Untitled

Abhandlungen
zur
Theorie der Bevölkerungs­
und Moralstatistik.
Von
W. Lexis.
Mit 10 A b b i l d u n g e n im Text.
Verlag von Gustav Fischer in Jena
1903.
H • i/in Ar
rhi Riikiiku Üükcoü
Raamatukogu
Ii ,<t
|
$
i
Alle Rechte vorbehalten.
Vorbemerkung.
N u r zwei von den folgenden A b h a n d l u n g e n ( V I I und V I I I )
sind in ihrer g e g e n w ä r t i g e n
Gestalt
abgesehen
A n m e r k u n g e n —- schon früher veröffentlicht worden.
sind
teils g a n z
scheinen
sie
neue
Bearbeitungen
hier zum ersten
älterer
von
einigen
Die übrigen
Aufsätze,
teils
er­
Male, und zwar hauptsächlich zu
dem Z w e c k , die übrigen soweit zu ergänzen, dass die
wesent­
lichen G r u n d z ü g e der Theorie der demographischen und demo­
logischen
Statistik
sich
in
der
Schrift
vereinigt
finden.
Die
mathematischen A u s f ü h r u n g e n sind d u r c h w e g elementar gehalten,
wenn sich auch manches mit H ü l f e einfacher Integrationen kürzer
hätte darstellen
lassen.
G ö t t i n g e n , 30. Dezember
igo2.
W.
Lexis.
f
Inhalt.
Seite
I. Die graphische Konstruktion der Sterblichkeitsverhältnisse
I
I I . Die Absteibeordnung
25
I I I . Die Sterbeiiswahrschcinlichkeiten unter dem Einfluss der Wanderungen
IV.
.
41
Uebersicht der demographischen Elemente und ihren Beziehungen zu ein­
ander
60
V . Ueber die Ursachen der geringen Veränderlichkeit statistischer Verhältnis­
zahlen
VI.
VII.
84
Die typischen Grossen und das Fehlergesetz
Das
Geschlechtsverhältnis
der
Geborenen
und
101
die
rechnung
V I I I . Ueber die Theorie der Stabilität statistischer R e i h e n
IX.
X.
Wahrscheinlichkeits­
130
I/O
Naturgesetzlichkeit und stastische Wahrscheinlichkeit
213
Naturwissenschaft und Sozialwissenschaft
233
Anhang
252
I- Die graphische Konstruktion der Sterblichkeits­
verhältnisse ).
1
i. D i e zur leichteren Uebersicht der statistischen B e o b a c h t u n g e n
dienenden graphischen Darstellungen sind meistens solche, die
durch Linien oder andere geometrische G r ö s s e n das Verhältnis
gewisser Zahlen veranschaulichen, sei es, dass diese sich auf ein
in der Zeit veränderliches statistisches O b j e k t derselben A r t oder
auf verschiedene miteinander zu vergleichende O b j e k t e beziehen.
S o l c h e Darstellungen sind oft recht nützlich, sie haben aber im
ganzen einen mehr p ä d a g o g i s c h e n als selbständigen wissenschaft­
lichen W e r t .
W e s e n t l i c h anderer A r t sind geometrische K o n ­
struktionen, die nicht bestimmte Zahlen, sondern die A b g r e n z u n g e n
darstellen, durch welche gewisse G r u p p e n von Einzelfällen zu be­
stimmten Gesamtheiten vereinigt werden. S o l c h e Konstruktionen
lassen nicht nur die zwischen den einzelnen Gesamtheiten bestehenden
B e z i e h u n g e n erkennen, sondern es ist auch leicht, mit ihrer Hilfe
diese Beziehungen geometrisch zu beweisen, während diese B e ­
weisführung auf dem W e g e der R e c h n u n g weit umständlicher
ist. Insbesondere lässt sich diese M e t h o d e zur A u f s t e l l u n g einer
streng korrekten Sterblichkeitstabelle mit Vorteil verwenden.
Bei der K o n s t r u k t i o n der Sterbetafeln hatte man früher die
T h a t s a c h e ausser acht gelassen, dass es n i r g e n d w o eine grössere
A n z a h l von Personen giebt, die wirklich in demselben A u g e n b l i c k
geboren sind und genau in demselben A l t e r stehen. E i n e A b ­
sterbeordnung soll a n g e b e n , wie viele von 1000 G e b o r e n e n das
A l t e r von g e n a u i, 2, 3 u. s. w. J a h r e n erreichen; aber direkte
l) N e u e
IV.
Bearbeitung
Annee, Paris 1880,
einer
p. 297)
in
den
„Annales
de
Demographie
de la mortalite au moyen de points mortuaires".
Lexis, Bevölkei-ungs- u. Moralatatiatik.
I
1
internationale"
erschienenen Abhandlung „ L a representation graphique
1
2
B e o b a c h t u n g e n lassen sich nur anstellen an Personen, die in einer
gewissen
Z e i t s t r e c k e geboren sind, z. B . im K a l e n d e r j a h r 1850,
die also die „Generation" dieses Jahres bilden und sich in jedem
Beobachtungszeitpunkt
schen
x und
in
verschiedenen
x -}- i Jahren
befinden.
Altersabstufungen
Zieht man
nun
zwi­
von
der
Zahl der G e b o r e n e n des Jahres 1850 die Zahl der in eben diesem
Kalenderjahre Gestorbenen ab, so ist der R e s t offenbar
grösser,
als die Zahl derjenigen, die von jener Jahresgencration das A l t e r
von g e n a u einem J a h r e erreichen,
denn
diejenigen,
die z. B . im
D e z e m b e r geboren sind, haben am E n d e des Kalenderjahres erst
ein A l t e r von o bis 3 1 T a g e n
und eine A n z a h l von ihnen wird
noch im Kalenderjahr 1 S 5 1 vor E r r e i c h u n g des A l t e r s von
vollen J a h r e sterben.
ab,
einem
Zieht man andererseits die Zahl der K i n d e r
die 1850 im A l t e r von o — 1 J a h r e gestorben sind, so erhält
man allerdings
ein richtigeres,
aber doch kein genaues Resultat,
denn diese Todesfälle sind nicht sämtlich aus der Generation v o n
1850, sondern teilweise auch aus der von
Ein Kind,
das z. B . im J a n u a r im
1849 h e r v o r g e g a n g e n .
A l t e r von 2 Monaten
w a r im L a u f e des N o v e m b e r s 184g geboren.
stirbt,
Andererseits werden
allerdings die K i n d e r , die im N o v e m b e r 1850 geboren sind und
im A l t e r von 2 M o n a t e n sterben,
sich nicht in der in R e d e ste­
henden Gesamtheit von Gestorbenen
den J a n u a r 1 8 5 1 fällt; es
statt,
aber
immer
also,
diese wird
eine grössere
die
findet
nie
ganz
finden,
da ihr T o d erst in
also eine gewisse
vollständig sein
Ausgleichung
und es
bleibt
oder geringere U n g e n a u i g k e i t übrig, d. h.
Zahl derjenigen,
die
aus
der
Generation
von
1850
wirklich die A l t e r s g r e n z e von g e n a u einem J a h r erreichen, ist der
auf dem bezeichneten W e g e gefundenen nicht v o l l k o m m e n gleich.
E b e n s o w e n i g kann man durch unmittelbare B e o b a c h t u n g die Zahl
derjenigen erhalten, die, aus einem bestimmten Geburtsjahr stam­
mend, g e n a u die untere G r e n z e einer Altersklasse, z. B . der von
1 0 — I i Jahren erreichen.
D e n n die V o l k s z ä h l u n g kann bestenfalls,
wenn sie g e n a u am E n d e eines Kalenderjahres stattfindet,
a n g e b e n , wie
generationen
viele
in den
z. B . wie viele
zember
von
A n g e h ö r i g e der rückwärtsliegenden
entsprechenden
Altersklassen
nur
Jahres­
stehen,
also
den G e b o r e n e n des J a h r e s 1850 am 3 1 . D e ­
1861 (dem Z ä h l u n g s t a g e ) in der Altersklasse von 1 0 — 1 1
Tahren stehen.
D i e V o l k s z ä h l u n g ergiebt also nur Gesamtheiten
von G l e i c h z e i t i g e n , unterschieden nach Altersklasssen, also mit
3
einem
Spielraum des A l t e r s , der bei einjährigen
Klassen
eben
ein J a h r beträgt.
2 . E s ist aber möglich, indirekt Gesamtheiten von
alterigen
L e b e n d e n aus derselben
gleich-
Jahresgeneration zu
bilden,
die also diese gleiche A l t e r s g r e n z e nach und nach im L a u f e eines
Jahres erreichen;
und ebenso
kann
man
indirekt
Gesamtheiten
aller Verstorbenen zusammensetzen, die aus einer einzigen J a h r e s ­
generation
hervorgegangen
Altersklasse
gestorben
und
sind.
in
einer
einzigen
D i e Zahl dieser
einjährigen
Gestorbenen
divi­
diert durch die Zahl der L e b e n d e n , welche die untere G r e n z e der
betreffenden
Altersklasse
erreichen,
giebt
richtigen A u s d r u c k für die empirische
dieser
dann
den
theoretisch
Sterbenswahrscheinlichkeit
Altersklasse.
K n a p p hat zuerst diese B e o b a c h t u n g s w e i s e der Sterblichkeit
und die B e s t i m m u n g der verschiedenen Gesamtheiten von L e b e n d e n
und
Gestorbenen
durchgeführt und zwar
1
Formeln
der I n t e g r a l r e c h n u n g ) .
mit
Anwendung
von
D a s richtige Prinzip für eine
den A n f o r d e r u n g e n g e n ü g e n d e statistische E r h e b u n g der S t e r b e ­
fälle
hatte
kurz
8
Becker )
vorher
2
bereits
G. Meyer )
angegeben
und
hatte es in der Oldenburgischen Statistik bereits
A n w e n d u n g gebracht.
zur
K n a p p und B e c k e r haben auch einfache
graphische Konstruktionen der in F r a g e k o m m e n d e n Gesamtheiten
angegeben;
ich g l a u b e indes,
dass in
mancher
Beziehung
die
Darstellungsmethode vorzuziehen ist, die ich in meiner „ E i n l e i t u n g
4
in der Theorie der Bevölkerungsstatistik" ) a n g e w a n d t habe.
1) Die Ermittlung der Sterblichkeit etc., Leipzig, 1 8 6 8 .
lichkeit in
schweig
Sachsen" (Leipzig 1 8 6 9 )
und
„Theorie
des
V e r g l . auch „ D i e Sterb­
Bevölkerungswechsels"
(Braun­
1874).
2) In
Lebensjahr
Hildebrands
Jahrbüchern,
hat übrigens S a r g a n t
of thc Statistical Society, V o l
XXVIII,
3 ) Statistische Mitteilungen
Bd. V I I I (1867),
schon 1865
S.
19.
Für
das
die richtige Darstellung gegeben.
p. 7 6 .
über das Grossherzogtum Oldenburg, I X ,
1867. —
Graphische Darstellung in der Schrift „ Z u r Aufstellung von Sterbetafeln" etc. (Berlin
4) Strassburg
1875.
Die
Schrift
erste
Journ.
wurde schon
1 8 7 4 gedruckt und ist
eben erwähnten Abhandlung B e c k e r s ganz unabhängig entstanden.
1874).
von
der
F a s t ganz dieselbe
Konstruktion, jedoch ohne A n w e n d u n g der Sterbepunkte, in einer ursprünglich holländisch
erschienenen Doktordissertation von V e r w e y ,
of
die in englischer Uebersetzung im Journal
the Statistical Society, Dezember 1 8 7 5 , veröffentlicht ist.
Konstruktion
Würzburg
auch
1870.
bei B r a s c h e ,
Zeuner
Beitrag
zur Methode
hat (Abhandlungen
zur
Ansatz
zu einer ähnlichen
der Sterblichkeitsberechnung.
mathematischen
Statistik,
1*
Leipzig
4
Die Linie O X (Fig. i )
stelle die v o n d e m A n f a n g s ­
c
punkt der Zeitrechnung O
A'
o
B
c
a b
ab verflossene Zeit dar. D i e
v o n den G e b u r t s p u n k t e n
Fig.
Lebenslinien
punkten
linien
a, b, c, d, e . . . auslaufenden
der einzelnen G e b o r e n e n
A , B, C, D , E
fallen
alle
mögen
. . . endigen.
mit der allgemeinen
in den
Aber
Sterbe­
diese L e b e n s ­
Zeitlinie zusammen und
1 8 6 9 ) eine stereometrische Konstruktion angewandt, indem er die K n a p p ' s c h e n Doppel­
integrale
räumlich
(dessen Schrift
veranschaulichte.
ich
übrigens in
Es
ist
durchaus
meiner Einleitung
in
unberechtigt,
die Theorie
wenn
Zeuner
der Bevölkerungs­
statistik, S . 33 und auch in dem französischen T e x t der vorliegenden A b h a n d l u n g ange­
führt
habe)
Bureaus,
seiner
in
einer
XXXI,
späteren A r b e i t (Beilage zur Zeitschrift des
Dresden 1 8 8 6 ) behauptet,
meine
stereometrischen Darstellung entnommen.
stellung
ausgegangen,
als Z e u n e r ,
und wenn
sächs.
statistischen
Konstruktion sei dem Grundriss
Ich bin von einer ganz anderen V o r ­
dabei dieselbe F o r m
eines Netzwertes
entstand, wie in dem Z e u n e r ' s c h e n Grundriss, so ist doch der Inhalt desselben gänzlich
verschieden gedacht.
Dichtigkeit
in
Bei meiner Darstellung handelt es sich um die mit verschiedener
der
planimetrischen
Ebene
verbreiteten
Sterbepunkte
und
wenn
man
zu einer stereometrischen Vorstellung übergehen wollte,
von
so
dieser
hätte man
nur Senkrechte in der Grundebene proportional der Punktendichtigkeit an ihren F u s s ­
punkten
Diese
zu
errichten
Senkrechten
und
deren
würden
während
bei
Zeuner
benden
ausdrücken.
also
oberen E n d p u n k t durch
die
Dichtigkeit
die Senkrechten
der
eine F l ä c h e zu verbinden.
Verstorbenen
zur Grundebene die D i c h t i g k e i t
darstellen,
der
Le­
Meine Konstruktion giebt daher unmittelbar eine einfache U e b e r -
sicht
der Sterbefälle,
deren
sind.
Bei Z e u n e r
dagegen
Gesamtheiten alle in der Grundebene geradlinig begrenzt
erscheinen
die
Gesamtheiten
der Verstorbenen nicht
in
d e r Grundebene, sondern in einer darauf senkrechten seitlichen Coordinatenebene, was
.zur F o l g e hat,
dass die wichtigen Elementargesamtheiten mit teilweise g e k r ü m m t e n
Begrenzungslinien
sich
aus
in
einer
unbequemen
meiner Konstruktion
leicht
perspektivischen
eine
Zeichnung auftreten.
stereometrische' Darstellung
habe ich in dem A n h a n g zu meiner Uebersetzung der P e r o z z o ' s c h e n
Conrads Jahrbüchern N . F . I , ( 1 8 8 0 ) , S . 1 7 5 ff.
Absicht,
statt der stereometrischen
gezeigt.
ableiten
A b h a n d l u n g in
E s w a r aber gerade
die
es
sich hier handelt,
meine
Konstruktion eine möglichst einfache planimetrische
zu geben, die ohne umständliche Zeichnungen die so höchst elementaren
um
Dass
lasse,
sofort erkennen lässt.
Beziehungen,
Dass dabei die Einzelfälle durch
•diskrete Punkte dargestellt oder vielmehr dargestellt gedacht werden, kann nur als ein
Vorteil der Methode angesehen werden, da es der Wirklichkeit entspricht und überdies
sowohl
die Schnittpunkte
der isochronischen Linien w i e auch die Punkteninhalte der
Elementargesamtheiten wirklich, nämlich durch Volkszählungen und durch
Erhebung
können.
des
Geburtsjahrs und
Z u Demonstrationen
des
Altersjahrs der
aber können
Verstorbenen,
körperliche Modelle,
hat herstellen lassen, immerhin zweckmässig sein.
wie
kombinierte
gezählt
Bodio
werden
solche
—
es lässt
5
—
sich auf diese A r t keinerlei
Einsicht in die V e r t e i l u n g
der Sterbepunkte und ihre B e z i e h u n g e n zu den G e b u r t s p u n k t e n
gewinnen.
N a c h der K n a p p ' s c h e n Darstellungsmethode werden
nun die einzelnen
Lebenslinien parallel mit sich selbst und zur
Zeitlinie emporgehoben
und
nach der
Zeitfolge ihrer
punkte in gleichen A b s t ä n d e n übereinander gelegt.
Geburts-
S o erhält m a n
also die isolierten Linien a' A ' , b' B , c' C etc., w o der A b s t a n d
aa' = | b b ' =
Punkte
J c c ' etc.
In
Geburtspunkte
sehr
sind,
Kurve
als
Kurve
dieser
a', b', c' . . . eine
eine
aber
erhält
zahlreich
und
betrachtet
man
neigte gerade L i n i e ,
K o n s t r u k t i o n bilden
gebrochene
eine
wenn
Linie,
dicht
werden
unter
45
die,
also
die
wenn
die
zusammengedrängt
kann.
Grad
Statt
gegen
dieser
O X
man ( F i g . 2) die einzelnen
ge-
Lebens-
A
D"
\
\
\
ab
r
de
£C
X BS
x
Fig- 3-
Knien a ' A ' , b'B', c ' C . . . nicht
einander,
sondern
so
legt,
in
dass jede
gleichen
von
der
Abständen
von-
vorhergehenden
ebenso weit absteht, wie ihr G e b u r t s p u n k t v o n dem der vorhergehenden, dass also pb' = pa' = ab, qc' = qb' = bc, r d ' = r c ' = cd
etc.
N o c h bequemer lassen sich die L a g e n der P u n k t e a', b', c ' . . .
bestimmen,
wenn
m a n in O eine zu O X senkrechte A c h s e O Y
errichtet und hier die P u n k t e a", b", c" in A b s t ä n d e n von
bezeichnet,
O
die gleich sind O a , O b , O c etc. und von diesen P a -
rallelen zu O X zieht; diese schneiden die s c h r ä g e L i n i e O d ' in den
gesuchten P u n k t e n .
E s ist dies die B e c k e r ' s c h e K o n s t r u k t i o n .
Meinerseits h a b e ich in d e m angeführten W e r k e folgenden
eingeschlagen.
Weg
J e d e Lebenslinie, z. B . c C (Fig. 3), wird dadurch
isoliert, dass sie d u r c h eine D r e h u n g u m den G e b u r t s p u n k t c als
6
Mittelpunkt auf die A c h s e O X senkrecht aufgestellt, also in die
Lage
cC
gebracht
wird.
Man
könnte
auch
eine
geringere
D r e h u n g , etwa eine solche von 60 G r a d , für z w e c k m ä s s i g e r halten,
j e d o c h müssten dann auch alle übrigen Lebenslinien dieselbe N e i g u n g
erhalten, also sämtlich einander parallel g e l e g t werden.
In meiner
„ E i n l e i t u n g in die Theorie der Bevölkerungsstatistik" habe ich her­
vorgehoben, dass die R ü c k s i c h t auf die S y m m e t r i e der (unten zu
besprechenden) Elementargesamtheiten für die W a h l eines N e i g u n g s ­
winkels von 60 G r a d geltend g e m a c h t werden könnte, und L e w i n
hat in einer für den statistischen K o n g r e s s zu Budapest bestimmten
Abhandlung
dies weiter
ausgeführt.
F ü r alle
praktischen
w e n d u n g e n dieser Konstruktionsmethode ist indes die
A u f s t e l l u n g der Lebenslinien
An­
senkrechte
(aA', b B ' , c C , d D ' u. s. w.) vorzu­
ziehen, die sich auch am besten zur E r l ä u t e r u n g des Begriffs der
N o r m a l d a u e r des
anderen
Stelle
menschlichen L e b e n s eignet
die
Rede
sein wird)
und
(von der an einer
auch zur Darstellung
mehrfacher Zustandsänderungen im Menschenleben erweitert werden
kann.
D i e L e b e n s d a u e r jedes
L i n i e dargestellt,
Einzelnen
wird
also
durch
eine
deren A n f a n g der G e b u r t s p u n k t in der A c h s e
OX
bildet
und deren E n d p u n k t wir als Sterbepunkt bezeichnen.
Da
die Lebenslinien
einfach
die S e n k r e c h t e n
von
den
Sterbe­
punkten a u f die Zeitachse sind, so kann man von ihrer Z e i c h n u n g
g a n z absehen und nur die Sterbepunkte beibehalten, die sich mit
verschiedener D i c h t i g k e i t über die E b e n e verbreiten.
Zahl der G e b u r t e n in einer Jahresstrecke so
Wenn
die
gross ist, dass auf
alle Altersklassen mit A u s n a h m e der allerhöchsten eine beträcht­
liche
Zahl von
Sterbepunkten
kommt,
so wird die
Dichtigkeit
der V e r t e i l u n g ausgedrückt durch die Zahl dieser P u n k t e , die in
einem schmalen Parallelogramm enthalten sind, dessen Grundlinie
einer einjährigen oder auch kleineren Geburtsstrecke und dessen
Höhe
einer
gleich
ist.
differenzen
nuierlich,
einmonatlichen
Diese
oder
Dichtigkeit
desselben
kann
kleineren
sich
für
G e b u r t s j a h r g a n g s , wenn
so doch nur w e n i g ,
Altersklasse
noch
ändert
sie,
mit
der
Alters­
auch nicht
und innerhalb
Ausnahme
Altersstrecke
kleine
einer
jüngsten
ältesten, als annähernd gleichbleibend betrachtet
konti­
einjährigen
und
der
werden.
3. I m übrigen k o m m t für die D a r s t e l l u n g der B e z i e h u n g e n der
Sterbefälle
unter sich
und
zu den
G e b u r t e n auf
die
wirkliche
Z e i c h n u n g der Sterbepunkte oder die B e z e i c h n u n g ihrer D i c h t i g -
keit durch Schraffierung oder andere Mittel nichts an, man bedarf
vielmehr
nur
des
Netzwerks
von
die S t e r b e p u n k t e verteilt denkt.
Linien,
Dieses
in
dem
man
N e t z entsteht
auf
sich
fol­
gende Art.
M a n denke sich die Zeitlinie O X ( F i g . 4) in gleiche S t r e c k e n ,
wie O
t
O , oder N
N , N
t
2
2
N
: !
u. s. w. geteilt, von denen jede, j e
nach den U m s t ä n d e n , einem J a h r e oder einer Periode von Jahren
oder auch nur einem M o n a t entspricht.
Fig.
D i e G e b u r t e n sind durch
4.
P u n k t e auf dieser Zeitlinie bezeichnet, und von diesen gehen die
Lebenslinien, wie pp', qq', rr' senkrecht aus.
D i e L ä n g e derselben,
also das A l t e r der einzelnen Individuen wird auf der A c h s e O Y
gemessen.
M a n teilt diese in eben solche Teile wie O X und zieht
von A , , A , A
: !
die
in N
2
mit den
etc. „Altersgrenzlinien", wie A
Quadrate bilden.
l t
N
2
u. s. w.
t
A \ , A.> A ' u . s . w . ,
2
errichteten „Geburtsgrenzlinien"
Schliessen wir die F i g u r
oben durch eine ge­
n ü g e n d hochgegriffene Altersgrenzlinie Y Y ' ab, die dem höchsten
überhaupt v o r k o m m e n d e n A l t e r , sagen wir von 100 Jahren,
spricht,
so
fallen
die
Sterbepunkte aller
in
einer
nehmen
wir an, zehnjährigen Geburtsstrecke N
7
N
ent­
bestimmten,
s
Geborenen
8
(einer zehnjährigen Generation) in den senkrechten Streifen N N
7
U
7
U , und
sie
8
sind
8
durch die horizontalen L i n i e n in G r u p p e n
eingeteilt,
die den verschiedenen
sprechen.
D e m n a c h ist z. B . die Zahl der Sterbepunkte in dem
Rechteck N
7
N
c
8
c
7
zehnjährigen Altersklassen
gleich der Zahl derjenigen, die in der zehn­
8
jährigen Zeitstrecke N
N
7
8
geboren
und vor der E r r e i c h u n g des
A l t e r s v o n g e n a u 30 Jahren gestorben sind.
die
Zahl
der
Rechteck c
7
derjenigen,
in dem
c
U
8
U
7
oberen
8
enthaltenen S t e r b e p u n k t e
die, aus derselben
solche
aus einer
„erste
Gruppe
Andererseits ist also
Teile des Streifens, nämlich
Geburtsstrecke N
nach und nach das A l t e r von
Eine
ent­
von
dem
gleich der Zahl
N
7
stammend,
g
g e n a u 30 Jahren erreicht haben.
genau
gleichalterigen
Ueberlebenden
bestimmten Generation nennen wir nach K n a p p
H a u p t g e s a m t h e i t von
g e m e i n mit I A
L e b e n d e n " und bezeichnen
D i e R e i h e n f o l g e von Zahlen, welche
eine
sie all­
diese G e ­
samtheiten v o n gleichalterigen Ueberlebenden aus einer bestimmten
Geburtsstrecke für die einzelnen
(am besten
einjährigen) A l t e r s ­
stufen angiebt, bildet die A b s t e r b e o r d n u n g dieser
Generation.
durch
Die
einzelnen
Beifügung
meinen
Glieder
der betreffenden
bestimmten
derselben
bezeichnen
Altersgrenze
zu dem
wir
allge­
1
S y m b o l L , also mit L j (gleich der Z a h l der Geborenen),
L j , L J , L g u. s. w.
Nötigenfalls könnte man auch eine Bezeich­
n u n g der zugehörigen
Geburtsstrecke, in
unserem Beispiel
das
n-te Jahrzehnt von dem a n g e n o m m e n e n A n f a n g der Zeitrechnung
ab, beifügen, also „ I „ L *
u. s. w.,
doch
bleiben
wir hier und
in den folgenden B e t r a c h t u n g e n innerhalb derselben
Generation
und können daher von diesem M e r k m a l absehen.
Ferner ist die Zahl der Sterbepunkte in dem Q u a d r a t c c e
7
gleich
der Zahl
und zwischen
sind.
Strecke N
7
N
8
der A l t e r s g r e n z e von 30 und 40 J a h r e n
E i n e solche
gegrenzte
Gruppe
Hauptgesamtheit
gemein
derjenigen, die in der
1
mit M .
durch
von
von
Geburtsstrecke und
Verstorbenen
Verstorbenen"
Diesem
allgemeinen
nennen
und
wir
eine
kann
7
e
8
gestorben
Altersklasse
bezeichnen
Symbol
8
geboren
ab­
„erste
sie
all­
man
zur
U n t e r s c h e i d u n g der Altersklassen die O r d n u n g s z a h l der letzteren
als J n d e x beifügen und es bedeuten d e m n a c h M j , M\,
M u.s.w.
3
die Gestorbenen aus einer bestimmten Generation, die der ersten,
zweiten, dritten u. s. w. zehnjährigen Altersklasse, oder w e n n m a n
9
—
eine einjährige S t r e c k e als A l t e r s m a s s annimmt, den Altersstufen
von o bis i Jahr, i bis 2 J a h r , 2 bis 3 J a h r u. s. w. angehörten.
Quotient — g i e b t
L —1
Der
nun für die betreffende Generation den em-
x
pirischen A u s d r u c k der korrekt aufgefassten
lichkeit
in der x t e n Altersklasse,
Sterbenswahrschein­
d. h. das Verhältnis der Z a h l
derjenigen, die im A l t e r von x — 1 bis x J a h r e n gestorben sind, zu
der Zahl derjenigen, die die A l t e r s g r e n z e von g e n a u x — 1 J a h r e n
überschritten haben.
D i e H a u p t a u f g a b e der Sterblichkeitsstatistik ist nun die E r ­
mittelung der ersten H a u p t g e s a m t h e i t e n von L e b e n d e n und von
Verstorbenen, denn nur aus diesen lassen sich A b s t e r b e o r d n u n g e n
und
richtige
keiten
B e o b a c h t u n g s werte
bilden.
Diese
von
Sterbenswahrscheinlich­
Gesamtheiten lassen sich aber nicht durch
direkte B e o b a c h t u n g bestimmen; denn die A n g e h ö r i g e n der G e ­
samtheit
1
L
erreichen das für sie bezeichnende gleiche A l t e r n i c h t
z u r g l e i c h e n Z e i t , sondern sie überschreiten die A l t e r s g r e n z e c c
7
8
in der F i g u r 4 nach und nach in einem Zeiträume von 10 J a h r e n ,
und u m ihre Zahl unmittelbar festzustellen, müsste man 10 J a h r e
l a n g die Personen registrieren, die, aus der Geburtsstrecke N
stammend,
nach und
nach
die
H a u p t g e s a m t h e i t von
Beobachtung
teilen
gewinnen,
sich bei
N
a
das A l t e r v o n g e n a u 30 J a h r e n er­
reichten, w a s praktisch nicht ausführbar wäre.
sich
7
denn
E b e n s o w e n i g lässt
Gestorbenen M
die
l
betreffenden
einjährigen Altersklassen
durch
direkte
Todesfälle
ver­
auf zwei K a l e n d e r j a h r e
und überhaupt immer auf doppelt so viele Kalenderjahre, als die
Altersklasse J a h r e umfasst.
aus der S t r e c k e N
Altersklasse
von
N
7
30
8
bis
In F i g . 4 würde für die Geborenen
der
frühest
mögliche
40 J a h r e n
spätest m ö g l i c h e durch den P u n k t e
Sterbefall in
durch den
8
Punkt
bezeichnet sein.
c,
7
der
der
D i e abso­
luten oder Beobachtungszeitpunkte aber, die diesen Sterbepunkten
entsprechen,
Linien N
7
c
sind N
7
und N
1 0
8
und N
e
8
1 2
, wie sich d u r c h N i e d e r l e g u n g der
auf die A c h s e O X ergiebt.
also, die in der Zeit v o m 1. Januar
sind, können
in der Zeit vom
A l t e r von 30 bezw. 40 J a h r e n
4. D i e s e
durch ein
Diejenigen
1820 bis E n d e 1829 geboren
1. J a n u a r 1850 bis E n d e 1869 im
sterben.
B e t r a c h t u n g e n führen
uns nun dazu, unser N e t z
weiteres S y s t e m v o n L i n i e n zu
vervollständigen.
Es
IO
sind dies solche, die, wie die L i n i e N
U
7
unter 45 G r a d
2
gegen
die A c h s e O X g e n e i g t sind und von rechts nach links als D i a g o ­
nalen durch die vorher
gebildeten
dass alle P u n k t e einer
solchen Linie,
Q u a d r a t e laufen.
wie a
K a l e n d e r - oder Beobachtungszeitpunkt
sprechen,
N„ m
denn
bei
dem
Niederlegen
c,
(i
auf der
der
E s ist klar,
m ,
demselben
2
A c h s e O X ent­
Linien N
( i
a , N
(1
fallen diese P u n k t e sämtlich in den P u n k t N .
2
c,
4
W i r be­
7
zeichnen
4
daher die schrägen Linien als „isochronische" und die­
jenigen, welche den nach der a n g e n o m m e n e n Zeiteinheit a b g e g r e n z ­
ten Beobachtungszeiten entsprechen, als „Zeitgrenzlinien".
J e d e r Sterbepunkt, der unterhalb der schrägen L i n i e N
liegt, bezeichnet einen vor dem Zeitpunkt N
fall, und alle oberhalb der L i n i e N
7
U
2
7
liegenden
beziehen sich auf später v o r g e k o m m e n e Todesfälle.
punkte aber,
Linien N
U
7
periode N
7
die
sich
und N
2
8
in dem
U
schrägen
befinden,
3
Streifen
fallen
7
U
2
eingetretenen T o d e s ­
Sterbepunkte
Die Sterbe­
zwischen
den
in die B e o b a c h t u n g s ­
N , die in der F i g u r als eine zehnjährige a n g e n o m m e n
8
ist, natürlich aber auch als eine einjährige oder noch kleinere g e ­
dacht werden kann.
In
den
statistischen
Sterbefälle für die
solche
einzelnen
Zahl entspricht
Jahresstreifens.
Sterbefälle
Veröffentlichungen wird die
Kalenderjahre a n g e g e b e n
Zahl der
und jede
daher dem Punkteninhalt eines schrägen
H ä u f i g findet sich auch die U n t e r s c h e i d u n g der
nach
den
einzelnen
Kalendermonaten,
deren
Dar­
stellung zu einer Z e r l e g u n g der Jahresstreifen in zwölf schmalere
s c h r ä g e Streifen
meisten
führt.
F e r n e r werden die Gestorbenen
in den
L ä n d e r n einfach nach Altersklassen und zwar mit A u s ­
nahme der kleinere U n t e r a b t e i l u n g e n erfordernden ersten L e b e n s ­
jahre,
nach einjährigen unterschieden.
Gesamtheiten
von
Gestorbenen,
Parallelogramme, wie c
4
c
5
e
3
e
4
die
M a n erhält auf diese A r t
in
unserer
Figur
durch
umgrenzt, nämlich in einem be­
stimmten Zeitraum und in einer bestimmten Altersklasse gestorben
sind.
E s sind dies die von K n a p p sogenannten
gesamtheiten von Verstorbenen", die wir mit M
Figur
zeigt aber, dass
diese Verstorbenen
3
„dritten l l a u p t -
bezeichnen.
nicht alle
Die
derselben
Generation angehören, sondern teils aus der Geburtsstrecke N N ,
3
teils aus
N
4
N
5
stammen.
Nehmen
wir die Masseinheit
4
gleich
einem J a h r e an, so ist also innerhalb dieser Gesamtheit für S t e r b e ­
zeit und A l t e r je
ein einjähriger, für die
Geburtszeit aber
ein
I I
—
zweijähriger Spielraum
burtsstrecke N
c, e
e
3
N
3
und die
4
Dreieck c
c
4
e
6
gegeben,
und zwar sind die zu der G e ­
gehörenden
4
—
S t e r b e p u n k t e durch das D r e i e c k
Zeit der S t r e c k e N
N-, gehörenden
4
durch das
umgrenzt.
4
In Preussen werden seit 1864 die Sterbefälle jedes K a l e n d e r ­
jahres
durchweg
und ausserdem
klassen
nach
gruppiert.
stimmten
dem
Geburtsjahre
bis zu einem
D i e durch Sterbezeit
Gesamtheiten
von
4
Hauptgesamtheiten
bezeichnen
2
M ,
sie
allgemein
während
die
e m
3
4
von
für
in der
Figur
begrenzt und von K n a p p
:i
irgend
eine
durch
wäre.
werden
Verstorbenen'-
Sterbestrecke
unten rechts anzudeuten
Gestorbenen
und Geburtsstrecke be­
Gestorbenen
durch Parallelogramme, wie c e
„zweite
der
gewissen A l t e r auch nach Alters­
genannt.
Wir
Geburtsstrecke
einen
besonderen
mit
Index
N e h m e n wir wieder das J a h r als
Masseinheit, so zeigt die F i g u r , dass in einer solchen G e s a m t h e i t
für
die
Alter
Geburtszeit
aber
treffenden
m
3
m
4
ein
und
die Sterbezeit
zweijähriger
Spielraum
einjähriger,
besteht,
indem
Sterbepunkte zwischen den Altersgrenzlinien c
liegen,
und zwar werden die zu der unteren
gehörenden
durch das Dreieck c
gehörenden
durch das Dreieck e
5. D i e
scheidung
in
ein
isochronischen
4
3
e
e
4
Linien
e , und die
3
3
das
be­
c
und
4
Altersklasse
zu der
4
m
s
für
die
oberen
umgrenzt.
gestatten
auch
die
Unter­
einer anderen Gesamtheit von L e b e n d e n , nämlich der
einem
bestimmten
Zeitpunkt
gleichzeitig
Lebenden
oder
der „zweiten H a u p t g e s a m t h e i t von L e b e n d e n " nach K n a p p ,
wir
mit
gleich
L
2
bezeichnen.
10 Jahren
Trapez e
7
schnittenen
punkt N
u
c
8
U
N e h m e n wir wieder die S t r e c k e N
an, so ist
U
7
die Zahl
gleich
8
Lebenslinien,
der
Zahl
d h. gleich
lebenden Personen
im
der Sterbepunkte
der
von
der im
Alter
m
u
U
5
( !
U
.
D i e Zahl
der den verschiedenen
Gesamtheiten
L
2
40
Jahren.
sich
unmittelbar
durch
nämlich durch eine V o l k s z ä h l u n g feststellen.
die
Gesamtheiten M
2
und
M
u
U^
Volkszahl
dieser Schneidepunkte sowie auch
Altersabschnitten entsprechenden,
lassen
8
enthaltenen
u
und sämtlicher Lebenslinien oder gleich der gesamten
u
N
dem
durch­
Sterbepunkte gleich der Zahl der Schneidepunkte der L i n i e N
im Zeitpunkte N
7
Beobachtungszeit­
von 30 bis
E b e n s o ist die Zahl der in dem Dreieck N
e
4
in
die
3
direkt
also der
Beobachtung,
E b e n s o können
erhoben werden,
während
—
dies
bei
den
12
Gesamtheiten L
nicht der F a l l ist.
1
1
und
I n d e s kann
M , wie
m a n ohne
bereits
grosse
zu einer indirekten B e s t i m m u n g derselben g e l a n g e n .
2
g e z e i g t ist, setzen sich die Gesamtheiten M
G r u p p e n zusammen, die
sind.
A u s Dreiecken
in der F i g u r
und
erwähnt,
Schwierigkeit
M
W i e oben
3
beide
v o n Dreiecken
derselben A r t , wie c
4
c
5
e
4
aus
begrenzt
und c
e
5
4
e,
5
1
wird aber auch die U m g r e n z u n g der Gesamtheiten M , wie z. B .
das
Quadrat c
4
solche D r e i e c k e
c
e
5
e
4
gebildet.
5
bestimmten
E s genügt
letzteren
1
zusammensetzen
Gesamtheiten der
die
durch
Gesamtheiten von Sterbefällen,
wir als „Elementargesamtheiten" bezeichnen,
Gesamtheiten M
also,
zu
zu kennen,
können.
Ist
die
um die
in
diesen
Spielraum der Geburtszeit und
des
A l t e r s je ein J a h r , so ist der der B e o b a c h t u n g s - oder Sterbezeit
zwei J a h r e , in jeder der zugehörigen Elementargesamtheiten aber
hat auch die Sterbezeit nur einen einjährigen Spielraum.
haupt ist es für die Elementargesamtheiten
sie
und
für
jedes
der
drei B e s t i m m u n g s s t ü c k e ,
Beobachtungszeit
nur
eine
Ueber-
charakteristisch,
Geburtszeit,
Zeitmasseinheit
als
dass
Alter
Spielraum
haben, während der Spielraum bei jeder der drei H a u p t g e s a m t ­
heiten
von
Verstorbenen
für j e
eines
der
Bestimmungsstücke
z w e i Einheiten beträgt.
D i e die Elementargesamtheiten begrenzenden D r e i e c k e liegen
teils oberhalb (wie c
e
5
4
e ), teils unterhalb der die H y p o t e n u s e n
5
bildenden isochronischen L i n i e n (wie c c
4
hiernach o b e r e
und u n t e r e
l
e ).
W i r unterscheiden
4
von V e r ­
2
storbenen und bezeichnen die ersteren
A.
5
Elementargesamtheiten
mit z f , die letzteren mit
W e n n ferner die auf die Zeitmasseinheit b e z o g e n e
Geburts­
strecke mit n, die Altersklasse mit a bezeichnet wird, so werden
die Gesamtheiten M
1
allgemein
1
..M
a
gegeben
1
=
Gleichung:
2
A
a
durch die
a
- f
B
A
a
A u c h die ersten H a u p t g e s a m t h e i t e n von L e b e n d e n L
sich jetzt leicht zusammensetzen.
gestellt
durch den
E i n e solche
des
Punkteninhalt des R e c h t e c k s c
Elementardreiecks c
durch die V o l k s z ä h l u n g in einem
7
c
8
e.
7
bestimmten
lassen
wird z. B . dar­
7
c
Der
U
8
dieses aber ist gleich dem Punkteninhalt des Trapezes e? c
nebst dem
1
8
erstere
Zeitpunkt N
U ;
7
U
8
7
U
8
wird
u
ge­
g e g e b e n , den wir allgemein mit z bezeichnen, und man hat d e m ­
nach die G l e i c h u n g :
3
6.
E s handelt
gcsamtheiten
genau
sich
also nur noch
zu ermitteln,
oder durch N ä h e r u n g s r e c h n u n g e n geschehen
direkte M e t h o d e besteht
jedes
darum, die
einfach darin, dass
Kalenderjahres unterscheidet
N
7
g
inhalt des schrägen Streifens N N
7
des P a r a l l e l o g r a m m s c
nach den Altersjahren, k o m ­
N e h m e n wir die
4
c
e
5
U
8
2
U
3
gleich der Zahl der G e ­
Kalenderjahres und der Punkteninhalt
3
e
4
stellt die Zahl der in diesem J a h r e
im A l t e r von 3 — 4 Jahren Gestorbenen dar.
aber stammen teils aus dem Geburtsjahr N
sie
also
in der Statistik auch
3
Diese Gestorbenen
N , teils aus N
4
4
e
3
e
umgrenzten
4
Das
4
N .
5
nach den Geburtsjahren
unterschieden, so erhält man die von den Dreiecken c
c
Die
wieder gleich einem J a h r an, so ist der P u n k t e n ­
storbenen des betreffenden
Werden
kann.
man die Sterbefälle
biniert mit den Geburtsjahren der Gestorbenen.
Strecke N
Elementar-
was entweder direkt und theoretisch
4
c
5
e
4
und
Elementargesamtheiten.
statistische S c h e m a für die E r h e b u n g der E l e m e n t a r ­
gesamtheiten
ist demnach das f o l g e n d e :
Gestorben im J a h r e 1 8 7 5 :
Geburtsjahr
männlich
weiblich
2461
1111
2020
1875
1874
1874
i873
398
m 1
l8:S
2 - 3
943
525
349
590
"V
73^3
H^S
m 2
1872
U. 3. W.
Die
obigen
Zahlen
sind
der
nommen,
die seit 1872 wenigstens
jahre
Elementargesamtheiten
die
norwegischen
Statistik
für die beiden
unterscheidet.
ent­
ersten A l t e r s ­
In
der
olden­
burgischen Statistik reicht diese U n t e r s c h e i d u n g bis 1861 zurück,
in der holländischen wurde sie
E i n e andere
ebenfalls
1870 a n g e n o m m e n .
theoretisch
streng richtige, aber in­
direkte M e t h o d e der B e s t i m m u n g der Elementargesamtheiten
be­
steht darin, dass, wie es in Preussen für die jüngeren Altersklassen
geschieht,
die Sterbefälle
sowohl
nach
Geburtsjahren als a u c h
selbständig — ohne K o m b i n a t i o n mit dieser ersten A r t — nach
einjährigen
und M
3
Altersklassen
direkt
gruppiert,
erhoben werden.
d. h. die Gesamtheiten
F ü r die erste Altersklasse
M
2
ist
14
also z. B . einerseits g e g e b e n P . ( X - N a, a ) — wenn durch das
vorgesetzte P. der Punkteninhalt der in der K l a m m e r a n g e g e b e n e n
F i g u r bezeichnet wird — und andererseits P . (N, N a ) , also
eine Elementargesamtheit; die Differenz dieser beiden P u n k t e n ­
inhalte aber ist P. ( N a, a ), also ebenfalls eine E l e m e n t a r g e s a m t ­
heit. D u r c h die Statistik des folgenden Kalenderjahres werden
unmittelbar g e g e b e n P . (N" N,, a a ) und P. ( N N „ a^), woraus sich
die Elementargesamtheit P . ( N a a ) ergiebt. W e i t e r kann man
dann auch die direkt erhobenen I lauptgesamtheiten P . (a, a b- b )
und P . ( N a a b ) in ihre Elementargesamtheiten zerlegen und
dieses V e r f a h r e n lässt sich fortsetzen, soweit die 1 l a u p t g e s a m t ­
heiten M und M ' g e g e b e n sind.
8
;
7
s
7
;
7
7
8
7
s
s
7
K
s
;
7
(i
7
T
(i
(i
2
!
In den meisten L ä n d e r n beschränkt sich die amtliche S t a ­
tistik jedochauf der A n g a b e der Sterbefälle nach Hauptgesamtheiten
der dritten A r t , also M . W e n n dabei einjährige Altersklassen
der Verstorbenen unterschieden werden, so können die E l e m e n t a r ­
gesamtheiten vom dritten Altersjahre ab näherungsweise mit g e ­
nügender G e n a u i g k e i t durch H a l b i e r u n g der einzelnen G e s a m t ­
heiten M dargestellt werden. D e n n die Dichtigkeit der Sterbepunkte
ändert sich nach den ersten Lebensjahren mit fortschreitendem
A l t e r nur langsam und man darf daher annehmen, dass z. B .
(wenn c c i Jahr) der Punkteninhalt des Dreiecks c c-, e nicht
erheblich von dem des gleich grossen D r e i e c k s c e c abweicht,
zumal auch die Geburtendichtigkeit in den aufeinanderfolgenden
Jahresstrecken N , \
und X , N - sich nicht viel geändert haben
wird. Im ersten Altersjahre jedoch ist diese einfache N ä h e r u n g s ­
methode nicht anwendbar und auch für das zweite giebt sie noch
u n g e n ü g e n d e Resultate. D e n n die Dichtigkeit der Sterbepunkte
ändert sich in diesen Altersklassen noch sehr merklich innerhalb
der einjährigen Stufen. W e n n man nun z. B . das Parallelogramm
N N a a durch die Linie N a in zwei Elementardreiecke teilt,
so sind die Punkteninhalte derselben keineswegs gleich, denn das
Dreieck N a a reicht nur mit der Spitze in die R e g i o n der
grössten Dichtigkeit der Sterbepunkte hinein, während das D r e i e c k
N N aj mit seiner ganzen Basis in diese R e g i o n fällt. A u c h in
der Nachbarschaft der grössten Dichtigkeit der Sterbefälle in
dem höheren A l t e r (von 70—75 Jahren) finden die A e n d e r u n g e n
der Dichtigkeit rascher statt, so dass hier durch die einfache
T e i l u n g der Hauptgesamtheiten M
die Elementargesamtheiten
3
3
4
5
4
4
T
(
7
8
B
7
7
7
7
4
c
7
7
8
3
3
4
4
15
nur mit grösserer U n g e n a u i g k e i t ausgedrückt werden können.
Immerhin bleibt die M e t h o d e bei einjährigen Altersklassen auch
für diese Lebensperiode noch zulässig. D a g e g e n ist die G r u p p i e r u n g
der Sterbefälle nach fünfjährigen Altersstufen oder g a r nach zehn­
jährigen (auf welche sich die englische Statistik v o m 25. J a h r e
ab beschränkt) für die A u f s t e l l u n g einer brauchbaren Sterblich­
keitstabelle überhaupt kaum zu verwerten.
7. F ü r die annähernde B e r e c h n u n g der so wichtigen K i n d e r ­
sterblichkeit im ersten Lebensjahr findet man in der amtlichen
Statistik der meisten L ä n d e r spezielleres Material, wenn auch die
Elementargesamtheiten nicht direkt g e g e b e n werden. E i n e sehr
befriedigende A n n ä h e r u n g gestattete das von der belgischen S t a ­
tistik bis 1865 a n g e w a n d t e S c h e m a , nach welchem die Sterbefälle
des ersten Lebensjahres nach Altersmonaten in K o m b i n a t i o n mit
den Sterbemonaten unterschieden werden. W e n n ( F i g . 5) N N
3
4
•SSNSNNNX
SSSSSSSSX
NSXNXSNSNX
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - ^ q
if i n 3 * S6 7s 9 mrijf.
2
eine Geburtsstrecke von einem J a h r e und N
3
A
3
eine einjährige
Altersstrecke darstellt, so wird das Parallelogramm N
3
N
4
A
2
A
3
durch je 12 horizontale und schräge Linien in 144 kleine Parallelo­
g r a m m e geteilt, deren Seiten je einer Monatsstrecke entsprechen.
Diese umgrenzen in verkleinertem Masstabe Gesamtheiten von der
A r t M , die also durch die G r u p p i e r u n g der Gestorbenen nach
A l t e r s m o n a t und Sterbemonat unmittelbar g e g e b e n sind. D u r c h
S u m m i e r u n g der Punkteninhalte solcher kleiner P a r a l l e l o g r a m m e
lassen sich nun auch die beiden Elementargesamtheiten N A A
und N N A annähernd bestimmen. E i n e U n g e n a u i g k e i t entsteht
nur dadurch, dass die Punkteninhalte von 12 Parallelogrammen, die
von der L i n i e N A durchschnitten werden, bei unserer U n k e n n t n i s
ihrer wirklichen V e r t e i l u n g einfach je zur H ä l f t e der einen u n d der
anderen Elementargesamtheit zugewiesen werden müssen. D e r so be­
g a n g e n e F e h l e r wird aber um so kleiner, j e höher der betreffende
3
3
3
4
3
3
3
2
3
—
i6
—
A l t e r s m o n a t ist und auch die S u m m e dieser Fehler wird im V e r ­
hältnis zu der G e s a m t z a h l der Gestorbenen des ersten J a h r e s und
auch
zu dem
Punkteninhalt der beiden
Elementargesamtheiten
nur klein sein.
Im Jahre
von o — i
1864 sind z. B . in B e l g i e n
gestorben
J a n u a r 574, auf
die übrigen
1 1 M o n a t e 4202.
gehören nun g a n z in das Elementardreieck N
bilden
im A l t e r
M o n a t 4776 K n a b e n , und von diesen kamen auf den
den Punkteninhalt
N
3
Diese
letzteren
A , die 574 aber
4
3
des P a i a l l e l o g r a m m s N a o i , und von
3
diesen nehmen wir an, dass sie zur H ä l f t e in das kleine Dreieck
N oi
und somit in das Elementardreieck N
3
N
3
4
A
und zur H ä l f t e
3
in das Dreieck N a o und somit in das Elementardreieck N
8
fallen.
i—2
V o n dem zweiten
M o n a t entsprechend)
horizontalen
gehören
3
A
2
A
3
Streifen (dem A l t e r von
alle in den M o n a t e n M ä r z
bis D e z e m b e r v o r g e k o m m e n e n Sterbefälle (1226) zu dem E l e m e n t a r ­
dreieck N
3
N
4
A , die des J a n u a r aber (163) zu N
3
3
A
2
A
3
und die
des Februars (145) rechnen wir wieder zur H ä l f t e auf jedes der
beiden
Elementardreiecke.
S o erhält man für B e l g i e n in
genannten J a h r als Bestandteile
der
der beiden
Hauptgesamtheit M , :
A l t e r der
Gestorbenen
0 —
i
Monat
I—
2
,,
574
2
574 ,
—
+
2—
3
3 — 4
4—
5
„
24« +
..
,
273 +
"
5 6—
7
2
91
^ 2
7
- 2
6
280 +
_
344 +
- - 2
405 +
4
1
7 —8
.,
8 — 9
>.
4
9— 10
,,
477 +
1 0 — 11
11
494
„
601
356 +
4202
V 1226
2
•V+
893
~Y+
751
82
-7-+
555
7
4'i
51
,
- +
—
2
-
—
2
4 + . . .
2
330
i _lA1
5
2
11
—12
— 2
i f
36
36
+
^
4. I i
'
2
2
dem
Elementargesamten
+
8,
17
—
—
2
D i e A d d i t i o n der einzelnen Posten ergiebt demnach lM:iAl
4718
=
und
i ii4^i
~
9 5 ^ ° ' ^as heisst also, von den 1 4 2 7 8 im
J a h r e n 1864 in Belgien gestorbenen K n a b e n im A l t e r von o - 1
J a h r e gehörten annähernd 4718 dem Geburtsjahr 1863 und 9560
dem Geburtjahr 1864 an. D i e letzteren machen also 66,9 Prozent
der Gesamtzahl der Gestorbenen der ersten Altersklasse aus.
U e b e r h a u p t findet man für alle Länder, dass in jedem K a l e n d e r ­
jahre die Sterbefälle im ersten Altersjahre ungefähr zu zwei
Dritteln aus den Geburten desselben J a h r e s und zu einem Drittel
aus denen des Vorjahres stammen.
S
8. W e n n in den statistischen Veröffentlichungen die Sterbe­
fälle nur nach den Altersmonaten, jedoch ohne U n t e r s c h e i d u n g
des Kalendermonats des Todes a n g e g e b e n sind, so hat man statt
der obigen 144 kleinen Parallelogramme nur die Punkteninhalte
der zwölf horizontalen Streifen, die das Parallelogramm N. X A
A. (Fig- 5) bilden. D i e N ä h e r u n g s b e r e c h m i n g des von den Drei­
ecken N , A , Ajj und N N A begrenzten Elementargesamtheiten
ist jetzt nur unter der A n n a h m e möglich, dass die P u n k t e in
jedem horizontalen Streifen gleichmässig verteilt sind. D e m n a c h
wird a n g e n o m m e n , dass ungefähr ' / „ der in dem untersten
Streifen N N a e enthaltenen Sterbepunkte auf das dem vorher­
gehenden Geburtsjahr entsprechenden Elementardreieck N A , A
entfallen, während /
auf das Trapez N N a / x kommen. In dem
/weiten
Streifen werden hiernach * /
der P u n k t e auf das
2
l
3
2
2
2
3
2
3
2
2
2 3
2 4
8
3
u
Elementardreieck A und /
auf das Dreieck A gerechnet und
so weiter für die folgenden Streifen. N e h m e n wir als B e i ­
spiel wieder die Sterbefälle unter den K n a b e n der ersten A l t e r s ­
klasse im J a h r e 1864 in Belgien, jedoch nur mit B e r ü c k s i c h t i g u n g
der U n t e r s c h e i d u n g nach Altersmonaten, so finden wir:
2 ,
l
l
2 4
(Siclio Talx'lle S .
Wir
erhalten
18.)
also jetzt näherungsweise
als
Punkteninhalt
des (dem Geburtsjahr 1863 entsprechenden) Elementardreiecks
die Zahl 4585 und für a\
9093,
während
die
(dem
vorher
Geburtsjahr 1864
angewandte
g-enauere
a\
entsprechend)
Näherungs-
2
methode bezw. 4 7 1 8 und 9560 ergab.
D a s Verhältnis von A
l
zu
der Gesamtzahl der Sterbefälle der ersten Altersklasse stellt sich
jetzt auf 0.679,
Lexis,
a , s o
Bi'vhlkerungs-
i
m
m
e
r
n
a. Moralsl.'ilistik.
o
c
n
m
c
h
t
z
u
w
e
i
t
v
o
n
Vs entfernt.
^
8
1893^ 1
Alter
i
0—
i
Monat
4776 =
23.
I99
24
i—
2
J _
,,
1534 =
21
192
24
_5_
2 -
3
3—
4
4—
5 6 -
,.
7
7 -
IOOO =
8
917 =
9
9— i o
802 =
368
789 =
427
632 =
_9_ .
395
629 =
24
_7_.
446
24
1?
608 =
24
_5_.
481
600 =
„
2
n — 1 2
Der
„
779
• 3.
24
11
24
21
10—II
977
917 =
573
802 =
434
789 =
3^2
632 =
237
629 =
183
608 =
127
600 =
75
6 5 9 =
27
24
24
„
32 =
'7 . 1000 =
15.
344
24
£5
,.
2
24
11
„
I34
24
£7
8 -
321
24
,.
I 2
24
24
11
6
4577
9
I •
1232 -= 255
24
9
5
1534 =
:
24
24
7
4766 :
24
24
_3_.
525
4
24
i
659 =• 632
24
24
F e h l e r entsteht hauptsächlich in der Altersklasse von o — 1
Monat.
Januar
Denn
1864
sind, findet
massigen
während
574
nach
der
direkten
Beobachtung
K n a b e n im A l t e r v o n o — 1 M o n a t
m a n für diese Zahl bei
Verteilung
der
der A n n a h m e einer
Sterbefälle
auf
alle
im
gestorben
gleich-
Kalendermonate
nur 398.
A b e r auch bei der ersten M e t h o d e entsteht schon ein merklicher F e h l e r
durch die einfache H a l b i e r u n g der Sterbefälle
J a n u a r im A l t e r von o — 1 M o n a t .
v o m ersten bis zum dreissigsten
des
D e n n die Sterblichkeit
nimmt
L e b e n s t a g e beträchtlich
ab, so
dass die a n g e n o m m e n e Gleichmässigkeit der V e r t e i l u n g der S t e r b e punkte
in dem kleinen
Parallelogramm N
nicht stattfindet, sondern das D r e i e c k N
die R e g i o n
der
grössten
Sterblichkeit
s
8
1 a o in W i r k l i c h k e i t
1 o, dessen Basis g a n z in
fällt,
wird mehr
Punkte
enthalten, als das D r e i e c k N a o , das nur mit der Spitze in diese
3
R e g i o n hineinreicht.
D i e Differenz lässt sich mit ungefährer A n -
n ä h e r u n g aus den D a t e n der französischen Statistik der B e w e g u n g
der B e v ö l k e r u n g
berechnen,
in der sich die U n t e r s c h e i d u n g der
G e s t o r b e n e n n a c h den Altersstufen von 0—7
Tagen, 8 — 15 und
—
ig
—
16 — 30 T a g e n findet. S o werden z. B . für diese drei G r u p p e n
von Sterbefällen bei beiden Geschlechtern zusammen im J a h r e 1874
die Zahlen 1 6 3 6 9 , 1 1 262 und 1 3 3 8 7 a n g e g e b e n . I n E r m a n g e l u n g
genauerer B e s t i m m u n g e n nehmen wir a n , dass im dritten und
vierten Viertelmonat des A l t e r s die Zahl der Sterbefälle gleich sei und
je 6694 betrage. W i r nehmen ferner innerhalb jeder dieser vier
Altersstufen gleiche V e r t e i l u n g der Sterbepunkte ohne R ü c k s i c h t
auf den K a l e n d e r m o n a t des Sterbens und die Verschiedenheit
des A l t e r s nach T a g e n an. Setzen wir nun für den vorliegenden
F a l l voraus, dass in F i g u r 5 die S t r e c k e n N 1 und N o nicht,
wie früher, einen M o n a t , sondern einen Viertelmonat bedeuten und
demnach der Punkteninhalt des P a r a l l e l o g r a m m s N 4 n r die
Gestorbenen im A l t e r v o n o— 1 M o n a t in einem K a l e n d e r m o n a t dar­
stellt, so ist leicht zu übersehen, wie die V e r t e i l u n g der S t e r b e p u n k t e
auf die beiden Elementardreiecke dieses P a r a l l e l o g r a m m e näherungs­
weise berechnet werden k a n n . V o n den 16369 in der ersten
A l t e r s w o c h e Gestorbenen k o m m t auf das erste K a l e n d e r m o n a t s ­
viertel ungefähr ein Zwölftel oder 1364 und v o n diesen gehören
3
3
3
i
— • 1364 oder 1 7 0 in das Elementardreieck N
7
n r und-—• 1364
o
ö
oder 1 1 9 4 in das Elementardreieck N 4 r. Zerlegt man in ent­
sprechender W e i s e die drei übrigen Viertelmonatsstreifen, so er­
hält man als Punkteninhalt des ersteren Elementardreiecks 1 3 5 9
und als den des letzteren 2059 und diese beiden Zahlen stehen
zu einander in dem Verhältnis von 1 : 1.52. D e m n a c h wäre also
bei A n w e n d u n g der ersten N ä h e r u n g s m e t h o d e die Zahl der im J a n u a r
im A l t e r von o — 1 M o n a t Gestorbenen nicht gleichmässig, sondern
nach dem Verhältnis von u n g e f ä h r 2 :3 auf die E l e m e n t a r g e s a m t 2
l
heiten A^ und A zu verteilen.
3
3
X
9. A b e r auch die A n n a h m e , dass die Kindersterblichkeit in
der ersten A l t e r s w o c h e gleichmässig verteilt sei, ist noch keines­
w e g s genau, denn die Sterblichkeit ist am ersten T a g e weitaus a m
stärksten und zeigt dann eine rasche A b n a h m e . E s ist dies aus der
preussischen Statistik zu ersehen, die für den ersten halben M o n a t
der Gestorbenen nach A l t e r s t a g e n unterscheidet.
S o war z. B .
im J a h r e 1878 die Zahl der Gestorbenen in diesen kleinsten
Altersstufen:
2*
20
Alter
0—
i
1—
2
Tag
Knaben
Mädchen
5I7I
3742
2198
1522
1008
806
996
1182
1132
3048
1959
1311
1082
5 -
6
6-
7
'343
i 7
10
1550
1317
1096
1090
1102
11 76
1138
1306
11757
7- 8
98 —
- 1 09
10—11
11 — 1 2
12 — 13
"3 — 1 4
•5-30
1010
816
827
790
912
929
1029
9710
E s ist nun leicht, mit H ü l f e unserer K o n s t r u k t i o n näherungs­
weise die V e r t e i l u n g der Sterbepunkte auf die beiden E l e m e n t a r ­
gesamtheiten
einer durch einmonatliche Sterbezeit und ein­
monatliche Altersstrecke bestimmten H a u p t g e s a m t h e i t von V e r ­
storbenen zu berechnen. M a n denke sich ein Parallelogramm wie
N N A , A ( F i g . 5) in 30 kleine horizontale Streifen zerlegt, von
denen jeder einer Altersstufe von einem T a g e entsprechen soll.
E s k o m m e n dann von den am ersten L e b e n s t a g e Gestorbenen
/
auf das Elementardreieck N A , A
und /
auf das Dreieck
N N A ; in dem zweiten Streifen von unten k o m m e n auf das
erste Dreieck / , auf das zweite /
- - die A l t e r s ­
2
3
2
!
5 9
6 0
2
2
3
2
6 0
2
3
5 7
u
(;0
s
w
6 0
stufe von 15 bis 30 T a g e n fehlt die U n t e r s c h e i d u n g nach T a g e n
und es muss daher für die g a n z e obere H ä l f t e des Parallelo­
g r a m m s gleichmässige V e r t e i l u n g der Sterbepunkte a n g e n o m m e n
werden. M a n sieht leicht, dass dann / der in dieser Altersstufe G e ­
storbenen auf das zum Geburtsjahr 1877 und
auf das zum G e b u r t s ­
jahr 1878 gehörende Elementardrcieck kommen. S o findet man, dass
die beiden gesuchten Elementargesamtheiten annänernd bei den
K n a b e n 1 3 6 7 g und 22437, bei den M ä d c h e n 10988 und 1 7 5 8 4
betragen. D a s Verhältnis der beiden zu einander stellt sich für
beide Geschlechter rund auf 1 : 1,6, und diese Verhältniszahl wird
auch für andere L ä n d e r zur Z e r l e g u n g der Sterbefälle der ersten
Monatsaltersklasse im J a n u a r angewendet werden dürfen. W i r
können demnach die N ä h e r u n g s r e c h n u n g in unserem ersten, der
belgischen Statistik entnommenen Beispiel berichtigen: anstatt
3
4
der
unter Ä\ stehenden
Zahl - — i s t zu setzen — — X 574 oder
2 2 i , und unter A)
——- X
2,6
574 -f- 4202.
S o ergiebt sich A
=
X
4652 und A\ = 9626 und das Verhältnis der letzteren E l e m e n t a r ­
gesamtheit zu der H a u p t g e s a m t h e i t der Verstorbenen der ersten
Altersklasse im Kalenderjahr 1864 stellt sich also jetzt auf 0,674.
M a n könnte diese K o r r e k t i o n auch auf das E r g e b n i s der
zweiten N ä h e r u n g s m e t h o d e anwenden, aber es würde dadurch keine
Verbesserung erzielt werden.
D e n n sie hat die W i r k u n g , dass
die Elementargesamtheit A\ verkleinert wird.
N u n fällt aber
bei dieser N ä h e r u n g s m e t h o d e diese Elementargesamtheit ohnehin
fast immer zu klein aus, weil der M o n a t J a n u a r in der R e g e l
eine verhältnismässig grosse Kindersterblichkeit aufweist; wenn
man ihm also nur ein Zwölftel der Zahl der Gestorbenen
des ganzen Jahres im A l t e r von o bis 1 M o n a t zuschreibt, so
ist dieser A n t e i l zu klein, wie er j a auch in unserem Beispiel
398 statt 574 beträgt. D u r c h die obige K o r r e k t i o n würde also
der Fehler von A\ noch vergrössert, während die U n t e r l a s s u n g
derselben meistens eine gewisse K o m p e n s a t i o n des spezifischen
Fehlers der M e t h o d e erzeugt.
10. W e n n in der amtlichen Statistik die Sterbefälle des ersten
Altersjahres nach K a l e n d e r m o n a t e n , jedoch ohne K o m b i n a t i o n
mit Unterabteilungen dieses A l t e r s a n g e g e b e n ' werden, so ist es
immerhin z w e c k m ä s s i g , die verhältnismässige Sterblichkeit des
M o n a t s Januar in der ersten Jahresklasse auch auf die Sterblich­
keit im ersten A l t e r s m o n a t zu übertragen. S o kamen z. B . nach
der italienischen Statistik im J a h r e 1875 auf den J a n u a r nicht / ,
sondern /
der G e s a m t z a h l der Sterbefälle im A l t e r von o bis
i Jahr. D i e Zahl der Gestorbenen im A l t e r von o bis 1 M o n a t
aber b e t r u g 1 0 1 558, und man wird daher annehmen, dass von
diesen nicht 8463, sondern 9309 auf den M o n a t J a n u a r entfallen.
A u c h diese Zahl ist freilich noch immer zu klein, denn nach der
direkten B e o b a c h t u n g b e t r u g sie 1 0 9 8 5 , was beweist, dass der
u n g ü n s t i g e Einfluss der Jahreszeit sich nicht gleichmässig über
die g a n z e erste Altersklasse erstreckt, sondern besonders stark
auf die S t u f e v o n o bis 1 M o n a t wirkt.
1
1 2
U
I 2 0
I n mehreren L ä n d e r n giebt die amtliche Statistik die U n t e r ­
abteilungen der Sterbefälle des ersten J a h r e s nicht nach einzelnen
Altersmonaten, sondern in grösseren A b s t u f u n g e n an. In F r a n k -
22
reich z. B . unterscheidet die „Statistique annuelle" nur die S t u f e n
o — i M o n a t (diese allerdings mit den oben erwähnten drei U n t e r ­
abteilungen), i — 6 M o n a t e und 6 — 1 2 M o n a t e . D i e N ä h e r u n g s ­
b e r e c h n u n g der Elementargesamtheiten wird dadurch natürlich
noch wesentlich ungenauer. Bezeichnen wir die Zahl der T o d e s ­
fälle im A l t e r von 1 — 6 M o n a t e n mit [ 1 , 6 ] und die im A l t e r v o n
6 — 1 2 M o n a t e n mit [ 6 , 1 2 ] , so k o m m e n , wie sich ans der F i g u r 5
35
leicht ergiebt, annähernd von der ersteren G r u p p e —'— [ 1 , 6 ]
120
2
auf
L
8s
die Elementargesamtheit A
und
X
[ 1 , 6 ] auf die E l e m e n t a r ­
gesamtheit A \, während die zweite G r u p p e sich entsprechend in
— [6,12] und " [ 6 , i 2 | zerlegt.
4
4
D i e italienische Statistik giebt in den allgemeinen Tabellen )
für das erste Altersjahr nur die Unterabteilungen von o — 1 Monat,
i — 3 M o n a t e n , 3 — 6 M o n a t e n , 6—9 M o n a t e n und 9 — 1 1 M o n a t e n .
A l s angenäherte W e r t e der beiden Elementargesamtheiten findet
man hieraus mit Beibehaltung der eben angewandten Bezeich­
nung:
l
<=h ^ + Ts
[o
<=i
M
72 ^
+
i]
< + fs ™ + f ^
2
+
f
2 ^
+
+ %M +
~
b.»]
[9,I2]
T2
A u c h diese R e c h n u n g kann kein genaues Resultat liefern,
da namentlich die A n n a h m e einer gleichmässigen Sterblichkeit
in der Altersstufe von 1 — 3 und von 3 — 6 M o n a t e n von der
W i r k l i c h k e i t erheblich abweicht.
In den Spezialtabellen der
italienischen Statistik (in ihrer früheren Gestalt) findet sich aber
a u c h die K o m b i n a t i o n der obigen A l t e r s g r u p p i e r u n g mit den
K a l e n d e r m o n a t e n des Todes, wodurch sich, ähnlich wie in dem
ersten Beispiel aus der belgischen Statistik, eine wesentlich bessere
A n n ä h e r u n g erreichen lässt.
E s m ö g e hier noch eine allgemeine Formel für die V e r ­
teilung in F ä l l e n der oben bezeichneten A r t a n g e g e b e n werden,
1) Seit
bedeutend
mehreren Jahren
eingeschränkt worden.
die Sterblichkeit in den
sind
Sie
die
Veröffentlichungen
enthalten jetzt
Unterabteilungen des
der italienischen Statistik
überhaupt keine A n g a b e n
ersten Jahres.
über
—
23
—
deren R i c h t i g k e i t leicht zu erkennen ist. Teilen wir das J a h r in n
gleiche Unterabteilungen ein (Monate, W o c h e n oder T a g e , w o also
n bzw. = i 2 , 52 oder 365) und bezeichnen wir die Zahl der T o d e s a
fälle des ersten Lebensjahres im A l t e r von —- bis
a
b
n ' n
Jahr
, so wird der auf die E l e m e n t a r g e s a m t h e i t A
vorhergehenden
den Sterbefällen
a
b
—
1
Geburtsjahr
entspricht)
dieser Unterstufe
1
entfallende
2ii—b— a
2n
(die dem
Anteil
b
durch
näherungsweise
t> 1
—, —
und der A n t e i l v o n A^ durch
n
n J
gedrückt.
mit
f a
—,
[ n
b
—
n
an
1
a
^
aus­
I n der belgischen Statistik findet man seit 1867 nicht mehr
die G r u p p i e r u n g der Sterbefälle des ersten Jahres nach A l t e r s ­
monaten, sondern nach M o n a t e n der G e b u r t in K o m b i n a t i o n
mit den Kalenderrnonaten des Todes. H i e r a u s ergiebt sich eine
geometrische Darstellung, wie sie teilweise in dem Dreieck N N A ,
(Fig- 5) gezeichnet ist. A n der oberen G r e n z e der ersten A l t e r s ­
klasse gehen die kleinen schrägstehenden P a r a l l e l o g r a m m e mit
ihrer oberen H ä l f t e über die verlängerte L i n i e A
A , hinaus,
und zur B i l d u n g der Elementargesamtheiten müssen in E r m a n g e ­
l u n g genauerer D a t e n die Punkteninhalte dieser P a r a l l e l o g r a m m e
halbiert werden. D e r an dieser Stelle b e g a n g e n e F e h l e r ist aber
verhältnismässig grösser als derjenige, der bei der H a l b i e r u n g
der in den vorigen Beispielen v o r k o m m e n d e n Parallelogramme
mit horizontaler Grundlinie entsteht, da der Altersspielraum jetzt
2 M o n a t e beträgt, während er vorher nur 1 M o n a t war. A n d e r e r ­
seits allerdings entstehen in dem vorliegenden F a l l e sämtliche F e h l e r
ausschliesslich an der oberen G r e n z e der ersten Altersjahresklasse,
w o die Sterblichkeit sich schon weit weniger rasch ändert, als in
den ersten M o n a t e n . F ü r alle früheren Monatsstufen liefert die
M e t h o d e g e n a u passende Bestandteile der Elementargesamtheiten,
t
2
2
und die unteren Elementargesamtheiten A\
(dem späteren G e ­
burtsjahr entsprechend) liefert sie überhaupt g a n z korrekt.
Gleich­
wohl ist im allgemeinen die U n t e r s c h e i d u n g der Gestorbenen
nach dem A l t e r der nach der Geburtszeit — w e n n man nicht
beide zugleich g e b e n will — vorzuziehen.
24
Zur
N ä h e r u n g s b e r e c h n u n g der
Gestorbenen
in
der
Altersklasse
Elementargesamtheiten
von
i — 2 Jahren
genügt
U n t e r s c h e i d u n g der Sterbefälle nach vierteljährigen S t u f e n .
der
die
Das
E r g e b n i s wird natürlich noch genauer, wenn mit dieser G r u p p i e r u n g
auch die nach den K a l e n d e r m o n a t e n oder wenigstens den K a l e n d e r ­
quartalen
des
Todes
kombiniert
ist.
Bei
den
höheren
Alters­
klassen kann man sich, wie schon erwähnt, einfach mit der H a l ­
bierung der durch Altersjahr und K a l e n d e r j a h r bestimmten H a u p t ­
gesamtheiten
der Verstorbenen
begnügen.
N u r vom
75. Jahre
a b sind wieder genauere U n t e r s c h e i d u n g e n zu wünschen.
II. Die Absterbeordnung.
i. S i n d
auf
irgend
nun die Elementargesamtheiten
eine A r t direkt
der
Verstorbenen
oder näherungsweise
bestimmt,
so
kann man aus je zweien der B e g r e n z u n g s d r e i e c k e mit z u s a m m e n ­
fallenden H y p o t e n u s e n die quadratisch begrenzten
gesamtheiten von Verstorbenen M
l
ersten H a u p t ­
zusammensetzen, deren K e n n t ­
nis die u n u m g ä n g l i c h e B e d i n g u n g für die A u f s t e l l u n g einer theo­
retisch genauen A b s t e r b e o r d n u n g bildet.
1
samtheiten
M , die demselben
R e i h t m a n solche G e ­
Geburtsjahr angehören, nach ein­
jährigen Altersklassen bis zu dem höchsten v o r k o m m e n d e n A l t e r
—
etwa
unserer
bis zu
100 J a h r e n
geometrischen
eines senkrechten
—
aneinander,
Darstellung
Streifens, wie
so
( F i g . 4)
N
7
N
U
8
7
erhält man
den
U
Punkteninhalt
eingeteilt
s
in
nach
einjährigen Altersklassen ').
S o würde sich also das beobachtete
A b s t e r b e n einer wirklichen
Generation, d. h. der G e b o r e n e n aus
der S t r e c k e N
Reihenfolge
7
N , darstellen und die A b s t e r b e o r d n u n g , d. h. die
s
der Ueberlebenden
aus dieser Generation im A l t e r
von genau 1, 2, 3 u. s. w. Jahren (welche A l t e r s g r e n z e von den
einzelnen
nicht gleichzeitig,
sondern
eines J a h r e s erreicht werden) lässt
nach und
nach im
dem man von der Zahl der G e b o r e n e n G die der
bis zu den
bildet
einzelnen
G — M\,
Altersstufen
G—(mJ+Mg),
Laufe
sich nun leicht berechnen, in­
Gestorbeneu
abzieht, also die
G — (MJ + M
2
Differenzen
- f M ) u. s. w.
8
Diese Differenzen sind zugleich die oben als „erste" bezeichneten
H a u p t g e s a m t h e i t e n von L e b e n d e n l { , L , L
2
I ) In
für
Wir
die
der F i g u r
erscheinen
die Hauptgesamtheiten
M
1
die
auch
nehmen aber im obigen a n ,
3
u. s. w.
Altersklassen als zehnjährige;
A b e r die
es müssen dann
zehnjährige Geburtsstrecken angenommen werden.
dass die Massstrecke ein J a h r sei,
Figur etwa zehnmal höher ausgeführt denken muss.
wobei man
sich-
26
—
—
B e r e c h n u n g einer solchen A b s t e r b e o r d n u n g würde eine B e o b a c h ­
tungsperiode
von
etwa
einem
Jahrhundert erfordern,
und
es
würde überdies noch fraglich bleiben, ob sie auf andere G e n e r a ­
tionen
der
anwendbar wäre, da in der langen Zeit die B e d i n g u n g e n
Sterblichkeit
könnten.
von
den
späteren
erheblich
verschieden
sein
Praktisch brauchbar ist sie daher nur für die
Dar­
stellung der Kindersterblichkeit, also der Sterblichkeit in den ersten
fünf oder zehn Lebensjahren und für diese bietet sie die theo­
retisch vollkommen korrekte L ö s u n g des Problems.
M a n erhält
dann also die Sterbenswahrscheinlichkeit im A l t e r von o — i J a h r
l
M
— - , im
G
=
M.;
— u .
1
M
J a h r — -, im
L,
2
A l t e r von i—z
A l t e r von 2 — 3 J a h r
s. w.
D a diese Wahrscheinlichkeiten auch für die Zukunft um so
genauer G e l t u n g haben werden, je grösser die der R e c h n u n g zu
G r u n d e liegenden
Zahlen sind,
Geburtenjahrgänge
G , „ + iG,
n
1
a u c h die entsprechenden
zufassen
und
aus
scheinlichkeiten
so
„M ,
diesen
empfiehlt
iM', „
n +
+
l
M
2
grösseren
Zahlen
Für
erste
abzuleiten.
es sich,
„-1-2G u. s. w.,
die
und
mehrere
andererseits
u. s. w. zusammen­
die
Sterbenswahr­
Altersklasse
erhält
m a n also:
_
„Ml-f
w
n
G -j-
n
i M 1 + „ m1 • ••
- + 2G • •—•
+
+ 2
„ _|_ G +
t
n
2. Dieser theoretisch strengen M e t h o d e schliesst sich als N ä h e ­
rungsmethode
die sogenannte
Hermann'sehe
an.
Diese
setzt
an die Stelle der nur mit H ü l f e der Elementargesamtheiten be­
stimmbaren
Hauptgesamtheiten M
3
von Verstorbenen
M , die
1
die „dritten" H a u p t g e s a m t e n
durch Sterbealter und Sterbezeit be­
stimmt sind und direkt beobachtet werden können, und die den
einzelnen Altersklassen entsprechenden M
3
werden so aneinander­
gereiht, dass ihre unteren Elementargesamtheiten demselben G e ­
burtsjahr
angehören.
S o nimmt
inhalte der P a r a l l e l o g r a m m e N
u. s. w.
a
7
a
8
b
•und M
7
1
statt
b , b
8
7
haben
der
b
8
c
7
N
man
a
8
Punkteninhalte
7
c
8
stets die
u. s. w.
unteren
also z. B . die
a, a
6
7
der
Die
7
a
8
b
6
b , b
7
Quadrate N
beiden
7
Punkten­
7
b
N
c
8
8
a
Gesamtheiten
Elementargesamtheiten A
1
7
6
c
7
a,
3
M
3
ge-
27
meinsam, der durch die V e r t a u s c h u n g b e g a n g e n e Fehler ist also
immer nur gleich der Differenz der beiden oberen, zu verschie­
denen
n
+
Geburtsjahren
2
izJ — d .
2
gehörenden
Elementargesamtheiten,
D a die Geburtenzahl von einem
n
also
zum andern J a h r
verhältnismässig nicht viel zunimmt, so wird dieser Fehler im all­
gemeinen nicht gross sein.
F ü r jede höhere Altersklasse der M
rückt das K a l e n d e r j a h r des T o d e s um
i vor, so dass sie,
das Kalenderjahr durch den I n d e x t angedeutet wird,
M
u
s
3
wenn
allgemein
w
durch die S y m b o l e M , ,
iM^,
+ 2 's - - dargestellt
werden. Bezeichnet G die Geburtenzahl im J a h r t, so hat man
also jetzt als N ä h e r u n g s w e r t e der Ueberlebenden im A l t e r von
t
t +
t
t
genau
t
G -
i, 2, 3 u. s. vv. J a h r e n
( M * -|t
t +
,MJ
+
t +
,,M
t
G— Mp
J) u.
t
t
G— ( M^ +
t
t +
1
M'^)
i
s. w.
D i e Sterbenswahrscheinlichkeit für die erste Altersklasse wird
d e m n a c h durch
ausgedrückt.
tG
E s empfiehlt
sich a u c h hier,
mehrere G e b u r t s j a h r g ä n g e und die entsprechenden M
3
zusammen­
zufassen, um für die Sterbenswahrscheinlichkeiten grössere Zahlen
als G r u n d l a g e n zu erhalten.
Zur Geburtstrecke N
7
N
1 0
würde also
für die erste Altersklasse der Punkteninhalt des P a r a l l e l o g r a m m s
N
die
a
7
a
1 0
6
a
zweite
a
1 0
hören
b„ b
(statt desjenigen des R e c h t e c k s N
9
Altersklasse
der
Punkteninhalt des
(statt desjenigen
9
u. s. w.,
und
die
des
mit
Sterbenswahrscheinlichkeit
N
7
Rechtecks a
grösserem
der
ersten
1 0
a, a ) , für
10
Parallelogramms
7
a
l 0
Gewicht
Altersklasse
b
7
b )
ge­
I 0
bestimmte
wäre
also
t M , -!- t ! i A l ,
M , D e r Fehler in der Zahl der Gestorbenen
t^ ~f" t + i G - f - + 2G
der ersten Altersklasse, die man als h e r v o r g e g a n g e n aus den
G e b o r e n e n der S t r e c k e N N , annimmt, ist in diesem Beispiel
gleich der Differenz der Punkteninhalte der D r e i e c k e N
a a
und N a„ a .
D i e absolute G r ö s s e dieses Fehlers nimmt bei
fortwährend wachsender G e b u r t e n z a h l und gleichbleibender S t e r b ­
lichkeit mit der Zahl der zusammengefassten G e b u r t s j a h r g ä n g e
z u , im Verhältnis zu der zugehörenden G e s a m t z a h l von G e ­
burten aber nimmt er im allgemeinen ab, und in jedem F a l l e
wächst bei V e r g r ö s s e r u n g der Grundzahl, hier also der G e b u r t e n ­
zahl, die Präzision der B e s t i m m u n g der Sterbenswahrscheinlichkeit.
f
;
2
T
1
7
0
1 0
7
7
9
1 0
28
I m übrigen gilt von der H e r m a n n ' s c h e n M e t h o d e dasselbe, w i e
für die oben besprochene strenge M e t h o d e : sie liefert erst in
einem Jahrhundert annähernd die volle A b s t e r b e o r d n u n g einer
wirklichen Generation und ihre praktische V e r w e n d b a r k e i t be­
schränkt sich daher auf die Sterblichkeit in der K i n d h e i t und
frühen J u g e n d .
3. E i n e A b s t e r b e o r d n u n g , die allgemein für die G e g e n w a r t
A n w e n d u n g finden soll, muss auf denjenigen Sterbenswahrscheinlich­
keiten beruhen, die unter den g e g e n w ä r t i g e n hygienischen und
socialen Verhältnissen in den verschiedenen Altersklassen wirklich
bestehen und nicht auf denjenigen, die vor vielen Jahren einmal
bestanden haben. Diese g e g e n w ä r t i g e n Sterbenswahrscheinlichkeiten
müssen unmittellbar bestimmt werden, und mit ihrer H ü l f e kann
man dann auch leicht berechnen, wie sich die A b s t e r b e o r d n u n g
einer hypothetischen Generation von 1 0 0 0 0 0 oder einer Million
gestalten würde, wenn diese dauernd unter der Herrschaft der
g e g e n w ä r t i g geltenden
Sterblichkeitsbedingungen stände.
Zu
diesem Z w e c k e muss man die Zahlen der in einem g e g e b e n e n
Zeitpunkt
in
den verschiedenen
Altersjahresklassen
gleichzeitig
2
lebenden Personen kennen, also die oben mit ,.La bezeichneten
H a u p t g e s a m t h e i t e n von L e b e n d e n , wie sie durch eine V o l k s z ä h l u n g
im Zeitpunkt z ermittelt werden können.
Ferner müssen bekannt
sein die beiden Elementargesamtheiten aller derjenigen H a u p t ­
gesamtheiten M , deren B e g r e n z u n g s q u a d r a t e von der dem Zeit­
punkt z entsprechenden isochronischen L i n i e durchschnitten werden.
Ist z. B . dieser Zeitpunkt N ( F i g . 4), die z u g e h ö r i g e isochronische
L i n i e also N U , so müssen die Punkteninhalte aller der Drei­
ecke, wie c c e und c e e , g e g e b e n sein, deren H y p o t e n u s e n
durch diese L i n i e gebildet werden. D a r a u s ergeben sich dann
die Hauptgesamtheiten M , in diesem Beispiel also der P u n k t e n ­
inhalt des Quadrats c c e e . F ü r die Altersklasse von a — 1
bis a J a h r e n wird die erste H a u p t g e s a m t h e i t von Verstorbenen
1
8
8
4
3
5
4
5
4
5
1
4
5
4
5
mit Ma, die gezählte zweite H a u p t g e s a m t h e i t von L e b e n d e n mit
2
L
a
, wenn wir die Indices n und z für das Geburtsjahr und den
Zählungszeitpunkt der Einfachheit w e g e n weglassen.
Division
der ersten
G r ö s s e durch die
zweite
Durch
erhält man
die
aber
keineswegs die Sterbenswahrscheinlichkeit der a-Altersklasse, denn
diese ist das Verhältnis von M
a
zu der Zahl derjenigen, die über-
—
2Q
—
haupt, und zwar n a c h und nach im L a u f e eines Jahres, die untere
G r e n z e der Altersklasse, in unserem Beispiele die Grenzlinie c
überschritten haben, nicht aber zur Zeit z zusammen
von a bis a - ] - i leben,
c
4
c
5
treffen.
Diese
d. h. mit ihren Lebenslinien
letztere
Zahl
ist
c
4
5
im A l t e r
die
offenbar kleiner
Linie
als
die
erstere, und zwar um die Zahl der Sterbepunkte, die das Dreieck
c
4
c
5
e
4
enthält.
M i t anderen W o r t e n : als N e n n e r des
Wahr­
2
scheinlichkeitsbruches ist nicht die zweite H a u p t g e s a m t h e i t L . zu
nehmen, sondern
die erste L _
a
1 )
und diese wird, wie schon oben
angeführt, dargestellt durch L + A\ und die Sterbenswahrschein­
a
lichkeit der a-ten Altersklasse d e m n a c h durch
A\ + A\
2
U
Soll
also
die
1
M
0
d
e
a
r
,
•
A
-f
+
A
diese B e s t i m m u n g theoretisch
genau
sein, so müssten
Elementargesamtheiten der Gestorbenen wenigstens
in
d e m der V o l k s z ä h l u n g vorangehenden und dem ihr nachfolgenden
fahre unmittelbar erhoben werden.
In W i r k l i c h k e i t aber
findet
die E r h e b u n g der Elementargesamtheiten nur in w e n i g e n L ä n d e r n
und in diesen
Berechnung
nicht immer für alle Altersklassen
der
Absterbeordnung
einer
statt und die
hypothetischen
oder
idealen Generation nach der obigen M e t h o d e kann daher bisher
meistens
nur annähernd ausgeführt werden,
indem
man für die
fehlenden Elementargesamtheiten N ä h e r u n g s w e r t e einsetzt.
wird
der Quotient angeführt, den
man erhält,
indem
Häufig
man
die
Zahl der in der a-ten Altersklasse in einem Kalenderjahre G e ­
storbenen
derselben
8
(also eine H a u p t g e s a m t h e i t M ) durch die Zahl der in
Altersklasse
gezählten
Lebenden
dividiert.
Dieser
B r u c h , den man als Sterblichkeitscoefficient zu bezeichnen pflegt,
w u r d e früher oft mit der Sterbenswahrscheinlichkeit
Ad. Bertillon
verwechselt.
g a b dann einen verbesserten A u s d r u c k für diese
letztere, der sich leicht zurückführen lässt auf den folgenden,
M
w . —- —.-,
L + \ M
a
a
D a s heisst also: es wird statt
v o n Verstorbenen die direkt zu
Altersklasse g e n o m m e n
der
a
ersten H a u p t g e s a m t h e i t
bestimmende dritte für dieselbe
(in dem obigen
Beispiele
der P u n k t e n -
inhalt des P a r a l l e l o g r a m m s e
gramms c
c
5
6
e
e
4
5
c
4
e
6
e
3
4
oder auch des
Parallelo
oder besser noch das M i t t e l aus diesen beiden)
und statt der E l e m e n t a r g e s a m t h e i t Äl
einfach
die
Hälfte
von
3
M
a
genommen.
hält
man
in
N a c h dieser sogenannten
der T h a t
alle Altersklassen
einen
„direkten" M e t h o d e er­
Näherungswert
höchsten Greisenalters hinlänglich g e n a u ist.
klasse
aber
von
w
der
a>
für
mit A u s n a h m e der beiden ersten und der des
F ü r die erste A l t e r s ­
müsste man im Nenner etwa
zwei Drittel statt der
3
H ä l f t e von M j und auch in der zweiten
i
B r u c h als /
annehmen.
2
zählungsergebnisse
für
noch
einen
grösseren
U e b e r d i e s dürften aber auch die V o l k s ­
die
erste
Altersklasse
häufig
weniger
sicher sein, als für die übrigen. D a h e r empfiehlt diese sich für immer
am
meisten
die unmittelbare B e s t i m m u n g des Verhältnisses
Gestorbenen
zu
den
Geborenen
nach der
zuerst
der
besprochenen
M e t h o d e oder bei fehlender K e n n t n i s der E l e m e n t a r g e s a m t h e i t e n
nach der H e r m a n n ' s c h e n M e t h o d e .
S i n d nun die Sterbenswahrscheinlichkeiten w , w , w„ u. s. w.
t
nach einer mehr
oder w e n i g e r
sind die Ueberlebenswahrscheinlichkeiten
u. s. w. Altersklassse
1—w
l f
2
genauen M e t h o d e bestimmt,
1—w ,
2
so
am E n d e der i., 2., 3 .
1—w
3
u.
s. w.
und
die
ideale A b s t e r b e o r d n u n g wird daher, w e n n man die Zahl der G e ­
borenen als Einheit nimmt: ( 1 — W j ) , ( 1 — w ) . ( 1 — w ) , ( 1 — w , ) .
(!— s)- (
s ) - s. w.
4. D i e von R . B o e c k h in der Berliner Statistik a n g e w a n d t e
t
w
I
_
w
2
u
M e t h o d e hat als G r u n d l a g e ebenfalls die Zahl der L e b e n d e n am
Anfang
(was
des
bei
Altersjahren
die
K a l e n d e r j a h r e s , unterschieden
diesem
Anfangspunkt
der
nach Geburtsjahren
Unterscheidung
nach
zusammenfällt), ferner die Zahl der G e b u r t e n und
Elementargesamtheiten
trachteten
mit
Kalenderjahres.
der
Gestorbenen
Boeckh
legt
innerhalb des
auf
diesen
be­
letzteren
U m s t a n d besonderes G e w i c h t und in demselben liegt der H a u p t ­
unterschied
gesamtheiten
von
aus
der
vorher
dem
dem
besprochenen,
bei
der E l e m e n t a r ­
Zählungszeitpunkt
vorhergehenden
und nachfolgenden K a l e n d e r j a h r benutzt werden.
E s soll
eben
durch die B o e c k h ' s c h e M e t h o d e die A b s t e r b e o r d n u n g aufgestellt
werden,
die
den
besonderen
innerhalb
des
Beobachtungsjahrs
wirksam gewesenen S t e r b l i c h k e i t s b e d i n g u n g e n entspricht.
ist aber auch schon
Damit
g e s a g t , dass sie nicht die A b s t e r b e o r d n u n g
—
3i
-
einer wirklichen, sondern ebenso, wie die obige M e t h o d e , die
einer hypothetischen Generation darstellt. Ihre E l e m e n t e sind
also z. B . (Fig. 4) die Gesamtheiten von L e b e n d e n in den ver­
schiedenen Altersklassen in dem Zeitpunkte N , am A n f a n g des
7
O
r,
Kalenderjahres N
N
7
oder n, also
8
8
die Indices mit n die Geburtsjahre andeuten),
borenen
P.
(N
aus
N
7
diesem
a ), P .
8
K a l e n d e r j a h r e , die
(N
7
a, a ), P .
7
;
oder symbolisch ausgedrückt,
Wir
bilden
ferner
die
(a
7
„zli,
a
G
n
n
Verhältnisse
u.s.w.(wo
die Zahl der G e ­
K
6
„_izlf,
3
Elementargesamtheiten
b ), P .
7
2
„-21-2, „ _ L
„-iLi,
b , b ) u. s. w.
ß
-i.4>\
n-2^:l u.s.w.
~ V
n—2L2
1
-'^>
G
n-lLi
^ ^ '
n-lUl
n-2^3
u. s. w. und bezeichnen sie mit bezw. d\, ö[, d\, dl, d\ u.s.w.,
-——jn—2L2
w o die L
2
A
1
gefunden sind, indem von den L
abgezogen
(oder
n
Nehmen
L Ö ) als E i n h e i t ,
zahlen
linien
wurden.
so
die Relativzahlen
die Linien N
wir
können
nun
wir
derjenigen
s
die
entsprechenden
die
Geburtszahl G
mit
diesen V e r h ä l t n i s ­
berechnen,
a,, a, a , a^ b , b
8
2
7
7
b , b
8
8
deren
c, c
7
7
c
Lebens­
8
u. s. w.
schneiden. D i e 2., 4., 6. u. s. w . v o n diesen Zahlen bilden die ideale
A b s t e r b e o r d n u n g in unserem
S i n n e , die 1., 3., 5. u. s. w . stellen
unter bestimmten V o r a u s s e t z u n g e n (s. u.) die innerhalb jeder A l t e r s ­
klasse von den Gestorbenen und Ueberlebenden im ganzen durch­
lebte Zeit dar und zugleich auch die Zahl derjenigen, die von der
idealen Generation unter den gegebenen
B e d i n g u n g e n am
Ende
des Kalenderjahres der G e b u r t und der folgenden K a l e n d e r j a h r e
in den einzelnen
Altersklassen
n o c h gleichzeitig leben
würden.
D i e obige Zahlenreihe wird durch folgende F o r m e l n a u s g e d r ü c k t :
(i-d\),
l
(i-d\).(i~ö\),
-d\).(i-d\).(i-d ),
(1
(i-d\)-(i-d\)'
t
(1—<5,)-(i—d\) u. s. w. und die A b s t e r b e o r d n u n g bilden
der A n f a n g s g r ö s s e 1 die Glieder ( 1 —
(1——dl)
sprochenen
stets
u
s
- -
w
-
d\)-{i— d\),
W ä h r e n d man also nach der zuerst
M e t h o d e bei der B e r e c h n u n g der
nach vollen,
aus
zwei
1
Hauptgesamtheiten
M
der B o e c k h ' s c h e n
Methode
mentargesamtheit
zwei F a k t o r e n
ausser
(1—<5))-(i— d[)-
Elementargesamtheiten
fortschreitet,
von
geht
die
be­
Absterbeordnung
gebildeten
Rechnung
Elementargesamtheit
zu
nach
Ele­
und jeder der F a k t o r e n ( 1 — w ) wird hier
l
(1—S )
2
(1—<5 ) zerlegt.
in
D i e sachliche B e d e u t u n g dieses Unterschiedes erkennt man
•am leichtesten
in der untersten Altersklasse.
U m von der gleichen
G e b u r t e n z a h l ausgehen zu können, nehmen wir an, dass die erste
Methode
mit
Benutzung
einer
nicht am A n f a n g , sondern
Z ä h l u n g im
Zeitpunkt N ,
also
8
am E n d e der J a h r e s s t r e c k e N
N ,
7
8
a n g e w a n d t werde. D e r empirische W e r t der Sterbenswahrscheinlich­
keit im A l t e r von o bis i J a h r für die in dem J a h r e n o d e r N , N
Geborenen
wird
Punkteninhalt
nun
des
aller
Quadrats N
der Geborenen G .
fälle finden
in
Strenge
N
7
a
8
ausgedrückt
a
7
durch
s
den
geteilt durch die Zahl
s
Die hier in R e c h n u n g zu bringenden S t e r b e ­
aber nicht sämtlich in dem B e o b a c h t u n g s j a h r N
N
7
8
statt, sondern teilweise, und zwar soweit sie dem E l e m e n t a r d r e i e c k
N
8
a
7
ersten
a
8
entsprechen,
M e t h o d e wird
erst
nun
in
dem
für das
folgenden
g e n a u der Punkteninhalt des Q u a d r a t s N
erste H a u p t g e s a m t h e i t
von
Jahre.
erste Altersjahr
N
7
8
Bei
der
theoretisch
a „ a , die wirkliche
8
Verstorbenen „ M , verwendet,
und
es fällt daher für dieses erste Altersjahr die ideale A b s t e r b e o r d n u n g
mit der in diesem F a l l e wirklich auftretenden zusammen.
der B o e c k h ' s c h e n M e t h o d e d a g e g e n
Nach
hat die erste Altersklasse
von Verstorbenen aus d e m Geburtsjahr n nur die untere E l e m e n t a r ­
gesamtheit
gesamtheit
P. ( N , N
„ m J
8
a )
7
oder
gemein.
mit
Für
die
der
wirklichen
obere
oder
P.
