = 1 , x
f3 =
1
1


−j
√1 
1 ;
2
0
Realteil symmetrisch, Imaginärteil schiefsymmetrisch → A ist hermetisch →
(a) alle Eigenwerte sind reell
(b) Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal
x
f1 · x
f2 = 0 → ⊥; x
f1 · x
f3 = 0 → ⊥; x
f2 · f
x3 = 0 → ⊥
16. charakteristische Gleichung: λ3 − 6λ2 + 9λ − 4 = 0




−j
−j
1 
1 
0  , xf
1 
λ1 = λ2 = 1 , xf
11 = √2
12 = √2
1
0
 
j
λ3 = 4 , x
f3 = √13  1 ;
1
Realteil symmetrisch, Imaginärteil schiefsymmetrisch → A ist hermetisch →
96
(a) alle Eigenwerte sind reell
(b) Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal
xf
f3 = 0 → ⊥; xf
x3 = 0 → ⊥; xf
f
11 · x
12 · f
11 · x
12 6= 0 → nicht orthogonal
17. charakteristische Gleichung: λ3 − 8λ2 + 17λ − 10 = 0




−1
1
λ1 = 1 , λ2 = 2 , λ3 = 5 , f
x1 = √12  0  , x
f2 = √13  −1  , x
f3 =
1
1


1
√1  2 
6
1
Matrix ist symmetrisch→ Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal
Verifizierung:
x
f1 · x
f2 = 0 → ⊥; x
f1 · x
f3 = 0 → ⊥; x
f2 · f
x3 = 0 → ⊥
18. charakteristische Gleichung: λ3 − 3λ2 + (3 + 2a2 )λ − 2a2 − 1 = 0


0
√
√
f1 = √12  −1  , x
f2 =
λ1 = 1 , λ2 = 1 − j · a 2 , λ3 = 1 + j · a 2 , x
1
 √ 
j 2
,x
f3 = 12 
1 
1

√ 
−j 2
1 
1 
2
1
Matrix ist weder symmetrisch noch schiefsymmetrisch → Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind nicht zwingend orthogonal
Prüfung Orthogonalität:
x
f1 · x
f2 = 0 → ⊥; x
f1 · x
f3 = 0 → ⊥; x
f2 · f
x3 = 0 → ⊥
19. A = AT → Matrix symmetrisch → Eigenwerte reell, Eigenvektoren zu verschiedenen
Eigenwerten sind orthogonal
charakteristische Gleichung: λ2 (−λ + 6) = 0
λ1 = 6 , λ
2 = λ
3 = 0 doppelter
 Eigenwert;

2
0
1 
1  , xg
x1 = √16  1  , xg
f
2,1 = √2
2,2 =
1
−1
Prüfung Orthogonalität:


−1
√1 
1 
3
1
x
f1 · xg
x1 · xg
g
g
2,1 = 0 → ⊥; f
2,2 = 0 → ⊥; x
2,1 · x
2,2 = 0 → ⊥
20. A 6= AT → Matrix asymmetrisch → Eigenwerte nicht zwingend reell, Eigenvektoren
zu verschiedenen Eigenwerten nicht zwingend orthogonal
charakteristische Gleichung: −λ3 + 3λ2 − 5λ + 3
√
√
λ1 = 1 , λ
2 = 1+
j 2 , λ3 =
 1 − j 2
1
−1
,x
x1 = √12  1  , x
f
f2 = 12 
f3 =
√1
0
−j 2
Prüfung Orthogonalität:


1
1 

2
√1
j 2
x
f1 · x
f2 = 0 → ⊥; x
f1 · x
f3 = 0 → ⊥; x
f2 · f
x3 = 0 → ⊥
21. charakteristische Gleichung: λ4 − 4λ3 + 5λ2 − 4λ + 4
λ1 = j , λ2 =
−j , λ3 = λ4= 2
3
2
13 ± 13 j


1
26 
,x
xg
1,2 = √1378  15
3
 f3 =
∓
j
26
26
10
2
13 ∓ 13 j



1
 2 

,x
√1 
f4 = 

7  1 
1
97

0
0 

0 
0
22. charakteristische Gleichung: −λ3 + 9λ2 − 24λ + 16
λ1 = 1 , λ
2 = λ
3 = 4
1
x1 = √12  0  , xg
f
2,1 =
1


0
 1 
√2  0  , x
g
2,2 =
5
1
0
1
2


A 6= AT → Matrix asymmetrisch → Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten nicht
zwingend orthogonal
A~v 6= 2~v
23. charakteristische Gleichung: −λ3 + 6λ2 − 9λ + 4
λ1 = 4 , λ
=1
2 = λ3 


