dr.rupnathji( dr.rupak

R.
R
in
Quantum Physics
I(
D
Path Integrals
HJ
Abstract
DR
.R
U
PN
AT
These lectures aim at giving graduate students an introduction to and a working knowledge of path integral
methods in a wide variety of fields in physics. Consequently, the lecture notes are organized in three main
parts dealing with non-relativistic quantum mechanics, many-body physics and field theory. In the first part
the basic concepts of path integrals are developed in the usual heuristic, non-mathematical way followed
by the standard examples of quadratic Lagrangians for which the path integrals can be solved exactly.
Applications include perturbation theory, semi-classical expansions, scattering problems, tunneling processes
and the representation of Green functions as path integrals. It is shown how (euclidean) path integrals can
be treated numerically by Monte-Carlo methods with a program for the anharmonic oscillator as an explicit
example. The second part deals with the application of path integrals in statistical mechanics and manybody problems. Various chapters treat the partition function, the polaron problem as a non-relativistic
field theory, dissipative quantum systems, path integrals over ordinary and Grassmannian coherent states
and perturbation theory for both bosons and fermions. Again a simple Fortran program is included for
illustrating the use of strong-coupling methods in the polaron problem. Finally, in the third part path
integrals in relativistic quantum field theory are discussed. Standard topics like the generating functional
for Green functions, perturbative expansions, effective actions and quantization of gauge theories are treated.
Some special applications (the wordline formalism and spin in relativistic path integrals, the derivation of
anomalies by path integral methods) are contained in additional chapters. The last section tries to give a
simple introduction into lattice (gauge) field theory including a numerical example which can be run on a
PC. The set of problems which accompanied the lectures is also included in the present notes.
2
3
0.
Inhaltsübersicht
Zuerst ein Überblick über die geplanten Themen. Die mit ⋆ gekennzeichneten Unterkapitel sind optional und
werden möglicherweise aus Zeitgründen ausgelassen, während die blau gedruckten Basis-Wissen behandeln.
1. Pfadintegrale in der nichtrelativistischen Quantenmechanik eines Teilchens
1. Wirkungsprinzip und Summe über alle Pfade ............................................ 7
2. Lagrange-, Hamilton- und andere Formulierungen ................................... 11
)
3. Quadratische Lagrange-Funktionen .......................................................... 23
⋆
...................................................................................... 27
TH
4. Störungstheorie
8. Symmetrien und Erhaltungssätze
⋆
⋆
.............................................. 34
AK
7. Greensche Funktionen als Pfadintegral
⋆
................................................... 46
............................................................ 51
........................................... 54
DR
⋆
⋆
.R
9. Numerische Behandlung von Pfadintegralen
10. Tunneln und Instanton-Lösungen
UP
6. Potentialstreuung und Eikonal-Näherung
NA
5. Halbklassische Entwicklungen .................................................................... 31
............................................................ 61
TH
JI(
2. Pfadintegrale in der statistischen Mechanik und Mehrteilchen-Physik
1. Die Zustandssumme .................................................................................... 68
NA
2. Das Polaron ................................................................................................ 71
⋆
UP
3. Dissipative Quantensysteme
.................................................................... 76
.R
4. Teilchenzahl-Darstellung und Pfadintegrale über kohärente Zustände ...... 83
DR
5. Beschreibung von Fermionen: Graßmann-Variable .................................... 90
6. Störungstheorie und Diagramme
⋆
7. Hilfsfelder und Hartree-Näherung
............................................................. 93
⋆
.......................................................... 100
8. Asymptotische Entwicklung einer Klasse von Pfadintegralen
⋆
................ 103
3. Pfadintegrale in der Feldtheorie
1. Erzeugende Funktionale und Störungstheorie .......................................... 114
2. Eﬀektive Wirkung
⋆
................................................................................ 127
3. Quantisierung von Eichtheorien ............................................................... 131
4. Weltlinien-Formalismus und Spin im Pfadintegral
5. Anomalien
⋆
⋆
................................ 141
............................................................................................. 150
6. Gitter-Feldtheorien
⋆
................................................................................. 154
Zusätzliche Literatur ................................................................................................. 167
Original-Arbeiten ...................................................................................................... 168
Übungsaufgaben ........................................................................................................ 172
4
Inhaltsübersicht
Literatur:
Es gibt eine Vielzahl von Büchern, die Pfadintegrale entweder hauptsächlich oder teilweise behandeln. Eine
kleine Auswahl folgt, wobei diejenigen, denen ich vorzugsweise folge, durch das Symbol ♣ gekennzeichnet sind.
Kapitel 1 :
• R. P. Feynman and A. R. Hibbs: Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill (1965).
• L. S. Schulman: Techniques and Applications of Path Integration, John Wiley (1981). ♣
• J. Glimm and A. Jaffe: Quantum Physics: A Functional Point of View, Springer (1987).
TH
)
• G. Roepstorff: Path Integral Approach to Quantum Physics, Springer (1994).
AK
NA
• G. W. Johnson and M. L. Lapidus: The Feynman Integral and Feynman’s Operational Calculus,
Oxford University Press (2000).
.R
UP
• J. Zinn-Justin: Path Integrals in Quantum Mechanics, Oxford University Press (2006).
DR
Kapitel 2 :
TH
JI(
• R. P. Feynman: Statistical Mechanics, Benjamin (1976).
• V. N. Popov: Functional Integrals in Quantum Field Theory and Statistical Physics, Reidel (1983).
NA
• J. W. Negele and H. Orland: Quantum Many-Particle Systems, Addison-Wesley (1987). ♣
UP
• J. Zinn-Justin: Quantum Field Theory and Critical Phenomena, Oxford University Press, 4th ed. (2002)
DR
.R
• H. Kleinert: Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics Polymer Physics, and Financial Markets,
3rd ed., World Scientiﬁc (2004).
Kapitel 3 :
• C. Itzykson and J.-B. Zuber: Quantum Field Theory, McGraw-Hill (1980), chapter 9. ♣
• T.-P.Cheng and L.-F. Li: Gauge Theory of Elementary Particle Physics, Clarendon (1988), chapters
1, 9 . ♣
• R. J. Rivers: Path Integral Methods in Quantum Field Theory, Cambridge University Press (1990).
• I. Montvay and G. Münster: Quantum Fields on a Lattice, Cambridge University Press (1994).
• M. E. Peskin and D. V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley
(1995), chapter 9. ♣
• V. Parameswaran Nair: Quantum Field Theory. A Modern Perspective, Springer (2005). ♣
• H. J. Rothe: Lattice Gauge Theories. An Introduction, 3rd ed., World Scientiﬁc Lecture Notes in
Physics, vol. 74, World Scientiﬁc, Singapore (2005).
5
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
Vorkenntnisse:
Quantenmechanik I, (II), etwas statistische Mechanik, Grundbegriﬀe der Feldtheorie.
Übungen:
UP
AK
NA
TH
)
Teilnahme an den Übungen wird stark empfohlen – nach dem Motto
“I hear – and I forget,
.R
I see – and I remember,
DR
I do – and I understand !”
NA
TH
JI(
(Chinesisches Sprichwort 1 )
UP
Anmerkungen:
DR
.R
Um im “Dschungel” der (über 1000 nummerierten) Gleichungen etwas Orientierung zu ﬁnden, sind die wichtigsten Gleichungen eingerahmt, und zwar nach dem Schema:
grundlegend
( 9 mal)
sehr wichtig
( 23 mal)
wichtig
( 92 mal)
,
wobei man sich über meine Einordnung in diese Kategorien natürlich streiten kann . . .
Die “Vertiefungen” im Kleindruck kann man bei einem ersten Studium überspringen.
Auf zusätzliche Literatur wird im Text in geschweiften Klammern, z. B. {Weiss}, hingewiesen; diese ist am
Schluss alphabetisch geordnet. Original-Arbeiten werden mit fortlaufenden Zahlen zitiert, z. B. [11], und sind
am Schluss vor den Übungsaufgaben gesammelt.
1 Es
wird Xunzi , auch Hsün-Tse oder Hsün-Tzu, einem konfuzianischem Philosophen (etwa 298 - 220 v. Chr.) zugeschrieben
(siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Xunzi).
6
Inhaltsübersicht
Trotz des Wortes “Integral” im Titel werden i. a. keine speziellen Integrale benötigt – das einzige Integral,
das immer wieder in allen möglichen (multidimensionalen) Verallgemeinerungen auftaucht, ist das gaußsche
Integral
G(a)
=
Z
Beweis: Berechne
G2 (a) =
+∞
2
dx e−ax =
−∞
Z
+∞
−∞
Z
+∞
−∞
r
π
,
a
Re a > 0 .
h
i
dx dy exp −a(x2 + y 2 )
(0.2a)
(0.2b)
TH
)
in Polarkoordinaten x = r cos φ, y = r sin φ, dxdy = rdrdφ . Dann erhält man
Z 2π
Z ∞
Z ∞
1 d
π
G2 (a) =
dφ
dr r exp(−ar 2 ) = 2π
dr −
exp(−ar 2 ) =
.
2a dr
a
0
0
0
(0.1)
AK
NA
Die Bedingung für den komplexen Parameter a benötigt man für die Konvergenz des Integrals, bzw. für das Verschwinden des ausintegrierten Terms im Unendlichen.
UP
Ein persönliches Nachwort zum Vorwort (nullten Kapitel):
DR
.R
UP
NA
TH
JI(
DR
.R
Diese Aufzeichnungen entstanden als Skript zu Vorlesungen, die ich zuerst an den Universitäten Mainz und
Hannover, sowie über viele Jahre an der ETH Zürich gehalten habe. Seit langem fasziniert mich die Eleganz
und Vielseitigkeit dieser Beschreibung der Quantenwelt und ich hoﬀe, dass dieses Skript beides – Schönheit
und Brauchbarkeit – ein wenig vermitteln kann. Ausser dem notwendigen “Kanon” habe ich im Laufe der
Zeit einzelne Kapitel über Themen hinzugefügt, die mich selber interessiert haben oder zu denen ich eigene
Beiträge geliefert habe. Dadurch ist eine sehr persönlich gefärbte Ansammlung von Anwendungen der Pfad/Funktional-Integrale in der Quantenphysik 2 entstanden, die für manche vielleicht ihren Reiz haben wird, aber
oﬀensichtlich weder an Tiefe noch an Vollständigkeit ein Lehrbuch ersetzen kann. Aus innerer Überzeugung
(und mangelnden Kenntnissen) habe ich auch nicht versucht, das feynmansche Pfadintegral mathematisch
streng herzuleiten, sondern habe den üblichen, heuristisch-anschaulichen Weg gewählt. Dass man mit diesen
Objekten auch (numerisch) rechnen kann, sollen kleine FORTRAN-Programme illustrieren, in denen die MonteCarlo-Methoden eine wichtige Rolle spielen.
In diesem Skript habe ich mich auch bemüht, kein “Denglisch” zu schreiben; allerdings habe ich das “ß”
geopfert, weil ich mich zwischen alter und neuer Rechtschreibung, sowie schweizer Regel nicht mehr zurechtfand.
Eine Ausnahme bleiben Eigennamen wie “Gauß” und “Graßmann”: zum Einen, weil diese Grossen (Großen)
sich so schrieben; zum Anderen, weil “gaußsches Integral” einfach besser aussieht als “Gausssches Integral”...
Dank an alle Studenten, die “dumme Fragen” gestellt haben, die ich zuerst nicht beantworten konnte, die
dann aber ein besseres Verständnis des Stoﬀes bei mir bewirkt haben (natürlich bleiben alle Fehler und Unzulänglichkeiten dieses Skripts in meiner Verantwortung). Nadia Fettes und Mirko Birbaumer fanden Fehler im
abgedruckten Gitter-Programm, die mir entgangen waren. Zwei Dankesworte sollte ich auf Englisch schreiben:
I would like to thank Qiang Li who unearthed the original chinese proverb for me when he was in the Theory
Group of PSI. Valeri Markushin came to my rescue when my proven drawing program suddenly became obsolete ... Mit Julien Carron hatte ich eine erfreuliche Zusammenarbeit über komplexe gaußsche Integrale und
andere Kuriositäten. Dank schließlich auch an Matthias, der mich auf die Gefahren des Auslassungszeichens
aufmerksam gemacht hat (www.deppenapostroph.de).
Villigen PSI, April/Juli 2012
2 Aus
Roland Rosenfelder
aktuellen Gründen habe ich auf Anwendungen in der Finanzwirtschaft verzichtet . . . .
7
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
1.
Pfadintegrale in der nichtrelativistischen Quantenmechanik eines
Teilchens
1.1
Wirkungsprinzip und Summe über alle Pfade
Es gibt im wesentlichen drei Formulierungen
3
der Quantenmechanik:
• Matrizenmechanik (Heisenberg 1925)
• Wellenmechanik (Schrödinger 1926)
)
• Pfadintegrale (Feynman 1942/1948)
DR
.R
UP
NA
TH
JI(
DR
.R
UP
AK
NA
TH
Die ersten beiden Versionen, deren Äquivalenz sehr bald von Schrödinger, Dirac u.a. gezeigt wurde, werden in
jedem Quantenmechanik-Kurs, bzw. -Buch vorgestellt; die letzte ist Gegenstand dieser Vorlesung. Sie wurde
von Feynman [2] entwickelt und basiert auf einer Arbeit von Dirac [3] (beide abgedruckt in [4]). Lange Zeit
galt diese Formulierung als zu schwierig und für praktische Zwecke nutzlos, als dass sie in einem Lehrbuch
dargestellt werden müsste. Dabei sind die feynmanschen Pfadintegrale begriﬄich anschaulicher und verlangen
weit weniger radikale Abkehr von den Vorstellungen der klassischen Physik (an die wir alle gewöhnt sind) als
die übliche Quantenmechanik mit ihren Operatoren und Zustandsvektoren im Hilbertraum.
Was die praktische Seite der verschiedenen Formulierungen angeht, so ist unbestritten, dass für viele Probleme die Wellenmechanik Schrödingers am schnellsten und einfachsten zu Resultaten führt: etwa beim Berechnen der stationären Zustände eines Teilchens in einem gegebenen Potential. Bei Mehrteilchen-Problemen
jedoch ist die Schrödingergleichung von untergeordneter Bedeutung und die Matrizenmechanik Heisenbergs
spielt eine grössere Rolle (z. B. beim Diagonalisieren der Hamilton-Matrix in einem bestimmten Unterraum).
In ähnlicher Weise ist die Methode der Pfadintegrale ein unentbehrliches Werkzeug in der Feldtheorie geworden: die Feynman-Regeln für nichtabelsche Eichtheorien wurden damit zuerst abgeleitet und die Versuche,
die Feldtheorie der starken Wechselwirkung numerisch zu behandeln, basieren direkt auf der (euklidischen)
Pfadintegral-Darstellung der Quantenchromodynamik.
Was diese Methode darüber hinaus auszeichnet, ist ihre Anwendbarkeit in sehr vielen Teilbereichen der
Physik. Diese “Vereinheitlichung” diverser Teilgebiete hilft nicht nur beim Verständnis, sondern gibt auch
Anregungen, neue Methoden anzuwenden, die in anderen Bereichen erfolgreich waren.
Eine Warnung: das feynmansche Pfadintegral ist bis auf spezielle Fälle (euklidische Formulierung, d.h. für
imaginäre Zeiten −→ Brown’sche Bewegung −→ Wiener-Integrale) mathematisch nicht sauber deﬁniert. Es
gibt zahllose Versuche und Formulierungen, es auf mathematisch gesunde Beine zu stellen (siehe z. B. das in
der Literatursammlung angegebene Werk von Johnson & Lapidus oder [5]). Dies wird uns im Folgenden
nicht wesentlich kümmern – die mathematische Rigorosität hinkt ja in den meisten Fällen der physikalischen
Intuition weit hinterher.
Feynman entwickelte seine Formulierung der Quantenmechanik in enger Analogie zur klassischen Mechanik.
Zuerst daher ein kurzer Abriss der wesentlichen Aspekte der klassischen Mechanik und der Quantenmechanik.
Klassische Mechanik
Ein System (zur Vereinfachung: ein Massenpunkt in einer Raumdimension) mit der/den Koordinate/n q(t)
wird durch die Lagrange-Funktion
L(q(t), q̇(t), t)
(1.1)
3 Der
Artikel [1] zählt dagegen neun !
8
Kapitel 1 : Quantenmechanik
beschrieben. Seine dynamische Entwicklung, d.h. sein Weg (oder “Pfad”) vom Anfangspunkt q(ta ) = qa zum
Endpunkt q(tb ) = qb verläuft dermassen, dass unter allen möglichen Wegen derjenige gewählt wird, der die
Wirkung
S
=
Z
tb
dt L(q(t), q̇(t), t)
ta
(1.2)
TH
)
minimal (genauer gesagt: extremal) macht:
(1.3)
NA
δS = 0
AK
(hamiltonsches Prinzip oder Prinzip der “kleinsten” Wirkung). Daraus folgen dann in bekannter Weise die
Bewegungsgleichungen (Euler-Lagrange-Gleichungen)
(1.4)
.R
UP
∂L
d ∂L
−
= 0.
dt ∂ q̇
∂q
TH
JI(
DR
Eine alternative Formulierung ist diejenige über die Hamilton-Funktion des Systems: man deﬁniert den
konjugierten Impuls
∂L
(1.5)
p =
∂ q̇
NA
und bildet die Hamilton-Funktion
(1.6)
UP
H(p(t), q(t), t) = [ p · q̇ − L(q, q̇, t) ]q̇=q̇(p) .
.R
Die Hamilton-Gleichungen
DR
q̇(t)
ṗ(t)
∂H
∂p
∂H
= −
∂q
=
(1.7)
können ebenfalls aus einem Extremalprinzip der Wirkung
δS = δ
Z
tb
ta
dt [ p · q̇ − H(p(t), q(t), t) ] = 0
(1.8)
durch unabhängige Variation nach p und q gewonnen werden.
Quantenmechanik
In der klassischen Mechanik scheint die Natur verschiedene Wege zu “vergleichen”, um dann den Weg extremaler
Wirkung zu “wählen”. Dies ist auch der Fall in der Optik, solange die Wellenlänge des Lichtes sehr viel kleiner
ist als die typischen Abmessungen des Systems. Wenn jedoch beide Grössen vergleichbar sind, beobachten wir
das typische Interferenzverhalten von Wellen, z. B. bei Beugung an einem Doppelspalt:
9
.R
UP
AK
NA
TH
)
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
DR
Abb. 1 : Beugung von Wellen an einem Doppelspalt.
NA
TH
JI(
Die verschiedenen Wege spielen nun eine entscheidende Rolle, da die gestreute Welle sich aus zwei Anteilen
zusammensetzt
(1.9)
Φ ∝ eikl1 + eikl2
UP
(k: Wellenzahl). Die Intensität am Detektor (Schirm) ist proportional zu |Φ|2 und zeigt die typischen BeugungsMinima und -Maxima.
DR
.R
Es ist nun ein entscheidendes experimentelles Faktum, dass auch Materie-Teilchen (etwa Elektronen oder Neutronen) Diﬀraktions-Eﬀekte beim Durchgang durch Spalte oder Streuung an Kristallen zeigen, wenn ihre deBroglie-Wellenlänge vergleichbar ist mit den Dimensionen des abzubildenden Objektes (für Elektronen wurde
dies erstmals von Davisson und Germer 1927 gezeigt).
Die quantenmechanische Beschreibung dieses Eﬀektes postuliert eine Wahrscheinlichkeits-Amplitude, die
eine Überlagerung der zwei möglichen Amplituden (für den Durchgang durch den jeweiligen Spalt) ist:
Φ = Φ1 + Φ2 ,
(1.10)
und die Wahrscheinlichkeit, das Elektron am Ort des Detektors anzutreﬀen, ist
W ∼ |Φ|2 .
(1.11)
Mit anderen Worten:
Man muss über die verschiedenen (nicht beobachteten) alternativen Arten, wie ein Ereignis passieren kann,
summieren.
Stellen wir uns jetzt vor, dass wir immer mehr Löcher in den Schirm bohren, bis dieser nicht mehr vorhanden
ist, und dass wir immer mehr Schirme in den Zwischenraum zwischen Quelle und Detektor stellen, mit denen
wir ebenso verfahren, dann haben wir
X
Φ(a, b) =
Φi .
(1.12)
alle Pfade von a nach b
10
NA
TH
)
Kapitel 1 : Quantenmechanik
UP
AK
Abb. 2 : Quantenmechanische Propagation eines Teilchens von a nach b. Der klassische Pfad ist
durch eine rote Linie gekennzeichnet.
TH
JI(
DR
.R
Es bleibt natürlich noch zu präzisieren, wie diese Summe über “alle Pfade von a nach b” auszuführen ist und mit
welchem Gewicht jeder Pfad beiträgt. Die Beantwortung der ersten Frage führt zu Funktional-Integralen,
mit denen wir uns im nächsten Abschnitt beschäftigen werden, während das Problem der Gewichtung in heuristischer Weise zu lösen ist: da das plancksche Wirkungsquantum ~ die Dimension einer Wirkung besitzt und die
Quanteneﬀekte bestimmt, ist es nicht verwunderlich, dass die Regel lautet:
NA
Alle Pfade tragen betragsmässig gleich bei, aber mit verschiedener Phase: die Phase jeden Pfades x(t) ist seine
klassische Wirkung S[x(t)] 4 geteilt durch ~ :
.R
UP
Φ(a, b) =
X
const. eiS[x(t)]/~ .
(1.13)
alle Pfade von a nach b
DR
Mit dieser Vorschrift ist der klassische Grenzfall (formal: ~ → 0) sofort zu vollziehen: wenn alle Wirkungen
S ≫ ~ sind, ergibt dies ungeheure Oszillationen der Exponentialfunktion, d.h. zu jedem Pfad, der einen
positiven Beitrag ergibt, ﬁndet sich ein benachbarter Pfad, der einen negativen beisteuert und damit auslöscht.
Es bleibt dann nur die Umgebung des speziellen Pfades übrig, für den die Phase stationär ist
δSklassisch = 0
(1.14)
und nur eine Bahnkurve, die klassische Trajektorie, trägt zur Summe über alle Pfade bei.
Vertiefung 1: Grössenordnungen
Es ist instruktiv, die Grösse der Wirkung für zwei unterschiedliche Systeme durch einfache Dimensions-Analyse abzuschätzen: nehmen
wir zuerst eine mechanische Armbanduhr, die bewegliche Teile mit einer approximativen Grösse d ∼ 10−4 m, Masse m ∼ 10−4 kg und
typischen Zeit t ∼ 1 s hat. Dann ist die charakteristische Wirkung dieses Systems
S1 ∼ m d2 t−1 ∼ 10−12 Js ∼ 1022 ~ .
Wenn wir dagegen einen Mikroprozessor betrachten, der das Herzstück jedes Computers darstellt, dann wissen wir, dass seine integrierten
Schaltkreise typischerweise d ∼ 0.2µm = 2 · 10−7 m dick sind und er mit Elektronen ( m ∼ 10−30 kg ) operiert. Bei einer Taktfrequenz
von 1 GHz, was einer Kreisfrequenz von ω ∼ 6 GHz entspricht, ist dann die typische Wirkung
S2 ∼ m d2 ω ∼ 2.4 · 10−34 Js ∼ 2 ~ .
Obwohl also beide Systeme eine vergleichbare (äussere) Grösse besitzen, muss der traditionelle Uhrmacher nichts von der Quantentheorie
wissen, während die Entwickler von Mikroprozessoren diese sehr wohl für ihre Arbeit benötigen.
4 Die
Schreibweise bedeutet, dass S ein Funktional des Pfades x(t) ist, d.h. eine Zahl, die jeder Trajektorie zugeordnet ist.
11
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
Natürlich lässt sich die quantenmechanische Beschreibung auf diese Weise nicht aus der klassischen Mechanik
ableiten, der klassische Grenzfall ist nur eine notwendige Bedingung der weitergehenden Theorie. Wir werden
daher im nächsten Abschnitt den umgekehrten Weg gehen und aus der üblichen quantenmechanischen Beschreibung das Pfadintegral herleiten. Dies wird sowohl die Wichtung der einzelnen Pfade als auch die Vorschrift für
die Summation in direkter Weise ergeben.
1.2
Lagrange-, Hamilton- und andere Formulierungen
V̂ = V (x̂)
NA
Ĥ = T̂ + V̂ ,
TH
)
Im Folgenden werden alle quantenmechanischen Operatoren durch einen “Hut” gekennzeichnet. Wir nehmen
ausserdem an, dass der Hamiltonoperator zeitunabhängig ist
5
.R
E
E
D xb Û (tb , ta ) xa = xb e−i(tb −ta )Ĥ/~ xa .
DR
D
(1.16)
TH
JI(
U (xb , tb ; xa , ta ) =
UP
AK
und betrachten die Matrixelemente des Zeitentwicklungs-Operators
(1.15)
.R
DR
Feynmans Pfadintegral
UP
NA
Wie wir sehen werden, enthält der Zeitentwicklungs-Operator alle Information über das System, die wir
benötigen.
Die Pfadintegral-Darstellung von U beruht auf der Zerlegung des Zeitintervalls tb − ta in N Einzel-Intervalle
ǫ=
tb − ta
,
N
(1.17)
so dass
N
h
i
Y
exp −i(tb − ta )Ĥ/~ = lim
e−iǫĤ/~ .
N →∞
(1.18)
k=1
Dies wird auch als Trotter’sche Produktformel bezeichnet. Nun gilt
h
i
h
i
h
i
exp −iǫ(T̂ + V̂ )/~ = exp −iǫT̂ /~ · exp −iǫV̂ /~ + O(ǫ2 ) ,
(1.19)
d.h. für inﬁnitesimale Zeiten kann man (fast) die Nicht-Kommmutativität der quantenmechanischen Operatoren vergessen. Wenn wir diesen Ausdruck in Gl. (1.18) einsetzen und zwischen jeden Faktor den Einheitsoperator
Z +∞
1 =
dxj |xj i h xj |
j = 1, 2 . . . (N − 1)
(1.20)
−∞
5 Oft
wird auch die Schreibweise h xb , tb | xa , ta i für dieses Matrixelement verwendet.
12
Kapitel 1 : Quantenmechanik
einschieben, ist es nur noch ein kleiner Schritt zum Pfadintegral: da für ein lokales Potential
V (x̂)| x >= V (x)| x > gilt, erhalten wir
Z +∞
E
D U (xb , tb ; xa , ta ) = lim
dx1 dx2 ... dxN −1 xb e−iǫT̂ /~ xN −1 e−iǫV (xN −1 )/~
N →∞ −∞
E
D
· xN −1 e−iǫT̂ /~ xN −2 e−iǫV (xN −2 )/~
..
.
·
E
x1 e−iǫT̂ /~ xa e−iǫV (xa )/~ .
D
(1.22)
NA
TH
)
Wir benötigen jetzt die Matrixelemente von exp(−iǫT̂ /~) zwischen Ortszuständen
!
Z +∞
E
D
ǫ p2j
1
−iǫT̂ /~ eipj ·(xj+1 −xj )/~ ,
dpj exp −i
xj+1 e
xj =
2π~ −∞
~ 2m
(1.21)
−∞
r
dx exp −ax + bx =
2
π
exp
a
DR
+∞
b2
4a
, a 6= 0 , Re a ≥ 0 .
(1.23)
TH
JI(
Z
.R
UP
AK
wobei wir benutzt haben, dass T̂ = p̂2 /(2m) diagonal im Impulsraum ist. Das Integral in Gl. (1.22) ist ein
erweitertes gaußsches Integral, das wir durch quadratische Ergänzung aus dem Grundintegral (0.1) ableiten
können:
Vertiefung 2: Komplexe gaußsche Integrale
iax2
UP
+∞
dx e
=
−∞
lim
δ→0+
r
.R
Z
NA
Genauer gesagt ist das gesuchte Integral in Gl. (1.22) ein (erweitertes) Fresnel-Integral, das durch den Grenzübergang Re a → 0 aus
dem Basis-Integral (0.1) entsteht:
DR
=
r
=
π
|a|
π
|a|
Z
+∞
−(δ−ia) x2
dx e
−∞
=
lim
δ→0+
r
π
δ − ia
(a reell)
r
i
a
π
π
exp
lim arctan
=
exp i sgn(a)
2 δ→0+
δ
|a|
4
1
sgn(a)
.
√ −i √
2
2
(1.24a)
Man beachte, dass der reelle Parameter a ein beliebiges Vorzeichen haben darf. Hier und im Folgenden verstehen wir unter der Wurzel einer
komplexen Grösse z den Hauptwert, d.h. den Zweig der zweiwertigen Wurzelfunktion, der einen positiven Realteil hat ({Handbook},
eq. 3.7.26)
q
√
1
z :=
|z| exp
i arg z
, −π < arg z ≤ π .
(1.24b)
2
Dies ist auch schon in Gl. (0.1) zu nehmen, da die obige Definition im reellen Fall mit der positiven Wurzel übereinstimmt, die für einen
positiven Integranden zu nehmen ist. Das gaußsche Integral mit komplexem Parameter ist daher als eine analytische Fortsetzung des
Ergebnisses in der Umgebung der reellen Achse zu verstehen.
Eine andere Möglichkeit, das Fresnel-Integral mit unendlichen Grenzen zu berechnen, besteht darin, es als Grenzwert endlicher FresnelIntegrale zu betrachten:
Z +R
Z +∞
h
i
2
dx cos(ax2 ) − i sin(ax2 ) .
(1.24c)
dx eiax = lim
R→∞
−∞
p
Die Transformation x = π/(2|a|) t ergibt
Z
+∞
dx eiax
2
=
−∞
=
−R
Z T
Z T
r
π
π 2
π 2
lim
t
− i sgn(a)
t
dt cos
dt sin
2
2|a| T →∞
2
2
0
0
r
h
i
π
2
lim C (T ) − i sgn(a) S (T )
2|a| T →∞
(1.24d)
p
wobei T = R 2|a|/π ist und C(T ), S(T ) die Standard-Fresnel-Integrale bezeichnet, wie sie im {Handbook} in eq. (7.3.1) and (7.3.2)
definiert sind. Da diese den asymptotischen Wert 1/2 für T → ∞ annehmen (dort, eq. (7.3.20)) erhalten wir
Z
+∞
−∞
dx eiax
2
=
r
i
π h
1 − i sgn(a) ,
2|a|
(1.24e)
13
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
was mit Gl. (1.24a) übereinstimmt. Das erweiterte Fresnel-Integral (a, b reell)
Z
+∞
iax2 +ibx
dx e
=
−∞
Z
+∞
dx exp
−∞
"
ia
x+
−i
b2
4a
#
(1.24f)
i
b a−1 b
4
.
(1.24g)
b
2a
2
folgt durch einfache quadratische Ergänzung
Z
+∞
dx exp ( i xax + i bx ) =
−∞
r
π
exp
−i a
−
Gl. (1.24g) ist in einer mnemonischen 6 Form geschrieben worden, die die spätere Verallgemeinerung im mehr- und unendlich-dimensionalen
Fall offensichtlich erscheinen lässt.
)
r
E
m
im (xj+1 − xj )2
−iǫT̂ /~ xj+1 e
exp
xj =
2πiǫ~
2~
ǫ
TH
D
und wenn wir zur Vereinfachung der Schreibweise
m N/2 Z +∞
dx1 dx2 ... dxN −1
N →∞
2πiǫ~
−∞
N
−1
Y
−iǫ
im
(xj+1 − xj )2 exp
V (xj ) .
exp
·
2ǫ~
~
j=0
lim
.R
=
(1.27)
TH
JI(
DR
U (xb , tb ; xa , ta )
UP
setzen
(1.25)
(1.26)
AK
x0 = xa , xN = xb
NA
Damit erhalten wir
NA
Das Produkt der Exponentialformen ist der Exponent einer Summe und wir erhalten
m N/2 Z +∞
dx1 dx2 . . . dxN −1
N →∞
2πiǫ~
−∞

" #
2
−1
 iǫ NX

m xj+1 − xj
· exp
− V (xj )
~

2
ǫ
j=0
UP
=
DR
.R
U (xb , tb ; xa , ta )
≡
lim
Z
x(tb )=xb
x(ta )=xa
Dx(t) eiS[x(t)]/~
(1.28)
(1.29)
Die letzte Zeile ist eine symbolische Kurzschreibweise für den Grenzwert
N −→ ∞ , ǫ −→ 0 ,
aber ǫN = tb − ta
fest
(1.30)
des (N −1)-dimensionalen Integrals. Im Argument der Exponentialfunktion steht in diesem Grenzfall tatsächlich
die Wirkung, weil die diskreten Summen das Riemann-Integral approximieren:
#
" 2
Z tb
N
−1
hm
i
X
m (xj+1 − xj
dt
− V (xj )
−→
ẋ(t)2 − V (x(t))
ǫ
2
ǫ
2
ta
j=0
Z tb
dt L(x(t), ẋ(t)) = S[x(t)] .
=
(1.31)
ta
6 siehe
http://de.wikipedia.org/wiki/Mnemotechnik
14
Kapitel 1 : Quantenmechanik
Man beachte, dass die Kurzzeit-Näherung
h
i
h
i
h
i
exp −iǫ(T̂ + V̂ )/~ = exp −iǫV̂ /~ · exp −iǫT̂ /~ + O(ǫ2 )
zu einer Wirkung führt, in der V (xj+1 ) statt V (xj ) steht. Ebenso würde die symmetrischere Form
h
i
h
i
h
i
h
i
exp −iǫ(T̂ + V̂ )/~ = exp −iǫV̂ /(2~) · exp −iǫT̂ /~ · exp −iǫV̂ /(2~) + O(ǫ3 ) ,
(1.32)
(1.33)
DR
.R
UP
NA
TH
JI(
DR
.R
UP
AK
NA
TH
)
zu einer leicht verschiedenen diskreten Wirkung führen. In dem einfachen Fall, den wir im Augenblick betrachten (ein Teilchen in einem skalaren Potential), macht dies jedoch keinen Unterschied: die Diﬀerenzen
sind von der Ordnung ǫ und verschwinden im Kontinuums-Grenzfall ǫ → 0. Anders ist es jedoch, wenn
geschwindigkeitsabhängige Wechselwirkungen betrachtet werden, weil die Geschwindigkeit durch (xj+1 − xj )/ǫ
dargestellt wird. Mehr dazu beim Stichwort “Anordnungsproblem”.
Abb. 3 : Diskretisierung und Summierung über die quantenmechanischen Pfade. Der rot
eingezeichnete Pfad entsteht durch einen anderen Wert von xj .
Der Ausdruck (1.28) gibt eine genaue Vorschrift, wie über “alle Pfade von a nach b” zu summieren ist: man
diskretisiert die Zeit und approximiert jeden möglichen Pfad von a nach b durch einen Polygon-Zug. Integration über einen Zwischenpunkt xj entspricht dabei der Summation über alle Wege von xj−1 nach xj+1 , weil bei
festgehaltenem xj−1 , xj+1 durch einen anderen Wert von xj ein neuer Pfad erzeugt wird. Über die Endpunkte
wird nicht integriert, da sie durch die Randbedingungen festgelegt sind.
Ein wesentlicher Aspekt des Pfadintegrals ist, dass es mit gewöhnlichen Zahlen operiert, nicht mit nichtkommutierenden Operatoren ! Dies ist ein enormer Vorteil gegenüber der gewöhnlichen Formulierung der
Quantenmechanik. Der Preis, den man dafür zahlen muss, steckt in der komplizierten Deﬁnition des Pfadintegrals: es ist ein unendlich-dimensionales Integral, ein sog. Funktional-Integral 7 .
7 Andere
Schreibweisen dafür sind
R
[dx] und
R
Dx.
15
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
Man kann nun zeigen, dass die übliche Schrödingertheorie aus Gl. (1.28) folgt. Dies geschieht auf folgende
Weise:
1. Die Wellenfunktion zu einem inﬁnitesimalen späteren Zeitpunkt t + ǫ ergibt sich aus der Wellenfunktion
zum Zeitpunkt t durch Anwenden des Zeitentwicklungs-Operators
Z
E
D ψ(x, t + ǫ) =
x Û (t + ǫ, t) ψ =
dy U (x, ǫ; y, 0) ψ(y, t)
Z +∞
m 1/2
iǫ m (x − y)2
(1.34)
=
dy
exp
−
V
(y)
ψ(y, t) ,
2πiǫ~
~ 2
ǫ2
−∞
TH
)
wobei in der letzten Zeile die diskretisierte Form (1.28) für den Zeitentwicklungsoperator mit N = 1
verwendet wurde.
.R
UP
AK
NA
2. Wir machen nun die Substitution ξ = y − x im Integral (1.34) und erhalten
m 1/2 Z +∞
iǫ
imξ 2
ψ(x, t + ǫ) =
exp − V (x + ξ) ψ(x + ξ, t) .
(1.35)
dξ exp
2πiǫ~
2ǫ~
~
−∞
Wegen des gaußschen Faktors im Integral, der die Werte von ξ auf O ǫ1/2 beschränkt, können wir nach
ξ entwickeln; ebenso nach Potenzen von ǫ:
(1.36)
NA
TH
JI(
DR
+∞
m 1/2 Z
iǫ
iǫ ∂
imξ 2
1 − V (x) − ξ V (x) + O ǫ2 , ǫξ 2
dξ exp
ψ(x, t + ǫ) =
2πiǫ~
2ǫ~
~
~ ∂x
−∞
1 ∂2
∂
· ψ(x, t) + ξ ψ(x, t) + ξ 2 2 ψ(x, t) + O ξ 3
∂x
2 ∂x
−∞
dξ exp
imξ 2
2ǫ~
.R
+∞
=
DR
Z
UP
3. Wir führen nun die gaußschen Integrale aus: diejenigen über ungerade Potenzen verschwinden, während
die Integrale über gerade Potenzen
2πiǫ~
m
1/2
,
Z
+∞
−∞
2
dξ ξ exp
imξ 2
2ǫ~
iǫ~
=
m
2πiǫ~
m
1/2
(1.37)
ergeben 8 . Dies führt zu
ψ(x, t + ǫ) = ψ(x, t) −
iǫ~ ∂ 2
iǫ
ψ(x, t) + O ǫ2 .
V (x) ψ(x, t) +
~
2m ∂x2
(1.38)
Die vernachlässigten Terme stammen von höheren Potenzen von ǫV (x), höheren Gliedern der Entwicklung
von V (x + ξ), sowie vom gaußschen Integral über die vierte Potenz von ξ. Man sieht jetzt auch, dass alle
Kurzzeit-Darstellungen (1.19, 1.32, 1.33) sich nur durch höhere Ordnungsterme unterscheiden und daher
im Grenzübergang ǫ → 0 zum selben Ergebnis führen.
4. Wenn wir jetzt mit i~/ǫ multiplizieren erhalten wir
i~
ψ(x, t + ǫ) − ψ(x, t)
~2 ∂ 2
ψ(x, t) + V (x)ψ(x, t) + O (ǫ) ,
= −
ǫ
2m ∂x2
(1.39)
was im Limes ǫ → 0 genau die Schrödingergleichung
i~ ψ̇(x, t) = −
8 Das
~2 ∂ 2
ψ(x, t) + V (x) ψ(x, t)
2m ∂x2
letzte Integral ist leicht durch Differentiation des gaußschen Integrals (0.1) nach dem Parameter a zu erhalten.
(1.40)
16
Kapitel 1 : Quantenmechanik
für ein Teilchen im Potential V (x) ist. Wie bereits erwähnt, muss man bei geschwindigkeitsabhängigen
Wechselwirkungen mehr Vorsicht walten lassen: zum Beispiel enthält die Wechselwirkung eines geladenen
Teilchens im Magnetfeld einen Term A(x) · ẋ (wobei A(x) das zugehörige Vektorpotential ist), bei dem es
entscheidend darauf ankommt, welche diskrete Form des Pfadintegrals in der obigen Ableitung verwendet
wird:
A(x) · (x − y)/ǫ , oder
[A(x) + A(y)] · (x − y)/(2ǫ) , oder
A((x + y)/2) · (x − y)/ǫ ? (Übungsaufgabe 7).
NA
TH
)
Einige weitere Eigenschaften des Zeitentwicklungs-Operators lassen sich aus der Pfadintegral-Form (1.28) gewinnen. Zum Beispiel kann man das Gesetz für aufeinanderfolgende Ereignisse ableiten: Sei tc eine Zwischenzeit
mit ta < tc < tb . Wenn wir die Intervalle in tc − ta = Lǫ , tb − tc = M ǫ aufteilen, erhalten wir
U (xb , tb ; xa , ta ) =
−∞
≡
−∞
−∞
Z +∞
DR
.R
#)
( L+M−1 " +∞
2
Z
iǫ X
m xk+1 − xk
− V (xk )
dxL+1 . . . dxL+M−1 exp
~
2
ǫ
k=L
TH
JI(
m M/2
M→∞ 2πiǫ~
· lim
UP
AK

"
#
+∞
+∞
Z

 iǫ L−1
m L/2 Z
X m xj+1 − xj 2
− V (xj )
dx1 . . . dxL−1
dxL exp
lim

~
L→∞ 2πiǫ~
2
ǫ
j=0
dxc U (xb , tb ; xc , tc ) U (xc , tc ; xa , ta ) ,
−∞
(1.41)
UP
NA
wobei wir xc ≡ xL gesetzt haben. Das ist das Kompositionsgesetz des Zeitentwicklungs-Operators, was
natürlich in der Operatorform (1.16) ganz oﬀensichtlich ist. Die Unitarität des Zeitentwicklungs-Operators
(1.42)
.R
Û (t′ , t) Û † (t′ , t) = Û (t′ , t) Û (t, t′ ) = 1̂
DR
ist ein Spezialfall davon. Das obige Beispiel illustriert, dass Pfadintegral-Methoden für den Nachweis solcher
Eigenschaften wesentlich umständlicher und undurchsichtiger sein können als die Operator-Verfahren: “nobody
is perfect”.
Weiterhin kann man beweisen, dass die Pfadintegral-Darstellung (1.28) auch für zeitabhängige Potentiale V (x, t)
gültig bleibt, wenn in jedem Zeitschritt der entsprechende Potentialwert genommen wird (Übungsaufgabe 3 ).
Dies ist wiederum eine Vereinfachung gegenüber der Operatorform der Quantenmechanik: bekanntlich muss
man dort die Operatoren chronologisch ordnen, um eine formale Lösung der Schrödingergleichung
i~
∂
Û (t′ , t) = Ĥ(t′ ) Û (t′ , t)
∂t′
(1.43)
für einen zeitabhängigen Hamilton-Operator zu erhalten.
Phasenraum-Pfadintegral
Wir erhalten eine andere Form des Pfadintegrals, wenn die p-Integration des gaußschen Integrals nicht ausgeführt wird:
17
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
U (xb , tb ; xa , ta )
=
+∞
Z
+∞
dpN
dp1 dp2
...
2π~
−∞ 2π~ 2π~
 −∞ "
#
N
 iǫ X

p2j
xj − xj−1
pj ·
· exp
−
− V (xj−1 )
~

ǫ
2m
j=1
Z tb
Z x(tb )=xb ′
D x(t) Dp(t)
i
exp
dt [ p(t) · ẋ(t) − H(p(t), x(t)) ] .
2π~
~ ta
x(ta )=xa
lim
N →∞
dx1 dx2 ... dxN −1
(1.44)
(1.45)
)
≡
Z
TH
Einige Anmerkungen zu dieser “Phasenraum”- oder Hamilton-Formulierung:
AK
NA
1. Das Argument der Exponentialfunktion ist wieder die klassische Wirkung geteilt durch das Wirkungsquantum, dieses Mal aber formuliert in Koordinaten und kanonischen Impulsen (vergl. Gl. (1.8)).
.R
UP
2. Das “ Integrationsmass” dxj dpj /(2π~) ist ein anderes als in der Lagrange-Formulierung; daher benutzen
wir zur Unterscheidung die Schreibweise D′ x(t). Die anschauliche und leicht merkbare Bedeutung ist,
dass der Phasenraum in Zellen der Grösse h = 2π~ eingeteilt wird.
DR
3. Es gibt eine zusätzliche Integration über dpN und keine Randbedingungen für die Impulse.
TH
JI(
4. Die Interpretation ist schwieriger: Summe über Trajektorien im Phasenraum ? Klassisch bestimmt jedoch
ein einziger Punkt im Phasenraum die Bahn.
.R
UP
NA
5. Während in der Lagrange-Formulierung die Pfade kontinuierlich und nur die Geschwindigkeiten diskontinuierlich sind (vergl. Abb. 3), sind auch die Wege im Phasenraum-Pfadintegral diskontinuierlich. Daher ist bei kanonischen Transformationen und anderen Manipulationen Vorsicht geboten (ein instruktives
Beispiel ist bei Schulman, p. 306-309 angegeben).
DR
6. Durch Einführen eines Regularisierungs-Faktors
Z
Z tb
1
i
dt ẋ2 + ṗ2
S[x, p] · exp −
lim
Dx Dp exp
ν→∞
~
2ν ta
(1.46)
kann das Phasenraum-Pfadintegral eindeutig deﬁniert werden [6].
Ein Beispiel : das freie Teilchen
Wir wollen nun explizit das Pfadintegral für den Propagator des freien Teilchens berechnen und benutzen dazu
die Hamilton-Formulierung. Wir schreiben die diskretisierte Wirkung in Gl. (1.44) als
S[x, p] =
N
−1
X
j=1
(pj − pj+1 ) · xj + pN · xN − p1 · x0 − ǫ
N
X
p2j
,
2m
j=1
(1.47)
und führen zuerst die xj -Integrationen aus. Dies ergibt (N − 1) δ-Funktionen, mit deren Hilfe wir die pj Integrationen (j = 1, 2...N − 1) ausführen können: p1 = p2 = ...pN −1 = pN . Es verbleibt
Z +∞
p2
dpN
i
U0 (xb , tb ; xa , ta ) = lim
pN · (xb − xa ) − ǫN N
.
(1.48)
exp
N →∞ −∞ 2π~
~
2m
18
Kapitel 1 : Quantenmechanik
Da ǫN = tb − ta ist, kann der Grenzübergang auf triviale Weise vollzogen werden, und wir erhalten mit der
Abkürzung T = tb − ta
U0 (xb , tb ; xa , ta ) =
=
dp
p2
i
p · (xb − xa ) −
exp
T
~
2m
−∞ 2π~
r
im
m
2
exp
(xb − xa ) .
2πi~T
2~T
Z
+∞
(1.50)
TH
)
Diskussion:
(1.49)
n
UP
erlaubt das Ablesen der normierten Eigenfunktionen
AK
NA
1. Der Vergleich von Gl. (1.49) mit der Spektral-Darstellung 9 des Zeitentwicklungs-Operators
X
X
U (xb , tb ; xa , ta ) = < xb |
|ψn >< ψn |e−iĤT /~ |xa > =
ψn (xb ) e−iEn T /~ ψn⋆ (xa )
DR
.R
1
ψp (x) = √
eip·x/~
2π~
und Eigenenergien
p2
,
2m
was natürlich mit dem erwarteten Ergebnis übereinstimmt.
TH
JI(
Ep =
(1.51)
n
(1.52)
(1.53)
DR
.R
UP
NA
2. Für ein freies Teilchen ist die klassische Wirkung Skl /~ = m(xb − xa )2 /(2~T ) (Übungsaufgabe 2 a) ),
was mit der Phase von Gl. (1.50) übereinstimmt. Wir werden sehen, dass dies kein Zufall ist, sondern
für alle Wirkungen gilt, die quadratisch in Koordinaten und Impulsen sind.
Das Anordnungsproblem
Wenn eine klassische Hamilton-Funktion gegeben ist, bei der Produkte von Koordinaten und Impulsen auftreten,
stellt sich die Frage, wie solche Formen zu quantisieren sind:
“ ... keine Regel, die auf der Korrespondenz zur klassischen Mechanik basiert, kann solche Mehrdeutigkeiten
auflösen, da diese von der Nichtvertauschbarkeit der Operatoren herrühren ... In allen Fällen praktischen InP
teresses muss man der folgenden Vorschrift folgen: ... Wenn die Hamilton-Funktion in die Form h i pi f (q1 ...qin )
P
gebracht wurde, ersetzt man ... (diesen) Term ... durch den symmetrisierten Ausdruck 21 i p̂i fˆi + fˆi p̂i ”
( {Messiah 1}, p. 70 )
Wie treten nun diese Mehrdeutigkeiten im Pfadintegral auf ? Oﬀensichtlich nicht in der symbolischen
Schreibweise, wie sie in den Gl. (1.29) und (1.45) verwendet wurde ! Tatsächlich treten sie in dem harmlos
erscheinenden Problem auf, wie die Hamilton-Funktion in der diskretisierten Form des Pfadintegrals behandelt
wird, z.B. als
9 Das
Spektrum ist hier natürlich vollkommen kontinuierlich und die Summation über diskrete Zustände ψn muss durch ein
Integral über den kontinuierlichen Parameter p ersetzt werden.
19
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
a) äussere Mittelwertbildung:
1
2
[H(pj , xj ) + H(pj , xj−1 )]
x +x
b) innere Mittelwertbildung: H pj , j 2 j−1
c) rechtsseitig: H(pj , xj )
d) linksseitig: H(pj , xj−1 ) .
Treten in der Hamilton-Funktion keine Produkte von x und p auf, so ergeben – wie erwähnt – die verschiedenen
Vorschriften identische Resultate und man kann die einfachste Formulierung wählen. Im allgemeineren Fall
kann man zeigen, dass für die Behandlung von Produkten der Form
A := pm xn
TH
)
(1.54)
NA
in der Hamilton-Funktion folgende Korrespondenz zwischen den obigen Pfadintegral-Vorschriften und der Operator-Ordnung besteht:
1
2
UP
AK
[ p̂m x̂n + x̂n p̂m ]
Pn
b) 21n k=0 nk x̂k p̂m x̂n−k
a)
.R
c) x̂n p̂m
DR
d) p̂m x̂n .
NA
TH
JI(
Da x̂, p̂ hermitesche Operatoren sind, ergeben nur die symmetrischen Formen a) und b) ebenfalls wieder hermitesche Operatoren. Die Regel b) wird als Weyl’sche Quantisierungsvorschrift oder auch als “MittelpunktsRegel” bezeichnet und ergibt sich automatisch, wenn man Gl. (1.54) als Wigner-Transformierte
+∞
dy
−∞
.R
UP
A ≡ AW (x, p) =
Z
D
x−
y y E ip·y/~
e
Â x +
2
2
DR
des entsprechenden quantenmechanischen Operators Â betrachtet. Die Umkehrtransformation ist
(Übungsaufgabe 5)
Z +∞
D E
′
dp
x + x′
′
=
x Â x
AW
, p eip·(x−x )/~ .
2π~
2
−∞
(1.55)
(1.56)
Wenn wir dies auf einen einzelnen Faktor in der Trotter’schen Produktformel anwenden, erhalten wir
! Z +∞
E
D
xj+1 + xj
dpj
−iǫĤ/~ −iǫĤ/~
e
, pj eipj ·(xj+1 −xj )/~
=
xj+1 e
xj
2
−∞ 2π~
W
|
{z
}
=1−iǫHW ((xj+1 +xj )/2,pj )/~+...
≃
+∞
Z
−∞
dpj
iǫ
exp − HW
2π~
~
xj+1 + xj
, pj
2
eipj ·(xj+1 −xj )/~ ,
(1.57)
was zu einer Verallgemeinerung von Gl. (1.44) für beliebige Hamiltonoperatoren führt und die Mittelpunktsregel
enthält.
Die Anordnungs-Vorschrift wird wichtig, wenn man krummlinige Koordinaten einführt oder in gekrümmten
Räumen quantisieren will. Eine weniger exotische Anwendung ist der Fall eines geladenen Teilchens im Magnetfeld, weil die Minimal-Substitution für das elektromagnetische Feld zu der geschwindigkeitsabhängigen LorentzKraft führt (Übungsaufgabe 7).
20
Kapitel 1 : Quantenmechanik
Fourier-Pfadintegral
Wir werden im Folgenden den Propagator für den harmonischen Oszillator, d.h. für das Potential
V (x) =
1
mω 2 x2
2
(1.58)
TH
)
durch eine Methode bestimmen, die illustriert, wie man über Pfade funktional integriert, die durch FourierReihen und nicht durch Polygon-Züge parametrisiert sind. Gleichzeitig wollen wir in verstärktem Masse die symbolische Schreibweise des Pfadintegrals benutzen, werden aber bei Bedarf und bei Unklarheiten die diskretisierte
Form heranziehen. Zunächst führen wir im Pfadintegral
Z tb Z x(tb )=xb
i
m 2 m 2 2
Dx(t) exp
U (xb , tb ; xa , ta ) =
(1.59)
ẋ − ω x
dt
~ ta
2
2
x(ta )=xa
y(t) = x(t) − xkl (t)
NA
eine neue Integrationsvariable ein:
(1.60)
TH
JI(
DR
.R
UP
AK
wobei xkl (t) der klassische Pfad ist. Er erfüllt die Bewegungsgleichung ẍkl + ω 2 xkl = 0 mit den Randbedingungen xkl (ta ) = xa und xkl (tb ) = xb . Die Jacobi-Determinante der Transformation ist 1, da in jedem
xj -Integral nur eine Verschiebung stattﬁndet. Die Wirkung in der neuen Integrationsvariablen ist
Z +∞
δS
y(σ)
S[x(t)] = S[xkl (t) + y(t)] = S[xkl (t)] +
dσ
δx
kl (σ)
−∞
Z
Z +∞
1 +∞
δ2 S
(1.61)
+
y(σ) y(σ ′ ) .
dσ
dσ ′
2 −∞
δxkl (σ)δxkl (σ ′ )
−∞
UP
NA
Vertiefung 3: Jacobi-Determinante und Funktional-Ableitung
R
Wird in einem n-dimensionalen Integral I = V dx1 . . . dxn f (x1 , . . . xn ) eine Variablensubstitution xi = xi (ξ1 , . . . ξn ), i = 1 . . . n
durchgeführt, dann gilt
Z
∂xi
(1.62a)
I =
dξ1 . . . dξn |J | f (ξ1 , . . . ξn ) ,
J = detn
∂ξj
V′
DR
.R
wobei J die Jacobi-Determinante darstellt und V ′ das transformierte Integrationsgebiet in den neuen Variablen ist.
Die Funktional-Ableitung ist die Verallgemeinerung der partiellen Ableitung einer Funktion mehrerer Veränderlichen auf unendlich viele
Variable. Man kann sie durch
Z
δS[x]
S[x + ǫη] − S[x]
dσ
η(σ) = lim
(1.62b)
ǫ→0
δx(σ)
ǫ
definieren, wobei η(σ) eine beliebige Testfunktion ist. Daraus folgt sofort
δx(t)
= δ(t − σ)
δx(σ)
(1.62c)
(vergl. ∂xi /∂xj = δij ). Unter Beachtung der obigen Regel gelten für Funktional-Ableitungen die üblichen Vorschriften wie Produktregel
und Kettenregel (siehe Übungsaufgabe 4).
Die (Funktional-)Taylorentwicklung bricht in diesem Fall ab, da die Wirkung quadratisch ist. Der erste Term
in Gl. (1.61) ist die klassische Wirkung des harmonischen Oszillators, die man zu
h.O.
Skl
=
i
m ω h 2
(xa + x2b ) cos ωT − 2xa · xb
2 sin ωT
(1.63)
bestimmt (Übungsaufgabe 2 b) ). Dabei ist wieder T = tb − ta die Zeitdiﬀerenz. Der zweite Term in
Gl. (1.61) verschwindet, weil wir um die klassische Bahn entwickelt haben, die durch δSkl = 0 bestimmt ist.
Schliesslich ﬁndet man leicht (Übungsaufgabe 4 b) )
Z tb
Z
Z
hm
i
1 +∞ +∞
m
δ2S
′
dt
y(σ)
y(σ
)
=
ẏ 2 (t) − ω 2 y 2 (t) .
(1.64)
dσ dσ ′
′
2 −∞ −∞
δxkl (σ)δxkl (σ )
2
2
ta
21
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
Damit ist die Berechnung des Propagators für den harmonischen Oszillator
U (xb , tb ; xa , ta ) = F (tb , ta ) eiSkl /~
(1.65)
auf die Berechnung des einfacheren Pfadintegrals
F (tb , ta ) =
Z
y(tb )=0
Dy(t) exp
y(ta )=0
i
~
Z
tb
dt
ta
m
m
.
ẏ 2 − ω 2 y 2
2
2
(1.66)
zurückgeführt. Wegen Zeittranslations-Invarianz kann der Vorfaktor natürlich nur von der Diﬀerenz T = tb − ta
abhängen.
NA
TH
)
Da alle Pfade y(t) von 0 bei t = ta nach 0 bei t = tb gehen, können sie auch als Fourier-Sinus-Reihe
geschrieben werden:
N
−1
X
kπ(t − ta )
y(t) =
bk sin
,
(1.67)
T
UP
AK
k=1
Vertiefung 4: Mathematischer Hintergrund
.R
Man beachte, dass dies nicht die übliche Fourier-Reihe einer Funktion f (t) ist, die bekanntlich
DR
X
∞
∞
X
a0
2kπt
2kπt
+
ak cos
+
bk sin
=
2
T
T
k=1
k=1
+∞
X
ck exp
k=−∞
TH
JI(
f (t) =
2kπit
T
(1.68a)
y(t) =
NA
lautet und die (periodische) Funktion im Intervall 0 < t < T darstellt. Wegen der Periodizität können offensichtlich verschiedene Funktionswerte an den Randpunkten nicht dargestellt werden. Da die Fluktuationen um den klassischen Pfad jedoch an den Randpunkten
verschwinden und daher die Funktion y(t) tatsächlich periodisch ist, könnte man also auch den Ansatz
∞
X
ak
cos
2kπt
T
−1
+
∞
X
bk sin
k=1
2kπt
T
(1.68b)
sind die Fourier-Reihen mit doppelter Periode
.R
10
DR
verwenden. Weniger bekannt
UP
k=1
f (t) =
∞
X
a0
kπt
+
ak cos
,
2
T
k=1
(1.68c)
was eine Funktion im vollen Intervall 0 ≤ t ≤ T darstellt und
f (t) =
∞
X
k=1
bk sin
kπt
T
,
(1.68d)
was für eine beliebige Funktion f (t) im Intervall 0 < t < T gilt, also mit Ausnahme der Randpunkte. Da die Fluktuationen jedoch an den
Randpunkten verschwinden, ist die letztere Form für unsere Zwecke am geeignetesten, weil sie dieses Verhalten bereits eingebaut hat.
Statt über die Zwischenpunkte yj , j = 1...(N −1) können wir im Pfadintegral auch über die Fourier-Koeﬃzienten
bk , k = 1...(N − 1) integrieren. Tatsächlich ist dies eine lineare Transformation, deren Jacobi-Determinante
konstant und unabhängig von ω, m und ~ ist. Bei der Berechnung der Wirkung behalten wir jedoch das volle
Zeit-Integral und benutzen nicht wie bisher seine Approximation als Riemann-Summe – der Unterschied ist von
höherer Ordnung und verschwindet im Kontinuums-Grenzfall ǫ → 0. Mit Hilfe der Orthogonalitäts-Relationen
der trigonometrischen Funktionen im Intervall [0, T ] ﬁndet man dann für die kinetische Energie
Z
tb
ta
10 Siehe,
dt
2
m X kπ
m 2
ẏ (t) = T
b2k ,
2
4
T
z. B., {Bronstein-Semendjajew}, S. 475
k
(1.69)
22
Kapitel 1 : Quantenmechanik
für die potentielle Energie
Z
tb
dt
ta
X
m
m 2 2
ω y (t) = ω 2 T
b2k
2
4
und damit
F (T ) = const.
Z
+∞
−∞
(1.70)
k
db1 db2 ... dbN −1 exp
(
#
)
"
2
N −1 imT X
kπ
2
2
− ω bk .
4~
T
(1.71)
k=1
Das ist einfach das (N − 1)-fache Produkt eines gaußschen Integrals, so dass wir erhalten
" N −1 1/2
#−1/2
2 2
Y
ωT
ω
T
N →∞
′
′
.
−→ const .
F (T ) = const .
1 − 2 2
k π
sin ωT
(1.72)
TH
)
k=1
UP
AK
NA
Im letzten Schritt haben wir die auf Euler {Euler} zurückgehende Produktdarstellung von sin x/x verwendet.
Die Konstante bestimmen wir aus der Forderung, dass für ω = 0 das Ergebnis (1.50) für das freie Teilchen
folgen muss. Daher ist
1/2
mω
F h.O. (T ) =
.
(1.73)
2πi~ sin ωT
TH
JI(
DR
.R
Dies gilt nur für T < π/ω – dann sind alle Faktoren im Produkt reell. Für π/ω < T < 2π/ω bekommt
F (T ) zusätzlich einen Faktor (−1)−1/2 = −i, weil der k = 1-Term des Produkts negativ geworden ist 11 ; für
2π/ω < T < 3π/ω einen Faktor (−i)2 usw. Allgemein wird Gl. (1.73) mit der Maslov-Korrektur
π
e−in 2
(1.74)
DR
.R
UP
NA
multipliziert, wobei n die Anzahl der Durchgänge durch einen Fokal-Punkt der Trajektorie darstellt [7]. An
diesen Punkten ist die quantenmechanische Wahrscheinlichkeits-Amplitude singulär, was in realen Systemen
durch anharmonische Terme verhindert wird, so dass die Intensität nur maximal wird. Die räumliche Ansammlung solcher Punkte wird die Kaustik genannt und ist ein in der Optik häuﬁg anzutreﬀendes Phänomen (z. B.
beim Auftreﬀen von Sonnenlicht auf ein Wasserglas (siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Kaustik)). Die MaslovKorrektur ist eine Folge des sog. Index-Theorems und wird uns wieder bei den halbklassischen Näherungen
begegnen.
Aus dem Ergebnis in den Gleichungen (1.65, 1.63) und (1.73) lassen sich wieder die Energie-Eigenwerte und
Eigenfunktionen des (eindimensionalen) Systems gewinnen: Unter Verwendung von
cos ωT =
erhält man
U
11 Eine
h.O.
1 iωT
1 + e−2iωT ,
e
2
i sin ωT =
1 iωT
1 − e−2iωT
e
2
r
−2iωT
e−iωT
mω
mω −iωT /2
2
2 1+e
−2iωT −1/2
(xa + xb )
1−e
exp −
− 4xa ·xb
e
=
π~
2~
1 − e−2iωT
1 − e−2iωT
r
h
i
mω 2
1
mω −iωT /2
e
(x + x2b ) 1 + 2e−2iωT
1 + e−2iωT + ... exp −
=
π~
2
2~ a
2mω
−iωT
· exp
xa · xb e
(1 + ...)
~
andere Möglichkeit, dies zu beweisen, ist, das Kompositionsgesetz des Zeitentwicklungs-Operators zu verwenden, siehe
Übungsaufgabe 9 a).
23
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
und der Vergleich mit der Spektral-Darstellung (1.51) ergibt
ψ0 (x)
=
ψ1 (x)
=
mω 1/4
π~
mω 1/4
π~
mω exp −
x2 ,
2~
r
mω 2mω
x exp −
x2 ,
~
2~
1
~ω
2
3
E1 = ~ω .
2
E0 =
(1.75a)
(1.75b)
Da wir nach Potenzen von e−iωT entwickeln und immer ein zusätzlicher Faktor e−iωT /2 vom Vorfaktor auftritt,
ist klar, dass die allgemeine Energieformel
1
En = n +
~ω , n = 0, 1, ...
(1.76)
2
1
2 ~ω
)
vom Vorfaktor, d.h. von den quadratischen
NA
TH
lautet. Man beachte, dass die Nullpunkts-Energie
Fluktuationen um den klassischen Pfad herrührt.
AK
Vertiefung 5: Alle Eigenfunktionen
.R
UP
Die allgemeine Form der Eigenfunktionen kann man aus Mehlers Formel ({Bateman Proj. 2}, ch. 10.13, eq. (22)) für die HermitePolynome
"
#
∞
−1/2
X
2ξηz − (ξ 2 + η 2 )z 2
(z/2)n
Hn (ξ) Hn (η) = 1 − z 2
exp
(1.77a)
n!
1 − z2
n=0
−1/2
Hn
x
b
exp
−
x2
2b2
!
,
(1.77b)
Quadratische Lagrange-Funktionen
12
DR
.R
Wir betrachten nun die allgemeine
UP
1.3
πb 2n n!
NA
was mit {Messiah 1}, eq. (B.70) übereinstimmt.
√
TH
JI(
ψn (x) =
DR
ableiten: wenn man ξ = xa /b , η = xb /b , ( b = ~/(mω) ist die Oszillatorlänge), z = exp(−iωT ) setzt und beide Seiten der mehlerschen
Formel mit exp[−(ξ 2 + η 2 )/2] multipliziert, findet man aus dem Vergleich mit der Spektral-Darstellung (1.51)
L =
quadratische Lagrange-Funktion
1
1
m ẋ2 + b(t) x · ẋ − c(t) x2 + d(t) ẋ − e(t) x .
2
2
(1.78)
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man die Terme mit den Koeﬃzienten-Funktionen b(t) und d(t)
weglassen, weil sie in der Wirkung durch eine partielle Integration den Termen c(t), bzw. e(t) zugeschlagen
werden können. Wir haben also nur
L =
1
1
m ẋ2 − c(t) x2 − e(t) x
2
2
(1.79)
zu betrachten. Spezialfälle umfassen das freie Teilchen (c = e = 0), den harmonischen Oszillator (e = 0, c =
mω 2 ) oder den erzwungenen harmonischen Oszillator (c = mω 2 , e 6= 0). Wie bei der Behandlung des harmonischen Oszillators im vorigen Abschnitt führen wir die Abweichung vom klassischen Pfad
y(t) = x(t) − xkl (t)
(1.80)
als Integrationsvariable ein. xkl (t) ist Lösung der klassischen Bewegungsgleichung
mẍkl + c(t)xkl + e(t) = 0
12 Bis
(1.81)
auf die Tatsache, dass die Masse konstant bleibt. Allgemeine zeitabhängige quadratische Hamilton-Systeme werden z. B.
in [8] behandelt.
24
Kapitel 1 : Quantenmechanik
mit den Randbedingungen
xkl (ta ) = xa
xkl (tb ) = xb .
(1.82)
Funktionale Entwicklung der Wirkung S[x(t)] = S[xkl (t) + y(t)] ergibt wiederum
U (xb , tb ; xa , tb ) = e
iSkl /~
Z
y(tb )=0
y(ta )=0
Dy(t) exp
i
~
Z
tb
dt
ta
m 2 1
ẏ − c(t)y 2
2
2
= eiSkl /~ F (tb , ta ) .
(1.83)
Explizit lautet der Vorfaktor
F (tb , ta ) = lim NǫN +1



+1  i NX
m
1
2
,
(yj − yj−1 ) − ǫ cj yj2
exp

~
2ǫ
2
j=1
dy1 dy2 . . . dyN
(1.84)
)
N →∞
Z
m 1/2
2πiǫ~
NA
(1.85)
AK
Nǫ =
TH
wobei wir im diskretisierten Pfadintegral N durch N + 1 ersetzt haben. Ferner bezeichnet
DR
N →∞
.R
UP
den Normierungsfaktor des Lagrange-Pfadintegrals und cj = c(tj ) = c(ta + jǫ). Gl. (1.84) ist wiederum ein
gaußsches N -dimensionales Integral von der Form
Z
t
N +1
F (tb , ta ) = lim Nǫ
dy1 dy2 . . . dyN eiy BN y ,
(1.86)
0
NA
0 ...
−1 . . .
2 ...
..
.
UP
BN


m 

=
2ǫ~ 


2 −1
−1
2
0 −1
0
0
.R

TH
JI(
wobei yt den Zeilenvektor (y1 . . . yN ) bezeichnet, y den entsprechenden Spaltenvektor und
0
0
0
0
0
0
. . . −1 2








 − ǫ 

2~ 




c1
0
0
0
c2
0
0
0
c3
0
0
0
...
...
...
..
.
0
0
0
. . . cN




.



(1.87)
DR
Im Gegensatz zu den früheren Anwendungen faktorisiert dieses Integral jedoch nicht mehr in einzelne gaußsche
Integrale vom Typ der Gl. (0.1). Dies ist erst der Fall, wenn wir die reelle, symmetrische Matrix BN durch eine
orthogonale Transformation diagonalisiert haben. Das Produkt der Eigenwerte im Nenner des Wurzelausdruckes
von Gl. (0.1) ergibt dann gerade die Determinante der Matrix.
Allgemein lautet das gaußsche Integral für eine reelle, symmetrische Matrix A daher
GN (A) :=
Z
+∞
−∞
dx1 dx2 . . . dxN e−x
t
Ax
=
π N/2
√
.
det A
(1.88)
Hier muss die Matrix A allerdings auch noch positiv definit 13 sein, damit das Integral konvergiert. Im
vorliegenden Fresnel-Fall, in dem A = 0+ I − iBN ist, spielt das Vorzeichen der Eigenwerte von BN aber wieder
keine Rolle. Der Vorfaktor ist dann
s
m
1
π N/2 NǫN +1
=
(1.89)
F (tb , ta ) = lim p
N →∞
2πi~ f (tb , ta )
det ( −iBN )
13 d.h.
alle Eigenwerte sind > 0. Über weitere Eigenschaften positiv definiter Matrizen, siehe, z. B., {Horn-Johnson}, ch. 7.
25
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
mit
f (tb , ta ) = lim ǫ
N →∞
2~ǫ
m
N
det BN .
(1.90)
TH
)
Es bleibt das Problem, die Determinante der Matrix BN zu berechnen und den Grenzübergang N → ∞ , ǫ → 0
zu vollziehen. Gel’fand und Yaglom [9] haben gezeigt, dass dies durch Lösen einer Diﬀerentialgleichung möglich
ist: wir müssen die Grösse




c1 0 0 . . .
0 
2 −1 . . .
0 0






 0 c

 −1


0 ...
0 
2 ...
0 0 
2






N

2
 ǫ 


2~ǫ




0
0
c
.
.
.
0
0
−1
.
.
.
0
0
3
pN =
(1.91)
det BN = det 
− m 


m




..
..






.
.