Haupt­
(N
8
a
aj
7
d a g e g e n wird nicht der wirkliche W e r t , sondern der durch M u l 2
1
tiplikation von „ L i . und di berechnete eingesetzt, indem aus der
E l e m e n t a r g e s a m t h e i t P. ( N
a a ) , die von den L e b e n d e n
i
n—j.I-2 in der isochronischen L i n i e N
a ausgeht, durch P r o 7
6
7
7
6
2
portionsrechnung
schen Linie N
abgeleitet
8
die
a
7
wird.
von
den
L e b e n d e n „ L i in der
isochroni­
ausgehende Elementargesamtheit P . ( N
In
den
a u c h die nach der ersten
höheren
Altersklassen
M e t h o d e berechnete
a, a )
8
8
weicht
nun
ideale A b s t e r b e ­
o r d n u n g von der wirklichen der Generation des J a h r e s n ab; bei
der
Boeckh'schen
im allgemeinen
M e t h o d e aber
werden
diese
Abweichungen
noch grösser sein, weil die rechnerischen
Ueber-
t r a g u n g e n auf die ideale Generation nicht nach H a u p t g e s a m t h e i t e n
von
Verstorbenen,
finden,
sondern
nach
Elementargesamtheiten
also doppelt so zahlreich sind.
einen oder der
statt­
W e l c h e von den nach der
anderen M e t h o d e erhaltenen
Absterbeordnungen
—
vorzuziehen
hat.
Will
33
sei, h ä n g t von d e m Z w e c k ab, den
man
m a n im
eine A b s t e r b e o r d n u n g aufstellen,
andere J a h r e die wahrscheinlichen
stellt, so
—
zweier
Auge
auch
Sterblichkeitsverhältnisse
ist die erste M e t h o d e zweckmässiger,
Beobachtungen
die
da sie
Kalenderjahre abgeleitet
für
dar­
aus
den
ist und daher
durch die Besonderheiten der einzelnen J a h r e weniger
beeinflusst
wird. Grössere Sicherheit freilich erlangt m a n erst durch Mittelwerte
aus den E r g e b n i s s e n mehrerer B e o b a c h t u n g s j a h r e . W i l l man da­
g e g e n gerade die besonderen Eigentümlichkeiten der Sterblichkeit
eines einzelnen J a h r e s durch eine für dieses J a h r
spezifizierte A b s t e r b e o r d n u n g charakterisieren,
B o e c k h ' s e h e Methode.
oder
die
werden
Cholera
diese
gewissermassen
so dient dazu die
W e n n z. B . in einem J a h r e die Influenza
ungewöhnlich
ungünstigen
zahlreiche
Umstände
Opfer
durch die
forderte,
so
Boeckh'sche
M e t h o d e bestimmt zum A u s d r u c k gebracht, während sie bei A n ­
w e n d u n g der anderen Methode, die die E r g e b n i s s e des folgenden
J a h r e s mit normaler oder s o g a r besonders g ü n s t i g e r Sterblichkeit
mit verwendet, schon mehr oder weniger stark verwischt werden.
Aber
eben
deswegen
ist
die
Boeckh'sche
M e t h o d e zur
Dar­
stellung einer möglichst auch für die Zukunft g ü l t i g e n A b s t e r b e ­
ordnung an sich
Methode
das
während
weniger
bei
der
Uebertragungen
Rechnung
geeignet.
A u c h wird bei
der ersten
unmittelbarer
verwertet,
Beobachtungsmaterial
Boeckh'schen
stattfinden
Methode
mehr
und überhaupt eine
proportionale
umständlichere
erfordert wird, bei der allerdings zugleich auch
die
durchlebte Zeit in den einzelnen Altersklassen der idealen G e n e ­
ration mit gefunden wird.
5. D i e
einfachste,
aber
auch
unvollkommenste
Methode
der B e r e c h n u n g einer Sterblichkeitstabelle ist diejenige, die m a n
als die H a l l e y ' s c h e zu bezeichnen pflegt, obwohl H a l l e y selbst
sie
in ihrer reinen Gestalt gar nicht a n g e w a n d t hat.
einfach
Sie nimmt
die Altersklassen der Verstorbenen eines oder mehrerer
Kalenderjahre als zusammenfallend an mit den Altersklassen der
Gestorbenen
storbenen
aus
einer Generation, die
gleich ist.
1
U
Hauptgesamtheiten
U
8
Streifen
( F i g . 4)
die
N N U U
7
8
2
von Verstorbenen in dem Streifen N
M
3
in
dem
7
N
8
schrägen
und setzt zugleich den Punkteninhalt dieses
3
3
Streifens oder 2 " M gleich der
Lexis,
Ver­
M i t anderen W o r t e n , sie nimmt statt der
Hauptgesamtheiten M
7
der S u m m e jener
BevülkL-rungs- u. Moralstatistik.
Zahl der Geborenen.
3
Die A b -
—
34
—
Sterbeordnung wird also einfach, wenn der I n d e x t sich auf d a s
K a l e n d e r j a h r der B e o b a c h t u n g bezieht:
s
I M\
8
2 - M - M : , 2" M -( M-; + M:), 2
u. s. w.
t
t
t
t
t
t
M " - ( X +
t
M| +
t
Ml)
D i e s e M e t h o d e würde richtige E r g e b n i s s e liefern, w e n n die
untersuchte
Bevölkerung
seit etwa
hundert
Jahren
stationär
geblieben wäre, d. h. w e n n in diesem Zeitraum sowohl die Z a h l
der jährlichen G e b u r t e n als auch die Sterblichkeitsverhältnisse in
allen
Altersklassen
unverändert
geblieben
wären.
Die Dichtig­
keit der S t e r b e p u n k t e w ä r e dann j a in j e d e m horizontalen Streifen
v o l l k o m m e n gleichmässig u n d der Punkteninhalt eines Parallelo­
gramms
gleich.
wie z. B . m m o o„ d e m des Q u a d r a t s m m o o
2
E b e n s o bliebe
3
s c h r ä g e n Streifen immer
zahl.
t
7
8
7
8
die G e s a m t z a h l der S t e r b e p u n k t e in den
gleich der unveränderlichen G e b u r t e n ­
J e n e B e d i n g u n g wird aber
thatsächlich wohl niemals er­
füllt, vielmehr hat die B e v ö l k e r u n g u n d die jährliche G e b u r t e n ­
zahl in allen
weniger
sind
K u l t u r l ä n d e r n seit einem Jahrhundert mehr
zugenommen
infolge
und
auch
die
von K r i e g e n u n d S e u c h e n
Veränderungen
unterworfen
oder
Sterblichkeitsverhältnisse
gewesen.
mehrfach
bedeutenden
I m allgemeinen
werden
daher die Differenzen zwischen den Punkteninhalten der Q u a d r a t e
des
senkrechten
u n d des derselben Altersklasse
P a r a l l e l o g r a m m s des s c h r ä g e n
höher die Altersklasse ist und j e weiter
der
beobachteten
stark
Gestorbenen
zunehmender
entsprechenden
Streifens u m so grösser sein, j e
daher das G e b u r t s j a h r
zurückliegt.
Bei
B e v ö l k e r u n g ist d e m n a c h
einigermassen
eine
nach
dieser
M e t h o d e berechnete A b s t e r b e o r d n u n g überhaupt nicht brauchbar.
Die
M e t h o d e hat aber den V o r z u g grosser Bequemlichkeit, u n d
es erhebt sich daher die F r a g e , ob sie nicht durch eine K o r r e k t i o n
brauchbar
gemacht
werden
könnte.
Z u n ä c h s t bietet sich
hier
die M ö g l i c h k e i t , die Zahl der Gestorbenen der einzelnen A l t e r s ­
klassen
N
7
N
8
im V e r h ä l t n i s der G e b u r t e n z a h l des B e o b a c h t u n g s j a h r s
zu der G e b u r t e n z a h l in d e m der A l t e r k l a s s e
den J a h r e z. B . N
o
t
Es
2
N
3
entsprechen­
für die durch das P a r a l l e l o g r a m m m m
2
s
o a b g e g r e n z t e G e s a m t h e i t v o n V e r s t o r b e n e n , zu vergrössern.
2
bleibt
samtheiten
dabei
allerdings
nur mit ihren
die U n g e n a u i g k e i t ,
untern
dass
Elementargruppen
diese G e ­
dem be­
treffenden G e b u r t s j a h r g a n g entsprechen; doch k ö n n t e m a n diesen
—
35
—
Fehler, der überhaupt nicht bedeutend ist, noch vermindern, indem
m a n das Mittel aus den beiden jedesmal in Betracht k o m m e n d e n
Jahresgenerationen
nähme.
Weit
misslicher
ist die zu
Grunde
liegende A n n a h m e , dass die Sterblichkeitsverhältnisse sich während
eines Jahrhunderts in
allen Altersklassen
nicht geändert hätten.
D u r c h Z u s a m m e n f a s s u n g mehrerer B e o b a c h t u n g s j a h r e Hesse
auch
dieser U e b e l s t a n d mildern; es bleibt dann aber noch
Schwierigkeit, dass es, g a n z abgesehen von den
sich
die
vorgekommenen
Gebietsänderungen, nur sehr w e n i g e L ä n d e r giebt, in denen eine
genügende
Statistik
rückwärts
vorhanden
der
G e b u r t e n für ein
ist,
und m a n
müsste
ganzes Jahrhundert
sich daher für die
früheren J a h r e mit hypothetischen A n n a h m e n über der G e b u r t e n ­
zahl behelfen.
M a n könnte auch überhaupt hypothetische mittlere
Geburtenzahlen an die Stelle der wirklichen
etwa von einem 30 oder 40 J a h r e
setzen, indem
man
zurückliegenden Geburtsjahre
a u s g i n g e und annähme, dass wir die G e b u r t e n z a h l v o n diesem bis
zum letzten
Jahre
Progression
vermehrt hätten, und nach derselben N o r m k ö n n t e
man
in arithmetischer oder a u c h in geometrischer
dann auch weiter zurückrechnen.
E i n e solche N ä h e r u n g s ­
r e c h n u n g wäre natürlich noch w e n i g e r g e n a u , als die von den
wirklichen Geburtenzahlen ausgehende.
der
letzeren
Knapp
man
verbesserte
als A n h a l t ' s c h e M e t h o d e
nicht
anwenden,
A b e r auch die mit H i l f e
Halley'sehe
wenn
Methode
bezeichneten
man
die
(die
der
entspricht)
Resultate
einer
von
wird
Volks­
zählung mit U n t e r s c h e i d u n g w e n i g s t e n s fünfjähriger A l t e r k l a s s e n
zur V e r f ü g u n g hat.
Immerhin aber ist es m a n c h m a l erwünscht,
aus den B e o b a c h t u n g e n eines einzigen J a h r e s und ohne Z u z i e h u n g
von
Bevölkerungszahlen
sich
eine
ungefähre
Vorstellung
von
der A b s t e r b e o r d n u n g zu verschaffenen und dazu dürfte das f o l g e n ­
de summarische V e r f a h r e n ausreichen.
6. D e r F e h l e r der H a H e y ' s e h e n
M e t h o d e tritt offen darin
hervor, dass bei fortschreitender B e v ö l k e r u n g die Zahl der in d e m
Beobachtungsjahr G e b o r e n e n stets grösser ist als die G e s a m t z a h l
der Verstorbenen.
D i e Differenz dieser beiden Zahlen D
daher, u m die nach der H a H e y ' s e h e n
sterbeordnung zu korrigieren, auf die
zweckmässiger
Zahlen
Weise
M * , M',
M[
verteilt
muss
M e t h o d e bestimmte A b ­
einzelnen Altersklassen in
werden,
und zwar müssen
die
u. s . w. in u m so stärkerem V e r h ä l t n i s
vergrössert werden, j e weiter die ihnen entsprechenden
3*
Geburts-
—
36
-
jähre zurückliegen. N ä h m e m a n A b n a h m e der Geburtenzahlen nach
r ü c k w ä r t s in arithmetischer Progression an, so würde der F a k t o r ,
mit
dem M n
z u multiplizieren
wäre,
die F o r m
—
—
i — (n— i)
ß
haben, w o ß ein konstanter und zwar kleiner B r u c h wäre.
ist aber ebenso
i-)-(n—i) ß
Man
berechtigt, für den fraglichen F a k t o r die F o r m
anzunehmen
(die beiden
ersten
Glieder
der E n t -
w i c k e l u n g des obigen unechten Bruches), wodurch der Z u s c h l a g
]
für die höheren Altersklassen etwas
net man nun die (unbekannten)
obachtungsjahre
von
künftig
Verstorbenen
M,, M
2
schwächer w i r d ) .
Bezeich­
aus den G e b o r e n e n G der B e ­
wirklich
hervorgehenden
der verschiedenen
Gesamtheiten
Altersklassen
wieder
mit
, M j u. s. w., so hat m a n
(. + ß)
ß)
(i +
2
m |
=
m ;
m :
=
m ;
m ;
=
Mi =
(i +
m ;
m ;
( i - f - ( n — i ) 0 M J = Mn.
A d d i e r t man diese G l e i c h u n g e n , die bis zur höchsten A l t e r s 3
stufe reichen (wobei M „ + i = o), so ist die S u m m e rechts gleich
der
als g e g e b e n
a n g e n o m m e n e n Zahl G der G e b u r t e n im B e ­
obachtungsjahr, und nach A u f l ö s u n g der K l a m m e r n erhält m a n :
ß (Ml +
und
2
M
3
a
+
3
m ;
+ . . . ( n - iJMi) =
C t - ^ M *
=
D
wenn m a n die links in der K l a m m e r stehende S u m m e mit
B bezeichnet, so ergiebt sich
D u r c h E i n s e t z u n g dieses W e r t e s von ß erhält m a n a u s den
obigen
i)
1
G l e i c h u n g e n die N ä h e r u n g s w e r t e der Gesamtheiten M ,
E s ist an sich wahrscheinlicher, dass der absolute Z u w a c h s der Geburten von
einem J a h r e
völkerung
zum
kleiner
einigerniassen
geometrischen
die
anderen vor 50
gewesen
Mitte
ist,
oder
als
zwischen
90 Jahren
bei der damals weit geringeren B e ­
in der jüngsten
den
Annahmen
Zeit.
einer
Die
obige Hypothese
arithmetischen
Progression der Geburtenzahl bei fortschreitender Zeit.
und
hält
einer
37
mittelst
deren
man
—
dann näherungsweise
die
Absterbeordnung
der Generation G aufstellen kann.
Der
Ausdruck B
hat
noch
eine besondere
3
F ü g e n wir ihm die halbe S u m m e der M
iM| +
2lMl
UM; +
Bedeutung.
hinzu, so hat man
+ 3 | M : + ... ((n-!) +
i)M„
s
d. h. annähernd die S u m m e der von den sämtlichen Verstorbenen
des Beobachtungsjahres
durchlebten
Jahre,
wenn
für die
Ver­
storbenen jeder Jahresklasse das mittlere A l t e r in R e c h n u n g g e ­
bracht wird.
also B =
die
V
W i r d diese A l t e r s s u m m e
ä
A—|2M .
Annahme
F ü r die
eines
mit A
bezeichnet,
erste Altersklasse
Durchschnittsalters
der
ist
so ist
allerdings
Gestorbenen
von
1
2
J a h r zu hoch, denn in W i r k l i c h k e i t beträgt dieses nur /
bis
i
% Jahr.
7. E s m ö g e hier auch noch etwas näher auf die B e z i e h u n g
zwischen
der A l t e r s s u m m e
der Verstorbenen und der Zahl der
L e b e n d e n e i n g e g a n g e n werden, die oben
schon
gelegentlich be­
rührt worden ist.
N e h m e n wir als Zeiteinheit ein J a h r an, so ist
die
der Verstorbenen der n-ten Altersklasse
Alterssumme
Hauptgesamtheit l ' ,
einer
wie sie z. B . durch das Q u a d r a t m m o o
t
(Fig. 4) a b g e g r e n z t ist, annähernd gleich ( ( n — M
n
2
t
.
2
Ist
nun die B e v ö l k e r u n g d u r c h w e g in dem oben bezeichneten S i n n e statio­
när, so ist der Punkteninhalt des bis zu der Geburtsgrenzlinie N , U
7
reichenden
7
horizontalen,
trapezförmigen
Streifens
m
2
m,
o
4
o
ebenfalls gleich ((n— 1) -\- i m ! , .
Aus
solchen
trapezförmigen
Streifen aber nebst dem Dreieck N . a a als unterer Spitze setzt
sich das Dreieck N , U U zusammen, dessen Punkteninhalt gleich
ist der Zahl der die isochronische L i n i e N . U
schneidenden
Lebenslinien und somit gleich der Zahl der L e b e n d e n in dem Zeit­
punkte N , die nach der V o r a u s s e t z u n g auch in der F o l g e un­
verändert bleibt.
Andererseits ist bei stationärer B e v ö l k e r u n g
auch der Punkteninhalt jedes Quadrats von der A r t m, m o, o
gleich dem des zum Teil mit diesem Quadrat zusammenfallenden
(i
2
7
7
2
7
a
Parallelogramms m
2
m
3
O j o , oder allgemein M „
2
=
M„
2
und
3
demnach ist die S u m m e aller ( ( n — 1 ) —1~ 4) M , wenn für n alle
Zahlen von 1 bis zu dem höchsten vorkommenden Altersjahre,
etwa 100, eingesetzt werden, d. h. also die A l t e r s s u m m e aller in
einem Kalenderjahre Gestorbenen (die durch den Punkteninhalt
n
des Streifens N , N U
g
völkerung
ist
gleich
stufen L e b e n d e n .
3«
U
2
-
dargestellt werden) bei stationärer
3
der Zahl
der gleichzeitig
Be­
in allen A l t e r s ­
Dieser S a t z ist streng richtig, obwohl die oben
g e m a c h t e A n n a h m e über die A l t e r s s u m m e der Gestorbenen der
Hauptgesamtheiten
M
1
oder M
3
nur annähernd zutrifft.
Denn
die S c h l u s s f o l g e r u n g bleibt dieselbe, wenn m a n das Alter nicht, wie
bei diesen H a u p t g e s a m t h e i t e n nach Jahren, sondern nach beliebig
kleinen Bruchteilen eines Jahres, ein x t e l J a h r , abstuft.
Denken
wir uns das der nten Altersklasse entsprechende
Parallelogramm
m
Parallelogramm
N
2
3
m
3
o
N
4
A
o
t
2
( F i g . 4)
2
A
3
vergrössert
durch
das
( F i g . 5) dargestellt und dieses in x gleiche horizon­
tale Streifen geteilt, die fi
ju , [i
u
2
. . . /u S t e r b e p u n k t e enthalten,
s
x
so ist die in Jahren ausgedrückte A l t e r s s u m m e der Gestorbenen
des
höchsten
so gross ist aber bei
Sterbepunkte
X
(xten) Streifens gleich
grenzlinie reicht,
x
stationärer B e v ö l k e r u n g
in dem
der von der Spitze A
^(n—1) - | - - ^ - j / x .
ebenso schmalen
2
Eben­
auch die Z a h l der
trapezförmigen
Streifen,
bis zu der (nicht gezeichneten)
Geburts­
die der L i n i e N U
7
in F i g . 4 entsprechend
7
in
dem P u n k t e auf der A c h s e errichtet ist, w o diese von der ver­
längerten
übrigen
isochronischen
Streifen
gelten
Linie A
2
N
getroffen wird.
3
entsprechende
F ü r die
G l e i c h u n g e n , und so g e ­
langt man durch S u m m i e r u n g auf der einen Seite wieder zu der
A l t e r s s u m m e aller Verstorbenen eines J a h r e s und auf der anderen
zur Zahl der L e b e n d e n
bei
stationärer B e v ö l k e r u n g .
M a n hat
auch hier für das A l t e r der Verstorbenen in jedem der schmalen
Streifen den mittleren W e r t a n g e n o m m e n ,
Altersstufe
von
ein x t e l J a h r
beliebig
aber da m a n sich die
klein
denken
kann,
so
wird der F e h l e r zum V e r s c h w i n d e n gebracht, und dies gilt auch
für die erste Altersklasse, in der die D i c h t i g k e i t der Sterbepunkte
v o n der G e b u r t an ausserordentlich schnell
abnimmt.
M a n sieht
auch, dass der S a t z bei beliebiger Veränderlichkeit der //, d. h. der
Sterblichkeit innerhalb der Jahresklassen gilt; n o t w e n d i g e V o r a u s ­
setzung
dagegen
horizontalen
ist,
Streifens
dass jedes
JA, innerhalb
unveränderlich
bleibt,
des
was
betreffenden
eben
mit
der
A n n a h m e der stationären B e v ö l k e r u n g zusammenfällt.
8. Statt der A l t e r s s u m m e
kann
man
a u c h die
von
den
aller
Verstorbenen
Gestorbenen
und
eines J a h r e s
Ueberlebenden
innerhalb der quadratischen G r e n z e n einer H a u p t g e s a m t h e i t M
1
—
durchlebte
Zeit
betrachten.
39
—
B e t r ä g t die Zahl derjenigen, welche
die obere einjährige Grenzstrecke A
A
2
( F i g . 5) einer einjährigen
3
Altersstufe lebend überschreiten L , so haben diese innerhalb
des
betreffenden
wir
Altersjahres
auch
LJahre
durchlebt.
Teilen
dieses J a h r wieder in n Teile, entsprechend den schmalen horizon­
talen Streifen
in
der F i g u r ,
so haben die JU im x t e n Jahresteil
X
^
x
Gestorbenen innerhalb der betrachteten A l t e r s g r e n z e n — J a h r e
durchlebt.
E b e n s o gross aber ist bei stationärer B e v ö l k e r u n g
auch die Zahl der Sterbepunkte in
xten
trapezförmigen
die
deren
aber
Lebenslinien
dann
vor
N
3
zwar
A., A
die Zahl L der Ueberlebenden,
demselben
die
3
3
A
2
Linie N
oberen
s
A
also
A d d i e r t man dazu
der
aus
iso­
Zeitpunkt und diese G e ­
der von den Gestorbenen
und U e b e r l e b e n d e n in dieser einjährigen Altersstufe
D i e B e d i n g u n g der stationären
2
schneiden,
2
L e b e n d e n in dem
entsprechenden
A .
Z a h l der­
so erhält man die Zahl der
samtzahl ist wieder gleich der S u m m e
Zeit.
3
Altersgrenze,
sterben.
Geburtsjahr stammenden
chronischen L i n i e N
gerechnet)
aber ist gleich der
E r r e i c h u n g der
innerhalb des Dreiecks
(von unten
rechts von der L i n i e N
D i e S u m m e dieser Streifenstücke
jenigen,
dem
Streifenstück
durchlebten
B e v ö l k e r u n g ist auch hier
u n u m g ä n g l i c h ; sie wird aber nur für eine Jahresstrecke verlangt
und ist daher immer, wenn auch nicht genau, so doch sehr nahe
erfüllt.
W e n n die Sterblichkeit sich innerhalb einer einjährigen
Altersstufe
nicht
merklich
sich innerhalb derselben
man
ohne
weiteres
ändert,
nahezu
sagen:
A l t e r s g r e n z e n gestorben
d. h. wenn
sind
m
Personen
und haben
L
schritten, so haben die ersteren innerhalb der
L J a h r e , beide zusammen
durchlebt
und
die
Zahl
Lebenden
ist
bei
stationärer
A u s dem O b i g e n geht
liebig
grosser
Altersklasse
gleichzeitig
also
in
Bevölkerung
dieser
Grenze
Altersklasse
über­
-| m
also L - | - | m J a h r e
dieser Altersklasse
ebenfalls
L + ^ m.
aber hervor, dass der S a t z auch bei be­
Veränderlichkeit der
gilt,
innerhalb
die obere
J a h r e , die letzteren
der
die Sterbepunkte
gleichmässig verteilen, so k a n n
namentlich
Sterblichkeit
auch
innerhalb
der
für die j ü n g s t e n
und
ältesten K l a s s e n anwendbar ist.
Schliesslich sei noch bemerkt, dass die Zahl der L e b e n d e n , die
in den G r e n z e n einer
der
beiden
in
Hauptgesamtheit M
Betracht k o m m e n d e n
1
am E n d e des ersten
Kalenderjahre
vorhanden
—
4°
—
sind, d. h. die Zahl der z. B . die D i a g o n a l e N , , A
2
sehne idenden L e b e n s
linien g l e i c h ist der Durchschnittszahl der L e b e n d e n der betreffenden
G e n e r a t i o n innerhalb der beiden A l t e r s g r e n z e n , in unserem Beispiel
also zwischen den Linien X N
2
s
und A
A . D a b e i kann wieder die
2
3
D i c h t i g k e i t der S t e r b e p u n k t e sich mit dem A l t e r beliebig ändern,
d a g e g e n m u s s sie in jedem beliebig schmalen horizontalen Streifen
z w i s c h e n den beiden senkrechten Grenzlinien g l e i c h m ä s s i g bleiben.
Teilt m a n die A l t e r s s t r e c k e wieder in n gleiche Teile, ist die
Zahl der in den einzelnen Streifen enthaltenen
unten nach oben /n
v
/u , /u^, . . . .
2
S t e r b e p u n k t e von
m„ und die Zahl der die untere
1
A l t e r s g r e n z e überschreitenden L e b e n d e n L , so hat man als d u r c h ­
schnittliche Zahl der L e b e n d e n in den einzelnen
Streifen:
L ' - ^ i
L — (fi -f- IfioJ
1
L
l
L —C"l +
fJ-2 +
W
L —(/"l + th + • • • • + 2/*« )
1
Addiert
durch n, so
man
diese
erhält man
Ausdrücke
L
1
und dividiert
— 2 ix, wenn Zu
die
Summe
die S u m m e aller
n
in den
Einzelausdrücken v o r k o m m e n d e n
/u und \ ja bezeichnet.
D i e s ist bei beliebiger A e n d e r u n g der Sterblichkeit mit dem A l t e r
um so genauer die durchschnittliche Zahl der L e b e n d e n zwischen
den beiden A l t e r s g r e n z e n , j e grösser
n angenommen
wird.
Die
senkrechten R e i h e n der fi aber sind, wie man leicht sieht, g l e i c h
dem n-fachen Punkteninhalte der v o n der Grenzlinie N A
2
gehenden trapezförmigen Streifenstücke.
d e m Punkteninhalt des
gesamtheit
gleich
1
/f .
der Zahl
schneiden,
also
Die
Dreiecks N „ N
3
A
Durchschnittszahl
Altersklasse
in
Zeitpunkte.
Vorausgesetzt
dem
Zahl
(Fig. 5) aus­
oder der E l e m e n t a r ­
2
1
L — J
der Lebenslinien, welche
gleich der
2
D e m n a c h ist -- Zfi gleich
1
die
ist
der L e b e n d e n der
dieser isochronischen
aber
Diagonale
Linie
auch
N., A
2
betreffenden
entsprechenden
ist dabei, dass die G e b u r t e n d i c h t i g k e i t
in dem Geburtsjahr der betrachteten Generation konstant ist und
die A b s t e r b e o r d n u n g unverändert
bleibt.
III. Die Sterbenswahrscheinlichkeiten unter dem
Einfluss der Wanderungen.
i. W i r haben bisher a n g e n o m m e n , dass die V o l k s z a h l nur
durch G e b u r t e n und Sterbefälle
Ein-
Aenderungen
erfahre,
also
die
und A u s w a n d e r u n g e n in ihrer B e d e u t u n g für die Bestim­
m u n g der Sterbenswahrscheinlichkeiten und der A b s t e r b e o r d n u n g
ausser
Betracht
gelassen.
Bevor
wir
indes
auf
diese
Frage
näher eingehen, m ö g e n einige allgemeine B e m e r k u n g e n über das
Wesen
der
mathematischen
Wahrscheinlichkeit
vorausgeschickt
werden.
D i e L e h r e von der Wahrscheinlichkeit a priori ist ein
von
jeder Erfahrungsthatsache u n a b h ä n g i g e r Z w e i g der reinen M a t h e ­
m a t i k , und
an,
Analysis.
Sie
nimmt
was in der W i r k l i c h k e i t g a r nicht vorkommt,
dass
s Fälle
irgend
zwar
eines
der
kombinatorischen
Ereignisses
gleich
möglich
seien
und dass
unter
diesen m F ä l l e einer bestimmten A r t seien, die man als „ g ü n s t i g e "
zu bezeichnen pflegt.
u. s. w. für irgend
angenommen,
W e r d e n nun die Verhältnisse —,-, — „ - , ™ welche A r t e n
so beschränkt
Wahrscheinlichkeitsrechnung
wie
von Ereignissen als
sich die
darauf,
viele überhaupt m ö g l i c h e
Aufgabe
im
und wie
der
voraus
gegeben
eigentlichen
zu
berechnen,
viele g ü n s t i g e F ä l l e im
obigen S i n n e sich für ein aus diesen Ereignissen in irgend einer
bestimmten
Art kombiniertes
E r e i g n i s ergeben
und wie sich
demnach das Verhältnis der — nur gedachten
— g ü n s t i g e n zu
den
F ä l l e n , also
— ebenfalls
nur gedachten
ihrer Definition entsprechende
kombinierten
Ereignissen
Ereignisses
eine
— möglichen
herausstellt.
anschauliche
die
apriorische Wahrscheinlichkeit des
Um
Vorstellung
von
solchen
zu m a c h e n ,
sich
benutzt
—
42
—
m a n in der R e g e l das B i l d eines Glückspiels mit W ü r f e l n oder
mit schwarze und weisse K u g e l n enthaltenden U r n e n . M a n
nimmt z. B . a n , dass für jede Seite eines W ü r f e l s die gleiche
M ö g l i c h k e i t bestehe, nach einem W u r f e als oberste herauszu­
kommen.
O b dies bei einem g e g e b e n e n W ü r f e l wirklich der
F a l l sei, k o m m t g a r nicht in F r a g e .
D e r U m s t a n d , dass die
gleiche M ö g l i c h k e i t der F ä l l e nach unserem
subjektiven
W i s s e n vorhanden ist, hat hier nur die B e d e u t u n g , dass wir
unter dieser A n n a h m e ein von beiden Parteien als g e r e c h t a n ­
erkanntes Glückspiel regeln können.
A u f G r u n d einer solchen
V o r a u s s e t z u n g gleich möglicher F ä l l e ist also die W a h r s c h e i n ­
lichkeit, mit einem W ü r f e l eine V i e r zu werfen = /' . F r a g e n
wir n u n , welches ist das Verhältnis der günstigen zu den m ö g ­
lichen Fällen, wenn der g ü n s t i g e F a l l das H e r a u s k o m m e n der
V i e r in z w e i aufeinander folgenden W ü r f e n ist, so ergiebt sich
aus einer einfachen U e b e r l e g u n g , dass unter diesen B e d i n g u n g e n
die Zahl der möglichen F ä l l e 36 ist u n d dass a u f diese nur e i n
günstiger k o m m t ; das Verhältnis, das wir als Wahrscheinlichkeit
des geforderten Ereignisses bezeichnen, ist also y . F r a g e n wir,
wie sich das Verhältnis der günstigen zu den möglichen F ä l l e n
stellt, wenn verlangt wird, dass bei 600 W ü r f e n zuerst 2oomal
nacheinander die V i e r u n d bei den folgenden 400 W ü r f e n immer
eine der übrigen N u m m e r n herauskomme, so findet man
l
a
g 6
F r a g t m a n nach dem entsprechenden V e r h ä l t n i s , wenn der
g ü n s t i g e F a l l darin besteht, dass auf 600 W ü r f e überhaupt 2oomal
die V i e r kommt, gleichviel in welcher S t e l l u n g in der ganzen
Reihe,
so ergiebt
die R e c h n u n g
6 0 0 . 5 9 9 . 5 9 8 . . . . 401 _ 5
4 0 0
6 0 0
1 . 2 . 3
. . . . 200 6 '
V e r g l e i c h t m a n dieses Verhältnis mit der Wahrscheinlichkeit, dass
die V i e r , gleichviel in welcher R e i h e n f o l g e , bei 600 W ü r f e n
i o o m a l v o r k o m m e , so findet m a n , dass diese letztere, nämlich
6 0 0 . 5 9 9 . 5 9 8 . . . . 501
5
5 0 0
grösser ist als jenes.
Allgemein
1 . 2 . 3
. . . . 100 6
findet man, dass die Wahrscheinlichkeit des V o r k o m m e n s v o n
0 0 0
i o o m a l V i e r auf 600 V e r s u c h e , nämlich desjenigen Zahlenverhält­
nisses der Versuchsergebnisse, das der apriorischen
Wahrschein-
—
43
—
lichkeit des verlangten Ereignisses gleich ist, die relativ grösste
ist und dass jedes andere Verhältnis des V o r k o m m e n s der V i e r
um so grösser ist, je weniger es von i o o : 600 abweicht.
Fasst
man die Wahrscheinlichkeiten einer A n z a h l von diesem V e r h ä l t ­
nis nahestehenden K o m b i n a t i o n e n zusammen, z. B . von 80 bis 120mal V i e r auf 600 V e r s u c h e , so ist die Wahrscheinlichkeit, dass
das E r g e b n i s zwischen die a n g e n o m m e n e n G r e n z e n falle, gleich
der S u m m e der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen K o m b i n a ­
tionen und daher schon ziemlich gross. D i e s e Wahrscheinlich­
keit eines zwischen zwei G r e n z e n fallenden E r g e b n i s s e s aber
wird u m so grösser, j e grösser die Zahl der V e r s u c h e a n g e ­
nommen wird, wenn die Grenzzahlen in konstantem V e r h ä l t n i s zu
den Versuchszahlen bleiben, also z. B . bei der V e r s u c h s z a h l 6000
•auf 800 und 1200 steigen. S o kann man es durch A n n a h m e
einer g e n ü g e n d grossen Versuchszahl dahin b r i n g e n , dass die
R e c h n u n g eine beliebig hohe (d. h. der Einheit beliebig nahe
kommende) Wahrscheinlichkeit dafür ergiebt, dass das Verhältnis
der in der Versuchsreihe vorkommenden günstigen F ä l l e zu der
Versuchszahl nur bis zu einem beliebig kleinen B r u c h von der
g e g e b e n e n Wahrscheinlichkeit des günstigen F a l l e s abweicht.
A u c h dieser nach J . B e r n o u i l l i benannte S a t z ist ein rein mathe­
matischer, da u n a b h ä n g i g von jeder E r f a h r u n g unter der A n ­
n a h m e gleicher M ö g l i c h k e i t aller F ä l l e nach der Kombinationslehre
-a priori berechnet wird, wie sich bei zahlreichen W i e d e r h o l u n g e n die
Zahl der m ö g l i c h e n F ä l l e einer bestimmten A r t zu der Zahl der
überhaupt m ö g l i c h e n verhält. W e n n sich nun aber zeigt, dass
in der T h a t , wenn man einige T a u s e n d V e r s u c h e mit einem
W ü r f e l oder mit Z ü g e n aus einer U r n e macht, eine bestimmte
N u m m e r oder eine K u g e l mit bestimmter F a r b e annähernd in
der Zahl herauskommt, deren V e r h ä l t n i s zur Versuchszahl der
nach den B e d i n g u n g e n dieses Zufallspiels a n g e n o m m e n e n W a h r ­
scheinlichkeit dieses Ereignisses gleich ist, so ist dies eine inter­
essante Thatsache, von der aber die mathematische W a h r s c h e i n ­
lichkeitsrechnung g a n z u n a b h ä n g i g ist.
D i e s e E r f a h r u n g lässt
nur erkennen, dass die uns subjektiv plausibel scheinende A n ­
n a h m e , dass jede N u m m e r des W ü r f e l s oder jede K u g e l der
U r n e mit gleicher M ö g l i c h k e i t herauskommen könne, objektiv
durch die Thatsachen bis zu einem gewissen G r a d e bestätigt
wird. O b die B e s t ä t i g u n g wirklich so vollständig ist, dass man
44
sagen kann, die Beobachtungsergebnisse sind solche, wie sie sein
müssten, wenn für das Grundereignis das a n g e n o m m e n e V e r ­
hältnis von günstigen und möglichen Fällen wirklich bestände,
bedürfte immer noch einer besonderen U n t e r s u c h u n g , denn
die B e j a h u n g dieser F r a g e h ä n g t davon a b , ob auch die A b ­
weichungen, die bei einer grösseren Zahl von V e r s u c h s r e i h e n
in dem E r g e b n i s auftreten, sich auf die nach der W a h r s c h e i n ­
lichkeitsrechnung zu erwartenden A r t verteilen. Bei g u t einge­
richteten Glückspielen wird auch diese B e d i n g u n g erfahrungsmässig annähernd erfüllt und insoweit findet dann die W a h r ­
scheinlichkeitsrechnung eine A n w e n d u n g auf wirkliche Ereignisse.
W e n n aber der W ü r f e l auf dem Tische rollt, steht physisch schon
fest, welche N u m m e r schliesslich oben liegen wird. G l e i c h w o h l
ist es dann noch ein rationell geregeltes Spiel, wenn der eine
Spieler i darauf einsetzt, dass die 6 herauskommen werde, und
der andere 5 darauf, dass dies nicht der F a l l sein werde.
Wie
die annähernde U e b e r e i n s t i m m u n g der E r f a h r u n g bei
einer
grossen Zahl von V e r s u c h e n in einem korrekten Glückspiel mit
der Wahrscheinlichkeitsrechnung zustande k o m m t und zu erklären
ist, hat diese gar nicht zu untersuchen, wie es auch für sie gleich­
g ü l t i g ist, wenn bei einer g e g e b e n e n Versuchsreihe die erwartete
U e b e r e i n s t i m m u n g sich n i c h t herausstellt.
2. M a n kann nun auch u m g e k e h r t die H y p o t h e s e aufstellen,
dass ein Ereignis, das in einer grossen Zahl s von Versuchen pmal
aufgetreten
ist, die
Wahrscheinlichkeit ?
habe,
dass
also
z. B . , wenn bei 600 Z ü g e n aus einer U r n e (wobei die g e z o g e n e
K u g e l stets wieder in die U r n e zurückzulegen war) io5mal eine
weisse und 4g,5mal eine schwarze K u g e l g e z o g e n worden ist, das V e r ­
hältnis der weissen zu den schwarzen K u g e l n in der U r n e un­
gefähr 105 :495 betrage, oder 1 1 5 , wenn man wüsste, dass über­
haupt nur 6 K u g e l n in der U r n e seien. M a n kann auch noch
weiter gehen und solche H y p o t h e s e n aufstellen für Ereignisse, auf die
das Bild eines Glücksspiels mit W ü r f e l n oder U r n e n g a r nicht mehr
a n g e w a n d t werden kann. W e n n überhaupt ein E r e i g n i s unter
gewissen festgesetzten B e d i n g u n g e n p m a l eingetreten ist, das,
soviel wir die S a c h e beurteilen können, an jedem von s be­
obachteten Einzelfalle hätte v o r k o m m e n können, so nehmen wir
—
hypothetisch an, dass —
45
—
näherungsweise
die Wahrscheinlichkeit
dieses Ereignisses darstelle. O b diese A n n a h m e richtig sei, ob sie
überhaupt einen S i n n habe, kann erst durch die U n t e r s u c h u n g
mehrerer gleichartiger Beobachtungsreihen entschieden werden.
D u r c h a u s irrig ist die M e i n u n g , dass überhaupt jedes aus grossen
Zahlen gebildete V e r h ä l t n i s sich wie der N ä h e r u n g s w e r t eines
festen Wahrscheinlichkeit verhalte
und sich daher mit stei­
gender B e o b a c h t u n g s z a h l einem konstanten W e r t e nähere. E s ist
vielmehr leicht möglich, dass bei fortschreitender V e r g r ö s s e r u n g
von s durch H i n z u f ü g u n g neuer B e o b a c h t u n g e n das Verhältnis
1
—-- fortschreitend grösser oder kleiner wird.
Zu diesen hypothetischen oder sogenannten Wahrscheinlich­
keiten „a posteriori" gehören nun die Sterbenswahrscheinlichkeiten
der Bevölkerungsstatistik.
W e n n man sagt, die Wahrscheinlich­
keit, dass ein neugeborenes K i n d vor E r r e i c h u n g des A l t e r s von
genau einem J a h r sterbe, sei
m
, so hat dieser S a t z für sich keinen
weiteren Sinn, als dass man m g e g e n (s — m) darauf wetten wolle,
dass ein beliebig herausgegriffenes neugeborenes K i n d im ersten
Lebensjahre sterbe.
E i n e solche in der Luft schwebende W e t t e
würde nun wohl schwerlich jemals zu stände kommen. W o h l aber
wäre sie denkbar, wenn vorher die B e o b a c h t u n g g e m a c h t worden
wäre, dass von einer grossen Zahl s N e u g e b o r e n e r wirklich m
vor dem E n d e des ersten Lebensjahres gestorben seien. M a n
hätte dann wenigstens einen vernünftigen A n h a l t s p u n k t , um,
wenn z. B . m = 20000 und s = 100000 wäre, in B e z u g auf ein
beliebiges neugeborenes K i n d 1 g e g e n 4 darauf zu wetten, dass
es im A l t e r von o — 1 J a h r sterben werde. U n d wenn solche W e t t e n
für eine grosse A n z a h l von K i n d e r n , etwa wieder 100000 a b g e ­
schlossen würden und dabei also der eine T e i l immer 1 M a r k
und der andere 4 M a r k einsetzte, so würde sich schliesslich viel­
leicht herausstellen, dass der eine ungefähr 2 0 0 0 0 X 4 M . g e w o n ­
nen und 8 0 0 0 0 X 1 M . verloren hätte und ebenso für den anderen
G e w i n n und V e r l u s t sich nahezu ausglichen. D i e aus der B e ­
o b a c h t u n g g e w o n n e n e N o r m für die R e g e l u n g der W e t t e wäre
also dann richtig gewesen, und, was für die A n w e n d b a r k e i t der
Wahrscheinlichkeitsrechnung wichtiger ist, man wäre berechtigt,
-
4
6
-
anzunehmen, dass die empirische Wahrscheinlichkeit, die sich aus
der B e o b a c h t u n g der Sterbefälle im ersten Lebensjahre bei einer
grossen
Zahl
nügend
grosse
t u n g habe.
in
einem
von K i n d e r n ergeben
hat, auch für andere
S i c h e r ist dieses freilich keineswegs.
L a n d e jährlich i o o o o o
Sterblichkeit
derselben
so könnte überhaupt
Kinder
im ersten
V e r b e s s e r u n g der hygieinischen
E r n ä h r u n g u. s. w. in
keine
geboren
Verhältnisse,
feste
im
W e n n z. B .
würden,
Lebensjahre aber
fortschreitender
Sterbenswahrscheinlichkeit
und
solche
einer
rationelleren
A b n a h m e begriffen wäre,
auch für die Zukunft geltende
Alter
von
o— i
der Geburten für mehrere J a h r e
nicht
darstellen.
keitsverhältnisse
die
infolge der
angenommen
werden, und auch durch Zusammenfassung der Sterbefälle
Klasse
ge­
Gesamtheiten von N e u g e b o r e n e n annähernd G e l ­
dieser
könnte man eine
Thatsächlich sind indes
die
innerhalb der praktisch in Betracht
Sterblich­
kommenden
Zeiträume bei grossen Beobachtungszahlen in der R e g e l so w e n i g
verändert,
dass
man
das V e r h ä l t n i s der Zahl der
Gestorbenen
der meisten Altersklassen zur Zahl der in diese Altersklasse einge­
tretenen
Lebenden
Rechnungen
ohne
so verwenden
zu
grosse
Unsicherheit
k a n n , als wenn
es
einen mathematischen Wahrscheinlichkeit a priori
3. Bei einer Sterbenswahrscheinlichkeit
für
die
weitere
Bedeutung
besässe.
für eine
einjährige
Altersklasse ist der „günstige" F a l l der, dass ein Lebender, der
das A l t e r von g e n a u x Jahren erreicht hat, in der Altersstrecke
von
x
diese
bis x + i
Jahr
stirbt.
D a s E r e i g n i s wird
G r e n z a n g a b e n bestimmt,
im übrigen
unendlich mannigfaltiger Gestalt zustande k o m m e n .
stände der gleichsam auf die
P r o b e gestellte
nur
durch
aber kann es
in
Welche Zu­
Mensch
während
dieser Altersstrecke durchläuft, welchen K r a n k h e i t e n und L e b e n s ­
gefahren er ausgesetzt ist, k o m m t gar nicht in F r a g e , es handelt
sich nur um die im voraus erwogenen zwei Möglichkeiten, ob er
die Altersstrecke durchlebt oder nicht.
g ü l t i g , in welcher A r t ein W ü r f e l
Bahnen
er während
S o ist es auch
geworfen
des R o l l e n s beschreibt:
gleich­
wird und
welche
es sind nur
sechs
E n d m ö g l i c h k e i t e n vorhanden, von denen jede auf unendlich viele
Arten
sich
Lebende
verwirklichen
kann.
durch U e b e r s c h r e i t u n g
Treten
nacheinander
der A l t e r s g r e n z e
x
100 000
gewisser-
massen in das Versuchsfeld ein, so sind dies ebenso viele einzelne
Erprobungen
der
Sterbenswahrscheinlichkeit,
für
die
man
auf
47
—
diese A r t einen N ä h e r u n g s w e r t erhält.
M a n muss sich nun i m m e r
erinnern, dass die Sterbenswahrscheinlichkeit nur auf den A n f a n g
der Versuchszeit bezogen werden darf, dass sie sich von hier aus
als ein einheitliches Zahlenverhältnis auf die g a n z e Versuchszeit,
nämlich die betreffende Altersstrecke bezieht und dass sie
daher
nicht durch A d d i t i o n der Sterbenswahrscheinlichkeiten für T e i l e
dieser
Altersstrecke
das A l t e r v o n x
gebildet
werden
1
kann ).
Denken
wir
bis x - j - i J a h r e in n Teile zerlegt, in
uns
denen
von den a n f a n g s vorhandenen L L e b e n d e n j e fx sterben, so sind
die empirischen Sterbenswahrscheinlichkeiten in diesen A b s c h n i t t e n
für sich betrachtet
—,
—,
-
—-—.
r
Die Summe
L
L—fx
L—2/u
L—(n—i)li
dieser besonderen Wahrscheinlichkeiten für die U n t e r a b t e i l u n g e n
der Altersstrecke ist aber immer grösser, als die unmittelbar be­
trachtete Sterbenswahrscheinlichkeit für das ganze Altersjahr,
v
nämlich -y—. W e n n wir aber die Wahrscheinlichkeit ausdrücken
wollen,
dass
einer
der L
x-jährigen
in
der Altersstrecke
von
r
.
r
x - j - — bis x - j - i J a h r e n (wo — ein echter Bruch) sterben werde,
so ist a u c h hier die U e b e r l e g u n g v o m A l t e r x aus anzustellen
und es zeigt sich dann, dass es sich um eine zusammengesetzte
Wahrscheinlichkeit handelt, nämlich u m die des L e b e n s v o n
r
x bis x - j - — J a h r e n und dann um die des Sterbens in der A l t e r s ­
strecke von x - } - — bis x - f - i Jahre.
D e r empirische A u s d r u c k
dieser Wahrscheinlichkeit ist aber allgemein und u n a b h ä n g i g v o n
i) Selbstverständlich aber steht nichts im W e g e ,
von vornherein eine Sterbens­
wahrscheinlichkeit o d t für eine unendlich kleine Zeitstrecke d t in der betrachteten ein­
jährigen Altersstrecke anzunehmen.
Die endliche Grösse a ist die „force of
der Engländer,
(Theorie der Statistik,
die W e s t e r g a a r d
Sterblichkeit" bezeichnet.
Man
findet
leicht,
dass 0 ,
S.
wenn
1 7 5 ) als
es
mortality"
„Intensität der
innerhalb der
Alters­
klasse konstant bleibt, gleich ist der Zahl der in dieser Altersklasse Gestorbenen, geteilt
durch die Grösse der von den Ueberlebenden und Gestorbenen in derselben durchlebten
Zeit.
Diese
schnittszahl
>
letztere aber
der
innerhalb
(auf
das J a h r
der
einjährigen Altersstrecke
als
Hauptgesamtheit M ) Lebenden, a also sowohl
1
die
ganze Altersklasse,
als
auch bei
Einheit
von
bezogen)
(in
den
ist
gleich
Grenzen
der
Durch­
einer ersten
der Sterbenswahrscheinlichkeit
nicht-stationärer Bevölkerung von
dem
wähnten Sterblichkeitskoefficient für eine stationäre Bevölkerung verschieden.
für
obener­
•der A n n a h m e einer
4
8
-
gleichmässigen
Verteilung
L—R
innerhalb der Altersstrecke
L
Zahl der Gestorbenen
M
die
der
Nehmen
wir
nunmehr
Hauptgesamtheit
Personen
in dem
Gestorbenen
M
1
in
ersten
dem
einer
Jahre, wo
n
und
bezeichnet.
der Grenzen
einer
Alterstrecke
eintreten:
ihre Zahl
neue
sei
e
und gleichmässigen) Eintritt
r
x -)
1
, w e n n R die
Altersjahr
einjährigen
und ihr A l t e r bei ihrem (successiven
!
Sterbefälle
Bruchteil des J a h r e s
ganzen
in das B e o b a c h t u n g s g e b i e t
r
L
an, dass i n n e r h a l b
und
der
M—R
M — R
E — R
J
ein
echter
Bruch
ist.
Die
Sterbenswahr-
n
r
scheinlichkeit cp für die Altersstrecke von x - f - - - bis x - f
- 1
r
Jahr
ist nun eine durchaus selbständige und nicht etwa ein Bestandteil
der Sterbenswahrscheinlichkeit cp für die g a n z e Altersstrecke von
x bis x -\- i Jahre. D e n n die beiden allein in Betracht kommenden
G r e n z b e d i n g u n g e n für jeden „Versuch", nämlich das A l t e r beim
Eintritt in die B e o b a c h t u n g und die zu durchlaufende Altersstrecke
sind in dem einen und dem anderen Falle verschieden.
Man
kann wohl eine der E r f a h r u n g entsprechende Grössenbeziehung
zwischen q\ und <p hypothetisch annehmen, aber die E r p r o b u n g
der ersteren Wahrscheinlichkeit fällt mit der der letzteren in keiner
W e i s e zusammen, sondern wenn i o o o o o Personen in dem A l t e r
r
von x J a h r e n und dann weitere i o o o o in dem A l t e r von x - |
Jahren eingetreten sind, so sind die wahrscheinlichsten Zahlen der
bis zum A l t e r x - j - i vorkommenden Sterbefälle aus beiden W a h r ­
scheinlichkeiten
<p-\-10
iooooo
,
,
unabhängig
ip .
ooo
,
r
zu
bestimmen
M a n kann
IOO OOO
09 4 -
I O
nun
ooo
<P
Wahrscheinlichkeit
und
zu
addieren:
allerdings eine
mittlere
r
bilden, deren empirischer
1 I O OOO
W e r t gleich ist der S u m m e aller in der Altersklasse beobachteten
Sterbefälle, geteilt durch die S u m m e aller anfangs oder später in
sie eingetretenen L e b e n d e n .
nicht beantwortet,
A b e r die eigentliche F r a g e ist damit
nämlich diese:
wenn
durch spätere
Eintritte
oder Austritte die ausschliessliche
B e o b a c h t u n g der ursprünglich
in
Personen
die Altersklasse
lässt
sich
dann
die
eingetretenen
für die
ganze
Wahrscheinlichkeit <p bestimmen?
gestört
einjährige S t r e c k e
wird,
wie
geltende
W e n n es m ö g l i c h ist, die G e -
-
49
—
storbenen aus der ursprünglichen Gesamtheit und die aus den
Eingetretenen g e s o n d e r t zu ermitteln, so ist es am besten, die
gesuchte .Sterbenswahrscheinlichkeit ausschliesslich aus dem A n ­
fangsbestand und dessen Sterbefällen für sich zu bestimmen und
sich um die Eintretenden nicht zu k ü m m e r n . Diese S o n d e r u n g
ist aber in der Bevölkerungsstatistik kaum m ö g l i c h und bei A u s ­
scheidungen lässt sich ein solches einfaches Verfahren überhaupt
nicht anwenden, ebensowenig in den Fällen, in denen der A n ­
fangsbestand sehr klein oder g a r N u l l ist. E s ist zu beachten,
dass es sich hier nicht nur um eigentliche E i n w a n d e r u n g e n und
A u s w a n d e r u n g e n handelt, sondern allgemein um Eintritte und
Austritte aus einer statistischen K a t e g o r i e in eine andere. W e n n
man z. B . die Sterbenswahrscheinlichkeit der
verheirateten
Frauen in einer Altersklasse bestimmen wiil, so entsprechen den
E i n w a n d e r u n g e n die in dieser Altersklasse stattfindenden T r a u un g e n
und den A u s w a n d e r u n g e n die in derselben Altersstrecke ein­
tretenden V e r w i t w u n g e n von Frauen. E b e n s o sind bei der U n t e r ­
s u c h u n g der Sterblichkeit der aktiven B e a m t e n die neuen A n ­
stellungen mit der E i n w a n d e r u n g , die Uebertritte in den R u h e ­
stand mit der A u s w a n d e r u n g zu vergleichen und rücksichtlich der
Sterblichkeit der Pensionäre sind die letzteren wieder wie E i n ­
wanderungen zu behandeln. H ä u f i g ist man zu der A n n a h m e
berechtigt, dass die Eintretenden auserlesene L e b e n repräsentieren
und innerhalb der betreffenden einjährigen Altersklasse nur einer
minimalen Sterbenswahrscheinlichkeit unterliegen. M a n darf dann
also annehmen, dass die beobachteten Sterbefälle in einer A l t e r s ­
klasse ausschliesslich von den ursprünglich vorhandenen L e b e n d e n
herrühren, woraus sich dann deren Sterbenswahrscheinlichkeit ohne
weiteres ergiebt.
4 . I m allgemeinen aber hilft man sich mit H y p o t h e s e n über
das Verhältnis der kurzstreckigen Wahrscheinlichkeiten <}>,. zu der
gesuchten Wahrscheinlichkeit <p. A m nächsten liegt die A n n a h m e ,
dass sich q> zu r/> verhalte wie die bis zur G r e n z e x - } - i noch
zu durchlaufende Altersstrecke zu einem J a h r , dass also <p =
n—r
——-<t'- D i e s e A n n a h m e harmoniert freilich keineswegs vollständig
r
r
mit den aus der B e d e u t u n g von <p sich ergebenden F o l g e r u n g e n .
Ist z. B . (p = J
und die Zahl der in das A l t e r von g e n a u x
Jahren Eintretenden 12 000, so ist die wahrscheinlichste Zahl der
s
Lexia,
H e v u l k e n i n g s - u. M o r u l s l u t i s t i k .
4
Sterbefälle im A l t e r von x bis x -\-1 J a h r e 240. N i m m t man
aber an, dass die Sterbenswahrscheinlichkeit sowohl v o m A l t e r
x bis x - | - l wie von x - | - | bis x - f - i gleich J 9 9 sei, so erhält
man als wahrscheinlichste Zahl der Gestorbenen im A l t e r von
x bis x - j - i für einen A n f a n g s b e s t a n d von ebenfalls 1 2 0 0 0 nur
12 000 • -J-tf-|- 1 1 400 • 1-J0 oder 234. D e r allerdings nicht grosse
Unterschied entsteht dadurch, dass nach dem Begriff der W a h r ­
scheinlichkeit cp, wie schon erwähnt, die V e r ä n d e r u n g des ur­
sprünglichen Bestandes an Beobachtungspersonen im L a u f e der
Altersstrecke g a r nicht verfolgt werden soll, sondern es nur darauf
a n k o m m t , wie viele lebend aus der P r o b e herauskommen und
wie viele darin bleiben. F ü r diese Wahrscheinlichkeit würde sich
nichts ändern, wenn z. B . alle Todesfälle plötzlich in demselben,
gleichviel welchem, Alterszeitpunkt eingetreten wären.
T
Lassen wir aber die obige H y p o t h e s e gelten und nehmen
wir an, dass die Altersstrecke x bis x - J - 1 J a h r e in n gleiche
A b s c h n i t t e geteilt sei und dass an der unteren G r e n z e einer jeden
j e e Personen eintreten, an der G r e n z e x aber kein A n f a n g s ­
bestand vorhanden sei, so ist die Zahl der aus den E i n w a n d e r n d e n
in der ganzen Altersklasse Gestorbenen:
M
^e
n cp
e (n— 1) cp
n " "
n
e q)
n
1
. eJn—2)_rp_
n
e n (n -f- 1) cp
e ( n — (n—2))<p
n
2n
D a aber n e gleich der Gesamtzahl der eingewanderten E ist
und n beliebig gross a n g e n o m m e n werden kann, so erhält man
einfach
„
,
M
4 E cp =
M oder cp =
—r^~-
Ist ein A n f a n g s b e s t a n d von L L e b e n d e n im A l t e r von X
Jahren vorhanden, so k o m m t auf diese in der S t r e c k e von x
bis x -\- i J a h r e die statistisch nicht isoliert feststellbare Zahl von
cp L = M Todesfällen.
D u r c h V e r b i n d u n g mit der vorigen
G l e i c h u n g hat man also
1
9 3 L - f - 4E90
= M
- j -
1
M = (M) oder
^
-
Ä
—
L - f - ^ i ,
w o (M) die statistisch zu beobachtende Zahl der Gestorbenen aus
dem
A n f a n g s b e s t a n d e und
zeichnet.
den
E i n w a n d e r n d e n zusammen
be­
A n s t a t t einer gleichmässig über die Altersstrecke ver-
teilten E i n w a n d e r u n g E kann man also eine solche von der
G r ö s s e | E am A n f a n g der Altersklasse annehmen, so dass also
im G a n z e n L ~ j - \- E Personen während eines Altersjahres der
Sterbensgefahr ausgesetzt wären. N i m m t m a n aber weiter an,
dass von diesen (M) Personen sterben würden, so ist dies nicht
g a n z genau, und wenn die Zahl M bekannt und g e n ü g e n d gross
1
M
1
wäre, so würde der W e r t - £ - für 99 dem obigen N ä h e r u n g s a u s druck
vorzuziehen
sein.
S i n d aber
die
Eintretenden
sämtlich
gesunde und kräftige L e u t e mit sehr geringer Sterbensgefahr, so
wird
der
praktisch
richtigste
A u s d r u c k von <p =
(M) / L
sein.
H a n d e l t es sich um A u s w a n d e r u n g e n oder sonstige A u s s c h e i d ungen, so nehmen wir wieder dieselbe H y p o t h e s e n
über die cp
r
und ferner an, dass das A u s s c h e i d e n von je a Personen
unteren
G r e n z e jedes
an
der
der n kleinen A b s c h n i t t e der einjährigen
Altersstrecke x bis x -f- 1 stattfinde, dass die letzten am A n f a n g
des n-ten A b s c h n i t t e s ausscheiden
ü b r i g bleibe.
Wenn
alle
und dann kein Bestand mehr
Ausscheidenden
bis
zum
Ende
der
Altersstrecke weiter hätten beobachtet werden können, so würde
man unter ihnen folgende Zahl von Todesfällen gefunden h a b e n :
a n <p .
a (n — 1) 9
-+-•--•--
n
11
1
a
1
.
a ( n — 2 ) q>
- - - -U
—
'
"(n
+
.)5P
. a
. . .
=
' 1 1
n
=
99
—
A
M
>
1)
i
t
wenn A die Gesamtzahl der A u s w a n d e r u n g e n bezeichnet und n
sehr gross a n g e n o m m e n wird. W a r ein ursprünglicher Bestand
vor L L e b e n d e n im A l t e r von x J a h r e n vorhanden, so würden
aus diesem, wenn keine A u s w a n d e r u n g stattgefunden hätte, 9? L
Todesfälle h e r v o r g e g a n g e n sein. D i e wirklich beobachtete Zahl
der Todesfälle (M) ist aber infolge der A u s w a n d e r u n g e n um M
oder \ Aor> kleiner.
M a n hat also L g ? — \ A 9 9 = : (M) und d e m n a c h
(M)
w —
2
9
L - ' A -
5. M a n kann aber auch von anderen A n n a h m e n über
das Verhältnis der q> zu <p a u s g e h e n , wie sie sich aus der
B e t r a c h t u n g der V e r t e i l u n g der Dichtigkeit der Sterbepunkte in
den Altersklassen einer in ihrem A b s t e r b e n verfolgten Generation
ergeben. V o m 5. bis etwa zum 60. Altersjahre kann man ohne
erhebliche F e h l e r annehmen, dass in den durch einjährige S t r e c k e n
r
52
bestimmten
G r e n z e n der Hauptgesamtheiten M
1
die D i c h t i g k e i t
der Sterbepunkte gleichmässig bleibt, dass also auf jede A l t e r s ­
strecke von -^- J a h r gleich viele, nämlich /u Sterbefälle k o m m e n .
1
Ueberschreiten L Personen die untere A l t e r s g r e n z e von x J a h r e n
und erreichen von diesen L,! die Altersgrenze von x -|
so ist nach der obigen
rische
Ausdruck
für
A n n a h m e L,! =
Jahren,
l
E — r u und der empi­
die Sterbensvvahrscheinlichkeit
im
Alter
n
. r
(n—r) fi
,
M
x -|
— bis x -f- i J a h r e cp = —-—— - - oder, da - j y = <p,
(n—r)
•
(p
n
cp = —
•
I m V e r g l e i c h mit dem oben a n g e n o m m e n e n
i
q>
n
A u s d r u c k für (p ist dieser also grösser und da er der V o r a u s ­
setzung einer konstanten Dichtigkeit der Sterbepunkte in der
einjährigen Altersstrecke entspricht, so setzt jener, nämlich
n—r
<p =
rp, eine a b n e h m e n d e Dichtigkeit der Sterbepunkte
voraus. E s m ö g e n nun bei einem A n f a n g s b e s t a n d e o im A l t e r
von
r
T
T
T
von x J a h r e n am E n d e ' ) jeder Altersstrecke von ~ - J a h r e Per­
sonen
x
einwandern, auf die dann bis zu der oberen G r e n z e von
i Jahren die Sterbenswahrscheinlichkeiten <p nach der vor­
r
liegenden
A n n a h m e zur A n w e n d u n g kommen.
W i r d nun
die
Zahl der aus einer solchen G r u p p e von E i n w a n d e r n d e n hervor­
gehenden Sterbefälle mit m
bezeichnet, also allgemein
r
(n-r)
IT
'
p
e
=
i
m,. gesetzt,
w
n
so folgt aus dieser G l e i c h u n g :
i ) Bei
der A n n a h m e ,
dass die Einwanderung am
E n d e jedes kleinen
abschnittes stattfinde, wird e i n e Elementargruppe e vernachlässigt.
Fehler von derselben Ordnung begangen, wie
dass
das
Verhältnis — — —
bei
den
gleich i angenommen wurde.
Fällen, weil n beliebig gross angenommen werden kann.
die
vorigen
folgende R e c h n u n g in Betreff der
Auswanderung.
Alters­
Dadurch wird
Rechnungen
ein
dadurch,
E r verschwindet in beiden
Dieselbe Bemerkung gilt für
e
.
e •
„1
n
n—2
— ni. — m,
<p — m.j • — m
2
2
— <p
n—i
l
1
e
w
n
7 =
y.
m ^ i — m„._ i
n
n
n
D a 7' für die Altersklassen, für die die A n n a h m e einer gleichmassigen D i c h t i g k e i t der Sterbepunkte überhaupt zulässig ist,
nur ein kleiner B r u c h ist, so sind die letzten Glieder auf der
rechten Seite im V e r g l e i c h mit den m nur klein. S i e dürfen
zwar nicht vernachlässigt werden, aber es ist gestattet, in ihnen
bei der S u m m i e r u n g für die m einen Näherungswert, nämlich
(n—r) v einzusetzen, w o v die für alle gleiche G r ö s s e e<p/n darstellt.
E s rechtfertigt sich dies bei kleinen 71 ohne weiteres aus der B e ­
trachtung des vorher für m, aufgestellten allgemeinen A u s d r u c k s ,
da der N e n n e r i
cp näherungsweise gleich 1 gesetzt werden
r
kann.
M a n erhält also (r von 1 bis n — 1 ) :
2e- —
cp = 2m —2(n—r)v-
r
— cp oder
r
n
e-
cp =
n
M—±rvcp - ] - 2
q>.
n
A u f der linken S e i t e ist e ( n — 1 ) gleich der Gesamtzahl der E i n ­
wanderer, die wir mit E bezeichnen.
M ist die G e s a m t z a h l der
aus den E i n w a n d e r e r n h e r v o r g e g a n g e n e n Sterbefälle und diese
wird auch näherungsweise durch Srv oder durch 2\n—r)v ausgedrückt.
D a s letzte Glied rechts endlich stellt die S u m m e der R e i h e zweiter
Ordnung
2
2
i + 2 -)- 3
2
. . . (n— i )
2
multipliziert
mit ^cp
dar, ist
also gleich
n(n—i)(2n—1)
v
9
IT '
6
N u n ist aber — • — — v wieder annähernd gleich M und da n
beliebig gross a n g e n o m m e n werden kann, so darf man — ~ ™
1 .
gleich 2 setzen u n d somit wird 2
2
rv
cp =
n
2M
x
cp.
einfach
54
2M
E
w = M—Mcp - J
A l s o hat man
7
2
3
Ist ein A n f a n g s b e s t a n d
vorhanden,
so
M
1
-•
- i E - f - ^ M
von I . Lebenden im A l t e r von x j a h r e n
kommen
Altersklasse qph =
M
w oder m = -
auf
diesen
innerhalb
der
betreffenden
Gestorbene und durch V e r b i n d u n g dieser
G l e i c h u n g mit der vorhergehenden findet man
~
wo
(M)
;
I . - ; - * E
A M
~
r
+
l
E
+
l
M
'
wieder die S u m m e aller Gestorbenen aus den ursprüng­
lich Lebenden wie aus den Einwanderern bezeichnet. Diese S u m m e
ist als g e g e b e n anzunehmen, die im N e n n e r vorkommende S u m m e
M
aber wird in der R e g e l , namentlich bei bevölkerungstatistischen
A u f g a b e n , nicht bekannt sein, aber doch mit g e n ü g e n d e r G e n a u i g ­
keit näherungsweise
lässigt
werden
wanderung
handenen
geschätzt, bei kleinem q> aber auch vernach­
können.
F i n d e t statt
(oder irgend
der
Einwanderung
Aus­
ein anderes Ausscheiden aus dem vor­
Zustand, ausser
durch Sterben) statt, so sei wieder a
die Zahl der A u s w a n d e r n d e n am E n d e jeder kleinen Altersstrecke
von x 4- — bis x - j - " — - J a h r und es seien ursprünglich im A l t e r
n
'
n
von
x
Jahren
wandernden
L
bis
J a h r e n weiter
Lebende
vorhanden.
zur E r r e i c h u n g des
beobachten
Hätte
vollen
man
die
Aus­
x -\- 1
A l t e r s von
können, so würde allgemein die Zahl
der in einer G r u p p e a n a c h der A u s w a n d e r u n g noch konstatierten
Sterbefälle betragen haben
n
N a c h E i n s e t z u n g der N ä h e r u n g s w e r t e (n —r) v für m
r
findet
man g a n z a u f dieselbe A r t , wie bei der E i n w a n d e r u n g
—-
wenn
A
zahl der
<p
=z
M — J - M 9 P
die G e s a m t z a h l der A u s w a n d e r e r und M die G e s a m t ­
unter
ihnen
nach
der
A u s w a n d e r u n g innerhalb
der
Altersklasse noch v o r g e k o m m e n e n , n i c h t beobachteten Sterbefälle
bezeichnet.
A u s den ursprünglich vorhandenen L L e b e n d e n aber
würden, wenn keine A u s w a n d e r u n g stattgefunden hätte, bis zum
A l t e r v o n x - | - i J a h r e n <p L sterben,
die wirklich beobachtete
Zahl (M) der Gestorbenen aber ist u m M kleiner,
<ph—M.
also (M) =
Setzt man hier statt M auf G r u n d der obigen G l e i c h u n g
( A - j - M ) 9 ? , so erhält man
2
3
(M^_ _
r
—
L - A — iM. '
Bei kleinem <p kann die nicht g e g e b e n e G r ö s s e \ M vernachlässigt
w e r d e n , andernfalls wird man einen N ä h e r u n g s w e r t einsetzen
müssen.
2
6. M a n könnte nun auch annehmen, dass die Dichtigkeit
der Sterbepunkte in der einjährigen Altersklasse in einem
gewissen Verhältnisse mit dem A l t e r zunähme, wie es in den
Altersklassen von 60 bis 70 J a h r e n wirklich der F a l l ist,
oder dass sie, wie in dem ersten Lebensjahre, mit fortschreitendem
A l t e r in einem gewissen Verhältnisse abnehme. D i e R e c h n u n g e n
dieser A r t sind mit H i l f e einfacher Integrationen leicht auszu­
führen und lassen sich bis zu einem gewissen P u n k t e auch
elementar behandeln, allerdings mit A n w e n d u n g von Differenzen­
reihen höherer O r d n u n g . W i r gehen aber auf diesen G e g e n s t a n d
nicht weiter ein, zumal man sich in der P r a x i s ohnehin meistens
mit ungenauen hypothetischen A n n a h m e n behelfen muss. S o ist
es in der R e g e l schon nicht zutreffend, dass die neu Eintretenden
und die lebend Ausscheidenden innerhalb der betreffenden A l t e r s ­
klassen derselben Sterbenswahrscheinlichkeit unterliegen, wie die
bereits V o r h a n d e n e n oder Zurückbleibenden. B e i den eigentlichen
E i n w a n d e r e r n und A u s w a n d e r e r n wird man, w i e schon erwähnt,
abgesehen etwa von den mitgeführten K i n d e r n im zartesten
A l t e r , weit günstigere SterblichkeitsVerhältnisse annehmen müssen,
als die durchschnittlichen. E b e n s o haben die neu G e t r a u t e n im
ersten J a h r e sicher eine geringere Sterbenswahrscheinlichkeit, als
die bereits vorhandenen Verheirateten derselben Altersklasse.
D a g e g e n ist die Sterbenswahrscheinlichkeit für die in den R u h e ­
stand tretenden B e a m t e n vermutlich grösser, als die der gleichalterigen, die noch im Dienste bleiben können. A u c h die A n ­
nahme einer gleichmässigen V e r t e i l u n g der E i n - und Austritte
über die einjährige Altersstrecke trifft nicht zu und es k o m m t da­
her auch nicht lediglich auf die (positive oder negative) Differenz
der Eintritte und der A u s t r i t t e in der Alterklasse an. D i e be-
.0
-
g a n g e n e n F e h l e r können indes um so unbedenklicher vernach­
lässigt werden, j e kleiner die Zahl der Z u - oder A b g e h e n d e n im
V e r g l e i c h mit dem vorhandenen Bestände ist.
7. W i r schliessen hier noch die F r a g e an: W i e gross ist die
Zahl der Gestorbenen, die innerhalb der Grenzen einer jeden der
beiden
Elementargesamtheiten
z. B . in den Dreiecken N
2
N
3
einer
A
H a u p t g e s a m t h e i t M ' , also
und N
2
A
: j
2
A
aus den innner-
3
halb derselben G r e n z e n E i n w a n d e r n d e n h e r v o r g e h e n ?
Die Ein­
wanderung
Altersab­
soll wieder
gleichmässig
am
Ende
der
schnitte von ,', J a h r stattfinden, die durch die horizontalen Linien
angedeutet
gleich
sind.
W i r teilen ferner das Dreieck N N A
2
breite senkrechte Streifen,
wie N j ' A a ' ,
2
oberen E c k e n über die Seite N A
3
2
3
abstufungen
eines
solchen
der
in n
2
hinausragen, was aber um
so eher vernachlässigt werden kann, je grösser n ist.
Sterbenswahrscheinlichkeiten
2
die mit ihren
Einwanderer
Streifens
nehmen
F ü r die
in
den
Alters­
wir
die
einfache
z—r
Näherungsformel cp — ——— <p an, w o rp wieder die
T
allgemein
geltende Sterbenswahrscheinlichkeit für die Altersklasse von x
bis x -(- i J a h r , z aber eine in den einzelnen senkrechten Streifen
verschiedene G r ö s s e bezeichnet, die in dem ersten links mit n
beginnt und in dem letzten rechts mit 1 endigt. A u c h der E n d ­
wert von r ist in einzelnen Streifen verschieden: er g e h t in
dem ersten bis n — 1 , in dem den Schluss bildenden vorletzten
aber nur bis 1, da dieser überhaupt nur e i n e n S u m m a n d e n ent­
hält. Bezeichnet man die Zahl der an der o b e r e n G r e n z e der
einzelnen kleinen Q u a d r a t e E i n w a n d e r n d e n mit F., so hat man
für die aus diesen E i n w a n d e r e r n in allen einzelnen Streifen
hervorgehenden Sterbefälle: - - —
n
multipliziert
(n-i) + (n-2)-|-(n-3)
mit
der
Summe
+ 1
(n - 2) - j - ( n — 3 )
.
.
.
(n-3)
1
+ 1
. - f
oder i ( n — i ) - | - 2 ( n — 2 ) + 3 ( n — 3 ) . . . ( n — 1 ) (n—(n—1)) —
2
n (n—1)
2
2
- ( i
2
3
2
2
+ 2 + 3 --.(n-i) ) =
n (n— 1)
2
n(n—1) (2n—1)
57
D i e gesuchte Zahl A* der gestorbenen
E i n w a n d e r e r der unteren
Elementargesamtheit ist also
£(
P
,
,
/
\ i
\
( 3 n ( n — i ) — n ( n — 1 ) ( 2 — —•)
1
oder, da die G e s a m t z a h l E der E i n w a n d e r e r innerhalb des Q u a d rats
N
2
N A A
3
2
gleich n ( n — i ) e ,
3
bei
grossem
D i e H a u p t g e s a m t h e i t M aller gestorbenen
Grenzen
n: A
^ •
E i n w a n d e r e r in diesen
ist aber bei demselben N ä h e r u n g s v e r f a h r e n — — und für
die obere E l e m e n t a r g e s a m t b c i t derselben hat man also
Diese Elementargesamtheit
so gross,
der
—
c
wie
gestorbener
die untere,
inneshalb
des
E i n w a n d e r e r ist
^T-
doppelt
was sich daraus erklärt, dass ein Teil
Elementardreiecks
auch in dem Dreieck N A A
3
Altersklasse liefert.
I,? =
2
N
2
N A
3
2
Eingewanderten
Sterbepunkte aus der betreffenden
: !
In Betreff der A u s w a n d e r n d e n g e l a n g t man
leicht zu einem entsprechenden
Resultate.
8. E s sei hier noch darauf hingewiesen, dass bei der oben besprochenen
sogenannten
direkten
A b s t e r b e o r d n u n g , wenn
M e t h o d e der
Berechnung
der
sie mit H ü l f e der wirklich beobachteten
Elementargesamtheiten a n g e w a n d t wird, der Einfluss der W a n d e rungen bei gleichmässiger V e r t e i l u n g derselben nahezu von selbst
eliminiert
wird.
Ist
L
2
die
durch
die
Volkszählung
gegebene
Zahl der gleichzeitig L e b e n d e n in dem der D i a g o n a l e des Q u a d r a t s
N
2
N
A
3
2
A
stimmende
3
( F i g . 5) entsprechenden
Zahl
derjenigen,
Zeitpunkte, L
die lebend
l
die zu be-
die A l t e r s g r e n z e N
2
N
3
von g e n a u x J a h r e n überschritten haben, A\ die durch das D r e i eck
N
N
2
3
A
2
begrenzte
untere
Elementargesamtheit
diesen L e b e n d e n h e r v o r g e g a n g e n e n Gestorbenen, E
1
der
aus
die Zahl der
E i n w a n d e r e r innerhalb der G r e n z e desselben Dreiecks und A
die
0
Zahl
der aus diesen in denselben
G r e n z e n herstammenden G e -
storbenen, so hat man
L
oder
(
1
wenn
= L
2
man
1
2
+ ,1/ - ( E — Al) = L + {Al +
für (Al -)- Al)
setzt
(,!'),
Al)-E\
nämlich die
untere
E l e m e n t a r g e s a m t h e i t a l l e r Gestorbenen in den G r e n z e n N N A ,
2
3
8
die, ebenso wie L * und E ' durch direkte Beobachtung-
festgestellt
werden k a n n :
L
1
= L* +(/(') —E ' .
1
Bezeichnet wieder ( M ) die ebenfalls statistisch
festzustellende
erste H a u p t g e s a m t h e i t aller Gestorbenen im A l t e r von x bis x ~\- i,
ohne R ü c k s i c h t auf die Herkunft, die durch das Q u a d r a t N N A
2
A
3
3
2
begrenzt wird, so ist bei der ersten N ä h e r u n g s a n n a h m e für cp
l
r /
(M )
' ^ L - -f-K"
1
da E bei gleichmässiger V e r t e i l u n g der E i n w a n d e r u n g gleich
der H ä l f t e der in den G r e n z e n des Q u a d r a t s überhaupt ein­
wandernden E a n g e n o m m e n werden darf.
Setzt man nun für
L ' den obigen W e r t ein, so erhält man
=
_
{
M
-
-
]
E ' ist also weggefallen und die Formel enthält ausser den g e ­
zählten L e b e n d e n nur Zahlen von Gestorbenen, die durch direkte
B e o b a c h t u n g leicht ermittelt werden können.
D i e U n a b h ä n g k e i t der nach der obigen M e t h o d e berechne­
ten Sterbenswahrscheinlichkeit cp ergiebt sich auch noch bei der
A n n a h m e , dass die Grösse der E i n w a n d e r u n g (im weiteren Sinne)
nicht gleichmässig bleibt, sondern innerhalb der Altersklasse
proportional der Alterszunahme wächst.
D e n n auch in diesem
F a l l e ist der im N e n n e r von cp vorkommende Bruchteil der G e ­
samtzahl der E i n w a n d e r e r in dem Q u a d r a t N N A A gleich der
unteren, von dem Dreieck N N A umschlossenen Elementar­
gesamtheit dieser Einwanderer. W e n n wieder die N ä h e r u n g s a n n—r
nähme cp —
cp g e m a c h t wird und die Zahl der E i n w a n d e r e r
2
2
3
3
2
3
2
r
a m E n d e einer jeden der (n—i) Altersabschnitte
e, 2e, 3e, . . .
( n — i ) e beträgt, so hat m a n als Zahl der aus den Einwanderern
innerhalb des Q u a d r a t s h e r v o r g e g a n g e n e n
Gestorbenen M
^ ( i . ( n - i ) + 2 ( n - 2 ) + 3(11-3)... (n-i) (n-(n-i)))
also mit R ü c k s i c h t auf den bereits oben a n g e g e b e n e n W e r t der
R e i h e in der K l a m m e r und bei grossem n
59
wenn
E die Gesamtzahl der E i n w a n d e r e r in dem
zeichnet, die j a durch
L
1
''
P
Quadrat
be­
ausgedrückt wird. Ist nun wieder
die Zahl der die untere A l t e r s g r e n z e überschreitenden L e b e n d e n
und M
1
die Zahl der aus diesen allein in der Altersklasse hervor­
gehenden Gestorbenen, so ergiebt sich
_
M
l-
-4- M _
1
:
• :\H
1
(M )
1-' + J K '
Andererseits hat man wie oben
2
I.i = L --[-(. I ' ) - E '
wo E
1
wieder die untere Elementargesamtheit der E i n w a n d e r e r
(in dem Dreieck N N A ) bezeichnet.
2
3
2
diese ausgedrückt wird durch ^ (i
M a n sieht aber sofort, dass
(n — i) -j— 2 (n - 2) - j - . . (n — 1)
(n—(n—1))), demnach gleich J , E ist und daher E nach E i n ­
setzung des W e r t e s von L aus dem A u s d r u c k für y verschwindet.
Bei den A u s c h e i d u n g e n g e l a n g t man zu analogen Resultaten.
A u c h bei einer innerhalb der Altersklasse gleichmässig steigenden
A b n a h m e der Zahl der E i n - oder Austretenden findet man bei
derselben N ä h e r u n g s a n n a h m e die U n a b h ä n g i g k e i t des W e r t e s
von <p von der W a n d e r u n g . D i e G e n a u i g k e i t dieser M e t h o d e wird
aber erheblich vermindert, wenn man für die Elementargesamtheit
(/)') der sämtlichen in den Dreiecksgrenzen Gestorbenen nicht den
wirklich beobachteten W e r t , sondern den üblichen N ä h e r u n g s w e r t
einsetzt.
1
IV. Uebersicht der demographischen Elemente
und ihrer Beziehungen zu einander .
1
i. D i e amtlichen A u f z e i c h n u n g e n über die Eheschliessungen,
über die Taufen oder Geburten, die Begräbnisse oder Sterbefälle
sind
ursprünglich durch praktische
und
bürgerlichen
Graunt,
Lebens
Ilalley
Bedürfnisse
veranlasst
des
worden.
kirchlichen
Auch
und S ü s s m i l c h gezeigt hatten,
nachdem
dass dieses
Material die Bausteine für eine neue Wissenschaft bilde, die wir
jetzt als D e m o g r a p h i e
zu bezeichnen
pflegen, blieb die Statistik
der B e w e g u n g der B e v ö l k e r u n g doch noch l a n g e Zeit ausschliess­
lich von jenen praktischen
von den rein
Interessen a b h ä n g i g und
wissenschaftlichen
unbeeinflusst
F r a g e n , die übrigens, mit A u s ­
nahme der die Sterblichkeitstabellen betreffenden, nach dem T o d e
Süssmilch's
wieder mehr und mehr in den H i n t e r g r u n d traten.
E s bedurfte des von Q u e t e l e t g e g e b e n e n A n s t o s s e s zur W i e d e r ­
aufnahme und V e r t i e f u n g der
auf M a s s e n b e o b a c h t u n g
gegrün­
deten Wissenschaft v o m Menschen, um auch die amtliche Statistik
zu b e w e g e n ,
tischen
den
Rahmen
Wünschen
der
ihrer E r h e b u n g e n nach
nunmehr
graphie allmählich zu erweitern.
P r o g r a m m auf, die
kräftig
den theore­
aufblühenden
Demo­
S i e nahm m a n c h e F r a g e n in ihr
über die unmittelbaren Z w e c k e der S t a n d e s ­
buchführung hinausgingen;
neben
fach in den Zählkarten auch ein
dem
offiziellen
gewissermassen
erschien
namentlich aber brachten es in der neueren Zeit die
A e m t e r mehrerer Grossstädte, wie
viel­
offiziöser T e i l ;
statistischen
die von Berlin, Paris, B u d a ­
pest, sowohl in der F r a g e s t e l l u n g , als auch in der V e r a r b e i t u n g
des
S t o f f s zu
einer
Vollständigkeit,
i ) N e u e Bearbeitung eines im Bulletin de
(Tome V I , Vienne
1 8 9 1 ) abgedruckten
Vortrags.
die
vom
l'Institut
demographischen
international
de
statisüque
Ol
S t a n d p u n k t nur noch
w e n i g zu wünschen übrig lässt.
kleinere
Staaten waren
weniger
zu f o l g e n ;
Länder
von
statistische
werden,
imstande,
aber
dreissig
und
Aufnahmen
und
wenn
man
es
diesen
darf
Beispielen
wohl
nicht
Einzelne
mehr
oder
erwarten,
dass
mehr Millionen E i n w o h n e r n sich auf
von
solcher
dennoch
Ausführlichkeit
geschähe,
so
würde
einlassen
man
sich
wahrscheinlich bald durch die S c h w i e r i g k e i t und die K o s t e n der
V e r a r b e i t u n g und V e r ö f f e n t l i c h u n g des massenhaften Stoffs wieder
abschrecken lassen.
sache, dass
G l e i c h w o h l bleibt
wenigstens
eine
lokale
es eine
erfreuliche That-
Vollständigkeit der demo­
graphischen E r h e b u n g e n als erreichbar zu erachten ist und
dass
die statistischen Idealforderungen in einem allmählich sich immer
mehr erweiternden K r e i s e von S t ä d t e n wenigstens annähernd er­
füllt werden
können.
sich über die F r a g e
D a h e r scheint
es
a u c h nicht überflüssig,
R e c h e n s c h a f t zu g e b e n : W a s ist denn das
letzte Forschungsziel der D e m o g r a p h i e , d. h. der
die sich mit der zahlenmässigen
bedeutsamen
Um
Wissenschaft,
methodischen U n t e r s u c h u n g der
Massenerscheinungen
des Menschenlebens befasst?
diese F r a g e zu beantworten,
g e n ü g t es nicht,
einfach
die nötig oder z w e c k m ä s s i g erscheinenden R u b r i k e n der bevölke­
rungsstatistischen
muss
von
E r h e b u n g e n zusammenzustellen,
einem
allgemeinen,
einheitlichen
sondern
man
G e s i c h t s p u n k t aus­
gehen, der alle einzelnen E l e m e n t e der U n t e r s u c h u n g in ihrem
natürlichen Z u s a m m e n h a n g e zu überblicken gestattet.
E i n e solche
E i n h e i t der A u f f a s s u n g der demographischen E r s c h e i n u n g e n hat
schoYi Q u e t e l e t erstrebt, indem er sich die Feststellung der E i g e n ­
schaften und natürlichen Tendenzen des
als A u f g a b e setzte.
den
mittleren
Menschen
E r hatte dabei principiell nicht nur die ruhen­
oder statischen, sondern
auch die beweglichen
oder
dyna­
mischen E r s c h e i n u n g e n des Menschenlebens im A u g e , aber thatsächlich hat er seine Theorie der Mittelwerte nur auf die festen
anthropometrischen T y p e n
wegung
der
angewandt
B e v ö l k e r u n g nur die von
und
in Betreff der B e ­
früher
bekannte
ange­
näherte Stabilität gewisser Verhältniszahlen durch neues Material
genauer nachgewiesen.
Z u einer befriedigenden D a r s t e l l u n g des
typischen G e s c h e h e n s in den menschlichen D i n g e n kann man je­
d o c h nur durch ein umfassenderes und tiefer greifendes V e r f a h r e n
gelangen.
sich
die
A l s natürliche R i c h t s c h n u r für dasselbe
Vorstellung
des
demographischen
aber
bietet
Lebenslaufs
nicht des mittleren, sondern des a b s t r a k t betrachteten M e n s c h e n
dar.
Jeder
M e n s c h durchläuft eine R e i h e von
Zuständen und
Zustandsänderungen, die die Statistik als von ihrem S t a n d p u n k t
bedeutsam registriert.
nächst gewisse
dauer, das mittlere
Zahlen
M a n kann aus diesen B e o b a c h t u n g e n zu­
Mittelzahlen ableiten,
A l t e r der
wie
die
mittlere
Heiratenden u. s. w.,
Lebens­
aber
diese
genügen
nicht zur A u f s t e l l u n g der in R e d e
stehenden
demographischen
Biographie, da für diese vor allem
die T h a t -
sache in Betracht kommt, dass nicht alle M e n s c h e n
alle Phasen
durchlaufen, sondern bei jedem nur gewisse Wahrscheinlichkeiten
dafür bestehen,
dass er in die verschiedenen möglichen Z u s t ä n d e
eintreten wird.
W a s nun
diese Wahrscheinlichkeiten betrifft, so
ist die Statistik berechtigt,
nach
ihren
besonderen
sie
nötigenfalls einen besonderen
scheinlichkeit
Bruch,
aufstellen
als
empirische
Bedürfnissen
Verhältniszahlen
Wir
können
Begriff der s t a t i s t i s c h e n
Wahr­
und diesen
zu
bilden.
definieren
als einen
echten
dessen Zähler eine A n z a h l beobachteter besonderer F ä l l e
oder E l e m e n t e angiebt, die aus der im N e n n e r a n g e g e b e n e n A n ­
zahl
beobachteter
gegangen
Fälle
oder
sind oder e i n e n
Elemente
Teil
entweder
hervor­
dieses letzteren bilden.
Die
demographischen Verhältniszahlen dieser A r t zeigen bei g e n ü g e n d
grosser Grundzahl
meistens
eine bemerkenswerte Stabilität, aber
diese ist dennoch nur bei wenigen A r t e n von E r s c h e i n u n g e n so
gross, wie es nach der Theorie zu erwarten wäre, wenn den be­
obachteten E r s c h e i n u n g e n eine k o n s t a n t e mathematische W a h r ­
scheinlichkeit
zu G r u n d e läge.
U n t e r s u c h u n g e n notwendig
E s wird also bei tiefergehehden
sein,
den
G r a d der
Stabilität jener
empirischen Verhältniszahlen im V e r g l e i c h mit derjenigen Stabili­
tät,
die sich
bei
konstanter
mathematischer Wahrscheinlichkeit
herausstellt, nach einer an anderer Stelle dargelegten M e t h o d e zu
bestimmen.
übrigen
Setzen wir voraus, dass dieses geschieht, so sind im
die
statistischen
Wahrscheinlichkeitsverhältnisse
leicht
zu handhaben.
2. D e r abstrakte M e n s c h , dessen demographischer L e b e n s ­
lauf
dargestellt
werden
soll,
ist
scheidenden M e r k m a l e zu denken:
weiblich,
weder verheiratet
Betracht k o m m e n d e n
im
Anfang
noch ledig u. s. w.,
Qualitäten kann ihm
Wahrscheinlichkeit zufallen.
ohne
alle
er ist weder männlich
mit
unter­
noch
aber jede der in
einer
gewissen
E h e das G e s c h l e c h t des G e b o r e n e n
-
6
3
bekannt ist, besteht dio Wahrscheinlichkeit
von u n g e f ä h r 5 1 5 / 1 0 0 0 dafür, dass er m ä n n ­
lich, u n d die von 485/1000 dafür, dass er
weiblich ist, und dies ist, nebenbei gesagt,
einer der F ä l l e , in denen die statistische
Wahrscheinlichkeit einer konstanten mathe­
matischen Wahrscheinlichkeit entspricht. N e h ­
men wir nun die U n t e r s c h e i d u n g nach dem
G e s c h l e c h t e als bei allen B e o b a c h t u n g e n g e ­
geben a n , so können wir die Zustände des
abstrakten männlichen und des abstrakten
weiblichen Individuums für sich verfolgen.
Fassen wir speziell das weibliche Geschlecht
ins A u g e ,
weil
dessen
demographischer
Lebenslauf reichhaltiger ist als der des männ­
lichen, so würde ein sich möglichst voll­
ständig auslebendes weibliches Individuum auf
seiner nach dem A l t e r eingeteilten L e b e n s ­
linie ( F i g . 6, Linie 3) etwa die folgenden
durch verschieden bezeichnete P u n k t e dar­
gestellten V e r ä n d e r u n g e n durchmachen. E s
würde in einem gewissen A l t e r (Punkt e )
zum ersten M a l e in die E h e treten und dann
in irgend welchen A b s t ä n d e n (bei 1, 2, 3)
eine gewisse A n z a h l v o n K i n d e r n gebären.
Bisher sind die E n t b i n d u n g e n als L e b e n s ­
ereignisse der F r a u e n allerdings nur in der
Statistik weniger Staaten und einiger G r o s s -
so
t
Die Punkte e,, e,, e
3
bezeichnen
eine erste, zweite,
i
dritte
Punkte I , 2, 3 . . . eine erste, zweite, dritte . . . Niederkunft
Punkte
1 ' , 2 ' , . . . und
in
Eheschliessung;
die
1 " , 2 " , . . . die Niederkünfte in der zweiten und driten E h e ; die
Die Todesfälle sind
durch
die
v„ die erste, zweite,
schwarzen
Endpunkte
Sie sind nach dem Familienstande der Gestorbenen unterschieden
1> h, w für L e d i g e , Verheiratete und V e r w i t t w e t e .
wird die uneheliche
6
der ersten E h e ; die
Punkte ( 1 ) , (2) . . . die unehelichen Niederkünfte; die Punkte
dritte V e r w i t w u n g .
S 6
Fig,
bezeichnet.
durch die Buchstaben
Bei den Gestorbenen unter 1 0 Jahren
Geburt durch den Buchstaben u angedeutet.
Die
kleinen
Kreise
am E n d e oder am A n f a n g der Zeichnung einer Lcbenslinie bedeuten eine A u s w a n d e r u n g
oder eine Einwanderung.
soll in
der letzten
verheiratet ist.
Bei der letzteren
ist auch der Familienstand angegeben ; so
Linie rechts durch h angedeutet
werden,
dass
die Einwandernde
-
6
-
4
Städte berücksichtigt worden, aber es unterliegt
dass
sie
grosses
sowohl
Interesse
Forderung
nämlich
in
biologischer
in
dass
jede
A n f a n g s p u n k t einer
keinem Zweifel,
sozialer
darbieten, und unserem
entsprechen,
als
als
Hinsicht
Ideal würde also
Geburt
auf
Lebenslinie
doppelte
die
Art,
als
bedeut­
samer P u n k t mindestens in der Lebenslinie der Mutter,
womög­
lich auch in der des V a t e r s verzeichnet
ausser
und
ein
werde,
d. h. also,
dass
dem D a t u m derselben auch das A l t e r , oder genauer,
Geburtsdatum
der M u t t e r oder beider E l t e r n registriert
das
werde.
V e r f o l g e n wir nun den weiteren V e r l a u f der Lebenslinien 3,
so finden wir in einem gewissen A l t e r die erste V e r w i t w u n g (v,),
und auf diese folgt nach einiger Zeit eine zweite V e r h e i r a t u n g (e.,).
A u c h in der zweiten E h e werden einige K i n d e r geboren, und es
wäre jedenfalls wünschenswert, dass diese F o l g e von E n t b i n d u n g e n
nicht in einer R e i h e mit den früheren, sondern wieder von 1 be­
g i n n e n d besonders gezählt würde.
w i t w u n g ein, bei e
;1
Bei v
2
tritt eine zweite V e r ­
eine dritte Eheschliessung, die noch zu weite­
ren E n t b i n d u n g e n führen kann. N a c h einer dritten V e r w i t w u n g (v )
3
erreicht
das
dann endlich
Ende
seiner
graphischen
unser
Laufbahn.
Lebenslaufs
Personen zu teil.
Die
bedürfenden
unehelichen
statistisch
Diese
Normalindividuum bei t
Vollständigkeit
wird freilich
nur
des
wenigen
demo­
weiblichen
D i e meisten weisen eine geringere A n z a h l von
Zustandsänderungen auf,
klärung
weibliches
wie
dies auf den
keiner
weiteren E r ­
Lebenslinien 1, 2, 3 u. s. w. dargestellt
Entbindungen
festgestellten
sind
neben
den
ist.
überall
unehelichen G e b u r t e n als solchen natür­
lich ebenfalls als Lebensereignisse nach dem A l t e r der M u t t e r zu
verzeichnen (Linie 2).
U e b r i g e n s ist auch zu empfehlen, dass bei
den
Gestorbenen
im
Kindesalter,
10.
Lebensjahre,
die
unehelich
werden (Linie 7).
etwa
bis
zum
Geborenen
M a n c h e Lebenslinien, wie
vollendeten
unterschieden
1, brechen
für die
statistische B e o b a c h t u n g mit der A u s w a n d e r u n g (bei h) ab, andere
beginnen statt mit der G e b u r t mit einer E i n w a n d e r u n g (bei h w).
D i e A u f l ö s u n g der E h e erfolgt
witwung,
sondern
in
einer
nicht nur durch T o d oder V e r ­
verhältnismässig
F ä l l e n auch durch S c h e i d u n g .
eine besondere
zeichnen,
A r t von P u n k t e n auf den
was aber in unserer
kleinen
Zahl
von
Diese wäre also wieder durch
Figur
Lebenslinien
nicht geschehen
zu be­
ist.
Als
bedeutsames E r e i g n i s im demographischen Lebenslauf der F r a u e n ,
-
6
-
5
oder überhaupt der Eltern, könnte m a n auch noch den T o d
Kinder
lösung
betrachten,
wenigstens
soweit
der E h e der E l t e r n eintritt.
gleichsam
der
Nettowert
vor
A u s der Zahl
E h e geborenen und der in derselben
sich
derselbe
der
der
Auf­
der in der
gestorbenen K i n d e r würde
der
ehelichen
Fruchtbarkeit er­
geben, aber bei der sehr grossen möglichen Verschiedenheit des
A l t e r s und der Sterbenswahrscheinlichkeit der überlebenden K i n d e r
hätte diese Zahl doch nur eine ziemlich unbestimmte B e d e u t u n g .
Auch
diese A r t von
Punkten
ist
aus
der
Figur
weggelassen
worden.
Denken
linien
wir uns nun
einer
bestimmten
für ein g e g e b e n e s L a n d die L e b e n s ­
ganzen Generation, d. h. aller G e b o r e n e n aus
Zeitstrecke, mit
allen
ihren demographisch
einer
bedeut­
samen P u n k t e n in den der Zeitfolge nach eingetragenen G e b u r t s ­
punkten senkrecht
zu der
Grundlinie aufgestellt,
so
bilden
die
verschiedenen A r t e n von P u n k t e n in den einzelnen Altersklassen
»Massen« im statististischen S i n n e , die zu einander in mehr oder
w e n i g e r festen Zahlen Verhältnissen stehen.
in
einen
langen
P u n k t e in ihrer
graphischen
Streifen
Die Gesamtheit dieser
zusammengedrängten
natürlichen
A u f e i n a n d e r f o l g e stellt den
Lebenslauf einer Generation als
dar, und dieser kann
nun
mannigfaltigen
demo­
Massenerscheinung
auch zahlenmässig
durch eine R e i h e
von statistischen Wahrscheinlichkeiten ausgedrückt werden.
bei der D a r s t e l l u n g der Sterblichkeitsverhältnisse
Wie
Hauptgesamt­
heiten und Elementargesamtheiten von Verstorbenen unterschieden
worden
sind, so
Getrauten,
ergeben
Verwitweten
sich jetzt
und
ähnliche Gesamtheiten
E n t b i n d u n g e n , und wenn,
F ig". 4, mehrere Generationen mit den
Streifen aneinander gereiht werden,
denen
zugehörigen
wie
von
in
senkrechten
so treten auch die verschie­
A r t e n der H a u p t g e s a m t h e i t e n
dieser
E s dürfte a u c h nicht g a n z ohne Interesse
K a t e g o r i e n hervor.
sein, eine
graphische
D a r s t e l l u n g einer solchen M a n n i g f a l t i g k e i t von Zustandsänderungen
zu versuchen.