 
−1
−1
1
1
1
x1 = √13  −1  , xg
f
g
2,1 = √2  1  , x
2,2 = √6  1 
1
0
2




− √13 − √12 √16
− √13 − √13 √13


√1
√1 
√1
0 
B =  − √13
; B T =  − √12

2
6 
2
1
1
2
1
√
√
√
√
√2
0
3
6
6
6
6


4 0 0
D = B T AB =  0 1 0  ;
A = BDB T
0 0 1
24. A = AT → Matrix symmetrisch → Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind
orthogonal, die Eigenwerte reell;
Rg(A) = 1 → λ1 = λ2 = 0
charakteristische Gleichung: λ2 (3 − λ)
λ1 = 3 , λ
2 = λ
3 = 0

1
1
x1 = √13  1  , xg
f
2,1 = √2 
1
 1

√
√1
− √12
3
6


√1
√1
B =  √13
2
6  ;
√1
0
− √26
3


3 0 0
D = B T AB =  0 0 0  ;
0 0 0

−1
1  , xg
2,2 =
0
 1

BT = 
√
3
− √12
√1
6
A = BDB T
25. (a) richtig
(b) falsch
(c) richtig
98


1
√1  1 
6
−2
√1
3
√1
2
√1
6
√1
3
0
− √26



Kapitel 8
Formelsammlung
Trigonometrische Funktionen:
sin2 (x) + cos2 (x) = 1
sin(x ± y) = sin(x) cos(y) ± cos(x) sin(y)
cos(x ± y) = cos(x) cos(y) ∓ sin(x) sin(y)
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
cos(2x) = 2 cos2 (x) − 1 = 1 − 2 sin2 (x)
Spezielle Werte
x
0
π
6
π
4
π
3
π
2
sin(x)
0
1
2
1√
2
2
1√
3
2
1
cos(x)
1
1√
3
2
1√
2
2
1
2
0
Umrechnungen mit τ = tan
2τ
1 + τ2
1 − τ2
cos(x) =
1 + τ2
2τ
tan(x) =
1 − τ2
sin(x) =
x
2
1 + τ2
2τ
1 + τ2
sec(x) =
1 − τ2
1 − τ2
cot(x) =
2τ
csc(x) =
99
Grundintegrale:
Z
0 dx = C
Z
Z
1
1
xa+1 + C, a 6= −1
dx = ln |x| + C
xa dx =
a+1
x
Z
Z
1 x
a + C, a > 0, a 6= 1
ex dx = ex + C
ax dx =
ln a
Z
Z
sin x dx = − cos x + C
cos x dx = sin x + C
Z
Z
1
1
dx
=
tan
x
+
C
dx = − cot x + C
2
2
cos x
Z
Z sin x
sinh x dx = cosh x + C
cosh x dx = sinh x + C
Z
Z
1
1
dx
=
tanh
x
+
C
dx = − coth x + C
2
cosh x
sinh2 x
Z
1
dx = arctan x + C
1 + x2
(
Z
1
1 1 + x Artanh x + C, |x| < 1
dx = ln +C =
2
1−x
2
1−x
Arcoth x + C, |x| > 1
Z
1
√
dx = arcsin x + C, |x| < 1
1 − x2
Z
p
1
√
dx = Arcosh x + C = ln(x + x2 − 1) + C, x > 1
2
x −1
Z
p
1
√
dx = Arsinh x + C = ln(x + x2 + 1) + C
1 + x2
Laplace - Transformation
f (t) = 1
❝
s
F (s) =
f (t) = ea t
❝
s
F (s) =
f (t) = cos(ωt)
❝
s
F (s) =
f (t) = sin(ωt)
❝
s
F (s) =
f (t) = cosh(at)
❝
s
F (s) =
f (t) = sinh(at)
❝
s
F (s) =
100
1
,
s
1
,
s−a
s
,
s2 + ω 2
ω
,
2
s + ω2
s
,
s2 − a2
a
,
s2 − a2
ℜ(s) > 0
ℜ(s − a) > 0
ℜ(s) > 0, ω ∈ R
ℜ(s) > 0, ω ∈ R
ℜ(s − |a|) > 0, a ∈ R
ℜ(s − |a|) > 0, a ∈ R
Kapitel 9
Abbildungen
1. Ungleichungen
3
2
1
0
−3
−2
−1
0
1
3
2
x
−1
y
−2
−3
Abbildung 9.1: Ungleichungen, Aufgabe 21: Skizze der Funktionen
5
4
3
2
1
0
−5
−4
−3
−2
x
−1
0
−1
1
2
3
4
5
−2
y
−3
−4
−5
Abbildung 9.2: Ungleichungen, Aufgabe 22: Skizze der Funktionen
10
5
0
−20
−15
−10
−5
0
5
x
−5 y
−10
f(x)
g(x)
Abbildung 9.3: Ungleichungen, Aufgabe 23: Skizze der Funktionen
101
15
10
5
0
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
x
−5
y
−10
−15
Abbildung 9.4: Ungleichungen, Aufgabe 24: Skizze der Funktionen
20
15
y 10
5
0
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
x
−5
−10
Abbildung 9.5: Ungleichungen, Aufgabe 25: Skizze der Funktionen
10
8
6
4
2
0
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
−2
x
−4
y
−6
−8
−10
Abbildung 9.6: Ungleichungen, Aufgabe 26: Skizze der Funktionen
40
32
24
16
8
0
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
−8
x
−16
y
−24
−32
−40
Abbildung 9.7: Ungleichungen, Aufgabe 27: Skizze der Funktionen
102
20
16
12
8
4
0
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
−4
x
−8
y
−12
