Übungsaufgaben zur Vorlesung Diskrete Mathematik

Universität Siegen, FB 6 – Mathematik, Prof. Dr. Hartmut Ring
Übungsaufgaben zur Vorlesung Diskrete Mathematik für Informatiker, WS 2007/2008
Blatt 3
15. Die Fakulät der natürlichen Zahl n (geschrieben: n!, mathGUIde: factorial) ist
definiert als ! ∏
Beispiele: 3! = 1·2·3 = 6, 5! = 120.
Berechnen Sie 1000! mod 10249 ohne Computerhilfe.
Sie können Ihr Ergebnis mit mathGUIde überprüfen: factorial(1000) % 10**249
16. (a) Definieren Sie mit mathGUIde eine Funktion s(n), die zu einer natürlichen Zahl n
die Summe
fib
s
10
berechnet. Dabei sei fib die Fibonacci‐Funktion.
Z. B. ist s(7) = 0,1 + 0,01 + 0,002 + 0,0003 + 0,00005 + 0,000008 + 0,0000013
(b) Berechnen Sie s(n) für einige immer größerere n, bis der angezeigte Wert sich
nicht mehr ändert.
(c) Entwickeln Sie die in (b) gefundene Zahl mit der mathGUIde‐Funktion contFrac
in einen Kettenbruch und ermitteln Sie mit contFracToRat daraus eine rationale
Zahl. Vergleichen Sie diese rationale Zahl mit den Funktionswerten s(n). Welche
Vermutung drängt sich auf?
(Diese Vermutung wird in einer späteren Übungsaufgabe bewiesen.)
17. (a) Für natürliche Zahlen n sei Q10(n) die Quersumme (Summe aller Ziffern) von n
im Dezimalsystem. Beispiel: Q10(157) = 13.
Zeigen Sie: Eine natürliche Zahl n ist durch drei teilbar Q10(n) durch drei teilbar.
(b) Lässt sich die Aussage auf andere Teiler oder auf andere Stellenwertsysteme
verallgemeinern?
18. Finden Sie zwei ganze Zahlen x und y, so dass x·2007 + y·1234 = 1.
19. Geben Sie zwei natürliche Zahlen
a und b an, so dass der euklidische
Algorithmus in der nebenstehenden Python‐
Formulierung sich bei der Berechnung des
größten gemeinsamen Teilers von a und b
genau 25 mal selbst aufruft.
Abgabe am 21.11.07 in der Übungsstunde
def gcd(a, b):
if b == 0:
return a
else:
return gcd(b, a % b)