E s liegt nahe, die G r ö s s e des
Punkteninhalts in
den Quadraten einer Zeichnung, wie F i g . 4, m a g er sich nun auf
Sterbefälle
oder
andere
Zustandsänderungen
K r e i s e mit den Punkteninhalten
darzustellen.
beziehen,
durch
proportionalem F l ä c h e n i n h a l t
H a n d e l t es sich um Sterbefälle, so wird m a n z w e c k ­
mässigerweise wenigstens in den beiden ersten Jahresklassen des
A l t e r s die grosse Verschiedenheit
Lexia,
B e v ö l k e r u n g B - u. M o r a l s t a t i s t i k .
der beiden E l e m e n t a r g e s a m t ;
)
—
66
—
heiten v o n Gestorbenen unterscheiden müssen, wie in F i g . 7, in
der ein J a h r als Masseinheit g e n o m m e n ist, dargestellt ist. V o n
der dritten Altersklasse kann man ohne B e d e n k e n die g a n z e
quadratische H a u p t g e s a m t h e i t durch einen einzigen K r e i s be­
zeichnen. U e b r i g e n s ist es bei dieser Darstellungsmethode nicht
zu empfehlen, von der ersten bis zur höchsten
Altersklasse denselben Massstab für die K r e i s e
beizubehalten, da die .Sterblichkeit des ersten
Altersjahres so ausserordentlich gross ist, dass
die der jugendlichen und mittleren Altersstufen
nur durch K r e i s e von g a n z g e r i n g f ü g i g e m R a d i u s
ausgedrückt werden können.
Bei einer graphi­
schen D a r s t e l l u n g der Sterblichkeit einer G e n e ­
ration wird es daher am besten sein, etwa v o m
sechsten
Altersjahre
ab
eine
besondere
Z e i c h n u n g zu ent­ 30werfen, in der dieselbe Zahl von
Sterbefällen durch eine wenig­
stens zehnmal so grosse K r e i s ­
fläche repräsentiert wird als nach » j dem für die fünf ersten J a h r e
angewandten
Massstabe.
Die
T r a u u n g e n und sonstigen Z u standsänderungen k o m m e n über­
haupt erst für die Altersklassen
von mehr als 1 5 J a h r e n in B e ­
tracht und für sie ist ebenfalls
der grössere M a s s s t a b zu G r u n d e
zu legen.
E s lassen sich ohne
F i g . 8.
F i g . 7S c h w i e r i g k e i t drei Zustandsänderungen in einer Z e i c h n u n g für jedes Geschlecht zusammen dar­
stellen, so z. B . in F i g . 8 die Eheschliessungen und die E h e ­
lösungen sowohl durch T o d wie durch V e r w i t w u n g der F r a u ,
ohne U n t e r s c h e i d u n g der O r d n u n g s z a h l dieser V o r g ä n g e . D i e
weissen Kreisflächen entsprechen der Zahl der Eheschliessungen
in den fünfjährigen Altersklassen.
W e n n in der K l a s s e von
1 5 — 2 0 J a h r e n die Elementargesamtheiten der T r a u u n g e n unter­
schieden w ü r d e n , so würde der zu dem unteren D r e i e c k g e ­
hörende H a l b k r e i s erheblich kleiner sein als der obere.
Die
0
-
6
7
-
schwarzen Kreisflächen drücken die Zahl der Sterbefälle v o n
verheirateten F r a u e n , die schraffierten Kreisflächen die Zahl der
V e r w i t w u n g e n derselben aus. D i e letztere wird, da die M ä n n e r
durchschnittlich älter sind als die F r a u e n , im allgemeinen grösser
sein als die erstere. Beide A r t e n der E h e l ö s u n g e n sind in den
jugendlichen Altersklassen im V e r g l e i c h mit den T r a u u n g e n w e n i g
zahlreich, sie werden aber mit dem Fortschreiten des A l t e r s immer
häufiger, während die Zahl der T r a u u n g e n immer mehr abnimmt.
D;iher wird z. B . in der Altersklasse von 40—50 J a h r e n der die
letztere darstellende K r e i s von den beiden anderen umschlossen,
während er in der K l a s s e von 40—45 J a h r e n noch grösser ist als
der den Todesfällen entsprechende und in den früheren A l t e r s ­
stufen weit über die beiden anderen hinausreicht. D i e Z e i c h n u n g
stimmt übrigens kaum in roher A n n ä h e r u n g mit den wirklichen
Zahlenverhältnissen überein.
W o l l t e man die E h e s c h l i e s s u n g e n
und - L ö s u n g e n nach ihrer O r d n u n g s z a h l unterschieden darstellen,
so müsste man die ersten, zweiten und dritten Eheschliessungen
und den zugehörigen weiteren Verlauf in besondere Z e i c h n u n g e n
bringen, die etwa mit gleichen Altersstufen nebeneinander zu
stellen wären.
A u c h zur D a r s t e l l u n g der ehelichen G e b u r t e n
nach dem A l t e r der Mutter, mit U n t e r s c h e i d u n g etwa der ersten,
zweiten, dritten und der folgenden E n t b i n d u n g e n , vielleicht auch
noch kombiniert mit den Eheschliessungen der betreffenden A l t e r s ­
klasse, wäre wieder eine besondere F i g u r erforderlich. D i e A n ­
schaulichkeit dieser Z e i c h n u n g e n würde noch wesentlich gewinnen,
wenn die konzentrischen sich teilweise überdeckenden K r e i s ­
flächen von verschiedener B e d e u t u n g durch verschiedene F a r b e n
gekennzeichnet würden. A u c h könnte man eine A r t von M o d e l l
herstellen, indem man die verschiedenen Kreisflächen aus ver­
schiedenfarbigem Papier herstellt und diese Papierscheiben k o n ­
zentrisch übereinander legte.
D a n n könnte man auch in d e m ­
selben R a h m e n beliebig viele Zustandsänderungen darstellen.
4. E i n e ähnliche U e b e r s i c h t des demographischen V e r l a u f s
einer Generation lässt sich auch ohne graphische K o n s t r u k t i o n
durch blosse S y m b o l e geben, für die man in jedem F a l l e die
wirklich beobachteten Zahlen einsetzen kann. M a n erhält dadurch
ein zusammenhängendes S c h e m a derjenigen statistischen R u b r i k e n ,
deren A u s f ü l l u n g wünschenswert wäre, wenn sie auch für grössere
Staaten schwerlich jemals zu erwarten ist.
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B **
Das
S c h e m a bezieht
6o
-
sich nur auf j e e i n Geschlecht,
und
zwar in unserem Beispiel auf das weibliche. D i e ganze zu verfolgende
weibliche
Generation, die
G zu bezeichnen wäre,
nach dem a n g e n o m m e n e n S y s t e m mit
umfasst L e b e n d - und T o t g e b o r e n e (erste
K o l o n n e links). Letztere ( G) scheiden wir jedoch sofort aus, indem
t
wir sie zugleich in eheliche und uneheliche T o t g e b o r e n e
zerlegen
( G
dieselbe
und
t
t
G).
Bei
Unterscheidung
den
Lebendgeborenen
(,G)
wird
nach dem Familienstand g e m a c h t ( * G und " g ) .
In unserer A u f s t e l l u n g sind nun bloss fünfjährige Altersstufen an­
genommen,
was für die Darstellung der Sterblichkeit
jedenfalls
nicht ausreichen würde, wenn man sich auch für die übrigen Z u standsänderungen
vielleicht
mit dieser summarischen
Abstufung
b e g n ü g e n kann. D i e Sterbefälle sind jedenfalls nach Jahresklassen
und im ersten Lebensjahr mindestens nach Monatsstufen zu unter­
scheiden.
D i e fünfjährige S t r e c k e ist auch als Einheit für die das A l t e r
angebenden Indices g e n o m m e n und es bezeichnet daher z. B .
4
M
die Zahl der Gestorbenen in der vierten Altersstrecke, d. h. im
Alter
von
1 5 bis 20 J a h r e n .
Z u den
beiden
untersten
Alters­
strecken, also bis zum A l t e r von 10 Jahren, ist auch die U n t e r ­
scheidung
der Gestorbenen
nach ehelicher oder unehelicher G e ­
burt mittels der Indices e und u v o r g e n o m m e n .
D i e E i n w a n d e r e r werden
mit
E , die A u s w a n d e r e r mit
bezeichnet
und nach Altersstufen
nach dem
Familienstand insoweit unterschieden,
für
die
Ledigen
rechts
den
heirateten den I n d e x h trägt.
(durch die Indices links)
Index
o
und
A
und
als das S y m b o l
das
für die
Ver­
Z u den Verheirateten werden also
auch die — wahrscheinlich w e n i g zahlreichen — verheiratet G e ­
wesenen, also die V e r w i t w e t e n
gezählt.
Der Einfachheit
wegen
sind die Indices nicht den einzelnen, E und A , sondern der allein
weiter in Betracht kommenden D i f f e r e n z dieser Grössen (die auch
negativ werden kann) beigefügt.
D i e M , w o x (mit dem Jahrfünft als Einheit) die Zahlen von 1
0
bis 20
durchlaufen müsste,
gestorbenen
bezeichnen
die im l e d i g e n
Stande
in der xten A l t e r s s t u f e , d. h. im A l t e r von 5 X —
5 bis 5 x J a h r e n .
hervorgehenden
S i e schliessen auch die aus den E i n w a n d e r e r n
Gestorbenen ein, soweit diese ursprünglich ledig
waren und ledig geblieben sind.
In der dritten senkrechten A b -
teilung
bezeichnet
in der x-ten
H
K
allgemein
1
fünfjährigen
die Z a h l der e r s t e n
Altersstufe,
x
M
t
Altersstufe in der ersten E h e Gestorbenen,
dieser
X
W , die Zahl der
Altersstufe zum ersten M a l V e r w i t t w e t e n ,
der in dieser
S t u f e im
allen diesen
ersten
Zahlen können
E i n w a n d e r e r n herrühren.
Symbole
X
zweiten
Witwenstande
2
X
2
X
Abteilung
X
2
witwungen.
X
X
vierte
k o m m e n , so können
E b e n s o in
Heiraten
sie mit
und
In
die
von
haben
die
für die
der
fünften
für die dritten Heiraten und
3
Sollten
sein,
in
Zahl
Gestorbenen.
Bedeutungen
x
und V e r w i t w u n g e n .
3
M y die
In der vierten A b t e i l u n g
H , M , W ,
3
x
auch F ä l l e enthalten
H , M , W , M j entsprechende
Heiraten
Heiraten
die Zahl der in dieser
Ver­
Verwitwungen
vor­
den dritten vereinigt werden.
Die
W a n d e r u n g e n haben a u f die Zahlen der zweiten und dritten E h e n
jedenfalls weit weniger
vierten
Altersstufe
Einfluss, als auf die der
wird es
dritte
E h e n wohl
ersten.
In
überhaupt
der
nicht
geben.
Ferner
bedeutet
X
x-ten Altersstufe, j M
1
S t u f e Gestorbenen,
H
X
S die
die
S
Zahl
Zahl
die
der
der
Zahl
Ehescheidungen
als
der
Geschiedene
in
in
der
dieser
V e r h e i r a t u n g e n von G e ­
schiedenen in dieser Stufe.
Die N
enthaltenden S y m b o l e endlich beziehen
Niederkunft.
x
N
k
bedeutet
sich auf die
die Zahl der in der x-ten
Altersstufe
der M u t t e r ehelich u n d lebend geborenen K n a b e n und
dieselbe B e d e u t u n g für die M ä d c h e n .
Ordnungszahl
der
Geburt
ist
hier
x
N
hat
m
E i n e U n t e r s c h e i d u n g der
nicht vorgesehen.
Es
wäre
aber vielleicht zweckmässig, wenigstens die weitere U n t e r s c h e i d u n g
in N k und
x
x
N
k
nebst der entsprechenden
für die M ä d c h e n vor­
zunehmen, w o das erste S y m b o l sich auf die ersten E n t b i n d u n g e n
der
M ü t t e r und das andere sich auf die zweiten u n d folgenden
bezieht.
In dem unteren S t ü c k e dieser A b t e i l u n g bedeuten die S y m ­
bole
l
l
N , N
k
m
, "Nk, ' N
m
u. s. w. die Zahlen der
lebendgeborenen
K n a b e n und M ä d c h e n aus ersten, zweiten und dritten E h e n .
D i e folgende A b t e i l u n g mit den S y m b o l e n
x
N
k
und
x
N
m
be­
zieht sich auf die unehelichen L e b e n d g e b o r e n e n mit U n t e r s c h e i d u n g
ihres
G e s c h l e c h t s und
der
letzten A b t e i l u n g bezeichnen
denselben
Unterscheidungen.
leicht verständlichen
Altersstufe
X
N
K
und
X
der
Mutter und in
der
N „ , die T o t g e b o r e n e n mit
I n d e m unteren Teile ist noch mit
S y m b o l e n die U n t e r s c h e i d u n g der G e s a m t -
—
zahl der männlichen und
Familienstande beigefügt.
7>
—
weiblichen
Totgeborenen
nach
dem
W i e man sieht, enthalten die senkrechten R e i h e n G e s a m t ­
heiten derselben A r t , die sich (abgesehen von den N in den
unteren S t ü c k e n der drittletzten und letzten Abteilung) nur durch
die Altersstufe unterscheiden. D i e S u m m e einer jeden A r t kann
einfach durch W e g l a s s e n des A l t e r s i n d e x ausgedrückt werden,
wie das in der untersten Horizontalreihe geschehen ist.
E b e n s o bilden die M die S u m m e der rechtsstehenden H o r i ­
zontalreihen von M mit besonderen Indices. A u c h die H und
die W bilden h o m o g e n e Horizontalreihen und den W können
nötigenfalls auch die S als nächstverwandt zugerechnet werden.
X
X
X
X
X
X
5. A l l e Zahlen in dieser Uebersicht beziehen sich nur auf
Z u s t a n d s ä n d e r u n g e n , nicht aber auf die in einem bestimmten
Zustande an einer bestimmten Altersgrenze v o r h a n d e n e n G e ­
samtheiten. W i r wollen diese mit einem allgemeinen A u s d r u c k ,
der den F a l l der Ueberlebenden in der A b s t e r b e o r d n u n g mit u m ­
fasst, als die U e b e r g e h e n d e n bezeichnen. W i r d nur die einzige
Zustandsänderung des S t e r b e n s vorausgesetzt, so ist immer ein­
fach _|_iU = U — M , wenn mit U und x + i U die in die x-te
und (x-f- i)-te Jahresklasse U e b e r g e h e n d e n bezeichnet w e r d e n ) .
D e r A n f a n g s b e s t a n d , U ist hier gleich der Zahl der lebend G e ­
borenen G . F i n d e n W a n d e r u n g e n statt und bezeichnen wir die
Differenz ( E — A ) mit D , so ist
U = U — M -)-xD, w o X M
a l l e Gestorbenen der betreffenden Altersstufe, also mit Einschluss
der etwa gestorbenen Einwanderer, bedeutet. Stellen wir so die
R e i h e der U von , U bis kk)U auf, so erhalten wir eine U e b e r g a n g s o r d n u n g , die aber von der A b s t e r b e o r d n u n g der ursprüng­
lichen Generation um so mehr verschieden ist, je grösser die Diffe­
renzen der E i n - und A u s w a n d e r u n g e n in den einzelnen Altersstufen
x
X
X
X
1
e
X
sind.
X
X + 1
X
X
D a h e r stellt auch das V e r h ä l t n i s ^ j —
x
nicht die Sterbens-
u
Wahrscheinlichkeit in der x-ten Altersklasse dar, jedoch wird dieses
Verhältnis, w e n n die W a n d e r u n g e n nicht bedeutend sind oder in
derselben Altersklasse annähernd gleichmässig bleiben, für die
1 ) Im folgenden sind e i n j ä h r i g e
burtsstrecke angenommen,
Altersstufen enthält.
Altersklassen
während das Schema S . 68
wie
des
auch eine
einjährige
R a u m e s wegen
Ge­
fünfjährige
72
aufeinander
Noch
X
folgenden
Generationen
ziemlich
konstant
mehr unterscheidet sich das Verhältnis —
—
bleiben.
—
oder
M— D,
X
, das wir als das A b g a n g s v e r h ä l t n i s d e r L e b e n d e n
X
^
einer durch W a n d e r u n g beeinflussten Generation bezeichnen wollen,
von einer Sterbenswahrscheinlichkeit. Bei starker E i n w a n d e r u n g
k a n n es negativ, also ein Z u g a n g s v e r h ä l t n i s , werden und nur
bei kleinem D im V e r g l e i c h zu M oder bei geringer Veränderlich­
keit von D wird es sich einigermassen konstant zeigen.
A d d i e r e n wir die G l e i c h u n g e n U —
U = M — D , wenn
für x alle Zahlen von i bis 100 gesetzt werden, so erhalten wir
T J = [ G = M — D , w o M und D die S u m m e aller Gestorbenen
und der sämtlichen (positiven und negativen) Ueberschüsse der
Einwanderer über die A u s w a n d e r e r bezeichnen.
Bedeutet U„ die Zahl der als L e d i g e in die x-te A l t e r s ­
stufe U e b e r g e h e n d e n , so bildet die vollständige R e i h e dieser Zahlen
die U e b e r g a n g s o r d n u n g der L e d i g e n , und zwar ist + i U = U —
„Mo-fjDo—„Hi, w o X H X auch die zum ersten M a l e heiratenden
E i n w a n d e r e r aus dieser Altersstufe mit einschliesst. A d d i e r t man
die G l e i c h u n g e n X U 0 — x -|_iU 0 = x M 0 — x D ( > 4- x Hi (von x = i bis x = i o o ) ,
so erhält man i U „ = , G = M — D - | - H i .
X
X + 1
X
X
1
X
x
0
-nv
XT
Das
Verhältnis
x
T T
x
0
0
• xU — +iU„
0
0
X
M„—xDo-j-xHt
— - oder
-=-
kann als das
T
A b g a n g s v e r h ä l t n i s der L e d i g e n bezeichnet werden. E s wird wohl
immer positiv sein und unterliegt dem Einflüsse der W a n d e r u n g e n
weit weniger als das vorher erwähnte, da dem D die S u m m e
i M ^ j H i gegenübersteht. E s wird sich von Generation zu G e n e ­
ration ziemlich konstant erhalten, obwohl es keine Wahrscheinlich­
keit darstellt.
X
0
W e r d e n die in die x-te Altersstufe übergehenden V e r ­
h e i r a t e t e n in e r s t e r E h e mit U i bezeichnet, so hat man für
die U e b e r g a n g s o r d n u n g dieser Verheirateten - ^ U i = U i - ( - H i —
Mi— W!-j- D — S.
D a b e i ist a n g e n o m m e n , dass die verheirateten
E i n - und A u s w a n d e r e r D | , und die Geschiedenen S ausschliess­
lich in der ersten E h e stehen. G e h t man von dem A l t e r von
15 Jahren, also von der 16. Altersklasse aus, so ist Ui = o und
durch S u m m i e r u n g der G l e i c h u n g e n für U i — + i U i erhält m a n :
o = H ! — M i — W i + Dh— S oder H = Mi + W , — D - f S , wie
x
x
x
x
x
h
x
x
X
X
X
16
x
t
x
h
/o
sich auch leicht durch unmittelbare U e b e r l e g u n g ergiebt.
Das
Verhältnis der Differenz U l — _|- ] U i oder Mi - | - W i — H i — D h -fS zu U i wird in den jüngeren Altersklassen w e g e n des U e b e r g e w i c h t s von H i negativ sein, also der Z u g a n g den A b g a n g
überwiegen.
E s kann natürlich erst von dem A l t e r ab gebildet
werden, in dem U i mindestens — i ist und es bleibt dann
während einer gewissen Altersstrecke grösser als —i. Bei nicht
allzu grossen W a n d e r u n g e n wird es ebenfalls ziemlich konstant
sein.
F ü r die Verheirateten in zweiter E h e ist x Uo— x 4- 1U2 =
xMä-j-xWa— x Hä— X H S , wenn man annimmt, dass W a n d e r u n g e n
und S c h e i d u n g e n in zweiter E h e w e g e n ihrer geringen Zahl nicht
besonders berücksichtigt zu werden brauchen.
F ü r die V e r ­
heirateten in dritter E h e fällt unter dieser V o r a u s s e t z u n g auch
das Glied H w e g . D a s A b g a n g s v e r h ä l t n i s für beide K a t e g o r i e n
von dem dem W e r t e J J ? — U = 1 entsprechenden A l t e r ab er­
giebt sich ohne weiteres.
x
X
x
x
x
x
x
x
x
x
X
S
x
; i
Lässt man die U n t e r s c h e i d u n g der O r d n u n g s z a h l e n der E h e ­
schliessungen fallen und fasst alle Heiraten zusammen und be­
zeichnet die in die x-te Altersstufe U e b e r g e h e n d e n mit Ui, und
die zusammengefassten O r d n u n g s z a h l e n bei den H, M und W
ebenfalls mit dem I n d e x h, so ist x U i , - - x + iUi, = M i , - f - W i , —
xHh-j-xS— X H 9 — x Dh, woraus sich auch das A b g a n g s v e r h ä l t n i s
der Verheirateten ergiebt, das a n f a n g s negativ ist.
x
x
x
F ü r die Gesamtheit aller V e r w i t w e t e n ohne U n t e r s c h e i d u n g
der O r d n u n g s z a h l endlich erhält man bei V e r n a c h l ä s s i g u n g der
W a n d e r u n g e n und S c h e i d u n g e n , wenn der I n d e x w die dem h
in dem vorigen Fall entsprechende B e d e u t u n g hat, während durch
den I n d e x w bei H nur die H und H , also die W i e d e r v e r ­
heiratungen zusammengefasst w e r d e n , U — + i U w = x M ^ , - | - x H w , - W
wiederum eine anfangs negative Differenz, also ein Z u g a n g ,
dem auch ein negatives A b g a n g s v e r h ä l t n i s entspricht.
2
3
X
X
W
x
W
6. W i l l man die Wahrscheinlichkeiten der e i n z e l n e n Z u ­
standsänderungen in einer Altersklasse ausdrücken, so sind alle
übrigen wie E i n w a n d e r u n g und A u s w a n d e r u n g zu behandeln.
S o erhält man bei A n w e n d u n g der einfachsten Näherungsformel
für die allgemeine Sterbenswahrscheinlichkeit der x-ten A l t e r s ­
klasse mit B e r ü c k s i c h t i g u n g der W a n d e r u n g e n
_ _ ^ M
^ ~ xU + ^ D '
—
für
74
—
die Sterbenswahrscheinlichkeit der L e d i g e n :
A
? ~ «Uo + i U D « , - ^ )
x 9
;
für die Sterbenswahrscheinlichkeit aller Verheirateten, ohne R ü c k ­
sicht auf die O r d n u n g s z a h l :
xMh
xU + 4 ( H — » W h - l - x D , , — S ) '
=
l 9 , h
h
für
x
h
X
die Sterbenswahrscheinlichkeit der V e r w i t w e t e n , ohne
Rück­
sicht auf die O r d n u n g s z a h l :
xm;
'
wo H
w
V w
U
X
W
+*( W
X
W
— H -f D )
x
w
X
'
W
sich, wie oben, auf die Wiederverheiratungen bezieht und
die S c h e i d u n g e n von W i t w e n vernachlässigt sind.
Für
U
X
ist
erste S y m b o l 2
und
in
q)
x
einzusetzen
die S u m m e aller
|G—2 M-\-2 T>,
y
wo
y
M von y =
X
das
i bis y = x — i
das zweite die entsprechende S u m m e der E i n - oder A u s g e ­
wanderten
In
bezeichnet.
q>
x
ist
a
X
U = i G — 2 M -\0
y
2 D —2f Hh,
0
y
S u m m i e r u n g e n wieder bis x — i
In q?
x
ist
h
Uu=-r Hh—2 M
x
y
0
w o y bei
y
den
geht.
y
h
—J Wh-f-2 D —2 S,
y
y
h
y
wo y
v o n dem frühesten zulässigen Heiratsalter bis x — i zu nehmen ist.
In
<p
x
ist
w
X
U
W
=
2\W
W
— -2" H — ^ Mw
y
w
y
+ ^ D ,
y
w
wo
y
frühestens mit 17 beginnt und wieder bis x — 1 reicht.
Einfacher jedoch ist es, wenn die Zahl der U e b e r g e h e n d e n
für
alle Zustandsänderungen in ähnlicher W e i s e wie bei der so­
genannten direkten M e t h o d e der B e s t i m m u n g der Sterbenswahr­
scheinlichkeiten
in den einzelnen
Altersklassen
nissen der V o l k s z ä h l u n g mit H i n z u f ü g u n g einer
wenn
nicht
direkt
Elementargesamtheit
gleichförmiger
bestimmten,
ermittelt
so
wird.
oder gleichförmig
doch
Unter
aus den E r g e b ­
entsprechenden,
geschäzten
der
veränderlicher
unteren
Voraussetzung
V e r t e i l u n g der
nach A n a l o g i e der W a n d e r u n g e n aufgefassten A b - und Z u g ä n g e
erhält man dann nach der ersten N ä h e r u n g s m e t h o d e für die B e ­
s t i m m u n g von q> die Sterbenswahrscheinlichkeiten
Kategorien
und
u n a b h ä n g i g von
Zugänge,
der
der einzelnen
K e n n t n i s der G r ö s s e der A b -
wie dies oben hinsichtlich der W a n d e r u n g e n g e ­
zeigt worden ist.
Ist z. B . die Zahl der ledigen L e b e n d e n in der
betrachteten x-ten einjährigen Altersklasse nach der V o l k s z ä h l u n g
75
*L*
und
wird
die
unmittelbar
—
beobachtete
anliegende
untere
E l e m e n t a r g e s a m t h e i t v o n gestorbenen L e d i g e n , die durch A b g a n g
von H e i r a t e n d e n und vielleicht durch Z u g a n g von E i n w a n d e r n d e n
beeinflusst ist, mit ( d' )
x
X
Andererseits
x<Po
gleich
von
X
U
X
U
=
0
bezeichnet, so hat man
0
X
LJ +
M^-lUDo-xHj.
aber ist der N e n n e r in dem
U
0
-f-
( LJ
\
X
Näherungswerte
von
— xHj) und durch Einsetzen des W e r t e s
0
erhält man also
0
_
*M
0
s ;
' "~ .14 • (, ':>•
Entsprechend
heirateten
X
die
Sterbenswahrscheinlichkeit
h
u r )
x9?h = —•• ~ —r
2
x
wenn
ist
Lh
der
Ver­
d die der V e r w i t w e t e n
-f ( A )
X
H
durch die L J und L J . die gezählten gleichzeitig L e b e n d e n
der betreffenden K a t e g o r i e und durch die (zlh) und (zC) die ent­
sprechenden anliegenden Elementargesamtheiten von Verstorbenen
bezeichnet werden.
D i e M bedeuten in diesen A u s d r ü c k e n immer
die beobachteten, durch die A b - und Z u g ä n g e beeinflussten
Hauptgesamtheiten
Das
v o n Verstorbenen
ersten
der einzelnen K a t e g o r i e n .
V e r s c h w i n d e n der die A b - und Z u g ä n g e selbst ausdrücken­
den Grössen aus den F o r m e l n erklärt sich einfach dadurch, dass
2
die L
einen
beeinflussten
durchschnittlichen,
Bestand
der
durch
scheinlichkeit zu bestimmen ist, darstellen.
man
die
Standesgruppe,
natürlich auch wieder
A b - und
deren
Zugänge
Sterbenswahr­
N ä h e r u n g s w e i s e kann
für die ersten H a u p t g e s a m t h e i t e n M
die leichter zu bestimmenden entsprechenden dritten H a u p t g e s a m t ­
x
heiten und für die A
die Hälfte dieser letzteren
y. I n gleicher W e i s e wie diese
lassen sich a u c h die Wahrscheinlichkeiten
standsänderungen
gänge
aufstellen.
durch T o d wie
einsetzen.
Sterbenswahrscheinlichkeiten
für die sonstigen
I n diesen F ä l l e n werden
A u s w a n d e r u n g e n behandelt
N e n n e r des Wahrscheinlichkeitsausdrucks auftretende
Zu­
die A b ­
und die
im
Elementar­
gesamtheit bezieht sich auf die Zustandsänderung, um die es sich
handelt.
Ist z. B . die Heiratswahrscheinlichkeit o?° der L e d i g e n
x
im x-ten Altersjahr zu bestimmen, so ist der Zähler dieses Bruches
- 6
X
H,
und der N e n n e r
X
U -f- i ( D — M„).
0
x
0
Andererseits aber
X
ist
xU„ = Lo + ( z l h ) ~ ^ ( D — M„), w o ( ,Ji,) die E l e m e n t a r g e s a m t ­
x
x
x
X
0
heit derjenigen darstellt,
x
die
nach U e b e r s c h r e i t u n g
der
unteren
G r e n z e des x-ten Altersjahres und vor dem (am E n d e des K a l e n d e r ­
jahres liegenden) Zeitpunkt der V o l k s z ä h l u n g aus dem ledigen in
den
Ehestand
X 1
-•—
demnach
keit
getreten
der
—.
Verwitwung
der aufgelösten
sind.
Der
Näherungswert
von
ist
A e h n l i c h findet man als W a h r s c h e i n l i c h (ohne
Unterscheidung
E h e ) im x-ten
der O r d n u n g s z a h l
Altersjahre q\
x
h
=
v
- - -,
x U + (xX)
wo
x
L
die durch V o l k s z ä h l u n g ermittelte Zahl der verehelichten
h
F r a u e n im x-ten Altersjahr und ( A„)
die
X
Elementargesamtheit
der noch vor der V o l k s z ä h l u n g in diesem Altersjahr verwitweten
bezeichnet.
Mit
gewisseti
auch anwenden,
verheirateten
Modifikationen Hessen
sich
diese
Methoden
um die Wahrscheinlichkeit der Niederkunft der
F r a u e n in den
weise darzustellen.
einzelnen Altersklassen
näherungs­
D a s dazu erforderliche Material wird
schwerlich jemals beschafft
werden
und
man
würde
indes
schon zu­
frieden sein können, wenn wenigstens die r e l a t i v e n W a h r s c h e i n ­
lichkeiten
der Niederkünfte
in
den
verschiedenen
Altersklassen
einer weiblichen Generation bestimmt werden könnten, d. h. wenn
a n g e g e b e n werden könnte, wie viele von der G e s a m t z a h l der aus
dieser
Generation h e r v o r g e g a n g e n e n
G e b u r t e n in die
einzelnen
ehelichen
Altersklassen
und
fallen,
G e s c h l e c h t der Geborenen zu unterscheiden
unehelichen
wobei auch das
wäre.
A u s s e r den hier angeführten lassen sich
noch viele andere
statistisch bedeutsame Zustandsänderungen in den demographischen
Lebenslauf einfügen, so B e g i n n und A u f h ö r e n der Berufs- oder
Erwerbsthätigkeit, Invalidität, Unfälle, V e r g e h e n und V e r b r e c h e n ,
bei den
Sterbefällen
auch
Unterscheidung
der
Todesursachen.
A u s diesem allgemeinen Leitfaden ergiebt sich leicht das S c h e m a
für die rationelle B e h a n d l u n g auch dieser E r s c h e i n u n g e n .
8. B e i dem demographischen Lebenslauf wird aber voraus­
gesetzt,
dass
sprünglichen
finden.
Zur
alle
Zustandsänderungen
Generation
innerhalb
oder Gesamtheit von
vollständigen
Beobachtung
derselben
Geborenen
desselben
an
ur­
statt­
einer
77
wirklichen Generation wäre also etwa
ein Jahrhundert erforder­
lich, und daher lässt sich praktisch dieser Lebenslauf nur
rech-
nungsmässig
indem
angenommen
für
eine
ideale
Generation
wird, dass in dieser
die
aufstellen,
verschiedenen
Zustands­
änderungen in jeder Altersklasse mit denjenigen Wahrscheinlich­
keiten eintreten, die für die G e g e n w a r t gelten.
demographische
Lebenslauf ist also
D e r so g e w o n n e n e
nur ein G e d a n k e n d i n g , das
theoretisch ohne Zweifel grosses Interesse darbietet und, sofern es
die A b s t e r b e o r d n u n g einschliesst,
das Versicherungswesen
sicht
besitzt,
über die u n m i t t e l b a r e n
obachtungen nicht gewährt.
auch praktische B e d e u t u n g für
aber eine z w e c k m ä s s i g e
Ueber-
E r g e b n i s s e der statistischen
Be­
Diese stellen nicht die demographi­
schen Zustände und Zustandsänderungen einer Generation, sondern
die
einer
ganzen,
gleichzeitig
verteilten B e v ö l k e r u n g
lebenden,
auf alle
Altersklassen
dar und dürfen eine besondere
dische B e h a n d l u n g in A n s p r u c h nehmen.
metho­
J e d o c h kann auch für
diese der demographische Lebenslauf einer
Generation als
faden dienen, da die in diesem bedeutsamen
Leit­
Zustandsänderungen
auch für die gleichzeitig lebende B e v ö l k e r u n g zu berücksichtigen
sind.
Wäre
eine B e v ö l k e r u n g
stationär, so würden
in allen Beziehungen
alle A r t e n von
vollständig
Zustandsänderungen
halb eines Kalenderjahres in jeder Altersklasse
inner­
der B e v ö l k e r u n g
mit derselben F r e q u e n z auftreten, wie in der gleichen Altersklasse
einer in ihrem Lebenslauf verfolgten Jahresgeneration.
also
die
Punkteninhalte
Altersstufen
des
entsprechenden
sein.
In
immerhin
der
schrägen
verschiedenen
Streifens b a c a
4
Stufen in dem senkrechten
Wirklichkeit
aber
behalten
trifft
diese
die
5
E s würden
A r t e n , z. Ii. in
den
(Fig. 9) denen
der
Streifen b c e f
A n n a h m e freilich
Zustandsänderungen
gleich
nicht
der
zu,
gleich­
zeitigen B e v ö l k e r u n g , wie sie sich in dem schrägen Streifen dar­
stellen,
eine
graphischen
leicht
zu
Lebenslauf
übersehende
und
Beziehung
zu
dem
dieser selbst tritt, wie
der Linie b e, wenigstens annähernd in um so
demo­
z. B . l ä n g s
grösseren
Bruch­
stücken hervor, je mehr Jahresbeobachtungen der Zustandsände­
r u n g e n der B e v ö l k e r u n g aneinandergereiht
werden.
D i e s e letzteren indes, die durch die fortlaufenden
statistischen
E r h e b u n g e n in grösserer oder geringerer V o l l s t ä n d i g k e i t geliefert
werden,
und zwar meistens
in der F o r m
dritter
Hauptgesamt­
heiten (wie die von b c m n begrenzten), seltener in zweiten H a u p t -
gesamtheiten
(wie die v o n b m o n begrenzten)
ausnahmsweise in Elementargesamtheiten.
und
bisher
nur
D i e für diese G e s a m t ­
heiten zu bildenden Verhältniszahlen aber sind wesentlich anderer
A r t , als die für die gleichartigen Zustandsänderungen einer G e n e ­
ration
heiten
einen
aufgestellten.
der
A u s der R e i h e
Zustandsänderungen
der dritten H a u p t g e s a m t ­
eines Kalenderjahres (die
schrägen Streifen ausfüllen würden) lassen
also
sich bei
nicht­
stationärer B e v ö l k e r u n g die absoluten Wahrscheinlichkeiten dieser
Zustandsände­
rungen
in
einzelnen
den
Al­
tersklassen
nicht
ableiten,
d. h. man k a n n
nicht sagen, wie
viele
von
den­
jenigen, die die
untere
Grenze
dieser
Alters­
klasse
über­
schreiten, inner­
halb
derselben
die Zustandsänderung
erfah­
ren. W o h l aber
„,
,
kann man relative oder analy-
Fie.
Q.
tische
scheinlichkeitsverhältnisse
bilden, d. h. bestimmen,
der
einem
Gesamtzahl
der
in
ä n d e r u n g e n einer gewissen
entfallen.
D i e einzelnen
Jahr
vorkommenden
A r t auf die einzelnen
F ä l l e gehen
hier
nicht
reden,
kann
man
der
bei
den
Todesfällen
Form
nach
von
z. B . von
einer
der,
von
Zustands­
Altersklassen
aus
einer
meinschaftlichen Quelle, einer Jahresgeneration hervor,
aber
Wahr­
wie viele
ge­
dennoch
Wahrscheinlichkeit
dass
ein
aus
der
G e s a m t z a h l der Gestorbenen eines Kalenderjahres zufällig heraus­
gegriffener
einer
technische
Zwecke
bestimmten
auf diese A r t nicht
Altersklasse
brauchbare
ableiten,
angehöre.
Sterblichkeitstabelle
Eine
lässt
für
sich
aber diese relativen Sterbenswahr-
79
—
scheinlichkeiten der Altersklassen sind von J a h r zu J a h r ebenfalls
ziemlich konstant, wenn sie nicht durch u n g e w ö h n l i c h e S t ö r u n g e n
beeinflusst werden,
und sie sind daher zur Charakterisierung der
Mortalitätsverhältnisse
einer
Bevölkerung
wohl
geeignet.
selbe gilt von den relativen Wahrscheinlichkeiten
Das­
der jährlich in
einer B e v ö l k e r u n g in den verschiedenen Altersklassen stattfinden­
den T r a u u n g e n , V e r w i t w u n g e n und Niederkünften.
Innerhalb der einzelnen Altersklassen vollends k a n n man durch­
aus vergleichbare, weil durch B e v ö l k e r u n g s z u n a h m e und W a n d e ­
r u n g e n nicht oder nur sehr w e n i g gestörte analytische W a h r s c h e i n ­
lichkeitsverhältnisse
bilden, z. B . für das Verhältnis der K n a b e n ­
geburten oder der T o t g e b u r t e n zur Gesamtzahl der Geburten in
den
verschiedenen
Altersstufen
der M ü t t e r oder das V e r h ä l t n i s
des V o r k o m m e n s einer bestimmten Todesursache zu der G e s a m t ­
heit der Sterbefälle.
9. E i n anderes
charakteristisches
Verhältnis wird dadurch
gebildet, dass die Zahl der Zustandsänderungen einer bestimmten
A r t innerhalb eines Kalenderjahres und einer Altersklasse durch
die Durchschnittszahl derjenigen geteilt wird, die sich während des
J a h r e s in dem
der A e n d e r u n g unterliegenden
Zustand befinden.
In der Sterblichkeitsstatistik wird dieses Verhältnis als Sterblichkeitskoefficient für die einzelnen Altersklassen bezeichnet, und ana­
l o g kann man einen Heiratskoefficient der
witwungskoefficienten
Aenderungskoefficienten,
kann, sind keine
L e d i g e n , einen V e r -
der Verheirateten u. s. w. aufstellen.
wie man sie allgemein
Wahrscheinlichkeiten
von
Diese
bezeichnen
Zustandsänderungen
in Jahresstrecken oder überhaupt in endlichen Zeitstrecken, sondern
sie
ergeben
kleinen
zeit
sich aus der R e i h e der unendlich
Wahrscheinlichkeiten,
dafür
bestehen,
dass
die
die
im L a u f e
beobachteten
nächsten unendlich kleinen Zeitelement
ä n d e r u n g erfahren.
vielen
der
unendlich
Beobachtungs­
Personen
in
dem
die betreffende Zustands-
D a b e i bilden diese Personen aber nicht eine
Gesamtheit von G l e i c h a l t e r i g e n , sondern von G l e i c h z e i t i g e n
in der Altersklasse von x
bis x - f - n Jahren.
Bei
gleichmässigem
Fortschreiten der B e v ö l k e r u n g in allen ihren Bestandteilen ist der
N e n n e r des
Stande
fraglichen
am A n f a n g
Quotienten
gleich
dem
Mittel aus
z. B . aus den Zahlen der entsprechenden S c h n e i d e p u n k t e in
Linien
mr und no
dem
und a m E n d e des Beobachtungsjahres, also
den
(Fig. 9), während der Zähler durch die Zahl
8o
der betreffenden A e n d e r u n g s p u n k t e in dem P a r a l l e l o g r a m m m n o r
gebildet wird.
Jahres
Bei stationärer B e v ö l k e r u n g werden im L a u f e des
die Ausscheidenden fortwährend
durch eine gleiche Zahl
von neu in die Altersklasse Eintretenden ersetzt und der N e n n e r
der Aenderungskoefficenten
fang
des
worfenen
strecken
ist dann einfach gleich der am A n ­
Beobachtungsjahres
Zustande
übt
der
in
Lebenden.
Unterschied
dem
Hei
der
Aenderung
einjährigen
zwischen
der
Beobachtungs­
mittleren
A n f a n g s b e v ö l k e r u n g auf den Aenderungskoefficienten
g e r i n g e n Einsfluss aus und
keitskoefficienten
unter­
und
der
nur einen
man kann daher z. B . als Sterblich-
auch den Quotienten der in einem K a l e n d e r j a h r
in einer Altersklasse Gestorbenen durch die in dieser Altersklasse
am J a h r e s a n f a n g L e b e n d e n
nehmen.
Lässt
man
die
Unter­
scheidung der Altersklassen fallen, so erhält man die allgemeinen
Aenderungskoefficienten
völkerungskategorie.
für
die
ganze
Bevölkerung
Jahres ist dies die sogenannte Sterbeziffer.
fern als ein g e n e t i s c h e s
stehenden
Sterbefälle
M a n kann
Be­
eines
sie
inso­
Verhältnis bezeichnen, als die im Zähler
aus
bildenden, durch neue
allen
Geburten
B e v ö l k e r u n g hervorgehen.
Altersstufen
sich
der
fortwährend
D i e entsprechend
rationellerweise
nicht die
den
Nenner
ergänzenden
gebildete
ziffer aber hat eine weniger h o m o g e n e G r u n d l a g e .
müsste für sie
oder
F ü r die Gesamtheit der Sterbefälle
Zahl
Heirats­
A l s Nenner
der B e v ö l k e r u n g ,
sondern die der L e d i g e n des betreffenden Geschlechts, oder wenn
die O r d n u n g s z a h l der Heiraten nicht berücksichtigt wird, die der
L e d i g e n und der V e r w i t w e t e n
genommen
werden.
Aber
auch
diese Zahl hat noch immer gleichsam einen unnützen Ballast,
da
die L e d i g e n unterhalb einer gewissen A l t e r s g r e n z e und auch in
der höchsten S t u f e des Greisenalters zu der Zahl der Heiratenden
nichts beitragen.
d e m niedrigsten
E i n e A b g r e n z u n g dieser G r u n d z a h l e t w a nach
gesetzlich
zulässigen
Heiratsalter behält
immer
etwas Willkürliches, zumal diese G r e n z e für die beiden Geschlechter
verschieden
ist.
witwungsziffer
Jahres
Ein
für
entstehenden
handenen
fest
beide
begrenztes
Verwitwungen
Verheirateten
Verhältnis
Geschlechter,
vorkommen
bei
da
die
allen
können.
die
Ver-
während
ist
eines
gleichzeitig
vor­
Dagegen
V e r h ä l t n i s der jährlichen G e b u r t e n zu der Zahl der
Ehen
wieder
nicht rein genetisch
die G e b u r t e n nicht aus
allen
ist
das
bestehenden
und nicht fest bestimmt,
diesen E h e n hervorgehen
da
können,
—
8i
sondern nur aus denjenigen, in denen die E h e g a t t e n gewisse,
aber
nicht g e n a u festzustellende A l t e r s g r e n z e n nicht überschritten haben
und
in denen
seit
der letzten
Geburt
eine
gewisse
Zeit ver­
strichen ist.
A n s t a t t die jährlich erhobenen
Zustandsändernngen zu
der B e v ö l k e r u n g oder den entsprechenden
io.
Bevölkerungskategorien
in B e z i e h u n g zu setzen, kann man auch ihre Verhältnisse unter­
einander
als demographische
Kriterien
benutzen.
U m die
Be­
d e u t u n g derselben zu übersehen, nehmen wir eine in allen ihren
Zuständen und Zustandsänderungen s t a t i o n ä r e
Dann
veranschaulicht ein bis
zur höchsten
B e v ö l k e r u n g an.
Altersgrenze
gehender, mit allen A r t e n von P u n k t e n ausgefüllter
Streifen, wie N N ' U
7
S
U
7
( F i g . 4), den
s
durch­
senkrechter
demographischen L e b e n s ­
lauf einer Generation, andererseits aber enthält auch jedes Paral­
lelogramm des schrägen Streifens N N IL, U , der die Zustands­
7
änderungen der g l e i c h z e i t i g e n
s
; )
B e v ö l k e r u n g darstellt, nach A r t
und Zahl die gleichen Punkteninhalte,
wie
das derselben A l t e r s ­
klasse entsprechende Quadrat des senkrechten Streifens.
also
auch
Punkte
z. B . die die
in
beiden
vorhanden.
ehelichen
Niederkünfte
S o sind
bezeichnenden
Streifen in gleicher Zahl und Altersverteilung
Ihre G e s a m t z a h l aber ist in den Streifen N N U
7
offenbar gleich
der in der Zeitstrecke N N
s
2
U
3
enthaltenen
Punkte
für die ehelichen G e b u r t e n und daher ist die Zahl des
in dem
7
Streifen
N N U U
letzteren
Zahl gleich.
7
8
7
Niederkünfte und
einer
bis
zu
s
H
ihrem
verzeichneten
Wenn
die
Niederkünfte
man N
Zahl
s
e
die
Zahl
ebenfalls
aller
aller Heiraten bezeichnet,
Aussterben
verfolgten
dieser
ehelichen
die in
weiblichen
JahresN
c
generation v o r g e k o m m e n sind, so bietet das Verhältnis ^
offen­
bar das M a s s der gesamten
Diese
ehelichen
Fruchtbarkeit dar.
e
beiden Zahlen sind aber auch den Zahlen [ N ] und [ H ] aus
s c h r ä g e n Streifen
einem
gleich, welche
Kalenderjahre ehelich
demselben
geschlossen
angeben,
geboren
worden
sind
wie viele
und wie
und
dem
K i n d e r in
viele
demnach
Ehen
bildet
in
bei
d u r c h w e g stationären Bevölkerungszuständen auch das V e r h ä l t n i s
^ ^ das M a s s der ehelichen Fruchtbarkeit. I n W i r k l i c h k e i t ist
L J
nun ein solcher stationärer Zustand nicht vorhanden und im all­
H
gemeinen
Loxis,
wird
die jährliche Zahl
B e v ö l k e n i n g a - u. M o r a l s t a t i s t i k .
der
verschiedenen
ö
Zustands-
82
—
änderungen
gleichen
ist,
der
B e v ö l k e r u n g im
—
V e r g l e i c h mit der, die
in der
Altersklasse der j ü n g s t e n Jahresgeneration zu erwarten
um
so
kleiner
weiter
daher
Wenn
aber zwei
sein, je höher
die
ihr
Altersklasse ist und j e
Geburtszeit
Zustandsänderungen, die
Jahresgeneration im ganzen
aus einer
diese
entsprechende
gleichzeitigen
zurückliegt.
in einer ablaufenden
in der A n z a h l
A und B auftreten,
B e v ö l k e r u n g in einem
K a l e n d e r j a h r in
der A n z a h l [ A ] und [ B ] hervorgehen, so können A u n d [ A ] so­
wie B und [B] erheblich voneinander verschieden
das
Verhältnis
[BJ
sein,
während
d o c h vielleicht nur w e n i g v o n ^
B
abweicht.
Bei den für die D e m o g r a p h i e in Betracht k o m m e n d e n V e r h ä l t ­
nissen von Gesamtheiten, die nicht die g a n z e Lebenszeit, sondern
nur die mittleren
That
mehr
oder
Altersjahrzehnte umfassen,
weniger
zu
trifft dies in
und insbesondere
wird bei
r
m a s s i g fortschreitender B e v ö l k e r u n g
N
allzuweit
von
das Verhältnis
der
nur
e
N l
^
nicht
e
H
abweichen
und dass demnach wenigstens
mit
einiger A n n ä h e r u n g als M a s s der ehelischen Fruchtbarkeit b e trachtet werden können. E b e n s o können die Verhältnisse
und
[Hl
h
[M l
W
Ktt^t als N ä h e r u n g s a u s d r ü c k e für
(_rij
xi
h
M
und - — g e n o m m e n werden,
ti
nämlich für die bei j e d e m G e s c h l e c h t besonders zu bestimmenden
Wahrscheinlichkeiten, dass die
geschlossenen
Ehen
durch V e r -
w i t w u n g oder T o d des betreffenden Teiles gelöst werden.
I i . D i e Zahlenverhältnisse, welche
die Zustände und jähr­
lichen Zustandsänderungen der gleichzeitigen B e v ö l k e r u n g c h a r a k ­
terisieren, zeigen im allgemeinen einen ähnlichen G r a d von K o n ­
stanz, wie diejenigen, die sich aus dem demographischen V e r l a u f
einer
Generation ergeben.
mittelbaren
D i e ersteren
B e o b a c h t u n g e n abgeleitet
aber sind
aus den un­
und sie stellen
gleichsam
das annähernd feste F a c h w e r k dar, das fortwährend von den sich
stets erneuernden demographischen M a s s e n ausgefüllt wird.
Ge­
rade diese Stetigkeit der inneren S t r u k t u r der Gesellschaft fest­
zustellen
und aus den Massenerscheinungen der G e g e n w a r t a u f
die
wenigstens
die
Statistik
der nächsten
sowohl
Zukunft zu schliessen,
wissenschaftlich
wie
praktisch
ist eine für
besonders
j
-
8
-
3
w i c h t i g e A u f g a b e und diese lässt sich praktisch leichter mit H i l f e
der Aenderungskoefficienten der B e v ö l k e r u n g als mit den W a h r scheinlichkeitsfolgten
oder sonstigen Verhältnissen der rechnerisch ver­
Generationen darstellen.
S o liegt z. B . keinerlei
Grund
zu der A n n a h m e vor, dass das V e r h ä l t n i s der im A l t e r v o n 20
bis 25 Jahren in einem K a l e n d e r j a h r Gestorbenen zu der Zahl der
im A n f a n g
konstant
des J a h r e s in dieser Altersklasse L e b e n d e n
weniger
sei, als das Verhältnis der aus einer Jahresgeneration
stammenden Gestorbenen in dieser Altersklasse zu der Zahl der­
jenigen, die aus dieser Generation die A l t e r s g r e n z e von z w a n z i g
Jahren
überschritten
haben.
Das
erstere
Verhältnis
aber
ohne weiteres aus der V o l k s z ä h l u n g und den gewöhnlichen
obachtungen
eines Jahres abzuleiten,
während das letztere
ist
Be­
eine
umständliche R e c h n u n g , das Material einer fünfjährigen Periode
und, w e n n
man sich nicht
mit einem
blossen
Näherungswerte
b e g n ü g e n will, die K e n n t n i s der Elementargesamtheiten erfordert.
A l l e r d i n g s haben die auf eine Generation bezogenen Zahlenver­
hältnisse
einen inneren genetischen
Z u s a m m e n h a n g ihrer Glieder
und dadurch eine anschauliche B e d e u t u n g , die den A e n d e r u n g s ­
koefficienten
ersteren
werden
der
deswegen
Bevölkerung
als
nicht
zukommt;
aber
Wahrscheinlichkeitsausdrücke
dass
die
aufgefasst
können, trägt zur E r h ö h u n g ihrer Stabilität nichts bei.
6*
I
V. Ueber die Ursachen der geringen Veränderlichkeit
statistischer Yerhältniszahlen.
D i e statistischen Verhältniszahlen sind ihrer F o r m nach ent­
weder Wahrscheinlichkeitsverhältnisse
nisse.
oder Koordinationsverhält­
D i e ersteren sind echte B r ü c h e von der A r t , dass die den
Zähler bildenden
Einheiten mittelb_ar_.,.,oder
N e n n e r enthalten sind.
unmittelbar
auch
im
E i n e genauere U n t e r s u c h u n g der W a h r ­
scheinlichkeitsverhältnisse
wird weiter unten folgen; hier sei nur
ihre U n t e r s c h e i d u n g in genetische und analytische hervorgehoben.
B e i den unteren
giebt der Zähler die Zahl von F ä l l e n oder E r -
eignissen besonderer A r t an, die aus der den N e n n e r bildejideii-Gesamtheit h e r v o r g e g a n g e n sind; ein solches V e r E ä l t n i s ist z. B . das der
Gestorbenen einer bestimmten Altersklasse zu der der L e b e n d e n ,
die die
untere
Grenze
dieser
Altersklasse
erreicht haben
unter das betreffende Sterbensrisiko getreten sind.
lvtischen
Wahrscheinlichkeitsverhältnissen
dagegen
und
Bei den anagehören
die
Einheiten des Zählers zu derselben G a t t u n g , wie die des N e n n e r s
und sind nur durch irgend ein besonderes yferlkrnajjxnterschjeden;
der
Zähler
bildet
also
eine besondere
den N e n n e r bestimmten
Gesamtheit.
A b t e i l u n g in der durch
E i n solches Verhältnis ist
z. B . das der Zahl der K n a b e n g e b u r t e n zu der G e s a m t z a h l der G e ­
burten oder das der Zahl der Heiraten zwischen L e d i g e n zu der
G e s a m t z a h l der Eheschliessungen.
können
alle
betrachtet
werden,
scheinlichkeitsverhältnisse
hältnisse
von
voneinander
statistischen
A l s Koordinationsverhältnisse
die
haben.
nicht die F o r m der W a h r ­
S i e sind im allgemeinen
Ver­
Gesamtheiten, die g a n z oder teilweise
u n a b h ä n g i g sind.
Hierher gehören z. B . die A e n d e -
rungskoefficenten in dem oben bezeichneten S i n n e (Sterblichkeits-,
Heirats-, Verwitwungskoefficenten),
ferner auch Verhältnisse wie
das der jährlichen Zahl der G e b u r t e n zu der der Eheschliessungen,
-
85
der jährlichen Zahl der Heiraten
zu der der V e r w i t t w u n g e n etc.
A u s den Wahrscheinlichkeitsverhältnissen
lassen sich immer auch
Koordinationsverhältnisse ableiten und diese werden als statistische
Kriterien den analytischen Wahrscheinlichkeitsverhältnissen
vorgezogen.
S o ist
z. B . von
dem
häufig
Verhältnis der K n a b e n g e ­
burten zu den M ä d c h e n g e b u r t e n häufiger die R e d e , als von dem
Wahrscheinlichkeitsverhältnis
einer
Knabengeburt.
Wird
das
Wahrscheinlichkeitsverhältnis, aus dem ein solches Koordinations­
verhältnis c abgeleitet
man die B e z i e h u n g c
werden
=
w
kann, mit
w
bezeichnet,
und c erscheint
so hat
demnach als eine
i —w
F u n k t i o n von w.
Ob
nun aber ein
statistisches
Wahrscheinlichkeitsverhältnisses
V e r h ä l t n i s die
Form
eines
oder die eines Koordinationsver­
hältnisses
hat, ist, wie schon oben bemerkt, für die S t a b i l i t ä t
desselben
durchaus
sind
gleichgültig.
überhaupt
zahlen
Normen
I
werden ihrerseits durch den V e r l a u f der gj^je^schaftlichety Mas.sen-
der
Ereignisse
Naturgesetze
I
erscheinungen
i
durcrPannäherrTri—Konstant bleiben,
hervorgebracht,
beherrschende
auf3n^ass^n^sj)n^j^i__sie
und wenn
sie_Jänggrjg^ Zeit
so ist das nur ein
dafür, dass
i
Ziehungen annähernd m__ejne,m._B.eharrungszustande befindet
gesellschaftliche * Prozess__sicJi..ä«—gewissen
nur langsamen A e n d e r u n g e n unterworfen ist.
demographischen
Z u s t ä n d e kommt
Beoder
D i e Stabilität der
uns überhaupt nicht auffal­
lend, vielmehr, abgesehen von ausserordentlichen
Katastrophen, ziemlich
hin-
Zeichen
I
/
3er
die
Verhältnis-
!
Art
als
statistischen
.
nach
nicht
Die
selbstverständlich
vor.
S t ö r u n g e n oder
D a s s die
Volks­
zahl nur l a n g s a m steigt, dass das Zahlenverhältnis der beiden G e ­
schlechter keinen
plötzlichen
Aenderungen
unterworfen
ist, dass
a u c h die R e l a t i y z a h l e n der im Kindesalter, in der J u g e n d p e r i o d e ,
im gereiften Alter, im Greisenalter stehenden Personen sich von J a h r
zu J a h r nicht wesentlich verschieben, das gilt als E r g e b n i s der g e ­
wöhnlichen—Lebenserfahrung, über das sich niemand wundert; da­
gegen
findet man die konstanten Verhältnisse der jährlichen Z u -
standsänderungen
m e r k w ü r d i g und oft erstaunlich, obwohl sie
aus der anerkannten Stabilität der Zustände logisch von_selbst folgen
Bei genauerer E r w ä g u n g ergiebt sich allerdings, dass die R e g e l ­
mässigkeit
der
Erscheinung
ist.
Zustandsänderungen
Die
Bevölkerung
in der That die primäre
stellt j a überhaupt
keinen
—
86
—
festen Bestand dar, sie ist eine M a s s e , deren E l e m e n t e in einem
fortwährenden W e c h s e l begriffen sind, indem die ausscheidenden
mehr oder w e n i g e r
g e n a u , und zwar auch in ihrem besonderen
V e r h ä l t n i s zur Gesamtheit durch teils g a n z
rückende
;
ersetzt
werden.
Wenn
also
neue,
theils
die V o l k s z a h l
nach­
u n d das
Zahlenverhältnis der Geschlechter sich von J a h r zu J a h r nur w e n i g
j I ändert, so muss für die Todesfälle,
l 1 schlechtsbestimmung
\ Gesetzmässigkeit
die G e b u r t e n u n d die G e -
der G e b o r e n e n
eine
gewisse
biologische
bestehen.
2. E s fragt sich nun, wie weit sich solche statistische R e - y
gelmässigkeiten
nachweislich^auf~bestimmte
naturgesetzlich J
wirkende U r s a c h e n zurückführen lassen.
A m leichtesten verständlich ist uns eine in einer Massener­
scheinung
/
\ \
^
hervortretende
^ Gleichmässigkeit
/
Gesetzmässigkeit
in d e m Falle,
wenn
sie in j e d e r E i n z e l e r s c h e i n u n g mit wenigstens annähernder
wirksam
ist.
Eine
physiologisch-biologische
^ Gesetzmassigkeit dieser^Art ist freilich kein einheitliches u n d pri­
märes N a t u r g e s e t z , sondern
sammentreffens
eines
wieder
Komplexes
nur das R e s u l t a t des Z u ­
naturgesetzlicher
Faktoren,
aber es ist nicht nötig, a u f diese letzten Grundthatsachen zurück­
zugehen, sondern m a n ist berechtigt, eine solche abgeleitete oder
sekundäre Gesetzmässigkeit
darf
•-
m a n z. B . sagen,
senen
Männer
als A u s g a n g s p u n k t zu nehmen.
wegen
S o r)„ 4
es ist ein Naturgesetz, dass die erwach-
u n d F r a u e n einer
jeden
eine bestirruriFe K ö r p e r g r ö s s e erreichen.
1
.^\,V
J
V
V
i\
x
Rasse
normalerweise
jlA '
Dieses
Gesetz k o m m t
/
mannigfaltiger störender E i n w i r k u n g e n in den einzelnen
Individuen nicht zum reinen A u s d r u c k , es giebt s o g a r bei R i e s e n
und
Z w e r g e n starke A b w e i c h u n g e n v o n der Normalgrösse, aber
das
sind seltene
Mittelwert,
A u s n a h m e n u n d im ganzen tritt ein normaler
die gewisserrmtssen
von der N a t u r in allen Fällen
^
erstrebte, wenn auch nicht g e n a u erreichte Grösse, deutlich her- •'; c \^
L
vor.
S o l c h e naturgesetzliche N o r m a l g r ö s s e n
giebt
es aber auch 'ft
in d e n _ Ä e i t l i d J i e . . n Verhältnissen des.Menschenlebens.
des
Embj-yonallebens ist
Ait-pr d e r P u b e r t ä t . i i e i
naturgesetzlich
bestimmt;
Die Dauer
ebenso das
dem männlichen, wie bei dem weiblichen j
G e s c h l e c h t u n d dieses G e s e t z ist wieder bei jedem normalen I n - J
dividuum
Spielraum.
wirksam, w e n n
auch
mit einem
gewissen
massigen
E b e n s o ist für alle weiblichen Individuen, wenn auch
wieder mit einem Spielraum, das A l t e r naturgesetzlich bestimmt,
^
^
-
8
7
-
in dem sie die K^nceptionsjähj^feeit. verlieren. M a n sollte daher
von vornherein erwarten, dass der menschliche O r g a n i s m u s auch
von der N a t u r auf eine bestimmte L e b e n s d a u e r eingerichtet sei
u n d dass alle Individuen innerhalb gewisser S c h w a n k u n g s g r e n z e n
u n d mit einzelnen extremen A u s n a h m e n dieses normale A l t e r er­
reichen würden. I n der folgenden A b h a n d l u n g wird in der T h a t
n a c h g e w i e s e n , dass m a n berechtigt ist, bei den europäischen
N a t i o n e n ein A l t e r zwischen 70 — 75 J a h r e n in gewissem S i n n e
als die normale menschliche Lebensdauer anzunehmen, aber die.se
gewlssermassen naturgesetzliche N o r m gilt nicht für alle, sondern
n u P T ü f " e'ih'en T e i l 3er ins L e b e n tretenden Individuen. E i n
arro^eTTieTf^hTrrcTier Teil der N e u g e b o r e n e n stirbt r e g e l m ä s s i g
schon in den ersten Altersjahren und zwar drängen sich in dieser
Altersstrecke die Sterbefälle u m so e n g e r zusammen, j e näher sie
der G e b u r t liegen. I n manchen L ä n d e r n sterben 2 0 — 2 5 Prozent
der G e b o r e n e n vor E r r e i c h u n g des A l t e r s von 1 J a h r u n d dazu
k o m m e n auch noch 3—4 Prozent T o t g e b o r e n e . D e r Prozentsatz
dieser Sterblichkeit im ersten Lebensjahr ist allerdings in den
verschiedenen B e v ö l k e r u n g s k l a s s e n sehr verschieden und nament­
lich bei den W o h l h a b e n d e n weit niedriger, als bei der grossen
M a s s e der Unbemittelten. A b e r auch unter deu günstigsten h y gieinischen und wirtschaftlichen Verhältnissen bleibt er auffallend
h o c h und überdies wird durch die bessere P f l e g e und E r n ä h r u n g
der K i n d e r häirfig_,aur eine J ^ e b e n s v e r l ä n g e r u n g erreicht, so
dass der T o d sie noch einige J a h r e verschont, während in den
w e n i g e r begünstigten Volksschichten die strenge A u s l e s e rasch
u n d ungehindert von statten geht.
M a n kann es_ dahgr_unbedenklich als eine naturgesetzliche T h a t s a c E e betrachten, dass ein
grosser Teil der erzeugten K i n d e r n i c h t w i r k l i c h l e b e n s ­
f ä h i g i s t , ' s o n d e r n einer gewissermassen specifischen Sterblich­
keit unterliegt.
D a s D i c h t i g k e i t s m a x i m u m dieser Sterblichkeit,
die schon v o r der G e b u r t beginnt, liegt auf dem T a g e der G e ­
burt selbst und die letzten A u s l ä u f e r dieser G r u p p e m ö g e n bis
in das zehnte Altersjahr reichen.
3. W e n n wir nun sagen k ö n n e n : „ E s giebt in jeder G e n e ­
ration eine N o r m a l g r u p p e , deren A n g e h ö r i g e a l l e in einem A l t e r
in der N ä h e v o n 70 Jahren sterben, und eine G r u p p e v o n L e b e n s ­
u n f ä h i g e n , die a l l e in kurzer Frist nach der G e b u r t w e g g e r a f f t
werden", so sind diese S ä t z e allerdings schon insofern etwas mehr
—
88
—
als blosse U m s c h r e i b u n g e n der statistisch beobachteten T h a t s a c h e n ,
als sie eine für alle Einzelfälle der beiden G r u p p e n — mit einem
gewissen Spielraum — geltende
wenn
auch
nur sekundäre
N o r m aufstellen; als eigentliche,
Naturgesetze
aber
würden sie
erst
formuliert sein, wenn jede der beiden G r u p p e n auch durch b e ­
s t i m m t e M e r k m a l e erkennbar g e m a c h t und a b g e g r e n z t werden
könnte, wenn man also den S a t z aufstellen könnte, N e u g e b o r e n e ,
bei denen diese oder jene B e d i n g u n g e n zutreffen, gehören in die
eine
oder
in
die
andere
Gruppe.
Die
E i g e n t ü m l i c h k e i t eines
Naturgesetzes besteht j a eben
darin, dass man auf G r u n d
selben
Fall
für j e d e n
einzelnen
voraussagen kann.
S o kann man
etwas
des­
allgemein G e l t e n d e s
für jedes
neugeborene
Kind
voraussagen, dass es, falls es am L e b e n bleibt, in einer
bestimmten
Altersstrecke
die
Geschlechtsreife
erlangen
werde, und so würde man auch von j e d e m s a g e n können,
ob es in der Periode des Normalalters oder in frühester
J u g e n d sterben werde, wenn jene G r u p p e n m e r k m a l e be­
kannt wären.
Aber
die
diese beiden
Gesamtheit der
Gruppen
umfassen
G e b o r e n e n , denn
Zahl stirbt etwa v o m
eine
noch nicht
bedeutende
10. bis zum 60. Jahre, die
weder
zu der
einen
noch
zu der an­
deren
i l g
werden kann.
'
, 0
'
ge-
rechnet
D i e N o r m a l g r u p p e erleidet allerdings schon
vor
E r r e i c h u n g dieser eigentlichen Sterblichkeitsperiode gewisse
luste
durch V e r u n g l ü c k u n g e n , E p i d e m i e n
aber die Z a h l derselben
sein,
während
die
und
andere
zeigt,
dass
etwa
der Sterbefälle auf jene Altersstrecke kommen.
noch
die
eine
der
Gruppe
dritte
Gruppe
minderwertigen
Zufälle,
kann doch nur verhältnismässig
Beobachtung
unterschieden
Leben
klein
Prozent
E s muss
werden,
bezeichnen
25
Ver­
kann.
die
also
man
Für
als
diese
giebt es j e d o c h keine typische Lebensdauer, wie sie für
die N o r m a l g r u p p e und in anderer W e i s e auch für die der L e b e n s ­
unfähigen
durch das M a x i m u m
bezeichnet
für
den
wird.
ganzen
der D i c h t i g k e i t der Sterbefälle
In F i g . 10 ist die V e r t e i l u n g der Sterbefälle
Lebenslauf
einer
Generation schematisch dar-
gestellt.
D i e N o r m a l g r u p p e mit dem D i c h t i g k e i t s m a x i m u m bei f
ist durch die K u r v e efg, die zweite G r u p p e durch ab, die dritte
durch b c begrenzt; die letztere überlagert an ihrem A n f a n g und
ihrem E n d e die beiden anderen und die Sterbefälle in diesen
U e b e r g a n g s s t r e c k e n sind d e m n a c h von gemischter H e r k u n f t .
W e n n also auch die M e r k m a l e der Z u g e h ö r i g k e i t zu der
dritten G r u p p e bekannt wären, so könnte man d o c h nicht, wie bei
den anderen G r u p p e n , etwas Bestimmtes für jeden F a l l dieser
A r t voraussagen, abgesehen von dem ganz v a g e n Satze, dass die
Sterbefälle sich mit einer nur langsam steigenden, aber schliesslich
abnehmenden Dichtigkeit zwischen dem 10. und 60. L e b e n s j a h r e
verteilen werden. I m allgemeinen dürfte der vorzeitige T o d der
A n g e h ö r i g e n dieser G r u p p e durch eine ursprüngliche S c h w ä c h e
der Organisation, durch einen M a n g e l an Widerstandskraft g e g e n
die lebengefährdenden E i n w i r k u n g e n bedingt sein.
Günstige
hygienische und wirtschaftliche Verhältnisse werden den T o d
innerhalb der ganzen Altersstrecke hinausschieben, u n g ü n s t i g e
ihn beschleunigen.
Der zeitliche Fortbestand der G r u p p e in an­
nähernd gleichbleibender relativer S t ä r k e aber dürfte hauptsächlich
auf d i e E r b l i c h k e i t der unternormalen Widerstandsfähigkeit zurück­
zuführen sein.
M a n könnte versuchen, die G r u p p e nach den
Todesursachen in kleinere zu zerlegen, in denen vielleicht D i c h t i g keitsmaxima erkennbar sein werden. A l s die wichtigste, für diese
(•rruppe gewissermassen spezifische Todesursache stellt sich die
Tuberkulose heraus. In Preussen z. B . entfallt auf diese K r a n k ­
heit ein volles Drittel aller im A l t e r von 1 5 — 6 0 Jahren G e ­
storbenen und ihren H ö h e p u n k t erreicht diese Sterblichkeit in
der Mitte der dreissiger Jahre.
4. D i e N o r m a l g r u p p e hat einen bestimmteren typischen
Charakter, aber bestimmte, schon bei den N e u g e b o r e n e n erkenn­
bare M e r k m a l e derselben können wir ebensowenig angeben, wie
bei der dritten G r u p p e . E s ist jedoch sehr wahrscheinlich, dass
auch hier die Erblichkeit von wesentlichem Einfluss ist und durch
genauere U n t e r s u c h u n g e n über die in Familien sich fortpflanzende
L a n g l e b i g k e i t wird sich die L ö s u n g des vorliegenden P r o b l e m s
vielleicht fördern lassen. U n t e r den in dieser G r u p p e wirkenden
Todesursachen tritt die A l t e r s s c h w ä c h e mit etwa 40 Prozent
der F ä l l e als besonders charakteristisch hervor. A u c h die durch
S c h l a g f l u s s verursachten Sterbefälle zeigen in der hierher g e -
90
—
—
hörenden Altersstrecke ein deutliches D i c h t i g k e i t s m a x i m u m . A b ­
gesehen
von
der A l t e r s s c h w ä c h e finden
sich übrigens in dieser
Periode dieselben Todesursachen, wenn auch in anderer Proportion,
wie in der mittleren Lebensstrecke; die L a n g l e b i g e n haben jetzt
eben auch ihre Widerstandsfähigkeit
Was
endlich
die
Gruppe
der
eingebüsst.
nicht
lebensfähigen
Kinder
betrifft, so überwiegen unter den Todesursachen im ersten L e b e n s ­
jahr A t r o p h i e , L e b e n s s c h w ä c h e , K r ä m p f e und andere K r a n k h e i t e n ,
die auf - eine ursprüngliche U n z u l ä n g l i c h k e i t des O r g a n i s m u s und
seiner E n t w i c k l u n g s f ä h i g k e i t hindeuten.
A u s s e r d e m k o m m t aller­
d i n g s etwa ein Drittel der F ä l l e auf Diarrhoe und B r e c h d u r c h ­
fall und diese sind
ohne
Zweifel
m ä s s i g e E r n ä h r u n g verursacht.
grösstenteils
durch
unzweck­
V i e l e von diesen K i n d e r n hätten
also bei besserer P f l e g e l ä n g e r am L e b e n erhalten werden können,
aber diese würden doch im allgemeinen schwächlicher und weniger
lebensfähig g e w e s e n sein, als diejenigen, die die A u s l e s e bei un• geeigneter N a h r u n g überstanden
haben.
I m ganzen scheint die
A n n a h m e berechtigt, dass die grosse Kindersterblichkeit gewissermassen
eine natürliche R e a k t i o n g e g e n
barkeit bildet.
die menschliche Frucht-"
D a m i t würde auch die T h a t s a c h e übereinstimmen,
d a s s die Sterblichkeit der K i n d e r mit der Z a h l - d e r Niederkünfte
der M u t t e r zunimmt und dass der Prozentsatz_der
überlebenden
K i n d e r (nach K ö ' r ö s i ) mit der Zahl_._der G e b u r t e n in äet
abnimmt.
allerdings
Ebenso
ergiebt
noch w e n i g
sich
aus
umfassenden
dem
bisher
vorliegenden,
Beobachtungsmaterial,
die Zahl der T o t g e b u r t e n in der R e g e l verhältnismässig
grösser
wird, je höher
A u c h mit dem
die
Ehe
dass
um
O r d n u n g s z a h l der Niederkünfte
so
ist.
A l t e r der M u t t e r steigt die relative W a h r s c h e i n ­
l
lichkeit einer T o t g e b u r t ) . E r w ä g t man ferner, dass ein gewisser
Prozentsatz der F r a u e n von vornherein
gänzlich unfruchtbar ist
und dass die -MjJErzäTu" napfa—dref-bis- vier G e b u r t e n u n f m e h t b a r
wird, so liegt die A n n a h m e nahe, dass die E n t w i c k l u n g s f ä h i g k e i t
der menschlichen
bei
oder speziell
gesunden Personen
selben
überhaupt
i ) Ueber den
nicht
sehr
der weiblichen K e i m z e l l e n selbst
verschieden
sei, dass ein Teil der­
zur E n t w i c k l u n g g e l a n g e n
könne,
Zusammenhang der Häufigkeit der Totgeburten und
sterblichkeit mit der Fruchtbarkeit der
•von der Mortalität und
Mütter vgl. u. a.
Morbilität, 2 . Aufl. ( J e n a
der
Westergaard,
1 9 0 1 ) , S . 333
u. 366
Die
ff.
ein
Kinder­
Lehre
—
9i
—
anderer T e i l aber nach der B e f r u c h t u n g nur Individuen mit ung e n ü g e n d e r Jüibejaskraft hcrAwrfarjnge, woraus sich dann das A u f treten
der rasch absterbenden
zweiten G r u p p e als eine ständige
N a t u r e r s c h e i n u n g ergeben würde, zumal wenn für die V e r t e i l u n g
der G r a d e der E n t w i c k l u n g s f ä h i g k e i t der K e i m e auch eine gewisse
Erblichkeit
bestände.
5. Bisher wissen wir also überhaupt für die E n t s t e h u n g der
drei G r u p p e n in der absterbenden Generation keine andere h y p o thetische U r s a c h e anzugeben, als die Erblichkeit, nämlich die E r b lichkeit einerseits der L a n g l e b i g k e i t , andererseits
der Disposition
zu gewissen
K r a n k h e i t e n und
kraft
die das L e b e n bedrohenden Einflüsse, endlich a u c h
gegen
der u n g e n ü g e n d e n W i d e r s t a n d s -
der unzulänglichen E n t w i c k l u n g s f ä h i g k e i t eines Teils der K e i m e .
Nimmt
man hiernach die relative G r ö s s e der drei G r u p p e n als
g e g e b e n an, so wird im übrigen der V e r l a u f der A b s t e r b e o r d n u n g
als eine naturgesetzliche E r s c h e i n u n g begreiflich.
die
allmähliche A e n d e r u n g
der
gleichzeitigen
damit j e d o c h noch nicht g e g e b e n .
Erscheinung
muss
D e r S t a n d und
Bevölkerung
ist
Zur E r k l ä r u n g der letzteren
der Slexhlichkeit die
„Natalitäf
gegenüber-
gestellt werden und es erhebt sich hier die F r a g e , ob ein naturgesetzlicher Zusamrnenhang zwischen diesen beiden A e n d e r u n g s ursachen des demographischen Zustandes besteht oder ob einfach
d u r c h den
Kampf
ums D a s e i n
das. .der-^nährungsmöglichkeit
entsprechende V e r h ä l t n i s zwischen .Z.Ugans.ynd-A)agang. hergestellt
w
§£dj-
F ü r die T i e r e mit enormer Fruchtbarkeit m a g die letztere
A u f f a s s u n g ohne weiteres z u g e g e b e n werden.
-aber trifft sie schon deswegen
F ü r den M e n s c h e n
nicht zu, weil die G r ü n d u n g einer
Familie als V o r b e d i n g u n g der ehelichen Fruchtbarkeit von seiner
vernünftigen
Ueberlegung
abhängt
und
er
auch
die K i n d e r -
e r z e u g u n g in der E h e — w a s allerdings zu bedenklichen F o l g e n
führen kann — nach seinem W i l l e n zu beschränken imstande ist.
Dieser E i n f l u s s des W i l l e n s zeigt sich u. a. in der von G e i s s i e f "
aus B e o b a c h t u n g e n an sächsischen Bergmannsfamilien festgestellten
Thatsache, dass die Zwischenzeit von einer Niederkunft zur andern
erheblich kleiner ist, w e n n das vorher geborene K i n d
a l s wenn es am L e b e n geblieben ist.
gestorben,
~~
A b e r a u c h rein physiologisch ist die menschliche Fruchtbarkeit
verhältnismässig e n g beschränkt und die Sterblichkeit kann auch
bei den höchststehenden K u l t u r v ö l k e r n leicht den P u n k t erreichen,
bei dem eine A b n a h m e der B e v ö l k e r u n g beginnt. N u r ein kleiner
Prozentsatz der Niederkünfte ergiebt Zwillings- oder M e h r g e b u r t e n ;
die einfachen Geburten sind durchaus als das N o r m a l e anzusehen.
D i e D a u e r der Fruchtbarkeitsperiode des weiblichen Geschlechts
kann für Mitteleuropa auf etwa 30 J a h r e a n g e n o m m e n werden,
und da in D e u t s c h l a n d die V e r h e i r a t u n g der F r a u e n erst nach
vollendetem 16. J a h r e zulässig ist, so entfaltet sich die eheliche
Fruchtbarkeit der Frauen mit A u s n a h m e weniger V e r s p ä t u n g e n
in der Altersstrecke vom 16.—46. Jahre. A l s die physiologisch
durch S c h w a n g e r s c h a f t und S ä u g e p e r i o d e bestimmte normale
Zwischenzeit zwischen zwei Niederkünften ist etwa i / , J a h r an­
zunehmen, doch hätte es keinen Sinn, aus dieser Zahl und der
Fruchtbarkeitsperiode etwa die M a x i m a l z a h l der möglichen G e ­
burten in dieser Periode zu berechnen.
D e n n einmal ist das
Durchschnittsalter der wirklich heiratenden F r a u e n 7—8 J a h r e
höher als das gesetzliche Minimalalter, ferner stirbt ein Teil der
F r a u e n während der Periode der Fruchtbarkeit und ein anderer
verwitwet, ohne wieder zu heiraten, endlich ist ein Teil der E h e n
— und wie es scheint, meistens w e g e n des Zustandes der F r a u —
überhaupt unfruchtbar, viele F r a u e n werden es, wie schon oben er­
wähnt, nach wenigen G e b u r t e n und allgemein nimmt ihre F r u c h t ­
barkeit mit dem vorrückenden A l t e r ab. G e n a u e r e U n t e r s u c h u n g e n
über die V e r b r e i t u n g der Unfruchtbarkeit unter den Frauen wären
sehr zu wünschen.
S i e würden vielleicht ergeben, dass die zu­
nehmende Unnatürlichkeit des civilisierten, namentlich städtischen
L e b e n s auf die K o n c e p t i o n s - und G e b ä r f ä h i g k e i t des weiblichen
Geschlechts einen allmählich mehr und mehr schädigenden E i n ­
fluss ausübt, wie man auch durch die tägliche E r f a h r u n g zu der
V e r m u t u n g geführt wird, dass die F ä h i g k e i t der M ü t t e r zum
S ä u g e n der K i n d e r immer seltener werde. E i n e solche allmähliche
Degeneration der Fortpflanzungsfähigkeit würde allerdings der
V e r w i r k l i c h u n g der M a l t h u s ' s c h e n Theorie e n t g e g e n wirken, aber
nicht im S i n n e der optimistischen und harmoniegläubigen B e kämpfer dieser Lehre.
3
6. S p u r e n eines unmittelbaren Z u s a m m e n h a n g e s zwischen
Sterblichkeit und Geburtenzahl sind in den oben erwähnten B e ­
ziehungen zwischen der Kindersterblichkeit und der Zahl der Nieder­
künfte zu finden, ferner auch in den hie und da festgestellten
Verhältnissen zwischen der Zahl der am L e b e n erhaltenen und der
93
in
der E h e geborenen
Thatsache
der
—
K i n d e r , aber auch schon in der blossen
grossen
Kindersterblichkeit
der Prozentsatz derselben
annähernd gleich
überhaupt.
bleibt,
so
Wenn
entspricht
doch immerhin einer grösseren Geburtenzahl auch eine
Zahl von gestorbenen K i n d e r n aus dieser Generation.
grössere
E s scheint
aber, dass unter U m s t ä n d e n die V e r g r ö s s e r u n g der Geburtenzahl
a u c h eine S t e i g e r u n g des P r o z e n t s a t z e s
im G e f o l g e hat.
wären
sehr
ersten,
Alter
der Kindersterblichkeit
Genauere Untersuchungen
zu empfehlen;
es
müssten
nicht die dritten H a u p t g e s a m t h e i t e n
von
o—i
Jahr
verwendet
über
diesen
Punkt
dabei aber natürlich die
werden.
der Gestorbenen im
A l l e r d i n g s würde
es
noch immer zweifelhaft bleiben, ob diese S t e i g e r u n g der K i n d e r ­
sterblichkeit
physiologisch
oder durch die
sozialen
Verhältnisse
bedingt wäre, im letzteren Falle also durch die steigende S c h w i e r i g ­
keit
der
E r n ä h r u n g der vermehrten
Bevölkerung.
K i n d e r z a h l der
besitzlosen
I m ganzen unterliegt es keinem Zweifel, dass das
Verhältnis von Mortalität und Natalität des
Menschengeschlechts
bis zu einem gewissen G r a d e auf physiologischen naturgesetzlichen
Bedingungen
andere
beruht,
wenn
auch
ein bedeutender Spielraum für
E i n w i r k u n g e n übrig bleibt.
abgesehen
von
ungewöhnlichem
durch schwere Seuchen
In allen
K u l t u r l ä n d e r n ist,
Anschwellen
der
Sterblichkeit
oder K r i e g e , die jährliche Zahl der G e ­
burten nicht kleiner als die der Sterbefälle, in der R e g e l grösser,
aber doch k a u m jemals mehr als doppelt so gross.
D a r a u s allein
g e h t schon hervor, dass das Verhältnis dieser beiden Zahlen nicht
jeden beliebigen W e r t annehmen, sondern nur zwischen
G r e n z e n s c h w a n k e n kann,
wenn auch damit nicht
gewissen
bewiesen
ist,
dass eine funktionelle A b h ä n g i g k e i t zwischen beiden bestehe,
da
es g e n ü g t , wenn jede selbständig auf naturgesetzlicher G r u n d l a g e
innerhalb eines Spielraums bestimmt wird.
Naturgesetzliche B e d i n g u n g e n regeln auch ohne Zweifel die
^Bestimmung d7eslj.escineehfs
der Geborenen.
M a n kann hier
\ entweder
jeder
Konception
annehmen,
dass
bei
einzelnen
die
gleiche U r s a c h e wirksam sei, um einen durchschnittlich konstanten
Ueberschuss
mehrere
einander
von
Knabengeburten
herbeizuführen,
oder
dass
U r s a c h e n in annähernd konstantem Verhältnis neben­
von denen jede ein besonderes
durchschnitt­
liches Geschlechtsverhältnis der G e b o r e n e n bedingt.
bestehen,
D i e letztere
A n n a h m e würde z. B . zutreffen, wenn dieses Geschlechtsverhältnis
94
—
—
durch die Altersverhältnisse der Eltern bestimmt wäre.
dann,
da die
ständig
verschiedenen
Alterskombinationen
E s würde
sich
ziemlich
erhalten, auch das in der G e s a m t h e i t der G e b u r t e n er­
scheinende Geschlechtsverhältnis eine entsprechende Stabilität auf­
weisen.
D i e auffallende
Uebereinstimmung
des Geschlechts Verhältnisses der G e b o r e n e n
der
Schwankungen
mit den E r g e b n i s s e n
der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die in einer der folgenden A b ­
h a n d l u n g e n nachgewiesen
ist, dürfte uns jedoch mehr g e n e i g t zu
der V o r s t e l l u n g machen, dass schon die K e i m z e l l e n , sei es allein
die weiblichen oder auch die männlichen, geschlechtlich bestimmt
seien und dass schon in ihnen in allen Fällen durchschnittlich das G e ­
schlechtsverhältnis a n g e l e g t sei, das in der Gesamtheit der G e b u r t e n
zu T a g e tritt.
D i e physiologische U r s a c h e dieser T h a t s a c h e bleibt
uns freilich g a n z unbekannt, ebenso wie die des Z u s a m m e n h a n g s ,
der in k a u m zu bestreitender W e i s e
zwischen
dem K n a b e n ü b e r ­
schuss bei der G e b u r t und der grösseren Sterblichkeit der K n a b e n
in den ersten Lebensjahren besteht.
7. A u s diesen
Darlegungen
wird es wenigstens
im a l l g e ­
meinen begreiflich, wie die g e g e b e n e Zahl einer B e v ö l k e r u n g und
ihre V e r t e i l u n g nach
naturgesetzlicher
sich in dieser
G e s c h l e c h t und
Altersklassen
B e d i n g u n g e n zustande
gekommen
ihrer S t r u k t u r nur l a n g s a m
auf
Grund
ist, dass sie
verändern kann und
dass alle diese A e n d e r u n g e n auch in ziemlich konstanten
hältnissen
erfolgen
Konstitution
der
müssen.
Diese
Bevölkerung
ist
Stabilität
nun
aber
der
Ver­
biologischen
auch die
Haupt­
b e d i n g u n g für die relative F e s t i g k e i t der sozialen und wirtschaft­
lichen
Zustände
erscheinungen
und
für
auf diesem
die
Regelmässigkeiten
Gebiete.
der
Massen­
D i e sozialen Zustände sind
hauptsächlich durch die V e r m ö g e n s - und E i n k o m m e n s v e r t e i l u n g ,
die
wirtschaftlichen
durch die
Beruf und G e w e r b e bedingt.
G l i e d e r u n g der Gesellschaft nach
D i e nach diesen M e r k m a l e n unter­
schiedenen gesellschaftlichen G r u p p e n unterliegen bei g e n ü g e n d e r
Grösse trotz des fortwährenden W e c h s e l s
der sie bildenden
Per­
sonen nur einer langsamen,
meistens einigermassen
mit der B e ­
völkerungszunahme
gehenden
was
parallel
Aenderung,
aus der natürlichen D a u e r der gesellschaftlichen
einfach
E x i s t e n z e n und
B e z i e h u n g e n folgt und nur bei grossen zerstörenden K a t a s t r o p h e n
A u s n a h m e n erleidet.
Normalerweise findet jede einzelne
in der ganzen gesellschaftlichen
Gruppe
S t r u k t u r eine S t ü t z e und S c h u t z
g e g e n plötzliche U m w ä l z u n g e n . D i e von der Statistik beobach­
teten R e g e l m ä s s i g k e i t e n in gesellschaftlichen V o r g ä n g e n , die v o m
W i l l e n der einzelnen abhängen, entstehen nun hauptsächlich da­
durch, dass die A n g e h ö r i g e n gewisser Gruppen s ä m t l i c h , wenn
auch mit einem Spielraum nach Zeit und U m s t ä n d e n , eine g e ­
wisse H a n d l u n g ausführen oder sich auf bestimmte A r t verhalten.
K ö n n e n wir die K e n n z e i c h e n einer solchen G r u p p e g e n a u an­
geben, so ist uns das Zustandekommen der betreffenden H a n d ­
l u n g in jedem F a l l e vollkommen begreiflich, und da die G r u p p e
sich nur langsam verändert, so erklärt sich uns auch die W i e d e r ­
h o l u n g dieser V o r g ä n g e in annähernd gleich bleibender Zahl
während einer R e i h e von Jahren.
S o darf man annehmen, dass fast alle ledigen j u n g e n M ä n n e r ,
die gesund sind, heiraten werden, sobald sie wirtschaftlich In 'der
L a g e sind, eine Familie nach dem für ihren S t a n d geltenden
Massstab zu unterhalten. D i e Arbeiterklasse erlangt diese wirt­
schaftliche Selbständigkeit in der R e g e l schon in j u n g e n J a h r e n ,
für die bürgerlichen Gewerbetreibenden schiebt sie sich meistens
schon weiter hinaus und noch weiter für die A n g e h ö r i g e n der
gelehrten Berufsstände; jedoch k o m m e n für diese K a t e g o r i e n
auch wieder die Vermögensverhältnisse der einzelnen in Betracht.
E r s t nach E r r e i c h u n g eines gewissen schon reiferen A l t e r s , etwa
von 3 5 — 4 0 Jahren, nimmt die N e i g u n g der L e d i g e n zur Heirat
überhaupt ab, da sie sich dann mehr und mehr an ihre L a g e
g e w ö h n t haberi. Bis dahin aber kann man nacri Altersklassen,
B e s c h ä f t i g u n g U n d Beruf, E i n k o m m e n s - und V e r m ö g e n s v e r h ä l t ­
nissen, W o h n o r t , Gesundheitsverhältnissen Gruppen bilden, in
denen das Heiraten durchaus die R e g e l bildet und die sich v o n
J a h r zu J a h r ziemlich konstant erhalten.
D a r a u s ergiebt sich
denn auch eine entsprechende Gleichmässigkeit in der Zahl der
Heiraten im V e r g l e i c h zur B e v ö l k e r u n g , die aber S c h w a n k u n g e n
infolge der mehr oder weniger günstigen wirtschaftlichen K o n ­
junkturen in den einzelnen Jahren nicht ausschliesst.
D u r c h die
verhältnismässig kleine Zahl der mehr sporadischen Heiraten in
den höheren Altersklassen wird sie nicht beeinträchtigt. S o ent­
steht also auch eine ständige V e r t e i l u n g der jährlich heiratenden
ledigen M ä n n e r auf die einzelnen Altersklassen.
Ueberwiegend
haben sie die N e i g u n g , F r a u e n zu heiraten, die j ü n g e r sind als
sie setfJsE THese "Tendenz nimmt in der R e g e l mit dem steigen-
Alter
oö
-
des M a n n e s , wenigstens bis zu einer gewissen
Grenze, zu.
W e n n sich nun auch die U r s a c h e n der Altersdifferenzen der G e ­
trauten im einzelnen nicht verfolgen lassen,
so ergiebt sich doch
s c h o n aus den beiden erwähnten U m s t ä n d e n auch eine annähernd
ständige G r u p p i e r u n g der mit ledigen M ä n n e r n getrauten F r a u e n
nach
dem Heiratsalter.
Diese
Frauen werden
heiratung zum weitaus grössten Teile
gewesen
vor ihrer
ledig und nicht
Ver­
verwitwet
sein, schon aus d e m G r u n d e , weil die Zahl der W i t w e n
in den hauptsächlich in Betracht kommenden
Altersklassen
weit
kleiner ist als die der ledigen, ausserdem aber auch deshalb, weil
die ledigen M ä n n e r entschieden
frau als eine W i t w e zu heiraten.
mehr N e i g u n g haben, eine J u n g ­
U n t e r den letzteren aber haben
jedenfalls die relativ wohlhabenden a m meisten A u s s i c h t auf eine
solche
Wiederverheiratung.
S c h o n aus diesen
allgemeinen E r ­
w ä g u n g e n wird es begreiflich, dass das Verhältnis der T r a u u n g e n
zwischen
ledigen
M ä n n e r n und W i t w e n
im V e r g l e i c h mit d e m
zwischen L e d i g e n und J u n g f r a u e n nicht nur klein,
sondern auch
ziemlich stabil bleibt.
D i e Zahl
der jährlich heiratenden
Witwer hängt
zunächst
von der Zahl und der A l t e r s v e r t e i l u n g der vorhandenen W i t w e r ,
also
von ständigen
verheiratung
die
noch
demographischen
wird überwiegend
G r ö s s e n ab.
die R e g e l
für die E r z i e h u n g jüngerer
sein
D i e Wieder­
bei denjenigen,
K i n d e r zu sorgen
haben
oder in ihrem Wirtschaftsbetrieb auf die M i t w i r k u n g einer H a u s ­
frau
angewiesen
sind.
Die Witwer
F r a u e n wählen, die j ü n g e r sind
vor den W i t w e n
werden
ebenfalls
meistens
als sie selbst, auch die ledigen
bevorzugen, jedoch nicht in demselben M a s s e ,
wie dies v o n Seiten der J u n g g e s e l l e n geschieht.
S o werden auch
die Heiraten der W i t w e r sich dem langsamen Fortschritt der B e ­
völkerung
anpassen
wenn
verschiedenen
die
und m a n wird
nicht
wundern,
Familienstandskombinationen
sich
auch
bei den
E h e s c h l i e s s u n g e n jährlich in nur massig schwankenden Verhältnis­
zahlen
auftreten.
Heiraten
ein
Auch
von W i t w e n
das
Zahlen Verhältnis
der jährlichen
einerseits und J u n g g e s e l l e n
andererseits,
reines Koordinationsverhältnis und g a r nicht als ein W a h r ­
scheinlichkeitsausdruck
Stabilität, die jedenfalls
Verhältnis
der
aufzufassen,
zeigt
hauptsächlich
gleichzeitig
unterhalb
eine
darauf
bemerkenswerte
beruht,
gewisser
lebenden W i t w e r u n d J u n g g e s e l l e n sich nahezu
dass das
Altersgrenzen
konstant
erhält
8.
Auch
theoretisch
in betreff
—
97
—
der
unehelichen
solches E r e i g n i s fast mit Gewissheit
natürliche (nicht
G e b u r t e n lassen
weiblicher Personen
(Truppen
bilden,
eintreten
bei
sich
denen
ein
wird, während die
mathematisch gedachte) Wahrscheinlichkeit
selben bei anderen
des­
fast N u l l ist.
(Truppen
F ü r M ä d c h e n in gewissen
Altersgrenzen, die des Familien­
schutzes entbehren, auf sich selbst angewiesen sind, in den Miets­
kasernen
einer
grossen
Stadt wohnen,
den
Verlockungen
des
städtischen L e b e n s ausgesetzt sind, dabei normale Gesundheit und
Körperbeschaffenheit besitzen, besteht offenbar die G e f a h r einer un­
ehelichen S c h w a n g e r s c h a f t in sehr hohem Grade. A u c h in manchen
ländlichen Distrikten,
sind, ist diese G e f a h r
in denen gewisse l a x e Sitten
gross, jedoch
Niederkunft häufiger die Heirat.
mehrung
der unehelichen
folgt
hier
herkömmlich
der
unehelichen
Grossen Einfluss auf die V e r ­
G e b u r t e n hatte
bekanntlich
früher in
B a y e r n die E r s c h w e r u n g der Niederlassung und Verheiratung.
W i r können die gefährdeten G r u p p e n nach den angeführten
und
sonstigen
M e r k m a l e n nicht wirklich ausscheiden,
aber
wir
wissen, dass sie bestehen und dass sie sich infolge der g e g e b e n e n
demographischen,
wirtschaftlichen
und sozialen Konstitution
B e v ö l k e r u n g , trotz des W e c h s c i s der Personen
stetig
der
behaupten,
s o l a n g e nicht besondere A e n d e r u n g s u r s a c h e n . wie z. B . die E r ­
leichterung der Eheschliessung in B a y e r n , wirksam werden.
Diese
S t e t i g k e i t der G r u p p e n , aus denen die unehelichen G e b u r t e n g a n z
überwiegend
hervorgehen,
Stabilität des
bedingt
Verhältnisses dieser
dann
auch
die
annähernde
G e b u r t e n zu der G e s a m t z a h l
der G e b u r t e n oder auch zu der Zahl der unverehelichten
weib­
lichen Personen im gebärfähigen A l t e r .
Bei den in den Bereich der Moralstatistik fallenden
gesell­
schaftlichen E r s c h e i n u n g e n sind allerdings nicht nur die äusseren,
sondern
auch die subjektiven
berücksichtigen.
Bedingungen
ihres A u f t r e t e n s
A b e r bei grossen B e v ö l k e r u n g s g r u p p e n
zu
zeigen
auch diese sich gewissermassen
kontinuierlich
stufungen und Schattierungen.
