2. Isotropie Sei V ein K-Vektorraum und sei dim K V =: n. In K gelte: 1

2. Isotropie
Sei V ein K-Vektorraum und sei dimK V =: n. In K gelte: 1 + 1 6= 0. Seien weiterhin β eine
symmetrische Bilinearform über V und q die assoziierte quadratische Form.
Definition 1: Isotropie
Ein Vektor, für den β(v, v) = 0 (bzw. q(v) = 0) gilt, nennen wir isotrop.
Enthält ein Unterraum keinen isotropen Vektor, nennen wir ihn anisotrop.
Enthält ein Unterraum mindestens einen isotropen Vektor, heißt er isotrop.
Enthält ein Unterraum nur isotrope Vektoren, so nennen wir ihn total isotrop.
Satz 2: (Hyperbolische Ebenen)
Sei V isotrop, nicht ausgeartet und gelte dimK V = 2.
Dann existieren Vektoren u, v ∈ V mit β(u, u) = 0 β(v, v) = 0 β(u, v) = 1.
Diese sind linear unabhängig, also eine Basis von V .
Definition 3:
Wir nennen einen zweidimensionalen, isotropen, nicht ausgearteten quadratischen Raum V
hyperbolische Ebene. Eine Basis der o.g. Art heiße hyperbolische Basis.
Die Matrix
0 1
!
1 0
stellt β über einer hyperbolischen Basis dar.
Definition 4:
Ist V die orthogonale Summe hyperbolischer Ebenen Hi
V = H1 ⊥ . . . ⊥Hr
so nennen wir V einen hyperbolischen Raum.
Sei (ui , vi ) Basis von Hi , so ist (u1 , v1 , . . . , ur , vr ) Basis von V, die wir hyperbolische Basis
von V nennen.
Zwei hyperbolische Räume sind genau dann isometrisch, wenn sie die gleiche Dimension besitzen.
Satz: (Orthogonale Zerlegung)
Ein nicht ausgearteter quadratischer Raum (V, q) besitzt eine orthogonale Zerlegung der Gestalt:
V = H1 ⊥ . . . ⊥Hm ⊥W
mit hyperbolischen Ebenen Hi und W einem anisotropen Teilraum von V . Diese Zerlegung
ist bis auf Isometrie eindeutig bestimmt. Insbesondere ist also m eine Invariante von (V, q).
Wir nennen sie den Index von q. Weiterhin nennen wir (W, qW ) den anisotropen Kern von
(V, q).
Jeder maximale total isotrope Teilraum von V besitzt die Dimension m.
(V, q) ist hyperbolisch genau dann, wenn m =
dimK V
2
.
Alle maximalen hyperbolischen Unterräume von V haben die Dimension 2m.
Jeder isotrope Vektor liegt in einem maximalen hyperbolischen Teilraum von V .
Proseminar Lineare Algebra, Isotropie
Marc Lange, 31.10.06