KLAUSUR ZUR THEORIE MECHANISCHER

KLAUSUR ZUR THEORIE MECHANISCHER SYSTEME
Termin: 17. März 2012
Bearbeitungszeit für beide Aufgaben: 2 Stunden
AUFGABE 1 ( 20 Punkte)
Das System in der Abb. 1 besteht aus einem geknickten Stab AOB, dessen Teile
den Winkel α = 450 bilden. Der Stab dreht sich in einer horizontalen Ebene um die
vertikale Achse durch O nach dem Gesetz ϕ = νt mit ν = 12 rad/s. Entlang des Abschnittes OB kann sich ein punktförmiger Körper von der Masse m dämpfungs- und
reibungsfrei bewegen. Die Relativkoordinate ist x. Der Körper ist durch eine Feder
mit dem Punkt A verbunden. Die Federkonstante ist c = 7.625qN/m, die unverformte Länge beträgt s∗ = 0, 200 m und die aktuelle Länge ist s = x2 − 2xb cos(α) + b2
mit b = 0, 300 m.
a) Man bestimme die kinetische Energie Ek und das Potential Ep des Körpers.
b) Mit Hilfe der Lagrange’schen Gleichung 2-ter Art bestimme man die Differentialgleichung der Relativbewegung des Körpers in der Form
mẍ + f (x) = 0.
c) Man bestimme den Wert der Masse m so, damit x = x0 = 0, 300 m eine relative
Gleichgewichtslage des Körpers ist.
d) Man bestimme die Stabilität dieser Gleichgewichtslage durch das Studium der
kleinen Bewegungen ξ um die relative Gleichgewichtslage x0 (x = x0 + ξ) mit der
linearisierten Bewegungsdifferentialgleichung (erste Methode von Ljapunow, Kurseinheit 5, Seite 38).
Abb. 1
y AK A
y1 6
H
Y
H
s
HH
Hj
A
H
x
*
A
c
s
A
A
b
A
B
u A
Y α
m
A
U A HH
*
AA
ϕ
A K
O Asg x1
x
A
A
Hinweise:
ds 2 i
d2 s
1h
=
1
−
dx2
s
dx
ds
x − b cos α
=
,
dx
s
1
LÖSUNG
a) Die kinetische Energie des Körpers ist
1
Ek = mv 2 .
2
Die Geschwindigkeit v kann als Resultierende der Relativgeschwindigkeit vr = ẋ
und der Führungsgeschwindigkeit vf = xϕ̇ = xν bestimmt werden. Diese beiden
Vektoren sind aufeinander senkrecht. Somit gilt
v 2 = vr2 + vf2 = ẋ2 + x2 ν 2 .
y AK A
Abb. L 1
H
Y
H
y1 6
s
HH
Hj
A
H
x
*
A
s
vf v A
HH B
A
AK *
Fe Y
b
H
A
H
Au
vr
A
Y α
m
A
U A HH
A
*
ϕ
A K
A
O Asg x1
x
A
A
Auch mit Hilfe der absoluten Koordinaten
x1 = x cos(ϕ),
y1 = x sin(ϕ),
z1 = 0
und deren Ableitungen nach der Zeit
ẋ1 = ẋ cos(ϕ) − xϕ̇ sin(ϕ) = ẋ cos(ϕ) − xν sin(ϕ),
ẏ1 = ẋ sin(ϕ) + xϕ̇ cos(ϕ) = ẋ sin(ϕ) + xν cos(ϕ)
kann die Geschwindigkeit v aus
v 2 = ẋ21 + ẏ12 = ẋ2 + x2 ν 2
berechnet werden.
Man erhält
1
Ek = m(ẋ2 + x2 ν 2 ).
2
Auf die Körper wirken als eingeprägte konservative Kräfte das Gewicht mg mit
dem Potential mgz1 = 0 und die Federkraft Fe = c(s − s∗ ) mit dem Potential
1
c(s − s∗ )2 . Somit ist das Potential des Systems
2
Ep =
1
c (s − s∗ )2 .