S o wird sich auch z. B . der G r a d
des
Leichtsinns, der
macht,
in
einer
ein
M ä d c h e n der
Gesamtheit
von
vielen
in allen ihren A b ­
Verführung zugänglich
Tausenden,
äusserlich dieser G e f a h r in h o h e m G r a d e ausgesetzt
mit einiger G l e i c h m ä s s i g k e i t wiederfinden.
f.exis,
B e v ö l k e r u n g s - u. M o r a l s t a t i s t i k .
die
sind,
auch
immer
A n d e r e in dieses G e i
_
9
8
-
biet fallende menschliche H a n d l u n g e n , wie namentlich Verbrechen
und Selbstmord, treten nicht als eigentliche Massenerscheinungen
in grossem Massstabe, sondern, wenigstens im V e r g l e i c h mit den
Thatsachen d e r j B e v ö l k e r u n g s b e w e g u n g , in verhältnismässig kleinen
Zahlen auf. D i e entscheidenden objektiven und subjektiven B e ­
d i n g u n g e n sind bei ihnen weit mannigfaltiger und individualisierter.
M a n k a n n auch hier auf G r u n d der gewöhnlichen Lebenserfah­
rungen K o m p l e x e v o n B e d i n g u n g e n aufstellen, deren Z u s a m m e n ­
treffen fast mit völliger Gewissheit eine jener H a n d l u n g e n zur F o l g e
/ h a t ; aber matj_kann nicht annehmen-,-dass grössere G r u p p e n unter
I diesen B e d i n g u n g e n - stehen, weil eben die betreffenden E r e i g n i s s e
i verhälttfisaiässig selten v o r k o m m e n . G l e i c h w o h l aber sind auch
in diesen Fällen Wiederholungen" in Zahlen wenigstens von der­
selben G r ö s s e n o r d n u n g zu erwarten. W e n n in einem L a n d e in
einem J a h r e i o o o U n t e r s c h l a g u n g e n stattgefunden haben, so ist
nicht zu erwarten, dass dieses V e r b r e c h e n in anderen J a h r e n
g a r nicht und wieder in anderen in i o o o o Fällen vorkommen
werde. In einer grossen B e v ö l k e r u n g sind fortwährend alle A b ­
stufungen zwischen A r m und R e i c h vorhanden, ebenso alle A r t e n
v o n Geschäftsbeziehungen und A m t s - und Dienststellungen, die
zu einem solchen Verbrechen V e r a n l a s s u n g g e b e n können, ferner
werden immer wieder viele Personen von wirtschaftlichen S c h w i e r i g .(\ keiten, Verlegenheiten und Notständen betroffen, auch sind LeichtI sinn, Gewissenlosigkeit, V e r s c h w e n d u n g s s u c h t und andere übele
E i g e n s c h a f t e n stets in mannigfaltigen G r a d e n verbreitet, und so
treffen dann a u c h immer wieder die B e d i n g u n g e n , die zu dem
genannten und anderen V e r b r e c h e n und V e r g e h e n g e g e n das
E i g e n t u m führen, in einer A n z a h l von Fällen zusammen. W e i l
diese A n z a h l aber nicht sehr gross ist, wird sie durch individuelle
und konkrete U m s t ä n d e stark beeinflusst; die S c h w a n k u n g e n
dieser Zahlen sind daher bedeutend, lassen sich aber häufig auf
g a n z bestimmte U r s a c h e n zurückführen, deren W i r k u n g auf diese
W e i s e zahlenmässig geschätzt werden kann.
9. D a s Interessante in den moralstatistischen Zahlen und
f Zahlen Verhältnissen ist überhaupt nicht ihre S t a b i l i t ä t , sondern
ihre V e r ä n d e r l i c h k e i t . D i e erstere bleibt meistens hinter den
von Q u e t e l e t erregten E r w a r t u n g e n weit zurück und beschränkt
sich oft, wie schon gesagt, auf das E i n h a l t e n derselben Grössen-
99
—
Ordnung, der H u n d e r t e , der Tausende,
deutende
Aenderungen
symptomatisch
treffenden
weisen,
solcher
für A e n d e r u n g e n
Erscheinungen.
ist
aber für die
Verhältnisse
des
Diese
Zehntausende.
aber
den
Ursachensystems
der
be­
nachzu­
ohne
Zweifel
dass die S c h w a n k u n g e n gewisser
dem
Zusammenhang
Be­
unmittelbar
Kausalitätsverhältnisse
Gesetz
der
rein
weichungen von einem Mittelwerte entsprechen.
leicht
sind
Gesellschaftswissenschaft
wichtiger als die Feststellung,
statistischer
der
Grössen
der
Zahl
der
zufälligen
Ab­
S o erkennt man
Diebstähle
mit
den
Preisen der Lebensmittel, mit der A u s d e h n u n g der A r b e i t s l o s i g ­
keit und überhaupt mit dem auf- und niedersteigenden G a n g e der
Volkswirtschaft.
S c h w e r e Bankerotte und U n t e r s c h l a g u n g e n sind
charakteristisch
für Zeiten grosser
heitsverbrechen
vermehren sich nach K r i e g e n u. s. w.
Vom
S t a n d p u n k t der
wirtschaftlicher K r i s e n ,
Wahrscheinlichkeitsrechnung
man erwarten, dass die Stabilität eines statistischen
Roh­
müsste
Verhältnisses,
das die F o r m einer Wahrscheinlichkeitsgrösse hat, um so grösser
sein, je grösser die Grundzahl der N e n n e r ist.
F ü r die
eigent­
lichen moralstatistischen Verhältnisse trifft dies aber schon deshalb
nicht zu, weil deren N e n n e r meistens g a r keine
ziehung
zu dem Zähler, der Zahl
genetische B e ­
der betreffenden
Ereignisse,
hat und die g a n z e B e v ö l k e r u n g oder einen willkürlich a b g e g r e n z ­
ten Teil derselben
darstellt.
D a s Verhältnis der jährlichen Zahl
der Selbstmorde zu der ganzen V o l k s z a h l z. B . ist zwar der F o r m
nach eine Wahrscheinlichkeitsgrösse,
hat aber sachlich nicht die
B e d e u t u n g einer solchen, sondern nur die einer^Recluktionsformel
zum Z w e c k
von V e r g l e i c h u n g e n !
D i e Selbstmorde g e h e n
säcKlieh ~ nur"~ aus*—etrrei—Sehr zersplitterten
sonen mit gewissen M e r k m a l e n hervor
1,
that-,
Gesamtheit von P e r ­
und die
Zahl
derselben
ist von der G r ö s s e n o r d n u n g der Zahl der wirklich vorkommenden
Selbstmorde.
D i e Stabilität der moralstatistischen Verhältniszahlen
h ä n g t daher im allgemeinen von der G r ö s s e der E r e i g n i s z a h l e n ,
also dem Zähler und nicht
von der mehr oder weniger willkür­
lich gewählten Grundzahl ab.
ist, die nach den g e g e b e n e n
J e grösser der K r e i s der Personen
B e d i n g u n g e n fast mit Gewissheit zu
der fraglichen H a n d l u n g veranlasst werden, u m so weniger deut­
lich wird sich das Hinzutreten neuer oder das W e g f a l l e n vorher
vorhandener
Einwirkungen
in
den
Ereigniszahlen
bemerklich
7*
IOO
machen
den
und
auf
die
um
so
leichter
Vergrösserung
werden
und
auf
Zahlen gerichteten U r s a c h e n eintreten.
auch
in
Ausgleichungen
die
Verkleinerung
dieser
S o zeigt sich z. B . zwar
der Verhältniszahl der jährlichen
der B e v ö l k e r u n g — die j a auch noch
zwischen
Eheschliessungen
zu
eine moralstatistische B e ­
d e u t u n g hat — ein Z u s a m m e n h a n g mit der G u n s t oder U n g u n s t
der L a g e
der
Volkswirtschaft, aber bei
weitem
nicht
in
dem
Masse, wie in den der entsprechenden Verhältniszahlen für B e t r u g
und betrügerischen
Bankerott.
VI. Die typischen Grössen und das Fehlergesetz.
i. A l s typische
beobachtete
Grössen bezeichnen
Einzelwerte
Abweichungen
sich
um ihren
wert stellt- also möglichst
einzelnen
Falle
nach
dem
wir diejenigen,
Gesetz
Mittelwert gruppieren.
genau
gewissermassen
der
deren
zufälligen
Dieser
Mittel­
den T y p u s dar, der in j e d e m
erstrebt,
aber
infolge
von
zu­
fälligen S t ö r u n g e n , die ebenso leicht in positiver wie in negativer
R i c h t u n g wirken können, fast niemals genau erreicht wird.
Eine
solche G r ö s s e kann sowohl eine absolute wie eine Verhältniszahl
sein, doch beschäftigen wir uns hier zunächst nur mit der ersteren
Art.
Q u e t e l e t hat das grosse Verdienst, die in der A s t r o n o m i e
ausgebildete Fehlertheorie auf die menschlichen Körperdimensionen
angewandt
und nachgewiesen
zu haben, dass diese als typische
Grössen im obigen S i n n e zu betrachten sind und ähnliche U n t e r ­
suchungen
lassen
demographische
sich
auch
auf
andere
G e g e n s t ä n d e ausdehnen.
anthropologische
und
Selbstverständlich
ist
nicht jeder Mittelwert aus gleichartigen B e o b a c h t u n g s g r ö s s e n ein
Typus, sondern
er hat nur dann die B e d e u t u n g eines solchen,
wenn die obige B e d i n g u n g in der V e r t e i l u n g der Einzelwerte er­
füllt ist,
während er in allen anderen F ä l l e n zweckmässiger als
blosser D u r c h s c h n i t t s w e r t zu bezeichnen ist.
E i n e anschauliche
A b l e i t u n g der hier angewendeten Theorie hat G . H a g e n in seiner
Wahrscheinlichkeitsrechnung (i. A u f l . , Berlin 1837) g e g e b e n , die
dann von Q u e t e l e t
bilites" (Bruxelles
gebracht wurde.
fällen
in seinen „Lettres sur la theorie des proba-
1846) auf eine sehr einfache
populäre
Form
W e n n eine gleichartige G r ö s s e in vielen E i n z e l ­
mit zufälligen
A b w e i c h u n g e n ihres typischen W e r t e s be­
obachtet wird, so kann man annehmen, dass sie stets unter d e m
Einfluss einer grossen Zahl elementarer Fehlerursachen steht, die
ebenso
leicht positiv
wie negativ wirken können und zwar, wie
I 0 2
wir zunächst annehmen, mit absolut gleicher W i r k u n g s f ä h i g k e i t .
S i n d z. B . immer iooo Elementarstörungen (auf diese Zahl k o m m t
weiter nichts an, sie muss nur g r o s s sein) bei dem Zustande­
k o m m e n der K ö r p e r g r ö s s e eines erwachsenen M a n n e s im Spiel,
so wird die typische N o r m a l g r ö s s e sich nur dann herausstellen,
wenn 500 positive und 500 negative Elementarstörungen zusammen­
treffen. Dieser F a l l ist relativ der wahrscheinlichste, aber absolut
ist seine Wahrscheinlichkeit w e g e n der ungeheuer grossen Zahl
der überhaupt möglichen Fehlerkombinationen doch äusserst klein.
Treffen 550 positive und 450 negative Störungsursachen zu­
sammen, so ist das R e s u l t a t eine A b w e i c h u n g von 100 S t ö r u n g s ­
einheiten nach der positiven Seite hin und die Wahrscheinlichkeit
desselben ist ebenso gross, wie die des Zusammentreffens von
550 negativen mit 450 positiven Störungsursachen, das einen um
100 Einheiten nach der negativen Seite verschobenen B e o b a c h t u n g s ­
wert herbeiführt.
-
2. Dieses zufällige Zusammentreffen von gleich grossen posi­
tiven und negativen Elementarstörungen lässt sich vergleichen
mit Serien von Z ü g e n aus einer U r n e , die eine gleiche Zahl
schwarzer und weisser K u g e l n enthält, wenn die Zahl der Z ü g e
in jeder Serie gleich ist der a n g e n o m m e n e n grossen Zahl des
jedesmal zusammentreffenden Elementarstörungen.
M a n kann
sich aber auch vorstellen, dass die U r n e viele Millionen kleiner
schwarzer und weisser K u g e l n in gleicher Zahl enthalte, die immer
neu durcheinander gemischt werden und von denen nun immer
eine an sich grosse, aber mit der G e s a m t m e n g e verglichen, doch
relativ sehr kleine A n z a h l gleichzeitig auf zufällige A r t heraus­
g e n o m m e n werde.
Q u e t e l e t nimmt, um alle K o m b i n a t i o n e n
doppelt zu erhalten, eine ungerade Zahl der jedesmal zusammen­
gefassten K u g e l n an, nämlich 99g. D i e beiden grössten und zu­
gleich einander gleichen Wahrscheinlichkeiten sind dann die der
F ä l l e 499 w, 500 s und 500 w, 499 s. Bezeichnet man die W a h r ­
scheinlichkeit des einen dieser Fälle, etwa 499 w und 500 s (die
gleich ist dem zugehörigen Binomialkoefficienten geteilt durch 2 )
mit x, so ist die der folgenden K o m b i n a t i o n nach der Seite v o n
9l,n
schwarz, nämlich 498 w und 501 s, gleich x - ^ y , die der folgenden,
nämlich 497 w und 502 s, gleich x
die der folgenden
499 , 49^
501
497 u. s. w. Q u e t e l e t hat auf diese A r t die relativen
#
502
503
Wahrscheinlichkeiten für 80 K o m b i n a t i o n e n von w und s, mit
der wahrscheinlichsten b e g i n n e n d , berechnet, wobei sich die
der letzten, nämlich 420 w und 579 s gleich 0 , 0 0 0 0 0 3 . x , also so
klein ergab, dass alle übrigen vernachlässigt werden können, da
x bei grosser Zahl der z u s a m m e n g e z o g e n e n K u g e l n immer ein
kleiner B r u c h ist. Dieselbe Tabelle gilt natürlich auch für den
anderen Z w e i g der E n t w i c k e l u n g des B i n o m s , der die K o m b i ­
nationen mit steigendem w und abnehmendem s enthält. D i e so
gefundenen relativen Wahrscheinlichkeiten sind aber proportional
den Zahlen der möglichen F ä l l e der einzelnen K o m b i n a t i o n e n
u n d die G e s a m t z a h l aller möglichen F ä l l e ist proportional der
S u m m e aller relativen Wahrscheinlichkeiten. M a n erhält also die
absoluten Wahrscheinlichkeiten der einzelnen K o m b i n a t i o n e n mit
E l i m i n i e r u n g des x , indem man die entsprechenden relativen
Wahrscheinlichkeiten durch die G e s a m t s u m m e derselben dividiert,
wobei man die letztere nur in den von der Tabelle a n g e n o m m e n e n
G r e n z e n zu nehmen braucht. N a c h s t e h e n d folgt ein A u s z u g aus
der Q u e t e l e t ' s c h e n Tabelle. D i e „Stufen" entsprechen der A b ­
nahme der Zahl der w und der Z u n a h m e der Zahl der s um je 1.
U n t e r W ist die Wahrscheinlichkeit der einzelnen K o m b i n a t i o n e n ,
unter S die S u m m e aller Wahrscheinlichkeiten von der ersten
bis zu der a n g e g e b e n e n S t u f e (einschliesslich) a n g e g e b e n . S .giebt
also die Wahrscheinlichkeit, dass eine der K o m b i n a t i o n e n von
499 w, 500 s bis zu den bezeichneten herauskommen werde. D e r
W e r t derselben nähert sich immer mehr der G r e n z e 0,500, da die
Wahrscheinlichkeit / dafür besteht, dass überhaupt 500 oder
mehr schwarze K u g e l n (wie andererseits auch 500 oder mehr
weisse K u g e l n ) vorkommen werden.
i
2
Kombination
499
498
497
496
495
494
493
492
491
490
489
488
w,
w,
w,
500
w
503
504
505
506
,
w,
w,
w,
w,
w,
w,
w,
w,
501
502
507
508
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
509
510 S
511 s
Stufe
W
i
2
0,0252
0,0251
0,0249
0,0246
0,0242
0,0238
0,0232
0,0226
0,0218
0,0211
0,0202
0,0194
3
4
5
6
7
8
9
10
II
12
S
0,0252
0,0503
0,0753
0.0999
0,1241
o,i479
0,1711
0,1936
0,2155
0,2365
0,2568
0,2762
Kombination
487
486
w,
w,
4 8 5 w,
4 8 4 w,
4 8 3 w,
4 8 2 w,
4 8 1 w,
4 8 0 w,
4 7 9 w,
4 7 8 w,
4 7 7 w,
4 7 6 w,
512
513
5'4
5'5
5'6
51/
5i8
5>9
520
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
521
522 s
523 s
Stufe
\V
s
13
H
15
16
0,0185
0,2946
0,3122
0,3287
•7
18
19
20
21
22
23
24
0,0175
0,0166
0,0156
0,0146
0,0137
0,0127
0,0118
0,0109
0,0100
0,0092
0,0084
0,3443
0,3590
0,3727
0,3854
0,3972
0,4081
0,4181
0,4272
o,435&
104
—
Kombination
475 w,
474 w,
Stufe
524 s
525 s
w
2 (
s
473 > 5 >
472 w, 527 s
471 w, 528 s
470 w , 529 s
2
W.
—
Kombination
S.
25
26
0,0076
0,0069
0,4432
0,4501
465
460
7
28
29
30
0,0062
0,0056
0,0050
0,0044
0,4563
0,4618
0,4668
0.47
455
45°
445
440
1 2
w,
w,
534 s
539 s
s
544
549
554 s
559 s
w
s
>
w,
w,
Stufe
W.
S.
35
40
0,0023
0,0011
0,4866
0,4943
45
5°
55
60
0,0005
0,0002
0,00007
0,00002
0,4978
0,4992
0,49975
0,49993
D e n k t man sich statt der K u g e l n zusammentreffende posi­
tive und n e g a t i v e Elementarfehler, die eine A b w e i c h u n g des
beobachteten von dem wahren oder typischen W e r t e einer G r ö s s e
verursachen, so nimmt die g a n z e hervortretende A b w e i c h u n g auf
jeder S t u f e um das Zweifache der E l e m e n t a r a b w e i c h u n g e zu, die
erste S t u f e aber entspricht nur dem einfachen e. A l l g e m e i n g e ­
hört demnach zur n-ten S t u f e die A b w e i c h u n g (2 n — i ) e .
Die
Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler überhaupt positiv oder über­
haupt negativ sein werde, ist je /. .
F ü r die S t u f e 1 1 ist
S = 0,2567, also schon etwas grösser als 0,250 oder die W a h r ­
scheinlichkeit derjenigen A b w e i c h u n g , die nach der positiven wie
auch nach der negativen Seite ebenso oft nicht erreicht, wie über­
schritten wird. N e h m e n wir die diesem sogenannten „wahrschein­
lichen" F e h l e r entsprechende S t u f e genauer gleich i o /
an, so
ist die G r ö s s e desselben nach beiden Seiten hin gleich (2. r o / — i ) e
oder 2 0 / e , also die Wahrscheinlichkeit, dass der beobachtete
W e r t zwischen den A b s t ä n d e n — 2 o / e und -f-2o /.,e v o m Mittel­
werte falle, gleich
l
2
-
2
:!
2
3
,
3
1
1
3
3. D i e A n w e n d u n g der obigen Tabelle lässt sich noch
leichter machen, als nach dem von Q u e t e l e t angewandten V e r ­
fahren.
W i r nehmen als Beispiel die E r g e b n i s s e der M e s s u n g
der K ö r p e r g r ö s s e von 25878 R e k r u t e n der F r e i w i l l i g e n - A r m e e
der amerikanischen Nordstaaten im J a h r e 1863. D i e M a s s e sind
in englischen Zollen a n g e g e b e n und wir nehmen an, dass jede
M e s s u n g einen Spielraum von / Zoll nach oben und nach unten
gehabt hat. W e r d e n die Grössenklassen auf 1000 bezogen, so
ergiebt sich folgende G r u p p i e r u n g :
l
i
Zahl
Zoll
unter
62'/,
(beobachtet)
4
8
Zahl (berechnet)
'5
136
403
345
93
8
—
io5
—
D e r mittlere und demnach wahrscheinlichste W e r t ist 68,20
und wir nehmen an, dass von diesem aus je 500 F ä l l e nach der
positiven und nach der negativen Seite liegen.
D e m n a c h ist die
Zahl 408 in 353 und 55 zu zerlegen und der letztere Teil fällt
noch auf die positive Seite.
Bis zu der G r e n z e von 74 /.) Zoll
finden sich dann auf dieser Seite 492 F ä l l e und 0,492 ist also die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein B e o b a c h t u n g s w e r t bis zu 74,50,.
also um 6,30 Zoll v o m Mittel abweicht. Dieser Wahrscheinlich­
keit entspricht in der Tabelle die S t u f e 38 und demnach die A b ­
weichung 75c
A u f einen Zoll k o m m e n also 7 5 : 6 , 3 0 oder 1 1 , 9
Elementarabweichungen.
D i e S t r e c k e von 68,20 bis 7 1 , 5 0 ist
gleich 3,30 Zoll, entspricht also 39,27 E l e m e n t a r a b w e i c h u n g e n
oder der S t u f e 20,13 (da, wenn x die Zahl der Elementarabvveich1
x
_i_ ,
u n g e n , die z u g e h ö r i g e S t u f e n —-:
).
F ü r diese S t u f e giebt
2
die Tabelle als Zahl der F ä l l e 399 auf 1000 und somit fallen
492
399 = 93 in die Grössenklasse von 7 1 , 5 0 bis 74,50,
Eben­
so findet man 54 F ä l l e für die S t r e c k e 68,20 bis 68,50 und d e m ­
nach 345 für die S t r e c k e 68,50—71,50 u. s. w.
Statt des arithmetischen Mittels kann man bei grossen
Beobachtungszahlen unbedenklich den von C o u r n o t s o g e n a n n ­
ten M e d i a n w e r t nehmen, nämlich denjenigen, bei welchem die der
Grösse nach geordneten F ä l l e in zwei gleiche G r u p p e n getheilt
werden. Denn wenn den B e o b a c h t u n g s g r ö s s e n überhaupt ein typi­
scher W e r t zu G r u n d e liegt, der mit der grössten Wahrscheinlichkeit
durch das arithmetische Mittel dargestellt wird, so muss dieser
ebenfalls sehr nahe in der M i t t e der nach der G r ö s s e geordneten
Einzelfälle liegen. U c b r i g e n s ist es auch gestattet, versuchsweise
zu verfahren und innerhalb der am stärksten besetzten G r ö s s e n klasse, die immer in der N ä h e der Mitte liegen muss, sich den
W e r t auszusuchen, von dem aus sich die mit der wirklichen
am besten übereinstimmende V e r t e i l u n g ergiebt, wobei auch h y p o ­
thetische A n n a h m e n über die L a g e dieses W e r t e s innerhalb der
betreffenden Grössenklasse zulässig sind.
W i r haben bisher der Einfachheit w e g e n a n g e n o m m e n , dass
die
zusammentreffenden
Elementarfehlern
sämtlich
einander
gleich seien. D i e s e A n n a h m e ist indes gar nicht n ö t i g : es g e n ü g t ,
wenn der m i t t l e r e W e r t von e gleich bleibt, also die E i n z e l ­
werte nur z u f ä l l i g e n A e n d e r u n g e n unterliegen und bei Z u -
io6 —
—
sammenfassung
nahezu
die
einer
genügend
gleiche
Summe
grossen
Zahl
derselben
herauskommt
Bei
immer
denjenigen
K o m b i n a t i o n e n von positiven und negativen Elementarfehlern, für
die nach dem o b i g e n
S c h e m a eine überhaupt
menden Wahrscheinlichkeit besteht,
sind
von
in
Betracht kom­
den positiven
wie
v o n den negativen E l e m e n t e n immer mehr als 400 als zusammen­
treffend a n g e n o m m e n , wobei die S c h w a n k u n g e n von e, w e n n sie
rein zufällig sind, schon hinlänglich a u s g e g l i c h e n werden.
Uebri-
g e n s hat die G e s a m t z a h l 9 9 9 hier und überhaupt nur die B e d e u ­
t u n g einer „grossen Zahl" und sie k a n n beliebig grösser
gedacht
werden.
4. M a n könnte
Elementarfehler
auch f r a g e n ,
der
einen
gleicher
Wahrscheinlichkeit,
können,
aber
oder kleiner
der
(feste
w a s sich
Art,
wie
oder
die
der
mittlere)
wenn
anderen,
zwar
die
mit
vorkommen
W e r t derselben
ist, als der mit dem anderen
spiel dieser A r t wäre es,
ergiebt,
etwa die positiven,
Vorzeichen.
grösser
Ein Bei­
wenn die schwarzen und weissen K u ­
g e l n zwar gleich leicht g e z o g e n werden könnten, aber verschiedenes
G e w i c h t hätten und nur noch der V e r t e i l u n g der G e w i c h t e der
in jeder
Serie
gezogenen
gleichen
Gesamtzahl
gefragt
würde.
D i e V e r t e i l u n g der E i n z e l w e r t e wird a u c h in diesem F a l l e durch
eine symmetrische K u r v e von derselben A r t wie in dem vorher­
gehenden
das
dargestellt,
Maximum
aber die grösste
Ordinate derselben,
also
der D i c h t i g k e i t der F ä l l e , entspricht nicht mehr
dem richtigen, durch die F e h l e r nicht beeinflussten W e r t e .
richtige W e r t ist
eben unter den
mehr der w a h r s c h e i n l i c h s t e ,
Dieser
g e g e b e n e n B e d i n g u n g e n nicht
er tritt überhaupt in der V e r ­
teilungskurve nicht erkennbar hervor, sondern dient nur als A u s ­
g a n g s p u n k t für die B e r e c h n u n g .
W e n n stets 2n
gleich
wahr­
scheinliche Elementarfehler zusammentreffen, von denen jeder ne­
g a t i v e die A b w e i c h u n g — e, jeder positive aber die A b w e i c h u n g
-fae
lichste
tiven
von
Fall
dem
richtigen
W e r t erzeugt,
das Zusammentreffen von
Elementarfehlern
Verschiebung
des
und
dadurch
zugehörigen
n a e—n e oder n (a— 1) e
so ist der wahrschein­
n positiven
wird,
wenn
wahrscheinlichsten
und n n e g a ­
a^>i,
Wertes
eine
um
nach der positiven Seite v o m richtigen
W e r t e ab erzeugt.
F ü r die folgenden K o m b i n a t i o n e n erhält m a n
die A b w e i c h u n g e n
vom
( n - f i)ae—(n—i)e,
richtigen W e r t nach dieser Seite
(n + 2 ) a e — (n—2)e,
hin:
(n-|-3)ae— (n—3)e
u.s. w. oder n (et—i) e + (a -f- i) e, n (a — i) e -f- 2 (a -f- i) e, n (a — i )
e - f - 3 (a + •) e - - - G e g e n ü b e r dem w a h r s c h e i n l i c h s t e n
W e r t e im D i c h t i g k e i t s m a x i m u m verschiebt sich also jeder den
folgenden K o m b i n a t i o n e n entsprechende W e r t um g l e i c h v i e l ,
nämlich jedesmal um (a-f- i ) e .
N a c h der negativen S e i t e hin er­
hält man ähnlich
n ( a — i ) e— (a-\- i)e,
n ( a - i ) e — 2 ( a - f ))e,
n ( a - i) e — 3 ( a - | - i ) e u. s. w.; auch hier entspricht also jede wei­
tere K o m b i n a t i o n der gleichen V e r s c h i e b u n g — ( a - f - i ) e v o m
D i c h t i g k e i t s m a x i m u m aus. D i e Wahrscheinlichkeiten der einzelnen
K o m b i n a t i o n e n sind sämtlich dieselben, wie bei der G l e i c h w e r t i g ­
keit der positiven und negativen Elementarfehler, und da diese
Wahrscheinlichkeiten als Ordinaten in gleichen A b s t ä n d e n aufzu­
tragen sind, so unterscheidet sich diese K u r v e von der dem frühe­
ren Fall entsprechenden in ihrer F o r m nur durch die Verschieden­
heit des Elementarabstandes, indem sie, wenn a ] > i flacher g e ­
streckt, d a g e g e n , wenn a < ^ i , in der M i t t e höher g e w ö l b t er­
scheint; ihre gesamte L a g e aber ist durch die V e r s c h i e b u n g der
grössten Ordinate geändert.
u
s
w
5. N i m m t man an, dass statt 999 eine weit grössere Zahl,
e t w a das V i e l f a c h e 999 v, gleicher Elementarfehler mit gleicher
Wahrscheinlichkeit für die positiven und negativen zusammen­
treffen, so bleibt die G a t t u n g der mit den Wahrscheinlichkeiten
der einzelnen K o m b i n a t i o n e n als Ordinaten gebildeten K u r v e un­
verändert; es steigt nur die Zahl der Stufen, die auf eine gleiche
verhältnismässige A b w e i c h u n g von der wahrscheinlichsten K o m ­
bination entfällt. D i e a n g e n o m m e n e G e s a m t z a h l der zusammen­
treffenden Elementarfehler entspricht der Zahl der Z ü g e bei einer
Versuchsreihe an einer U r n e mit gleich vielen schwarzen und
weissen K u g e l n .
Bei 999 Z ü g e n besteht nach einem bekannten
S a t z der Wahrscheinlichkeitsrechnung die Wahrscheinlichkeit ' /
dafür, dass das Verhältnis der gezogenen schwarzen K u g e l n zu
der G e s a m t z a h l der Z ü g e zwischen den G r e n z e n 0,500 — 0,477
?
1 / — — und 0,500 4- 0,47 7 1 / — ' — liegen w e r d e ) .
F 2-999
^
\ 2-999
1
1
D
i) Das
wahrscheinlichste Verhältnis
D i e wahr-
kann bei 99g Zügen natürlich nicht
1000
genau herauskommen, sondern man
500
schwarze K u g e l n auf 9 9 9
gerade
nimmt,
so
erhält
das
muss von
Züge ausgehen.
mittlere Glied
dem
nur wenig verschiedenen Verhältnis
W e n n man
als
die
Gesamtzahl
der
Stufe o eine isolierte Stellung
Züge
und
—
io8 —
scheinlichste A b w e i c h u n g ist also nach jeder S e i t e gleich 10,67
Tausendstel oder 10,66 ogostel.
Diese Zahl der gaostel aber
giebt die S t u f e n n u m m e r der wahrscheinlichen A b w e i c h ­
ungsart jeder Seite an, denn jede von der wahrscheinlichsten
ausgehende K o m b i n a t i o n entfernt sich um / , von dem wahr­
scheinlichsten Verhältnis. Dieses E r g e b n i s stimmt auch g e n ü g e n d
mit der aus der obigen Tabelle unmittelbar ersichtlichen S t u f e n ­
nummer der wahrscheinlichen A b w e i c h u n g der s nach der posi­
tiven Seite überein.
Ist aber die Zahl der Z ü g e — oder die
G e s a m t z a h l der Elementarfehler — 999 v, so wird die wahrschein1
9 m
liehe A b w e i c h u n g nach jeder Seite 0,477 I/
~~ oder 0,01067
(/2-999 v
j/^
. W i r d dieser B r u c h auf einen solchen mit dem N e n n e r 999 v
gebracht, so erhält man als dessen Zähler 1 o,66 \' v und dies ist
die S t u f e n n u m m e r der wahrscheinlichen
Zügen.
A b w e i c h u n g bei 999 v
U e b e r h a u p t ist hieraus leicht ersichtlich, dass bei den
Gesamtzahlen z u n d z' der Elementarfehler — vorausgesetzt, dass
z und z' beide g r o s s e Zahlen sind — die S t u f e n n u m m e r n n und
n' der zugehörigen gleichen wahrscheinlichen A b w e i c h u n g e n in den
betreffenden
Binomialtabellen im Verhältnis von i 7. : ]^z'
stehen.
Ist nun eine B e o b a c h t u n g s g r ö s s e in zahlreichen E x e m p l a r e n nach
irgend einer Einheit gemessen
Einheit
ausgedrückte
werte vom M i t t e l ,
z
worden
wahrscheinliche
so ergiebt
sich
und ist r die in dieser
A b w e i c h u n g der E i n z e l ­
der Elementarfehler,
wenn
und z' gerade sind, bei A n w e n d u n g ' der Tabelle der z
r
,
r Vz
gleich — , nach der Tabelle der z aber gleich —- —. D e r E l e 2n \z
mentarfehler ändert sich also bei A n w e n d u n g einer anderen
man kann die ganze R e i h e nicht mehr in zwei Teile mit ganz gleichen Gliedern zer­
Tabelle
im umgekehrten Verhältnis, wie die Stufennummern, die
legen.
Die kleinen Unbequemlichkeiten in beiden Fällen verschwinden übrigens um
in
den
Tabellen
einerdie AGesamtzahl
b w e i c h uder
n g Zvon
gleicher Wwird.
ahrscheinlich­
so vollständiger, je grösser
ü g e angenommen
keit entsprechen. Bei ungeraden z k o m m t 2n — 1 statt 211 in den
Nenner, jedoch verschwindet der dadurch in d e m A u s d r u c k des
Elementarfehlers entstehende Unterschied von d e m vorigen u m
so mehr, je grösser n wird.
A u s diesem G r u n d e empfiehlt es
2 n
iog
—
—
sich auch, statt der wahrscheinlichen A b w e i c h u n g eine grössere
und mit grösserer Wahrscheinlichkeit, z. B . 0,9, nicht überschrittene
der B e r e c h n u n g von e zu G r u n d e zu legen, da dann auch
ein
grosse- res n zur A n w e n d u n g kommt.
6. M a n kann nun auch die Zahl der zusammentreffenden
mentarfehler
als unendlich
gross annehmen,
Ele­
wobei der einzelne
Elementarfehler unendlich klein wird. M a n erhält dann als G r e n z 2
fall die Tabelle
grals
mit
den
eines mit
multiplizierten
Grenzen o und
A n h a n g beigefügt ist.
u, die
bestimmten
Inte-
in abgekürzter F o r m im
W e i t e r e s über diese Punktion findet m a n
in der folgenden A b h a n d l u n g .
W i r bezeichnen sie mit F „ , weil
u das A r g u m e n t ist,
man in die Tabelle eingeht.
mit
dem
Es
entspricht der S t u f e n u m m e r in der Binomialtabelle, F „ selbst aber
ist
mit den verdoppelten
Werten S
zu
vergleichen.
D e n n die
letzteren bezeichnen die Wahrscheinlichkeiten der bis zu den be­
treffenden
Stufennummern
gehenden
Abweichungen
von
der
wahrscheinlichsten K o m b i n a t i o n nur nach einer Seite hin, während
die F „ die
Wahrscheinlichkeiten angeben, dass die F e h l e r oder
Abweichungen
zwischen
Grenzen liegen.
den
durch
—u
und - j - u
bestimmten
E i n e V e r g l e i c h u n g der W e r t e von 2 S und F „
ergiebt sofort eine bestimmte B e z i e h u n g zwischen ihnen und dem
zugehörigen u.
S o hat man, wenn n die S t u f e n n u m m e r bezeich­
net, als dem W e r t e
von 2 S jedesmal
zunächst liegenden
von F „ und dem entsprechenden zweistelligen
n
2S
F„
1
2
0,0505
0,1007
0,1505
0,1998
0,2483
0,2958
0,0451
0,1013
3
4
5
b
7
8
9
2 2
o,34
0,3873
0,4310
Wie
o,i459
0,2009
0,2443
0,2974
0,3389
0,3893
0,4284
man sieht,
n
11
0,04
0,09
0,13
0,18
0,22
0,27
0,31
0,36
0,40
2S
10
11
I 2
2
15
20
30
40
5°
60
entsprechen
F„
0,473"
o,5'3<>
o,55 3
o.'>575
o,7943
0,9424
0,9887
0,9985
0,99985
Werte
u:
o,4755
°>5" '7
o,5465
0,656b
0,7918
0,9419
0,9886
0,9985
0,99985
u
0,45
0,49
0,53
0,67
0,89
i,34
1.79
1,80
2,68
jeder S t u f e der n sehr
nahe
4,5 Stufen in der R e i h e der u, wenn diese nur mit 2 D e z i m a l ­
stellen a u s g e d r ü c k t werden.
In der F u n k t i o n F „ ist u für das
P r o d u k t h x eingesetzt, in dem x die in irgend einer Masseinheit
ausgedrückte
darstellt,
Abweichung
die mit der
von
dem
wahrscheinlichsten
Werte
g e g e b e n e n Wahrscheinlichkeit F „ eintritt,
I I O
und
h die von der A r t der G r ö s s e n b e s t i m m u n g und der M a s s ­
einheit a b h ä n g e n d e P r ä c i s i o n der Einzelwerte bezeichnet.
nach ist h = —
und muss für alle zusammengehörende
Dem­
Werte
von n und x gleich sein. S u c h t man dieselbe W a h r s c h e i n l i c h k e i t
in der Tabelle der 2 S , so muss ihr die gleiche A b w e i c h u n g x
entsprechen. Ist die z u g e h ö r i g e S t u f e n n u m m e r in dieser T a b e l l e
n, so ist der Elementarfehler ——
n sehr
nahe
••i
annähernd
; n aber ist
, . ,
gleich
loou
oder bei g e n ü g e n d grossem
nach der obigen
, ,
,
und demnach e =
Vergleichung
0,045
, .
— u n d h=
4.5
0,045
2h
2e
D e r Elementarfehler nach der Binomialtabelle ist also der P r ä ­
cision nach der Tabelle der F sehr nahe u m g e k e h r t proportional.
7. M a c h t man eine A n w e n d u n g auf das obige Beispiel in
betreff der amerikanischen Soldaten, so entspricht der S t u f e 38
mit der A b w e i c h u n g von 6,30 Zoll, die in der Binomialtabelle
bei B e r ü c k s i c h t i g u n g der positiven und der negativen Seite mit
der Wahrscheinlichkeit 2 x 0,0492 = 0,0984 erscheint, in der
Tabelle der F „ der W e r t u = 0,045 X 38 = 1,7 1 und diesem wieder
die Wahrscheinlichkeit F „ = 0,9844, fast g e n a u mit der ersteren
übereinstimmend.
M a n erhält ferner h = — = —
= 0,2714
x
6,30
' ^
u
und
daraus z. B . für x =
scheinlichkeit
Mittelwert
F
u
3,30 Zoll u =
rr= 0,795 gehört.
68,20 bis zum W e r t
wozu die W a h r ­
o,8q, ,
i6
A u f die positive
von
7 1 , 5 0 Zoll
Seite
vom
kommen
also
nach der B e r e c h n u n g 397 F ä l l e , auf die S t r e c k e 7 1 , 5 0 bis 74,50
demnach 95 F ä l l e g e g e n 96 nach der B e o b a c h t u n g .
D e n k t m a n sich statt der obigen
Binomialtabelle mit der
Gesamtfehlerzahl 999 eine solche mit der G e s a m t z a h l G =
999 v,
so sind nach dem oben G e s a g t e n die den gleichen W a h r s c h e i n ­
lichkeiten entsprechenden Stufenzahlen n und n' in diesen Tabellen
durch die G l e i c h u n g n' =
n Vv verbunden.
V e r g l e i c h t man nun
die zweite Tabelle mit der der F , so k o m m e n
u
der n' nicht mehr 4.5, sondern nur
,.
.
daher allgemein
n
. . .
0,045 '
gleich — W i
auf eine S t u f e
S t u f e n der u und u ist
r
d
1
y v = 4,5, also v =
20,25,
111
so ist einfach n' =
Tabellen
gleich
ioou,
die Stufenzahl ist dann in den beiden-
und sie fallen überhaupt fast g e n a u zusammen.
W i r d j/v noch grösser, so muss die Tabelle der F „ für die dreioder mehrstelligen
u berechnet werden,
wodurch die Stufenzahl
derselben beliebig erhöht werden kann.
D i e Tabelle der F „ lässt
sich übrigens auch
unabhängig
von der H y p o t h e s e des Zusammentreffens einer grossen Zahl v o n
durchschnittlich
bei
grossen
gleichen
Beobachtungszahlen
Wahrscheinlichkeit des
des
Ziehens
Fehlerelementen
einer
auch
Ziehens einer
weissen
w e g e n dieser allgemeinen
ableiten
für den
und
gilt
dass
die
schwarzen K u g e l von
der
verschieden
sei.
Fall,
sie
Sie
ist
demnach
B e d e u t u n g der Binomialtabelle
vorzu­
ziehen.
8. M a n kann nun nicht nur räumliche Grössen, wie K ö r p e r ­
masse, sondern
untersuchen
wenn
auch Zeitstrecken
auf ihren
und es ist oben schon
typischen
Charakter
worden,
dass man,
erwähnt
auch nicht für alle M e n s c h e n , so doch für eine
als die „normale" bezeichnete G r u p p e mit g e n ü g e n d e r
gewisse,
Sicherheit
eine typische L e b e n s d a u e r nachweisen kann, also eine solche, die
von der N a t u r in allen F ä l l e n gewissermassen
erstrebt,
aber nur
mit zufälligen, dem theoretischen Fehlergesetz folgenden A b w e i c h ­
u n g e n erreicht wird.
festen
M a n denke sich, j e m a n d werfe von einem
S t a n d p u n k t aus K u g e l n nach einem
entfernten P u n k t e .
nur ausnahmsweise fällt eine K u g e l
in der beabsichtigten E n t f e r n u n g nieder,
sich doch in der N ä h e des Zieles am stärksten
nügend
oder mehr F u s s
S e i n e Geschicklichkeit — die Präcision seines
W e r f e n s — ist nur massig,
genau
70
grosser
Zahl verteilen
nach dem Fehlergesetz.
sie
aber sie häufen
an und bei
sich um dasselbe
E i n e n Teil der
sich
ihm
ge­
annähernd
darbietenden
K u g e l n findet der Schleuderer gänzlich u n g e e i g n e t zu dem V e r ­
suche
u n d er wirft
sie
einfach vor sich h i n ; ein
anderer Teil
wird durch irgend welche Hindernisse im F l u g e aufgehalten und
diese K u g e l n bilden auf der S t r e c k e zwischen
1 0 und 55 bis 60
F u s s E n t f e r n u n g eine ziemlich gleichmässige, sich nur w e n i g ver­
stärkende Schicht, die dann weiter
bei U e b e r l a g e r u n g des A u s ­
läufers der ersten G r u p p e rasch auskeilt.
D a s ist u n g e f ä h r ein
Bild der A r t , wie sich die Sterbefälle einer in ihrem A b s t e r b e n
verfolgten Generation auf die einjährigen Altersklassen
verteilen,
wenn jede durch eine S t r e c k e v o n einem F u s s dargestellt wird.
112
—
I n den für verschiedene L ä n d e r aufgestellten Sterbetafeln tritt
diese V e r t e i l u n g mehr oder weniger deutlich hervor. E i n e sehr
g u t e U e b e r e i n s t i m m u n g mit der Theorie zeigt z. B . die Tabelle
für F r a n k r e i c h in der von Q u e t e l e t herausgegebenen S a m m l u n g
„ T a b l e s de Mortalite" (Bruxelles 1872).
V o n 500 G e b o r e n e n )
starben in den angegebenen Altersstrecken nach der Tabelle und
nach der Theorie
1
M ä nner
Alter
F rauen
Tabelle
Tabelle
Theorie
4°—45
45—50
'S
16
—
(2)
40—45
14
—
45 — 5 °
>5
(2)
50—55
55—60
60-65
19
24
32
'4>
(12)
(24)
50-55
'8
(7)
55—60
23
(16)
60—65
31
28
65 — "0
38
37
65 — 70
70—72
39
r7
40
18
20
21
72—75
75-80
80 — 85
85—90
27
38
26
14
27
38
26
r
ü b e r 90
7
8
72 — 7 2 '
2
2
73',2 — 7 5
Tli< o r i e
0
2
1
75—8°
38
37
80—85
26
24
85—90
12
12
.Normalalter:
7
2
über 9 0
4
6
Präcision: 0 , 0 7 6 |aus 7 2 ' / — 8 0 ) .
Wahrscheinliche A b w e i c h u n g :
+ 6 , 2 7 5 J a h r e ; oben und unten
je 5 0 Fülle, was z.utrifft.
Normalgruppe : 2 0 0 Fälle — 4 O , o ° /
der Generation.
Alter
4
Normalalter: 7 2 .
Präcision: 0 , 0 7 1 (aus 7 2 — 8 0 ) .
Wahrscheinliche A b w e i c h u n g :
+ 6 , 7 2 J a h r e : beobachtete aufwärts
5 5 , abwärts 5 6 Fälle statt je 5 6 ,
1
2
Normalgruppe: 2 2 4 Fälle =
der Generation.
0
44,8°/
0
D a s Normalalter ist in der am dichtesten besetzten fünf­
jährigen Altersstrecke, also der von 70—75 Jahren, anzunehmen,
j e d o c h nicht durch eine Interpolation, sondern durch S c h ä t z u n g
mit R ü c k s i c h t auf die B e s e t z u n g der beiden Nachbarstrecken zu
bestimmen, unter U m s t ä n d e n auch durch Versuche, bis sich die
beste U e b e r e i n s t i m m u n g zwischen der beobachteten und der theoi) V e r g l .
meine Schrift
„ Z u r Theorie
der Massenerscheinungen
in der mensch­
lichen Gesellschaft" (Freiburg 1 8 7 7 ) , S . 5 1 . V o n der Theorie des Normalalters
bei Q u e t e l e t
kommt
selbst nichts vor, die angeführte Sammlung enthält lediglich die Tabellen,
mit deren Zahlen ich die von mir theoretisch abgeleiteten Zahlen verglichen habe.
erwähne
dies mit Rücksicht auf
matische
Statistik
in
Bevölkerungstheorie
X I I I . Jahrgang),
in
die
allgemeinerer
Entwickelung
von E . O e k i n g h a u s ,
und
Ausdehnung
(Teschen 1 9 0 2 , aus den Monatsheften
der
S.
306,
Quetelet'schen Sammlung berechneten
irrtümlicherweise
Abhandlung
Quetelet
die
von
mir
nach
auf
Die
die
für Mathematik und
den
zugeschrieben
sind.
formale
Physik,
Sterblichkeitstabellen
Ziffern des Normalalters für verschiedene
Ich
mathe­
der
Länder
retischen V e r t e i l u n g ergiebt.
die
Strecken
besetzt
Mitte
und wir nehmen
der S t r e c k e v o n
Zwischen 7 2 y
Seite
In der T a b e l l e für die M ä n n e r sind
6 5 — 7 0 und 7 5 — 8 0
2
gleich stark,
nämlich mit 3 8
daher das Normalalter gerade
in der
1
7 0 — 7 5 Jahren,
also zu 7 2 / J a h r e n an.
8
und 80 J a h r e n liegen 5 8 und im ganzen auf der
der positiven
Abweichungen
100 Fälle.
D e m n a c h ist
die
1
empirische Wahrscheinlichkeit einer A b w e i c h u n g bis zu + 7 / J a h r e n
2
g l e i c h 0.580.
Dieser W e r t ist in der Tabelle des F „ aufzusuchen
und es entspricht ihm u = o . 5 7 = h x .
D a x die absolute in der
gegebenen
Masseinheit — hier dem J a h r e — a u s g e d r ü c k t e A b ­
weichung,
in
h —0.076.
dem
vorliegendem
1
F a l l e 7 / , ist, so
2
M i t H ü l f e dieser Präcision
retische Wahrscheinlichkeit für jede A b w e i c h u n g x
Seiten
des Normalalters leicht berechnen.
sprechend
=
also
u entspricht F
4 2 zwischen
x
von 70 — 7 2 /
scheinliche
sich
nach beiden
1
Für x =
2 / ,
2
ent­
der A l t e r s g r e n z e 7 5 oder 70, hat man 2 . 5 X 0 . 0 7 6 =
0 . 1 9 0 und diesem
werden
ergiebt
lässt sich nun die theo­
1
und von J2 / —75
2
1
/
=
0.212.
liegen.
i
A b w e i c h u n g ist
der Wahrscheinlichkeit
u
den G r e n z e n 70 — 7 5
die, w e l c h e
200 F ä l l e n
und zwar j e 2 1
D i e sogenannte wahr­
nach beiden Seiten mit
ist also F =
0.500,
d e m n a c h u —- 0.4769 = 0.076 X x , also das z u g e h ö r i g e x =
6.275.
2
auftritt.
Von
u
F ü r sie
u
B e i der Tabelle für die F r a u e n wird die U e b e r e i n s t i m m u n g
mit der Theorie
der
etwas
besser,
M i t t e der S t r e c k e v o n
zurückschiebt.
wenn
m a n das Normalalter aus
7 0 — 7 5 Jahren
um
ein halbes J a h r
U e b e r h a u p t w i r d m a n darauf verzichten
das Normalalter genauer,
als mit
müssen,
einer Unsicherheit von
einem
halben J a h r zu schätzen.
I m übrigen sieht man, dass die N o r m a l g r u p p e (deren S t ä r k e
m a n durch V e r d o p p e l u n g der über das Normalalter hinausgehen­
den F ä l l e erhält) bei den F r a u e n früher aus der U e b e r l a g e r u n g
durch die vorzeitigen Sterbefälle heraustritt als bei den M ä n n e r n ,
w e n n a u c h die
weibliche A l t e r s g r u p p e von 6 0 — 6 5
J a h r e n noch
etwas stärker ist als der auf sie fallende T e i l der N o r m a l g r u p p e .
9. I m zweiten B a n d e des Bulletin
de l'Institut international
de statistique ( A n n e e 1 8 8 7 , p. 264ss.) sind einer A b h a n d l u n g v o n
Bodio
nach
graphische
den
für
g e g e b e n , die
sprechen,
Darstellungen der V e r t e i l u n g der Sterbefälle
mehrere
der obigen
obwohl
in
den
Länder
Theorie
aufgestellten
in befriedigender
Tabellen
I . e x i s , Bev5\kerungs- u. Moralstatistik.
Sterbetafeln
beide
bei­
Weise
ent­
Geschlechter
zu-
8
—
sammengefasst
sind.
ii
—
4
E s mögen
hier noch einige
Tafeln berechnete Beispiele folgen.
nach
diesen
D i e Zahlen sind hier auf eine
Generation v o n i o o o reduziert.
Frankreich
(1880—82)
Tabelle
Alter
Theorie
Aeltere Tabelle
45—50
35
<(IQ]
50—55
55-60
60—65
41
50
(30)
31
37
47
63
(54)
63
65—70
76
78
70—72 /.,
43
44
77
42
72'/,-75
75-80
43
79
58
28
44
78
42
76
54
30
54
26
17
19
11
1
80-85
85—90
über 9 0
U n t e r der R u b r i k „ältere Tabelle" sind die beiden oben
nach Q u e t e l e t angeführten Tabellen für M ä n n e r und F r a u e n
zusammengefasst. D i e Sterblichkeit der späteren Periode hat hier­
nach im g a n z e n denselben Charakter wie die der früheren.
D a s Normalalter ist nach der neuen Tabelle für beide G e ­
x
schlechter 7 2 /
2
Jahre.
1
D i e Präcision: 0.070 (aus 72 /,,—80 abgeleitet).
Wahrscheinliche A b w e i c h u n g : 6.81 J a h r e (0.4769:0.070).
N o r m a l g r u p p e : 2 X 2 2 5 = 45.0 Prozent der Generation.
G e s t o r b e n e bis zum A l t e r von 1 0 J a h r e n 27.6 Proz. der
Generation,
M i t t e l g r u p p e 27.4 Proz. der Generation.
D i e N o r m a l g r u p p e hat also etwas z u g e n o m m e n , ebenso die
B e s e t z u n g der höchsten Altersklassen, wozu auch die V e r m i n d e ­
r u n g der Präcision beigetragen hat.
( S i e h e T a b e l l e S . 115.)
Die
E r g e b n i s s e für B e l g i e n
weichen
von
den
in
meiner
Schrift „ Z u r Theorie der Massenerscheinungen" (S. 46) nach der
älteren Q u e t e l e t ' s c h e n Tabelle berechneten nicht unerheblich ab.
N a m e n t l i c h stellte
sich nach dieser das Normalalter der M ä n n e r
a u f 67 Jahre, das der F r a u e n allerdings wie hier auf 7 2 ' / 2 J a h r e ,
jedoch
mit
einer
nur
38.2 °
( 0
starken
Normalgruppe.
F ü r die
S c h w e i z (1881 - 8 3 )
Belgien (l88l - 8 3 )
Alter
Tabelle
Theorie
45-50
38
50-55
55—60
60-65
44
54
68
—
—
—
65—70
80
/0—7 2 7,
-
45
72 7 , - 7 5
75-80
80-85
85—90
über 9 0
Alter
45—50
/(I7l
»V / 1
1
50—55
55—60
(29)
(55)
5'
(41)
—
80
76
86
45
—
—
—
—
—
90
92
45
80
60
29
12
45
80
70—75
75-80
80-85
85—90
über 9 0
55
29
17
0
ergab
die
M ä n n e r 70, u n d 69 V
Tabelle
45—50
2
0
0
Theorie
62
—
—
7«
65—70
70—72
7'
29
—
—
—
72—75
75-80
80-85
85-90
über 9 0
43
66
45
64
39
18
—
60—65
65—70
69
77
—
78
62
38
"9
9
Normalalter: 7 0 Jahre.
Präcision: 0 , 0 7 0 1 (aus 7 0 — 8 0 ) ,
Wahrscheinliche A b w e i c h u n g : 6 , 8 0
Jahre.
Normaigruppe: 4 1 , 2 ° / , , .
Gestorbene von o — i o j a h r e n : 3 5 , l ° / Mittelgruppe: 2 3 , 7 % .
0
älteren
Tabelle
34
45
53
(38)
8
Alter
50—55
55—60
60—65
—
der
Normalalter: 7 0 J a h r e n .
Präcision: 0 , 0 7 4 (aus 7 0 — 8 0 ) .
Wahrscheinliche A b w e i c h u n g : 6 , 4 5
Jahre.
Normalgruppe: 46,2°/,,.
Gestorben von o — 1 0 J a h r e n 2 7 , 9 / ,
Mittelgruppe: 26,9°/o-
30
—
—
5
45—50
50—55
55—60
79
61
40
18
4'
18
8
Italien ( 1881 — 83)
Theorie
(9)
(19)
—
7"
73
45
18
B e r e c h n u n g (1. c. S . 53) für die
J a h r e für die F r a u e n als Normalalter.
33
45
56
70—75
75—80
80-85
85—90
über 9 0
92
frühere
Preussen ( 1 8 8 1 - -83)
Aus
(8)
(18)
60—65
65—70
s
Alter
Theorie
40
47
—
Normalalter: 7 2 7 , J a h r .
Präcision: 0 , 0 7 1 7 (aus 7 2 7 — 8 0 ) .
Wahrscheinliche A b w e i c h u n g : 6 , 6 5
Jahre.
Normalgruppe: 4 5 , 2 ° / , , .
Gestorben von o — 1 0 J a h r e n 2 6 , 8 ° / .
Mittelgruppe: 2 8 , 0 % .
Schweiz
Tabelle
38
20
7
\(\i1
(23)
(43)
—
67
30
8
Normalalter: 7 2 J a h r e .
Präcision: 0 , 0 7 8 2 (aus 7 2 — 8 0 ) .
Wahrscheinliche A b w e i c h u n g : 6 , i o
Jahre.
Normalgruppe: 3 4 , 6 ° / , , .
Gestorbene von o— 1 o J a h r e n : 4 0 , 9 ° / , , .
Mittelgruppe: 2 4 , 5 , .
Ü
0
B o e c k h ' s c h e n Tabelle e r g a b sich (1. c.
S . 59) für Preussen als Normalalter der M ä n n e r 70, als das d e r
F r a u e n 71 Jahre, die N o r m a l g r u p p e aber betrug für die ersteren
nur 3 3 . 8 % , für die letzteren nur 36.0°/o der Generation.
8*
Die
ji6
—
für
die J a h r e
Handbuch
1 8 9 0 und
für den
1 8 9 1 berechnete
preuss.
Tabelle
(Statistisches
Staat, B d . I I I , S . 1 9 3 ) weist für die
Altersklassen von mehr als 65 J a h r e n folgende Zahlen auf:
65—70.-- 7 1 ; - - 7 5 - - -80.—85.--90.
16;
78
69
43
65
15
80
16
67
67
38
>7;
M ä n n e r : Tabelle:
Theorie:
Tabelle:
Theorie:
Frauen:
65—70.88
84
48;
49;
über 9 0
3
7
—75- - 8 0 . - 8 5 —90.
21
48
85
55
22
49
84
51
1,
90
6
„
9
„
D a s Normalalter sowohl wie die N o r m a l g r u p p e hat also für
beide Geschleehter im V e r g l e i c h mit den
älteren Tabellen merk­
lich z u g e n o m m e n .
D i e Zahl der im A l t e r von o — 1 0 J a h r e n g e ­
storbenen
betrug
Knaben
indes n o c h
immer
34.6 °/o, die
der
M ä d c h e n 3 1 . 0 °/o der Generation.
I n der Tabelle für Italien fällt bei
hohen
auf,
Normalalter der
der hauptsächlich
niedrige
durch
die
einem
Prozentsatz
der
ungewöhnlich
verhältnismässig
Normalgruppe
grosse
Kinder­
sterblichkeit verursacht wird.
Norwegen
Alter
(1881—82)
Tabelle
45—5°
50—55
55-60
60—65
65—70
31
39
52
71
84
70—75
75-78
85
55
78—80
80—85
85—90
über 9 0
37
85
54
Schweden (1881 - 8 2 )
Alter
Theorie
Tabelle
45 — 5 0
32
50—55
55—60
60—65
39
48
64
65—70
81
70—75
95
75—80
80-85
85—90
über 9 0
94
78
45
16
Theorie
J( o)
4
73
99
99
73
40
21
22
Normalalter: 7 8 J a h r e .
Präcision: 0 , 0 8 7 7 (
78—85).
Wahrscheinliche A b w e i c h u n g : 5,44
Jahre.
Normalgruppe: 3 9 , 6 ° / .
Gestorbene von o — 1 o J ahren: 1 9 , 7 % .
Mittelgruppe: 4 0 , 7 ' / , , .
a u s
0
Normalalter: 7 5 Jahre.
Präcision: 0 , 0 7 9 3 (
75—85).
Wahrscheinliche A b w e i c h u n g : 6,01
Jahre.
Normalgruppe: 46,6°/,,.
Gestorbenevono — 1 0 J a h r e n : 25,5°/ .
Mittelgruppe: 27,9°/,,.
a u s
0
D i e U e b e r e i n s t i m m u n g der berechneten mit den beobachteten
Zahlen ist
bei
diesen beiden
nach den
in meiner
Tabellen weniger
befriedigend
als
früheren Schrift (S. 5 2 und S . 5 7 ) für die­
selben S t a a t e n angeführten B e r e c h n u n g e n .
B e i diesen e r g a b sich
für N o r w e g e n als Normalalter der M ä n n e r 7 4 , als das der F r a u e n
75 Jahre und für Schweden waren die entsprechenden Zahlen 7 2
und 7 5 Jahre.
Die Langlebigkeit in Norwegen scheint sich nach dieser
neueren Tabelle noch bedeutend gesteigert zu haben. Die Normalgruppe ist allerdings nicht sehr stark besetzt, die Mittelgruppe
aber ist nicht nur ausserordentlich gross, sondern sie schiebt sich
auch in die hohen Altersklassen hinauf, die in den anderen
Ländern ausschliesslich der Normal gruppe vorbehalten sind.
10. Dass manchmal grössere Abweichungen zwischen der
Theorie und der Beobachtung vorkommen, kann nicht auffallen,
denn, abgesehen davon, dass in den obigen Fällen die Zahlen für
die beiden Geschlechter nicht auseinander gehalten sind, ist auch
zu beachten, dass die Absterbeordnungen, aus denen die Ver­
teilung der Sterbefälle abgeleitet wird, nicht durch Verfolgung
des Absterbens einer wirklichen Generation gewonnen, sondern
nur Erzeugnisse der Rechnung sind, indem die für eine bestimmte
Zeit gefundenen Sterbenswahrscheinlichkeiten auf eine hypothetische
Generation angewandt werden. Ueberdies werden die auf solche
Art berechneten Tabellen meistens noch Ausgleichungen nach
verschiedenen Methoden unterworfen, die die etwa vorhan­
dene Verteilung der Sterbefälle der höheren Altersklassen nach
dem Fehlergesetz mehr oder weniger verwischen können. Zur
unmittelbaren Beobachtung dieser Verteilung werden sich nach
der Hermann'schen Methode aufgestellte Absterbeordnungen
besser eignen als die nach der sogenannten direkten Methode
berechneten. Da die Statistik der Sterbefälle in den meisten
Staaten 5 0 und mehr Jahre zurückreicht, so wäre fast überall das
Material vorhanden, um das Absterben mehrerer Jahresgenerationen
etwa vom 60. Lebensjahre ab mittelst der zusammengehörenden
dritten Hauptgesamtheiten von Verstorbenen darzustellen und mit
der Theorie zu vergleichen. Die Grösse der Normalgruppe in
Prozent der ursprünglichen Generation lässt sich allerdings auf
diese Art nicht bestimmen. Ein Beispiel einer solchen partiellen
Absterbeordnung findet sich a. a. O. S. 5 5 für Bayern und die
Rechnung stimmt befriedigend mit der Beobachtung überein.
Die Bedeutung der oben angeführten charakteristischen
Zahlen für die Beurteilung der Sterblichkeitsverhältnisse eines
Landes ist leicht zu erkennen. Diese Verhältnisse sind um so
günstiger, 1) je höher das Normalalter und 2) je stärker die
—
118
—
N o r m a l g r u p p e ist, und bei hohem Normalalter — etwa bei einem
solchen von mehr als 75 J a h r e n
— kann
K r i t e r i u m hinzufügen: j e grösser
man noch als drittes
die Präcision, d. h. j e
die wahrscheinliche A b w e i c h u n g v o m Normalalter ist.
E x i s t e n z einer grossen
die
Gesellschaft
noch
kleiner
D e n n die
Zahl v o n N e u n z i g j ä h r i g e n ist weder für
für die
Volkswirtschaft
ein
Vorteil.
In
keinem L a n d e sind diese drei B e d i n g u n g e n bisher so g u t erfüllt
wie in N o r w e g e n .
D a s s ferner eine g e r i n g e Kindersterblichkeit ein
Symptom
sichten
bildet, ist
ist
selbstverständlich.
das A l t e r v o n
10 Jahren
I n den
günstiges
obigen
als G r e n z e der
Ueber-
Kindheits­
periode a n g e n o m m e n , weil d u r c h w e g in den nächsten J a h r e n das
M i n i m u m der Dichtigkeit der Sterbefälle eintritt.
ist
ferner,
dass
die
M i t t e l g r u p p e die
Sterbefälle in einem
nach
dem
45.
Jahre,
verhältnismässig
erlange
Normalalter möglichst nahe
und
Wünschenswert
Dichtigkeit
ihrer
vorgerückten A l t e r ,
etwa
mit
komme.
zeigt sich N o r w e g e n als besonders
11.
grösste
ihren
Ausläufern
dem
A u c h in dieser B e z i e h u n g
begünstigt.
Z u r A u f s t e l l u n g der obigen Kriterien ist übrigens g a r
keine längere R e c h n u n g erforderlich, sondern sie lässt sich g a n z
einfach
findet
und summarisch ausführen.
der die Sterbefälle sich am
ist
I n jeder
Absterbeordnung
m a n sofort unter den höheren Altersklassen
dann auch immer
diejenige,
in
dichtesten zusammendrängen, und es
leicht,
mit
B e r ü c k s i c h t i g u n g der
beiden
Nachbarklassen bis auf ein halbes J a h r das Normalalter zu schätzen.
D i e V e r d o p p e l u n g der über dieses Normalalter
Sterbefälle ergiebt
hinausliegenden
weiter die N o r m a l g r u p p e und endlich
findet
man durch A b z ä h l u n g und S c h ä t z u n g auch leicht das A l t e r , bis
zu welchem die H ä l f t e dieser Sterbefälle, v o m Normalalter auf­
wärts gerechnet, erfolgt ist, also die wahrscheinliche A b w e i c h u n g .
Ist die g a n z e A b s t e r b e o r d n u n g g e g e b e n , so erhält man ohne
weiteres die G r u p p e der Gestorbenen von o — 1 0 Jahren und dann
auch
die
letzteren
Mittelgruppe.
empfiehlt
Z u r näheren
es sich
Charakterisierung
noch anzugeben,
dieser
wie gross der T e i l
derselben ist, der nach dem 45. J a h r e gestorben ist und d e m n a c h
die N o r m a l g r u p p e überlagert.
M a n könnte
überhaupt
diese M i t t e l g r u p p e , wie
K i n d h e i t s g r u p p e aus verschiedenen
pen zusammengesetzt
denken,
auch
die
übereinander liegenden G r u p ­
von denen jede ein
Dichtigkeits-
—
i ig
—
m a x i m u m hätte und sich nach dem Fehlergesetz oder auch nach
einer anderen F o r m e l verteilte.
S o hat Prof. P e a r s o n die S t e r b ­
lichkeit der männlichen E n g l ä n d e r dargestellt, w o er verschiedene,
teils symmetrische, teils unsymmetrische D i c h t i g k e i t s k u r v e n der
Sterbefälle
übereinanderlegt,
1
A l t e r von 7 1 7 2 .
Jahres
4 »
2 2
72>
deren
D i e h t i g k e i t s m a x i m a sich
3 Jahren und im A n f a n g
im
des ersten
befinden.
E i n e solche A n a l y s e hat ebenfalls ein theore­
tisches Interesse,
aber sie giebt uns keine weiteren A u f s c h l ü s s e
über die U r s a c h e n der V e r t e i l u n g der Sterbefälle und der an­
nähernd
sich
behauptenden
Gleichförmigkeit derselben.
Eine
N o r m a l g r u p p e von Sterbefällen mit einem D i c h t i g k e i t s m a x i m u m
zwischen 7 0 und 7 5 J a h r e n
und eine annähernd dem
einfachen
F e h l e r g e s e t z entsprechende V e r t e i l u n g der F ä l l e können wir als
eine naturgesetzliche, in der menschlichen Konstitution begründete
T h a t s a c h e hinnehmen, und wir würden uns dabei vollständig be­
ruhigen, wenn entweder a l l e Sterbefälle in dieser V e r t e i l u n g auf­
traten oder wenn wir besondere M e r k m a l e , sei es für die N o r m a l ­
fälle, sei es für die nicht zu dieser G r u p p e gehörenden F ä l l e an­
g e b e n könnten.
E i n e bloss mathematische Z e r l e g u n g der G r u p p e n
t r ä g t aber zur K e n n t n i s der ursächlichen Verhältnisse nichts bei.
A n d e r s w ä r e dies allerdings, w e n n sich z. B . für jede wichtigere
Todesursache ein D i c h t i g k e i t s m a x i m u m in einem bestimmten A l t e r
nachweisen liesse, v o n d e m aus dann die V e r t e i l u n g der F ä l l e
nach dem Fehlergesetz stattfände.
12.
1
Pearson )
hat a u c h eine mathematisch sehr wertvolle
D a r s t e l l u n g der V e r t e i l u n g nach unsymmetrischen Dichtigkeits­
kurven gegeben,
sonderen
Fall
das letztere
von der das Gauss'sche Fehlergesetz einen be­
bildet.
stets im
anschauliche
F ü r das statistische Interesse
V o r d e r g r u n d bleiben,
eine
V o r s t e l l u n g von der E n t s t e h u n g einer ihm
ent­
liche A n s c h a u u n g , wenn
beobachtete
werde,
Grösse
die ebenso
von
es
indes wird
allein
sprechenden V e r t e i l u n g giebt.
weil
D e n n man erhält eine leicht fass­
man s a g e n kann, dass eine wiederholt
rein
zufälligen S t ö r u n g e n
leicht und in derselben
beeinflusst
W e i s e im positiven
wie im n e g a t i v e n S i n n e wirken k ö n n e ; d a g e g e n k a n n man sich
nicht vorstellen, wie es zugehe, dass z. B . die positiven S t ö r u n g e n
i) Skew Variation in homogenous material. Pbilos. Transactions, Vol. C L X X X V .
London 1895.
i so­
5
mit der Wahrscheinlichkeit / und die negativen mit der W a h r ­
scheinlichkeit /s auftreten. U e b r i g e n s hat schon Q u e t e l e t ) eine
elementare M e t h o d e zur D a r s t e l l u n g der V e r t e i l u n g der F ä l l e bei
ungleichen C h a n c e n der positiven und negativen Störungsursachen
g e g e b e n , indem er annahm, dass aus einer U r n e , die unendlich
viele schwarze und weisse K u g e l n im Verhältnis von s: w ent­
hält, eine massige A n z a h l , nämlich j e 16 K u g e l n g e z o g e n werden.
M a n darf die Zahl der zugleich g e z o g e n e n K u g e l n nicht gross
nehmen, weil dann das jedesmal herauskommende Verhältnis von
schwarz und weiss von dem wahrscheinlichsten W e r t e , nämlich
s : w, immer nur w e n i g abweichen würde, so dass bei einer langen
R e i h e von Versuchen (vorausgesetzt, dass nicht die eine der
beiden Wahrscheinlichkeiten sehr klein ist) die praktisch in B e ­
tracht k o m m e n d e n K o m b i n a t i o n e n sich nahezu symmetrisch —
und soweit nach dem einfachen Fehlergesetz — u m die wahr­
scheinlichste K o m b i n a t i o n gruppieren würden, während die grösse­
ren und unsymmetrisch auftretenden A b w e i c h u n g e n w e g e n ihres
seltenen V o r k o m m e n s ausser acht gelassen werden könnten. Ist
aber die jedesmal g e z o g e n e Zahl von K u g e l n n nicht gross, so
erhält m a n keine F o r m e l für eine kontinuierliche V e r t e i l u n g ,
sondern n -f- i verschiedene Wahrscheinlichkeiten für die m ö g ­
lichen n -f- i K o m b i n a t i o n e n . S o ist z. B . , wenn s: w = 3 : 1 und
n = i 6 , die Wahrscheinlichkeit der K o m b i n a t i o n e n : 16 s, o w =
g
3
1
0,010; 1 5 s, i w = o,o53; 14 s, 2 w = o , i 3 4 ; 1 3 s, 3 w = o,2o8;
12 s, 4 w — 0 , 2 2 5 ; 1 1 s, 5 w = o,i8o; 1 0 s, 6 w = o , n o ; 9 s,
7 w = 0,052; 8 s, 8 w = 0,020; 7 s, 9 w — 0 , 0 0 6 ; 6 s, i o w =
o,ooi.
F ü r die übrigen K o m b i n a t i o n e n bis o s, 16 w ist die
Wahrscheinlichkeit kleiner als VioooD e n k t man sich diesen Wahrscheinlichkeiten proportionale
S e n k r e c h t e in gleichen A b s t ä n d e n auf einer Grundlinie errichtet,
so erhält man gleichsam das Gerüst, über welches sich eine kon­
tinuierliche unsymmetrische K u r v e ziehen lässt. D i e s e K u r v e k a n n
m a n durch andere W a h l des Verhältnisses s: w auf die m a n n i g ­
faltigste A r t ändern und so wird es auch h ä u f i g möglich, durch
sie die V e r t h e i l u n g der Einzelfälle einer S t ö r u n g e n unterworfenen
B e o b a c h t u n g s g r ö s s e annähernd darzustellen.
1 ) Lettres sur la Theorie des probabilites, p. 1 7 4 u. 4 0 8 .
12
I
!
I
1 3 - M a n k a n n a u c h hier eine ähnliche B e t r a c h t u n g anstellen,
wie bei der obigen A b l e i t u n g des Fehlergesetzes: man k ö n n t e
annehmen, dass immer i6 Fehlerursachen zusammentreffen, und
z w a r die positiven mit der Wahrscheinlichkeit / , die negativen
mit der W a h r s c h e i n l i c h k e i t
W e n n jeder dieser E l e m e n t a r ­
fehler durchschnittlich eine A b w e i c h u n g +
der beobachteten v o n
der wahren G r ö s s e g bewirkt, so wird das D i c h t i g k e i t s m a x i m u m
der beobachteten F ä l l e bei g -f- i z e—4 e oder g -f- 8 e liegen.
V o n 1000 B e o b a c h t u n g e n werden also nach der obigen Z u s a m m e n ­
stellung 225 annähernd dieses R e s u l t a t ergeben, auf g - f - i o e
k o m m e n annähernd 208, auf g - | - i 2 e ungefähr 134, auf g - ( - i 4 e
e t w a 53, auf g - | - i 6 e etwa 1 0 , andererseits auf g -\- 6 e annähernd
180, auf g - f - 4 e etwa 1 1 0 u. s. w.
D i e diesen D i c h t i g k e i t e n
proportionalen S e n k r e c h t e n sind also in A b s t ä n d e n v o n 2 e auf
der Grundlinie errichtet zu denken.
D i e aus ihnen und den
Linienstücken 2 e gebildeten R e c h t e c k e sind ebenfalls den D i c h t i g ­
keiten proportional u n d die G e s a m t f l ä c h e einer durch die E n d ­
punkte der Mittellinien dieser R e c h t e c k e gezogenen K u r v e wird
v o n der S u m m e der F l ä c h e n dieser R e c h t e c k e nicht allzuviel v e r ­
schieden sein. W e n n nun die E r g e b n i s s e einer grossen Zahl von
B e o b a c h t u n g e n sich durch eine unsymmetrische D i c h t i g k e i t s k u r v e
darstellen lassen, so kann m a n versuchen, ob diese n ä h e r u n g s ­
weise mit einer auf die a n g e g e b e n e A r t konstruierten K u r v e über­
einstimmt, wobei das V e r h ä l t n i s s: w annähernd g e g e b e n ist durch
das V e r h ä l t n i s der (gleichviel in welchem M a s s e ausgedrückten)
A b s t ä n d e der beiden S c h n i t t p u n k t e der K u r v e und der G r u n d ­
linie v o n dem F u s s p u n k t der grössten Ordinate. I m G r u n d e ist
dieses Verfahren aber nichts anderes, als die nach einer besonderen
M e t h o d e ausgeführte A u f s t e l l u n g einer empirischen F o r m e l für
die beobachtete V e r t e i l u n g , wie sie in anderen F ä l l e n etwa durch
eine Parabel höherer O r d n u n g g e g e b e n wird. D i e A n n a h m e von
16 positiven oder negativen F e h l er Ursachen ist willkürlich, sie
giebt, wie gesagt, nur ein Gerüst für die K u r v e ; m a n kann a u c h
versuchen, ob man bei 20 oder 25 Fehlerelementen bessere R e ­
sultate erhält. D i e verschiedenen Wahrscheinlichkeiten der posi­
tiven und negativen Fehlerelemente haben ebenfalls nur einen
rein mathematischen S i n n und man k a n n sich über die physische
B e d e u t u n g dieser B e d i n g u n g keine V o r s t e l l u n g machen.
Der
»wahre" W e r t der B e o b a c h t u n g s g r ö s s e im obigen S i n n e aber ist
3
4
e
—
bei
122
unsymmetrischer V e r t e i l u n g
eine rechnerische
Fiktion,
der Einzelfälle
überhaupt nur
die sich e b e n s o w e n i g
äusserlich be­
merkbar macht, als wenn die B e o b a c h t u n g e n sämtlich mit einem
konstanten
Fehler
behaftet
wären.
Wenn
die natürlichen B e ­
d i n g u n g e n der E n t s t e h u n g eines Beobachtungsobjektes bewirken,
dass eine g e w i s s e G r ö s s e desselben immer mit grösserer W a h r ­
scheinlichkeit überschritten, als nicht erreicht wird, so hat nicht
diese verdeckt bleibende Grösse, sondern nur die im Dichtigkeits­
m a x i m u m wirklich hervortretende für uns ein besonderes Interesse.
D i e s e stellt eben das wahrscheinlichste B e o b a c h t u n g s e r g e b n i s dar
und sie ist zugleich, wenn die V e r t e i l u n g der F ä l l e der unsymmetri­
schen Binomialformel entspricht, gleich d e m M i t t e l w e r t aus allen
l
E i n z e l b e o b a c h t u n g e n ).
I ) Dieser von Q u e t e l e t angeführte Satz lässt sich auf folgende Art beweisen:
a
b
,
Es seien
und
die sich zu i ergänzenden Wahrscheinlichkeiten des
m
m
Auftretens der negativen und der positiven Fehlerelemente, also a - | - b = m, es sei
ferner n die angenommene Zahl der jedesmal zusammentreffenden, teils positiven, teils
negativen Fehlerelemente, die also den Exponenten des Binoms bildet, und die Grösse
2e, um die sich die beobachtete Grösse bei jedem Uebergang von einer Fehlerkombi­
nation zur nächstfolgenden verändert, werde als Massheit angenommen. Da derjenige
Teil der Beobachtungsgrösse, der allen Einzelbestimmungen derselben gemeinsam ist,
für uns weiter nicht in Betracht kommt, so berücksichtigen wir nur den veränderlichen
Teil, und zwar nehmen wir den k l e i n s t e n der in diesem vorkommenden Werte, der
durch das Zusammentreffen von n negativen Fehlerelementen entsteht, gleich der Mass­
einheit (also = 2e) an. Wenn m Einzelwerte bestimmt werden, so wird die theo­
retische Verteilung derselben durch die Entwickelung des Binoms
n
n
n
(a + b ) = a + n, a ^ b + n
n
3
3
a ' ^ V + n„ a - b + . . . b
2
n
(i)
dargestellt, wo die n die Binomialkoefficienten bedeuten. Diese Summe ist die Z a h l
der Einzelwerte, ihre G r ö s s e in Einheiten der erwähnten Art beträgt:
x
n
a -f- 2 D , a
n _ 1
n
2
2
b + 30, a - b - ( - n
4
Z{x + l ) n
8
n
a"
- 3
b * - f . . . (n + i ) b
n
=
D
a b -*
x
(2)
n
n
2 Ix + l ) n a b -
x
x
und das M i t t e l W der Einzelwerte demnach -
(a + b )
n
Nun kann man durch Entwickelung des Ausdrucks links leicht zeigen, dass
1 1
n ( a
+
b) -
1
=
1
2
3
2
1
n . a " - + 2n, a"-' b + n „ a " " b + . . . n b " - .
3
Multipliziert man diese Gleichung mit b und addiert die Gleichung ( i ) , so er:giebt sich
n(a + b )
n _ 1
n
n
b + (a + b ) = 2(x + i ) n a b
x
n _ x
14. U n s y m m e t r i s c h e V e r t e i l u n g einer statistisch untersuchten
Grösse kann
auch dadurch entstehen, dass diese Grösse sich als
F u n k t i o n einer anderen bestimmt, die ihrerseits sich regelmässig
u m einen T y p u s gruppiert.
S o verhält sich z. B . nach Q u e t e l e t
d a s G e w i c h t der E r w a c h s e n e n
annähernd wie das Quadrat der
K ö r p e r l ä n g e und da diese sich als eine typische G r ö s s e verhält,
so k a n n die R e i h e der G e w i c h t s b e s t i m m u n g e n
wenigstens bei
einem grösseren Spielraum der A b w e i c h u n g e n keine symmetrische
V e r t e i l u n g der F ä l l e aufweisen.
F e r n e r k a n n eine
Mischung
verschiedener T y p e n vorhanden sein, die bei den B e o b a c h t u n g e n
nicht auseinander gehalten werden könnten. D e n k t m a n sich z. B . ,
d a s s i o o o Soldaten der P o t o m a c - A r m e e mit einem typischen Brust­
u m f a n g v o n 35 Zoll engl, und i o o o Schotten mit d e m mittleren
B r u s t u m f a n g von
?>9*U
Zoll unterschiedslos zusammen gemessen
worden wären, so würde m a n v o n 32 bis 43 Zoll folgende G r u p p e n
erhalten haben: 69, 1 2 2 , 1 7 3 , 2 0 1 , 2 0 1 , 1 9 3 , 1 9 1 , 2 1 5 , 2 1 0 , 1 7 1 ,
und durch Division mit m
n
= (a -f- b )
n
b
n
m
1- I
= W.
b
Demnach ist der Mittelwert W gleich der Ordnungszahl n
1- i in der Reihe
der nach ihrer Grösse und steigenden Potenzen von b geordneten n -\- i Gruppen von
gleich grossen Einzelwerten.
Ist aber die Wahrscheinlichkeit des negativen Fehler-
a
b
elementes — = w und die des positiven — = s, so entspricht diese Ordnungszahl dem
g r ö s s t e n G l i e d e in der Reihe der Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Fehler­
kombinationen, also dem wahrscheinlichsten Werte des Messungsresultates. Ist also
z. B. a = i, b = 3 , demnach w = — , s = — , und n, die Zahl der jedesmal zusammen4
4
treffenden positiven oder negativen Fehlerelemente, gleich 1 6 , so ist der Mittelwert in
der hier anzuwendenden Einheit 1 3 und andererseits stellt das 1 3 . Glied die wahr­
scheinlichste Kombination dar, nämlich die mit den Exponenten 4 für w und 1 2 für s,
<iie sich wie diese Wahrscheinlichkeiten selbst verhalten. Demnach giebt das arith­
metische Mittel aus der Gesamtheit der Beobachtungswerte auch bei unsymmetrischer
Verteilung derselben den wahrscheinlichsten Wert, wenn die hier angenommene Hypo­
these über die Entstehung der Abweichungen durch die Kombination von positiven
und negativen Fehlerelementen zulässig ist. Der Ausdruck „wahrscheinlichster Wert"
aber hat vom Standpunkt dieser Hypothese die Bedeutung des bereits oben ange­
wandten des „wahrscheinlichsten Messungsresultats", denn der hypothetische wahre
Wert, von dem die positiven und negativen Störungen ausgehen, ist, wie oben ausge­
führt worden, aus den Messungen gar nicht erkennber und das wahrscheinliche
Messungsresultat ist gegen diesen um eine feste Grösse verschoben.
i i i , 56. D i e K u r v e hält sich also auf eine längere S t r e c k e fast
in gleicher H ö h e mit einer E i n s e n k u n g zwischen den M a x i m a l ­
werten 201 u n d 2 1 5 , die den S t u f e n v o n 36 und 39 Zoll ent­
sprechen. D a sie an beiden E n d e n die A u s l ä u f e r der einen und
der andern R e i h e ziemlich rein hevortreten lässt, so könnte m a n
durch versuchsweises R e c h n e n die beiden ungleichartigen E l e m e n t e
mit ausreichender G e n a u i g k e i t voneinander sondern. E i n e solche
T r e n n u n g wird um so leichter sein, j e weiter die typischen Mittel­
werte voneinander abstehen, mit j e grösserer Präcision der T y p u s
zum A u s d r u c k k o m m t und weniger die beiden vermischten G r u p p e n
in ihrer Zahl verschieden sind. Bei einer zufälligen A u s w a h l der
zu messenden Personen in grosser Zahl werden die verschiedenen
T y p e n annähernd in dem Verhältnis auftreten, in dem sie in der
betreffenden B e v ö l k e r u n g vorhanden sind. D a die z u s a m m e n ­
gemischten T y p e n voneinander g a n z u n a b h ä n g i g sind, so m u s s
für die theoretische B e s t i m m u n g ihrer G r u p p i e r u n g die V e r t e i l u n g
für jeden besonders berechnet werden und die F ä l l e der gleichen
Grössenklasse sind dann zu summieren. Ist also der T y p u s mit
der N o r m a l g r ö s s e a m-mal, der mit der N o r m a l g r ö s s e b n-mal
in der M i s c h u n g vertreten und sind die zugehörigen Präcisionen
h und k, so k o m m e n auf die von der G r ö s s e x ausgehende kleine
S t r e c k e A x (m h C - > + n k C e~ ^- )
A x Fälle, w o C
den reciproken W e r t der W u r z e l aus der Zahl n und e die
Basis der natürlichen L o g a r i t h m e n bezeichnet (s. die folgende A b ­
handlung).
h 2 ( x
a
2
k
h)
e
D i e unregelmässige V e r t e i l u n g der M e s s u n g s e r g e b n i s s e k a n n
auch dadurch entstehen, dass der T y p u s einer allmählichen
A e n d e r u n g unterliegt.
D i e physische Beschaffenheit einer B e ­
v ö l k e r u n g kann sich infolge der schlechten E r n ä h r u n g der A r ­
beitermasse, der vorzeitigen und übermässigen A r b e i t der K i n d e r
u. s. w. verschlechtern und dadurch die E n t w i c k e l u n g der nor­
malen K ö r p e r g r ö s s e oder des B r u s t u m f a n g e s beeinträchtigt werden.
Diese E n t a r t u n g des T y p u s wird sich aber hauptsächlich bei d e m ­
jenigen Teile der B e v ö l k e r u n g zeigen, der auch vorher schon d a s
N o r m a l m a s s nur verhältnismässig selten erreichte, sodass also eine
unsymmetrische V e r t e i l u n g mit weiterer A u s d e h n u n g der unter­
normalen G r u p p e n entsteht. W e n n u m g e k e h r t durch h y g i e n i s c h e
und wirtschaftliche Fortschritte eine B e s s e r u n g der K ö r p e r ­
konstitution eines grossen Teiles der B e v ö l k e r u n g bewirkt wird,
—
125
—
so wird sich dieses ebenfalls hauptsächlich in dem die negativen
A b w e i c h u n g e n darstellenden Z w e i g e der V e r t e i l u n g s k u r v e zeigen
und durch dessen Z u s a m m e n z i e h u n g die vorher etwa
vorhandene
S y m m e t r i e gestört werden.
E n d l i c h ist es a u c h möglich, dass gewisse statistische M a s s ­
grössen,
namentlich
differente
anthropologische,
Strecken
keinen bestimmten
mehr
T y p u s bevorzugt.
weniger
in­
G e w i s s e äussere G r e n z e n
werden eingehalten, innerhalb derselben
lich gleichmässig
oder
aufweisen, a u f denen die N a t u r überhaupt
oder
es
kommen
ist die V e r t e i l u n g ziem­
durch irgend
welche unbe­
rechenbare Einflüsse hier und da g a n z unregelmässige
f u n g e n bestimmter B e o b a c h t u n g s g r ö s s e n vor.
Anhäu­
D i e B i l d u n g neuer
fester Varietäten wäre wohl hauptsächlich innerhalb solcher I n ­
differenzstrecken
zu erwarten, weil
eben
in diesen die T e n d e n z
zu einer typischen G r ö s s e nicht oder nur s c h w a c h vorhanden ist.
S o l c h e Spielräume in
den Grössen und Grössen Verhältnissen der
menschlichen Glieder hat A l p h . B e r t i l l o n
bildung
seines
Messungsverfahrens
Verbrechern benutzt.
zur
mit E r f o l g zur A u s ­
Wiedererkennung
D i e K ö r p e r g r ö s s e hat nur einen
von
geringen
„signaletischen Wert", weil die meisten F ä l l e sich in der N ä h e
des typischen Mittels z u s a m m e n d r ä n g e n und grössere A b w e i c h ­
ungen
nur
in
geringer Zahl v o r k o m m e n .
z. B . die innere L ä n g e des
1,60 bis 1,65 m. von
Dagegen
schwankt
Beines bei einer K ö r p e r g r ö s s e v o n
730 bis 825 m m und die V e r t e i l u n g s k u r v e
ist sehr gestreckt und unregelmässig.
V o n 100 untersuchten I n ­
dividuen von der a n g e g e b e n e n G r ö s s e hatten 8 eine innere B e i n ­
l ä n g e von w e n i g e r als 755 m m und 9 eine solche v o n mehr als
8 1 0 m m ; zwischen diesen
von 5 m m bezw. 6, 8,
G r e n z e n k a m e n auf die A b s t u f u n g e n
1 0 , 10, 9, 5, 7, 8, 4, 4, 9 F ä l l e , so dass
13 meistens ziemlich gleichmässig besetzte K l a s s e n unterschieden
werden
konnten.
Klassen
gestatten, brauchen
M e r k m a l e aber,
die die B i l d u n g zahlreicher
nur in geringerer
Zahl
kombiniert
zu werden, um G r u p p e n zu erhalten, in denen nur w e n i g e und
daher nach
vereinigt
ihren
sind.
mit indifferenten
Photographien
Z u diesen
leicht
besonders
erkennbare
Individuen
brauchbaren M e r k m a l e n
Spielräumen gehört u. a. a u c h die Breite der
H ü f t e n , die L ä n g e des K o p f e s , die S p a n n w e i t e der
L ä n g e des F u s s e s und die L ä n g e des Mittelfingers.
Arme,
die
D i e typische
K ö r p e r g r ö s s e einer R a s s e oder eines S t a m m e s k a n n man a u c h
126
—
ohne zahlreiche M e s s u n g e n bestimmen, indem man einfach eine
grosse A n z a h l von Personen,
nach der G r ö s s e geordnet, neben­
einander stellt und die in der M i t t e stehenden allein misst.
die typische B e d e u t u n g
dieses
Um
Messungsergebnisses zu konsta­
tieren, zähle m a n zu beiden Seiten der Mittelperson je ein V i e r t e l
der G e s a m t z a h l a b und untersuche, ob von den
stimmten
Personen
die
eine
annähernd
die
beiden so be­
N o r m a l g r ö s s e um
ebenso viel überschreitet, wie der andere unter derselben bleibt.
Diese positive und n e g a t i v e Differenz stellt dann näherungsweise
die wahrscheinliche A b w e i c h u n g dar und der reciproke W e r t der­
selben
giebt
das
Mass
der
Präcision, mit
der die N a t u r
den
T y p u s zum A u s d r u c k gebracht hat.
1
G a l t o n ) hat darauf hingewiesen,
dass diese M e t h o d e der
bloss vergleichenden R e i h e n o r d n u n g der B e o b a c h t u n g s o b j e k t e ohne
E i n z e l m e s s u n g e n auch auf solche E r s c h e i n u n g e n anwendbar ist,
die einer M e s s u n g g a r nicht unterworfen werden können, sondern
sich
nur im allgemeinen
vergleichsweise
nach
dem
grösseren
oder geringeren G r a d e ihrer Intensität unterscheiden lassen, wie
geistige
Anlagen
in bestimmter
lische B e g a b u n g u. s. w.
R i c h t u n g , G e d ä c h t n i s , musika­
S o werden in
vielen A n s t a l t e n die
Schüler für jedes H a u p t f a c h nach O r d n u n g s n u m m e r n klassificiert
und
der I n h a b e r der
Mittelstelle k a n n daher als Vertreter der
durchschnittlichen B e f ä h i g u n g in
sehen werden, wenn
sehr
schlechten
dem betreffenden
Fach
gleichzeitig die Zahl der sehr guten
S c h ü l e r eine
verhältnismässig
kleine
ist
ange­
und
und
die Mehrzahl beiderseits den mittleren nahesteht.
1 5 . W i e oben
erwähnt, k ö n n e n nicht nur absolute
Mass­
grössen, sondern auch V e r h ä l t n i s z a h l e n als typische G r ö s s e n
erscheinen.
schnitten
Von
genauer
solchen
die
wird in
Rede
sein;
den
beiden
hier sei
folgenden
Ab­
nur bemerkt,
dass
streng g e n o m m e n nur solche Verhältniszahlen hierher gerechnet
werden können, die unmittelbar als empirische A u s d r ü c k e mathe­
matischer Wahrscheinlichkeiten anzusehen sind.
Reihe
von
E i n z e l werten
u.s. w., w o die G r u n d z a h l e n g
desselben
1 (
g
2
Hat
man
eine
Verhältnisses
•—, — , —
gi 82 gs
u. s. w. nur w e n i g verschieden
voneinander sind, und bezeichnet man den
Mittelwert — mit
g
p
1) Stati»tics by intercomparison, Philosophical Magazine, Vol. X L I X , p. 3 3 .
und i — p mit q, so werden diese W e r t e , wenn sie eine typische
G r ö s s e darstellen, sich nach dem Fehlergesetz mit der Präcision
h = j/
gruppieren und die wahrscheinliche A b w e i c h u n g be-
2 pq
~i /
trägt Q
y—wo
Q = 0,4769.
Ist p ein typisches Verhältnis, so wird auch die lineare
F u n k t i o n a p - j - b noch eine dem Fehlergesetz folgende V e r t e i l u n g
der den Einzelwerten von p entsprechenden W e r t e n aufweisen,
pa
und zwar mit der wahrscheinlichen A b w e i c h u n g
B e i ande­
ren F u n k t i o n e n von p wird dies aber im allgemeinen nicht der
F a l l sein.
ten
von
D e n n den sich in gleichen A b s t ä n d e n folgenden W e r ­
p entsprechen
Funktionswerte
mit
verschiedenen
Differenzen und demnach unsymmetrischer Verteilung. W e n n in­
des die
W e r t e einer F u n k t i o n von p nur in engen G r e n z e n in
Betracht k o m m e n , so macht sich diese U n s y m m e t r i e nur w e n i g be­
merklich, so dass ihre Einzelwerte sich dann ebenso, wie die v o n
p, wenigstens annähernd nach dem Fehlergesetz verteilen.
Dies
gilt insbesondere v o n dem Koordinationsverhältnis — - — = c , das
i—p
z. B . zur D a r s t e l l u n g des Knabenüberschusses bei den G e b u r t e n
häufiger a n g e w a n d t wird, als das Verhältnis p der K n a b e n g e ­
burten zu der G e s a m t z a h l der Geburten. W e n n z. B . das letztere
die W e r t e 0,500, 0,505, 0,510, 0 , 5 1 5 , 0,520, 0,525, 0,530 hat, so
sind die zugehörigen W e r t e von c = 1,0000, 1,0202, 1,0408,
1,0618, 1,0833, 1,1053, 1,1277 und deren Differenzen in Einheiten
der vierten Stelle 202, 206, 2 1 0 , 2 1 5 , 220, 224. A u f jeder dieser
annähernd gleichen S t r e c k e n fallen ebensoviele W e r t e von c,
wie auf die entsprechende A b s t u f u n g des um 0,005 fortschreiten­
den W e r t e s von p und die V e r t e i l u n g der ersteren ist daher eben­
falls annähernd symmetrisch, wenn dies bei den p der F a l l ist.
D e m Mittelwert 0,515 von p entspricht c = 1,0618 und die näch­
sten Differenzen v o n c nach beiden Seiten hin sind 0,0210 und
0,0215 oder nahezu gleich 0,0213 der Differenz von p multipliziert
mit - — - — - d. h. mit dem Differentialquotienten von c nach p.
(0,485)
2
E s können aber auch Wahrscheinlichkeitsverhältnisse vor­
liegen, die F u n k t i o n e n von zwei oder mehreren einfachen W a h r -
128 —
—
scheinlichkeiten sind. E i n e solche F u n k t i o n , z. B . a v , - j - b v , w e n n
2
v, u n d v
2
i r g e n d welche W a h r s c h e i n l i c h k e i t e n u n d a u n d b K o n ­
stante bezeichnen, verhält sich wie eine einzige zusammengesetzte
Wahrscheinlichkeit,
da
reihen jeder m ö g l i c h e
bei
einer grossen
empirische
Zahl
von
W e r t von V j
Versuchs­
mit j e d e m m ö g ­
lichen empirischen W e r t e von v„ zusammentreffen kann.
E s er­
giebt sich eine V e r t e i l u n g nach dem Fehlergesetz mit der P r ä ­
Q : Va'r* - j - b ' r , , wenn r
2
cision
weichungen von V j
Eine
sehr
und v
einfache
und r
t
Funktion
ist auch die Differenz v — v .
1
ist also /
2
die wahrscheinlichen A b ­
bezeichnen.
2
zweier
Wahrscheinlichkeiten
D i e wahrscheinliche A b w e i c h u n g
2
—)- r* u n d die V e r t e i l u n g , einer grösseren
Zahl
von
E i n z e l w e r t e n u m das Mittel findet mit der Präcision Q :}/ T\ ~\- r\
statt.
A n s t a t t der
mit der
l
Wahrscheinlichkeit /.
auftretenden
2
A b w e i c h u n g kann m a n auch nach der Tabelle der F
eine A b ­
u
w e i c h u n g nehmen, die mit einer der Gewissheit nahe k o m m e n d e n
Wahrscheinlichkeit, z. B . 0,995, nicht überschritten wird.
2
w ü r d e sein + — ]/ r[ -\-r .
Diese
W e n n also zwei mit g e n ü g e n d grossen
2
G r u n d z a h l e n gebildete empirische Wahrscheinlichkeiten, z. B . die
Sterbenswahrscheinlichkeit der N e u g e b o r e n e n zweier
f o l g e n d e r J a h r e n um die
G r ö s s e oder
n a c h der letzteren
aufeinander
Formel
um noch mehr voneinander verschieden
würde man mit fast völliger Gewissheit annehmen
bestimmte
wären,
können,
eine reelle A e n d e r u n g der Sterbenswahrscheinlichkeit v o n
J a h r e zum anderen stattgefunden habe.
obachtete
Differenz kleiner
scheinliche
Wenn
ist, als die oben
A b w e i c h u n g , so
ist
es leicht
G r u n d e liegende
Sterbenswahrscheinlichkeit
ändert
der
hat
und
Unterschied
nur
so
dass
einem
d a g e g e n die be­
bezeichnete
wahr­
m ö g l i c h , dass die
sich g a r nicht
durch die
zu
ver­
zufällige A b ­
w e i c h u n g der empirischen v o n der wirklichen Wahrscheinlichkeit
entstanden
ist.
