Ferienkurs Experimentalphysik 2 - TUM

Technische Universität München
Department of Physics
Ferienkurs - Experimentalphysik 2
Dienstag
Daniel Jost
Datum 21/08/2012
Inhaltsverzeichnis
1 Magnetostatik
1.1 Feldgleichungen der Magnetostatik
1.2 Das Vektorpotential . . . . . . . . . .
1.3 Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Das Amperesche Gesetz . . . . . . .
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1
1
1
2
2
2 Zeitlich veränderliche Felder
2.1 Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Selbstinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Energie im magnetischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4
4
5
3 Wechselstromkreise und Impedanz
3.1 Die Induktivität . . . . . . . . .
3.2 Der Ohmsche Widerstand . . .
3.3 Der Kondensator . . . . . . . .
3.4 Schwingkreis . . . . . . . . . .
6
6
7
7
7
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4 Kräfte in elektrischen und magnetischen Feldern
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8
1
Magnetostatik
1 Magnetostatik
Zu Beginn noch ein Mal die
Definition 1.1. Maxwellgleichungen:
~ · ~E = ρ
∇
e0
~
~ × ~E = − ∂ B
∇
∂t
~ · ~B = 0
∇
~
~ × ~B = µ0 · ~j + 1 ∂ E
∇
2
c ∂t
(1)
und die Kraft
~F = q · (~E + ~v × ~B)
(2)
1.1 Feldgleichungen der Magnetostatik
Man folgt derselben heuristischen Argumentation wie bei der Elektrostatik. Durch Zeitunabhängigkeit der Stromdichte und der Ladungsdichte entkoppeln sich die entsprechenden Feldgleichungen für elektrische und magnetische Felder. Für die Magnetostatik
gilt dann insbesondere:
~ · ~B = 0
~ × ~B = µ0 · ~j
∇
∇
(3)
Die Divergenz des Magnetfeldes ist immer Null. Das bedeutet in erster Konsequenz,
dass dieses Vektorfeld keine Quellen und Senken besitzt und somit keine magnetischen
Monopole existieren. Außerdem lässt sich der Fluss durch eine Oberfläche definieren
(Satz von Gauß).
Z
~
~B · d A
Φm =
(4)
A
Das bedeutet, dass jedes Wegintegral entlang des magnetischen Feldes verschwindet,
also dass insbesondere die Linien des Magnetfeldes mehr oder minder nirgendwo
„anfangen“ oder „aufhören“. Die Linien sind also geschlossen. Auf eine Probeladung q
mit der Geschwindigkeit ~v wirkt in einem Magnetfeld ~B die Kraft
~F = q · ~v × ~B
(5)
~ die
Zusätzlich formuliert man in der Magnetostatik noch die magnetische Erregung H,
mit
~ = µ0~B
H
(6)
gegeben ist.
1.2 Das Vektorpotential
Im Fall der Elektrostatik war es möglich ein elektrisches Potential Φ zu finden. Magnetische Felder in der Magnetostatik sind jedoch nicht konservativ, die Rotation
1
1
Magnetostatik
verschwindet nicht. Man kann sich allerdings mit dem sogenannten Vektorpotential
behelfen, das definiert wird als
~ ×A
~ = ~B
∇
(7)
Warum, wieso, weshalb man das jetzt wieder macht, wird in epischer Breite in der
theoretischen Elektrodynamik abgehandelt. Festhalten sollte man nur, dass dieses
~ · ~B = 0 erfüllt1 .
Vektorpotential ∇
1.3 Biot-Savart
Wieder die Analogie zur Elektrostatik: Es ist möglich aus einer beliebigen Ladungsverteilung das Potential aus der Poissongleichung zu bestimmen. Für das magnetische
Feld findet man
Z ~ 0
j(~r )
~ (~r ) = µ0
A
dV
(8)
4π
|~r −~r 0 |
~ ×A
~ = ~B kann man folgern
Aus ∇
~B(~r ) = µ0
4π
Z ~ 0
j(~r ) × (~r −~r 0 )
|~r −~r 0 |3
dV
(9)
Klausurrelevant ist lediglich die vereinfachte Variante dieses Monsters für dünne,
unendlich lange Drähte, da alles andere zu mehr oder minder schwierigen Integralen
führt:
Z
0
~B(~r ) = µ0 · I · d~r × (~r −~r )
(10)
4π
|~r −~r 0 |3
1.4 Das Amperesche Gesetz
Bezüglich der Klausurrelevanz ist das Amperesche Gesetz von besonderer Bedeutung.