−16
−20
Abbildung 9.8: Ungleichungen, Aufgabe 28: Skizze der Funktionen
20
16
12
8
4
0
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
−4
x
−8
y
−12
−16
−20
Abbildung 9.9: Ungleichungen, Aufgabe 29: Skizze der Funktionen
10
5
0
−10
−8
−6
−4
0
−2
2
4
6
8
10
x
y −5
−10
Abbildung 9.10: Ungleichungen, Aufgabe 30: Skizze der Funktionen
2. Komplexe Zahlen
Abbildung 9.11: Komplexe Zahlen, Aufgabe 2 a: Lage Bereich
103
Abbildung 9.12: Komplexe Zahlen, Aufgabe 5 a: Lage Bereich
Abbildung 9.13: Komplexe Zahlen, Aufgabe 6 b: Lage im Kreis
0.5
0.25
0.0
−0.5
−0.25
0.0
0.25
0.5
x
−0.25
y
−0.5
Abbildung 9.14: Komplexe Zahlen, Aufgabe 13 b: Lage der Lösungen
1.0
0.5
0.0
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
x
−0.5
y
−1.0
Abbildung 9.15: Komplexe Zahlen, Aufgabe 14 b: Lage der Lösungen
104
1.0
0.5
0.0
−1.0
−0.5
0.0
1.0
0.5
x
−0.5
y
−1.0
Abbildung 9.16: Komplexe Zahlen, Aufgabe 15 b: Lage der Lösungen
2.0
1.6
1.2
0.8
0.4
0.0
−2
−1
−0.4
x
0
1
2
−0.8
y
−1.2
−1.6
−2.0
Abbildung 9.17: Komplexe Zahlen, Aufgabe 16 b: Lage der Lösungen
1.5
1.0
0.5
0.0
−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
x
−0.5
y
−1.0
−1.5
Abbildung 9.18: Komplexe Zahlen, Aufgabe 17 b: Lage der Lösungen
1.5
1.0
0.5
0.0
−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
x
−0.5
y
−1.0
−1.5
Abbildung 9.19: Komplexe Zahlen, Aufgabe 18 b: Lage der Lösungen
105
1.5
1.0
0.5
0.0
−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
x
−0.5
y
−1.0
−1.5
Abbildung 9.20: Komplexe Zahlen, Aufgabe 19: Lage der Lösungen
Abbildung 9.21: Komplexe Zahlen, Aufgabe 20 a: Menge in der komlexen Ebene
106
Abbildung 9.22: Komplexe Zahlen, Aufgabe 20 b: Lage der Lösungen
5
4
3
2
1
0
−5
−4
−3
x
−2
−1
0
−1
1
2
3
4
5
−2
y
−3
−4
−5
Abbildung 9.23: Komplexe Zahlen, Aufgabe 21 a: Durchschnittsmenge der Mengen M1 und
M2
107
1.0
0.5
−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0.0
−0.5
−1.0
−1.5
Abbildung 9.24: Komplexe Zahlen, Aufgabe 23: Spirale
3. Fourier-Reihen
Abbildung 9.25: Fourierreihen, Aufgabe 9: Skizze der Koeffizienten für a=1
4. Funktionen mehrerer Variabler
3
2
1
0
−3
−1
−2
0
x
1
2
3
−1
y
−2
−3
Abbildung 9.26: Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 13: Gebiet B
108
5.0
2.5
0.0
−6
−5
−4
−3
−2
0
−1
2
1
3
5
4
6
x
−2.5
y
−5.0
Abbildung 9.27: Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 15: Gebiet B
7.5
5.0
y
2.5
0.0
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
−2.5
−5.0
Abbildung 9.28: Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 17: Gebiet B
60
50
40
y 30
20
10
0
−2
−1
0
1
2
3
4
5
x
Abbildung 9.29: Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 19: Gebiet A
Abbildung 9.30: Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 21: Gebiet B
109
Abbildung 9.31: Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 24: Gebiet B
Abbildung 9.32: Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 27a: Gebiet B (für a = 2)
Abbildung 9.33: Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 27b: Gebiet B
110
3.0
2.5
2.0
y 1.5
1.0
0.5
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
x
Abbildung 9.34: Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 30a: Gebiet B
1.0
0.5
0.0
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
−0.5
−1.0
Abbildung 9.35: Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 30b: Gebiet B