D e r allgemeine A u s d r u c k für den wahrscheinlichsten W e r t
einer F u n k t i o n v o n mehreren veränderlichen F ( x , x , x
t
F(a,, a , a
2
3
. . .) w e n n a , a , a
t
2
3
2
8
. . .) ist
die wahrscheinlichsten W e r t e der
einzelnen veränderlichen sind, und der wahrscheinliche F e h l e r ist
—
12g
—
wenn r ,r ,r
. . die wahrscheinlichen Fehler der Einzelwerte (und
verhältnismässig klein) sind.
W e n n die x Wahrscheinlichkeits­
verhältnisse sind, wie v , v , v , die g e n ü g e n d grosse Grundzahlen
haben, so werden ihre wahrscheinlichen A b w e i c h u n g e n nach der
„kombinatorischen" M e t h o d e durch den oben angeführten W u r z e l ­
ausdruck mit p u n d q dargestellt und daraus ergiebt sich der
wahrscheinliche Fehler des empirischen A u s d r u c k s der F u n k t i o n F .
H a t man mehrere empirische W e r t e der F u n k t i o n , so kann m a n
daraus auch direkt die wahrscheinliche A b w e i c h u n g der E i n z e l ­
werte bestimmen und aus der V e r g l e i c h u n g dieses A u s d r u c k s
mit dem nach der anderen M e t h o d e abgeleiteten ergiebt sich der
G r a d der Dispersion ).
l
2
3
t
2
3
1
i) Von weiteren hierher gehörenden Arbeiten seien noch erwähnt E d g e w o r t h ,
Meihods of Statislics,
im Jubiläumsband
des Journ. of the Royal Statist. S o c , 1 8 8 5 .
Verschiedene Abhandlungen desselben Verfassers in Bd. L X I und L X I I
Zeitschrift,
neu gedruckt u. d. T., The representation
of statistics by
derselben
malhematical
formulae, 1 9 0 0 . Derselbe, Metretike, London, s. a., wo auch die zahlreichen verwandten
früheren Arbeiten des Verfassers angeführt sind.
Y u l e in mehreren Abhandlungen im
Journal of the Stat. Soc. [Vol. L I X ( 1 8 9 6 ) , L X (Theory of correlation), L X I I ] mit
Anwendungen auf soziale Verhältnisse.
v
— F e c h n e r , Kollektivmasslehre, herausgeg.
o n G. F. Lipps, Leipzig 1 8 9 7 . — G. D u n c k e r , Die Methode der Variationsstatistik,
Lei pzig 1 8 9 9 , mit einem reichhaltigen Literaturverzeichnis. — E. B l a s c h k e in Heft I
der Mitteilungen des Verbandes österreichischer und ungarischer Versicherungstechniker,
Wien 1 8 9 9 . Seit Oktober 1 9 0 1 erscheint die Zeitschrift Biometrika, a Journal for the
Statistical
Pearson,
study of biological problems (Cambridge), herausgegeben
D a v e n p o r t in Verbindung mit Fr. G a l t o n .
von
Weldon,
In der Wahrscheinlichkeits­
rechnung von E. C z u b e r (Leipzig 1 9 0 2 ) wird die Anwendung dieser Rechnung auf die
•Statistik ausführlich berücksichtigt.
Lexis,
Bevfilkerunga- u . M o r a l s t a t i s t i k .
9
VII. Das Geschlechtsverhältnis der Geborenen
und die Wahrscheinlichkeitsrechnung ).
1
i.
D i e eigentümliche
Regelmässigkeit
des
Knabenüber­
schusses bei den G e b u r t e n hat den Mathematikern schon mehr­
fach G e l e g e n h e i t geboten, die allgemeinen F o r m e l n der W a h r ­
scheinlichkeitsrechnung auf eine konkrete E r s c h e i n u n g anzuwenden.
A b e r bei diesen U n t e r s u c h u n g e n ü b e r w o g das mathematische I n ­
teresse g a n z entschieden das statistische, und die physiologische
F r a g e w u r d e gewissermassen
allgemeine
nur als V o r wand g e n o m m e n , u m
analytische E n t w i c k e l u n g e n
auszuführen,
aus den Zahlen Verhältnissen der K n a b e n -
für w e l c h e
und Mädchengeburten
hinterher einige A n w e n d u n g s b e i s p i e l e g e g e b e n wurden.
I n diesem
S i n n e ist namentlich die grosse A b h a n d l u n g von P o i s s o n
über
2
die vorliegende F r a g e g e h a l t e n ) : sie ist für die A u s b i l d u n g der
1) Diese Abhandlung ist zuerst in den Hildebrand-Conrad'schen Jahrbüchern
Bd. X X V I I ( 1 8 7 6 ) , S. 2 0 9 ff., veröffentlicht worden. Im Jahre 1 8 7 8 erschien die
Theorie mathematique des assurances Sur la vie von E. D o r m o y , in der — und zwar
auch mit spezieller Anwendung auf das Geschlechtsverhältnis der Geborenen — eine
„Theorie des ecarts" entwickelt ist, die darauf hinausläuft, dass die Summe der ab­
soluten Abweichungen vom Mittel der beobachteten Einzelwerte mit dem n-fachen der
theoretisch (nach der kombinatorischen Methode) abgeleiteten mittleren Abweichung
verglichen und der Quotient aus diesen beiden Grössen als das Mass der „Divergenz"
betrachtet wird. Dieses Verfahren trifft mit dem Grundgedanken, wenn auch nicht mit
den weiteren Ausführungen der obigen und der folgenden (VIII.) Abhandlung teilweise
zusammen und D o r m o y hat insoweit hierin die Priorität, da er seine Theorie schon
1 8 7 4 in dem „Journal des actuaires francais" veröffentlicht hatte, einer in Frankreich
nur wenig und in Deutschland so gut wie gar nicht verbreiteten Zeitschrift, die mir
gänzlich unbekannt geblieben war. Eine Vergleichung der Verteilung einer grossen
Zahl von Einzelwerten mit der der Exponentialfunktion entsprechenden hat D o r m o y
nicht versucht.
2) Mem. de l'Acad. des sciences, Paris 1 8 3 0 t. I X , p. 2 4 0 .
Wahrscheinlichkeitsrechnung
-
von
grosser
Bedeutung,
aber
die
A n w e n d u n g der aufgestellten F o r m e l n auf das Geschlechtsverhält­
nis des G e b o r e n e n erscheint nur als N e b e n s a c h e unter B e n u t z u n g
von sehr g e r i n g f ü g i g e m Material.
Was
die R e s u l t a t e P o i s s o n ' s
betrifft,
so
beschränken
sie
sich auf das, was ich hier die „ s t a t i s t i s c h e " F o r m der A n w e n ­
d u n g der W a h r s c h e i n l i c h k e i t s r e c h n u n g auf das P r o b l e m
will.
Es
geburten
ist
gegeben
das
empirische
nennen
Verhältnis der K n a b e n ­
zu der G e s a m t z a h l der G e b u r t e n eines L a n d e s , und es
wird bestimmt, innerhalb welcher G r e n z e n die der Massenerschei­
nung
zu
Grunde
liegende,
objektive
Wahrscheinlichkeit
K n a b e n g e b u r t mit einer der Gewissheit nahe k o m m e n d e n
scheinlichkeit
handene
liegen
wird — wie
wenn
Verhältnis der schwarzen
einer
Wahr­
man das wirklich vor­
K u g e l n zu der G e s a m t z a h l
schwarzer und weisser K u g e l n in einer U r n e mit H ü l f e der Z a h l
der schwarzen
K u g e l n annähernd bestimmen will, die bei
einer
grossen A n z a h l von V e r s u c h e n — wobei die g e z o g e n e K u g e l jedes­
mal wieder in die U r n e zu legen ist — g e z o g e n
F e r n e r untersucht dann P o i s s o n ,
lichkeit
reihen
einer
ob der objektiven W a h r s c h e i n ­
K n a b e n g e b u r t in
verschiedene
Werte
l
worden sind ) .
zwei g e g e b e n e n
zukommen
Beobachtungs­
und welches
die
Wahr­
scheinlichkeit sei, dass der eine W e r t den andern u m eine g e g e b e n e
Grösse überschreite.
2. D a s Charakteristische dieser A n w e n d u n g der W a h r s c h e i n ­
lichkeitsrechnung ist dies, dass man von statistischen V e r h ä l t n i s ­
zahlen a u s g e h t ,
aufgefasst
die
werden.
direkt
Es
als
giebt
empirische
aber
noch
Wahrscheinlichkeiten
eine andere
Wahrscheinlichkeitsrechnung a u f die E r s c h e i n u n g e n
Art,
die
anzuwenden,
die ich hier die „physikalische" nennen will, weil sie vorzugsweise
bei astronomischen und physikalischen B e o b a c h t u n g e n üblich ist.
J e d e statistische Zahl, gleichviel
ob sie als eine W a h r s c h e i n l i c h ­
keit aufgefasst werden kann oder nicht, lässt sich als eine G r ö s s e
betrachten, die durch irgend
ein
Ursachensystem
bestimmt
ist.
H a t nun dieses U r s a c h e n s y s t e m
eine gewisse K o n s t a n z , obwohl
es andererseits durch z u f ä l l i g e ,
ebenso leicht in dem einen
in d e m entgegengesetzten
S i n n e wirkende S t ö r u n g e n
wie
beeinflusst
i) Mit Rücksicht auf die Art der Ableitung dieses Ausdrucks der wahrschein­
lichen oder höchsten zu erwartenden Abweichung habe ich diese Methode an anderen
Stellen auch als die „kombinatorische" bezeichnet.
9*
132
—
—
wird, so ist die wiederholte F e s t s t e l l u n g jener Zahl aus mehreren
R e i h e n von M a s s e n b e o b a c h t u n g e n g a n z analog der
Messung
einer
und
derselben
physikalischen Instrumenten.
wiederholten
G r ö s s e mit astronomischen
oder
E s handle sich z. B . um das V e r ­
hältnis der Zahl der K n a b e n g e b u r t e n zur Zahl der M ä d c h e n ­
g e b u r t e n in einem g e g e b e n e n L a n d e und im L a u f e eines J a h r e s
— ein Verhältnis, das nicht als eine Wahrscheinlichkeit betrachtet
werden
kann —
so
wird jedes
T
K a l e n d e r j a h r einen
W ert des­
selben ergeben, der sich von den übrigen um mehr oder weniger
unterscheidet.
fikationen
W e n n nun diese Einzelwerte als zufällige
eines in allen Jahren
gleichbleibenden
Modi­
Normalwertes
angesehen werden dürfen, so ist der wahrscheinlichste Wert dieses
Normalverhältnisses
bestimmungen
letzteren
und
das
sowohl wie
Fehlergrenzen,
die
arithmetische
man
des
mit
Mittel
aus
den
Einzel­
kann den wahrscheinlichen Fehler der
Mittelwertes
einer
der
oder a u c h die
Gewissheit
äussersten
nahekommenden
Wahrscheinlichkeit nicht überschritten werden, nach der M e t h o d e
der
kleinsten
Q u a d r a t e berechnen, eben derjenigen, die
wir
hier der K ü r z e w e g e n als die „physikalische" bezeichnen.
3. P o i s s o n weist am Schlüsse seiner A b h a n d l u n g a u c h auf
diesen
Weg
hin, aber er hält ihn nicht für praktisch, weil die
Zahl der E i n z e l b e s t i m m u n g e n — von denen jede wieder das E r ­
gebnis einer
M a s s e n b e o b a c h t u n g ist — sehr
gross sein
müsse.
G l e i c h w o h l sind m a n c h m a l die wahrscheinlichsten W e r t e und die
wahrscheinlichen F e h l e r statistischer Verhältniszahlen nach dieser
M e t h o d e bestimmt worden — so z. B . von H e y m und F i s c h e r
für die Sterblichkeitsverhältnisse.
Feststellung
lichen
von
A b e r wenn es sich nur u m die
der wahrscheinlichsten W e r t e und der wahrschein­
F e h l e r handelt,
Poisson
so ist die „statistische Methode", wie sie
a n g e w a n d t wird, falls sie
überhaupt
zulässig ist,
weiteres F e l d
der U n t e r ­
entschieden besser u n d zweckmässiger.
Dagegen
eröffnet sich hier
ein
s u c h u n g , das meines W i s s e n s noch nicht betreten
kann
erstens
anwenden
stimmen,
kann
beide
M e t h o d e n auf dasselbe
und zusehen,
wie
zweitens
es
statistische Material
ob die R e s u l t a t e in der W e i s e überein­
nach der Theorie
untersuchen,
B e o b a c h t u n g e n desselben
worden: m a n
ob sich
zu erwarten
ist;
und
man
bei hinlänglich zahlreichen
Zahlenverhältnisses die A b w e i c h u n g e n
v o m wahrscheinlichsten W e r t e so gruppieren,
wie
es das analy­
tische G e s e t z der V e r t e i l u n g z u f ä l l i g e r F e h l e r verlangt.
In diesem letzteren F a l l e handelt es sich also um die V e r gleichung
der
empirischen
mit den
theoretischen
Gruppen
von
Fehlern oder A b w e i c h u n g e n , wie sie in B e z u g auf astronomische
B e o b a c h t u n g e n zuerst von B e s s e l
hat dieses Verfahren in einer
genauen
sionen
Gestalt auf die
angewendet.
statistische
Quetelet
freilich
nicht
ganz
M e s s u n g e n menschlicher K ö r p e r d i m e n ­
Aber
nichts
Verhältniszahlen
die Verschiedenheit der
angestellt wurde.
elementaren,
hindert,
dasselbe
auszudehnen,
auch
vorausgesetzt,
auf
dass
„Präcision" der E i n z e l b e s t i m m u n g e n be­
rücksichtigt wird und die A n z a h l dieser E i n z e l b e a t i m m u n g e n min­
destens einige
hundert beträgt.
M a n wird also die
statistischen
Verhältniszahlen n a c h dieser R ü c k s i c h t in zwei K a t e g o r i e n teilen
können, j e
nachdem sich nämlich die
Einzelwerte um
typische
N o r m a l w e r t e der Theorie g e m ä s s gruppieren oder nicht.
4.
Z u der ersten K l a s s e gehört nun, wie im folgenden
ge­
zeigt werden soll, die empirische Wahrscheinlichkeit einer K n a b e n ­
geburt,
das
oder
auch, was aus derselben
Zahlenverhäknis
der
Knaben-
abgeleitet
und
werden
kann,
Mädchengeburten.
Es
könnte allerdings scheinen, als ob dieser N a c h w e i s an dem M a n g e l
hinlänglich
für ein
zahlreicher
gegebenes
Einzelbestimmungen
Land
scheitern
müsse.
jenes
ist mehr als ausreichendes Material vorhanden.
nicht nötig, die einzelnen W e r t e des
Verhältnisses
In W i r k l i c h k e i t aber
D e n n es ist g a r
Verhältnisses aus den B e ­
obachtungen für das g a n z e L a n d und ein ganzes J a h r abzuleiten;
jede P r o v i n z
oder jeder B e z i r k
M o n a t einen
W e r t , den
oder
ungenaue
weniger
des L a n d e s liefert
für jeden
man, zunächst hypothetisch,
als mehr
B e s t i m m u n g eines für das ganze L a n d
g ü l t i g e n N o r m a l wertes ansehen kann.
Preussen also mit seinen 35 R e g i e r u n g s b e z i r k e n
von Hohenzollern)
liefert
(abgesehen
uns jedes J a h r 420 B e s t i m m u n g e n
des
Sexualverhältnisses der Geborenen und diese Zahl g e n ü g t schon,
um Theorie und E r f a h r u n g zu vergleichen.
Den
bezirk
zwölf
ergiebt,
monatlichen W e r t e n , welche jeder R e g i e r u n g s ­
darf
man
unbedenklich
gleiches
Gewicht
gleiche Präcision zuschreiben; die B e s t i m m u n g e n aus den
oder
einzel­
nen Bezirken aber, deren durchschnittliche monatliche G e b u r t e n ­
zahl beträchtlich verschieden ist, haben eben d e s w e g e n
verschie-
—
134 —
dene G e n a u i g k e i t s g r a d e u n d dieser U m s t a n d darf bei der
theoretischen F e s t s t e l l u n g der F e h l e r g r u p p e n natürlich nicht
ausser acht gelassen werden.
5. W i e aber ist die „Präcision" der verschiedenen B e o b ­
a c h t u n g s g r u p p e n auszudrücken? D i e B e a n t w o r t u n g dieser F r a g e
schliesst zugleich die erste der oben angeführten U n t e r s u c h u n g e n
ein, nämlich die V e r g l e i c h u n g der E r g e b n i s s e der „statistischen"
u n d der „physikalischen" M e t h o d e .
D a s in der Wahrscheinlichkeitstheorie gebrauchte „ M a s s der
Präcision" ist u m g e k e h r t proportional d e m wahrscheinlichen
F e h l e r der auf eine bestimmte A r t vollzogenen B e o b a c h t u n g e n .
J e grösser der wahrscheinliche F e h l e r einer Einzelbestimmung,
desto kleiner die Präcision der B e o b a c h t u n g s a r t , und u m g e ­
kehrt — das ist ein Satz, der auch d e m Nichtmathematiker ein­
leuchtet.
E s ist also zunächst der wahrscheinliche Fehler, d. h. der
Fehler, dessen Wahrscheinlichkeit gleich ^ ist, der also ebenso
leicht nicht erreicht, wie überschritten werden kann — nach beiden
M e t h o d e n für die g e g e b e n e n B e o b a c h t u n g e n zu berechnen !).
D i e beobachtete monatliche G e b u r t e n z a h l eines R e g i e r u n g s ­
bezirks sei g , die der K n a b e n g e b u r t e n k, so ist das Verhältnis
— . = v die empirische
Wahrscheinlichkeit einer
und es besteht die Wahrscheinlichkeit
objektive
Wahrscheinlichkeit
einer
1
dafür, dass die wirkliche
Knabengeburt
2
w
zwischen
0
die K o n -
die G r ö s s e w zu vergleichen
mit dem
V
den G r e n z e n v -4-
Knabengeburt
J^_—XL
Hege, wenn
durch
stante 0,4769 bezeichnet wird.
Es
ist also
hier
wirklich vorhandenen Verhältnis der schwarzen K u g e l n zu der
G e s a m t z a h l v o n schwarzen
u n d weissen K u g e l n in einer U r n e ,
g entspricht der Zahl der Z ü g e (mit jedesmaligem Z u r ü c k l e g e n
der gezogenen K u g e l ) , v ist ein aus d e m E r g e b n i s der Z ü g e be­
stimmter N ä h e r u n g s w e r t v o n w u n d der (absolut
genommene)
i) Man übersehe nicht, dass, wenn im folgenden von dem „Fehler" einer
Einzelbestimmung des Sexualverhältnisses die Rede ist, nie an Fehler der statistischen
Aufnahme, sondern nur an die Abweichungen des aus der Beobachtung einer Partial­
masse resultierenden Wertes von dem Normalwerte gedacht wird
wahrscheinliche
F e h l e r r dieses N ä h e r u n g s w e r t e s ist
nach
der
D e r theoretische A u s d r u c k für die Präcision aber ist h =
—
r ,
TT
i
P ormel =
uobigen
Q V 2 v(i—v)
j
= —.
V 8
VT
also nach E i n s e t z u n g des W e r t e s von r ist h =
y 2 v (i — v )
I n diesen A u s d r ü c k e n von r und h müsste statt v unter dem
einem Wurzelzeichen eigentlich der g e n a u e W e r t w stehen.
Die
hier b e g a n g e n e U n g e n a u i g k e i t darf indes bei hinlänglich grossem
g
vernachlässigt
mehrere,
werden.
dasselbe
w
Immerhin
betreffende
aber
wird
man,
Beobachtungsreihen
wenn
vorliegen,
statt der verschiedenen v der Einzelreihen den aus der G e s a m t ­
heit der B e o b a c h t u n g e n abgeleiteten
genauesten
Näherungswert
von w substituieren.
6. D i e Präcisionen der verschiedenen B e s t i m m u n g e n v o n w
sind d e m n a c h proportional
den Quadratwurzeln aus den monat­
lichen Geburtenzahlen der einzelnen
Regierungsbezirke —
vor­
ausgesetzt, dass wirklich in allen Bezirken und in allen M o n a t e n
unverändert dieselbe objektive Wahrscheinlichkeit einer K n a b e n ­
geburt
vorhanden
gleichsam
immer
ist.
Die
V e r s u c h e werdeu
mit derselben
Anzahl
in diesem
Falle
schwarzer und weisser
K u g e l n g e m a c h t und die Unterschiede der G e n a u i g k e i t der g e ­
fundenen Einzelverhältnisse h ä n g e n nur von der grösseren
geringeren Zahl der V e r s u c h e in den
Anders
aber
würde sich
die
oder
verschiedenen R e i h e n ab.
S a c h e verhalten,
wenn
die
objektive Wahrscheinlichkeit w selbst sich von Bezirk zu B e z i r k
u n d von M o n a t zu M o n a t
änderte.
änderungen seien nach R a u m
A n g e n o m m e n , diese
Ver­
wie nach Zeit in gleicher W e i s e
z u f ä l l i g , so dass sich alle wie zufällige Beobachtungsfehler u m
einen N o r m a l w e r t W
hältnisse
welche
v
mit
schwarze
gruppieren, so sind die empirischen
Ziehungsresultaten
und weisse
aus
Kugeln
Urnen
nicht in
zu
Ver­
vergleichen,
völlig
gleichem
Verhältnisse enthalten, sondern bei deren F ü l l u n g zwar ein
be­
stimmtes Verhältnis W herzustellen b e a b s i c h t i g t war, aber nicht
mit voller G e n a u i g k e i t zu W e r k e g e g a n g e n worden, so dass zu­
fällige F e h l e r entstanden sind.
D i e wahrscheinliche A b w e i c h u n g
eines empirischen Verhältnisses v von dem w der
Einzelreihe bleibt dieselbe, wie
oben; aber die
betreffenden
wahrscheinliche
136
-
-
A b w e i c h u n g dieses v von dem allgemeinen N o r m a l w e r t e W
offenbar grösser, indem zur E r z e u g u n g derselben
ist
zwei Fehlerur-
sachen zusammenwirken, von denen man die eine die statistische
und die andere die physiologische nennen könnte.
7. B e i
der zweiten
scheinlichen
M e t h o d e der B e s t i m m u n g
F e h l e r s und
der
Präcision
ergiebt
des
wahr­
sich für jeden
Bezirk direkt die wahrscheinliche T o t a l a b w e i c h u n g der einzelnen
Monatswerte v von dem N o r m a l w e r t e w d i e s e s B e z i r k e s .
das w
den
für alle M o n a t e gleich geblieben,
reinen
nahezu
„statistischen" F e h l e r
dasselbe
Resultat
und
liefern.
so
beide
Ist
Methoden
dagegen
das
Wahrscheinlichkeitsverhältnis von M o n a t zu M o n a t
Störungen
einen
unterworfen,
grösseren
so
muss
die
wahrscheinlichen
müssen
objektive
zufälligen
physikalische
Fehler
Ist
erhält man wieder
Methode
ergeben,
als
die
statistische.
Bei
Anwendung
dieser
zweiten
andere E l e m e n t e als g e g e b e n
Methode
angenommen
werden
als bei
der
ganz
ersten.
E s sind in n Versuchsreihen mit unbekannter, aber gleicher A n ­
zahl von Z i e h u n g e n die n empirischen Verhältnisse v
bestimmt
worden
(während das
weissen K u g e l n in der
Urne
Verhältnis der
möglicherweise
1 (
v , v ... v
2
3
schwarzen
von
einer
n
und
Serie
zur anderen zufällige A e n d e r u n g e n erfahren hat) — und es wird
gefragt
unter
nach
den
der
wahrscheinlichen
vorliegenden
A b w e i c h u n g eines
Bedingungen
bestimmten
solchen,
Verhältnisses
von der objektiven Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer schwar­
zen
Kugel.
E s wird hier der sogenannte mittlere Fehler zu H ü l f e g e ­
nommen, der eine allgemein plausible B e d e u t u n g hat.
E i n e der
wesentlichsten E i g e n s c h a f t e n der z u f ä l l i g e n F e h l e r ist die, dass
positive
und negative F e h l e r von
scheinlich
sein müssen.
sicht auf ihr V o r z e i c h e n
nahe,
das
weil
dieses
behandelt
Mittel aus den
eben
eine
gleicher
G r ö s s e gleich w a h r ­
D i e F e h l e r müssen daher ohne
mit
werden, und es liegt
Quadraten
der
derselben zu
absoluten
Rück­
somit
benutzen,
G r ö s s e der
Fehler
wachsende, aber von dem V o r z e i c h e n der einzelnen u n a b h ä n g i g e
Grösse ist.
nun
der
scheinlichen
scheidet.
D i e W u r z e l aus dem mittleren
„mittlere Fehler"
genannt,
Fehler nur durch
einen
der
Fehlerquadrat wird
sich
von dem
konstanten
Fehler
wahr­
unter­
137
—
—
Ist also w der wahre W e r t der normalen W a h r s c h e i n l i c h ­
keit einer K n a b e n g e b u r t in einem
v,, v , v
2
. . . v
3
die
2 4
gegebenen
beobachteten
Bezirke und
W e r t e derselben
in
sind
24
auf­
einander folgenden M o n a t e n , setzt man ferner Vj — w = r5 , v — w
1
<5 . . . v
2
2 1
—w=<5
2 4
, so ist der mittlere
"1 T "2 T~ • • • "24
oder
mit
2
Fehler eines v
abgekürzter
=
gleich
Bezeichnung
der
24
Quadratsumme:
D e r wahrscheinliche F e h l e r aber ist,
wie die Theorie zeigt,
gleich dem mittleren multipliziert mit q / 2, wo q wieder die oben
a n g e g e b e n e K o n s t a n t e bedeutet,
und es ist d e m n a c h bei n mit
gleicher Präcision bestimmten W e r t e n v der wahrscheinliche F e h l e r
2
2
des Einzelwertes r = q "l/ [ d ]
n
bestimmung h =
und
die
Präcision
der E i n z e l -
•- =
Diese W e r t e von r und h müssten also den nach der ersten
M e t h o d e bestimmten
gleich sein,
v nur mit dem statistischen
wenn
die E i n z e l b e s t i m m u n g e n
und nicht auch mit einem
logischen F e h l e r behaftet sind.
physio­
Ist aber dieses letztere der Fall,
so wird die zweite M e t h o d e ein grösseres r und ein kleineres h
ergeben.
J e d o c h ist noch folgendes zu b e m e r k e n :
In
dem
A u s d r u c k für den
mittleren
Fehler kommen
Q u a d r a t e der A b w e i c h u n g e n der E i n z e l b e s t i m m u n g e n von
w a h r e n W e r t e vor.
dem
D i e B i l d u n g der Differenzen 6 würde also
die K e n n t n i s dieses wahren W e r t e s voraussetzen,
nicht besitzen,
die
die wir
aber
E s bleibt nichts übrig, als statt dieses unbekannten
wahren W e r t e s w den w a h r s c h e i n l i c h s t e n zu benutzen, welcher
durch das arithmetische Mittel V der n E i n z e l b e s t i m m u n g e n von
gleicher
Präcision
dargestellt
wird.
Durch
diese
Substitution
von V für w wird aber der A u s d r u c k des mittleren F e h l e r s u n ­
genau,
und die
W e r t desselben
der
Theorie
lehrt
nun,
Q u a d r a t e der A b w e i c h u n g e n
n— i dividiert.
dass
man
möglichst nahe k o m m t , w e n n
von
V
statt
dem
wirklichen
m a n die S u m m e
durch n d u r c h
-
138
-
D e r wahrscheinliche F e h l e r wird also, wenn die Differenzen
<3 sich auf das
arithmetische
und die Präcision h
Mittel V
beziehen,
T= Q
=
A b e r a u c h die so korrigierten W e r t e von r und h sind nur
Wahrscheinlichkeitsbestimmungen, deren G e n a u i g k e i t um so
ringer ist, j e kleiner die Z a h l n der E i n z e l w e r t e ist.
wahrscheinliche F e h l e r eines auf diese A r t bestimmten
gh
y—, also, w e n n z. B . n =
ge­
S o ist der
h
gleich
2 4 , g l e i c h 0,097 h, nahezu 1 0 Prozent
des W e r t e s von h (in positiver und negativer R i c h t u n g ) .
F ü r n = 24 darf m a n also sehr hohe E r w a r t u n g e n hinsichtlich
der U e b e r e i n s t i m m u n g
der nach der statistischen
M e t h o d e einerseits und n a c h der physikalischen
oder
direkten
andererseits
be­
Vergleichung
der
stimmten W e r t e v o n h nicht h e g e n .
8. I m
folgenden
Wertbestimmungen
stellen
wir
nun
eine
von h n a c h beiden M e t h o d e n an, wobei j e ­
d o c h als B e o b a c h t u n g s o b j e k t nicht, wie
lichkeit einer
K n a b e n g e b u r t , sondern
g e n o m m e n wird, die auf i o o o
bisher, die W a h r s c h e i n ­
die Z a h l z d e r K n a b e n
M ä d c h e n geboren werden.
Die
physikalische M e t h o d e ist auf diese B e o b a c h t u n g s g r ö s s e unmittel­
bar anwendbar, die statistische
aber nur nach einer
besonderen
Vorbereitung.
I n den
F o r m e l n dieser letzteren
v wesentlich
stellt nämlich die G r ö s s e
eine W a h r s c h e i n l i c h k e i t
dar.
Die
Zahl z da­
g e g e n ist k e i n e Wahrscheinlichkeit, wohl aber lässt sie sich als
F u n k t i o n von v ausdrücken.
Ist p das Verhältnis der K n a b e n g e ­
burten zu den M ä d c h e n g e b u r t e n , so ist z =
l ä s s i g u n g der Bruchstellen); andererseits
1000 p (mit V e r n a c h ­
aber hat m a n zwischen
v und p die B e z i e h u n g :
Ist nun r
selbe
als
«ich z e i g e n ,
gleich
x
der wahrscheinliche F e h l e r von v und darf der­
verhältnismässig
dass
( ' - v ) 1*
:
ist.
klein
angenommen
der wahrscheinliche
so
lässt
F e h l e r von p sehr
werden,
nahe
139
—
—
H i e r a u s folgt als wahrscheinlicher
jetzt mit r bezeichnen:
iooopy
Fehler von z, den
wir
2v(i—v)
und als Präcision der E i n z e l b e s t i m m u n g von z:
i o o o / 2 v (1 — v)
Dieser W e r t von h muss mit dem nach der zweiten M e t h o d e
bestimmten innerhalb gewisser Fehlergrenzen übereinstimmen,
wenn die U n g l e i c h h e i t e n der Einzelwerte von z nur aus der
s t a t i s t i s c h e n Fehlerquelle entspringen — vorausgesetzt natür­
lich, dass unsere G r u n d a n s c h a u u n g von der Z u f ä l l i g k e i t der
F e h l e r berechtigt ist.
Da
wir für jeden R e g i e r u n g s b e z i r k
24 Einzel werte von z
benutzen, so würden streng g e n o m m e n
für jeden auch 24 ver­
schiedene
sein,
Werte
von
h zu
berechnen
entsprechend
den
Verschiedenheiten der Geburtenzahlen g in den einzelnen M o n a t e n .
D e r Einfachheit w e g e n
für
unseren
mittlere
Zweck
monatliche
Jahrgängen
1868
nehmen wir jedoch, was ohne B e d e n k e n
gestattet
ist, für g
Geburtenzahl in
und
1869, indem
wir
männlichen und weiblichen
Geborenen
geborenen)
in
jedes
Bezirkes
den
in
den
jedem
Bezirk
beiden
die
Totalsumme
(einschliesslich
beiden
die
betrachteten
der
der
Jahren
Tot­
durch
24
dividieren.
F ü r v aber nehmen
Wert
wir d u r c h w e g den möglichst genauen
der Wahrscheinlichkeit einer
nämlich die
Zahl
sämtlicher
K n a b e n g e b u r t in
Knabengeburten
in
Preussen,
dem
ganzen
Staatsgebiet (mit A u s s c h l u s s jedoch von Hohenzollern, des J a d e ­
gebiets und des Militärs im Auslande) während der beiden J a h r e
1868
und
1869, dividiert
durch die
der K n a b e n - und M ä d c h e n g e b u r t e n .
entsprechende
i — v = 0,485, und der B r u c h , mit dem Vg in dem
druck für h multipliziert ist, behält für alle
denselben
=
Wert,
nämlich
Gesamtzahl
D e m n a c h ist v = o , 5 i 5 und
b = 0,0003328,
obigen
Aus­
Regierungsbezirke
dessen
Logarithmus
0,52219—4.
D i e B e s t i m m u n g der Präcision nach der statistischen M e ­
thode ist also sehr einfach.
F ü r den R e g i e r u n g s b e z i r k K ö n i g s b e r g u n d die J a h r e 1868
und 1869 z. B . hat m a n die mittlere Geburtenzahl (incl. Totgeb.)
g =
3 4
2 6 , also l o g y g = 1,76740
log b
0,52219 — 4
l o g h = 0,28959—2, oder h = 0,0195.
10. F ü g e n wir nun die vollständige B e r e c h n u n g von h n a c h
der physikalischen M e t h o d e bei.
D i e zwölf
M o n a t e von 1868 ergeben
für K ö n i g s b e r g fol­
g e n d e E i n z e l b e s t i m m u n g e n von z :
1067— i i n — 1068— 1041 — 1 0 2 4 — 1055
1007—1037—1059— 992—1001—1073
und für 1869 hat m a n die M o n a t s w e r t e :
1044—1053 —1098—
985—1069—1085
i o
1089—1009—1059— 58 —1043—1089
Es
sind
dieses
24
Beobachtungswerte
1
denen wir gleiche Präcision beilegen dürfen ).
lichste W e r t v o n z würde
also
gleich
Mittel
dem arithmetischen
nach dieser
aus jenen
derselben
Grösse,
D e r wahrschein­
Beobachtungsreihe
24 W e r t e n
sein,
also = 1 0 5 1 .
D e m n a c h ergeben sich folgende A b w e i c h u n g e n v o m w a h r ­
scheinlichsten W e r t e :
-{-i6,~f6o,-f-17, — 10,—27,-j-
4,-44,-14
+
8,— 5 9 , — 5 0 , + 22,
—
7,+
2, + 47, — 66, - f 1 8 , + 34, + 38, — 42 •
+
8,+
7,-
8, +
3
8.
2
D i e S u m m e der Q u a d r a t e dieser A b w e i c h u n g e n , also [d ~\
ist = 26578.
U m die U n g e n a u i g k e i t des arithmetischen Mittels
möglichst unschädlich zu machen, nimmt m a n bei der B e s t i m m u n g
des mittleren Fehlerquadrats nicht 24, sondern 23 als Divisor, u n d
somit findet m a n als A u s d r u c k der Präcision:
h = 1/
r
2
3
= 0,0208.
2.26578
Dieser W e r t stimmt mit dem nach der ersten M e t h o d e b e ­
rechneten so g u t überein, wie m a n nur irgend erwarten kann,
1) Dies heisst natürlich nicht, dass die Einzel werte alle gleich richtig sind,
sondern dass alle unter gleichen Genauigkeitsbedingungen, speziell aus annähernd
gleichen Geburtenzahlen abgeleitet sind.
—
i4i
—
w e n n m a n bedenkt, dass die zweite M e t h o d e bei Z u z i e h u n g v o n
nur 24 B e o b a c h t u n g s w e r t e n einen wahrscheinlichen F e h l e r v o n
nahezu / des gefundenen W e r t e s zulässt — der ebenso leicht
überschritten, als nicht erreicht wird. S o sind also die oben zu­
sammengestellten A b w e i c h u n g e n , eben weil sie z u f ä l l i g e sind,
doch durch ein gewisses gemeinschaftliches Band gleichsam g e zügelt; ihre G r ö s s e ist bedingt durch die in der zweiten F o r m e l
für h g a r n i c h t v o r k o m m e n d e mittlere G e b u r t e n z a h l des
Bezirks, dergestalt, dass m a n diese letztere Zahl mit Hülfe des
eben gefundenen W e r t e s von h und des allgemeinen A u s d r u c k s
der Präcision nach der e r s t e n M e t h o d e annähernd bestimmen
kann.
1
l 0
M a n hat nämlich, wenn b den oben
bezeichnet:
angegebenen
Bruch
0.0208 = b Vg
und hieraus g~39oy,
welche Zahl von der wirklich erhobenen
3426 nicht übermässig abweicht, wenn m a n die oben erwähnte
Unsicherheit des angewandten W e r t e s von h in Betracht zieht.
1 1 . I m folgenden sind nun nach dem Material von 1868
und 1869 die Präcisionen für 34 Bezirke nach den beiden dar­
g e l e g t e n M e t h o d e n berechnet und zur V e r g l e i c h u n g zusammen­
gestellt.
D i e R e s u l t a t e der statistischen M e t h o d e stehen unter
S , die der physikalischen unter Q .
D i e Bezirke A u r i c h u n d
O s n a b r ü c k sind w e g e n der g a r zu kleinen monatlichen G e b u r t e n ­
zahl des ersteren zu einem Bezirk zusammengefasst, H o h e n zollern, das J a d e g e b i e t und das Militär im A u s l a n d e aber g a n z
weggelassen.
Bezirk
Königsberg . .
Gumbinnen . .
.
.
.
.
Marienwerder
Berlin
Potsdam
.
Frankfurt
.
.
.
.
.
g
.
.
.
2275
1830
2918
2448
3028
3211
2167
1844
Stralsund
.
.
.
.
639
3738
Bromberg
.
.
.
.
2133
4766
Magdeburg .
S
0,0195
2975
4855
3650
0159
0142
0180
0165
0183
0189
0155
0143
0086
0203
OI54
0230
0182
0232
0171
Q
0,0208
0144
0151
0249
0158
0176
0185
0166
0119
0096
0205
0145
0205
0163
0214
0174
Bezirk
Merseburg
Erfurt
Schleswig
Hannover
Hildesheim
Lüneburg
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Aurich-Osnabrück
Arnsberg
.
.
.
.
Wiesbaden
.
.
.
.
Köln
Düsseldorf
Aachen
.
.
.
.
g
S
0
2899
0179
0117
0146
0142
0118
0130
0114
0094
0093
0122
"235
2715
1142
1200
0173
Ol 12
975
879
1220
0115
0104
0099
0116
1118
Ol 1 1
1464
2918
2441
0127
0180
0164
i837
1700
1901
0143
0137
OO92
OI4I
0177
0189
1936
0-45
0146
OI08
OI3I
OI48
OI49
4305
•485
02 t 8
0128
O247
0151
1 2 . D i e U e b e r e i n s t i m m u n g der E r g e b n i s s e beider M e t h o d e n
ist völlig befriedigend, denn eigentlich tritt nur ein einziges M a l ,
nämlich bei Marienwerder, eine Differenz auf, welche den wahr­
scheinlichen F e h l e r der zweiten M e t h o d e in auffallender W e i s e
überschreitet. D a s heisst also, es sind im Bezirk Marienwerder
bei 24 Einzelbestimmungen v o n z ausnahmsweise
die A b ­
w e i c h u n g e n von Mittel im ganzen erheblich kleiner gewesen, als
man es nach der Präcision dieser B e s t i m m u n g e n und dem S p i e l ­
raum, den die mittlere Geburtenzahl in diesem Bezirke gestattet,
erwarten sollte.
In allen Fällen, in denen die Ziffer unter Q kleiner ist, als
die unter S , ist man streng g e n o m m e n g a r nicht genötigt, sich
auf den wahrscheinlichen F e h l e r der zweiten B e s t i m m u n g zu
berufen. M a n könnte annehmen, dass neben dem statistischen
Fehler der E i n z e l b e s t i m m u n g e n von z auch noch ein physiolo­
gischer mit im Spiele sei, indem der N o r m a l w e r t von M o n a t zu
M o n a t in jedem Bezirke zufälligen S c h w a n k u n g e n unterworfen
sei. D a n n muss, wie bereits oben bemerkt wurde, die zweite
M e t h o d e notwendig eine geringere Präcision ergeben.
N u n ist allerdings i a m a l der W e r t unter Q kleiner als der
unter S , während das U m g e k e h r t e nur i s m a l vorkommt; a u c h
ist das Mittel der W e r t e unter Q gleich
0,0154, während das
Mittel der nach der ersten M e t h o d e berechneten h etwas grösser
ist, nämlich 0,0156.
physiologischen
G l e i c h w o h l scheint es nicht zutreffend, einen
Fehler zur E r k l ä r u n g
der Differenzen
in den
143
—
—
19 Fällen ersterer A r t anzunehmen, da die 1 5 anderen P'älle d o c h
nur durch die Unsicherheit der zweiten M e t h o d e erklärt werden
können und v e r m ö g e eben dieser U n g e n a u i g k e i t auch recht
w o h l die 19 Differenzen nach der anderen R i c h t u n g auftreten
können.
S o m i t ist also die A n n a h m e berechtigt, dass der N o r m a l w e r t
v o n z in den 24 M o n a t e n ungeändert bleibe.
1 3 . D i e vorstehende D o p p e l b e s t i m m u n g der Präcisionen hat
schon an sich ein unbestreitbares Interesse, da sie zwischen
scheinbar voneinander u n a b h ä n g i g e n G r ö s s e n einen der W a h r ­
scheinlichkeitstheorie entsprechenden Z u s a m m e n h a n g nachweist.
A u s s e r d e m jedoch ist sie uns ein Mittel zur F e s t s t e l l u n g der
theoretisch zu erwartenden G r u p p i e r u n g der E i n z e l b e s t i m m u n g e n
um den wahrscheinlichsten W e r t , die wir mit der beobachteten
G r u p p i e r u n g zu vergleichen wünschen.
D i e hier anzuwendende F o r m e l ist folgende. W i r d der A b ­
stand einer E i n z e l b e s t i m m u n g von dem wahren W e r t e mit x
(positiv oder negativ) und die Differenz x ' — x zweier nahe auf
einanderfolgender W e r t e von x mit zlx bezeichnet, so ist die
theoretische Wahrscheinlichkeit, dass bei B e s t i m m u n g e n , die mit
einer g e g e b e n e n Präcision angestellt werden, ein Einzelwert i a
die S t r e c k e x'-—x fallen werde, gleich
2
I
—h X
e
2
hzlx
wenn 71, wie gewöhnlich, die Ludolph'sche Zahl, e die Basis des.
natürlichen Logarithmensystems, also 2,71828, und h die Präcision
bezeichnet.
D i e obige F o r m e l gilt ganz allgemein für alle m ö g l i c h e n
A r t e n von B e s t i m m u n g e n feststehender Grössen, die nur mit
zufälligen F e h l e r n behaftet zur B e o b a c h t u n g g e l a n g e n ; die Spezia­
lisierung derselben für die besonderen F ä l l e der A n w e n d u n g
erfolgt lediglich durch die einzige G r ö s s e h, den quantitativen
A u s d r u c k der Präcision. W i r können diese Wahrscheinlichkeit
daher zweckmässigerweise darstellen durch das F u n k t i o n s s y m b o l
<p(x,h)Ax, in dem neben der Veränderlichen x die spezifische
K o n s t a n t e h a n g e g e b e n ist.
Setzt man nun in diesen Wahrscheinlichkeitsausdruck, immer
um dieselbe kleine S t r e c k e Ax
fortschreitend,
nacheinander
alle
144
W e r t e von x = o bis x = X
—
ein und summiert die R e s u l t a t e , so
ergiebt sich die Wahrscheinlichkeit, dass der F e h l e r einer E i n z e l ­
b e s t i m m u n g zwischen o und dem beliebigen W e r t e X
falle, und
d a s D o p p e l t e dieser S u m m e stellte, da die positiven und negativen
zufälligen
Fehler
von
gleicher
absoluter
Grösse
gleich
wahr­
scheinlich sind, die Wahrscheinlichkeit eines zwischen — X
+
X
und
fallenden Fehlers dar.
E i n e allgemeine brauchbare Tabelle über diese W a h r s c h e i n ­
lichkeit bei regelmässig
fortschreitenden
X
könnte
man
indes
auf diese W e i s e nicht herstellen, weil diese Wahrscheinlichkeiten
nur für ein bestimmtes h gelten dürfen.
zu beseitigen, setze man h x =
hx =
U m diese S c h w i e r i g k e i t
t und beachte, dass hzfx = h x ' —
t' — t, also gleich der konstanten Differenz At zweier auf­
einanderfolgender (d. h. j e zweien um zJx voneinander abstehenden
W e r t e n von x entsprechender) W e r t e von
t.
Der obige
Expo-
nentialausdruck verwandelt sich alsdann in
~
in
e-^t,
worin keine spezifische K o n s t a n t e v o r k o m m t und wofür wir
S y m b o l y>(t)At setzen wollen.
nach
der
konstanten
alle W e r t e von
kleinen
Differenz
At
o bis zu der beliebigen
die R e s u l t a t e addiert, so
das
W e n n man nun in diesen A u s d r u c k ,
erhält man
fortschreitend,
für t
G r ö s s e u einsetzt
und
eine S u m m e , die wir
aus­
drücken durch das S y m b o l
2 (t)At
v
o
Diese
S u m m e stellt die
F e h l e r eines Einzelwertes
Grenzen x liegt,
-entsprechen,
welche
Wahrscheinlichkeit dar, dass
der
der B e o b a c h t u n g s g r ö s s e zwischen
den
den G r e n z w e r t e n von t, also o und u
also abzuleiten
sind
aus den
Gleichungen: o =
und u = h x , d. h. zwischen den Grenzen x = o und x =
hx
•
h
V e r d o p p e l t man die o b i g e S u m m e und setzt man
u
2 2>(t)<dt =
F„,
o
so
ist
F„
gleich
der
Wahrscheinlichkeit, dass
E i n z e l b e o b a c h t u n g zwischen den G r e n z e n
der
Fehler
und - j - ~
der
liegt.
—
i45 —
F e r n e r ist leicht zu sehen, dass Frj — F
die Wahrscheinlich­
u
keit ausdrückt, dass der F e h l e r in den beiden S t r e c k e n + -^h
bis -|—— einerseits und
— bis
— andererseits liege.
14. N u n wird aber der A u s d r u c k F „ , wenn zlt unendlich
klein g e n o m m e n wird, zu einem bestimmten Integral, und es
lässt sich daher ohne S c h w i e r i g k e i t eine Tabelle berechnen, in
welcher für eine R e i h e v o n W e r t e n von u der z u g e h ö r i g e W e r t
der S u m m e F „ a n g e g e b e n ist. Diese Tabelle ist g a n z u n a b h ä n g i g
von der besonderen A r t der Beobachtungen, die m a n vor sich
hat; sie ist allgemein anwendbar, weil, wie bereits bemerkt wurde,
in dem A u s d r u c k y>(t)At keine spezifische K o n s t a n t e enthalten ist.
Nachstehend ist zur E r l e i c h t e r u n g des Verständnisses des
F o l g e n d e n aus einer solchen Tabelle ein B r u c h s t ü c k abgekürzt
angeführt
u
F„
u
F„
u
Fu
°,3°
0,31
0,32
o,33
o,34
o,35
0.329
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,604
0,612
0,619
0,627
0,90
0,91
0,92
0,797
0,802
0,807
o,93
o,94
o,95
0,8 r 2
0,816
0,821
o,339
0,349
o,359
0,369
0,379
0,635
0,642
H a t m a n also für irgend eine Beobachtungsart die Präcision
h, so ist z. B . 0,32g die Wahrscheinlichkeit, dass der F e h l e r einer
„.
0,30
. ,
E i n z e l b e s t i m m u n g zwischen
0,30 .
,
^ - und-)
— falle.
E s ist ferner 0,604—0,32g oder 0,275 die Wahrscheinlichkeit,
dass die A b w e i c h u n g zwischen - I —
h
5
einen und
u
1
n
c
]
0
1
1 - ° ' ^ auf der
h
d
- auf der anderen Seite falle.
h
h
W e n n nun die Zahl der E i n z e l b e s t i m m u n g e n eine sehr grosse
ist, so werden die A b w e i c h u n g e n sich annähernd ihrer abstrakten
Wahrscheinlichkeit g e m ä s s gruppieren, d. h. es werden sich von i o o o
u
n
I ) Eine vollständige Tabelle bis u = 2 findet sich im Berliner Astronomischen
Jahrbuch für
1 8 3 4 , S. 3 0 5 , bis 11 = 3 in C o u r n o t ' s Wahrscheinlichkeitsrechnung
(Deutsch von S c h n u s e ) , S. 2 2 1 , in Q u e t e l e t ' s
bilites, p. 3 8 9 , und anderwärts.
..Lettres sur la theorie des proba-
Eine abgekürzte
ist am Schlüsse dieses Werkes
beigefügt.
I,exis, Bevölkerungs- u. Moralstatistik.
^
—
Beobachtungen
°'h°
u n (
^ ~~f~
146
—
annähernd 329 F e h l e r ergeben, welche zwischen
a
e n
u
f " > " d u n g e f ä h r 275 F e h l e r v o r k o m m e n ,
die in der oben a n g e g e b e n e n Doppelstrecke liegen, und zwar so,
dass ä f f die positive und die negative S t r e c k e annähernd g l e i c h
viele k o m m e n .
Bei der uns vorliegenden U n t e r s u c h u n g haben wir im
ganzen 8 1 6 E i n z e l b e s t i m m u n g e n von z, geteilt in 34 G r u p p e n zu
24 mit mehr oder weniger verschiedenen Präcisionen, während
diese eigentlich gleich sein sollen.
W e n n indes die einzelnen G r u p p e n in ihrer G r ö s s e nicht
allzu weit voneinander abweichen, so wird die theoretische V e r ­
teilung der F e h l e r der B e o b a c h t u n g s g r ö s s e annähernd dieselbe
sein, als wenn alle B e o b a c h t u n g e n eine gleiche, nämlich die
mittlere Präcision besessen hätten.
N u n berechnet sich in unserem Beispiele diese mittlere
Präcision, wie bereits angeführt wurde, aus der K o l o n n e S zu
0,0156, aus der K o l o n n e Q aber zu 0,0154.
I m allgemeinen wird man die R e g e l aufstellen dürfen, dass
die mittlere Präcision aus den E r g e b n i s s e n der physikalischen
M e t h o d e zu entnehmen ist, wenn diese letzteren d u r c h w e g oder
g a n z überwiegend merklich kleinere W e r t e haben, als die nach
der statistischen M e t h o d e bestimmten h. Anderenfalls aber, und
somit auch in unserem Beispiele, wird man dem aus den letzteren
abgeleiteten Mittel den V o r z u g geben.
S i n d die einzelnen G r u p p e n zu verschieden, so zerlege man
sie nach ihrer G r ö s s e in zwei oder mehrere A b t e i l u n g e n und b e ­
rechne für jede die mittlere Präcision und die theoretische V e r t e i l u n g .
1 5 . D a die Präcision der E i n z e l b e s t i m m u n g e n aus den 34 B e ­
zirken annähernd der W u r z e l aus den mittleren Geburtenzahlen
proportional ist, so ist nach unserem Material der wahrschein­
lichste W e r t des normalen, für das g a n z e G e b i e t gleichen z der­
jenige, welcher sich aus der Gesamtzahl aller K n a b e n - und aller
M ä d c h e n g e b u r t e n des ganzen Gebietes in den beiden Jahren 1868
und 1869 berechnet, nämlich 1063. Diesen w a h r s c h e i n l i c h s t e n
W e r t nehmen wir als den w a h r e n an und bilden nun f o l g e n d e
R u b r i k e n , die d u r c h A u s s t r i c h e l u n g mit den beobachteten 8 1 6
Einzel werten auszufüllen sind: 1063, 1064 bis 1072, 1 0 7 3 bis
1082 u. s. w. bis zur vorletzten „ 1 1 5 3 bis 1 1 6 2 " und der letzten
1
—
„ii63
147
—
und mehr"; und auf der negativen Seite: 1 0 5 4 bis 1 0 6 2 ,
1 0 4 4 bis 1 0 5 3 u. s. w . bis zur letzten „ 9 6 3 und weniger".
Die mittlere R u b r i k 1 0 6 3 kann angesehen werden als die
A b w e i c h u n g e n zwischen — \ und - | - \ umfassend, auf die R u b r i k
1 0 6 4 bis 1 0 7 2 kommen die Fehler zwischen - ) - $ und - ( - 9^, auf
die R u b r i k 1 0 7 3 bis 1 0 8 2 diejenigen von - ( - g-fc bis -f- 19-$- u. s. w .
Aehnlich entspricht die erste R u b r i k auf der negativen Seite den
Abweichungen
von
— \
bis
zwischen — g \ und — \ g \
Die
so
erhaltenen
— g\,
die folgende
den
Fehlern
u. s. w.
Fehlergruppen
vergleichen
wir
indes
nicht unmittelbar mit der theoretischen Verteilung, sondern wir
fassen
sie zu j e zweien
zusammen
und teilen überdies die (10)
F ä l l e der R u b r i k 1 0 6 3 zur Hälfte der positiven und zur Hälfte
der negativen Seite zu.
S o erhält man folgende T a b e l l e :
Fehler
0
Beobachtete Fälle
<+'
19!
.. 39*
59*
,. 79*
99*
(-)
l ± )
152
96
74
46
25
29
130
118
61
48
22
*5
282
214
'35
94
47
44
bis
I°4
39*
59*
79*
Ueber 99J
Die theoretischen
Als
mittlere
Theorie
(+)
(+)
272
231
159
90
42
23
Zahlen sind auf folgende A r t berechnet.
Präcision
H
haben
wir den
statistischen Methode bestimmten W e r t 0 , 0 1 5 6 .
die
Bedingung,
dass
die
Einzelpräcisionen
oben
nach der
A l l e r d i n g s trifft
von
diesem
Mittel
nicht erheblich abweichen dürfen, für mehrere derselben nicht zu,
und man darf daher eine sehr genaue Uebereinstimmung zwischen
den berechneten und beobachteten Zahlen nicht erwarten.
Die erste Fehlergrenze ist nun +
1 9 ^ und das derselben
entsprechende Tabellenargument u ist also =
F ü r diesen W e r t
Bruchstück
S.
o bis +
von u giebt die Tabelle der F
222) 0,333
Abweichungen
der
0 , 0 1 5 6 - 1 9 ^ = 0,304.
u
(s. d a s
als die Wahrscheinlichkeit, dass
Einzelbestimmungen
in
die
die
Doppelstrecke
1 9 ^ fallen.
Wenn
nun
schon
bei
8 1 6 Beobachtungen
die V e r t e i l u n g
der A b w e i c h u n g e n nach ihrer abstrakten Wahrscheinlichkeit g e n a u
hervorträte — w a s indes nur näherungsweise zu erwarten ist —
so würden auf die erste Fehlergruppe 2 7 2 F ä l l e kommen.
10*
Die
B e o b a c h t u n g ergiebt 282, und diese Uebereinstimmutig ist trotz
der nicht g a n z gleichmässigen V e r t e i l u n g der F ä l l e auf die posi­
tive und die negative Seite sehr befriedigend.
N e h m e n wir nun die Fehlergrenze a u f der positiven w i e
auf der negativen Seite gleich 39^-, so ist das Tabellenargument
u = 0,0156 • 39-J- = 0,616, demnach F oder die Wahrscheinlichkeit,
dass der Fehler zwischen — 39I und - j 3 9 i falle, zufällig eben­
falls 0,616, und die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers zwischen
+ 19-i- und + 394 gleich 0,616 — 0,333 oder 0,283, so dass, wenn
die V e r t e i l u n g nach der theoretischen Wahrscheinlichkeit erfolgte,
bei 8 1 6 B e o b a c h t u n g e n 231 A b w e i c h u n g e n in die zuletzt be­
zeichnete Doppelstrecke fallen würden.
D i e beobachtete Zahl
ist 2 1 4 .
u
-
I n ähnlicher W e i s e findet m a n für die Fehlergrenze + 59 J
das A r g u m e n t u = 0,928 (dasselbe wächst für eine Z u n a h m e der
Fehlergrenze v o n 20 immer u m 0,312); die Tabelle ergiebt für
die Wahrscheinlichkeit eines F e h l e r s in diesen G r e n z e n 0 , 8 1 1 ,
für die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers innerhalb der D o p p e l ­
strecke 4: 3 9 ^ bis + 59^, aber 0,811 — 0 , 6 1 6 = 0,195, w o n a c h bei
8 1 6 B e o b a c h t u n g e n a m wahrscheinlichsten 159 Fehler in diesen
G r e n z e n zu erwarten wären. U n d in derselben W e i s e wird die
R e c h n u n g weiter geführt.
D a s s die theoretischen Zahlen zusammen 817 statt 8 1 6 aus­
machen, erklärt sich aus den A b r u n d u n g e n der letzten Stellen.
16. D i e verhältnismässig stärkste Differenz zwischen Theorie
und B e o b a c h t u n g zeigt sich in der letzten Fehlergruppe. Dieselbe
findet jedoch darin ihre E r k l ä r u n g , dass einige Beobachtungsreihen
(wie die für Stralsund, Stade, L ü n e b u r g mit h = 0,009 bis 0,010)
verhältnismässig sehr kleine Präcisionen haben, so dass also auch
beträchtlich mehr E i n z e l b e s t i m m u n g e n über die G r e n z e 1 1 6 3
einerseits und 963 andererseits hinausfallen werden, als m a n es
bei der A n n a h m e einer gleichmässigen Mittelpräcision (0,0156)
erwarten darf.
M a n findet im Bezirk Stralsund (1868, O k t o b e r und N o v e m b e r )
die extremen W e r t e 9 1 9 u n d 1240, im Bezirk S t a d e (1868, J a n u a r
und N o v e m b e r ) 977 und 1 2 6 5 .
A u f den ersten B l i c k erscheint die U n s y m m e t r i e der sich
entsprechenden G r u p p e n auf der positiven und negativen Seite
nicht unerheblich. A b e r es findet eine befriedigende A u s g l e i c h u n g
—
149
~
zwischen den aneinander stossenden G r u p p e n statt. W e n n m a n
die berechneten Zahlen halbiert, u m die nach der Theorie auf
jede Seite k o m m e n d e r F ä l l e zu erhalten, so ergiebt die V e r g l e i c h u n g grösserer G r u p p e n folgendes:
Fehler
(+)
Beobachtete Fälle
Theorie
(+)
(+«•-)
(-)
o
bis 3 9 J .
248
248
251>
39}
79i
11 79-!
I. 9 9 j
120
25
109
22
211
124^
W e n n überhaupt auf die negative Seite 394, auf die positive
aber 422 Fehler k o m m e n , so ist die Differenz hauptsächlich durch
die U n r e g e l m ä s s i g k e i t der extremen A b w e i c h u n g e n über + 99^
entstanden.
17. U m der B e d i n g u n g , dass die Einzelpräcisionen v o n der
Mittelpräcision nicht weit abweichen dürfen, besser zu g e n ü g e n ,
als in dem obigen Beispiele, teilen wir die 34 Bezirke nach ihrer
mittleren monatlichen Geburtenzahl in zwei A b t e i l u n g e n v o n j e 1 7 .
D i e erste umfasst die Bezirke K ö n i g s b e r g , G u m b i n n e n , M a r i e n ­
werder, Berlin, Potsdam, Frankfurt, Stettin, Posen, Breslau, L i e g ­
nitz, O p p e l n , M a g d e b u r g , M e r s e b u r g , S c h l e s w i g , A r n s b e r g , Düssel­
dorf, Kassel, mit Geburtenzahlen von 2 1 6 7 (Stettin) bis 4855
(Oppeln).
Z u der zweiten gehören: D a n z i g , B r o m b e r g , K ö s l i n , S t r a l ­
sund, Erfurt, H a n n o v e r , Hildesheim, L ü n n e b u r g , Stade, A u r i c h Osnabrück, Münster, M i n d e n , W i e s b a d e n , K o b l e n z , Trier, K ö l n ,
A a c h e n , mit Geburtenzahlen von 639 (Stralsund) bis 2 1 3 3
(Bromberg).
D a s M i n i m u m und M a x i m u m der Präcision (nach der stati­
stischen Methode) ist in der ersten A b t e i l u n g 0,0155
der Mittelwert H =
In
der zweiten
u
n
d 0,0231,
0,0188.
A b t e i l u n g sind die entsprechenden
Zahlen
0,0086 und 0,0154 und das Mittel 0,0125.
W i r stellen nun für die erste A b t e i l u n g die beobachtete
G r u p p i e r u n g der A b w e i c h u n g e n der 408 Einzelbestimmungen
v o n dem W e r t e 1063, den wir d u r c h w e g als den wahren ansehen,
mit der auf G r u n d der Mittelpräcision 0,0188 berechneten theore­
tischen V e r t e i l u n g der Fehler z u s a m m e n :
Fehler
Beobachtete Fälle
(+)
<+>
o
bis
19!
'9*
39*
59*
79*
..
„
39*
59*
79*
99^
..
83*
56
48
73*
65
33
11
8
•7
7
3
Ueber 9 9 ^
Die
(-)
Uebereinstimmung
Theorie
(+)
<+ )
157
121
81
28
161
126
15
6
3
der
74
32
11
beiden
3
letzten
Kolonnen
ist
sehr befriedigend; denn dass die sehr grossen F e h l e r etwas zahl­
reicher vorkommen, als die Theorie angiebt, w a r w e g e n der in
der
ersten
A b t e i l u n g enthaltenen
hältnismässig
Auf
geringer Präcision
die positive
negative
Beobachtungsreihen
von
vornherein
Seite kommen
im
zu
ganzen
mit
ver­
erwarten.
2 1 4 ^ , auf die
1 9 3 ^ Abweichungen.
Beim Zusammenfassen grösserer G r u p p e n erscheint die V e r ­
teilung g e n ü g e n d symmetrisch:
o
F'ehler
(+)
Beobachtete Fälle
(4-)
(-)
bis 3 9 1
139*
39*
99*
Theorie
(+"•-)
8
I3 *
72
144
58*
52
Möglicherweise entsteht übrigens die A s y m m e t r i e in diesem
und in anderen Fällen durch die U n g e n a u i g k e i t des Mittelwertes
1 0 6 3 , der nur als der w a h r s c h e i n l i c h s t e aus den Beobachtungen
des ganzen Gebietes abgeleitet ist.
N i m m t man statt desselben
1 0 6 6 , das arithmetische
Mittel
aus den 408 Einzelwerten der grösseren Bezirke, so erhält man
folgende V e r t e i l u n g :
Beobachtete Fälle
Fehler
(+)
(+>
O bis 1 9 "
"9*
39*
59*
79|
,.
>,
,.
„
81
63
37
16
65
43
9
9
5
3
Ueber 9 9 ^
(+ «. - )
77
78
57
4'
16
39*
59*
79*
99$
Theorie
(-)
5*
'*
5
D i e Gesamtzahl der positiven F e h l e r ist jetzt 200, die der
negativen
208, und
stufungen
gruppieren sich die F e h l e r auf beiden Seiten um den
Ausgangswert
18. E i n e
auch in
1 0 6 6 im
verhältnismässig
kleinen
Ab­
ganzen wohl besser, als um 1 0 6 3 ,
genauere
g a n g s w e r t e s w ü r d e indes
daher auch im
den
folgenden
Erörterung
über
die
hier zu weit führen
Wahl
des
Aus­
und w i r nehmen
1 0 6 3 als den wahren W e r t von z an.
I
—
P'ür die
1
5
17 kleineren Bezirke ergiebt sich dann unter A n ­
nahme der Mittelpräcision = 0 , 0 1 2 5
Fehler
(
~9
±>
391
2
19h
59}-
595 » 79i
79h .. 991
Ueber 9 9 ^
(-)
(+)
68}
40
26
565
53
28
29
18
26
37
'4
12
125
93
54
66
könnte.
die
mangelhaft,
Vergleichung:
Theorie
(+>
D i e Uebereinstimmung
ist nicht so
die folgende
Beobachtete Fälle
bis 1 9 ^
0
_
<±>
110
100
78
54
33
32
3*
38
zwischen Theorie und Beobachtung
wie man auf den ersten B l i c k glauben
W e g e n der geringen mittleren Präcision verbreiten sich
Fehler nach beiden Seiten
Strecken.
Die
hin
über verhältnismässig grosse
Wahrscheinlichkeitskurve, die im
vorigen
Falle
rechts und links v o m M a x i m u m rasch abfiel, hat jetzt eine lang­
gestreckte F o r m angenommen.
kommen verhältnissmäsig kleine
der, wenn
A u f die einzelnen Fehlerstrecken
Gruppen und es ist kein
in diesen die objektive
Wun­
Verteilungswahrscheinlichkeit
noch nicht klar zum A u s d r u c k gelangt.
F a s s t man aber einige dieser Strecken zusammen, so
findet
man:
Beobachtete Fälle
Fehler
(+)
bis 3 9 J
0
39*
.,
(+)
(-)
108}
1091
55
18
26
65
79h
79h
99l
Ueber 9 9 ^
Theorie
( +
u.
- )
I°5
66
14
i6(
12
16
Mit diesem E r g e b n i s darf man zufrieden sein.
E s sei
noch
bemerkt, dass die Gesamtzahl der positiven Fehler 207-jr, die der
negativen
20o\
19. D e n k t
ausmacht.
man
sich
die
korrespondierenden
theoretischen
Fehlergruppen der beiden K a t e g o r i e n von Bezirken gleichsam zu­
sammengelegt,
so
ergiebt sich
eine theoretische
Verteilung der
sämtlichen 8 1 6 Beobachtungsfehler, die korrekter ist, als die oben
mit
Hülfe einer einzigen
gleichung
Mittelpräcision
stellen w i r die beobachteten
abgeleitete.
Abweichungen
Zur V e r ­
(positive
und negative vereinigt) und die oben nach der ungenaueren M e ­
thode bestimmten (a) mit den auf dem soeben angegebenen W e g e
berechneten Gruppen (b) zusammen:
152
—
Fehler
0
.,
(+)
Berechnet
(a)
(b)
282
214
272
231
272
226
135
94
47
159
90
42
152
86
44
44
23
35
Beobachtet
<+>
bis 1 9 J
19+
39*
59i
79|
—
39i
591
79*
,. 99*
Ueber 9 9 ^
D i e korrektere R e c h n u n g s m e t h o d e weist also auch eine bessere
U e b e r e i n s t i m m u n g mit den B e o b a c h t u n g e n auf. E i n noch besseres
theoretisches R e s u l t a t würde man erhalten, wenn man die B e ­
zirke in drei oder noch mehr A b t e i l u n g e n zerlegte, für jede A b ­
teilung eine mittlere Präcision und mit deren H i l f e die theore­
tische V e r t e i l u n g der F e h l e r berechnete und endlich die ent­
sprechenden F e h l e r g r u p p e n zusammenlegte.
20. A n s t a t t indes diesen W e g hier weiter zu verfolgen, wollen
wir die allzu kleinen Präcisionen dadurch beseitigen, dass wir eine
A n z a h l Bezirke paarweise zusammenfassen.
A u s s e r den oben angeführten Bezirken der ersten A b t e i l u n g
lassen wir D a n z i g , B r o m b e r g und W i e s b a d e n als selbständige
B e o b a c h t u n g s g e b i e t e stehen. D i e übrigen 14 aber werden ver­
einigt, wie es die folgende Uebersicht angiebt, welche zugleich
die mittleren monatlichen Geburtenzahlen der vereinigten G e b i e t e
und die aus derselben (also nach der statistischen Methode) be­
rechneten Präcisionen enthält:
Gebiete
Köslin-Stralsund
. .
Erfurt-Hannover
Hildesheim-Lüneburg .
Stade-Osnabrück-Aurich
Münster-Minden
Koblenz-Trier
. . .
Köln-Aachen
. . .
.
.
.
.
g
h
2484
2377
2175
2099
2582
3601
0,0166
0,0162
0,0155
0,0152
0,0169
0,0200
3421
0,0195
M a n hat also nunmehr 27 B e o b a c h t u n g s g e b i e t e , für welche
sich eine mittlere Präcision von 0,0174 ergiebt, während die Zahl
der E i n z e l b e s t i m m u n g e n
648
beträgt.
Als
Ausgangswert
be­
halten wir 1063 bei und so g e l a n g e n wir zu folgender V e r g l e i c h u n g
zwischen Theorie und B e o b a c h t u n g :
Fehler
(±1
o
191
bis
„
39i
59*
79,
.1
(+)
19J
39*
ii6
82
59*
76
34
79*
995
Ueber 9 9 ^
1
2
7
2
Beobachtete Fälle
(-)
{+)
1191
106
236
188
49
27
14
125
61
26
5
12
Theorie
{+)
239
194
1
2
1
61
23
9
D i e beiden letzten R e i h e n stimmen sehr g u t zusammen.
A u c h die R e i h e n der positiven und negativen F e h l e r für sich
sind nicht unbefriedigend. D i e Zahl der ersteren beträgt 327^-,
die der letzteren 320^, und die Unebenheiten der mittleren
Fehlergruppen gleichen sich aus, wenn man sie paarweise zu­
sammenfasst:
Fehler
o
<+)
bis 1 9 J
19J59J-
•,
59.;
99i
Beobachtete Fälle
(+)
IIb. ,
(-)
119!
158"
155"
1
46
4
1
Theorie
(+»•-)
119\
157I
4
2
2 1 . D a s bisher a n g e w a n d t e R e c h n u n g s v e r f a h r e n ist ziem­
lich zeitraubend infolge der vorher nötigen B e s t i m m u n g der mitt­
leren Präcision, selbst wenn man diese nach der bequemeren
(und in vielen Fällen auch sichereren) statistischen M e t h o d e aus­
führt. W i l l man sich aber möglichst schnell versichern, ob sich
eine g e g e b e n e M a s s e von Beobachtungsresultaten ungefähr der
Theorie g e m ä s s um ihr Mittel gruppiert, so kann m a n ein mehr
summarisches, allerdings auch ungenaueres Verfahren einschlagen.
M a n nimmt nämlich an, dass das b e o b a c h t e t e Verhältnis der
F e h l e r innerhalb gewisser gleicher positiver und negativer
Strecken v o m A u s g a n g s w e r t e ab zu der G e s a m t z a h l der F e h l e r
identisch sei mit der t h e o r e t i s c h e n Wahrscheinlichkeit eines
Fehlers innerhalb dieser Doppelstrecke, und hieraus lässt sich dann
sowohl die mittlere Präcision als auch die theoretische V e r t e i l u n g
der Fehler auf die übrigen S t r e c k e n bestimmen.
S o haben wir in dem letzten Beispiel als empirische W a h r s c h e i n -
236
lichkeit eines Fehlers zwischen — 1 9 ^ und - j - 19-J- den B r u c h - ~
= 0,364.
N i m m t man diesen W e r t als F , so ergiebt die Tabelle als
zugehöriges u den W e r t 0,335
d man hat nun zur B e s t i m m u n g
der Präcision H die G l e i c h u n g : 0,335 = H . 1 9 ]
d hieraus
H = 0,017 2 (statt des oben berechneten 0,017 4).
Mit Hülfe
dieses W e r t e s rechnet man nun weiter: das u der nächsten
S t u f e ist 0 , 0 1 7 2 . 3 9 1 = 0,679, die z u g e h ö r i g e Wahrscheinlichkeit
F = 0,663, ° dass auf 648 F ä l l e a m wahrscheinlichsten 430
zwischen — 3 9 ^ und -f~~39i> '
'94 zwischen den Grenzen
+
bis + 3 9 - I zu erwarten wären. U n d ähnlich findet m a n
für die S t r e c k e n
u
u r |
u r j
s
u
a
s o
154
—
±394
;
bis ± 5 9 i i 2 2 ; ± 3 9 i
—
bis ± 7 9 ^ : 6 2 ;
+ 7 9 ^ bis ± 9 9 ^ : 2 4 ;
über 9 9 ^ : 10.
Diese
E r g e b n i s s e weichen
von
den oben
w o h l wie v o n den beobachteten nur w e n i g
zu
vergessen,
selbständig
dass
die
bestimmt,
ausführliche
während
rade für die wichtigste
ab.
berechneten
so­
J e d o c h ist nicht
Theorie alle F e h l e r g r u p p e n
das summarische
Verfahren
ge­
Fehlerstrecke das Zusammenstimmen der
•empirischen und der theoretischen Wahrscheinlichkeit hypothetisch
annimmt.
2 2 . E i n Beispiel von etwas anderer A r t wollen wir mit dem
Material der englischen Statistik durchführen.
Die Beobachtungs-
grösse ist wieder die Zahl z der K n a b e n g e b u r t e n auf i o o o M ä d •chengeburten, j e d o c h mit A u s s c h l u s s der T o t g e b u r t e n .
b e s t i m m u n g e n aber nehmen
A l s Einzel­
wir diejenigen W e r t e von z, welche
s i c h aus den j ä h r l i c h e n Geburtenzahlen in den einzelnen
strierungsbezirken in den 1 3 J a h r e n
Regi­
1 8 5 9 bis 1 8 7 1 ergeben.
W i r v e r f ü g e n also, da die Zahl der „ R e g i s t r a t i o n - C o u n t i e s "
4 5 beträgt, über 5 8 5 E i n z e l w e r t e von z, von denen wir wieder an­
nehmen, dass sie sämtlich durch z u f ä l l i g e Modifikationen eines
bestimmten
Normalwertes
Einzelbestimmungcn
ist
entstanden
sehr
seien.
verschieden,
Die
Präcision
zunächst
wegen
der
der
grossen Verschiedenheit der mittleren jährlichen G e b u r t e n z a h l in
•den einzelnen Bezirken, ausserdem aber a u c h vielleicht w e g e n
der
physiologischen Fehler Ursachen, welche in den verschiedenen B e ­
z i r k e n in verschiedenem G r a d e zufällige A b l e n k u n g e n des N o r m a l ­
w e r t e s von J a h r zu J a h r erzeugen
W i r berechnen
könnten.
nun wieder die Präcision für jede Grafschaft
s o w o h l nach der statistischen M e t h o d e ( K o l o n n e S ) als auch nach
der physikalischen ( K o l . Q ) .
B e i der ersteren gehen wir aus von
d e m aus der G e s a m t m a s s e der B e o b a c h t u n g e n bestimmten
scheinlichsten
Wert
z=io42,
und
der
wahr­
L o g a r i t h m u s des
kon­
stanten F a k t o r s , mit dem die W u r z e l aus den durchschnittlichen
G e b u r t e n z a h l e n multipliziert wird, ist = 0 , 5 3 0 8 1 — 4 .
j ä h r l i c h e G e b u r t e n z a h l (g) aber nehmen
das Jahresmittel ihrer G e b u r t e n
aus
A l s mittlere
wir für jede Grafschaft
der
zehnjährigen
Periode
1 8 5 9 bis 1 8 6 8 .
Was
vergessen,
die physikalische
M e t h o d e betrifft, so darf m a n nicht
dass zur B e s t i m m u n g der Präcision h für jede
schaft nur 1 3 B e o b a c h t u n g e n g e g e b e n
Graf­
sind; der wahrscheinliche
—
155 —
F e h l e r ist daher - 7 = , u n d m a n m u s s
renzen
sich auf grössere
zwischen den Präcisionsbestimmungen
Diffe-
nach den beiden
M e t h o d e n gefasst machen, als die in d e m früheren Beispiele vor­
gekommenen.
2 2 . W i r stellen nun die R e s u l t a t e der R e c h n u n g zusammen.
Bezirk
London
Lancashire .
.
York, West R .
Staffordshire
Süd-Wales .
.
Durham
Warwick
.
.
Kent
Devonshire .
.
Cheshire
g
102808
97220
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
i855>
'7377
.
.
.
.
.
.
•5144
14625
14442
13842
13629
.
.
13275
13071
.
.
.
.
i3°i7
12520
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7574
7453
7391
7160
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6734
6569
6084
5900
.
.
.
Westmoreland .
Rutland
.
.
Hampshire .
Gloucester .
Sommerset .
.
.
.
Norfolk
Lincoln
Nord-Wales
.
Essex
Northumberland
Cornwall
.
.
Sussex
Nottingham
.
Suffolk
Derbyshire .
.
Worcester .
.
York, East R .
Surrey
Leicester
.
.
Shropshire .
.
Northampton
Wiltshire
.
.
Monmuth
.
.
York, North R .
Cumberland
Berkshire
.
.
Middlesex .
.
Cambridge .
.
Dorsetshire .
Hertford
.
Oxford
Buckingham
Bedford
Hereford
.
Huntingdon
61593
32957
25836
24974
21338
19101
11772
"536
"079
10874
10678
9795
9356
8986
8546
8387
5831
5748
5079
5082
3243
1984
1889
730
S
0,1089
0,1058
0,0843
0,0616
0,0546
0,0536
0,0496
0,0480
0,0462
0,0447
0,0418
0,0411
0,0408
0,0399
0,0396
0,0391
0,0388
0,0387
0,0380
0,0368
0,0365
0,0357
0,0354
0,035'
0,0336
0,0328
0,0322
0,0314
0,0311
0,0295
0,0293
0,0292
0,0287
0,0279
0,0275
0,0265
0,0261
0,0259
0,0257
0,0242
0,0242
0,0193
0,0151
0,0148
0,0092
Q
0,0796
0,1195
0,1231
0,0596
0,0517
0,0593
0,0529
0,0354
0,0616
0,0400
0,0410
0,0526
0,0332
0,0432
0,0482
0,0460
0,0410
0,0525
0,0387
0,0524
0,0466
0,0354
0,0296
0,0529
0,0287
0,0339
0,0308
0,0279
0,0268
0,0443
0,0279
0,0233
0,0189
0,0265
0,0227
0,0199
0,0291
0,0230
0,0256
0,0267
0,0445
0,0269
0,0127
0,0223
0,0082
-
i 6
-
5
I m grossen und ganzen ist die U e b e r e i n s t i m m u n g der bei­
den letzten K o l o n n e n so gross, als man bei der Unsicherheit der
aus so w e n i g e n B e o b a c h t u n g s d a t e n abgeleiteten W e r t e unter Q
erwarten darf. I n den Fällen, in denen die K o l o n n e Q kleinere
Zahlen aufweist, als K o l . S , könnte man wieder die E r k l ä r u n g in
dem Einfluss physiologischer Fehlerquellen suchen; da aber die
R e s u l t a t e der zweiten M e t h o d e die der ersten nahezu ebenso oft
überschreiten, wie nicht erreichen, so sind auch die Differenzen
der letzteren sehr wahrscheinlich auf die Unsicherheit der Zahlen
der letzten K o l o n n e zurückzuführen.
22. D i e mittlere Präcision berechnet sich aus K o l . S z u
0,0386, aus K o l . Q zu 0,0410; für unsere weitere R e c h n u n g ver­
dient der erstere W e r t jedenfalls den V o r z u g . U e b r i g e n s ist in­
folge der sehr grossen Verschiedenheit der Einzelpräcisionen eine
leidliche U e b e r e i n s t i m m u n g der beobachteten
Fehlerverteilung
mit der auf G r u n d einer einzigen Mittelpräcision berechneten nur
für eine kleine Fehlerstrecke zu erwarten. — M i t dem A u s g a n g s ­
wert 1042 erhält m a n folgende G r u p p e n :
Beobachtete Fälle
Fehler
Theorie
(+)
(-)
(±)
117
72
46
122
72
40
239
144
86
49l
32
12
Ueber 4 9 ^
'9
25
17
11
57
29
30
(+)
0
bis
gl
9l
„
194
19*
29J
39i
.. 291
„ 39-1
„
232
185
104
46
14
4
D i e bedeutenden Differenzen der beiden letzten R e i h e n
entstehen also hier durch die U n g e n a u i g k e i t der theoretischen
R e c h n u n g , indem die B e d i n g u n g , dass die Einzelpräcisionen von
der Mittelpräcision nicht sehr verschieden sein dürfen, in diesem
F a l l e nicht erfüllt ist. W i r teilen daher die Bezirke in mehrere
G r u p p e n , bilden für jede eine Mittelpräcision, berechnen hiernach
die z u g e h ö r i g e Fehlerverteilung u n d addieren schliesslich die
korrespondierenden Fehlerzahlen der sämtlichen G r u p p e n .
23. A l s erste G r u p p e nehmen wir die Bezirke in der oben
aufgestellten R e i h e v o n L o n d o n bis incl. D u r h a m ; m a n findet
eine Mittelpräcision v o n 0,0781, und hiernach ist also die V e r ­
teilung v o n 78 Fehlern zu berechnen. (Eine weitere Z e r l e g u n g
dieser G r u p p e in die drei grösseren und die drei kleineren B e z i r k e
mit den Präcisionen 0,0997
d 0,0566 giebt ein v o n dem ersteren
nur unerheblich abweichendes Gesamtresultat.)
u
n
—
'57
—
D i e zweite G r u p p e bestehe aus den 10 Bezirken W a r w i c k
bis N o r d - W a l e s incl.; Mittelpräcision 0,0431, womit also die V e r ­
teilung von 1 3 0 Fehlern zu berechnen.
Dritte G r u p p e : die 13 Bezirke E s s e x bis incl. N o r t h a m p t o n ;
Mittelpräcision 0,0351, anzuwenden auf 169 Fälle.
V i e r t e G r u p p e : die 13 Bezirke Wiltshire bis einschl. H e r e ford; Mittelpräcision 0,0265, anzuwenden auf 169 Fälle.
Fünfte G r u p p e : die drei kleinen Bezirke H u n t i n g d o n , W e s t moreland, R u t l a n d ; 39 F ä l l e mit der Mittelpräcision 0,0130. Diese
kleinen Grafschaften wären besser mit benachbarten zu grösseren
Beobachtungsgebieten zu verschmelzen.
Fehler
Beobachtung
(±)
(+)
a
er
A u f diesem W e g e erhalten wir nun die in der folgenden
Uebersicht unter b aufgestellte Fehlerverteilung, während unter
a zur V e r g l e i c h u n g die oben aufgeführten ungenauen Zahlen
nochmals beigefügt sind:
239
144
86
232
185
104
46
223
166
bis
0
9'
19.;
2
9i
395
gJ
„
19J
29.1
„
39i
- 491
Ueber 4 9 ]
Theorie
57
29
14
4
3°
93
5°
25
27
D i e B e o b a c h t u n g e n und die R e s u l t a t e der korrekteren Theorie
unter b stimmen jetzt befriedigend zusammen. M a n beachte, dass
die einzelnen Fehlerstrecken hier nur halb so gross sind, wie in
dem der preussischen Statistik entnommenen Beispiele. D i e mitt­
lere Präcision der hier vorliegenden B e o b a c h t u n g s g r ö s s e n ist
w e g e n der grösseren Geburtenzahlen bedeutend grösser, als in
dem vorigen Falle, und die Fehler drängen sich daher viel enger
um den A u s g a n g s w e r t zusammen.
A u c h die für sich betrachtete V e r t e i l u n g auf der positiven
und negativen Seite harmoniert zur G e n ü g e mit der Theorie,
wenn man etwas grössere Fehlergruppen vergleicht:
Fehler
(+)
o
19*
bis 19.J
„
39i
Ueber 3 9 5
Beobachtete Fälle
Theorie
(+>
(-)
( + «• - )
189
194
194I
78
65
71J
31
28
26
D i e G e s a m t z a h l der positiven Fehler ist 298, die der nega­
tiven 287.
I
-
158
-
24- W i r betrachten nun auch ein Beispiel aus der
schen
Statistik.
Departement
Die
5
5 Jahre
1861—65
Bestimmungen
liefern
uns
französi­
für
jedes
der Zahl z (wir schliessen
auch
in diesem F a l l e die Totgeborenen a u s ) , im ganzen also 445 E i n ­
zelwerte.
der
A l s wahrscheinlichsten
Beobachtungen
für
ganz
Wert
nehmen
Frankreich in
wir das Mittel
der
angegebenen
Periode, nämlich 1 0 5 1 . Die Einzelpräcisionen konnten in diesem
F a l l e nach der physikalischen Methode
weil
für
liegen.
bietet
jedes
Departement
Die B e r e c h n u n g
keine
sondern
nur 5 Bestimmungen
nach
Schwierigkeit;
bleiben
bei
nicht berechnet
der statistischen
wir
wenden
sie
werden,
z
vor­
Methode
von
aber
jedoch
nicht
an,
dem oben angedeuteten
summarischen V e r ­
die Gruppen der positiven
und negativen A b ­
fahren stehen.
'
Bildet man
weichungen,
so kommen
die empirische
auf die S t r e c k e
— i g \
bis
243;
~ \ - i g i
Wahrscheinlichkeit eines Fehlers in diesen
Gren-
24 s
zen
ist also
— - = 0,546,
und
wenn
w i r diese
der
objektiven
445
Wahrscheinlichkeit gleichsetzen,
also als einen W e r t von F „ be­
handeln, so ist das entsprechende u = 0 , 5 3 1 ; man setzt also 0,531
=
1 9 ^ . H , wenn H die Mittelpräcision
nach H = 0,0272.
darstellt, und erhält dem­
Mit H ü l f e dieses W e r t e s berechnen
sich nun
die Fehlergruppen wie folgt:
Beobachtete Fälle
(±)
(-)
Fehler
(±>
0
bis 9 l
I9l
„ 291
291 » 391
391 „ 4 9 j
9l
~9l
Theorie
(±)
(+)
„
64
60
58
61
122
121
127
116
5°
25
20
18
43
21
93
46
15
10
35
28
95
57
32
25
Ueber 4 9 J
Die beiden letzten Kolonnen zeigen eine grössere Ueberein­
stimmung,
als man
in A n b e t r a c h t der sehr grossen Präcisions-
verschiedenheiten der Einzelwerte von z erwarten möchte.
jedoch
hier zu beachten,
zirke verhältnismässig
5 W e r t e geliefert
tremen
gross ist, von jedem
werden.
Departements (Seine
Basses-Alpes
und
E s ist
dass die A n z a h l der Beobachtungsbe­
Lozere
M a n könnte
einzelnen aber nur
daher z. B . die 5
und N o r d einerseits,
andererseits
ganz
ex­
Hautes-Alpes,
weglassen,
ohne
dass durch die B e s e i t i g u n g der 25 entsprechenden Beobachtungs­
werte die
verhältnismässige Gruppierung der übrigen
420
Ab-
i
—
I
5
9
-
weichungen und die aus derselben summarisch abgeleitete
pirische Mittelpräcision sich merklich ändern würde.
em­
25. Interessant ist auch, dass man bei Z e r l e g u n g der D e ­
partements in zwei A b t e i l u n g e n mit verschiedener Mittelpräcision
(ebenfalls nach dem summarischen V e r f a h r e n bestimmt) sehr nahe
dieselben R e s u l t a t e erhält, wie oben.
N i m m t man in die erste G r u p p e die 44 Departements, welche
n a c h den E r g e b n i s s e n des J a h r e s 1861 die grössten G e b u r t e n ­
zahlen aufweisen (220 Einzelwerte), in die zweite die 45 übrigen
(225 Werte), so findet man, indem man wieder die empirische
Wahrscheinlichkeit einer A b w e i c h u n g zwischen — i g ± und - ) - i g
der theoretischen gleich annimmt (in beiden Fällen bleibt der
A u s g a n g s w e r t 1 0 5 1 ) , als empirische Mittelpräcisionen resp. 0,032a
und 0,0227.
1
Hieraus folgt die V e r t e i l u n g der A b w e i c h u n g e n auf
oben angegebenen Fehlerstufen bei der ersten G r u p p e
die
Theorie (+): 73 — 64—43—24— 1 1 — 5
Beob. (+):
bei der zweiten
70 — 67— 4 5 — i b — 1 3 — 9
Gruppe:
Theorie ( + ) : 5 4 — 5 2 — 4 2 — 3 1 — 2 1 — 2 5
Beob. ( + ) :
5 2 — 5 4 — 4 8 - 3 0 —22 — i g
D i e S u m m e n der korrespondierenden theoretischen G r u p p e n
betragen also: 127 — 1 1 6 — 8 5 — 5 5 — 3 2 — 3 0 .
Diese Zahlen weichen von den oben unmittelbar gefundenen
w e n i g ab und im ganzen stimmen diese letzteren eben so g u t
mit den Beobachtungen, wie die mit H i l f e zweier Mittelpräcisionen
berechneten.
26. A u s den obigen E r ö r t e r u n g e n und Beispielen ist n u n
ersichtlich, wie man entscheiden kann, ob eine g e g e b e n e A n z a h l
von B e o b a c h t u n g e n derselben Grösse, die gleiche oder ver­
schiedene Präcision besitzen, den Beweis liefert, dass die be­
treffende G r ö s s e einen normalen oder typischen W e r t besitzt, der
in dem Einzelfalle nur durch z u f ä l l i g e S t ö r u n g e n modifiziert
ist. D a b e i ist aber angenommen worden, dass wir wenigstens
einige H u n d e r t Einzelwerte zur V e r f ü g u n g haben.
O b w o h l nun aber gezeigt worden, dass man sich die g e ­
n ü g e n d e A n z a h l von Einzelwerten leichter verschaffen kann, als
es auf den ersten B l i c k m ö g l i c h scheint, so bleibt es doch in
i6o
—
vielen F ä l l e n wünschenswert,
—
sich auch
in B e z u g auf
kleinere
Beobachtungsreihen, z. B . von 2 5 — 30 Einzelwerten von gleicher
Präcision,
ein
Urteil darüber
zu
verschaffen,
ob
sie
mit
der
V o r a u s s e t z u n g eines zufällig gestörten N o r m a l w e r t e s in E i n k l a n g
stehen.
Zur
Beantwortung
dieser
Frage
giebt
es
verschiedene
Kriterien.
Kann
die beobachtete
G r ö s s e als
eine
empirische
Wahr­
scheinlichkeit oder als F u n k t i o n einer solchen aufgefasst werden,
so untersuche man auf die oben a n g e g e b e n e Weise, ob die nach
der statistischen
physikalischen
M e t h o d e berechnete Präcision mit der nach der
Methode
Ist dies der Fall,
der
Einzelwerte
durch die oben
und die
der
so
bestimmten
darf man
schliessen,
einigermassen
angegebene
annähernd
dass die V e r t e i l u n g
derjenigen
entspricht,
Exponentialfunktion
A n n a h m e zufälliger
zusammentrifft.
S t ö r u n g e n des
welche
gegeben
wird
Normalwertes
entspricht.
S t a t t der beiden Präcisionsbestimmungen
kann man
natür­
lich auch die wahrscheinlichen Fehler, die sich nach den beiden
Methoden
ergeben,
miteinander vergleichen, da der vvahrschein-
F e h l e r r, wie bereits mehrfach erwähnt wurde, mit der Präcision
h durch die G l e i c h u n g r =
verbunden ist.
°'^J^~-
0
h
Ist die nach der physikalischen M e t h o d e bestimmte Präcision
beträchtlich
lieferte (in
kleiner, als die
von
welchem Falle neben
der statistischen
Methode
ge­
der „statistischen" Fehlerquelle
noch andere mitwirken), oder k a n n die B e o b a c h t u n g s g r ö s s e nicht
als eine Wahrscheinlichkeit behandelt
den
wahrscheinlichen
Fehler
werden, so berechne man
nach der physikalischen
Methode
(Methode der kleinsten Quadrate) und sehe zu, ob die positiven
und negativen
Abweichungen
vom
Mittelwerte wirklich
inner­
halb der gefundenen G r e n z e n annähernd ebenso zahlreich sind,
wie
ausserhalb derselben.
Allzu
g e r i n g darf natürlich die
ge­
g e b e n e Zahl von B e o b a c h t u n g e n nicht sein.
F i n d e t nun eine leidliche U e b e r e i n s t i m m u n g des berechne­
ten
wahrscheinlichen
teilung
statt und
Fehlers
mit
ist ausserdem
der
die
beobachteten
G e s a m t z a h l der
Fehlerverpositiven
F e h l e r von derjenigen der negativen nicht sehr verschieden, so ist
wieder der S c h l u s s , wenn
auch nicht sicher, so doch
genügend
t
i6i
—
—
gerechtfertigt, dass nur der Zufall die A b w e i c h u n g e n der E i n z e l ­
werte v o n einem typischen N o r m a l w e r t e erzeugt habe.
27. E n d l i c h sei noch ein anderes K r i t e r i u m erwähnt.
Wenn
wirklich nur zufällige A b w e i c h u n g e n von einem N o r m a l w e r t vor­
liegen, d. h. wenn die E x p o n e n t i a l f u n k t i o n massgebend ist für die
Verteilung
der
Abweichungen,
S u m m e n der verschiedenen
nach
genommenen
denen
wir
hier
so
zwischen
den
Potenzen der ihrem absoluten W e r t e
1
Abweichungen
die
bestehen
gewisse B e z i e h u n g e n ) ,
einfachste zur A n w e n d u n g bringen
von
wollen.
2
Ist wie oben n die Zahl der B e o b a c h t u n g e n , [<5 ] die S u m m e der
Fehlerquadrate
positiv
und
[<5] die
genommenen
Summe
der
einfachen
sämtlich
A b w e i c h u n g e n , so hat man (mit gewissen
V e r n a c h l ä s s i g u n g e n ) die G l e i c h u n g :
n
wo
n
die
^
[<5?
n
2
2
=
~
2[<5 ]
^ n
Ludolph'sche Zahl
den zufälligen
2
.
oder
2n[(5 ]
—
± ^ [<5]
jz =
f
bedeutet.
Beobachtungsfehlern
,
2
M a n kann
die
Zahl
n
somit
aus
berechnen,
wie
F e c h n e r dies mit H ü l f e seiner psychophysischen B e o b a c h t u n g e n
g e t h a n hat.
N i c h t sowohl
Richtigkeit
auf das oben
wir
n
als K u r i o s u m , sondern
unserer
aus
Voraussetzungen
behandelte
den
24
preussische
monatlichen
R e g i e r u n g s b e z i r k berechnen.
als K r i t e r i u m für die
wollen
wir diese
Material
Formel
anwenden,
Beobachtungswerten
indem
für jeden
U m j e d o c h die Unsicherheit, welche
aus der g e r i n g e n Zahl der B e o b a c h t u n g e n entsteht, so weit wie
2
m ö g l i c h zu beschränken, wenden wir eine nach F e c h n e r ) a b g e ­
leitete K o r r e k t i o n jener F o r m e l an.
unter den
wahren
d die
Abweichungen
Werte
verstanden;
w e i c h u n g e n aber nehmen
werte
von
In derselben
der
statt
sind
nämlich
Einzelbeobachtungen
dieser
(unbekannten)
vom
Ab­
wir die A b w e i c h u n g e n der 24 E i n z e l -
ihrem arithmetischen Mittel.
H a b e n also die (5 diese
2
modifizierte
B e d e u t u n g , so ist der
wahrscheinlicherweise
dem
__
,
.
,
Ausdruck
2 n[<5 ]
~ T $ j i ' ' damit
-
e
r
dem W e r t e j z möglichst nahe k o m m e , mit
,
Korrektionsfaktor —
n
(jin—
;
i)
;
2
,
— a l s o
(n—\)n
2
.
für n =
24
mit 1 , 0 1 5
zu multiplizieren.
1 ) Der Beweis findet sich im Berliner astronomischen Jahrbuch von 1 8 3 4 , S. 2 8 9 ff.
2) Psychophysik, II. Teil, S. 3 7 1 .
Lexis,
B e v ö l k e r u n g s - u. M o r a l s t a t i s t i k .
11
N e h m e n wir wieder als Beispiel die oben bereits v e r w e n ­
deten D a t e n für K ö n i g s b e r g .
D a s M i t t e l der 24 M o n a t s w e r t e
von z ist 1 0 5 1 , die S u m m e der Q u a d r a t e der A b w e i c h u n g e n
26578, die einfache S u m m e der A b w e i c h u n g e n ohne R ü c k ­
sicht auf das Vorzeichen 646 und es soll also der A u s d r u c k
2.24.26578
„ ,.
,
- 1 , 0 1 5 der Zahl 71(3,14..) nahe k o m m e n .
,
.
Die A u s -
(646) ^
f ü h r u n g der R e c h n u n g ergiebt in der T h a t 3,103, w a s mit R ü c k ­
sicht auf die g e r i n g e Zahl der zu G r u n d e gelegten B e o b a c h t u n g e n
eine sehr g u t e B e s t ä t i g u n g unserer theoretischen V o r a u s s e t z u n g
bildet.
28. I n ähnlicher W e i s e findet man aus den B e o b a c h t u n g e n
der
übrigen
B e z i r k e folgende
e r u n g e n an
Königsberg
Bromberg A. n n
. äh
• 2,913
Staden :. . .
2,920
Gumbinnen
Danzig .
Marienwerder
Berlin . .
Potsdam
Frankfurt .
Stettin . .
Köslin .
Stralsund .
Posen . .
.
.
• 3,103
•
2,937
•
2,639
•
3,366
•
2,982
•
3,333
• 3.75
• 3,423
.
2,898
1
.
.
•
.
3,373
2,996
Breslau .
Liegnitz
Oppeln .
Magdeburg
Merseburg .
Erfurt . .
Schleswig .
Hannover .
Hildesheim
Lüneburg .
.
.
•
2,987
•
.
•
3,359
2,882
2,823
•
•
•
3,509
3,35o
2,735
•
•
3,497
2,585
•
3,oio
Osnabrück-Aur.
