Besondere Dreiecke

Besondere Dreiecke
Gleichschenkliges Dreieck:
Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten nennt man gleichschenklig.
Die beiden gleich langen Seiten werden Schenkel genannt, die dritte Seite Basis.
Der Schnittpunkt der Schenkel heißt Spitze, die beiden an der Basis anliegenden
Innenwinkel nennt man Basiswinkel.
Die beiden Basiswinkel sind gleich groß.
Jedes achsensymmetrische Dreieck und jedes Dreieck mit zwei gleich großen Winkeln
ist ein gleichschenkliges Dreieck.
Rechtwinkliges Dreieck:
Ein Dreieck mit einem rechten Innenwinkel nennt man rechtwinkliges Dreieck.
Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite heißt Hypotenuse, die beiden
anliegenden Dreieckseiten nennt man Katheten.
Die Hypotenuse ist immer die längste Seite im Dreieck.
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Gleichseitiges Dreieck:
Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten nennt man gleichseitiges Dreieck.
Die Winkelhalbierenden jedes Innenwinkels stellen die drei Symmetrieachsen dar.
Alle drei Innenwinkel öffnen sich mit 60°.
a
a
a
Durch die Konstruktion eines beliebigen gleichseitigen Dreiecks lässt sich leicht ein 60°
Winkel konstruieren:
r
r
r
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Beispielaufgaben:
1. Es soll ein Dreieck DEC, vom Dreieck ABC ausgehend gezeichnet werden. Die
Winkel α = 60° und β = 80° sind gegeben. Die abgebildete Skizze ist eine
Überlegungsfigur und somit nicht maßstabsgetreu.
a) Begründe, dass ɛ = 40° gilt.
b) Berechne δ.
2. Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt das Dreieck ABC, dessen Eckpunkte
auf der Kreislinie um den Umkreismittelpunkt M liegen. M liegt auf der Strecke AB.
Die Gerade g ist eine Tangente an den Kreis und berührt diesen im Punkt C.
a) Gib die Größe von α und ε an. Nenne zu jeder Antwort ein begründendes Stichwort.
b) Berechne μ.
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Lösungen:
1.a)
Zwei Winkel, die zusammen eine gerade Linie bilden haben zusammen immer 180°.
180° - β = γ
180° – 80° = 100°
Da das Dreieck BEC gleichschenklig ist, sind auch beide Basiswinkel gleich groß.
→ γ + 2*ε = 180°
→ ( 180°- γ ) / 2 = ε
( 180° - 100° ) / 2 = 40°
b) Gleich Rechnung wie bei a)
180° - α = ζ
180° - 60° = 120°
( 180° - ζ ) / 2 = δ
( 180° - 120° ) / 2 = 30°
2.a) Gleichschenkliges Dreieck AMC durch Umkreis
→ α = 30°
Innenwinkelsumme
→ ε = 120°
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b)
180° - 2*δ = ζ
180° - 120° = 60°
ζ = 60°
MBC ist ein gleichschenkliges Dreieck:
( 180° – 60° ) / 2 = 60°
δ = 60°
Damit ist MBC sogar gleichseitig.
Die Strecke MC ist der Radius des Kreises. Die Tangente g schneidet C nur in einem
Punkt.→ MC fungiert als Lot auf g. Also gibt es dort einen rechten Winkel.
δ + μ = 90°
90°- 60° = 30°
μ = 30°
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