111
Abbildungsverzeichnis
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
9.10
9.11
9.12
9.13
9.14
9.15
9.16
9.17
9.18
9.19
9.20
9.21
9.22
9.23
9.24
9.25
9.26
9.27
9.28
9.29
9.30
9.31
9.32
9.33
9.34
9.35
Ungleichungen, Aufgabe 21: Skizze der Funktionen . . . . . . . . . . . . .
Ungleichungen, Aufgabe 22: Skizze der Funktionen . . . . . . . . . . . . .
Ungleichungen, Aufgabe 23: Skizze der Funktionen . . . . . . . . . . . . .
Ungleichungen, Aufgabe 24: Skizze der Funktionen . . . . . . . . . . . . .
Ungleichungen, Aufgabe 25: Skizze der Funktionen . . . . . . . . . . . . .
Ungleichungen, Aufgabe 26: Skizze der Funktionen . . . . . . . . . . . . .
Ungleichungen, Aufgabe 27: Skizze der Funktionen . . . . . . . . . . . . .
Ungleichungen, Aufgabe 28: Skizze der Funktionen . . . . . . . . . . . . .
Ungleichungen, Aufgabe 29: Skizze der Funktionen . . . . . . . . . . . . .
Ungleichungen, Aufgabe 30: Skizze der Funktionen . . . . . . . . . . . . .
Komplexe Zahlen, Aufgabe 2 a: Lage Bereich . . . . . . . . . . . . . . . .
Komplexe Zahlen, Aufgabe 5 a: Lage Bereich . . . . . . . . . . . . . . . .
Komplexe Zahlen, Aufgabe 6 b: Lage im Kreis . . . . . . . . . . . . . . .
Komplexe Zahlen, Aufgabe 13 b: Lage der Lösungen . . . . . . . . . . . .
Komplexe Zahlen, Aufgabe 14 b: Lage der Lösungen . . . . . . . . . . . .
Komplexe Zahlen, Aufgabe 15 b: Lage der Lösungen . . . . . . . . . . . .
Komplexe Zahlen, Aufgabe 16 b: Lage der Lösungen . . . . . . . . . . . .
Komplexe Zahlen, Aufgabe 17 b: Lage der Lösungen . . . . . . . . . . . .
Komplexe Zahlen, Aufgabe 18 b: Lage der Lösungen . . . . . . . . . . . .
Komplexe Zahlen, Aufgabe 19: Lage der Lösungen . . . . . . . . . . . . .
Komplexe Zahlen, Aufgabe 20 a: Menge in der komlexen Ebene . . . . . .
Komplexe Zahlen, Aufgabe 20 b: Lage der Lösungen . . . . . . . . . . . .
Komplexe Zahlen, Aufgabe 21 a: Durchschnittsmenge der Mengen M1 und
Komplexe Zahlen, Aufgabe 23: Spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fourierreihen, Aufgabe 9: Skizze der Koeffizienten für a=1 . . . . . . . . .
Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 13: Gebiet B . . . . . . . . . . .
Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 15: Gebiet B . . . . . . . . . . .
Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 17: Gebiet B . . . . . . . . . . .
Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 19: Gebiet A . . . . . . . . . . .
Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 21: Gebiet B . . . . . . . . . . .
Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 24: Gebiet B . . . . . . . . . . .
Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 27a: Gebiet B (für a = 2) . . . .
Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 27b: Gebiet B . . . . . . . . . .
Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 30a: Gebiet B . . . . . . . . . .
Funktionen mehrerer Variabler, Aufgabe 30b: Gebiet B . . . . . . . . . .
112
. . 101
. . 101
. . 101
. . 102
. . 102
. . 102
. . 102
. . 103
. . 103
. . 103
. . 103
. . 104
. . 104
. . 104
. . 104
. . 105
. . 105
. . 105
. . 105
. . 106
. . 106
. . 107
M2 107
. . 108
. . 108
. . 108
. . 109
. . 109
. . 109
. . 109
. . 110
. . 110
. . 110
. . 111
. . 111