0 0 0 . . . cN
0
0 . . . −1 2
.R
UP
AK
NA
berechnen. Dies geschieht durch Entwicklung von pj+1 nach der (j + 1)-ten Spalte. Die verbleibende Determinante wird nach der j-ten Zeile entwickelt. Auf diese Weise erhält man die Rekursionsbeziehung
ǫ2
j = 2, 3 . . . N − 1 ,
(1.92)
pj+1 = 2 − cj+1 pj − pj−1 ,
m
DR
die mit der Konvention p0 = 1 auch für j = 1 gilt. Schreiben wir Gl. (1.92) als
(1.93)
TH
JI(
cj+1
pj+1 − 2pj + pj−1
= −
pj
ǫ2
m
UP
NA
dann erkennen wir, dass im Limes ǫ → 0 die gesuchte Funktion ǫpj −→ f (t, ta ) durch die Lösung der
Diﬀerentialgleichung
c(t)
∂ 2 f (t, ta )
= −
f (t, ta )
2
∂t
m
(1.94)
DR
.R
gegeben ist. Die Anfangsbedingungen sind
f (ta , ta ) =
∂f (t, ta ) =
∂t
t=ta
ǫp0 = ǫ −→ 0
ǫ2
p1 − p0
= 2 − c1 − 1 −→ 1 .
ǫ
ǫ
m
(1.95)
Beispiele :
1. Als Test betrachten wir den harmonischen Oszillator, d.h. c = mω 2 . Die Gel’fand-Yaglom-Diﬀerentialgleichung
(1.94) ist in diesem Fall einfach eine Schwingungsgleichung mit der allgemeinen Lösung f (t, ta ) =
C sin (ω(t − ta ) + γ). Die Randbedingungen (1.95) bestimmen die Integrationskonstanten zu γ = 0, ωC =
1 . Damit erhalten wir tatsächlich das richtige Ergebnis
f h.O. (tb , ta ) =
1
sin(ωT ) .
ω
(1.96)
2. Auch der erzwungene harmonische Oszillator ( c = mω 2 , e(t) beliebig ) kann auf diese Weise behandelt
werden. Seine klassische Wirkung ist (Übungsaufgabe 4 c) )
26
Kapitel 1 : Quantenmechanik
Skl
mω
=
2 sin ωT
(
(x2b + x2a ) cos ωT − 2xa · xb −
2xb
mω
Z
−
−
2
2
m ω2
Z
tb
dt
Z
t
ta
ta
tb
dt e(t) sin ω(t − ta )
ta
Z
2xa
mω
tb
ta
dt e(t) sin ω(tb − t)
)
dt′ e(t) e(t′ ) sin ω(tb − t) sin ω(t′ − ta )
.
(1.97)
NA
TH
)
Die Funktion f (tb , ta ) und damit der Vorfaktor bleiben dieselben wie beim freien harmonischen Oszillator,
da e(t) nicht in der Gel’fand-Yaglom-Gleichung auftaucht. Damit ist dieses Problem vollständig durch
Quadraturen gelöst !
DR
.R
UP
AK
Eine weitere Vereinfachung ergibt sich aus der Tatsache, dass man die Gel’fand-Yaglom-Gleichung nicht einmal
zu lösen braucht, wenn man bereits die klassische Wirkung kennt. Man kann nämlich zeigen (Übungsaufgabe
8), dass
1 ∂ 2 Skl
1
(1.98)
= −
f (tb , ta )
m ∂xa ∂xb
TH
JI(
gilt, was bedeutet, dass der Zeitentwicklungs-Operator vollständig durch die klassische Wirkung bestimmt ist.
Wenn die klassische Bahn durch einen sogenannten Fokalpunkt führt, an dem f (tb , ta ) verschwindet, tritt –
wie beim einfachen harmonischen Oszillator – eine zusätzliche Phase auf, d.h.
,
(1.99)
.R
UP
NA
v
u
n h
u 1 ∂ 2 Skl πi o
U (xb , tb ; xa , ta ) = t
exp i Skl (xb , xa )/~ − n
2πi~ ∂xa ∂xb 2
DR
wobei n die Anzahl der Fokalpunkte (einschliesslich ihrer Multiplizität) ist.
Es ist instruktiv, den Vorfaktor in der symbolischen Schreibweise des Pfadintegrals zu berechnen:
"
#
Z y(tb )=0
Z
i
const
δ2 S
′
′
F (tb , ta ) =
Dy exp
.
y(t ) = √
dt dt y(t)
′ ) 2~
δx(t)δx(t
Det
δ 2 Skl
y(ta )=0
(1.100)
kl
Hierbei ist Det δ 2 S die Funktional-Determinante des Operators
2
δ
S
1
m ∂2
2
δ Skl ≡
− c(t) δ(t − t′ ) ,
= −
δx(t)δx(t′ ) 2 ∂t2
2
(1.101)
kl
also das Produkt seiner Eigenwerte. Daher kann man n auch als Anzahl der negativen Eigenwerte des
Operators δ 2 Skl bezeichnen (Indextheorem von Morse).
Vertiefung 6: Berechnung von Funktional-Determinanten
Man muss die Eigenwerte von δ 2 Skl im Raum der Funktionen berechnen, die die Randbedingungen des Pfadintegrals erfüllen, d. h. die
sowohl bei ta als auch bei tb verschwinden. Als Beispiel nehmen wir den einfachen Fall c(t) = mω 2 , bei dem die Eigenwertgleichung
−
m ¨
m 2
f (t) −
ω f (t) = λ f (t)
2
2
(1.102a)
27
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
lautet. Die Eigenfunktion, die bei ta verschwindet, ist offensichtlich
f (t) = C · sin
"
2
λ
+ ω2
m
#
1/2 .
t − ta
(1.102b)
Die Randbedingung bei t = tb bestimmt den Eigenwert zu
2
λ
+ ω2
m
=⇒
1/2
T
=
kπ
λk (ω)
=
m k2 π 2
2 T2
1−
ωT
kπ
2 = λk (ω = 0) ·
1−
ωT
kπ
2 (1.102c)
,
)
was unmittelbar auf die Produktdarstellung (1.72) für den Vorfaktor des harmonischen Oszillators führt. Im allgemeinen Fall muss
man dieses unendliche Produkt von Eigenwerten berechnen, ohne dass Euler zu Hilfe kommt ... Offensichtlich ist dieses Verfahren, eine
Funktional-Determinante auszurechnen, zwar allgemein, aber viel schwieriger als die Gel’fand-Yaglom-Methode, die allerdings nur bei
ein-dimensionalen Systemen anwendbar ist. Zur Berechnung funktionaler Determinanten für radiale Operatoren siehe [10].
NA
TH
Es ist einfach, Gl. (1.99) auf beliebige Raumdimension d zu verallgemeinern: für jede Dimension ergeben die
quadratischen Fluktuationen einen Vorfaktor in Form eines Wurzelausdruckes und die zweite Ableitung der
klassischen Wirkung nach den Randpunkten wird durch die van-Vleck-Pauli-Morette-Determinante
AK
∂ 2 Skl
∂ 2 Skl
−→ det
∂xa ∂xb
∂xa ∂xb
UP
(1.103)
TH
JI(
v
d/2 u
n h
io
2
u
1
tdet ∂ Skl exp i Skl (xb , xa )/~ − n d π
2πi~
∂xa ∂xb 2
.
(1.104)
Störungstheorie
.R
1.4
UP
NA
U (xb , tb ; xa , ta ) =
DR
.R
ersetzt. Man beachte, dass dies eine gewöhnliche d × d-Determinante und nicht eine Funktional-Determinante
ist (die wir als Det schreiben). Das Ergebnis lautet also
DR
Wir betrachten jetzt (zur Vereinfachung wieder: eindimensionale) Bewegungen in einem allgemeinen Potential
V (x) , d.h. Lagrange-Funktionen der Form
L=
m 2
ẋ − V (x) .
2
(1.105)
Das Pfadintegral ist jetzt im allgemeinen nicht mehr lösbar 14 . Eine weit verbreitete Methode für schwache
Wechselwirkungen (Potentiale) ist die Störungstheorie, die wir aus der Phasenraum-Formulierung (1.45) durch
Entwicklung nach Potenzen des Potentials gewinnen können:
" Z ′
!j
# X
j
Z x(t′ )=x′ ′
Z t′
∞ D x Dp
i
1
i t
p2
′ ′
U (x , t ; x, t) =
−
exp
dτ V (x(τ ))
dσ p ẋ −
2π~
~ t
2m
~
j!
x(t)=x
t
j=0
j
∞ X
i
(1.106)
Uj (x′ , t′ ; x, t) .
=:
−
~
j=0
Der erste Term ist der freie Propagator, den wir bereits in Gl. (1.50) bestimmt haben:
Z +∞
p2 ′
i
dp
′
′ ′
p (x − x) −
exp
(t − t)
.
U0 (x , t ; x, t) =
~
2m
−∞ 2π~
14 Für
(1.107)
spezielle Fälle, wie z. B. das Coulomb-Potential, sind besondere Methoden gefunden worden, die (bereits bekannte) Lösung
auch im Pfadintegral-Formalismus zu erhalten, siehe etwa [11]. Diese Methoden helfen jedoch nicht im allgemeinen Fall.
28
Kapitel 1 : Quantenmechanik
Wir betrachten nun den nächsten Term der Störungsentwicklung
" Z ′
# Z t′
Z x(t′ )=x′ ′
t
2
i
p
D
x
Dp
exp
dτ V (x(τ )) .
U1 (x′ , t′ ; x, t) =
dσ p ẋ −
2π~
~ t
2m
t
x(t)=x
In der diskretisierten Form ist der letzte Faktor
Z t′
N
X
V (xj ) ,
dτ V (x(τ )) = ǫ
t
t′ − t
N
mit ǫ =
j=1
(1.108)
(1.109)
und daher
j=1 k=1
)
N →∞
 +∞
 +∞
( N )
Z
Z
2
X
dx
dp
i
p
dp
k
k
N
l


. (1.110)
V (xj ) exp
pl (xl − xl−1 ) − ǫ
2π~
2π~
~
2m
−∞
l=1
−∞
TH
U1 (x′ , t′ ; x, t) = lim ǫ
N N
−1
X
Y
AK
NA
Wie bei der Berechnung des freien Propagators schreiben wir den Exponenten als
" N −1
#
N
X
p2l
i X
′
(pl − pl+1 ) xl + pN x − p1 x − ǫ
~
2m
(1.111)
l=1
UP
l=1
lim ǫ
N →∞
N Z
X
+∞
dxj V (xj )
DR
U1 (x′ , t′ ; x, t) =
−∞
j=1
.R
und führen alle xk -Integrationen aus (mit Ausnahme von xj ). Dies ergibt (N − 2) Impuls-δ-Funktionen
N Z
Y
k=1
+∞
−∞
dpk
2π~
(2π~)N −2
TH
JI(
· δ (p1 − p2 ) δ (p2 − p3 ) . . . δ (pj−1 − pj ) δ (pj+1 − pj+2 ) . . . δ (pN −1 − pN )
)
(
N
X
p2l
i
′
.
[(pj − pj+1 )xj + pN x − p1 x] − ǫ
· exp
~
2m
(1.112)
NA
l=1
lim ǫ
N →∞
N Z
X
.R
=
j=1
DR
U1 (x′ , t′ ; x, t)
UP
Diese erzwingen p1 = p2 = . . . pj−1 = pj und pj+1 = pj+2 = . . . pN −1 = pN , so dass wir
+∞
dxj V (xj )
−∞
Z
dpj dpN
i
′
exp
[(p
−
p
)x
+
p
x
−
p
x]
j
N
j
N
j
2
~
−∞ (2π~)
!#
"
p2j
p2N
i
j+
(N − j)
(1.113)
· exp − ǫ
~
2m
2m
+∞
erhalten. Wenn wir nun ξ = xj , p = pj und p′ = pN schreiben, lautet das Ergebnis
U1 (x′ , t′ ; x, t)
=
lim ǫ
N →∞
N Z
X
j=1
+∞
dξ V (ξ)
−∞
Z
|
·
+∞
−∞
dp′
exp
2π~
p′2
i
(x′ − ξ)p′ −
ǫ(N − j)
~
2m
{z
}
=U0 (x′ ,t′ ;ξ,t+jǫ)
Z
+∞
| −∞
dp
exp
2π~
p2
i
(ξ − x)p −
jǫ
.
~
2m
{z
}
(1.114)
=U0 (ξ,t+jǫ;x,t)
Der Grenzwert kann nun ausgeführt werden und ergibt ein riemannsches Integral über die Zwischenzeit τ , (τj =
t + jǫ)
Z t′
Z +∞
U1 (x′ , t′ ; x, t) =
dτ
dξ U0 (x′ , t′ ; ξ, τ ) V (ξ) U0 (ξ, τ ; x, t) .
(1.115)
t
−∞
Von rechts nach links gelesen kann dieser Beitrag zur Störungstheorie als ein Feynman-Diagramm gezeichnet
werden; dies ist in Abb. 4a dargestellt.
29
NA
TH
)
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
DR
.R
UP
AK
Abb. 4 : (a) Feynman-Diagramm in 1. Ordnung Störungstheorie für den Zeitentwicklungs-Operator
in Gl. (1.115). Die durchgezogenen blauen Linien stellen den freien Propagator zwischen zwei
Raum-Zeit-Punkten dar, die gestrichelte rote Linie die Wirkung des Potentials V . Über
Zwischenpunkte wird integriert.
(b) Feynman-Diagramm für die 2. Ordnung, siehe Gl. (1.119).
TH
JI(
Ähnlich verfährt man mit den höheren Ordnungen
" Z ′
#
′
′
Z
i t
p2
1 x(t )=x D′ x Dp
′ ′
exp
dσ p ẋ −
Uj (x , t ; x, t) =
j! x(t)=x
2π~
~ t
2m
t
.R
t
UP
NA
Durch vollständige Induktion kann man
!j
Z t′
Z t′
Z
dτ V (x(τ ))
= j!
dτ1
τ1
dτ2 . . .
Z
Z
t
t′
!j
dτ V (x(τ ))
.
(1.116)
τj−1
dτj V (x(τ1 )) V (x(τ2 )) . . . V (x(τj ))
(1.117)
t
t
DR
beweisen, was nach einer ähnlichen Rechnung auf
Z t′
Z +∞
Uj (x′ , t′ ; x, t) =
dτ
dξ U0 (x′ , t′ ; ξ, τ ) V (ξ) Uj−1 (ξ, τ ; x, t) , j = 1, 2, . . .
(1.118)
−∞
t
führt. Die graphische Darstellung für j = 2
Z t′
Z
dτ2
U2 (x′ , t′ ; x, t) =
t
·
Z
t
τ2
+∞
−∞
dτ1
dξ2 U0 (x′ , t′ ; ξ2 , τ2 ) V (ξ2 )
Z
+∞
dξ1 U0 (ξ2 , τ2 ; ξ1 , τ1 ) V (ξ1 ) U0 (ξ1 , τ1 ; x, t)
(1.119)
−∞
ist in Abb. 4b zu sehen. Einsetzen der Rekursionsbeziehung (1.118) in Gl. (1.106) ergibt eine Integralgleichung
für den Zeitentwicklungs-Operator
Z +∞
Z ′
i t
′ ′
′ ′
U (x , t ; x, t) = U0 (x , t ; x, t) −
dξ U0 (x′ , t′ ; ξ, τ ) V (ξ) U (ξ, τ ; x, t) .
(1.120)
dτ
~ t
−∞
Dies ist die übliche Gleichung für den Zeitentwicklungs-Operator im Wechselwirkungsbild (“interaction
picture”). Schreibt man Gl. (1.120) nämlich darstellungsfrei
Z ′
i t
′
′
Û (t , t) = Û0 (t , t) −
dτ Û0 (t′ , τ ) V̂ Û (τ, t)
(1.121)
~ t
30
Kapitel 1 : Quantenmechanik
und deﬁniert
Û (t′ , t) =: Û0 (t′ , t) ÛI (t′ , t) ,
(1.122)
dann erhält man
i
Û0 (t , t) ÛI (t , t) = Û0 (t , t) −
~
′
′
′
Z
t′
Û0 (t′ , τ )
| {z }
dτ
t
V̂ Û (τ, t) .
(1.123)
=Û0 (t′ ,t)Û0 (t,τ )=Û0 (t′ ,t)Û0† (τ,t)
Hierbei wurde das Kompositionsgesetz für den freien Propagator Û0 verwendet. Multipliziert man nun von
links mit Û0−1 (t′ , t), so ergibt sich
t
t′
dτ Û0† (τ, t) V̂ Û0 (τ, t) ÛI (τ, t) ,
{z
}
|
)
Z
=: V̂I (t′ ,t)
(1.124)
TH
i
~
NA
ÛI (t′ , t) = 1 −
was mit der Bewegungsgleichung des Zeitentwicklungs-Operators im Wechselwirkungsbild identisch ist
15
.
die Lippmann-Schwinger-Gleichung
TH
JI(
DR
.R
UP
AK
Aus der Herleitung von Gl. (1.120) ist klar, dass diese Gleichung auch für zeitabhängige Potentiale gilt. Ist
das Potential jedoch zeitunabhängig, dann stellt der Integralterm auf der rechten Seite von Gl. (1.121) ein
Faltungsintegral dar, da die Evolutionsoperatoren dann nur von der Zeitdiﬀerenz abhängen. Nach bekannten
Sätzen der Fouriertransformation ergibt sich dann sofort für die zeitunabhängige greensche Funktion
Z +∞
i
(1.125)
Ĝ(E) =
dt Ĝ(t) eiEt/~ , mit Ĝ(t) := − Θ(t) Û (t, 0)
~
−∞
UP
1
.R
die einfach die Operator-Identität
E − Ĥ + i 0+
DR
(1.126)
NA
Ĝ(E) = Ĝ0 (E) + Ĝ0 (E) V̂ Ĝ(E) ,
=
1
E − Ĥ0 + i 0+
+
1
E − Ĥ0 + i 0+
V̂
1
E − Ĥ + i 0+
(1.127)
darstellt. Dass die Singularität mit + i × einer inﬁnitesimalen, positiven Grösse regularisiert werden muss,
ergibt sich aus der Deﬁnition (1.125), in der die Energie E einen kleinen positiven Imaginärteil besitzen muss,
damit das Zeitintegral konvergiert 16 .
Zum Schluss sei noch erwähnt, dass man natürlich auch andere Störungsentwicklungen ableiten kann; z. B.
kann man V = V0 + (V − V0 ) schreiben und erhält dann
′
′
U (x , t ; x, t) =
(Z ′
)j
j Z x(t′ )=x′ ′
∞
t
X
i
D x Dp
1
−
dτ [V (x(τ )) − V0 (x(τ ))]
j!
~
2π~
x(t)=x
t
j=0
( Z ′
)
i t
p2 (σ)
· exp
− V0 (x(σ))
.
dσ p(σ) ẋ(σ) −
~ t
2m
(1.128)
Dies ist natürlich nur dann sinnvoll, wenn der Zeitentwicklungs-Operator zum Potential V0 berechnet werden
kann.
15 Siehe,
z. B., {Messiah 2}, p. 723 .
ist nur Vorwärtspropagation (t ≥ 0 ) möglich, d. h. es handelt sich um die avancierte greensche Funktion, oft
auch als Ĝ(+) (E) geschrieben.
16 Offensichtlich
31
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
1.5
Halbklassische Entwicklungen
Man kann das Pfadintegral für ein Teilchen in einem beliebigen Potential auch näherungsweise für diejenigen
Situationen berechnen, in denen die klassische Beschreibung den Hauptbeitrag ergibt. Die Pfadintegrale sind
der natürliche Ausgangspunkt solcher semiklassischer Näherungen, da Bahnbegriﬀ und klassischer Grenzfall
“eingebaut” sind.
Die naheliegende Methode ist es, nur die quadratischen Fluktuationen um den klassischen Pfad zu
berücksichtigen. Dies entspricht der Verallgemeinerung der bekannten Sattelpunkts-Näherung oder auch
Methode der stationären Phase von gewöhnlichen Integralen auf Funktionalintegrale.
Z
b
TH
I =
)
Vertiefung 7: Asymptotische Entwicklung von Integralen
Ein (reelles) Integral der Form
dt exp [ −f (t)/ǫ ]
a
(1.129a)
b
a
1
dt exp − f ′′ (t0 ) (t − t0 )2 .
2ǫ
AK
Z
(1.129b)
UP
I ≃ exp [ −f (t0 )/ǫ ]
NA
berechnet man im Limes ǫ → 0 nach der Methode von Laplace durch Auffinden des Minimums der Funktion f (t) an der Stelle t0 ∈ [a, b].
Taylorentwicklung bis zur 2. Ordnung um dieses Minimum herum ergibt dann
DR
.R
p
f ′′ (t0 )/(2ǫ)(t − t0 ) substituieren. Im Limes ǫ → 0 werden die Grenzen des s-Integrals −∞, +∞,
Da f ′′ (t0 ) > 0 ist, können wir s =
wenn t0 innerhalb von a, b liegt und −∞, 0, bzw. 0, +∞, wenn t0 auf dem Rand liegt. Ausführen des s-Integrals ergibt daher
I ≃ exp [ −f (t0 )/ǫ ]
s
2πǫ
·C ,
f ′′ (t0 )
(1.129c)
UP
NA
TH
JI(
wobei der Faktor C = 1 ist, wenn das Minimum innerhalb des Intervalls auftritt und C = 1/2, wenn das Minimum am Rand angenommen
wird. Schreibt man in Gl. (1.129c) ǫ1/2 = exp( 12 ln ǫ) sieht man, dass die quadratische Entwicklung um das Minimum subdominant
gegenüber dem führenden Term exp(−f (t0 )/ǫ) ist: ln ǫ divergiert schwächer als 1/ǫ. Gl. (1.129c) stellt den Beginn einer systematischen
(asymptotischen) Entwicklung des Integrals I dar, die man durch höhere Terme in der Taylorentwicklung von f (t) um das Minimum erhält.
Das Standardbeispiel dafür ist die eulersche Integraldarstellung der Gamma-Funktion
Γ(x + 1) =
Z
∞
dt tx e−t
(1.129d)
0
DR
.R
bei der f (t) = t − x ln t ist. Das Minimum dieser Funktion tritt bei t0 = x auf und es gilt f ′′ (t0 ) = 1/x, so dass man für grosse, positive x
die Stirling’sche Formel erhält:
x→∞ √
x! ≡ Γ(x + 1) −→
2π xx+1/2 e−x .
(1.129e)
Eine Verallgemeinerung dieses Verfahrens auf (komplexe) Integrale der Form
I =
Z
dz g(z) exp [f (z)/ǫ] ,
(1.129f)
C
ist von P. Debye entwickelt worden. Hierbei sind f (z), g(z) analytische Funktionen in einer Region der komplexen Ebene, die den Integrationsweg C enthält. Die Idee ist dabei, dass man C so deformiert, dass auf einem Teil C0 von C die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
(1) Entlang C0 ist Im f (z) konstant, (2) C0 geht durch einen Sattelpunkt z0 , an dem df (z)/dz = 0 ist und (3) bei z = z0 geht Re f (z)
2
schreibt
durch ein relatives Maximum, d.h. CP
0 ist der Weg des stärksten Abfalls (“steepest descent”). Wenn man f (z) = f (z0 ) − τ
m
c
τ
in
eine
Potenzreihe
entwickelt,
kann
man
durch
gliedweise
Integration
die
asymptotische
und das Produkt g(z(τ )) dz(τ )/dτ =
m
m
Entwicklung
∞
√ X
c2m Γ(m + 1/2) ǫm
(1.129g)
I ≃ exp [ f (z0 )/ǫ ] ǫ
m=0
ableiten 17 .
Aus der Taylor-Entwicklung von f (z), g(z) um z = z0 findet man leicht den niedrigsten Koeffizienten als
c0 = p
g(z0 )
−f ′′ (z0 )/2
.
(1.129h)
Die klassische Bahn erfüllt
mẍkl (t) + V ′ (xkl (t)) = 0 ,
17 Eine
xkl (ta ) = xa , xkl (tb ) = xb .
ausgezeichnete Darstellung findet man z. B. bei {Dennery-Krzywicki}, chapter I.31.
(1.130)
32
Kapitel 1 : Quantenmechanik
Mit y(t) = x(t) − xkl (t) erhalten wir
U (xb , tb ; xa , tb ) =
e
iSkl /~
Z
y(tb )=0
y(ta )=0
≃ eiSkl /~
Z
Dy(t) exp
y(tb )=0
y(ta )=0
Dy(t) exp
i
2~
Z
i
(S[xkl + y] − S[xkl ])
~
dσdσ ′
δ2S
y(σ) y(σ ′ )
δxkl (σ)δxkl (σ ′ )
,
(1.131)
wenn wir die Funktional-Taylorentwicklung nach dem quadratischen Glied abbrechen. Eine einfache Rechnung
ergibt
Z tb
Z
m 2
1 ′′
δ2S
1
′
2
dt
y(σ)
y(σ
)
=
ẏ
(t)
−
V
(x
(t))
y
(t)
,
(1.132)
dσdσ ′
kl
2
δxkl (σ)δxkl (σ ′ )
2
2
ta
TH
1 ′′
V (xkl (t)) .
m
(1.133)
NA
ω 2 (t) =
)
d.h. die Wirkung eines harmonischen Oszillators mit zeitabhängiger Oszillator-Konstante
.R
wobei f (tb , ta ) die Gel’fand-Yaglom-Gleichung
∂ 2 f (t, ta )
+ V ′′ (xkl (t)) f (t, ta ) = 0 ,
∂t2
DR
m
(1.134)
UP
AK
Mit den Resultaten des vorigen Kapitels können wir daher das Ergebnis sofort hinschreiben:
r
−1
n h
πi o
m ,
U (xb , tb ; xa , ta ) =
f (tb , ta ) exp i Skl (xb , tb ; xa , ta )/~ − n
2πi~
2
mit f (ta , ta ) = 0 ,
∂f (t, ta ) = 1
∂t
t=ta
(1.135)
k
DR
.R
UP
NA
TH
JI(
erfüllt 18 . Es ist natürlich auch möglich, den Vorfaktor des Propagators durch die zweite Ableitung der klassischen Wirkung nach den Randpunkten, d.h. durch die van-Vleck-Determinante auszudrücken (siehe Gl. (1.98)).
Gibt es mehrere stationäre Punkte im Funktional-Integral (die weit genug voneinander entfernt sind) muss
deren Beitrag aufsummiert werden:
!1/2
n h
X
1 ∂ 2 Sk πi o
U (xb , tb ; xa , ta ) ≃
.
(1.136)
exp i Sk /~ − nk
2πi~ ∂xa ∂xb 2
Wir wollen nun die Energie-Eigenwerte möglicher gebundener Zustände des Systems mit Hilfe des semiklassischen Resultats (1.136) bestimmen. Im Prinzip wäre dies wieder möglich durch einen Vergleich des halbklassischen Resultates mit der Spektral-Darstellung des Zeitentwicklungs-Operators. Es ist jedoch im allgemeinen
nicht möglich, die klassische Bewegungsgleichung (1.130) in geschlossener Form zu lösen und damit die klassische
Wirkung zu bestimmen. Stattdessen betrachten wir die zeitunabhängige greensche Funktion
Z ∞
X ψn (xb ) ψ ⋆ (xa )
i
n
U (xb tb , xa ta ) eiE(tb −ta )/~ =
,
(1.137)
G(xb , xa ; E) =
d(tb − ta ) −
~
E
−
E
+
i 0+
n
0
n
deren Pole uns die Energie-Eigenwerte und deren Residuum uns die Eigenfunktionen geben. Wenn wir an den
letzteren nicht interessiert sind, ist es am einfachsten
Z +∞
X
1
(1.138)
Sp G(E) =
dx G(x, x; E) =
E
−
E
+ i 0+
n
−∞
n
18 Diese Gleichung ist in der Variationsrechnung auch als Jacobi-Gleichung bekannt. Sie bestimmt diejenige Verschiebung des
Pfades, die δ2 S minimal macht. Ist dieses Minimum positiv, so bedeutet dies, dass für alle Verschiebungen die klassische Bahn ein
Minimum, nicht nur ein Extremum der Wirkung ist. Es lässt sich zeigen (z. B. Schulman, p. 81 – 83), dass für genügend kleine
T = tb − ta die klassische Bahn tatsächlich ein Minimum ist, dass jedoch beim Durchgang durch einen Fokalpunkt δ2 S > 0 wird,
d.h. die klassische Bahn ist nur noch ein Extremum der Wirkung.
33
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
zu untersuchen. Die Fourier-Transformation führen wir ebenfalls wieder mit Hilfe der Methode der stationären
Phase durch. Die stationären Punkte des Zeit-Integrals erfüllen
i
∂ h
Skl (xT, x0) + E T = 0 ,
∂T
(1.139)
p(T ) − p(0) = 0 .
(1.140)
was eine bekannte Beziehung für die Energie der klassischen Trajektorie darstellt. Ebenso können wir das
Integral über x (d.h. die Spur) mit dieser Methode auswerten. Da die Ableitung der Wirkung nach den
Endpunkten den Impuls des Teilchens an diesen Punkten ergibt (Übungsaufgabe 6) ﬁnden wir die Bedingung
NA
TH
)
Mit anderen Worten: wir suchen klassische Trajektorien mit der Energie E , die sowohl in den Koordinaten x
als auch in den Impulsen p periodisch sind. Gl. (1.138) wird dann
X
Sp G(E) ≃ const.
Ak eiW (Tk )/~
(1.141)
W (T ) = ET + Skl (T ) = ET +
Z
T
dt (p · ẋ − H) =
UP
wobei
AK
k
0
Z
T
0
dt p · ẋ
(1.142)
NA
TH
JI(
DR
.R
ist, und der Faktor Ak alle Vorfaktoren von der halbklassischen Näherung und den quadratischen Fluktuationen
um die stationären Punkte enthält. Das Ergebnis (1.141) ist besonders einfach für ein Potential mit einem
einzigen Minimum, wie es in Abb. 5 skizziert ist.
DR
.R
UP
V (x)
x1
x2
x
Abb. 5 : Ein Potential mit zwei Umkehrpunkten.
Das Teilchen führt dann eine periodische klassische Bewegung zwischen den Umkehrpunkten x1 und x2 aus;
bekanntlich ﬁndet man aus der Energieerhaltung mẋ2 /2 + V (x) = E für die Periode
Z x2
r
m
dx
,
(1.143)
T (E) = 2
2[E
−
V (x)]
x1
34
Kapitel 1 : Quantenmechanik
und jedes Vielfache von T (E) erfüllt ebenfalls die Stationaritäts-Bedingung (1.139), so dass Tk (E) = kT (E)
ist. Der Exponent in Gl. (1.141) kann dann als Vielfaches von W [T (E)]/~ geschrieben werden. Wenn man
den Vorfaktor Ak ignoriert, erhält man also
SpG(E) = const.
∞ X
eiW [T (E)]/~
k=1
k
= const.
exp (iW [T (E)]/~)
.
1 − exp (iW [T (E)]/~)
(1.144)
Dieser Ausdruck hat Pole bei Energien, die die Quantisierungs-Bedingung
I
W [T (E)] =
pdx = 2πn ~
(1.145)
Z
x2
dx
x1
p
2m [E − V (x)] = π (2n + 1) ~
(1.146)
AK
p dx = 2
UP
I
NA
TH
)
erfüllen. Man kann zeigen (Schulman, chapter 18), dass die (bisher vernachlässigten) Vorfaktoren jeweils eine
Phase π/2 beitragen.Dies bedeutet, dass das Minus-Zeichen im Nenner von Gleichung (1.144) in ein Plus-Zeichen
umgewandelt wird, und dass wir im Endergebnis die alte Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsregel
Potentialstreuung und Eikonal-Näherung
TH
JI(
1.6
DR
.R
erhalten haben.
Wir wollen nun Streuung in einem lokalen Potential
(1.147)
NA
V̂ = V (r̂)
DR
.R
UP
betrachten, das zu einem kontinuierlichen Spektrum des Hamilton-Operators führt, wenn es für grosse Werte
von r (hinreichend schnell) abfällt. Der Anfangs-Impuls des Teilchens sei ki (~ = 1) und der End-Impuls kf .
Zeitabhängige Streuung wird im Wechselwirkungsbild formuliert, in dem die freie Propagation des Teilchens
abgespalten ist. Die S-Matrix ist dann nichts anderes als das Matrixelement des Zeitentwicklungs-Operators im
Wechselwirkungsbild ÛI (tb , ta ) = exp(iĤ0 tb )Û (tb , ta ) exp(−iĤ0 ta ) zwischen den Streuzuständen, genommen
bei asymptotischen Zeiten:
Si→f
=
lim
D
E
E
D kf ÛI (T, −T ) ki = lim ei(Ei +Ef )T kf Û (T, −T ) ki
T →∞
3 (3)
=: (2π) δ
(ki − kf ) − 2πi δ (Ei − Ef ) Ti→f .
Die zweite Zeile deﬁniert die T -Matrix, bei der die energieerhaltende δ-Funktion abgespalten wurde
gebräuchlich, eine Streuamplitude
m
f (Ω) = −
Ti→f
2π
so zu deﬁnieren, dass der diﬀerentielle Wirkungsquerschnitt durch
dσ
2
= |f (Ω)|
dΩ
19 Da
(1.148)
T →∞
(1.149)
19
. Es ist
(1.150)
(1.151)
das Streupotential nicht translationsinvariant ist, gibt es nur Energie- und nicht Impuls-Erhaltung: Ei = k2i /(2m) = Ef =
. Die Streuzustände sind auf kf |ki = (2π)3 δ(3) (kf − ki ) normiert.
k2f /(2m)
35
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
NA
TH
)
gegeben ist. Hierbei ist Ω der Raum-Winkel des auslaufenden Teilchens. Für ein kugelsymmetrisches Potential
ist die Streuamplitude nur eine Funktion des polaren Streuwinkels θ.
Wir wollen nun eine Pfadintegral-Darstellung der T-Matrix ﬁnden 20 . Wir starten von der Formulierung
(1.29) für den Zeitentwicklungs-Operators U (xb , tb ; xa , ta ) und verwenden einen Trick, um zu einer Integration
über Geschwindigkeiten zu gelangen: wir multiplizieren das Pfadintegral mit der folgenden ”Eins”
N Z
N Z
Y
Y
xk − xk−1
3N
3
d3 vk δ (xk − xk−1 − ǫvk ) .
(1.152)
− vk = ǫ
1=
d vk δ
ǫ
Pj
k=1
k=1
Nun können wir die xk -Integrationen (k = 1, . . . N − 1) ausführen. Dies ergibt xj = x0 + ǫ i=1 vj , oder in
Rt
der kontinuierlichen Schreibweise die Bahn xB (t) = xa + ta dt′ v(t′ ), wobei die Randbedingung bei t = ta
Rt
verwendet wurde. Die Randbedingung bei t = tb ergibt xb = xa + tab dt′ v(t′ ) , was durch Addition der beiden
sich daraus ergebenden Ausdrücke für xB (t) und Division durch zwei die symmetrischere Beziehung
Z t
Z tb
xa + xb
xa + xb
1
xB (t) =
dt′ v(t′ ) =:
dt′ v(t′ ) −
+
+ xv (t)
(1.153)
2
2
2
t
ta
· exp



iǫ

N h
X
m
j=1
2
Ztb
ta
UP

d3 v1 . . . d3 vN δ (3) xb − xa − ǫ
vj2 − V
xj = xa + ǫ
j
X
i=1
vi
N
X
j=1
! 
i


vj 
 t

 Zb hm
i
dt v(t)  exp i dt
v2 (t) − V (xB (t))
.


2
NA
D3 v(t) δ (3)  xb − xa −
UP
≡
Z
2πi
.R
lim
N →∞
DR
=
TH
JI(
U (xb , tb ; xa , ta )
Z
ǫm 3N
2
AK
liefert. Bei der Integration über xk bleibt jedoch eine δ-Funktion übrig, so dass wir erhalten

.R
(1.155)
ta
Das “Mass” Dv ist dabei so deﬁniert, dass das gaußsche Integral eins wird
Z tb
Z
m
dt v2 (t) = 1 ,
D3 v(t) exp i
2
ta
DR
(1.154)
(1.156)
wie aus der diskreten Form ersichtlich ist. Diese Pfadintegral-Darstellung des Zeitentwicklungs-Operators ist
natürlich für ein allgemeines Potential genausowenig analytisch lösbar, wie die ursprüngliche Form. Wegen
der physikalischen Interpretation der Hilfsvariablen v als Geschwindigkeit hat Gl. (1.155) jedoch den Vorteil,
einen guten Ausgangspunkt für Näherungen zu bieten, vor allem im Hochenergie-Fall. Man beachte, dass das
Funktional-Integral über v keine Randbedingungen enthält, da diese alle in der übriggebliebenen δ-Funktion
und der Bahn xB (t) enthalten sind.
Wir schreiben nun Gl. (1.148) als
Z
i(Ei +Ef )T
Si→f = lim e
d3 x d3 y e−ikf ·x U (x, T ; y, −T ) eiki ·y
(1.157)
T →∞
und setzen die Darstellung (1.154) darin ein. Wenn wir die Koordinaten r = (x + y)/2 , s = x − y verwenden,
dann erhalten wir
)
( Z
Z
Z
+T
i
hm
2
3
−iq·r
3
v (t) − K · v(t)
Si→f = lim exp [ i(Ei + Ef )T ]
d re
dt
D v exp i
T →∞
2
−T
)
(
Z +T
(1.158)
dt V ( r + xv (t) ) ,
· exp −i
−T
20 Die
Darstellung folgt der Arbeit [12].
36
Kapitel 1 : Quantenmechanik
weil die Relativ-Koordinate s durch die δ-Funktion in Gl. (1.154) festgelegt ist. Hierbei haben wir den
Impulsübertrag und den mittleren Impuls
q = kf − ki ,
1
(ki + kf )
2
K =
(1.159)
eingeführt und die Vorzeichenfunktion sgn(x) = x/|x| benutzt, um das Argument des Potentialterms kompakt
durch
Z
1 +T ′
dt sgn(t − t′ ) v(t′ )
(1.160)
xv (t) :=
2 −T
lim exp
T →∞
Z
3
d re
−iq·r
Z
" Z
D v exp i
3
UP
=
q2
i
T
4m
(
.R
Si→f
AK
NA
TH
)
auszudrücken (xv (t) ist die Abweichung der Bahn von der mittleren Position, siehe Gl. (1.153)). Die Verschiebung
K
(1.161)
v(t) −→ v(t) +
m
R +T ′
′
eliminiert den linearen Term im Exponenten des Funktional-Integrals. Da
und
−T dt sgn(t − t ) = 2t
2
2
Ei + Ef − K /m = q /(4m) ist, folgt als Ergebnis
DR
· exp
−i
+T
−T
Z
+T
dt V
−T
m
dt v2 (t)
2
#
)
K
.
r + t + xv (t)
m
(1.162)
=
UP
lim exp
T →∞
DR
(S − 1)i→f
.R
und daher können wir schreiben
NA
TH
JI(
Wenn die Wechselwirkung schwach ist, kann man nach Potenzen des Potentials entwickeln. In nullter Ordnung
ergibt sich
2 Z
q
T
S (0) = lim exp i
d3 r e−iq·r = (2π)3 δ (3) (ki − kf ) ,
(1.163)
T →∞
4m
q2
i
T
4m
Z
·
(
3
d re
Z
−iq·r
"
exp −i
Z
+T
−T
#
m 2
dt v (t)
2
−T
)
#
K
dt V r + t + xv (t)
−1 .
m
" Z
D v exp i
3
+T
(1.164)
Die Pfadintegral-Darstellung (1.164) hat den Nachteil, dass eine Phase q2 T /(4m) auftritt, die im Limes T → ∞
scheinbar divergiert. Natürlich hebt sich diese Phase in jeder Ordnung der Störungstheorie weg, so dass der
Grenzübergang T → ∞ tatsächlich existiert, aber man würde gerne eine Formulierung haben, die das von
vornherein eingebaut hat. Das kann man in folgender Weise erreichen: zuerst benutzt man, dass jede Potenz
von q2 im r-Integral dadurch erzeugt werden kann, dass der Laplace-Operator −∆ auf den Faktor exp(−iq · r)
anwendet wird. Mit anderen Worten:
2 ∆
q
T e−iq·r = exp −i
T e−iq·r .
(1.165)
exp i
4m
4m
Eine partielle Integration (die keine Randterme produziert, wenn das Potential schnell genug abfällt) lässt die
Exponentialfunktion mit dem Laplace-Operator nach rechts, also auf den Potentialterm, wirken. Schliesslich
verwenden wir einen Trick, den man als Aufheben des Quadrates (“undoing the square”) bezeichnet 21 und
21 In
der Mehrkörper-Physik wird dies auch als “Hubbard-Stratonovich”-Transformation bezeichnet und in Kapitel 2.7
ausführlicher behandelt werden.
37
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
der das Quadrat (eines Operators) im Exponenten linearisiert. Im einfachsten Fall eines gewöhnlichen Integrals
ist das einfach die Identität
r
Z +∞
i
i 2
−iax2
e
=
e−x y
(a reell) ,
(1.166)
dy exp − y
4πa −∞
4a
die durch quadratische Ergänzung bewiesen werden kann. Man kann das aber auch auf Pfadintegrale ausdehnen
und beispielsweise schreiben
" Z
#
Z
Z +T
+T
i
m 2
3
exp −
T∆ =
D w(t) exp −i
dt w (t) −
dt f (t) w(t) · ∇ ,
(1.167)
4m
2
−T
−T
TH
)
wobei das “Mass” so gewählt ist, dass das gaußsche Integral wieder auf eins normiert ist. Die beliebige Funktion
R +T
f (t) muss nur
dt f 2 (t) = T /2 erfüllen und wir wählen sie als f (t) = sgn(t)/2, so dass unsere Darstellung
−T
NA
" Z
#
Z
+T
m 2
i
3
T∆ =
D w(t) exp −i
dt w (t) − xw (0) · ∇
exp −
4m
2
−T
AK
(1.168)
.R
UP
NA
TH
JI(
DR
.R
UP
lautet. Man beachte, dass das Vorzeichen des quadratischen w-Terms in Gl. (1.168) notwendigerweise negativ
ist – wir können daher die dreidimensionale Hilfsvariable w(t) als “Anti-Geschwindigkeit” bezeichnen 22 . Der
Vorteil der Linearisierung im Exponenten ist, dass wir nun einen Diﬀerential-Operator erhalten haben, dessen
Wirkung wir kennen: er verschiebt das Argument der Potentialfunktion einfach um −xw (0) (das ist nichts
anderes als das Taylor-Theorem exp(a d/dx)f (x) = f (x + a) ). Das Ergebnis dieser Operationen ist also der
Ausdruck
Z
Z
Z
m +∞ 2
(S − 1)i→f = i lim
d3 r e−iq·r D3 v D3 w exp i
dt v (t) − w2 (t)
T →∞
2 −∞
)
(
" Z
#
+T
K
(1.169)
dt V r + t + xv (t) − xw (0)
−1 .
· exp i
m
−T
DR
Das ist frei von der “gefährlichen” Phase, so dass wir nun den Grenzübergang T → ∞ formell durchführen
können. Der Preis ist eine zusätzliche (funktionale) Integration über die “Anti-Geschwindigkeit”.
Allerdings haben wir noch nicht die energieerhaltende δ-Funktion “herauspräpariert”, um die T -Matrix
gemäss Gl. (1.149) zu erhalten. Man kann nachprüfen, dass dies gelingt, wenn man Gl. (1.164) nach Potenzen
der Wechselwirkung entwickelt: in jedem Term dieser Störungs-Entwicklung steckt eine solche energieerhaltende
δ-Funktion.
Wie kann man dies erreichen, ohne nach Potenzen der Wechselwirkung zu entwickeln ? Dazu verwendet man
einen Trick, den Faddeev und Popov in die Feldtheorie eingeführt haben, um nichtabelsche Eichtheorien zu
quantisieren (siehe Kapitel 3.3). Wir bemerken zuerst, dass im Grenzwert T → ∞ die Wirkung im Pfadintegral
(1.162) invariant unter der Transformation
t = t̄ + τ ,
r = r̄ −
K
τ,
m
v(t) = v̄(t̄)
(1.170)
ist, weil
Z
+T
−T
22 Eine
dt V
Z T −τ
K
dt̄ V
r + t + xv (t) =
m
−T −τ
1
K
r̄ + t̄ +
m
2
T
Z−τ
−T −τ
′
′
′
!
dt̄ v̄(t̄ ) sgn(t̄ − t̄ )
Pfadintegral-Formulierung der Potentialstreuung ohne Anti-Geschwingigkeit findet man in [13].
.
(1.171)
38
Kapitel 1 : Quantenmechanik
Für endliches τ und T → ∞ spielt die Abänderung der Integralgrenzen keine Rolle und die Wirkung bleibt
unter der Transformation (1.170) unverändert 23 . Dies bedeutet aber, dass die Komponente des Vektors r,
die parallel zu K ist, nicht ﬁxiert ist, was zu einer Singularität führt, wenn wir darüber integrieren. Diese
Singularität ist gerade die energieerhaltende δ-Funktion, die wir suchen. Wir können sie extrahieren, wenn
wir die Longitudinalkomponente zuerst ﬁxieren und dann über alle möglichen Werte integrieren, d.h. wir
multiplizieren das Pfadintegral (1.164) beispielsweise mit der folgenden ”Eins”
Z
|K| +∞
K
1 =
(1.172)
dτ δ K̂ · r + τ
m −∞
m
(1.173)
UP
AK
NA
TH
)
Wir führen nun die Transformation (1.170) im Pfadintegral durch und erhalten
Z +∞
Z
K
|K|
3
lim
dτ
d r exp −iq · r + iq · τ δ K̂ · r
(S − 1)i→f =
m T →∞ −∞
m
)
( Z
Z
+T
m
v2 (t) − w2 (t)
dt
· D3 v D3 w exp i
2
−T
)
(
" Z
#
+T
K
−1 ,
· exp −i
dt V r + t + xv (t) − xw (0)
m
−T
NA
TH
JI(
DR
.R
wobei wir zur Vereinfachung der Schreibweise die überstrichenen Variablen durch die ursprünglichen ersetzt
haben. Die einzige τ -Abhängigkeit im Integranden besteht jetzt im Faktor exp(iτ q · K/m), so dass die Integration darüber genau die energieerhaltende δ-Funktion produziert:
!
k2f
k2i
q·K
= 2π δ
.
(1.174)
−
2π δ
m
2m 2m
=
i
K
m
DR
Ti→f
Z
.R
UP
Zusätzlich wird nach der Transformation im Pfadintegral die Longitudinalkomponente von r auf den Wert Null
gesetzt. Wenn wir beachten, dass qk = 0 ist, erhalten wir dann folgenden Ausdruck für die T-Matrix
d2 b e−iq·b
Z
(
 +∞
)

 Z
m 2
iχ(b,K;v,w)
2
3
e
−1
v (t) − w (t)
D v exp i
dt


2
wobei eine Phase
χ(b, K; v, w) = −
(1.175)
−∞
Z
+∞
−∞
K
dt V b + t + xv (t) − xw (0)
m
(1.176)
deﬁniert wurde, die von den Geschwindigkeiten v(t), w(t) abhängig ist. Dabei bezeichnet b die transversale
Komponente des Vektors r und E = Ei = Ef = k 2 /(2m) die Streuenergie. Ausserdem gilt
q ≡ |q| = 2k sin
θ
,
2
K ≡ |K| = k cos
θ
.
2
(1.177)
Man kann nachprüfen, dass Gl. (1.175) die exakte Born-Reihe in allen Ordnungen reproduziert, also alle
Manipulationen richtig waren. Interessanter als die Ableitung der Störungstheorie ist jedoch, dass dieses Ergebnis der geeignete Ausgangspunkt für Hochenergie-Näherungen ist. In diesem Fall erwartet man, dass sich das
Teilchen im wesentlichen entlang einer geraden Bahn mit der (konstanten) Geschwindigkeit K/m bewegt, und
23 Tatsächlich
ist das eine delikate Vertauschung von Grenzwerten, deren Berechtigung nachgeprüft werden muss.
39
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
das Funktional-Integral über v und w nur die Fluktuationen um diese Bahn beschreibt. Dass dies tatsächlich
der Fall ist, sieht man, wenn man die Substitution
√
√
m
K
K
v̄(z) , w(t) =
w̄(z)
(1.178)
z , v(t) =
t =
K
m
m
durchführt: das Pfadintegral (1.175) behält im Wesentlichen seine Form in den neuen Variablen
Phase wird
+∞
Z
m
1
χ (b, K; v̄, w̄) = −
dz V b + K̂z + √ [xv̄ (t) − xw̄ (0)] .
K
K
24
, aber die
(1.179)
−∞
DR
.R
UP
AK
NA
TH
)
Dies zeigt, dass man für festen Impulsübertrag eine systematische Entwicklung in inversen Potenzen von
K = k cos(θ/2) dadurch erhält, dass man die Phase χ gleichzeitig nach Potenzen von v(t) und w(t) entwickelt
und die funktionalen Integrale Glied für Glied ausführt. Man kann erwarten, dass dies für grosse Werte der
Energie, kleine Streuwinkel θ und schwach veränderliche Potentiale gültig sein wird.
Das kann man wie folgt sehen: oﬀensichtlich sollte die Korrektur, die aus dem nächsten Term der Taylor√
Entwicklung des Potentials entsteht, klein gegenüber dem führenden Term sein, d. h. |∇V · xv̄ / K| << V .
Nimmt man nun an, das die Geschwindigkeits-Fluktuationen nur innerhalb der Reichweite R des Potentials
√
√
relevant sind, dann ﬁndet man, dass v̄ = O(1/ R) und xv̄ = O( R) und damit
2
2
R
∇V
≃
,
(1.180)
KR >> R
V
a
NA
TH
JI(
wobei a die Länge ist, über der sich das Potential stark verändert. Es ist also nicht notwendig, dass die
Geschwindigkeit k/m des streuenden Teilchens sehr gross sein muss, damit die Eikonal-Näherung angewendet
werden kann; das ist beispielsweise in der Atomphysik wegen der grossen Massen und kleinen Energien, die
dort auftreten, fast nie gegeben. Da andererseits K = k cos(θ/2) für grosse Streuwinkel immer kleiner wird,
sieht man auch, dass das Kriterium (1.180) dann nicht mehr erfüllt werden kann.
DR
.R
UP
Die führende Näherung erhält man einfach dadurch, dass man v = w = 0 im Argument des Potentials setzt:


(
)
+∞
Z
Z
K
m
2
−iq·b


exp −i
Ti→f ≃ i
d be
dz V b + K̂z
−1 ,
(1.181)
m
K
−∞
da die Funktional-Integrale durch die Normierung trivialerweise eins sind. In Vorwärtsrichtung ist der Unterschied zwischen K = k cos(θ/2) und k irrelevant, so dass man die übliche Eikonal-Näherung 25
Z
k
eik
d2 b e−iq·b eiχ0 (b) − 1
(1.182)
Ti→f
= i
m
bekommt. Hierbei ist
χ0 (b) = −
Z
+∞
−∞
dt V
k
b + K̂ t
m
m
= −
k
Z
+∞
dz V (b, z)
(1.183)
−∞
die Phase, die das Teilchen entlang seiner geraden Bahn “aufgesammelt” hat 26 Man beachte, dass die erste
bornsche Näherung für die T -Matrix aus Gl. (1.182) folgt, wenn man – für schwache Potentiale – exp(iχ0 ) bis
zur ersten Ordnung entwickelt:
Z
Z
Z
m +∞
k
2
−iq·b
1.Born
eik
−i
d be
dz V (b, z) =
d3 r e−iq·r V (r) = Ṽ (q) ≡ Ti→f
.
(1.184)
Ti→f −→ i
m
k −∞
24 Bis
auf die Tatsache, dass die kinetische Energie von Geschwindigkeit und Anti-Geschwindigkeit jetzt (v̄2 (t) − w̄2 (t))/2 lautet,
also nicht mehr die Masse des Teilchens enthält.
25 Die Variante (1.181) geht auf [14] zurück.
26 Der Index zeigt die inverse Potenz von K an, wobei m/K beliebig sein kann.
40
Kapitel 1 : Quantenmechanik
Im Gegensatz zur ersten bornschen Näherung führt die Eikonal-Näherung jedoch zu einer komplexen Streuamplitude, wie die Unitarität (das “optische Theorem”) dies auch erfordert.
Vertiefung 8: Unitarität
Unitarität ist eine der “geheiligtes” Prinzipien der Quantenphysik; grob gesagt verlangt sie, dass bei jedem Prozess nicht mehr herauskommen kann als am Anfang vorhanden war. Oder formaler (aber genauer) für die S-Matrix
Ŝ † Ŝ = Ŝ Ŝ † = 1 .
(1.185a)
Ŝ = 1 − 2πi δ Ei − Ĥ0 T̂
(1.185b)
Wenn man die Beziehung (1.149) darstellungsfrei als
(1.185c)
TH
2π † T̂ δ Ei − Ĥ0 T̂ .
i
T̂ − T̂ † =
)
schreibt, dann führt die Unitarität (1.185a) der S-Matrix auf folgende Beziehung, die die T -Matrix erfüllen muss:
mk
8π 2
Z
2
dΩp | Ti→p |p=k ,
(1.185d)
AK
Im Ti→i = −
NA
Wenn man davon Matrix-Elemente für den speziellen Fall i = f , d.h. für Vorwärts-Streuung, nimmt, erhält man
k
σtot
4π
dΩ |f (θ)|2 =
DR
Z
.R
k
4π
Im f (θ = 0) =
UP
weil die δ-Funktion in Gl. (1.185c) den Betrag des Impulses p auf den äusseren Impuls k = |ki | = |kf | festlegt. Üblicherweise betrachtet
man die Unitaritäts-Beziehung (das optische Theorem) für die Streuamplitude (1.150)
.
(1.185e)
TH
JI(
Da die 1. bornsche Näherung (1.184) zu einer reellen Streuamplitude führt, ist das optische Theorem in dieser oft verwendeten Näherung
also nicht erfüllt. Die Streuamplitude der Eikonal-Nḧerung besitzt jedoch einen Imaginärteil in Vorwärtsrichtung
Imf eik (θ = 0) =
k
2π
Z
d2 b [ 1 − cos χ0 (b) ] ,
(1.185f)
UP
NA
so dass die linke Seite des optischen Theorems für diese Näherung von Null verschieden ist. Der totale Wirkungsquerschnittes auf der
rechten Seite ist
Z
Z
′ ′
k2
eik
dΩ
d2 d2 b′ eiq·(b−b ) eiχ0 (b) − 1 . eiχ0 (b ) − 1 .
(1.185g)
σtot
=
4π 2
und erhält dann
DR
.R
Man kann die Winkelintegration durch eine Integration über den Impulsübertrag q = 2k sin(θ/2) ersetzen
eik
σtot
=
1
4π 2
Z
dΩ = 2π sin θ dθ =
d2 b d2 b′
Z
2π
1
qdq = 2 d2 q
k2
k
d2 q eiq·(b−b
q<2k
′)
(1.185h)
′
eiχ0 (b) − 1
eiχ0 (b ) − 1 .
(1.185i)
Wenn wir das zweidimensionale q-Integral aufspalten in einen Anteil, in dem der Impulsübertrag unbeschränkt ist und einen “Defekt”, der
dies wieder korrigiert, ergibt der 1. Anteil eine δ-Funktion
Z
d2 q eiq·(b−b
′)
q<2k
= (2π)2 δ(b − b′ ) −
Z
d2 q eiq·(b−b
′)
,
(1.185j)
q>2k
die genau zur Erfüllung des optischen Theorems führt:
Z
eik
σtot
=
2
d2 b eiχ0 (b) − 1 + ∆eik .
|
{z
}
(1.185k)
=2 (1−cos χ0 )
Der Defekt des totalen Eikonal-Querschnittes ist offensichtlich negativ
∆eik = −
1
4π 2
Z
q>2k
Z
2
d2 b e−iq·b eiχ0 (b) − 1 d2 q (1.185l)
und klein, wenn der Wirkungsquerschnitt sein Maximum in Vorwärtsrichtung hat und bei grösseren Winkeln (Impulsüberträgen) stark
abfällt, was bei hohen Energien der Fall ist. Wir wollen ihn grob abschätzen, indem wir die 1. bornsche Näherung verwenden, also
annehmen, dass die Phase χ0 (b) klein ist. Dann erhalten wir
∆eik ≃
1 m2
4π 2 k2
Z
d2 q
q>2k
h
Ṽ (q)
i2
(1.185m)
41
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
und müssen die Fouriertransformierte eines (zur Vereinfachung kugelsymmetrisch angenommenen) Potentials
Ṽ (q) =
4π
q
Z
∞
dr r sin(qr) V (r)
(1.185n)
0
für grosse Werte von q = |q| bestimmen. Das geschieht am einfachsten durch fortwährende partielle Integration
(sin(qr) = −[cos(qr)]′ /q ; cos(qr) = [sin(qr)]′ /q) und ergibt
Ṽ (q) =
4π
q
[rV (r)](0)
[rV (r)]′′ (0)
−
+ ...
q
q3
.
(1.185o)
Je nachdem, wie sich das Potential im Ursprung verhält, ist die Potenz des Abfalls verschieden; z. B. verhält sich die Fouriertransformierte
eines Yukawa-Potentials V (r) = V0 exp(−µr)/r asymptotisch wie 1/q2 . Das gilt allgemein: wenn
r→0
V (r) −→
V0 r α
q→∞
Ṽ (q) −→
=⇒
const.
.
qα+3
(1.185p)
)
Aus Gl. (1.185m) folgt sodann, dass für solche Potentiale der Defekt wie
(1.185q)
AK
bei hohen Energien verschwindet: die Eikonal-Näherung ist dann (fast) unitär !
TH
1
.
k2α+6
NA
∆eik ∼
DR
.R
UP
Wenn man die Streuung an einem kugelsymmetrischen Potential betrachtet, kann man die Winkelintegration
in Gl. (1.182) ausführen 27 und erhält für die Streuamplitude
Z
k ∞
eik
db b J0 (qb) eiχ0 (b) − 1 .
(1.186)
f (θ) =
i 0
TH
JI(
Hierbei ist J0 eine Bessel-Funktion 0-ter Ordnung und die Eikonal-Phase besitzt die explizite Darstellung
Z
p
m +∞
χ0 (b) = −
dz V
(1.187)
b2 + z 2 .
k −∞
NA
Das kann mit der bekannten Partialwellen-Entwicklung der Streuamplitude
∞
1 X
(2l + 1) Pl (cos θ) e2iδl (k) − 1
2ik
.R
UP
f (θ) =
(1.188)
l=0
DR
verglichen werden: für grosse Streuenergien tragen so viele Partialwellen bei, dass die Summation über l
durch ein Integral über den Stossparameter b = (l + 1/2)/k ersetzt werden darf. Benutzt man noch
eine asymptotische Darstellung 28 der Legendre-Polynome Pl (cos θ) für grosse Werte von l, dann ﬁndet man
komplette Übereinstimmung mit der Form des Eikonal-Resultats (1.186) und die einfache Beziehung 2δl (k) ≃
χ0 (b) zwischen Streu- und Eikonal-Phase.
Die erste Korrektur zu diesem Ergebnis lässt sich relativ einfach berechnen: wir entwickeln die Phase (1.176)
bis zur ersten Ordnung
Z +∞
K
χ(b, K; v, w) = −
dt V b + t
m
−∞
+∞
Z +∞ Z
K
1
−
dt ∇V b + t
ds v(s) sgn(t − s) − w(s) sgn(−s)
(1.189)
m
2 −∞
−∞
und führen die gaußschen Funktional-Integrale über v und w durch. Das korrigierte Ergebnis
(
)
Z
K
iχ0 (b)+iχ1 (b)
2
−iq·b
e
−1
Ti→f ≃ i
d be
m
27 Siehe,
z. B., {Handbook}, eq. 9.1.21 .
eq. 22.15.1 .
28 {Handbook},
(1.190)
42
Kapitel 1 : Quantenmechanik
enthält jetzt eine Zusatzphase
1
χ1 (b) = −
lim
8m T →∞
Z
+T
ds
−T
Z
+T
2
dt1 dt2 ∇V1 · ∇V2 sgn(t1 − s) sgn(t2 − s) − sgn (−s) ,
−T
(1.191)
wobei der zweite Term in der eckigen Klammer von der Integration über die Anti-Geschwindigkeit stammt und
V1/2 die Kurzform für V (b + Kt1/2 /m) ist. Die s-Integration kann man mit Hilfe von
−T
h
i
ds sgn(t − s) sgn(s − t′ ) = 2 |t − t′ | − T
durchführen und erhält
1
χ1 (b) =
lim
4m T →∞
Z
(1.192)
+T
−T
dt1 dt2 ∇V1 · ∇V2 |t1 − t2 | .
)
+T
(1.193)
TH
Z
AK
NA
Die T -abhängigen Terme haben sich dabei – wie erwartet – durch den Beitrag der Anti-Geschwindigkei weggehoben. Für ein kugelsymmetrisches Potential lässt sich Gl. (1.193) durch Benutzung der Relationen ∂V (r)/∂z =
zV ′ (r)/r , ∂V (r)/∂b = bV ′ (r)/r und durch partielle Integrationen zu
.R
UP
Z +∞
∂
1 m 2
1+b
dz V 2 (r) ,
χ1 (b) = −
2K K
∂b
−∞
r ≡
p
b2 + z 2 .
(1.194)
UP
NA
TH
JI(
DR
vereinfachen und zeigt explizit, dass diese Phase O(1/K) ist, wenn man für die Geschwindigkeit K/m beliebige
Werte zulässt. Das Ergebnis ist (bis auf den Gebrauch von K = k cos(θ/2) statt k, was aber in dieser Ordnung
unerheblich ist) identisch mit dem nächsten Glied einer systematischen Eikonal-Entwicklung, in der auch noch
höhere Ordnungen mit quantenmechanischen Methoden berechnet worden sind [15], [16].
DR
Das Coulomb-Potential
.R
Beispiel : Streuung im Coulomb-Potential
VC (r) =
Zα
r
(1.195)
weist wohlbekannte Schwierigkeiten durch seinen langsamen Abfall im Unendlichen auf. Aus der Lösung der
Schrödingergleichung ist beispielsweise bekannt, dass die Streuwelle im asymptotischen Bereich nicht nur die
charakteristische Kugelwelle aufweist, sondern eine zusätzliche logarithmische r-Abhängigkeit 29 :
r→∞
ψgestreut −→
1
exp [ i (kr − γ ln 2kr) ] · fC (θ) ,
r
(1.196)
wobei γ = Zαm/k der Sommerfeld-Parameter ist und
fC (θ) = −
γ
2 θ
, σ0 = arg Γ(1 + iγ)
+
2iσ
exp
−iγ
ln
sin
0
2
2k sin2 (θ/2)
(1.197)
die Coulomb-Streuamplitude. In der Eikonal-Näherung führt die Langreichweitigkeit zu einer divergenten
Eikonal-Phase χ0 (siehe Gl. (1.187)). Um dieses Potential trotzdem behandeln zu können, schneiden wir es bei
einem grossen Radius R ab
Zα
(R)
VC (r) −→ VC (r) =
Θ(R − r) .
(1.198)
r
29 Siehe,
z. B., {Messiah 1}, p. 430.
43
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
In der Natur tritt diese Abschirmung tatsächlich immer auf, z.B. in einem Atom, bei dem die Hüllen-Elektronen
die nackte Ladung des Kerns bei atomaren Abständen neutralisieren. Nach dieser Modiﬁkation können wir die
Eikonal-Phase (1.187) berechnen und ﬁnden
√
Z R
dr
2R
R + R2 − b2 R≫b
(R)
√
χC (b) = −2γΘ(R − b)
−→ −2γ ln
= −2γΘ(R − b) ln
.
(1.199)
2 − b2
b
b
r
b
Da damit
e
(R)
iχC (b)
≃
kb
2kR
2iγ
,
b≪R
(1.200)
eine Potenz in b ist, kann man das Stossparameter-Integral in Gl. (1.186) ausführen
und ﬁndet
(2kR)−2iγ Γ(1 + iγ)
1
= e−2iγ ln 2kR fC (θ) .
2ik (sin θ/2)2+2iγ Γ(−iγ)
(θ) =
(1.201)
TH
)
(R) eik
fC
30
UP
AK
NA
Bis auf die zusätzliche Phase von der Abschirmung gibt die Eikonal-Näherung also das exakte Ergebnis für
die Coulomb-Streuamplitude. Eine Zusatzphase −γ ln 2kR erhält man auch aus Gl. (1.196), wenn man
das Potential bei r = R abschneidet und die Kugelwelle sich weiter im potentialfreien asymptotischen Bereich
ausbreiten lässt 31 .
Vertiefung 9: Korrekte Behandlung des Coulomb-Potentials
DR
.R
Bei der Ableitung von Gl. (1.201) ist mehrfach “geschwindelt” worden, um das richtige Ergebnis zu erhalten: zum einen haben wir b ≪ R
vorausgesetzt, dann die Formel
Z ∞
Γ ((1 + µ)/2)
(1.202a)
dx xµ J0 (ax) = 2µ a−µ−1
Γ ((1 − µ)/2)
0
1
µ
dx x J0 (ax) = a
−µ−1
0
"
µ
(µ − 1) a J0 (a) Sµ−1,−1 (a) + a J1 (a) Sµ,0 (a) + 2
NA
Z
TH
JI(
mit µ = 1 + 2iγ verwendet, die aber nur für −1 < Re µ < 1/2 gilt und schliesslich einfach die “1” im Integranden nach der Exponentialfunktion weggelassen ... Eine korrekte Ableitung hält den Abschneideradius R während der Integration endlich und lässt ihn erst nach
dem Ausführen des (nun konvergenten) Integrales gegen unendlich gehen. Das ist komplizierter, aber machbar, weil das endliche Integral
= −ikR2
DR
.R
(R) eik
fC
UP
durch Lommelfunktionen Sµ,ν (z) analytisch ausdrückbar ist und für Re µ > −1 konvergiert
Streuamplitude für das abgeschnittene Coulombpotential in Eikonalnäherung durch
Z
1
dx x
0
x
√
1 + 1 − x2
2iγ
32
Γ ((1 + µ)/2)
Γ ((1 − µ)/2)
#
(1.202b)
. Wenn wir x = b/R setzen, ist also die
J0 (qRx) − ( γ = 0 )
(1.202c)
gegeben, wobei die vorher fehlende “1” durch das Abziehen desselben Ausdruckes für γ = 0 dargestellt wird. Die Entwicklung
x
√
1 + 1 − x2
2iγ
=
2iγ X
∞
x
an x2n
2
n=0
(1.202d)
erlaubt nun die gliedweise Integration über x mit Hilfe der Formel (1.202b) und wir erhalten
(R) eik
fC
=
−ikR2 2−2iγ
∞
X
n=0
an
(qR)1+2n+2iγ
"
(2n + 2iγ) J0 (qR) S2n+2iγ,−1 (qR)
+ J1 (qR) S1+2n+2iγ,0 (qR) + 21+2n+2iγ
Nun können wir das asymptotische Verhalten der Lommel- und Besselfunktionen
1
z→∞
Sµ,ν (z) −→ z µ−1 1 + O
,
z
1 Γ(n + 1 + iγ)
qR Γ(−n − iγ)
#
− (γ = 0) .
(1.202e)
33
z→∞
Jν (z) −→
r
2
cos
πz
z−
π
π
ν−
2
4
(1.202f)
verwenden, um den Abschneideradius R (genauer gesagt: qR, also nicht für θ = 0 ) gegen unendlich gehen zu lassen. Im letzten Term von
Gl. (1.202e) trägt dann nur das Glied mit n = 0 bei, während der zweite Term dominant und der erste subdominant ist. Das ergibt
(R) eik
fC
30 Siehe,
→ −ikR2 2−2iγ
∞
X
n=0
an
"
δn,0
J1 (qR)
+
qR
2
qR
2
−2−2iγ
Γ(1 + iγ)
+O
Γ(−iγ)
cos(qR − π/4)
(qR)5/2
z. B., {Gradshteyn-Ryzhik}, eq. 6.561.14 .
genauere Untersuchung des abgeschnittenen Coulomb-Potentials findet man in [17].
32 {Gradshteyn-Ryzhik}, eq. 6.56.13; Vorsicht Druckfehler !
33 {Gradshteyn-Ryzhik}, eq. 8.576, bzw. eq. 8.451.
31 Eine
#
− (γ = 0) .
(1.202g)
44
Kapitel 1 : Quantenmechanik
Aus der Entwicklung (1.202d) entnehmen wir für x → 0 : a0 = 1 und für x = 1 :
(R) eik
fC
→ −ikR2
P
n
an = 22iγ . Damit wird
2
Γ(1 + iγ)
J1 (qR)
+
qR
(qR)2+2iγ Γ(−iγ)
− (γ = 0) ,
(1.202h)
und wir sehen, dass die Subtraktion von γ = 0, d.h. die “1” im Stossparameter-Integral, genau den (unerwünschten) Term J1 (qR)/(qR)
weghebt und wir tatsächlich den Ausdruck (1.201) erhalten.
Aus einer analytischen Fortsetzung der Streuamplitude in der Wellenzahl k lassen sich auch die Energien der
gebundenen Zustände gewinnen: oﬀensichtlich hat Gl. (1.201) als Funktion von k genau dort einfache Pole, wo
die Gamma-Funktion im Zähler divergiert. Dies ist bei
1 + iγn = 1 + i
Zαm
= −(n − 1) , n = 1, 2, . . .
kn
(1.203)
(Zα)2
kn2
= −
m.
2m
2n2
(1.204)
NA
En =
TH
)
der Fall und ergibt tatsächlich die bekannten Bindungsenergien wasserstoﬀähnlicher Atome
.R
UP
AK
Es ist natürlich ein Zufall, dass die (niedrigste) Eikonal-Näherung für das Coulomb-Potential das exakte Resultat
ergibt; die allgemeinen Überlegungen zum Gültigkeitsbereiches bleiben davon unberührt. Man beachte, dass
die erste Korrektur (1.194) für dieses Potential tatsächlich verschwindet.
TH
JI(
DR
Abb. 6 zeigt die relative Abweichung der approximativen Streuamplitude
∆f := fapprox − fexakt f fexakt
(1.205)
vom exakten Resultat für Streuung an einem attraktiven Gauß-Potential
2
/R2
NA
V (r) = V0 e−r
,
mit
2m V0 R2 = −4
(1.206)
DR
.R
UP
bei einer (“hohen”) Energie, so dass kR = 4 . Die relative Diﬀerenz (1.205) ist empﬁndlich auf die korrekte
Phase der Streuamplitude, während die Abweichung der Wirkungsquerschnitte zum Teil irreführend sein kann.
Der Vergleich mit der numerisch berechneten exakten Partialwellen-Amplitude 34 lässt erkennen, dass die
Eikonal-Näherung in Vorwärtsrichtung sehr gut ist, dass aber mit zunehmenden Streuwinkel die Abweichungen
systematisch anwachsen. Obwohl das gaußsche Potential für die Beschreibung der Weitwinkel-Streuung besonders schwierig ist, erweist sich die Eikonal-Näherung der 1. bornschen und auch der 2. bornschen Näherung
weit überlegen.
Die gute Beschreibung der Potentialstreuung durch die Eikonal-Näherung wird in der sog. Glauber-Theorie
dazu benutzt, die Streuung von stark wechselwirkenden Teilchen an zusammengesetzten Targets (etwa Atomkernen) mit Hilfe der elementaren Streuung des Projektils an den Konstituenten (im Beispiel Proton und
Neutron) erfolgreich zu beschreiben, obwohl es eigentlich keinen Anlass gibt, hier eine Potential-Beschreibung
für angemessen zu halten.
Vertiefung 10: Grundlagen der Glauber-Theorie
Die Elimination des Potentials ist möglich, weil man die Beziehung (1.182) als 2-dimensionale Fourier-Transformation umkehren kann
iχ0 (b)
Γ(b) := e
−1 =
m
ik
Z
i
d2 q
iq·b
e
T (q) =
(2π)2
2πk
Z
2
iq·b
d qe
f (q)
(1.207a)
und damit die “Profilfunktion” Γ(b) direkt aus (einer Parametrisierung) der Streuamplitude gewinnen kann. Im Fall der Nukleon-NukleonStreuung kann man dies bei einer bestimmten Energie durch
f (q) =
34 Die
2 2
ik
σtot ( 1 − iρ ) e−β q /2
4π
Streuphasen-Methode bei zentralen Potentialen ist in {Messiah 1}, ch. 10 gut dargestellt.
(1.207b)
45
UP
AK
NA
TH
)
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
NA
TH
JI(
DR
.R
Abb. 6 : Relative Abweichung (1.205) der approximativen Streuamplituden von der PartialwellenStreuamplitude für die Streuung in dem Gauss-Potential (1.206). Die 0-te Eikonal-Näherung (1.182)
ist mit “Eik 0” gekennzeichnet, die 1-te Eikonal-Näherung (1.190) mit “Eik 1”. Ebenfalls eingezeichnet sind die 1. bornsche Näherung (“Born 1”) und die 2. bornsche Näherung (“Born 2”).
DR
.R
UP
tun, was als Parameter den gemessenen totalen Wirkungs-Querschnitt σtot , (das optische Theorem (1.185e) ist offensichtlich eingebaut),
das Verhältnis ρ von Real- zu Imaginärteil der Streuamplitude in Vorwärtsrichtung (aus der Interferenz mit der Coulomb-Streuamplitude
bestimmbar) und den Abfall-Parameter β des differentiellen Streu-Querschnittes mit dem Impuls-Übertrag enthält. Dies sind alles empirische, messbare Grössen – und von einer Potential-Beschreibung ist nichts mehr zu sehen! Diese kommt erst wieder ins Spiel, wenn wir
annehmen, dass bei einer Streuung an einem zusammengesetzten Objekt (etwa einem Atomkern) die Wechselwirkung des Projektils mit
den A Konstituenten durch
A
X
V (r) =
V (r − xi )
(1.207c)
i=1
beschrieben wird, wie in der nicht-relativistischen Mehrteilchen-Physik üblich (siehe Gl. (2.92)). Weil die Eikonalphase χ0 (b) in Gl (1.183)
linear im Potential ist, wird die Profilfunktion für das zusammengesetzte Target
Γ (x1 . . . xA ; b) = exp
"
i
A
X
i=1
χ0 (b − xi )
#
−1 =
A h
i
Y
1 + Γ (b − xi ) − 1
(1.207d)
i=1
und die Gesamt-Streuamplitude bei festen Streuzentren xi
fi→f (x1 . . . xA )
=
=
k
2πi
k
2πi
Z
d2 b e−iq·b
Z
d2 b e−iq·b
(
A h
i
Y
1 + Γ (b − xi ) − 1
i=1

A
X

i=1
Γ (b − xi ) +
A
X
i6=j
)
Γ (b − xi ) Γ (b − xj ) + . . .
(1.207e)



