An welche Stichwörter von der letzten Vorlesung können Sie sich

An welche Stichwörter von der letzten Vorlesung
können Sie sich noch erinnern?
Elektrische Feldlinien
E=
Das elektrische Feld einer Punktladung
Das Feld eines elektrischen Dipols
E=
p
q
4πε 0 r 2
1
2πε 0 z 3
Elektrische Felder von Ladungsverteilungen
Verhalten einer Punktladung in einem elektrischen Feld
  
τ= p × E
Messung der Elementarladung
Verhalten eines Dipols in einem elektrischen Feld
Potenzielle Energie des Systems
 
F = Eq
U (θ ) = − pE cos θ
U f = −W∞
1
21.2 Elektrisches Potenzial
Die potenzielle Energie eines geladenen Teilchens in einem elektrischen Feld hängt
f
f
f
 
 
 
vom Betrag seiner Ladung ab.
∆U =
− ∫ Fds =
− ∫ qEds =
− q ∫ Eds
i
i
Die potenzielle Energie pro Einheitsladung
dagegeni hat einen eindeutig
festgelegten
Wert in jedem Punkt des elektrischen Felds.
Man bezeichnet die potenzielle Energie pro Einheitsladung in einem Punkt
U
V
=
eines elektrischen Felds als das elektrische Potenzial V (oder einfach das
q
Potenzial) in diesem Punkt.
Die elektrische Potenzialdifferenz ∆V zwischen zwei
beliebigen Punkten i und f in einem elektrischen Feld ist
gegeben durch die Differenz der Werte der potenziellen
Energie pro Einheitsladung zwischen den beiden Punkten:
∆U
W
∆V =
V f − Vi = =−
q
q
Setzen wir als Referenzwert der potenziellen Energie im Unendlichen Ui
W
= 0, so muss das elektrische Potenzial im Unendlichen ebenfalls null sein.
V= − ∞
Ist diese Referenz festgelegt, so kann man das elektrische Potenzial V in
q
einem beliebigen Punkt eines elektrischen Felds definieren als:
Dabei bezeichnet W∞. die Arbeit, die das elektrische Feld an einem geladenen Teilchen
verrichtet, welches aus dem Unendlichen an den Punkt f gebracht wird (wenn umgekehrt
- vom Punkt Richtung des Unendlichen – haben wir ein Plus in der Gleichung)
Die SI-Einheit des Potenzials ist Joule pro Coulomb (J/C) oder das Volt.
Entsprechend kann man die Einheit für die Stärke des elektrischen Felds E definieren:
1=
N C 1( J =
m ) C 1=
J Cm 1V m
Eine wichtige Energieeinheit im atomaren und subatomaren Bereich:
Ein Elektronenvolt (eV) ist definiert als die Arbeit, die erforderlich ist, um eine einzelne
Elementarladung e (zB. ein Proton) - durch eine Potenzialdifferenz von einem Volt zu
bewegen.
1eV =
1.6 × 10−19 C × 1V =
1.6 × 10−19 C × 1 J C =
1.6 × 10−19 J
21.3 Äquipotenzialflächen
Eine Gesamtheit von Raumpunkten mit dem
gleichen elektrischen Potenzial bildet eine
Äquipotenzialfläche. Ein elektrisches Feld verrichtet
an einem geladenen Teilchen, das sich zwischen
zwei Punkten i und f auf einer Äquipotenzialfläche
bewegt, keine Arbeit W.
W
V f − Vi =
−
q
Da die vom Feld verrichtete Arbeit, und damit auch die potenzielle Energie und das
Potenzial, vom Weg unabhängig sind, gilt W = 0 für jeden beliebigen Weg, der die
Punkte i und f miteinander verbindet, und dies unabhängig davon, ob der ausgewählte
Weg vollständig auf einer Äquipotenzialfläche hegt.
Aus Gründen der Symmetrie sind die Äquipotenzialflächen der elektrischen Felder einer
Punktladung Scharen konzentrischer Kugeln. Die Äquipotenzialflächen eines homogenen
elektrischen Felds bilden eine Schar von Ebenen senkrecht zu den Feldlinien.
Generell sind die Äquipotenzialflächen eines elektrischen Felds
in jedem Punkt senkrecht zu
den Feldlinien und damit auch
senkrecht zum Feldvektor E,
der stets tangential an den
Feldlinien liegt.
21.4 Berechnung des Potenzials aus dem Feld
Betrachten wir ein beliebiges elektrisches Feld, sowie eine
positive Probeladung q0, die sich auf dem eingezeichneten Weg
vom Punkt i zum Punkt f bewegt. In jedem Punkt des Weges
wirkt eine elektrostatische Kraft q0E auf die Ladung, während
sie sich um eine differenzielle Verschiebung ds bewegt.
f
V f − Vi =
− ∫ Eds cos θ
i
f
f
 
