Ubungen zur Geometrie — Blatt 7 - Fachbereich Mathematik und
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Universität Konstanz Fachbereich Mathematik Dr. Florian Berchtold Übungen zur Geometrie — Blatt 7 Abgabe: Donnerstag, 20.7.2017, vor der Vorlesung Aufgabe 7.1 Für den hyperbolischen Abstand d : H × H → R≥0 zeige man a) gilt z ∈ iR>0 und w ∈ H, so hat man cosh(d(z, w)) = |z|2 + |w|2 , 2Im(z)Im(w) b) für z, w ∈ H mit Im(w) ̸= Im(z) gilt ( ) ( ) Im(w) |w − z| log Im(w) ≤ d(z, w) ≤ · log . Im(z) Im(w) − Im(z) Im(z) Wie lautet die entsprechende Ungleichung für den Fall Im(w) = Im(z)? Aufgabe 7.2 Es seien A := −1 + 2i, B := i sowie C := 1 + 2i Punkte der hyperbolischen Ebene H. a) Zeigen Sie, dass das hyperbolische Dreieck ABC gleichseitig ist und geben Sie die Werte aller Innenwinkel an. b) Geben Sie eine Möbiustransformation M so an, dass M (A)M (B)M (C) ein hyperbolisches Dreieck in kanonischer Lage ist. c) Zeigen Sie, dass ABC einen hyperbolischen Umkreis besitzt und geben Sie dessen Mittelpunkt und Radius an. Aufgabe 7.3 Man zeige, dass in der hyperbolischen Geometrie das Axiom von Pasch gilt: Es seien A, B, C ∈ H drei Punkte nicht auf einer hyperbolischen Geraden, g eine hyperbolische Gerade, die AB schneidet und C nicht enthält. Dann schneidet g entweder BC oder AC. Aufgabe 7.4 Es seien z, w, a ∈ H paarweise verschieden. Man zeige, dass a genau dann auf der hyperbolischen Gerade durch z und w liegt, wenn a−z · (w − z̄) ∈ iR gilt. a−w Universität Konstanz Fachbereich Mathematik Dr. Florian Berchtold Übungen zur Geometrie — Blatt 7 Abgabe: Dienstag (wegen des Feiertags!!), 2.6.2015, vor der Vorlesung Aufgabe 7.1 Für den hyperbolischen Abstand d : H × H → R≥0 zeige man a) gilt z ∈ iR>0 und w ∈ H, so hat man cosh(d(z, w)) = |z|2 + |w|2 , 2Im(z)Im(w) b) für z, w ∈ H mit Im(w) ̸= Im(z) gilt ( ) ( ) Im(w) |w − z| log Im(w) ≤ d(z, w) ≤ · log . Im(z) Im(w) − Im(z) Im(z) Wie lautet die entsprechende Ungleichung für den Fall Im(w) = Im(z)? Aufgabe 7.2 Es seien A := −1 + 2i, B := i sowie C := 1 + 2i Punkte der hyperbolischen Ebene H. a) Zeigen Sie, dass das hyperbolische Dreieck ABC gleichseitig ist und geben Sie die Werte aller Innenwinkel an. b) Geben Sie eine Möbiustransformation M so an, dass M (A)M (B)M (C) ein hyperbolisches Dreieck in kanonischer Lage ist. c) Zeigen Sie, dass ABC einen hyperbolischen Umkreis besitzt und geben Sie dessen Mittelpunkt und Radius an. Aufgabe 7.3 Man zeige, dass in der hyperbolischen Geometrie das Axiom von Pasch gilt: Es seien A, B, C ∈ H drei Punkte nicht auf einer hyperbolischen Geraden, g eine hyperbolische Gerade, die AB schneidet und C nicht enthält. Dann schneidet g entweder BC oder AC. Aufgabe 7.4 Es seien z, w, a ∈ H paarweise verschieden. Man zeige, dass a genau dann auf der hyperbolischen Gerade durch z und w liegt, wenn a−z · (w − z̄) ∈ iR gilt. a−w
