Gegenseitige Induktion

GUG
induktion
07.05.01
Gegenseitige Induktion:
Zwei Leiteranordnungen, die sich gegenseitig über ihre Magnetfelder beeinflussen nennt
man magnetisch gekoppelt. Durch die Kopplung (coupling) kann ein Strom in der einen
Anordnung, eine Spannung in der jeweils anderen induzieren. Diesen Vorgang nennt man
gegenseitige Induktion (mutal induction), er ist ein Sonderfall der Fremdinduktion.
Wir betrachten zwei gekoppelte Spulen in Luft und tragen wie üblich Bezugspfeile für
Strom, Spannung und magn. Fluß in die Schaltung ein. Wir lassen die Klemmen der
Spule 2 offen und nehmen einen sich zeitlich ändernden Strom i1 in Spule 1 an.
Dieser erzeugt insgesamt den Fluß φ11, dessen Teilfluß φ21 auch Spule 2 durchsetzt.
Die Doppelindizierung ist wie folgt zu verstehen:
1.
2.
Index: Ort der Wirkung
Index: Ort der Erzeugung
Da nicht sämtliche Windungen der Spulen N1 und N2 vom selben Fluß durchsetzt werden
müssen wir für die Spannungsinduktion mit den verketteten Flüssen Ψm11 und Ψm21
rechnen.
In Spule 1 entsteht am ohmschen Widerstand ein Spannungsabfall uR1 sowie eine
Selbstinduktionsspannung uL1:
u1 = u R1 + u L1 = i1 ⋅ R1 +
dΨm11
dt
In Spule 2 entsteht durch Fremdinduktion eine Spannung
u2 =
dΨm21
dt
Betrachten wir nun umgekehrt den Fall, daß ein Strom i2 in Spule 2 den Fluß φ22 erzeugt,
der mit seinem Teilfluß φ12 auch Spule 1 durchsetzt. Dabei sind die Klemmen der Spule 1
offen. Es ergeben sich analog die Gleichungen:
u 2 = u R 2 + u L 2 = i 2 ⋅ R2 +
u1 =
dΨm12
dt
dΨm 22
dt
Fließen in beiden Spulen Ströme, so ergibt sich ein gemeinsames magnetisches Feld mit
dem beide Spulen verkettet sind.
Wolfgang BIDMON, Franz MAILER
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u 2 = i 2 ⋅ R2 +
mit
dΨm2
dt
u1 = i1 ⋅ R1 +
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dΨm1
dt
Ψm1 = Ψm11 + Ψm12
Ψm 2 = Ψm 21 + Ψm 21
wobei zu beachten ist, daß der Zusammenhang B = f(H) linear sein muß um die
verketteten Flüsse einfach miteinander addieren zu können.
Für praktische Rechnungen ist der Rechenweg über die verketteten Flüsse zu
umständlich. Man definiert daher analog zu den Induktivitäten
L1 =
Ψm11
Ψ
bzw. L2 = m 22
I1
I2
die gegenseitige Induktivität (coefficient of mutal inductance), die früher auch
Gegeninduktivität genannt wurde:
L12 =
Ψm12
Ψ
bzw. L21 = m 21
I2
I1
Die gegenseitige Induktivität zweier Leiteranordnungen ist ein Maß für die Stärke des
verketteten Flusses aufgrund eines Gleichstromes in der jeweils anderen Leiteranordnung.
Die gegenseitigen Induktivitäten L12 und L21 sind nur für linear wirkende Feldmedien
definiert und haben stets gleiche Werte.
L12 = L21
Im Gegensatz zur stets positiven Selbstinduktivität kann die gegenseitige Induktivität
auch einen negativen Wert haben. Ihr Vorzeichen wird durch die Wahl des Bezugssinns
für den Fluß an jeder der beiden Spulen bestimmt.
Wählt man den Bezugssinn wie in Abbildung a) ,so ergibt sich eine positive Stromstärke in
der einen Spule, einen positiven verketteten Fluß in dieser und auch in der anderen. Wir
nennen diesen Fall gleichsinnige Kopplung:
L21 =
Ψm 21
Ψ
> 0 L12 = m12 > 0
I1
I2
Wählt man dagegen den Bezugssinn wie in Abbildung b), so ergibt sich eine positive
Stromstärke in der einen Spule, in dieser einen positiven, in der anderen Spule jedoch
einen negativen verketteten Fluß. Wir nennen diesen Fall gegensinnige Kopplung.
Wolfgang BIDMON, Franz MAILER
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Ist in zwei Spulen der Strombezugspfeil zu den Wicklungspunkten gleich, so ergibt sich eine
gleichsinnige Kopplung (L12>0), im anderen Fall eine gegensinnige Kopplung (L12<0)
Der Punkt im Schaltzeichen zweier gekoppelter Spulen gibt die Enden mit gleichen Augenblickswerten an.
Die verketteten Flüsse zweier gekoppelter Spulen bzw. Leiteranordnungen können mit den
Induktivitäten und den gegenseitigen Induktivitäten auf einfache Weise durch die Ströme
ausgedrückt werden.
Ψm1 = Ψm11 + Ψm12 =L1⋅I1+L12⋅I2
Ψm 2 = Ψm 21 + Ψm 21 =L2⋅I2+L21⋅I1
Für zeitabhängige Ströme ergeben sich damit die Klemmspannungen:
dΨm1
di
di
= i1 ⋅ R1 + L1 1 + L12 2
dt
dt
dt
dΨm 2
di 2
di
u 2 = u R 2 + u L 2 = i 2 ⋅ R2 +
= i 2 ⋅ R 2 + L2
+ L21 1
dt
dt
dt
di2
di1
Die Spannungen L12
und L21
bezeichnet man als gegeninduktive Spannungen.
dt
dt
u1 = u R1 + u L1 = i1 ⋅ R1 +
Zu den obigen Gleichungen können wir eine Ersatzschaltung für die beiden gekoppelten
Spulen (allgemein: Leiteranordnung) angeben.
Dabei werden die durch die Gegeninduktion erzeugten Spannungen durch
stromgesteuerte Spannungsquellen ersetzt. Stromgesteuert durch den Strom der jeweils
anderen Spule.
Wolfgang BIDMON, Franz MAILER
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Praxisbezug zur magnetischen Kopplung:
In Fernsprechleitungen bildet jede aus Hin- und Rückleitung bestehende
Übertragungsstrecke eine sogenannte Doppelader; aus jeweils zwei Doppeladern wird ein
Vierer aufgebaut. Aus fünf Vierern wird ein Grundbündel und aus fünf Grundbündeln ein
Hauptbündel gebildet, das demnach aus 100 Adern besteht.
Durch das gemeinsame magnetische bzw. elektrische Feld zweier Doppeladern im Vierer
ergibt sich eine induktive bzw. kapazitive Kopplung. Sie erzeugt Störungen im
Fernsprechverkehr, die man als Nebensprechen bezeichnet. Es gibt zwei Möglichkeiten, dies
zu vermeiden:
Beim Stern-Vierer bilden die Adern möglichst genau die Eckpunkte des Quadrats. Die
gegenseitige Induktivität der Doppeladern ist hierbei annähernd Null, weil der
magnetische Fluß einer Doppelader die Leiterebene der jeweils anderen nicht durchsetzt.
Beim Dieselhorst-Martin-Vierer (DM-Vierer) werden zunächst die Adern mit
unterschiedlichen Schlägen verdrillt, danach zusätzlich die Doppeladern. Hierdurch heben
sich die Kopplungen im statistischen Mittel fast ganz auf.
Wolfgang BIDMON, Franz MAILER
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