.
(1.207f)
In der zweiten Zeile ist das Produkt nach Potenzen der einzelnen Profilfunktionen entwickelt worden – das ergibt eine (endliche) Reihe
von Mehrfach-Streuungen an den einzelnen Konstituenten. Wenn man nun annimmt, dass sich bei hohen Energien das Target während
des extrem kurzen Streuprozesses nicht verändert (“Näherung des eingefrorenen Kerns (frozen nucleus approximation)”), dann ist die
Gesamt-Streuamplitude einfach das Matrix-Element von Gl. (1.207f) zwischen der Wellenfunktion ΨI des Target-Anfangszustandes und
derjenigen des Target-Endzustandes ΨF
fi,I→f,F = h ΨF | fi→f (x1 . . . xA ) | ΨI i .
(1.207g)
Für mehr Einzelheiten siehe etwa {Eisenberg-Koltun} oder {Scheck}.
46
1.7
Kapitel 1 : Quantenmechanik
Greensche Funktionen als Pfadintegral
Bis jetzt haben wir die Pfadintegral-Darstellung des Zeitentwicklungs-Operators Û in verschiedenen Formulierungen diskutiert. Wir wollen jetzt greensche Funktionen
D h
i E
GAB (t1 , t2 ) := 0 T ÂH (t1 ) B̂H (t2 ) 0
(1.208)
betrachten, wobei | 0 > der exakte Grundzustand des Systems ist,
ÂH (t) = eiĤt/~ ÂH (0) e−iĤt/~
(1.209)
TH
)
ein quantenmechanischer Operator in der Heisenberg-Darstellung ( B̂H (t) entsprechend) und
h
i
T ÂH (t1 ) B̂H (t2 ) = Θ(t1 − t2 ) ÂH (t1 ) B̂H (t2 ) + Θ(t2 − t1 ) B̂H (t2 ) ÂH (t1 )
(1.210)
DR
.R
UP
AK
NA
das zeitgeordnete Produkt der beiden Operatoren ist. Solche Objekte spielen in der Mehrkörperphysik und
der Feldtheorie eine zentrale Rolle, da sie sich leicht in Störungstheorie berechnen lassen und alle wesentlichen
Grössen (Grundzustands-Energie, Erwartungswerte von Operatoren, S-Matrixelemente) daraus bestimmt werden können.
In die Deﬁnition (1.208) schieben wir einen vollständigen Satz von Ortszuständen
Z
Z
1 =
dq | q >< q | =
dq eiĤt/~ | q >< q | e−iĤt/~
(1.211)
Z
dq dq ′
E
ED D i
h
′
′
0 eiĤt /~ q ′
q ′ e−iĤt /~ T ÂH (t1 ) B̂H (t2 ) eiĤt/~ q
E
D · q e−iĤt/~ 0 .
NA
GAB (t1 , t2 ) =
TH
JI(
ein und erhalten
.R
UP
Die einzelnen Faktoren lassen sich wie folgt umschreiben: der erste
E
D ′
′
′
0 eiĤt /~ q ′ = eiE0 t /~ < 0 | q ′ > = eiE0 t /~ ψ0⋆ (q ′ )
(1.212)
(1.213)
DR
lässt sich durch die Ortsdarstellung des Grundzustandes und die Grundzustands-Energie ausdrücken, ganz
analog auch der letzte. Wir konzentrieren uns daher auf eine Pfadintegral-Darstellung für den mittleren Faktor
und nehmen zunächst an, dass Â = B̂ = x̂ und dass t1 > t2 . Nach Einschieben von zwei vollständigen Sätzen
von Ortszuständen erhalten wir dann
E
E
D D ′
′
q ′ e−iĤt /~ x̂H (t1 ) x̂H (t2 ) eiĤt/~ q = q ′ e−iĤ(t −t1 )/~ x̂ e−iĤ(t1 −t2 )/~ x̂ e−iĤ(t2 −t) q
Z
E
ED ED D ′
q2 e−iĤ(t2 −t)/~ q .
q1 e−iĤ(t1 −t2 )/~ q2
= dq1 dq2 q1 q2 q ′ e−iĤ(t −t1 )/~ q1
(1.214)
Nun können wir die Pfadintegral-Darstellung der einzelnen Zeitentwicklungs-Operatoren verwenden und bekommen in der Hamilton-Formulierung
E
D ′
q ′ e−iĤt /~ x̂H (t1 ) x̂H (t2 ) eiĤt/~ q
( Z ′
)
Z
Z x(t′ )=q′ ′
i t
D xDp
exp
dτ [ pẋ − H(x, p) ]
=
dq1 dq2 q1 q2
2π~
~ t1
x(t1 )=q1
Z t1
Z x(t1 )=q1 ′
i
D xDp
dτ [ pẋ − H(x, p) ]
exp
·
2π~
~ t2
x(t2 )=q2
Z t2
Z x(t2 )=q2 ′
D xDp
i
·
dτ [ pẋ − H(x, p) ] .
exp
(1.215)
2π~
~ t
x(t)=q
47
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
Wie beim Beweis des Kompositionsgesetzes (1.41) darf man die Exponenten zusammenfassen und alle Integrationen können mit Hilfe der zusätzlichen Integrationen über die Endpunkte q1 , q2 zu einem einzigen FunktionalIntegral kombiniert werden. Für t1 > t2 ist das Ergebnis also
E
D ′
q ′ e−iĤt /~ T [ x̂H (t1 ) x̂H (t2 ) ] eiĤt/~ q
( Z ′
)
Z x(t′ )=q′ ′
D xDp
i t
(1.216)
=
x(t1 )x(t2 ) exp
dτ [ pẋ − H(x, p) ] .
2π~
~ t
x(t)=q
UP
AK
NA
TH
)
Wenn t2 > t1 ist, dann ergibt eine analoge Rechnung denselben Ausdruck, d.h. der Zeitordnungs-Operator ist
automatisch in der Pfadintegral-Darstellung eingebaut ! Das ist nicht ganz verwunderlich, da die Zeitordnung
durch die Nicht-Vertauschbarkeit der Operatoren zu verschiedenen Zeiten notwendig ist, das Pfadintegral aber
nur mit gewöhnlichen Zahlen operiert. Gl. (1.216) lässt sich leicht auf beliebige Operatoren Â = A (x̂, p̂) , B̂ =
B (x̂, p̂) verallgemeinern und lautet dann
E
D h
i
′
q ′ e−iĤt /~ T ÂH (t1 ) B̂H (t2 ) eiĤt/~ q
Z x(t′ )=q′ ′
i
D xDp
(1.217)
A (p(t1 ), x(t1 )) B (p(t2 ), x(t2 )) exp
S [x(t), p(t)] .
=
2π~
~
x(t)=q
NA
TH
JI(
DR
.R
Wir kehren jetzt zurück zu der Formel (1.212) für die greensche Funktion, in die wir das Ergebnis (1.217)
einsetzen können. Das Auftreten der Grundzustands-Wellenfunktion ψ0 (q) ist jedoch darin unbefriedigend, da
der exakte Grundzustand i.a. nicht bekannt ist. Wir hätten gerne einen Ausdruck, in dem der Grundzustand
gleichzeitig erzeugt wird. Dies ist dadurch möglich, dass man den niedrigsten Zustand des Systems durch einen
Grenzprozess ”herausﬁltert”. Tatsächlich bleibt in einem Ausdruck der Form
E
D D E
X
′
′
q ′ e−iĤt /~ ÔeiĤt/~ q =
ψm (q ′ ) e−iEm t /~ m Ô n eiEn t/~ ψn⋆ (q)
(1.218)
n,m
UP
nur der Anteil des Grundzustandes übrig , wenn man formal
DR
.R
t → i∞,
gehen lässt:
E
D ′
q ′ e−iĤt /~ ÔeiĤt/~ q
t→i∞
t′ →−i∞
−→
=
t′ → −i∞
D E
′
ψ0 (q ′ )ψ0⋆ (q) e−E0 (|t|+|t |)/~ 0 Ô 0
ED E
D ′
q ′ e−iĤ(t −t)/~ q
0 Ô 0 .
lim
t→i∞
t′ →−i∞
(1.219)
(1.220)
Dies beruht auf der Tatsache, dass für n > 0 , En > E0 , so dass die Beiträge der angeregten Zustände schneller
abfallen als die des Grundzustandes. Wenn wir Gl. (1.220) für die greensche Funktion der Operatoren Â, B̂
verwenden, erhalten wir
E
D h
i
′
q ′ e−iĤt /~ T ÂH (t1 ) B̂H (t2 ) eiĤt/~ q
E
D (1.221)
GAB (t1 , t2 ) = lim
t→i∞
q ′ e−iĤ(t′ −t)/~ q
t′ →−i∞
oder als Pfadintegral
GAB (t1 , t2 ) =
lim
t→i∞
t′ →−i∞
R
D′ xDp A(x(t1 ), p(t1 )) B(x(t2 ), p(t2 )) eiS[x,p]/~
R
.
D′ xDp eiS[x,p]/~
(1.222)
48
Kapitel 1 : Quantenmechanik
Man beachte, dass sich in dem Ausdruck (1.222) alle Normierungfaktoren herausheben! Die unphysikalischen
Limites (1.219) sind für euklidische greensche Funktionen ganz natürlich, bei denen überall die Zeit t durch
−iτ ersetzt wurde. Statt Oszillationen hat man dann überall Dämpfung und das Pfadintegral ist mathematisch
wohldeﬁniert. Daher untersucht man oft die euklidischen greenschen Funktionen und transformiert später,
wenn möglich, durch eine analytische Fortsetzung in die wahre Zeit zurück.
Die Operatoren Â, B̂ lassen sich durch die fundamentalen Operatoren x̂, p̂ ausdrücken, etwa durch eine
Taylorentwicklung. Es ist allerdings nicht notwendig, dass im Matrixelement die Produkte von x̂, p̂-Operatoren
alle zur selben Zeit genommen werden: man kann n-Punkt-Funktionen
G (t1 . . . tj , tj+1 . . . tn ) := h0 | T [ x̂H (t1 ) . . . x̂H (tj ) p̂H (tj+1 ) . . . p̂H (tn ) ] | 0i
(1.223)
R
D′ xDp x(t1 ) . . . x(tj ) p(tj+1 ) . . . p(tn ) eiS[x,p]/~
R
.
D′ xDp eiS[x,p]/~
(1.224)
NA
G (t1 . . . tj , tj+1 . . . tn ) =
TH
)
deﬁnieren und als Pfadintegral darstellen (wir schreiben im Folgenden den Grenzwert nicht mehr explizit hin):
D xDp exp
i
i
S[x, p] +
~
~
.R
′
Z
dt [ J(t) x(t) + K(t) p(t) ]
(1.225)
DR
Z[J, K] =
Z
UP
AK
Der ganze Satz von n-Punkt-Funktionen lässt sich aus einem erzeugenden Funktional
TH
JI(
durch Funktional-Diﬀerentation nach den künstlich eingeführten, äusseren Quellen erzeugen, die danach wieder
Null gesetzt werden 35
.
(1.226)
J=K=0
.R
UP
NA
δj
δ n−j
Z[J, K]
G (t1 . . . tj , tj+1 . . . tn ) = (−i~)n
δJ(t1 ) . . . δJ(tj ) δK(tj+1 ) . . . δK(tn ) Z[0, 0]
DR
Vertiefung 11: Erzeugende Funktionen
Das erzeugende Funktional ist eine Verallgemeinerung des Begriffs der erzeugenden Funktion, die für eine Vielzahl von orthogonalen
Polynomen existiert ( {Handbook}, Table 22.9). Beispielsweise ist
g(x, t) = exp
2xt − t2
=
∞
X
Hn (x)
n=0
tn
n!
(1.227a)
die erzeugende Funktion für die hermiteschen Polynome Hn (x). Offensichtlich gilt
Hn (x) =
∂n
g(x, t)
n
t=0
∂t
(1.227b)
und man findet leicht H0 = 1, H1 = 2x, H2 = 4x2 − 2, H3 = 8x3 − 12x, . . .. Bekannt ist auch die erzeugende Funktion für die
Legendre-Polynome
∞
X
1
=
Pn (x) tn , |t|, |x| < 1 ,
(1.227c)
√
1 − 2xt + t2
n=0
die für die Multipol-Entwicklung des Coulomb-Potentials wichtig ist.
Im Allgemeinen kann man das erzeugende Funktional nicht exakt berechnen.
Hamiltonoperator so in
Wenn man jedoch den
Ĥ = Ĥ0 + V (x̂, p̂)
35
”Der Mohr hat seine Arbeit [Schuldigkeit] getan, der Mohr kann gehn”, in {Schiller}, 3. Aufzug, 4. Auftritt .
(1.228)
49
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
aufspalten kann, dass das erzeugende Funktional Z0 [J, K] bekannt ist, dann lässt sich ein geschlossener Ausdruck
für das volle erzeugende Funktional angeben: zuerst zerlegt man den Exponenten im Pfadintegral ebenfalls in
Z
Z
dt [ p ẋ − H0 (x, p) + J(t) x(t) + K(t) p(t) ] − dt V (x(t), p(t))
(1.229)
TH
)
und benutzt dann, dass x(t) durch Funktional-Diﬀerentation nach der Quelle J(t) , p(t) durch Diﬀerentation
nach K(t) erzeugt werden kann. Damit lässt sich der Exponent der Störung aus dem Pfadintegral herausziehen
und wir erhalten die Darstellung
Z
Z
Z
i
i
i
Z[J, K] =
D′ xDp exp −
S0 +
dt V (x(t), p(t)) exp
dt [J(t)x(t) + K(t)p(t)]
~
~
~
Z
~ δ
~ δ
i
Z0 [J, K] .
,
dt V
= exp −
(1.230)
~
i δJ(t) i δK(t)
UP
AK
NA
Natürlich ist das nur eine formale Lösung, und i.a. muss man die Exponentialfunktion nach Potenzen der
Störung entwickeln und kann erst danach die Funktional-Ableitungen ausführen. Dies erzeugt die Störungsreihe
für das erzeugende Funktional und damit für alle n-Punkt-Funktionen.
.R
Ein Beispiel : der anharmonische Oszillator
1 2 ω2 2
p̂ +
x̂ +λx̂4
2
2
|
{z
}
TH
JI(
Ĥ =
DR
Der Hamiltonoperator für den anharmonischen Oszillator in einer Dimension ( m = ~ = 1 )
(1.231)
=H0
DR
.R
UP
NA
ist ein Prototyp für viele ähnliche Probleme. Tatsächlich lässt sich Gl. (1.231) als φ4 -Feldtheorie in (0+1) (Raum
+ Zeit)-Dimensionen auﬀassen, und auch der Hamiltonoperator eines nicht-relativistischen Mehrteilchen-Systems hat (in “2. Quantisierung”) eine ähnliche Struktur.
Das freie erzeugende Funktional lässt sich durch quadratische Ergänzung im Exponenten leicht berechnen:
Zuerst schreibt man
1
1
1
2
pẋ − p2 + K p = − [ p − (ẋ + K) ] + (ẋ + K)2
(1.232)
2
2
2
und führt die Impuls-Funktionalintegration aus, die einfach eine Konstante ergibt. Das verbleibende Integral
ist ebenfalls ein gaußsches:
Z
Z0 [J, K] = const
Dx eiS0 [x,J,K]
(1.233)
mit
S0 [x, J, K]
=
Z
=
Z
dt
1
ω2 2
(ẋ + K)2 −
x +Jx
2
2


 1 ∂2

1
2
dt 
x + (J − K̇) x + K 2 
−
ω
x
−
2
2

∂t
2
| {z }
:=O
1
1
(x, O x) + J − K̇, x + (K, K)
(1.234)
≡
2
2
Hierbei wurde in der zweiten Zeile eine partielle Integration vorgenommen und angenommen, dass bei ta =
i∞, tb = −i∞ keine Randterme auftreten. Die dritte Zeile ist eine Kurzschreibweise z. B. für
Z
∂2
(x, O x) :=
dt dt′ x(t)O(t, t′ )x(t′ ) mit O(t, t′ ) = − 2 − ω 2 δ(t − t′ ) .
(1.235)
∂t
50
Kapitel 1 : Quantenmechanik
Eine weitere quadratische Ergänzung erlaubt das Ausführen des gaußschen x-Integrals mit dem Ergebnis
i
i
J − K̇, O−1 , J − K̇
.
(1.236)
(K, K) −
Z0 [J, K] = const. exp
2
2
Wir müssen nun den inversen Operator O−1 (t, t′ ) berechnen. Durch Fouriertransformation mit dem Ansatz
O
−1
′
(t, t ) =
Z
+∞
−∞
′
dE −1
Õ (E) e−iE(t−t )
2π
(1.237)
verlangt, was auf die feynmansche Regel
(1.239)
AK
ω 2 −→ ω 2 − i 0+
NA
TH
)
erhält man eine algebraische Gleichung mit der Lösung O−1 (E) = 1/(E 2 − ω 2 ) . Die Behandlung des Pols
bei E = ω ergibt sich am einfachsten daraus, dass man eine Dämpfung des Funktional-Integrals vom Faktor
∂2
i
2
iS0
x, 2 + ω , x + . . .
(1.238)
= exp −
e
2
∂t
Z
+∞
dt eiEt h0 | T [ x̂H (t) x̂H (0) ] | 0i
Z +∞
δ2
Z[J, 0] iEt
dt e (−)
δJ(t)δJ(0) Z[0, 0] −∞
:=
TH
JI(
G(E)
DR
.R
UP
führt (i 0+ ist eine Kurzform für einen kleinen positiven Imaginärteil, der am Ende der Rechnung auf Null
gesetzt wird).
Wir konzentrieren uns nun auf die spezielle 2-Punkt-Funktion (auch “einteilchen”-greensche Funktion genannt)
−∞
NA
=
,
(1.240)
J=0
DR
.R
UP
die deswegen interessant ist, weil sich aus ihr am einfachsten die Grundzustands-Energie des Systems ableiten
lässt. Es gilt nämlich 36
E0 =
1
lim
4 ǫ→0
Z
+∞
−∞
dE −iǫE
ω 2 + 3E 2 G(E) ,
e
2π
(1.241)
Vertiefung 12: Grundzustands-Energie aus der Einteilchen-Greenfunktion
Diese Beziehung beruht auf den Bewegungsgleichungen pH (t) = ẋH (t) und ṗH (t) = ẍH (t) = −ω 2 xH (t) − 4λx3H (t). Aus der ersten erhält
man
1
1
< 0|p2 + ω 2 x2 |0 > =
2
2
lim
t1 ,t2 →0
∂2
+ ω2
∂t1 ∂t2
!
1
lim
2 ǫ→0
< 0|xH (t1 )xH (t2 )|0 > =
Z
+∞
−∞
dE −iEǫ 2
e
E + ω 2 G(E) ,
2π
(1.242a)
aus der zweiten nach Multiplikation mit x ≡ xH (0)
< 0|λx4 |0 > = −
1
lim
4 t→0
∂2
+ ω2
∂t2
!
< 0|xH (t)xH (0)|0 > =
1
lim
4 ǫ→0
Z
+∞
−∞
dE −iEǫ 2
e
E − ω 2 G(E) .
2π
(1.242b)
Addition führt zu Gl. (1.241).
Eine einfache Rechnung ergibt
G(0) (E) = i
Z
+∞
−∞
36 Siehe,
dt eiEt O−1 (t, 0) = iÕ−1 (E) =
z. B., {Fetter-Walecka}, p. 66 - 68 .
E2
i
− ω 2 + i 0+
(1.243)
51
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
und damit aus Gl. (1.241) das erwartete Ergebnis
Z +∞
1
3E 2 + ω 2
i
(0)
= ω,
lim
dE e−iǫE 2
E0 =
8π ǫ→0 −∞
E − ω 2 + i 0+
2
(1.244)
TH
)
wobei der Residuensatz mit Schliessen des Integrationsweges in der unteren komplexen E-Ebene verwendet
wurde.
müssen wir die Exponentialfunktion
InRerster Ordnung Störungstheorie
+∞
4
4
(siehe Gl. (1.230)) im Zähler und Nenner von (1.226) entwickeln, funktional
exp −iλ −∞ dt δ /δJ(t)
diﬀerenzieren und die Fouriertransformation ausführen. Das Ergebnis der etwas langwierigen Rechnung ist
h
i2 Z +∞ dE ′
G(1) (E) = G(0) (E) − 12iλ G(0) (E)
G(0) (E ′ )
2π
−∞
1
6iλ
i
(1.245)
+
.
=
E 2 − ω 2 − i 0+
ω (E 2 − ω 2 − i 0+ )2
(1.246)
UP
i
=− 2ω
AK
NA
Daraus ﬁnden wir für die Grundzustands-Energie
Z +∞
1
3iλ
ω 2 + 3E 2
3λ
1
dE −iǫE
= ω+
.
e
E0 = ω +
2
2
2ω −∞ 2π
(E − ω 2 − i 0+ )2
2
4ω 2
{z
}
|
(1.247)
TH
JI(
DR
.R
Das ist natürlich genau der Wert, den wir in der üblichen Störungstheorie ﬁnden würden:
* 4 +
4 3λ
1
.
∆E0 = 0 λx̂ 0 = λ 0 √ (â + â† ) 0 =
2
4ω
2ω
Symmetrien und Erhaltungssätze
.R
1.8
UP
NA
Der Vorteil der Methode der greenschen Funktionen ist, dass sie sich leicht auf Mehrkörper- und feldtheoretische
Probleme erweitern lässt.
DR
Aus der üblichen Operator-Formulierung der Quantenmechanik wissen wir, dass die Zeitabhängigkeit eines
Heisenberg-Operators durch
h
i
i
i h
dÂH (t)
i
d iĤt/~
e
Â e−iĤt/~ =
Ĥ, ÂH (t) = eiĤt/~ Ĥ, Â e−iĤt/~
=
dt
dt
~
~
(1.248)
gegeben ist, wenn der Operator Â nicht explizit von der Zeit abhängt. Daraus folgt insbesondere, dass Operatoren, die mit dem Hamilton-Operator des Systems kommutieren, erhalten sind
dÂH (t)
= 0
dt
,
wenn
h
Ĥ, Â
i
= 0,
(1.249)
d.h. sich während der zeitlichen Entwicklung des Systems nicht ändern. Da in den meisten Fällen von Interesse
eine exakte Lösung der Bewegungsgleichung (1.248) nicht möglich ist, sind solche Konstanten der Bewegung in
der Quantenphysik von allergrösster Bedeutung.
Dies ist natürlich auch in der klassischen Physik der Fall, wo das Noether-Theorem die Existenz einer
Erhaltungsgrösse mit der Invarianz der Wirkung unter einer (kontinuierlichen) Symmetrietransformation verknüpft. Der übliche Beweis 37 verwendet die Euler-Lagrange-Gleichungen des Systems: Sei
x(t) −→ x′ (t) = x(t) + α ∆x(t)
37 Siehe,
(1.250)
z. B. {Landau-Lifschitz 1}, Kap. 2. Die Darstellung in diesem Abschnitt folgt im Wesentlichen Peskin & Schroeder,
ch. 2.2 und 9.6 .
52
Kapitel 1 : Quantenmechanik
eine inﬁnitesimale Transformation des klassischen Pfades mit konstantem Parameter α, die die Wirkung (bis
auf Randterme, die die Bewegungsgleichungen nicht verändern) invariant lässt. Dies bedeutet, dass sich die
Lagrange-Funktion höchstens um eine totale Ableitung ändern darf:
d
Λ(t) .
(1.251)
dt
Hierbei ist Λ(t) eine Grösse, die sich aus der jeweiligen Symmetrie-Transformation und der zugrundeliegenden
Lagrange-Funktion berechnen lässt. Die Änderung der Lagrange-Funktion L(x, ẋ) lässt sich jedoch auch aus
der Änderung des Pfades ausrechnen
L(t) −→ L(t) + α
=
(1.252)
TH
=
∂L
∂L d
α ∆x +
(α ∆x)
∂x ∂ ẋ dt d ∂L
d ∂L
∂L
α
∆x .
∆x + α
−
dt ∂ ẋ
∂x
dt ∂ ẋ
)
α ∆L
NA
Auf Grund der Bewegungsgleichungen verschwindet der Term in der eckigen Klammer. Wenn wir die beiden
Änderungen der Lagrange-Funktion gleichsetzen, erhalten wir
(1.253)
.R
UP
AK
d
∂L
j(t) = 0 mit j(t) :=
∆x − Λ(t) ,
dt
∂ ẋ
d.h. j(t) ist ein erhaltener “Strom” (die Normierung ist beliebig).
DR
Beispiel : Zeittranslations-Invarianz
TH
JI(
Wir betrachten ein Teilchen in einem zeitunhängigen Potential mit der Lagrange-Funktion L = mẋ2 /2 − V (x). Offensichtlich ist die Bewegung unabhängig vom Beginn der Zeitzählung, d.h. wir können t → t + α verschieben. Infinitesimal
induziert dies eine Transformation
x(t) −→ x(t) + α ẋ(t) ,
(1.254)
NA
unter der sich die Lagrange-Funktion wie
UP
α ∆L = mẋ αẍ − V ′ (x) αẋ = α
d m 2
ẋ − V (x)
dt 2
(1.256)
DR
.R
verändert. Aus Gl. (1.253) erhalten wir also, dass
m
m 2
j = mẋ ẋ −
ẋ2 − V (x) =
ẋ + V (x) = constt ,
2
2
ist, d.h. die Energie des Systems auf Grund der Homogenität der Zeit erhalten bleibt.
(1.255)
Wie sieht die Formulierung im Pfadintegral-Formalismus aus, der weder Operatoren noch klassische Bewegungsgleichungen kennt ? Um diese Frage zu beantworten, werden wir das Verhalten des Pfadintegrals (in der
Lagrange-Form) unter der allgemeineren zeitabhängigen Transformation
x(t) = ξ(t) + α(t) ∆ξ(t)
(1.257)
untersuchen. Wir nehmen wieder an, dass die Transformation mit konstantem α eine Symmetrie-Transformation
ist, d.h. wie in Gleichung (1.251) die Lagrange-Funktion nur um eine totale Ableitung verändert. Mit einem
zeitabhängigen Parameter erhalten wir jetzt jedoch
L(t) −→ L(t) + α
∂L
d
Λ(t) + α̇
∆ξ ,
dt
∂ ẋ
(1.258)
weil wir die Änderung der Geschwindigkeit durch α(t) berücksichtigen müssen. Die Transformation (1.257)
darf naturgemäss die festgehaltenen Randbedingungen x(ta ) = xa , x(tb ) = xb nicht verändern (wir erinnern
uns, dass im Pfadintegral über die Randpunkte nicht integriert wird), so dass man
α(ta ) = α(tb ) = 0
(1.259)
53
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
fordern muss. Wie im klassischen Fall werden wir uns auf inﬁnitesimale Transformationen beschränken, d.h.
nur Terme bis zur Ordnung α im Folgenden mitnehmen. Da das Pfadintegral sich nicht ändert, haben wir
Z ξ(tb )=xb
Z x(tb )=xb
Dξ |J | eiS[ξ+α∆ξ]/~ ,
(1.260)
Dx eiS[x]/~ =
ξ(ta )=xa
x(ta )=xa
wobei
J = Dett,t′
δx(t)
δξ(t′ )
(1.261)
NA
TH
)
die Jacobi-Determinante der Transformation ist. Wir wollen zunächst annehmen, dass J = 1 d.h., dass das
“Mass” Dx des Pfadintegrals ebenfalls invariant unter der Symmetrietransformation ist. Wenn wir auf der
rechten Seite von Gl. (1.260) bis zur Ordnung α entwickeln, erhalten wir daher
Z ξ(tb )=xb
Z ξ(tb )=xb
Z tb i
i
d
∂L
iS[ξ]/~
Dξ
Dξ ∆S[ξ] e
dt α(t) Λ(t) + α̇(t)
=
∆ξ eiS[ξ]/~ = 0 . (1.262)
~
~ ta
dt
∂ ξ˙
ξ(ta )=xa
ξ(ta )=xa
.R
UP
AK
Wir führen nun eine partielle Integration im zweiten Term durch: die Randterme bei t = ta und t = tb
verschwinden wegen Gl. (1.259) und wir bekommen
Z x(tb )=xb
Z tb
i d
∂L
Dx
Λ(t) −
dt α(t)
∆x eiS[x]/~ = 0 ,
(1.263)
~ dt
∂ ẋ
x(ta )=xa
ta
x(ta )=xa
d
Dx
dt
∂L
∆x − Λ(t)
∂ ẋ
eiS[x]/~ = 0
für alle t .
(1.264)
Dx exp(iS[x])/~ eine Normierung, die sicherstellt, dass < 1 > = 1 ist.
UP
R
x(tb )=xb
.R
Hierbei ist N −1 =
Z
NA
d
h j(t) i := N
dt
TH
JI(
DR
wobei wir wieder x(t) als Integrationsvariable im Funktional-Integral geschrieben haben. Da α(t) beliebig ist,
muss der Integrand in der geschweiften Klammer für jede Zeit t verschwinden, d.h. es muss gelten
DR
Beispiel : Raumtranslations-Invarianz
Als einfachstes Beispiel wollen wir ein freies Teilchens unter einer Verschiebung der Koordinate x(t) → x(t) + α betrachten. Offensichtlich ist die Jacobi-Determinante hier J = 1 und die Lagrange-Funktion mẋ2 /2 bleibt unter dieser
Transformation unverändert. Daher ist Λ(t) = 0 und die Pfadintegral-Version des Noether-Theorems (1.264) sagt, dass
der Impuls
P := h mẋ(t) i = constt
(1.265)
erhalten ist. Dies können wir nachprüfen, indem wir die Pfadintegrale exakt ausrechnen. Die einfachste Methode
besteht darin, eine äussere Kraft e(t) einzuführen, funktional danach zu differenzieren und danach diese Quelle wieder
abzuschalten. Dafür können wir die expliziten Ergebnisse der erzwungenen Bewegung aus Kapitel 1.3 verwenden: da
der Vorfaktor in Gl. (1.83) nicht von e(t) abhängt, haben wir
~
δ
∂ δSkl iSkl /~ frei
−iSkl /~ ∂
e
−
= −m
.
(1.266)
P
= me
∂t
i δe(t)
∂t δe(t) e=0
e=0
zu berechnen. Die klassische Wirkung eines Teilchens unter einer zeitabhängigen Kraft e(t) erhält man aus Gl. (1.97)
im Limes ω → 0 :
Z tb
Z tb
m
2xb
2xa
2
2
Skl =
(xb − xa ) −
.
(1.267)
ds e(s) (s − ta ) −
ds e(s) (tb − s) + O e
2T
m ta
m ta
Differentation in Gl. (1.266) ergibt dann
P
frei
= m
xb − xa
, T ≡ tb − ta ,
T
(1.268)
54
Kapitel 1 : Quantenmechanik
was tatsächlich unabhängig von der beliebigen Zeit t ∈ [ta , tb ] ist und das klassische Resultat “Impuls = Masse ×
(konstante) Geschwindigkeit zwischen a und b” darstellt.
Ein weniger triviales Beispiel ist das eines Systems von zwei Teilchen (obwohl dies eigentlich eher in Kapitel 2 gehört),
die miteinander durch ein Potential wechselwirken, das von ihrem gegenseitigen Abstand abhängt:
L =
m1 2 m2 2
ẋ +
ẋ − V (x1 − x2 ) .
2 1
2 2
(1.269)
Dieses System ist ebenso translationsinvariant wie das vorher betrachtete freie Teilchen und daher ergibt das Noether’sche
Theorem (1.264) (mit den offensichtlichen Verallgemeinerungen für mehrere Teilchen), dass der Gesamtimpuls
P
gesamt
:= h m1 ẋ1 + m2 ẋ2 i = constt
(1.270)
m1 x 1 + m2 x 2
, r := x1 − x2 , M ≡ m1 + m2 .
M
NA
R :=
TH
)
erhalten ist. Die quantenmechanische Dynamik des Systems, das durch Gl. (1.269) beschrieben wird, ist allerdings
längst nicht mehr so einfach wie im vorigen Beispiel. Man kann die Pfadintegral-Mittelung in Gl. (1.270) allerdings
doch einfach ausrechnen, indem man Schwerpunkts- und Relativ-Koordinaten einführt
(1.271)
gesamt
= M
Rb − Ra
.
T
(1.272)
TH
JI(
DR
P
.R
UP
AK
Bekanntlich separiert dann die Lagrange-Funktion (1.269) in einen Schwerpunktsanteil M Ṙ2 /2 und einen Relativanteil
m1 m2 ṙ 2 /(2M ) − V (r) , was zu einer Faktorisierung der entsprechenden Pfadintegrale führt. Da m1 ẋ1 + m2 ẋ2 = M Ṙ
ist, hebt sich das Pfadintegral über die Relativ-Koordinate r – das man im Allgemeinen nicht ausführen kann – in dem
Mittelwert heraus. Wir können daher das Resultat für das freie Teilchen übernehmen und erhalten
Numerische Behandlung von Pfadintegralen
DR
1.9
.R
UP
NA
Wenn die Jacobi-Determinante beiträgt, d.h. wenn das “Mass” nicht invariant ist, treten Zusatz-Terme auf
und man spricht von einer Anomalie: die Quantentheorie besitzt nicht die Symmetrie der klassischen Theorie.
Dies spielt in der Feldtheorie eine bedeutsame Rolle (siehe Kapitel 3.5).
Wenn weder eine exakte analytische Berechnung des Pfadintegrals möglich, noch Störungstheorie anwendbar ist,
muss man versuchen, das Funktional-Integral numerisch zu berechnen. Das ist praktisch nur im “Euklidischen”
möglich, da für reelle Zeiten die Oszillationen numerisch nicht kontrollierbar 38 sind: hierbei geht man zu
imaginären Zeiten
T = −iβ ,
t = −iτ
(1.273)
über und studiert die Zustandssumme
Z(β) = Sp e−β Ĥ/~ .
(1.274)
Für die Zustandssumme eines Teilchens lässt sich sofort eine Pfadintegral-Darstellung angeben, die aus derjenigen des Zeitentwicklungs-Operators folgt. Wenn wir in
#
" Z
Z x(T )=x
T
m
Z
i
2
ẋ − V (x)
(1.275)
dt
Dx exp
Sp Û (T, 0) = Sp e−iT Ĥ/~ = dx
~ 0
2
x(0)=x
die Transformation (1.273) durchführen, erhalten wir das gewünschte Ergebnis
38 Es
gibt einige Versuche, Pfadintegrale in echter Zeit numerisch zu behandeln, siehe z. B. [18].
55
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
Z(β)
=
Z
dx
Z
x(β)=x
x(0)=x
"
1
Dx exp −
~
Z
β
m
dτ
2
0
Hierbei ist
Z
SE [x] =
ẋ + V (x)
β
dτ
2
hm
#
I
≡
Dx e−SE [x]/~ .
(1.276)
x(0)=x(β)
ẋ2 + V (x)
i
(1.277)
2
die euklidische Wirkung 39 . Man beachte den Vorzeichen-Wechsel zwischen kinetischer und potentieller Energie in Gl. (1.277) gegenüber der normalen Wirkung !
Ähnlich wie den Grundzustand bei den greenschen Funktionen kann man auch aus der Zustandssumme die
Grundzustands-Energie des Systems E0 =< 0| Ĥ |0 > durch den Übergang zu grossen euklidischen Zeiten
herausﬁltern:
Sp Ĥe−β Ĥ/~
E0 e−βE0 /~ + E1 e−βE1 /~ + . . .
= lim
E0 = lim
β→∞
β→∞
e−βE0 /~ + e−βE1 /~ + . . .
Sp e−β Ĥ/~
∂
ln Z .
= lim −~
(1.278)
β→∞
∂β
.R
UP
AK
NA
TH
)
0
N →∞
NA
mit x0 = xN , Aǫ = [m/(2πǫ~)]1/2 und
TH
JI(
DR
Wenn wir die diskrete Form des Pfadintegrals (1.276)
Z
N
Z = lim Aǫ
dx0 . . . dxN −1 exp [ −SE (x0 . . . xN )/~ ]
UP
SE (x0 . . . xN ) = ǫ
N →∞
ǫ→0
dx0 . . . dxN −1
DR
E0 = lim
R
.R
benutzen, erhalten wir
1
N
PN
j=1
R
N
X
j=1
m
2
"
m
2
xj − xj−1
ǫ
xj −xj−1
ǫ
2
2
+ V (xj )
+ V (xj ) −
dx0 . . . dxN −1 exp (−SE /~)
~
2ǫ
(1.279)
#
(1.280)
exp (−SE /~)
.
(1.281)
Dies ist für numerische Zwecke nicht besonders geeeignet, weil sich inverse ǫ-Terme wegheben müssen, um
ein endliches Ergebnis zu liefern. Der Grund liegt im nichtlokalen Operator der kinetischen Energie, dessen
Erwartungswert Schwierigkeiten bereitet.
Man kann dies umgehen, indem man das Virialtheorem
2 p̂ 0 = 1 h0 | x̂V ′ (x̂) | 0i
(1.282)
0 2m 2
verwendet
40
. Damit erhalten wir
R
E0
=
≡
lim
dx0 . . . dxN −1
N →∞
ǫ→0
*
1
N
N X
j=1
1
N
R
PN 1
j=1
2 xj V
′
(xj ) + V (xj ) exp (−SE /~)
dx0 . . . dxN −1 exp (−SE /~)
+
1
′
xj V (xj ) + V (xj )
2
(1.283)
39 Der Name kommt daher, dass diese Transformation die relativistische indefinite Metrik in eine vierdimensionale euklidische
verwandelt: xµ xµ = c2 t2 − x2 = − x2 + c2 τ 2 .
40 Beweis: man berechne den Kommutator [ x̂p̂ , p̂2 /(2m) + V (x̂) ] und nehme den Grundzustands-Erwartungswert auf beiden
Seiten.
56
Kapitel 1 : Quantenmechanik
Anregungsenergien kann man aus den euklidischen greenschen Funktionen (manchmal auch Korrelationsfunktionen genannt) erhalten, wenn der Erwartungswert des entsprechenden Operators im Grundzustand
verschwindet:
2
X GAA (t = −iβ)
=
< 0 |Â| n > e−(En −E0 )β/~
n
β→∞
−→
2
2
< 0 |Â| 0 > + < 0 |Â| 1 > e−(E1 −E0 )β/~ . . .
{z
}
|
(1.284)
=0
.R
UP
AK
NA
TH
)
Mit anderen Worten: die Korrelationsfunktionen fallen exponentiell in der euklidischen Zeit ab und die Abfallkonstante ist durch die Anregungsenergie des ersten Zustandes bestimmt, der durch den Operator Â einen
Überlapp mit dem Grundzustand hat. Für die numerische Rechnung ist entscheidend, dass der Erwartungswert
des Operators im Grundzustand exakt verschwindet, weil jeder, auch noch so kleine, Beitrag des ersten Terms
in Gl. (1.284) das exponentiell verschwindende Signal des angeregten Zustandes überdecken würde.
Der einfachste Operator, dessen Erwartungswert auf Grund der Paritäts-Auswahlregel im Grundzustand verschwindet, ist Â = x̂ . Daher haben wir z.B.
R
Dx x(β)x(0) exp [−SE /~]
~
R
(1.285)
E1 − E0 = lim − ln
β→∞
β
Dx exp [−SE /~]
UP
NA
TH
JI(
DR
und die entsprechende diskrete Form kann zur numerischen Auswertung benutzt werden. Im 3-dimensionalen
Fall kann man etwa durch Â = Yℓ0 (r̂) den niedrigsten Zustand zu einem gegebenen Drehimpuls ℓ herausprojizieren. Ähnlich verfährt man in der Feldtheorie, in der die Teilchen Anregungszustände über dem “Vakuum”
sind, dessen Energie E0 = 0 gesetzt wird. Beispielsweise verbindet in der Quantenchromodynamik der Operator
Â = ψ̄γ5 ψ , wobei ψ geeignete Quark-Feldoperatoren sind, das Vakuum mit dem Pion, dem niedrigsten pseudoskalaren Zustand. Auf diese Weise kann man also (im Prinzip) die Massen der niedrigliegendsten Hadronen
aus der fundamentalen Feldtheorie numerisch bestimmen (mehr dazu im Kapitel 3.6).
DR
.R
Bis jetzt haben wir nur die formalen Hilfsmittel diskutiert, um Energien und Massen aus dem euklidischen Pfadintegral zu extrahieren. Wie berechnet man nun tatsächlich numerisch solche Funktional-Integrale ? Wenn wir
als konkretes Beispiel wieder den Fall eines Teilchens nehmen, das sich in einer Dimension in einem gegebenen
Potential bewegt, dann sehen wir aus Gl. (1.283), dass wir ein N -dimensionales Integral numerisch auszuwerten
hätten, um die Grundzustands-Energie zu erhalten, und dass N sehr gross sein muss. Eine direkte Integration
mit Hilfe der Verfahren, die bei ein- oder niedrig-dimensionalen Integralen üblicherweise verwendet werden
(etwa das simpsonsche oder das gaußsche Verfahren) ist natürlich unmöglich, weil der zeitliche Aufwand mit
(Stützstellen-Anzahl)N anwachsen würde. Man kann jedoch statistische (stochastische) Verfahren anwenden,
die von der Dimension der Integrale weit weniger stark abhängen. Solche Monte-Carlo-Methoden haben
allerdings den Nachteil, dass die Genauigkeit des Ergebnisses nur mit der Wurzel der Anzahl der “WürfelVersuche” zunimmt. Trotzdem sind es (im Augenblick) die einzigen Methoden, um hochdimensionale Integrale
(wie das diskretisierte Pfadintegral) zu behandeln.
Will man beispielsweise das eindimensionale Integral
Z 1
I =
dx f (x)
(1.286)
0
über eine beliebige Funktion f (x) durch “Würfeln” ermitteln, erzeugt man sich einfach M gleichverteilte Zufallszahlen xi ∈ [0, 1] und bildet
M
1 X
f (xi ) ≡ f¯ .
(1.287)
I ≃
M i=1
57
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
Den Fehler, den man dabei macht, kann man durch