Aufgaben lassen sich entweder mit Biot-Savart oder dem Ampereschen Gesetz lösen.
Welches von beiden sinnvoller ist, ist abhängig von dem zu Grunde gelegten Problem.
Für eine Stromdichte ~j(~r ), die eine Querschnittsfläche A durchläuft, lässt sich die zweite
Maxwellgleichungen der Magnetostatik mit dem Satz von Stokes umformen. Zunächst
ergibt sich
Z
~ × ~Bd A
~ = µ0
∇
Z
I
~jd A
~
A
A
~jd A
~
und dann
~Bd~s = µ0
∂A
1 Vektoranalysis:
~ =0
divrot A
2
Z
A
(11)
2
Zeitlich veränderliche Felder
Ein Beispiel: Ein unendlich langer, dünner Leiter wird von einem Strom der Stärke
I durchflossen. Zunächst der Ansatz des Magnetfeldes. Die Rechte-Hand-Regel gibt
für die vorgegeben Stromrichtung ~B = B~e ϕ 2 . Mit 11 ergibt sich auf der linken Seite das
Integral über den Rand eines Kreises mit Radius r.
Abbildung 1: Bsp.: Unendlich langer, dünner Leiter
Z 2π
0
dϕ
Z r
0
drB(r ) = 2πrB(r )
Insgesamt erhält man so für die magnetische Feldstärke
B (r ) =
µ0 I
2πr
~B(~r ) = µ0 I ~e ϕ
2πr
Man könnte als Integrationsweg alles mögliche wählen. Aus der Maxwellgleichung
geht allerdings auch hervor, dass man ein von Null verschiedenes Magnetfeld findet,
wenn das Integrationsgebiet den Ort nicht beinhaltet, an dem der Strom fließt.
2 Zeitlich veränderliche Felder
Bis hierhin wurden zeitlich konstante Felder betrachtet, also insbesondere Fälle, in
denen ∂ρ/∂t = 0 und ∂~j/∂t = 0. In der Elektrostatik wurde der Kondensator als technische Realisierung statischer elektrischer Felder besprochen. Ähnliche Überlegungen
kann man nun mit Spulen anstellen.
2 kann
~ × ~B = µ0~j begründet werden
mit ∇
3
2
Zeitlich veränderliche Felder
2.1 Induktionsgesetz
Betrachtet
der Maxwellgleichungen, insbesondere mit der Kopplung des elektrischen und magnetischen Feldes durch Differentialgleichungen erster Ordnung. Maxwell formulierte
diese Gleichung
~
~ × ~E = − ∂ B
∇
(12)
∂t
nachdem er sich bemühte aus einem Magnetfeld Strom zu erzeugen. Man nennt 12 auch
Induktionsgesetz. Betrachtet man nun also eine Spule mit einer Windung, die die Fläche
A umschließt, so interessiert man sich vielleicht für den expliziten Zusammenhang
zwischen elektrischem und Magnetfeld. Integriert man über die Fläche, so findet man
für die linke Seite mit dem Satz von Stokes
Z
A
~ × ~E =
∇
I
~E d~s
∂A
einen Ausdruck für die Spannung in der Spule. Insgesamt also:
I
~E = −
Z
A
∂A
∂~
~
B · dA
∂t
(13)
Das Induktionsgesetz in der Form, es bekannter sein dürfte, beinhaltet die totale
Ableitung vor dem Integral:
Uind
d
=−
dt
Z
~ = − dΦm
~B · d A
dt
A
(14)
Die totale Zeitableitung des Integrals liefert eigentlich noch einen zusätzlichen Term,
der einen Beitrag auf der linken Seite erzeugt. Daher spricht man vom effektiven
elektrischen Feld. Es spielt für uns hier und heute keine Rolle, weil es ja lediglich um
die Rechnung geht, aber wichtig ist, dass das elektrische Feld in diesem Zusammenhang
etwas schlampig verwendet wird. Gleichung 14 muss man sich für die Rechnungen
merken. Für eine Spule mit N Windungen, ist die Induktionsspannung
Uind = − N
d
dt
Z
~ = − N dΦm
~B · d A
dt
A
(15)
2.2 Selbstinduktion
Eine qualitative Diskussion lässt sich auch darüber führen, was passiert, wenn man nun