2
2
b) Die Bewegungsdifferentialgleichung dieses konservativen Systems folgt aus der
Lagrange’schen Gleichung 2-ter Art
∂Ep
d ∂Ek ∂Ek
=−
.
−
dt ∂ ẋ
∂x
∂x
Die Ableitungen sind:
d ∂Ek = mẍ,
dt ∂ ẋ
∂Ek
= mẋ,
∂ ẋ
∂Ek
= mxν 2 ,
∂x
∂Ep
dEp
1
ds
ds
=
= 2 · c (s − s∗ ) ·
= c (s − s∗ ) · .
∂x
dx
2
dx
dx
Aus der Gleichung
s2 = x2 − 2xb cos(α) + b2
folgt durch Ableitung nach x
2s
ds
= 2x − 2b cos(α)
dx
ds
x − b cos(α)
=
.
dx
s
→
Eine nochmalige Ableitung nach x ergibt
2
ds 2
dx
+ 2s
d2 s
=2
dx2
ds 2 i
d2 s
1h
=
1
−
.
dx2
s
dx
→
Durch einsetzen erhält man die nichtlineare Bewegungsdifferentialgleichung
mẍ + f (x) = 0
(∗)
mit
dEp
ds
= −mxν 2 + c (s − s∗ ) · .
dx
dx
c) In der relativen Gleichgewichtslage x = x0 = 0, 300 m gelten ẋ = 0, ẍ = 0 und
somit f (x0 ) = 0. Das ergibt
f (x) = −mxν 2 +
h ds i
f (x0 ) = −mx0 ν 2 + c [s(q0 ) − s∗ ] ·
dx
x0
=0
mit
s(x0 ) =
q
x20 − 2x0 b cos(α) + b2 = 0, 230 m
und
h ds i
dx
=
x0
x0 − b cos(α)
= 0, 382.
s(x0 )
Daraus folgt
c [s(x0 ) − s∗ ] h ds i
= 2, 023 kg.
·
x0 ν 2
dx x0
d) Stabilität der Gleichgewichtslage x = x0 = 0, 300 m mit der ersten Methode
von Ljapunow (Kurseinheit 5, Seite 38)
Mit der Koordinatentransformation x = x0 + ξ werden die kleinen Bewegungen
um die Gleichgewichtslage x = x0 untersucht. Es wird angenommen, dass ξ kleine
Werte annimmt. Zur Berechnung einer Näherungslösung wird die nichlineare Kennlinie f (x0 + ξ) an der Stelle x = x0 , d. h. ξ = 0, in eine Taylor-Reihe entwickelt und
nur das lineare Glied dieser Entwicklung berücksichtigt. Es gilt also näherungsweise
m=
f (x0 + ξ) ≈ f (x0 ) +
h df i
dx
3
x0
·ξ =
h df i
dx
x0
· ξ.
Aus
2 i
h ds 2
d2 Ep
df
∗ d s
2
+
(s
−
s
)
= −mν 2 +
=
−mν
+
c
dx
dx2
dx
dx2
folgt mit
h d2 s i
dx2
x0
der Wert
=
h ds i 2 o
1 n
1−
= 3, 713 1/m
s(x0 )
dx x0
h df i
dx
x0
= 1.670, 707 N/m = ce .
¨ Werden nun diese Funktionen in
Aus x = x0 + ξ folgen ẋ = ξ˙ und ẍ = ξ.
die Bewegungsdifferentialgleichung (*) eingesetzt, dann erhält man die linearisierte
Bewegungsdifferentialgleichung
mξ¨ + ce ξ = 0
oder
ξ¨ + p2 ξ = 0
und
p=
r
ce
= 28, 738 rad/s.
m
Die allgemeine Lösung dieser harmonischen Differentialgleichung ist
ξ = C1 cos(pt) + C2 sin(pt).