!2 
M
M
i
X
X
1  1
1
1 h 2
(∆I)2 =
f − (f¯)2
f 2 (xi ) −
f (xi )  ≡
M M i=1
M i=1
M
(1.288)
abschätzen. Dieses Verfahren ist nicht sehr eﬀektiv, und eine einfache Verbesserung erhält man durch gezieltes
Würfeln (“importance sampling”): sei w(x) > 0 eine Gewichtsfunktion, die den wesentlichen Verlauf der
Funktion f (x) zeigt. Dann schreiben wir
Z 1
f (x)
w(x)
(1.289)
dx
I =
w(x)
0
)
⇒ dy = w(x)dx
dz w(z)
TH
bewirkt, dass in
x
0
I =
Z
y(1)
dy
0
f (x(y))
w(x(y))
(1.290)
(1.291)
dz w(z) = 1
(1.292)
DR
0
1
.R
Z
UP
der Integrand jetzt sehr viel weniger variiert. Falls
y(1) =
NA
y(x) =
Z
AK
und die Transformation
ist, dann können wir sofort
M
1 X f (x(yi ))
M i=1 w(x(yi ))
TH
JI(
I≃
(1.293)
DR
.R
UP
NA
berechnen, wobei die yi ∈ [0, 1] gleichverteilte Zufallszahlen sind. xi = x(yi ) sind Stützpunkte, die mit der
Funktion w(x) gewichtet sind, d.h. stärker an den Stellen gehäuft sind, an denen w(x) ≃ f (x) gross ist. Der
Nachteil dieser Methode ist, dass eine Inversion x(y) notwendig ist.
Es gibt Verfahren, um gewichtete Stützstellen xi ohne Inversion zu erzeugen. Von diesen soll stellvertretend
die Metropolis-Methode besprochen werden, die das älteste, aber natürlich nicht mehr das eﬃzienteste
stochastische Verfahren ist. Generell startet man dabei mit einem willkürlichen Punkt x0 im Integrationsgebiet
und erzeugt sich mit Hilfe eines speziﬁschen Algorithmus einen neuen Punkt x1 , daraus einen weiteren usw.
x0 → x1 → x2 → . . .
(1.294)
Das wird “Zufalls-Wanderung” (“random walk”) durch das Integrationsgebiet genannt. Der Metropolis-Algorithmus wählt einen neuen Punkt etwa nach dem Schema
xt = xn + δ · (z1 − 0.5) ,
(1.295)
wobei δ ein vorgegebenes Intervall und z1 eine gleichverteilte Zufallszahl zwischen 0 und 1 ist, bildet das
Verhältnis
w(xt )
(1.296)
r =
w(xn )
und akzeptiert den neuen Punkt xt nach den folgenden Kriterien:
a) wenn r > 1 ist, dann wird xn+1 = xt gesetzt,
b) wenn r < 1 ist , dann wird xt mit der Wahrscheinlichkeit r akzeptiert, sonst bleibt xn+1 = xn . Praktisch
wird dies so gemacht, dass eine zweite gleichverteilte Zufallszahl z2 ∈ [0, 1] gebildet wird und man setzt
xn+1 = xt , wenn z2 < r, aber xn+1 = xn wenn z2 > r.
58
Kapitel 1 : Quantenmechanik
Behauptung : Wenn n gross wird, nähert sich die Verteilung der erzeugten Punkte beliebig genau der mit
w(x) gewichteten.
Beweis : Wir betrachten ein grosses Ensemble von “Zufallswanderern” mit der Dichte Nn (x) im n-ten Schritt.
Die Bilanz beim (n + 1)-ten Schritt ist
∆Nn (x, y) = Nn (x) P (x → y) − Nn (y) P (y → x) ,
(1.297)
wobei P (x → y) die Übergangswahrscheinlichkeit von x nach y ist. Wenn
Nn (x)
P (x → y)
N (x)
=
=
Nn (y)
P (y → x)
N (y)
)
(1.298)
NA
TH
ist, stellt sich ein Gleichgewichtszustand ein. Im Metropolis-Algorithmus ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein
Schritt von x nach y gemacht wird,durch
(1.299)
AK
P (x → y) = T (x → y) A(x → y)
DR
.R
UP
gegeben, wobei A(x → y) die Akzeptanz-Wahrscheinlichkeit ist und T (x → y) die Wahrscheinlichkeit, dass
ein Schritt von x nach y führt. Es ist entscheidend, dass bei der in Gl. (1.295) angegebenen Vorschrift für die
Erzeugung des Punktes xt die Wahrscheinlichkeit von y nach x zu gehen, genau so gross ist (“ausgewogenes
Gleichgewicht”, “detailed balance”):
TH
JI(
T (x → y) = T (y → x)
Wir unterscheiden nun zwei Fälle:
⇒
A(y → x)
Nn (x)
=
.
Nn (y)
A(x → y)
(1.300)
NA
a) w(x) > w(y) ; dann ist A(y → x) = 1, weil r > 1 und A(x → y) = r = w(y)/w(x). Damit folgt
(1.301)
.R
UP
1
w(x)
N (x)
=
=
.
N (y)
w(y)/w(x)
w(y)
DR
b) w(x) < w(y); dann ist A(y → x) = w(x)/w(y) und A(x → y) = 1, weil r > 1. Wiederum folgt Gl.
(1.301).
In beiden Fällen haben wir also das Ergebnis, dass die Gleichgewichtsverteilung der nach dem MetropolisAlgorithmus erzeugten “Zufalls-Spaziergänger” proportional zur Gewichtsfunktion w(x) ist, was zu beweisen
war.
Vertiefung 13: Grundzustands-Energie des anharmonischen Oszillators durch Monte-Carlo-Methoden und
FORTRAN-Programm
Aus Gl. (1.283) erhalten wir für das Potential V (x) = mω 2 x2 /2 + λ x4
E0 =
lim
N →∞
ǫ→0
*
N
i
1 Xh 2
xi + 3λx4i
N i=1
+
,
(1.302a)
wobei die Gewichtsfunktion
w (x)
=
SE (x)
=
e−SE (x)
, x = (x0 . . . xN −1 )
dx0 . . . dxN −1 e−SE (x)
"
#
N
X
(xi − xi−1 )2
ǫ
+ x2i + ǫλx4i
2ǫ
2
i=1
R
(1.302b)
59
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
lautet. Sie erfüllt alle Forderungen: w > 0 ,
R
dx0 . . . dxN −1 w(x) = 1 . Nach dem Metropolis-Algorithmus muss man
r =
w(xt )
= exp [−(SE (xt ) − SE (x)] = e−∆SE
w(x)
(1.302c)
berechnen. Diese Änderung nimmt man nur an einem einzelnen Punkt des “Zeitgitters” vor; dann muss man nicht jeweils die gesamte
Wirkung berechnen, sondern nur die Änderung
∆SE
=
SE [. . . xneu
. . .] − SE [. . . xalt
xneu
− xalt
i
i . . .] =
i
i
(
)
1
ǫ
1 alt
2
2
·
xi+1 + xalt
,
+ + ǫλ xneu
+ xalt
xneu
+ xalt
−
i−1
i
i
i
i
ǫ
2
ǫ
(1.302d)
NA
AK
lambda (Anharmonizitaet)
Zeitschritt
Anzahl der (Zeit-) Gitterpunkte
Anzahl der Thermalisierungs-Sweeps
Anzahl der zusaetzlichen Monte-Carlo-Versuche
an jedem Gitterpunkt
NSWEEP = Gesamtanzahl der Sweeps
NMESS = Anzahl der Sweeps, nach denen gemessen wird
DELTA = max. Zuwachs von x an jedem Gitterpunkt
UP
=
=
=
=
=
DR
.R
Parameter : ALA
EPS
N
NTH
NHIT
TH
JI(
DOUBLE PRECISION DSEED
DIMENSION X(-1:200)
WRITE(*,*) ’Eingabe: ala,eps,n,nth,nhit,nsweep,nmess,delta’
READ(5,*) ALA,EPS,N,NTH,NHIT,NSWEEP,NMESS,DELTA
WRITE(6,1) ALA,EPS,N,NTH,NHIT,NSWEEP,NMESS,DELTA
FORMAT(/’
lambda = ’,F6.2,2X,’ EPS = ’,F6.2,2X,’N = ’,I3,2X,
&
’NTH = ’,I4,2X,’NHIT = ’,I2// ’ NSWEEP = ’,I7,2X,’NMESS = ’,
&
I4,2X,’DELTA = ’,F6.3/)
Hilfsrechnungen
C
C
C
Setzen der Anfangswerte
HILF = 1./EPS
HELF= HILF + 0.5*EPS
HALF = ALA*EPS
N1 = N - 1
NACC = 0
SUM1 = 0.
SUM2 = 0.
DO 10 I = -1,N
X(I) = 0.5
NA
DSEED = 3.72D2
WRITE(6,2) DSEED
FORMAT(/’
SEED =’,D15.8//)
2
C
C
C
UP
C
Einheiten : h quer = m = omega = 1
.R
1
Berechnet Grundzustands-Energie des anharmonischen Oszillators
mit der Metropolis-Methode fuer das euklidische Pfadintegral
DR
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
TH
)
wobei i = 0, . . . N − 1 , x−1 ≡ xN −1 , xN = x0 zu nehmen ist.
Ein einfaches FORTRAN-Programm, das diesen Algorithmus durchführt, ist im folgenden angegeben. Es dient nur zur Illustration und
entspricht sowohl bei der statistischen Analyse wie beim Zufallszahlen-Generator 41 durchaus nicht mehr den “Regeln der Kunst” – selbst
für dieses einfache quantenmechanische Beispiel.
10
C
C Sweep
C
WRITE(6,5)
5
FORMAT(/’ Sweep’,5x,’Energie’,4x,’mittl.Energie’,5x,’Fehler’,
& 5x,’Akzeptanz’//)
DO 20 I =1,NSWEEP
DO 30 K = 0,N1
DO 35 M = 1,NHIT
Z = ZUFALL(DSEED)
XT = X(K) + DELTA*(Z-0.5)
C
C Wirkungsaenderung
C
DS = HALF*(XT*XT + X(K)*X(K))
DS = (HELF + DS)*(XT+X(K))
DS = DS - HILF*(X(K-1) + X(K+1))
DS = (XT - X(K))*DS
C
C Metropolis-Test
C
IF(DS .GE. 0.) THEN
R = EXP(-DS)
Z = ZUFALL(DSEED)
IF(Z .GT. R) GO TO 35
ENDIF
X(K) = XT
41 Linear kongruenter Generator: X
5
31 − 1 . Für eine ausführlichere
j+1 = aXj + b (mod c) , zj = Xj /c mit a = 7 , b = 0, c = 2
Diskussion siehe z. B. {Num. Recipes}, ch. 7.
60
Kapitel 1 : Quantenmechanik
NACC = NACC + 1
CONTINUE
IF(K .EQ. 0) X(N) = X(0)
IF(K .EQ. N1) X(-1) = X(N1)
CONTINUE
IF(I .LE. NTH) GO TO 20
35
30
Messung
II = I - NTH
IC = II/NMESS
IF(NMESS*IC .NE. II) GO TO 20
E = 0.
DO 25 K = 0,N1
E = E + X(K)*X(K) + 3.*ALA*X(K)**4
E = E/N
SUM1 = SUM1 + E
SUM2 = SUM2 + E*E
EM = SUM1/IC
EMM = SUM2/IC
DE = SQRT((EMM-EM*EM)/IC)
ACC = FLOAT(NACC)/(I*N*NHIT)
25
)
Ausdruck
WRITE(6,3) II,E,EM,DE,ACC
FORMAT(I8,4(3X,F10.4))
CONTINUE
STOP
END
3
20
TH
C
C
C
NA
C
C
C
FUNCTION ZUFALL(DSEED)
UP
erzeugt gleichverteilte Zufallszahlen im Intervall [0,1]
DR
.R
DOUBLE PRECISION DSEED,A,C
DATA A,C /16807.D0,2147483647.D0/
DSEED = DMOD(A*DSEED,C)
ZUFALL = DSEED/C
RETURN
END
TH
JI(
C
C
C
AK
C++++++++++++++++++++++++ UNTERPROGRAMM ZUFALL ++++++++++++++++++
DR
.R
UP
NA
Mit diesem Programm erzeugen wir also an jedem Punkt des “Zeitgitters” einen neuen xi -Wert und berechnen dann die Änderung der
Wirkung. Nach dem Metropolis-Verfahren wird der neue Wert dann akzeptiert oder nicht. Es ist entscheidend für die richtige Beschreibung
der Quantenfluktuationen, dass auch Konfigurationen, die eine grössere Wirkung als die vorangegangene besitzen, mit einer gewissen
Wahrscheinlichkeit akzeptiert werden, sonst würde man unweigerlich im Zustand tiefster euklidischer Wirkung (= Energie), d.h. im
klassischen Grundzustand landen. Wenn man einmal durch das Gitter hindurchgegangen ist, hat man ein “Ausfegen” (einen “sweep”)
vollführt. Da der Zufalls-Spaziergang nicht völlig zufällig ist (die jeweils erzeugten Punkte liegen in der Nachbarschaft der alten), würfelt
man an jedem Punkt des Gitters mehrfach (NHIT = 3 in unserem Beispiel), bevor man weitergeht und berechnet die GrundzustandsEnergie nicht nach jedem “sweep”. Der Parameter δ wird so eingestellt, dass ungefähr 50% aller Versuche angenommen wird; bei zu
kleinem δ wird mehr akzeptiert, aber man bleibt zu nahe an der alten Konfiguration; bei zu grossem δ hat man zwar unabhängigere
Konfigurationen, aber die meisten haben eine so grosse Wirkung, dass sie nicht akzeptiert werden. Der Zeitschritt ǫ sollte klein sein
gegenüber einer Schwingungsdauer (2π/ω = 2π beim reinen harmonischen Oszillator) und N sollte so gross sein, dass der erste angeregte
Zustand genügend unterdrückt ist, d.h. exp(−~(E1 − E0 )N ǫ) = exp(−N ǫ) ≪ 1 beim reinen harmonischen Oszillator.
Zu Beginn werden alle xi -Werte willkürlich auf den festen Wert xi = 0.5 eingestellt – das nennt man einen “kalten Start” (wegen der
Äquivalenz mit einem statistischen System wird häufig eine thermodynamische Nomenklatur verwendet: bei tiefen Temperaturen zeigen
in einem Spin-System alle Spins in dieselbe Richtung). Ein “heisser Start” wäre die zufällige Verteilung aller xi -Werte zu Beginn. Das
Ergebnis der Rechnung muss natürlich unabhängig von den Startbedingungen sein. Daher lässt man die ersten NTH (= 1000 in unserem
Beispiel) “sweeps” unbeachtet, bis “Thermalisierung” eingetreten ist und “misst” dann alle NMESS (= 500 im Beispiel) “sweeps” die
Grundzustands-Energie. Beispielsweise erhalten wir für λ = 0 (also für den harmonischen Oszillator) dann den folgenden Ausdruck:
lambda = 0.00
EPS = 0.10
NSWEEP = 110000
N = 100
NMESS = 500
NTH = 1000
DELTA = 1.300
SEED = 0.37200000D+03
Sweep
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
6000
6500
7000
7500
8000
8500
9000
9500
10000
Energie
0.5407
0.3529
0.2990
0.2488
0.4176
0.4441
0.5483
0.4838
0.4182
0.5140
0.4527
0.1740
1.0234
0.3397
0.8015
0.4014
0.6237
0.3360
0.4740
0.5682
mittl. Energie
0.5407
0.4468
0.3976
0.3604
0.3718
0.3839
0.4073
0.4169
0.4171
0.4267
0.4291
0.4078
0.4552
0.4469
0.4706
0.4663
0.4755
0.4678
0.4681
0.4731
Fehler
Akzeptanz
0.0000
0.0664
0.0598
0.0552
0.0454
0.0394
0.0401
0.0362
0.0322
0.0304
0.0277
0.0326
0.0545
0.0513
0.0530
0.0499
0.0478
0.0458
0.0434
0.0415
0.5045
0.5039
0.5037
0.5037
0.5037
0.5033
0.5035
0.5033
0.5033
0.5032
0.5033
0.5031
0.5030
0.5031
0.5031
0.5030
0.5031
0.5030
0.5031
0.5031
NHIT = 3
61
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
d.h. nach 10000 Sweeps erhält man
E0h.O. = 0.473 ± 0.042 ,
(1.302e)
was gut mit dem exakten Wert E0 = 0.5 übereinstimmt. Wie erwähnt, ist die Fehlerabschätzung viel zu naiv und müsste die Korrelationen
berücksichtigen, die offensichtlich immer noch zwischen den einzelnen Konfigurationen existieren (siehe den Ausdruck).
Für den anharmonischen Fall erhalten wir mit denselben stochastischen Parametern die in Tabelle 1 zusammengestellten Werte.
Monte-Carlo
0.473 ± 0.042
0.809 ± 0.067
1.386 ± 0.122
exakt
0.500000
0.803771
1.504972
)
Störungstheorie
0.50
1.25
8.00
TH
λ
0.
1.
10.
UP
AK
NA
Tab. 1 : Grundzustands-Energie des anharmonischen Oszillators für verschiedene Werte der Anharmonizität
λ. Die Spalte “Störungstheorie” gibt die Werte an, die man in 1. Ordnung Störungstheorie (siehe Gl. (1.246))
erhält, die Spalte “Monte-Carlo” das Ergebnis der stochastischen Rechnung und die letzte Spalte die exakten
Werte (siehe z. B. [19]).
Tunneln und Instanton-Lösungen
UP
1.10
NA
TH
JI(
DR
.R
Wie man sieht, funktioniert die stochastische Berechnung der Grundzustands-Energie auch für grosse Anharmonizitäten gut, während die 1. Ordnung Störungstheorie natürlich vollkommen versagt. Auch höhere
Ordnungen in der Störungsreihe helfen nicht viel, da dies eine asymptotische (d.h. im mathematischen Sinne
divergente) Reihe ist.
DR
.R
Wir betrachten nun wieder den anharmonischen Oszillator mit dem Potential
V (x) = V0 +
m 2 2
Ω x + λx4 ,
2
(1.303)
aber dieses Mal für Ω2 < 0. In diesem “Doppelmulden-Potential” (siehe Abb. 7) ergeben sich neue Eﬀekte
dadurch, dass es zwei entartete klassische Minima des Potentials gibt, die bei
r
mΩ2
x± = ± −
=: ± a
(1.304)
4λ
liegen. Zur Bequemlichkeit wählen wir V0 so, dass V (x± ) = V0 − m2 Ω4 /(16λ) = 0 wird, weil eine Konstante
im Potential keinen Einﬂuss auf die Dynamik hat und nur die Energieskala festlegt. Damit wird das Potential
V (x) = −
mω 2
mΩ2
2
2 2
=:
x
−
a
(x − a)2 (x + a)2 ,
4a2
8a2
ω 2 = −2 Ω2 .
(1.305)
In der Nähe von x = ± a haben wir näherungsweise ein Oszillatorpotential
x→±a
V (x) −→
mω 2
(x ∓ a)2
2
(1.306)
und daher erhalten wir für den Fall, dass die beiden Minima weit voneinander entfernt und durch eine hohe
Barriere getrennt sind, näherungsweise als Grundzustands-Energie
E0 ≃ ~
ω
.
2
(1.307)
62
AK
NA
TH
)
Kapitel 1 : Quantenmechanik
.R
UP
Abb. 7 : Doppelmulden-Potential.
TH
JI(
DR
Die dazugehörigen Grundzustands-Wellenfunktionen sind Überlagerungen der Grundzustands-Wellenfunktion
der bei x = ±a lokalisierten Oszillatoren
i
1 h
ψ0 (x) ≃ √ φ0 (x − a) ± φ0 (x + a) ,
(1.308)
2
DR
.R
UP
NA
da in der Quantenmechanik die Wellenfunktionen die Symmetrie des Hamilton-Operators besitzen müssen
(es gibt keine “spontane Symmetriebrechung”). Hier bedeutet dies, dass die Wellenfunktionen nach ihrem
Verhalten unter der Paritäts-Transformation klassiﬁziert werden können (der Hamilton-Operator ist invariant
unter x → −x); oﬀensichtlich beschreibt Gl. (1.308) Wellenfunktionen positiver und negativer Parität, die
energetisch entartet sind.
Da für λ 6= 0 die Barriere bei x = 0
V (0) =
mω 2 2
m 2 Ω4
a =
8
16λ
(1.309)
nicht unendlich hoch (und breit) ist, kann das Teilchen durch den Wall “hindurchtunneln” und die Entartung
aufheben: wir erwarten eine Energieaufspaltung zwischen dem Zustand positiver Parität (der der tiefste Zustand ist) und dem Zustand negativer Parität. Diese Aufspaltung kann man für kleine Anharmonizitäten λ
halbklassisch ausrechnen, am besten im Pfadintegral-Formalismus (und nicht in der üblichen WKB-Näherung
für die Schrödinger-Gleichung), weil sich dies ohne grosse Änderung auf Systeme mit vielen, ja sogar unendlich vielen Freiheitsgraden ausdehnen lässt. Wir betrachten daher das Matrixelement des euklidischen
Zeitentwicklungs-Operators, der das Teilchen vom Minimum bei x = −a zum Minimum bei x = +a bringt
D
E
X
β
β
≡
+a | e−β Ĥ/~ | − a =
U a, ; −a, −
ψn (a)ψn (−a) e−βEn/~
2
2
n
=
x(β/2)=+a
Z
Dx e−SE [x]/~
(1.310)
x(−β/2)=−a
β→∞
−→
ψ0 (a)ψ0 (−a)e−βE0 /~ + ψ1 (a)ψ1 (−a)e−βE1 /~ + . . .
(1.311)
63
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
Wir können also die Grundzustands-Energie, sowie die Energie des ersten angeregten Zustandes aus dem Verhalten des Zeitentwicklungs-Operators bei grossen euklidischen Zeiten bestimmen. Mehr noch: das Vorzeichen
von ψ0 (a)ψ0 (−a) = ±|ψ0 (a)|2 verrät uns, welcher Paritätszustand am niedrigsten liegt.
In der halbklassischen Näherung bestimmen wir zuerst die Bahn, die die Wirkung stationär macht. Da wir
in euklidischer Zeit arbeiten, ist dies die Bahn im umgekehrten Potential (siehe Abb. 8):
δSE [x]
d2 xkl
− V ′ (xkl ) = 0 ,
= 0 =⇒ m
δx(τ )
dτ 2
(1.312)
NA
TH
JI(
DR
.R
UP
AK
NA
TH
)
mit xkl (−β/2) = −a , xkl (β/2) = +a .
DR
.R
UP
Abb. 8 : Bewegung im umgekehrten Potential für euklidische “Energie” = 0.
Aus der Pfadintegral-Darstellung (1.310) des euklidischen Zeitentwicklungs-Operators folgt, dass diejenigen
Bahnen die Grundzustands-Energie bestimmen, die im Limes β → ∞ eine möglichst geringe euklidische
Wirkung haben. Da V (x) ≥ 0 ist, gilt
#
" 2
Z β/2
Z β/2
2
m dx
m dx
dτ
+ V (x) ≥
,
(1.313)
dτ
SE [x] =
2 dτ
2 dτ
−β/2
−β/2
und daher werden alle Bahnen, deren Geschwindigkeit bei τ = ±β/2 endlich ist, für β → ∞ eine unendliche
euklidische Wirkung ergeben. Nur diejenige Bahn, die die Punkte ±a bei τ → ±∞ mit Geschwindigkeit
Null erreicht, ist davon ausgenommen, d.h. eine Bahn mit euklidischer “Energie” = 0, bei der das Teilchen
die Hügel im umgekehrten Potential hinab- bzw. hinaufkriecht. Diese Bahn ist leicht aus der klassischen
Bewegungsgleichung (1.312) durch Integration zu bestimmen: die euklidische “Energie” ist
m
2
dx1
dτ
2
!
− V (x1 ) = 0
(1.314)
und eine weitere Integration durch Trennung der Variablen ergibt
τ = τ0 +
Z
x1 (τ )
x1 (τ0 )
dx
r
m
.
2V (x)
(1.315)
64
Kapitel 1 : Quantenmechanik
Für das Doppelmulden-Potential (1.305) lässt sich das Integral analytisch ausführen und auch die implizite
Gleichung nach dieser speziellen Bahn auﬂösen. Man erhält
i
hω
(τ − τ0 ) ,
(1.316)
x1 (τ ) = a tanh
2
DR
.R
UP
NA
TH
JI(
DR
.R
UP
AK
NA
TH
)
wobei der Zeitpunkt τ0 (willkürlich) dadurch festgelegt wurde, dass dort der Ursprung des Potentials durchkreuzt wird.
Diese Lösung wird Instanton (oder auch Kink) genannt, weil das Teilchen die meiste Zeit damit verbringt,
die Hügel hinab- oder hinaufzukriechen, um dann relativ rasch – zeitlich lokalisiert um τ = τ0 – von der negativen
x-Achse zur positiven x-Achse überzuwechseln. Die Lösung −x1 (τ ), die das Minimum des Potentials bei x = +a
mit demjenigen bei x = −a verbindet, wird als Anti-Instanton bezeichnet.
Abb. 9 : Die Instanton-Lösung und die Anti-Instanton-Lösung (gestrichelte Kurve).
Die Wirkung dieser Instanton-Lösung kann man am einfachsten mit der “Energie”-Erhaltung (1.314) berechnen
S1
=
=
Z
Z
β/2
dτ m
−β/2
+a
−a
dx1 (τ )
dτ
2
β→∞
−→ m
Z
p
dx1 2mV (x1 ) =
+a
−a
Z
dx1
+a
dx1
−a
dx1 (τ )
dτ
mω 2
2
a − x21 = mωa2
2a
3
(1.317)
und man ﬁndet tatsächlich eine endliche Wirkung. Diese 1-Instantonen-Lösung ist aber nicht ausreichend,
um die Energieaufspaltung im Doppelmulden-Potential zu berechnen; man muss weitere Lösungen endlicher
Wirkung berücksichtigen. Diese Lösungen bestehen aus 3, 5 . . . Instantonen/Anti-Instantonen, die das klassische
Minimum bei x = −a mit demjenigen bei x = +a verbinden:
Genaugenommen sind das keine exakten Lösungen mehr, da bei der nichtlinearen Bewegungsgleichung (1.312)
das Superpositionsprinzip natürlich nicht gilt, aber δSE /δx|x=xn ist sehr klein, wenn der gegenseitige (zeitliche)
Abstand τk − τk−1 ≫ 1/ω ist. Diese Näherung nennt man das “verdünnte Instanton-Gas”. In diesem Fall darf
65
AK
NA
TH
)
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
.R
UP
Abb. 10 : Multi-Instanton-Anti-Instanton-Lösung.
DR
man auch
Sn ≃ nS1 , n = 3, 5 . . .
(1.318)
UP
NA
TH
JI(
für die entsprechenden Wirkungen setzen. Wir müssen über diese Lösungen summieren, genauso wie wir die
Beiträge verschiedener Sattelpunkte in der Methode der stationären Phase zur näherungsweisen Berechnung
eines gewöhnlichen Integrals addieren, wenn diese Sattelpunkte weit genug voneinander entfernt sind. Diese
Summation beinhaltet nicht nur die diskrete Summe über die Multi-Instantonen-Lösungen sondern auch eine
Integration über ihre Nulldurchgängen (“Zentren”) τk , k = 1 . . . n, unter der Bedingung
DR
.R
β
β
≤ τ1 ≤ τ2 . . . ≤ τn−1 ≤ τn ≤ .
(1.319)
2
2
Wir betrachten also in dieser vereinfachten Darstellung jede n-Instanton-Lösung mit verschiedenen Zentren τk
als eine unabhängige Lösung, die wir berücksichtigen müssen. Der euklidische Zeitentwicklungs-Operator ist
dann
Z τ2
Z τn
X Z β/2
β
β
dτ1
U a, ; −a, −
≃
dτn−1 . . .
dτn
2
2
−β/2
−β/2
n=1,3... −β/2
Z yn (β/2)=0
n
o
(1.320)
·e−Sn /~
Dyn exp − (SE [xn + yn ] − SE [xn ]) /~ ,
−
yn (−β/2)=0
wobei yn (τ ) = x(τ ) − xn (τ ) die Fluktuationen um die n-Instantonen-Lösung beschreibt.
Der nächste Schritt ist die Berücksichtigung der quadratischen Fluktuationen: die funktionale TaylorEntwicklung der Wirkung ergibt
Z
2
δ
S
1 +β/2
dτ dτ ′
yn (τ ) yn (τ ′ ) + . . .
(1.321)
SE [xn + y] = Sn +
2 −β/2
δx(τ )δx(τ ′ ) x=xn
weil die erste funktionale Ableitung verschwindet. Hierbei ist
d2
δ2S
(n)
′′
+
V
(x
(τ
))
δ(τ − τ ′ ) =: OV δ(τ − τ ′ ) .
=
−m
n
δx(τ )δx(τ ′ ) dτ 2
x=xn
(1.322)
66
Kapitel 1 : Quantenmechanik
Quadratische Wirkungen können im Pfadintegral wie üblich exakt ausintegriert werden: man entwickelt die
(n)
Fluktuationen nach einem vollständigen, orthonormalen System (am besten des Operators OV )
X (n) (n)
(n) (n)
(n) (n)
(1.323)
OV yi (τ ) = ei yi (τ ) ,
ci yi (τ ) ,
yn (τ ) =
i
was das Funktional-Integral zu einem Produkt von gaußschen Integralen über die Entwicklungskoeﬃzienten
(n)
(n)
ci macht. Wenn die Eigenwerte ei > 0 sind, ist das Ergebnis der Integrationen einfach
h
i−1/2
Y
1
(n)
q
const.
≡ const. Det OV
.
(1.324)
(n)
i
ei
NA
TH
)
Die quadratischen Fluktuationen führen also zu einem Vorfaktor, der die klassische Näherung (die Exponentialfunktion mit der Instanton-Wirkung) einfach multipliziert:
)
(
yn (β/2)=0
1/2
Z β/2
Z
m
1
(n)
−Sn /~
e−Sn /~ .
(1.325)
dτ yn (τ ) OV yn (τ ) =
Dyn exp −
e
2 −β/2
2π~fn
yn (−β/2)=0
AK
Mit einer geeigneten Normierung (etwa auf das freie Pfadintegral) ist hierbei
(n)
Det′ OV
(1.326)
DetOV =0
das Verhältnis zweier Funktional-Determinanten. Der ‘Strich’ an der Determinante im Zähler deutet an, dass
eine zusätzliche Komplikation auftritt: es stellt sich nämlich heraus, dass im Limes β → ∞ genau n Eigenwerte
Null werden, speziell behandelt werden müssen und damit nicht Teil dieser Determinante sind. Tatsächlich kann
man zeigen, dass die reichlich ad hoc eingeführte Integration über die Instanton-Zentren die (ungedämpfte)
Integration über diese “Null-Moden” ersetzt. Hier ignorieren wir diese Komplikation und berechnen die Determinante mit der Methode von Gel’fand und Yaglom aus der Lösung einer Diﬀerentialgleichung. In imaginärer
Zeit und für ein einzelnes Instanton lautet die Gel’fand-Yaglom-Gleichung
hω
io
1
1 n
− f1′′ (τ ) = − V ′′ (x1 (τ )) f1 (τ ) = − ω 2 1 − 3 tanh2
(τ − τ0 ) f1 (τ ) .
(1.327)
m
2
2
Dabei sind die Anfangsbedingungen f1 (−β/2) = 0, f1′ (−β/2) = 1 zu beachten und die uns interessierende
Grösse f1 in Gl. (1.325) ist durch f1 ≡ f1 (+β/2) gegeben. Wir lösen die Gel’fand-Yaglom-Gleichung nur
approximativ: ausser in der Umgebung des Instanton-Zentrums ist tanh2 (...) ≃ 1 und daher vereinfacht sich
die Diﬀerentialgleichung zu f1′′ ≃ ω 2 f1 mit der Lösung
DR
.R
UP
NA
TH
JI(
DR
.R
UP
fn = β
sinh(ωβ) β→∞ 1 ωβ
−→
e ,
(1.328)
ω
2ω
was natürlich das Ergebnis für den harmonischen Oszillator im jeweiligen Einzeltopf ist. Die Berücksichtigung
der τ -Abhängigkeit in der Gl. (1.327) ergibt einen Korrekturfaktor K1−1 und bei n Instantonen näherungsweise
K1−n , wenn sie nicht überlappen. Der Integrand im Integral über die Instanton-Zentren ist dann unabhängig
von den Zentren τk und man erhält
Z τ2
Z β/2
Z τn
1 n
β
(1.329)
dτ1 =
dτn−1 . . .
dτn
n!
−β/2
−β/2
−β/2
f1 (β/2) ≃
und damit
U
β
β
≃
a, ; −a, −
2
2
=
=
X
n=1,3...
r
r
n
mω −ωβ/2 1 p
e
K1 βe−S1 /~
π~
n!
p
mω −ωβ/2
e
sinh
K1 βe−S1 /~
π~
r
h p
i
h p
io
1 mω −ωβ/2 n
exp β K1 e−S1 /~ − exp −β K1 e−S1 /~
.
e
2 π~
(1.330)
67
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
Aus dem Vergleich mit der Spektraldarstellung (1.311) entnehmen wir daher
r
p
1
1 mω
−S1 /~
E0 =
,
ψ0 (a)ψ0 (−a) =
~ω − ~ K1 e
2
2 π~
r
p
1
1 mω
−S1 /~
E1 =
,
ψ1 (a)ψ1 (−a) = −
~ω + ~ K1 e
,
2
2 π~
(1.331)
(1.332)
mωa2
2
exp − mωa2 /~ .
π~
3
NA
r
(1.333)
.R
UP
AK
p
∆E = E1 − E0 = 2~ K1 e−S1 /~ = 4~ω
TH
)
d.h. der Grundzustand hat positive Parität und ist abgesenkt, während der erste angeregte Zustand negative
Parität besitzt und durch das Tunneln angehoben wird. Der Wert der Wellenfunktionen bei x = ±a stimmt
mit Gl. (1.308) überein, wenn man den (exponentiell unterdrückten) Ausläufer der Wellenfunktion aus dem
anderen Topf vernachlässigt und sich daran erinnert, dass für Wellenfunktionen des harmonischen Oszillators
1/4
φ0 (0) = (mω/π~)
(siehe Gl. (1.75a)) gilt. Man muss jetzt noch den Wert der Konstanten K1 bestimmen 42
und erhält dann für die Aufspaltung
DR
Anmerkungen
TH
JI(
1. Der Faktor e−S1 /~ ist der erwartete Unterdrückungsfaktor für die Tunnelwahrscheinlichkeit. Aus Gl.
(1.317) sieht man, dass dies genau das übliche WKB-Resultat ist.
.R
UP
NA
2. Da 1/a2 ∼ λ ist (siehe Gl. (1.304)) im wesentlichen der Anharmonizitäts-Parameter ist, sieht man, dass
das Ergebnis (1.333) für die Aufspaltung
1
∆E ∼ √ e−const/λ
λ
(1.334)
DR
nichtanalytisch von λ abhängt und daher in Störungstheorie nicht erhalten werden kann.
3. Ursprünglich hatten wir Randbedingungen bei τ = ±β/2, so dass die 1-Instanton-Lösung eigentlich τ0 = 0
besitzen müsste. Im Limes β → ∞ ergibt sich jedoch Zeit-Translationsinvarianz und Instantonen mit
Mittelpunkt τ0 sind ebenfalls Lösungen. Die kontinuierliche Symmetrie unter Zeitverschiebungen führt
zu den erwähnten Null-Moden (Übungsaufgabe 10), d.h. es kostet keine Wirkung, Verschiebungen in
diesen Koordinaten durchzuführen. Der Korrekturfaktor K1 würde divergieren, wenn diese Nullmoden
nicht in der Deﬁnition der modiﬁzierten Determinante (1.326) weggelassen würden. Eine ausführliche
Behandlung dieses Punktes ﬁndet man z. B. in Kleinert, chapter 17.
42 Siehe,
z. B., {Felsager}, chapter 5.10 .
68
Kapitel 2 : Mehrteilchen-Physik
2.
Pfadintegrale in der statistischen Mechanik und der MehrteilchenPhysik
2.1
Die Zustandssumme
Die Zustandssumme
Z(β) = Sp e−β Ĥ , β =
1
kB T
(2.1)
(kB : Boltzmann-Konstante, T : Temperatur) ist eine zentrale Grösse der statistischen Mechanik, da sich aus
ihr die folgenden thermodynamischen Grössen ableiten lassen
)
• freie Energie F = − β1 ln Z, d.h.
NA
• Druck P = −∂F/∂V (V : Volumen)
• Entropie S = −∂F/∂T
(2.2)
TH
Z = exp(−βF )
AK
usw.
0
dτ
m
2
1
Dx exp −
~
UP
x(0)=x
β~
"
NA
x(β~)=x
Z
0
β~
dτ
m
2
ẋ + V (x)
2
#
≡
I
Dx e−SE [x]/~ ,
x(0)=x(β~)
(2.4)
ẋ2 + V (x) .
.R
SE [x] =
Z
dx
Z
DR
Z(β) =
Z
TH
JI(
DR
.R
UP
Für Erwartungswerte von beliebigen Observablen Â im thermischen Gleichgewicht benötigt man die (Gleichgewichts-) Dichtematrix
1 −β Ĥ D E
e
, Â = Sp Â ρ̂β .
(2.3)
ρ̂β =
Z
Wir haben bereits eine Pfadintegral-Darstellung für die Zustandssumme eines Teilchens in einem Potential in
Kapitel 1.9 abgeleitet und müssen jetzt dort nur β → β~ ersetzen:
Für ein Teilchen in einem harmonischen Potential erhalten wir beispielsweise aus den Gleichungen (1.65, 1.63,
1.73) nach Transformation auf euklidische Zeiten 43 für die Dichtematrix
E
1 D ρβh.O. (x, x′ ) :=
x exp(−β Ĥ h.O. ) x′
Z
r
1
mω (x2 + x′2 ) cosh(β~ω) − 2xx′
mω
=
exp −
(2.5)
Z 2π~ sinh(β~ω)
2~
sinh(β~ω)
und für die Zustandssumme nach Ausführung der Spur
Z +∞
E
D dx x exp(−β Ĥ h.O. ) x =
Z h.O. (β) =
−∞
1
,
2 sinh(β~ω/2)
(2.6)
wobei cosh z − 1 = 2 sinh2 (z/2) benutzt wurde Das stimmt natürlich mit der Summe über alle Energie-Niveaus
des harmonischen Oszillators überein:
∞
X
X
1
h.O.
h.O.
.
(2.7)
Z
(β) =
exp(−βEn ) =
exp −β~ω n +
2
n
n=0
43 Setze
ta = 0 , tb = T = −iβ~ und sin(iz) = i sinh(z) , cos(iz) = cosh(z).
69
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
Eine andere direkte Berechnung wird in Übungsaufgabe 9 b) verwendet.
Für viele Anwendungen benötigt man die Zustandssumme des erzwungenen harmonischen Oszillators:
(
)
Z β~ Z τ
1
Z erzw.h.O.(β) = Z h.O.(β) exp
dτ
dτ ′ e(τ ) K (ω(τ − τ ′ ), ωβ~) e(τ ′ )
(2.8)
2mω~ 0
0
mit dem Integralkern
cosh(y/2 − x)
.
sinh(y/2)
K(x, y) =
(2.9)
Vertiefung 14: Zustandssumme des erzwungenen harmonischen Oszillators
mω
2π~ sinh(ωβ~)
Z
+∞
−∞
dx exp −ax2 − bx + c
NA
r
(2.10a)
AK
Z erzw.hO (β) =
TH
)
Die Ableitung dieses Ergebnisses geschieht durch direkte Rechnung, ist aber etwas mühsam. Man geht aus von dem Resultat (1.97) in
echter Zeit und macht zusätzlich zu den Transformationen ta = 0, tb = T = −iβ~ die Substitution t = −iτ, t′ = −iτ ′ in den Integralen
über die äussere Kraft. Dies ergibt
mit
=
mω
,
~ sinh(ωβ~)
c
=
1
mω~ sinh(ωβ~)
1
~ sinh(ωβ~)
Z β~
Z τ
′
′
′
dτ
dτ e(τ ) e(τ ) sinh ω(β~ − τ ) sinh(ωτ ) .
UP
a
0
(2.10b)
DR
0
.R
b =
TH
JI(
Die gaußsche Integration kann sofort ausgeführt werden und ergibt
Z erzw.h.O. (β) = Z h.O. (β) exp
b2
+c
4a
!
(2.10c)
NA
Wenn man nun den Exponenten ausrechnet, die Beziehung (1.117) für j = 2 benutzt, um die Doppelintegrale von b2 und c
zusammenzufassen, und die Additionstheoreme der hyperbolischen Funktionen verwendet, erhält man Gl. (2.8) mit dem Kern(2.9).
.R
UP
Eine andere Möglichkeit ist die Fourier-Entwicklung der Pfade
DR
x(τ ) =
+∞
X
k=−∞
ck exp
2πikτ
β~
, x(0) = x(β~)
(2.10d)
und Integration über die Fourier-Koeffizienten ck wie in Übungsaufgabe 9 b). Die verbleibende Summation über die “Moden” k kann
man mit Hilfe der Beziehung 44
∞
X
k=1
1
1 cosh(a(1 − x))
cos(kπx)
−
=
, 0≤x≤2
(kπ)2 + a2
2a
sinh a
2a2
(2.10e)
durchführen.
Wir können das Ergebnis (2.4) auch sofort auf den Fall übertragen, dass wir ein System von N (unterscheidbaren) quantenmechanischen Teilchen haben, die sich in einem äusseren (oder mittleren) Potential bewegen:
Dann ist
X
N 2
N
X
p̂i
Ĥi .
Ĥ =
+ V (x̂i ) =
2m
i=1
i=1
(2.11)
iN
h PN
,
Z = Sp e−β i=1 Ĥi = sp e−β Ĥ
(2.12)
da die Teilchen sich unabhängig voneinander bewegen. Für jede der Sub-Zustandssummen gilt dann die
Pfadintegral-Darstellung (2.4).
44 {Gradshteyn-Ryzhik},
eq. 1.445.2.
70
Kapitel 2 : Mehrteilchen-Physik
Als weitere Anwendung wollen wir die Hochtemperatur-Entwicklung der Zustandssumme aus dem Pfadintegral ableiten, die auch als Wigner-Kirkwood-Entwicklung bekannt ist. Dazu schreiben wir für den Pfad,
der von x zum “Zeitpunkt” τ = 0 nach x zum “Zeitpunkt” τ = β~ führt
x(τ ) = x + ξ(τ )
(2.13)
und nehmen an, dass im Hochtemperatur-Fall ξ klein gegenüber x ist. Dann können wir entwickeln
1
V (x) + ξV ′ (x) + ξ 2 V ′′ (x) + . . .
2
2
′2
V′
1 ′′
V
ξ
+
+
+ O(ξ 3 )
V
V −
2V ′′
2
V ′′
V (x + ξ) =
=
(2.15)
AK
NA
TH
)
und erhalten ähnlich wie bei der halbklassischen Entwicklung des Propagators in Kapitel 1.5
"
#
Z
Z
Z
m 2 1 ′′ 2
1 β~
1/N
′2
′′
.
η̇ + V η
dτ
Z
≃ dx exp −β V − V /(2V )
Dη exp −
~ 0
2
2
(2.14)
DR
.R
UP
NA
TH
JI(
DR
.R
UP
Die Randbedingungen für die verschobene Integrationsvariable η(τ ) = ξ(τ )+V ′ /V ′′ sind η(0) = η(β~) = V ′ /V ′′
und alle Potentialwerte sind am festen Punkt x zu nehmen, über den am Schluss ebenfalls noch integriert wird.
Das Pfadintegral (2.15) ist das eines harmonischen Oszillators mit mω 2 = V ′′ (x) in euklidischer Zeit und
wir können daher sofort das Ergebnis aus Gl. (2.5) übernehmen. Zusätzlich muss man die hyperbolischen
Funktionen für kleine β entwickeln, um konsistent mit der angenommenen Kleinheit von ξ(τ ) = O(τ 2 ) zu
bleiben. Auf diese Weise erhält man
Z
r
m
1/N
′2
′′
Z
≃
dx exp −β V − V /(2V )
2π~2 β (1 + ω 2 β 2 ~2 /6 + . . .)
"
2
#
ω
1 2 2 2
mω V ′
β~ 1 − ω β ~ + . . .
· exp −
~
V ′′
2
12
r
Z
β 2 ~2
1
m
1+
βV ′2 − 2V ′′ + . . . .
≃
dx exp [−βV (x)]
(2.16)
~ 2πβ
24m
Wenn man berücksichtigt, dass
d2 −βV (x)
e
= β βV ′2 − 2V ′′ e−βV (x)
2
dx
ist, kann man eine partielle Integration durchführen und erhält dann das Ergebnis
Z
1/N
β 3 ~2 ′2
V (x) + . . . .
dx exp [−βV (x)] 1 −
24m
1
≃
~
r
m
2πβ
m
2πβ
Z
dx exp [−βV (x)] =
Z
(2.17)
(2.18)
Der erste Term
1/N
Zklass. =
1
~
r
Z
2
dx dp
p
exp −β
+ V (x)
2π~
2m
(2.19)
ist das klassische Ergebnis, was in der Phasenraum-Darstellung (in der zweiten Form von Gl. (2.19)) am
deutlichsten zu sehen ist: abgesehen von der Einteilung des Phasenraumes in Zellen der Grösse h = 2π~
enthält es keinerlei Abhängigkeit vom planckschen Wirkungsquantum, aber gerade den klassischen BoltzmannFaktor exp(−βH(p, x)). Der zweite Term in Gl. (2.18) ist die Quantenkorrektur für hohe Temperaturen.
Höhere Korrekturen können natürlich durch weitere Terme in der Taylor-Entwicklung des Potentials berechnet
werden.
71
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
2.2
Das Polaron
)
Eine berühmte Anwendung der Pfadintegral-Methode in der statistischen Mechanik bzw. der Festkörper-Physik
ist die Bewegung von Elektronen in einem ionischen Kristall, z. B. NaCl. Hier erzielt Feynmans PfadintegralMethode [20] eindeutig bessere Ergebnisse als konventionelle Verfahren.
Das Elektron wechselwirkt mit den Ionen, die nicht fest gebunden sind, und erzeugt eine Verzerrung des
Kristalls, die es bei seiner Bewegung mit sich schleppt. Dieses “Quasiteilchen” wird Polaron genannt. Ein
einfacher Modell-Hamiltonoperator, der diesen Eﬀekt beschreibt, ist von H. Fröhlich 45 angegeben worden: man
löst die Poisson-Gleichung für das Potential, das das Elektron spürt, unter der Annahme, dass die induzierte
Ladungsdichte proportional zur Divergenz einer longitudinalen Verschiebungswelle ist, die nach Moden entwickelt werden kann:
X
k
P(x) ∼
ak eik·x + c.c. .
(2.20)
|k|
TH
k
.R
1/2 1 X 1 h
i
√
1 2 X †
√
p̂ +
â†k e−ik·x̂ − h.c. ≡ Ĥ0 + Ĥ1 .
âk âk + i 2 2πα
2
V k |k|
k
(2.21)
DR
Ĥ =
UP
AK
NA
In der quantisierten Theorie kann man âk als Erzeugungs-Operator für ein Phonon mit Impuls k interpretieren. Für kleine Impulse k trägt nur der optische Zweig der Phononen bei mit einer Frequenz ω, die in
einfachster Näherung konstant, d. h. unabhängig von k ist. Addiert man nun noch den freien HamiltonOperator der Phononen hinzu, lautet der Hamilton-Operator des Systems (in den Einheiten ~ = ω = m = 1 )
.R
UP
NA
TH
JI(
V ist dabei das Volumen, in das wir das Gesamt-System eingesperrt haben 46 und α die dimensionlose ElektronPhonon-Kopplungskonstante. In Anwendungen nimmt sie Werte zwischen 1 und 10 an, ist also nicht notwendigerweise klein.
Zunächst nehmen wir jedoch an, dass Störungstheorie anwendbar ist. In niedrigster Näherung ist die Energie
des Elektrons E (0) = p2 /2 . In den nächsten beiden Ordnungen der Störungstheorie erhalten wir ∆E (1) = 0
und
√
−1
X < 0|Ĥ1 |n >< n|Ĥ1 |0 >
2 2πα X 1 1
1 2
2
=
−
.
(2.22)
(p
−
k)
+
1
−
p
∆E (2) =
V
k2 2
2
E (0) − E (n)
n
DR
k
Die erste Ordnung Störungstheorie verschwindet, weil kein Phonon im Anfangs- und End-Zustand vorhanden
ist. Die zweite Ordnung führt wie üblich zu einer Absenkung der Energie und lässt sich graphisch als Emission
und Absorption eines Phonons mit Impuls k am (nackten) Elektron darstellen:
~k
p~
p~ − ~k
p~
Abb. 11 : Zweite Ordnung Störungstheorie für die Selbstenergie des Polarons.
45 Dieses “Fröhlich”-Polaron wird auch “grosses (large)” Polaron genannt, weil seine Abmessungen so gross gegenüber der
Gitterkonstanten des Festkörpers sind, dass man diesen als ein Kontinuum behandeln kann. Bei den “kleinen (small)” oder
“Holstein”-Polaronen ist dies nicht der Fall. Siehe z. B. http://en.wikipedia.org/wiki/Polaron.
46 Damit das Spektrum diskret abzählbar wird: k = n π/L , V = L3 . Die Summation über k ist eine Kurzschreibweise für
i
i
die Summation
ni = 1, 2 . . . , i = 1, 2, 3 . Für L → ∞ kann man diese Summation durch ein Integral ersetzen, so dass
R über
P
(1/V ) k → d3 k/(2π)3 .
72
Kapitel 2 : Mehrteilchen-Physik
Im kontinuierlichen Grenzfall erhalten wir ein (Schleifen-)Integral, dessen Berechnung
√
2
p
(2)
√
∆E
= −α
arcsin
p
2
(2.23)
ergibt. Für kleine Impulse p = |p| des Elektrons ergibt sich also
E=
α
p2
1 2
p − α − p2 + O(α2 , p4 ) ≃ −α +
+ ... .
2
12
2(1 + α/6)
(2.24)
Mit anderen Worten: das Elektron bekommt eine eﬀektive Masse meff /m = 1 + α/6 und eine Ruhe-Energie
E0 = −α + O(α2 ) .
(2.25)
UP
AK
NA
TH
)
(Die etwas willkürlich erscheinenden numerischen Faktoren vor dem Wechselwirkungs-Term im Fröhlich-Hamilton-Operator (2.21) sind tatsächlich so gewählt worden, dass der lineare Term in der Energie den “schönen”
Koeﬃzienten −1 bekommt . . ..). Höhere Ordnungen der Störungstheorie sind (im Laufe der Jahrzehnte) ebenfalls berechnet worden [21],[22],[23] mit dem Ergebnis
α 2
α 3
α 4
α 5
E0 (α) = −α − 1.59196
− 0.8061
− 0.533
− 0.38
+ O(α6 ) .
(2.26)
10
10
10
10
TH
JI(
Vertiefung 15: Ausintegrieren der Phononen
DR
.R
Es ist oﬀensichtlich, dass diese Reihe für grosse Kopplungskonstanten nutzlos wird. Hier setzt die PfadintegralMethode ein: Feynman realisierte zunächst, dass die Phonon-Koordinaten höchstens quadratisch auftreten und
daher exakt ausintegriert werden können.
Dies geschieht am einfachsten, indem man im Fröhlich-Hamiltonoperator (2.21) statt Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für die
Phononen ihre (vertauschten) Koordinaten- und Impuls-Operatoren
1 †
p̂k = − √
âk + â−k
2
NA
i †
q̂k = √
â−k − âk ,
2
(2.27a)
UP
einführt. Wie man leicht nachrechnet, erfüllen diese Operatoren die Vertauschungs-Relation [q̂k , p̂k′ ] = iδkk′ , d. h. Gl. (2.27a) ist eine
kanonische Transformation. Dann lautet der Fröhlich-Hamiltonoperator
.R
√
1/2 1 X 1
X1
1 2
1X
ik·x̂
2πα
(p̂k p̂−k + q̂k q̂−k ) −
+2
q̂k e
,
p̂ +
√
2
2 k
2
V k |k|
k
(2.27b)
DR
Ĥ =
wobei der dritte Term die (unendliche) Nullpunktsenergie aller Moden k subtrahiert. Das Pfadintegral für die Zustandssumme hat jetzt
die Gestalt
Z β
Y(
I
I
1
Z(β) =
D 3 x(τ ) exp −
dτ ẋ2 (τ )
exp(β/2)
Dqk (τ )
2
0
k
qk (0)=qk (β)
x(0)=x(β)
· exp
"
−
Z
β
0
X 1
1
q̇k (τ ) q̇−k (τ ) + qk (τ ) q−k (τ ) + ek (τ ) qk (τ )
dτ
2
2
k
mit
ek (τ ) = 2
#)
(2.27c)
√
1/2 1
1 ik·x(τ )
e
.
2πα
√
V |k|
(2.27d)
⋆
Auf Grund der kanonischen Transformation (2.27a) haben wir qk
(τ ) = q−k (τ ) , was γ−k = γk für den Realteil und η−k = −ηk für den
Imaginärteil bedeutet. Wir müssen daher nur über die positiven “Moden” integrieren, mit den Wirkungen
X Z
k≥0
β
dτ
0
h
2
2
γ̇k
+ γk
+ (ek + e−k ) γk
i
X Z
, bzw.
k>0
β
dτ
0
h
2
2
η̇k
+ ηk
+ i (ek − e−k ) ηk
i
.
(2.27e)
Für beide Fälle können wir das Ergebnis (2.8) verwenden (indem wir dort m = 2, ω = ~ = 1 setzen) und erhalten dann für jede Mode den
Faktor
Z β
Z τ
1
h.O.
′
′
′
′ Z
(β) · exp
dτ
dτ K τ − τ , β
ek (τ )e−k (τ ) + e−k (τ )ek (τ )
.
(2.27f)
2 0
0
Damit lautet die Zustandssumme für das Elektron
Z(β) =
Y exp(β/2) 2 sinh(β/2)
k
I
x(0)=x(β)
D 3 x(τ ) e−Seff [x(τ )] ,
(2.27g)
73
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
mit der effektiven (euklidischen) Wirkung
Seff [x(τ )] =
Z
β
1
1 2
ẋ −
2
2
dτ
0
Z
β
dτ
0
Z
τ
dτ
′
cosh β/2 − (τ − τ ′ )
sinh(β/2)
0
X
′
ek (τ )e−k (τ ) .
k
Einsetzen von Gl. (2.27d) und Übergang zu unendlichem Quantisierung-Volumen ergibt
Seff [x(τ )] =
Z
0
β
dτ
√
1 2
ẋ − 2π 2α
2
Z
β
dτ
0
Z
τ
dτ ′
cosh β/2 − (τ − τ ′ )
sinh(β/2)
0
Z
d3 k 1
exp ik · x(τ ) − x(τ ′ ) .
(2π)3 k2
(2.27h)
Das Impuls-Integral ist dasjenige für ein Coulomb Potential
Z
1 1
d3 k 1
exp (ik · y) =
(2π)3 k2
4π |y|
(2.27i)
so dass das Endergebnis
β
dτ
0
√
1 2
ẋ − α 2
2
Z
β
dτ
0
Z
τ
0
dτ ′ Gβ (τ − τ ′ )
(2.27j)
β≫|t|
−→
1 −|t|
e
2
(2.27k)
AK
cosh (β/2 − |t|)
2 sinh(β/2)
NA
lautet. Dabei ist die Retardierungsfunktion durch
Gβ (t) :=
1
.
|x(τ ) − x(τ ′ )|
)
Z
TH
Seff [x(τ )] =
UP
definiert.
TH
JI(
DR
.R
Damit ist das Polaron-Problem auf ein Einteilchen-Problem für die Elektron-Bewegung reduziert worden !
Wenn wir uns nur für die Grundzustands-Energie interessieren, können wir auch noch den Limes β → ∞
(teilweise) vollziehen: die Nullpunktsenergie der einzelnen Phonon-Oszillatoren hebt sich dann im Vorfaktor
von Gl. (2.27g) weg und der Integral-Kern kann unter der Annahme τ, τ ′ ≪ β vereinfacht werden. Wir haben
dann
I
D3 x(τ ) e−Seff [x(τ )]
(2.28)
Z(β) =
NA
x(0)=x(β)
UP
mit der effektiven Wirkung
0
β
α
1
dτ ẋ2 − √
2
2
Z
β
dτ
0
Z
τ
0
′
e−(τ −τ )
dτ
.
|x(τ ) − x(τ ′ )|
′
(2.29)
DR
.R
Seff [x(τ )] =
Z
Das verbleibende Pfadintegral kann aber nicht mehr exakt gelöst werden. Feynman wandte stattdessen ein Variationsverfahren an. Es beruht auf der Identität (zur Erinnerung: das Pfadintegral arbeitet mit gewöhnlichen
Zahlen !)
R
Z
Z
Dx e−(S−St ) e−St
−S
−St
R
·
Dx e
=
Dx e
Dx e−St
Z
E
D
(2.30)
≡
Dx e−St · e−(S−St )
und Jensens Ungleichung für konvexe Funktionen
−∆S ≥ e−h∆Si
e
(2.31)
bei Mittelung über positive Gewichtsfunktionen, wie es bei exp(−St ) der Fall ist. St ist dabei eine beliebige
Versuchswirkung, die die wahre Wirkung S möglichst gut approximieren soll, gleichzeitig aber zu einem lösbaren
Pfadintegral führen soll. Diese technische Forderung beschränkt uns auf quadratische Versuchswirkungen.
Da die eﬀektive Wirkung (2.29) eine Retardierung aufweist, die berücksichtigt, dass zu einem früheren Zeitpunkt Phononen emittiert wurden, die später wieder absorbiert werden, ist es entscheidend, diese Retardierung
mit dem Ansatz
Z β
Z β Z τ
1 2
2
St =
dτ ẋ +
dτ
dτ ′ f (τ − τ ′ ) [ x(τ ) − x(τ ′ ) ]
(2.32)
2
0
0
0
74
Kapitel 2 : Mehrteilchen-Physik
in die Versuchswirkung einzubauen. Hierbei ist f (σ) eine freigelassene Retardierungsfunktion. Die Grundzustands-Energie des Elektrons im Kristall erhält man aus
Z(β) = e−βF
β→∞
−→ e−βE0 ,
(2.33)
d.h. mit Hilfe der Gleichungen (2.30) und (2.31)
1
h Seff − St i .
β→∞ β
E0 ≤ Et + lim
(2.34)
∞
0
dσ
e−σ
µ(σ)
(2.35)
AK
Z
UP
α
E0 ≤ Ω − √
π
NA
TH
)
Dieser Ausdruck ist die Verallgemeinerung der Schranke für die niedrigste Energie, die man in dem üblichen
Rayleigh-Ritz-Variationsverfahren für den quantenmechanischen Hamilton-Operator erhält, auf allgemeine Wirkungen. Die Berechnung von Et und hSeff − St i mit dem Ansatz (2.32) ist eine etwas längere, technische Rechnung,
die am besten wie beim harmonischen Oszillator in Kapitel 1.2 durch Fourier-Entwicklung des Elektron-Pfades
durchgeführt wird. Das Resultat ist [24]
mit
=
.R
µ2 (σ)
DR
=
TH
JI(
Ω
Z ∞
1
3
−1
dE ln A(E) +
2π 0
A(E)
Z
4 ∞
sin2 (σE/2)
.
dE
π 0
E 2 A(E)
.R
DR
zusammen. Feynman wählte
(2.37)
(2.38)
UP
NA
Die Funktion A(E) hängt dabei mit der Retardierungsfunktion über
Z ∞
8
σE
A(E) = 1 + 2
dσ f (σ) sin2
E 0
2
(2.36)
f (σ) = fF (σ) = C · e−wσ
(2.39)
mit zwei Variationsparametern C (Stärke der Retardierung) und w (Retardierungszeit). Dann erhält man
1/2
v 2 − w2
w2
−vσ
σ
+
(1
−
e
)
,
(2.40)
v2
v3
p
wobei üblicherweise anstelle des Stärkeparameters C die Grösse v = w2 + 4C/w verwendet wird (v ≥ w).
Für kleine Kopplungskonstanten α kann man die Variation nach den Parametern v, w analytisch durchführen
(Übungsaufgabe 11) und bekommt
ΩF =
3
(v − w)2 ,
4v
AF (E) =
v2 + E 2
,
w2 + E 2
µF (σ) =
EF = −α − 0.012346 α2 − 0.6344 · 10−3 α3 − 0.4643 · 10−4 α4 − 0.3957 · 10−5 α5 + O(α6 ) ,
(2.41)
was nur unwesentlich schlechter ist als die Störungsentwicklung (2.26). Für sehr grosse Kopplungskonstanten
ist dies ebenfalls möglich und ergibt
EF = −
3
1 2
α − 3 ln 2 − + O(α−2 ) = −0.1061 α2 − 2.83 + O(α−2 ) .
3π
4
(2.42)
während für das exakte Ergebnis in diesem Grenzfall
E0 (α) = −0.10851 α2 − 2.84 + O
1
α2
(2.43)
75
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
hergeleitet wurde (den führende Term werden wir im Kapitel 2.8 bestimmen). Für beliebiges α muss man das
verbleibende Integral in Gl. (2.35) numerisch berechnen. Dabei stellt sich heraus, dass das Feynman-Resultat
die beste obere Schranke 47 darstellt, die von verschiedenen Näherungsverfahren geliefert wird, wenn diese für
alle Werte von α angewendet werden. Zwar ist die Störungstheorie besser bei α ≪ 1, versagt aber bei grossen
Kopplungskonstanten, während das feynmansche Ergebnis dort immer noch höchstens um 2.2 % abweicht.
Dieser Erfolg kommt vor allem daher, dass die unendlichen Phonon-Freiheitsgrade exakt ausintegriert wurden,
so dass - wie immer man auch den elektronischen Teil annähert - die Dynamik der Gitter-Verzerrung, die das
Elektron begleitet, richtig behandelt wird. Man beachte, dass die eﬀektive Wirkung (2.29) zwar eine EinteilchenWirkung ist, aber keine Hamilton’sche Beschreibung mehr zulässt und daher auch keine Schrödinger-Gleichung
mehr zur Verfügung steht.
=
*
X
â†k ak
k
+
N̂ e−β Ĥ
Sp e−β Ĥ
Sp
=
lim
β→∞
NA
N̂
E
(2.44a)
AK
N̄ ≡
D
TH
)
Vertiefung 16: Mittlere Anzahl von Phononen im Polaron
Man kann leicht die mittlere Anzahl der Phononen
UP
berechnen, die im Grundzustand des Polarons, dem “angezogenen” Elektron, enthalten sind, weil man den Teilchenzahl-Operator N̂ durch
Differentation eines modifizierten Hamilton-Operators nach einem künstlichen Parameter λ erzeugen kann, der danach auf den Wert “1”
gesetzt wird:
∂
1
N̄ = −
lim
ln Sp e−β Ĥλ .
(2.44b)
∂λ β→∞ β
.R
λ=1
√
i
1/2 1 X 1 h
X †
1 2
† −ik·x̂
âk âk + i 2 2πα
p̂ + λ
âk e
− h.c. .
√
2
|k|
V
k
k
DR
Ĥλ =
Da für grosse β die modifizierte Zustandssumme
TH
JI(
Hierbei ist
Sp
e−β Ĥλ
N̄ =
UP
NA
erfüllt, erhält man aus Gl. (2.44b)
β→∞
−→ e−β E0 (λ,α)
∂
E0 (λ, α) ∂λ
(2.44c)
(2.44d)
(2.44e)
λ=1
.R
und man muss nur den niedrigsten Eigenwert des Hamilton-Operators Ĥλ bestimmen. Dies ist jedoch leicht durch Zurückführung auf den
ursprünglichen Hamilton-Operator Ĥ möglich: Zuerst teilt man durch λ
DR
i
√
1/2 1 X 1 h
1
1 2 X †
â†k e−ik·x̂ − h.c. ,
âk âk + i 2 2πα
Ĥλ =
p̂ +
√
λ
2λ
λ V k |k|
k
(2.44f)
und skaliert sodann Impuls- und Orts-Operatoren des Elektrons (entgegengesetzt, um die Vertauschungs-Relation zu erhalten)
p̂ =
√
λ p̃ ,
1
x̂ = √ x̃ .
λ
Im Wechselwirkungs-Term setzen wir dann noch in der Summation k =
1
Ĥλ
λ
=
=
Daher können wir ablesen
√
λ k̃ und erhalten
√
1/2 λ3/4 X
h
i
1
1 2 X †
âk âk + i 2 2πα
p̃ +
â† e−ik̃·x̃ − h.c.
p
√
k̃
2
λ|k̃|
λ Ṽ k̃
k
1/2
h
i
X
√
α
1
1
â† e−ik̃·x̃ − h.c. .
Ĥ0 + +i 2 2π 3/2
p
k̃
λ
|
k̃|
Ṽ k̃
E0 (λ, α) = λ E0
(2.44g)
α
λ3/2
(2.44h)
(2.44i)
und Gl. (2.44e) ergibt
N̄ = E0 (α) −
3
∂
α
E0 (α) .
2 ∂α
(2.44j)
Das bedeutet, dass bei grossem α die mittlere Anzahl von Phononen wie 0.217 α2 anwächst, also bei α = 10 eine Wolke von etwa 22
Phononen ein nacktes Elektron umgibt.
47 Es
gibt auch (im Prinzip exakte) Monte-Carlo-Rechnungen [25], [26], mit denen verglichen werden kann.
76
2.3
Kapitel 2 : Mehrteilchen-Physik
Dissipative Quantensysteme
UP
AK
NA
TH
)
Über das spezielle Polaron-Problem hinaus hat die feynmansche Behandlung der Phononen eine Bedeutung in
der Behandlung dissipativer Systeme gewonnen, wo das Wärmebad (der Rest des Systems, der nicht explizit
behandelt wird) ebenfalls durch eine Ansammlung von Oszillatoren beschrieben werden kann. Damit wollen
wir uns jetzt beschäftigen 48 .
In der klassischen Physik kann man Dissipation oft dadurch phänomenologisch beschreiben, dass man einen
geschwindigkeitsabhängigen Reibungs-Term in die Bewegungsgleichungen einfügt. Das ist in der Quantenmechanik nicht mehr möglich, weil der Hamilton-Formalismus für zeitunabhängige Hamilton-Operatoren Energierhaltung impliziert.
Das einfache Beispiel eines gedämpften Pendels zeigt, wie man ein besseres physikalisches Modell für ein dissipatives System erhalten kann: der uns interessierende Freiheitsgrad – die Auslenkung des Pendels – beschreibt
eine gedämpfte Bewegung, weil er mit anderen Freiheitsgraden (den Luftmolekülen, dem Aufhängungsmechanismus etc.) wechselwirkt. Wir können das Pendel, die Luftmoleküle und die Aufhängung als ein grosses System
beschreiben, das (wenn es genügend von anderen Freiheitsgraden isoliert ist) die Gesamt-Energie erhält. Die
Energie des Pendels, alleine, wird jedoch im allgemeinen nicht mehr erhalten, sondern auf das UmgebungsSystem übergehen. Das Modell von Caldeira und Leggett [28] nimmt daher eine Gesamt-Hamilton-Funktion
der Gestalt
(2.45)
DR
.R
H = HSystem + HUmgebung + HWechselwirkung
an, wobei
p2
+ V (x)
(2.46)
2m
ein Teilchen der Masse m beschreibt, das sich in einem Potential V bewegt. Die praktische Anwendbarkeit des
Modells beruht auf der Annahme, dass sich die Freiheitsgrade der Umgebung durch eine Ansammlung von N
harmonischen Oszillatoren
.R
UP
NA
TH
JI(
HSystem =
DR
HUmgebung
N X
1
p2n
2 2
+ mn ωn qn
=
2mn
2
n=1
(2.47)
und die Wechselwirkung durch eine bilineare Kopplung von Teilchen- und Umgebungs-Koordinaten
HWechselwirkung = −x
N
X
cn qn + x2
n=1
N
X
n=1
c2n
2mn ωn2
(2.48)
beschreiben lassen. Der letzte Term in Gl. (2.48) ist eigentlich ein Potentialterm für das Teilchen, erweist sich
aber im Folgenden als nützlich.
Wir wollen zuerst zeigen, dass dieses Modell bereits klassisch die Dämpfung des Systems so beschreibt, wie
wir es erwarten. Dazu leiten wir die Bewegungsgleichungen für die Freiheitsgrade der Umgebung
ṗn = −mn ωn2 qn + cn x ,
q̇n =
pn
mn
(2.49)
und des Systems
ṗ = −
48 Dieser
N
N
X
X
c2n
∂V
,
+
cn qn − x
∂x n=1
2mn ωn2
n=1
Abschnitt folgt im Wesentlichen der Arbeit [27].
ẋ =
p
m
(2.50)
77
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
ab. Nun lösen wir die Gl. (2.49) für die Umgebungs-Koordinaten in der Weise, dass wir die Teilchen-Koordinate
x(t) als gegebene Funktion der Zeit ansehen. Die inhomogene Diﬀerentialgleichung hat dann die Lösung
qn (t) = qn (0) cos(ωn t) +
pn (0)
cn
sin(ωn t) +
mn ω n
mn ω n
Z
t
0
ds sin [ωn (t − s)] x(s) ,
(2.51)
und Einsetzen dieses Resultates in Gl. (2.50) ergibt
N
X
c2n
∂V
c2n
sin [ωn (t − s)] x(s) +
+ x(t)
m ẍ(t) −
ds
2
mn ω n
∂x
mn ωn2
0
n=1
n=1
N
X
pn (0)
=
cn qn (0) cos(ωn t) +
sin(ωn t) .
mn ω n
n=1
N
X
t
(2.52)
TH
)
Z
t
ds γ(t − s) ẋ(s) +
(2.53)
UP
0
∂V
= ξ(t)
∂x
AK
m ẍ(t) + m
Z
NA
Durch eine partielle Integration des zweiten Terms auf der linken Seite kann die Bewegungsgleichung für das
Teilchen in die endgültige Form
TH
JI(
DR
.R
gebracht werden. Man beachte, dass der Dämpfungsterm im allgemeinen Information über die TeilchenKoordinate zu früheren Zeiten benötigt (“Erinnerungs-Eﬀekt”). Auf der rechten Seite steht eine ﬂuktuierende
Kraft
N
X
cn
pn (0)
qn (0) −
ξ(t) =
cn
sin(ωn t) ,
(2.54)
x(0) cos(ωn t) +
mn ωn2
mn ω n
n=1
NA
die verschwindet, wenn sie über die Freiheitsgrade der Umgebung gemittelt wird. Der Dämpfungs-Kern
UP
γ(t) =
N
1 X c2n
cos(ωn t)
m n=1 mn ωn2
(2.55)
DR
.R
kann durch die Spektraldichte der Umgebungs-Oszillatoren
J(ω) := π
N
X
n=1
ausgedrückt werden:
2
γ(t) =
mπ
Z
0
c2n
δ (ω − ωn )
2mn ωn2
∞
dω
J(ω)
cos(ωt) .
ω
(2.56)
(2.57)
Für praktische Anwendungen ist es daher unnötig, alle Parameter mn , ωn und cn zu speziﬁeren, die in die
Gleichungen (2.47, 2.48) eingehen; es genügt, die Spektraldichte J(ω) anzugeben. Die am häuﬁgsten benutzte
Form ist die der “ohmschen Dämpfung”
J Ohm (ω) = mγ ω ,
(2.58)
die auf den Dämpfungsterm γ(t) = 2γ δ(t) und damit auf die klassische Dämpfung (ohne “Erinnerung”) führt.
Allerdings kann eine realistische Spektraldichte nicht unbegrenzt anwachsen, so dass Gl. (2.58) bei hohen
Frequenzen modiﬁziert werden muss; eine Möglichkeit ist die Unterdrückung von Frequenzen oberhalb einer
charakteristischen (Drude-) Frequenz ωD :
J Drude (ω) = mγ ω
ω2
2
ωD
=⇒ γ(t) = γ ωD exp (−ωD |t|) .
2
+ ωD
(2.59)
78
Kapitel 2 : Mehrteilchen-Physik
Die Beschreibung der Umgebung durch ein “Wärmebad” von harmonischen Oszillatoren und die bilineare
Kopplung daran mag zuerst problematisch erscheinen, weil das System nach einer genügend langen Zeit in
seinen ursprünglichen Zustand zurückkehren kann und daher keine echte, irreversible Dämpfung erfolgt. Wenn
die Anzahl der Oszillatoren N jedoch gegen unendlich geht, strebt auch diese sog. Poincaré-Rückkehrzeit
gegen unendlich und das System verliert immer Energie an die Umgebung. Das ist natürlich auch genau der
Grenzfall, in dem die Spektraldichte J(ω) eine kontinuierliche Funktion werden kann, anstatt eine Summe von
δ-Funktionen.
mit
β~
dτ
hm
.R
Z
SSystem [x] =
UP
AK
NA
TH
)
Wir wollen nun die quantenmechanische Beschreibung des Systems mit Hilfe euklidischer Pfadintegrale
ableiten. Wir betrachten dazu die volle Zustandssumme des Gesamt-Systems bei einer Temperatur T = 1/(kB β)
(und lassen den Index “E” für “euklidisch” weg)
Z(β) = Sp System+Umgebung+Wechselwirkung exp(−β Ĥ)
!
I
N
Y
1
(2.60)
=
Dx
Dqn exp − (SSystem [x] + SUmgebung [qn ] + SWechselwirkung [x, qn ]) ,
~
n=1
DR
0
2
ẋ2 + V (x)
i
(2.61)
N
X
mn 2
q̇n + ωn2 qn2
2
0
n=1
Z β~
N X
c2n
.
−x cn qn + x2
dτ
2mn ωn2
0
n=1
Z
β~
dτ
TH
JI(
SUmgebung [qn ] =
NA
SWechselwirkung [x, qn ] =
(2.62)
(2.63)
.R
UP
Die Spurbildung in der Deﬁnition der Zustandssumme verlangt wieder periodische Randbedingungen für alle
Pfade und Integration über die Endpunkte. Wir können die Zustandssumme in der Form
DR
Z(β) = =
I
Dx exp
1
− SSystem [x]
~
F [x]
(2.64)
schreiben, wobei das Einfluss-Funktional F [x] als Produkt von Pfadintegralen für jeden Umgebungs-Oszillator gegeben ist:
F [x]
Fn [x]
=
N
Y
n=1
=
I
Fn [x]
Dqn exp
(2.65)
(
1
−
~
Z
β~
0
"
2 # )
cn
mn 2
2
q̇n (τ ) + ωn qn (τ ) −
x(τ )
.
dτ
2
mn ωn2
(2.66)
Wie beim Polaron können wir das Pfadintegral über die Umgebungs-Oszillatoren exakt ausführen, da jede Mode
n ein erzwungener harmonischer Oszillator ist. Tatsächlich ergibt die Anwendung von Gl. (2.8) unmittelbar
#
" Z
Z τ
Z β~
β~
2
c
1
n
dτ
dτ ′ Kn (τ − τ ′ ) x(τ )x(τ ′ ) −
dτ x2 (τ ) ,
(2.67)
Fn [x] = Znh.O. exp
~ 0
2mn ωn2 ~ 0
0
wobei der Kern
Kn (s) =
c2n
cosh (ωn (β~/2 − s))
,
2mn ωn
sinh (ωn β~/2)
s>0.
(2.68)
79
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
lautet (siehe Gl. (2.9)). Im Gegensatz zum Polaron-Problem, wo wir nur an der Grundzustands-Energie
interessiert waren, kann man ihn für endliche Temperaturen nicht weiter vereinfachen. Man beachte, dass der
Kern symmetrisch um s = β~/2 ist. Da wir ihn nur im Intervall [0, β~] benötigen, können wir Periodizität
ausserhalb dieses Intervalls annehmen und ihn in eine Fourier-Reihe entwickeln
∞
X
Kn (s) =
(n) iνl s
cl
e
,
(2.69)
l=−∞
wobei
νl :=
2πl
β~
(2.70)
Z
β~
ds Kn (s) e−iνl s =
0
1
c2n
mn β~ ωn2 + νl2
TH
1
=
β~
(2.71)
NA
(n)
cl
)
die sog. Matsubara-Frequenzen sind und die Koeﬃzienten zu
AK
bestimmt werden. Mit dem Resultat (2.6) erhalten wir
"
#
Z τ
Z
1 β~
1
′
′
′
exp −
dτ kn (τ − τ ) x(τ )x(τ ) .
dτ
Fn [x] =
2 sinh(β~ωn /2)
~ 0
0
.R
UP
(2.72)
=
∞
∞
X
X
c2n
νl2
c2n
iνl s
eiνl s
e
−
mn ωn2 β~
mn ωn2 β~
ωn2 + νl2
TH
JI(
Kn (s)
DR
Hierbei haben wir die Fourierentwicklung des Kerns Kn (s) (siehe Gl. (2.69, 2.71)) aufgespalten in
l=−∞
(2.73)
NA
=:
l=−∞
∞
X
c2n
δ (s − jβ~) − kn (s) .
mn ωn2 j=−∞
DR
.R
UP
Im Intervall [0, β~] trägt nur der j = 0-Term in der Summe der δ-Funktionen bei und hebt genau den letzten
Term von Gl. (2.67), also den “Potential”-Term der Wechselwirkung zwischen System und Umgebung, weg
(Achtung: wegen des Integrationsbereiches trägt nur die Hälfte der δ-Funktion bei !) Man kann zeigen, dass
der reduzierte Kern kn (s) keinen lokalen (d.h. Ein-Zeiten-) Beitrag mehr enthält.
Das volle Einﬂuss-Funktional ist also
F [x] =
mit
N
X
N Y
n=1
1
2 sinh(β~ωn )
"
1
exp −
~
Z
0
β~
dτ
Z
0
τ
′
′
′
dτ k(τ − τ ) x(τ )x(τ )
#
,
Z ∞
+∞
+∞
c2n
1 X
2
J(ω) X
νl2
νl2
iνl s
iνl s
k(s) =
.
e
≡
dω
2 + ω2
2 + ω2 e
2 β~
m
ω
ν
πβ~
ω
ν
n
0
n
n
l
l
n=1
l=−∞
(2.74)
(2.75)
l=−∞
In der zweiten Zeile wurde hierbei die Deﬁnition (2.56) der Spektraldichte der Umgebungs-Oszillatoren verwendet. Da der Dämpfungs-Kern über Gl. (2.57) ebenfalls durch die Spektraldichte bestimmt ist, kann man den
Integranden in Gl. (2.75) auch durch die Laplace-Transformierte von γ(t)
Z ∞
Z ∞
z
J(ω)
2
(2.76)
dω
dt γ(t) e−zt =
γ̃(z) :=
2
πm 0
ω z +ω
0
ausdrücken:
k(s) =
+∞
m X
|νl | γ̃ (|νl |) eiνl s .
β~
l=−∞
(2.77)
80
Kapitel 2 : Mehrteilchen-Physik
Die Laplace-Transformation der Drude-Dämpfung (2.59) ist
γ̃ Drude (z) = γ
ωD
,
ωD + z
(2.78)
was sich auf γ Ohm (z) = γ für reine ohmsche Dämpfung reduziert.
Wie beim Polaron hat sich also ergeben, dass der Einﬂuss der Umgebung auf das System dadurch berücksichtigt werden kann, dass ein nichtlokaler (Zwei-Zeiten-) Term zu der ursprünglichen Wirkung hinzugefügt wird.
Die Eigenschaften der unendlich vielen Oszillatoren der Umgebung können durch einfache Ansätze modelliert
werden.
)
Ein Beispiel : der gedämpfte Oszillator
(2.79)
NA
1
m ω02 x2
2
V (x) =
TH
Wenn sich das Teilchen in einem harmonischen Potential
∞
1 Y
νk2
.
2
β~ω0
νk + ω02
(2.80)
.R
Z h.O. =
UP
AK
bewegt, dann können alle restlichen Schritte analytisch ausgeführt werden. Die Zustandssumme des ungedämpften harmonischen Oszillators ist durch Gl. (2.6) gegeben, oder in der Produktdarstellung von Gl. (1.72)
DR
k=1
TH
JI(
Wenn wir beim gedämpften harmonischen Oszillator die Fluktuationen ebenfalls in eine Fourierreihe entwickeln,
können wir das Pfadintegral (2.64) mit dem Einﬂuss-Funktional (2.74) ausführen und erhalten ein durch die
Dämpfung modiﬁziertes Resultat
UP
NA
Z ged.h.O. =
∞
νk2
1 Y
.
2
β~ω0
νk + νk γ̃(νk ) + ω02
(2.81)
k=1
DR
.R
Welche Information steckt in Gl. (2.81) ? Zuerst können wir die freie Energie (2.2) bei inverser Temperatur β
F ged.h.O. =
∞
1
1 X
γ̃(νk ) ω02
+ 2
ln (β~ω0 ) +
ln 1 +
β
β
νk
νk
(2.82)
k=1
bestimmen. Im Limes β → ∞ wird daraus die Grundzustands-Energie des gedämpften harmonischen Oszillators
Z ∞
~
γ̃(ν) ω02
ged.h.O.
E0
=
,
(2.83)
+ 2
dν ln 1 +
2π 0
ν
ν
weil der Abstand zwischen den Matsubara-Frequenzen gegen Null geht und die Summe durch ein Integral
ersetzt werden kann. Sowohl die Zustandssumme als auch die Grundzustands-Energie können für eine ohmsche Dämpfung mit Drude-Regularisierung geschlossen analytisch dargestellt werden {Weiss}. Es ist jedoch
instruktiv, die Ergebnisse für schwache Dämpfung zu untersuchen:
Z ∞
Z ∞
~
ω02
ν
~
ged.h.O.
γ̃(ν) + . . .
dν ln 1 + 2 +
dν 2
E0
→
2π 0
ν
2π 0
ν + ω02
Z ∞
~
J(ω)
1
~ω0 +
.
dω
(2.84)
=
2
2πm 0
ω(ω + ω0 )
Mit der Spektraldichte (2.59) erhält man
E0ged.h.O. =
1
~ω0 + γ
2
~
ln
2π
ωD
ω0
−1
+ O ωD
+ O γ2 ,
(2.85)
81
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
was mit der zweiten Ordnung Störungstheorie für den Wechselwirkungsterm (2.48) übereinstimmt. Man
beachte, dass Gl. (2.85) divergiert, wenn man die Abschneide-Frequenz ωD gegen unendlich gehen lässt.
Die Ankopplung an die Freiheitsgrade der Umgebung führt also zu einer Energieverschiebung, ähnlich wie
beim Polaron-Problem oder bei der Wechselwirkung von Atomen mit dem Strahlungsfeld (“Lamb shift”). Die
Ähnlichkeit mit dem letzteren System ist jedoch weitgehender, weil die angeregten Zustände des harmonischen
Oszillators durch die Dämpfung jetzt eine endliche Lebensdauer bekommen. Diese kann man z. B. aus der
Zustandsdichte des gedämpften Systems bestimmen
Z ∞
Z c−i∞
1
−βE
Z(β) =:
dE ρ(E) e
=⇒ ρ(E) =
dβ Z(β) eβE .
(2.86)
2πi c−i∞
0
.R
∞
2
2π X +
1,
1
|c
qx
|
n,
0i
hn
δ (ω0 − ωj )
j
j
j
~2 j=1
(2.87)
DR
Γn =
UP
AK
NA
TH
)
Bei der inversen Laplace-Transformation hat man die Konstante c so zu wählen, dass der Integrationsweg
rechts von allen Polen des Integranden liegt. Die Rechnungen [29] zeigen, dass anstelle der Summe von δFunktionen des ungedämpften harmonischen Oszillators, die Zustandsdichte des gedämpften Oszillators aus
einer δ-Funktion für den Grundzustand und (bei kleiner Dämpfung) aus einer Reihe von Spitzen besteht, die
leicht von den Anregungsenergien des reinen harmonischen Oszillators verschoben sind, mit grösserer Energie
immer breiter werden und schliesslich nicht mehr aufzulösen sind. Das ist in qualitativer und quantitativer
Übereinstimmung mit Fermis “Goldener Regel”, nach der die Breite des n-ten Niveaus durch
NA
TH
JI(
gegeben ist. Dabei haben wir berücksichtigt, dass die Dipol-Wechselwirkung (2.48) nur benachbarte Zustände
verbinden kann und die Umgebung keine Energie abgeben, sondern nur aufnehmen kann. Mit Hilfe des Matrixelementes
~
n1/2
(2.88)
hn + 1, 1j |cj q xj | n, 0i = √
2 mmj ω0 ωj
ﬁndet man
UP
n
Ohm
J(ω0 ) = n γ ,
(2.89)
mω0
was für ohmsche Dämpfung besonders einfach ist. Wie erwartet, nimmt also die Breite mit zunehmender
Dämpfung γ und Niveau-Anzahl n zu.
Dies ist auch bei der sog. Strukturfunktion
X
2
S(q, ν) =
δ(ν − (En − E0 )) < n eiq·x̂ 0 >
(2.90)
DR
.R
Γn =
n
zu sehen, die in inelastischer Elektronen- oder Neutronenstreuung von einem gebundenen System (beispielsweise
einem Proton, einem Kern oder einer Quantenﬂüssigkeit) gemessen wird. Das Projektil überträgt in diesem
(inklusiven) Prozess Impuls q und Energie ν an das Target, das angeregt wird, dessen Endzustände aber nicht
beobachtet werden. Daher muss man über alle Endzustände | n > summieren.
Man kann den Formalismus, der für die dissipative Quantensysteme benutzt wurde, auch auf diesen Prozess
anwenden [30]. Da es sich jedoch um einen Streuprozess handelt, der in wirklicher (und nicht imaginärer)
Zeit abläuft, ist eine analytische Fortsetzung des Temperatur-Ergebnisses erforderlich. Abb. 12 zeigt das
Ergebnis einer Rechnung für zwei verschiedene Impulsüberträge und mehrere Werte des ohmschen DämpfungsParameters γ. Diese Dämpfung simuliert die Ankopplung an kompliziertere Zustände, etwa das Kontinuum, in
das Bestandteile des Targets herausgeschleudert werden oder die Umwandlung der getroﬀenen Quarks innerhalb
des Protons in beobachtbare Hadronen. Wie man sieht, verschmelzen bei grossem Impulsübertrag die einzelnen
Anregungslinien zu einer kontinuierlichen Kurve, der “quasielastischen Spitze”, die bei ν ≃ q 2 /(2m) ihr Maximum hat und deren Breite die Impulsverteilung des gebundenen Teilchens widerspiegelt. Da man von einem
82
Kapitel 2 : Mehrteilchen-Physik
konsistenten Hamilton-Operator von System + Umgebung ausgeht, treten keine unphysikalischen Anregungen
mit ν < 0 auf: die einzelnen verbreiterten Linien sind deshalb keine exakten Lorentz- oder Breit-WignerKurven, die sich auch zu negativen Anregungsenergien erstrecken würden. Daher ist auch die Summenregel,
die man durch Integration über ν aus Gl. (2.90) bekommt
Z ∞
D X ED E
dν S (q, ν) = 0 e−iq·x̂
(2.91)
n n eiq·x̂ 0 = h 0 | 0 i = 1
0
n
DR
.R
UP
NA
TH
JI(
DR
.R
UP
AK
NA
TH
)
exakt erhalten. Sie beruht auf der Vollständigkeit aller Target-Zustände und ist unabhängig von der speziellen
Form des Hamilton-Operators und seiner Eigenzustände. Durch die Ankopplung an andere Freiheitsgrade wird
das Spektrum daher zwar verschoben und verändert, die Gesamtstärke bleibt jedoch erhalten.
Abb. 12 : Strukturfunktion des gedämpften harmonischen Oszillators für verschiedene Impulsüberträge q und ohmsche Dämpfungsparameter γ [30]. Die Oszillatorfrequenz des ungedämpften
Systems ist mit ω0 bezeichnet, b0 = (mω0 )−1/2 ist die Oszillatorlänge und dient als
Längeneinheit.
83
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
2.4
Teilchenzahl-Darstellung und Pfadintegrale über kohärente Zustände
Während im ersten Kapitel dieses Teils die Teilchen sich in einem äusseren Potential bewegten, betrachten wir
nun ein genuines Vielteilchen-Problem: ein nicht-relativistisches System von N identischen Teilchen, die über
Zweikörper-Kräfte miteinander wechselwirken:
Ĥ =
N
N
X
X
X
p̂2i
1X
p̂2i
V̂ij =
+
+
V̂ij .
2m i<j
2m 2
i=1
i=1
(2.92)
i6=j
= ζ Ψ(...j...i...) ,
ζ=
(
TH
Ψ(...i...j...)
= E| Ψ >
+1 : Bosonen
−1 : Fermionen
NA
Ĥ| Ψ >
)
Bei Systemen von identischen Teilchen hat man bekanntlich die Forderung der Symmetrie der Wellenfunktion
für Bosonen (Teilchen mit ganzzahligem Spin) oder Antisymmetrie für Fermionen (Teilchen mit halbzahligem
Spin) zusätzlich zu fordern:
.
(2.93)
UP
NA
TH
JI(
DR
.R
UP
AK
In der üblichen Formulierung der Quantenmechanik ist es lästig oder auch oft sehr schwierig, diese Symmetrieforderung in jedem Stadium der Rechnung zu befolgen. Es ist viel günstiger, einen Formalismus zu haben, der
diese Forderung automatisch beinhaltet; dies ist der Fall für die Teilchenzahl-Darstellung (auch fälschlicherund verwirrender-weise “2. Quantisierung” genannt), die bereits vom harmonischen Oszillator bekannt ist.
Anstatt den Zustand des Systems durch eine Wellenfunktion Ψ, die von den Koordinaten oder Impulsen der
Teilchen abhängt, zu beschreiben, sagt man, wieviele Teilchen sich in einem bestimmten Zustand | α > einer
gewählten, vollständigen Basis beﬁnden. Man deﬁniert dann Vernichtungs- und Erzeugungs-Operatoren âα ,
bzw. â†α , die ein Teilchen im Zustand | α > vernichten, bzw. erzeugen. Das “Vakuum” | 0 > ist derjenige
Zustand tiefster Energie, in dem sich keine Teilchen beﬁnden:
âα | 0 > = 0
∀α.
(2.94)
DR
.R
Ein Einteilchen-Operator, wie etwa die kinetische Energie, besitzt dann die Darstellung
T̂ =
N
X
i=1
T̂i −→
X
α,β
< α | T̂ | β > â†α âβ
(2.95)
und ein Zweiteilchen-Operator, wie etwa die potentielle Energie
V̂ =
N
1X
1 X
< αβ | V̂ | γδ > â†α â†β âδ âγ .
V̂ij −→
2
2
i6=j
(2.96)
α,β,γ,δ
Man beachte die verschiedene Reihenfolge der Indizes im Zweiteilchen-Matrixelement und in den VernichtungsOperatoren. Es ist bemerkenswert, dass die Operatoren in der Teilchenzahl-Darstellung keine Information über
die Teilchenzahl selber enthalten – die Summationen sind unbeschränkt und laufen über alle Quantenzahlen der
Basis, nicht über die Anzahl der Teilchen ! Das liegt daran, dass die Operatoren im Fock-Raum wirken, der
eine direkte Summe aller Hilbert-Räume mit Teilchenzahl 0, 1, 2 ... ist. Im jeweiligen Unterraum HN haben
sie dann dieselben Matrixelemente, wie die Operatoren, von denen wir ausgegangen sind. Da sowohl in der
kinetischen wie in der potentiellen Energie immer Paare von â† â auftreten (siehe Gl. (2.95, 2.96)), bleibt die
Teilchenzahl erhalten und die Dynamik des Systems führt niemals aus dem gewählten Hilbert-Raum heraus.
Im Gegensatz dazu stehen im Polaron-Hamiltonoperator (2.21) einzelne â† ’s und â ’s : die Phonon-Zahl ist
nicht erhalten. Dies ist das typisches Merkmal einer Feldtheorie.
Die Teilchenzahl-Darstellung ist deshalb so vorteilhaft, weil die Symmetrieforderung automatisch in die
Vertauschungs-Relationen eingebaut ist:
84
Kapitel 2 : Mehrteilchen-Physik
i
h
âα , â†β
:= âα â†β − ζâ†β âα
h
i
[âα , âβ ]−ζ = â†α , â†β
−ζ
−ζ
= δαβ
= 0,
(2.97)
d.h. bei Bosonen hat man Kommutatoren und bei Fermionen Anti-Kommutatoren zu verwenden. Letzere
verwirklichen das Pauli-Prinzip auf folgende Weise:
â†α 2 | 0 > = −â†α2 | 0 > = 0 ,
(2.98)
NA
TH
)
was bedeutet, dass zwei Fermionen nicht in demselben Zustand sein können.
Die Basis von Einteilchen-Zuständen muss orthonormal und vollständig sein
X
< α| β > = δαβ ,
| α >< α | = 1̂ ,
α
(2.99)
DR
.R
UP
AK
ist ansonsten aber beliebig. Für ein Elektron könnte man beispielsweise die Zustände des 3-dimensionalen
harmonischen Oszillators verwenden, die durch n = Haupt-Quantenzahl, l = Bahn-Drehimpuls, j = GesamtDrehimpuls, mj = magnetische Quantenzahl charakterisiert sind. Für Nukleonen käme der Isospin hinzu, für
Quarks die Farbe usw. Der Übergang in eine andere Basis, z. B. die Ortsbasis, wird durch
X
âr ≡ φ̂(r) =
< r| α > âα
usw.
(2.100)
TH
JI(
α
UP
NA
vollzogen. Die Feld-Operatoren φ̂(r), φ̂† (r) vernichten, bzw. erzeugen ein Teilchen (mit den übrigen Quantenzahlen, die hier nicht explizit ausgeschrieben sind) am Ort r . Man ﬁndet leicht, dass sie die VertauschungsRelationen
h
i
φ̂(r), φ̂† (r′ )
= δ (r − r′ )
(2.101)
−ζ
DR
.R
besitzen. Für ein lokales Potential V̂ij = V (x̂i − x̂j ) lautet der Hamilton-Operator dann
Z
Z
~2
1
3
†
∆ φ̂(r) +
Ĥ =
d r φ̂ (r) −
(2.102)
d3 r d3 r′ φ̂† (r) φ̂† (r′ ) V (r − r′ ) φ̂(r′ ) φ̂(r) .
2m
2
R
Wenn man Ĥ = d3 r Ĥ(r) schreibt, dann ähnelt die Form der Hamilton-Dichte H sehr stark derjenigen der
φ4 -Feldtheorie, nur dass die Wechselwirkung hier nichtlokal ist: die Felder werden nicht alle am selben Ort
genommen, was bei einer nicht-relativistischen Theorie mit einem instantanen Potential auch nicht notwendig
ist.
Wegen der grossen Bedeutung der Teilchenzahl-Darstellung ist es vorteilhaft, bei der Ableitung des Pfadintegrals 49 nun eine Basis zu wählen, in der die Zustände nicht, wie bisher, Eigenzustände des Ortsoperators,
sondern des Vernichtungs-Operators sind. Dies sind die kohärenten Zustände, die auch in der Quanten-Optik
von grosser Bedeutung sind (Glauber 1963). Die Darstellung wird auch “holomorphe” oder “Bargmann”Darstellung genannt. Im Folgenden werden ganz kurz einige Eigenschaften für den Fall eines Teilchens im
harmonischen Potential
1
1
p̂2
2 2
†
+ mω x̂ = ~ω â â +
(2.103)
Ĥ =
2m 2
2
r
r
~
m~ω †
x̂ =
(2.104)
â† + â , p̂ = i
â − â ,
â, â† = 1
2mω
2
49 Aus
Bequemlichkeit werden wir weiterhin von Pfad-Integralen reden, obwohl die anschauliche Interpretation als “Summe
über alle Pfade” nicht mehr gilt. Die Bezeichnung “Funktional-Integral” ist allgemeiner, aber weniger physikalisch.
85
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
zusammengestellt:
a) Deﬁnition: kohärente Zustände sind Eigenzustände des Vernichtungs-Operators 50
â | z >
= z|z > , z
(2.105)
komplex .
Der Eigenwert ist notwendigerweise komplex, da â nicht hermitesch ist.
b) Explizite Darstellung:
)
X zn
√ |n>,
| z > = exp zâ† | 0 > =
n!
n=0
TH
n
√
| 0 > / n! der normierte Eigenzustand des Hamilton-Operators (2.103) ist.
NA
wobei | n >= a†
(2.106)
AK
c) Kohärente Zustände sind Zustände minimaler Unschärfe (Übungsaufgabe 12), d.h. besonders “klassisch”.
UP
d) Überlapp:
< z2 | z1 > = exp ( z2∗ z1 ) ,
.R
DR
d.h. kohärente Zustände sind nicht orthogonal.
(2.107)
TH
JI(
e) Darstellung des Einheits-Operators:
1
2πi
Z
2
dz ∗ dz |z >< z| e−|z| .
(2.108)
NA
1̂ =
2
dz ∗ dz | z >< z | e−|z|
=
.R
Z
DR
1
2πi
UP
Beweis : Unter Verwendung von Polar-Koordinaten für die komplexe Variable z erhält man (die Jacobi-Determinante ist 2i )
=
=
Z
X z∗ n zm
2
| m >< n | e−|z|
√
n! m!
n,m
Z ∞
Z 2π
2
1 X | m >< n |
dr re−r r m+n
dφ e−inφ+imφ
√
π n,m
n! m!
0
0
X
X | n >< n | Z ∞
2
dr r 2n+1 e−r =
| n >< n | = 1̂ .
2
n!
0
n
n
1
π
d(Re z) d(Im z)
(2.109a)
Wegen dieser Eigenschaften nennt man die kohärenten Zustände auch “übervollständig”: jeder Zustand
im Fock-Raum lässt sich darstellen, aber die Basis-Vektoren sind linear abhängig:
Z
dz ∗ dz −|z|2
e
ψ(z ∗ ) | z > , mit ψ(z ∗ ) = < z | ψ > .
(2.110)
|ψ >=
2πi
f ) Wirkung von â und â† :
â =
∂
,
∂z ∗
â† = z ∗ ,
(2.111)
†
da < z |â| ψ >=< 0 | exp(z ∗ â)â| ψ >= ∂ψ(z ∗ )/∂z ∗ und < z |â† | ψ >= (â | z >) | ψ >= z ∗ ψ(z ∗ ). Die
Schrödinger-Gleichung für einen Hamilton-Operator H â† , â lautet daher in der holomorphen Darstellung H (z ∗ , ∂/∂z ∗) ψ(z ∗ ) = Eψ(z ∗ ) . Tatsächlich ist Gl. (2.111) eine explizite Darstellung der bosonischen
Vertauschungs-Relation.
50 Man
kann sich leicht überzeugen, dass der Erzeugungs-Operator â† keine Eigenzustände besitzt, da er die minimale Teilchenzahl
um eins erhöht.
86
Kapitel 2 : Mehrteilchen-Physik
g) Matrixelemente von Operatoren: Diese sind besonders einfach, wenn die Operatoren normalgeordnet
sind, d.h., wenn alle Vernichtungs-Operatoren â rechts von den Erzeugungs-Operatoren â† stehen. Sei
Â â† , â ein solcher Operator. Aus der Deﬁnition (2.105) folgt dann sofort
∗ ′
< z | Â â† , â | z ′ > = A (z ∗ , z ′ ) < z | z ′ > = A (z ∗ , z ′ ) e z z .
(2.112)
Für die Spur des Operators erhalten wir durch Einschieben des Einheits-Operators (2.108)
X
X Z dz ∗ dz
2
Sp Â =
< n |Â| n > =
< n | z >< z |Â| n > e−|z|
2πi
n
n
Z
Z
X
2
2
dz ∗ dz
dz ∗ dz
=
< z |Â
< z |Â| z > e−|z| .
| n >< n | z > e−|z| =
2πi
2πi
n
(2.113)
.R
α
UP
AK
NA
TH
)
Der Übergang zu Mehrteilchen-Systemen ist für Bosonen einfach (Fermionen werden im nächsten Kapitel
behandelt): man muss einfach den komplexen Eigenwert z durch einen Satz von komplexen Zahlen zα ersetzen:
z −→ zα , wobei α den besetzten Einteilchen-Zustand bezeichnet, und über die Zustände summieren. Der
bosonische kohärente Zustand ist also durch
!
X
†
| z > = exp
(2.114)
zα âα | 0 >
TH
JI(
DR
deﬁniert, wobei wir hier und im Folgenden den Zustand immer pauschal durch z ≡ {zα } charakterisieren
werden. Der Einheits-Operator im bosonischen Fock-Raum wird durch
Z Y ∗
dzα dzα − Pα |zα |2
| z >< z |
(2.115)
e
1̂ =
2πi
α
DR
.R
UP
NA
dargestellt und alle übrigen Relationen werden entsprechend umgeschrieben. Es ist klar, dass die bosonischen
kohärenten Zustände keine feste Teilchenzahl besitzen, da sie eine Überlagerung von Zuständen aus verschiedenen Hilbert-Räumen sind. Tatsächlich ﬁndet man für die mittlere Teilchenzahl
P
†
X
< z |N̂ | z >
α < z |âα âα | z >
N̄ =
=
=
|zα |2 ,
(2.116)
<z|z >
<z|z >
α
aber für das Schwankungsquadrat
2
(∆N ) =
X
< z |N̂ 2 | z >
− N̄ 2 =
|zα |2 = N̄ .
<z|z >
α
(2.117)
√
Nur im thermodynamischen Grenzfall, in dem N̄ → ∞ geht, sinkt die relative Schwankung ∆N/N̄ = 1/ N̄
auf Null; die kohärenten Zustände sind dann scharf um die mittlere Teilchenzahl konzentriert.
Nach diesen Präliminarien können wir nun daran gehen, die Pfadintegral-Darstellung des ZeitentwicklungsOperators
i
Û (tf , ti ) = exp − Ĥ(tf − ti )
(2.118)
~
für ein bosonisches Mehrteilchen-System in der kohärenten Basis abzuleiten. Wie im Einteilchen-Fall erreichen
wir dies, indem wir die Zeitdiﬀerenz tf − ti in M Teilintervalle der Länge ǫ unterteilen und an M − 1 Stellen
die Darstellung (2.115) einschieben. Dann erhalten wir
!
Z M−1
Y Y
∗
∗
dzα,k dzα,k
< zf | Û (tf , ti ) |zi > ≡ U zf , tf ; zi , ti = lim N
M→∞
· exp −
M−1
XX
k=1
α
|zα,k |2
!
k=1
M D
Y
k=1
α
E
zk e−iǫĤ/~ zk−1 .
(2.119)
87
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
Hierbei ist z0 = zi , zM = zf und N ein Normierungsfaktor, um den wir uns nicht zu kümmern brauchen.
Den letzten Faktor in Gl. (2.119) entwickeln wir für kleine Zeitschritte ǫ und schreiben ihn dann wieder als
Exponentialfunktion 51
E
D iǫ
= < zk | zk−1 > − < zk |Ĥ| zk−1 > +O(ǫ2 )
zk e−iǫĤ/~ zk−1
~
!
iǫ < zk |Ĥ| zk−1 >
(2.120)
= < zk | zk−1 > exp −
+ O(ǫ2 ) .
~ < zk | zk−1 >
)
Wir nehmen an, dass der Hamilton-Operator normalgeordnet ist, wie beispielsweise in Gl. (2.102). Unter
Verwendung der Gleichungen (2.107, 2.112) erhalten wir dann
!
!
Z M−1
M−1
XX
Y Y
2
∗
∗
|zα,k |
dzα,k dzα,k exp −
U z f , tf ; z i , ti
=
lim N
k=1
α
TH
· exp
α
M
X
X
k=1
α
!#
iǫ
∗
.
zα,k
zα,k−1 − H(zk∗ , zk−1 )
~
(2.121)
NA
k=1
"
AK
M→∞
UP
Wir gehen nun zu einer kontinuierlichen (und natürlich mehr symbolischen) Schreibweise über:
{ zα,1 , zα,2 , . . . zα,M } −→ zα (t)
.R
und
(2.122)
zα,k − zα,k−1
∂
−→ zα∗ (t) zα (t)
ǫ
∂t
H (zk∗ , zk−1 ) −→ H (z ∗ (t), z(t)) .
(2.123)
DR
∗
zα,k
TH
JI(
(2.124)
DR
.R
UP
NA
Für geschwindigkeitsabhängige Wechselwirkungen muss die letzte Gleichung wie im Einteilchen-Fall entsprechend modiﬁziert werden. In der kontinuierlichen Schreibweise geht das Argument aller Exponential-Funktionen
in Gl. (2.121) über in
#
"
M−1
X
X
iǫ
iǫ X
zα,k − zα,k−1
∗
∗
∗
∗
− H (zk , zk−1 )
zα,M zα,M−1 − H (zM , zM−1 ) +
i~
zα,k
~
~
ǫ
α
α
k=1
"
#
Z
X
X
∂zα (t)
i tf
∗
∗
∗
dt i~
zα (t)
− H (z (t), z(t))
−→
zα (tf ) zα (tf ) +
~ ti
∂t
α
α
Z
X
X
i
i tf
∗
dt L (z ∗ (t), z(t)) ≡
≡
zα∗ (tf ) zα (tf ) + S[z ∗ (t), z(t)] .
zα (tf ) zα (tf ) +
(2.125)
~ ti
~
α
α
Hier ist L̂ = i~∂/∂t − Ĥ der Lagrange-Operator der Schrödinger-Theorie 52 und S die entsprechende klassische
Wirkung. Wenn wir den Index α für die Moden weglassen, bzw. z(t) = {zα (t)} als Spaltenvektor, z̄ = {zα∗ (t)}
als Zeilenvektor betrachten, dann lautet die Pfadintegral-Darstellung für den Zeitentwicklungs-Operator in der
kohärenten Basis also
Z z̄(tf )=z̄f
i
Dz̄(t) Dz(t) exp z̄(tf )z(tf ) + S[z̄(t), z(t)] .
(2.126)
U (z̄f , tf ; zi , ti ) =
~
z(ti )=zi
Der Term z̄(tf )z(tf ) im ersten Exponenten ist ein “Überbleibsel” vom Zusammenfassen der einzelnen Terme
zur Ableitung in Gl. (2.123). Hätten wir
∗
∗
−zα,k+1
+ zα,k
∂ ∗
zα,k −→ − zα (t) zα (t)
(2.127)
ǫ
∂t
51 Eine
genauere Ableitung findet man in [31].
52 Formell
ist die Schrödinger-Gleichung die Euler-Lagrange-Gleichung zur Wirkung S[ψ⋆ , ψ] =
Integrand kann daher als Lagrange-Operator bezeichnet werden.
R
dt ψ⋆
∂
i~ ∂t
− Ĥ
ψ. Der
88
Kapitel 2 : Mehrteilchen-Physik
zusammengefasst, dann wäre z̄1 z0 → z̄(ti )z(ti ) übriggeblieben. Beide Resultate entsprechen demselben
diskreten Ausdruck und sind daher äquivalent. Wenn man einen Ausdruck haben möchte, der symmetrisch
in Anfangs- und End-Zeit ist, kann man die beiden auch mitteln.
Wir können jetzt die Pfadintegral-Darstellung der bosonischen Zustandssumme angeben. Mit Hilfe der Gl.
(2.113) (das “Überbleibsel” wird weggehoben !) und nach Übergang zur euklidischen Zeit erhalten wir
I
z(0)=z(β~)
1
Dz̄(τ ) Dz(τ ) exp − SE [z̄(τ ), z(τ )] ,
~
(2.128)
TH
)
=
Z = Sp e−β Ĥ
dτ
∂z(τ )
+ H(z̄(τ ), z(τ ))
z̄(τ )
∂τ
(2.129)
DR
.R
0
AK
=
β~
UP
SE [z̄(τ ), z(τ )]
Z
NA
wobei die euklidische Wirkung durch
TH
JI(
gegeben ist.
DR
.R
UP
NA
Was wir analytisch behandeln können, sind Systeme, in denen sich die Teilchen unabängig in einem äusseren
oder mittleren Potential bewegen: in diesem Fall ist der Hamilton-Funktion (und damit die Wirkung) quadratisch
in den Variablen z̄(τ ), z(τ ). Wir benötigen dann komplexe multidimensionale gaußsche Integrale mit hermiteschen Matrizen – also eine Erweiterung unseres bisherigen Handwerks-Kastens . . . . Tatsächlich ﬁndet man für
das komplexe gaußsche Integral mit einer hermiteschen und positiv definiten n × n Matrix H
G2n (H) :=
Z
dn x dn y exp −z† H z =
wobei über Real- und Imaginärteil des komplexen Vektors


z1


 z2 
†
∗ ∗
∗

z =  . 
 , z = (z1 , z2 . . . zn ) ,
.
 . 
zn
πn
,
detn H
zj = xj + i yj
(2.130)
(2.131)
integriert wird. Dieses Ergebnis ist sehr einleuchtend: wenn man sowohl über die Real- und Imaginärteile des
komplexen Vektors z integriert, erhält man das Quadrat des analogen reell-symmetrischen gaußschen Integrals
(1.88).
Vertiefung 17: Gaußsches komplexes Integral für hermitische Matrizen
Wie in Gl. (2.109a) schreibt man das Integral (2.130) auch als
G2n (H) =
Z
dn z dn z ∗ J2n exp −z† H z ,
(2.132a)
89
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
wobei man z, z∗ als unabhängige (reelle) Variable behandelt. Wegen x = (z + z∗ )/2 , y = (z − z∗ )/(2i) ist die dazugehörige JacobiDeterminante
 ∂x
∂xi 
i
n
∂zj
∂z ∗
i
1/2
1/2
j
 = det2n
J2n = det2n  ∂yi
.
(2.132b)
=
∂yi
1/(2i)
−1/(2i)
2
∗
∂zj
∂z
j
In der letzten Zeile haben wir die Identität (siehe z. B. http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante)
A B
= detn A · detn D − CA−1 B
det2n
C
D
(2.132c)
für Block-Matrizen verwendet (A muss invertierbar sein, was hier für die Diagonal-Matrizen trivial erfüllt ist).
∗
Das Integral ist reell und positiv, da H hermitesch ist ( Hij
= Hji )
∗
z† H z
=
zi∗ Hij zj
∗
= zj∗ (Hij )∗ zi = zj∗ Hji zi
i↔j
=
zi∗ Hij zj ≡ z† H z .
(2.132d)
Für die Konvergenz des Integrals müssen wir aber zusätzlich fordern, dass H positiv definit ist, d. h.
zi Hij zj > 0 ,
for all
z∈C.
(2.132e)
und führt dann
mit
†
U U = 1
und
zi′ := Uij zj =⇒ zi
JU
i
∂z ′∗
j
∂zi∗
∂z ′∗
j


 = det2n
U†
0
0
UT
DR
i
∂z ′
j
∂zi∗
∂z ′
j
.R
"
#
n Z
Z
n
X
i
′2
dn z ′ dn z ′∗ JU exp −z′† D z′ =
dn x′ dn y ′ JU exp −
λi x′2
,
i + yi
2
i=1
wobei die Jacobi-Determinante
 ∂z
∂z