den Strom in einer Spule verändert. Tatsächlich findet man, dass die Stromänderung
direkt proportional zur Magnetfeldänderung bzw. zum magnetischen Fluss ist, also
Φm = L · I
4
(16)
2
Zeitlich veränderliche Felder
mit der Induktivität L der Spule. Eingesetzt in 14 erhält man die Spannung
Uind = − L ·
dΦm
dI
= −L ·
dt
dt
(17)
Betrachtet man nun beispielsweise eine Spule, die mit einem Widerstand R in Reihe
geschaltet und mit einer Spannungsquelle U0 verbunden ist. Die Differentialgleichung,
die diesen Aufbau beschreibt, ist
U0 − L ·
dI
−R·I = 0
dt
Die Lösung dieser DGL ist
U0
I (t) =
(1 − exp[−
R
R
t])
L
(18)
Zu beachten sind hier die Vorzeichen: Formal richtig ist es, die Spule als Spannungsquelle zu interpretieren. Daher wird sie positiv gezählt. Das negative Vorzeichen kommt
durch Gleichung 17. Deutlich wird das, wenn man die Spannungsquelle aus dem
Aufbau herausnimmt: Die geladene Spule ist nun in der Tat eine Spannungsquelle. Die
DGL wird zu
−L ·
dI
dI
−R·I = 0 ⇔ L·
+R·I = 0
dt
dt
Die Lösung dieser Gleichung ist
R
t]
I (t) = I0 · exp[−
L
(19)
Das heißt also, dass sich die Spule nach dieser Gleichung durch den Widerstand entlädt.
2.3 Energie im magnetischen Feld
Beim Kondensator wird eine elektrisches Feld generiert, das Energie speichert. Analog
dazu findet man auch die Energie, die vom Magnetfeld einer Spule gespeichert wird.
Das Beispiel, das wir gerade besprochen haben, liefert ein Möglichkeit die Energie
zu berechnen.Man entlädt die Spule über den Widerstand R. Für die Leistung gilt
P(t) = U · I = R · I 2 Die dabei entstehende Energie ist dann
Wmagn =
Z ∞
0
P(t)dt =
Z ∞
5
0
dtR · I 2 (t) =
1 2
LI
2 0
(20)
3
Wechselstromkreise und Impedanz
3 Wechselstromkreise und Impedanz
Bis jetzt wurde quantifiziert, was eine Änderung der Stromstärke oder des Potentialgefälles für Auswirkungen auf elektrische Felder hat. Richtungsänderungen sind natürlich
zulässig. Technisch spricht man von Wechselspannungen, die in periodischen Zeitabständen die Polung der Spannungsquelle ändern. Die einfachsten zu diskutierenden
Fälle sind sinus- und cosinusförmige Eingangsspannungen, also etwa
U (t) = U0 cos(ωt)
Die Kreisfrequenz ω = 2π f ist konstant. Manchmal ist es einfacher die komplexe
Schreibweise für die Wechselspannung einzuführen 3 , also
U (t) = Û · exp[iωt]
mit der komplexen, zeitunabhängigen Amplitude Û. Der Realteil der komplexen
Funktion liefert die tatsächliche zeitabhängige Spannung. Ebenso kann man mit dem
Strom verfahren, hier ohne Phasenverschiebung:
I (t) = Î · exp[iωt]
Die Diskussion über Wechselstromkreise nutzen wir nun noch ein Mal, um uns mit
der Induktivität, der Kapazität und dem ohmschen Widerstand im Hinblick auf ihr
Verhalten bei Anlegen einer Wechselspannung vertraut zu machen. Bei Gleichstromschaltungen konnte festgestellt werden, dass es bei Durchlaufen eines Widerstands 4
zu einem Spannungsabfall kommt. Bei Wechselspannungen kommt es hingegen zu
einer Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom. Man definiert dann die so
genannte Impedanz:
U
Û
(21)
Z=
=
I
Î
Sie ist gewöhnlich von der Frequenz ω abhängig.