Hier sind C1 und C2 reelle Integrationskonstanten, die mit den Anfangsbedingungen
˙
ξ(0) und ξ(0)
bestimmt werden können.
Das Bewegungsgesetz ξ = ξ(t) ist eine harmonische Schwingung. Bei kleinen
Störungen der relativen Gleichgewichtslage wird sich das System von der Gleichgewichtslage nicht zu weit entfernen, die somit stabil ist.
4
KLAUSUR ZUR THEORIE MECHANISCHER SYSTEME
Termin: 17. März 2012
Bearbeitungszeit für beide Aufgaben: 2 Stunden
AUFGABE 2 ( 20 Punkte)
Das System in der Abb. 2 besteht aus zwei Körpern mit den Massen m1 = 5 kg
und m2 = 10 kg und den Schwerpunkten in O1 und O2 , die sich entlang vertikaler
Führungen reibungs- und dämpfungsfrei bewegen können. Der Abstand zwischen
den Führungen beträgt b = 0, 500 m. In O1 ist eine masselose Muffe drehbar gelagert,
durch die ein masseloser Stab hindurchgeht. Der Stab ist in O2 am Körper mit der
Masse m2 angelenkt. Durch die Muffe wird die Feder mit der Federkonstanten
c1 =
q
2
2
750 N/m zusammengedrückt. Die Federverformung ist ∆s = (q1 − q2 ) + b . Der
Körper mit der Masse m2 hängt an einer Feder mit der Federkonstanten c2 = 1.500
N/m, die in der Lage mit q2 = 0 unverformt ist.
a) Man bestimme die kinetische Energie Ek und das Potential Ep des Systems.
b) Mit Hilfe der Lagrange’schen Gleichungen 2-ter Art bestimme man die Bewegungsdifferentialgleichungen des Systems.
c) Man bestimme die Werte von q1 = q10 und q2 = q20 in der statischen Gleichgewichtslage des Systems.
d) Man bestimme die Stabilität dieser Gleichgewichtslage mit Hilfe des Potentials
(Kurseinheit 3, Seite 45).
e) Man bestimme die Bewegungsgesetze ξ1 und ξ2 um die Gleichgewichtslage
(q1 = q10 + ξ1 , q2 = q20 + ξ2 ).
Abb. 2
c2
m2
q2
r O2
e
q1
m1
O
?
c1
?
1
re
@
@
∆s
b
-
Hinweise:
∂∆s
q1 − q2
,
=−
∂q2
∆s
q1 − q2
∂∆s
,
=
∂q1
∆s
5
LÖSUNG
a) Die Körper beschreiben geradlinige Translationen mit den Geschwindigkeiten
v1 = q̇1 und v2 = q̇2 . Somit ist die kinetische Energie des Systems
1
1
1
1
Ek = m1 v12 + m2 v22 = m1 q̇12 + m2 q̇22 .
2
2
2
2
Auf die Körper wirken als eingeprägte konservative Kräfte das Gewichte m1 g mit
den Potential −m1 gq1 das Gewicht m2 g mit dem Potential −m2 gq2 , die Federkraft
c1 ∆s mit dem Potential 12 c1 ∆s2 und die Federkraft c2 q2 mit dem Potential 21 c2 q22 .
Somit ist das Potential des Systems
1
1
Ep = −m1 gq1 − m2 gq2 + c1 ∆s2 + c2 q22 .
2
2
b) Die Bewegungsdifferentialgleichungen dieses konservativen Systems folgen aus
den Lagrange’schen Gleichungen 2-ter Art
d ∂Ek ∂Ek
∂Ep
=−
,
−
dt ∂ q̇i
∂qi
∂qi
i = 1, 2.