= det2n 
(2.132g)
= detn U † · detn U T = detn U † · detn U = detn
TH
JI(
G2n (H) =
zj′ .
ij
UP
ein. Das komplexe gaußsche Integral (2.132a) wird dann
(2.132f)
D = (λ1 . . . λn ) , λi > 0
= U†
AK
†
H = U DU ,
NA
TH
)
Das kann man leicht dadurch erreichen, dass man nicht H , sondern H − E0 1 betrachtet, wobei E0 der niedrigste Eigenwert (die
Grundzustands-Energie) ist.
In vielen Lehrbüchern wird die Berechnung dieses komplexen gaußschen Integrals analog zu dem reellen, symmetrischen Fall durchgeführt:
man benutzt die Tatsache, dass eine hermitesche Matrix durch eine unitäre Transformation diagonalisiert werden kann:
(2.132i)
(2.132j)
UP
NA
ist. Die verbleibenden Integrationen über x′ , y′ sind dann trivial und man erhält
!
!
n r
n r
Y
Y
π
π
πn
G2n (H) =
,
·
=
λ
λ
det
i
i
nH
i=1
i=1
U†U = 1
(2.132h)
also das Ergebnis (2.130).
DR
.R
Allerdings ist ein “Wurm” in dieser Herleitung: die unitäre Transformation (2.132g) verlegt die Integrations-Wege in die komplexe Ebene
und es ist nicht offensichtlich, ob und wie man sie für die Koordinaten x′i , yi′ wieder zur reellen Achse zurückführen kann (schon für den
1-dimensionalen Fresnel-Fall (1.24a) erfordert dies einigen Aufwand).
Wir werden daher das Integral (2.130) durch reelle Methoden auswerten. Wenn wir
H =: A + iB ,
setzen, dann gilt
†
z H fz =
wobei
H† = H =⇒ AT = A , BT = −B
x
T
T
T
T
x − iy
(A + iB) (x + iy) =: x , y
H̃
,
y
H̃ :=
A
B
−B
A
(2.132k)
(2.132l)
(2.132m)
eine symmetrische 2n × 2n Matrix ist. Wir können daher das Resultat (1.88) übernehmen und erhalten
π 2n/2
.
G2n (H) = p
det2n H̃
(2.132n)
Es bleibt nur noch die Aufgabe, die Determinante von H̃ zu berechnen. Auf Grund der Block-Form (2.132m) ist dies mit Hilfe der Beziehung
(2.132c) leicht möglich und wir erhalten
A −B
det2n H̃ = det2n
= detn A · detn A − BA−1 (−B) = (detn A)2 · detn 1 + A−1 BA−1 B .
(2.132o)
B
A
Dies kann man auf die Determinante der ursprünglichen hermiteschen Matrix H zurückführen. Da diese Determinante reell und positiv ist
(wie die Eigenwerte von H nach Annahme) erhalten wir
detn H = detn A · detn 1 + iA−1 B , detn HT = detn H = detn A · detn 1 − iA−1 B
2
T
2
−1
−1
=⇒
(detn H) = detn H · detn H = (detn A) · detn 1 + A BA B ≡ det2n H̃ .
(2.132p)
Da das Integral reell und positiv ist ist, müssen wir die positive Wurzel nehmen und erhalten dasselbe Resultat (2.132j) wie vorher (mit
den etwas zweifelhaften Methoden).
90
2.5
Kapitel 2 : Mehrteilchen-Physik
Beschreibung von Fermionen : Graßmann-Variable
Wenn wir Fermionen mit ihren Anti-Kommutationsregeln durch kohärente Zustände beschreiben wollen, die
Eigenzustände des Vernichtungs-Operators sind
âα | ξ > = ξα | ξ > ,
(2.133)
=
0 ,
α , β = 1, 2, . . . m
(2.134)
AK
NA
ξα ξβ + ξβ ξα
TH
)
dann sehen wir, dass die Eigenwerte ξα keine gewöhnlichen Zahlen sein können:
(âα âβ + âβ âα ) | ξ >= 0 erfordert, dass die Eigenwerte ξα antikommutierende Grössen sind. Algebren von
antikommutierenden Zahlen werden Graßmann-Algebren benannt und sind durch einen Satz von Generatoren
deﬁniert, die
DR
.R
UP
erfüllen (im Folgenden werden graßmann-wertige Grössen immer durch die blau-grüne Farbe gekennzeichnet).
Bei einer geraden Anzahl von Generatoren m = 2n kann man eine Konjugation (manchmal auch eine Involution
genannt) deﬁnieren: man wählt einen Satz von n Generatoren und zu jedem Generator ξα assoziiert man einen
Generator, den wir mit ξ¯α bezeichnen. Wenn λ eine komplexe Zahl ist, dann hat man
TH
JI(
( λ ξα ) = λ∗ ξ¯α ,
und für ein Produkt von Generatoren
NA
(ξ α1 . . . ξ αn ) = ξ¯αn . . . ξ¯α1 .
(2.135)
(2.136)
DR
.R
UP
Wie für gewöhnliche komplexe Funktionen kann man eine (nach rechts wirkende) Ableitung für Funktionen
von Grassmann-Variablen deﬁnieren. Sie ist genauso deﬁniert wie bei gewöhnlichen Funktionen, mit dem
Unterschied, dass die Variable ξα in der betreﬀenden Funktion solange antikommutiert werden muss, bis sie
vor dem Diﬀerential-Operator steht. Zum Beispiel
∂ ¯
∂
ξα ξβ =
∂ξβ
∂ξβ
−ξβ ξ¯α
= −ξ¯α .
Etwas ungewöhnlicher ist die Integration über Graßmann-Variable: Berezin hat gezeigt {Berezin}, dass
Z
Z
dξα 1 =
0,
dξ¯α 1 =
0,
Z
Z
dξα ξα = 1
dξ¯α ξ¯α = 1
(2.137)
(2.138)
zu einer konsistenten Beschreibung führt. Diese Integration verhält sich eigentlich mehr wie eine Diﬀerentation
– die Potenz einer Variablen im Integranden wird um eins verringert.
Für unsere Zwecke ist es ausreichend, diese Deﬁnitionen als eine geschickte Konstruktion zu betrachten,
um die diversen Minus-Zeichen, die mit der Anti-Symmetrie von fermionischen Systemen verbunden sind, zu
erhalten, ohne zu viel physikalische Anschauung damit verbinden zu wollen. Da in der bisherigen Behandlung
91
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
der Pfadintegrale die gaußschen Integrale so wichtig waren, ist es naheliegend, das entsprechende gaußsche
Graßmann-Integral zu berechnen. Wir wollen dies zuerst für den Fall n = 1, d.h. für zwei Generatoren der
Graßmann-Algebra, durchführen: weil das Quadrat einer Graßmann-Variablen verschwindet, bricht die Exponential-Reihe für den gaußschen Integranden nach dem zweiten Glied ab und nach Anti-Kommutation und
Anwendung der Integrationsregeln (2.137, 2.138) ﬁndet man
Z
Z
Z
¯
¯
¯
¯
dξ dξ exp −λ ξ ξ =
dξ dξ 1 − λ ξ ξ = λ dξ¯ dξ ξ ξ¯ = λ .
(2.139)

α,β

ξ¯α Hα,β ξβ  =
det H .
(2.140)
.R
UP
exp  −
X
NA
dξ¯α dξα
α=1
!
AK
n
Y
Z
TH
)
Dieses gaußsche Grassmann-Integral kann leicht auf eine beliebige gerade Anzahl von Graßmann-Generatoren
und für eine hermitesche Matrix H verallgemeinert werden:
Vertiefung 18: Gaußsches Graßmann-Integral
DR
Der Beweis von Gl. (2.140) ist einfach, da wir keine Randbedingungen zu berücksichtigen zu haben: wir diagonalisieren H durch eine
unitäre Matrix, so dass
U † H U = diag (λ1 , . . . λn ) .
TH
JI(
(2.141a)
aber das Integral hat den Wert
!
Z
.R
λ =
UP
NA
Integrale über Graßmann-Variable werden bei einer linearen Transformation der Variablen
√ mit dem
√ Inversen des Betrags der JacobiDeterminanten multipliziert. Das sieht man bereits in Gl. (2.139), wenn man ξ = ξ ′ / λ, ξ̄ = ξ̄ ′ / λ setzt: die Jacobi-Determinante
ist
!
√
∂ξ
∂ξ
1
1/ λ
∂ξ ′
∂ ξ̄′
√0
= det
J = det
,
(2.141b)
=
∂ ξ̄
∂ ξ̄
0
1/
λ
λ
∂ξ ′
∂ ξ̄′
dξ̄′ dξ ′ C exp −ξ̄ ′ ξ ′
= C =⇒ C = λ ≡ J −1 .
(2.141c)
Z
n
Y
α=1
dξ̄α dξα
!
DR
Da die Jacobi-Determinante jedoch im vorliegenden Fall eins ist, erhält man

exp  −
X
α,β

ξ̄α Hα,β ξβ 
=
Z
=
Z
exp
α=1
!
n
Y
h
1 − ξ̄ α λα ξ α
n
Y
α=1
′
′
dξ̄ α dξ α
′
′
dξ̄ α dξ α
−
′
X
′
′
ξ̄ α λα ξ α
α
′
i
!
=
!
n
Y
λα = det H .
(2.141d)
α=1
In den meisten Anwendungen ist das gaußsche Integral (2.140) das einzige Ergebnis der Integration über
Graßmann-Variable, das benötigt wird. Überspitzt kann man sogar sagen: Graßmann-Variable werden im
allgemeinen nur eingeführt, um sie so schnell wie möglich wieder auszuintegrieren ...
Der Vergleich mit dem bosonischen Fall in Gl. (2.130) zeigt, dass – abgesehen von den unerheblichen Normierungskonstanten – fermionische gaußsche Integrale gerade das Inverse der bosonischen Integrale ergeben. Benutzt man det H = exp(Sp ln H) (Übungsaufgabe 13), kann man die bosonischen und fermionischen Fälle
durch
Z
dz̄ dz e−z̄ H z
=
const · det−ζ A = const · e −ζ Sp ln A
(2.142)
92
Kapitel 2 : Mehrteilchen-Physik
zusammenfassen, wobei z und z̄ komplexe oder Graßmann-wertige Variable sind, je nachdem, ob bosonische
oder fermionische Systeme vorliegen. Das unterschiedliche Vorzeichen im Exponenten von Gl. (2.142) führt
dazu, dass in der Störungstheorie Schleifen, in denen Fermionen umlaufen, ein Minus-Zeichen gegenüber solchen
mit Bosonen erhalten.
In Analogie zum bosonischen Fall können jetzt fermionische kohärente Zustände durch
| ξ > = exp
−
X
ξα â†α
α
!
|0 >
(2.143)
Y
α
1 − ξα â†α
|0 > .
(2.144)
AK
|ξ >=
NA
TH
)
deﬁniert werden. Es ist vorteilhaft, zu verlangen (d.h. zu deﬁnieren), dass die Graßmann-Variablen mit den
Erzeugungs- und Vernichtungs-Operatoren ebenfalls antikommutieren. Dann ist ξα â†α graßmann-gerade, d. h.
es kommutiert mit jedem anderen ξβ â†β in der Entwicklung der Exponential-Funktion und man erhält
α
TH
JI(
DR
.R
UP
Die fermionischen kohärenten Zustände haben praktisch dieselben Eigenschaften wie die bosonischen kohärenten
Zustände, die im vorigen Kapitel studiert wurden – mit einigen kleinen, aber entscheidenden Unterschieden.
Beispielsweise ist der Überlapp
!
X
ξ¯α ξα′
< ξ | ξ ′ > = exp
(2.145)
NA
und der Einheits-Operator im fermionischen Fock-Raum wird durch
!
!
Z Y
X
¯
¯
ξα ξα | ξ >< ξ |
dξα dξα exp −
1̂ =
(2.146)
α
UP
α
DR
.R
dargestellt. Wie im bosonischen Fall ist dann die Spur eines Operators durch
!
!
Z Y
X
X
dξ¯α dξα exp −
Sp Â =
ξ¯α ξα
< n | ξ >< ξ |Â| n >
α
α
(2.147)
n
gegeben. Da die Matrix-Elemente < n | ξ > und < ξ | m > zwischen Zuständen | n >, | m > im Fockraum
und kohärenten Zuständen jedoch Graßmann-Zahlen auch linear enthalten (siehe Gl. (2.144)), folgt aus den
Antikommutations-Regeln, dass
< n | ξ > < ξ | m > = < −ξ | m > < n | ξ >
(2.148)
ist. Damit wird Gl. (2.147)
Sp Â =
=
Z
Z
Y
dξ¯α dξα
Y
dξ¯α dξα
α
α
!
!
exp
exp
−
X
ξ¯α ξα
−
X
ξ¯α ξα
α
α
!
< −ξ |Â
!
< −ξ |Â| ξ > .
X
n
| n >< n | ξ >
(2.149)
Diese Änderung gegenüber der bosonischen Form (2.113) hat zur Folge, dass in der Pfadintegral-Darstellung
der fermionischen Zustandssumme die Randbedingung
ξ(0) = − ξ(β~)
(2.150)
93
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
lautet, d.h. dass für Fermionen nicht periodische, sondern anti-periodische Randbedingungen gelten.
Man kann jetzt für bosonische und fermionische Systeme einheitlich die Pfadintegral-Darstellung der Zustandssumme angeben:
Z(β)
=
Z
Dz̄(τ ) Dz(τ ) exp
z(β~)=ζz(0)
(
1
−
~
Z
β~
dτ
0
∂z(τ )
+ H (z̄(τ ), z(τ ))
z̄(τ )
∂τ
)
.
(2.151)
Störungstheorie und Diagramme
AK
2.6
NA
TH
)
Natürlich ist dieses Pfadintegral mit einem Hamilton-Operator, der infolge der Zweiteilchen-Wechselwirkung
(2.96) Terme bis zu z̄ z̄ z z enthält, kein gaußsches Funktional-Integral mehr und daher nicht mehr exakt
lösbar. Gl. (2.151) dient jedoch dazu, eine Störungs-Reihe in Potenzen dieser Terme einheitlich für Bosonen
und Fermionen zu entwickeln.
UP
NA
TH
JI(
DR
.R
UP
Wir wollen nun die Zustandssumme für ein bosonisches oder fermionisches System systematisch berechnen, um
aus dem mikroskopischen Hamilton-Operator die makroskopischen Eigenschaften abzuleiten bzw. vorherzusagen. Zur Vereinfachung der Schreibweise benutzen wir Einheiten, in denen ~ = 1 ist. Da wir kohärente
Zustände als Basis verwenden wollen, die keine feste Teilchenzahl aufweisen, ist das gross-kanonische Ensemble die günstigste Beschreibung. Dabei ist das System in Kontakt mit einem Teilchen- und einem WärmeBad, und die Wahrscheinlichkeit, es mit Energie E und Teilchenzahl N zu beobachten, ist proportional zu
exp [−(E − µN )/kB T ] (das chemische Potential µ kontrolliert die mittlere Teilchenzahl). Daher werden wir
die Zustandssumme
i
h
Z = Sp e−β(Ĥ−µN̂ ) =: e−βΩ
(2.152)
DR
.R
benutzen, um die makroskopischen thermodynamischen Eigenschaften des Systems zu beschreiben. Aus dem
thermodynamischen (gross-kanonischen) Potential Ω(µ, V, T ) erhält man wie bei der freien Energie durch
Diﬀerentation nach dem Volumen V bzw. der Temperatur T den Druck bzw. die Entropie und durch Differentation nach dem chemischen Potential die mittlere Teilchenzahl
h
i
1
∂Ω
=
Sp N̂ e−β(Ĥ−µN̂ ) .
(2.153)
N = −
∂µ
Z
Allgemein ist der thermodynamische Mittelwert eines Operators Ô ist durch
i
h
D E
1
Sp Ô e−β(Ĥ−µN̂ )
Ô
=
Z
β
gegeben. Dies kann durch die entsprechende n-Teilchen-greensche Funktion
(
1
(n)
(H)
(H)
=
G
α1 τ1 . . . αn τn αn+1 τn+1 . . . α2n τ2n
(τn )
(τ1 ) . . . âα
Sp T e−β(Ĥ−µN̂ ) âα
n
1
Z
)
(H) †
†
·â(H)
αn+1 (τn+1 ) . . . âα2n (τ2n )
(2.154)
(2.155)
ausgedrückt werden, wobei
(H)
âα
(τ )
= eτ (Ĥ−µN̂ ) âα e−τ (Ĥ−µN̂ )
†
â(H)
(τ )
α
= eτ (Ĥ−µN̂ ) â†α e−τ (Ĥ−µN̂ )
(2.156)
94
Kapitel 2 : Mehrteilchen-Physik
die Heisenberg-Operatoren in imaginärer Zeit sind und T in imaginärer Zeit ordnet (man beachte, dass âα
und â†α nicht mehr hermitesch adjungiert sind).
Die Pfadintegral-Darstellung der gross-kanonischen Zustandssumme ist eine einfache Verallgemeinerung von
Gl. (2.151):
D(z̄(τ ) z(τ )) exp
z(β)=ζz(0)
−
Z
β
dτ
0
weil man den Hamiltonoperator nur durch Ĥ −µ
durch
P
α
z̄(τ )
)
∂
,
− µ z(τ ) + H (z̄(τ ), z(τ ))
∂τ
(2.157)
â†α âα ersetzen muss. Genauso ist die (2n)-Punkt-Funktion
)
=
(
TH
Z
Z
AK
NA
G(n) α1 τ1 . . . αn τn αn+1 τn+1 . . . α2n τ2n
Z
1
=
D(z̄(τ ) z(τ )) zα1 (τ1 ) . . . zαn (τn ) z̄αn+1 (τn+1 ) . . . z̄α2n (τ2n )
Z
β
dτ z̄(τ )
0
)
∂
− µ z(τ ) + H (z̄(τ ), z(τ ))
∂τ
(2.158)
.R
−
Z
DR
· exp
(
UP
z(β)=ζz(0)
DR
.R
UP
NA
TH
JI(
gegeben.
Da wir die Pfadintegrale nicht exakt ausführen können, werden wir den Einteilchen-Anteil von H(z̄, z)
zusammen mit den anderen quadratischen Termen zusammenfassen und den Vielteilchen-Anteil des HamiltonOperators in eine Taylor-Reihe entwickeln. Dies wird zu Funktional-Integralen über gaußsche Funktionen mal
Polynomen führen, die man direkt auswerten kann. Diese Störungsreihe werden wir für endliche Temperaturen betrachten, da dies etwas einfacher zu handhaben ist als die direkte Behandlung des Systems bei
Temperatur Null.
Als Auftakt berechnen wir Zustandssumme und einteilchen-greensche Funktion für ein System von nichtwechselwirkenden Teilchen, das durch einen Einteilchen-Hamiltonoperator
X
Ĥ0 =
ǫα â†α âα
(2.159)
α
beschrieben wird. In Gl. (2.159) haben wir eine Basis gewählt, in der Ĥ0 diagonal ist. Man beachte, dass der
Fall eines äusseren Potentials ebenso erfasst wird wie der eines mittleren Potentials zwischen den Teilchen. Die
“freie” Zustandssumme ist
( Z
)
Z
β
X
∂
z̄α (τ )
D(z̄(τ ) z(τ )) exp −
dτ
− µ zα (τ ) + ǫα z̄α (τ )zα (τ )
Z0 =
∂τ
0
α
z(β)=ζz(0)
=
const.
Y
α
Det−ζ
∂
− µ + ǫα
∂τ
.
(2.160)
Wir berechnen die Determinante wie üblich als Produkt der Eigenwerte des entsprechenden Operators mit
den vorgegebenen Randbedingungen. Auf diese Weise erhält man für die Eigenwerte ǫα − µ + iωn , wobei
n = 0, ±1, ±2 . . . und
(
2nπ
: Bosonen (ζ = 1)
β
(2.161)
ωn =
(2n+1)π
: Fermionen (ζ = −1)
β
95
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
die Matsubara-Frequenzen sind. Wie beim harmonischen Oszillator im Kapitel 1.2 verwenden wir die Euler
Q∞ Formel n=1 1 + x2 /(n2 π 2 ) = sinh x/x , um damit den bekannten Ausdruck
Z0 =
Yh
α
zu erhalten. Aus Gl. (2.153) erhält man dann N =
nα =
1 − ζe−β(ǫα −µ)
Q
α
i−ζ
(2.162)
nα , wobei wobei
1
exp [ β(ǫα − µ ] − ζ
(2.163)
J =J=0
DR
.R
UP
AK
NA
TH
)
die Besetzungs-Wahrscheinlichkeit des Zustandes α ist.
Obwohl sich die Ausdrücke für Bosonen und Fermionen “nur” um einige Vorzeichen unterscheiden, hat dies
weitreichende physikalische Konsequenzen: beispielsweise kann für Bosonen der Ausdruck in eckigen Klammern
in Gl. (2.162) für µ ≤ 0 verschwinden, aber nicht für Fermionen. Dies ist das Phänomen der Bose-EinsteinKondensation, das sich bereits bei nicht-wechselwirkenden Teilchen zeigt 53 .
Die einteilchen-greensche Funktion berechnen wir ähnlich:
Z
2
′ ′
δ
¯ z) + (z̄, J) ,
(2.164)
ln
D(z̄ z) exp −S0 [z̄, z] + (J,
G0 ατ α τ =
¯
δJα (τ ) δ J¯α′ (τ ′ )
TH
JI(
wobei wir wieder eine kompakte Schreibweise wie in Kapitel 1.7 verwenden. Beispielsweise ist die “freie”
Wirkung
Z β
X
∂
∂
+ ǫγ − µ zγ (t) ≡ z̄,
+ ǫ − µ,z .
(2.165)
dt
S0 [z̄, z] =
z̄γ (t)
∂t
∂t
0
γ
NA
Quadratische Ergänzung im erzeugenden Funktional ergibt
δ2
1
¯
,
J
ln
exp
J,
∂/∂t + ǫ − µ
δJα (τ ) δ J¯α′ (τ ′ )
1
τ ,
= δαα′ τ ′ ∂/∂t + ǫα − µ DR
.R
UP
=
G0 ατ α′ τ ′
(2.166)
da der zu invertierende Operator diagonal in der gewählten Basis ist. Oﬀensichtlich erfüllt die “freie” einteilchen-greensche Funktion die Gleichung
∂
(2.167)
+ ǫα − µ G0 ατ α′ τ ′ = δαα′ δ(τ − τ ′ )
∂τ
und die Randbedingung
G0 αβ α′ τ ′ = ζ G0 α0 α′ τ ′ .
(2.168)
Die Berechnung in der diskretisierten Formulierung ist umständlicher, hat aber den Vorteil, dass sie ein eindeutiges Resultat für gleiche Zeiten τ = τ ′ liefert, während dies in der kontinuierlichen (und mehr symbolischen)
Schreibweise nicht der Fall ist. Das explizite Endergebnis ist
i
h
′
(2.169)
G0 ατ α′ τ ′ = δαα′ e−(ǫα −µ)(τ −τ ) Θ(τ − τ ′ − 0) (1 + ζ nα ) + ζΘ(τ ′ − τ + 0) nα .
Aus der einteilchen-greenschen Funktion kann der thermische Erwartungswert jedes Einteilchen-Operators
X D E †
Â =
α′ Â α âα′ âα
(2.170)
α,α′
53 Siehe,
z. B., {Fetter-Walecka}, p. 39 - 44 .
96
Kapitel 2 : Mehrteilchen-Physik
berechnet werden. Und zwar ﬁndet man leicht aus Gl. (2.154)
D E
X D E
Â
= ζ lim
α′ Â α G ατ α′ τ ′ ,
τ ′ →τ +
β
(2.171)
α,α′
weil die inﬁnitesimal grössere Zeit τ ′ in der greenschen Funktion genau die richtige Reihenfolge der Erzeugungsund Vernichtung-Operatoren ergibt, die in Gl. (2.170) verlangt wird.
Beispiel : Mittlere Teilchenzahl und Energie eines freien Fermigases
√
Die Basis besteht aus ebenen Wellen exp(ik · x)/ V , die auf Eins im Volumen V normiert sind. Aus Gl.
(2.169) ﬁnden wir für ζ = −1, limτ ′ →τ + G0 = −nk und damit
k
=
exp [β
)
1
(k 2 /(2m)
2
− µ)] + 1
TH
X
2
X k
1
,
2
2m exp [β (k /(2m) − µ)] + 1
2
k
(2.172)
AK
hEiβ
=
NA
hN iβ
.R
UP
P
wobei der Faktor 2 von der Summation über die Spins herrührt. Im kontinuierlichen Grenzfall geht k wieder
R 3
in V d k/(2π)3 über. Die Integrale sind besonders einfach für T = 0, weil die Besetzungs-Wahrscheinlichkeit
eine Stufenfunktion bis zum Fermi-Impuls kF wird ( µ = EF = kF2 /(2m) ). Wir erhalten dann
Ē
≡
2V 4π 3
k
(2π)3 3 F
2V 4π 3 kF2
3
< E >β=∞ =
= N EF .
(2π)3 3 5 2m
5
DR
≡
< N >β=∞ =
TH
JI(
N
(2.173)
(2.174)
UP
NA
Gl. (2.173) gibt den Zusammenhang zwischen Dichte N/V und Fermi-Impuls, Gl. (2.174) denjenigen zwischen
mittlerer Teilchen-Energie und Fermi-Energie an.
DR
.R
Wir kehren nun zurück zu der Frage, wie wir die Zustandssumme für ein System berechnen, dessen HamiltonOperator Mehrteilchen-Wechselwirkungen enthält:
Ĥ = Ĥ0 + V â†α , â†β . . . ; âγ , âδ . . . .
(2.175)
Oﬀensichtlich kann man
Z
=
=
Z0
Z0
*
exp
∞
X
(
−
n
(−)
n!
n=0
Z
β
dτ V (z̄ . . . ; z . . .)
0
Z
0
)+
0,β
β
dτ1 . . . dτn h V (z̄(τ1 ) . . .) . . . V (z̄(τn ) . . .) i0,β
(2.176)
in eine Reihe nach Potenzen des Stör-Potentials entwickeln. Dabei ist der Erwartungswert bezüglich der “freien”
Wirkung S0 bei der Temperatur β zu nehmen. Wir nehmen an, dass das Stör-Potential ein Polynom in
den Erzeugungs- und Vernichtungs-Operatoren ist (z.B. ein Zweiteilchen-Potential). Dann muss man in Gl.
(2.176) Funktional-Integrale über Polynome mal gaußschen Funktionen berechnen. Dies geschieht mit Hilfe des
Wick’schen Theorems, das auf der folgenden Identität beruht
R
i
h P
D(z̄z) zi1 . . . zin z̄j1 . . . z̄jn exp − i,j z̄i Mij zj
i
h P
=
R
D(z̄z) exp − i,j z̄i Mij zj
X
Permutationen
ζ P Mi−1
. . . Mi−1
.
P n ,jP n
P 1 ,jP 1
(2.177)
97
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
i steht hier für den Zeit- und den Zustands-Index und ζ ist die Parität der Permutation, d.h. ±1 für eine
gerade/ungerade Anzahl von Vertauschungen.
Vertiefung 19: Beweis Wicksches Theorem
Den Beweis führt man durch Differentation des entsprechenden erzeugenden Funktionals
¯ J)
W (J,
h P
i
P
D(z̄z) exp − i,j z̄i Mij zj + i J¯i zi + z̄i Ji
h
i
R
P
D(z̄z) exp − i,j z̄i Mij zj


X
−1
exp 
J¯i Mij
Jj 
R
=
=
(2.178a)
i,j
nach den äusseren Quellen durch:
= ζ
J=J=0
n
i
h P
D(z̄z) zi1 . . . zin z̄j1 . . . z̄jn exp − i,j z̄i Mij zj
i
h P
.
R
D(z̄z) exp − i,j z̄i Mij zj
)
R
TH
¯
(2.178b)
NA
δ J¯i1
δ 2n W
¯
. . . δ Jin δ J¯jn . . . δ J¯j1
AK
Wenn man die Differentationen in Gl. (2.178a) sorgfältig unter Beachtung der Reihenfolge (und Vorzeichen) durchführt, erhält man
tatsächlich das Wick’sche Theorem (2.177).
(2.179)
DR
.R
UP
Die übliche Formulierung bekommen wir, wenn wir eine Kontraktion deﬁnieren
E
D
(H) †
(H) †
(H)
(H)
âα
(τ ) âα′ (τ ′ ) := T âα
(τ ) âα′ (τ ′ )
= G0 (ατ α′ τ ′ ) ≡ δαα′ gα (τ − τ ′ ) .
0β
|
{z
}
NA
TH
JI(
Kontraktionen von ââ und â† â† werden als Null deﬁniert. Dann ist die Identität (2.177) für die gaußschen
Integrale äquivalent zu
E
D
X
(H)
(H)
(τ
)
(τ
)
.
.
.
b̂
T b̂α
=
( alle vollständigen Kontraktionen) .
(2.180)
n
1
α
n
1
b̂ = â, â†
UP
0β
.R
Für eine Zweiteilchen-Wechselwirkung
1 X
hαβ |V | γδi z̄α (τ )z̄β (τ ) zδ (τ )zγ (τ )
2
DR
V (z̄(τ ), z(τ )) =
(2.181)
αβγδ
lautet der n-te Term in der Störungs-Entwicklung (2.176)
Z
Z0
(n)
=
X
(−)n X
hα1 β1 |V | γ1 δ1 i . . . hαn βn |V | γn δn i
.
.
.
n! 2n α β
αn β n
1 1
γ1 δ1
·
Z
0
γn δn
β
dτ1 . . . dτn
D
z̄α1 (τ1 )z̄β1 (τ1 ) zδ1 (τ1 )zγ1 (τ1 ) . . .
. . . z̄αn (τn )z̄βn (τn ) zδn (τn )zγn (τn )
E
0β
,
(2.182)
und auf den Erwartungswert muss das Wick’sche Theorem (2.180) angewendet werden. Für die “Buchhaltung”
ist es vorteilhaft, den einzelnen Termen eine graphische Representation zu geben:
Ein Vertex repräsentiert
Vertex =
ˆ hαi βi |V | γi δi i ,
(2.183)
98
Kapitel 2 : Mehrteilchen-Physik
αi
βi
γi
δi
αj
τj
τi
αi
Propagator
Vertex
NA
TH
)
Abb. 13 : Graphische Darstellung eines Vertex für eine Zweiteilchen-Wechselwirkung und eines
Propagators in “gekennzeichneten” Feynman-Diagrammen.
AK
und ein Propagator stellt
UP
δαi αj gαi (τj − τi )
Propagator =
ˆ
i
h
δαi αj e−(ǫαi −µ)(τj −τi ) (1 + ζnαi ) Θ(τj − τi ) + ζnαi Θ(τi − τj )
(2.184)
.R
=
DR
dar. Die Regeln für diese “gekennzeichneten” (“labelled”) Feynman-Diagramme lauten dann in n-ter Ordnung
NA
TH
JI(
1. : Zeichne alle verschiedenen “gekennzeichneten” Diagramme mit n Vertizes (Diagramme sind verschieden,
wenn sie nicht so deformiert werden können, dass sie übereinstimmen – einschliesslich aller Zeit-Bezeichnungen, Links-Rechts-Kennzeichnung und der Richtung der Pfeile).
UP
2. : Gib jeder gerichteten Linie eine Einteilchen-Bezeichnung und den Faktor (2.184).
DR
.R
3. : Gib jedem Vertex den Faktor (2.183).
4. : Summiere über alle Einteilchen-Indizes und integriere über alle Zeiten im Intervall [0, β] .
5. : Multipliziere das Resultat mit (−)n ζ nL /(n! 2n ) , wobei nL die Anzahl der geschlossenenen Schleifen der
Einteilchen-Propagatoren im Diagramm ist.
Beispiel : Störungsrechnung 1. Ordnung
Für n = 1 gibt es zwei Diagramme (siehe Abb. 14):
Diagramm (a) ist gegeben durch
(a) =
=
1
−
2
Z
β
1
2
Z
β
−
dτ
0
0
dτ
z }| {
z̄α (τ ) z̄β (τ )zδ (τ ) zγ (τ ) hγδ|V |γδi
|
{z
}
αβγδ
X
X
γδ
gγ (0)gδ (0) hγδ|V |γδi .
(2.185)
99
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
δ
τ
τ
γ
γ
δ
(b)
NA
TH
)
(a)
UP
AK
Abb. 14 : Diagramme für die Zustandssumme in 1. Ordnung Störungstheorie bei endlicher Temperatur.
Z
β
dτ
0
X
γδ
TH
JI(
1
(b) = − ζ
2
DR
.R
Diagramm (b) entsteht aus den Kontraktionen von z̄α (τ ) mit zδ (τ ) und z̄β (τ ) mit zγ (τ ). Es hat den Wert
gγ (0)gδ (0) hδγ|V |γδi .
(2.186)
Unter Verwendung des expliziten Ausdrucks (2.184) erhalten wir daher
NA
h
i
βX
Z
= 1−
nγ nδ hγδ|V |γδi + ζ hδγ|V |γδi + O(V 2 )
Z0
2
(2.187)
UP
γδ
.R
und damit für das thermodynamische Potential
DR
Z
= e−β(Ω−Ω0 ) = 1 − β(Ω1 − Ω0 ) + . . .
Z0
h
i
1X
Ω1 = Ω0 +
nγ nδ hγδ|V |γδi + ζ hδγ|V |γδi .
2
(2.188)
(2.189)
γδ
Für Fermionen ( ζ = −1) bekommen wir im Limes T → 0, d.h. β → ∞ die Grundzustands-Energie
E1 = E0 +
i
1 X h
hγδ|V |γδi − hδγ|V |γδi .
2
(2.190)
γδ<F
Dabei ist die Summation über die Einteilchen-Zustände bis zur Fermi-Energie durchzuführen, weil die Besetzung
bei Temperatur Null eine Stufenfunktion wird. Der erste Term ist der direkte oder “Hartree”- Term, der zweite
der Austausch- oder “Fock”-Term für die Energie 54 .
Die Anzahl der “gekennzeichneten” Feynman-Diagramme wächst dramatisch mit der Ordnung an. Da viele
denselben numerischen Wert haben, ist es nützlich “nicht gekennzeichnete” (“unlabelled”) Diagramme einzuführen, die einen Symmetriefaktor als Gewicht tragen. Die modiﬁzierten Feynman-Regeln für diese Art von
54 Diese
Bezeichnung ist i.a. nicht ganz zutreffend, weil die Basis hier beliebig und nicht optimal (selbstkonsistent) ist, siehe das
nächste Kapitel. Für homogene Systeme sind die ebenen Wellen jedoch auch die selbstkonsistenten Zustände.
100
Kapitel 2 : Mehrteilchen-Physik
Diagrammen sind in dem Buch von Negele & Orland angegeben und werden hier nicht weiter verfolgt. Ebenso
ist oﬀensichtlich, dass man in homogenen Systemen weitere Vereinfachungen der Regeln durch Übergang
zur Energie- und/oder Impuls-Darstellung erzielen kann.
2.7
Hilfsfelder und Hartree-Näherung
NA
TH
)
Bei starker Kopplung versagt natürlich die Störungstheorie und es stellt sich die berühmte Frage: “Was
Tun?”{Lenin}. Abgesehen von einer numerischen Auswertung des (euklidischen) Pfadintegrals gibt es auch
analytische Methoden, die in diesem Fall hilfreich sind. Diese beruhen auf der Einführung eines mittleren
Feldes, das die Teilchen selber erzeugen und in dem sie sich in niedrigster Näherung unahhängig voneinander
bewegen. Diese Näherung ist physikalisch plausibel und die Grundlage für die erfolgreiche Beschreibung von
Atomen und Kernen durch Schalenmodelle.
=
Z
Φ∗ (tf )=Φ∗
f
∗
DΦ (x, t)DΦ(x, t) exp
Φ(ti )=Φi
.R
DR
U
Φ∗f tf ; Φi ti
UP
AK
Man leitet sie im Pfadintegral-Formalismus am besten durch eine Umformung von Gl. (2.126) für den
Zeitentwicklungs-Operator in der kohärenten Basis ab. Für eine lokale (spinlose) Zweiteilchen-Wechselwirkung
V (x − x′ ) schreibt sich diese Formel in der Ortsdarstellung als
∗
S[Φ , Φ] =
Z
tf
dt
ti
d x
Z
UP
−
Φ∗f (x)Φf (x)
i
+ S[Φ∗ , Φ]
~
(2.191)
"
∂
~2 ∆
d x Φ∗ (x, t) i~
Φ(x, t)
+
∂t
2m
3
NA
Z
3
TH
JI(
mit der Wirkung (siehe Gl. (2.102))
Z
#
d3 x′ Φ∗ (x, t)Φ∗ (x′ , t) V (x − x′ ) Φ(x′ , t)Φ(x, t) .
(2.192)
DR
.R
Bekanntlich verhindert der letzte (quadri-lineare) Term, dass wir das Pfadintegral analytisch ausführen können.
Man kann diesen Wechselwirkungs-Term jedoch formal durch einen Term ausdrücken, der quadratisch in den
Feldern ist. Dies beruht auf der folgenden Identität für das (eindimensionale) gaußsche Integral, die wir bereits
in Gl. (1.166) verwendet haben (ersetze dort a → −V /2, x → ix)
Z ∞
1
i
i 2
2
√
=
y − iy x .
(2.193)
exp − V x
dy exp
2
2V
2πiV −∞
Man nennt dies auch “Aufheben des Quadrates” (“undoing the square”), weil auf der rechten Seite die
Variable x jetzt nur noch linear auftritt. Wie immer kann man solche gaußsche Integrale auch mehrdimensional,
ja unendlich-dimensional berechnen: die entsprechende verallgemeinerte Identität wird dann in der VielteilchenPhysik Hubbard-Stratonovich-Transformation genannt. Wenn wir die Dichte
ρ(x, t) := Φ∗ (x, t) Φ(x, t)
(2.194)
einführen, können wir sowohl für Bosonen als auch für Fermionen (zweimaliges Antikommutieren) den Wechselwirkungs-Term in der Form
Z
Z
1
1
3
3 ′ ∗
∗ ′
′
′
d x d x Φ (x, t)Φ (x , t) V (x − x ) Φ(x , t)Φ(x, t) =
d3 x d3 x′ ρ(x, t) V (x − x′ ) ρ(x′ , t)
(2.195)
2
2
schreiben. Die funktionale Verallgemeinerung von Gl. (2.193) lautet dann (wir setzen jetzt ~ = 1)
101
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
Z
Z
Z
i
3
3 ′
′
′
−1/2
exp −
dt d x d x ρ(x, t) V (x − x )ρ(x , t) = const. Det
(V )
Dσ(x, t)
2
Z
Z
Z
1
′
′
3
3
3 ′
−1
(x, x ) σ(x , t) − d x ρ(x, t) σ(x, t)
.
d xd x σ(x, t) V
· exp i dt
2
(2.196)
Damit bekommt das Matrixelement (2.191) des Zeitentwicklungs-Operators folgende Gestalt
= exp
Z
3
d
x Φ∗f (x)Φf (x)
Z
Dσ(x, t) W [σ]
Z
Φ∗ (tf )=Φ∗
f
Φ(ti )=Φi
DΦ∗ (x, t)DΦ(x, t)
Z
Z
∂Φ(x, t)
− Hσ (Φ∗ , Φ)
,
· exp i dt d3 x iΦ∗ (x, t)
∂t
∗
NA
∆
Hσ (Φ , Φ) = Φ (x, t) −
2m
∗
Φ(x, t) + σ(x, t) Φ∗ (x, t)Φ(x, t)
(2.198)
AK
wobei
(2.197)
TH
)
U
Φ∗f tf ; Φi ti
DR
.R
UP
die Hamilton-Dichte von Teilchen ist, die sich unabhängig in dem Hilfsfeld σ(x, t) bewegen, also einem Einteilchen-Operator entspricht (siehe z. B. Gl. (2.95)). Über diese Hilfsfeld muss dann aber funktional mit dem
Gewicht
Z
Z
i
′
′
3
3 ′
−1
(x, x ) σ(x , t)
(2.199)
dt d x d x σ(x, t) V
W [σ] = const. exp
2
TH
JI(
integriert werden, das die Information über die tatsächliche Zweiteilchen-Wechselwirkung V (x − x′ ) enthält.
Man beachte, dass dieses Gewicht keinen kinetischen Term für das Hilfsfeld σ(x, t) enthält, so dass die σKonﬁgurationen wesentlich “rauher”, d.h. unstetig sind, ähnlich wie im Phasenraum-Pfadintegral.
DR
.R
UP
NA
Die Hubbard-Stratonovich-Transformation ergibt den exakten Ausdruck (2.197), bei dem wir zwar das
Einteilchen-Problem im Hilfsfeld berechnen können, aber nicht mehr das anschliessende Funktional-Integral
über σ(x, t) – das illustriert den bekannten Satz von der Erhaltung der Schwierigkeiten ... Wenn wir jedoch
die Näherung der stationären Phase auf das σ-Funktional-Integral anwenden, erhalten wir eine sinnvolle
Näherung, die wir auch systematisch verbessern können. Das Hilfsfeld, das die Wirkung in Gl. (2.197) stationär
macht, erhält man durch Variation der σ-abhängigen Exponenten nach σ(x, t):
Z
!
d3 x V −1 (x, x′ ) σ(x′ , t) − ρ(x, t) = 0
(2.200)
d.h. das stationäre Hilfsfeld ist die Mittelung der Zweiteilchen-Wechselwirkung über die Dichte der Teilchen:
σ0 (x, t) =
Z
d3 x′ V (x − x′ ) ρ(x, t) ,
(2.201)
also das gesuchte mittlere Feld. Wenn wir ein fermionisches System mit N Teilchen betrachten, können wir nach
Eigenfunktionen des Einteilchen-Zeitentwicklungsoperators entwickeln, die wir mit ϕk (x, t) bezeichnen. Der
Grundzustand im (festen) Hilfsfeld σ0 (x, t) ist eine Slater-Determinante über dieses vollständige, orthonormale
Einteilchen-System und die Dichte ist durch eine Summe über alle besetzten Einteilchen-Zustände gegeben
ρ(x, t) =
N
X
k=1
2
|ϕk (x, t)| .
(2.202)
Auf Grund der Hubbard-Stratonovich-Transformation ist das verbleibende Funktional-Integral über ϕ∗ , ϕ ein
gaußsches Integral, auf das wir die Methode der stationären Phase ebenfalls anwenden können, die in diesem
102
Kapitel 2 : Mehrteilchen-Physik
Fall exakt ist. Durch Variation nach ϕ∗k (x, t) erhalten wir dann die Schrödingergleichung
i
∂ϕk (x, t)
∆
= −
ϕk (x, t) + σ0 (x, t) ϕ(x, t)
∂t
2m
(2.203)
für die Bewegung im mittleren Feld σ0 (x, t). Die Gleichungen (2.201-2.203) sind gekoppelt und deﬁnieren die
bekannte Hartree-Näherung.
Wenn wir ein zeitunabhängiges mittleres Feld σ(x) annehmen, kann man die Zeitabhängigkeit der Einteilchen-Wellenfunktion abspalten, d.h. ϕ(x, t) = ϕ(x) exp(−iǫk t) setzen und hat dann die nichtlineare Schrödinger-Gleichung
"
#
N Z
X
∆
3 ′
′
′ 2
+
−
ϕk (x) = ǫk ϕk (x)
(2.204)
d x V (x − x ) |ϕl (x )|
2m
)
l=1
k,l
k=1
NA
k=1
XD
N E
X
∆
ϕk +
,
ϕ
ϕ
|
V̂
|
ϕ
ϕ
ǫk =
ϕk −
k
l
k
l
2m AK
N
X
TH
zu lösen. Wäre dies eine normale Schrödinger-Gleichung, dann wäre die Gesamtenergie
TH
JI(
DR
.R
UP
wobei die letzte Beziehung aus Gl. (2.204) folgt, wenn man mit ϕ∗k (x) multipliziert, über x integriert und die
Orthonormalität der Eigenfunktionen benutzt. Oﬀensichtlich ist dabei die potentielle Energie doppelt gezählt
worden. Die richtige Beziehung erhält man aus der Resolventen
Z ∞
1
G(E) = Sp
dT eiET Sp Û (T, 0) ,
(2.205)
= −i
E − Ĥ + iη
0
NA
die im N -Teilchen-Sektor und in Hartree-Näherung die Form
#
"
Z
N
X
X Z ∞
iT
3
3 ′
−1
′
′
iET
ǫki
d x d x σ0 (x)V (x, x )σ0 (x ) − iT
GN (E) ≃ −i
dT e
exp
2
0
i=1
(2.206)
UP
k1 ...kN
N
X
k=1
ǫk −
1
2
Z
DR
EH =
.R
besitzt. Ihr Pol gibt uns die Gesamtenergie
d3 x d3 x′ σ0 (x)V −1 (x, x′ )σ0 (x′ ) =
N E
X
1 XD
∆
| ϕk +
ϕk | −
ϕk ϕl |V̂ | ϕk ϕl ,
2m
2
k=1
k,l
(2.207)
bei der die potentielle Energie zwischen den Teilchen korrekt gezählt wird. Im Gegensatz zu der Störungstheorie
im letzten Kapitel sind jetzt die Einteilchen-Wellenfunktionen nicht vorgegeben, sondern müssen selbstkonsistent aus der Gl. (2.204) bestimmt werden, die das Wechselwirkungs-Potential ebenfalls enthält. Das ist
bei endlichen Systemen (Elektronen im Atom, Nukleonen im Kern) von entscheidender Bedeutung. Ein oﬀensichtlicher Nachteil dieser Näherung ist die Verletzung der Translations-Invarianz: während das ZweiteilchenPotential V (x − x′ ) von einer Verschiebung der Koordinaten unberührt bleibt, ist das mittlere Feld σ0 (x) an
einem willkürlichen Nullpunkt (für den man meist den Schwerpunkt des Systems nimmt) ﬁxiert.
Man kann natürlich systematische Korrekturen zu der niedrigsten Ordnung der Näherung der stationären
Phase ausrechnen. Die quadratischen Fluktuationen ergeben die sog. RPA-Korrekturen (“random phase
approximation”) zu der Hartree-Näherung. In diesen Korrekturen ist auch der Austausch-(“Fock”) Term
(2.190) für die Energie enthalten. Man mag sich fragen, warum er nicht bereits in der niedrigsten Ordnung
auftaucht; bei den Kernkräften, beispielsweise, ist er wesentlich attraktiver als der direkte (“Hartree”)-Term, der
mit realistischen Potentialen nicht einmal die Nukleonen bindet. Tatsächlich hat man beträchtliche Freiheit, die
niedrigste Ordnung durch andere Gruppierungen der Felder als in Gl. (2.195) zu verändern und es ist möglich,
103
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
die Hartree-Fock-Näherung oder weitergehende Näherungen der Mehrteilchen-Physik als niedrigstes Ergebnis
der Methode der stationären Phase zu erhalten 55 . Das liegt an dem Fehlen eines systematischen EntwicklungsParameters: da das plancksche Wirkungsquantum ~ auch in der Wirkung (2.192) auftaucht, ist die Methode
der stationären Phase hier keine halbklassische Näherung. Die unterschiedliche Wahl der nullten Näherung, zu
der man dann Korrekturen berechnet, entspricht also einer willkürlichen Aufteilung des Hamilton-Operators
Ĥ = Ĥ0 + Ĥ1 und muss für das jeweilige Problem physikalisch begründet werden.
2.8
Asymptotische Entwicklung einer Klasse von Pfadintegralen
UP
AK
NA
TH
)
Im Gegensatz zur Störungsentwicklung ist eine Entwicklung für starke Kopplung nicht allgemein verfügbar.
Das liegt an der (vielbeklagten) Unmöglichkeit, nichtgaußsche Funktionalintegrale analytisch berechnen zu
können. Es ist jedoch möglich, eine bestimmte Klasse von Pfadintegralen asymptotisch auszuwerten, was hier
einer Arbeit von Luttinger [32] folgend, dargestellt werden und Anwendung auf das Polaron-Problem ﬁnden
soll. Obwohl hier nur das Einteilchen-Problem behandelt wird, werden doch Methoden der Vielteilchen-Physik
verwendet und das Polaron-Problem (ein Einteilchen-Problem, nachdem die Phononen ausintegriert worden
sind) gehört eigentlich ja zur (Unendlich)-Teilchen-Physik, d.h. zur Feldtheorie.
TH
JI(
DR
.R
Wir starten mit dem Ausdruck (2.4) für die Zustandssumme eines Teilchens, das sich in im dreidimensionalen
Raum in einem äusseren Potential bewegt (im Folgenden setzen wir ~ = 1)
#
" Z
I
β
m
2
3
−β Ĥ
ẋ + V (x)
,
(2.208)
=
D x exp −
dτ
Z(β) = Sp e
2
x(0)=x(β)
0
NA
aus dem wir die Grundzustands-Energie für β → ∞ bestimmen können:
1
E0 = lim
− ln Z(β) .
β→∞
β
UP
(2.209)
DR
.R
Man kann nun zeigen, dass sich die Zustandssumme (2.208) auch durch folgendes Pfadintegral über bosonische
Felder Φ(x), Φ⋆ (x) und fermionische (graßmann-wertige) Felder η(x), η̄(x) darstellen lässt:
Z(β) =
Z
DΦ⋆ DΦ Dη̄ Dη
Z
d3 x η̄(x) η(x) δ (Φ⋆ , Φ) + (η̄, η) − 1
n
o
.
· exp −β (Φ⋆ , HΦ) + (η̄, Hη)
Hierbei sind die Abkürzungen
Z
D E
⋆
(Φ , O Φ) :=
d3 x d3 y Φ⋆ (x) x Ô y Φ(y) ,
(η̄, η) :=
Z
d3 x d3 y η̄(x)
D E
x Ô y η(y)
für die Operatoren Ô = 1̂, Ĥ verwendet worden und das bosonische Pfadintegral ist auf
Z
DΦ⋆ DΦ exp [ − ( Φ⋆ , Φ ) ] = 1
normiert.
55 Siehe
Negele & Orland, chapter 7.
(2.210)
(2.211)
(2.212)
104
Kapitel 2 : Mehrteilchen-Physik
Vertiefung 20: Luttingers Pfadintegral-Beziehung
Wegen der Einschränkung durch die δ-Funktion können wir Gl. (2.210) auch als
Z(β) = e−βE0
Z
DΦ⋆ DΦ D η̄ Dη
Z
n
o
d3 x η̄(x) η(x) δ Φ⋆ , Φ) + (η̄, η) − 1 · exp −β (Φ⋆ , hΦ) + (η̄, hη)
(2.213a)
schreiben, wobei h := = H − E0 nur positive Eigenwerte besitzt. Wir verwenden nun die Fourier-Darstellung der δ-Funktion
δ Φ⋆ , Φ) + (η̄, η) − 1 =
1
2π
Z
+∞
−∞
o
n
dω exp − iω (Φ⋆ , Φ) + (η̄, η) + iω
(2.213b)
und können dann mit Hilfe von Gl. (2.142) die Integrationen über bosonische und fermionische Hilfsfelder ausführen:
D η̄ Dη
Z
=
Det
3
d x η̄(x) η(x) exp [ − ( η̄, (iω + βh)η ) ]
|
{z
}
=
i
=
i
∂
∂ω
1
iω + β ĥ
Z
D η̄ Dη exp [ − ( η̄, (iω + βh)η ) ]
≡(η̄,η)
NA
∂
Det iω + β ĥ
∂ω
−Sp ( iω + tĥ )−1 Det( iω + β ĥ ) .
(2.213d)
AK
=
(2.213c)
)
Z
⋆
⋆
DΦ DΦ exp − Φ , (iω + βh)Φ
TH
Z
DR
.R
UP
In der letzten Zeile ist dabei das Ergebnis von Übungsaufgabe 13 b) für die Differentation einer Determinante nach einem Parameter
verwendet worden. Wir sehen, dass die inverse Determinante von der bosonischen und die Determinante von der fermionischen Integration
sich aufheben! Mit dem Residuensatz erhalten wir dann tatsächlich
!
Z +∞
Z +∞
1
1
i
1
dω eiω Sp
dω eiω Sp
= Sp e−β Ĥ ,
(2.213e)
= e−βE0
Z(β) = −e−βE0
2π −∞
2π −∞
ω − iβ(Ĥ − E0 )
iω + β ĥ
TH
JI(
weil wir den Integrationsweg in der oberen Halbebene schliessen müssen, wo alle Pole liegen.
UP
NA
Die Darstellung (2.210) sieht auf den ersten Blick aus wie eine unnötige Komplizierung des “einfachen” Pfadintegrals über Trajektorien: man integriert jetzt über bosonische und fermionische Felder! Allerdings hat
diese Darstellung – wie wir sehen werden – einige Vorteile. Wenn wir auf der linken Gleichungsseite den Term
Z β
Z
dτ V (x(τ )) = β
d3 x Lβ (x) V (x)
(2.214)
DR
durch die “lokale Zeit”
.R
0
1
Lβ (x) :=
β
Z
β
0
dτ δ ( x − x(τ ) )
ausdrücken, dann hat der Wechselwirkungsterm dieselbe Gestalt wie auf der rechten Seite, wo
Z
Z
∆
3
⋆
⋆
Φ(x) + d3 x Φ⋆ (x) V (x) Φ(x)
d x Φ (x) −
( Φ , HΦ ) + ( η̄, Hη ) =
2m
|
{z
}
(2.215)
=(Φ⋆ ,H0 Φ)
+ ( η̄, H0 η ) +
Z
d3 x η̄(x) V (x) η(x)
(2.216)
erscheinen. Wir sehen also, dass im Übergang von einer Beschreibung durch Pfade zu einer Beschreibung durch
Felder die Ersetzung
Lβ (x) −→ Φ⋆ (x) Φ(x) + η̄(x) η(x)
(2.217)
vorgenommen werden muss. Jetzt kann man beide Seiten mit einem willkürlichen Funktional von V (nennen
wir es Γ[V ]) multiplizieren und darüber funktional integrieren (auf diese Weise erweitern wir die Klasse der
einfachen Pfadintegrale mit einer Einzeiten-Wirkung auf allgemeinere Formen!) Sei das Funktional Fβ [Lβ ]
durch
Z
Z
exp ( −βFβ [ Lβ ] ) :=
DV Γ[V ] exp
−β
d3 x Lβ (x) V (x)
(2.218)
105
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
deﬁniert, dann haben wir also die Beziehung
I
Z
Z
D3 x exp { −S0 [x] − β Fβ [ Lβ ] } =
DΦ⋆ DΦ Dη̄ Dη
d3 x η̄(x) η(x) δ Φ⋆ , Φ) + (η̄, η) − 1
n
o
· exp −β [ ( Φ⋆ , H0 Φ ) + ( η̄, H0 η ) ] − βFβ [ Φ⋆ Φ + η̄η ] . (2.219)
NA
TH
)
Wir können also Pfadintegrale über allgemeinere Funktionale in Funktional-Integrale über Felder “übersetzen”,
allerdings die letzeren i.a. ebenfalls nicht analytisch berechnen. Im Grenzfall β → ∞ vereinfacht sich die rechte
Seite von Gl. (2.219) jedoch: wenn man η → η/β , η̄ → η̄/β skaliert, dann wissen wir, dass sich das fermionische
“Mass” mit der inversen Jacobi-Determinante transformiert, d. h. alle η̄, η-Integrale bleiben invariant. Dies
bedeutet, dass die fermionischen Anteile im Integranden unterdrückt werden und deshalb die Zustandssumme
I
Z
Z
lim
D3 x exp { −S0 [x] − β Fβ [ Lβ ] } =
DΦ⋆ DΦ
d3 x η̄(x) η(x) δ Φ⋆ , Φ) − 1
β→∞
n
o
(2.220)
· exp −β ( Φ⋆ , H0 Φ ) − βFβ→∞ [ Φ⋆ Φ ] .
DR
⋆
⋆
( Φ , H0 Φ ) + F∞ [ Φ Φ ]
)
.
(2.221)
NA
TH
JI(
E0 = min(Φ⋆ ,Φ)=1
(
.R
UP
AK
allein durch das bosonische Integral bestimmt ist. Dieses können wir mit der Laplace-Methode (siehe Gl.
(1.129c)) in führender Ordnung bestimmen: wir erinnern uns, dass für grosse Werte eines Parameters in der
Exponentialfunktion in einem Integral nur das Minimum der Funktion, bzw. hier des Funktionals beiträgt, das
er multipliziert. Daher erhalten wir aus Gl. (2.209)
Anwendungen:
DR
.R
UP
R
a) Quantenmechanik : Wenn Fβ [Lβ ] = d3 x Lβ (x) U (x), dann ist Gl. (2.221) nichts anderes als das
Rayleigh-Ritz Variationsprinzip für die Bewegung eines nichtrelativistischen Teilchens im Potential U (x).
Unbeschränkte Variation bezüglich der normierten (Wellen)-Funktion Φ⋆ (x) ergibt die übliche zeitunabhängige, lineare Schrödinger-Gleichung.
b) Polaron im Grenzfall starker Kopplung : Der Wechselwirkungs-Term in der eﬀektiven Wirkung des
Polarons (nachdem die Phononen ausintegriert worden sind) ist für beliebige Kopplungskonstanten nicht
in der Gestalt, dass er allein als Funktional der “lokalen Zeit” (2.215) ausgedrückt werden kann. Dies ist
jedoch der Fall für grosse Kopplungskonstanten, wie man durch die Skalierung [33]
√
τ̄ = λτ ,
x̄(τ̄ ) = λ x(τ )
λ>0
2
2
Z β
Z λβ
1
1
x(τ )
x̄(τ̄ )
=⇒
−→
dτ
dτ̄
2 0
dτ
2 0
dτ̄
Z λβ
Z β
′
Gβ ( (τ − τ ′ )/λ )
Gβ (τ − τ )
α
α 1
√
dτ̄ dτ̄ ′
(2.222)
dτ dτ ′
−√
−→
−
′
3/2
|x(τ ) − x(τ )|
|x̄(τ̄ ) − x̄(τ̄ ′ )|
2 0
2 λ
0
sieht. Hierbei ist (siehe Gl. (2.27k))
Gβ (t) =
cosh(β/2 − |t|)
2 sinh(β/2)
die Retardierungsfunktion im Polaron-Problem für endliches β. Wenn wir
λ = ( κ αβ )
2
(2.223)
106
Kapitel 2 : Mehrteilchen-Physik
(mit einem beliebigen numerischen Faktor κ) wählen, sehen wir, dass bei festem β die Retardierung für
α → ∞ verschwindet und dass die Polaron-Wechselwirkung in diesem Fall tatsächlich als Funktional der
lokalen Zeit geschrieben werden kann (wir ersetzen die gestrichenen Grössen wieder durch ungestrichene):
Z
Z T
α 1 Gβ (0) λβ
Gβ (0) 1
1
1
√
−√
=
−
dτ dτ ′
dτ dτ ′
′
|x(τ ) − x(τ )|
|x(τ ) − x(τ ′ )|
2 λ κα β 0
κ 2 T 0
Z
1
Gβ (0)
≡ T
d3 x d3 y LT (x) − √
LT (y) . (2.224)
κ 2 |x − y|
Anstelle der eukidischen Zeit β ist
T = λβ
(2.225)
.R
UP
AK
NA
TH
)
getreten, was im Grenzfall starker Kopplung und festem β ebenfalls asymptotisch gross wird. Damit
können wir Luttingers Verfahren anwenden und erhalten aus Gl. (2.221) und der Wahl (2.223) für die
freie Energie
2 2
1
α→∞ α β
F (β, α) −→
Gβ (0) γP = β coth(β/2) γP α2
(2.226)
β
2
mit
)
(Z
Z
⋆2
2
1
∆
3
3 Φ (x) Φ (y)
2
3
⋆
Φ(x) − √
d xd y
.
(2.227)
γP = κ min(Φ⋆ ,Φ)=1
d x Φ (x) −
2
|x − y|
κ 2
UP
NA
TH
JI(
DR
Die freie Energie sollte für kleine Temperaturen (grosse β) gegen die Grundzustands-Energie gehen.
Unglücklicherweise können wir den Grenzübergang β → ∞ in Gl. (2.226) aber nicht mehr vollziehen,
weil durch α → ∞ wichtige Anteile der Wirkung weggefallen sind – oﬀensichtlich vertauschen diese
beiden Grenzwert-Bildungen nicht. Als Rettung dient die allgemeine Tatsache, dass die freie Energie
immer kleiner als die Grundzustands-Energie ist und monoton mit β zunimmt (Übungsaufgabe 15).
Im Grenzfall β → 0 haben wir jedoch
β
1
1
β→0
coth(β/2) −→ β = 1,
2
β
(2.228)
DR
.R
so dass F (0) = γP α2 eine untere Schranke für die Grundzustands-Energie des Polarons bei starker
Kopplung darstellt. Genau dasselbe Ergebnis hatte Pekar schon früher durch einen quantenmechanischen
Ansatz für die Wellenfunktion des Elektron + Phonon-Systems im Rayleigh-Ritz-Variationsverfahren
abgeleitet [34], was bekanntlich eine obere Schranke für die wahre Grundzustands-Energie liefert. Die
Gleichheit dieser Schranken erlaubt den Schluss, dass die Grundzustands-Energie des Polarons bei starker
Kopplung tatsächlich durch
α→∞
E0 −→ γP α2 ,
gegeben ist
56
(2.229)
.
Unabhängige Variation des Funktionals (2.227) bezüglich Φ⋆ und Φ ergibt
Z
∆
− Φ(r) +
d3 y Φ2 (y) V (r, y) · Φ⋆ (r) − ǫ0 Φ(r) = 0
2
Z
∆ ⋆
d3 x Φ⋆ 2 (x) V (x, r) · Φ(r) − ǫ0 Φ⋆ (r) = 0 ,
− Φ (r) +
2
(2.230)
(2.231)
wobei die Einschränkung (Φ⋆ , Φ) = 1 durch einen Lagrange-Multiplikator ǫ0 ( (Φ⋆ , Φ) = −1 ) in das Funktional eingebaut worden ist. Wir sehen, dass Φ⋆ = Φ eine Lösung ist, weil die Wechselwirkung
√
1
2
= V (y, x)
(2.232)
V (x, y) := −
κ |x − y|
56 Streng
bewiesen von Lieb und Thomas [35].
107
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
erfüllt. Daher können wir Gl. (2.227) auch als
(Z
)
Z
1
∆
2
3
3
2
2
3
Φ(x) +
γP = κ minΦ,Φ)=1
d x d y Φ (x) V (x, y) Φ (y) ,
d x Φ(x) −
2
2
(2.233)
schreiben. Der numerische Wert von κ > 0 ist unerheblich, weil das Skalenverhalten der coulombartigen
Wechselwirkung (2.232) andere Werte ausgleicht. Üblicherweise wählt man κ = 1 [33], aber man könnte
√
auch den Wert κ = 2 verwenden, der die Wechselwirkung (2.232) vereinfacht.
NA
TH
)
Pekars Ansatz, der im Grenzfall starker Kopplung zum exakten Ergebnis führt, geht von dem intuitiven
Bild aus, dass sich das “nackte” Elektron in diesem Fall so schnell bewegt, dass die Phononen nur ein
mittleres Feld Φ2 (x) spüren 57 . Tatsächlich ist Gl. (2.233) identisch mit der Hartree-Näherung des
vorigen Kapitels und die Variationsgleichung
Z
∆
d3 x V (r, x) Φ2 (x) · Φ(r) = ǫ0 Φ(r) ,
(2.234)
− Φ(r) +
2
.R
UP
AK
eine nichtlineare Schrödinger-Gleichung, identisch mit der Hartree-Gleichung (2.204). Multiplizieren
wir Gl. (2.234) mit Φ(r) und integrieren über r, erhalten wir auf Grund der Normierung und durch
Vergleich mit Gl. (2.233)
DR
ǫ0 = ( Φ, H0 Φ ) + Φ2 , V Φ2
=
1
E0
+
κ2 α2
2
Φ2 , V Φ2
,
(2.235)
TH
JI(
in Übereinstimmung mit dem Ergebnis (2.207) der Hartree-Näherung.
(2.236)
(2.237)
.R
γP
25
= −0.0977 für Φ(x) = C e−r/a
256
2
2
1
= −0.1061 für Φ(x) = C e−r /a .
= −
3π
= −
UP
γP
NA
Mit einfachen Ansätzen für Φ(x) kann man das Minimalprinzip (2.233) auswerten und ﬁndet (Übungsaufgabe 16 a) b))
DR
Das Ergebnis (2.237) ist dasselbe, was Feynmans quadratische, retardierte Versuchswirkung bei grossen
Kopplungen ergibt (siehe Übungsaufgabe 11 b) ), was nicht verwunderlich ist, da wir gesehen haben,
dass die Retardierung in diesem Grenzfall keine Rolle spielt und wir wissen, dass quadratische (lokale)
Wirkungen oszillator-artigen Wellenfunktionen entsprechen.
Wie können wir den exakten Wert für die Pekar- Konstante γP , d.h. für die Grundzustandsenergie im
Grenzwert starker Kopplung bestimmen? Zum Einen kann man immer bessere Variations-Wellenfunktionen im Minimal-Prinzip (2.233) verwenden, zum Anderen können wir γP numerisch aus der HartreeGleichung (2.234) bestimmen. Da diese jedoch nichtlinear ist, müssen wir diese Gleichung iterativ lösen,
bis die Wellenfunktion, die auch die Wechselwirkung festlegt, selbstkonsistent bestimmt ist.
Hier wählen wir die erste Option und bestimmen den Pekar-Koeﬃzienten γP durch Variation der Koefﬁzienten in einem geeigneten Ansatz für die S-Wellenfunktion 58
Φ(r) =
y(r) 1
√ ,
r
4π
r ≡ |r|
(2.238)
57 Das “angezogene” Elektron = Polaron bewegt sich dagegen bei gleichem Impuls immer langsamer, weil seine effektive Masse
durch die mitgeschleppte Wolke von Phononen ∝ α4 anwächst.
58 Wir nehmen an, dass die Grundzustands-Wellenfunktion kugelsymmetrisch ist, was für rotationssymmetrische Probleme in der
Quantenmechanik immer der Fall ist.
108
Kapitel 2 : Mehrteilchen-Physik
Dies lässt nur den Monopol-Anteil der Coulomb-Wechselwirkung wirksam werden
Z
1
(4π)2
dΩx dΩy
=
,
|x − y|
max ( |x|, |y| )
(2.239)
so dass das Minimalfunktional (wir wählen κ = 1)
h
i
γP = min(y,y)=1 h T i + h V i
lautet, mit
Z ∞
dr y 2 (r) = 1 ,
1
2
hT i =
∞
1
hV = i− √
2
dr y ′2 (r) ,
0
Z
∞
dr y 2 (r)
0
Z
∞
ds
0
y 2 (s)
. (2.241)
max(r, s)
NA
TH
)
0
Z
(2.240)
AK
Vertiefung 21: Numerische Behandlung und FORTRAN-Programm
N
X
ci
DR
i=0
r
a
i
.R
y(r) = C r
UP
Der einfachste Ansatz, der die Versuchswellenfunktion in der Übungsaufgabe 16 b) verallgemeinert und für N → ∞ ein
vollständiges Funktionensystem darstellt, ist
e−r/a ,
c0 ≡ 1 .
(2.242a)
Z
∞
n −λt
dt t e
=
x
TH
JI(
Mit Hilfe des Integrals (durch fortgesetzte partielle Integration zu erhalten)
n
X
(λx)j
n!
−λx
,
e
λn+1
j!
j=0
speziell:
Z
∞
n −λt
dt t e
=
0
n!
λn+1
(2.242b)
NA
findet man leicht die Normierung der Versuchs-Wellenfunktion (2.242a)
UP
C −2 = a3
N
X
ci cj di+j+2 ,
mit dn :=
(2.242c)
.R
i,j=0
n!
,
2n+1
DR
den Erwartungswert der kinetischen Energie
hT i =
N
h
i
1 2 X
ci cj (i + 1)(j + 1)di+j − di+j+2 ,
C a
2
i,j=0
(2.242d)
sowie denjenigen der potentiellen (Selbst-)Energie
√
h V i = − 2 C 4 a5
N
X
i,j,k,l=0
ci cj
1
ck cl dk+l+1
2i+j+3
k+l+1
X
m=0
di+j+m+2
.
m!
(2.242e)
Auf Grund der einfachen Skalierungs-Eigenschaften (C 2 ∼ a−3 , h T i ∼ a−2 , h V i ∼ a−1 ) lässt sich die Variation über den
Skalenparameter a analytisch durchführen:
∂
∂a
1
1
h T ia=1 + h V ia=1
a2
a
= 0
=⇒ aoptimal = −2
h T i ,
h V i a=1
h
hT i + hV i
i
optimal
= −
1 h V i2 4 h T i a=1
(2.242f)
und man hat nun “nur noch” das jetzt vollkommen analytisch gegebene Energie-Funktional nach den verbleibenden Koeffizienten
c1 , c2 . . . cN zu variieren. Nichtlineare, multidimensionale Minimisierung ist allerdings ein schwieriges numerisches Problem, für das
man ein effizientes, robustes Verfahren benötigt.
Wir verwenden das AMOEBA-Programm in der (frei verfügbaren) Fortran77-Version des Buches {Num. Recipes}, um die
Minimisierung über die verbleibenden Koeffizienten c1 , c2 . . . cN numerisch durchzuführen. Dieses Verfahren ist zwar möglicherweise
langsam, weil “die Amöbe die Hügel nur hinunterkriecht”, aber auf allgemeine Funktionen anwendbar. Es beruht auf der “Abfahrts
(downhill)”- Simplex-Methode und benötigt nicht nur einen Startwert, sondern N + 1 Punkte, die einen Anfangs-Simplex definieren
und die entsprechenden Funktionswerte. Ein Simplex ist die geometrische Figur, die in N Dimensionen aus N + 1 Punkten (oder
Vertices) besteht. Diese Punkte bestimmen wir aus einem Anfangs-Punkt P1 = (c1 , c2 . . . cN ) und erzeugen die weiteren Punkte
einfach durch