 
 
∫ dW =∫ Fds =q0 ∫ Eds ⇒ V f − Vi =−∫ Eds
f
f
i
i
i
i
21.5 Potenzial einer Punktladung
Betrachten wir eine positive Probeladung q0 in einem Punkt P im
Abstand R von einem ortsfesten Teilchen mit der positiven Ladung q.
Die Probeladung bewegt sich vom Punkt P ins Unendliche. Die Wahl
des Weges?
 
VP ∫=
Eds
=
∞
P
∞
Edr
∫=
R
∞
q
q
∞
dr
q
dr
=
=
∫R 4πε 0r 2 4πε 0 ∫R r 2 4πε 0 R
V ( R) =
q
4πε 0 R
Eine positive Ladung erzeugt ein positives
elektrisches Potenzial, eine negative Ladung
erzeugt ein negatives elektrisches Potenzial.
Kugelschalentheorem: Wir haben auch den Verlauf des elektrischen Potenzials
außerhalb oder auf der äußeren Oberfläche einer beliebigen, kugelsymmetrischen
Ladungsverteilung berechnet.
21.6 Potenzial einer Gruppe von Punktladungen
Durch Anwendung des Superpositionsprinzips können wir das resultierende, von
mehreren Punktladungen in einem Raumpunkt erzeugte elektrische Potenzial
bestimmen. Dazu berechnen wir das von jeder Ladung im fraglichen Punkt erzeugte
Potenzial separat. Danach addieren wir alle Potenzialbeiträge:
Potenzialberechnungen sind im Allgemeinen wesentlich
einfacher als Feldberechnungen- skalare Größe!!!
=
V
n
=
V
∑
1
4πε
n
qj
∑r
j
=j 1 =
0 j 1
j
21.7 Potenzial eines elektrischen Dipols
V=
2
∑V j =
j =1
1  q −q 
q r− − r+
+
=


4πε 0  r+ r−  4πε 0 r− r+
r− − r+ ≈ d cos θ
V=
r− r+ ≈ r 2
p cos θ
4πε 0 r 2
V=
qd cos θ
4πε 0 r 2
21.8 Potenzial einer kontinuierlichen Ladungsverteilung
Zur Bestimmung des Potenzials von einer kontinuierlichen Ladungsverteilung
soll man statt der Summation eine Integration verwenden. Wir betrachten ein
1
dq
differenzielle Ladungselement dq als Punktladung:
V=
4πε 0 ∫ r
Der Nullpunkt des Potenzials soll wiederum im Unendlichen liegen
Potenzial einer linearen Ladungsverteilung
1 dq
1
λ dx
=
dV =
Betrachten wir einen dünnen, nicht leitenden
4πε 0 r 4πε 0 d 2 + x 2
Stab der Länge L, der mit einer homogenen,
linearen Dichte λ positiv geladen ist.
Wir wollen das elektrische Potenzial V
berechnen, das von der Ladung des Stabs in
einem Punkt P erzeugt wird, der sich im
senkrecht gemessenen Abstand d vom linken
Ende des Stabs befindet.
=
V
 L + d 2 + L2
λ
V=
ln 
4πε 0 
d
1
λ dx
λ
dx
=
=
∫0 4πε 0 d 2 + x 2 4πε 0 ∫0 d 2 + x 2
L
L
(
)
(
)
L
λ 
λ 
2
2 
ln x + d + x=
ln L + d 2 + L2 − ln d 
=
 0 4πε 0 