Die Ableitungen von Ek sind:
∂Ek
= 0,
∂q2
∂Ek
= 0,
∂q1
∂Ek
= m2 q̇2 ,
∂ q̇2
d ∂Ek = m2 q̈2 .
dt ∂ q̇2
∂Ek
= m1 q̇1 ,
∂ q̇1
d ∂Ek = m1 q̈1 ,
dt ∂ q̇1
Mit
∂∆s
(q1 − q2 )
1
∂ 1
c1 ∆s2 = 2 · c1 ∆s ·
= c1 (q1 − q2 )
= c1 ∆s ·
∂q1 2
2
∂q1
∆s
und
∂∆s
−(q1 − q2 )
1
∂ 1
c1 ∆s2 = 2 · c1 ∆s ·
= −c1 (q1 − q2 )
= c1 ∆s ·
∂q2 2
2
∂q2
∆s
erhält man
f1 (q1 , q2 ) =
∂Ep
= −m1 g + c1 (q1 − q2 ),
∂q1
∂Ep
= −m2 g − c1 q1 + (c1 + c2 )q2 .
∂q2
Durch einsetzen erhält man die Bewegungsdifferentialgleichungen
f2 (q1 , q2 ) =
m1 q̈1 + f1 (q1 , q2 ) = 0,
(∗)
m2 q̈2 + f2 (q1 , q2 ) = 0.
(∗∗)
Das sind lineare Differentialgleichungen.
c) In der Gleichgewichtslage q1 = q10 und q2 = q20 gelten q̇i = 0, q̈i = 0, i = 1, 2
und somit
f1 (q10 , q20 ) = −m1 g+c1 (q10 −q20 ) = 0,
f2 (q10 , q20 ) = −m2 g−c1 q10 +(c1 +c2 )q20 = 0.
6
Die Lösungen dieser Gleichungen sind
q20 =
(m1 + m2 )g
= 0, 098 m,
c2
q10 = q20 +
m1 g
= 0, 163 m.
c1
d) Bestimmung der Stabilität der Gleichgewichtslage q1 = q10 = 0, 163 m und
q2 = q20 = 0, 098 m mit Hilfe des Potentials (Kurseinheit 3, Seite 45)
Entsprechend dem Kriterium von Dirichlet ist eine Gleichgewichtslage eines konservativen Systems stabil, wenn das Potential des Systems in dieser Lage ein Minimum hat.
Die Bedingungen für ein Minimum der Funktion Ep = Ep (q1 , q2 ) sind (Kurseinheit
3, Seite 47)
h ∂E i
h ∂E i
p
p
= 0,
= 0,
∂q1 q10 ,q20
∂q2 q10 ,q20
h ∂ 2E i
h ∂ 2E i
p
p
>
0,
>0
2 q10 ,q20
2 q10 ,q20
∂q1
∂q2
und
h ∂ 2E i
h ∂ 2E i
h ∂ 2 E i2
p
p
p
> 0.
·
−
2 q10 ,q20
2 q10 ,q20
∂q1
∂q2
∂q1 ∂q2 q10 ,q20
Es gelten
h ∂E i
p
∂q1
q10 ,q20
h ∂ 2E i
h ∂E i
p
= f1 (q10 , q20 ) = 0,
p
2 q10 ,q20
∂q1
∂q2
q10 ,q20
= f2 (q0 , q20 ) = 0,
h ∂f (q , q ) i
1 1 2
= c1 = 750, 000 N/m > 0,
q10 ,q20
∂q1
h ∂ 2E i
h ∂f (q , q ) i
p
2 1 2
= c1 + c2 = 2.250, 000 N · m > 0
=
2 q10 ,q20
q10 ,q20
∂q2
∂q2
h ∂f (q , q ) i
h ∂f (q , q ) i
h ∂ 2E i
1 1 2
2 1 2
p
=
=
= −c1
q10 ,q20
q10 ,q20
∂q1 ∂q2 q10 ,q20
∂q2
∂q1
=
und
h ∂ 2E i
p
2 q10 ,q20
∂q1
·
h ∂ 2E i
p
2 q10 ,q20
∂q2
−
h ∂ 2 E i2
p
∂q1 ∂q2
q10 ,q20
= c1 · (c1 + c2 ) − c21 = c1 c2 > 0.