j

Pi = P1 + 
j + λ , . . . cN 
 c1 , c2 . . . , c
| {z }
j=i−1
i = 2, 3 . . . N + 1 ,
(2.242g)
109
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
TH
JI(
DR
.R
UP
AK
NA
TH
c++++++++++++++++++++++++++ HAUPTPROGRAMM +++++++++++++++++++++++++++++++
c
c
Programmm minimisiert das Pekar-Funktional fuer den
c
Grenzfall starker Kopplung im Polaron-Problem
c
mit dem Ansatz fuer die s-Wellenfunktion
c
c
y(r) = C r [ 1 + sum_{i=1}^N c_i r^i exp(-r/a) ] ;
c
int_0^{infinity} dr y^2(r) = 1
c
c
Die Skala a wird analytisch durch Variation bestimmt.
c
Minimisierung durch "downhill simplex method" fuer die Koeffizienten c_i;
c
Programm aus NUMERICAL RECIPES, ch. 10.4
c
c
Schleife ueber N = 0,1, ... NMAX-1 = 9 Koeffizienten
c
EXTERNAL ENERGIE
PARAMETER (NMAX = 10,FTOL=1.E-6,ALAM=0.3))
COMMON N,D(0:4*NMAX+3)
DIMENSION P(NMAX+1,NMAX),X(NMAX),Y(NMAX),XNEU(NMAX),XALT(NMAX+1)
C
C
Tabellierung von n!/2^(n+1)
C
NHOCH = 4*NMAX + 3
D(0) = 0.5
DO 10 I = 1,NHOCH
D(I) = I*D(I-1)*0.5
10
CONTINUE
C
WRITE(6,9) FTOL
9
FORMAT(//’ Rel. Genauigkeit = ’,e10.3/)
)
wobei λ eine geeignet gewählte Konstante ist (im Beispiel unten nehmen wir λ = 0.3). Mit N = 0 erzielt man natürlich das Ergebnis
(2.236) aus der Übungsaufgabe 16 b) und wir erhöhen die Anzahl der zu variierenden Koeffizienten schrittweise. Als AnfangsPunkt nehmen wir das Ergebnis der Minimisierung bei dem vorhergehenden N und setzen für den Punkt P1 den zusätzlichen
Koeffizienten cN = 0. Auf diese Weise ist garantiert, dass bei jedem N wenigstens das vorherige Ergebnis erzielt wird. Die grosse
Gefahr ist, dass man bei der Iteration in einem lokalen Minimum steckenbleibt; daher empfiehlt es sich (bei jedem N ) einen
Wiederstart mit dem erzielten Minimum als Start-Punkt durchzuführen. Das AMOEBA-Programm stoppt, wenn eine vorgegebene
Genauigkeit (wir nehmen bei einfach-genauer Arithmetik FTOL = 10−6 ) erreicht wurde und gibt N + 1 Punkte als Ergebnis
heraus, die innerhalb des gefundenen Minimums liegen. Im unten angegebenen Program mitteln wir über die Funktions-Werte
dieses End-Simplexes.
! Schleife ueber verschiedene
N = NN - 1
! Anfangsstart
UP
ISTART = 0
C
C
C
Anzahl von Koeffizienten
NA
DO 100 NN = 1,NMAX
CONTINUE
DR
50
.R
N+1 Start-Simplices fuer Minimisierungs-Routine AMOEBA
25
20
DO 20 I = 1,NN
DO 25 J = 1,N
IF(ISTART .EQ. 0) P(I,J) = XALT(J)
IF(ISTART .EQ. 1) P(I,J) = XNEU(J)
CONTINUE
CONTINUE
IF(J. EQ. (I-1)) P(I,J) = P(I,J) + ALAM**J
C
35
30
DO 30 I = 1,NN
DO 35 J = 1,N
X(J) = P(I,J)
CONTINUE
Y(I) = ENERGIE(X)
CONTINUE
C
CALL AMOEBA(P,Y,NMAX+1,NMAX,N,FTOL,ENERGIE,ITER)
C
38
C
C
C
DO 38 J = 1,N
XNEU(J) = P(1,J)
XALT(J) = XNEU(J)
CONTINUE
XALT(NN) = 0.
! speichere den ersten Simplex fuer Wiederstart
! speichere den ersten Simplex fuer naechstes N
! und fuege als letzten Koffizienten c(N+1)=0 hinzu
ueber die Simplices gemittelter Minimalwert
40
YMIT = 0.
DO 40 I = 1,NN
YMIT = YMIT + Y(I)
CONTINUE
YMIT = YMIT/NN
C
98
99
IF(ISTART .EQ. 0) WRITE(6,98) N
FORMAT(//’ N = ’,I3/)
IF(ISTART .EQ. 1) WRITE (*,*) ’Wiederstart:’
WRITE(6,99) ITER,YMIT
FORMAT(’ Iterationen = ’,I4,10X,
110
Kapitel 2 : Mehrteilchen-Physik
&
’mittlerer Minimal-Wert = ’,F10.7)
C
100
ISTART = ISTART + 1
IF(ISTART .EQ. 1) GO TO 50
CONTINUE
STOP
END
C++++++++++++++++++++++++ UNTERPROGRAMM ENERGIE
++++++++++++++++++++++++
FUNCTION ENERGIE(X)
C
PARAMETER (NMAX=10)
COMMON N,D(0:4*NMAX+3)
DIMENSION X(NMAX),C(0:NMAX)
DATA WU2 /1.414213562/
! Wurzel aus 2
C
! fixiert
)
10
C
C
C
C(0) = 1.
DO 10 I = 1,N
C(I) = X(I)
CONTINUE
C
C
C
NA
ANORM = 0.
DO 20 I = 0,N
DO 25 J = 0,N
ANORM = ANORM + C(I)*C(J)*D(I+J+2)
CONTINUE
CONTINUE
ANORM = 1./ANORM
AK
25
20
TH
Normierung
C
C
C
DR
.R
T = 0.
DO 30 I = 0,N
DO 35 J = 0,N
DT = (I+1.)*(J+1.)*D(I+J) - D(I+J+2)
T = T + DT*C(I)*C(J)
CONTINUE
CONTINUE
T = 0.5*ANORM*T
TH
JI(
35
30
UP
kinetische Energie
potentielle Energie
DR
.R
UP
NA
V = 0.
DO 40 I = 0,N
DO 45 J = 0,N
ISUM = I + J + 2
DO 50 K = 0,N
DO 55 L = 0,N
KSUM = K + L + 1
HILF = C(I)*C(J)/(2**(ISUM+1))
HILF = HILF*C(K)*C(L)*D(KSUM)
V1 = 0.
FAK = 1.
DO 60 M = 0,KSUM
MSUM = ISUM + M
V1 = V1 + D(MSUM)/FAK
FAK = (M+1.)*FAK
CONTINUE
V = V + HILF*V1
CONTINUE
CONTINUE
CONTINUE
CONTINUE
V = -WU2*V*ANORM*ANORM
60
55
50
45
40
C
C
C
!
!
0!
(M+1)!
Energie nach Variation des Skalenparameters
ENERGIE = -0.25*V*V/T
C
RETURN
END
C++++++++++++++++++++++++++ UNTERPROGRAMM AMOEBA ++++++++++++++++++++++++
SUBROUTINE AMOEBA(P,Y,MP,NP,NDIM,FTOL,FUNK,ITER)
C
C
C ***********************************************************************
C
C
from: W. H.Press et al. "Numerical Recipes in Fortran 77" , Ch. 10.4
C
C
Cambridge University Press, 2nd ed. (1992)
C
C ***********************************************************************
C
C
Multidimensional minimization of the function FUNK(X) where X is an
111
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
NDIM-dimensional vector, by the downhill simplex method of Nelder and Mead.
Input is a matrix P whose NDIM+1 rows are NDIM-dimensional vectors which
are the vertices of the starting simplex.
[Logical dimensions of P are P(NDIM+1,NDIM); physical dimensions are input as P(MP,NP)].
Also input is the vector Y of length NDIM+1, whose components must be
pre-initialized to the values of FUNK evaluated at the NDIM+1 vertices (rows) of P;
and FTOL the fractional convergence tolerance to be achieved in the
function value (n.b.!).
On output, P and Y will have been reset to NDIM+1
new points all within FTOL of a minimum function value,
and ITER gives the number of iterations taken.
PARAMETER (NMAX=10,ALPHA=1.0,BETA=0.5,GAMMA=2.0,ITMAX=1000)
C
C
C
C
Expected maximum number of dimensions, three parameters which define
the expansions and contractions, and maximum allowed number of iterations.
DIMENSION P(MP,NP),Y(MP),PR(NMAX),PRR(NMAX),PBAR(NMAX)
ITER = 0
ILO = 1
! First we must determine which point is the
! highest (worst), next-highest, and
! lowest (best).
NA
1
! Note that MP is the physical dimension
! corresponding to the logical dimension
! MPTS, NP to NDIM
TH
MPTS = NDIM + 1
)
C
UP
AK
IF(Y(1) .GT. Y(2)) THEN
IHI = 1
INHI = 2
ELSE
IHI = 2
INHI = 1
ENDIF
C
NA
Compute the fractional range from highest to lowest and return if satisfactory
RTOL = 2.*ABS(Y(IHI)-Y(ILO))/(ABS(Y(IHI))+ABS(Y(ILO)))
IF(RTOL .LT. FTOL) RETURN
IF(ITER .EQ. ITMAX) PAUSE ’Amoeba exceeding maximum iterations.’
ITER = ITER + 1
DO 12 J = 1,NDIM
PBAR(J) = 0.
CONTINUE
! Begin a new iteration. Compute the vector average
! of all points except the highest, i.e. the center
! of the "face’’ of the simplex across from the high
! point. We will subsequently explore along the ray
! from the high point through that center.
DO 14 I = 1,MPTS
IF(I .NE. IHI) THEN
DO 13 J = 1,NDIM
PBAR(J) = PBAR(J) + P(I,J)
CONTINUE
ENDIF
CONTINUE
DO 15 J = 1,NDIM
! Extrapolate by a factor ALPHA through the
! face, i.e. reflect the simplex from the
! high point.
PBAR(J) = PBAR(J)/NDIM
PR(J) = (1.+ ALPHA)*PBAR(J) - ALPHA*P(IHI,J)
CONTINUE
YPR = FUNK(PR)
! Evaluate the function at the reflected point.
IF(YPR .LE. Y(ILO)) THEN
! Gives a result better than the best point,
! so try an additional extrapolation by a
! factor GAMMA,
DO 16 J = 1,NDIM
PRR(J) = GAMMA*PR(J) + (1.-GAMMA)*PBAR(J)
CONTINUE
YPRR = FUNK(PRR)
! check out the function there.
IF(YPRR .LT. Y(ILO)) THEN
! The additional extrapolation succeeded,
! and replaces the high point.
DO 17 J = 1,NDIM
P(IHI,J) = PRR(J)
CONTINUE
Y(IHI) = YPRR
ELSE
! The additional extrapolation failed,
! but we can still use the reflected point
DO 18 J = 1,NDIM
P(IHI,J) = PR(J)
CONTINUE
DR
12
.R
UP
11
C
C
C
TH
JI(
DR
.R
DO 11 I = 1,MPTS
! by looping over the points in the simplex
IF(Y(I) .LT. Y(ILO)) ILO = I
IF(Y(I) .GT. Y(IHI)) THEN
INHI = IHI
IHI = I
ELSE IF(Y(I) .GT. Y(INHI)) THEN
IF(I .NE. IHI) INHI = I
ENDIF
CONTINUE
13
14
15
16
17
18
112
Kapitel 2 : Mehrteilchen-Physik
Y(IHI) = YPR
ENDIF
ELSE IF(YPR .GE. Y(INHI)) THEN
IF(YPR .LT. Y(IHI)) THEN
19
DO 19 J = 1,NDIM
P(IHI,J) = PR(J)
CONTINUE
Y(IHI) = YPR
ENDIF
DO 21 J = 1,NDIM
!
!
!
!
The reflected point is worse then
the second-highest
If it’s better than the highest,
then replace the highest,
! but look for an intermediate lower point
PRR(J) = BETA*P(IHI,J) + (1.-BETA)*PBAR(J)
! in other words, perform a contraction
! of the simplex along one dimension.
! Then evaluate the function.
YPRR = FUNK(PRR)
IF(YPRR .LT. Y(IHI)) THEN
DO 22 J = 1,NDIM
P(IHI,J) = PRR(J)
CONTINUE
Y(IHI) = YPRR
ELSE
)
! Contraction gives an improvement,
! so accept it.
! Can’t seem to get rid of that high point.
! Better contract around the lowest (best)
! point.
NA
22
CONTINUE
TH
21
AK
UP
UP
NA
25
TH
JI(
DR
24
.R
23
DO 24 I = 1,MPTS
IF(I .NE. ILO) THEN
DO 23 J = 1,NDIM
PR(J) = 0.5*(P(I,J) + P(ILO,J))
P(I,J) = PR(J)
CONTINUE
Y(I) = FUNK(PR)
ENDIF
CONTINUE
ENDIF
ELSE
! We arrive here if the original reflection gives
! a middling point.
! Replace the old high point and continue
DO 25 J = 1,NDIM
P(IHI,J) = PR(J)
CONTINUE
Y(IHI) = YPR
ENDIF
GO TO 1
! for the test of doneness and the next
! iteration.
END
DR
.R
Wenn man dieses Programm laufen lässt, ergibt sich folgender Ausdruck:
Rel. Genauigkeit = .100E-05
N=0
Iterationen = 1
Wiederstart:
Iterationen = 0
mittlerer Minimal-Wert = -.0976562
mittlerer Minimal-Wert = -.0976562
N=1
Iterationen = 8
Wiederstart:
Iterationen = 4
mittlerer Minimal-Wert = -.1080244
mittlerer Minimal-Wert = -.1080244
N=2
Iterationen = 16
Wiederstart:
Iterationen = 12
mittlerer Minimal-Wert = -.1085069
mittlerer Minimal-Wert = -.1085069
N=3
Iterationen = 12
Wiederstart:
Iterationen = 12
mittlerer Minimal-Wert = -.1085069
mittlerer Minimal-Wert = -.1085069
N=4
Iterationen = 21
Wiederstart:
Iterationen = 65
N=5
mittlerer Minimal-Wert = -.1085092
mittlerer Minimal-Wert = -.1085098
113
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
Iterationen = 81
Wiederstart:
Iterationen = 82
mittlerer Minimal-Wert = -.1085106
mittlerer Minimal-Wert = -.1085114
N=6
Iterationen = 117
Wiederstart:
Iterationen = 96
mittlerer Minimal-Wert = -.1085121
mittlerer Minimal-Wert = -.1085124
N=7
Iterationen = 136
Wiederstart:
Iterationen = 134
mittlerer Minimal-Wert = -.1085123
mittlerer Minimal-Wert = -.1085125
N=8
mittlerer Minimal-Wert = -.1085124
mittlerer Minimal-Wert = -.1085124
TH
)
Iterationen = 154
Wiederstart:
Iterationen = 154
N=9
mittlerer Minimal-Wert = -.1085126
NA
mittlerer Minimal-Wert = -.1085125
AK
Iterationen = 171
Wiederstart:
Iterationen = 152
UP
Der genaue Wert des Pekar-Koeﬃzienten für die Polaron-Energie bei sehr starker Kopplung ist daher
DR
.R
γP = −0.108513(1)
(2.243)
DR
.R
UP
NA
TH
JI(
mit einem geschätzten Fehler von (1) in der letzten Stelle. Ein genauerer Wert lässt sich mit kleinerer
Fehlertoleranz (FTOL) und grösserer Anzahl von Koeﬃzienten (NMAX) erzielen, benötigt dann aber
doppelt-genaue Arithmetik (Übungsaufgabe 16 c) ).
114
Kapitel 3 : Feldtheorie
3.
Pfadintegrale in der Feldtheorie
3.1
Erzeugende Funktionale und Störungstheorie
Der Übergang von der Vielteilchen-Quantenphysik zur Feldtheorie ist einer von endlich vielen Freiheitsgraden
zu unendlich vielen. Wir werden diesen Übergang formal vollziehen, und daher vorerst alle Subtilitäten, wie
Renormierung, ja Existenz der Theorie beiseite schieben.
Zur Vereinfachung betrachten wir zu Beginn ein System, das durch ein neutrales skalares Feld Φ(x) für
Teilchen der Masse m beschrieben wird. Die Lagrange-Dichte 59 sei
1
∂µ Φ ∂ µ Φ − m2 Φ2 − V (Φ) ,
2
(3.1)
TH
)
L =
NA
wobei V (Φ) die Selbst-Wechselwirkung des Feldes beschreibt. Aus Gründen der Renormierbarkeit der Theorie
kann es (in 1 Zeit- und 3 Raum-Dimensionen) nur ein Polynom bis höchstens vierten Grades sein; ein typisches
Beispiel ist
AK
λ 4
Φ ,
4!
(3.2)
UP
V (Φ) =
TH
JI(
DR
.R
was in der Supraleitung (Ginzburg-Landau-Theorie) und der Teilchenphysik (Higgs-Mechanismus) eine grosse
Bedeutung hat. Wie im quantenmechanischen Fall betrachten wir das Übergangs-Matrixelement 60
E
D
(3.3)
Φf e−iĤ(tf −ti ) Φi
UP
NA
R
des Zeitentwicklungs-Operators zwischen Feld-Konﬁgurationen Φi und Φf . Ĥ = d3 x Ĥ ist der HamiltonOperator des Systems. Die klassische Hamilton-Dichte folgt aus Gl. (3.1) durch die übliche Legendre-Transformation
1
1
1
(3.4)
H = π Φ̇ − L = π 2 + (∇Φ)2 + m2 Φ2 + V (Φ) ,
2
2
2
DR
.R
wobei π = ∂L/∂ Φ̇ = Φ̇ der kanonisch konjugierte Impuls des Feldes ist. Wir teilen das (endliche) Raumvolumen
L3 in N kleine Zellen des Volumens v = L3 /N ein und das Zeitintervall tf − ti in M Intervalle der Länge
ǫ. Wenn wir die Vollständigkeit für die Felder Φ(t, x) = Φlj , l = 1 . . . M − 1, j = 1 . . . N an jedem Zeit- und
Raum-Punkt
Z
dΦlj Φlj ih Φlj = 1
(3.5)
benutzen, erhalten wir
E
D
Φf e−iĤ(tf −ti ) Φi
=
lim
N,M→∞
Z Y
N n
j=1
dΦM−1
. . . dΦ1j
j
D
−iǫv Ĥ
ΦM
| ΦM−1
j |e
j
E
Eo
D
.
. . . Φ1j | e−iǫvĤ | Φ0j
(3.6)
0
Wie üblich haben wir dabei zur Abkürzung ΦM
j = Φf (xj ) und Φj = Φi (xj ) gesetzt. Genau wie im quantenmechanischen Fall ﬁndet man für kleine Zeiten
Z
E
D
dplj
−iǫvĤ l
(3.7)
exp iplj (Φl+1
− Φlj ) − iǫvHjl .
e
Φ
≃
Φl+1
j
j
j
2π
59 Geladene skalare Teilchen werden durch komplexe Felder beschrieben, in deren freien Lagrange-Dichte der Faktor 1/2 fehlt,
siehe Übungsaufgabe 18.
60 In diesem Abschnitt setzen wir ~ = 1 . Im Folgenden werden wir auch immer c = 1 wählen, die Metrik (+, − − −), d.h.
a · b = a0 b0 − a · b, verwenden und über gleiche Indizes summieren.
115
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
Schreiben wir plj = vπjl , erhalten wir
D
E
Φf | e−iĤ(tf −ti ) | Φi
M−1
Y
Z Y
N
dΦlj vdπjl
2π
!Z
vdπjM
N,M→∞
2π
j=1
l=1

!
N
l+1
l

 M−1
X X
Φ
−
Φ
j
j
− Hjl
πjl
· exp iǫ
v


ǫ
j=1
l=0
Z tf Z
Z
h
i
DΦ(x)Dπ(x)
3
dt d x π Φ̇ − H(π, Φ)
.
exp i
2π
ti
=
lim
≡
(3.8)
NA
TH
)
Dies ist das Pfadintegral in der hamiltonschen Form (beachte Fussnote 49). Durch quadratische Ergänzung
( π Φ̇ − π 2 /2 = −(π − Φ̇)2 /2 + Φ̇2 /2 ) können wir das π-Integral auf ein gaußsches Integral zurückführen und
erhalten das Pfadintegral in der Lagrange-Form
Z
E
D
(3.9)
Φf e−iĤ(tf −ti ) Φi = const. · DΦ(x) eiS[Φ] .
DR
.R
UP
AK
Im Exponenten steht wieder die Wirkung, weil
Z
Z tf
1
1 2 1
Φ̇ − (∇Φ)2 − m2 Φ2 − V (Φ)
dt
d3 x
2
2
2
ti
Z tf
Z
Z
Z tf
1 2 2
1
3
µ
dt
d3 x L (Φ(x), ∂µ Φ(x)) ≡ S[Φ] . (3.10)
dt
d x
=
∂µ Φ∂ Φ − m Φ − V (Φ) =
2
2
ti
ti
UP
NA
TH
JI(
Die Darstellung des Übergangs-Matrixelements zwischen Feld-Konﬁgurationen als Pfadintegral ist nur ein Zwischenschritt, weil dies nicht die relevante Grösse in der Feldtheorie ist. Tatsächlich lassen sich alle Observablen
aus den n-Punkt-Funktionen oder greenschen Funktionen
D h
i E
Gn (x1 . . . xn ) = 0 T Φ̂(x1 ) . . . Φ̂(xn ) 0
(3.11)
DR
.R
gewinnen (siehe weiter unten am Beispiel der Streuung zweier skalarer Teilchen aneinander). Hierbei ist | 0 >
der exakte Grundzustand der Theorie (das “Vakuum”), T der Zeitordnungs-Operator und Φ̂(x) sind die
exakten Feldoperatoren im Heisenberg-Bild. Was wir daher benötigen, ist eine Pfadintegral-Darstellung für die
greenschen Funktionen. Das haben wir jedoch bereits in der Quantenmechanik (im Kapitel 1.7) getan: der
Grundzustand kann durch den unphysikalischen Limes ti → i∞ , tf → −i∞ herausprojiziert werden 61 und
man erhält
Gn (x1 . . . xn ) =
lim
ti →i∞
tf →−i∞
R
DΦ Φ(x1 ) . . . Φ(xn ) exp( iS[Φ] )
R
.
DΦ exp( iS[Φ] )
(3.12)
Den Satz von n-Punkt-Funktionen kann man aus dem erzeugenden Funktional
Z[J] =
Z
DΦ exp
iS[Φ] + i
Z
d4 x J(x) Φ(x)
(3.13)
Erinnerung:
e−iĤ(tf −ti ) = | 0 >< 0 | e−iE0 (tf −ti ) + |1 >< 1| e−iE1 (tf −ti ) + . . . Man muss auch nicht die Zeiten
rein imaginär wählen, sondern kann entlang eines entsprechenden Strahles in der komplexen Ebene gegen Unendlich gehen –
entscheidend ist eine genügende Dämpfung der angeregten Zustände.
61 Zur
116
Kapitel 3 : Feldtheorie
durch Funktional-Diﬀerentation erzeugen:
Gn (x1 . . . xn )
n
Z[J] δn
1
=
i
δJ(x1 ) . . . δJ(xn ) Z[0] (3.14)
J=0
AK
NA
TH
)
erzeugen. Wie man sieht, fällt die Normierung des Funktional-Integrals heraus.
In den meisten Fällen kann man das erzeugende Funktional nur bei verschwindender Selbst-Wechselwirkung
V berechnen:
Z
Z
1
1 2 2
µ
4
∂µ Φ∂ Φ − m Φ + JΦ
Z0 [J] =
DΦ exp i d x
2
2
Z
Z
Z
i
4
4
2
d x Φ(x) − − m Φ(x) + i d x J(x)Φ(x) .
=
DΦ exp
(3.15)
2
TH
JI(
DR
.R
UP
In der zweiten Zeile ist dabei eine partielle Integration durchgeführt worden, wobei angenommen wurde, dass
die Randterme verschwinden. Die Funktionalintegration in Gl. (3.15) kann ausgeführt werden, da der Exponent
Z
Z
i
d4 x d4 y Φ(x)K0 (x, y)Φ(y) + i d4 x J(x)Φ(x)
2
Z
Z
i
i
=
(3.16)
d4 x d4 y (ΦK0 + J) (x)K0−1 (x, y) (K0 Φ + J) (y) −
d4 x d4 y J(x)K0−1 (x, y)J(y)
2
2
NA
quadratisch in den Feldern ist. Die gaußsche Integration über Φ ergibt daher
UP
Z
i
i
d4 x d4 y J(x) K0−1 (x, y) J(y) ≡ Z0 [0] exp −
Z0 [J] = const. · exp −
2
2
J, K0−1 J
,
(3.17)
DR
.R
wobei die Konstante nicht von der Quelle J(x) abhängt und zuletzt eine nützliche Kurz-Schreibweise verwendet
wurde. Das Inverse des Kerns
(3.18)
K0 (x, y) = −x − m2 δ 4 (x − y)
wird am einfachsten im Impulsraum berechnet, da K0 wegen der Translations-Invarianz nur von Diﬀerenz
x − y abhängt:
Z
d4 k
−1
∆(k) eik·(x−y) .
∆(x, y) ≡ K0 (x, y) =
(3.19)
(2π)4
Die Gleichung −x − m2 ∆(x, y) = δ 4 (x − y) wird dann einfach zu einer algebraischen Gleichung
(k 2 − m2 )∆(k) = 1 mit der Lösung
∆F (k)
=
1
.
k 2 − m2 + i 0 +
(3.20)
(i 0+ ist eine Kurzform für einen kleinen positiven Imaginärteil iǫ, ǫ > 0, der am Ende der Rechnung auf Null
gesetzt wird). Dies ist der Feynman-Propagator im Impulsraum. Man muss natürlich speziﬁeren, wie der
Pol bei k 2 = m2 zu behandeln ist. Dies kann durch genauere Betrachtung des Limes ti → i∞, tf → −i∞
117
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
in der Pfadintegral-Darstellung (3.12) für die greenschen Funktionen geschehen, oder einfacher dadurch, dass
man einen konvergenzerzeugenden Faktor
Z
ǫ
4
2
exp −
d x Φ (x) , ǫ > 0
(3.21)
2
in das Pfadintegral einführt. Da man diesen Term zum Massenterm in der Lagrange-Dichte hinzuschlagen kann,
läuft dies auf die Ersetzung
m2 −→ m2 − i 0+
(3.22)
TH
)
hinaus Aus Gl. (3.17) ﬁndet man daher, dass die 2-Punkt-Funktion (oder der Propagator) in niedrigster
Ordnung durch
(0)
G2 (x1 , x2 ) = i∆F (x1 , x2 )
(3.23)
AK
NA
gegeben ist.
Das erzeugende Funktional mit Wechselwirkung kann man formal durch Funktional-Diﬀerentation aus Z0 [J]
gewinnen. Da die Funktional-Diﬀerentation nach der Quelle J(x) das Feld Φ(x) erzeugt, gilt nämlich
Z
Z
1 δ
exp i d4 y (L0 + J(y)Φ(y))
DΦ exp −i d4 x V
i δJ(x)
Z
1 δ
= exp −i d4 x V
Z0 [J]
i δJ(x)
.R
UP
Z
(3.24)
TH
JI(
DR
Z[J] =
Vertiefung 22: Eine Funktional-Gleichung für das erzeugende Funktional
UP
NA
Die Darstellung des erzeugenden Funktionals als Funktional-Integral eröffnet einfache Möglichkeiten der Umformung, wie wir sie vom
gewohnten Kalkül der Integral-Rechnung kennen. Wir können beispielsweise eine infinitesimale Änderung der Integrationsvariablen
Φ(x) = ϕ(x) + ǫ f (x)
(3.25a)
Z
DR
Z[J] =
.R
im Pfadintegral (3.13) vornehmen (Itzykson & Zuber, p. 447). Da die Jacobi-Determinante offensichtlich “1” ist, haben wir
Dϕ
1 + iǫ
Z
d4 x
δS[ϕ]
+ J(x)
δϕ(x)
f (x)
exp
iS[ϕ] + i
Z
d4 xJ(x) ϕ(x)
.
(3.25b)
Wir können die Terme, die ϕ in der geschweiften Klammer enthalten, vor das Funktional-Integral bringen, wenn wir in ihnen ϕ(x)
durch δ/(iδJ(x)) (auf das erzeugende Funktional wirkend) ersetzen. Da die Funktion f (x) willkürlich ist, erhalten wir von den Termen
proportional zu ǫ
δS
δ
+ J(x) Z[J] = 0 ,
(3.25c)
δϕ(x) iδJ(x)
was für die skalare Theorie (3.1) explizit
+m
2
δ
′
+V
iδJ(x)
δ
iδJ(x)
− J(x)
Z[J] = 0
(3.25d)
lautet. Diese Identität verknüpft also verschiedene n-Punkt-Funktionen.
3.1.1
Störungstheorie
Die Beziehung (3.24) zwischen Funktional mit und ohne Wechselwirkung ist eine rein formale Beziehung, die
erst durch Entwicklung nach Potenzen der Wechselwirkung konkret genutzt werden kann. Dies wollen wir
anhand der Φ4 -Theorie (3.2) illustrieren. In den niedrigsten Ordnungen der Potenzreihen-Entwicklung in der
Kopplungskonstanten λ erhalten wir
n
o
Z[J] = Z0 [J] 1 + λω1 [J] + λ2 ω2 [J] + . . .
(3.26)
118
Kapitel 3 : Feldtheorie
mit
4
Z
i
1
δ
4
ω1 [J] = −
Z0 [J] .
d x
4! Z0 [J]
δJ(x)
Ausführen der Diﬀerentationen ergibt
(
Z
i
4
d x 3 (−i)2 ∆F (x, x) ∆F (x, x)
ω1 [J] = −
4!
Z
+6 (−i)3 d4 y1 d4 y2 ∆F (x, y1 ) J(y1 ) ∆F (x, x) ∆F (x, y2 ) J(y2 )
)
Z
4
Y
4
4
4
4
4
∆F (x, yj ) J(yj ) .
+(−i)
d y1 d y2 d y3 d y4
(3.27)
(A1)
(B1)
(3.28)
(C1)
j=1
NA
TH
JI(
DR
.R
UP
AK
NA
TH
)
Die verschiedenen Terme können nach der Anzahl der Quellen J geordnet werden und graphisch dargestellt
werden: jeder Propagator ∆F (x, y) wird durch eine Linie, die von y nach x führt, symbolisiert und jede
Wechselwirkungs-Vertex durch einen Punkt, in den 4 Linien hinein- oder hinausgehen (siehe Abb. 15). Die
erste Zeile von Gl. (3.29) – der Term (A1) – beschreibt sog. “Vakuum-Graphen”, die überhaupt keine Quellen
enthalten und bei der Division durch Z[0] in der Gl. (3.14) für die greenschen Funktionen herausfallen. Man
beachte, dass die einzelnen Terme verschiedene numerische Faktoren (“Multiplizitäten”) enthalten, was zu den
“Symmetriefaktoren” führt – das ist die Zahl, mit der man das jeweilige Diagramm teilen muss. Wenn man
berücksichtigt, dass die Funktional-Diﬀerentation nach 2j Quellen einen zusätzlichen Faktor (2j)! für das
jeweilige Diagramm ergibt, erhält man für die Graphen (A1), (B1), (C1) aus Gl. (3.29) Multiplizitäten, die mit
den in den Tabellen I – III von [36] angegebenen übereinstimmen.
y3
x
DR
.R
UP
y1
x
y1
x
(B1)
(A1)
y2
y4
y2
(C1)
Abb. 15 : Graphische Darstellung der ersten Ordnung Störungstheorie ω1 für das erzeugende
Funktional in der Φ4 -Theorie.
In zweiter Ordnung Störungstheorie ﬁndet man
1 2
ω [J] + ω̃2 [J] ,
(3.29)
2 1
wobei der erste Beitrag auf der rechten Seite unverbundene Graphen enthält, in denen zwei Anteile nicht
durch eine gemeinsame Linie verknüpft sind (siehe z. B. Abbildung 16, wo die 1. Ordnungs-Graphen (A1) und
(B1) ohne Verbindung aneinander geheftet sind).
ω2 [J] =
119
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
UP
AK
NA
TH
)
Abb. 16 : Ein unverbundener Graph in der 2. Ordnung der Störungstheorie für die Φ4 -Theorie.
TH
JI(
DR
.R
Der zweite Anteil ω̃2 [J] in Gl. (3.29) ist in Abb. 17 graphisch dargestellt.
y
y
x
UP
NA
x
DR
.R
(A2)
y
x
y
x
x
y
(B2)
x
x
y
y
(C2)
y
x
(D2)
Abb. 17 : Graphische Darstellung der zweiten Ordnung Störungstheorie ω̃2 für das erzeugende
Funktional der Φ4 -Theorie (siehe Gl. (3.30b)).
120
Kapitel 3 : Feldtheorie
Vertiefung 23: Erzeugendes Funktional der Φ4 -Theorie in 2. Ordnung
Die direkte Berechnung von
ω2 [J] =
(−i)2
1
2(4!)2 Z0 [J]
Z
d4 x d4 y
δ
δJ(y)
4 δ
δJ(x)
4
Z0 [J] =:
3
(−i)2 X
1 2
(2j)
ω [J] +
(−i)4+j ω̃2 [J]
2 1
2(4!)2 j=0
(3.30a)
ist etwas mühsam, aber mit der Leibniz-Regel machbar und ergibt die Multiplizäten für die einzelnen Graphen ohne Kombinatorik. Es
empfiehlt sich dabei,Reine konzentrierte Schreibweise zu benutzen: ∆12 für ∆F (y1 , y2 ) , J1 für J(y1 ) etc. und über mehrfache Indizes wird
integriert: ∆xx ≡
d4 x ∆F (x, x) etc. Wenn man ∆F (x, y) = ∆F (y, x) verwendet, erhält man die folgenden Beiträge mit 2j äusseren
Quellen
(0)
ω̃2 [J]
=
24 ∆4xy + 72 ∆xx ∆2xy ∆yy
(A2)
(2)
ω̃2 [J]
=
144 ∆2xy ∆yy (∆x1 J1 )2 + 144 ∆xx ∆xy ∆yy ∆x1 J1 ∆y2 J2 + 96 ∆3xy ∆x1 J1 ∆y2 J2
(B2)
(3.30b)
(6)
ω̃2 [J]
=
96 ∆xx ∆xy (∆y2 J2 ) ∆x1 J1 + 72 (∆x1 J1 )
=
16 (∆x1 J1 ) ∆xy (∆y2 J2 )
3
2
∆2xy
2
(∆y2 J2 )
(C2)
)
3
TH
(4)
ω̃2 [J]
3
(D2)
.R
Verbundene und amputierte greensche Funktionen
DR
3.1.2
UP
AK
NA
Nach Multiplikation mit (2j)! stimmen die numerischen Faktoren wiederum mit [36] überein. Dort und anderswo [37] gibt es allgemeine Verfahren und Computerprogramme, die die Symmetriefaktoren in beliebiger Ordnungen für alle Graphen und für verschiedene
Wechselwirkungen bestimmen.
NA
TH
JI(
Es ist klar, dass die unverbundenen Graphen vom ersten Term auf der rechten Seite von Gl. (3.29) nicht zu
physikalischen Prozessen beitragen. Sie werden weggehoben, wenn wir
.R
UP
Gc (x1 . . . xn ) =
n
1
δn
ln Z[J]
i
δJ(x1 ) . . . δJ(xn )
(3.31)
J=0
DR
als verbundene (“connected”) greensche Funktionen deﬁnieren. Tatsächlich ﬁndet man
Z[J] − Z0 [J]
= ln Z0 [J] + ln 1 + λω1 [J] + λ2 ω2 [J] + . . .
ln Z[J] = ln Z0 [J] + ln 1 +
Z0 [J]
Z
i
1
= −
d4 xd4 y J(x)∆(x, y)J(y) + λω1 [J] + λ2 ω2 [J] − λ2 ω12 [J] + O(λ3 ) ,
2
2
(3.32)
so dass der unverbundene Anteil in ω2 [J] exakt weggehoben wird. Man kann zeigen, dass dies in allen
Ordnungen geschieht, und dass daher
W [J] := −i ln Z[J]
(3.33)
das erzeugende Funktional für die verbundenen greenschen Funktionen darstellt. Die Entwicklung von Z[J]
nach diesen verbundenen Funktionen ist eine Kumulanten-Entwicklung, die auch in anderen Gebieten, etwa
der Statistik, wichtig ist (siehe Übungsaufgabe 19).
Wenn Translations-Invarianz vorliegt, ist es günstiger, mit (verbundenen) greenschen Funktionen im Impulsraum zu rechnen, weil eine δ-Funktion abgespalten werden kann, die die Gesamt-Energie-Impuls-Erhaltung
ausdrückt:
!
n Z
n
Y
X
4 4
4
−ipi ·xi
pi Ḡn (p1 . . . pn ) .
Gn (x1 . . . xn ) =: (2π) δ
d xi e
Gn (p1 . . . pn ) =
(3.34)
i=1
i=1
121
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
Beispiel: Φ4 -Theorie
Die erste Korrektur zum Propagator (3.23) folgt aus der zweiten Zeile von Gl. (3.29) – also dem Term (B1)
Z
λ
(1)
d4 x ∆F (x1 , x) ∆F (x, x) ∆F (x, x2 ) .
(3.35)
G2 (x1 , x2 ) = −
2
AK
NA
TH
)
Das ist eine Schleifenkorrektur, die nach Fourier-Transformation unter der Verwendung der Darstellungen (3.19,
3.20) folgende Form annimmt
!
Z
Z 4
3
Y
λ
1
d kj
(1)
4
4
4
G2 (p1 , p2 ) = −
e−ip1 ·x1 −ip2 ·x2 · eik1 ·(x1 −x)+ik3 ·(x−x2 )
d x d x1 d x2
4 k 2 − m2 + i 0 +
2
(2π)
j
j=1
Z 4
d k2
1
λ
4
.
= − (2π) δ (p1 + p2 ) ∆F (p1 ) ∆F (p2 )
(3.36)
2
(2π)4 k22 − m2 + i 0+
UP
Nach Abspalten der Impuls-Deltafunktion ist der gesamte Propagator (aus Invarianz-Gründen hängt er natürlich
nur von p2 ab) also
.R
2 Z
λ
d4 k
1
1
i
i
+ O(λ2 )
+i
=
p 2 − m2 + i 0 +
p 2 − m2 + i 0 +
2
(2π)4 k 2 − m2 + i 0+
i
+ O(λ2 ) ,
≃ 2
p − m2 + i 0+ − Σ(1)
TH
JI(
DR
Ḡ2 (p)
wobei
NA
Σ(1) := i
λ
2
Z
1
d4 k
4
2
(2π) k − m2 + i 0+
(3.37)
(3.38)
DR
.R
UP
als “Selbstenergie” (1. Ordnung) bezeichnet wird. Im vorliegenden Fall ist sie einfach eine (divergente)
reelle Konstante – unabhängig vom äusseren Impuls p – , die zum Parameter m2 hinzugeschlagen werden kann,
was dann die physikalische Masse ergibt, die man als Pol des Propagators deﬁnieren kann:
Z
−1
1
d4 k
λ
2
2
2
2
+ O(λ2 ) .
(3.39)
G2 (p = mphys )
= 0 =⇒ mphys = m + i
2
(2π)4 k 2 − m2 + i 0+
In Übungsaufgabe 17 wird die Divergenz der Massenverschiebung in erster Ordnung genauer untersucht.
Im allgemeinen Fall kann die exakte 2-Punkt-Funktion in derselben Form wie in Gl. (3.37) geschreiben werden,
aber die Selbstenergie ist eine Funktion des äusseren Impulsquadrates und kann um p2 = m2phys entwickelt
werden
Σ(p2 ) = Σ m2phys + p2 − m2phys Σ′ m2phys + . . . ,
(3.40)
wobei der Strich die Ableitung nach p2 anzeigt. Damit gilt in der Nähe des Pols
Ḡ2 (p) p2
=
≡
i
2
2
p − m − Σ(p2 ) + i0
p2 →m2phys
−→
p2
iZΦ
,
2
p − m2phys + i0
−
Σ(m2phys )
i
− (p2 − m2phys ) Σ′ (m2phys )
(3.41)
mit
m2phys = m2 + Σ(m2phys ) ,
−
m2
ZΦ =
1 − Σ′ (m2phys )
−1
.
Da in der Φ4 -Theorie die Selbstenergie in 1. Ordnung eine Konstante ist, gilt dort ZΦ = 1 + O(λ2 ).
(3.42)
122
Kapitel 3 : Feldtheorie
Mit der geometrischen Reihe in Gl. (3.37) hat man eine ganze Reihe sich wiederholender Korrekturen für den
vollen Propagator aufsummiert; daher ist die Selbstenergie auch die Summe einer besonderen (kleineren) Klasse
von Diagrammen, den eigentlichen (proper) oder einteilchen-irreduziblen Graphen, mit denen wir uns
im nächsten Kapitel 3.2 beschäftigen werden.
Im Gegensatz zum Propagator bekommt die zusammenhängende 4-Punkt-Funktion überhaupt erst einen
Beitrag in 1. Ordnung Störungstheorie, weil sie Wechselwirkung benötigt. Aus der dritten Zeile – dem Term
(C1) – von Gl. (3.29) erhält man
(1)
Z
d4 x
4
Y
TH
und damit nach Fourier-Transformation
4
Y
NA
(1)
G4 (p1 , p2 , p3 , p4 )
( ∆(x, xj ) )
(3.43)
j=1
)
G4 (x1 , x2 , x3 , x4 ) = −iλ
4
= (2π) δ (p1 + p2 + p3 + p4 ) (−iλ)
AK
j=1
1
2
p j − m2 + i 0 +
!
.
(3.44)
DR
.R
UP
Der Term (C1) beschreibt einen Baum-Graphen, während (C2) die erste Schleifen-Korrektur für die 4-PunktFunktion darstellt. Entsprechend beginnt mit dem Baum-Graphen (D2) der 2. Ordnung die Störungsentwicklung für die 6-Punkt-Funktion.
NA
. . . pn ) =
n Y
i=1
1
Gn (p1 . . . pn )
˜ F (pi )
i∆
(3.45)
mit
DR
.R
UP
Gnamp (p1
TH
JI(
Als amputierte oder abgeschnittene greensche Funktionen bezeichnet man
˜ F (p) :=
∆
1
,
p2 − m2phys + i 0+
(3.46)
bei denen die “äusseren Beine” entfernt worden sind. Man beachte, dass hier die physikalische, d.h. gemessene
Masse der ein- und auslaufenden Teilchen eingeht, nicht der Parameter m in der Lagrange-Dichte (3.1).
Diese “nackte” Masse wird nämlich durch Quantenkorrekturen modiﬁziert, wie wir bereits in der 1. Ordnung Störungsrechnung im obigen Beispiel gesehen haben. Dies ist ein wesentlicher Unterschied zu einer
nicht-relativistischen Theorie mit endlicher Teilchen-Zahl, bei der die Eigenschaften der Teilchen durch die
Wechselwirkung nicht modiﬁziert werden 62 .
Die amputierten greenschen Funktionen sind von besonderer Bedeutung, weil sie durch die Reduktionsformeln 63 direkt zu den Streuamplituden und damit zu den physikalischen Observablen proportional sind.
Beispielsweise ist das S-Matrix-Element für die Streuung von 2 skalaren Teilchen der Masse mphys mit AnfangsImpulsen k1 , k2 und End-Impulsen k1′ , k2′ durch
62 Der
Grund ist eine “Super-Auswahl-Regel (superselection rule)”, die Bargmann 1954 in galilei-invarianter Quantenmechanik
entdeckt hat.
63 Siehe, z. B., Itzykson & Zuber, chapter 5-1, oder Peskin & Schroeder chapter 7.2. Nach den Autoren Lehmann, Symanzik,
Zimmermann werden sie auch LSZ-Formeln genannt.
123
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
D
k1′ k2′ | Ŝ |k1 k2
E
4 Z
i
√
d4 x1 d4 x2 d4 y1 d4 y2 exp [ i ( k1′ · y1 + k2′ · y2 ) ]
ZΦ
· exp [ −i ( k1 · x1 + k2 · x2 ) ] · y1 + m2phys y2 + m2phys
E
D
· x1 + m2phys x2 + m2phys 0|T Φ̂(y1 )Φ̂(y2 )Φ̂(x1 )Φ̂(x2 ) |0 ,
= unverbundene Terme +
c
(3.47)
NA
TH
)
gegeben, wobei der Index “c” die verbundenen Anteile anzeigen soll und ZΦ die sog. “WellenfunktionsRenormierungs-Konstante” ist, die in niedrigster Ordnung den Wert eins annimmt. Mögliche gebundene
Zustände des Zwei-Teilchen-Systems zeigen sich als Pole der S-Matrix unterhalb des Quadrates der GesamtEnergie (k1 + k2 )2 = 4m2phys .
AK
Vertiefung 24: Mehr über die Reduktionsformeln
Das S-Matrixelement für die Streuung von 2 skalaren Teilchen ist durch
UP
S12→1′ 2′ = h f out |i in i
(3.48a)
.R
gegeben, wobei Φ out (x) der Feld-Operator für einen freien Zustand mit den Quantenzahlen der auslaufenden/einlaufenden Teilchen ist.
in
| k1 , k2 , in i
k′ , k′ , out 1
2
âin (k1 )† âin (k2 )† | 0 >
=
< 0 | âout (k1′ ) âout (k2′ )
=
TH
JI(
DR
Wir werden jetzt zeigen, dass dieses S-Matrixelement durch die vollen greenschen Funktionen ausdrückt werden kann. Dazu benutzen wir
(3.48b)
′
Z
Die inversen Beziehungen lauten
↔
d3 x eik·x ∂ 0 φ̂free (x) ,
.R
Z
â† (k) = −i
t
DR
â(k) = i
h
i
d3 k
â(k) e−ik·x + â† (k) eik·x ,
3
(2π) 2Ek
UP
φ̂free (x) =
NA
2
wobei â† (kn ) ein Teilchen mit Vierer-Impuls kn erzeugt ( kn
= kn2 = m2phys ).
Wir können jetzt den Anfangs-Zustand | k1 , in > “herausnehmen”. Da das “In”-Feld ein freies Feld ist, hat es die Entwicklung
↔
Z
Ek =
q
k2 + m2phys .
↔
d3 x e−ik·x ∂ 0 φ̂free (x)
t
(3.48c)
(3.48d)
und sind zu jeder Zeit t ≡ x0 gültig. Hierbei ist der Operator ∂ 0 dadurch definiert, dass er in folgender Weise wirkt:
↔
f (t) ∂ t g(t) := f (t)
∂g(t)
∂t
−
∂f (t)
∂t
g(t) .
(3.48e)
Wir können Gl. (3.48d) benutzen, um
S11′ →22′ =
Z
↔
d3 x1 e−ik1 ·x1 (−i) ∂ t1
k1′ , k2′ | φ̂in (x1 )
t1
| k2
.
(3.48f)
zu erhalten. Die “adiabatische Hypothese” besteht darin, anzunehmen, dass der voll wechselwirkende Feld-Operator mit dem “In”-Feld
in der fernen Vergangenheit (wo das Teilchen für den Streuprozess vorbereitet wird) bis auf eine Konstante übereinstimmt.
φ̂(x1 )
t1 →−∞
−→
p
ZΦ φ̂in (x1 ) .
(3.48g)
Wie in allen Feldtheorie-Lehrbüchern diskutiert wird, kann dies nicht als Operator-Gleichung verstanden werden, sondern gilt nur für
Matrix-Elemente. Hierbei ist ZΦ eine Konstante, die berücksichtigt, dass die Wirkung von φ̂ auf das Vakuum nicht nur EinteilchenZustände erzeugt, sondern auch Zustände mit zusätzlichen Teikchen und Anti-Teilchen (wennn die Lagrange-Dichte gerade in φ ist). Auf
Grund dieses Arguments erwartet man, dass ZΦ einen Wert zwischen Null und Eins (ohne Wechselwirkung) hat, aber in höheren Ordnungen
stellt sich heraus, dass ZΦ divergiert ...
Ungeachtet dieses (generellen) Problems können wir bei t1 = −∞
φ̂in (x1 ) −→
ersetzen, so dass wir
−i
S11′ →22′ = √
ZΦ
lim
t1 →−∞
Z
lim
t1 →−∞
√
1
ZΦ
↔
d3 x1 e−ik1 ·x1 ∂ t1
φ̂(x1 )
D
E
k1′ , k2′ , out φ̂(x1 ) k2 , in
(3.48h)
(3.48i)
124
Kapitel 3 : Feldtheorie
erhalten. Dieser Prozess kann für den verbleibenden “In”-Zustand des zweiten Teilchens und für die beiden “Out”-Zustände wiederholt
werden. Im letzteren Fall benutzt man die Hypothese, dass in der fernen Zukunft
φ̂out (x′n ) −→
lim
t′n →+∞
√
1
ZΦ
φ̂(x′n ) ,
n = 1, 2 .
(3.48j)
Das End-Resultat ist
S11′ →22′


2
1 Y 
=
2

ZΦ n=1 
lim
tn →−∞
t′n →+∞
Z
3
d xn d
3
x′n
−ikn ·xn
e
′
↔
′ ↔
e+ikn ·xn ∂ tn ∂ t′
n





·
D
E
0 T φ̂(x1 )φ̂(x2 )φ̂(x′1 )φ̂(x′2 ) 0
(3.48k)
wobei T der Zeitordnungs-Operator ist. Der letzte Faktor ist nichts anderes als die 4-Punkt-Green-Funktion.
Der letzte Schritt ist es, die Grenzübergänge tn , t′n → ±∞ in Integrale über eine totale Zeit-Ableitung zu verwandeln:
↔
e±ip·x ∂ 0 f (x)
i
=
Z
=
Z
d4 x
h
∂02 f (x) + p20 f (x)
d4 x e±ip·x
h
i
e±ip·x
∂02 − ∆ + m2phys
i
)
h
TH
d4 x ∂0

Z


=
d4 x  ∂02 f (x) + f (x) m2 + p2

|
{z
}

−∆)
=(m2
phys
NA
Z

f (x) ,



 ±ip·x
e


(3.48l)
UP
AK
′
wobei x für jedes xn , x′n , p for jedes kn , kn
steht und ∆ der Laplace-Operator ist. In der letzten Zeile wurde eine partielle Integration in
den Raum-Koordinaten durchgeführt, die keine Randterme ergibt, wenn Wellenpakete statt ebener Wellen von Anfang an benutzt wurden.
Dies ergibt Gl. (3.47).
Nach partieller Integration (mit der Annahme, dass die Felder im Unendlichen verschwinden) erhält man für die rechte Seite dieser Gleichung
TH
JI(
DR
.R
Z
′ 2
′ 1 2
mphys − k12
m2phys − k22
m2phys − k1 2
mphys − k2 2
d4 x1 d4 x2 d4 y1 d4 y2 exp i k1 · y1 + k2 · y2 − k1′ · x1 − k2′ · x2
2
ZΦ
D
E
−2
≡ ZΦ
G4amp −k1 , −k2 , k1′ , k2′ , (3.48m)
· 0|T Φ̂(y1 )Φ̂(y2 )Φ̂(x1 )Φ̂(x2 ) |0
also im wesentlichen die amputierte, zusammenhängende 4-Punkt-Funktion
die Vierer-Impuls-Erhaltung abspalten
′
′
k1 , k2 | T̂ |k1 , k2
E
4
= (2π) δ
NA
D
(4)
c
64
. Die T -Matrix ist über Ŝ = 1 + iT̂ definiert und wir können
′
′
k1 + k2 − k1 − k2
′
′
k1 , k2 | M |k1 , k2
(3.48n)
.R
UP
abspalten. Der Streuquerschnitt für Teilchen gleicher Masse ist im Schwerpunkts (CM)-System dann einfach durch
dσ
dΩ
CM
=
1
| M |2 .
2
64π 2 ECM
(3.48o)
DR
gegeben (siehe z. B. Peskin & Schroeder, eq. (4.85)).
Die störungstheoretische Berechnung der amputierten n-Punkt-Funktionen kann man durch einen Satz von
Feynman-Regeln zusammenfassen:
1. Zeichne alle möglichen verbundenen, topologisch verschiedenen Graphen mit n Vertizes.
+
˜ F (k) = i/(k 2 − m2
2. Jeder inneren Linie entspricht ein Propagator i∆
phys + i 0 ) , jedem Vertex (in der
Φ4 -Theorie) ein Faktor −iλ .
3. Für jeden inneren Impuls k , der nicht durch Impuls-Erhaltung festgelegt ist, führe man eine Integration
R 4
d k/(2π)4 aus.
4. Jeder Graph muss durch einen Symmetriefaktor S geteilt werden, der der Anzahl der Permutationen von
inneren Linien entspricht, die man bei festgehaltenen Vertizes vornehmen kann.
5. In höheren Ordnungen gibt es einen zusätzlichen Vertex, der zwei Linien verbindet und einem Faktor
1
1
2
2
2
2 δm = 2 (mphys − m ) entspricht.
64 Anschaulich gesprochen “fischt” die Reduktionsformel nach Polen der greenschen Funktion, die den äusseren Teilchen
entsprechen und “verwertet” die Residuen dieser Pole als physikalische Observable.
125
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
Weil in die amputierten greenschen Funktionen bereits die gemessene Masse eingeht, ist es vorteilhaft, dies
auch mit allen Grössen zu tun, die durch die Wechselwirkung verändert (man sagt auch “renormiert”) werden.
Dazu gehört auch die Kopplungskonstante und die Normierung des Feld-Operators. Man deﬁniert daher (hier
für die Φ4 -Theorie)
−1/2
Φphys
:= ZΦ
m2phys
:= m2 + δm2 ,
λphys
:=
Zλ−1
Φ
ZΦ2
(3.49)
−1
oder m2phys = Zm
Z Φ m2
(3.50)
λ
(3.51)
und schreibt die Lagrange-Dichte (3.1) mit der Selbst-Wechselwirkung (3.2) in der Form
)
i λ
1 h
phys
2
( ∂µ Φphys ) − m2phys Φ2phys −
Φ4phys
2
4!
i
λphys 4
1
1h
2
( ∂µ Φphys ) − m2phys Φ2phys − ( Zλ − 1 )
Φphys − (Zm − 1)m2phys Φ2phys . (3.52)
+(ZΦ − 1)
2
4!
2
TH
=
NA
L
TH
JI(
DR
.R
UP
AK
Die zusätzlichen Terme, die durch die Aufspaltung Zi = 1 + (Zi − 1) , i = Φ, λ, m entstanden sind, nennt man
“Gegen-Terme (counterterms)”. Sie haben (hier) dieselbe Gestalt wie die Terme in der ursprünglichen LagrangeDichte und ihre Anzahl ist in einer renormierbaren Theorie endlich. Sie werden dadurch bestimmt, dass in
jeder Ordnung der Störungstheorie die entstehenden Divergenzen kompensiert werden. Diese “renormierte
Störungstheorie” ist nur eine geschickte Um-Organisation der Störungstheorie, die mit “nackten” Parametern
arbeitet. Man muss aber in jedem Fall festlegen, wie (z. B. bei welcher Energie) man die physikalischen Grössen
misst (Renormierungs-Bedingungen). Auch hier hat man grosse Freiheit, die aber nur zu Unterschieden von
höherer (als der betrachteten) Ordnung der Störungstheorie führt.
DR
.R
UP
NA
Dass alle Divergenzen in allen Ordnungen der Störungstheorie in die Konstanten ZΦ , Zλ , Zm gesteckt werden
können, ist hochgradig nicht-trivial und Ausdruck der Tatsache, dass die Φ4 -Theorie (perturbativ) renormierbar ist. Notwendig dafür ist die Eigenschaft, dass die Kopplungskonstante in 4 Raum-Zeit-Dimensionen dimensionslos ist oder allgemeiner in beliebiger Dimension d Massendimension ≥ 0 aufweist ({Le Bellac}, chapter
6.1). Da die Wirkung dimensionslos sein muss (im Pfadintegral steht exp(iS) ) gilt
Z
d
d
2 2
dim
= −d + 2 + 2 dim Φ = 0 , =⇒ dim Φ = − 1
d xm Φ
(3.53)
2
Z
dim
(3.54)
= −d + dim λ + 2d − 4 = 0 , =⇒ dim λ = 4 − d .
dd x λ Φ4
Im Gegensatz zur Quantenmechanik, wo das Potential weitgehend beliebig sein kann (z. B. V (x) = g x6 ) erlaubt
die Forderung der Renormierbarkeit in der Quanten-Feldtheorie keine g Φ6 -Terme in der vierdimensionalen
Lagrange-Dichte: die Kopplungskonstante g hätte dann die Dimension 6 − 2d = −2Wie kann man beweisen, dass eine spezielle Theorie renormierbar ist? Für diese Vorlesung gilt: “... das ist
ein zu weites Feld” {Fontane} und es wird auf speziellere Literatur, z. B. {Collins} oder {Muta}, verwiesen.
Vertiefung 25: Weitere erzeugende Funktionale
Es ist möglich, statt der formalen Darstellung (3.24) die (ebenso formale) Form
Z[J] = const. exp
−
i
( J, ∆F J )
2
exp
i
2
abzuleiten (Übungsaufgabe 22), die manchmal vorteilhafter ist.
δ
δ
, ∆F
δΦ
δΦ
exp
−i
Z
d4 x V (Φ)
Φ=∆F J
(3.55a)
126
Kapitel 3 : Feldtheorie
Statt die Quelle J(x) an ein Feld anzukoppeln, ist es auch manchmal günstig, bi-lineare Quellen einzuführen, etwa
Z̃[K] := const.
Z
DΦ exp
Z
1
i
d4 x
L − K(x) Φ2 (x)
2
(3.55b)
für ein einzelnes skalares Feld. In Übungsaufgabe 23 wird dies auf ein N -komponentiges Feld mit O(N )-Symmetrie ausgedehnt.
Schliesslich ist es möglich, ein erzeugendes Funktional für amputierte greensche Funktionen anzugeben
Definition (3.45) und von Gl. (3.14) definieren wir
˜F J ,
ϕ := −∆
d.h.
ϕ(x) = −
Z
65
: ausgehend von der
4
˜ F (x, y) J(y) .
d y∆
(3.55c)
Weil der freie Anteil der Wirkung als
1 1 1
1 ˜ −1 Φ + 1 δm2 (Φ, Φ)
Φ, (− − m2 )Φ =
Φ, (− − m2phys ) Φ + δm2 (Φ, Φ) ≡
Φ, ∆
F
2
2
2
2
2
(1 . . . n) =
)
1
δn
Z[0] δϕ1 . . . δϕn
Z
DΦ exp
i ˜ −1 Φ − i ϕ, ∆−1 Φ + i Sint [Φ] Φ, ∆
F
F
2
NA
amp
TH
geschrieben werden kann, haben wir
G
(3.55d)
,
(3.55e)
ϕ=0
Z
i
1
δn
˜ −1 ϕ)
exp − (ϕ, ∆
DΦ′ exp i S0 [Φ′ ] + i Sint [Φ′ + ϕ] ,
F
ϕ=0
δϕ1 . . . δϕn Z[0]
2
(3.55f)
wobei die Normierung durch
Z
DΦ′ exp i S0 [Φ′ ] + i Sint [Φ′ ]
TH
JI(
Z[0] =
DR
.R
Gamp (1 . . . n) =
UP
AK
wobei im wechselwirkenden Anteil Sint [Φ] jetzt auch der zusätzliche Term δm2 (Φ, Φ)/2) enthalten ist. Verschieben wir die IntegrationsVariable Φ = Φ′ + ϕ erhalten wir
(3.55g)
gegeben ist. Die zusammenhängenden amputierten n-Punkt-Funktionen werden entsprechend durch den Logarithmus des erzeugenden
Funktionals bestimmt, d. h.
"
i
˜ −1 ϕ) + ln
− (ϕ, ∆
F
2
NA
δn
δϕ1 . . . δϕn
(R
UP
Gamp
(1 . . . n) =
c
DΦ′ exp i S0 [Φ′ ] + i Sint [Φ′ + ϕ]
R
DΦ′ exp ( i S0 [Φ′ ] + i Sint [Φ′ ] )
) #
.
(3.55h)
ϕ=0
.R
Als Beispiele betrachten wir die 2- und 4-Punkt-Funktionen in niedrigster Ordnung der Störungstheorie: Man sieht sofort, dass bei
verschwindender Wechselwirkung nur die zusammenhängende amputierte 2-Punkt-Funktion
DR
(0)
˜ −1 (x1 , x2 ) = i
Gamp
(x1 , x2 ) = −i∆
c
F
x1 + m2phys
δ (4) (x1 − x2 )
(3.55i)
existiert. Eine zusammenhängende 4-Punkt-Funktion gibt es offensichtlich nur mit Wechselwirkung: Da V (Φ′ + ϕ) = O(ϕ0 , ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 ) +
λϕ4 /4! ist, findet man in 1. Ordnung der Störungstheorie für diese greensche Funktion
(1)
Gamp
(x1 , x2 , x3 , x4 ) =
c
=⇒
δ4
δϕ(x1 ) . . . δϕ(x4 )
−iλ
4!
Z
d4 x ϕ4 (x) = ( −iλ ) δ (4) (x1 − x2 ) δ (4) (x2 − x3 ) δ (4) (x3 − x4 )
(1)
Gamp
(p1 , p2 , p3 , p4 ) = (2π)4 δ (4) (p1 + p2 + p3 + p − 4) (−iλ) ,
c
(3.55j)
was mit den Feynman-Regeln für den Graph (C1) in Abb. 15 oder der Amputation von Gl. (3.44) übereinstimmt.
Da die amputierten zusammenhängenden greenschen Funktionen direkt die S-Matrix ergeben (siehe z. B. Gl. (3.48m)) kann man ein
S-Matrix-Funktional
Z
F [ϕ] := N
DΦ′ exp i S0 [Φ′ ] + i Sint [Φ′ + ϕ]
(3.55k)
definieren (siehe Nair, eq. (8.49)), das nach Funktional-Ableitung und Fourier-Transformation die S-Matrix ergibt
Sk1 ,...km →k′ ,...k′ =
1
n
√
i
ZΦ
m+n Y
m Z
i
d4 xi e−iki ·xi
Y
n Z
′ ·y
ikj
j
d 4 yj e
j
δ n+m
ln F [ϕ] δϕ(x1 ) . . . δϕ(xm ) δϕ(y1 ) . . . δϕ(yn )
ϕ=0
(3.55l)
˜ −1 ϕ)/2 in Gl. (3.55h), der nur zur 2-Punkt-Funktion beiträgt, kann
(Nair, eq. 5.24)). Den nicht-wechselwirkenden Anteil −i(ϕ, ∆
F
man dabei weglassen. Obwohl hier nur für eine skalare Theorie abgeleitet, kann die kompakte Formel (3.55l) auch (mit offensichtlichen
Modifikationen) auf allgemeinere Theorien übertragen werden.
Für das erzeugende Funktional der eigentlichen oder einteilchen-irreduziblen Diagramme siehe das nächste Kapitel 3.2.
65 Siehe
z. B. den Anhang von [38]; dort wird es aber auf Z0 normiert.
127
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
In analoger Weise kann man das erzeugende Funktional für freie Spin- 12 -Teilchen, also Fermionen, behandeln,
deren Lagrange-Dichte
∂/ ≡ γ µ ∂µ ,
L0 = ψ̄ (i∂/ − m) ψ ,
[γ µ , γ ν ]+ = 2g µν
(3.56)
lautet. Um die Bewegungs-Gleichungen für ψ, ψ̄ abzuleiten, sollte man eigentlich
i (3.57)
ψ̄ γ µ ( ∂µ ψ ) − ∂µ ψ̄ γ µ ψ − m ψ̄ψ
2
verwenden, aber für die Wirkung sind beide Formen (nach partieller Integration) gleichwertig. Um ein erzeugendes Funktional für fermionische greensche Funktionen zu erhalten, muss man antikommutierende äussere
Quellen η(x), η̄(x) einführen und über graßmann-wertige Felder funktional integrieren 66 :
Z
Z
4
Dψ̄(x)Dψ(x) exp i d x L0 (ψ, ψ̄) + ψ̄η + η̄ψ
Z0 [η, η̄] =
.
(3.58)
NA
Wie im bosonischen Fall ﬁnden wir durch quadratische Ergänzung
TH
)
L0 =
(3.59)
UP
AK
Z
Z0 [η, η̄] = const. · exp −i d4 x d4 y η̄(x) SF (x, y) η(y) ,
(x, y) =
DR
SF (x, y) = i∂/ − m + i 0
+ −1
.R
wobei
Z
d4 k ik·(x−y)
1
e
(2π)4
k/ − m + i 0+
(3.60)
3.2
DR
.R
UP
NA
TH
JI(
der Feynman-Propagator des Fermions ist. Die Behandlung der wechselwirkenden Theorie erfolgt im Prinzip
ebenfalls wie im bosonischen Fall. Allerdings erfordert die Quantisierung von fermionischen Theorien, deren
Wechselwirkung mit bosonischen Feldern durch ein Eichprinzip festgelegt wird – wie z. B. der QuantenElektro-Dynamik (QED) oder der Quanten-Chromo-Dynamik (QCD) – eine besondere Behandlung. Dies
liegt daran, dass für die Eichfelder die Inversion des bosonischen Kerns nicht möglich ist, wenn die EichFreiheitsgrade nicht separiert worden sind. Damit werden wir uns in Kapitel 3.3 beschäftigen.
Effektive Wirkung
Wir betrachten jetzt wieder eine skalare Theorie (z. B. diejenige von Gl. (3.2)) und schreiben die Abhängigkeit
vom planckschen Wirkungsquantum explizit aus:
i
W [J] .
(3.61)
Z[J] = exp
~
Es ist möglich, ein “klassisches Feld” als Vakuum-Erwartungswert des Feldoperators in Gegenwart der Quelle
zu deﬁnieren
Z
Z
δW [J]
1
i
4
Φkl (x) :=
(3.62)
=
DΦ Φ(x) exp
d y [ L + J(y) Φ(y) ] .
δJ(x)
Z
~
Dieses Feld hängt natürlich von der Quelle J ab, da ohne diese das Funktional-Integral über einen ungeraden
Integranden verschwinden würde. Wir nehmen an, dass diese Beziehung invertiert werden kann (was für
schwache Quellen zumindest störungstheoretisch möglich ist), d.h. dass
J = J(Φkl ) .
66 Da
(3.63)
man mit kommutierenden Zahlen im Pfadintegral arbeiten will, müssen die einzelnen Terme im Exponenten (Wirkung,
Lagrange-Dichte, Quellterme) graßmann-gerade sein, d. h. eine gerade Anzahl von graßmann-wertigen Faktoren enthalten.
128
Kapitel 3 : Feldtheorie
Als effektive Wirkung bezeichnet man die Grösse
Γ[Φkl ] :=
W [J] −
Z
d4 x J(x) Φkl (x)
(3.64)
.
J=J(Φkl )
Das ist eine Legendre-Transformation, ähnlich derjenigen, mit der man in der klassischen Mechanik von
der Lagrange-Funktion zur Hamilton-Funktion übergeht. Man kann zeigen (für die 2-Punkt-Funktion: siehe
Übungsaufgabe 20), dass die eﬀektive Wirkung das erzeugende Funktional für die eigentlichen oder einteilchen-irreduziblen Diagramme ist
(3.65)
TH
)
Z
∞
X
1
Γ[Φkl ] =
d4 x1 . . . d4 xn Γ(n) (x1 . . . xn ) Φkl (x1 ) . . . Φkl (xn ) .
n!
n=0
NA
TH
JI(
DR
.R
UP
AK
NA
Das sind diejenigen Diagramme, die durch Aufschneiden einer einzigen inneren Linie nicht in zwei unzusammenhängende Diagramme niedriger Ordnung zerfallen (siehe Abbildung 18).
(b)
DR
.R
UP
(a)
Abb. 18 : (a) Ein 1-Teilchen-reduzibler Graph, der entlang der gestrichelten Linie aufgeschnitten werden
kann. (b) Ein 1-Teilchen-irreduzibler Graph (in 2. Ordnung Störungstheorie für die Φ4 -Theorie).
Die zusätzliche Bedeutung der eﬀektiven Wirkung folgt aus einer Beziehung, die wir erhalten, wenn wir die
Deﬁnition (3.64) nach dem klassischen Feld funktional diﬀerenzieren
Z
Z
δW [J] δJ(y)
δJ(y)
δΓ[Φkl ]
=
d4 y
− d4 y
Φkl (y) − J(x) = −J(x) .
(3.66)
δΦkl (x)
δJ(y) δΦkl (x)
δΦkl (x)
Zuerst haben wir dabei die Kettenregel und danach Gl. (3.62) verwendet. Wenn die äussere Quelle verschwindet,
haben wir also
δΓ[Φkl ] = 0,
(3.67)
δΦkl J=0
was das exakte Gegenstück zur Bewegungsgleichung für das klassische Feld ist. Der Unterschied ist aber, dass
Γ[Φkl ] alle Quantenkorrekturen enthält, was den Namen “eﬀektive Wirkung” erklärt. In Analogie zur Thermodynamik kann man −W [J] als Vakuum-Energie in Abhängigkeit von der äusseren Quelle verstehen und die
129
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
eﬀektive Wirkung Γ[Φkl ] als Analogon zur gibbschen freien Energie, deren Minimum den dynamisch stabilsten
Zustand des Systems bestimmt 67 . Das Studium der eﬀektiven Wirkung erlaubt uns also, den Grundzustand
des Quantensystemes unter Einschluss aller Quantenﬂuktuationen zu bestimmen. Das ist besonders einfach,
wenn die Lösungen von Gl. (3.67) konstant sind, weil man dann nur das Minimum einer Funktion und nicht
eines Funktional studieren muss:
Φkl = const.
Γ[Φkl ] = −V · Veff (Φkl ) .
=⇒
(3.68)
AK
NA
TH
)
Hierbei ist V das Raum-Zeit-Volumen und Veff das eﬀektive Potential.
Wie kann man die eﬀektive Wirkung berechnen ? Neben der Störungstheorie steht uns noch die semiklassische Entwicklung zur Verfügung, die wir in den ersten beiden Teilen der Vorlesung bereits mehrfach verwendet
haben. Auch hier beruht sie auf einer Anwendung der Methode der stationären Phase auf das FunktionalIntegral
Z
Z
Z
1 2 2
1
i
µ
4
∂µ Φ∂ Φ − m Φ − V (Φ) + JΦ
≡
DΦ eiS[Φ,J]/~ .
(3.69)
d x
Z[J] =
DΦ exp
~
2
2
UP
Die stationäre Feldkonﬁguration erfüllt δS[Φ, J]/δΦ = 0 , d.h.
(3.70)
.R
+ m2 Φ0 (x) + V ′ (Φ0 ) = J(x) ,
TH
JI(
DR
und wir nehmen an, dass die Lösung Φ0 = 0 ist für J = 0 . In führender Ordnung in einer ~-Entwicklung ist
das Funktional-Integral (3.69) durch den Wert des Integranden an der stationären Konﬁguration gegeben:
Z
i
i
i (0)
(0)
4
Z [J] = exp
.
(3.71)
S[Φ0 ] +
W
d xJ(x)Φ0 (x) = exp
~
~
~
(3.72)
.R
UP
NA
Nach Gl. (3.62) ist das “klassische Feld” in dieser Ordnung durch
Z
Z
δS[Φ0 , J] δΦ0 (y)
δΦ0 (y) δS[Φ0 ]
(0)
+
= Φ0 (x) + d4 y
= Φ0 (x)
Φkl (x) = Φ0 (x) + d4 y J(y)
δJ(x)
δJ(x)
δΦ0 (y) δJ(x)
DR
gegeben. Hierbei wurde die Kettenregel verwendet und die Tatsache, dass S[Φ, J] bei Φ0 stationär ist. Damit
folgt das einleuchtende Ergebnis, dass die eﬀektive Wirkung für ~ = 0 gleich der klassischen Wirkung ist:
Γ(0) [Φkl ] = S[Φkl ] .
(3.73)
Die Quantenkorrekturen werden - wie üblich - durch Fluktuationen um die stationäre Konﬁguration erzeugt.
Wir setzen
√
Φ(x) = Φ0 (x) + ~ φ(x)
(3.74)
und erhalten
Z[J] =
Z (0) [J] ·
Z
( Z
h1
1
Dφ exp i d4 x ∂µ φ∂ µ φ −
m2 + V ′′ (Φ0 ) φ2
2
2
)
i
X
m/2−1 1
(m)
m
−
~
.
V
(Φ0 )φ
m!
(3.75)
m≥3
Oﬀensichtlich sind die quadratischen Terme in φ die führenden in einer systematischen Entwicklung nach
Potenzen von ~ . Wir werden sehen, dass die quadratischen Fluktuationen auf Einschleifen-Diagramme führen
und es ist nicht schwer abzuleiten, dass allgemein die ~-Entwicklung eine Entwicklung nach Schleifen ist.
67 Siehe,
z. B., Peskin & Schroeder, chapter 11.3.
130
Kapitel 3 : Feldtheorie
Wir wollen nun die Einschleifen-Korrektur zur klassischen Wirkung berechnen. Aus Gl. (3.75) erhalten wir
mit Hilfe des üblichen gaußschen Integrals
(
)
Z
Z
i
const.
.
(3.76)
Dφ exp −
d4 x φ(x) + m2 + V ′′ (Φ0 ) φ(x)
=
1/2
2
Det ( + m2 + V ′′ (Φ0 ) )
TH
)
Die Konstante können wir als Wert des Integrals für V = 0 schreiben, da die Normierung des erzeugenden Funktionals nicht benötigt wird. Auf diese Weise verschwindet die Quantenkorrektur zur eﬀektiven Wirkung auch automatisch für verschwindende Wechselwirkung. Mit der Spur-Darstellung der Determinante (Übungsaufgabe
13) erhalten wir
1
1
(1)
(0)
′′
Z [J] = Z [J] · exp − Sp ln 1 +
V (Φ0 )
,
(3.77)
2
+ m2 − i 0 +
oder
UP
AK
NA
1
W (1) [J] = S[Φ0 , J] + i~ Sp ln [ 1 − ∆F V ′′ (Φ0 ) ] .
(3.78)
2
Um die eﬀektive Wirkung zu bestimmen, benutzen wir Φkl = Φ0 + O(~) . Da ausserdem S[Φ, J] bei Φ0
stationär ist, gilt ferner S[Φkl , J] = S[Φ0 , J] + O(~2 ) . Damit folgt
1
Γ[Φkl ] = S[Φkl ] + i~ Sp ln [ 1 − ∆F V ′′ (Φkl ) ] + O ~2 .
2
DR
.R
(3.79)
TH
JI(
Die störungstheoretische Entwicklung von
NA
UP
=
∞
X
1
1
n
i~ Sp ln [ 1 − ∆F V ′′ (Φ0 ) ] = −i~
Sp [∆F V ′′ (Φ0 )]
2
2n
n=1
Z
∞
X
1
−i~
d4 z1 . . . d4 zn ∆F (z1 − z2 )V ′′ (Φ0 (z2 )) . . . V ′′ (Φ0 (zn ))∆F (zn − z1 )V ′′ (Φ0 (z1 )) (3.80)
2n
n=1
DR
.R
zeigt, dass der Zusatzterm die Beiträge aller Einschleifen-Diagramme enthält, die aus n Propagatoren
i∆F (zi − zi+1 ) und n Vertizes −iV ′′ (Φ0 (zi+1 )) = −iλΦ20 (zi+1 )/2 gebildet werden (siehe Abb. 19).
+
+
+ ...
Abb. 19 : Einschleifen-Korrektur für die eﬀektive Wirkung in der Φ4 -Theorie.
In vielen Fällen ist man nur an dem eﬀektiven Potential interessiert, das wir weiter oben bereits für konstante
Felder eingeführt haben, das man aber auch als ersten Term einer Entwicklung der eﬀektiven Wirkung nach
immer höheren Ableitungen des Feldes verstehen kann
Z
1
(3.81)
Γ[Φkl ] =
d4 x −Veff (Φkl ) + Zeff (Φkl ) ∂µ Φkl ∂ µ Φkl + . . . .
2
131
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
Für die Φ4 -Theorie bekommen wir, wenn Φkl = const.
Z
1 2 2
Φ2kl
d4 k
λ
λ 4
i~
Veff (Φkl ) = m Φkl + Φkl −
+ O ~2 .
ln 1 −
4
2
2
+
2
4!
2
(2π)
2 k −m + i0
(3.82)
Das Schleifen-Integral ist divergent und muss durch einen Gegenterm der Form
VGegenterm(Φkl ) =
A 2
B
Φ + Φ4
2 kl 4! kl
(3.83)
Φkl =0
TH
Φkl =0
)
endlich gemacht werden. Die Konstanten A, B können dadurch festgelegt werden, dass man verlangt, dass die
physikalische Masse und die physikalische Kopplungskonstante bei Φkl = 0 gemessen werden:
4
∂
V
∂ 2 Veff eff
2
=
m
,
= λphys .
(3.84)
phys
∂Φ2kl ∂Φ4kl UP
AK
NA
Ein besonders interessanter Fall tritt auf, wenn man ursprünglich von einer masselosen Theorie startet: m2 = 0.
Als Renormierungsbedingung muss man dann allerdings die Kopplungskonstante bei einem Wert Φkl = M
vorgeben
∂ 4 Veff λM =
.
(3.85)
∂Φ4kl Φkl =M
λM 4
~λ2M 4
Φ
Φkl +
4!
(16π)2 kl
TH
JI(
Veff (Φkl ) =
DR
.R
Dann erhält man [39]
ln
Φ2kl
25
−
M2
16
+ ... .
(3.86)
DR
.R
UP
NA
Da der letzte Term für kleine Φkl negativ ist, wird das Minimum vom Ursprung Φkl = 0 weggeschoben, d.h.
die Quantenkorrekturen der Einschleifen-Näherung haben “spontan” eine Masse erzeugt. Wegen Gl. (3.66)
bedeutet dies, dass selbst bei verschwindender äusserer Quelle J(x) ein Vakuum-Erwartungswert des Feldes Φmin
kl
existiert. Wie man leicht nachrechnen kann, liegt dieser Wert allerdings ausserhalb des Gültigkeitsbereichs der
semiklassischen Entwicklung (die Korrektur ist so gross wie der klassische Beitrag), so dass dieser Mechanismus
der dynamischen Massenerzeugung ungesichert bleibt.
3.3
Quantisierung von Eichtheorien
Die freie Lagrange-Dichte (3.56) für Elektronen ist invariant unter der globalen Eichtransformation
ψ(x) −→ e−ieΘ ψ(x) ,
ψ̄(x) −→ ψ̄(x) eieΘ ,
(3.87)
wobei Θ ein konstanter Parameter ist und die elektrische Ladung e der Teilchen zweckmässigerweise explizit
ausgeschrieben wird. Man kann die Eichtransformation (3.87) zu einer lokalen ausweiten
ψ(x) −→ e−ieΘ(x) ψ(x) ,
ψ̄(x) −→ ψ̄(x) eieΘ(x) ,
(3.88)
wenn man ein “Eichfeld” Aµ (x) einführt, das den entstehenden Zusatzterm von der Ableitung in L0 kompensiert:
/(x) ) ψ(x) .
(3.89)
L0 −→ L = ψ̄(x) ( i∂/ − m − eA
Dann muss sich Aµ (x) oﬀensichtlich wie
Aµ (x) −→ Aµ (x) + ∂µ Θ(x)
(3.90)
132
Kapitel 3 : Feldtheorie
transformieren.
Fügt man noch einen invarianten kinetischen Energieterm für das “Photonenfeld” Aµ hinzu, der höchstens
quadratisch in den Ableitungen sein soll, ist die Lagrange-Dichte der Quanten-Elektro-Dynamik (QED) komplett:
LQED
1
= − Fµν F µν + ψ̄ ( i∂
/ − m − eA
/ )ψ ,
4
Fµν := ∂µ Aν − ∂ν Aµ .
(3.91)
NA
TH
)
Man beachte, dass die Photonen masselos sein müssen: ein Massenterm der Form Aµ Aµ würde die EichInvarianz verletzen. Die Wechselwirkung zwischen Elektronen und Photonen ist daher dadurch entstanden,
dass die Phasentransformation (3.87) “geeicht” worden ist. Da die Gruppe der Transformationen (3.87) eine
U(1)-Gruppe ist, spricht man von einer (abelschen) U(1)-Eichtheorie.
T a, T b
= if abc T c ,
a = 1...n
(3.92)
.R
UP
AK
Dieses Eichprinzip kann auf nichtabelsche Eichgruppen ausgedehnt werden: Sei die Lie-Algebra einer (kompakten, halb-einfachen) Lie-Gruppe G 68 von den (hermiteschen) Generatoren T a erzeugt, wobei diese
( T a )bc = −i f abc
(3.93)
UP
NA
TH
JI(
DR
erfüllen (über gleiche Indizes wird summiert). Die Konstanten f abc sind die Strukturkonstanten, die die LieAlgebra der Gruppe G charakterisieren. Wie beim Drehimpuls kann man die Generatoren in verschiedenen
(Matrix-)Darstellungen angeben; wichtig sind die fundamentale Darstellung als kleinste mögliche Darstellung, nach der sich i.a. die Fermionen der Theorie transformieren, und die adjungierte Darstellung, die
durch
DR
.R
deﬁniert ist. Sowohl der Feldstärke-Tensor Fµν als auch das Eichfeld Aµ müssen sich unter der adjungierten
Darstellung der Eichgruppe transformieren (siehe, z. B. Das, ch. 12.2). Es gilt
Sp T a T b
= C2 δab ,
(3.94)
wobei die Konstante C2 nur von der Darstellung abhängt (üblicherweise wird C2 = 1/2 für die fundamentale
Darstellung gewählt).
Beispiele :
a) G = SU (2) : f abc ≡ ǫabc , (total antisymmetrischer Tensor, ǫ123 = 1). In der fundamentalen Darstellung
werden die Generatoren durch die Pauli-Matrizen dargestellt: T a = τ a /2 mit
!
!
!
0 1
0 −i
1 0
τ1 =
,
τ2 =
,
τ3 =
.
(3.95)
1 0
i 0
0 −1
b) G = SU (3) : Die Eichung dieser Gruppe führt zur Quanten-Chromo-Dynamik (QCD), der Theorie
der starken Wechselwirkung von Quarks und Gluonen. In der fundamentalen Darstellung werden die
68 Für
eine Erläuterung dieser Begriffe, siehe z. B. http://de.wikipedia.org/wiki/Liealgebra oder Einführungen in die Gruppentheorie für Physiker, wie {Georgi}. Hier ist das allerdings ein zu “grosses Geschütz”, da wir im Folgenden nur die Gruppe der
unitären Transformation U von N -dimensionalen Vektoren mit det U = 1 (also spurlosen Generatoren), genannt SU (N ), betrachten
werden.
133
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
Generatoren durch

0

λ1 = 1
0

0

λ5 = 0
i
die Gell-Mann-Matrizen dargestellt: T a = λa /2 , a = 1 . . . 8 mit






0 0
1 0 0
0 −i 0
1 0






0 0 , λ2 =  i 0 0 , λ3 = 0 −1 0 , λ4 = 0 0
1 0
0 0 0
0 0 0
0 0






0 0 0
0 0 0
0 −i
1
1 





√
,
λ
=
,
λ
=
,
λ
=
0 0
0 0 −i
0 0 1
0
8
7
6
3
0 i 0
0 1 0
0 0
0

1

0
0

0 0

1 0  .(3.96)
0 −2
NA
TH
)
Die Strukturkonstanten f abc sind total antisymmetrisch und die einzigen nicht-verschwindenden Elemente
haben (wie aus der Darstellung (3.96) zu entnehmen ist) die Werte
r
1 458
3
1 156
367
678
123
147
246
257
345
= f
= − ,f
= f
=
.
(3.97)
f
= 1, f
= f
= f
= f
= ,f
2
2
2
AK
Allgemein hat man
n = N2 − 1
(3.98)
UP
Generatoren für SU (N ) .
TH
JI(
DR
.R
Das Fermionfeld taucht jetzt in N Spezies auf , zum Beispiel gibt es 2 Zustände des Nukleons – Proton und
Neutron – bei Isospin SU(2), 3 farbige Quarks bei der Farb-SU(3) . Es transformiert sich nach der fundamentalen
Darstellung


ψ1 (x)


..
,
ψ(x) = exp (−igΘa T a ) ψ ′ (x) ,
ψ(x) = 
(3.99)
.