Münster
Minden
Arnsberg .
Kassel .
Wiesbaden
Koblenz
Düsseldorf
Trier
Aachen
. .
3,402
2,512
3,566
3>562
2,767
3,389
3,468
2,893
3,264
3,38o
D a s Mittel aus den 1 1 W e r t e n der ersten R e i h e ist 3,164,
das Mittel aus der zweiten K o l o n n e 3,05g, das Mittel aus der
dritten 3 , i g 3 , das Mittel aus den sämtlichen 33 W e r t e n endlich
3 , 1 3 g oder rund 3 , 1 4 , k o m m t also d e m W e r t e v o n n auf zwei
Dezimalstellen gleich.
A u c h die A n n ä h e r u n g e n der E i n z e l werte an n sind so be­
friedigend, als m a n es bei A n w e n d u n g von nur j e 24 B e o b a c h ­
tungsfehlern verlangen kann.
N u r in einem einzigen Bezirke, nämüch K ö l n , das in die
obige Zusammenstellung nicht mit a u f g e n o m m e n worden, k o m m t
eine g a n z abnorme Zahl heraus, nämlich 4,344. A l s G r u n d dieser
A n o m a l i e erkennt m a n die g a n z ungewöhnliche V e r t e i l u n g der
W e r t e v o n z , indem einerseits die kleinen A b w e i c h u n g e n v o m
Mittel verhältnismässig zahlreich sind, andererseits aber der g a n z
extreme u n d a priori nach der monatlichen Geburtenzahl höchst
unwahrscheinliche W e r t 1 2 2 5 (November 1868) auftritt.
Zieht m a n bei der B i l d u n g des allgemeinen Mittels dieses
anomale R e s u l t a t mit hinzu, so erhält m a n 3 , 1 7 1 , eine Zahl, d i e
—
i63
—
immer noch nicht allzuweit von n abweicht, und wahrscheinlich
würde schon das Hinzutreten einiger weiteren Einzelbestimrnungen
g e n ü g e n , u m die hier entstandene U n e b e n h e i t auszugleichen. A u s
den 24 monatlichen Beobachtungsresultaten v o n 1869 und 1870
ergiebt die F o r m e l auch für K ö l n den g e n ü g e n d stimmenden
W e r t 3,413.
29. Sieht man die oben berechneten W e r t e als zufällige
Modifikationen einer G r ö s s e an, die den wahren W e r t n hat, so
kann man untersuchen, ob die unter dieser V o r a u s s e t z u n g be­
rechnete wahrscheinliche A b w e i c h u n g durch die B e o b a c h t u n g be­
stätigt wird. W i r runden zu diesem Z w e c k e die sämtlichen Z a h ­
len auf zwei Dezimalstellen a b und bilden die A b w e i c h u n g e n von
dem wahren W e r t 3 , 1 4 .
E s finden sich, wenn man sämtliche 34 B e o b a c h t u n g s g e b i e t e
in Betracht zieht, gleich viel positive und negative A b w e i c h u n g e n .
B e i der B e s t i m m u n g des mittleren Fehlers ist 34 als Divisor zu
nehmen, weil der A u s g a n g s w e r t der w a h r e ist. D e r wahrschein­
liche Fehler berechnet sich alsdann (indem der W e r t 4,344 mit
berücksichtigt wird) zu 0,254.
N u n findet man in der T h a t 18
A b w e i c h u n g e n zwischen —0,25 und 4 - 0 , 2 5 (die G r e n z w e r t e mit
einbegriffen) und 16 ausserhalb dieser Grenzen. L ä s s t m a n jenen
abnormen W e r t beiseite, so erhält man einen wahrscheinlichen
F e h l e r von 0,216, mit einer wahrscheinlichen Unsicherheit v o n
+ 0,018. N a c h den B e o b a c h t u n g e n liegen von den 33 A b w e i c h ­
u n g e n 14 in der S t r e c k e —0,23 bis -f-0,23 (die Grenzwerte ein­
begriffen) und 19 ausserhalb derselben.
Dieser kleinere W e r t
des wahrscheinlichen Fehlers stimmt also weniger g u t mit den
B e o b a c h t u n gen.
E s ist in dem Vorstehenden a n g e n o m m e n worden, dass die
Präcision aller dieser N ä h e r u n g s b e s t i m m u n g e n von n dieselbe sei,
w a s nur insofern berechtigt ist, als jeder E i n z e l b e s t i m m u n g die
gleiche A n z a h l v o n (24) W e r t e n von z zu G r u n d e liegt.
30. A l s R e s u l t a t unserer
U n t e r s u c h u n g ergiebt
sich
also
folgendes:
D i e Zahl 2 (oder auch die empirische Wahrscheinlichkeit
einer K n a b e n g e b u r t ) gehört in ihren Einzelbestimmungen zu
denjenigen statistischen Grössen, welche (wenigstens innerhalb
einer gewissen Zeitperiode u n d eines gewissen geographischen
11*
—
164
—
Gebietes) als z u f ä l l i g e Modifikationen eines typischen N o r m a l ­
werts anzusehen sind.
D i e s e E i g e n t ü m l i c h k e i t aber ist nicht in dem gewöhnlichen,
v a g e n Sinne, sondern in ihrer mathematischen S t r e n g e aufzu­
fassen: der typische N o r m a l w e r t ist ein eigentlicher Mittelwert
im S i n n e der Wahrscheinlichkeitsrechnung, d. h. die W a h r s c h e i n ­
lichkeit einer g e g e b e n e n A b w e i c h u n g von demselben ist durch
die oben angeführte E x p o n e n t i a l f u n k t i o n bestimmt.
M i t anderen W o r t e n , die Veränderlichkeit in dem Geschlechts­
verhältnis lässt sich zurückführen auf das S c h e m a der W a h r s c h e i n ­
lichkeitsrechnung.
A n n ä h e r n d dieselben 8 1 6 Zahlen, welche wir
oben für z als R e s u l t a t e von 24 monatlichen B e s t i m m u n g e n in
34 preussischen Bezirken gefunden haben, w ü r d e n s i c h i n a n ­
nähernd d e r s e l b e n V e r t e i l u n g e r g e b e n , wenn man aus
einer U r n e , die s c h w a r z e u n d w e i s s e K u g e l n im V e r ­
h ä l t n i s von 1063 zu i o o o enthielte, j e 24mal so v i e l e
Z ü g e t h ä t e (mit j e d e s m a l i g e r Z u r ü c k l e g u n g d e r g e ­
z o g e n e n K u g e l ) , als die d u r c h s c h n i t t l i c h e m o n a t l i c h e
G e b u r t e n z a h l d e r e i n z e l n e n B e z i r k e b e t r ä g t und wenn
man alsdann die Zahl der in jeder Versuchsreihe g e z o g e n e n
schwarzen K u g e l n durch die z u g e h ö r i g e Zahl der weissen divi­
dierte und den B r u c h mit i o o o multiplizierte.
3 1 . W i e soll man sich aber die physiologische U r s a c h e
dieser E r s c h e i n u n g denken? N a c h der A r b e i t von D r . W . S t i e d a
über das S e x u a l v e r h ä l t n i s der G e b o r e n e n (Strassburg 1875) ist
g a r kein G r u n d mehr vorhanden, die H o f a c k e r - S a d l e r - H y p o t h e s e
festzuhalten. A u c h ist eigentlich nie G r u n d vorhanden gewesen,
sie anzunehmen, denn die Zahlen, auf die sie sich stützte, waren
viel zu klein, u m irgend welche Schlüsse zu gestatten. Bei einer
Versuchsreihe von 3200 Z ü g e n aus der oben erwähnten U r n e be­
steht noch immer die Wahrscheinlichkeit 0 , 1 1 3 , dass man statt
der richtigen Zahl 2 = 1 0 6 3 einen W e r t erhält, der unter 1004
oder über 1 1 2 2 liegt.
M a n kann also auch ungefähr noch 1
g e g e n 9 wetten, dass bei einer G r u p p e von 3200 G e b u r t e n die
G r ö s s e z unter resp. über diese G r e n z e n fallen werde, trotzdem
der N o n n a l w e r t gleich 1063 wäre.
H i e r a u s ist zu ersehen, wie
vorsichtig man zu W e r k e gehen muss, wenn man zur E r k l ä r u n g
der Verschiedenheiten der G r ö s s e z in verschiedenen G r u p p e n
i6
von
-
5
Geborenen, selbst w e n n jede einige
Tausend
Köpfe
zählt,
statt zufälliger U r s a c h e n spezifische und konstante annehmen will.
U n m ö g l i c h ist es nicht, dass jene H y p o t h e s e , die ursprüng­
lich auf S a n d gebaut
Boden
genügenden
worden, in Zukunft einmal auf dem
Materials begründet
werde.
festen
F ü r jetzt aber
brauchen wir uns durch sie nicht abhalten zu lassen, zur forma­
len E r k l ä r u n g der B e o b a c h t u n g e n über das Sexualverhältnis der
Geborenen die einfachste und bequemste V o r s t e l l u n g zu benutzen.
Diese V o r s t e l l u n g ist die, dass schon die sehr zahlreichen
fruchteten
das andere
unbe­
K e i m e in den weiblichen O v a r i e n für das eine oder
G e s c h l e c h t prädestiniert
1
seien ), und zwar
dass
bei
a l l e n weiblichen Individuen — um zunächst eine streng schema­
tische A n n a h m e zu machen
lichen
in
demselben
— die männlichen K e i m e die weib­
Verhältnisse überwiegen.
Die Analogie
mit der U r n e ist dann einleuchtend: jede B e f r u c h t u n g ist zu ver­
gleichen mit dem Z u g e einer schwarzen oder weissen K u g e l aus
derselben
Urne.
D a s bei allen weiblichen
Keime
würde
nun
k o m m e n in dem aus
len abgeleiteten
Individuen gleiche Verhältnis der
mehr oder
weniger
scharf zum A u s d r u c k
einigen hunderttausend oder Millionen F ä l ­
Verhältnis nicht der K n a b e n g e b u r t e n
Mädchengeburten,
sondern
der B e f r u c h t u n g e n
K e i m e zu d e n B e f r u c h t u n g e n weiblicher K e i m e .
tere V e r h ä l t n i s aber kennen
wir nicht.
zu den
männlicher
Dieses letz­
W i e gross ist die Zahl
nicht nur der F e h l g e b u r t e n in den ersten
M o n a t e n nach B e g i n n
der S c h w a n g e r s c h a f t , sondern auch derjenigen K e i m e , die in den
ersten W o c h e n nach der B e f r u c h t u n g abortieren,
dass die
Mutter darum weiss!
naten M ä r z bis J u n i
bryonen
von
nehmen , dass
3—5
die
vielleicht
ohne
W e n n in Paris in den vier M o ­
1868 24 E m b r y o n e n v o n 1 — 3 und 156 E m ­
Monaten r e g i s t r i e r t
G e s a m t z a h l solcher
w u r d e n , so ist anzu­
Frühgeburten
eine
sehr
I ) Dass der Embryo anfangs zweigeschlechtlich erscheint, steht dieser An­
schauung nicht im Wege, denn man kann annehmen, dass die schliesslich überwiegende
geschlechtliche Entwicklung in dem werdenden Organismus vorangelegt vorhanden sei.
So müssen ja auch alle Aehnlichkeiten mit dem V a t e r , in Farbe des Haares, der
Augen u. s. w. vom Augenblick der Befruchtung an in der Anlage vorhanden sein.
Uebrigens hat van B e n e d e n in neuerer Zeit gezeigt, dass bei niederen Thieren die
Geschlechtsanlage bis in den Beginn der Entwicklung hinaufreicht.
i66
—
beträchtliche
—
ist und die Zahl der registrierten
gewöhnlichen S i n n e vielleicht
Totgeburten
im
übersteigt.
32. A b e r wie die T o t g e b u r t e n eines L a n d e s zu der G e s a m t ­
zahl der
G e b u r t e n des
einen
und des anderen Geschlechtes in
einem annähernd konstanten V e r h ä l t n i s stehen, so darf m a n an­
nehmen, dass die nicht registrierten
geburten und A b o r t e zu den
und nicht bemerkten
beobachteten
der Geschlechter ebenfalls in einem konstanten
veränderlichen
Verhältnis bleiben.
Früh­
Geburtenzahlen
bei­
oder nur zufällig
Diese V o r a u s s e t z u n g g e n ü g t ,
damit die K o n s t a n z des Verhältnisses der männlichen und weib­
lichen K e i m e
auch für das Geschlechtsverhältnis der beobach­
teten G e b u r t e n einen N o r m a l w e r t mit der Wahrscheinlichkeits­
theorie
entsprechenden
Abweichungen
erzeuge.
W e i s e haben wir oben gesehen, dass dieselbe
sowohl
In
ähnlicher
Verteilungstheorie
auf die G e s a m t h e i t der G e b o r e n e n — wie in d e m Bei­
spiele aus der preussischen Statistik — als auch auf die L e b e n d ­
geborenen
allein
—
wie
in
den
Beispielen
von
England
und
F r a n k r e i c h •— a n w e n d b a r ist.
Uebrigens
nommene
Keime
ist
die
Hypothese
bei
allen
der
von
dem
weiblichen
grosse individuelle
grösseren
Einfachheit w e g e n
konstanten
Verhältnisse
Individuen nicht nötig.
Verschiedenheiten
vorhanden
ange­
der
E s dürfen
sein, wenn nur
das m i t t l e r e V e r h ä l t n i s für die der B e f r u c h t u n g ausgesetzten
Individuen von einem B e o b a c h t u n g s b e z i r k e z u m anderen (wenig­
stens
für
eine
gewisse
Periode)
annähernd
konstant
bleibt.
S c h w a n k u n g e n dieses Mittelverhältnisses eines Bezirkes von M o ­
nat zu M o n a t oder von J a h r
zu J a h r
dürfen vorkommen, wenn
sie nur den C h a r a k t e r der Zufälligkeit tragen.
I n d e s ist
nicht zu leugnen, dass in W i r k l i c h k e i t
verschie­
dene spezifische E i n w i r k u n g e n wenigstens die B e z i e h u n g e n dieses
Mittelverhältnisses zu den beobachteten W e r t e n von z in den ein­
zelnen
Bezirken
auf
verschiedene
städtische B e v ö l k e r u n g e n
pflegen
Art
modifizieren.
Gross­
d u r c h w e g kleinere W e r t e von
z aufzuweisen, als ländliche; ebenso ergeben die unehelichen G e ­
burten im g a n z e n kleinere Zahlen für z, als
die
ehelichen.
Das
V e r h ä l t n i s der S t a d t - zur L a n d b e v ö l k e r u n g , der ehelichen F r u c h t ­
barkeit
zur
unehelichen
schlechtsverhältnis
wird
also
der G e b o r e n e n
auf
eines
das
beobachtete
Ge­
B e z i r k s von E i n f l u s s
sein, ohne dass es jedoch u n u m g ä n g l i c h nötig ist, dieser E i n w i r -
—
167
—
k u n g e n w e g e n eine Verschiedenheit des Mittelverhältnisses
männlichen und weiblichen K e i m e anzunehmen.
der
33. M a n kann sich die S a c h e vielmehr so d e n k e n : A sei
die Zahl der männlichen, B die der weiblichen K e i m e , die in
einem Bezirke im L a u f e einer g e g e b e n e n Zeit befruchtet worden
und in den E n t w i c k l u n g s p r o z e s s eingetreten sind; a aber sei der
Bruchteil v o n A , ß der Bruchteil von B , welcher in dem frühe­
ren embryonalen S t a d i u m , bevor der F o e t u s als T o t g e b u r t re­
gistriert wird, in A b g a n g g e k o m m e n ist. S o hat man also für
das der B e o b a c h t u n g z u g ä n g l i c h e Verhältnis der K n a b e n - und
M ä d c h e n g e b u r t e n (incl. Totgeburten)
Das
K
A—«A
A
( 1 — a)
M
B—ßB
B
(i-ß)
A_
V e r h ä l t n i s ^ = r - kann
B
also
im Mittel
konstant
bleiben,
K
wenn auch das Verhältnis
für verschiedene G r u p p e n verschie­
dene Mittelwerte erhält: es k o m m t eben nur auf den B r u c h
-—~ = y an, der für uneheliche Geburten kleiner ist als für ehei—ß
liehe, für grossstädtische kleiner als für ländliche. E i n e solche
Veränderlichkeit v o n y, die auf der Veränderlichkeit von a und ß
beim U e b e r g a n g von einer G r u p p e zur anderen beruht, scheint
sehr annehmbar. D e r Prozentsatz der Totgeborenen ist bei den
unehelichen G e b u r t e n grösser als bei den ehelichen; und mit
R ü c k s i c h t hierauf, wie auch aus anderen E r w ä g u n g e n , ist es sehr
wahrscheinlich, dass auch der Prozentsatz der frühen F e h l g e b u r ­
ten und der in der ersten E n t w i c k l u n g s p h a s e erstickten K e i m e
bei der ersteren K a t e g o r i e grösser sei, als bei der zweiten. W e n n
andererseits schon bei den ehelichen Geburten wohl glaublich
ist, dass a ^> ß, also y ein echter B r u c h , so g e n ü g t schon, dass
für die unehelichen a und ß u m gleich viel wachsen, um ein
kleineres y und somit auch ein kleineres
für diese K a t e g o r i e
hervorzubringen.
W e n n aber die G e f a h r einer
unehelichen
F r ü h g e b u r t für einen männlichen F o e t u s s t ä r k e r zunimmt, als
für einen weiblichen — wie es sich hinsichtlich der unehelichen
T o t g e b u r t e n aus vielen B e o b a c h t u n g e n herausstellt — so wird
das y für
die
unehelichen
Geburten im
V e r g l e i c h mit dem für
die ehelichen sich noch mehr verkleinern.
Auch
es
nicht
in
Bezug
auf
die grossstädtischen
allzu kühn, einen
geburten
—
also
vergrösserten
V e r g r ö s s e r u n g der
G e b u r t e n scheint
Prozentsatz v o n F r ü h ­
B r ü c h e a und ß
— mit
stärkerer B e n a c h t e i l i g u n g des männlichen G e s c h l e c h t s anzunehmen,
u n d es würden sich überhaupt alle konstanten
j^jr in gewissen
Minderwerte von
G r u p p e n auf diesem W e g e erklären lassen.
U e b r i g e n s soll in diesen E r ö r t e r u n g e n nicht etwa eine p h y ­
siologische
Hypothese
zur
Erklärung
des
Ueberschusses
der
K n a b e n g e b u r t e n aufgestellt sein, sondern es war, wie bereits be­
merkt wurde, nur die E n t w i c k l u n g einer A n s c h a u u n g s w e i s e be­
absichtigt, v e r m ö g e
mässigkeiten
sten begreift.
gehen,
wie
welcher
man
die früher dargelegten R e g e l ­
in den E r s c h e i n u n g e n am leichtesten und bequem­
M a n könnte auch von anderen V o r s t e l l u n g e n aus­
z. B . von
denen, welche der Sadler-Hofacker'schen
H y p o t h e s e zu G r u n d e liegen, aber für jetzt sind wir durch nichts
genötigt,
diesen
verwickeiteren
Ansichten
den
Vorrang
ein­
zuräumen.
34. Z u m S c h l u s s sei noch hervorgehoben, dass die A n n a h m e
eines in allen
Beobachtungsgebieten
gleichen
Normalwertes von
z nicht g e n a u ist, schon d e s w e g e n , weil die unehelichen
städtischen
G e b u r t e n in den
verschiedenen
schiedenen
E i n f l u s s auf das Verhältnis
und die
Bezirken einen verausüben würden, selbst
M
wenn das Verhältnis —
B
in allen Bezirken
konstant
wäre.
In
einem grösseren L a n d e giebt es also wahrscheinlich mehrere lo­
kal und
geographisch
bestimmte
Normalwerte
von
z.
Auch
m ö g e n diese N o r m a l w e r t e l a n g s a m e n A e n d e r u n g e n im L a u f e der
Zeit unterworfen sein,
so dass man w o h l daran thun wird, die
Perioden, deren B e o b a c h t u n g e n man gruppieren will, nicht zu l a n g
zu nehmen.
Trotz jener
heit der N o r m a l w e r t e
friedigende
wahrscheinlichen
lokalen V e r s c h i e d e n ­
aber haben wir d o c h im obigen eine be­
Uebereinstimmung
zwischen
Theorie
und B e o b a c h ­
t u n g erhalten unter der A n n a h m e , dass wir es nur mit zufälligen
Modifikationen
eines e i n z i g e n
D a d u r c h wird bewiesen,
Normalwertes
zu thun
hätten.
dass die M e h r z a h l der B e o b a c h t u n g e n
16g —
—
auf N o r m a l w e r t e zu beziehen
einander verschieden
ist, die nicht oder nur w e n i g v o n ­
sind; einzelne
Beobachtungsgruppen
aber
können immerhin zu weiter abseits liegenden Mittelwerten gehö­
ren,
und indem
diese ebenfalls auf den allgemeinen
Mittelwert
bezogen wurden, sind wahrscheinlich m a n c h e der S t ö r u n g e n ent­
standen, die sich, wenn a u c h nicht in bedenklicher W e i s e , oben
in der H a r m o n i e zwischen
stellt haben.
ungen,
Bei der weiteren
wie ich sie beabsichtige,
beantworten
benen
Theorie und B e o b a c h t u n g herausge­
Lande
F o r t f ü h r u n g dieser
wird
Untersuch­
also auch die F r a g e zu
sein, ob sich die G e s a m t m a s s e der in e i n e m
bestimmten
Einzelwerte
g e o g r a p h i s c h unterschiedene
von z
Partialmassen
gege­
nicht in mehrere
zerlegen
lasse,
denen jede sich der Theorie g e m ä s s u m einen besonderen
von
Nor­
malwert gruppiert').
i) Eine Fortführung
der obigen Untersuchungen
findet sich in meiner Schrift
,,Zur Theorie der Massenerscheinungen, S. 6 4 ff., ferner in den Freiburger Dissertationen
von
Stark
über das Geschlechtsverhältnis
bei unehelichen
Geburten
und bei Tot­
geburten ( 1 8 7 7 ) und von H e r r l über das Geschlechtsverhältnis bei Mehrlingsgeburten
(1884).
Fernere Anwendungen
von L e h r ,
der
Wahrscheinlichkeitsrechnung
auf
diese
Frage
Zur Frage der Wahrscheinlichkeit von weiblichen Geburten und von Tot­
geburten (Zeitschrift für das ges. Staatsw., X L V . ( 1 8 8 9 ) , S. 1 7 2 ff. und S. 5 2 4 ff.) und
von G e i s s l e r , Beiträge zur Frage des Geschlechtsverhältnisses der Geborenen (Zeitschr.
des Kgl. sächs. Statist. Bureaus, X X X V ( 1 8 8 9 ) , Heft I u. II).
statistischen und der physiologischen Untersuchung
Wegen der allgemeinen
des Gegenstandes und der zuge­
hörigen Literatur s. v. M a y r , Statistik und Gesellschaftslehre, Bd. II, S. 1 8 6 ff. und
Handwörterbuch der Staatsw. Art. Geschlecbtsverhältnis der Geborenen und Gestorbenen.
Vlil. Ueber die Theorie der Stabilität statistischer
Reihen \
i. D i e Massenerscheinungen des Menschenlebens lassen sich
durch
statistische
gewissen
Zahlen oder
Zahlenverhältnisse
G r a d e äusserlich charakterisieren.
bis zu
einem
Stellt man nun diese
numerischen S y m p t o m e für eine R e i h e von Beobachtungsstrecken
zusammen, so gehen ihre V e r ä n d e r u n g e n denjenigen der betrach­
teten Massenerscheinung parallel.
verschiedenen
G l i e d e r einer statistischen
im einzelnen
D i e s e Z a h l e n b e w e g u n g tritt in
H a u p t f o r m e n auf: in manchen
R e i h e trotz aller
F ä l l e n zeigen
die
Unregelmässigkeiten
eine im ganzen durchdringende Tendenz zur V e r ­
ä n d e r u n g in einer bestimmten R i c h t u n g ; diese R e i h e n entsprechen
einer gewissermassen historischen E n t w i c k e l u n g und m ö g e n daher
„evolutorische" g e n a n n t
werden.
In anderen R e i h e n finden wir
zwar eine gewisse Gemeinschaftlichkeit der V e r ä n d e r u n g s r i c h t u n g
in benachbarten Gliedern, aber im ganzen doch nur ein A u f - und
A b g e h e n , das graphisch durch unregelmässige Wellenlinien dar­
zustellen
werden
wäre,
weshalb
diese R e i h e n
„undulatorische" g e n a n n t
könnten.
K e h r t e n diese B e w e g u n g e n in B e z u g auf W e l l e n l ä n g e und
Amplitude
regelmässig
wieder,
so
hätten
wir
„periodische"
Reihe
gänzlich zu­
Reihen.
Wenn
dagegen
sammenhanglos
die
in einem
Einzelwerte einer
gewissen
Spielraum aufwärts und ab­
wärts springen, so dürfte die B e z e i c h n u n g „oscillatorisch" für die­
selbe gerechtfertigt sein.
E i n e scharfe A b g r e n z u n g dieser K l a s s e
von
Reihen
den
undulatorischen
ist
ebensowenig
eine g e n a u e T r e n n u n g der letzteren von der
möglich,
wie
evolutorischen.
l ) Zuerst erschienen in Conrad's Jahrbüchern, Bd. X X X I I ( 1 8 7 9 ) , S. 6 0 ff.
U n t e r diesen allgemeinen Begriff der oscillatorischen R e i h e n
aber würde nun eine K l a s s e fallen, die man allen
g a n z eigenartig gegenüberstellen
R e i h e n , deren
übrigen als
könnte, nämlich die „typischen"
E i g e n t ü m l i c h k e i t darin besteht,
dass ihre E i n z e l ­
werte u n g e n a u e Darstellungen eines konstanten G r u n d w e r t e s sind,
der
nur mit r e i n
zufälligen
Abweichungen
zum
Ausdruck
kommt.
2. I n allen
angeführten
K l a s s e n von
Reihen
können
die
V e r ä n d e r u n g e n der Einzelwerte in so engen Grenzen bleiben, dass
m a n den letzteren nach subjektiver S c h ä t z u n g eine gewisse relative
Konstanz
zuschreiben
auch bei
solchen
dürfte.
sofort,
dass
die Stabilität
oder
der G e g e n s a t z derselben, die Dispersion, sehr verschieden ist.
Man
relativ
Doch
konstanten
erkennt
Reihen
man
bedarf daher eines M a s s e s der Stabilität oder der Dispersion, und
z w a r eines solchen, das auch bei R e i h e n von
N a t u r vergleichbar bleibt.
Prozentzahlen
Das
oder
R e i h e von
geringer als die jener anderen?
—
ist eine F r a g e , auf die man bei demologischen oder moral­
statistischen
A.
grösser
verschiedenartiger
Ist die Stabilität d i e s e r
von
welchen
U n t e r s u c h u n g e n sehr h ä u f i g geführt wird.
Oettingen
sich
kategorien
die
von J a h r
an
den
Regelmässigkeit
zu J a h r
die
Eheschliessungen
der
S o hält
Prozentsätze,
verschiedenen
mit
Civilstands-
beteiligen, für sehr
gross,
1
W . S t i e d a ) d a g e g e n glaubt sie, wenigstens für E l s a s s - L o t h r i n g e n ,
g a r nicht so hoch anschlagen zu dürfen.
entscheiden?
Schwankt
der
W i e ist da objektiv zu
Prozentsatz
der
Eheschliessungen
zwischen J u n g g e s e l l e n und J u n g f r a u e n in E l s a s s - L o t h r i n g e n weniger,
als in F r a n k r e i c h oder in E n g l a n d ?
weniger
als irgend
welche
andere
S c h w a n k t er mehr
oder
demologische Verhältniszahl,
wie z. B . die allgemeine Heiratsziffer?
Man
hat längst versucht, solche
beantworten.
F r a g e n zahlenmässig
zu
E s l a g nahe, die durchschnittliche A b w e i c h u n g der
Einzelglieder von ihrem Mittelwerte als Kriterium und M a s s g r ö s s e
der S c h w a n k u n g zu betrachten.
Wagner
S o verfuhren
(in seiner Selbstmordstatistik),
Oettingen.
Aber
namentlich A d .
2
G . M a y r ) und A . v o n
diese M e t h o d e ist nur eine empirische, und
1 ) Die Eheschliessungen in Elsass-Lothringen, Dorpat 1 8 7 8 .
2) Vgl. namentlich auch dessen Schrift über „die Gesetzmässigkeit im Gesell­
schaftsleben", S. 5 7 .
172
—
—
erst eine allgemeine theoretische E r ö r t e r u n g der F r a g e wird er­
geben, in welchen G r e n z e n sie berechtigt ist.
3. Zuerst muss
den statistischen
ein Unterschied
gemacht
R e i h e n von a b s o l u t e n
werden
zwischen
Zahlen und den R e i h e n
von solchen Verhältniszahlen, welche die F o r m von mathematischen
Wahrscheinlichkeiten
scheinlichkeiten
sind den absoluten
Bei
Reihen
schnittliche
oder auch von
haben.
F u n k t i o n e n solcher
Verhältniszahlen
Wahr­
ohne diesen C h a r a k t e r
gleichzustellen.
absoluter Zahlen ist nun allerdings die durch­
Abweichung
Schwankungsmass.
im
obigen
S i n n e *)
ein
brauchbares
S i n d diese R e i h e n evolutorisch oder undula-
torisch, so kann man überhaupt nur eine empirische Charakteristik
ihrer Veränderlichkeit aufstellen und als solche bietet sich uns die
durchschnittliche
Reihe
eine
A b w e i c h u n g in erster L i n i e dar.
typische,
so
dass
Ist aber die
Wahrscheinlichkeitsbeziehungen
zwischen den Einzelgliedern und dem Mittelwerte bestehen, indem
jene
als zufällige
Modifikationen
und letzterer
als
wahrschein­
lichster W e r t einer typischen G r u n d g r ö s s e anzusehen sind, so w ä r e
nach der Theorie die beste Charakteristik der Dispersion in der
wahrscheinlichen
Abweichung
vom
A b w e i c h u n g gegeben.
richtigen W e r t e , die
E s ist dies diejenige
bei
einer
sehr
grossen
Zahl von E i n z e l b e s t i m m u n g e n ebenso oft nicht erreicht wie über­
schritten
werden
verhältnismässig
würde.
kleinen
M a n kann aber auch schon aus einer
Anzahl
von
Einzelwerten
diese
wahr­
scheinliche A b w e i c h u n g , zwar nicht streng, aber doch nach ihrem
wahrscheinlichsten W e r t e bestimmen, und eine, allerdings
nicht
die genaueste, N ä h e r u n g dieser A r t wird mit H ü l f e der d u r c h ­
s c h n i t t l i c h e n A b w e i c h u n g ausgedrückt. E s ist nämlich näherungs­
weise die w a h r s c h e i n l i c h e
A b w e i c h u n g R = = 0,84350, wenn D
die d u r c h s c h n i t t l i c h e A b w e i c h u n g bezeichnet.
Wegen
dieser
angenäherten Proportionalität von R und D k a n n also die letztere
Grösse
auch
bei
typischen
Reihen
von
absoluten
Zahlen
als
S c h w a n k u n g s m a s s verwendet werden. W i e R ist dann auch D u m ­
gekehrt
Werte
proportional
der
Reihe
der
unter
Präcision,
den
mit welcher
gegebenen
die
einzelnen
Umständen
zustande
k o m m e n , und diese ist ihrerseits als M a s s der Stabilität zu be­
trachten.
I ) Die Abweichungen vom
sämtlich positiv zu nehmen.
Mittel sind ohne Rücksicht auf
das Vorzeichen
4. M a g m a n aber auch statt der theoretisch mehr zu em­
pfehlenden
weichung
wahrscheinlichen
die
durchschnittliche
zur Charakterisierung
der
Stabilität oder
Ab­
Dispersion
einer R e i h e benutzen, so folgt daraus noch keineswegs, dass diese
A b w e i c h u n g D in P r o z e n t e n
Bei evolutorischen
des Mittelwertes auszudrücken sei.
oder undulatorischen R e i h e n m a g m a n allen­
falls diese R e d u k t i o n anwenden, da in diesen Fällen D überhaupt
nur ein empirisches
und u n g e n ü g e n d e s Kriterium der V e r ä n d e r ­
lichkeit der untersuchten absoluten G r ö s s e darbietet.
die Einzelwerte
zufällige
Sind dagegen
Modifikationen eines G r u n d w e r t e s , so
liegt im allgemeinen g a r kein G r u n d zu der A n n a h m e vor, dass
die durchschnittliche (oder auch die wahrscheinliche) A b w e i c h u n g
irgendwie
von
der absoluten
G r ö s s e des G r u n d w e r t e s abhänge.
W e n n man wiederholte M e s s u n g e n eines W i n k e l s anstellt, die mit
zufälligen
Fehlern behaftet
sind, so h ä n g t der G r a d der U e b e r ­
einstimmung der Einzelwerte und somit der durchschnittliche oder
wahrscheinliche Fehler nicht von der G r ö s s e des zu bestimmenden
Winkels,
sondern
nur von der Beschaffenheit
des Instrumentes,
der Geschicklichkeit des Beobachters und den äusseren U m s t ä n d e n
ab, und zwei Versuchsreihen
werden
daher, w e n n diese G r u n d ­
l a g e n der Präcision dieselben bleiben, dasselbe S c h w a n k u n g s m a s s
ergeben, wenn auch der zu messende W i n k e l in dem einen F a l l e
z. B . 30 und in d e m anderen 60 G r a d
beträgt.
bare S c h w a n k u n g s m a s s ist also in diesem
und
nicht der in Prozenten
von D oder R .
D a s vergleich­
Beispiele der absolute
der Mittelwerte ausgedrückte W e r t
Dasselbe wird aber, wenn nicht besondere G r ü n d e
für einen bestimmten Z u s a m m e n h a n g zwischen der Präcision und
der G r u n d g r ö s s e sprechen,
Zahlen gelten.
bei
den
und eine gleiche
Anzahl
vollständig
Grösse oder Brustweite gemessen.
Reihe
eine
ergeben,
typischen
Reihen
absoluter
M a n habe z. B . eine A n z a h l zehnjähriger K n a b e n
grössere
erwachsener M ä n n e r
nach
V e r m u t l i c h wird die
erstere
durchschnittliche A b w e i c h u n g v o m
Mittel
als die letztere,
physischen
Unterschied
metrischen
Grössen
und diese Differenz ist es, welche dem
in der
entspricht.
Stabilität der
Bezieht
man
beiden
die
anthropo-
beiden
Ab­
w e i c h u n g e n auf die zugehörigen sehr verschiedenen G r u n d g r ö s s e n ,
so wird die D i v e r g e n z dieser prozentmässigen S c h w a n k u n g s m a s s e
bedeutend
grösser,
als die der absoluten; aber die ersteren
sind
nicht vergleichbar unter sich, während die letzteren der Präcision
u m g e k e h r t proportional sind und demnach als direkte und gleich­
artige D a r s t e l l u n g der Dispersion betrachtet werden
In
Kürze
gilt
also
für
die
Reihen
können.
absoluter
Grössen
folgendes: das beste S c h w a n k u n g s m a s s der typischen R e i h e n ist
die wahrscheinliche A b w e i c h u n g , jedoch ist auch die durchschnitt­
liche A b w e i c h u n g für diesen
Z w e c k brauchbar; die eine wie die
andere M a s s g r ö s s e aber ist absolut
und
nicht in Prozenten der
G r u n d g r ö s s e auszudrücken.
Bei
nichttypischen
Reihen
aber
lässt
sich
ein
ähnliches
S c h w a n k u n g s m a s s überhaupt nicht theoretisch begründen; empirisch
m a g man immerhin die S c h w a n k u n g s i n t e n s i t ä t durch die durch­
schnittliche A b w e i c h u n g kennzeichnen
und die letztere auch, w o
man es für z w e c k m ä s s i g hält, prozentmässig auf den Durchschnitts­
wert
beziehen.
5. W i r gehen nun zu der U n t e r s u c h u n g der S c h w a n k u n g e n
von V e r h ä l t n i s z a h l e n über, und zwar solcher, die als empirische
Näherungswerte
einer
mathematischen
Wahrscheinlichkeit
a u c h einer F u n k t i o n einer solchen Wahrscheinlichkeit
werden
können.
D a s erstere
oder
angesehen
trifft z u , Wenn man eine
grosse
A n z a h l ( a - f - b ) E i n z e l b e o b a c h t u n g e n hat, von denen jede ein g e ­
wisses besonderes R e s u l t a t hätte ergeben k ö n n e n und von denen
eine gewisse
hat.
lichkeit
einer
Anzahl
(a) dieses R e s u l t a t auch wirklich
ergeben
W e n n dieses R e s u l t a t als ein E r e i g n i s von der W a h r s c h e i n ­
v angesehen
werden
darf, so wird der B r u c h
^ - mit
g e g e b e n e n Wahrscheinlichkeit dem W e r t e v u m so näher
kommen, je grösser die g e s a m t e B e o b a c h t u n g s z a h l a - ( - b
wir die G r u n d z a h l nennen wollen.
ist, die
O b aber eine R e i h e g e g e b e n e r
Verhältniszahlen wirklich den Gesetzen folgt, die für N ä h e r u n g s ­
werte einer konstanten Wahrscheinlichkeit gelten, k a n n nur nach­
träglich durch die E r f a h r u n g erprobt werden.
Bei
der A u f s t e l l u n g statistischer
zugsweise
empfehlen,
werden
Verhältniszahlen
ist
vor­
die F o r m des einfachen Wahrscheinlichkeitsbruches zu
der
mag.
allenfalls
Man
noch
wählt
mit
indes
100 oder
auch
wohl
iooo
multipliziert
Verhältnisse,
die
nicht die F o r m einer Wahrscheinlichkeit, sondern einer F u n k t i o n
einer
Wahrscheinlichkeit
besitzen,
weil
den praktischen G e b r a u c h bequemer sind.
v o n der F o r m
dem
diese
manchmal
für
E s gilt dies besonders
Verhältnis der Zahl der Fälle, in denen
—
175 —
das besondere R e s u l t a t beobachtet worden, zu der Zahl derjenigen,,
in denen es n i c h t eingetreten ist. L i e g t dem E r e i g n i s eine k o n ­
stante Wahrscheinlichkeit v zu G r u n d e , so ist dieser B r u c h ein
v
N ä h e r u n g s w e r t des A u s d r u c k s
.
6. D i e R e i h e n v o n Verhältniszahlen können zunächst eben­
falls eingeteilt werden in evolutorische, undulatorische, periodische
und typische. D i e letzteren aber, die wir hier vorzugsweise be­
trachten, können als G r a n d l a g e n haben entweder eine k o n s t a n t e
Wahrscheinlichkeit, die in den Partialmassen, welche einer B e ­
obachtungsstrecke entsprechen, mehr oder weniger g e n a u zum
A u s d r u c k k o m m t ; oder eine n i c h t konstante Wahrscheinlichkeit,
deren A e n d e r u n g e n aber, weil die R e i h e typisch sein soll, den
Charakter z u f ä l l i g e r Oscillationen um den Mittelwert besitzen
müssen. I m ersten F a l l e entsprechen die Einzelwerte den E r g e b ­
nissen von V e r s u c h e n an einer U r n e mit schwarzen u n d weissen
K u g e l n in konstant bleibendem Verhältnisse, wenn jedesmal so
viele V e r s u c h e angestellt werden, als die Beobachtungszahl in
einer Beobachtungsstrecke, also die Grundzahl der Einzelverhält­
nisse b e t r ä g t ) . D i e Stabilität der untersuchten R e i h e ist dann
a priori eben durch die Thatsache bestimmt, dass die volle A n a ­
logie mit einem korrekten Zufallsspiel mit konstanten C h a n c e n
vorliegt.
D e r wahrscheinliche F e h l e r ) berechnet sich nämlich
direkt aus dieser V o r a u s s e t z u n g nach der Wahrscheinlichkeits­
theorie zu
1
2
•
r = s > n
/nspr
w o Q die K o n s t a n t e 0,4769, v einen möglichst genauen N ä h e r u n g s ­
wert der zu G r u n d e liegenden Wahrscheinlichkeit (in E r m a n g e l u n g
des wahren Wertes) und g die G r u n d z a h l bedeutet. Ist die letz­
tere nicht für alle E i n z e l Verhältnisse gleich, so k a n n in die o b i g e
Formel, falls die Unterschiede nicht sehr gross sind, ein mittlerer
W e r t derselben eingesetzt werden.
1) Ueber das Folgende vgl. meine Schrift „Zur Theorie der Massenerscheinungen
in der menschlichen Gesellschaft" (Freib. 1 8 7 7 ) und die vorige Abhandlung über dasGeschlechtsverhältnis der Geborenen.
2) Statt des wahrscheinlichen Fehlers könnte man natürlich im folgenden auch
immer den einfacher auszudrückenden, aber weniger anschaulichen m i t t l e r e n
nehmen.
Fehler
N u n kann aber der wahrscheinliche Fehler auch direkt aus
den g e g e b e n e n Einzelwerten des Verhältnisses bestimmt w'erden,
und z w a r wenn die letzteren hinlänglich zahlreich sind, durch
unmittelbares A b z ä h l e n v o m Mittelwerte aus. A b e r auch schon
bei einer verhältnismässig kleinen Zahl von Einzelwerten erhält
man den jeweilig wahrscheinlichsten W e r t der wahrscheinlichen
A b w e i c h u n g durch die F o r m e l :
2
wenn [r3 ] die S u m m e der Quadrate der A b w e i c h u n g e n der g e ­
gebenen Einzelwerte v o m Mittelwerte u n d n die A n z a h l der
Einzelwerte bezeichnet
W e n n nun wirklich die aus den B e o b a c h t u n g e n abgeleiteten
Einzelverhältnisse nur zufällig ungenaue Darstellungen einer kon­
stanten Wahrscheinlichkeit v sind, so muss wenigstens annähernd
die G l e i c h u n g zutreffen: R = r.
J e kleiner die G r u n d z a h l g ist, um so grösser wird die
wahrscheinliche A b w e i c h u n g . B e i einem relativ kleinen, z. B .
unter iooo bleibenden g können vereinzelt sehr grosse A b ­
w e i c h u n g e n v o m Mittelwerte vorkommen und doch darf man,
wenn die eben aufgestellte G l e i c h u n g erfüllt ist, die zu G r u n d e
liegende Wahrscheinlichkeit und somit den allgemeinen B e ­
d i n g u n g s k o m p l e x der untersuchten E r s c h e i n u n g e n als konstant
betrachten. W i e gross also auch die S c h w a n k u n g e n der be­
obachteten Verhältniszahlen sein mögen, sie sind, falls sie den
S c h w a n k u n g e n der R e s u l t a t e v o n V e r s u c h e n an einer U r n e mit
konstanter F ü l l u n g entsprechen, gewissermassen nur u n w e s e n t ­
l i c h , da sie eine wesentliche A e n d e r u n g der G r u n d l a g e der
E r s c h e i n u n g nicht voraussetzen.
7. A n d e r s aber in dem zweiten der oben unterschiedenen
Fälle. Derselbe entspricht der A n n a h m e , dass das F ü l l u n g s ­
verhältnis der U r n e zwar in jeder Serie v o n g Versuchen, aus
der ein Einzelwert von v berechnet wird, konstant bleibe, aber
von Serie zu Serie zufälligen A e n d e r u n g e n unterworfen sei, je­
doch so, dass immer eine T e n d e n z zur E r z i e l u n g eines gewissen
1) Eine weniger sichere Darstellung der wahrscheinlichen Abweichung ist der
oben bereits angeführte
weichung bezeichnet.
Ausdruck
0,8453
D, wenn D die d u r c h s c h n i t t l i c h e
Ab­
festen
Füllungsverhältnisses
ergiebt
vorhanden
ist.
Jede
einzelne
also einen N ä h e r u n g s w e r t der ihr entsprechenden
scheinlichkeit v; aber dieser letztere Spezialwert von v ist
wieder
nur die
wertes,
um welchen
ungenaue
G r u n d e liegenden
D a r s t e l l u n g des
die den
Serie
Wahr­
allgemeinen
selbst
Mittel­
einzelnen B e o b a c h t u n g s g r u p p e n zu
Wahrscheinlichkeiten
oscillieren.
D i e T o t a l s c h w a n k u n g e n der b e o b a c h t e t e n Verhältniszahlen
setzen sich also aus zwei K o m p o n e n t e n z u s a m m e n : die eine kann
man als die u n w e s e n t l i c h e
kungssystem
bezeichnen, weil sie einem S c h w a n ­
angehört, das auch bei k o n s t a n t bleibender G r u n d ­
wahrscheinlichkeit
auftritt; die
andere
dagegen
beruht
auf
der
physischen A e n d e r u n g der Grundwahrscheinlichkeit von Serie zu
S e r i e und m a g daher die p h y s i s c h e
Schwankungskomponente
heissen.
D a s M a s s der T o t a l s c h w a n k u n g ist die unmittelbar aus den
beobachteten
Abweichungen
nach
der
Formel
R
wahrscheinliche A b w e i c h u n g ; die unwesentliche
dargestellte
wird durch
die
F o r m e l r gemessen, indem man für v den allgemeinen Mittelwert
einsetzt, und w e n n
man
die wahrscheinliche A b w e i c h u n g der n
Spezialwerte v von dem allgemeinen Mittelwerte mit p bezeichnet,
so hat man
nach der Wahrscheinlichkeitstheorie
R =
die B e z i e h u n g :
2
|/r +^.
D i e „unwesentliche" und die „physische" S c h w a n k u n g s k o m p o n e n t e
setzen sich also zu der beobachteten T o t a l s c h w a n k u n g zusammen,
wie zwei rechtwinkelig gegeneinander
gerichtete K r ä f t e zu einer
Resultierenden.
8. Ist die physische S c h w a n k u n g s k o m p o n e n t e p = o, d. h.
bleibt die Grundwahrscheinlichkeit in der g a n z e n R e i h e konstant,
so
verwandelt
sich
die
obige
G l e i c h u n g wieder
eine reelle K o m p o n e n t e p vorhanden, so ist immer
Dagegen
kann
unter den hier gemachten
in R = r.
Ist
R>»r.
Voraussetzungen
niemals die U n g l e i c h h e i t auftreten R - < r , denn in diesem F a l l e
würde p imaginär, was auf eine U n m ö g l i c h k e i t hinweist.
H i e r a u s folgt, dass die Stabilität der typischen R e i h e n ein
M a x i m u m hat, dessen U e b e r s c h r e i t u n g nur m ö g l i c h wäre, w e n n
in
der
Massenerscheinung
noch
u n d B e z i e h u n g e n beständen.
g a n z besondere
Verbindungen
W e n n bei einer statistischen U n t e r ­
s u c h u n g sich mit Bestimmtheit R < r herausstellte, also w e n n das
Lexis,
B e v ö l k e r u n g « - u. M o r a l s t a t i s t i k .
12
aus
i 8
-
7
den B e o b a c h t u n g e n abgeleitete S c h w a n k u n g s m a s s
wäre,
als das n a c h der A n a l o g i e
stanten C h a n c e n
berechnete,
kleiner
eines Glücksspieles mit k o n ­
so l ä g e
eben
eine
ähnliche E r ­
scheinung vor, wie w e n n bei einem Spiele ein bestimmtes R e s u l t a t
mit einer nach der Wahrscheinlichkeitstheorie durchaus unwahr­
scheinlichen
Konstanz
müsste dann
und
Regelmässigkeit
annehmen, dass die anscheinend
x
aufträte ) .
isolierten
Man
Einzel­
ereignisse nicht diejenige U n a b h ä n g i g k e i t voneinander und v o n
dem
numerischen Endresultat besässen, welche den einzelnen V e r ­
suchen an einer U r n e
oder an der R o u l e t t e zukommt.
M i t an­
deren W o r t e n , eine jene obere G r e n z e überschreitende Stabilität
einer Verhältniszahl würde darauf hinweisen, dass die untersuchte
Massenerscheinung eine innerlich verbundene
wissen regulierenden
Sie
würde
mehr
Eingriffen
oder N o r m e n
oder dass sie g e ­
unterworfen
sei.
oder weniger d e m Bereiche der planmässigen
I ) In einer Dissertation v. F. Stark „Ueber das Geschlechtsverhältnis der
Totgeburten und der unehelichen Geburten" (Freiburg 1 8 7 7 ) wird S. 4 7 eine erstaun­
liche Stabilität des Verhältnisses der männlichen zu den weiblichen Totgeburten in
Frankreich während der Jahre 1 8 3 1 — 4 0 erwähnt, die der Verfasser für eine ganz
aussergewöhnliche Anomalie des Zufalles hält. Jenes Verhältnis schwankt nämlich nur
zwischen 1 , 4 4 8 0 und 1 , 4 4 8 1 ! Die absoluten Zahlen sind der Tabelle entnommen, die
L e g o y t offiziell zu der von Q u e t e l e t und H e u s c h l i n g herausgegebenen „Statistique
internationale" (p. 2 2 5 ) beigetragen hat. Da nun die französische amtliche Statistik
erst seit dem Jahre 1 8 3 6 fragmentarische und erst seit 1 8 4 1 regelmässige (wenn auch
anfangs noch sehr unzuverlässige) Angaben über die Totgeborenen liefert, so musste
man zunächst vermuten, dass die Daten der Legoyt'schen Tabelle nachträglich aus
dem Urmaterial der Civilstandsregister gewonnen seien. Ich habe nun aber jenes
Geschlechtsverhältnis nach den Zahlen der Tabelle auch von 1 8 3 0 an rückwärts bis
zum Anfang des Jahrhunderts berechnet und immer wieder denselben "Wert 1 , 4 4 8
gefunden. Ferner aber ergiebt sich das Verhältnis der Totgeburten überhaupt zur
Gesamtzahl der Geburten von 1 8 4 0 an in allen vorhergehenden Jahren nach den Zahlen
dieser Tabelle konstant gleich 0 , 0 3 2 7 6 .
Eben diese Zahl ist aber auch der Durch­
schnittswert des letzteren Verhältnisses in den ersten fünf Jahren mit allgemeiner Er­
hebung der Totgeburten, 1 8 4 1 — 4 5 , und andererseits findet man 1 , 4 4 8 als Durch­
schnittswert des Sexualverhältnisses der Totgeborenen in diesem Jahrfünft. Unter diesen
Umständen kann man mit einer der Gewissheit unendlich nahe kommenden Wahr­
scheinlichkeit behaupten, dass die betreffenden Zahlen jener Tabelle aus der Zeit vor
1 8 4 1 nicht auf wirklichen Beobachtungen beruhen, sondern nachträglich b e r e c h n e t
worden sind, indem man das Durchschnittsverhältnis 0 , 0 3 2 7 6 zur Bestimmung der
Totgeburten aus der Gesamtzahl der Geburten benutzte und die gewonnene Zahl nach
dem Durchschnittsverhältnis 1 , 4 4 8 in Knaben und Mädchen zerlegte! Aber wenn
man in dieser Weise eine Tabelle von B e o b a c h t u n g e n „vervollständigt", so sollte
man es doch mindestens ausdrücklich sagen.
—
'79
O r d n u n g oder der gebietenden
dieser
—
Gesetze angehören.
A r t , die man „gebundene" nennen
sondere K l a s s e , die nicht bloss
Die Reihen
kann, bilden eine be­
rein statistisch behandelt
werden
kann, da es vielmehr hauptsächlich darauf ankommt, die Bezie­
h u n g e n solcher R e i h e n zu der regelnden K r a f t oder dem z w i n g e n ­
den G e s e t z e zu ermitteln
und namentlich festzustellen,
das letztere
A l s o nicht die statistischen
erfüllt wird.
sich, sondern
das Gesetz und
dessen
Erfüllung
Fällen der G e g e n s t a n d der U n t e r s u c h u n g .
setz
wirkt,
um
so
weiter
geltende
Stabilitätsgrenze
schliesst,
dass
zugleich
kann
die
eine
werden,
was
evolutorische
formell
Wahrscheinlichkeit
des
Reihen
nicht
auszur
das G e s e t z a b ­
S o kann man z. B . das V e r h ä l t n i s der
Zahl der die S c h u l e besuchenden
unterrichtsfähigen
diesen
Bewegung
E r r e i c h u n g des P u n k t e s vorhanden, an welchem
solut erfüllt sein würde.
sind in
J e intensiver das G e ­
für unverbundene
überschritten
noch
wie weit
Zahlen für
als
K i n d e r zur Zahl der überhaupt
einen
empirischen
Schulbesuches
Ausdruck
der
Besteht
kein
betrachten.
S c h u l z w a n g oder nur ein l a x gehandhabter, so dass jenes V e r ­
hältnis noch ziemlich
weit von
der
werden die Einzelwerte desselben
leicht S c h w a n k u n g e n zeigen,
stanten
noch geringere
dass
die
immer strenger
des
wird, so werden
Gesetzes
die
nicht etwa die R o l l e eines typischen
über
i hinaus
gar
bleibt,
vielleicht
Denkt
von
Jahr
beobachteten
sich immer mehr der Einheit nähern.
ungen
sind,
Stabilität besitzen.
Ausführung
entfernt
so
die mit der A n n a h m e einer kon­
Grundwahrscheinlichkeit vereinbar
auch eine
aber,
Einheit
in einer R e i h e von J a h r e n viel­
Diese
aber
man
sich
zu
Jahr
Verhältnisse
letztere
aber spielt
Mittelwertes, da A b w e i c h ­
nicht m ö g l i c h sind; sie
ist nur ein
oberer Grenzwert, der gewissermassen eine einseitige A n z i e h u n g s ­
kraft ausübt.
Bei g e n ü g e n d e r Intensität der gesetzlichen
Zwangs­
kraft werden dann auch die S c h w a n k u n g e n des der Einheit nahe­
gerückten Verhältnisses weit geringer sein können, als die
unverbundenen
Reihe
mit
konstanter
einer
Grundwahrscheinlichkeit,
zumal jetzt geradezu kompensatorische Beziehungen zwischen den
aufeinanderfolgenden
energischer
Umstand,
auftreten
können;
denn
bei
T e n d e n z zur D u r c h f ü h r u n g des
Einzelwerten
Gesetzes
wird
der
dass das Verhältnis in einem J a h r e etwas kleiner g e ­
worden ist, die V e r a n l a s s u n g zu grösserer S t r e n g e in der F o l g e ­
zeit bilden.
12*
—
i8o
G a n z ähnlich verhält sich z. B . die empirische B e s t r a f u n g s ­
wahrscheinlichkeit für V e r b r e c h e n , d. h. das Verhältnis der Zahl
der V e r b r e c h e n , die eine B e s t r a f u n g der Thäter nach sich g e ­
zogen,
zu der Zahl
der überhaupt v o r g e k o m m e n e n .
Auch
die
R e i h e n dieses Verhältnisses können eine ähnliche Dispersion, wie
unverbundene zeigen, solange jenes Verhältnis w e g e n M ä n g e l der
Polizei und Justiz einigermassen
bleibt.
weit von der
Einheit
entfernt
S t e h t es d a g e g e n dieser seiner oberen G r e n z e infolge der
energischen
E i n w i r k u n g der S t a a t s g e w a l t sehr nahe, so
kommt
für seine Stabilität die durch das K r i t e r i u m R = r gesetzte G r e n z e
nicht mehr in Betracht.
W e n i g e r intensiv regelnd als die Staatsgesetze werden z. B .
kirchliche Vorschriften
Gegenden
a u c h ohne
wirken,
obwohl
immerhin
in
manchen
staatlichen T a u f z w a n g das V e r h ä l t n i s der
Zahl der getauften K i n d e r zu derjenigen der in der betreffenden
christlichen
Konfession
geborenen
G r e n z e i so nahe k o m m e n
ebenfalls
seiner
absoluten
kann, dass die Stabilitätsgrenze der
unverbundenen R e i h e n überschritten wird.
E s ist hier noch zu bemerken, dass der A u s d r u c k r,
v der E i n h e i t sehr nahe kommt,
u n g e n ü g e n d wird.
wenn
A b e r auch
ohne F o r m e l begreift m a n leicht, dass das M a x i m u m der Stabili­
tät,
das
aus
der
Analogie
eines
Glücksspiels mit
konstanten
C h a n c e n abgeleitet wird, nicht m a s s g e b e n d sein k a n n für die G e ­
nauigkeit, mit welcher ein alle Einzelfälle normativ beherrschendes
Gesetz
in der M a s s e zum A u s d r u c k gebracht wird.
D i e obere
G r e n z e der G e n a u i g k e i t ist unter diesen U m s t ä n d e n offenbar die
dauernde A u s f ü h r u n g des Gesetzes in a l l e n F ä l l e n .
9. U n b e g r e i f l i c h würde
uns
aber
die U e b e r s c h r e i t u n g des
d u r c h die B e d i n g u n g R = r g e g e b e n e n M a x i m u m s der Stabilität
dann sein,
wenn sie bei einer unverbundenen Massenerscheinung
von konkreten Einzelfällen vorkäme, also in einer solchen, in der
wir weder
kung
kompensatorische innere B e z i e h u n g e n
eines normativen
könnten.
E s gilt
Gesetzes auf
alle
dies z. B . von den
M ä d c h e n g e b u r t e n in einem
Lande;
noch die W i r ­
Einzelfälle
einzelnen
und eben
entdecken
K n a b e n - und
deshalb giebt die
G l e i c h u n g R = r das m ö g l i c h e M a x i m u m der Stabilität des V e r ­
hältnisses der K n a b e n g e b u r t e n zur G e s a m t z a h l der G e b u r t e n an,
eine G r e n z e , die a u c h wirklich erreicht wird.
—
Zu
den
—
181
„gebundenen"
Reihen
sind
auch
rechnen, deren Glieder nach einem bekannten
diejenigen
zu
oder erkennbaren
N o r m a t i v g e s e t z e äussere V e r ä n d e r u n g e n , z. B . regelmässig perio­
dische
nicht
Bewegungen
mehr
aufweisen.
gesehen werden, da sie
sprechen.
Solche Veränderungen
als „ S c h w a n k u n g e n " in dem
Wohl
bisherigen
können
S i n n e an­
eben einer vorgeschriebenen N o r m ent­
aber sind die in der R e g e l vorhandenen A b ­
w e i c h u n g e n von der streng gesetzlichen B a h n als S c h w a n k u n g e n
zu behandeln und w o m ö g l i c h zu messen.
wieder
Diese letzteren können
in allen Grössengraden vorkommen, j e
der herrschenden Gesetze.
lich bestimmt
ist,
dass
nach
der
W e n n z. B . in einem L a n d e
2 °/o
stehenden
Heere
Jahreszeit
ein V i e r t e l der
der
dienen sollen,
männlichen
dass j e d o c h
Armee
Kraft
gesetz­
Bevölkerung
in einer
im
gewissen
zeitweise beurlaubt, in
einer
anderen Jahreszeit aber ein Viertel ihrer N o r m a l s t ä r k e an R e s e r v e n
eingezogen werden solle,
so wird die R e i h e der Zahlen, welche
von M o n a t zu M o n a t das Verhältnis der Präsenzstärke der A r m e e
zu der männlichen B e v ö l k e r u n g des L a n d e s angeben, eine deut­
liche Periodicität mit regelmässiger W i e d e r k e h r von
und M i n i m u m erkennen
fest,
wie
lassen.
Nach
Maximum
dem Gesetze steht auch
gross diese Verhältniszahl im M a x i m u m ,
im M i n i m u m
und im Normalstande sein soll, aber in der W i r k l i c h k e i t werden
immer A b w e i c h u n g e n
v o r k o m m e n , die je
nach dem
G r a d e der
S t r e n g e und G e n a u i g k e i t , mit der das G e s e t z durchgeführt wird,
grösser oder kleiner sein werden.
hier
wieder
die
vollständige
Jedenfalls aber muss m a n a u c h
A u s f ü h r u n g des
obere G r e n z e der G e n a u i g k e i t betrachten.
Gesetzes als
die
D i e nach den K a l e n d e r ­
monaten geregelte Periodicität der Heiratsfrequenz d a g e g e n tritt
mit weit geringerer Sicherheit auf.
von
ökonomischen
S i e h ä n g t ab v o n der Sitte,
in
katholischen
L ä n d e r n von den kirchlichen Vorschriften über die
geschlossene
Zeit.
gewissen
D i e letzteren
eine regelnde
wirken
Verhältnissen
am intensivsten,
und
da sie
unmittelbar
E i n w i r k u n g auf die Einzelfälle ausüben.
Jedoch
hat diese Vorschrift nicht die Z w a n g s g e w a l t eines Staatsgesetzes
und sie wird thatsächlich nur von einem gewissen
Teile der B e ­
v ö l k e r u n g berücksichtigt.
N o c h mehr verwischt sich die Periodicität der Sterblichkeits­
verhältnisse
nach den Jahreszeiten.
R e i h e n dieser
A r t gehören
schon g a r nicht mehr zu den gebundenen, da die nur sehr u n k l a r
auftretende Periodicität nicht auf einer herrschenden R e g e l , sondern
nur
auf
flusses
der periodischen
Veränderlichkeit eines äusseren
Ein­
beruht, dessen W i r k u n g nicht streng fixiert, sondern im
Z u s a m m e n h a n g mit den sonstigen U m s t ä n d e n sehr wechselvoll ist.
Jedenfalls aber ist die Periodicität einer solchen R e i h e insofern zu
beachten,
als
man bei U n t e r s u c h u n g ihrer S c h w a n k u n g e n jede
P h a s e für sich behandeln muss.
10.
D e n G e g e n s t a n d der selbständigen statistischen U n t e r ­
s u c h u n g bilden wesentlich die unverbundenen konkreten M a s s e n ­
erscheinungen.
In diesen
herrschen
weder
normative
Gesetze
noch kompensatorische innere B e z i e h u n g e n ; jeder E i n f a l l k o m m t
natürlich nur in einer strengen Kausalitätsreihe zustande, die aus
äusseren U r s a c h e n oder inneren M o t i v e n bestehen m a g , aber das
Zusammentreffen
der Einzelfälle und die
numerischen Verhältnisse der
auf
dadurch bedingten
Massenerscheinungen
Wahrscheinlichkeitsgesetzen,
die
keine
beruhen nur
Z w a n g s k r a f t haben,
sondern nur die allgemeinen M ö g l i c h k e i t s b e d i n g u n g e n abspiegeln,
unter denen jedes
ist
also
individuelle
durchaus verschieden
Massenerscheinungen,
Gesetz
in
denen
unmittelbar bestimmte
verlangt.
E r e i g n i s auftritt.
von
ein
derjenigen
das
Diese G a t t u n g
der
Ganze
verbundenen
beherrschendes
Zahlenverhältnisse als Endresultat
A l s Beispiel der letzteren
A r t haben
wir bereits er­
w ä h n t die wirkliche Präsenzstärke eines H e e r e s in Prozenten der
Bevölkerung,
wenn
ein
bestimmter
Prozentsatz
gesetzlich
vor­
geschrieben ist; als G e g e n s t ü c k der ersteren G a t t u n g würde dem
entsprechen
das
thatsächliche
und B e v ö l k e r u n g ,
Verhältnis
zwischen
wenn die Soldaten durchaus freiwillig zu fest­
stehenden B e d i n g u n g e n a n g e w o r b e n würden.
das letztere
Heeresziffer
O h n e Zweifel würde
Verhältnis in einer R e i h e von J a h r e n weit grössere
Schwankungen
zeigen,
als das erstere,
und die
Untersuchung
dieser S c h w a n k u n g e n wäre jedenfalls statistisch interessanter,
als
die der anderen.
1 1 . G e h e n wir nun zu einer näheren B e t r a c h t u n g der nicht­
g e b u n d e n e n typischen R e i h e n über, deren Glieder die F o r m von
Wahrscheinlichkeiten (oder von einfachen F u n k t i o n e n v o n W a h r ­
scheinlichkeiten)
besitzen.
F ü r diese G a t t u n g besteht
unzweifel­
haft das M a x i m u m der Stabilität oder das M i n i m u m der Dispersion,
das durch die B e d i n g u n g R = r bestimmt wird.
N i m m t m a n als
B e o b a c h t u n g s g r ö s s e nicht den empirischen W e r t von v,
sondern
i8
-
3
v
Verhältnis z - = —
, so bleibt die F o r m e l R u n v e r ä n d e r t )
b
i —v
das
l
r
in G e l t u n g , während statt r der A u s d r u c k
ist, den wir mit (r) bezeichnen
wollen.
zu
nehmen
A l l e r d i n g s giebt dieser
A u s d r u c k nur eine N ä h e r u n g , die um so ungenauer wird, je grösser
r
ist.
Bezeichnen
dingung
des
wir den Quotienten — mit Q . so wird die B e ­
M a x i m u m s der Stabilität Q = i .
D i e dieser
Be­
d i n g u n g entsprechende minimale Dispersion habe ich in der oben
angeführten Schrift die normale genannt, deutlicher wäre sie viel­
leicht
noch
lediglich
als „normalzufällige" zu
dadurch,
dass
bezeichnen.
eine konstante
Sie
entsteht
G r u n d Wahrscheinlichkeit
nur mit derjenigen Unsicherheit in den beobachteten Verhältnis­
zahlen zum A u s d r u c k kommt, welche
nach der A n a l o g i e eines
korrekten Glücksspiels zulässig ist.
Die
persion",
B e d i n g u n g Q ^> i
die
entspricht
dadurch entsteht,
„normal-zufälligen" sich
dass
der
die
„übernormalen D i s ­
„unwesentlichen"
oder
mit den physischen S c h w a n k u n g e n der
G r u n d Wahrscheinlichkeit kombinieren.
D i e unternormale Dispersion, entsprechend
dem Kriterium
Q <C i) k o m m t hier nicht in Betracht, weil sie nur bei g e b u n d e n e n
R e i h e n m ö g l i c h ist.
W e n n m a n nun verschiedene R e i h e n hinsichtlich ihrer S t a b i ­
lität oder ihrer Dispersion vergleichen will, so k o m m t es wesent­
lich nur auf die p h y s i s c h e
für alle verglichenen
S c h w a n k u n g s k o m p o n e n t e an.
R e i h e n das K r i t e r i u m Q =
in diesem S i n n e gleiche
Gilt
i, so ist ihnen
Stabilität und Dispersion zuzuschreiben,
wie verschieden auch die unmittelbar bestimmten S c h w a n k u n g s ­
masse R
sein m ö g e n .
D e n n in allen diesen F ä l l e n ist die p h y ­
sische S c h w a n k u n g s k o m p o n e n t e N u l l und die Verschiedenheit der
Grösse R
nur durch die verschiedenen
dingt, und zwar
verglichenen
nach einer festen
Reihen
liegt
W e r t e von g und v be­
theoretischen F o r m e l .
eine k o n s t a n t e
Allen
Wahrscheinlichkeit
zu G r u n d e , das ist das sachlich entscheidende M o m e n t .
l ) Selbstverständlich ist sie mit den Einzelwerten und dem Mittelwerte der jetzt
angenommenen Beobachtungsgrösse zu berechnen.
—
184
—
D e m n a c h wird man auch bei der V e r g l e i c h u n g von R e i h e n
mit übernormaler Dispersion, für welche das Kriterium Q > 1 gilt,
die normal-zufälligen S c h w a n k u n g s k o m p o n e n t e n aus den W e r t e n
von R , welche die T o t a l s c h w a n k u n g e n darstellen, eliminieren
und nur die von den Grundzahlen g u n a b h ä n g i g e n physischen
S c h w a n k u n g s k o m p o n e n t e n p berücksichtigen.
A u s der oben
aufgestellten
B e z i e h u n g zwischen R , r und p ergiebt sich
2
p—
und dies wäre also die zur Charakterisierung und
V e r g l e i c h u n g der Dispersion verschiedener R e i h e n theoretisch zu
empfehlende Grösse.
r^Q —i,
1 2 . B e i der A n w e n d u n g der obigen Formeln auf wirkliche
statistische Daten muss man indes einige U n g e n a u i g k e i t e n hin­
nehmen.
E i n e mathematisch genaue E r f ü l l u n g der B e d i n g u n g
Q = i darf man nie erwarten, und wenn sie einträfe, so wäre dies
nur auf R e c h n u n g des Zufalls zu schreiben. D e n n das den Zähler
von Q bildende R ist nur der w a h r s c h e i n l i c h s t e W e r t der
wahrscheinlichen A b w e i c h u n g und sein eigener wahrscheinlicher
F e h l e r ist bei der gewöhnlich verwendeten massigen A n z a h l von
Einzelwerten nicht unerheblich. Derselbe beträgt z. B . bei einem
W e r t e n von 16 — 25 zwischen 0 , 1 1 9 2 und 0,0954 des wahrschein­
lichsten W e r t e s R und der wirkliche F e h l e r kann in einzelnen
Fällen noch viel bedeutender sein. N e h m e n wir nun den jedes­
maligen W e r t von r als g e n a u an, was in der P r a x i s k e i n e s w e g s
immer der F a l l ist, so wird man, wenn auch der w a h r e W e r t
von Q gleich 1 wäre, doch bei der gewöhnlich vorkommenden
Grössse von n für das empirische Q eine wahrscheinliche U n ­
sicherheit etwa zwischen den Grenzen 0.9 und 1.1 und vereinzelt
sogar noch beträchtlich grössere A b w e i c h u n g e n erwarten müssen.
E s wird also insbesondere doch auch m a n c h m a l das aus den B e ­
obachtungen berechnete R kleiner sein als r, d e m n a c h Q <^ 1
werden. D a aber eine wirkliche unternormale Dispersion unter
unseren V o r a u s s e t z u n g e n nicht v o r k o m m e n kann, so sieht man
aus solchen F ä l l e n , wie gross der negative Fehler von Q infolge
der Unsicherheit von R unter U m s t ä n d e n werden kann, und man
wird daher in anderen F ä l l e n einer gleichartigen U n t e r s u c h u n g
auch positive A b w e i c h u n g e n von der Einheit in ähnlicher G r ö s s e
als zufällige U n g e n a u i g k e i t e n ansehen dürfen, welche die normale
Dispersion noch nicht ausschliessen.
I n meiner A b h a n d l u n g über
das Geschlechts Verhältnis der G e b o r e n e n (s. o. S . 1 4 1 ) findet man
-
i8
5
-
z. B . einen V e r g l e i c h der Präcisionen für 34 R e i h e n von j e
24 Einzelwerten des Sexualverhältnisses
und es ergiebt sich
daraus, dass die Q entsprechende G r ö s s e in einem einzigen e x ­
tremen F a l l e bis 0,723 sinkt. D a der richtige W e r t derselben aber
mindestens 1 sein muss, so liegt hier ein ausnahmsweise grosser
negativer Fehler im B e t r a g e von mindestens 0,277
- Andererseits
aber k o m m t bei jenen 34 R e i h e n auch in Q = 1,324 ein verein­
zeltes E x t r e m in positiver R i c h t u n g vor und man darf nun mit
R ü c k s i c h t auf den eben angeführten negativen Fehler schliessen,
dass diese starke positive A b w e i c h u n g wenigstens grösstenteils
nur einen zufälligen Fehler darstelle und dass der wahre W e r t
von Q der Einheit noch sehr nahe k o m m e .
v o r
1 3 . A u s einer einzigen R e i h e wird man daher die Normalität
der Dispersion eines Verhältnisses, wie z. B . der empirischen
Wahrscheinlichkeit einer K n a b e n g e b u r t , im allgemeinen nicht mit
g e n ü g e n d e r Sicherheit erkennen können. M a n muss eine grössere
A n z a h l v o n R e i h e n g l e i c h e r A r t zur V e r f ü g u n g haben und
aus derselben nachweisen, dass die einzelnen W e r t e von Q im
ganzen in engen G r e n z e n u m die Einheit oscillieren, wenn a u c h
einzelne grössere A b w e i c h u n g e n vorkommen. D i e Gleichartigkeit
der R e i h e n schliesst übrigens die Verschiedenheit der z u g e h ö r i g e n
äusseren B e d i n g u n g e n nicht aus; man darf annehmen, dass die
m a x i m a l e Stabilität, d. h. die K o n s t a n z der allgemeinen M ö g l i c h ­
keitsbedingungen des Ereignisses eine physische B e d e u t u n g hat,
die sich unter sehr verschiedenen äusseren U m s t ä n d e n behaup­
ten kann.
M a n wird sich nach dem eben G e s a g t e n in der P r a x i s also
damit b e g n ü g e n müssen, zu zeigen, dass es R e i h e n v o n Verhält­
nissen giebt, die wenigstens n a h e z u dem Kriterium Q~i
ent­
sprechen. Dieser N a c h w e i s g e n ü g t zunächst, um mit grösserer
oder geringerer Sicherheit (je nach dem W e r t e von n) behaupten
zu können, dass das betreffende Verhältnis v im wesentlichen den
Charakter einer mathematischen Wahrscheinlichkeit besitzt und
dass die empirischen W e r t e desselben sich nahezu so gruppieren,
wie es theoretisch aus der A n a l o g i e mit einem korrekten G l ü c k s ­
spiel abgeleitet werden kann. D e r N a c h w e i s einer auch nur a n ­
nähernden R e g e l m ä s s i g k e i t dieser A r t ist jedenfalls schon v o n
wissenschaftlichem Interesse.
E s ist eine positive V e r m e h r u n g
unseres Wissens, wenn wir erfahren, dass eine R e i h e zusammen-
i86
—
—
hangloser Zahlen von verschiedener G r ö s s e nicht etwa einer em­
pirischen F o r m e l , sondern einem a priori aus der K o m b i n a t i o n s ­
theorie
abgeleiteten
F e r n e r lassen
Wahrscheinlichkeitsgesetze
sich
anpassen.
sich manchmal aus der Thatsache, dass den ver­
schiedenen empirischen Einzelverhältnissen eine wenigstens
nähe­
rungsweise konstante Wahrscheinlichkeit zu G r u n d e liegt, Schlüsse
auf
die
ziehen.
innere
Beschaffenheit
der
untersuchten
Erscheinung
M a n erfährt ferner, wie grosse A b w e i c h u n g e n einzelner
Verhältniszahlen vom wahrscheinlichsten W e r t e vorkommen dürfen,
ohne dass man genötigt ist, eine wesentliche A e n d e r u n g der all­
gemeinen
M ö g l i c h k e i t s b e d i n g u n g e n des Ereignisses anzunehmen.
M a n wird sich daher auch, falls nicht ein augenfälliger äusserer
S t ö r u n g s g r u n d vorliegt,
nicht weiter zu bemühen brauchen,
ein­
zelne A b w e i c h u n g e n von ungewöhnlicher G r ö s s e durch g e w a g t e
V e r m u t u n g e n mit irgend welchen besonderen U m s t ä n d e n in Z u ­
s a m m e n h a n g zu bringen. S o finden sich z. B . unter den 36 monat­
lichen
Werten
des
Geschlechtsverhältnisses
der
Geborenen
im
R e g i e r u n g s b e z i r k Stralsund aus den Jahren 1 8 7 0 — 7 2 nicht weni­
ger als 7, die einen U e b e r s c h u s s von
M ä d c h e n g e b u r t e n kon­
statieren, und zwar k o m m e n in einem extremen F a l l e nur 930 K n a ­
ben auf iooo M ä d c h e n .
Diesem steht ein anderes E x t r e m von
1292 K n a b e n auf i o o o M ä d c h e n gegenüber.
A b e r diese enormen
S c h w a n k u n g e n bedürfen weiter keiner E r k l ä r u n g ; sie sind mit der
K o n s t a n z der M ö g l i c h k e i t s b e d i n g u n g e n einer K n a b e n g e b u r t ver­
einbar, die Dispersion der 36 Einzelwerte ist normal-zufällig und
der
kleinen
Grundzahl
630
(der durchschnittlichen
Geburtenzahl) entsprechend,
form
R
einstimmung
=
monatlichen
denn man findet (für die Verhältnis­
^6,4 und (r) = 57,1» also fast vollständige U e b e r ­
der direkt
aus
den
Beobachtungen
der kombinatorischen Theorie abgeleiteten
und
der
aus
wahrscheinlichen A b ­
weichung.
H i e r a u s folgt ferner,
zelner
dass man aus der V e r g l e i c h u n g e i n ­
Verhältnisse, selbst wenn
verschieden
voneinander
Schlüsse ziehen
kann.
sind,
deren Grundzahlen nicht sehr
keine
N u r typische
irgendwie
Mittelwerte
verlässlichen
können
mit
einiger Sicherheit verglichen werden und wenn sich zeigen lässt,
dass normale Dispersion u m einen Mittelwert stattfindet, so er­
l a n g t dieser auch bei massiger G r u n d z a h l eine g e n ü g e n d e Sicherheit.
-
.8
-
7
14- E s nehmen also auch diejenigen R e i h e n , bei denen nur
näherungsweise das K r i t e r i u m Q =
S t e l l u n g ein.
Einheit, den
E s ist
Q
i zutrifft, eine ausgezeichnete
möglich, dass
in solchen
der
Ueberschuss
Fällen aufweist,
über
die
nur durch die U n -
genauigkeit von R entstanden ist, also in Wirklichkeit das M a x i ­
mum
der
Konstanz
Stabilität
erreicht
ist.
Eine
mathematisch
strenge
der Grundwahrscheinlichkeit ist indes nicht wohl vor­
auszusetzen,
sondern
es
dürfte
immer
auch
eine
physische
S c h w a n k u n g s k o m p o n e n t e vorhanden sein, die aber in den höchst
stabilen
R e i h e n im V e r g l e i c h mit der unwesentlichen
mal-zufälligen K o m p o n e n t e sehr klein ist.
bemerken,
dass das Kriterium Q =
oder nor­
H i e r ist nun aber zu
i in den praktisch annehm­
baren G r e n z e n auch erfüllt sein kann, ohne dass die physische
K o m p o n e n t e p gerade sehr klein zu sein braucht, also ohne dass
das M a x i m u m
aus
der
der Stabilität sehr nahe erreicht ist.
Gleichung
näherungsweise
p=r/Q'
2
—i
ersichtlich,
E s ist dies
für
die
man
auch nehmen k a n n : p = r ] / 299, wenn cp ein klei­
ner B r u c h bis etwa 0,2 ist und man Q=i-\-q>
setzt.
H a t man also z. B . Q=i,i,
so würde, wenn dieser W e r t
s t r e n g r i c h t i g wäre, p noch immer 0,4447 r, also nur wenig
kleiner als die H ä l f t e der zufälligen S c h w a n k u n g s k o m p o n e n t e
sein. In W i r k l i c h k e i t wird nun allerdings der W e r t von Q un­
g e n a u sein und der U e b e r s c h u s s cp daher vielleicht grösstenteils
nur auf dieser U n g e n a u i g k e i t beruhen, aber Gewissheit hat man
darüber im einzelnen F a l l e nicht.
Betrachten wir nun eine R e i h e , in welcher die physische
S c h w a n k u n g s k o m p o n e n t e irgend einen W e r t p hat.
ponente
Diese K o m ­
wird unverändert bleiben, welches auch der W e r t der
normal-zufälligen
Komponente
r sein m a g , der sich seinerseits
u m g e k e h r t proportional der W u r z e l aus
M a n kann folglich
der G r u n d z a h l ändert.
die G r u n d z a h l immer so gross nehmen, dass
r g e g e n p g a r nicht mehr in Betracht k o m m t und d e m n a c h der
2
A u s d r u c k der T o t a l - S c h w a n k u n g R = ] / r ' - | - p
2
sich nahezu ver­
wandelt in R = p.
U m g e k e h r t wird man, wenn der konstante W e r t p an sich
nur massig gross ist, durch die W a h l kleiner Grundzahlen es
dahin bringen können, dass die normal-zufällige K o m p o n e n t e die
physische stark überwiegt, wodurch man sich der G l e i c h u n g
—
i88
—
R = r nähert; übrigens muss die Grundzahl, d. h. die B e o b a c h ­
tungszahl in jeder Serie, doch immer noch einige H u n d e r t be­
tragen, weil sonst die F o r m e l r zu unsicher wird.
1 5 . A u s dem O b i g e n lässt sich nun folgern: ist die B e ­
d i n g u n g R = r nahezu erfüllt bei einer sehr grossen Grundzahl,
z. B . i o o o o o oder mehr, so ist die physische S c h w a n k u n g s k o m penente p jedenfalls sehr klein und man kann die G r u n d w a h r ­
scheinlichkeit praktisch als konstant betrachten.
Ist aber bei
einer sehr grossen G r u n d z a h l die T o t a l - S c h w a n k u n g R nicht sehr
klein, so stellt dieses letztere S c h w a n k u n g s m a s s unmittelbar nähe­
rungsweise die physische K o m p o n e n t e dar, und zwar mit um so
grösserer A n n ä h e r u n g , je grösser es ist.
Ist p von massiger Grösse, so wird bei einer relativ kleinen
G r u n d z a h l (von einigen H u n d e r t aufwärts) der Quotient Q der
Einheit ziemlich nahe k o m m e n ; daher auch umgekehrt, wenn Q
nur weniger grösser als 1 ist, die M ö g l i c h k e i t vorliegt, dass eine
g e g e n r nicht unerhebliche K o m p o n e n t e p vorhanden ist. O b
dies der F a l l ist, würde sich entscheiden lassen, wenn man d a s ­
s e l b e Verhältnis in einer R e i h e mit sehr grosser Grundzahl
untersuchen könnte, da sich in dieser die physische S c h w a n k u n g
mit g e n ü g e n d e r Sicherheit unmittelbar herausstellen würde.
J e grösser also die Grundzahl ist, um so grösser ist die
A n n ä h e r u n g an das M a x i m u m der Stabilität, welche für eine
R e i h e durch das approximative Zutreffen des K r i t e r i u m s Q = 1
angedeutet wird.
B e i den massigen Grundzahlen aber, die bei praktischen
U n t e r s u c h u n g e n gewöhnlich zur A n w e n d u n g k o m m e n , bleibt ein
ziemlich grosser Spielraum für die m ö g l i c h e A n n ä h e r u n g an das
Maximum.
16. D a nun a b s o l u t konstante Wahrscheinlichkeiten in den
menschlichen Massenerscheinungen wohl nicht vorhanden sein
werden, so wird im allgemeinen das K r i t e r i u m der normalen D i s ­
persion oder m a x i m a l e n Stabilität bei sehr grossen G r u n d z a h l e n
besten F a l l s nur unvollkommen zutreffen, auch wenn es in R e i h e n
desselben Verhältnisses mit massigen Grundzahlen durchaus be­
friedigend erfüllt wird. I n der A b h a n d l u n g über das G e s c h l e c h t s ­
verhältnis der G e b o r e n e n habe ich z. B . gezeigt, dass in den
sämtlichen 45 Registrierungsgrafschaften E n g l a n d s nach den B e ­
o b a c h t u n g e n aus den J a h r e n 1 8 5 9 — 7 1 der B e d i n g u n g R = (r)
iSg
—
a n n ä h e r n d g e n ü g t wird.
—
U n t e r s u c h t m a n aber die W e r t e dieses
Verhältnisses für E n g l a n d im ganzen, so b e w e g e n sich
in jenen 1 3 J a h r e n
zwar nur zwischen
dieselben
den engen G r e n z e n v o n
1 0 3 5 bis 1 0 4 7 , bei einem Mittel v o n 1 0 4 2 K n a b e n auf 1000 M ä d ­
chen, aber man findet R =
2,6 und (r) =
1.6, den Quotienten R : (r)
also gleich 1 . 6 2 5 , und demnach eine, wenn auch nur massig über­
normale Dispersion.
A b e r die G r u n d z a h l ist hier die durchschnitt­
liche jährliche Geburtenzahl in g a n z E n g l a n d , über 7 3 0 0 0 0 , und
dadurch wird (r) so klein, dass die physische S c h w a n k u n g p, die
2
sich n a c h der F o r m e l (r) / Q — 1
erhält.
dass sie
die
zu 2,0 berechnet, die O b e r h a n d
D i e s e letztere ist aber absolut betrachtet wieder so klein,
gegen
in den
gestattet
die grossen normal-zufälligen S c h w a n k u n g e n (r),
Grafschaften wegen
sind,
g a r nicht
der relativ kleinen Grundzahlen
in Betracht k o m m t und d e m n a c h auch
die Quotienten Q in den letzteren nicht merklich von der E i n h e i t
entfernen kann.
1 7 . W i l l man die statistischen Verhältnisse suchen, für welche
die G l e i c h u n g Q = r näherungsweise erfüllt ist, so wird m a n die
Probe
vorzugsweise
mit solchen anstellen müssen, deren G r u n d ­
zahlen nur m a s s i g gross sind.
E s wird dann möglicherweise eine
gewisse physische S c h w a n k u n g s k o m p o n e n t e verdeckt bleiben, und
in betreff der Stabilität der R e i h e n wird man a u c h bei kleinem
W e r t e des Ueberschusses 99 nur sagen können, dass sie sich dem
M a x i m u m einigermassen nähere.
A b e r trotz dieser Unsicherheit
bleibt es ein G e w i n n , wenn man zeigen kann, dass die unmittel­
bar beobachtete wahrscheinliche A b w e i c h u n g bei relativ kleinem g
sich annähernd so gestaltet, wie es die a priori aufgestellte Theorie
verlangt.
wenn
Q =
E s ist ja gerade
eine Verhältnisreihe
i aufweist,
eine neue B e s t ä t i g u n g der Theorie,
bei
massiger
während bei sehr
Grundzahl
grossem g der
Quotient g l e i c h 2 oder noch grösser ist.
annähernd
entsprechende
A u c h ist die E r f ü l l u n g
jenes K r i t e r i u m s der annähernd normalen Dispersion ein praktisch
g e n ü g e n d e r B e w e i s dafür, dass die untersuchte R e i h e im wesent­
lichen
den Charakter einer
typischen
trägt, und das früher G e ­
s a g t e in betreff der vereinzelten starken A b w e i c h u n g e n und der
V e r g l e i c h b a r k e i t von Verhältnissen
gilt a u c h mit R ü c k s i c h t auf
R e i h e n dieser A r t .
U m die bei kleiner G r u n d z a h l verdeckte K o m p o n e n t e p zu
bestimmen, hat man, wie gesagt, ein Mittel in der U n t e r s u c h u n g
190
einer
R e i h e v o n Einzelwerten
—
desselben Verhältnisses mit sehr
grossen
Grundzahlen.
W e n n das betreffende Verhältnis n a c h ­
weislich
nicht v o n der Jahreszeit beeinflusst wird, so kann man
z. B . die erste R e i h e mit H ü l f e von M o n a t s b e o b a c h t u n g e n bilden,
etwa so, dass man die E r g e b n i s s e je eines M o n a t s aus 1 5 — 2 0
J a h r e n zu G r u n d e legt. Trifft nun annähernd das Kriterium Q = i
zu, so berechne
man auch für die Verhältnisreihe, die sich aus
]
den B e o b a c h t u n g e n der ganzen J a h r e e r g i e b t ) , sowohl R wie r
und den entsprechenden Quotienten Q . G e h t dieser letztere eben­
falls nur w e n i g
über die Einheit hinaus, so kann die physische
S c h w a n k u n g als unbedeutend angesehen werden; ist er d a g e g e n
beträchtlich grösser als 1, so lässt sich die K o m p o n e n t e p mit
2
g e n ü g e n d e r G e n a u i g k e i t nach der F o r m e l r / Q — 1
berechnen.
In anderen Fällen wird es vielleicht zweckmässiger sein, die
Verhältnisreihen
geographische
mit grosser und mit kleiner
G r u p p i e r u n g zu bilden.
G r u n d z a h l durch
M a n berechne
das be­
treffende V e r h ä l t n i s für eine R e i h e v o n J a h r e n einmal aus den
B e o b a c h t u n g e n im ganzen Staatsgebiet und andererseits nach den
E r g e b n i s s e n in einem K o m p l e x e v o n kleinen Distrikten, die durch
das g a n z e L a n d verteilt sind, indem m a n etwa in Preussen aus
jedem R e g i e r u n g s b e z i r k e einen K r e i s nähme.
individuellen
werden.
Verhältnissen
I m übrigen
könnten
würden
G r o s s e S t ä d t e mit
nötigenfalls
ausgeschlossen
das Verfahren und die Schluss­
2
folgerungen dieselben bleiben wie oben ).
18. K o m m e n wir nun auf den praktischen G e b r a u c h des
Ausdrucks r / Q
2
— 1 als Dispersionsmass
zurück, so kann m a n ,
wenn Q > > 4 , in der P r a x i s schon ohne B e d e n k e n statt desselben
die
unmittelbar hervortretende
wahrscheinliche
Abweichung
R
nehmen, denn der Fehler, der durch die V e r n a c h l ä s s i g u n g der 1
unter dem Wurzelzeichen entsteht,
ist dann geringer, als die in
der R e g e l vorhandene
Unsicherheit v o n Q .
4
stellt
und etwa
1 . 5 , so
die obige
L i e g t Q zwischen
Formel
die
physische
1) Sollte diese Jahresstrecke noch nicht genügen, um eine sehr grosse Grundzahl
zu liefern, so kann man die Einzelverhältnisse aus zwei- oder dreijährigen Beobachtungs­
strecken ableiten.
2) Bildet man auf diese Art durch zeitliche oder geographische Gruppierung
mehrere Reihen d e s s e l b e n Verhältnisses mit wesentlich verschiedenen Grundzahlen
und übernormaler Dispersion, so wird man, wenn die Theorie zutrifft, aus den ver­
schiedenen R und r immer ungefähr das gleiche p finden.
IQI
—
—
S c h w a n k u n g s k o m p o n e n t e , die wir eben
als das rationelle
Mass
der Dispersion annehmen, natürlich immer mit der durch die U n genauigkeit
von
Q bedingten Unsicherheit dar, aber ihre prak­
tische A n w e n d b a r k e i t wird dadurch nicht wesentlich beeinträchtigt.
D a g e g e n wird diese Unsicherheit störend, wenn Q kleiner ist als
1 . 5 , also das Kriterium der grössten Stabilität beinahe erfüllt ist.
Die
Wurzelgrösse
O r d n u n g des
ist
dann
möglicherweise
Fehlers, mit dem
ungefähr
Q behaftet
von
ist, und es
der
könnte
daher fast der ganze U e b e r s c h u s s 99 lediglich durch diesen Fehler
entstanden sein.
schliessen,
M a n kann also dann aus der F o r m e l für p nur
dass die R e i h e
dem
Maximum
der Stabilität
nahe
k o m m t ; ob aber die physische K o m p o n e n t e wirklich so klein ist,
dass m a n
sich
nur durch V e r -
g l e i c h u n g mehrerer gleichartiger R e i h e n oder
sie
vernachlässigen
darf, lässt
von R e i h e n des­
selben Verhältnisses mit sehr verschiedenen G r u n d z a h l e n einigermassen
entscheiden.
Es
wird z w e c k m ä s s i g
sein,
mit
Berück­
sichtigung der N a t u r der untersuchten Verhältnisse eine
untere
G r e n z e für p anzunehmen, über welche hinaus m a n die p h y s i s c h e
Dispersion als N u l l ansieht.
ig.
W i r haben
Schwankungen
bisher
angenommen,
dass
die
der Grundwahrscheinlichkeit den
fälliger A b w e i c h u n g e n von
einem
physischen
Charakter
Mittelwerte trügen.
W i r k l i c h k e i t wird dies nur bei solchen Verhältnissen
zu­
I n der
zutreffen,
deren zeitlich aufeinander folgende Einzelwerte keinerlei Z u s a m m e n ­
hang
oder
Solidarität unter
sich
besitzen.
Streng
genommen
wird eine absolute
Selbständigkeit der successiven W e r t e wohl
nie vorhanden sein.
W e n n auch z. B . kein G r u n d vorhanden ist
zu der
geburten
A n n a h m e , dass
ein
starker
Ueberschuss
von
Knaben­
in dem einen J a h r e an sich irgend eine R e a k t i o n auf
die relative H ä u f i g k e i t dieser G e b u r t e n im folgenden J a h r e aus­
übe,
wenn
successiven
also
keine
innere
Wechselwirkung
Wahrscheinlichkeitswerten
besteht,
zwischen
so
können
den
die
letzteren doch unter gemeinsamen äusseren E i n w i r k u n g e n stehen,
die
eine l a n g s a m
kontinuierliche V e r ä n d e r u n g der
M ö g l i c h k e i t s b e d i n g u n g e n verursachen.
allgemeinen
B e i manchen Verhältnissen
k a n n m a n diese evolutorischen oder undulatorischen B e w e g u n g e n
der Grundwahrscheinlichkeit w e g e n ihrer K l e i n h e i t vernachlässigen
oder auch ohne weiteres wie zufällige S c h w a n k u n g e n behandeln.
Letzteres gilt namentlich für solche Fälle, in denen die aufeinander
folgenden
beobachteten
E i n z e l w e r t e äusserlich
betrachtet
keine
z u s a m m e n h ä n g e n d e n V e r ä n d e r u n g e n erkennen lassen, sondern im
g a n z e n unregelmässig u m einen Mittelwert zerstreut
scheinen.
In vielen Fällen aber treten solche Z u s a m m e n h ä n g e so deut­
lich und stark hervor, dass sie nicht unbeachtet bleiben
können.
W i e bereits angedeutet wurde, beruhen dieselben teils auf W e c h s e l ­
wirkungen
der
sich
folgenden
Grundwahrscheinlichkeiten,
teils
a u f allmählichen E n t w i c k l u n g e n in dem K o m p l e x e der M ö g l i c h ­
keitsbedingungen
alten
als
eines Ereignisses.
A u s g a n g s p u n k t und
wahrscheinlichkeit
eine
so
D e r neue Zustand hat
wird
auch
Modifikation, sei
die
verschiedenen
Werte
der
den
Grund­
es eine V e r g r ö s s e r u n g
oder eine V e r k l e i n e r u n g , der vorhergehenden.
die
neue
Bezeichnen
Grundwahrscheinlichkeit
wir
mit
v
1 ;
v , . . . . und betrachten wir sie als Ordinaten einer K u r v e , deren
2
Abscissen
die
Zeit t bildet,
so
wird
diese
L i n i e auf
längere
S t r e c k e n zusammenhängende H e b u n g e n oder S e n k u n g e n darstellen,
während in dem F a l l e der zufälligen S c h w a n k u n g e n
von v die
Einzelwerte sprungweise bald oberhalb, bald unterhalb einer hori­
zontalen Mittellinie auftreten.
U n t e r den Einzelwerten von v aber sind hier nicht die b e ­
o b a c h t e t e n Verhältniszahlen, die durch ( V j ) , (v ) u. s. w. bezeichnet
2
werden
m ö g e n , sondern
verstehen,
die
eben
die Grundwahrscheinlichkeiten
in den B e o b a c h t u n g e n
Ausdruck kommen.
nur näherungsweise
zu
zum
W ä r e n die Ordinaten jener K u r v e v , v , . . .
t
bekannt, so müssten die A b w e i c h u n g e n
( V j ) — v
l
t
(v )—v
2
2
2
u. s. w.
den C h a r a k t e r normal-zufälliger S c h w a n k u n g e n aufweisen,
wenn
die W e r t e v wirklich die B e d e u t u n g mathematischer W a h r s c h e i n ­
lichkeiten besitzen sollen. Daher wäre es auch verfehlt, w e n n man,
w a s sich immer ausführen Hesse, eine K u r v e n g l e i c h u n g ableitete,
welche
für die
gegebenen
obachtungswerte
scheinlichkeiten
(v)
W e r t e t g e n a u die zugehörigen B e ­
wiedergäbe.
Die
Kurve
der
Grundwahr­
lässt sich nur hypothetisch aufstellen; zeigt sich
dann, dass die durchschnittliche A b w e i c h u n g zwischen
rechneten
und den beobachteten W e r t e n nicht erheblich
den be­
grösser
und a u c h nicht erheblich k l e i n e r ist, als man es nach der W a h r ­
scheinlichkeitstheorie
fertigt.
erwarten darf, so ist die H y p o t h e s e gerecht­
M a n darf dann annehmen, dass die a n g e n o m m e n e K u r v e
die thatsächlichen V e r ä n d e r u n g e n der Grundwahrscheinlichkeit in
der
vergangenen
Zeit
annähernd
veranschaulicht.
Aber
eine
193
—
—
weitere B e d e u t u n g für die Zukunft hat eine solche K u r v e eben­
sowenig, wie sie irgend eine gesetzliche K r a f t in der V e r g a n g e n ­
heit besass.
S i e ist nichts, als ein Bericht über G e s c h e h e n e s in
geometrischer
Form.
20. D i e wirkliche E r m i t t e l u n g solcher K u r v e n wird im all­
gemeinen die M ü h e
nicht lohnen.
V e r s u c h mit der einfachsten
der
H ö c h s t e n s m a g zuweilen
Hypothese
Grundwahrscheinlichkeit von
ein
über die V e r ä n d e r u n g
einigem
Interesse
sein.
Man
könnte es vielleicht aus den äusseren U m s t ä n d e n sich noch einigermassen
erklären,
wenn
gewisse
Verhältniszahlen
im ganzen
auf längere S t r e c k e n regelmässig mit der Zeit fortschreitende A b oder
Z u n a h m e zeigten.
gegen
die
E i n e solche
Abscissenaxe
geneigten
1
deren G l e i c h u n g v = a + b t w ä r e ) .
