¨Ubungen zur Plasmaphysik SS2017, Prof. A. Melzer Zettel 4

Übungen zur Plasmaphysik
SS2017, Prof. A. Melzer
Zettel 4
1. Coulombstöße: (2 P)
Beim Tokamak ist das Plasma die torusförmige Sekundärwicklung in einem Transformator. Das induzierte elektrische Feld betrage 0,1 V/m, die Dichten der Elektronen und
Ionen sei ne,i = 1020 m−3 (der Coulomblogarithmus sei etwa ln Λ = 17).
a) Wie groß ist die Stromdichte bei Te = 104 eV? Welcher Strom fließt dann durch einen
1 m2 großen Querschnitt des Plasmas?
b) Welche kritische Geschwindigkeit ve muß ein Elektron haben, damit es zu einem
“runaway”-Elektron wird? Wie groß ist dann die Energie? (Die “runaway”-Bedingung ist
erfüllt, wenn die elektrische Kraft größer ist als die Reibungskraft durch Coulombstöße)
2. Ohmsche Heizung: (2P)
Das Plasma in einem Fusionsexperiment werde durch einen Plasmastrom geheizt (PH =
j2 η). Der Energieverlust pro Zeit und Volumen sei gegeben durch PL = CT mit der Temperatur T (in eV). Welche Endtemperatur würde sich ergeben für folgende Parameter:
j = 5 · 105 A/m2 , C = 46 J/(eV m3 s), ln Λ = 16. Welche Endtemperatur ergibt sich für
die doppelte Stromdichte?
3. Z-Pinch: (3P)
Abb. 1 zeigt einen Z-Pinch mit einer über den Querschnitt konstanten Stromdichte j und
einem azimuthalen Magnetfeld Bθ (r). Der Plasmazylinder habe eine Länge L = 10 cm
und einen Radius a = 2 cm. Die Gesamt-ZAHL der Elektronen und Ionen beträgt N =
1018 .
Abbildung 1: Schema eines Z-Pinches. Der Strom (gelbe Pfeile) fließt axial und erzeugt ein
azimuthales Magnetfeld Bθ (violette Pfeile)
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(a) Leiten Sie die Druckbilanz
∂
∂r
B2
p+ θ
2µ0
=−
B2θ
µ0 r
für die obige Situation her. Starten Sie von der Druckbilanz aus der Vorlesung
∂
∂r
B2
p+ θ
2µ0
=
(~B · ~∇)~B
µ0
.
(Hilfe: Welche Komponenten hat das Magnetfeld überhaupt? Berücksichtigen Sie, daß
der Einheitsvektor~eθ in kartesischen Koordinaten gegeben ist als~eθ =~ey cos(θ)−~ex sin(θ).
Was ergibt sich dann für ∂~eθ /∂θ?)
(b) Leiten Sie aus der Druckbilanz einen Zusammenhang zwischen dem Strom I = πa2 j
und dem Druck p0 = pe0 + pi0 auf der Zylinderachse her.
(c) Wie groß muß der Strom sein, wenn im Plasmazentrum die Temperaturen Te0 =
Ti0 = 2 · 104 K erreicht werden sollen. (Temperaturen und Dichten sollen dieselbe radiale
Abhängigkeit besitzen.)
4. Zylindrisches Plasma: (3P)
Ein Plasmazylinder mit Radius a, dem ein konstantes Magnetfeld B = B0~ez axial überlagert ist, habe eine Druckverteilung
r 4 p(r) = p0 1 −
a
(a) Wie groß kann p0 maximal werden?
(b) Bestimmen Sie für diesen Fall die diamagnetische Stromdichte jdia (r) und die magnetische Induktion B(r). Stellen Sie p(r), jdia (r) und B(r) graphisch dar.
(c) Um das Plasma sei eine Spule mit N = 10 Windungen gewickelt. Wird nun die Energieversorgung abgeschaltet, zerfällt das Plasma (Rekombination, Diffusion) und in der
Spule wird eine Spannung U induziert. Berechnen Sie den Spannungsstoß
∆Φ = −
Z
Udt
beim Abschalten allgemein und setzen Sie dann a = 0.1 m, n(0) = n0 = 1018 m−3 und
kB Te = kB Ti = 100 eV in die Gleichung ein. (Hinweis: Diesen Effekt kann man ausnutzen,
um den Energieinhalt des Plasmas zu bestimmen.)
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