ψN (x)
DR
.R
UP
NA
wobei T a eine Matrix-Darstellung der Generatoren ist. Die freie Lagrange-Dichte (3.56) (in der jetzt m eine
Massen-Matrix darstellt) ist wiederum invariant unter der globalen Transformation (3.99), aber nicht mehr
unter der lokalen Eichtransformation
ψ(x) = exp [ −igΘa (x)T a ] ψ ′ (x) .
(3.100)
Zur Kompensation benötigt man ein Eichfeld Aaµ (x) , a = 1 . . . n , das sich wie
′
′
Aaµ (x) = Aaµ (x) + g f abc Θb (x)Acµ (x) + ∂µ Θa (x) + O(Θ2 )
(3.101)
unter einer inﬁnitesimalen Eichtransformation transformiert.
Beweis: Wir schreiben die Eichtransformation (3.100) als
′
ψ(x) = U(x) ψ (x)
mit
−igΘa (x)T a
U(x) = e
,
†
†
U (x) U(x) = U(x) U (x) = 1
(3.102a)
und führen wieder ein (matrixwertiges) Eichfeld Aµ (x) ein, das die zusätzlichen Terme kompensieren soll, die durch die lokale Eichtransformation der freien fermionischen Lagrange-Dichte entstanden sind
L ψ̄, ψ, A
=
=
n
o
µ
′ †
µ
′
ψ̄ γ ( i∂µ − gAµ ) − m ψ = ψ̄ U (x) γ [ iU(x)∂µ + i ( ∂µ U(x) ) − gAµ U(x) ] − mU(x) ψ
h
i
L ψ̄ ′ , ψ ′ , A′ + ψ̄ ′ γ µ i U † ∂µ U(x) + gA′µ − gU † (x)Aµ U(x) ψ ′ .
(3.102b)
Um die unerwünschten Terme wegzuheben, muss sich das Vektorpotential Aµ also wie
′
†
Aµ = U(x)Aµ U (x) +
i
†
( ∂µ U(x) ) U (x)
g
(3.102c)
transformieren. Für die abelsche Theorie stimmt dies mit Gl. (3.90) überein (dort haben wir die Kopplungskonstante mit e bezeichnet).
In einer nichtabelschen Theorie schreiben wir
a
Aµ (x) =: Aa
(3.102d)
µ (x) T
134
Kapitel 3 : Feldtheorie
und beschränken uns auf infinitesimale Transformationen (was bei Lie-Algebren immer möglich ist) U(x) = 1 − igΘa (x) T a + O Θ2
Dann erhalten wir aus Gl. (3.102c)
a
Aa
µT
=
=
′
′
.
′
a
b
b
a
a
a
a
b
b
a
a
Aa
µ T − igΘ (x) T Aµ T + igAµ T Θ (x) T + ∂µ Θ (x) T
h
i
′
′
′
a
a
a
a
b
b
a
a
a
a
a
a
bac b
a′
c
Aµ T + ∂µ Θ (x) T − ig Θ (x) T , T
Aµ = Aµ T + ∂µ Θ (x) T + gf
Θ (x) Aµ T .
| {z }
(3.102e)
=if bac T c
Wenn wir im letzten Term a ↔ c vertauschen und f bca = f abc verwenden, erhalten wir Gl. (3.101).
)
Wenn wir noch einen invarianten, kinetischen Term für die Eichfelder hinzufügen, ist die Lagrange-Dichte einer
nichtabelschen Eichtheorie also durch
1 a a µν
Lnichtabelsch = − Fµν
/ − m) ψ
F
+ ψ̄ (iD
4
NA
TH
(3.103)
AK
gegeben, wobei
Dµ (x) = ∂µ + ig T a Aaµ (x)
UP
(3.104)
.R
die kovariante Ableitung ist. In Komponentenform lautet sie hier
DR
( Dµ (x) )jk = ∂µ δjk + ig ( T a )jk Aaµ (x) ,
(3.105)
UP
NA
TH
JI(
wobei ( T a )ij die Matrix-Darstellung des Generators T a in der fundamentalen Darstellung ist. Man beachte,
dass z. B. in SU (N ) : j, k = 1, . . . N , während a, b von 1 bis n = N 2 − 1 laufen. In der adjungierten Darstellung
(3.93) haben wir
ab
(3.106)
( Dµ (x) ) = ∂µ δ ab + gf abc Acµ (x)
.R
und daher können wir das Transformations-Verhalten des Eichpotentials (3.101) einfach als
schreiben.
DR
Aaµ (x) −→ Aaµ (x) + δAaµ (x) ,
δAaµ (x) = ( Dµ (x) )
ab
Θb ≡ ( Dµ (x) Θ )
a
(3.107)
Den Feldstärke-Tensor bestimmt man aus der Beziehung
a
[ Dµ , Dν ] = ig Fµν = ig Fµν
Ta
(3.108)
und ﬁndet
a
Fµν
=
∂µ Aaν − ∂ν Aaµ − gf abc Abµ Acν .
(3.109)
Er ist jetzt nichtlinear in den Vektorpotentialen – daher tragen die Eichbosonen im Gegensatz zum abelschen
Fall “Ladungen” (z. B. Farbe) und wechselwirken miteinander.
Dass der kinetische Term für die Eichbosonen eichinvariant ist, sieht man aus dem Transformations-Verhalten der kovarianten Ableitung:
Diese ist so konstruiert worden ist, dass ψ̄(iD
/ − m)ψ invariant unter der Eichtransformation (3.102a) ist, d. h.
Dµ (x) −→ U(x) Dµ (x) U † (x) .
(3.110a)
135
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
Dann transformiert sich Gl. (3.108) wie
Fµν (x) −→ −
h
i
i
i
i h
†
†
†
U(x) Dµ (x) U (x) , U(x) Dν (x) U (x) = − U(x) Dµ (x), Dν (x) U (x) ≡ U(x) Fµ
g
g
nu (x) U
†
(x)
(3.110b)
und der kinetische Term für die Eichbosonen
−
1
1
1
1 a
sp Fµν F µν −→ − sp U(x) Fµν F µν U † (x) = − sp Fµν F µν = − Fµν
F µν a
2
2
2
4
(3.110c)
ändert sich tatsächlich nicht (hierbei wurde zuletzt die zyklische Vertauschbarkeit von einzelnen Faktoren in der Spur verwendet).
AK
NA
TH
)
Wie bereits erwähnt, treten in der Quantisierung von Eichtheorien Schwierigkeiten auf, weil Eichfelder physikalisch äquivalent sind, wenn sie durch eine Eichtransformation (3.101) verbunden sind. Da dies nicht an
die Existenz der Fermionen gebunden ist, betrachten wir zunächst die reine “Yang-Mills-Theorie” ohne
Fermionen. Das erzeugende Funktional wäre naiverweise
Z
Z
(3.111)
Z YM [J] =
DAaµ (x) exp i d4 x L + Jµa Aa µ .
DR
.R
UP
Speziell im freien Fall ( g = 0 ) ist der Feldstärke-Tensor gleich dem abelschen und nach einer partiellen
Integration haben wir
Z
Z
1 a µν
4
µ ν
a
a aµ
YM
a
.
(3.112)
A (g − ∂ ∂ ) Aν + Jµ A
Z0 [J] =
DAµ (x) exp i d x
2 µ
(3.113)
NA
TH
JI(
Nach dem üblichen Schema der quadratischen Ergänzung würden wir
Z
const.
i
bν
4
4
aµ
−1 ab
YM
(x, y)J (y)
d x d y J (x) K
Z0 [J] =
exp −
µν
2
Det1/2 K
erhalten, wobei
(3.114)
.R
UP
ab
Kµν
(x, y) = δ ab δ 4 (x − y) (g µν − ∂ µ ∂ ν )
DR
invertiert werden muss. K besitzt jedoch kein Inverses: es gibt Eigenfunktionen kν exp(ik · x) mit Eigenwert
0 ! (Eine andere Möglichkeit, dies einzusehen, ist zu zeigen , dass K ein Projektions-Operator ist, der die
transversalen Freiheitsgrade des Eichfeldes herausprojiziert). Daher verschwindet DetK und das bisherige
Verfahren, die Feynman-Regeln abzuleiten, ist nicht anwendbar.
Diese Schwierigkeit rührt daher, dass wir über alle Konﬁgurationen des Eichfeldes im Pfadintegral summiert haben, auch über solche, die durch Eichtransformationen verbunden sind. Diese sind redundant, d.h.
unphysikalisch. Wir müssen den (unendlichen) Beitrag solcher Konﬁgurationen aus dem Pfadintegral herausdividieren, d.h., um eine Eichtheorie zu quantisieren, muss man die Eichung fixieren. Dies kann durch eine
Bedingung
= ha (x)
(3.115)
Ha AΘ
µ
geschehen, wobei der Index Θ die gewählte Eichung mit Eichparameter Θ anzeigen soll. Der entscheidende
Schritt ist nun, das Pfadintegral für das erzeugende Funktional mit einer “ 1 ” in der Gestalt
1 = ∆F P (A)
Z
DΘ(x) δ H AΘ
µ (x) − h(x)
zu multiplizieren, wobei
DΘ(x) =
n Y
Y
a=1 j
dΘa (xj )
(3.116)
(3.117)
136
Kapitel 3 : Feldtheorie
das invariante Funktional-Mass im Gruppenraum ist (für SU (2) z. B. bedeutet das Funktional-Integration über
die 3 Eulerwinkel, mit denen die Gruppe parametrisiert werden kann) und
n Y
Y
δ [ H(x) − h(x) ] =
a=1 j
δ ( Ha (xj ) − ha (xj ) )
die funktionale δ-Funktion. Der Faddeev-Popov-Faktor ∆F P ist durch
"
#
δH(AΘ
µ)
∆F P (A) = Det
δΘ
(3.118)
(3.119)
69
Nehmen wir an, dass in dem Integral
Z
d2 r exp[iS(r)]
(3.120a)
AK
Z =
NA
Vertiefung 26: Zweidimensionales Beispiel
TH
)
gegeben, wobei die Determinante auch im Gruppenraum zu nehmen ist.
DR
.R
UP
die ”Wirkung” S nur vom Radiusvektor r in r = (r, ϕ) abhängt. Dann ist der Integrand invariant unter einer Rotation r → rΘ = (r, ϕ + Θ)
um einen festen Winkel Θ. Natürlich würde man diese Invarianz sofort benutzen, um die ϕ-Integration auszuführen, was einen Faktor 2π
ergibt. Nehmen wir jedoch an, dass es nicht gelingt, den ”relevanten Freiheitsgrad” (hier den Radius r) sogleich zu identifizieren, so ist es
trotzdem möglich, den Beitrag des nichtrelevanten Freiheitsgrades (ϕ) im Integral herauszufaktorisieren: wir fixieren den Rotationswinkel
Θ durch die Nebenbedingung
H rΘ = h = const.
(3.120b)
TH
JI(
P
′
und integrieren über alle Rotationswinkel. Wegen der Beziehung δ(F (x) − h) =
i δ(x − xi )/|F (xi )| , wobei F (xi ) = h erfüllt, haben wir
also
Z
∂H rΘ ,
(3.120c)
1 = ∆(r)
dΘ δ H rΘ − h , mit ∆(r) =
∂Θ
Θ=Θ0
NA
wenn die Gleichung H rΘ = h genau eine Lösung Θ0 hat. Daher erhalten wir für das Integral in Gl. (3.120a)
UP
Z
dΘ
Z
d2 r eiS(r) ∆(r) δ H rΘ − h ,
|
{z
}
(3.120d)
:= Z Θ
.R
Z =
DR
wobei Z Θ jetzt unabhängig von Θ ist. Dies zeigt man durch Rotation um einen anderen Winkel Θ′ :
ZΘ
′
=
Z
′
d2 r eiS(r) ∆(r) δ H rΘ − h .
(3.120e)
Der Faddeev-Popov-Faktor ist nach Konstruktion unahhängig vom Rotationswinkel, genauso wie die “Wirkung” S. Wenn wir daher
′
rΘ = (r, ϕ + Θ′ ) =: (r, ϕ′ ) = r′ als neue Integrationsvariable wählen, erhalten wir
ZΘ
′
=
Z
d2 r ′ eiS(r
′)
∆(r′ ) δ H r′ − g ≡ Z Θ=0
(3.120f)
und wir können die Winkelintegration ausführen, d.h. den Beitrag der nichtrelevanten Freiheitsgrade herausfaktorisieren
Z = 2π · Z Θ=0 .
(3.120g)
Die Wahl der Nebenbedingung H ist ebenso beliebig, wie die der Konstanten g; wir müssen nur sicherstellen, dass der Drehwinkel Θ
!
eindeutig fixiert wird. Ein (triviales) Beispiel ist H(rΘ ) = ϕ + Θ = h, was für alle r den Polarwinkel fixiert und zu ∆(r) = 1 führt.
Zusätzlich ist also angenommen, dass es zu jedem Θa genau ein Eichfeld Aa gibt, das die Eichbedingung
(3.115) erfüllt 70 . Wenn wir jetzt in der Pfadintegral-Darstellung des erzeugenden Funktionals
Z
Z
Z0YM [J] =
DΘ DAΘ ∆F P (AΘ ) exp iS0 [AΘ ] + i(J, AΘ ) δ H(AΘ ) − h(x)
(3.121)
69 Cheng & Li, p. 250 - 252
70 Nichtperturbativ ist dies i. a.
nicht gegeben, was man als Gribov-Ambiguität bezeichnet.
137
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
eine Eichtransformation durchführen, dann sind sowohl die Wirkung S0 [A] als auch der Faddeev-Popov-Faktor
∆F P und das Integrations-Mass invariant. Wenn wir nur eichinvariante Grössen betrachten, dann können wir
auch im Quellterm
Z
a
J, AΘ ≡
d4 x J a µ (x)AΘ
(3.122)
µ (x)
′
AΘ durch AΘ ersetzen
Z0YM [J] =
=
71
. Wir erhalten daher durch eine Um-Eichung
Z
Z
h
i
′
′
′
′
′
DΘ DAΘ ∆F P (AΘ ) exp iS0 [AΘ ] + i(J, AΘ ) δ H(AΘ ) − h(x)
Z
h
i
′
′
′
′
′
const. DAΘ ∆F P (AΘ ) exp iS0 [AΘ ] + i(J, AΘ ) δ H(AΘ ) − h(x) ,
(3.123)
UP
AK
NA
TH
)
weil jetzt die Integration über die Eichparameter ausgeführt werden kann. Dies ergibt nur einen (unendlichen)
Faktor, der bei der Berechnung der greenschen Funktionen herausfällt. Auf diese Weise haben wir über alle
Konﬁgurationen integriert, die nur durch eine Eich-Transformation auseinander hervorgehen.
Da die Funktionen ha (x) in der Eichﬁxierung (3.115) beliebig ist, kann man darüber mit dem Gewicht
Z
i
4
a
a
exp −
d x h (x) h (x)
(3.124)
2λ
= const.
Z
DA Det
δHa (A)
δΘ
Z
1 2
4
aµ a
exp i d x L0 −
H (A) + J Aµ
.
2λ
(3.125)
UP
NA
Z0YM [J]
TH
JI(
DR
.R
funktional integrieren, wobei λ ein beliebiger Parameter ist. Auf diese Weise wird die Eichﬁxierung ein Teil der
Lagrange-Dichte und man erhält
δH( A)
δΘ
DR
Det
.R
Demselben Zweck dient die Darstellung der Determinante (des Faddeev-Popov-Faktors) als Integral über
fiktive, antikommutierende Felder χa (x), χ̄a (x)
=
Z
Z
Dχ̄(x) Dχ(x) exp i d4 x d4 y χ̄a (x)Kab (x, y)χb (y) ,
wobei
Kab (x, y) =
δHa (A(x))
δΘb (y)
(3.126)
(3.127)
ist. Dies sind die “Faddeev-Popov-Geister” – skalare Felder, die wie Fermionen antikommutieren.
Wie bestimmt man den Kern K in Gl. (3.127) ? Wir wissen, wie sich das Eichfeld unter einer inﬁnitesimalen
Eichtransformation verhält (siehe Gl. (3.101)). Wenn wir zur Vereinfachung nur lineare Eichfixierungen
Ha (A) = Hµ Aaµ (x)
betrachten (wobei Hµ auch ein Operator sein kann), erhalten wir
1
1
Kab (x, y) = Hµ f abc Acµ (x) + δab ∂µ δ (4) (x − y) = Hµ (Dµ (x))ab δ (4) (x − y) ,
g
g
(3.128)
(3.129)
wobei Dµ (x) die kovariante Ableitung – jetzt in der adjungierten Darstellung (3.106) – ist. Den Faktor g −1
können wir durch eine Umdeﬁnition der Geist-Felder aus Kab herausnehmen und ﬁnden somit
71 (J,A)
ist nicht eichinvariant. Daher sind auch greensche Funktionen nicht eichunabhängig, sondern nur S-Matrixelemente.
138
Kapitel 3 : Feldtheorie
Z0YM [J]
Z
1
4
µ a 2
= const. DA Dχ̄ Dχ exp i d x L0 −
Ha Aµ
2λ
Z
i
h
ab b
4
aµ a
a µ
.
· exp i d x J Aµ + χ̄ H (Dµ (x)) χ
Z
(3.130)
Die kovariante Ableitung in der letzten Exponentialfunktion enthält auch einen Term der Ordnung g, der
eigentlich ein Teil der Wechselwirkung ist und kann daher durch ∂µ δab ersetzt werden.
TH
)
Anmerkungen :
NA
a) In abelschen Theorien (wie der QED), in denen die Strukturkonstanten f abc = 0 sind, koppeln die
Geister nicht an das Eichfeld und sind daher nicht relevant.
UP
AK
b) In einer nichtabelschen Theorie (wie der QCD) koppeln sie im allgemeinen an die Eichfelder (Gluonen), allerdings erst in O(g) .
c) In einer kovarianten Eichung
(3.131)
DR
.R
Hµ = ∂µ
wobei der Kern
1
µ ν
g x − 1 −
∂x ∂x ∆νρ (x, y) = gρµ δ 4 (x − y)
(3.133)
λ
erfüllt. Das kann jetzt im Fourier-Raum invertiert werden und man erhält den Propagator für die Eichbosonen
kµ kν
1
g
−
(1
−
λ)
.
∆µν (k) = − 2
(3.134)
µν
k + i 0+
k 2 + i 0+
µν
DR
.R
UP
NA
TH
JI(
erhalten wir nun nach partieller Integration für das freie, erzeugende Funktional (die Geister können sofort
ausintegriert werden und tragen nur zur Konstante bei)
Z
Z
1 µ ν
1
µν
µ ν
µ
4
Aµ g − ∂ ∂ + ∂ ∂ Aν + J Aµ
Z0 [J] = const. DA exp i d x
2
λ
Z
i
d4 x d4 y J µ (x)∆µν (x, y)J ν (y) ,
= const.′ exp −
(3.132)
2
Wählt man den Eichparameter λ = 1 , dann arbeitet man in der Feynman-Eichung, für λ = 0 in der
Landau-Eichung. In nichtabelschen Eichtheorien bekommt der Eichboson-Propagator (3.134) zusätzlich
einen Faktor δab . Physikalische Observable wie Wirkungsquerschnitte, Massen, Zerfallsraten müssen unabhängig vom Eichparameter λ sein, was ein notwendiges Kriterium für eine korrekte Rechnung darstellt.
Greensche Funktionen dagegen sind i. a. eichabhängig (siehe z. B. die Gleichungen (3.137a) und (3.137b)).
d) Den Propagator der Geister in einer kovarianten Eichung kann man direkt aus dem relevanten Teil im
ab
freien erzeugenden Funktional bekommen, wenn man ∂µ (Dµ ) = δab + O(g) benutzt. Aus
Z
Z
(3.135)
d4 x χ̄a (x)δab χB (x)
Z0 = . . . Dχ̄ Dχ exp
liest man
∆ab
F P (k) = −δab
ab.
1
k 2 + i 0+
(3.136)
139
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
e) Es gibt Eichungen, in denen der Faddeev-Popov-Faktor unabhängig vom Eichfeld ist, und in denen daher
keine Geister auftreten, z.B. die axiale Eichung nµ Aaµ = 0, ( nµ ist ein raumartiger Vektor) oder die
temporäre Eichung Aa0 = 0 . Diese Eichungen führen jedoch zu einem komplizierteren Gluon-Propagator
und sind nicht explizit kovariant.
Vertiefung 27: Infrarot-Problem
i m1+2κ Z2
,
(p2 − m2 + i0)1+κ
NA
G2 (p) =
TH
)
Quantisierte Eichtheorien haben nicht nur ein Divergenz-Problem bei hohen Energien in der Berechnung von Schleifen (“UltraviolettProblem”), das durch Renormierung behandelt (vielleicht kann man sogar sagen “gelöst”) wird, sondern wegen der Masselosigkeit der
Eichbosonen auch bei sehr kleinen Energien (“Infrarot-Problem”). Dies zeigt sich unter anderem daran, dass die fermionischen vollen
greenschen Funktionen eigentlich nicht mehr einen einfachen Pol, sondern einen Verzweigungs-Punkt bei p2 = m2 haben. Man kann das
in der QED an Hand der Bloch-Nordsieck-Näherung studieren, die die Spin-Freiheitsgrade des Fermions drastisch beschneidet, den
Einfluss energie-armer (“weicher”) Photonen aber richtig wiedergibt 72 und man erhält (Übungsaufgabe 25)
mit dem eichabhängigen Exponenten
AK
e2
(3 − λ) .
8π 2
(3.137b)
UP
κ =
(3.137a)
NA
TH
JI(
DR
.R
Ein physikalisches Elektron ist also immer von einer Wolke von (sehr weichen) Photonen umgeben (ähnlich wie im Polaron-Problem
das nackte Elektron von einer Wolke von Phononen, die aber feste Frequenz = Masse besitzen) und die LSZ-Reduktionsformeln sind
also eigentlich nicht anwendbar. Man behilft sich damit, dass man den Photonen eine kleine Masse µ gibt und auch Prozesse mit sehr
weichen Photonen mitnimmt (inkohärent aufsummiert), die wegen der endlichen Energie-Auflösung ∆E des Detektors vom eigentlichen
Endzustand nicht unterschieden werden können. Das Bloch-Nordsieck-Theorem garantiert dann, dass der Grenzübergang µ → 0 im
Endergebnis vollzogen werden kann, und dass im wesentlichen die Photonmasse durch die Energie-Auflösung ersetzt wird.
Perturbativ kann man dies auch in nichtabelschen Theorien wie der QCD machen, umgeht damit aber nur teilweise das Problem des
‘‘Einschlusses (Confinement)” von Quarks und Gluonen, die weder im Anfags- noch im Endzustand frei auftauchen. Zur Behandlung
der Infrarot-Divergenzen in diesem Fall siehe {Muta}, chapter 6.
DR
.R
UP
Das volle erzeugende Funktional, einschliesslich der Fermionen und mit den Wechselwirkungen, lautet
Z
Z
4
′
a aµ
DA Dψ̄ Dψ Dχ̄ Dχ exp i d x L0 + L + Jµ A + ψ̄η + η̄ψ
Z[J, η, η̄] =
,
(3.138)
wobei
L0 =
1 a
1
∂ µ ∂ ν Aaν + ψ̄ (i∂/ − m) ψ + χ̄a χa
Aµ g µν − 1 −
2
λ
(3.139)
die freie Lagrange-Dichte ist (d.h. alles, was quadratisch in den Feldern ist), während L′ die Kopplungen
enthält:
g
g2
/a ψ + g f abc χ̄a χb ∂ · Ac + f abc ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ Aµ b Aν c − f abc f ade Abµ Acν Aµ d Aν e .(3.140)
L′ = −g ψ̄T a A
2
4
(a)
(b)
(c)
(d)
Dies bestimmt die Vertizes der Theorie und ist in Abb. 20 dargestellt. Man beachte, dass die verschiedenen
Vertizes alle nur durch eine Kopplungskonstante g festgelegt sind.
Daraus (und mit den abgeleiteten Propagatoren) lassen sich nun ohne weitere Schwierigkeiten die FeynmanRegeln, etwa der QCD, ableiten 73 .
72 In dieser Näherung werden die Dirac-Matrizen für das Elektron durch einen konstanten Vierervektor ersetzt (im wesentlichen
die Geschwindigkeit), da sich diese in Prozessen mit energiearmen emittierten und absobierten Photonen kaum ändert.
73 Siehe, z. B., Cheng & Lee, chapter 9.2 .
140
Kapitel 3 : Feldtheorie
g2
g
g
g
(b)
(c)
(d)
TH
)
(a)
DR
.R
UP
AK
NA
Abb. 20 : Vertizes einer nichtabelschen Eichtheorie (wie der QCD) nach Gl. (3.140). Die durchgezogene
blaue Linie stellt die Fermionen (Quarks) dar, die gestrichelte blaue Linie die Faddeev-PopovGeister und die roten Spiral-Linien die Eichbosonen (Gluonen). Die Ordnung der Vertices in
Potenzen der Eichkopplung g ist ebenfalls angegeben.
TH
JI(
Vertiefung 28: BRST-Symmetrie
Dass dies eine in allen Ordnungen konsistente, renormierbare Theorie ergibt, verdankt man einer Symmetrie, die die eichfixierte, nichtabelsche Lagrange-Dichte mit Geist-Feldern an Stelle der klassischen lokalen Eichinvarianz besitzt: und zwar ist in kovarianter Eichung
=
Lg
=
Leich
=
.R
DR
Lf + Lg + Leich + LF P
/(x) − m ) ψ(x) ,
ψ̄(x) ( iD
a
a
Dµ (x) = ∂µ + ig T Aµ (x)
1 a
µν a
a
a
a
abc
b
c
− Fµν F
, Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ − g f
Aµ Aν
4
1 µ a 2
a µ
ab
b
−
, LF P = χ̄ ∂ ( Dµ (x) ) χ
∂ Aµ
2λ
UP
=
NA
L
Lf
(3.141a)
invariant unter der Becchi-Rouet-Stora-Tyutin (BRST)-Transformation:
δAa
µ
δ χ̄a
a
=
ω Dµ χ
=
1
− ω∂ µ Aa
µ ,
λ
δψ = −ig ωχa T a ψ
,
δχa = −
g
ωf abc χb χc ,
2
(3.141b)
wobei ω ein grassmann-wertiger, konstanter Parameter ist. Man findet (Übungsaufgabe 26)
δ ( Dµ χ )a = 0 ,
und
δ
δ ∂µ Aµ a
a
f abc χb χc
= 0
= 0,
(3.141c)
(3.141d)
wenn die Bewegungsgleichung für das Geisterfeld χ verwendet wird. Das bedeutet, dass eine zweimalige Anwendung der BRSTTransformation auf Eich- und Geister-Felder Null ergibt
δ2 δ1 Φa = 0 ,
(3.141e)
a
a
wobei Φa = Aa
µ , χ , χ̄ sein kann und die beiden Transformationen unterschiedliche Parameter ω 1/2 haben dürfen. Diese Transformationen
bewirken folgende Änderung der Lagrange-Dichte
δL = −∂ µ
ω
λ
∂ ν Aa
ν
Dµ χa
,
(3.141f)
also eine totale Ableitung und zeigen daher die Invarianz der Wirkung.
Es ist vorteilhaft, den eichfixierenden Term in der Lagrange-Dichte durch ein Hilfsfeld
a
B (x) =
1 µ a
∂ Aµ (x)
λ
(3.141g)
141
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
darzustellen (wieder eine Anwendung der “Aufhebung des Quadrats”, oder der Hubbard-Stratonovich-Transformation!)
exp
−
i
2λ
Z
d4 x
h
∂µ Aa
µ (x)
i2 = const.
Z
DB(x) exp
Z
λ a
i
d4 x
B (x)B a (x) + Aµ (x) ∂ µ B a (x)
.
2
(3.141h)
Dies erlaubt es, die Landau-Eichung (λ = 0) direkt zu wählen und vereinfacht die BRST-Transformation (3.141b) zu
δAa
µ
=
ω Dµ χ
a
=
−B ω ,
δ χ̄
a
a
,
a
δχ
δψ = −ig χa T a ψ ω
g abc b c
= − f
χ χ ω,
2
δB
a
= 0.
(3.141i)
Der Nachweis der Invarianz ist dadurch einfacher (siehe Übungsaufgabe 26).
Nach dem Noether-Theorem (siehe Kapitel 1.8) ist mit der BRST-Invarianz ein erhaltener Strom
a
J BRST
= Fµν
Dν χa + B a Dµ χa −
µ
1 abc
f
2
∂µ χ̄a
χb χc
(3.141j)
TH
)
verbunden und das räumliche Integral über die 0-te Komponente definiert eine erhaltene “Ladung” QBRST , die in der quantisierten Theorie
der Generator der BRST-Transformation ist. Wir nehmen an, dass die BRST-Symmetrie nicht “gebrochen” ist, d.h. dass nicht nur die
Lagrange-Dichte (oder der Hamilton-Operator) unter der Transformation unverändert bleiben, sondern auch die physikalischen Zustände:
phys = 1 − iω Q̂BRST phys = phys
=⇒ QBRST phys = 0 .
NA
BRST
(3.141k)
AK
e−iωQ̂
UP
(Dies ist eine notwendige Beschränkung für die Zustände im Hilbert-Raum der Eichtheorie und offensichtlich am besten in der Sprache der
kanonischen Quantisierung zu formulieren: das Pfadintegral kennt keine Zustände!)
.R
Das kann man benutzen, um zu zeigen, dass die zu der Lagrange-Dichte hinzugefügten Terme zur Eichfixierung und für die Geister
keinen Beitrag zu physikalischen Matrix-Elementen der Theorie liefern (Nair, ch. 12.4). Dazu definieren wir die graßmann-wertige Grösse
DR
Ξ := −∂ µ χ̄a −
λ a a
χ̄ B
2
(3.141l)
:=
=
b
λ a a
χ̄ B
2
h BRST
i
, Ξ̂
,
i ω Q̂
δ
−∂ µ χ̄a −
µ
a
= ω∂ µ B a Aa
µ − ∂ ω ( Dµ χ ) −
+
λ
2
−ωB a B a = ω ( Leich + LF P )
(3.141m)
NA
δΞ
TH
JI(
und finden durch Anwenden der BRST-Transformationen (3.141i), dass
Ξ̂ e−iω Q̂
BRST
BRST
= Ξ̂ + iω Q̂
BRST
Ξ̂ − iΞ̂ ω Q̂
.R
BRST
DR
eiω Q̂
UP
d.h. dass die zu der ursprn̈glichen Lagrange-Dichte hinzugefügten Zusatzterme als BRST-Variation geschrieben werden können. Die
Äquivalenz im letzten Term von Gl. (3.141m) kommt daher, dass in der quantisierten Theorie die Variation eines graßmann-wertigen
Operators
= Ξ̂ + iω Q̂
BRST
BRST
Ξ̂ + iω Ξ̂ Q̂
≡ Ξ̂ + iω
h
BRST
Q̂
, Ξ̂
i
+
=: Ξ̂ + δ Ξ , (3.141n)
durch den Anti-Kommutator mit dem Generator ausgedrückt wird.. Damit ist
phys Leich + LF P phys′ = i
h
i
BRST
phys Q̂
, Ξ̂
phys′
= 0
+
(3.141o)
zwischen beliebigen physikalischen Zuständen, was bedeutet, dass die hinzugefügten Terme zu physikalischen Prozessen nichts beitragen.
Die BRST-Invarianz hat auch Beziehungen für greensche Funktionen zur Folge, die für die Renormierbarkeit der Theorie von entscheidender Bedeutung sind. Diese sind als Ward- oder Slavnov-Taylor-Identitäten bekannt und z. B. in Das, ch. 12.5 skizziert.
3.4
Weltlinien-Formalismus und Spin im Pfadintegral
In diesem Kapitel wollen wir die eﬀektive Wirkung in der Einschleifen-Näherung mit Hilfe eines quantenmechanischen Formalismus studieren, der in letzter Zeit wieder an Bedeutung gewonnen hat. Überraschenderweise
kam der Anstoss dazu aus der “String-Theorie”, in der neuartige Methoden der Störungsentwicklung gefunden
worden waren, die in bestimmten Spezialfällen auf die Quanten-Feldtheorie übertragen werden konnten 74 .
Wir beginnen wieder mit der skalaren Theorie und erinnern uns, dass die Einschleifen-Korrektur durch
i~
+ m2 + V ′′ (Φkl ) − i 0+
i~ Det + m2 + V ′′ (Φkl )
(3.142)
ln
=
Sp
ln
Γ(1) [Φkl ] =
2
Det ( + m2 )
2
+ m2 − i 0 +
74 Siehe,
z. B., [40]. Weitere Beispiele für die Anwendung der Weltlinien-Technik findet man in [41].
142
Kapitel 3 : Feldtheorie
gegeben ist (siehe Gl. (3.79)). Wir benutzen nun die Integraldarstellung des Logarithmus
Z ∞
a
1 −bT
ln =
Re a , Re b > 0 ,
dT
e
− e−aT ,
b
T
0
(3.143)
um dies als
Γ(1) [Φkl ] = const. −
i~
2
Z
∞
n
o
1
Sp exp −iT −(i∂µ )(i∂ µ ) + m2 + V ′′ (Φkl ) − i 0+
T
dT
0
(3.144)
AK
NA
TH
)
zu schreiben. Dabei haben wir den wechselwirkungs-unabhängigen Anteil in eine (unendliche) Konstante
gesteckt, die wir im Folgenden weglassen werden (ein konstanter Term in der Wirkung ist unerheblich). Die
Spur, die über alle Freiheitsgrade in Gl. (3.144) zu nehmen ist, kann man aber nicht mehr einfach im Impulsraum ausrechnen (wie im Fall des eﬀektiven Potentials), weil V ′′ (Φkl ) jetzt vom Raum-Zeit-Punkt x abhängt.
Wenn wir sie jedoch als
Z
x
Sp exp { . . . } =
d4 x x exp −iT −p̂µ p̂µ + m2 + V ′′ (Φkl (x̂))
(3.145)
Z
0
∞
e−im
dT
T
2
T
I
NA
i~
[Φkl ] = −
2
( Z
Dx(t) exp i
x(0)=x(T )
0
T
1
dt − ẋ2 + V ′′ (Φkl (x(t)))
4
)
.
(3.146)
UP
Γ
(1)
TH
JI(
DR
.R
UP
schreiben, sehen wir, dass dies formal das Matrixelement des Zeitentwicklungs-Operators für ein quantenmechanisches Teilchen mit “Masse” −1/2 ist, dass sich unter Einﬂuss des “Potentials” V ′′ (Φkl (x)) im vierdimensionalen Minkowski-Raum bewegt. Das Teilchen startet zur “Zeit” 0 am Raum-Zeit-Punkt x und kehrt nach
Ablauf der “Zeit” T dorthin wieder zurück. Auf Grund der quantenmechanischen Analogie können wir daher
sofort eine Pfadintegral-Darstellung für Gl. (3.145) angeben (siehe Übungsaufgabe 21) und wir erhalten für
die Einschleifen-Korrektur zur eﬀektiven Wirkung den Ausdruck
DR
.R
Dies nennt man die Weltlinien- oder Teilchen-Darstellung, da das System nicht mehr durch quantisierte
Felder beschrieben wird, sondern durch Teilchen, deren Trajektorien xµ (t) durch die Eigenzeit t parametrisiert
werden. Man beachte, dass dies auch für die gewöhnliche Zeit x0 gilt, und dass am Ende über die EndEigenzeit T integriert werden muss. Gl. (3.146) bietet die Möglichkeit, Ein-Schleifen-Rechnungen mit beliebig
vielen äusseren Linien schnell und eﬃzient auszuführen. Das liegt daran, dass der Ausdruck (3.146) viele
Feynman-Diagramme zusammenfasst, die nur durch Permutation der äusseren Linien entstehen. Entwickelt
man nämlich den wechselwirkenden Teil des Exponenten etwa für die Φ4 -Theorie
( Z
)
T
X (iλ)n Z T
′′
exp i
dt V (Φkl (x(t))) =
dt1 dt2 . . . dtn Φ2kl (x(t1 )) Φ2kl (x(t2 )) . . . Φ2kl (x(tn )) , (3.147)
n n!
2
0
0
n=0
so sieht man, dass alle Zeitordnungen der jeweiligen Wechselwirkungen darin enthalten sind. Ausserdem muss
man keine vierdimensionalen Impuls- sondern nur eindimensionale Zeit-Integrationen ausführen.
Ist dieser Formalismus auch auf Fermionen anwendbar ? Die Antwort ist “Ja”, verlangt aber eine explizite
Beschreibung der Spin-Freiheitsgrade im quantenmechanischen Pfadintegral. Dies ist ein altes Problem mit
vielen Lösungsansätzen. Eine Beschreibung durch Graßmann-wertige Trajektorien soll hier am Beispiel der
Quanten-Elektrodynamik mit der Lagrange-Dichte (3.91) dargestellt werden. Wir betrachten nur Prozesse
ohne äussere Fermionen, d.h. das erzeugende Funktional
Z
Z
i
.
(3.148)
d4 x LQED (ψ, ψ̄, A) + Jµ Aµ
Z[J] =
DAµ (x) Dψ̄(x) Dψ(x) exp
~
143
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
Da die Lagrange-Dichte bilinear in den Fermionfeldern ist, lassen sich diese sofort ausintegrieren und man erhält
Z
Z
i
Z[J] =
DAµ (x) Det ( i∂/ − m − eA
/ ) exp
d4 x [ L0 (A) + Jµ Aµ ]
~
Z
Z
i
(3.149)
=
DAµ (x) exp
−i~ Sp ln ( i∂/ − m − eA
/ ) + d4 x (L0 (A) + Jµ Aµ )
.
~
TH
)
Dabei ist L0 (A) die freie Lagrange-Dichte der Photonen (wir schreiben den eichﬁxierenden Term nicht explizit
aus). Da diese keine Wechselwirkung enthält, können wir sofort die eﬀektive Wirkung in nullter und erster
Ordnung der halbklassischen Näherung ablesen:
Z
Z
Z
1
1
d4 x
E 2 − B2
Γ(0) [A] =
d4 x L0 (A) =
d4 x − Fµν F µν =
(3.150)
4
2
iD
/ − m + i 0+
Γ(1) [A] = −i ~ Sp ln
(3.151)
= −i ~ Sp ln [1 − eSF A
/] .
i∂/ − m + i 0+
TH
JI(
DR
.R
UP
AK
NA
Von nun an setzen wir wieder ~ = 1 und lassen den Index “kl” am Photonenfeld Aµ zur Vereinfachung der
Schreibweise weg. E, B sind die zugehörigen elektrischen und magnetischen Feldstärken. Ausserdem haben
wir hier Γ(1) so normiert, dass es für e = 0 verschwindet. Wie man sieht, ist die eﬀektive Wirkung in erster
halbklassischer Näherung (oder Ein-Schleifen-Näherung) durch die fermionische Determinante gegeben, d.h.
durch die Paarerzeugung geladener Elektronen und Positronen. In der Entwicklung des Logarithmus nach
Potenzen der Kopplungskonstante (oder nach Potenzen des Photonfeldes)
X e2n
Γ(1) [A] = i
Sp [SF A
/]2n
(3.152)
2n
n=1
DR
.R
UP
NA
treten nur gerade Potenzen auf, was man mit Hilfe der Ladungskonjugations-Eigenschaften von FeynmanPropagator und Vertex beweisen kann (Furry-Theorem) 75 . Das ist in Abb. 21 dargestellt.
Γ(1)[A] =
+
+ ...
Abb. 21 : Einschleifen-Näherung für die eﬀektive Wirkung der Quantenelektrodynamik. Die geschwungenen
Linien stellen die Photonen dar.
Man beachte, dass die fermionische eﬀektive Wirkung ein verschiedenes Vorzeichen im Vergleich zur skalaren
Theorie in Gl. (3.142) hat, was von der Integration über die antikommutierenden Felder ψ, ψ̄ herrührt.
Zusätzlich tritt ein Faktor 2 auf, weil jetzt zwei geladene Teilchen in der Schleife herumlaufen.
Wir wollen nun eine Weltlinien-Darstellung der fermionischen eﬀektiven Wirkung in Einschleifen-Näherung
ableiten. Dazu iterieren wir zuerst den Dirac-Operator iD
/ − m in Gl. (3.151):
i i
(3.153)
/ − m) (−iD
/ − m)] = − ln Det D
/ 2 + m2 ,
Γ(1) [A] = − ln [Det (iD
2
2
75 Siehe,
z. B., Itzykson & Zuber, p. 276.
144
Kapitel 3 : Feldtheorie
was wegen der Relation Det(D
/ − m) = Det(γ5 D
/γ5 − m) = Det(−D
/ − m) möglich ist 76 . Nun gilt
1
1 µ ν
2
µ ν
µν
D
/ = γ γ Dµ Dν = g + [γ , γ ] Dµ Dν = D2 + [γ µ , γ ν ] [Dµ , Dν ]
2
4
1
ie
= (∂ + ieA)2 + [γ µ , γ ν ] ie (∂µ Aν − ∂ν Aµ ) = (∂ + ieA)2 + γ µ γ ν Fµν .
4
2
(3.154)
Wenn wir die Integraldarstellung (3.143) benutzen und
2
H(x̂, p̂, γ) := − (p̂ + eA(x̂)) +
ie µ ν
γ γ Fµν (x̂)
2
(3.155)
Z
∞
dT
0
e−im
T
2
T
sp
Z
E
D d4 x x e−iT H(x̂,p̂,γ) x
TH
i
2
(3.156)
NA
Γ(1) [A] =
)
als “Hamilton-Operator” des Systems deﬁnieren, dann können wir
TH
JI(
DR
.R
UP
AK
wieder formal durch das Matrixelement eines quantenmechanischen Zeitentwicklungs-Operators Û (T, 0) ausdrükken. Das Symbol “sp” bezieht sich dabei auf die Spur über die Dirac-Matrizen. Wie üblich teilen wir die
Eigenzeit-Entwicklung in N Schritte auf und erhalten
Z
E
D Sp Û (T, 0) ≡ sp d4 x x e−iT H(x̂,p̂,γ) x
#
"
Z
N
X
d4 pN
d4 p1
4
4
pi · (xi − xi−1 )
= sp lim
...
exp −i
d x1 . . . d xN
N →∞
(2π)4
(2π)4
i=1
NA
· exp [ −iHW (xN , pN , γN )∆t ] . . . · exp [ −iHW (x1 , p1 , γ1 )∆t ] ,
(3.157)
UP
wobei x0 = xN zu nehmen ist. Dabei ist
.R
HW (x, p, γ) =
Z
d4 y
D
x−
y E −ip·y
y
e
| Ĥ | x +
2
2
(3.158)
DR
die Wigner-Transformierte (oder das Weyl-Symbol) des Hamilton-Operators, was – wie wir wissen – das
geeignete klassische Analogon zum (weyl-geordneten) Quanten-Operator ist. Wir werden den Index “W” im
Folgenden weglassen.
Zwei wesentliche Schritte werden benötigt, um ein Pfadintegral mit Spin aus Gl. (3.157) abzuleiten [42], [43]
1. Da die Dirac-Matrizen nicht kommutieren, ist die Ordnung der Faktoren entscheidend und man kann
die einzelnen Exponenten nicht einfach zusammmenfassen. Wir haben daher den Dirac-Matrizen eine
künstliche Zeitabhängigkeit gegeben und können dann den (Eigen-)Zeitentwicklungs- Operator als zeitgeordnetes Pfadintegral schreiben
( Z
)
I
T
D′ x Dp
T exp −i
dt [ p · ẋ + H (x(t), p(t), γ(t)) ]
Sp Û (T, 0) = sp
(2π)4
0
x(0)=x(T )
= sp
I
( Z
)
T
δ
D′ xDp
exp −i
dt p · ẋ + H x(t), p(t),
(2π)4
δρ(t)
0
"Z
#
T
µ
.
· T exp
dt ρ (t)γµ (t)
0
76 γ
5
= iγ0 γ1 γ2 γ3 antikommutiert mit allen Dirac-Matrizen und erfüllt γ52 = 1.
ρµ =0
(3.159)
145
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
Hierbei sind ρµ (t) Graßmann-Quellen, von denen wir annehmen, dass sie mit den Dirac-Matrizen antikommutieren 77 . Das Zeitordnungs-Symbol T wäre katastrophal für jede weitere Behandlung des
Pfadintegrals, da dieses ja gerade auf der Benutzung von Zahlen und nicht auf Operatoren basiert.
Gücklicherweise kann es in diesem speziellen Fall aber durch die Beziehung
(Z
)
T
Y (T )
≡
T exp
=
( Z
exp −
dt ρµ (t)γµ (t)
0
T
dt1
Z
t1
µ
dt2 ρ (t1 )ρµ (t2 )
0
0
)
· exp
(Z
T
µ
dt ρ (t)γµ
0
)
.
(3.160)
)
eliminiert werden. Das kann man z. B. durch Lösen der Evolutionsgleichung
TH
∂Y (T )
= ρµ (T )γµ Y (T ) ,
∂T
(3.161)
NA
Y (0) = 1
UP
AK
mit Hilfe der Magnus-Entwicklung 78 beweisen
(Z
)
Z T
Z t1
T
1
dt2 [ρµ (t1 )γ µ , ρν (t2 )γ ν ] + . . . .
dt1
Y (T ) = exp
dt ρµ (t)γµ +
2 0
0
0
(3.162)
TH
JI(
DR
.R
Der Kommutator liefert −2ρµ (t1 )ρµ (t2 ), was eine kommutierende Zahl ist. Damit verschwinden alle
höheren Terme in der Entwicklung, die durch Mehrfach-Kommutatoren ausgedrückt werden. Wir können
jetzt also die künstliche Zeit-Abhängigkeit der Dirac-Matrizen weglassen.
DR
.R
UP
NA
2. Die Diﬀerentationen bezüglich ρµ (t), die in Gl. (3.159) verlangt werden, können nur geschlossen in allen
Ordnungen ausgeführt werden, wenn die Variablen linear im Exponenten erscheinen. Das kann man mit
dem Trick des “Aufhebens des Quadrates” erreichen, den wir bereits in Kapitel 1.6 verwendet haben.
Da jedoch die ρµ (t) antikommutierend sind und wir ein graßmann-gerades Objekt im Exponenten des
Entwicklungs-Operators wollen, müssen wir das Quadrat mit einem Graßmann-Pfadintegral aufheben.
Wir benutzen daher die Identität
)
(Z
( Z
)
Z
Z t1
T
T
µ
1
µ
µ
=
Dξ exp
dt − ξµ (t)ξ̇ (t) + ρ (t)ξµ (t)
dt2 ρ (t1 )ρµ (t2 )
exp −
dt1
4
0
0
0
!#−1
"Z
Z
µ
1 T
(3.163)
·
.
Dξ exp −
dt ξµ (t)ξ̇ (t)
4 0
Die Randbedingungen für das Graßmann-Pfadintegral sind
ξµ (0) + ξµ (T ) = 0 .
(3.164)
Die Gl. (3.163) kann man durch die Methode der stationären Phase beweisen, die exakt für quadratische
Wirkungen ist.
Schliesslich benutzen wir die Darstellung
)
(Z
T
dt ρ (t)γµ
exp
0
77 Deswegen
78 Das
µ
(Z
)
T
∂
µ
= exp γµ
exp
dt ρ (t)Γµ ∂Γµ
0
(3.165)
Γµ =0
schreiben wir hier auch γµ , siehe Fussnote 66.
ist das kontinuierliche Analogon zur bekannten Baker-Campbell-Haussdorff-Formel, siehe z. B. [44].
146
Kapitel 3 : Feldtheorie
und erhalten
I
D′ x Dp
∂
Sp Û (T, 0) = sp exp γ ·
Dξ N0spin
∂Γ
(2π)4
(
)
Z T i
· exp −i
dt p · ẋ − ξ · ξ̇ + H(x, p, ξ + Γ)
4
0
Hierbei ist
N0spin
=
"Z
Z
1
Dξ exp −
4
T
dt ξµ ξ̇
µ
0
.
(3.166)
Γ=0
!#−1
(3.167)
NA
TH
)
ein Normierungsfaktor für das Spin-Integral. Man beachte, dass die Operation in Gl. (3.165) im allgemeinen
nicht nur eine Ersetzung der Variablen Γ durch die entsprechende Dirac γ-Matrix ist, sondern auch eine
Antisymmetrisierung enthält. Beispielsweise ist
∂
exp γ ·
Γµ = γµ ,
(3.168)
∂Γ
aber
UP
2
∂
γ·
Γµ Γν ∂Γ
=
1
( −γν γµ + γµ γν ) .
2
Γ=0
.R
=
1
2
Γ=0
1
=
2
∂
γ·
( γµ Γ ν + Γ µ γν
∂Γ
DR
∂
Γµ Γν exp γ ·
∂Γ
AK
Γ=0
)
Γ=0
(3.169)
I
ap
Dξ
N0spin
exp
(
−i
Z
T
0
i
dt p · ẋ − ξ · ξ̇ + H(p, x, ξ)
4
)
,
(3.170)
DR
p
D′ xDp
(2π)4
.R
Sp Û (T, 0) = 4
I
UP
NA
TH
JI(
Wenn wir die Spur über die Dirac-Matrizen nehmen, hat dies zur Folge, dass nur die “Eins” in der Reihenentwicklung von exp(iγ · ∂/∂Γ) übrigbleibt: es können höchstens Terme mit bis zu vier Γ’s auftreten, die Spur
über eine ungerade Anzahl von γ-Matrizen verschwindet ebenso wie die Spur über Gl. (3.169) und schliesslich
ist sp γ0 γ1 γ2 γ3 = −i sp γ5 = 0 . Damit vereinfacht sich Gl. (3.166) zu
wobei wir durch die Indizes “p”, bzw. “ap” andeuten, dass periodische, bzw. antiperiodische Randbedingungen
für das x-, bzw. ξ-Integral zu nehmen sind. Aus Gl. (3.155) entnehmen wir, dass der Hamiltonoperator
H(p, x, ξ) = −Π2 +
ie
ξµ ξν F µν
2
(3.171)
eine quadratische Funktion des kinematischen Impulses
Πµ = pµ − eAµ
(3.172)
ist. Wenn wir im Phasenraum-Pfadintegral (3.170) die Integrationsvariable entsprechend verschieben, können
wir die funktionale Impulsintegration ausführen und erhalten
Sp Û (T, 0) =
I
p
D′ x
I
( Z
Dξ N0 (T ) exp i
Z
T
ap
T
dt L(x, ẋ, ξ, ξ̇)
0
)
(3.173)
mit der Normierung
N0 (T ) =
"Z
1
Dξ exp −
4
0
dt ξ · ξ̇
!#−1
·
Z
DΠ
exp i
(2π)4
Z
0
T
dt Π2
!
(3.174)
147
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
und der Lagrange-Dichte
i
1
ie
L x, ẋ, ξ, ξ̇ = − ẋ2 + ξ · ξ̇ − e ẋ · A(x) − Fµν (x)ξ µ ξ ν .
4
4
2
(3.175)
Wie man sieht, wird der Spin des relativistischen Teilchens durch eine Graßmann-Trajektorie ξ µ (t) beschrieben,
über die mit antiperiodischen Randbedingungen funktional integriert werden muss. Die Lagrange-Funktion
(3.175) kann einfach interpretiert werden: sie enthält kinetische Terme für die Bahn- und Spin-Bewegung eines
relativistischen Teilchens, sowie eine Kopplung des Spinstromes ξ µ ξ ν an die elektromagnetische Feldstärke
(nichtrelativistisch ist dies der bekannte σ ·B-Term). Ausserdem beschreibt ẋ·A(x) die übliche Wechselwirkung
des Konvektionsstromes mit dem Vektorpotential.
∞
0
e−im
dT
T
2
I
T
I
′
Dx
ξ(0)=−xi(T )
x(0)=x(T )
( Z
Dξ N0 (T ) exp i
NA
[A] = 2i
Z
T
dt L(x, ẋ, ξ, ξ̇)
0
)
(3.176)
AK
Γ
(1)
TH
)
Die eﬀektive Wirkung der QED in Einschleifen-Näherung ist somit durch
.R
UP
gegeben. Es ist vorteilhaft, die Bahn in
mit
DR
x(t) = x0 + y(t) ,
Z
T
dt y(t) = 0.
(3.177)
0
Γ
(1)
[A] =
2i
Z
∞
2
T
R
DyDξ exp (iS[y, ξ])
R
d x0
DyDξ exp (iS0 [y, ξ])
|
{z
}
4
I
D′ y
ξ(0)=−ξ(T )
( Z
Dξ N0 (T ) exp i
T
dt L0 (x, ẋ, ξ, ξ̇)
0
)
,
(3.178)
DR
y(0)=y(T )
Z
:=h exp(i(S−S0 ) i
UP
Z
.R
·
e−im
dT
T
NA
0
TH
JI(
zu zerlegen und über den “Null-Modus” x0 separat zu integrieren. Dann erhalten wir
wobei L0 die freie Lagrange-Dichte (e = 0 ) ist. Das freie Pfadintegral können wir sofort ausführen: auf
Grund des Normierungsfaktors (3.174) ist das Spin-Integral eins, und das funktionale y-Integral das eines freien
Teilchens mit Masse −1/2 (1/2) für die zeitliche (räumliche) Komponente. Aus Gl. (1.50) erhält man daher
Z
y(0)=y(T )
′
Dy
I
ξ(0)=−ξ(T )
( Z
Dξ N0 (T ) exp i
T
dt L0 (x, ẋ, ξ, ξ̇)
0
)
=
r
−1/2
2πiT
r
1/2
2πiT
3
=
i
.
(4πiT )2
(3.179)
Wenn wir die eﬀektive Wirkung als
Γ
(1)
[A] =
Z
d4 x0 δL[A]
(3.180)
schreiben, dann ist also die erste Quantenkorrektur zur klassischen Lagrange-Dichte durch
1
δL[A] =
8π 2
Z
0
∞
2
e−im
dT
T3
T
*
exp
(
−ie
Z
0
T
dt
i
ẏ · A + Fµν ξ µ ξ ν
2
)+
(3.181)
gegeben. Die Mittelung ist dabei wie in Gl. (3.178) als Verhältnis des Pfadintegrals mit Wechselwirkung zu
dem freien Pfadintegral deﬁniert.
148
Kapitel 3 : Feldtheorie
Beispiel : Die Euler-Heisenberg effektive Lagrange-Dichte
Wir betrachten den Fall eines konstanten elektromagnetischen Feldes Fµν , wofür die Fock-Schwinger-Eichung
1 ν
y Fνµ
(3.182)
2
am geeignetesten ist. Die Wirkung ist dann sowohl in den bosonischen (b) wie in den fermionischen (f)
Komponenten quadratisch und kann als
S[y, ξ] = xµ , Obµν xν + ξµ , Ofµν ξν
(3.183)
Aµ (y) =
geschrieben werden, mit
1 µν ∂ 2
e µν ∂
δ (t − t′ )
−
g
F
4
∂t2
2
∂t
i µν ∂
ie
g
− F µν δ (t − t′ ) .
4
∂t
2
TH
NA
Ofµν (t − t′ ) =
)
Obµν (t − t′ ) =
(3.184)
(3.185)
NA
TH
JI(
DR
.R
UP
AK
Man beachte, dass Ob = −i∂ Of /∂t gilt, was Ausdruck einer Supersymmetrie zwischen bosonischen und
fermionischen Komponenten ist [45].
Da das Pfadintegral (3.181) jetzt ein gaußsches ist, können wir alle Funktional-Integrationen sofort ausführen
und erhalten
!1/2
!1/2
Z ∞
2
(0)
Det′p Ob
Detap Of
1
e−im T
·
δL[A] =
dT
(0)
8π 2 0
T3
Det′p Ob
Detap Of
Z ∞
2
′
1
1
1
e−im T
1/2
−1/2
(3.186)
=
Detp
1 − 2e 2 F ∂t Detap 1 − 2e F .
dT
8π 2 0
T3
∂t
∂t
DR
.R
UP
Auf Grund der Supersymmetrie würden sich die bosonische und die fermionische Determinante (bis auf eine
Konstante) wegheben, wenn nicht die Randbedingungen verschieden wären. Ausserdem ist in der bosonischen
Determinante Det′p der Null-Modus x0 eliminiert, was durch einen Strich gekennzeichnet ist. “Det” ist hier
sowohl eine Determinante im Funktionenraum als auch in den Lorentz-Indizes; daher tritt nur die Potenz
1/2 (und nicht d/2 = 2) der Determinanten auf. Man kann die inversen Operatoren 1/∂t2 und 1/∂t (oder
weltlinien-greensche Funktionen) berechnen, indem man ihre Eigenfunktionen nach Fouriermoden
+∞
X
bk e2πikt/T ,
bzw.
+∞
X
fk e2πi(k+1/2)t/T
(3.187)
k=−∞
k=−∞
k6=0
im bosonischen Fall, bzw. im fermionischen Fall entwickelt. Diese Entwicklungen enthalten die Randbedingungen, eliminieren den Null-Modus und diagonalisieren den jeweiligen Operator. Anwendung der ln det = sp lnRegel ergibt dann für die bosonische Determinante