V e r ä n d e r u n g würde
geraden
Linie
M a n hätte dann aus den n
B e o b a c h t u n g s w e r t e n (v) die wahrscheinlichsten W e r t e der
Koefficienten a und b zu bestimmen
drücke R
W e r t e n v und den be­
(v) der Wahrscheinlichkeitstheorie
Entscheidung
dieser F r a g e
würde
die
entsprechen.
Zur
V e r g l e i c h u n g der
Aus­
und r in ihrer früheren Gestalt nicht mehr g e n ü g e n ,
wenn die Grundwahrscheinlichkeit sich in der ganzen
tungsstrecke u m einen sehr bedeutenden
Denn
die
jedesmalige
beiden
und nur zu untersuchen, ob
die Differenzen zwischen den berechneten
obachteten
einer
entsprechen,
Grösse
B e t r a g geändert hätte.
r, der wahrscheinliche
Grundwahrscheinlichkeit v
Beobach­
Fehler,
zum
mit
Ausdruck
dem
die
kommt,
h ä n g t eben auch von v selbst ab, indem sich bei gleicher G r u n d ­
zahl und verschiedenem
v die Präcisionen
obachtungswerte
(v) u m g e k e h r t
dem
(i—v).
Produkt v
Um
verhalten
der zugehörigen B e ­
wie
die
Wurzel
aus
weitläufigere R e c h n u n g e n zu ver­
meiden, wird es daher für praktische U n t e r s u c h u n g e n empfehlens­
wert
sein,
die
Reihen
so
abzugrenzen,
dass
die
auftretenden
Differenzen der Grundwahrscheinlichkeiten keine störende G r ö s s e
i) Man könnte i n ähnlicher Weise auch untersuchen, ob die Veränderungen
von v denjenigen irgend eines anderen Elementes proportional wären, wie z. B. der
Bevölkerungszahl, des Brotpreises oder sonstiger Faktoren, zu denen das betreffende v
n a c h seiner besonderen Natur nähere Beziehungen haben könnte. Handelt es sich u m
eine g e b u n d e n e Reihe, i n welcher die progressive Erhaltung eines streng gehand­
habten Gesetzes z u m Ausdruck kommt, so werden die übrig bleibenden Abweichungen
der Beobachtungswerte von der geneigten geraden Linie möglicherweise den Charakter
der unternormalen Dispersion tragen.
Loxis,
B e v ö l k e r u n g s - u. M u r a l s i a t i s t i k .
13
—
erhalten.
194
—
D e r E i n f l u s s derselben ist namentlich nur sehr g e r i n g ,
wenn v sich nicht sehr weit von 0,5 entfernt.
S t e i g t die G r u n d ­
wahrscheinlichkeit z. B . von 0 , 3 5 0 auf 0,500, so nimmt der wahr­
scheinliche F e h l e r r nur im V e r h ä l t n i s von 1 : 1,048 zu, und bei
weiterem
Anwachsen
kleiner, bis es
bei
G r ö s s e ankommt.
Präcision
denken
der
von
g
über
0,500
wieder
E i n z e l w e r t e aber kann
zumal
unberücksichtigt
man
wenn
V o r a u s s e t z u n g e n also
einfach
mit
mit
(vj)—v
2
Hülfe
dem
aus
u. s.
w.
gleichen.
wird r wieder
lässt,
ohne praktische B e ­
man
welche
einzelnen (v) noch stärker beeinflussen.
ihn
hinaus
bei der gleich 1 gesetzten
S o l c h e und n o c h grössere Unterschiede in der
vernachlässigen,
Grundzahl
v
v = 0,650
Ungleichheiten
der
die
der
Präcision
M a n wird unter diesen
den theoretischen
wahrscheinlichen F e h l e r
eines mittleren W e r t e s von v berechnen und
den
Q u a d r a t e n der
bestimmten
Abweichungen
wahrscheinlichen
(v ) — v ,
t
Fehler
x
R
ver­
Letzterer unterscheidet sich allerdings von dem früher
aufgestellten R dadurch, dass die A b w e i c h u n g e n nicht auf einen
festen Mittelwert, sondern auf die der aufgestellten G l e i c h u n g g e ­
mäss
veränderlichen
b o z o g e n werden.
Grundwahrscheinlichkeiten v
l
t
v
u. s.
2
A u c h ist es in diesem F a l l e korrekter
der zwei K o n s t a n t e n ) die
w.
(wegen
Q u a d r a t s u m m e unter der W u r z e l statt
durch n — 1 durch n—2 zu dividieren, obwohl praktisch auf diese
V e r b e s s e r u n g w e n i g ankommt.
F i n d e t man nun auf diese W e i s e
annähernd R = r, so erscheint die H y p o t h e s e der
V e r ä n d e r u n g von v und t g e n ü g e n d
proportionalen
berechtigt.
2 1 . D u r c h die E r m i t t e l u n g einer G l e i c h u n g zwischen v und
t würde man eine unmittelbare
änderungen
der
D a r s t e l l u n g der physischen
Grundwahrscheinlichkeit
S c h w a n k u n g s m a s s in d e m früheren
geworden.
erhalten
D a s A u f s u c h e n einer solchen
zweifelhaftem
Nutzen.
anderes V e r f a h r e n zweckmässiger.
Ver­
ein
S i n n e wäre dadurch u n n ö t i g
Gleichung
selbst in dem zuletzt betrachteten einfachen F a l l e eine
A r b e i t von
und
ist
indes
mühsame
F ü r die P r a x i s ist daher ein
W e n n die evolutorische
oder
undulatorische B e w e g u n g der Grundwahrscheinlichkeit nicht über
die G r e n z e n hinausgeht,
innerhalb deren
werte
F o r m e l r noch praktisch brauchbar ist,
von
v berechnete
die mit einem Mittel­
so kann m a n einfach den besonderen C h a r a k t e r dieser B e w e g u n g
unberücksichtigt lassen und dieselbe behandeln wie die zufälligen
Oscillationen der G l i e d e r einer
typischen
Reihe.
M a n berechne
'95
—
also R und r wie in dem früheren F a l l e aus d e m arithmetischen
Mittel der beobachteten W e r t e (v).
R < < r , denn in diesem
M a n wird nicht finden, dass
F a l l e hätte m a n eine g e b u n d e n e R e i h e ,
deren Glieder durch besondere
E i n w i r k u n g e n n o c h weniger ver­
änderlich wären, als bei k o n s t a n t e m
Dispersion.
v und normal-zufälliger
E r g ä b e sich näherungsweise R = r, so
entsprächen
die direkt beobachteten S c h w a n k u n g e n nahezu der V o r a u s s e t z u n g
einer konstanten Grundwahrscheinlichkeit und die physische V e r ­
änderlichkeit
derselben,
mag
sie
evolutorischer
oder
undulato-
rischer A r t sein, wäre jedenfalls so klein, dass sie vernachlässigt
werden
könnte.
S o bleibt also nur die F r a g e ,
ob auch, w e n n
entschieden R > - r , das für die typischen R e i h e n geltende M a s s p
der physischen Dispersion
für evolutorische
oder
undulatorische
R e i h e n in den oben a n g e g e b e n e n G r e n z e n brauchbar ist und ver­
gleichbare Grössen giebt.
2
22. D e r A u s d r u c k , u m den es sich handelt, ist p = } ' R — r
2
=
r/Q —i.
H i e r haben
nun
2
p und R nicht, wie
früher, die
B e d e u t u n g eines wahrscheinlichen Fehlers, denn die
physischen
V e r ä n d e r u n g e n von v sind j a nicht zufälliger Natur, sondern sie
stehen in gewissen V e r b i n d u n g e n unter sich oder entsprechen zu­
sammenhängenden
betrifft,
so
Phasen
kombiniert
sich
derselben E n t w i c k e l u n g , und w a s
diese S c h w a n k u n g s g r ö s s e
aus
R
den
physischen V e r ä n d e r u n g e n und den zufälligen A b w e i c h u n g e n der
empirischen W e r t e (v) von den zugehörigen unbekannten G r u n d ­
wahrscheinlichkeiten v.
D i e letzteren A b w e i c h u n g e n müssen d e m
Kriterium der normal-zufälligen Dispersion
entsprechen,
annähernd durch die B e d i n g u n g g e g e b e n ist: Q I / ~ ~ y
unter
(v ) — v
2
2
[T ] die
2
S u m m e der Q u a d r a t e der
u. s. w. zu verstehen ist.
r
= >
Differenzen
N u n ist
aber R
welches
wenn
(v,) — v ,
t
unmittelbar
durch seine F o r m geeignet, die T o t a l s c h w a n k u n g e n u m das arith­
metische
Mittel der
Beobachtungswerte
zu
charakterisieren,
da
dieser A u s d r u c k nahezu der W u r z e l aus dem mittleren Q u a d r a t e
dieser T o t a l a b w e i c h u n g e n proportional ist.
S o würde sich schon
durch die A n a l o g i e mit der früheren für die zufälligen physischen
Schwankungen
die
obige
Formel
für p
rechtfertigen
lassen,
indem m a n einfach durch Definition den U e b e r s c h u s s des Q u a d r a t e s
v o n R über das Q u a d r a t von r als das Q u a d r a t des M a s s e s der
physischen
Schwankungen
hinstellte.
Aber
die
13*
Beziehung
io6
R2_P2_|_ 2
lässt sich überdies
R
man
in
direkt ableiten,
sich darin p in derselben F o r m vorzustellen,
dem
früher
komponente
betrachteten
gebildet
denken
F a l l e die
l
muss ).
physische
und zwar hat
wie man sich
Schwankungs­
Z u g l e i c h ersieht man aus
I) Man wird sich immer vorstellen können, dass die Grundwahrscheinlichkeiten
v,, v,, . . . Ordinaten einer Kurve sind, deren Gleichung die Form hat:
v = a + b T ' - F c T " + d T " - ( - • • • , wo T ' , T " , T ' " . . .
wo die T Funktionen (Potenzen, trigonometrische Funktionen oder sonst geeignet
scheinende! von t sind und a, b, c, d, . . . zu bestimmende Koefficienten darstellen,
deren Zahl wir jedoch in Vergleich zur Zahl n der Beobachtungswerte als klein an­
nehmen. D i e Gleichung muss man sich so beschaffen denken, dass die Differenzen
(v)—v oder x zwischen den beobachteten und der mit den w a h r s c h e i n l i c h s t e n
W e r t e n der Koefficienten a, b, c, d . . . . berechneten Ordinatenwerten annähernd
der oben in Bezug auf r aufgestellten Bedingung genügen. E s lässt sich nun allgemein
der Satz beweisen, dass:
2
2
2
^((v)-V) = -S>-V) -i- 2((v)-v)
wenn durch das Zeichen 2 die Summe der dahinter stehenden Quadrate dargestellt
wird, (v) und v die successiven beobachteten resp. aus der Gleichung mit den wahr­
scheinlichsten Koefficienten berechneten Ordinatenwerte bedeuten und V das arith­
metische Mittel aus sämtlichen Beobachtungswerten (v) bezeichnet. Multipliziert man
nun auf beiden Seiten mit 2 p und dividiert durch n — I , so erhält der Ausdruck links
vom Gleichheitszeichen genau die Form von R , der erste Summand rechts stimmt der
Form nach mit dem Quadrat der wahrscheinlichen physischen Abweichung in dem
früheren Falle überein und der zweite Summand rechts wird annähernd gleich r'-\
W i r behalten hier den Divisor n — I aus Rücksicht auf die Form von R bei, obwohl
er theoretisch nicht ganz korrekt ist. Der obige Satz gilt auch bei beliebiger Ver­
schiedenheit der Präcisionen der Einzelbestimmungen, mir ist dann statt des einfachen
arithmetischen Mittels V das mit Berücksichtigung des Gewichts der Einzelwerte be­
rechnete Mittel, das „Gewichtsmittel", wie man es nennen könnte, zu nehmen.
2
2
Zusatz ( 1 9 0 2 ) . Der obige Satz kann auf folgende Art bewiesen werden:
Nehmen wir für T ' , T " . . . einfach die Potenzen t, t u. s. w. an — die
Ausdehnung auf andere Funktiouen ergiebt sich ohne weiteres — so hat man nach
der Methode den kleinsten Quadrate für a, b, c etc. die Bedingungsgleichungen
2
2
[(v)] = [ i ] a + [ t ] b + [ t ] c . . .
[(v]t] = [t] a + [t ] b + [t ] c . . .
[(v)t ] = [t ] a + [t <] 1 , + [ f ] c . . .
2
2
2
3
:
wenn durch die eckigen Klammern die Summen der betreffenden, den Einzelwerten
von t entsprechenden Grössen bezeichnet sind.
Die (v) drücken die unmittelbar
beobachteten Wahrscheinlichkeitswerte aus. Wenn aber die Werte von a, b, c . . .
nach den obigen Bedingungsgleichungen bestimmt sind, so müssen für die aus der
Gleichung v = a - ( - b t - | - c t
. . . . abgeleiteten, den Beobachtungszeiten t ent­
sprechenden Werte v die Gleichungen gelten:
2
[v] -
[(v)], [vtj =
2
2
L(v) tj, [vt ] = [(V) l ]
—
'97
dieser B e z i e h u n g , dass das arithmetische Mittel noch eine gewisse
ausgezeichnete
S t e l l u n g behält,
auch
wenn
es nicht mehr
den
Charakter eines eigentlichen typischen Centraiwertes besitzt.
W i r sind also berechtigt, alle R e i h e n von Verhältnissen, die
die F o r m
empirischer Wahrscheinlichkeiten besitzen,
ihrer Stabilität oder Dispersion
R
hinsichtlich
durch V e r g l e i c h u n g der Grössen
und r zu beurteilen und den A u s d r u c k p = r / Q
2
— i als M a s s
der physischen V e r ä n d e r u n g der Grundwahrscheinlichkeit zu be­
trachten, m a g diese V e r ä n d e r u n g nun in zufälligen S c h w a n k u n g e n
oder in unregelmässigen Undulationen oder in einer fortschreiten­
den E v o l u t i o n bestehen.
Spielraumes,
in dem
N u r dürfen die äussersten
v sich
bewegt,
G r e n z e n des
nicht so weit auseinander
liegen, dass der A u s d r u c k r nicht mehr mit praktisch g e n ü g e n d e r
G e n a u i g k e i t aus einem einzigen, mittleren W e r t e von v berechnet
werden kann.
23. A l s neues Beispiel einer A n w e n d u n g der im
vorstehenden
erörterten Theorie der Dispersion statistischer R e i h e n wollen
jetzt das Geschlechtsverhältnis der Gestorbenen
Altersstufen
in
wir
verschiedenen
behandeln.
M a n kann ohne Zweifel nach der Wahrscheinlichkeit fragen,
dass eine in einer
gewissen
Altersstufe
gestorbene
Person,
die
aufs Geratewohl herausgegriffen wird, dem männlichen G e s c h l e c h t
angehöre.
hängt
E s ist dies eine relative Wahrscheinlichkeit,
von
der
absoluten
Sterbenswahrscheinlichkeit
des
die ab­
einen
und des andern G e s c h l e c h t s in der betreffenden Altersklasse und
von der Zahl der dem Sterben ausgesetzten männlichen und weib-
Aus der Gleichung für v ergeben sich ohne weiteres die folgenden :
2
[(v) v] =
2
[v ] =
[(v)] a + [(v) t] b - f t(v) t ] c . . .
, v] a +
2
[vt] b +
[vt ] c . . .
2
Man hat also nach den vorigen Gleichungen [(v) v] = [ v ] .
man die Differenz (v)—v = t quadriert: [(v) ] - [ v ] = [r ].
2
2
2
Wenn ferner ( v ) - V =
2
2
A , so ist [(v) ]—nV =
2
2
Daraus folgt, wenn
(1)
2
[^ ]
(2)
2
und wenn v — V = D, so ist [ v | — n V = [ D ] .
(3)
Die Gleichungen (2) und (3) kommen dadurch zustande, dass 2 [(v)] V ebenso
wie
2 [v] V
2
gleich 2 n V , da
[(v)] =
[v] = 1 1 V .
Durch Addition von ( 1 ) und ( 3 ) erhält man schliesslich:
s
[<v) l-nV =
also die zu beweisende Gleichung.
2
2
[r j + [D J =
[A%
Ucbrigens gilt dieser Satz nicht nur lür Wahr-
scheinlichkeitsverhältnisse, sondern für beliebige Messungsgrössen überhaupt.
IQ8 —
—
liehen L e b e n d e n . J e d o c h kann sie als g a n z selbständig n a c h unse­
rer Theorie behandelt werden.
Sind
in einem
Kalenderjahre a
männliche und b weibliche Individuen der bestimmten A l t e r s s t u f e
e
gestorben, so ist
n
'
empirischer
Näherungswert
jener
relativen Sterbenswahrscheinlichkeit der M ä n n l i c h e n , u n d es fragt
sich nun, ob in einer grösseren
mit
annähernd
gleicher
R e i h e solcher Verhältniszahlen
Grundzahl
die
wahrscheinliche
Ab­
w e i c h u n g v o m Mittelwerte so gross ist, wie bei den E r g e b n i s s e n
eines analogen G l ü c k s s p i e l s mit konstanten C h a n c e n , mit anderen
Worten,
ob die R e i h e annähernd das M a x i m u m
aufweist
oder
der Stabilität
ob eine erhebliche physische S c h w a n k u n g s k o m p o ­
nente vorhanden ist.
A l s Zahlenmaterial nehmen wir zunächst die in der „ S t a t i stique internationale" (p. 1 1 7 ) zusammengestellten D a t e n über die
Sterbefälle
in B e l g i e n
in den J a h r e n
Verhältnisses v = —^—raber legen
a-f- b
z =
I
O
Q
o
a
b
die R e l a t i v z a h l
r oder (r) in dem K r i t e r i u m der Stabilität auftritt.
2
ist also z d i e Z a h l
auf i o o o weibliche.
jener
wir wieder
A n s t a t t des
zu G r u n d e , weshalb statt r, wie früher bereits bemerkt
wurde, ——°°°
(1—v)
Es
1
1841—60 ).
der gestorbenen
D i e S c h w a n k u n g e n dieser Zahl sind nun in
20jährigen Periode
sich dieselben
jugendlichen,
männlichen Individuen
sehr
verschiedener Natur, j e nachdem
auf die Altersklassen
mittleren
der K i n d h e i t , auf die des
und v o r g e r ü c k t e n
äusserste Greisenalter beziehen.
Alters
und
auf das
S o findet m a n beispielsweise als
W e r t e v o n z in den drei ersten A l t e r s m o n a t e n und in den drei
Jahrfünften
Jahr
1841
1842
l843
1844
1845
1846
1847
1848
1849
von
0—i
M.
'384
1337
1342
>3»3
1376
'353
1357
1330
'34°
45—60
Jahren:
1 — 2 M.
1250
1296
I3I7
'403
1375
1280
2 — 3 M.
1232
1214
1236
1239
1278
I3'5
1439
1318
1221
1310
I34I
< 45
2
4 5 - 5 °
J.
853
973
992
998
1083
1253
1468
1116
1107
I ) Mit einigen Korrektionen nach den Originaltabellen.
50—55
837
898
869
888
934
1078
'353
1077
1138
J.
55—60
1004
961
937
860
960
1054
1138
860
873
199
Jahr
— 2 M.
1850
1851
1852
1335
1247
1855
1856
l857
1858
'344
1408
1250
1348
l859
1860
45 — 5 ° J1100
1070
II 13
1183
1264
1255
'253
"58
1182
1244
1256
1318
1282
1390
1237
'445
1308
1316
1278
l853
1854
M.
2-3
5 0 — 5 5 JII 10
I17 2
"65
1206
5 5 — 6 0 J.
850
1028
1035
1067
U76
I206
II70
I 171
1245
I278
II74
1252
IIO6
I I 2 4
1212
I2L8
1238
129O
I29I
I276
1188
I197
Io8l
I2II
I 116
13OS
I n den drei zuerst angeführten Altersklassen sind die O s c i l l a tionen
ohne
von
z ohne
irgendwie
alle T e n d e n z
in
einer
merkbaren
bestimmten
Zusammenhang
Richtung.
und
Weder
Notjahre noch die Cholerajahre sind besonders ausgezeichnet
die
und
es zeigt sich a u c h keinerlei Parallelismus in den V e r ä n d e r u n g e n
der drei R e i h e n .
K u r z , die S c h w a n k u n g e n stellen sich hier v o n
vornherein so dar, dass m a n in ihnen
zufällige S t ö r u n g e n
typischen
darf,
und
wir
einiger
sehr
beträchtlicher
That
Mittelwertes
unten
sehen,
schläge
die
werden
darf, also
dass
Stabilität
scheinlichkeiten
vermuten
trotz
dieser
Reihen
als
die A n n a h m e nahezu
werden
maximale
eines
in
der
Aus­
angesehen
konstanter G r u n d w a h r ­
gerechtfertigt ist.
G a n z anders aber b e w e g e n sich die E i n z e l w e r t e in den drei
letzten K o l o n n e n .
D i e V e r ä n d e r u n g e n gehen hier, zumal bei den
Altersklassen
45—50
von
und
von
50—55
Jahren,
mit
einem
gewissen Parallelismus und zugleich in jeder einzelnen R e i h e mit
ziemlich deutlich auftretenden E n t w i c k e l u n g s t e n d e n z e n v o n statten.
Anfangs
ist das V e r h ä l t n i s z kleiner
lichen G e s c h l e c h t relativ
günstig.
als 1000, also dem m ä n n ­
I n d e m Notjahre . 1 8 4 6 aber
steigt es stark an und in dem folgenden sehr u n g ü n s t i g e n J a h r e
erreicht
tritt
es
—
in
wohl
allen
drei K o l o n n e n
infolge
der
ein M a x i m u m .
Wegräumung
vieler
Dann
aber
schwächlicher
M ä n n e r — auf kurze Zeit ein R ü c k s c h l a g zu G u n s t e n des männ­
lichen G e s c h l e c h t e s ein, dem j e d o c h bald wieder
und bis
zum
E n d e des Zeitraumes eine im g a n z e n v o r w i e g e n d e E n t w i c k e l u n g
von z n a c h aufwärts folgt.
abgesehen
von
dem
Jedenfalls trägt das erste Jahrzehnt,
g a n z abnormen J a h r e 1 8 4 7 , einen
Charakter als das zweite:
anderen
die relative Sterblichkeit der M ä n n e r
ist grösser g e w o r d e n , u n d es scheinen sich also in B e l g i e n
Ursachen
angehäuft
zu haben,
welche
auf
die
mehr
Lebensfähigkeit
200
des männlichen Geschlechtes in seinem reiferen A l t e r s p e z i f i s c h
u n g ü n s t i g einwirken. H ä n g t dies vielleicht mit der E n t w i c k e l u n g
der Industrie in jenem Zeiträume zusammen?
24. D o c h betrachten wir jetzt die theoretischen Kriterien
der Dispersion in den verschiedenen Altersstufen. D i e R u b r i k e n z,
R u n d (r) in der folgenden Tabelle bedürfen keiner E r k l ä r u n g ;
j e d o c h sei erwähnt, dass die W e r t e von z und die in R und (r)
v o r k o m m e n d e n W e r t e von v, welche die w a h r s c h e i n l i c h s t e n
sein sollen, für jede Altersklasse aus den Gesamtzahlen der
männlichen und weiblichen Gestorbenen des g a n z e n Zeitraumes
abgeleitet sind ')• A l s Grundzahl g ist bei der B e r e c h n u n g des
(r) die jährliche Durchschnittszahl der Gestorbenen jeder K l a s s e
a n g e n o m m e n ) . U n t e r Q sind die Quotienten R : (r) aufgeführt.
D i e mit O bezeichnete K o l o n n e enthält die äussersten W e r t e
von z, die in den einzelnen K l a s s e n während der 20jährigen
Periode v o r g e k o m m e n sind. M a n sieht daraus wieder, wie b e ­
deutend bei relativ kleiner G r u n d z a h l die A u s s c h l ä g e werden
können, die noch mit der normalen Dispersion, also der a n ­
genäherten K o n s t a n z der allgemeinen M ö g l i c h k e i t s b e d i n g u n g e n
vereinbar sind.
2
U n t e r L ist für eine R e i h e von Altersklassen a n g e g e b e n ,
wie viele K n a b e n auf iooo M ä d c h e n die untere G r e n z e derselben
überschreiten, damit m a n sich überzeuge, dass dieses M o m e n t zu
der E n t s t e h u n g des grossen U e b e r g e w i c h t e s der relativen K n a b e n ­
sterblichkeit nichts Merkliches beiträgt. B e i den späteren A l t e r s ­
klassen ist diese R u b r i k ersetzt durch a D , w o 0 = 0 , 8 4 5 3 und D
die d u r c h s c h n i t t l i c h e absolute A b w e i c h u n g v o m Mittelwerte
bedeutet. E s ist dies also die F o r m e l , die oben als ein im V e r ­
gleich mit R etwas weniger sicherer A u s d r u c k des wahrschein­
lichen Fehlers a n g e g e b e n wurde, und unsere Zusammenstellung
soll zeigen, w i e fern dieselbe sich als M a s s der Dispersion eignet.
1) Man kann übrigens, wenn die Grundzahlen nicht sehr verschieden sind, ohne
erheblichen Fehler auch einfach das arithmetische Mittel der Einzelwerte von v oder
z als wahrscheinlichsten Wert nehmen. Das oben angewandte Mittel ist das „Ge­
wich tsmittel".
2) Den dadurch begangenen Fehicr kann man beurteilen, wenn man r einmal
mit der grössten und einmal mit der kleinsten Grundzahl berechnet.
20I
Alter
z
O
L
R
Totgeb.
o — i M.
I — 2 M.
2 - 3 M.
3 - 4 M.
4 — 5 M.
6 M.
6 — 9 M.
9 — 1 2 M.
« J2 - 3 J.
3— 5 J.
5 J-
1348
(1281 — 1410)
'359
1323
'253
1224
1284
( ' 3 1 6 - '4'7)
(1237 — 1445)
( 1 1 5 8 - 1390)
(1099— 1394)
( " 7 4 - 1429)
( 1 1 1 7 — 1422)
( 1 1 0 9 - 1257)
(1014— 1182)
( 9 6 6 - 1087)
(926— 1065)
( 8 7 9 - 1019)
(821 — 945)
1064
1052
1038
23.4
>8,S
5
2
1
0
1257
"79
1085
1028
990
947
878
1033
1030
1028
1026
1024
1020
1019
1018
1019
1022
w
Q
2
3>6
22, r
0,99
0,84
42,4
36,2
37.'
40,8
'.'5
0,91
49.1
52,7
56,2
42,9
5°]6
52,9
1,14
1,04
1,06
34-3
30.4
27,8
','3
1,12
'5,6
22,1
i,53
1,06
1,16
1,66
3>,i
23,9
23.5
23,7
28,7
20,I
'7,4
oD
10—15
15-20
20—25
25—30
30—40
J.
J.
7'3
770
J.
J.
J.
1095
905
826
40—45
45—50
JJ.
50-55
55-60
60-65
65—70
J.
J.
J.
J.
943
"43
1124
1055
70—75
75-80
80-85
85-90
JJ.
J.
J.
über 9 0 J.
(620—
(685-
46,0
847)
9'9)
36,4
38,0
30,2
(965— 1234)
( 8 0 4 - 1027)
( 7 6 6 - 909)
( 8 1 2 — iiiS)
( 8 5 3 - 1468)
33.2
48,3
83,0
103,2
( 8 3 7 - '353)
( 8 5 0 - 1305)
( 8 4 8 - " 40)
(789- "50
(766- "50)
( 8 . 1 - 1019)
962
9'3
906
903
866
800
95,2
63,4
71.8
60,3
( 7 8 1 - 940)
( 7 2 1 — 904)
( 6 3 8 - 83')
693
2 5 . I n den verschiedenen
45,5
37.9
40,2
32,8
29.7
50,3
88,9
104,4
93,9
64,8
3',i
71.7
65,9
36,0
21,7
34,5
25,0
24,5
33,9
28,7
18,4
2,5
2, i
'8,3
23,9
21,3
',7
'9,5
26,3
',5
2,'
2,3
3,4
4,3
4,3
3,5
4,3
4,'
2,1
1,26
1,29
38,1
o,75
'3,9
21,6
25,8
24.2
21,8
'8,5
16,6
'5,9
16,8
S t u f e n der ersten fünf Altersjahre
k o m m t also Q d u r c h w e g (mit der w o h l zufälligen A u s n a h m e für
das zweite Jahr) der E i n h e i t nahe, was darauf hindeutet, dass die
a n g e g e b e n e n W e r t e z nahezu typisch sind und dass die Stabilität
dieser R e i h e n nahezu das M a x i m u m erreicht.
Jugendjahre
und für die Periode
W e r t von Q zwischen
von
4 5 — 7 5 Jahren
F ü r die
späteren
der V o l l k r a f t b e w e g t sich der
1,5 und 2 , 5 ; das reifere und höhere A l t e r
erhöht
diesen Quotienten
noch u m ein
Be­
deutendes, so dass er 4,3 erreicht; dann aber sinkt er rasch und
weist in der äussersten L e b e n s p h a s e wieder auf m a x i m a l e Stabilität
hin.
D e r Quotient Q
ist
allerdings
kein
eigentliches M a s s
der
Dispersion, sondern nur w e n n (r) gleich bleibt oder kleiner wird,
entspricht
der V e r g r ö s s e r u n g von Q
V e r g r ö s s e r u n g der Dispersion.
teren
dient
n a c h den
mit Gewissheit
auch
eine
Z u r wirklichen M e s s u n g der letz­
früheren E r ö r t e r u n g e n nur die
physische
Dispersion, die nach A u s s c h e i d u n g der normal-zufälligen K o m p o ­
nente
ü b r i g bleibt.
2
D i e F o r m e l p = ( r ) ^ Q — 1 giebt
aber für
202
die Kindheitsperiode teils imaginäre, teils verhältnismässig
reelle W e r t e .
Da
nun
Q <C i) jedenfalls
die
ersteren
(entsprechend
den
nur durch die Unsicherheit von Q
kleine
Werten
entstanden
sind und da die betreffenden R e i h e n ihrer N a t u r nach als gleich­
artig
angesehen
kleinen
werden
Ueberschüsse
W e r t e von
dürfen, so
von
p erzeugen,
Q
über
ist
es
die
Einheit,
statthaft,
auch
welche
die
reelle
auf jene U n g e n a u i g k e i t zurückzuführen.
S o k o m m t bei den ersten 9 W e r t e n v o n Q als grösste
negative
A b w e i c h u n g von der E i n h e i t — 0 , 1 6 und andererseits als grösste
positive eine solche von - [ - 0 , 1 5 vor, und m a n wird der letzteren
denselben
C h a r a k t e r beilegen
dürfen,
Mittel dieser 9 W e r t e aber ist 1,04.
wie
der
ersteren.
Das
M a n ist also w o h l berechtigt
zu der A n n a h m e , dass die w a h r e n W e r t e dieser Q der E i n h e i t
sehr
für
nahe
p
kommen,
diesen
würde,
die
empirische
dass
also
A u s d r u c k zu
man
einer
früher
Grenze
wirkliche
physische
über
die
ist.
diese G r e n z e liegt,
kleinen
kann.
bereits
gewissen
Wo
sehr
vernachlässigen
Q , wie
doch dürfte es
ihre E i n f ü h r u n g in
wurde,
hinausgehen,
S c h w a n k u n g gleichwohl
lässt
nicht unpassend
Grösse
Ueberhaupt
erörtert
Einheit
die F o r m e l
machen
kann
bis
zu
während
ganz
das
einer
die
unbedeutend
sich natürlich nicht a n g e b e n ;
sein,
eine U n t e r s c h e i d u n g
ein­
zuführen zwischen der physischen Dispersion, die k l e i n e r ist, als
die mit ihr verbundene
jenigen, die dieser
normal-zufällige K o m p o n e n t e , und
letzteren gleich oder grösser ist.
würde also dem W e r t e Q =
/ 2=
terhalb dieser G r e n z e , so ist es
betreffenden
Reihe
dem
1,4 i entsprechen.
m ö g l i c h , dass
Maximum
nahe
der­
Die Grenze
L i e g t Q un­
die Stabilität der
kommt,
ja
dasselbe
vielleicht so nahe erreicht, als dies in der W i r k l i c h k e i t überhaupt
zu erwarten ist.
Grundzahl
g
D o c h kann auch andererseits bei relativ kleiner
der W e r t von
p, w e n n
er auch kleiner ist als (r),
an sich n o c h ziemlich gross sein.
2
26. B e r e c h n e n wir eine n a c h der F o r m e l p = ( r ) y Q — 1
physische Dispersion
für die Altersklassen, in denen sie
ist als (r), so ergeben sich folgende Z a h l e n :
Alter
P
i - 2 J.
S — 1 0 J.
1 0 — 1 5 J-
18,8
23,1
42,2
15—20
20—25
33.8
32,8
J.
J.
Alter
P
25—30
30—40
JJ.
40—45
45—50
JJ-
50-55
J-
23,8
25.7
44.7
83,8
101,2
Alter
P
55—60
60-65
65-70
J.
J.
J.
70-75
75-80
JJ.
die
grösser
91,2
62,0
69-4
63,2
3i,o
—
Auch
—
2C-3
diese Zahlen sind
mit einer Unsicherheit
betrachtet,
aber dieselbe ist jetzt im V e r h ä l t n i s zur G r ö s s e der Zahlen selbst
als
massig
oder
klein
anzusehen.
I m wesentlichen
sind diese
als vergleichbar zu betrachten; man k a n n also z. B . sagen, die
physische Dispersion
des Verhältnisses
z ist
in der Altersklasse
5 0 — 5 5 J a h r e u n g e f ä h r dreimal so gross als in der K l a s s e 1 5 bis
20 J a h r e und mehr als viermal so
bis
3 0 Jahre.
In
der
noch
der
gross
ersten
K l a s s e 1 — 2 J a h r e ist p am kleinsten;
in unserem Beispiel
gewöhnlich
gross
als in der K l a s s e 2 5
Kindheit
angehörigen
wahrscheinlich aber ist es
durch eine zufällige A n o m a l i e noch ausser-
geworden,
da
die A n a l o g i e mit anderen B e ­
o b a c h t u n g e n über diese Altersklasse und mit den kleinen W e r t e n
von Q in den beiden folgenden K l a s s e n dafür spricht, dass auch
in dieser S t u f e das M a x i m u m der Stabilität nahezu erreicht wird.
Die Werte
von
p
kommen,
wie
es
die
Formel
denen von R sehr nahe, sobald Q einigermassen
gross
ist.
mit aD
Andererseits aber
stimmt R
a u c h leidlich
bedingt,
geworden
überein,
so dass also für grössere W e r t e von Q die physische
Dispersion
u n g e f ä h r der durchschnittlichen A b w e i c h u n g in dem
früher an­
gegebenen
In
S i n n e proportional wird.
der
frühesten
normal-zufällig,
die
Jugend
physische
ist
also
die
Dispersion
Komponente kann
von
z
vernachlässigt
und die zu G r u n d e liegende relative Wahrscheinlichkeit als kon­
stant angesehen werden.
Stufen
möge
D a s heisst also, es giebt für die ersten
der K i n d h e i t einen
konstanten B e d i n g u n g s k o m p l e x ,
dessen mehr K n a b e n als M ä d c h e n sterben.
Anzahl
der
lebenden
K n a b e n und
Mädchen
ver­
Die
relative
in
diesem
kann
K o m p l e x e keine merkliche R o l l e spielen; denn die Zahl L weicht
selbst in
ihrem
Veränderungen
Maximum
zeigen
denjenigen von z.
nur
wenig
von
iooo
ab
und
ihre
nicht den mindesten Z u s a m m e n h a n g mit
D i e letztere G r ö s s e steigt z. B . von 1 2 2 4 a u f
1 2 8 4 , w ä h r e n d L von 1 0 3 0 a u f 1 0 2 8 sinkt, und andererseits sinkt
z von
947
auf 8 7 8 , w ä h r e n d L v o n
1 0 1 9 auf 1 0 2 2 steigt.
Die
einfachste H y p o t h e s e ist jedenfalls die, dass in der physiologischen
K o n s t i t u t i o n des männlichen und weiblichen O r g a n i s m u s in seiner
ersten L e b e n s p h a s e jener Unterschied der Sterblichkeit b e g r ü n d e t
sei.
Jedenfalls beweist die nahezu m a x i m a l e Stabilität von
diesen
Altersstufen,
welche
zeitweise
dass
spezifisch
erhebliche
äussere
z in
Störungsursachen,
die Sterblichkeit des
einen oder des
204
—
anderen G e s c h l e c h t e s modifizieren könnten, nicht vorhanden sind.
D e n n wenn solche E i n w i r k u n g e n zeitweilig oder in irgend
einer
selbständigen E n t w i c k e l u n g aufträten, so würde die G r u n d w a h r ­
scheinlichkeit
nicht
konstant
bleiben.
Wir
können
uns
nicht
wohl eine andere V o r s t e l l u n g machen, als dass das Durchschnittsmass der Widerstandsfähigkeit der K n a b e n g e g e n
den T o d
aus
organischen G r ü n d e n in einem festen V e r h ä l t n i s g e r i n g e r sei, als
das der M ä d c h e n
27. G a n z
anders
nisses z in den
verhält sich
späteren
die Dispersion
Lebensperioden.
Die
des V e r h ä l t ­
normal-zufällige
K o m p o n e n t e tritt g e g e n ü b e r der physischen immer mehr zurück;
wir müssen also jetzt energisch wirkende
äussere
und stark
U r s a c h e n annehmen, welche s p e z i f i s c h
wechselnde
auf die S t e r b ­
lichkeit des einen oder des anderen Geschlechtes einwirken.
der T h a t sind die B e d i n g u n g e n und G e f a h r e n des
In
selbständigen
L e b e n s g a n g e s bei beiden Geschlechtern so verschieden, dass auch
die V e r ä n d e r u n g e n derselben u n a b h ä n g i g nebeneinander hergehen
können.
Im
höchsten
gleichmässige
ursachen
ein.
Greisenalter j e d o c h
tritt
wieder
S t e l l u n g der Geschlechter g e g e n ü b e r
Die
Grundwahrscheinlichkeit nähert
der K o n s t a n z ; j e d o c h scheint
eine
mehr
den
Todes­
sich
wieder
in dieser P h a s e nicht, wie in der
kindlichen, ein erheblicher organischer Unterschied in der durch­
schnittlichen
Lebensfähigkeit
der
Individuen vorhanden zu sein.
schlechtern
kommen
eine
ziemlich
und
weiblichen
gleiche
absolute
Sterblichkeit
zuzu­
und die W e r t e von z werden hauptsächlich durch das
Geschlechtsverhältnis der
klassen beeinflusst.
vom
männlichen
E s scheint vielmehr beiden G e ­
gleichzeitig
Lebenden
dieser A l t e r s ­
S o k a m e n nach der belgischen V o l k s z ä h l u n g
1 5 . O k t o b e r 1 8 4 6 auf
iooo F r a u e n im A l t e r von
80
bis
1) Es ist bemerkenswert, dass die relative Knabensterblichkeit der beiden ersten
Monate ungefähr ebenso gross ist, wie das ebenfalls auf konstanter Giundwahrscheinlichkeit beruhende Geschlechtsverhältnis der Totgeborenen. Es ist also nicht etwa
die grössere Schwierigkeit der Knabengeburt, welche den Knabenüberschuss unter den
letzteren wesentlich bedingt. Auch das Geschlechtsverhältnis der abortierten Embryonen
bewegt sich nach den Pariser Beobachtungen ungefähr in denselben Zahlen. Auf die
Schlüsse, die sich aus diesen Thatsachen in betreff der Ursache der Geschlechts­
bestimmung ziehen lassen, gedenke ich bei einer anderen Gelegenheit zurückzukommen.
—
2
0
—"
5
85 J a h r e 850, im A l t e r v o n 85—90 J a h r e n 8 0 1 , im A l t e r über
90 Jahren 720 M ä n n e r , u n d nach der Z ä h l u n g v o m 3 1 . D e z e m b e r
1856 betrugen die entsprechenden Zahlen 766, 777 und 729. D i e
Zahlen von 1846 aber stimmen sehr nahe und die beiden letzten
von 1856 wenigstens noch leidlich mit den W e r t e n von z für
jene Altersstufen zusammen.
28. E s m ö g e n noch einige andere Beispiele folgen, welche
bestätigen, dass die relative Sterblichkeit der beiden Geschlechter
im Kindesalter eine typische Stabilität besitzt. W i r untersuchen
zunächst die unmittelbar nach der F o r m
f
ausgedrückte
a -\- b
relative Sterbenswahrscheinlichkeit v der K n a b e n von o — 5 J a h r e n
(excl. Totgeb.) in einigen österreichischen K r o n l ä n d e r n nach den
B e o b a c h t u n g e n der 1 3 J a h r e 1862 — 74. M i t denselben Bezeich­
nungen, wie oben, erhält man h i e r ) :
1
Niederösterreich
Oberösterreich
Salzburg
Steiermark
Die
IOOOO V
O
5374
5447
5511
(5335—54'°)
(5327—5555)
(5374-5825)
54('i
(5359—5536)
R
15,8
42,8
78,4
32,2
r
37.0
82,2
3°-i
Q
0,84
1,16
0.95
1,07
entsprechenden 4 W e r t e von z sind 1 1 6 2 , 1 1 9 6 , 1 2 2 8 , 1 2 0 3 .
D i e negativen A b w e i c h u n g e n der G r ö s s e Q von der Einheit
sind von derselben B e d e u t u n g wie die positiven, man kann also
1) Bei diesen Beispielen ist eine etwas vereinfachte Rechnung angewandt worden,
die indes für den praktischen Zweck genügt. Statt des Gewichtsmittels ist das arith­
metische Mittel der Einzelwerte von v in jeder Reihe genommen und als jedesmalige
Grundzahl nicht der Durchschnitt aus allen einzelnen Grundzahlen einer Reihe, sondern
das Mittel aus der gröss'.en und der kleinsten verwendet. Dieses letztere Verfahren
ist im Grunde ebenso berechtigt, wie das erstere, das an sich auch nicht korrekt ist,
Ist die Dispersion annähernd normal-zufällig — aber auch nur dann — so verhalten
sich die Präcisionen der Einzelwerte einer Reihe annähernd wie die Quadratwurzeln
aus ihren Grundzahlen, und das strenge Verfahren besteht dann darin, dass man nach
diesem Prinzip alle Einzelwerte auf eine gleiche Präcision reduziert. So findet man
•/.. B. für Niederösterreich: wahrscheinlichster Wert von i o o o v aus dem Gewichts­
mittel: 5 3 7 3 (statt 5 3 7 4 ) ; Wert von R , wenn die Grundzahl (die Zahl aller Sterbe­
fälle von o — 5 J.) in allen 1 3 Jahren gleich der kleinsten ( 2 6 6 3 3 für 1 8 6 8 ) gewesen
wäre: 1 7 , 4 ; dieser Grundzahl entsprechendes r : 2 0 , 6 . Bei Reduktion auf die grösste
Grandzahl ( 3 7 9 1 2 für 1 8 7 3 ) dagegen wird R = 1 4 , 6 , r = 1 7 , 3 . Die im Texte ge­
gebenen Werte von R und r liegen zwischen diesen Extremen und lassen die maximale
Stabilität ebenso gut erkennen, wie diese letzteren.
—
ohne B e d e n k e n
schliessen,
das M a x i m u m
lichkeiten v
2o6
—
dass die untersuchten R e i h e n nahezu
der Stabilität besitzen
und die G r u n d w a h r s c h e i n ­
in der 13 j ä h r i g e n Periode
trotz der S c h w a n k u n g e n
ihrer empirischen W e r t e nahezu konstant geblieben sind.
Einige
Statistik,
weitere
indem
Beispiele
wir die
entnehmen
wir
der
bayerischen
U n t e r s c h e i d u n g der Gestorbenen
nach
ihrer L e g i t i m i t ä t berücksichtigen. A l s B e o b a c h t u n g s g r ö s s e nehmen
wir wieder z, wie
tungsmaterial ist
bei
den belgischen Beispielen.
ebenfalls
der „Stat.
bezieht sich a u f die 2 5 J a h r e v o n
Totgeborene
eheliche
uneheliche
Gest. von 0 — i J.')
eheliche
uneheliche
Gest. von i — 2 J.
eheliche
uneheliche
Mit
R ü c k s i c h t auf
bei den
i
835/36-
entnommen
1859/60.
z
0
R
(D
Q
1438
1158
(1367 — •544)
(956 — ' 2 / 3 )
34.1
49,2
32,5
47,i
',°5
1,04
1276
1169
(1245 — 1 3 1 0 )
( 1 1 2 1 — 1234)
9,5
'8,9
8,9
'4,3
1,07
1046
970
(9&5- - 1 1 0 5 )
(888 - 1 0 3 9 )
24,2
29,0
20,9
38,8
den
Unehelichen
D a s Beobach­
internationale"
beträchtlichen
von
negativen
1 — 2 J . kann
1,32
1,16
0,75
F e h l e r von Q
man auch
die
positive
A b w e i c h u n g bei den U n e h e l i c h e n von 0 — 1 wieder hauptsächlich
durch die U n g e n a u i g k e i t von R erklären und d e m n a c h die S t a b i ­
lität der 6 untersuchten
weg
ist
als nahezu
die g e r i n g e
ehelichen
R e i h e n von j e 25 Einzelwerten durch­
m a x i m a l betrachten.
A b w e i c h u n g von
G e s t o r b e n e n von
hier die G r u n d z a h l (über
Besonders
bemerkenswert
der Einheit, welche
o — 1 entsprechende
3 8 0 0 0 ) schon
so
Q
gross
das
aufweist,
den
da
ist, dass auch
eine an sich kleine physische S c h w a n k u n g schon m e r k b a r hervor­
treten kann.
29. D a nun also die obigen W e r t e von z eine typische K o n ­
stanz besitzen,
so deutet
die Verschiedenheit
dieser
Zahlen bei
den E h e l i c h e n und U n e h e l i c h e n auf eine spezifische und konstante
welchen
die
relative Sterblichkeit der Geschlechter in beiden K a t e g o r i e n
Verschiedenheit
be­
ruht.
Dieser
der B e d i n g u n g s k o m p l e x e hin, auf
nachdem
die
W e r t e z nicht nur aus der G e s a m t z a h l der B e o b a c h t u n g e n
des
ganzen
S c h l u s s ist
erst jetzt
Zeitraumes abgeleitet
gerechtfertigt,
sind, sondern
l) Die Totgeborenen sind wieder miteingerechnet.
auch der
Nachweis
—
207
—
geliefert ist, dass jedes z das C e n t r u m einer normal-zufälligen D i s ­
persion bildet.
W i e wenig
man
aus vereinzelten
Beobachtungs­
werten dieses Geschlechtsverhältnisses F o l g e r u n g e n ziehen könnte,
zeigt
sich in der K l a s s e von
i—2 J.,
w o der M a x i m a l w e r t für
die U n e h e l i c h e n (103 g) weit über den M i n i m a l w e r t für die E h e ­
lichen (965) hinaus fällt.
D e r relative K n a b e n ü b e r s c h u s s ist also für die T o t g e b u r t e n
wie
für die Sterbefälle des
ersten
Kindesalters kleiner
bei den
U n e h e l i c h e n als bei den E h e l i c h e n und ein konstantes B e d i n g u n g s ­
system
wirkt auf die
E r h a l t u n g dieser Differenz hin.
E s folgt
daraus aber keineswegs, dass das männliche G e s c h l e c h t durch die
Unehelichkeit i r g e n d w i e positiv b e g ü n s t i g t
werde, sondern die
U r s a c h e jenes U n t e r s c h i e d e s liegt vielmehr darin, dass die weib­
lichen K i n d e r durch die U n e h e l i c h k e i t relativ mehr
werden.
unehelichen
beide
dem
geschädigt
B e i m U e b e r g a n g e von den ehelichen G e b u r t e n zu den
steigt
die
Wahrscheinlichkeit
einer
T o t g e b u r t für
Geschlechter, aber die S t e i g e r u n g ist relativ s t ä r k e r bei
weiblichen,
das
seine
normale
Begünstigung
unter
den
schlimmen E i n w i r k u n g e n der Unehelichkeit nicht vollständig be­
haupten kann.
S o findet
m a n in B a y e r n in dem oben
angege­
benen 25 j ä h r i g e n Zeiträume auf:
10000 eheliche
Knabengeburten
uneheliche
eheliche
„
3 4 1 Totgeburten =
1
353
1.035
Mädchengeburten 254
uneheliche
„
317
1.25
D a s s e l b e gilt für die relative Sterblichkeit des ersten Jahres.
Unehelichkeit
schlechter,
sprunges
So
das
erzeugt
vergrösserte
weibliche
aber
Sterblichkeit für b e i d e
verliert
einen
Teil
seines
und wird relativ schwerer getroffen als das
beträgt
nach dem
Die
Ge­
Vor­
männliche.
erwähnten bayerischen Material die Zahl
der Gestorbenen von o — 1 J a h r (incl. T o t g e b . ) auf
10000 eheliche K n a b e n g e b u r t e n
3375 = 1
391g =
1,16
eheliche M ä d c h e n g e b u r t e n
2828 =
i
uneheliche
3485 = 1,23
uneheliche
„
„
D i e vorstehenden Beispiele dürften zugleich den N u t z e n klar
machen, den die Stabilitätsbestimmung für
massenphysiologische
2o8
—
Untersuchungen
gewähren
-
kann.
Eine
Verhältniszahl,
welche
sich als Centraiwert einer normal-zufälligen Dispersion nachweisen
lässt, erhält eine gewisse selbständige K o n s i s t e n z ; sie deutet auf
relativ
feste
Ursachensysteme
Zahlen dieser A r t g e w i n n e n
Ueberhaupt
und
sind
hin,
und
die
Unterschiede
Vergleichungen
statistischer
gegenseitigen
Beziehungen
Versuche, die
von
ebenfalls einen typischen Charakter.
Verhältniszahlen
derselben
zu er­
mitteln, immer unsicher, w e n n man nicht die Dispersion derselben
festgestellt
hat.
30. Verhältnisse von näherungsweise
normal-zufälliger D i s ­
persion scheinen auf den ersten B l i c k im G e b i e t e der D e m o l o g i e
und Moralstatistik selten vorzukommen.
Indes dürfte man sie in
zahlreichen Fällen auffinden, wenn man sie nach dem früher be­
sprochenen Prinzip aufsucht, nämlich R e i h e n mit massigen G r u n d ­
zahlen untersucht.
M a n kann
noch eine zweite R e g e l aufstellen für die A u f ­
s u c h u n g solcher Verhältnisse: je mehr ein V e r h ä l t n i s den C h a r a k ­
ter einer r e l a t i v e n
Wahrscheinlichkeit trägt, um so eher
man erwarten, dass ihm j e n e E i g e n t ü m l i c h k e i t z u k o m m e n
Bei Wahrscheinlichkeiten
gemeinen
rungen
am
dieser A r t haben
wenigsten
derselben
durch
Dispersion anzunehmen.
w e g s ein B e w e i s
wir nämlich im
erfahrungsmässigen
äussere
Einflüsse
als
die
mässig
hältnisse
Wahrscheinlichkeit
häufig auch objektiv
der Zahl
physische
bestätigt.
findet
wahrscheinlicher
sich
erfahrungs-
S o sind z. B . die V e r ­
der im A l t e r o — 1 J a h r gestorbenen
von
absoluten
U n t e r s u c h t man aber diese
normale
eine
zu den lebend G e b o r e n e n desselben
Näherungswerte
von Jahren,
Verände­
für das F e h l e n solcher E i n w i r k u n g e n , aber es
subjektive
und M ä d c h e n
all­
Grund,
U n s e r Nichtwissen ist allerdings keines­
macht doch diese A n n a h m e zunächst subjektiv
und
darf
werde.
so wird
Dispersion
man
finden.
Sterbenswahrscheinlichkeiten.
empirischen
bei
Werte
in einer
beiden Geschlechtern
Dieses
Knaben
Geschlechtes
Resultat
lässt
Reihe
eine über­
sich
voraus­
sehen, da wir imstande sind, eine A n z a h l konkreter äusserer U r ­
sachen nachzuweisen, wie Cholera, wirtschaftlichen Notstand u.s.w.,
die tiefgehende S t ö r u n g e n der normalen
hervorrufen.
Sterblichkeitsverhältnisse
D a g e g e n sehen wir nicht ein, weshalb diese äusseren
E i n w i r k u n g e n speeifisch verschieden
auf das männliche und das
—
weibliche
Geschlecht
200
einwirken
—
sollten,
solange
die
Lebensart
der beiden Geschlechter, wie es in der K i n d h e i t der F a l l ist, g a n z
dieselbe
ist.
Daher
darf
Sterbenswahrscheinlichkeit
man
vermuten,
dass
die
relative
der beiden Geschlechter in der K i n d ­
heit trotz der V e r ä n d e r u n g e n der absoluten konstant bleibe, und
dies haben wir oben bestätigt gefunden, indem sich normal-zufällige
Dispersion
keit
der empirischen
W e r t e jener
Sterbenswahrscheinlich­
herausstellte.
31.
B e i relativ
kleinen G r u n d z a h l e n zeigt,
u m noch einige
Beispiele anzuführen, das V e r h ä l t n i s der jährlichen Zahl
burten zu
der B e v ö l k e r u n g
der G e ­
eines Gebietes m a n c h m a l eine dem
M a x i m u m nahe k o m m e n d e Stabilität.
Dieses V e r h ä l t n i s kann als
eine zusammengesetzte
Totalwahrscheinlichkeit betrachtet werden,
die durch ein S y s t e m
von U r n e n versinnlicht werden kann, von
welchen eine A n z a h l n u r die dem negativen F a l l e
F a r b e enthält.
entsprechende
D e r aus der U n g e n a u i g k e i t der B e v ö l k e r u n g s z a h l
entspringende
Fehler
kann
vernachlässigt
werden.
Untersucht
m a n dieses V e r h ä l t n i s für g a n z e L ä n d e r , deren B e v ö l k e r u n g nach
Millionen
zählt,
so
normal-zufällige
ist der sehr
grossen
Grundzahl
Schwankungskomponente
klein, so dass Q einen
fast
wegen
die
verschwindend
ziemlich grossen W e r t erhält, a u c h wenn
die physische S c h w a n k u n g an sich nur g e r i n g ist.
D a g e g e n tritt
in kleineren Gebieten die erstere K o m p o n e n t e überwiegend her­
vor und Q nähert sich in U e b e r e i n s t i m m u n g mit der Theorie der
Einheit.
S o finden wir in der englischen Grafschaft R u t l a n d nach
den
E r g e b n i s s e n der
bei
einem
In
1 1 Jahre
Mittelwerte jenes
Westmoreland
ist
R r = 6 , 6 und r = 4,6.
in
1865—75
R = I O , I
Verhältnisses von
derselben
Periode
E b e n s o finden
und
r=7,5,
299 auf
10.000.
der Mittelwert 3 0 3 ,
wir in
R u t l a n d in j e n e m
Zeiträume die allgemeine Heiratswahrscheinlichkeit des einen oder
d e s anderen G e s c h l e c h t e s (wobei die G r u n d z a h l also nur u n g e f ä h r
der H ä l f t e der B e v ö l k e r u n g g l e i c h ist) sehr nahe konstant, da bei
einem Mittelwert v
von 1 3 0 a u f 1 0 0 0 0 der W e r t von
der von r aber gleich 7,1 gefunden wird.
gegen
ist
R = 8,4, r =
die
Dispersion
übernormal:
R=7,2,
I n W e s t m o r e l a n d da­
der
Mittelwert
ist 1 3 5 ,
4, >).
4
I ) L. v. B o r t k i e w i c z hat gezeigt, dass bei grossen Beobachtungszahlen, aber
s e h r k l e i n e n Ereigniszahlen die Wirkung der Veränderungen der
Lexis,
B e v ö l k e r u n g « - u. M o r a l a t a t i s t i k .
Wahrscheinlichkeit
14
2IO
U n t e r s u c h e n wir nun auch die oft bewunderte Stabilität der
relativen B e t e i l i g u n g der verschiedenen Civilstandsklassen an den
Eheschliessungen.
D a hier eine r e l a t i v e Wahrscheinlichkeit zu
G r u n d e liegt, so dürfte man um so eher erwarten, dass die S t a b i ­
lität solcher R e i h e n d e m M a x i m u m n a h e k o m m e .
doch
nicht
der
Fall.
gleichend-statistischen
stellung
dieser
Wenn
wir
Tabellen
in
den
1
von
Bodio )
Verhältnisse für mehrere
E s ist dies j e ­
verdienstlichen
die
Länder
ver­
Zusammen­
und
meistens
1 1 J a h r e überblicken, so ergiebt schon eine vorläufige S c h ä t z u n g ,
dass bei
der M e h r z a h l der Staaten
eine stark übernormale D i s ­
persion vorhanden ist, während nur bei zweien, nämlich bei E n g ­
land
weit
Ii
u n d S c h w e d e n , die Dispersion
von
Jahren
8168
der
normalen
1865—75
im Mittel
Eheschliessungen
sich
entfernt.
In
auf
zwischen
mit S c h w a n k u n g e n zwischen den
wenigstens nicht allzu
England
kamen
in
den
1 0 0 0 0 T r a u u n g e n überhaupt
Junggesellen
und
Grenzen 8 1 2 5 und
Jungfrauen,
8194.
Die
S c h w a n k u n g e n sind an sich klein, aber dennoch grösser als die­
jenigen, welche bei den Versuchsresultaten
an einer U r n e zu er­
warten wären, w e n n jede S e r i e eine der durchschnittlichen jähr­
lichen Zahl der Eheschliessungen
A n z a h l von V e r s u c h e n enthielte.
(die 1 9 0 0 0 0 übersteigt)
gleiche
D e n n nach dem letzteren S c h e m a
ist die wahrscheinliche A b w e i c h u n g r — 6,0, während man direkt
aus den Q u a d r a t e n der beobachteten A b w e i c h u n g e n findet R = 1 3 , 5 .
H i e r a u s ergiebt sich p = 1 2 , 1 , w a s vergleichsweise allerdings eine
massige
physische Dispersion
S c h w a n k u n g g l e i c h bleibt
2
anzeigt ).
Wenn
diese physische
und nur die normal-zufällige K o m p o ­
nente durch V e r m i n d e r u n g der G r u n d z a h l (der E h e s c h l i e s s u n g e n )
sich vergrössert,
R=23,9
nahe
kommen.
monatsweise
den
so wird bei
und r = 2 o , 6
sein,
W ä r e n die
gegeben,
einer G r u n d z a h l von
also Q
1 6 0 0 0 schon
der E i n h e i t schon ziemlich
betreffenden
Verhältniszahlen
w o d u r c h die G r u n d z a h l
a n g e g e b e n e n B e t r a g herabgebracht würde, so
also
u n g e f ä h r auf
könnte m a n
ebenfalls auf ein Minimum sinken und nahezu normale Dispersion entstehen kann.
Das Gesetz der kleinen Zahlen, Leipzig 1 8 9 8 .
1) Movimento dello stato civile. Anno 1 8 7 5 . Introduzione, p. X V I I I — X X I V .
2) Bei verschiedenen Reihen müssen natürlich die Schwankungskomponenten
der Wahrscheinlichkeit v selbst (im obigen Falle also 0,00121) oder gleicher Funktionen
dieser Wahrscheinlichkeit verglichen werden.
—
2 11
—
prüfen, ob Q wirklich sich ungefähr auf die theoretisch voraus­
gesehene G r ö s s e reduziert.
W a s S c h w e d e n betrifft, so beträgt der entsprechende Mittel­
wert in denselben 1 1 J a h r e n 8497, mit extremen A u s s c h l ä g e n bis
S418 und 8555. M a n findet R = 33,8, r = i 4 , 6 , also Q — 2 , 3 1 5
und demnach die physische Dispersion = 30,5. Diese Zahl, die
unmittelbar mit der für E n g l a n d gefundenen vergleichbar ist, be­
weist also, dass im letzteren L a n d e die Stabilität des untersuchten
Verhältnisses bedeutend grösser ist als in S c h w e d e n .
32. A u f weitere A n w e n d u n g e n der Theorie müssen wir hier
verzichten. D i e angeführten Beispiele aber dürften hinreichen,
um den N u t z e n dieser U n t e r s u c h u n g s m e t h o d e klar zu m a c h e n .
Dieselbe führt zur K e n n t n i s derjenigen Zahlenverhältnisse, die
gewissermassen als massenphysiologische K o n s t a n t e n zu betrach­
ten sind. G a n z unverändert werden dieselben allerdings im L a u f e
der Zeit nicht bleiben, aber um so wichtiger ist es, die säkularen
V e r ä n d e r u n g e n dieser stabilsten demologischen E l e m e n t e g e n a u
zu verfolgen. A u c h wenn eine physische Dispersionskomponente
verdeckt bleibt, liefert das A u f t r e t e n der normal-zufälligen D i s ­
persion eines Verhältnisses immer den Beweis, dass das theo­
retische Gesetz der S c h w a n k u n g e n , das nicht auf Z w a n g , sondern
auf den K o m b i n a t i o n e n der C h a n c e n beruht, in den untersuchten
Zahlenverhältnissen die überwiegende R o l l e spielt. Andererseits
finden wir, dass die g e w ö h n l i c h bewunderte R e g e l m ä s s i g k e i t
demologischer und moralstatistischer Zahlenreihen niemals den
G r a d der Stabilität überschreitet, der bei entsprechend eingerich­
teten V e r s u c h e n des Glücksspiels mit festen C h a n c e n zu erwarten
ist; ja, man darf behaupten, dass dieser G r a d bei den bisher unter­
suchten Verhältnissen niemals in aller S t r e n g e auch nur erreicht
wird. A l s die zu bestimmende und zu vergleichende Dispersion
der statistischen R e i h e n betrachten wir nur die physische K o m p o ­
nente, die nach E l i m i n i e r u n g der mit der Grundzahl wechselnden
normal-zufälligen K o m p o n e n t e übrig bleibt. D i e s e physische D i s ­
persion nehmen wir einfach gleich N u l l an, wenn das K r i t e r i u m
der normal-zufälligen Dispersion mit hinreichender G e n a u i g k e i t
erfüllt ist, anderenfalls aber giebt die F o r m e l für p einen allge­
meinen und vergleichbaren A u s d r u c k für dieselben.
B i s zu
welchem G r a d e die durchschnittliche A b w e i c h u n g für denselben
14*
2 12
Z w e c k dienlich ist, hat sich im L a u f e dieser U n t e r s u c h u n g eben-
i) Ausser dem Geschlechtsverhältnis der Geborenen und dem der Gestorbenen
in gewissen Altersperioden hatte ich anfangs kein anderes "Wahrscheinlichkeitsverhältnis
mit sicher nachweisbarer normaler Dispersion gefunden.
Dass insbesondere die
beobachtete wahrscheinliche Abweichung der Sterbenswahrscheinlichkeit der Knaben
und der Mädchen im ersten Lebensjahre um ein Vielfaches grösser ist als die theoretisch
berechnete, habe ich in der „Theorie der Massenerscheinung" an einem der belgischen
Statistik entnommenen Beispiel gezeigt. Nach neueren Untersuchungen kommt indes
annähernd normale Dipersion in zahlreicheren Fällen vor, als ich ursprünglich ange­
nommen habe. So hat namentlich P e e k (Das Problem vom Risiko in der Lebens­
versicherung in Baumgarten's Zeitschrift für Versicherungsrecht und -"Wissenschaft,
Bd. V ( 1 8 9 9 ) , S. 1 6 8 ff.j aus der niederländischen Sterblichkeitsstatistik für die Jahre
1 8 8 0 — 1 8 8 9 nachgewiesen, dass die Dispersion der Sterbenswahrscheinlichkeit im ersten
und zweiten Lebensjahre allerdings in sehr hohem Grade und auch in den nächsten
Jahren noch erheblich übernormal ist, dass sie aber vom 8. Jahre ab befriedigend
normal wird und weitere Untersuchungen haben zu ähnlichen Resultaten geführt. Auch
in W e s t e r g a a r d ' s Lehie von der Mortalität und Morbilität ( 2 . Aufl. 1 9 0 1 ) sind ver­
schiedene sonstige Uebereinstimmungen zwischen Theorie und statistischer Beobachtung
nachgewiesen. Eine Kritik der Anschauungen von der statistischen „Gesetzmässigkeit"
giebt K . "Wagner, Das Problem vom Risiko in der Lebensversicherung (Jena 1 8 9 8 ) .
Vergl. auch L. v. B o r t k i e w i c z , Kritische Betrachtungen zur theoretischen Statistik
in Conrad's Jahrbüchern, III. F. Bd. VIII, S. 6 4 1 ff., Bd. X , S. 3 2 1 ff., Bd. X I ,
S.
6 7 1 ff.
(1894—1896).
IX. Naturgesetzlichkeit und statistische
Wahrscheinlichkeit.
i. D a s Verhältnis der statistischen R e g e l m ä s s i g k e i t e n zu den
naturgesetzlichen
V o r g ä n g e n , das in den vorstehenden
Abhand­
l u n g e n mehrfach berührt worden ist, m ö g e jetzt hier n o c h einer
kurzen zusammenfassenden E r ö r t e r u n g unterzogen
A l s N a t u r g e s e t z bezeichnen
g a n g e s , der
bestimmten
oder
Stein
wir den A u s d r u c k eines V o r ­
nach gesicherter wissenschaftlicher E r f a h r u n g unter
B e d i n g u n g e n und bei
Hemmungen
wiederholt.
werden.
sich
in a l l e n
Abwesenheit
Fällen
von S t ö r u n g e n
auf bestimmte
Art
S o ist es ein Naturgesetz, dass ein nicht unterstützter
zu B o d e n
fällt, dass
ein
trockener mit S e i d e , geriebener
Glasstab elektrisch wird, dass in der N ä h e eines v o n einem elek­
trischen S t r o m durchlaufenden D r a h t e s die M a g n e t n a d e l a b g e l e n k t
wird u. s. w.
Einen e x a k t e n
Gesetz erst dann,
wenn
C h a r a k t e r aber hat
der ihm entsprechende
ein
solches
V o r g a n g auch
q u a n t i t a t i v g e n a u bestimmt ist, w e n n also das G e s e t z m a t h e ­
matisch
formuliert ist.
S o gilt für das F a l l e n des Steines in
der N ä h e der E r d o b e r f l ä c h e das Galilei'sche F a l l g e s e t z , für die
Gravitation auf beliebig grosse E n t f e r n u n g e n von^äer E r d e aber
das N e w t o n ' s c h e Gesetz.
S o l c h e mathematisch formulierte N a t u r ­
gesetze kennen wir bisher nur im G e b i e t der
Naturerscheinungen
es
m ö g l i c h ist,
anorganischen
und a u c h hier nur in den Fällen, in
die E r s c h e i n u n g e n auf
einfache
denen
gleichmässige
E l e m e n t a r v o r g ä n g e unter bekannten B e d i n g u n g e n zurückzuführen.
D i e s ist teils durch unmittelbare B e o b a c h t u n g möglich, w i e
den
Bewegungen
der Himmelskörper, die
störenden,
von
bei
dem
Gravitationsgesetz u n a b h ä n g i g e n E i n w i r k u n g e n nicht unterworfen
sind; in den
meisten
F ä l l e n aber müssen
auf dem W e g e
des
E x p e r i m e n t s die E l e m e n t a r v o r g ä n g e isoliert und die
und gleichmässigen B e d i n g u n g e n derselben
werden.
einfachen
künstlich
J e mannigfaltiger und veränderlicher die
hergestellt
Bedingungen
sind, unter denen die Naturerscheinungen auftreten, desto weniger
sind wir imstande, sie aus e x a k t e n Naturgesetzen abzuleiten, selbst
w e n n diese für die E l e m e n t a r Vorgänge g e g e b e n sind.
wir zwar die
hydrodynamischen
und
S o kennen
aerodynamischen
Grund­
gesetze, auch die G e s e t z e der W ä r m e s t r a h l u n g und W ä r m e l e i t u n g ,
dennoch
Luft
aber können wir die B e w e g u n g e n
des M e e r e s und der
und ihre T e m p e r a t u r ä n d e r u n g e n an einem
gegebenen Ort
nicht voraussagen, da diese von der F o r m und der Oberflächen­
gestalt
der W e l t t e i l e und den
Zuständen des M e e r e s und
der
A t m o s p h ä r e auf der ganzen E r d e a b h ä n g i g sind.
Die
physiologischen
V o r g ä n g e in den O r g a n i s m e n haben
zum Teil einen physikalischen
oder
können
naturgesetzlichen
soweit
einer
gebracht werden.
lierte
elementare
exakten
chemischen
Charakter
Fassung
und
nahe­
E i n e Z u r ü c k f ü h r u n g auf mathematisch formu­
M o l e k u l a r b e w e g u n g e n ist j e d o c h bisher
nicht
g e l u n g e n und bei den U n t e r s u c h u n g e n auf diesem G e b i e t e macht
sich a u c h der U m s t a n d störend bemerkbar, dass die zu V e r s u c h e n
dienenden O r g a n i s m e n mehr oder w e n i g e r
grosse
individuelle
Verschiedenheiten darbieten und die Gleichheit der B e d i n g u n g e n
des E x p e r i m e n t s oft
nur u n g e n ü g e n d hergestellt
werden
kann.
V o l l e n d s aber sind wir nicht imstande, die G e s e t z e der or­
ganischen F o r m e n b i l d u n g auf exakte, also mathematische A u s ­
drücke zu bringen.
E s handelt sich hier namentlich um die em­
bryologische E n t w i c k e l u n g der
verschiedenen
Organismen.
lässt sich für jede A r t ein regelmässiger V e r l a u f feststellen,
g a n z abgesehen davon, dass wir schlechterdings
nichts über die
U r s a c h e n wissen, durch die der A u f b a u des werdenden
m u s aus den
zustande
ihm
kommt,
Organis­
zugeführten Nährstoffen in bestimmter
ist
dieser
V e r l a u f wie
Produkt individuellen Verschiedenheiten
die neugeborenen Tiere derselben
Es
aber
auch das
Form
schliessliche
unterworfen.
S o zeigen
A r t mannigfache Variationen
in B e z u g auf Grösse, G e w i c h t , F a r b e , namentlich aber a u c h in
B e z u g auf ihre L e b e n s f ä h i g k e i t , wie j a in betreff des M e n s c h e n
oben als wahrscheinlich dargethan worden ist, dass die sogenann­
ten Gesetze der L e b e n s d a u e r hauptsächlich aus der ursprünglichen
Veranlagung
der
Neugeborenen
abzuleiten
sind.
Daher
bildet
2i5
—
a u c h eine aus einer
—
sehr grossen Zahl von B e o b a c h t u n g e n ab­
geleitete A b s t e r b e o r d n u n g einer Generation k e i n e s w e g s den A u s ­
druck eines e x a k t e n Naturgesetzes, sondern sie giebt nur eine zahlenmässige D a r s t e l l u n g der W i r k u n g e n der in einer grossen Gesamtheit
von
Geborenen auftretenden individuellen Verschiedenheiten
B e d i n g u n g e n der Lebensdauer.
A n sich
könnte
der
man erwarten,
dass alle M e n s c h e n hinsichtlich ihrer Lebenskraft als gleichartige
Individuen
geboren
würden, und
wenn
dies zuträfe, so
könnte
man das N a t u r g e s e t z aufstellen: der M e n s c h wird, w e n n er nicht
durch U n f a l l oder äussere G e w a l t getötet
J a h r e alt.
wird, so und so viele
In W i r k l i c h k e i t aber zeigt sich, dass die A n g e h ö r i g e n
der Spezies M e n s c h in B e z u g auf ihre L e b e n s f ä h i g k e i t in h o h e m
G r a d e individualisiert sind.
für
M a n müsste daher, um N a t u r g e s e t z e
diese E r s c h e i n u n g e n formulieren
eine gewisse Zahl
zu können,
imstande sein,
verschiedener K o m p l e x e von bestimmten B e ­
d i n g u n g e n aufzustellen
und nun
zu s a g e n :
alle
M e n s c h e n , für
welche der B e d i n g u n g s k o m p l e x A besteht, haben ein natürliches
Lebensalter von a Jahren, alle unter dem B e d i n g u n g s k o m p l e x B
stehenden
haben
ein
solches
von b J a h r e n u. s. w.
E s ist im
höchsten G r a d e zweifelhaft,
ob wir jemals a u c h nur annähernd
zur L ö s u n g dieser A u f g a b e
gelangen.
A b e r wir haben
stens noch eine weitere E r f a h r u n g gemacht.
wenig­
W i r k ö n n e n aller­
d i n g s nur die V e r t e i l u n g der aus einer Generation hervorgehenden
Sterbefälle nach Altersklassen feststellen ; aber wir finden weiter,
dass sich annähernd dieselbe
V e r t h e i l u n g a u c h bei den vorher­
g e h e n d e n und den nachfolgenden Generationen w i e d e r h o l t .
w ü r d e natürlich auch der F a l l sein,
zahlreichen G r u p p e n mit naturgesetzlich bestimmtem
bestände
und
wenn
ausserdem
—
Dies
wenn j e d e Generation aus
ebenfalls
Sterbealter
naturgesetzlich
—
diese G r u p p e n in jeder Generation in gleichen Verhältnissen auf­
träten.
Die
thatsächlich
näherungsweise
bestehende
Ueberein­
s t i m m u n g der A b s t e r b e o r d n u n g verschiedener Generationen spricht
nun jedenfalls für die E x i s t e n z naturgesetzlicher G r u n d l a g e n der
Sterblichkeitsverhältnisse
und insbesondere
wird man
schliessen
dürfen, dass die Individuen verschiedener Generationen hinsicht­
lich ihrer G r u p p i e r u n g nach der L e b e n s f ä h i g k e i t annähernd gleich­
a r t i g sind, sich gewissermassen
ersetzen
oder vertreten können,
dass also mit anderen W o r t e n die Individuen aus verschiedenen
Generationen in dieser B e z i e h u n g bis zu einem
gewissen
Grade
—
2l6
—
als f u n g i b e l betrachtet werden können.
Individuen,
die
die
D i e s e Fungibilität der
Individualisierung teilweise
wieder
aufhebt,
wird auch im folgenden im A u g e zu behalten sein.
2. M i t den organischen B i l d u n g s v o r g ä n g e n in der E n t w i c k e lungsperiode,
dem W a c h s t u m u n d d e m weiteren Lebenslauf der
O r g a n i s m e n nahe verwandt sind die biologischen Thatsachen, die
auf d e m
tierischen T h u n
r
beruhen, w e n n
w ir
die B e z e i c h n u n g
„ H a n d e l n " dem bewussten und überlegten menschlichen „ T h u n " vorbehalten.
A u c h von diesen V o r g ä n g e n können viele, wenn auch
nicht auf mathematisch exakte, so d o c h auf d e s c r i p t i v e
gesetze zurückgeführt werden.
Natur-
D a s s ein h u n g r i g e s R a u b t i e r sich
auf eine ihm z u g ä n g l i c h e B e u t e stürzt, ist ohne Zweifel eine natur—
gesetzliche
Erscheinung.
stinktiven
T h ä t i g k e i t der
Brutpflege
der
E b e n s o bildet
Vögel,
Bienen u. s. w.
Thiere,
der
die D a r s t e l l u n g der in-
wie
des
Lebensweise
N e s t b a u e s und
der
der
der
den A u s d r u c k beschreibender
diese Tiere in allen
entgegenstehen,
in
F ä l l e n , in
diesen
denen
ihnen
Beziehungen
Ameisen,
Naturgesetze,
keine
da
Hindernisse
gleichmässig
verfahren.
A b e r die höher organisierten Tiere weisen a u c h T h ä t i g k e i t e n auf,
die nicht einfach als instinktive R e f l e x e
konkreten
U m s t ä n d e n angepasst
erscheinen, sondern den
sind oder
auf E r f a h r u n g , E r -
ziehung oder G e w o h n h e i t beruhen, kurz einen individuellen C h a r a k ter haben und d e m n a c h nicht unter das S c h e m a der N a t u r g e s e t z e
gestellt werden
können.
E i n kluger, an menschlichen
Umgang
g e w ö h n t e r H u n d z. B . wird sich unter gleichen U m s t ä n d e n g a n z
anders verhalten als ein roher K e t t e n h u n d .
D e r Spielraum dieser
individuellen T h ä t i g k e i t e n der Tiere h ä n g t von
Intelligenz
a b , ist
aber
auch bei
ordentlich viel beschränkter
Menschen.
Reize
den
als bei
dem G r a d e ihrer
höchststehenden
einem
normal
ausser-
entwickelten
B e i diesem tritt die instinktive und die durch blosse
ausgelöste
Thätigkeit
hinter
der
mit
Bewusstsein
und
U e b e r l e g u n g ausgeübten, also dem in der höheren
menschlichen
N a t u r begründeten
D a s mensch-
H a n d e l n vollständig zurück.
liche HANFL^1p^W>*--wiesept1irh i n d i V i d i i e j L d a es auf unberechenbar
m a n n i ^ r ä r a g e ^ A £ t j d j i r i ^ i _ d j e A r t u n d E n e r g i e der W i l l e n s e r r e g u n g
und durch die UrteilsfähigkerTlJelr4<?HMEL^
Art
der
Willenserregung
giebt
das
Motiv
wird.
des
Handelns,
Die
die
Urteilsfähigkeit wählt die zur E r r e i c h u n g des vorgesetzten Z w e c k e s
am geeignetsten scheinenden Mittel, die W i l l e n s e n e r g i e b e s t i m m t
die
N a c h h a l t i g k e i t und
Handelns
an sich
A n s t r e n g u n g , mit
verfolgt wird.
ganz
der
D a s menschliche
ausserhalb
des
der
Zweck
des
H a n d e l n fällt daher
R a h m e n s der
Naturgesetzlichkeit,
denn es besteht
nicht nur aus dem äusseren V o r g a n g e , sondern
a u c h wesentlich
aus den diesen bedingenden A k t e n des W i l l e n s
und der Intelligenz.
völlig
gleichen
D a h e r findet, streng
äusseren
Umständen
ein
genommen,
auch
menschliches
bei
Handeln
niemals unter völliger Gleichheit aller B e d i n g u n g e n statt.
Auch
wenn
Lage
dasselbe
kommt, steht
I n d i v i d u u m wieder
es ihr doch
in die
vielleicht
früher, weil es mittlerweile
ä l t e r geworden
lebnisse und E r f a h r u n g e n hinter sich hat.
der B e d i n g u n g e n des
ausüben
äussere
ist und weitere E r -
Diese Individualisierung
H a n d e l n s schliesst
dass die M e n s c h e n in grosser Z a h l
mässig
gleiche
g a n z anders g e g e n ü b e r als
indes
k e i n e s w e g s aus,
gewisse H a n d l u n g e n g l e i c h -
Dnd" regetmässig"wiederholen,
denn
es
können
,
eben für"viele dlei^IBeTrfieslim^ün gaj¥Ondg"itt gewisser R i c h t u n g
e n t s c h e i d e n d ^ j m j i _ ^ u £ r j ^ wirksam "seirT: - -Zrr solchen—ekrrchschlagenden
B e s t i m m u n g s g r ü n d e n gehört"" z. B . der staatsgesetz-
liche Z w a n g , der mit solcher R e g e l m ä s s i g k e i t und A l l g e m e i n h e i t
wirkt, dass m a n den ursprünglich politisch-gesellschaftlichen
griff des Gesetzes bildlich auf die F o r m e l für streng
auftretende N a t u r v o r g ä n g e übertragen ha.t.
Be-
regelmässig
W i e die zwingenden
Gesetze, so bringen auch Sitte, G e w o h n h e i t , M o d e gleichmässige
M a s s e n h a n d l u n g e n hervor.
Aber
alle diese B e s t i m m u n g s g r ü n d e
des H a n d e l n s sind selbst wieder veränderlich und
beruhenden^TvIassenericheinungen
haben
daher
die auf ihnen
k e i n e s w e g s ~dTe
StabihtJLt_der_ sich... w i e d i r h o l ^ d . e n , JCornplikatiölien
von "Natur-
erscheinungen,.-sonde«i-sie zeigen einen h i s t o r i s c h e n CEaraKter,
teils
mit
e r k e n n b a r e r - E n t w i c k e l u n g - i a „bestimmter R i c h t u n g ,
teils mit unregelmässig veränderlichen Phasen.
den
volkswirtschaftlichen
richteten
H a n d e l n liegt
Erscheinungen.
bei
Dasselbe gilt von
D e m anf E r w e r b g e -
den Einzelnen
im allgemeinen
das
gleiche M o t i v , nämlich das Streben nach möglichst grossem G e winn
zu
Grunde,
aber
die
Verschiedenheit
der
geistigen
und
körperlichen F ä h i g k e i t e n und der A r b e i t s e n e r g i e bringt auch bei
gleichen
äusseren U m s t ä n d e n sehr verschiedene
gebnisse
hervor.
gung
der
ethische
Dazu kommt
Gewinnsucht
durch
individuelle E r -
die B e s c h r ä n k u n g der B e t h ä t i staatliche
Vorschriften,
durch
R ü c k s i c h t e n , durch T r ä g k e i t und Schlendrian, anderer-
—
2l8
—
seits die Beeinflussung der Volkswirtschaft durch Gemeinsinn und
W o h l t h ä t i g k e i t , jedoch auch durch Genusssucht u n d unwirtschaft­
liche K o n s u m t i o n . Diese mannigfaltigen B e s t i m m u n g s g r ü n d e des
wirtschaftlichen H a n d e l n s sind aber dem W e c h s e l unterworfen und
a b h ä n g i g von dem allgemeinen K u l t u r s t a n d e der Gesellschaft.
I n noch höherem M a s s e sind sie bedingt durch die geschichtliche
G e s t a l t u n g der Produktionsverhältnisse und die E n t w i c k e l u n g der
Produktionstechnik, durch das W a c h s t u m oder die A b n a h m e der
B e v ö l k e r u n g , durch die weltwirtschaftlichen W e c h s e l w i r k u n g e n
der Nationen aufeinander.
3. A l s o auch g a n z abgesehen von den oft sehr m ä c h t i g e n
E i n w i r k u n g e n politisch-geschichtlicher Ereignisse, wie K r i e g und
Revolution, erweisen sich die wirtschaftlichen Massenerscheinungen
als einen Teil des Geschichtsstoffes der menschlichen Gesellschaft,
zeitweilig annähernd in einem Beharrungszustande, im ganzen
aber mit bestimmt gerichteten B e w e g u n g e n .
Zuweilen treten
solche E r s c h e i n u n g e n in längeren oder kürzeren Zeitabständen
auf, die eine gewisse A e h n l i c h k e i t untereinander haben, wie z. B .
im 19. Jahrhundert eine unregelmässig periodische R e i h e n f o l g e
von wirtschaftlichen H e b u n g e n und K r i s e n zu beobachten war.
D e n n o c h darf man in solchen W i e d e r h o l u n g e n keine A n a l o g i e
einer naturgesetzlichen R e g e l m ä s s i g k e i t sehen wollen, denn die
Aehnlichkeiten ergeben sich nur bei einer höchst abstrakten A u f ­
f a s s u n g der E r s c h e i n u n g , mit A b s e h e n von den konkreten T h a t sachen, die doch in den verschiedenen Perioden immer sehr
wesentlich verschieden waren.
D e r wirtschaftliche A u f s c h w u n g
in den J a h r e n 1 8 9 6 — 1 9 0 0 war an sich doch etwas g a n z anderes
als der von 1 8 7 1 — 7 3 oder als die der K r i s i s von 1857 vorher­
g e g a n g e n e Spekulationsperiode und vollends waren die vor dem
Zeitalter der E i s e n b a h n e n und Telegraphen aufgetretenen K r i s e n
und Krisenursachen von wesentlich anderer Natur, als die in
ihren allgemeinen Z ü g e n ähnlichen V o r g ä n g e der Neuzeit. N o c h
weniger ist man berechtigt, die allgemeinen B e w e g u n g e n der
volkswirtschaftlichen E n t w i c k e l u n g , wie den Fortschritt von der
Naturalwirtschaft zur Geldwirtschaft und von dieser zu dem mo­
dernen K r e d i t m e c h a n i s m u s oder die fortschreitende V e r d r ä n g u n g
des Kleinbetriebs durch den Grossbetrieb und weiter die O r g a n i ­
sierung des Grossbetriebs durch Trusts und S y n d i k a t e naturgesetzlich aufzufassen oder hier v o n „ E n t w i c k e l u n g s g e s e t z e n " zu
sprechen.
Dieser
A u s d r u c k wird
überhaupt oft
in
ungenauer
W e i s e für die einfache historische T h a t s a c h e einer bestimmten
E r t w i c k e l u n g angewandt.
U n t e r E n t w i c k e l u n g ist nichts w e i t e r "
zu verstehen, als der kausale Z u s a m m e n h a n g jedes folgenden Z u standes des B e o b a c h t u n g s o b j e k t s mit dem nächstvorhergehenden,
ohne W i e d e r h o l u n g eines früheren Zustandes.
wickelungsgesetz
sich dieselbe E n t w i c k e l u n g in allen
holt,
wie
z. B . bei dem E m b r y o
d e m alle F o l g e z u s t ä n d e schon
fruchteten
V o n einem E n t -
aber kann man nur sprechen, erstens,
Keims a n g e l e g t
wenn
gleichartigen F ä l l e n wieder­
einer bestimmten
Tierart, bei
in dem A n f a n g s z u s t a n d e des be­
sind, und zweitens,
wenn
wir
die
K o m b i n a t i o n von Naturgesetzen kennen, die die g a n z e R e i h e von
Zuständen beherrscht und in jedem Zeitpunkt den g e g e b e n e n Z u ­
stand herbeiführt, j S o können wir z. B . das E n t w i c k e l u n g s g e s e t z
eines
glühenden, um
eine
A c h s e rotierenden
Weltkörpers
auf­
stellen: er wird sich nach den Gesetzen der W ä r m e l e h r e abkühlen
und sich infolge davon zusammenziehen
gesetz der M e c h a n i k wird sich
Zusammenziehung
in
einem
und nach dem F l ä c h e n ­
seine U m d r e h u n g infolge dieser
bestimmten
Masse
beschleunigen.
Dieses E n t w i c k e l u n g s g e s e t z gilt nicht nur für die V e r g a n g e n h e i t
des W e l t k ö r p e r s , sondern auch für seine Zukunft, bis seine T e m ­
peratur auf die des W e l t r a u m e s g e s u n k e n ist.
Hinsichtlich
der
wirtschaftlichen
und
überhaupt
der
ge­
schichtlichen E n t w i c k e l u n g der menschlichen Gesellschaft ist aber
weder die eine noch die andere dieser F o r d e r u n g e n erfüllt.
Wir
dürfen
Ent­
bei ihr nicht einmal,
wie
es
bei
der geologischen
w i c k e l u n g berechtigt ist, die naturgesetzliche Gleichmässigkeit der
Elementarvorgänge
annehmen,
Gesamterscheinungen
sammensetzen.
menschlichen
in
aus denen
unberechenbarer
sich die verwickelten
Mannigfaltigkeit
zu­
D e n n die wichtigsten E l e m e n t a r v o r g ä n g e in d e r }
Gesellschaft sind
stets die
durch Intelligenz
und
W i l l e n bestimmten H a n d l u n g e n des E i n z e l n e n ; diese aber können
z w a r thatsächlich unter gleichen U m s t ä n d e n in gewissem M a s s e
gleichartig auftreten, aber in längeren Zeiträumen findet stets eine
V e r ä n d e r u n g nicht nur der U m s t ä n d e , sondern auch der subjek­
tiven A n s c h a u u n g e n und M o t i v e der in verschiedenen
phasen
stehenden
Individuen statt.
Kultur­
U e b e r d i e s sind die B e s t i m ­
m u n g s g r ü n d e für ein gleichartiges H a n d e l n vieler Individuen für
•diese niemals
nach A r t eines Naturgesetzes zwingend,
sondern
man kann von ihnen nur mit Wahrscheinlichkeit vermuten, das»
sie
in
der M e h r z a h l der F ä l l e entscheidend
sein werden.
Die
metaphysische F r a g e , o b „ d e r . . M e n s c h , d e m in ihm wirkenden j e weilig stärksten M o t i v mit N o t w e n d i g k e i t folgen m u s s ,
kommt
-. Eier g a r nicht in B e t r a c h t ; es g e n ü g t die erfahrungsmässige T h a t sache, dass bei verschiedenen
Bedingungen
oft
sehr
H a n d e l n entsprechend
Menschen
verschiedene
unter gleichen
äusseren
M o t i v e auftreten
und
ihr
bestimmen.
Innerhalb des K r e i s e s der spezifisch wirtschaftlichen T h ä t i g ­
keit des M e n s c h e n lassen
sich immerhin mit dem relativ
besten
E r f o l g e R e g e l n abstrahieren, die auch mit einiger W a h r s c h e i n l i c h ­
keit
auf die Z u k u n f t
angewandt
werden
können.
Die
meisten
M e n s c h e n sind in ihrem wirtschaftlichen H a n d e l n nicht frei, sondern
durch
ihre L e b e n s s t e l l u n g
schaftlichen
als dienende Glieder dem
M e c h a n i s m u s eingereiht;
volkswirt­
das Selbstinteresse
ist das
• d u r c h w e g überwiegende M o t i v , aber die A r t seiner B e t h ä t i g u n g
,' wird durch die wirtschaftlichen und gesellschaftlichen
jedes
Einzelnen
gleichartig und
bestimmt,
relativ
und
stetig.
diese sind
Dennoch
für
Verhältnisse
grosse
wird
Gruppen
man w o h l daran
thun, auf die im G r u n d e nur bildliche R e d e n s a r t von den „ N a t u r ­
gesetzen
der
Volkswirtschaft" zu verzichten.
wir, wie die früheren V o r s t e l l u n g e n v o n
freien
S c h o n jetzt sehen
den Naturgesetzen der /
K o n k u r r e n z durch die aus freiem W i l l e n der B e t e i l i g t e n !
gebildeten V e r b ä n d e zum Z w e c k der A u f h e b u n g der K o n k u r r e n z
^ bis
zu einem
gewissen
G r a d e ^dementiert werden,
und über die \
^ G e s t a l t u n g der W i r t s c h a f t s o r d n u n g jenseits der nächsten
!/. wird
uns
weder
durch die
Geschichte
noch
Zukunft
durch die
Beob­
a c h t u n g der G e g e n w a r t eine einigermassen sichere V o r a u s s a g u n g
ermöglicht.
4. U e b e r h a u p t wird es am besten sein, die spielende
logie mit den Naturgesetzen
die aus bewussten
und überlegten W i l l e n s a k t e n
Massenerscheinungen
des
Ana­
g a n z aufzugeben, wenn es sich u m
Menschenlebens
hervorgehenden
handelt.
Die
Unter­
s u c h u n g der R e g e l m ä s s i g k e i t e n dieser E r s c h e i n u n g e n bleibt darum
nicht weniger
interessant und ist die A u f g a b e des Z w e i g e s der
Statistik, die man
als Moralstatistik zu bezeichnen
pflegt.
Die
Wirtschaftsstatistik ist nur Hülfswissenschaft der V o l k s w i r t s c h a f t s ­
lehre;
sondern
sie
als
solches,
sie stellt entweder nur die E r g e b n i s s e desselben
verfolgt
nicht
das menschliche
Handeln
quanti-
f
22 1
tativ fest, wie in der Statistik der Produktion, der A u s - und E i n ­
fuhr, der Preise, oder sie giebt, wie in der Berufs- und G e w e r b e ­
statistik, die numerische G r u p p i e r u n g der M i t g l i e d e r der Gesell­
schaft
nach ihrer wirtschaftlichen S t e l l u n g und Thätigkeit,
endlich sie registriert nur die
überhaupt die Bestandteile
überhaupt
keine
Hülfsmittel der Produktion
oder
oder
des Nationalreichtums und hat dann
Beziehung
zum
menschlichen
Handeln.
Die
Moralstatistik d a g e g e n hat als G e g e n s t a n d der B e o b a c h t u n g und
der Z ä h l u n g unmittelbar gewisse,
irgend
hören
einer
A r t bedeutsame
für
das Gesellschaftsleben
menschliche
H a n d l u n g e n ; es
in
ge­
dazu aber nicht nur V e r b r e c h e n und a u g e n f ä l l i g e unsitt­
liche H a n d l u n g e n , sondern auch gesellschaftlich normale, wie die
Eheschliessungen.
D u r c h diese aber wird eine V e r b i n d u n g her­
gestellt mit den G e b u r t e n , die, w e n n es sich u m M e n s c h e n han­
delt, nicht
bloss eine biologische, sondern auch eine soziale und
als mit v o m menschlichen
B e d e u t u n g haben.
sozialer
durch
Bedeutsamkeit
den
W i l l e n a b h ä n g i g auch eine moralische
D i e Statistik der Sterbefälle, die ebenfalls von
sind,
menschlichen
wenn sie auch nur ausnahmsweise
W i l l e n herbeigeführt werden,
schliesst
sich hier als nächstverwandter Z w e i g an.
5.
Beträchtliche V e r ä n d e r u n g e n
Zahlen lassen
sich,
wie
gesagt,
Ursachen erklären; treten
Schwankungen
festzustellen
auf,
u n d es
so
in
meist
den
moralstatistischen
durch leicht
erkennbare
diese Zahlen aber stetig mit g e r i n g e n
ist
zunächst
eben
nur diese T h a t s a c h e
ist nicht viel g e w o n n e n , wenn zu ihrer E r ­
k l ä r u n g g e s a g t wird, dass das ihr zu G r u n d e liegende U r s a c h e n ­
system
annähernd konstant geblieben
sei.
E i n weiterer Schritt
aber ist der, dass man diese Zahlen auf Verhältnisse bringt, die
die F o r m von genetischen oder analytischen Wahrscheinlichkeits­
ausdrücken haben, und nun untersucht, ob diese als empirische
A u s d r ü c k e einer
konstanten
oder auch einer auf bestimmte A r t
veränderlichen mathematischen Wahrscheinlichkeit ansehen lassen.
Man
erhält dadurch wenigstens
einen
brauchbaren M a s s t a b für
die Stabilität oder Veränderlichkeit dieser Verhältnisse und kann
das früher übliche U e b e r m a s s der V e r w u n d e r u n g einschränken,
w e n n sich zeigt, dass die S c h w a n k u n g e n in weiteren oder höchstens
in
denselben G r e n z e n liegen,
Reihen
von
Z ü g e n aus einer
wie
die der E r g e b n i s s e mehrerer
U r n e mit schwarzen und weissen
K u g e l n . I m m e r h i n aber bleibt der W u n s c h bestehen, sich einiger-
massen
eine A n s c h a u u n g von der realen, physischen
Bedeutung
der einem solchen Verhältniss „zu G r u n d e liegenden W a h r s c h e i n ­
lichkeit"
zu
verschaffen,
scheinlichkeit
hat
an
denn
die
reine
sich g a r keinen
mathematische
Wahr­
Z u s a m m e n h a n g mit
der
Wirklichkeit, sondern sie giebt nur A n l a s s zu Kombinationsauf­
gaben
unter
der
Annahme
„ungünstiger" F ä l l e .
gleich
möglicher „günstiger" oder
D i e erfahrungsmässige
annähernde U e b e r ­
einstimmung solcher R e c h n u n g e n mit den w i r k l i c h e n E r g e b n i s s e n
von
Glücksspielen
wenn
wird wenigstens
im
allgemeinen
begreiflich,
wir uns z. B . den V e r l a u f der V e r s u c h e mit einem W ü r f e l
überlegen.
D e r W ü r f e l kann auf unendlich viele A r t e n geworfen
werden, diese Verschiedenheiten des V e r l a u f e s k o m m e n aber für das
S p i e l g a r nicht in Betracht, es handelt sich lediglich darum, w e l c h e
Nummer
schliesslich
oben
liegt.
E s sind
also
nur sechs
ver­
schiedene E n d e r g e b n i s s e m ö g l i c h und jedes von diesen k a n n auf
unendlich viele A r t e n zustande k o m m e n .
gleich
W e n n nur die F l ä c h e n
gross sind und der S c h w e r p u n k t g e n a u in der M i t t e des
W ü r f e l s liegt, so scheint
es plausibel, dass die unendlich
vielen
M ö g l i c h k e i t e n , unter denen eine der sechs N u m m e r n herauskommt,
zu
den
unendlich
vielen
Möglichkeiten,
unter
denen
jede
der
übrigen herauskommen kann, mit R ü c k s i c h t auf das hier in F r a g e
k o m m e n d e R e s u l t a t sich wie i : i verhalten, woraus sich dann das
Verhältnis 1 : 6 für das der M ö g l i c h k e i t e n einer N u m m e r zu der
S u m m e aller M ö g l i c h k e i t e n ergiebt. Dieses stellt also gewissermassen
die physischeWahrscheinlichkeit des H e r a u s k o m m e n s dieser N u m m e r
dar.