4πε 0 




Potenzial einer einer geladenen Scheibe
Betrachten wir einen ebenen Kreisring mit dem Radius R' und einer radialen
Dicke dR' als differenzielles Flächenelement. Dieses Element trägt eine
differenzielle Ladung:
dq = σ ( 2π R′)( dR′)
und der Beitrag dieses Rings zum elektrischen Potenzial im Punkt P:
1 dq
1 σ ( 2π R′)( dR′)
dV =
=
2
4πε 0 r 4πε 0
′
R
+ z2
(
)
R
1 σ ( 2π R′)( dR′) σ
V ∫
z2 + R2 − z
=
=
2
4πε 0
0
( R′) + z 2 2ε 0
(
)
21.9 Berechnung des elektrischen Felds aus dem elektrischen Potenzial
Das Feld E in jedem Punkt P senkrecht zur Äquipotenzialfläche durch
diesen Punkt.
Nehmen wir an, eine positive Probeladung q0 werde um eine
differenzielle Strecke ds von einer Fläche auf die unmittelbar
dV benachbarte Fläche verschoben.
dV
dV
− q0dV =
−
dW =
q0 E ( cos θ ) ds ⇒ E cos θ =
dV
ds
E cosθ ist die Komponente des
∂V
∂V
∂V
Ex =
−
−
−
; Ex =
; Ez =
Feldvektors E in Richtung von ds
∂x
∂y
∂z
Die Komponente des elektrischen Felds E in eine beliebige Raumrichtung ist gleich der
negativen Änderungsrate des elektrischen Potenzials mit dem Ort in dieser Raumrichtung.
21.10 Elektrische potenzielle Energie eines Systems von Punktladungen
Die elektrische potenzielle Energie eines Systems ortsfester Punktladungen ist gleich der
Arbeit, die das System verrichten werden muss, um die Ladungen aus ihrer endlich
ausgedehnten Konfiguration zum Unendlichen zu transportieren
Die elektrische potenzielle Energie eines Systems ortsfester Punktladungen ist gleich der
Arbeit, die von außerhalb des Systems aufgebracht werden muss, um die Ladungen aus
dem Unendlichen zu ihrer endlich ausgedehnten Konfiguration zusammenzuführen.
q1q2
4πε 0 r
positiv bei gleichen Vorzeichen
negativ bei untersch. Vorzeichen
U=
FE
FAus
-e
−e + e − e
U=
U12 + U13 + U 23 =
(
4πε 0d
1
+e
+e
2
2
2
e2
) =− 4πε d
0
21.11 Potenzial eines geladenen, isolierten leitenden Körpers

Innerhalb eines isolierten Leiters gilt E = 0
Eine Überschussladung auf einem isolierten Leiter verteilt sich in solcher Weise über die
Oberfläche des Leiters, dass sämtliche Punkte des Leiters -seien sie auf der Oberfläche des
Körpers oder auch in seinem Inneren gelegen - das gleiche elektrische Potenzial besitzen.
Diese Aussage gilt auch dann, wenn der Leiter einen Hohlraum enthält, und sogar dann,
wenn sich in diesem Hohlraum eine nicht kompensierte Ladung befindet.
Betrachten wir zwei Punkten i und f, die einem Leiter gehören.
Finden wir einen Weg, der die Punkten verbindet und sich
komplett innerhalb des Leiter befindet. Dann
f
  
V f − Vi =
− ∫ Eds E =
0 ⇒ V f − Vi =
0
i
Verlauf der elektrischen
Feldstärke E(r) und des
elektrischen Potenzials V (r)
innerhalb und außerhalb
einer geladenen leitenden
Kugelschale
22 Kapazität
22.1 Kondensatoren und ihre Anwendungen
Energie lässt sich bekanntlich in Form potenzieller Energie speichern, beispielsweise
durch Spannen eines Bogens, durch Zusammendrücken einer Feder, durch Kompression
eines Gases. Auch in einem elektrischen Feld kann potenzielle Energie gespeichert
werden: Ein Kondensator ist ein elektrisches Bauteil, das diese Funktion erfüllt.
22.2 Kapazität
Die Grundelemente eines jeden Kondensators sind zwei
voneinander isolierte Leiter beliebiger Form. Diese beiden
Leiter nennen wir die Platten des Kondensators, unabhängig
davon, welche Gestalt sie im Einzelfall haben.
Wird ein Kondensator geladen, so erhalten seine beiden Platten
betragsgleiche, ungleichnamige Ladungen +q und —q.
Einen Plattenkondensator besteht aus zwei ebenen, parallelen,
leitenden Platten der Fläche A, die sich im Abstand d
gegenüberstehen.
Wir nehmen zunächst an, dass der
Raum zwischen den Kondensatorplatten
leer, also nicht mit einem isolierenden
Stoff wie beispielsweise Glas oder
Plastik gefüllt ist.