(


)
+∞
∞


X
X
2e
e2 T 2 2
′
ln 1 −
Detp = exp sp
= exp sp
ln 1 + 2 2 F
F


2πik/T
k π
 k=−∞

k=1
k6=0
)
(
n
∞ X
1
−e2 T 2
2n
ζ(2n) sp F
.
(3.188)
= exp −
π2
n
n=1
In der letzten Zeile haben wir den Logarithmus entwickelt: ln(1+x) = x−x2 /2+x3 /3+. . . und die riemannnsche
Zeta-Funktion
∞
X
22n−1 π 2n
1
=
|B2n |
(3.189)
ζ(2n) =
k 2n
(2n)!
k=1
149
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
verwendet 79 . B0 = 1, B2 = 1/6, B4 = −1/30 etc. sind die Bernoulli-Zahlen und “sp” bezeichnet die Spur
über die Lorentz-Indizes. Die fermionische Determinante berechnet sich ähnlich:
(
)
+∞
X
2e
Detap = exp sp
ln 1 −
F
2πi(k + 1/2)/T
k=−∞
( ∞ −n )
+∞ X
X eT n 1
1
n
.
sp F
k+
(3.190)
= exp −
iπ
n
2
n=1
k=−∞
)
Die Spur ungerader Potenzen über den antisymmetrischen Feldstärke-Tensor Fµν verschwindet, und wenn wir
die Formel 80
∞
+∞
2n
X
X
− 1 2n
1
1
2n+1
2n 2
=
2
=
2
π |B2n |
(3.191)
(k + 1/2)2n
(2k − 1)2n
(2n)!
TH
k=1
k=−∞
NA
benutzen, erhalten wir für die fermionische Determinante
(
)
∞
2n
X
−1
2 2 n 2
2n
−4e T
Detap = exp −
.
|B2n | sp F
2n(2n)!
n=1
UP
AK
(3.192)
Eingesetzt in Gl. (3.186) ergibt dies
0
∞
dT −im2 T
e
exp
T3
(
∞
X
(−4e2 T 2 )n 2n−1
2
− 1 |B2n | sp F 2n
−
2n(2n)!
n=1
.R
Z
DR
1
δL[A] =
8π 2
#
.
(3.193)
.R
DR
liefert. Wegen
UP
NA
TH
JI(
Obwohl man die Summation analytisch ausführen kann 81 , ist es instruktiver, die einzelnen Termen zu entwickeln und über T gliedweise zu integrieren: der F -unabhängige Term ergibt eine (divergente) Konstante,
der quadratische renormiert die klassische Lagrange-Dichte (3.150), während der quartische Term in F einen
Zusatz
Z ∞
1
7 4 4
1 4 4
dT −im2 T
(4)
2 2
4
δL
=
−
(3.194)
e
e T sp F +
e T sp F
8π 2 0 T 3
180
72
sp F 2
sp F
4
erhalten wir schliesslich
δL(4) =
=
=
2 E 2 − B2
2
2 E −B
2 2
(3.195)
2
+ 4(E · B)
2α2 2
(E − B2 )2 + 7(E · B)2 ,
4
45m
(3.196)
(3.197)
wobei α = e2 /(4π) ≃ 1/137.036 die Feinstrukturkonstante bezeichnet. Das ist die eﬀektive Lagrange-Dichte
von H. Euler 82 und Heisenberg, die nichtlineare Eﬀekte auf Grund der Quantenkorrekturen beschreibt.
79 Siehe,
z. B. , {Gradshteyn-Ryzhik}, eq. 0.233.3.
eq. 0.233.5 .
81 Das klassische Schwinger-Ergebnis findet man z. B. bei Itzykson & Zuber, p. 196.
82 Ann. Phys. 26 (1936) 398. Der berühmte “Euler” , der der Γ-Funktion ihren Namen gab, lebte natürlich früher und “Ann.
Phys.” ist hier die Abkürzung für “Annalen der Physik” ...
80 {Gradshteyn-Ryzhik},
150
3.5
Kapitel 3 : Feldtheorie
Anomalien
Auf Grund der globalen Symmetrie der Lagrange-Dichte der QCD unter der Transformation
ψ̄(x) −→ ψ̄(x) e−iα
ψ(x) −→ eiα ψ(x) ,
(3.198)
ist in der QCD der Vektorstrom
Vµ (x) = ψ̄(x)γµ ψ(x)
(3.199)
)
erhalten. Da in der Natur oﬀensichtlich die Massen der u-, d- und s-Quarks klein gegenüber einer typischen
hadronischen Skala sind (man schätzt mu/d < 10 MeV, ms ≃ 130 MeV), kann man sie in vielen Fällen
vernachlässigen. Die entstehende Lagrange-Dichte
TH
1
a
L = − F a µν Fµν
+ ψ̄(x) (i∂/ − gA
/a T a ) ψ
4
NA
(3.200)
AK
ist dann auch invariant unter einer axialen Transformation
ψ̄(x) −→ ψ̄(x) eiαγ5 ,
(3.201)
UP
ψ(x) −→ eiαγ5 ψ(x) ,
DR
.R
wobei γ5 = iγ0 γ1 γ2 γ3 mit allen Dirac-Matrizen antikommutiert. Nach dem klassischen Noether-Theorem sollte
dann auch der axiale Strom
Aµ (x) = ψ̄(x)γµ γ5 ψ(x)
(3.202)
TH
JI(
erhalten sein:
?
∂ µ Aµ (x) = 0 .
(3.203)
UP
NA
Die Tatsache, dass dies für die quantisierte Theorie nicht gilt, bezeichnet man als “Anomalie”. Abgesehen von
dem theoretischen Interesse dafür, gibt es auch sehr praktische Gründe, Anomalien zu studieren: beispielsweise
ist der Zerfall π 0 → 2γ nur durch die axiale Anomalie in dem Masse möglich, wie experimentell beobachtet !
DR
.R
Wie zeigt sich nun die axiale, oder auch Adler-Bell-Jackiw (ABJ)-Anomalie in der Pfadintegral-Darstellung ?
Zur Beantwortung dieser Frage erinnern wir uns an Kapitel 1.8, wo für die Quantenmechanik abgeleitet wurde,
wie das Noether’sche Theorem im Funktional-Integral formuliert wird. In der Feldtheorie geht das vollkommen
analog: wir betrachten das volle erzeugende Funktional (Eichﬁxierung und Geister sind irrelevant und daher
zur Vereinfachung der Schreibweise weggelassen)
Z
Z
Dψ̄(x) Dψ(x) DA(x) exp i d4 x L(ψ, ψ̄, A) + ψ̄η + η̄ψ
Z[η, η̄] =
.
(3.204)
und führen etwa die Vektortransformation (3.198) als Variablen-Substitution im Integranden lokal durch, d.h.
wir setzen
(3.205)
ψ̄(x) = ψ̄ ′ (x) eiα(x) .
ψ(x) = e−iα(x) ψ ′ (x) ,
Da der numerische Wert des Integrals sich nicht ändert, haben wir
Z
Z
4
Dψ̄(x) Dψ(x) DA(x) exp i d x L(ψ, ψ̄, A) + ψ̄η + η̄ψ
Z
Z
′
′
−1
4
=
Dψ̄ (x) Dψ (x) J DA(x) exp i d x L(ψ, ψ̄, A) + ψ̄η + η̄ψ
Hierbei ist
J = Detxx′
∂ψ(x)
∂ψ ′ (x′ )
· Detxx′
∂ ψ̄(x)
∂ ψ̄ ′ (x′ )
ψ=exp(−iα(x))ψ ′
ψ̄=ψ̄ ′ exp(iα(x))
.
(3.206)
(3.207)
151
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
die Jacobi-Determinante der Transformation (3.205), die – wie wir aus Kapitel 2.5 wissen – bei Integration
über Graßmann-Variable invers auftritt. Wenn wir die Jacobi-Determinante der Vektor-Transformation (3.205)
ausrechnen, erhalten wir
(3.208)
JV = Detxx′ e−iα(x) δ(x − x′ ) Detxx′ eiα(x) δ(x − x′ ) = 1 ,
Dabei ist δJV = 0 der Beitrag der Jacobi-Determinanten und
NA
δLV = ψ̄γ µ ψ ∂µ α(x)
TH
)
weil dies eine unitäre (Phasen-) Transformation ist. Wir spezialisieren uns nun auf inﬁnitesimale Transformationen und entwickeln die Gl. (3.206) bis zur ersten Ordnung in α(x):
Z
Z
4
0 = i Dψ̄(x) Dψ(x) DA(x) iδJ +
d x δL − iα(x) ψ̄η + iα(x) η̄ψ
Z
4
(3.209)
· exp i d x L(ψ, ψ̄, A) + ψ̄η + η̄ψ
.
(3.210)
TH
JI(
DR
.R
UP
AK
die durch die Vektortransformation (3.205) hervorgerufene inﬁnitesimale Änderung der Lagrangedichte. Sie
verschwindet nicht, weil wir eine lokale Transformation nur an den Fermionfeldern durchgeführt haben 83 . Mit
einer partiellen Integration können wir die Ableitung von α(x) wegbekommen und erhalten
Z
Z
d4 x α(x) −∂µ V µ (x) − i ψ̄η + i η̄ψ
0 = i Dψ̄(x) Dψ(x) DA(x)
Z
· exp i d4 x L(ψ, ψ̄, A) + ψ̄η + η̄ψ
.
(3.211)
UP
NA
Hierbei ist V µ (x) genau der Vektorstrom (3.199). Da α(x) beliebig ist, muss das gesamte Funktional-Integral
über die geschweifte Klammer verschwinden, und zwar für beliebige Werte der äusseren Quellen η(x), η̄(x) .
Wenn wir wieder die Schreibweise
Z
R 4
hOi ≡
Dψ̄ Dψ DA O(ψ, ψ̄, A) ei d xL(ψ,ψ̄,A)
(3.212)
DR
.R
verwenden, sehen wir also, dass für η̄ = η = 0 das Noether-Theorem für die Vektortransformation in der
Pfadintegral-Formulierung einfach
h ∂µ V µ i = 0
(3.213)
lautet. Durch Diﬀerentation nach den äusseren Quellen η̄, η kann man weitere Ward-Identitäten erhalten,
die exakte Beziehungen zwischen Mehrpunkt-Funktionen sind, in die der erhaltene Noether-Strom eingefügt
worden ist.
Wenn wir diese Ableitung genauso für die Axialvektor-Transformationen (3.201) durchführen würden, erhielten wir Ward-Identitäten für den Axialstrom (3.202), insbesondere auch h∂µ Aµ i = 0 . Das ist jedoch nicht
richtig, weil in diesem Fall die Jacobi-Determinante einen Beitrag liefert, wie Fujikawa [46] erkannt hat. Die
Jacobi-Determinante der axialen Transformation (3.201) ist nämlich
(3.214)
JA = Det e−iα γ5 · Det e−iα γ5 = e −2i Sp α γ5 ,
wobei wir wieder die formale Beziehung zwischen Determinante und Spur einer Matrix benutzt haben. Für
unendliche Matrizen ist dieser Ausdruck (natürlich) divergent und Fujikawa hat eine eichinvariante Regularisierung vorgeschlagen, die die Hochenergie-Moden des Dirac-Feldes unterdrückt:
i
h
2
2
,
(3.215)
JA = lim exp −2i Sp α γ5 e−D/ /M
M→∞
83 Es
sei daran erinnert, dass in einer lokalen Eich-Transformation das Eichfeld in einer genau bestimmten Weise transformiert
werden muss, um diese Veränderung zu kompensieren. Hier jedoch bleibt das Eichfeld unverändert.
152
Kapitel 3 : Feldtheorie
wobei Dµ die kovariante Ableitung ist. Andere Regularisierungen ergeben dasselbe Resultat, vorausgesetzt, sie
erhalten den Vektorstrom. Wir haben
1 µ ν
gT a µν a
[γ , γ ] [Dµ , Dν ] = D2 +
σ Fµν
4
2
D
/2 = D 2 +
bereits im abelschen Fall im Kapitel 3.4 kennengelernt 84 . Wir müssen jetzt
Z
gT a µν a
1
2
4
−D
/2 /M 2
x
σ Fµν
= lim sp
d x x γ5 exp − 2 D +
lim Sp γ5 e
M→∞
M→∞
M
2
(3.216)
(3.217)
.R
UP
AK
NA
TH
)
berechnen. Da die Regulatormasse M gegen unendlich gehen soll, können wir uns auf den asymptotischen Teil
des Spektrums konzentrieren, bei dem der Impuls des Diracfeldes gross ist, während das Eichfeld beschränkt
a
bleibt. Wenn wir nach Fµν
entwickeln, müssen wir vier Dirac-Matrizen aus der Exponentialfunktion herunterbringen, um eine nichtverschwindende Spur mit γ5 zu bekommen, da sp γ5 = sp γ5 γµ γν = 0 ist. Der führende
Term in dieser “Wärmeleitungs-Kern” (“ heat kernel”) -Entwicklung ist dann derjenige, bei dem wir die Exponentialfunktion bis zur Ordnung (σ · F )2 entwickeln und das Eichfeld in allen anderen Gliedern vernachlässigen.
Das ergibt
"
2 # D Z
E
a
2
2
1
gT
−∂ 2 /M 2 a
= lim
lim Sp γ5 e−D/ /M
d4 x sp γ5
x
(3.218)
σ
F
e
x .
µν
µν
M→∞
M→∞
2 2M 2
TH
JI(
DR
Das Matrixelement in Gl. (3.218) hat den Wert
Z
E
D 2
2
iM 4
d4 k k2 /M 2
1
2 3/2
2 1/2
=
πM
e
=
−πM
.
x e−∂ /M x =
(2π)4
(2π)4
16π 2
(3.219)
NA
Die Spur über die Dirac-Indizes kann auch leicht berechnet werden
UP
sp γ5 σ µν σ αβ
= −4iǫαβµν ,
DR
.R
wobei ǫαβµν der total antisymmetrische Tensor in vier Dimensionen ist, so dass
Z
2
2
g 2 αβµν
a b
a
b
= −
lim Sp γ5 e−D/ /M
ǫ
sp
T
T
d4 x Fαβ
(x) Fµν
(x)
M→∞
32π 2
(3.220)
(3.221)
folgt. Wenn wir sp T a T b = δab /2 verwenden, ergibt sich damit für die Jacobi-Determinante der axialen
Transformation
Z
g 2 αβµν a
a
4
ǫ
Fµν (x)Fαβ (x) .
(3.222)
JA = exp −i d x α(x) Nf
32π 2
Der Faktor Nf = 3 kommt von der Spur über die drei verschiedenen Quarks, die als masselos angesehen werden
können, d.h. über ihren “Geschmack” (“Flavor”).
Mit dieser etwas länglichen Rechnung haben wir also gefunden, wie sich der Integrand des erzeugenden
Funktionals unter einer axialen Transformation verändert. Für inﬁnitesimale α(x) erhalten wir dann mit Hilfe
von Gl. (3.209)
(
Z
Z
g 2 αβµν a
a
4
ǫ
Fµν (x)Fαβ
(x)
0 = i Dψ̄(x) Dψ(x) DA(x)
d x α(x) −∂µ Aµ (x) + Nf
32π 2
)
Z
4
−iα(x) ψ̄η + iα(x) η̄ψ · exp i d x L(ψ, ψ̄, A) + ψ̄η + η̄ψ
.
(3.223)
Speziell für verschwindende Quellen haben wir also
84 σ
µν
= i[γµ , γν ]/2 , T a : Generatoren der SU (N )-Lie-Algebra.
153
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
h ∂µ Aµ i = Nf
g 2 αβµν a a Fµν Fαβ ,
ǫ
32π 2
(3.224)
NA
TH
)
was direkt der ABJ-Relation in Operatorschreibweise entspricht, die zuerst durch störungstheoretische Analyse
von Diagrammen wie in Abb. 22 gefunden wurde. Die Pfadintegral-Ableitung hat den Vorzug, dass sie für
alle Ordnungen gilt und damit automatisch das sog. Bardeen-Theorem impliziert, das sagt, dass in höheren
Ordnungen keine Änderung der Anomalie auftritt. Die obige Regularisierung divergenter Ausdrücke mag etwas
ad hoc erscheinen, kann aber durch sorgfältigere Behandlung (etwa durch eine Zetafunktions-Regularisierung
der Determinanten [47] gerechtfertigt werden.)
Vµ
DR
.R
UP
Vµ
NA
TH
JI(
DR
.R
UP
AK
Aµ
Abb. 22 : Dreiecks-Diagramm für einen axialen Strom Aµ und zwei Vektor-Ströme Vµ , das zu einem
anomalen Beitrag für die Divergenz des Axialstroms führt.
Es soll noch kurz skizziert werden, wie die Anomalie den Zerfall π 0 → 2γ bestimmt: man betrachtet das
S-Matrixelement
hγ(k1 , ǫ1 ) γ(k2 , ǫ2 ) | S| π 0 (q)i = i(2π)4 δ (q − k1 − k2 ) ǫµ (k1 )ǫν (k2 ) Γµν (k1 , k2 , q) ,
wobei ki , ǫi , i = 1, 2 die Impulse und Polarisationen der Photonen bezeichnen. Die Amplitude
Z
d4 x1 d4 x2 eik1 ·x1 +ik2 ·x2 h0 T Jµem (x1 )Jνem (x2 )Φπ (0)i
Γµν (k1 , k2 , q) = e2 q 2 − m2π
kann im Limes “weicher” Pionen (d.h. qµ → 0 ) durch die PCAC-Relation
∂µ Aaµ = fπ m2π Φaπ ,
85 “Partially
a = 1, 2, 3
(3.225)
(3.226)
85
(3.227)
conserved axial current” (“teilweise erhaltener axialer Strom”). fπ ≃ 93 MeV ist die Pion-Zerfallskonstante.
154
Kapitel 3 : Feldtheorie
auf die anomale Divergenz des Axialstroms durch Kopplung der Quarks (nicht an Gluonen, sondern) an den elektomagnetischen Strom Jµem zurückgeführt werden. Wir müssen also in Gl. (3.224) g 2 durch die elektromagnetische Kopplungskonstante e2 ≃ 4π/137 ersetzen und die Spurterme modiﬁzieren:
∂ µ Aaµ =
e2 αβµν
ǫ
Fµν Fαβ sp τ a Q2 .
2
32π
| {z }
(3.228)
=:S a
Dabei ist τ a die Isospin-Matrix des Pions und Q die Matrix der Quark-Ladungen. Der Spurfaktor ergibt nur
etwas für a = 3 (d.h. für neutrale Pionen) und besitzt den Wert 86
ergibt dann
(3.229)
)
=1.
α2 m3π
64π 3 fπ2
(3.230)
UP
Γ(π 0 → 2γ) =
NA
87
4 1
−
9 9
AK
Die Rechnung für die Zerfallsrate
TH
S (a=3) = Nc Q2d − Q2u = 3 ·
Gitter-Feldtheorien
NA
3.6
TH
JI(
DR
.R
und stimmt gut mit dem experimentellen Resultat Γ = 7.8 ± 0.6 eV überein. Ohne die Farbe der umlaufenden
Quarks wäre sie um den Faktor Nc2 = 9 kleiner 88 . (Sehr) viel mehr über Anomalien in der Quanten-Feldtheorie
ﬁndet man in {Bertlmann}.
DR
.R
UP
Wir haben in diesem Kapitel im wesentlichen Methoden der Störungstheorie verwendet, um Pfadintegrale
näherungsweise auszurechnen. Dies ist (meist) ausreichend für Theorien mit kleiner Kopplungskonstante (wie
etwa die QED, bei der α ≃ 1/137), aber oﬀensichtlich ungenügend im Bereich starker Kopplung, wie sie in
der QCD bei niedrigen Energien auftreten 89 . Das ist gerade der Bereich, in dem Quarks und Gluonen nicht
als asymptotisch beobachtbare Teilchen vorkommen, sondern die beobachteten Hadronen bilden. Zudem ist
die Störungstheorie nicht vollständig: Phänomene wie Durchtunneln einer Barriere oder Soliton-Lösungen der
klassischen Feldgleichungen und wahrscheinlich auch der “Einschluss” (“conﬁnement”) der Quarks in der QCD
hängen nichtanalytisch von der Kopplungskonstante ab, sind also nichtstörungstheoretischer Natur.
Die exakte Behandlung nichtstörungstheoretischer Eﬀekte im Pfadintegral verlangt eine (numerische) Berechnung des Funktional-Integrals, wie wir es schon im Kapitel 1.9 für quantenmechanische Probleme getan haben.
Es sei daran erinnert, dass wir dort das Pfadintegral – im Einklang mit der heuristischen Einführung dieses
Objektes – diskretisiert und in euklidischer Zeit ausgewertet haben. Entsprechend wird die numerische Behandlung jetzt auf einem endlichen euklidischen Raum-Zeit-Gitter mit Gitterabstand a erfolgen. Das hat in der
Feldtheorie den zusätzlichen Vorteil, dass alle Impuls-Integrale bei ∼ 1/a abgeschnitten und die UltraviolettDivergenzen automatisch regularisiert werden. Ein Nachteil ist, dass Translations- und Rotations-Invarianz
verletzt sind und erst wiederhergestellt werden, wenn man das Gitter immer grösser und immer feiner werden
lässt.
86 Es ist amüsant, dass Steinberger bereits 1949 das Dreiecks-Diagramm mit umlaufenden Nukleonen berechnet hat [48], für
die man ebenfalls den Wert 1 erhält.
87 Siehe, z. B., Peskin & Schroeder, p. 674 - 676 .
88 Eine abweichende Interpretation wird in [49] vertreten.
89 Bei hohen Energien ist in der QCD die Störungstheorie auf Grund der Eigenschaft der asymptotischen Freiheit ebenfalls
anwendbar.
155
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
Wir beginnen unsere Einführung in dieses umfangreiche Gebiet wieder mit der Gitter-Behandlung einer
skalaren Theorie. Wir betrachten die Zustandssumme
I
Z =
DΦ(x) e−SE [Φ] ,
(3.231)
wobei
SE [Φ] =
Z
d4 x
1
1
λ
2
(∂Φ) + m2 Φ2 + Φ4
2
2
4!
=
Z
d4 x
1
λ
Φ(x) − + m2 Φ(x) + Φ4 (x)
2
4!
(3.232)
)
die euklidische Wirkung (etwa der Φ4 -Theorie) ist. Wir werden in Zukunft den Index “E” weglassen, da wir
hier ausschliesslich im Euklidischen arbeiten werden:
TH
x0 = −ix4 ,
(3.233)
µ=1
DR
.R
UP
AK
NA
P4
2
so dass beispielsweise Φ =
µ=1 ∂µ Φ gilt.
Wir nehmen jetzt eine naive Diskretisierung vor: ein 4-dimensionales Raum-Zeit-Gitter mit N Gitterpunkten
und einem Gitterabstand a wird so eingeführt, dass jeder Gitterpunkt durch einen 4-dimensionalen Vektor n
bestimmt ist:
4
X
x ≡ a (n1 , n2 , n3 , n4 ) = a
nµ e µ ,
(3.234)
TH
JI(
wobei eµ ein Einheitsvektor in µ-Richtung ist. Die ganzen Zahlen nµ liegen zwischen −N/2 und N/2 und werden
zweckmässigerweise ausserhalb fortgesetzt: n =
ˆ n + N (periodisches Gitter). Die 4-dimensionale Integration
wird im diskreten Fall durch
Z
X
d4 x −→ a4
(3.235)
NA
n
UP
ersetzt und das skalare Feld existiert an jedem Gitterpunkt
(3.236)
.R
Φ(x) −→ Φ(n) = Φ(n1 , n2 , n3 , n4 ) ≡ Φn .
DR
Schliesslich ersetzen wir den Laplace-Operator durch die einfachste symmetrische Form
Φ(x) −→
4
4
1 X
1 X
[
Φ(n
+
e
)
+
Φ(n
−
e
)
−
2Φ(n)
]
≡
( Φn+µ + Φn−µ − 2Φn ) ,
µ
µ
a2 µ=1
a2 µ=1
(3.237)
die im Kontinuums-Limes a → 0 in die linke Seite übergeht. Damit lautet die Gitter-Wirkung (sie ist jetzt
eine Funktion der Felder Φn )
(
2
)
4
X a2 X
m 2
λ 4
2
4
S{Φn } =
−Φn Φn+µ − Φn Φn−µ + 2Φn + a
Φ + Φ
2 µ=1
2 n 4! n
n
)
(
4
X
X
2
a2
4λ 4
2 2
2
(3.238)
8 + m a Φn + a Φn
−a
Φn Φn+µ +
=
2
4!
n
µ=1
und die Zustandssumme wird
Z =
Z
Y
n
dΦn
!
e−S{Φn } .
(3.239)
Oﬀensichtlich ist die Gitterwirkung nicht eindeutig: man kann beliebige Terme hinzufügen, die für a → 0
verschwinden. Insbesondere kann man versuchen, die Diskretisierung so zu verbessern, dass die Fehler von
einer höheren Ordnung in a sind als in der “naiven” Form, die wir angegeben haben. Das ist die Grundlage der
156
Kapitel 3 : Feldtheorie
“verbesserten Wirkungen”, die jetzt mehr und mehr verwendet werden 90 . Ebenso berechnen wir KorrelationsFunktionen
!
Z Y
1
(3.240)
dΦn Φn1 Φn2 . . . Φnk e−S{Φn } .
hΦn1 Φn2 . . . Φnk i =
Z
n
Als Beispiel wollen wir die 2-Punkt-Funktion in der freien diskretisierten Theorie betrachten. Wir erhalten
(Übungsaufgabe 27 a) )
hΦn Φn′ i =
Z
π/a
−π/a
d4 q
1
P
eiq·x ,
(2π)4 m2 + 2 µ [ 1 − cos(aqµ ) ] /a2
(3.241)
)
wobei xµ = a(nµ − n′µ ) der Abstand auf dem Gitter ist. Wir sehen an diesem Ergebnis folgendes:
TH
(1) Die Impulsintegration ist abgeschnitten: | qµ | ≤ π/a und geht nur über die erste “Brillouin-Zone”.
hΦn Φn′ i −→
(3.242)
DR
.R
−π/a→−∞
1
d4 q
eiq·x .
4
2
2
(2π) m + q + O(a2 )
UP
π/a→+∞
Z
AK
NA
(2) Für a → 0 erhalten wir aus der Entwicklung 1 − a cos(aqµ ) → a2 qµ2 /2 + . . . den üblichen (euklidischen)
Feynman-Propagator
(3) Für a 6= 0 ist das Kontinuums-Dispersionsgesetz abgeändert
TH
JI(
m2 + q 2 −→ m2 +
4 X 2 aqµ ,
sin
a2 µ
2
(3.243)
ψ α (n)ψ̄ β (n )
=
Z
π/a
.R
′
−π/a
DR
UP
NA
besitzt aber keine zusätzlichen Nullstellen. Dies ist nicht der Fall, wenn man Fermionen aufs Gitter setzt:
Wie man in Übungsaufgabe 27 b) ableitet, erhält man bei einer naiven Diskretisierung
d4 q
(2π)4
"
−i
X
γµE p̃µ
µ
+m
#
αβ
exp ( iq · x )
P
,
m2 + µ p̃2µ
p̃µ :=
sin ( apµ )
a
,
(3.244)
wobei die euklidischen Dirac-Matrizen [γµE , γνE ]+ = 2δµν erfüllen. Zwar geht p̃µ → pµ für a → 0 , aber der
Propagator (3.244) “wiederholt” sich am Ende der Brillouin-Zone, weil p̃µ = sin(π − pµ a)/a → π/a − pµ
für pµ → π/a. Das bedeutet, dass man nicht nur die Propagation einer Spezies bekommen hat, sondern
24 − 1 = 15 zusätzliche Exemplare ... euphemistisch spricht man vom “Verdoppeln der Fermionen
(fermion doubling”).
Man kann die Kopplungskonstante λ aus der Wirkung herausnehmen, wenn man das Feld reskaliert:
√
Φ′n = λ Φn .
Dann erhalten wir
S{Φn } =
mit
S
90 Siehe,
′
{Φ′n }
z. B., [50].
=
X
n
(
1 ′ ′
S {Φn }
λ
2
4
a2 X m ′2
1 ′4
4
+
a
−Φ′n Φ′n+µ − Φ′n Φ′n−µ + 2Φ′2
Φ
+
Φ
n
2 µ=1
2 n
4! n
(3.245)
(3.246)
)
(3.247)
157
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
und für die Zustandssumme (konstante Faktoren sind unerheblich)
!
Z Y
′
1 ′
dΦ′n e− λ S {Φn } .
Z =
(3.248)
n
Wenn wir dies mit Zustandssumme in der statistischen Mechanik vergleichen, sehen wir, dass
1
1
←→
λ
kB T
(3.249)
entspricht, d.h., dass eine Entwicklung für starke Kopplungen einer Hochtemperaturentwicklung von statistischen Systemen entspricht.
)
Eichtheorien auf dem Gitter
TH
3.6.1
UP
AK
NA
Eichtheorien auf einem Raum-Zeit-Gitter verlangen eine besondere Behandlung, um die Eichinvarianz in jedem
Schritt zu gewährleisten. K. Wilson hat 1974 eine Formulierung vorgeschlagen, bei der die Eichfelder nicht auf
den Gitterpunkten, sondern auf den Verbindungen (“links”) deﬁniert sind:
λa
a a
a
U (n, µ) = exp [ igaAµ (n) ] ,
Aµ = Aµ T ∈ SU (N ) , T =
für SU (3)
(3.250)
2
TH
JI(
DR
.R
ist der “link”, der vom Punkt n in positive Richtung µ zeigt. Wilson hat auch eine Wirkung angegeben, die
sich im Kontinuumsfall auf die euklidische Yang-Mills-Wirkung
Z
Z
1
1
a
a
a
d4 x spFµν Fµν =
d4 x Fµν
Fµν
, Fµν ≡ Fµν
Ta
(3.251)
SY M =
2
4
h
i
1
1 − Re sp U (n, µ) U (n + µ, ν) U (n + µ + ν, −µ) U (n + ν, −ν)
N
)
.
(3.252)
.R
n,µ,ν
(
UP
SWilson = β
X
NA
reduziert:
DR
Hierbei ist β ist ein vorerst unbestimmter Faktor und die Summation ist über alle elementaren Quadrate
( “Plaketten”) des Gitters auszuführen:
Vertiefung 29: Wilson-Wirkung bei kleinen Gitter-Abständen
Es ist relativ einfach, zu zeigen, dass für a → 0 die Wilson-Wirkung in die Kontinuums-Wirkung übergeht. Dabei benutzen wir, dass
U (n, µ) U (n + µ, −µ) = 1 ist, d.h.
U (n, µ) = U −1 (n + µ, −µ) .
(3.253a)
Damit erhalten wir
X
SWilson = β
Plaketten
(
1−
h
i
1
Re sp eigaAµ (x) eigaAν (x+aeµ ) e−igaAµ (x+aeν ) e−igaAν (x)
N
)
.
(3.253b)
Nun verwenden wir die Baker-Campbell-Haussdorff-Formel, um die Exponentialfunktionen zusammenzufassen:
eaÂ eaB̂ = exp
aÂ + aB̂ +
a2
[Â, B̂] + O(a3 )
2
!
.
(3.253c)
Das Ergebnis ist dann
SWilson
=
β
X
P
(
1−
n
1
Re sp exp iga ( Aµ (x) + Aν (x + aeµ ) − Aµ (x + aeν ) − Aν (x) )
N
+
(iga)2 [Aµ (x), Aν (x + aeµ )] − [Aµ (x) + Aν (x + aeµ ), Aµ (x + aeν )]
2
)
o
− [Aµ (x) + Aν (x + aeµ ) − Aµ (x + aeν ), Aν (x)]
.
(3.253d)
158
Kapitel 3 : Feldtheorie
−µ
n+ν
n+µ + ν
−ν
µ
TH
n+µ
NA
n
)
ν
UP
AK
Abb. 23 : Die elementare Plakette in der Gitter-Eichtheorie.
(
n
h
io
1
Re sp exp iga (a∂µ Aν (x) − a∂ν Aµ (x)) + (iga)2 Aµ (x), Aν (x)
N
P
(
)
X
1
1
2
2 2
1−
β
Re sp 1 + iga Fµν + (iga ) Fµν Fµν + . . .
.
N
2
P
β
a→0
−→
X
1−
DR
=
)
(3.253e)
TH
JI(
SWilson
.R
Mit einer Taylor-Entwicklung der Vektorfelder folgt
Im Limes a → 0 trägt nur der Term 2. Ordnung bei, da spFµν = 0 ist (die SU(N )-Generatoren sind spurlos), und man erhält
1
2
kommt daher, dass
P
=
1
2
NA
P
(3.253f)
µν .
DR
Wir müssen also
P
.R
Der Faktor
Z
X
βg2
1 X 1 1
4
2 2
d x sp
(ga ) sp Fµν Fµν =
Fµν (x)Fµν (x) .
2 n,µν N 2
2N
µν
UP
a→0
SWilson −→ β
β =
2N
g2
(3.254)
wählen, um die Wirkung (3.251) der Kontinuums-Theorie zu erhalten. Für N = 1 ist β = 1/g 2 zu nehmen.
Die Wilson-Wirkung zeichnet sich dadurch aus, dass sie invariant unter einer lokalen Eichtransformation
U (n, µ) −→ V (n) U (n, µ) V −1 (n + µ)
(3.255)
mit einer beliebigen Matrix V ∈ SU (N ) ist.
Beweis :
SWilson
−→
β
X
P
·V
|
=
·V
|
β
1−
h
1
Resp V (n)U (n, µ) V −1 (n + µ) V (n + µ) U (n + µ, ν)
N
|
{z
}
=1
−1
(n + µ + ν) V (n + µ + ν) U (n + µ + ν, −µ)
{z
}
=1
−1
X
P
=
(
(n + µ + ν − µ) V (n + ν) U (n + ν, −ν) V −1 (n + ν − ν)
{z
}
(
=1
h
i
1
−1
1−
Re sp V (n)UUUUV
(n)
N
)
= β
SWilson ,
da sp(ÂB̂) = sp(B̂ Â) ist. q. e. d. = quod erat demonstrandum: was zu beweisen war.
X
P
(
1−
i
)
h
i
1
Re sp UUUU
N
)
159
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
Die Gitter-Eichtheorie in dieser Formulierung bewahrt also vor allem die Eichinvarianz auf Kosten der Translations- und damit der Lorentz-Invarianz. Diese sollte im Kontinuums-Limes wiederhergestellt werden. Man
beachte, dass keine Eichﬁxierung wie in der Kontinuumstheorie nötig ist, da die Eichfelder durch eine endliche
unitäre Matrix U dargestellt werden (“kompakte” Wirkung). Man summiert nicht über unendliche Freiheitsgrade, die durch Eichtransformationen verbunden sind.
3.6.2
Wilson-Schleifen und Confinement
für R → ∞ ,
NA
E(R) −→ 2m
TH
)
Um ein Kriterium für den postulierten Einschluss (“Conﬁnement”) der Quarks zu erhalten, studieren wir die
Energie eines Systems, das aus einem Quark bei x′ = (t, 0) und einem Antiquark bei x = (t, R) besteht. Die
Quarks werden dabei als so schwer angenommen, dass sie sich nicht bewegen und nur eine Quelle für die
entstehenden Gluonfelder darstellen. Wenn die Quarks nicht eingeschlossen sind, dann erwarten wir, dass
(3.257)
.R
UP
AK
wobei m die Quarkmasse ist. Conﬁnement bedeutet, dass die potentielle Energie der Quarks ohne Schranke
anwächst:
E(R) −→ ∞ für R → ∞ .
(3.258)
DR
Das Quark-Antiquark-System kann nicht einfach durch einen Zustand
TH
JI(
q̄(x′ ) q(x) | 0i
dargestellt werden, da dies nicht eichinvariant ist. Der richtige Ausdruck
!
Z ′
x
Aµ (y)dy µ
NA
Γ(x′ , x, C) = q̄(x′ ) P exp ig
(3.260)
UP
x
q(x) | 0i = q̄(x′ ) U (x′ , x, C) q(x) | 0i
(3.259)
DR
.R
enthält einen Phasenfaktor, zwischen den Feldoperatoren, die ein Quark/Antiquark an verschieden RaumZeitpunkten erzeugen. Notwendigerweise hängt er daher auch von dem Weg C ab, der x und x′ verbindet. P
bezeichnet die Pfadordnung, die notwendig ist, weil das Eichfeld an verschiedenen Punkten nicht kommutiert 91 .
Wir wollen nun den Überlapp zwischen dem q q̄-Zustand bei t = 0 und dem selben Zustand bei t = T
berechnen:
Ω(T, R) = h0| Γ† [(0, 0), (0, R), C] Γ [(T, 0), (T, R), C] |0i .
(3.261)
Wenn wir – wie üblich – einen vollständigen Satz von Zwischenzuständen einschieben und das Verhalten für
grosse T untersuchen, sehen wir, dass der Zwischenzustand mit der kleinsten potentiellen Energie des q q̄-Systems
im Abstand R dominiert:
T →∞
Ω(T, R) ≃ const. e−E(R) T .
(3.262)
Andererseits können wir den Überlapp mit Hilfe der Quark-Feldoperatoren ausdrücken:
Ω(T, R) = h 0| q̄(0, R) U [(0, R), (0, 0); C] q(0, 0) q̄(T, 0)U [(T, 0), (T, R); C] q(T, R) |0 i .
(3.263)
Für ein schweres, sich nicht bewegendes Quark lautet die euklidische Diracgleichung
γ4 (∂4 − igA4 ) q(x) = −mq(x)
91 Die
(3.264)
Pfadordnung ist analog zur Zeitordnung folgendermassen definiert: parametrisiert man den Pfad von x nach x′ durch
einen
anwachsenden
Parameter s ∈ [0, 1], dann sind in der Potenzreihen-Entwicklung der Exponentialfunktion
kontinuierlich
R
dx
exp ig 01 ds dsµ Aµ (s)ds die Matrizen Aµ (s) so anzuordenen, dass der grösste Wert von s links steht.
160
Kapitel 3 : Feldtheorie
In diesem extrem nichtrelativistischen Grenzfall darf man auch γ4 = 1 setzen und es gibt keine QuarkPaarerzeugung durch das Eichfeld, d.h. dieses wirkt wie ein äusseres Feld. Die Lösung ist dann einfach
Z t
q(x4 = t, x) = const. e−mt P exp ig
dt′ A4 (t′ ) ,
(3.265)
0
und der Quark-Propagator ist daher
′
h0| qβ (t′ , x)q̄α (t, x) |0i = U [(t′ , x), (t, x); C] δαβ e−m|t−t | .
(3.266)
Wenn wir in Gl. (3.263) die Quark-Feldoperatoren kontrahieren und Gl. (3.266) verwenden, erhalten wir
const. e−2mT h0| U [(T, R), (0, R)] U [(0, R), (0, 0)]
Ω(T, R) ≃
)
·U [(0, 0), (T, 0)] U [(T, 0), (T, R)] |0i
(3.267)
NA
=:W (C)
TH
const. e−2mT h0| sp U [(0, 0), (0, 0); C] 0i .
|
{z
}
=
UP
AK
Dabei ist C der rechteckige Weg, der in Abb. 24 (a) dargestellt ist. Aus der Wilson-Schleife (dem “Wilson
loop”) W (C) kann man die potentielle Energie zwischen einem schweren Quark und einem schweren Antiquark
bestimmen:
lim W (C) = const. e − [ E(R)−2m ] T .
(3.268)
.R
T →∞
g2 →∞
≃
TH
JI(
W (C)
DR
Wie wir zeigen werden, erfüllt die Wilson-Schleife im Grenzfall starker Kopplung auf dem Gitter ein Flächengesetz
e−KA(C) ,
(3.269)
UP
NA
wobei K eine Konstante und A(C) die Fläche ist, die vom Pfad C eingeschlossen wird. Für den rechteckigen
Pfad haben wir A(C) = T R und damit ein linear ansteigendes Potential zwischen schwerem Quark und
Antiquark
E(R) − 2m = KR .
(3.270)
DR
.R
Das anschauliche Bild, das man mit einem solchen ansteigenden Potential verbinden kann, ist das einer “Saite”
(“string”) von Gluonfeldern, die sich zwischen den statischen Farbquellen herausbildet. Die Konstante K wird
daher auch “Saitenspannung” (“string tension”) genannt.
Die Wilson-Schleife kann man direkt auf dem Gitter berechnen:
Z
1
W (C)
=
h0| sp U (x, x; C) |0i =
DAµ (x) sp U (x, x; C) e−SE [A]
Z
Z Y
Gitter 1
dU (n, n + µ) sp U (n, n; C) e−SWilson (U) ,
−→
Z
n,µ
wobei
Z =
Z Y
dU (n, n + µ) e−SWilson (U)
(3.271)
(3.272)
n,µ
die Zustandssumme ist. Dabei integrieren wir nicht mehr direkt über die Eichfelder, sondern über die Verbindungen U , da diese für kleine Gitterabstände proportional dazu sind.
Wir wollen nun versuchen, die Wilson-Schleife für grosse Kopplungskonstanten analytisch auszurechnen.
Dazu schreiben wir die Wilson-Wirkung (3.252) als
X
1
SWilson = β
(3.273)
1 − Re sp UP ,
N
P
161
(T, R)
(0, 0)
(0, R)
TH
(T, 0)
)
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
(b)
AK
NA
(a)
.R
UP
Abb. 24 : (a) Wilson-Schleife mit rechteckigem Weg.
(b) Eine vollkommen mit Plaketten bedeckte Wilson-Schleife.
TH
JI(
DR
lassen die unerhebliche Konstante in der Wirkung weg und entwickeln nach Potenzen von β = N/(2g 2 ). Dies
ergibt


2 X
Z


X
1
1
1
1
′
W (C) =
+
.
.
.
(3.274)
dU sp U (x, x; C) 1 + 2
sp
U
sp
U
sp UP +
P
P


Z
2g
2! 2g 2
′
P,P
NA
P
DR
.R
UP
Um dies auszuwerten, müssen wir wissen, wie man über die Gruppenelemente der SU (N ) integriert. Im
U (1)-Fall ist dies einfach, da dort die Gruppenelemente Phasenfaktoren sind und durch eiΘ , −π < Θ ≤ π
parametrisiert werden:
Z +π
Z +π
1
1
dΘ = 1 ,
dΘ eiΘ = 0 .
(3.275)
2π −π
2π −π
Im allgemeinen Fall geschieht die Integration über die Gruppenelemente mit Hilfe des Haar-Masses 92 . Für
unsere augenblicklichen Zwecke ist es jedoch ausreichend, einfach die Integrale
Z
dU = 1
(3.276)
Z
(3.277)
dU Uij = 0
Z
1
†
δil δjk
dU Uij Ukl
=
(3.278)
N
anzugeben. Die zweite Regel besagt, dass keine “links” bei der Integration übrigbleiben dürfen, während
die dritte Regel bedeutet, dass ein nichtverschwindendes Ergebnis nur dann entsteht, wenn über zwei “links”
in entgegengesetzter Richtung integriert wird. Dies hat zur Folge, dass eine Wilson-Schleife vollständig mit
Plaketten bedeckt sein muss, deren anstossende “links” entgegengesetzte Richtung haben, um einen Beitrag zu
liefern (Abb. 24 (b)). Den niedrigsten (in 1/g 2 nichtverschwindenden) Beitrag zu W (C) gibt also der Term
mit
NP
1
,
(3.279)
W (C) ∼
2g 2
92 Siehe,
z. B., {Creutz}, chapter 8.
162
Kapitel 3 : Feldtheorie
wobei NP die minimale Anzahl von Plaketten ist, die benötigt wird, um diese Fläche zu überdecken, die vom
Pfad C umschlossen ist. Da A(C) = a2 NP ist, entspricht dies dem Flächengesetz
−A(C)/a2
TR
= exp − 2 ln g 2 .
W (C) ∼ g 2
(3.280)
a
Wir ﬁnden also im Grenzfall starker Kopplung
E(R) − 2m ∼
ln g 2
R ≡ KR ,
a2
g≫1
(3.281)
Numerische Berechnung von Observablen auf dem Gitter
NA
3.6.3
TH
JI(
DR
.R
UP
AK
NA
TH
)
tatsächlich ein linear ansteigendes (einschliessendes) Potential zwischen schwerem Quark und Antiquark.
Oﬀensichtlich ist dieses Ergebnis jedoch unabhängig von N , d.h. auch eine abelsche U(1)-Theorie wie
die QED führt zum Einschluss im Grenzfall starker Kopplung ! Das scheint unsinnig, wird jedoch durch
die folgende Überlegung mit der Realität in Einklang gebracht: im Kontinuums-Limes a → 0 muss man
die (nackte) Kopplungskonstante g = g(a) so abändern, dass sich die physikalischen Observablen (z.B. die
Saitenspannung) nicht ändern. Wie man aus Gl. (3.281) sieht, bedeutet dies, dass im Kontinuums-Limes
die (nackte) Kopplungskonstante abnehmen muss. Man glaubt nun und hat – wie wir im nächsten Abschnitt
sehen werden – numerische Evidenz dafür, dass sich QCD und QED im Übergang zur schwachen Kopplung
radikal unterscheiden. Während in der QCD das Flächengesetz weiterhin gilt und die Quarks eingeschlossen
bleiben, gibt es bei der QED einen Phasenübergang: anstatt eines Flächengesetzes ﬁndet man bei schwachen
(nackten) Kopplungen ein Umfangsgesetz: das Potential zwischen e+ und e− geht für grosse Abstände gegen eine
Konstante, was bedeutet, dass die Konstituenten bei genügender Energie als freie Teilchen auftreten können,
wie man es tatsächlich beobachtet.
DR
.R
UP
Störungstheorie und die Entwicklung für starke Kopplungskonstanten sind unzureichend, um wirklich nichtstö
rungstheoretische Phänomene im Kontinuum zu beschreiben. Dies ist oﬀensichtlich für nichtabelsche Theorien
wie die QCD, gilt aber auch für den postulierten Übergang von Einschluss- zu Coulomb-Phase in der QED.
In solchen Fällen bleibt (beim gegenwärtigen Stand unserer theoretischen Hilfsmittel) nur eine numerische
Berechnung des Pfadintegrales übrig.
Wir haben dies bereits im Kapitel 1.9 für die Quantenmechanik an Hand des anharmonischen Oszillators
ausführlich behandelt, und wollen dies jetzt auf die 4-dimensionale Feldtheorie ausdehnen. Zur Vereinfachung
des Programm-Aufwandes illustrieren wir die numerische Simulation nicht für die (viel interessantere) SU(3)Theorie der QCD, sondern “nur” für die abelsche U(1)-Theorie. Die Verbindungen (“links”) sind dabei einfach
durch die Phasenfaktoren
U (n, µ) = eigaAµ (n) = eiΘµ (n) ,
0 < Θµ (n) ≤ 2π
(3.282)
gegeben, mit
U (n + µ, −µ) = U −1 (n, µ) = U † (n, µ) = U ⋆ (n, µ) .
(3.283)
Mit Hilfe des Metropolis-Algorithmus erzeugen wir uns wieder “Konﬁgurationen” (d. h. die Gesamtheit aller
U ’s auf dem Gitter), die gemäss
e−SWilson (U)
(3.284)
w(U ) = R
dU e−SWilson (U)
verteilt sind. Wir erinnern uns, dass wir Versuchs-Konﬁgurationen (Ut ) bilden müssen, und dann an Hand von
r = e−[ S(Ut )−S(U) ] ≡ e−∆S
(3.285)
163
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
entscheiden müssen, ob wir diese akzeptieren oder nicht. Vernünftigerweise ändert man die Konﬁguration
immer nur an einem “link” U (n, µ), weil man dann nur die Änderung
n
X
∆S = −β
∆U (n, µ) U (n + µ, ν) U ∗ (n + ν, µ) U ∗ (n, ν)
ν6=µ
+ U (n + µ, −ν) U ∗ (n − ν, µ) U ∗ (n, −ν)
o
(3.286)
der Wirkung berechnen muss, die in 4 Dimensionen genau 6 “links” betriﬀt. Als Änderung nehmen wir
exp(2πiz1 ) + δ
,
(3.287)
∆U (n, µ) = U (n, µ) · 1 −
| exp(2πiz1 ) + δ|
R
1 X
1−
sp UP
N
P
!+
,
(3.288)
(3.289)
N =1
TH
JI(
hP i =
.R
Eine beliebte Observable ist die mittlere Plakette
*
UP
AK
M
dU O(U )e−S(U)
1 X
R
≃
O(Ui ) .
M i=1
dU e−S(U)
DR
hOi =
NA
TH
)
wobei δ ein vorgegebener Parameter und z1 eine (zwischen 0 und 1) gleichverteilte Zufallszahl ist. Wenn man
genügend viele Durchgänge (“sweeps”) durch das Gitter gemacht hat, so dass eine Thermalisierung eingetreten
ist, misst man den Erwartungswert einer beliebigen Observablen O(U ) durch
.R
UP
NA
da sie einfach zu berechnen ist und als Ordnungsparameter den Übergang in eine andere Phase signalisiert.
Dies kann auf einem kleinen Gitter ohne Schwierigkeiten auch auf einem PC durchgeführt werden.
93
DR
Vertiefung 30: FORTRAN-Programm zur Berechnung der mittleren Plakette
C
C
c
C
C
C
C
C
C
C
C
C
Berechnet mittlere Plakette in 4-dimensionaler U(1)-Theorie auf einem 8^4 Gitter
als Funktion von beta = 1/g^2
Parameter: NTH = Anzahl der Thermalisierungs-Sweeps
NHIT = Anzahl der zusaetzlichen Monte-Carlo-Versuche an jedem Gitterpunkt
NSWEEP = Anzahl der Sweeps (<500)
DELTA = Parameter fuer neue Konfiguration
BETA0 = Anfangswert von beta
DBETA = Schrittweite in beta
NBETA = Anzahl der beta-Werte
PARAMETER(LS=8,LT=8,NN=LS**3*LT)
COMPLEX U(NN,4),V,ZPI
DOUBLE PRECISION DSEED
DIMENSION NNF(NN,4),NNB(NN,4),ACT(500)
COMMON/ZUF/ DSEED,ZPI,DELTA
COMMON /PAR/ NAKZ
DATA PI /3.1415926/
WRITE(*,*) ’Eingabe: ntherm,nhit,nsweep,delta’
READ (*,*) NTHERM,NHIT,NSWEEP,DELTA
WRITE(*,*) ’Eingabe: beta0,dbeta,nbeta’
READ (*,*) BETA0,DBETA,NBETA
C
C
C
Hilfsrechnungen
100
LS2 = LS*LS
LS3 = LS2*LS
DSEED = 12365.D0
ZPI = 2.*PI*CMPLX(0.,1.)
NAKZ = 0
WRITE (6,100) LS,LT
FORMAT(// ’ U(1) - Theorie auf (’,I2,’**3)*’,I2,’
WRITE(6,102) NTHERM,NHIT,NSWEEP,DELTA
93 Dank
Gitter’//)
an Manfred Kremer (Mainz/Jülich), von dem die Urfassung dieses Programms stammt.
164
FORMAT(’ NTHERM =’,I3,’
’ DELTA = ’,F6.3//)
NHIT =’,I2,’
NSWEEP =’,I3,
Berechnung der naechsten Nachbar-Adressen
TH
NA
DR
.R
UP
NA
TH
JI(
DR
.R
10
C
C Initialisierung und Thermalisierung
C
WRITE(6,*) (’ Kaltstart’//)
DO 12 I = 1,NN
DO 12 I1 = 1,4
12
U(I,I1) = 1.
DO 15 I = 1,NTHERM
15
CALL UPDATE(U,NN,NHIT,BETA,NNF,NNB)
C
C beta-Schleife
C
DO 90 IBETA = 1,NBETA
BETA = BETA0 + (IBETA - 1)*DBETA
C sweeps
NAKZ = 0
DO 20 L = 1,NSWEEP
CALL UPDATE(U,NN,NHIT,BETA,NNF,NNB)
C
C Messung
C
ACT(L) = 0.
DO 30 I = 1,NN
DO 30 K = 1,3
KP1 = K + 1
V = 0.
DO 40 K1 = KP1,4
I1 = NNF(I,K)
I2 = NNF(I,K1)
V = V + U(I1,K1)*CONJG(U(I2,K))*CONJG(U(I,K1))
40
CONTINUE
ACT(L) = ACT(L) + U(I,K)*V
30
CONTINUE
ACT(L) = (1. - ACT(L)/(6.*NN))
20
CONTINUE
SACT1 = 0.
SACT2 = 0.
DO 50 L = 1,NSWEEP
SACT1 = SACT1 + ACT(L)
50
SACT2 = SACT2 + ACT(L)**2
SACT = SACT1/NSWEEP
SACT2 = SACT2/NSWEEP
SACT2 = SACT2 - SACT*SACT
SACT2 = SQRT(SACT2)
XAKZ = NAKZ/(4.*NHIT*NSWEEP*NN)
C
C Ausdruck
C
WRITE(6,104) BETA,SACT,SACT2,XAKZ
104
FORMAT(’ beta =’,F7.3,5X,’mittl. Plakette =’,F9.3,
&
’ +/-’,F6.3,5X,’Akzeptanz =’,F7.3/)
90
CONTINUE
STOP
END
)
DO 10 IX = 1,LS
DO 10 IY = 1,LS
DO 10 IZ = 1,LS
DO 10 IT = 1,LT
I = IX + LS*(IY-1+LS*(IZ-1+LS*(IT-1)))
NNF(I,1) = I - IX + 1 + MOD(IX,LS)
NNF(I,2) = I - (IY-1-MOD(IY,LS))*LS
NNF(I,3) = I - (IZ-1-MOD(IZ,LS))*LS2
NNF(I,4) = I - (IT-1-MOD(IT,LT))*LS3
NNB(I,1) = I - IX + 1 + MOD(IX+LS-2,LS)
NNB(I,2) = I - (IY-1-MOD(IY+LS-2,LS))*LS
NNB(I,3) = I - (IZ-1-MOD(IZ+LS-2,LS))*LS2
NNB(I,4) = I - (IT-1-MOD(IT+LT-2,LT))*LS3
CONTINUE
AK
C
C
C
&
UP
102
Kapitel 3 : Feldtheorie
C++++++++++++++++++++ UNTERPROGRAMM UPDATE ++++++++++++++++++++++++++++++
C
C
C
SUBROUTINE UPDATE (U,NN,NHIT,BETA,NNF,NNB)
Neue Versuchs-Konfiguration ("Update")
COMPLEX U(NN,4),V,W,W1,ZPI
DIMENSION NNF(NN,4),NNB(NN,4)
DOUBLE PRECISION DSEED
COMMON /ZUF/ DSEED,ZPI,DELTA
COMMON /PAR/ NAKZ
DO 10 I = 1,NN
DO 10 K = 1,4
V= 0.
DO 20 K1 = 1,4
IF (K1 .EQ. K) GO TO 20
I1 = NNF(I,K)
I2 = NNF(I,K1)
I4 = NNB(I,K1)
I5 = NNF(I4,K)
V = V + U(I1,K1)*CONJG(U(I2,K))*CONJG(U(I,K1))
&
+ U(I4,K1)*CONJG(U(I5,K))*CONJG(U(I4,K1))
20
CONTINUE
C
C Metropolis-Algorithmus
C
! Birbaumer! Korrektur
165
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
C++++++++++++++++++++++++
)
erzeugt neues exp(i theta)
DOUBLE PRECISION DSEED
COMPLEX U,ZPI,A0
COMMON /ZUF/ DSEED,ZPI,DELTA
A0 = ZUFALL(DSEED)*ZPI
U = CEXP(A0) + DELTA
U = U/CABS(U)
RETURN
END
TH
C
C
C
UNTERPROGRAMM CREATE +++++++++++++++++++++++++
SUBROUTINE CREATE(U)
NA
30
10
AK
7
DO 30 KIND = 1,NHIT
CALL CREATE(W1)
W = W1*U(I,K)
SNEU = V*W
SALT = V*U(I,K)
DACT = (SNEU - SALT)*BETA
IF (DACT .LT. 0.) THEN
P = EXP(DACT)
XR = ZUFALL(DSEED)
END IF
IF (DACT .GE. 0.) GO TO 7
IF(XR .GT. P) GO TO 30
U(I,K) = W
NAKZ = NAKZ + 1
CONTINUE
CONTINUE
RETURN
END
C++++++++++++++++++++++ UNTERPROGRAMM ZUFALL ++++++++++++++++++++++++++++
UP
FUNCTION ZUFALL(DSEED)
.R
erzeugt gleichverteilte Zufallszahlen im Intervall [0,1]
DR
DOUBLE PRECISION A,C
DATA A,C /16807.D0,2147483647.D0/
DSEED = DMOD(A*DSEED,C)
ZUFALL = DSEED/C
RETURN
END
NA
TH
JI(
C
C
C
.R
UP
Wenn wir dieses Programm auf einem 84 -Gitter “kalt” starten und mit 100 “Sweeps” und 5-maligem Wiederholen der Monte-Carlo-Versuche
für 20 verschiedene β-Werte laufen lassen 94 , erhalten wir folgenden Ausdruck:
NTHERM = 20
Kaltstart
beta = 0.100
beta = 0.200
beta = 0.300
beta = 0.400
beta = 0.500
beta = 0.600
beta = 0.700
beta = 0.800
beta = 0.900
beta = 1.000
beta = 1.100
beta = 1.200
beta = 1.300
beta = 1.400
beta = 1.500
beta = 1.600
beta = 1.700
beta = 1.800
beta = 1.900
beta = 2.000
94 Das
mittl.
mittl.
mittl.
mittl.
mittl.
mittl.
mittl.
mittl.
mittl.
mittl.
mittl.
mittl.
mittl.
mittl.
mittl.
mittl.
mittl.
mittl.
mittl.
mittl.
DR
U(1) - Theorie auf ( 8**3)* 8 Gitter
NSWEEP = 100
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
++++++++++++++++++++-
NHIT = 5
Plakette
Plakette
Plakette
Plakette
Plakette
Plakette
Plakette
Plakette
Plakette
Plakette
Plakette
Plakette
Plakette
Plakette
Plakette
Plakette
Plakette
Plakette
Plakette
Plakette
0.950
0.901
0.852
0.804
0.754
0.706
0.654
0.599
0.536
0.432
0.311
0.251
0.224
0.203
0.188
0.174
0.162
0.152
0.143
0.135
0.004
0.004
0.004
0.004
0.004
0.005
0.004
0.006
0.007
0.022
0.024
0.004
0.003
0.003
0.003
0.002
0.002
0.002
0.002
0.002
DELTA = 1.5
Akzeptanz
Akzeptanz
Akzeptanz
Akzeptanz
Akzeptanz
Akzeptanz
Akzeptanz
Akzeptanz
Akzeptanz
Akzeptanz
Akzeptanz
Akzeptanz
Akzeptanz
Akzeptanz
Akzeptanz
Akzeptanz
Akzeptanz
Akzeptanz
Akzeptanz
Akzeptanz
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0.969
0.938
0.908
0.878
0.848
0.819
0.788
0.758
0.725
0.682
0.636
0.608
0.589
0.572
0.556
0.542
0.529
0.516
0.504
0.493
benötigt ca. 1.5 min auf einem 2 GHz PC, für das 124 -Gitter sind es etwa 7.5 min.
166
Anhang
DR
.R
UP
NA
TH
JI(
DR
.R
UP
AK
NA
TH
)
Trägt man die Ergebnisse für verschiedene Gitter-Grössen graphisch auf (Abb. 25), so sieht man, dass bei
β ≃ 0.9 − 1.2 eine starke Änderung der mittleren Plakette erfolgt, d.h. der vermutete Phasenübergang von der
einschliessenden Phase ( grosse g 2 ⇒ kleine β ) zur Coulombphase ( kleine g 2 ⇒ grosse β) stattﬁndet.
Da wir auf einem sehr kleinen, endlichen Gitter arbeiten, ist dieser Übergang nicht so abrupt, wie im unendlichen
System, wo der Ordnungsparameter in der Phase, in der die Elektronen und Positronen frei sind, verschwindet.
Trotzdem stimmt unser Ergebnis ganz gut mit den besten Rechnungen überein, die den Phasenübergang bei
β = 1.011131(6) lokalisieren [51].
Abb. 25 : Mittlere Plakette hP i als Funktion von β = 2/g 2 für verschiedene Gitter-Grössen. Zur besseren
Sichtbarkeit sind die Ergebnisse für das 84 -Gitter um den konstanten Wert 0.1 nach unten, diejenigen
für das 124 -Gitter um 0.1 nach oben gehoben worden.
167
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[50] G. P. Lepage: “Redesigning Lattice QCD”, in: Perturbative and nonperturbative aspects of quantum field
theory, Schladming 1996, Lecture Notes in Physics, vol. 479, p. 1 - 48, Springer.
DR
.R
UP
NA
TH
JI(
DR
.R
UP
AK
NA
TH
)
[51] G. Arnold, B. Bunk, T. Lippert and K. Schilling: “Compact QED under scrutiny: it’s ﬁrst order”, Nucl.
Phys. Proc. Suppl. 119 (2003) 864 [arXiv:hep-lat/0210010].
172
Übungen
Übungen zu der Vorlesung “ Pfadintegrale in der Quantenphysik”
1. Folge
Aufgabe 1 : Man zeige, dass
∂U (b, a)
~2 ∂ 2 U (b, a)
=−
∂tb
2m
∂x2b
TH
i~
)
a) der freie Propagator (das Matrixelement des Zeitentwicklungs-Operator) die Schrödinger-Gleichung
NA
b) die freie greensche Funktion G(b, a) = − ~i Θ(tb − ta ) U (b, a) die Gleichung
AK
~2 ∂ 2
∂
G(b, a) = δ(ta − tb ) δ(xa − xb )
+
i~
∂tb
2m ∂x2b
.R
UP
erfüllt.
DR
Aufgabe 2 : Man bestimme die klassische Wirkung für
b) einen harmonischen Oszillator
TH
JI(
a) ein freies Teilchen
NA
c) einen harmonischen Oszillator unter dem Einﬂuss einer äusseren zeitabhängigen Kraft.
.R
UP
Aufgabe 3 : Für ein zeitabhängiges Potential V (x, t) lautet die Schrödingergleichung für den Zeitentwicklungs-Operator
DR
∂ Û (t, t0 )
i
= − Ĥ(t) Û (t, t0 ) mit Û (t0 , t0 ) = 1̂
∂t
~
und die formale Lösung ist nicht mehr exp −iĤ(t − t0 )/~ sondern
Û (t, t0 ) = T
Z t
dτ Ĥ(τ )/~)
exp −i
t0
wobei T das Zeitordnungs-Symbol ist.
a) Zeige, dass Û unitär ist, wenn Ĥ(t) hermitesch ist
b) Beweise das Kompositionsgesetz Û (t, t0 ) = Û )(t, t1 ) Û (t1 , t0 )
c) Zeige damit und der üblichen Zeitstückelungs-Methode, dass die Pfadintegral-Darstellung der Matrixelemente von Û die alte Form behält, d. h. dass kein Zeitordnungs-Symbol notwendig ist.
173
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
Übungen zu der Vorlesung “Pfadintegrale in der Quantenphysik”
2. Folge
Aufgabe 4 : Berechne
a) die Funktional-Ableitung
δS
δx(σ)
für
S[x] =
2
R tb
ta
dt
m 2
2 ẋ (t)
− V (x(t)) ,
)
S
b) die zweite Funktional-Ableitung δx(σ)δ δx(σ
der Wirkung in a) und leite die funktionale Taylor′)
Entwicklung der Wirkung S um die klassische Bahn ab.
AK
NA
TH
c) Berechne die Funktional-Ableitung des erzeugenden Funktionals
Z
Z
i +∞
i
S[x] +
dt x(t) J(t)
Z[J] =
Dx exp
~
~ −∞
.R
UP
nach der äusseren Quelle J(σ).
TH
JI(
DR
Aufgabe 5 : Wigner führte 1932 die nach ihm benannte Transformation
Z +∞
D
y E ip·y/~
y e
AW (x, p) =
dy x − Â x +
2
2
−∞
DR
.R
UP
NA
für einen beliebigen quantenmechanischen Operator Â ein. Die Wigner-Transformierte AW (x, p) ist
die der klassischen Beschreibung am nächsten kommende Form des quantenmechanischen Operators.
Zeige aus der Umkehr-Transformation, dass für die klassische Phasenraum-Funktion AW (x, p) = pm xn
die Weyl’sche Quantisierungs-Vorschrift für den quantenmechanischen Operator Â folgt. Berechne die
Wigner-Transformierte für die Dichtematrix Â = |ψn i hψn | im Grundzustand (n = 0) und ersten angeregten Zustand (n = 1) des harmonischen Oszillators und untersuche, ob diese Funktionen überall
positiv sind.
Aufgabe 6 : Zeige, dass für eine klassische Bewegung von (xa , ta ) nach (xb , tb ) die Energie eines Teilchens
am Anfangspunkt durch
∂Skl
∂ta
und sein Impuls durch
−
∂Skl
∂xa
gegeben ist, wobei Skl (xb , tb ; xa , ta ) seine klassische Wirkung ist. Prüfe für den freien Fall und für den
harmonischen Oszillator nach.
174
Übungen
Übungen zu der Vorlesung“Pfadintegrale in der Quantenphysik”
3. Folge
Aufgabe 7 : Für ein geladenes Teilchen im Magnetfeld B(x) = rot A(x) lautet die klassische HamiltonFunktion
2
e
1 p − A(x)
.
H(p, x) =
2m
c
TH
)
a) Aus dem Phasenraum-Pfadintegral leite man die Lagrange-Form des Pfadintegrals für den Zeitentwicklungs-Operator (Propagator) des Teilchens ab.
NA
b) Wie verhält sich der Propagator unter einer Eichtransformation A(x) → A(x) + grad Λ(x) ?
DR
.R
UP
AK
c) Zeige, dass nur mit der Mittelpunktsregel in der diskreten Form des Pfadintegrals die richtige Schrödinger-Gleichung erhalten wird, wenn man
ψ (x, t + ǫ) =< x | Û (t + ǫ, t) | ψ(t) > für kleine ǫ berechnet.
NA
∂x(p, t)
x(p + ǫ, t) − x(p, t)
= lim
ǫ→0
∂p
ǫ
DR
.R
UP
J(p, t) =
TH
JI(
Aufgabe 8 : Betrachte die Familie von (eindimensionalen) klassischen Pfaden, die x = a zum Zeitpunkt t = 0
mit Impuls p verlassen. Zeige, dass
a) die Jacobi-Gleichung erfüllt
∂2L
∂2L
−
J = 0
∂x∂ ẋ
∂x2
mit J(p, 0) = 0, ∂J(p, t)/∂t
= 1/m ;
d
dt
∂2L ˙
J
∂ ẋ2
+
d
dt
t=0
b) dies für eine allgemeine quadratische Lagrange-Funktion mit der Gel’fand-Yaglom-Gleichung
identisch ist ;
c) J am Endpunkt durch die klassische Wirkung S(xb , tb ; xa , ta ) (mit Hilfe des Ergebnisses in
Aufgabe 6) folgendermassen ausgedrückt werden kann:
∂2S
1
.
= −
J(p, tb )
∂xa ∂xb
175
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
Übungen zu der Vorlesung “Pfadintegrale in der Quantenphysik”
4. Folge
Aufgabe 9 : Betrachte die 1-dimensionale Bewegung eines Teilchens im harmonischen Potential.
a) Wende das Kompositionsgesetz auf den (expliziten Ausdruck für den) Propagator des harmonischen
Oszillators an
Z +∞
U h.O. (xb , tb ; xa , ta ) =
dxc U h.O. (xb , tb ; xc , tc ) U h.O. (xc , tc ; xa , ta )
)
−∞
NA
TH
und zeige, dass dieser tatsächlich eine Maslov-Phase −i erhält, wenn T1 = tc − ta < π/ω , T2 =
tb − tc < π/ω ist, aber T1 + T2 > π/ω, also, wenn das Teilchen im Zeitraum zwischen ta und tb durch
einen Fokalpunkt geht.
.R
UP
AK
b) Berechne die Zustandssumme für ein Teilchen im harmonischen Potential mit der komplexen
Fourier-Entwicklung
+∞
X
2kπiτ
, x(0) = x(β~)
ck exp
x(τ ) =
β~
k=−∞
c⋆k
TH
JI(
DR
des Pfades. Zeige, dass
= c−k und dass man daher über Re c0 , Re c1 . . . und über Im c1 , Im c2 . . .
unabhängig integrieren kann.
.R
a) Zeige, dass der Operator
UP
NA
Aufgabe 10 : Im Limes T → ∞ ist auch xkl (τ − τ0 ) = tanh ω2 (τ − τ0 ) eine Lösung der klassischen Bewe2
2
x2 − a2 . Wegen der
gungsgleichung für ein Instanton im Doppelmulden-Potential V (x) = mω
8a2
Zeit-Translationsinvarianz ist die “Position” τ0 des Instantons beliebig.
DR
∂2
+ V ′′ (xkl (τ − τ0 )) ,
∂τ 2
der die quadratischen Fluktuationen um die klassische Lösung beschreibt, dann einen Eigenwert
Null (“zero mode”) besitzt mit Eigenfunktion
const.
x0 (τ − τ0 ) =
.
cosh2 [ω (τ − τ0 ) /2]
OV = −m
b) Zeige, dass die Zeitverschiebung τ0 → τ0 + ǫ diese Null-Mode generiert, und dass nur diejenigen
quadratischen Fluktuationen mitgenommen werden müssen, die orthogonal zur Instanton-Lösung
sind.
c) Leite die korrekte semiklassische Behandlung mit Hilfe des Fadeev-Popov-Tricks ab: multipliziere
das Pfadintegral mit
Z +T /2
dxkl (τ − τ0 ) −1
,
1 =
dτ0 δ (xkl (τ − τ0 )) dτ0
−T /2
verschiebe in der Zeit τ und zeige damit
"
#
Z
Z +T /2
1
−1/2
Dy exp −
dτ y(τ ) OV y(τ ) = const. · T [det′ O]
2~ −T /2
wobei in det′ O die Null-Mode ausgeschlossen ist.
176
Übungen
Übungen zu der Vorlesung “Pfadintegrale in der Quantenphysik”
5. Folge
)
Aufgabe 11 : In der feynmanschen Variationsrechnung für das Polaron erhält man für die Grundzustands-Energie
Z ∞
3
e−u
α
E0 ≤ EF =
du
(v − w)2 − √
4v
µ(u)
π 0
1/2
v 2 − w2
w2
−vu
u
+
(1
−
e
)
.
v2
v3
NA
AK
µ(u) =
TH
mit
UP
Hierbei sind v und w zwei Variationsparameter für die Stärke (v 2 = w2 + 4C/w) und die Retardierung
der Versuchswirkung.
DR
.R
a) Bestimme das Variations-Minimum für kleine Kopplungs-Konstanten α durch den Ansatz v = w(1+ǫ),
wobei ǫ = O(α) ist. Zeige, dass die tiefste Energie EF = −α−α2 /81−O(α3) für w = 3 und ǫ = 2α/27
erreicht wird.
NA
TH
JI(
b) Bestimme das Variations-Minimum für grosse Kopplungs-Konstanten α durch den Ansatz v ≫ w.
Zeige, dass die tiefste Energie EF = −α2 /(3π) für v = 4α2 /(9π) erreicht wird.
.R
UP
Aufgabe 12 : Man zeige, dass die kohärenten Zustände des harmonischen Oszillators, die durch
â† | z > = z | z >
DR
deﬁniert werden können, Zustände minimaler Unschärfe sind, indem man
2
< z | x̂ | z >
<z|z >
2
< z | p̂2 | z >
< z | p̂ | z >
2
(∆p) ≡
−
<z|z >
< z|z >
< z | x̂2 | z >
−
(∆x) ≡
<z|z >
2
berechnet.
Aufgabe 13 : Man beweise, dass
a)
det A = exp (Sp ln A)
b)
∂
det A(λ) = Sp
∂λ
∂A(λ) −1
A (λ)
∂λ
· det A(λ) .
177
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
Übungen zu der Vorlesung “Pfadintegrale in der Quantenphysik”
6. Folge
Aufgabe 14 : Gegeben eine Graßmann-Algebra mit einem Generator ξ . Zeige, dass für alle analytischen
Funktionen f (ξ) = f0 + f1 ξ die Graßmann δ-Funktion durch
Z
′
′
δ(ξ − ξ ) =
dη e−η(ξ−ξ )
dξ ′ δ(ξ − ξ ′ )f (ξ ′ ) = f (ξ)
TH
gilt.
AK
NA
Z
)
gegeben ist, d.h. dass
DR
.R
UP
Aufgabe 15 : Zeige, dass die freie Energie F (β), die durch
(
)
X
1
−βEn
F (β) = − ln
e
β
n=0
TH
JI(
deﬁniert ist, immer kleiner als die Grundzustands-Energie E0 ist und monoton zunimmt:
F ′ (β) ≥ 0
∀β ≥0.
NA
F (β) ≥ E0 ,
DR
.R
UP
Aufgabe 16 : Berechne die Pekar-Konstante für die Energie des Polarons bei grosser Kopplungskonstante α ( E0 → γP α2 ) aus dem Minimimal-Funktional
)
(Z
Z ∞
Z ∞
∞
y 2 (s)
1
1 ′2
2
2
dr y (r)
ds
γP = κ min(y,y)=1
dr y (r) − √
2
max(r, s)
2κ 0
0
0
Z ∞
(y, y) :=
dr y 2 (r) = 1
0
a) mit dem Ansatz
y(r) = C e−r/a
b) mit dem Ansatz
y(r) = C e−r
2
/a2
.
durch Variation nach dem freien Parameter a und zeige, dass das Ergebnis unabhängig vom willkürlichen
Skalenparameter κ ist.
c) Modiﬁziere das angegebene Programm zur numerischen Berechnung von γP für doppelt-genaue Arithmetik und zeige, dass mit FTOL = 10−8 und NMAX = 12 der genauere Wert
γP = −0.10851197(2)
erhalten wird.
178
Übungen
Übungen zu der Vorlesung “Pfadintegrale in der Quantenphysik”
7. Folge
Aufgabe 17 : Berechne das divergente Integral, das in der 1. Ordnung Störungstheorie die Selbstenergie in
der Φ4 -Theorie bestimmt
Z
1
dd k
λ 4−d
(1)
Σ
= i µ0
2
(2π)d k 2 − m2 + i 0+
NA
TH
)
in d Dimensionen (dimensionale Regularisierung: 1 Zeit- und d − 1 Raumdimensionen ). Hierbei ist
µ0 ein Massenparameter, der eingeführt wird, um die Kopplungskonstante λ für alle d dimensionlos zu
behalten. In welcher Dimension konvergiert dieses Integral ?
UP
AK
Hinweis: Verwende die Schwinger-Darstellung für den freien Propagator
Z ∞
2
2
+
1
=
−i
dT eiT (k −m +i 0 )
2
2
+
k −m +i0
0
λ
= µ20
2
TH
JI(
Σ
(1)
DR
.R
und das übliche gaußsche Integral (Achtung: Minkowski-Metrik!). Zeige, dass das Ergebnis
m2
4πµ20
d/2
Γ(1 − d/2)
UP
NA
reell ist und studiere mit Hilfe der Eigenschaften der Gammafunktion Γ(x) den Grenzfall ǫ → 0, wenn die
Dimension d = 4 − 2ǫ gesetzt wird.
DR
.R
Aufgabe 18 : Betrachte ein System freier, skalarer Teilchen, die in N Arten Φi (mit gleicher Masse) vorkommen, so dass ihre Lagrange-Dichte
N
(N )
L0
=
i
1 Xh
(∂Φi )2 − m2 Φ2i
2 i
lautet. Zeige für den speziellen Fall N = 2, dass für positiv und negativ geladene skalare Teilchen die
freie Lagrange-Dichte als
(2)
L0
2
= |∂Φ| | − m2 |Φ|
2
geschrieben werden kann, wobei Φ jetzt ein komplexes Feld ist. Bestimme das freie erzeugende Funktional
Z
Z
(2)
Z0 [J ∗ , J] =
DΦ∗ DΦ exp i d4 x L0 + J ∗ (x)Φ(x) + Φ∗ (x)J(x)
und die entsprechenden freien Zweipunkt-Funktionen hΦ∗ (x1 )Φ(x2 )i , hΦ(x1 )Φ(x2 )i.
179
R. Rosenfelder : Pfadintegrale in der Quantenphysik
Übungen zu der Vorlesung “Pfadintegrale in der Quantenphysik”
8. Folge
Aufgabe 19 : Betrachte die Fourier-Transformation einer gewöhnlichen Funktion f (x) entwickelt nach
Momenten
Z
Z
∞
X
(it)n
,
mn ≡
dx xn f (x) ,
f (t) :=
dx f (x) eitx =
mn
n!
n=0
NA
TH
)
die alle existieren sollen. Für m0 6= 0 ist die Kumulanten-Entwicklung von f (t) durch
( ∞
)
X
(it)n
f (t) =: m0 exp
λn
n!
n=1
AK
deﬁniert.
.R
UP
a) Zeige, dass die Kumulanten λn rekursiv aus den Momenten mn durch
n−1 mn+1 X n mn−k
λn+1 =
−
λk+1 , n = 0 (die Summe ist dann leer) , 1, . . .
m0
m0
k
DR
k=0
TH
JI(
hervorgehen und gib die ersten vier (die in der Statistik die Namen “Mittelwert (mean)”, “Varianz
(variance)”, “Schiefe (skewness)” und “Exzess (excess)” tragen) explizit an.
NA
Hinweis: Diﬀerenziere die Momenten- und Kumulanten-Entwicklung nach dem Parameter t und
vergleiche die jeweilige Potenz von t.
DR
.R
UP
b) Verallgemeinere die Kumulanten-Entwicklung auf die Funktional-Darstellung des erzeugenden Funktionals und gib die vier ersten verbundenen greenschen Funktionen an. Welche Vereinfachungen
ergeben sich, wenn die Wirkung gerade ist ( S[−Φ] = S[Φ])?
Aufgabe 20 : Gegeben die effektive Wirkung
Γ[Φ] = W −
Z
d4 x J(x)Φ(x)
einer skalaren Theorie mit erzeugendem Funktional
Z[J] = exp(iW [J]/~)
und
Φ(x) =
δW [J]
.
δJ(x)
Beweise, dass
δΓ[Φ]
= −J(x)
δΦ(x)
und
4
δ (x − y) = −
Z
d4 z
δ2 W
δ2Γ
δΦ(z)δΦ(y) δJ(z)δJ(y)
gelten.
−1
Die 2-Punkt-Funktion kann im Impulsraum als G(2) (p) = p2 − m2 − Σ(p)
geschrieben werden. Zeige damit, dass Γ(2) (p) die Selbstenergie Σ(p) als Summe
aller einteilchen-irreduziblen Beiträge zur 2-Punkt-Funktion liefert.
180
Übungen
Übungen zu der Vorlesung “Pfadintegrale in der Quantenphysik”
9. Folge
Aufgabe 21 : Betrachte geladene skalare Teilchen, die durch die Lagrange-Dichte
2
2
L1 = |∂Φ| − m2 + 2mV (x) |Φ| ,
)
beschrieben werden, wobei V (x) ein äusseres Potential ist.
TH
a) Zeige mit Hilfe des Ansatzes
NA
1
e−imt ϕ(t, x) ,
Φ(x0 = t, x) = √
2m
UP
AK
dass im Grenzfall m → ∞ die Wirkung in diejenige eines nichtrelativistischen Systems von Teilchen
im äusseren Potential V (t, x) übergeht.
TH
JI(
DR
.R
b) Berechne das exakte erzeugende Funktional für dieses System und zeige, dass die Zweipunkt-Funktion
(der Propagator) durch
1
∗
x1
h Φ (x2 )Φ(x1 ) i ≡ G(x2 , x1 ) = i x2 2
2
+
−∂ − m − 2mV (x) + i 0 NA
gegeben ist.
DR
.R
UP
c) Zeige, dass unter Verwendung der Fock-Schwinger-Darstellung
Z ∞
1
= −iκ
dT exp( iκT Â ) , κ > 0
Â + i 0+
0
G(x2 , x1 ) wie ein nichtrelativistisches Pfadintegral geschreiben werden kann:
Z ∞
Z x(T )=x2
1
−imT /2
Dx(τ ) eiS[x(τ )]
dT e
G(x2 , x1 ) =
2m 0
x(0)=x1
Z T
h m
i
S[x(t)] =
dτ − ẋ(τ )2 + V (x(τ )) .
2
0
Die Pfade xµ (τ ) werden jetzt durch die Eigenzeit τ parametrisiert, die von 0 bis T läuft, worüber
anschliessend mit dem Gewicht exp(−imT /2) integriert wird (Weltlinien-Darstellung).
d) Führe dieselben Schritte für den Fall durch, dass die Teilchen sich in einem äusseren Vektorpotential
Aµ (x) bewegen und die Lagrange-Dichte
2
2
L2 = |(∂ − ieA) Φ| − m2 |Φ| ,
lautet. Hinweis: verwende die Verallgemeinerung des Ergebnisses aus Aufgabe 7 a).
Untersuche den speziellen Fall eAµ = (V, 0).
181
Übungen zu der Vorlesung “Pfadintegrale in der Quantenphysik”
10. Folge
)
Aufgabe 22 : Beweise
1 ∂
i
i
i ∂2
F
exp − ax2 = exp − ax2 exp − a 2 F (y) .
i ∂x
2
2
2 ∂y
y=ax
R +∞
Hinweis: Benutze die Fourier-Transformation F (y) = −∞ dt F̃ (t) exp(−ity)/(2π) und die Tatsache, dass
exp(t∂/∂x) f (x) = f (x + t) eine Verschiebung bewirkt.
AK
NA
TH
Zeige mit der Verallgemeinerung auf Funktional-Ableitungen, dass das erzeugende Funktional einer
wechselwirkenden skalaren Theorie als
Z
i
δ
δ
i
Z[J] = const. exp − ( J, ∆J )
exp
,∆
exp −i d4 x V (ϕ)
2
2 δϕ
δϕ
ϕ=∆J
DR
.R
UP
geschrieben werden kann, wobei ∆(k) = 1/(k 2 − m2 + i0) der freie Propagator ist. Prüfe in der Φ4 Theorie nach, ob man die erste Korrektur ω1 [J] (Gl. (3.29)) zum freien erzeugenden Funktional aus
dieser Darstellung erhält.
NA
TH
JI(
Aufgabe 23 : Wie in Aufgabe 18 betrachte man skalare Teilchen, die in N Arten Φi (mit gleicher Masse
m ) vorkommen, jetzt aber eine Selbst-Wechselwirkung haben
!2
N
N
i λ
X
1 Xh
2
(N )
2 2
2
L
=
( ∂Φi ) − m Φi −
Φi
.
2 i
4!
i
DR
.R
UP
(Im theoretischen Jargon wird dies eine “O(N)-symmetrische Φ4 -Theorie” genannt).
PN 2
Führe zusätzlich zu den üblichen Quellen Ji (x) eine Quelle K(x) , die an
i Φi koppelt:
!
"
#
Z
Z
N
N
N
Y
X
X
1
4
(N )
2
Z[Ji , K] :=
DΦi exp i d x L
− K(x)
Φi (x) +
Ji (x)Φi (x) .
2
i=1
i
i
a) Zeige, dass das erzeugende Funktional der wechselwirkenden Theorie durch
Z
iλ
δ2
4
d x
Z
[J
,
K]
Z[Ji ] = exp
0 i
6
δK(x)2
K=0
gegeben ist.
b) Beweise, dass
N
Z0 [Ji , K] = const. exp
mit O = (−∂ 2 − m2 − K)−1 gilt.
iX
N
−
h Ji |O| Ji i −
Sp ln O
2 i
2
!
≡ eiW0 [Ji ,K]
c) Zeige, dass die Korrektur 1. Ordnung für das erzeugende Funktional Z[Ji ] jetzt
"
2 #
Z
i
δ 2 W0
δW0
4
ω1 [Ji ] =
d x
−
6
δK(x)2
δK(x)
K=0
lautet und bestimme damit die Symmetriefaktoren für die einzelnen Graphen 1. Ordnung in Abhängigkeit von der Anzahl N der Komponenten des Feldes Φi .
182
Übungen
Übungen zu der Vorlesung “Pfadintegrale in der Quantenphysik”
11. Folge
Aufgabe 24 : Berechne durch Fourier-Transformation in d Dimensionen den freien Propagator im Ortsraum
a) für ein skalares Teilchen (verwende Gl. (3.20))
b) für ein Photon in kovarianter Eichung mit Eichparameter λ (verwende Gl. (3.134))
NA
TH
)
Verwende dabei (wie in Aufgabe 17) die Schwinger-Darstellung des jeweiligen Nenners und das gaußsche
Integral im Minkowski-Raum. Wie verhalten sich diese Propagatoren, wenn der relative Abstand der
Raum-Zeit-Punkte klein oder gross wird ?
.R
UP
AK
Aufgabe 25 : Leite aus dem erzeugenden Funktional der QED den vollen (wechselwirkenden) Propagator
eines Elektrons durch Funktional-Diﬀerentation ab, integriere das Elektron-Feld aus und zeige, dass man
Z
Z
Ḡ2 (p) =
d4 (x − y) e−ip·(x−y)
DA x| O−1 |y Det O eiS0 [A] , O = i∂/ − e A
/(x) − m0 + i0+
UP
NA
TH
JI(
DR
mit S0 [A] als Photon-Wirkung erhält.
Die Bloch-Nordsieck-Näherung für den wechselwirkenden Elektron-Propagator besteht in der Vernachlässigung der Determinante im Pfadintegral, die Vakuum-Polarisation beschreibt, und der Ersetzung
der Dirac-Matrizen durch einen konstanten Vierer-Vektor
pµ
,
γµ −→ uµ ≡
m
so dass die Beziehung p
/ = m auf der Massenschale bewahrt wird.
DR
.R
a) Verwende wieder die Schwinger-Darstellung und beweise
Z
h
i
h
i
h
exp iT ( iu · ∂ − e u · A(x) − m0 ) = exp iT ( iu · ∂ − m0 ) · exp −ie
0
T
i
dτ u · A(x + uτ ) .
Führe damit die Funktional-Integration über das Photon-Feld aus und zeige, dass man
Z ∞
h
i
BN
dT exp i ( u · p − m0 ) T − i Σ̃(T )
Ḡ2 (p) ≃ Ḡ2 (p) =
0
erhält, wobei
e2
Σ̃(T ) =
2
Z
0
T
dτ dτ ′ uµ uν ∆µν ( u (τ − τ ′ ) )
durch den Photon-Propagator ∆µν (x − y) im Ortsraum bestimmt ist.
b) Berechne Σ̃(p, T ) in dimensionaler Regularisierung (e2 → e2 µ4−d
) unter Verwendung des Ergebnisses
0
aus Aufgabe 24 b) in d = 4 − 2ǫ Dimensionen. Entwickle das Resultat bis zur Ordnung ǫ0 und
zeige damit
2
Z ∞
m1+2κ
p − m2
BN
.
T + κ ln µ0 T + c = iZ2 2
Ḡ2 (p) =
dT exp i
m
(p − m2 + i0+ )1+κ
0
Bestimme Z2 , m0 in dieser Näherung und zeige, dass der Exponent κ vom Eichparameter λ abhängt.
Zeige, dass die ln T -Abhängigkeit, bzw. die wesentliche Singularität des Elektron-Propagators bei
p2 = m2 von der Masselosigkeit der Photonen herrührt.
183
Übungen zu der Vorlesung “Pfadintegrale in der Quantenphysik”
12. Folge
Aufgabe 26 : Um eine Eichtheorie quantisieren zu können, braucht man eine Eich-Fixierung und FaddeevPopov-Geister, die nichtphysikalische Freiheitsgrade wegnehmen. Zeige, dass die Lagrange-Dichte (3.141a)
L = Lf + Lg + Leich + LF P ,
Leich =
λ a a
B B − B a ∂ · Aa
2
TH
)
einer nichtabelschen Eichtheorie mit kovarianter Eichﬁxierung, Faddeev-Popov-Geistern und Hilfsfeld B a
invariant ist unter der Becchi-Rouet-Stora-Tyutin (BRST)-Transformation:
a
δAaµ
=
ω ( Dµ χ ) ,
δ χ̄a (x)
=
ω Ba ,
AK
NA
δψ = −ig ω χa T a ψ
g
δχa = ω f abc χb χc , δB a = 0
2
DR
.R
UP
mit einem konstanten graßmann-wertigen Parameter ω . Zeige zuerst, dass die BRST-Transformation
eine spezielle lokale Eichtransformation ist, mit dem Paramater Θa (x) = g ω χa (x) . Berechne dann die
Variation von Dµab χb und damit diejenige von von Leich + LF P .
Hinweis: Verwende die Jacobi-Identität für die Strukturkonstanten
NA
TH
JI(
f ade f bcd + f bde f cad + f cde f abd = 0 .
UP
Aufgabe 27 : Berechne die freie 2-Punkt-Funktion auf einem euklidischen Raum-Zeit-Gitter.
.R
a) Leite Gl. (3.241)) für ein skalares Feld ab.
DR
Hinweis: Berechne zuerst (wie im Kontinuum) das erzeugende Funktional
"
#
YZ
X
(0)
4
Z0 (Jl ) =
d Φk exp −SE (Φ) +
Jl Φ l
k
l
mit der (λ = 0)-Wirkung aus Gl. (3.238) durch Gauß-Integration und danach die 2-Punkt-Funktion
durch Diﬀerentation nach den äusseren Quellen. Verwende zur Inversion des Kerns K , der den
quadratischen Anteil der Wirkung bestimmt, die Fourier-Darstellungen
δ
ll′
= a
4
Z
+π/a
−π/a
d4 k ik·(l−l′ )a
e
,
(2π)4
′
K(l − l ) = a
4
Z
+π/a
−π/a
′
d4 k
K̃(k) eik·(l−l )a .
(2π)4
b) Leite Gl. (3.244) für ein fermionisches Feld ab. Verwende dabei die euklidische Wirkung
"
#
Z
X
4
E
SE [ψ̄, ψ] =
d x ψ̄(x)
γµ ∂µ + m ψ(x) ,
µ
mit den euklidischen Dirac-Matrizen γµE , und die naive Diskretisierung der Ableitung
∂µ ψ(n) =
1
[ ψ(n + µ) − ψ(n − µ) ] .
2a

Zugehörige Unterlagen

Ubungsblatt 5 - RISC-Linz

Grundkonzepte der Optik, SS 2014 Übungsserie 7

dr.rupnathji( dr.rupak

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