Die Bedingungen für ein Minimum des Potentials in der Gleichgewichtslage sind
erfüllt und die Gleichgewichtslage q1 = q10 = 0, 163 m und q2 = q20 = 0, 098 m ist
stabil.
e) Die Bewegungsgesetze um die Gleichgewichtslage.
Mit der Koordinatentransformation q1 = q10 + ξ1 , q2 = q20 + ξ2 werden die
Bewegungen ξ1 und ξ2 um die Gleichgewichtslage untersucht.
Aus qi = qi0 + ξi folgen q̇i = ξ˙i und q̈i = ξ¨i , i = 1, 2. Außerdem gelten
f1 (q1 , q2 ) = −m1 g + c1 (q10 − q20 ) + c1 (ξ1 − ξ2 ) = c1 (ξ1 − ξ2 ),
f2 (q1 , q2 ) = −m2 g − c1 q10 + (c1 + c2 )q20 − c1 ξ1 + (c1 + c2 )ξ2 = −c1 ξ1 + (c1 + c2 )ξ2 .
Werden nun diese Funktionen in die Bewegungsdifferentialgleichungen (*) und
(**) eingesetzt, dann erhält man die Differentialgleichungen der Bewegungen um
die Gleichgewichtslage
m1 ξ¨1 + c1 ξ1 − c1 ξ2 = 0,
m2 ξ¨2 − c1 ξ1 + (c1 + c2 )ξ2 = 0.
7
Der Lösungsansatz in der Form ξi = Ai cos(pt + ϕ), i = 1, 2, führt auf
A1 (−m1 p2 + c1 ) + A2 (−c1 ) = 0,
A1 (−c1 ) + A2 (−m2 p2 + c1 + c2 ) = 0.
Dieses Gleichungssystem hat nur dann von null verschiedene Lösungen für A1 und
A2 , wenn die Systemdeterminante gleich null ist. Das führt auf die charakteristische
Gleichung
−m1 p2 + c1
−c1
=0
−c1
−m2 p2 + c1 + c2
oder
a0 p 4 + a2 p 2 + a4 = 0
mit
a0 = m1 m2 = 50, 000 (kg)2 ,
a2 = −[m1 (c1 + c2 ) + m2 c1 )] = −18.750, 000 kg · N/m,
a4 = c1 c2 = 1.125.000, 000 (N/m)2 .
Die Wurzeln sind
p1 = 8, 660 rad/s,
p2 = 17, 321 rad/s.
Wenn die Systemdeterminante gleich null ist, dann gelten für die Verhältnisse der
Koeffizienten, die Modalkoeffizienten genannt und mit µ bezeichnet werden,
µ=
−m1 p2 + c1
c1
A2
=
=
.
A1
c1
−m2 p2 + c1 + c2
Die Werte von µi für die berechneten Werte von pi , i = 1, 2, sind
µ1 = 0, 500,
µ2 = −1, 000.
Die allgemeinen Lösungen sind
ξ1 = A11 cos(p1 t + ϕ1 ) + A12 cos(p2 t + ϕ2 ),
ξ2 = A21 cos(p1 t + ϕ1 ) + A22 cos(p2 t + ϕ2 ),
oder mit Hilfe der Modalkoeffizienten
ξ2 = µ1 A11 cos(p1 t + ϕ1 ) + µ2 A12 cos(p2 t + ϕ2 ).
Hier sind A1 i und ϕi , i = 1, 2, reelle Integrationskonstanten, die mit Hilfe der
Anfangsbedingungen ξi (0), ξ˙i (0), i = 1, 2, ermittelt werden können.
Die Bewegungsgesetze ξi = ξi (t), i = 1, 2, sind Überlagerungen von harmonischen
Schwingungen. Bei Störungen der Gleichgewichtslage wird sich das System um diese
Gleichgewichtslage bewegen und sich nicht von dieser Lage entfernen. Somit ist diese
Gleichgewichtslage stabil.
8