3.1 Die Induktivität
Die Induktivität, wie sie vorhin bereits definiert wurde, kann hergestellt werden, indem
ein Draht mit vielen Windungen zu einer Spule gewickelt wird und die Enden an
Kontakte anschließt. Idealisiert man diesen Versuchsaufbau, indem man annimmt,
dass das Magnetfeld, das in der Spule entsteht, nicht mit dem restlichen Stromkreis
wechselwirkt, so findet man mit 21 und dem Zusammenhang
U (t) = L ·
dI (t)
= Liω Î exp(iωt)
dt
3 Gauß:
exp[i (ωt − ϕ)] = cos(ωt − ϕ) + i sin(ωt − ϕ)
diesem Kontext ist damit nicht nur der ohmsche Widerstand gemeint, sondern auch die Spuleninduktivität und Kondensatorkapazität
4 In
6
3
Wechselstromkreise und Impedanz
die Impedanz einer Spule
ZL = iωL
(22)
3.2 Der Ohmsche Widerstand
Die gleiche Überlegung wie bei der Spule kann man nun mit einem ohmschen Widerstand mit U (t) = R · I (t) anstellen. Die Impedanz ist dann
ZR = R
(23)
also insbesondere reell und unabhängig von ω, das heißt die Spannung durch einen
Widerstand ist in Phase mit dem Strom.
3.3 Der Kondensator
Die Kapazität eines Kondensators ist natürlich immer noch C = Q/U. Einsetzen in 21
liefert
1
ZC =
(24)
iωC
3.4 Schwingkreis
Betrachtet man nun einen Schwingkreis wie in 2, dann findet man mit den Kirchhoff-
Abbildung 2: Schwingkreis mit Widerstand R, Kapazität C, Induktivität L
schen Regeln eine Differentialgleichung der Form
L
Q
dI
+ + RI = 0
dt
C
(25)
Das entspricht der Differentialgleichung eines gedämpften harmonischen Oszillators.
Die Lösung wird in der Übung besprochen.
7
Literatur
4 Kräfte in elektrischen und magnetischen Feldern
Betrachtet man noch ein Mal die Kraft aus Gleichung 2, die auf ein Teilchen der Ladung
q mit Geschwindigkeit ~v in einem elektrischen Feld ~E und einem Magnetfeld ~B wirkt:
~F = q(~E + ~v × ~B)
Es sei hier angemerkt, dass, nur weil es sich um elektrodynamische Größen handelt,
sich automatisch die Physik, die man bereits kennt, nicht von diesen Gleichungen
entkoppelt. Für Geschwindigkeiten v << c gilt hier immer noch, dass beispielsweise
m~a = ~F
Auch gilt entgegen weitläufiger Meinungen immer noch der Energieerhaltungssatz.
Wenn also noch ein Mal so eine Transferaufgabe wie in der Klausur dran kommt, dann
denkt bloß nicht zu kompliziert. Die sind meistens wirklich nett gestellt! Noch eine
recht nützliche Formel zur Berechnung der Kraft findet man, wenn man einen geraden
Draht der Länge L in einem Magnetfeld betrachtet:
~
~F = q~v × ~B = I · t L × ~B
t
Wenn der Draht irgendwelche Kurven beschreibt, verwendet man diese Gleichung auch
gerne infinitesimal mit
d~F = I · d~L × ~B
Literatur
[1] The Feynman Lectures on Physics - Feynman/Leighton/Sands
[2] Experimentalphysik 2 - Demtröder
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