Dieselbe
B e t r a c h t u n g kann m a n natürlich auch auf Z ü g e
aus einer U r n e anwenden, die sechs gleiche K u g e l n enthält, v o n
denen
eine schwarz und fünf weiss sind.
das Zahlenverhältnis der schwarzen
W e n n man aber über
und weissen K u g e l n in der
U r n e nichts weiss, so kann man durch häufige W i e d e r h o l u n g der
Z i e h u n g e n — natürlich immer mit Z u r ü c k l e g u n g der
Kugel
—
gleichsam
die
vorhandenen
1
ausprobieren ).
physischen
Schon
gezogenen
Möglichkeitsverhältnisse
nach
einer
massigen
Zahl
I ) Von diesem Standpunkt sind auch die Thatsachen zu beurteilen, aus denen
M a r b e (Naturphilosophische Untersuchungen zur Wahrscheinlichkeitslehre, Leipzig 1 8 9 9 )
die Unvereinbarkeit der Erfahrungen beim Glücksspiel mit
will.
Er hat
der Erfahrung nachweisen
teils selbst Versuche mit dem Werfen einer Münze angestellt, teils die
Ergebnisse des Roulettespiels in Monte Carlo benutzt und so ein immerhin interessantes
Material zusammengebracht.
Er
glaubt nun
daraus zeigen zu können, dass die so-
—
von
Versuchen
223 —
wird m a n zu d e m S c h l u s s
M ö g l i c h k e i t des Z u g e s weiss mehrfach
gelangen,
dass die
grösser sei, als die d e s
Z u g e s schwarz, u n d nach einigen hundert V e r s u c h e n wird m a n
genannten r e i n e n Gruppen, nämlich solche, die in 2 , 3 , 4 u. s. w. Fällen dieselbe
Farbe oder überhaupt dasselbe von zwei gleich wahrscheinlichen Ereignissen aufweisen,
weit seltener vorkommen, als es nach der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu erwarten
wäre. M a r b e bildet aber dabei aus einer und derselben Versuchsreihe durch Ver­
schiebung des Anfangspunktes der Abzählung eine grosse Anzahl von Gruppen, die
nicht voneinander unabhängig sind, sondern teilweise die auch in anderen vorkommenden
Fälle enthalten. So werden z. B. aus den 4 0 0 Versuchen mit der Münze zunächst
1 0 0 Gruppen zu 4 aus den Fällen 1 — 4 , 5 — 8, . . . 3 9 7 — 4 0 0 , dann aber auch noch
je 9 9 Gruppen aus den Fällen 2 — 5 , 6 — 9 , . . . 3 9 4 — 3 9 7 , aus den Fällen 3 — 6 ,
7—10,
. . . 395—398
und
also 3 9 7 Gruppen gebildet.
aus den Fällen 4 — 7 , 8 — 1 1 ,
. . . 396—399,
im ganzen
Die wahrscheinlichste Zahl des Vorkommens reiner Vierer2
Gruppen, sei es der einen oder der anderen Art, unter 3 9 7 ist — - 3 9 7 oder rund 5 0 ,
die wirklich gefundene Zahl aber war 6 9 , also ziemlich viel grösser. Dagegen kamen
unter 3 9 3 , 3 9 2 und 3 9 1 auf ähnliche Art durch vielfache Abzählung gebildeten
Gruppen zu 8 , 9 und 1 0 gar keine reinen Gruppen vor, während die wahrschein­
lichsten Zahlen bei den angenommenen Versuchszahlen rund 3 , 2 und I gewesen wären.
Hierzu ist nun zu bemerken, dass das beobachtete Ereignis in dem als e i n h e i t ­
l i c h e r V o r g a n g a u f g e f a s s t e n successiven Zusammentreffen von 4 Wurfresultaten
besteht. Die physische Möglichkeit der verschiedenen Formen dieses Ereignisses wird
aber bei 4 0 0 Versuchen nicht 4 0 0 mal, sondern nur 1 0 0 mal ausprobiert. Ob ich
1 0 0 mal viermal nacheinander eine Münze oder 1 0 0 mal je vier Münzen auf einmal
werfe, ist vom Standpunkt der Wahrscheinlichkeitsrechnung ganz dasselbe. Im letzteren
Falle aber ist ohne weiteres klar, dass die physische Erprobung der Möglichkeit eines
bestimmten Resultates, nämlich des Hcrauskommens von 4 mal Wappen oder 4 mal
Schrift, nur 1 0 0 mal stattfindet. Bei den successiven Wurfgruppen zu vier aber ist
die Sachlage nicht anders. Der physische Thatbcstand ist der, dass 4 0 0 Würfe statt­
gefunden haben. Es steht uns aber frei, den ersten, die beiden oder die drei ersten
Würfe ausser acht zu lassen, und wir erhalten dann drei andere Reihen von ViererGruppen, die aber dieselbe thatsächliche physische Giundlage haben, wie die erste, alsonicht als neue, selbständige Erprobungen der Möglichkeit des „günstigen" Falles gelten
können. Diese vier Reihen sind demnach, abgesehen von dem Unterschied zwischen
1 0 0 und 9 9 in der Zahl der Fälle, in Bezug auf die untersuchte Frage als identisch,
als Ausdruck derselben Möglichkeitsprobe zu betrachten. Denn die blosse Verschieden­
heit der Abzählung derselben physischen Ereignisse zu gleich grossen Gruppen macht
ebensowenig einen für die Wahrscheinlichkeitsrechnung in Betracht kommenden Unter­
schied des Thatbestandes des Versuches aus, wie ein solcher zwischen einem Wurf
mit vier Münzen und vier Würfen mit einer Münze besteht. Die wahrscheinlichste
Zahl des Vorkommens des gunstigen Falles ist in unserem Beispiel in der Reihe von
1 0 0 selbständigen Gruppen t 2 / , die von M a r b e beobachtete Zahl stellt sich, wenn wir
den Durchschnitt aus den Ergebnissen der vier äquivalenten Reihen nehmen, auf 1 7 */ .
Nun ist aber die Wahrscheinlichkeit dieser r e l a t i v wahrscheinlichsten Ergebniszahl.
I
J
•schon zu der A n n a h m e geführt werden, dass schwarze u n d weisse
K u g e l n in dem V e r h ä l t n i s von i : 5 in der U r n e verhanden seien.
Stellt
man mehrere R e i h e n von V e r s u c h e n in g e n ü g e n d grosser
absolut keineswegs gross; sie beträgt
sehen Näherungsformel ungefähr 0 , 1 1 3 .
nach der Formel - ) - p
100!
12!
88!
88
(7) (iV
-TT- oder nach der
—
(8)
Stirline
(8)
Bestimmt man die wahrscheinliche Abweichung
wo p = 0 , 4 7 6 9 ,
so findet
man
-f- 2 , 2 3 , d. h. es ist ebenso wahrscheinlich, dass bei 1 0 0 Versuchen 1 0 , 2 7 bis 1 4 , 7 3
günstige Fälle (also reine Vierer-Gruppen vorkommen, als dass irgend eine andere Zahl
derselben herauskommt.
Nach dieser Versuchszahl von 1 0 0 , nicht nach der von 3 9 7 , ist also die Wahr­
scheinlichkeit des wahrscheinlichsten Falles zu beurteilen und mit dem theoretisch be­
stimmten Vorkommen nicht die Zahl der in 3 9 7 Gruppen beobachteten Fälle, sondern
nur der vierte Teil dieser letzteren zu vergleichen. Dass nun in diesem Beispiel die
Durchschnittszahl der beobachteten günstigen Fälle noch über die obige Grenze nach
der positiven Seite hinausging, ist keineswegs sehr auffallend, denn die Wahrscheinlich­
keit einer solchen Grenzüberschreitung ist noch immer j
Die Wahrscheinlichkeit
reiner Gruppen von noch grösserer Zahl der Einzelfälle nimmt in starkem Verhältnis
mehr und mehr ab und zugleich wird bei derselben Gesamtzahl von Einzelfällen die
Zahl der als selbständige Möglichkeitsproben anzusehenden Gruppenfälle immer kleiner.
So kann man z. B. aus 4 0 0 Versuchen höchstens 5 7 selbständige Gruppen zu 7 bilden
und die Wahrscheinlichkeit des Vorkommens einer reinen Gruppe dieser Art ist ' / « 4 Die gewöhnlich angewandten Formeln aber versagen jetzt, weil 5 7 nicht mehr als
eine „grosse Zahl" angesehen werden kann und die Wahrscheinlichkeit von / schon
klein ist. Bei 5 7 Erprobungen ist der wahrscheinlichste Fall, dass gar k e i n e reine
l
i
e i
Gruppe herauskommt
und die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses
ist I — j
oder
0 , 4 0 9 5 . Der nächste Fall, 1 reine Gruppe auf 5 6 andere, hat nur die Wahrscheinlich­
keit 0 , 3 6 8 6 , für den folgenden, 2 reine auf 5 5 gemischte Gruppen, ist die Wahr­
scheinlichkeit 0 , 1 6 3 5
l die weiteren Glieder der Reihe nehmen rapid ab.
u n <
Verlangt man reine Gruppen von 8, so geben 4 0 0 Einzelversuche höchstens 5 0
selbständige Erprobungen. Die Wahrscheinlichkeit einer solchen Gruppe ist '/us " " ^
der wahrscheinlichste Fall bei 5 0 Erprobungen ist wieder der, dass k e i n e reine Gruppe
erscheint; dessen Wahrscheinlichkeit ist 0 , 6 7 5 3
die Wahrscheinlichkeit der Kom­
bination i reine auf 4 9 gemischte Gruppen beträgt nur 0 , 2 6 0 0 . Bei den Gruppen zu
•9 ist die höchste Zahl der möglichen selbständigen Erprobungen in dem Marbe'schen
1
Beispiel 4 4 , die Wahrscheinlichkeit einer reinen Gruppe /76Q, die Wahrscheinlichkeit
des wahrscheinlichsten Falles (o reine Gruppen) 0 , 8 4 1 8 , die Wahrscheinlichkeit der
Kombination i reine auf 4 3 gemischte Gtuppen nur 0 , 1 4 1 9 .
Bei den Gruppen zu 1 0 endlich ist die mögliche Zahl der selbständigen Proben
4 0 , die Wahrscheinlichkeit einer solchen Gruppe ' / , die Wahrscheinlichkeit des
wahrscheinlichsten Falles bei 4 0 Proben (o reine Gruppen) 0 , 9 2 4 7 . Man sieht hieraus:
wenn die Zahl der selbständigen Erprobungen kleiner ist, als der reeiproke Wert der
Wahrscheinlichkeit der fraglichen reinen Gruppe, so ist der wahrscheinlichste Fall,
b i 2
—
225
—
Zahl an, so wird man, da die M ö g l i c h k e i t s b e d i n g u n g e n ungeändert
bleiben, immer annähernd gleiche R e s u l t a t e erhalten.
schauungsweise
lässt sich
Diese A n ­
nun auch auf statistische Verhältnis-
dass k e i n e reine Gruppe herauskommt und die Wahrscheinlichkeit dieses Falles wächst
um so mehr, je grösser jener reciproke Wert und je kleiner die Zahl der Proben wird.
Wenn also M a r b e unter den von ihm benutzten grösstenteils nur formal gebildeten
3 9 3 Gruppen zu 8, 3 9 2 zu 9, 3 9 1 zu 1 0 statt der erwarteten 3 , 2 , 1 gar keine
reinen Gruppen fand, so steht das mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung durchaus nicht
in Widerspruch, weil diese grossen Gruppenzahlen vom Standpunkt der Wahrschein­
lichkeitsrechnung nur die Bedeutung von 5 0 , 4 4 und 4 0 selbständigen physischen Ver­
suchsgruppen haben, d. h. weil man unter den 8 bez. 9 oder 1 0 Gruppenreihen mit
verschiedenen Anfangsfällen nur e i n e Reihe, gleichviel welche, als das Resultat des
Gesamtversuchs betrachten und mit dem entsprechenden Ergebnis der Wahrscheinlich­
keitsrechnung vergleichen darf. (Die unvollständigen letzten Gruppen kann man übrigens
durch die am Anfang ausser acht gelassenen Glieder ergänzen, um in jeder der zur
Auswahl stehenden Reihen genau die gleiche Gliederzahl zu erhalten.) Will man die
obige Auffassimg bestreiten, so muss man auch in Abrede stellen, dass ein Wurf mit
n Münzen für die Wahrscheinlichkeitsrechnung gleichbedeutend sei mit n Würfen mit
einzelnen Münzen.
Dasselbe gilt für die von M a r b e mitgeteilten weit grösseren Beobachtungs­
reihen am Roulettespicl. Die erste dieser Reihen z. B. beruht auf I I 4 8 3 einzelnen
Spielresultaten, aus denen M a r b e in ähnlicher Weise, wie in dem angeführten Beispiel
auch annähernd ebenso grosse Zahlen von reinen Farbengruppen von 2 bis 1 4 Fällen
ableitet. So findet er nach Ausscheidung der Zerofälle (die die Wahrscheinlichkeit ' / ,
haben und zu keiner Farbe gerechnet werden), als wahrscheinlichste Zahl der reinen
Gruppen zu 1 0 , 1 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 bezw. 1 7 , 8, 4, 2, 1 unter 1 1 3 3 9 bis I I 2 7 5 seiner
künstlichen Gruppen, während nach der Beobachtung nur 7 Gruppen zu 1 0 , 2 zu 1 1
und die übrigen gar nicht vorgekommen sind. Hier ist also wiederum zu sagen : die
ganze Reihe der Spiele bildet einen einzigen physischen Thatbestand zur Erprobung
der Möglichkeit des Herauskommens der beiden Farben (und des Zern). Man kann
die Abzählung zum Zwecke der Gruppenbildung mit jedem beliebigen Einzelfall be­
ginnen (wobei wieder zweckmässigerweise die unvollständigen Gruppen am Schluss
durch die am Anfang nicht mitgezählten F"älle ergänzt werden), aber man darf nur
eine von diesen Gruppenreihen als das Versuchsresultat annehmen. Sehen wir der
Einfachheit wegen von dem Vorkommen der Zerofälle ab, so stellen also z. B. die
1 1 3 0 7 Marbe'schen Gruppen zu 1 2 nur 9 4 2 selbständige physische Versuchsgruppen
dar. Die Wahrscheinlichkeit einer reinen Gruppe zu 1 2 ist * / , der wahrschein­
lichste Fall ist o reine Gruppen, die Wahrscheinlichkeit dieses Falles 0 , 6 8 , es kann
daher nicht auffallen, wenn er in der Regel vorkommt. AVenn allerdings die 1 1 3 0 7
Gruppen M a r b e ' s gleichbedeutend wären mit 1 2 selbständigen Beobachtungsreihen
von 9 4 2 Fällen zu 1 2 , so wäre anzunehmen, dass in diesen Reihen auch einmal oder
einigemale eine reine Gruppe erscheint, denn wenn wir jede Reihe als einen einheit­
lichen Versuch auffassen, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass I2mal nacheinander k e i n e
reine Gruppe herauskomme, nur 0 , 0 0 9 2 . Aber jene 11 3 0 7 bilden eben keine 1 2
selbständigen Beobachtungsreihen, diese würden vielmehr 1 3 5 6 8 4 Einzelbeobachtungen
Lexis, Bevölkeiungs- u. Moralstatistik.
15
3
t n i i
zahlen übertragen.
Bedingungen
Mensch
E s giebt z. B . unendlich viele K o m p l e x e von
oder U m s t ä n d e n , infolge deren ein dreissigjähriger
im L a u f e
des 3 1 . Lebensjahres sterben
kann, und zwar
sind diese B e d i n g u n g e n teils in seiner körperlichen
teils
in
seinen
Dreissigjährigen
äusseren
einer
Lebensverhältnissen
Bevölkerung
werden
Beschaffenheit,
begründet.
Alle
nun gleichsam
ein
J a h r l a n g auf die P r o b e gestellt, ob diese Todesmöglichkeiten für
sie
zutreffen
oder
nicht.
M a n erhält
dadurch eine
V o r s t e l l u n g von der für diese G r u p p e bestehenden
ungefähre
Sterbensmög­
lichkeit, wie m a n sich auch z. B . annähernd eine V o r s t e l l u n g v o n
der Bodengestalt eines S e e s verschaffen kann, wenn m a n an einer
grossen Zahl von zerstreuten Stellen seine Tiefe misst.
boden
D e r See­
ist unveränderlich und eine zweite R e i h e v o n M e s s u n g e n
wird daher wieder ungefähr dasselbe Bild von ihm ergeben.
auch die körperlichen
wiederholen
Weise,
Zustände der dreissigjährigen
sich in gewissen
aber annähernd
Aber
Individuen
Grenzen, zwar nicht in identischer
gleichwertig
hinsichtlich des i n
Frage
erfordern und in einer solchen Anzahl werden sich auch wohl einzelne reine Gruppen
finden.
heit
der
Die übliche Formel für die wahrscheinliche Abweichung ist wegen der Klein­
Wahrscheinlichkeit
' / » « « nicht anwendbar.
reinen Gruppe zu 1 4 vollends ist nur '/ai«i ^
e r
Die
Wahrscheinlichkeit
einer
wahrscheinlichste Fall natürlich wieder
o reine Gruppen, die Wahrscheinlichkeit desselben bei 8 0 6 selbständigen Gruppen, die
hier höchstens anzunehmen sind, 0 , 9 0 6 und die Wahrscheinlichkeit, dass in 1 4 Reihen
von je 8 0 6 selbständigen Gruppen zu 1 4 — also bei 1 5 7 9 7 6 Einzelbeobachtungen —
keine einzige reine vorkomme, immer noch 0 , 2 5 1 7 . Durch die von M a r b e beigebrachten
Thatsachen wird daher nur bestätigt, dass die physische Möglichkeit eines zusammen­
gesetzten Ereignisses durch Ausprobieren nur nach einer reell begründeten
Zahl von
Beobachtungsgruppen zu schätzen ist, die nicht durch eine bloss formale weitere Gruppen­
bildung vermehrt werden darf. Ueber die Marbe'sche Abhandlung vgl. auch v. B o r t k i e w i e z in der Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik, Bd. C X X I , der
die Abhängigkeit der Marbe'schen Gruppen voneinander nachweist. — Auch P e a r s o n
(The
Chances of death, London 1 8 9 7 , Vol. I, p. 4 2 ff.) behandelt „The scientific
aspect of Monte Carlo Roulette".
Material, dass das Auftreten
Er findet nach dem ihm zu Gebote stehenden
der Farben
in seiner Gesamtheit dem
Gesetz befriedigend entspricht, dass dagegen die Gruppierung der
Resultate von der theoretischen erheblich abweicht.
mathematischen
aufeinanderfolgenden
Aber gerade im Gegensatz zu
M a r b e findet er, dass die k l e i n e n Permanenzen ein bedeutendes Defizit aufweisen.
Versuche mit Ziehungen von Kugeln von W e s t e r g a a r d (Theorie der Statistik, S. 2 2 ff.)
stimmten im ganzen befriedigend, ebenso die von ihm untersuchten
Lotterieresultate.
Vgl. auch die Versuche Q u e t e l e t ' s , Lettres sur la theorie des prob., p. 9 4 u. 3 7 4 .
Keiner von diesen Autoren denkt daran, die Gruppen in der
vervielfältigen.
Weise M a r b e ' s zu
—
stehenden
Der
Resultates,
2 2
7
—
nämlich des T o d e s im nächsten Jahre.
todbringende B e d i n g u n g s k o m p l e x k a n n in unendlich vielen
Abstufungen
variieren
und
z i e h u n g als gleichbleibend
doch in dieser entscheidenden
zu betrachten
sein,
Be­
ähnlich wie
ein
W ü r f e l an unendlich vielen verschiedenen Stellen des T i s c h e s und
mit unendlich
vielen
verschiedenen
Orientierungen
der
Kante,
um
die er sich zuletzt dreht, zu derselben R u h e l a g e mit B e z u g
auf
die herauskommende
N u m m e r g e l a n g e n kann.
E s besteht
eben die schon erwähnte F u n g i b i l i t ä t der Individuen der aufeinander
folgenden Generationen von Dreissigjährigen hinsichtlich der Z u ­
stände, in die sie eintreten und das gilt sowohl von den physio­
logischen
und pathologischen
Zuständen, als von
den
äusseren
Lebensverhältnissen.
6. Dieselbe B e t r a c h t u n g aber gilt auch für die menschlichen
Handlungen
von
moralstatistischem
Interesse.
Sie
gehen
aus
K o m b i n a t i o n e n von B e d i n g u n g e n hervor, die teils durch die wirt­
schaftlichen,
sozialen
teils durch die
und sonstigen
psychologischen
äusseren
und
Lebensverhältnisse,
moralischen E i g e n t ü m l i c h ­
keiten der Individuen g e g e b e n sind. A b e r auch diese individuellen
T y p e n wiederholen sich trotz ihrer möglichen unendlichen M a n n i g ­
faltigkeit
doch gleichartig mit B e z u g auf das fragliche H a n d e l n .
D a s S y s t e m der äusseren und der subjektiven B e d i n g u n g e n dieses
H a n d e l n s bildet gleichsam ein annähernd festes R a h m e n w e r k , in
das von J a h r zu J a h r neue, gewissermassen
einrücken,
wodurch
mässigkeit
herbeigeführt
dann
die
abstrakte Individuen
beobachtete
wird.
Diese
statistische
Regel­
Betrachtungsweise
giebt
allerdings keineswegs einen E i n b l i c k in die Einzelheiten des Z u ­
standekommens
aber sie
hältniszahlen
lichkeit
der Stabilität der statistischen Verhältniszahlen;
verhindert
wenigstens
zu herrschenden
nur R e s u l t a t e
die H y p o s t a s i e r u n g dieser V e r ­
G e s e t z e n , während sie in W i r k ­
sind, die aus der verwickelten
Mannig­
faltigkeit der E r s c h e i n u n g e n hervorgehen.
Zeigen solche auf die F o r m von Wahrscheinlichkeitsausdrücken
gebrachten Verhältniszahlen normale Dispersion,
sich
ihre S c h w a n k u n g e n in den
gebnissen
d. h.
bewegen
wie sie bei den E r ­
eines a n a l o g geordneten Glücksspieles an einer U r n e
mit schwarzen
Konstanz
Grenzen,
des
und weissen
Kugeln
Bedingungssystems
zu erwarten
angenommen
sind, so
werden,
darf
wie j a
auch das Verhältnis der beiden A r t e n von K u g e l n in der U r n e
15*
konstant bleibt.
als
diesem
Ist die Dispersion unverkennbar noch geringer,
K r i t e r i u m entspricht,
so
ist
anzunehmen,
dass
die
Einzelfälle nicht völlig u n a b h ä n g i g voneinander sind, dass zwischen
ihnen irgend welche ausgleichende W e c h s e l w i r k u n g e n oder doch
besondere Verhältnisse bestehen, die diese übernormale Stabilität
erzeugen.
keiten
S o können z. B . mehrere verschiedene W a h r s c h e i n l i c h ­
desselben
Personen
Ereignisses, die für verschiedene G r u p p e n von
gelten, n a c h f e s t e n Verhältnissen zu einer
Wahrscheinlichkeit
mittelbar
vereinigt sein,
beobachtet
werden.
deren
empirische W e r t e
D i e Wahrscheinlichkeit des
lichen E r e i g n i s s e s sei für die G r u p p e n g , g , g
t
p
3
mittleren
2
3
un­
frag­
. . . bezw. p , p ,
t
2
. . ., die S u m m e der g werde mit G bezeichnet und bei jeder
weiteren B e o b a c h t u n g s r e i h e von G Personen bleibe die G r u p p i e r u n g
g e n a u eingehalten. D a n n ist der Mittelwert ( g i P - | - g ' I P 2 + gsPs^f- •
1
eine F u n k t i o n mehrerer selbständiger Wahrscheinlichkeiten und
die bei
einer mehrfach wiederholten B e s t i m m u n g desselben
vortretende
wahrscheinliche
A b w e i c h u n g von
dem
lichsten W e r t
und
P
her­
wahrschein-
wenn q — 0,477
gleich
ist
dem
beobachteten
Verhältnis
der
Summe
aller Ereignisfälle zu der G r u n d z a h l G , ohne R ü c k s i c h t auf die
Gruppierung.
Diesen
letzteren
A u s d r u c k aber
würde man für
die wahrscheinliche A b w e i c h u n g halten, wenn man von der festen
Gruppierung
innerhalb
der G e s a m t m a s s e G
bei der V e r g l e i c h u n g desselben
kleinsten
Quadrate
bestimmten
nichts wüsste
und
mit der nach der M e t h o d e der
wahrscheinlichen
Abweichung
würde sich daher scheinbar eine unternormale Dispersion heraus­
stellen.
E s wäre denkbar, dass die in den verschiedenen
Waffen­
g a t t u n g e n eines H e e r e s v o r k o m m e n d e n U n f ä l l e ein Beispiel dieser
A r t darböten.
Infanterie,
D i e Unfallwahrscheinlichkeit ist ohne Zweifel bei
K a v a l l e r i e , Artillerie und
das V e r h ä l t n i s der S t ä r k e jedes
Heeresstärke
Pionieren sehr verschieden,
dieser Truppenteile zur g a n z e n
aber k a n n w e n i g s t e n s für eine l ä n g e r e R e i h e von
i) Der wahrscheinliche Fehler der einzelnen Bestimmung der obigen mittleren
Wahrscheinlichkeit ist nämlich p ^ 2 (y, p q, - ) - y p q 4 - y p q - j - . .)/G, wo
g
yx = —— und q = i — p . Der Beweis, dass dieser Ausdruck kleiner ist als der
G
P enthaltende, findet sich in C o u r n o t ' s Wahrscheinlichkeitsrechnung (deutsch von
t
x
x
S c h n u s e ) , S.
113.
x
2
2
2
3
3
3
—
2 20
angesehen
—
Jahren
als
konstant
einfach
als
Unfallwahrscheinlichkeit
werden.
N i m m t man
für das
aber
P
g a n z e H e e r an, so
giebt die o b i g e F o r m e l unter der V o r a u s s e t z u n g fester Verhältnisse
der W a f f e n g a t t u n g e n eine zu grosse wahrscheinliche A b w e i c h u n g .
Dagegen
würde
sie
richtig sein,
wenn
die Verhältnisse
g /G,
l
g / G u. s. w. nicht fest, sondern wie empirische W a h r s c h e i n l i c h ­
2
keitsausdrücke
unterworfen
mit der G r u n d z a h l
wären.
In
diesem
G
zufälligen
Falle
wäre
Schwankungen
eine
gewöhnliche
zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit vorhanden, wie q p -{- c
t
-f- . . . c
n
p„, w o c
x
2
p
2
die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, dass man
in eine U r n e greift,
für die die Wahrscheinlichkeit des Ziehens
einer schwarzen K u g e l gleich p
x
ist.
F ü r eine solche zusammen­
gesetzte Wahrscheinlichkeit gilt derselbe A u s d r u c k der wahrschein­
lichen A b w e i c h u n g , wie
für eine einfache
von
gleicher Grösse.
7. M a n kann sich überhaupt jede der demographischen oder
moralstatistischen B e o b a c h t u n g unterliegende Gesamtheit von P e r ­
sonen nach physischen, wirtschaftlichen und sozialen M e r k m a l e n
in
(ihrer G r ö s s e nach unbekannte)
zerlegt
denken,
Gruppen g ,
t
in denen das betrachtete
denen Wahrscheinlichkeiten vorkommt.
diese
Wahrscheinlichkeit
von hier aus bildet
sie
vielleicht
der
g ,
2
g
3
u. s. w.
E r e i g n i s mit verschie­
I n einigen G r u p p e n wird
Einheit
dann eine abnehmende
nahe
kommen;
Reihe,
bis
sie
schliesslich durch versc htnd end kleine Verhältniszahlen ausgedrückt
wird.
E s werden
denen
die M ö g l i c h k e i t des
dann häufig noch G r u p p e n angeschlossen,
Ereignisses
unzweifelhaft
gar
in
nicht
besteht, seine Wahrscheinlichkeit also gleich o ist, wie j a m a n
z. B . meistens die jährliche Zahl der G e b u r t e n auf die G e s a m t ­
zahl der
man
den
Bevölkerung
zufälligen
bezieht.
Der Fall
ist ähnlich, als
wenn
Z ü g e n aus einer U r n e mit schwarzen
weissen K u g e l n noch eine A n z a h l
anderer
und
aus einer U r n e ,
die
bekanntermassen nur schwarze K u g e l n enthält, folgen Hesse.
Ist
die Z a h l der Personen, bei denen das E r e i g n i s überhaupt m ö g ­
licherweise eintreten kann, G , die Z a h l der beobachteten Personen
aber a G , w o a ; > 1, und ist e die Zahl der beobachteten E r e i g n i s ­
fälle, so wird die nach der kombinatorischen M e t h o d e bestimmte
Dispersion der Verhältniswerte e / G = p durch die wahrscheinliche
A b w e i c h u n g Q l/
2
^ ^ — — ausgedrückt.
Bildet man aber
mit
-
der
vergrösserten
G = G r u n d z a h l <x G den entsprechenden
druck, so erhält m a n
AusAbän-
d e r u n g der wahrscheinlichen A b w e i c h u n g infolge der unberech­
tigten V e r g r ö s s e r u n g der G r u n d z a h l G darstellt.
andererseits,
gleichen
wenn
n
Grundzahl
Beobachtungsreihen
G
gegeben
sind,
die
mit
B e s t i m m t man
annähernd
der
wahrscheinliche A b ­
w e i c h u n g n a c h der M e t h o d e der kleinsten Q u a d r a t e und setzt in
diesen A u s d r u c k ebenfalls a G statt
G , so
verwandelt
er
sich
2
w e n n [ö ] die S u m m e der Q u a d r a t e der Differenzen
der
einzelnen
p von
ihrem Mittelwert bezeichnet.
Die
beiden A u s d r ü c k e der wahrscheinlichen A b w e i c h u n g von p,
deren V e r g l e i c h u n g sich das K r i t e r i u m der Dispersion
aus
ergiebt,
haben sich also durch die unberechtigte V e r g r ö s s e r u n g der G r u n d ­
zahl nicht g l e i c h m ä s s i g g e ä n d e r t und ihre A b ä n d e r u n g e n können
daher
a u c h nicht
zur B e u r t e i l u n g der Dispersion
dienen.
Im
N e n n e r des B r u c h e s unter dem Wurzelzeichen ist zwar in beiden
F o r m e l n der F e h l e r a
2
hinzugetreten, d a g e g e n ist der Zähler in
der zweiten unverändert geblieben, während in der ersten der in
der wirklichen wahrscheinlichen A b w e i c h u n g v o r k o m m e n d e F a k ­
tor
sich
( i - p)
durch ( i — p / a )
dieser
ersetzt ist.
A u s d r u c k umsomehr, j e
Demnach
grösser
a
vergrössert
ist,
und
daraus
f o l g t : wenn bei einer als Wahrscheinlichkeitsgrösse a n g e n o m m e ­
nen Verhältniszahl die G r u n d z a h l durch H i n z u n a h m e indifferenter
Einheiten
vergrössert ist,
so wird das auf die g e w ö h n l i c h e A r t
bestimmte M a s s der Dispersion
und es kann dann
persion
Nur
also
unrichtig, und zwar vermindert,
eine in W i r k l i c h k e i t übernormale D i s ­
normal und eine normale unternormal zu sein
scheinen.
wenn die wirkliche W a h r s c h e i n l i c h k e i t p so klein ist,
dass
der U n t e r s c h i e d zwischen i — p u n d i — p / a vernachlässigt werden
kann, lässt sich auch aus Verhältnissen mit unberechtigter W e i s e
bedeutend vergrösserten
G r u n d z a h l e n das
Mass
der
Dispersion
annähernd richtig ableiten.
8. D i e
wendung
W a h r s c h e i n l i c h k e i t s r e c h n u n g hat also in ihrer A n ­
auf die D e m o g r a p h i e und die Moralstatistik nur den
Z w e c k , einerseits ein
verständliches S c h e m a für die V e r t e i l u n g
der F ä l l e u n d andererseits
einen M a s s s t a b für die Stabilität der
statistischen
Verhältniszahlen zu bieten.
D i e zur E r k l ä r u n g der
annähernden K o n s t a n z wie a u c h der Veränderlichkeit
derselben
geeignete V o r s t e l l u n g ist bereits angedeutet worden: m a n denke
sich die Gesamtheit G der Personen, für die das in F r a g e stehende
E r e i g n i s überhaupt als m ö g l i c h anzusehen
Merkmalen
in eine A n z a h l
von
ist, nach bestimmten
möglichst h o m o g e n e n G r u p p e n
zerlegt, deren A n g e h ö r i g e also während der Beobachtungsperiode,
als die wir
das J a h r annehmen, in B e z u g auf das E r e i g n i s auf
die P r o b e gestellt
dass
werden.
E s ist nun eine plausible A n n a h m e ,
die objektive M ö g l i c h k e i t des
Ereignisses
innerhalb jeder
h o m o g e n e n G r u p p e durch das Verhältnis der Zahl der Personen,
bei denen es eintritt, zu der G e s a m t z a h l der G r u p p e ausgedrückt
werden, und da der physische, wirtschaftliche und soziale Charakter
der
Gruppe
wundern
Jahr
gleich
können,
zu J a h r
-
bleibe!T söTT,~so" wird
man
sich a u c h
w'enn cTTese Möglichkeitsverhältnisse sich
nicht viel ändern, zumal m a n auch eine
nicht
von
gewisse
Fungibilität der in der G r u p p e sich nach und nach ersetzenden
Individuen mit R ü c k s i c h t auf das fragliche E r e i g n i s voraussetzen
darf.
E s ist
eines
solchen
a u c h nicht erstaunlich,
Schwankungen
Verhältnisses
aufweisen,
den
und
wenn
die V e r ä n d e r u n g e n
C h a r a k t e r von
in diesem
zufälligen
F a l l e kann das
Ver­
hältnis als der empirische A u s d r u c k einer mathematischen W a h r ­
scheinlichkeit betrachtet werden.
W i r können aber darüber nichts
unmittelbar entscheiden, da wir die h o m o g e n e n G r u p p e n g a r nicht
E s k o m m t nun darauf an,
wie
weit die G r u p p e n selbst von J a h r zu J a h r veränderlich sind.
wirklich unterscheiden
können.
Da
sie von der G r ö s s e der B e v ö l k e r u n g a b h ä n g e n und auch durch
wirtschaftliche und soziale B e d i n g u n g e n bestimmt sind, so werden
sie sich im allgemeinen im L a u f e der Zeit, wenn auch mit w e c h ­
selndem
Tempo
und zeitweiligen
R ü c k s c h l ä g e n , in
R i c h t u n g , zunehmend oder abnehmend entwickeln.
bestimmter
A u c h in den
Verhältnissen der S t ä r k e der einzelnen G r u p p e n zu der ganzen
beobachteten Gesamtheit werden diese historischen V e r ä n d e r u n g e n
hervortreten, aber w e g e n
der menschlichen
von
io,
20
der im ganzen bestehenden
Zustände wird m a n in massigen
und bei rein
Stetigkeit
Zeiträumen
demographischen E r s c h e i n u n g e n n o c h
mehr J a h r e n eine ziemlich grosse Stabilität dieser G r u p p i e r u n g s ­
verhältnisse erwarten dürfen.
ten G r u p p i e r u n g e n werden
N u r bei a b s i c h t l i c h fest g e r e g e l ­
sie,
wie
die Verhältnisse y in dem
—
232
—
o b i g e n Beispiel, unverändert bleiben können, d a g e g e n ist es leicht
denkbar, dass sie,
Schwankungen
empirische
wie
von
die
oben
zufälligem
erwähnten Verhältnisse c,
Charakter
Wahrscheinlichkeitsgrössen
zeigen,
verhalten.
Wenn
dasselbe
a u c h für die Wahrscheinlichkeiten p in den
Gruppen
gilt, so
hat
auch das unmittelbar
nur
also sich
wie
dann
einzelnen
beobachtete
Total­
verhältnis e / G , w e n n e die Zahl der Ereignisfälle in einem J a h r
bedeutet, den Charakter einer Wahrscheinlichkeitsgrösse und dem­
nach normale Stabilität.
die
der
Bevölkerung
massigen
Zahl
V i e l e Gruppierungsverhältnisse, wie z. B .
nach
von Jahren
dem
Alter,
werden
wahrscheinlich
aber
weniger
in
einer
schwanken,
als nach dem G e s e t z der zufälligen A b w e i c h u n g e n zu erwarten
wäre.
W e n n dann trotzdem das beobachtete V e r h ä l t n i s e / G über­
normale
Dispersion
normale
Schwankungen
zeigt,
G r u p p e n erklären müssen.
so
der
wird
man
sich
Verhältnisse
p
dies durch
in
den
über­
einzelnen
W ä r e n diese letzteren S c h w a n k u n g e n
normal, so könnte durch die grosse Stetigkeit der G r u p p i e r u n g s ­
verhältnisse, wenn auch nicht in d e m Masse, wie bei voller F e s t i g ­
keit
derselben,
eine
gewisse
verhältnisses e / G herbeigeführt
sich um moralstatistische
übernormale
werden,
Beobachtungen
greiflich und erklärlich bliebe.
Stabilität des
Total­
die aber, auch wenn
handelte,
es
durchaus be­
1
X. Naturwissenschaft und Sozialwissenschaft ).
i.
Das
grosse
Reich
der
Erfahrungswissenschaften
vom
M e n s c h e n umschliesst eine A n z a h l innerlich selbständiger G e b i e t e ,
deren Inhalt sich
nach den verschiedenen
Seiten bestimmt, von
denen aus die F o r s c h u n g den M e n s c h e n erfassen kann.
A l s ein T y p u s des organischen N a t u r l e b e n s wird der M e n s c h
zum G e g e n s t a n d verschiedener Disciplinen von rein naturwissen­
schaftlichem
Charakter.
Als
T r ä g e r eines
höher
entwickelten
Seelenlebens stellt er der empirischen P s y c h o l o g i e und der S p r a c h ­
wissenschaft
Prozesse
ihre
jenes
mitttelbarste
Aufgaben,
Seelenlebens
Kollektivprodukt
indem
erstere
erforscht,
der
die
letztere
eigenartigen
aber
menschlichen
das u n -
Denkfähigkeit
untersucht.
A b e r der M e n s c h ist nicht nur in seinem physischen und
psychischen S e i n , sondern a u c h in seinem T h u n der wissenschaft­
lichen B e t r a c h t u n g zu unterwerfen.
E r ist nicht nur ein mit der
F ä h i g k e i t des E m p f i n d e n s und D e n k e n s ausgestattetes Naturwesen,
sondern auch eine n a c h M o t i v e n handelnde und für ihr H a n d e l n
verantwortliche Persönlichkeit, die nicht isoliert, sondern in einer
gesellschaftlichen V e r e i n i g u n g steht.
D i e verantwortlich handelnde Persönlichkeit ist nun zunächst
das
Grundelement
wenigstens
der
im engeren
Geschichte.
S i n n e gefasst,
Aber
diese
Wissenschaft,
sucht in jenem H a n d e l n
vor allem das Individuelle, E i n - und E i g e n a r t i g e , sowohl in der
Initiative
der historischen
Persönlichkeiten,
als in
den
grossen
V ö l k e r b e w e g u n g e n , die durch politische K a t a s t r o p h e n oder
w a l t i g e E v o l u t i o n e n des K u l t u r l e b e n s bezeichnet
ge­
werden.
i) Antrittsvorlesung, gehalten in Dorpart i m August 1 8 7 4 . Ein Auszug ist in
der „Neuen Dörpt'schen Zeitung" veröffentlicht.
—
Ausser
diesem
234
historischen
—
giebt
es j e d o c h 'auch ein
un­
historisches, im einzelnen nicht erzählbares T h u n und L e i d e n der
M e n s c h e n das den H i n t e r g r u n d des historischen bildet und seine
eigene Bedeutsamkeit besitzt.
Es
giebt daher a u c h eine W i s s e n s c h a f t oder vielmehr eine
G r u p p e von
W i s s e n s c h a f t e n , welche
in der G e g e n w a r t wie
in
der V e r g a n g e n h e i t der menschlichen Gesellschaft nicht das Indi­
viduelle, sondern das Generelle, nicht das Veränderliche, sondern
das relativ
stetige
scheinungen
in
ins A u g e
den
fassen.
menschlichen
Diese relativ stetigen E r ­
Dingen
entstehen
einesteils
aus der generischen Beschränktheit der menschlichen Individualität,
anderenteils
aber aus
der V e r b i n d u n g der Individuen und
der
Gesellschaft, die dem einzelnen einen Platz mit mehr oder weniger
festen
Beziehungen
zu den
übrigen
Gliedern anweist
und ihm
dadurch in vielen F ä l l e n eine empfundene oder nicht empfundene
Z w a n g s f ü h r u n g mit e n g e m Spielraum der A b w e i c h u n g setzt.
wirkt
die
Maschine
Masse
der
Gesellschaft wie
So
das S c h w u n g r a d einer
als R e g u l a t o r der B e w e g u n g der Einzelteile; die V e r ­
änderungen des G a n z e n erscheinen als E n t w i c k e l u n g e n von solcher
L a n g s a m k e i t , dass m a n auf längere S t r e c k e n konstante Phasen
annehmen
darf.
I n den e i n z e l n e n
Regelmässigkeiten
F ä l l e n allerdings sind die
der G e s a m t e r s c h e i n u n g nicht unmittelbar
erkennen, aber d e n n o c h trägt jeder Einzelfall das S e i n i g e
um
die
grössere
oder
geringere
Stetigkeit
zu
bei,
zu unterhalten, die
durch die M a s s e n b e o b a c h t u n g enthüllt wird.
2. Diejenigen Wissenschaften
nun, welche
auf dem W e g e
der E r f a h r u n g
das persönlich-gesellschaftliche Menschenleben in
seinen
stetigen
relativ
E r s c h e i n u n g e n untersuchen,
empirische Sozialwissenschaften nennen.
wollen
wir
D u r c h die B e t o n u n g den
E r f a h r u n g s m ä s s i g k e i t sind also aus diesem K r e i s e diejenigen den
gesellschaftlichen
schlossen, die
Menschen
betreffenden
Wissenschaften
ausge­
nicht aus der E r f a h r u n g , sondern aus allgemeinen
Prinzipien die gebietenden N o r m e n aufstellen u n d in ihren K o n ­
sequenzen
entwickeln,
und T h u n gestalten
nach denen sich das menschliche W o l l e n
soll.
Materiell reicht das G e b i e t der Sozialwissenschaften in dem
bezeichneten
S i n n e so weit,
als überhaupt Stetigkeiten
in
den
menschlichen E r s c h e i n u n g e n , sei es in ihrem Bestände oder in
ihren
Veränderungen,
nachweisbar
sind.
Die
Form
aber, in
welcher
dieser
reiche
Stoff
wissenschaftlich
k a n n , ist nicht eine einfache, sondern
aufgefasst
werden
eine mehrfache, und auf
dieser M a n n i g f a l t i g k e i t der A u f f a s s u n g s f o r m beruht die später zu
erörternde Z e r l e g u n g der Sozial Wissenschaften.
E s fällt sofort eine gewisse A n a l o g i e auf, die zwischen den
Sozialwissenschaften
und
letzteren
die
erforschen
Seins, die ersteren
aber
relativ
den Naturwissenschaften
typischen
besteht.
E r s c h e i n u n g e n des
Die
äusseren
beschäftigen sich mit den zwar nicht absolut,
typischen
Massenerscheinungen
in
faltigkeit des gesellschaftlichen Menschenlebens.
der
Mannig­
A l s Erkenntnis­
mittel soll der einen wie der anderen K l a s s e von Wissenschaften
die E r f a h r u n g dienen. D a nun die Naturwissenschaft als spezifische
Erfahrungswissenschaft
Sozialwissenschaft
gilt,
so
liegt
die
V e r s u c h u n g nahe, die
unter die L e i t u n g der
älteren S c h w e s t e r
zu
stellen, indem man ihr die erprobte M e t h o d e der letzteren zuwiese.
A l s S ü s s m i l c h zuerst mit umfassendem B l i c k die S t e t i g ­
keiten in gewissen menschlich-sozialen E r s c h e i n u n g e n beobachtete,
stellte er sie mit den
naturgesetzlichen
zusammen
unter seinen
physico-theologischen Gesichtspunkt. In der neueren Zeit d a g e g e n
hat die Quetelet'sehe S c h u l e die sozialen P h ä n o m e n e ohne weiteres
auf das K a t e g o r i e n s c h e m a der Naturwissenschaft zurückzuführen
gesucht,
indem
sie
das
G e s e t z im
astronomisch - physikalischen
S i n n e zu ihrem leitenden Begriffe machte.
S o verdienstlich auch
die B e s t r e b u n g e n dieser R i c h t u n g gewesen
sind, so musste doch
die Einseitigkeit ihres
rufen.
Man
hat
Grundauffassung,
versuche
A u s g a n g s p r i n z i p s eine R e a k t i o n
Einspruch
die jener
eigentümlich
ist,
erhoben
gegen
die
hervor­
mechanische
S c h u l e trotz mancher V e r h ü l l u n g s ­
und
man hat dem
naturwissenschaft­
lichen den ethischen G e s i c h t s p u n k t gegenübergestellt.
3. B e i
diesem
S t a n d e der Diskussion
E r ö r t e r u n g der naturwissenschaftlichen
hältnisse zu den
jedoch
kann
dürfte
eine
nähere
M e t h o d e in ihrem
Ver­
Sozialwissenschaften nicht überflüssig sein; hier
ich dieses T h e m a nur andeutungsweise in grossen
Z ü g e n behandeln.
Unter
der
M e t h o d e einer
Wissenschaft
verstehe
ich hier
das allgemeine Verfahren, nach welchem sie den unmittelbar g e ­
fundenen S t o f f in die ihm adäquate wissenschaftliche A u f f a s s u n g s ­
form überführt.
D e m n a c h ist diese letzte A u f f a s s u n g s f o r m , das
Kategorienschema,
nach
welchem
wir
reale
Beziehungen
der
2
—
empirischen
Erscheinungen
3°
—
annehmen, spezifisch
charakteristisch
für die M e t h o d e einer Wissenschaft und man k a n n zwei W i s s e n ­
schaften
dieselbe
M e t h o d e zusprechen,
wenn
ihr
allgemeinstes
K a t e g o r i e n s c h e m a dasselbe ist, m a g auch die durch den Stoff be­
dingte T e c h n i k zur A u s f ü l l u n g des S c h e m a s bei der einen
der anderen noch so verschieden
U n d andererseits
Kategorienschemas
und
sein.
bedingt die Verschiedenheit des höchsten
die
Verschiedenheit
zweier
selbst w e n n ihr unmittelbarer Stoff derselbe
Wissenschaften,
ist.
W a s ich unter dem höchsten K a t e g o r i e n s c h e m a einer W i s s e n ­
schaft verstehe,
schaftliche
Verknüpfen
von
beziehungen.
logische
habe ich eben
Begriffen
Diese
nach
Da
überhaupt
gewissen
Verknüpfungen
Bedeutung.
realen
bereits angedeutet.
D e n k e n wie das D e n k e n
aber jede
will,
logischen
so
sie an
haben
zunächst
der
stehen
Dinge
bei
der
eine reale
selbst beilegen.
Auffassung
dem
Grund­
nur
eine
Erfahrungswissenschaft den
Erscheinungen
einem gewissen
V e r k n ü p f u n g e n auch
Beziehungen
bleibt
muss
wissen­
in
allgemeinen
Z u s a m m e n h a n g der ihr vorliegenden
kennen
Das
besteht
der
er­
P u n k t e den bloss
Bedeutung
für
die
D i e eine Wissenschaft
unmittelbar
anschau­
l i c h e n , mathematisch darstellbaren B e z i e h u n g e n der E r s c h e i n u n ­
g e n in R a u m und Zeit; die andere erhebt den A n s p r u c h , in den
inneren
Kausalzusammenhang
dringen,
also
handeln;
eine
Zweckes
der
Erscheinungen
einzu­
U r s a c h e n selbst noch als R e a l i t ä t e n zu
dritte
noch
ten Prozessen
Es
die
fühlt
sich
berechtigt,
dem
Begriff
be­
des
eine wirksame R o l l e in den von ihr untersuch­
zuzuschreiben.
ist für die einzelnen
Wissenschaften keineswegs
leicht,
das ihnen adäquate K a t e g o r i e n s c h e m a aufzufinden.
D a s beweist
namentlich die G e s c h i c h t e der Naturwissenschaften,
deren
schritt
worden
fast
zwei
J a h r t a u s e n d e hindurch
gehemmt
Fort­
ist,
weil der M e n s c h sich nicht von d e m naiven Selbstvertrauen zu
befreien
vermochte, mit
dem er bei seinen ersten
wissenschaft­
lichen B e s t r e b u n g e n seine subjektiven D e n k f o r m e n als E r k l ä r u n g s ­
gründe in die N a t u r hineintrug.
Es
fehlte
den
A l t e n nicht an naturwissenschaftlichen
Be­
obachtungen, noch weniger an Geisteskraft u n d Scharfsinn, aber
bei der A u f f a s s u n g der Naturerscheinungen k o n n t e n sie sich nicht
über
den
S u b j e k t i v i s m u s des
menschlichen
Denkens
erheben.
Während
sie
die
G e o m e t r i e mit
bewundernswürdiger
Strenge
behandelten, gerieten sie schon in der L e h r e von der B e w e g u n g ,
die
doch
der
G e o m e t r i e so
nahe steht, unter dem Einfluss der
schlimmsten Idole, u m einen Baconischen A u s d r u c k zu gebrauchen.
S o brachten sie z. B . in diese L e h r e den B e g r i f f der V o l k o m m e n heit_ als wirksame K a t e g o r i e hinein; der K r e i s w a r ihnen die voll­
kommenste F i g u r , daher galt ihnen als natürliche B e w e g u n g die
kreisförmige.
Solche
Gesichtspunkte
zum Zeitalter Galilei's.
Baco
von
blieben
massgebend
V e r u l a m weiss
bis
geistreich
die Idole zu kritisieren, die das wissenschaftliche D e n k e n irre g e ­
führt
haben,
sobald
aber er verfällt selbst der Herrschaft dieser Idole,
er sich an positive
mechanische
oder physikalische
Auf­
gaben w a g t . S o g a r ein D e s c a r t e s kann die M e c h a n i k nicht ohne
dogmatische Zusätze, ohne
E i n f ü h r u n g willkürlicher, zu besonde­
ren Entitäten gestempelter Abstraktionen behandeln.
U n d noch
im achtzehnten J a h r h u n d e r t zeigt der Streit der Cartesianer und
Leibnizianer
über
Beibehaltung
die
lebende
unnötiger
Kraft,
wieviel
K a t e g o r i e n selbst in
Verwirrung
den
Köpfen
die
der
mathematischen M e c h a n i k e r anrichten konnte.
Wenn
dies bei
der
M e c h a n i k m ö g l i c h war, so ist es kein
W u n d e r , wenn es den konkreteren Naturwissenschaften, der P h y ­
sik, C h e m i e , P h y s i o l o g i e noch schwerer geworden, die Herrschaft
der subjektiven
Beziehungsbegriffe
abzuschütteln,
die
sich
den
S c h e i n v o n besonderen Wesenheiten verschafft hatten.
9. G i e b t es nun aber irgend einen Leitfaden oder eine R e g e l ,
n a c h ' w e l c h e r jede Wissenschaft
das ihrem S t o f f e
A u f f a s s u n g s s c h e m a bestimmen k a n n ?
bei
einer
gegen
solchen
Bestimmung
leiten
lassen
den Subjektivismus unseres D e n k e n s .
wir die Beziehungsformen,
entsprechende
V o r allem müssen wir uns
durch
Misstrauen
D a r a u s folgt, dass
die wir als real bedeutsam in letzter
Instanz beibehalten, so weit wie irgend m ö g l i c h reduzieren müssen,
indem wir nur diejenigen
festhalten,
die
wir nicht fallen
lassen
können, ohne auf einen Teil unseres möglichen W i s s e n s zu ver­
zichten.
Die
erklärende
Naturwissenschaft
hat
gegenwärtig
R e d u k t i o n ihres A u f f a s s u n g s s c h e m a s im wesentlichen
vollzogen.
diese
vollständig
W e n n sie auch der Bequemlichkeit w e g e n von S u b ­
stanzen, U r s a c h e n , K r ä f t e n und selbst Z w e c k m ä s s i g k e i t e n spricht,
so enthält
doch ihr wirkliches
E n d s c h e m a nur die K a t e g o r i e n
des
unmittelbaren
schauungen.
Seins
angewandt
auf räumlich zeitliche A n ­
Ihr Ideal ist eine rein mathematische A u f f a s s u n g
ihres Stoffes in R a u m
Erscheinungen
und Zeit, d u i c h welche die Q u a l i t ä t der
in q u a n t i t a t i v e
Bestimmungen
aufgelöst
wird.
D e m n a c h besteht die M e t h o d e der Naturwissenschaft in der
E r f ü l l u n g zweier F o r d e r u n g e n : sie hat erstens die subjektive A u f ­
fassung der äusseren E r s c h e i n u n g e n in eine objektive, die sinn­
liche W a h r n e h m u n g in eine mathematische A n s c h a u u n g zu ver­
wandeln, die E r s c h e i n u n g e n gleichsam aus der perspektivischen
in
die
orthogonale
Projektion
überzuführen.
Sie
hat
zweitens
die E r s c h e i n u n g e n so weit wie m ö g l i c h in quantitativ bestimmte
Elementarerscheinungen zu zerlegen, aus welchen
nach dem
rein
logischen Verhältnis von
beobachteten Thatsachen sich wieder
Grund
letzteren
dann
und F o l g e die
zusammensetzen.
S o erscheint die B e w e g u n g eines Planeten der unmittelbaren
Beobachtung
höchst
von
unserem
unregelmässige
und
irdischen
Gesichtspunkte
verwickelte; beziehen
als
eine
wir sie
aber
auf den heliocentrischen S t a n d p u n k t , so ergiebt die g e n a u e quan­
titative B e o b a c h t u n g , dass der Planet mit einer in bestimmbarer
Weise
veränderlichen
Geschwindigkeit
eine
Ellipse
deren einen B r e n n p u n k t die S o n n e einnimmt.
beschreibt,
Diese Thatsache,
verbunden mit der anderen T h a t s a c h e der B e w e g u n g der E r d e
um die
S o n n e , bedingt
als logische F o l g e die unmittelbar be­
obachtete E r s c h e i n u n g .
A b e r die T h a t s a c h e der elliptischen B e w e g u n g des Planeten
lässt
sich noch weiter
wir die weiteren
blick
eine
bestimmte
R i c h t u n g besitzt
zerlegen.
A l s E l e m e n t e derselben
finden
Thatsachen, dass der Planet in jedem A u g e n ­
und
Geschwindigkeit
nach einer
gleichzeitig einen
nach der Newton'schen
bestimmten
F o r m e l ausdrückbaren G e s c h w i n d i g k e i t s z u w a c h s nach dem S c h w e r ­
punkt des S o n n e n s y s t e m s
bilden
hin erlangt.
Diese neuen Thatsachen
in ihrer V e r b i n d u n g wieder den G r u n d , aus dem sich als
identische F o l g e die elliptische B e w e g u n g zusammensetzt.
E s ist
also für die naturwissenschaftliche E r k l ä r u n g der E r s c h e i n u n g e n
nicht nötig, den Begriff der K r a f t
physischen
Kausalitätsbegriff
der U r s a c h e
für
die
der äussersten
naturwissenschaftliche
oder überhaupt einen meta­
einzuführen.
D i e F r a g e nach
bekannten Elementarthatsachen ist
Auffassung
gleichbedeutend
mit
—
der F r a g e ,
239
—
ob sich jene E l e m e n t e n o c h in andere räumlich-zeit­
liche G r u n d t h a t s a c h e n zerlegen
lassen.
5. S o ergeben sich im Prinzip als E n d f o r m e l n aller natur­
wissenschaftlichen E r k l ä r u n g e n der E r s c h e i n u n g e n die fundamen­
talen Differentialgleichungen
der D y n a m i k , welche als veränder­
liche enthalten die Zeit und die R a u m k o o r d i n a t e n von b e w e g t e n
Punkten. D u r c h diese G l e i c h u n g e n werden also einfache thatsächliche B e z i e h u n g e n ausgedrückt zwischen
diesen V a r i a b e i n , ihren
unendlich kleinen A e n d e r u n g e n und gewissen
1
stanten ).
man
empirischen
Kon­
D e n k t man sich diese G l e i c h u n g e n integriert, so erhält
ein S y s t e m von G l e i c h u n g e n , durch welches in jedem Zeit­
punkt die räumliche L a g e
aller b e w e g t e n P u n k t e bestimmt ist.
F o r m e l l bestimmt also dieses S y s t e m die räumlichen E r s c h e i n u n g e n
für a l l e Zeit; abgeleitet ist es indes nur aus den Thatsachen der
V e r g a n g e n h e i t und seine G ü l t i g k e i t für die Zukunft ist ein I n ­
duktionsschluss, den die Naturwissenschaft bis zum Beweise des
G e g e n t e i l s als berechtigt betrachtet.
I n dieser
letzten Operation der Naturwissenschaft, dem in­
duktiven Schliessen auf die Zukunft, ist zugleich in aller Bestimmt­
heit
das E n d s c h e m a der naturwissenschaftlichen
erkennen.
Es
wird
geschlossen:
A u f f a s s u n g zu
weil die E r f a h r u n g bisher in
allen F ä l l e n das Vorhandensein gewisser räumlich zeitlicher B e -
i) In meiner Dissertation
„ D e generalibus motus legibus" (Bonn 1 8 5 9 ) babe
ich näher ausgeführt, dass in der Dynamik der Begriff
wendung kommt, dass die allgemeinen dynamischen
der Kraft gar nicht zur An­
Gleichungen nur besagen: die
Aenderung, die das Produkt aus der Masse und der Geschwindigkeit (die Bewegungs­
quantität) eines materiellen Punktes in einer unendlich kleinen Zeit erhält, ist, in einer
bestimmten Einheit ausgedrückt,
so und so gross (d. h. es ist für jede Koordinaten2
dx
axe ein'; Gleichung von der Form m - j ^ d t = X dt gegeben, die auf beiden Seiten
nur Pewegungsquantitäten enthält). Es entspricht dies der Anschauung K i r c h h o f s ,
nach der die Mechanik die Bewegungen nur zu b e s c h r e i b e n hat — allerdings in
mathematischer Form. Dass in der neuesten Zeit die ältere, namentlich von L a p l a c e
ausgebildete Vorstellung, nach der die ganze Natur auf ein System von bewegten, sich
anziehenden und abstossenden Atomen zurückgeführt wurde, teilweise durch weniger
anschauliche Annahmen ersetzt worden ist, lässt die obigen Betrachtungen unberührt.
Auch wenn man z. B. statt der Bewegungsquantität die lebendige Kraft — einer ur­
sprünglich erst mit Hilfe der Bewegungsquantität gebildeten Funktion der Geschwindig­
keit •— oder allgemein die Energie als Grundbegriff der Mechanik annehmen will,
bleibt deren Aufgabe doch die mathematisch-quantitative Darstellung der Verände­
rungen der materiellen Systeme in Raum und Zeit ( 1 9 0 2 ) .
—
Ziehungen
in
bestimmten
240
materiellen S y s t e m e n
nehmen wir an, dass dieselben
Beziehungen
zeigen
—
werden.
ergeben hat, so
S y s t e m e auch fernerhin
V o n Kräften,
dieselben
Gesetzen, Z w e c k e n
ist in dieser F o r m e l nicht die R e d e , weil eben diese H ü l f s b e g r i f f e
in der Naturwissenschaft nur bequeme A u s d r ü c k e für beobachtete
thatsächliche räumlich-zeitliche B e z i e h u n g e n sind.
N i c h t für alle Naturwissenschaften ist das S c h e m a der rein
q u a n t i t a t i v e n A u f f a s s u n g der E r s c h e i n u n g e n in R a u m und Zeit er^
reichbar: mehrere
und
namentlich die
organischen müssen sich
auf eine nichtmathematische D a r s t e l l u n g materieller F o r m e n und
V o r g ä n g e beschränken, aber für alle ist die R e d u k t i o n der E r ­
scheinungen auf quantitative N o r m e n das letzte Ideal.
Die
M e t h o d e der
Naturwissenschaft besteht
also
in
ihrer
idealen D u r c h f ü h r u n g in der objektiven A u f f a s s u n g der E r s c h e i ­
nungen in R a u m und Zeit, ihrer Z e r l e g u n g in Grundthatsachen
und
der
Schemas
Aufstellung
eines
rein
quantitativen
mathematischen
für die Beziehungen der E r s c h e i n u n g e n .
M e t h o d e auf
den
S t o f f der Sozialwissenschaft
Ist nun diese
a n w e n d b a r , und
w e n n dies der F a l l ist, g e n ü g t das rein quantitative, nur äussere
Beziehungen
darstellende
S c h e m a , um
die
Gesamtheit
unserer
m ö g l i c h e n E r f a h r u n g e n auf diesem G e b i e t e aufzunehmen?
D e r erstere F r a g e ist zu bejahen, die letztere zu verneinen.
D i e Naturwissenschaften schliessen als solche mit dem K a t e ­
gorienschema des unmittelbaren S e i n s ab.
D i e Sozialwissenschaften d a g e g e n können von verschiedenen
G e s i c h t s p u n k t e n aufgefasst werden, die sich übereinander erheben,
so dass der obere immer den unteren mit umfasst, während auch
der untere eine relative S e l b s t ä n d i g k e i t besitzt.
6.
Bleiben wir bei
der naturwissenschaftlichen A u f f a s s u n g
der sozialen E r s c h e i n u n g e n stehen, so ergiebt dieselbe die Statistik.
Wenn
diese W i s s e n s c h a f t
so m u s s sie
sachen
überhaupt
feste
G r e n z e n haben
soll,
streng auf das G e b i e t quantitativ bestimmter T h a t ­
beschränkt werden, während die ätiologischen und teleo­
logischen K a t e g o r i e n als konstitutive Bestandteile der schliesslichen
A u f f a s s u n g s f o r m auszuschliessen
sind.
D i e Statistik hat, soweit sie einen selbständigen wissenschaft­
lichen Z w e c k verfolgt und nicht bloss als H ü l f s o r g a n der prak­
tischen V e r w a l t u n g dient,
objektiv und zahlen massig das relativ
Stetige
Bestände
u n d T y p i s c h e im
und der
V e r ä n d e r u n g der
menschlich-sozialen E r s c h e i n u n g e n zu k o n s t a t i e r e n .
zu
diesem
Zweck
Massenbeobachtungen
S i e muss
anstellen,
weil
jenes
relativ S t e t i g e nicht in der E i n z e l e r s c h e i n u n g hervortritt, sondern
nur in der V e r b i n d u n g der Einzelerscheinungen
schaftlichen
in dem
gesell­
Ganzen.
S i e wird ferner der naturwissenschaftlichen M e t h o d e g e m ä s s
die komplizierteren Massenerscheinungen soweit wie m ö g l i c h in ein­
fachere zu zerlegen
suchen.
B e i dieser Operation wird sie sich
natürlich nach ursächlichen Verhältnissen in den E r s c h e i n u n g e n
umsehen, aber schliesslich k o m m t sie immer zu gewissen numerisch
bestimmten Massenerscheinungen von
Stabilität,
die sie
grösserer
oder
einfach als Thatsachen annehmen
geringerer
muss, ohne
dass sie von ihrem S t a n d p u n k t über die U r s a c h e n derselben etwas
auszusagen hat.
S i e untersucht z. B . in einem L a n d e
N e u g e b o r e n e n im ersten Lebensjahre.
masse
der G e b o r e n e n einer
die Sterblichkeit der
S i e kann nun die G e s a m t ­
Zeitstrecke zerlegen
nach gewissen
U n t e r s c h e i d u n g s m e r k m a l e n , die mutmasslich einen Einfluss auf die
Sterblichkeit
ausüben, z. B . nach Geschlecht, ehelicher
und un­
ehelicher Geburt, Geburtsort, g ü n s t i g e oder u n g ü n s t i g e ökonomische
Lage
der E l t e r n u. s. w.; sie wird also
möglichst
gleichartige
G r u p p e n bilden u n d das Sterblichkeitsverhältnis in jeder derselben
bestimmen.
Je
weiter
die
Individualisierung
geführt
werden
kann, je h o m o g e n e r jede einzelne G r u p p e konstituiert ist, desto
besser; aber schliesslich muss die Statistik bei einem S y s t e m von
Gruppen
stehen bleiben, von
stellt; und
denen jede
noch eine M a s s e dar­
ihr letztes W o r t ist dann dieses, dass in einer
stimmten A b t e i l u n g der B e v ö l k e r u n g von
be­
ioooo
Neugeborenen
z. B . 2000 im ersten Lebensjahre gestorben sind.
N e b e n dieser
Thatsache
die
kann
sie in der R e g e l die fernere konstatieren, dass
aufeinander
folgenden
Jahresgenerationen
annähernd
das
g l e i c h e Sterblichkeitsverhältnis aufweisen.
E i n e weitere
der Statistik.
Z e r l e g u n g dieser T h a t s a c h e n ist nicht S a c h e
D i e Massenerscheinungen sind F o l g e n der Einzel­
fälle, bis zur U n t e r s u c h u n g der Einzelfälle aber kann die Statistik
nicht zurückgehen.
Daher
welche
die
ist
auch
die
höchste
Statistik ihren
Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Lexis,
B e v ö l k e r u n g s - u. M o r a l s t a t i s t i k .
Stoff
wissenschaftliche
fassen
Form,
in
kann, das S c h e m a der
Dieses aber ergiebt
sich lediglich
16
aus dem thatsächlichen Verhältnis, dass bei einer g e g e b e n e n A n ­
zahl von m ö g l i c h e n F ä l l e n eine g e g e b e n e Zahl v o n F ä l l e n
bestimmten
Art
kennt
numerisch
nur
vorkommt.
Die
einer
Wahrscheinlichkeitsrechnung
bestimmte
Anfangs-
und
Endzustände;
von den U r s a c h e n , die den E n d z u s t a n d aus dem A n f a n g s z u s t a n d
erzeugt haben, weiss sie ihrem W e s e n
diese U r s a c h e n und ihre W i r k u n g
nach nichts; denn wären
bekannt, so w ä r e
überhaupt
die A n w e n d u n g der W a h r s c h e i n l i c h k e i t s r e c h n u n g nicht mehr am
Platze.
Wenn
bei gewissen
E r ö r t e r u n g e n der W a h r s c h e i n l i c h ­
keitsrechnung von U r s a c h e n die R e d e ist, so verbindet
diesem W o r t e einen
und
gewöhnlichen:
g a n z anderen Begriff, als den
man versteht
eigentlichen
dann unter U r s a c h e eine B e ­
d i n g u n g , v o n der man annimmt, dass sie nicht mit
sondern
nur mit einer
gebene
Erscheinung
wird übrigens
bestimmten
nach
Gewissheit,
Wahrscheinlichkeit
zieht.
Diese
nur der Bequemlichkeit
wegen
könnte leicht vermieden
sich
man mit
eine
ge­
Ausdrucksweise
angewendet
und
werden.
7. D i e Statistik k a n n also nach dem eben G e s a g t e n als eine
formell
Stoff
abgegrenzte
mit
den
Wissenschaft
übrigen
behandelt
werden,
die
Sozialwissenschaften
gemein
hat,
ihren
ihre
E i g e n t ü m l i c h k e i t aber durch die B e s c h r ä n k u n g ihrer A u f f a s s u n g s ­
form erhält.
I h r höchster B e g r i f f ist das rein numerische
hältnis der mathematischen Wahrscheinlichkeit; und sie
rein naturwissenschaftlich
teten
Vorhandensein
induktiv, wenn
gewisser
sie
aus dem
Zahlenverhältnisse
Ver­
verfährt
beobach­
schliesst,
dass
auch in Z u k u n f t wahrscheinlich ähnliche Verhältnisse sich ergeben
werden.
Mit
den
Ursachen
der
möglichst
Massenerscheinungen, bei denen sie stehen
nicht
befassen,
weil
die
Zahlen,
mit
individualisierten
bleibt,
denen
sie
kann sie
allein
sich
operiert,
diese U r s a c h e n überhaupt nicht enthalten.
A b e r die statistische A u f f a s s u n g der sozialen E r s c h e i n u n g e n
ist k e i n e s w e g s
eine erschöpfende.
D i e Naturwissenschaft
erfahrungsmässigen
dem
Warum,
verliert nichts von ihrem m ö g l i c h e n
Erkenntnisstoffe,
sofern
diese nicht
wenn
den
sie
die
äusseren,
Frage
sondern
nach
den
inneren Z u s a m m e n h a n g der D i n g e betrifft, fallen lässt.
Ganz
anders
bei
den
unsere E r k e n n t n i s imstande,
zusammenhang
der
äusseren
sozialen
Wissenschaften:
unmittelbar in den inneren
Erscheinungen
hier
ist
Kausal­
einzudringen,
und
—
wir würden einen
—
2 3
4
wesentlichen Teil unseres
möglichen Wissens
opfern, w e n n wir die F r a g e nach diesem K a u s a l z u s a m m e n h a n g e
aufgeben wollten.
D i e B e a n t w o r t u n g dieser F r a g e führt uns hier
nicht mehr bloss zur Z e r l e g u n g der E r s c h e i n u n g e n in ebenfalls
äussere
G r u n d e r s c h e i n u n g e n , sondern
Gebiet
des äusseren
sie
führt uns
quantitativ bestimmten
über
das
S e i n s hinaus in ein
anderes, in dem wir für die E r f a h r u n g der K a u s a l i t ä t gewissermassen ein neues O r g a n erhalten.
D a s E l e m e n t der sozialwissenschaftlichen
E r s c h e i n u n g e n ist
das nach M o t i v e n handelnde menschliche I n d i v i d u u m .
K a u s a l i t ä t des menschlichen
F ü r die
Individuums aber, für die mensch­
lichen M o t i v e und deren W i r k u n g e n haben wir v e r m ö g e
eigenen
Bewusstseins
ein
unmittelbares Verständnis.
unseres
Die Frage
nach dem W a r u m erhält also den menschlich-sozialen E r s c h e i n u n g e n
g e g e n ü b e r eine g a n z andere T r a g w e i t e als in der Naturwissen­
schaft,
wo
ihre B e a n t w o r t u n g nur das logische V e r h ä l t n i s v o n
G r u n d und F o l g e aufklären kann.
sichtspunkt zu erkennen
W a s v o m statistischen G e ­
war, bleibt a u c h in dieser höheren
fassungsform der menschlichen D i n g e gewahrt.
Auf­
Höchstens könnte
man von den mehr der N a t u r o r d n u n g angehörenden E r g e b n i s s e n
der G e b u r t s - und Sterblichkeitsstatistik behaupten, dass sie
das
naturwissenschaftliche
können.
I n d e s ist
Schema
zu bemerken,
nicht als bloss physische, sondern
lichen
dass
hinausgeführt
über
werden
a u c h diese T h a t s a c h e n
als E r s c h e i n u n g e n des persön­
Menschenlebens in den Sozialwissenschaften
finden.
keit
nicht
ihren
Platz,
M i t voller Deutlichkeit aber zeigt sich die U n v o l l s t ä n d i g -
der bloss
statistischen
A u f f a s s u n g , wenn
wir die
mensch­
lichen H a n d l u n g e n u n d deren R e s u l t a t e ins A u g e fassen.
So
sind wir also
imstande,
die
menschlichen D i n g e
mit
R ü c k s i c h t auf die K a u s a l i t ä t und W e c h s e l w i r k u n g der sich
nach
ihrem
eigenen
Wesen
bestimmenden
Individuen
wissen­
schaftlich zu betrachten.
J e d o c h bezieht sich diese B e t r a c h t u n g nur auf das
Wirk­
liche, auf die menschlich motivierten H a n d l u n g e n , wie sie
sind,
nicht wie sie sein sollen.
D u r c h diese B e s c h r ä n k u n g des Gesichtspunktes erhalten wir
die A b g r e n z u n g eines zweiten K r e i s e s der
Sozialwissenschaften.
E r schliesst äusserlich wieder den ganzen Inhalt des sozialen L e b e n s
nach seiner wissenschaftlichen, staatlichen, moralischen S e i t e
16*
ein,
—
erhält
244
—
aber seine relative Selbständigkeit
durch
die
besondere
A r t der A u f f a s s u n g dieses Erkenntnisstoffes.
8.
Am
ausgebildet
vollständigsten
für die
ist
diese
Erscheinungen
Behandlungsform
des wirtschaftlichen
bisher
Lebens.
I n der Volkswirtschaftslehre in ihrer heutigen Gestalt betrachten
wir die Massenerscheinungen,
gebenen
Rechtszustandes
welche
Bedürfnisse hat und auf möglichst
gung
zu erreichen
auf dem B o d e n eines g e ­
dadurch entstehen,
sucht.
dass
D i e M o t i v i e r u n g des
H a n d e l n s der M e n s c h e n ist,
wenn
der
Mensch
leichte W e i s e deren Befriedi­
wirtschaftlichen
auch nicht konkret in jedem
Einzelfalle, so doch ihrem allgemeinen W e s e n und Charakter nach
unserer E r k e n n t n i s durch psychologische B e o b a c h t u n g z u g ä n g l i c h .
W i r können mit g e n ü g e n d e r Sicherheit behaupten,
dass gewisse
M o t i v e mit grosser A l l g e m e i n h e i t wirken und daher a u c h die E r ­
gebnisse
der
werden.
Z u diesen durchschlagenden M o t i v e n gehört
Massenbeobachtungen
vorzugsweise
beeinflussen
vor allem
der wirtschaftliche E i g e n n u t z , die das Individuum leitenden M a x i m e ,
möglichst vollständige B e f r i e d i g u n g seiner Bedürfnisse g e g e n eine
möglichst
geringe
schaftslehre
muss
G e g e n l e i s t u n g zu
Die
Volkswirt­
diese Triebkraft als ein wirklich vorhandenes
E l e m e n t hinnehmen, wie
untersuchen.
erlangen.
sie ist und ihre W i r k u n g nach aussen
V i e l e g l a u b e n sogar, dass jener F a k t o r das einzige
Grundprinzip liefere, von dem aus die Wissenschaft imstande sei,
a u f deduktivem
Wirklichkeit
Wege
alle
zu erklären.
wirtschaftlichen
Dieses
q u e m und überdies bestechend
scheinbare
mathematische
Erscheinungen
Verfahren ist
durch die
Strenge
allerdings
Durchsichtigkeit
seiner E n t w i c k e l u n g .
der
be­
und
Aber
vergleicht man die Sätze, zu denen es führt, mit e x a k t e n R e s u l ­
taten, der E r f a h r u n g ,
oder versucht man auf G r u n d jener S ä t z e
eine V o r a u s s a g u n g über den
A u s g a n g eines vorliegenden
wirt­
schaftlichen Prozesses, so wird sich in sehr vielen F ä l l e n heraus­
stellen, dass die lebendige
M a n n i g f a l t i g k e i t des
deduzierte
Fachwerk
Abstraktionen
schwemmt.
Selbst
von
wenn
W i r k l i c h e n das
überflutet
und
weg­
der wirtschaftliche E g o i s m u s in
allen
Individuen in der F o r m der rationellen Privatpolitik eines G r o s s ­
händlers
oder
Banquiers wirksam
wäre,
so
würden
abstrakte
V o r a u s s a g u n g e n über eine bestimmte wirtschaftliche E n t w i c k e l u n g
i m m e r höchst
problematisch bleiben,
weil sie die positive
Ver-
—
teilung
der wirtschaftlichen
2 5
4
—
M a c h t unter
die Individuen,
deren
Interessen sich bekämpfen, nicht berücksichtigen können.
Aber
der E g o i s m u s der grossen
M a s s e ist überhaupt ein
anderer als der des rationellen Grosshändlers.
D e r letztere ist bis
zu einem gewissen G r a d e berechenbar, in dem ersteren aber steckt
ein starker irrationeller R e s t , bedingt durch Indolenz, G e w o h n h e i t ,
Vorurteil,
der als wesentlicher
F a k t o r zur G e s t a l t u n g der wirt­
schaftlichen Gesamtverhältnisse mitwirkt; aber a u c h idealere M o ­
tive greifen thatsächlich in das Getriebe des wirtschaftlichen E i g e n ­
nutzes ein, um die Ricardo'schen Zirkel zu stören.
9. W e n n also die Volkswirtschaftslehre die volle W i r k l i c h ­
keit der wirtschaftlichen E r s c h e i n u n g e n erfassen soll, so muss sie
die Gesamtheit der M o t i v e berücksichtigen, die auf jene E r s c h e i ­
nungen einen erheblichen Einfluss üben. Diese U n t e r s u c h u n g aber
muss nicht nur an ihrem A u s g a n g s p u n k t e , sondern a u c h auf ihrem
ganzen W e g e eine erfahrungsmässige sein.
Es
gilt zu erforschen,
idealen
welche K o m b i n a t i o n von rationellen,
irrationellen
und
schaftlichen
L e b e n s der verschiedenen
Zeiten m a s s g e b e n d sind.
auf
auch
allgemeine
M o t i v e n für die G e s t a l t u n g des wirt­
psychologische
R ü c k s i c h t zu
V ö l k e r zu
verschiedenen
Diese U n t e r s u c h u n g hat sich nicht nur
nehmen
E r f a h r u n g e n zu stützen,
auf die
konkreten
sondern
Charaktere der
V ö l k e r , auf die in ihnen vorherrschenden S t r ö m u n g e n des D e n k e n s
und E m p f i n d e n s , ferner auf die Organisation des gesellschaftlichen
und staatlichen K ö r p e r s , auf die V e r t e i l u n g der
M a c h t u. s. w.
wirtschaftlichen
A l l e diese M o m e n t e sind in B e z i e h u n g zu setzen
zu den unmittelbar hervortretenden wirtschaftlichen E r s c h e i n u n g e n ,
die
ihrerseits
in ihrem V e r l a u f
und ihren R e s u l t a t e n
e x a k t und zahlenmässig zu beobachten sind.
möglichst
S o wird man sich
durch B e o b a c h t u n g eines gleichartigen Prozesses unter verschie­
denen B e d i n g u n g e n und E i n w i r k u n g e n ein U r t e i l bilden k ö n n e n
über das relative G e w i c h t der kombiniert wirkenden M o t i v e und
Einflüsse;
m a n wird entscheiden können,
wie fern einzelne der­
selben von überwiegender S t ä r k e sind, und wie weit ihre W i r k ­
samkeit
und
aber
durch das Vorhandensein anderer F a k t o r e n
gestört wird.
sicher
Kurz,
man
zu einer erfahrungsmässigen
K a u s a l z u s a m m e n h a n g s der
modifiziert
wird auf diesem W e g e
K e n n t n i s des
mühsam
inneren
volkswirtschaftlichen T h a t s a c h e n
ge­
langen, die es m ö g l i c h machen wird, mehr oder w e n i g e r allge-
mein g ü l t i g e S ä t z e nicht nur aufzustellen, sondern auch erfahrungsm ä s s i g zu beweisen.
Offenbar
fällt dieses Verfahren mit der naturwissenschaft­
lichen M e t h o d e insofern zusammen, als es von der naturwissen­
schaftlichen
Grundlage
der Sozialwissenschaften,
der Statistik
ausgeht u n d a u c h in seinem ferneren V e r l a u f e die objektive B e ­
trachtung
der E r s c h e i n u n g e n beibehält.
A b e r in seinem
Ziele
überschreitet es die G r e n z e n der naturwissenschaftlich-statistischen
A u f f a s s u n g , indem es nicht bei der Feststellung der äusseren B e ­
ziehungen
der E r s c h e i n u n g e n stehen
bleibt, sondern
die innere
V e r b i n d u n g derselben durch menschliche K a u s a l i t ä t u n d W e c h s e l ­
w i r k u n g erklärt, für die uns unser eigenes Bewusstsein ein un­
mittelbares Verständnis ermöglicht.
D i e letzten Schlüsse der W i s s e n s c h a f t sind daher bei diesem
Verfahren nicht bloss Induktionsschlüsse aus äusseren E r f a h r u n g s thatsachen.
W e n n z. B . die Volkswirtschaftslehre sich berechtigt
glaubt, die W i e d e r h o l u n g einer Massenerscheinung in der Zukunft
vorauszusagen, so stützt sie sich nicht einfach auf das F a k t u m ,
dass diese E r s c h e i n u n g vorher in einer bestimmten W e i s e statt­
gefunden hat, sondern sie beruft sich auf die Wahrscheinlichkeit,
dass
die Gesamtheit der menschlichen
scheinung
bedingen,
werde.
S i e schliesst
bleiben,
wird sich
M o t i v e , welche
auch in der Zukunft
gleichmässig
die E r ­
wirken
also: weil die wirkenden M o t i v e dieselben
die äussere E r s c h e i n u n g wiederholen
— ein
Schluss, der offenbar v o n der naturwissenschaftlichen Induktion
wesentlich verschieden ist.
i o . D a h e r sind denn a u c h die allgemeinen S ä t z e , zu denen
die Volkswirtschaftslehre g e l a n g t , keineswegs naturwissenschaftlich
aufzufassen.
Selbst w e n n
sie sich auf mathematische F o r m e l n
bringen Hessen, so würden diese F o r m e l n die unsere K e n n t n i s s e
abschliessende
besitzen;
B e d e u t u n g v o n sogenannten
sie würden
Naturgesetzen
nicht
nicht als letzte thatsächliche N o r m e n der
E r s c h e i n u n g e n anzusehen sein, sondern nur als P r o d u k t e der realen
U r s a c h e n , die wir in den menschlichen M o t i v e n u n d ihren W e c h s e l ­
wirkungen
erkennen.
E i n menschliches
H a n d e l n , das nicht auf
ein individuelles M o t i v zurückgeführt werden kann, gehört nicht
mehr in das G e b i e t der Sozial Wissenschaften, sondern in das der
Pathologie.
D i e M o t i v e m ö g e n g u t oder böse, thöricht oder k l u g ,
klar bewusst oder instinktiv sein, sie müssen jedenfalls in normal­
menschlicher W e i s e als V o r s t e l l u n g e n das W o l l e n und H a n d e l n
des
und
auf
Individuums bestimmen.
namentlich
den
W i e auch die äusseren
die W i r k u n g der gesellschaftlichen
Einzelnen
beschaffen
Einflüsse
Gesamtheit
sein m ö g e n , das R e s u l t a t
dieser
E i n w i r k u n g e n tritt im Individuum immer in der F o r m von M o t i v e n
auf, die als solche beobachtet
werden
können oder
wenigstens
begreiflich sind.
D i e naturgesetzliche, gewissermassen physikalische A u f f a s s u n g
der Volkswirtschaftslehre hat indes bei ihrer Einseitigkeit w e n i g ­
stens eine e x a k t e Tendenz.
Dasselbe aber k a n n man nicht sagen
v o n dem Spielen mit naturwissenschaftlichen A n a l o g i e n , wie es z. B .
Carey
sie
liebt.
hingehen;
Sollen diese A n a l o g i e n nur Bilder sein, so m ö g e n
g l a u b t man aber dadurch der Wissenschaft
eine
ernstliche F ö r d e r u n g zu bringen, so b e g e h t man eine V e r m i s c h u n g
der K a t e g o r i e n im u m g e k e h r t e n Sinne, wie es die A l t e n gethan
haben.
M a n fasst den motiviert handelnden M e n s c h e n auf nach
der S c h a b l o n e der bloss äusserlich erkannten Naturerscheinungen,
während
die
Alten
umgekehrt
den
subjektiven
Formen
des
menschlichen D e n k e n s eine reale B e d e u t u n g für die N a t u r zu­
schrieben.
D a s s jene A n a l o g i e n sich ziemlich weit ausspinnen lassen,
f o l g t aus ihrer abstrakten N a t u r .
M a n fasst z. B . die V e r ä n d e ­
r u n g unter dem Bilde der B e w e g u n g
auf, bezeichnet
sociale E r s c h e i n u n g e n als A n z i e h u n g , A b s t o s s u n g u. s. w.
gewisse
Sofern
nun diese Bilder gewisse abstrakte M e r k m a l e mit den wirklichen
Erscheinungen
gemein
h a b e n , werden
auch ihre V e r b i n d u n g e n
wieder eine A n a l o g i e mit den entsprechenden V e r b i n d u n g e n der
E r s c h e i n u n g e n aufweisen.
D e r soeben
betrachtete K r e i s der Sozialwissenschaften
hat
a l s höchsten B e g r i f f von realer B e d e u t u n g das individuelle Motiv,
w i e es in der W i r k l i c h k e i t in der gesellschaftlichen W e c h s e l w i r k u n g
auftritt.
D a s I n d i v i d u u m erscheint als frei, sofern es sein H a n d e l n
durch seine eigenen
M o t i v e bestimmt; aber diese M o t i v e selbst
werden auf die mannigfaltigste A r t bedingt und beeinflusst.
Die
Wissenschaft in der oben erörterten
von
diesen
B e s c h r ä n k u n g erfasst
die M o t i v e erzeugenden Einflüssen nur das Resultat, um
daraus die W i r k l i c h k e i t zu erklären.
Nun
aber steht
wirklichen
sittlichen
über dem
M o t i v der Begriff
Motivs.
wirklichen M e n s c h e n und
des sittlichen
A l s sittliche
Wesen
dem
M e n s c h e n und
kennen
des
wir unmittelbar
das G e s e t z der M o t i v e , dem sie sich in der W i r k l i c h k e i t fügen
sollen.
H i e r zum ersten M a l e stossen wir auf den Begriff des
Gesetzes,
nicht
als einer A u f f a s s u n g s f o r m des Thatsächlichen
in R a u m und Zeit, sondern als einer R e a l i t ä t in unserem sittlichen
Bewusstsein.
H i e r auch finden wir den Begriff eines Z w e c k e s , den wir
nicht äusserlich in die E r s c h e i n u n g e n hineintragen, sondern der
der
inneren
Entwickelung
der
menschlichen
D i n g e ein
reales
E n d z i e l setzt, und hier erkennen wir als Z w e c k des Gesetzes die
V e r w i r k l i c h u n g einer höheren sittlichen W e l t o r d n u n g .
D i e soziale W i r k l i c h k e i t hebt sich also a b auf einem idealen
H i n t e r g r u n d e , auf dem wir sie wissenschaftlich erfahren k ö n n e n ,
indem
wir über das R e i c h der empirischen
hinausgehen
nehmen.
und die teleologisch-sittlichen
Sozialwissenschaften
K a t e g o r i e n zu H ü l f e
A u f diesem neuen u n d höchsten G e s i c h t s p u n k t e können
wir uns zunächst den sozialen E r s c h e i n u n g e n g e g e n ü b e r k r i t i s c h
verhalten,
d. h. wir
können
sie
lobend
und tadelnd
beurteilen
nach M a s s g a b e der Prinzipien, die uns von der philosophischen
R e c h t s l e h r e und E t h i k
geliefert w e r d e n ; wir können ferner mit
praktischer A b s i c h t auftreten
und nach den Mitteln suchen, um
die W i r k l i c h k e i t jenen Prinzipien g e m ä s s zu verbessern.
I i . A b e r wir können uns auch auf einen objektiv-erfahrungsmässigen S t a n d p u n k t stellen und eine besondere
Untersuchung
Wirklichkeit
darüber
das Sein
unternehmen,
zum
Sollen
wie
wissenschaftliche
sich
verhält.
in
Die
der
sozialen
menschlichen
M o t i v e entstehen aus einem K o n f l i k t des naturalistischen E g o i s m u s
mit dem sittlichen Gesetze.
W e l c h e s ist nun in einer
gegebenen
Gesellschaft die thatsächlich erkennbare relative M a c h t dieser sich
bekämpfenden
Wage,
Faktoren?
W i e bewegt
sich
das
Z ü n g l e i n der
die G u t e s und Böses in den Massenerscheinungen m i s s t ?
Ist es wunderbar und mit der sittlichen Freiheit des M e n s c h e n
unverträglich, w e n n
wir finden, dass der A u s s c h l a g der W a g e
fast konstant
oder
bleibt
nur in l a n g s a m e r
S c h w a n k u n g sich
ändert.
E i n e solche relative K o n s t a n z in den M a s s e n e r s c h e i n u n g e n ,
welche aus dem K a m p f e der egoistischen und der sittlichen E l e -
—
mente
für
249
—
der menschlichen M o t i v e hervorgehen, ist die B e d i n g u n g
die
Möglichkeit,
eine
besondere
schaft mit der oben angedeuteten
Wissenschaft,
die
man
etwa
soziale E r f a h r u n g s w i s s e n ­
Aufgabe
als
zu b e g r ü n d e n ,
empirische
eine
Sozialethik
be­
zeichnen kann.
S o unvollständig
und
mangelhaft unsere bisherigen
r u n g e n auf diesem G e b i e t e auch noch sein m ö g e n , so
sie doch schon
zur G e n ü g e ,
wissen U m f a n g e erfüllt ist.
Stabilität in den
Erfah­
beweisen
dass jene B e d i n g u n g in einem g e ­
E s giebt unzweifelhaft eine gewisse
Massenergebnissen
des gleichzeitigen
der egoistischen und der sittlichen K r ä f t e .
Wirkens
Die Erfahrungsresul­
tate dieser A r t lassen eine E r k l ä r u n g a priori nicht zu, da sie durch
die e m p i r i s c h e
N a t u r des M e n s c h e n bedingt
werden; sie
sind
vielmehr ihrerseits zu benutzen, um über die empirische M e n s c h e n ­
natur und deren thatsächliche Beschränktheit A u f s c h l u s s zu geben.
Die
Frage,
ob der M e n s c h volle moralische Willensfreiheit
be­
sitzt, d. h. ob er virtuell die K r a f t besitzt, unter allen U m s t ä n d e n
dem G e b o t e des Sittengesetzes zu folgen, können
seite lassen;
thatsächlich steht
der aktuell werdenden
sittlichen
d u u m s ein
ist; und
begrenztes
es uns auch nicht wunder
Massenresultaten
fest,
dass
wir hier bei­
das Durchschnittsmass
K r a f t des
menschlichen Indivi­
wenn wir dies zugeben, so darf
nehmen,
wenn
wir in den konkreten
dieser Durchschnittskraft und der sie beschrän­
kenden egoistischen
G e g e n k r a f t dieselbe Stetigkeit wahrnehmen,
wie sie überhaupt in den Massenerscheinungen der
menschlichen
Gesellschaft hervortritt.
1 2 . D i e empirische Sozialethik wird sich freilich immer darauf
beschränken
sittlichen
müssen, diese M e s s u n g des
und
versuchen
egoistischen
E l e m e n t e an
relativen G e w i c h t s der
einzelnen
Punkten
zu
und zwar wird sie sich dabei auf äussere, mehr oder
w e n i g e r unsichere Indicien angewiesen sehen.
ihr zunächst
ein
mehr
D i e Statistik liefert
und mehr anwachsendes
Beobachtungs­
material über menschliche H a n d l u n g e n , die durch das Strafgesetz
oder durch die öffentliche M o r a l als schlecht und unsittlich charak­
terisiert sind.
S i e liefert
aber a u c h D a t e n über andere M a s s e n ­
erscheinungen auf dem intellektuellen, wirtschaftlichen und sozialen
Gebiete, denen
pirische
eine sittliche Bedeutsamkeit zukommt.
Sozialethik
fasst
diesen
statistischen
Stoff
Die em­
unter
ihren.
spezifischen Gesichtspunkt und sucht durch A n a l y s e zu Schlüssen
über das V e r h ä l t n i s der moralischen K r ä f t e zu g e l a n g e n , die jenen
Massenerscheinungen zu G r u n d e liegen.
S i e wird bei ihrer U n t e r ­
s u c h u n g vergleichend verfahren, indem sie
n u n g e n unter verschiedenen physischen,
gleichartige E r s c h e i ­
staatlichen
und
sozialen
U m g e b u n g e n betrachtet, um ein U r t e i l über die spezifische
kung
besonderer
F a k t o r e n zu
erlangen.
Sie
wird
Wir­
feststellen,
welche K o m b i n a t i o n von erreichbaren E r f a h r u n g s d a t e n den sozial­
ethischen
unter
G e s a m t z u s t a n d eines
gegebenen
Umständen
Volkes
oder
möglichst
einer
Gesellschaft
vollständig
charakteri­
siert, u n d mit H ü l f e dieser Kriteriensysteme wird sie imstande
sein, die E v o l u t i o n e n des sittlichen L e b e n s der V ö l k e r annähernd
e x a k t zu verfolgen.
S o wird die empirische Sozialethik den g e ­
wichtigsten B e i t r a g liefern
Frage,
zu der L ö s u n g der
verhängnisvollen
wie sich die sittliche E n t w i c k e l u n g der
Menschheit in­
mitten des unzweifelhaften Fortschrittes auf dem materiellen und
intellektuellen G e b i e t e verhält.
Völlige
U n t e r w e r f u n g unter die beobachteten Thatsachen,
grösste Objektivität in der A n w e n d u n g der sittlichen K a t e g o r i e n
mit A b w e h r aller optimistischen oder pessimistischen
sind
unbedingte
Erfordernisse, wenn
sich
vor I r r g ä n g e n bewahren
soll.
Tendenzen
die empirische Sozialethik
Die
naturwissenschaftliche
M e t h o d e leitet sie auf ihrem W e g e durch das Thatsächliche, aber
die spezifische
jenseits
eigene T h ä t i g k e i t dieser W i s s e n s c h a f t
Hegt weit
der G r e n z e n der naturwissenschaftlich-statistischen
fassung der menschlichen
Dinge.
Auf­
A l l e r d i n g s finden wir nume­
rische R e g e l m ä s s i g k e i t e n , die den R e s u l t a t e n jener F o r s c h u n g e n
einen naturwissenschaftlichen
nicht
die
Berechtigung
Schlusses.
S c h e i n verleihen, aber daraus folgt
eines
naturwissenschaftlich
induktiven
E i n solcher würde lauten: weil in einer grossen A n ­
zahl von B e o b a c h t u n g e n gewisse sittlich bedeutsame,
unsittliche E r s c h e i n u n g e n in einem
insbesondere
gewissen Verhältnis v o r g e ­
k o m m e n sind, nehmen wir an, dass dasselbe V e r h ä l t n i s sich auch
fernerhin herausstellen wird.
Die
beobachtete
Sozialethik
aber
bleibt
nicht
bei
dieser
äusseren B e z i e h u n g der T h a t s a c h e n stehen; sie ist imstande,
in
die Genesis der ethischen E r s c h e i n u n g e n einzudringen und weiss
daher,
nungen
dass
die
numerischen R e g e l m ä s s i g k e i t e n
nicht beherrschen, sondern ihrerseits
diese E r s c h e i ­
durch die sittliche
Konstitution der menschlichen Gesellschaft bedingt werden.
Auch
unter dem scheinbar glatten S p i e g e l der g l e i c h m ä s s i g verlaufenden
moralstatistischen Massenerscheinungen wirkt der immer neu
er­
wachende D r a n g eines Sein-Sollens, das nicht ist, u n d w e n n a u c h
das Zahlenverhältnis der S i e g e des E g o i s m u s über die
K r a f t in der Gesamtheit sich
sittliche
noch so l a n g e constant erhält,
so
erheben wir immer von neuem
die F o r d e r u n g , dass dieses V e r ­
hältnis in der Zukunft
so .bleiben,
nicht
sondern
anders
besser werden soll, und es bleibt die allen g e m e i n s a m e
zur E r f ü l l u n g dieser F o r d e r u n g mitzuwirken.
und
Aufgabe,
Anhang.
A b g e k ü r z t e Tabelle der F u n k t i o n F „
.
/ e
dt.
inj
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u
Fu
11
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0,00
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0,04
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0,06
0,07
0,08
0.09
0,000
0,011
0,023
0,034
0,045
0,056
0,068
0,079
0,090
0,101
0,30
0,31
0,32
o<33
0-34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,329
0,339
0,349
0,359
0,369
0.379
0.389
0,399
0,409
0,419
0,60
0,61
0.62
0.63
0,64
0,65
0.66
0,67
0,68
0,69
0,604
0,612
0,619
0,627
0,635
0,642
0,649
0,657
0,664
0,671
0.10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,112
0,124
0,135
0,146
0,157
0,168
0.179
0,190
0.201
0,212
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,428
0,438
0,447
0,457
0,466
0,475
0.485
0,494
0,503
0,512
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,678
0,685
0,691
0,698
0,705
0,711
0,718
0,724
0,73c0,736
0,20
0,21
0,22
0.23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,223
0,234
0,244
0,255
0,266
0,276
0,287
0,297
0,308
0,318
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,521
0,529
0.538
0.546
0,555
0,563
0,572
0,580
0,588
0,596
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,741
0,748
0,754
0,760
0,765
0,771
0,776
0,781
0,787
0,792
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0,851
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0,859
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0,866
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0,877
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,39
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o,936
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0,940
0,942
0,880
0,884
0,887
0,890
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,41
42
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•44
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,49
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o,954
0,955
0,957
0,958
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0,961
0,962
0,964
0,965
0,893
0,896
0,899
0,902
0,905
0,908
,27
,28
,29
0,910
0,913
0,916
0,918
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0,923
0,925
0,928
0,930
0.932
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0,946
0,947
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0,966
0,967
0,968
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,74
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1
Buchdruokerel v. Ant. Kämpfe, Jena.
1
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