1.¨Ubungsblatt zur Vorlesung ” Logik in der Informatik“

Prof. Dr. D. Kuske, M.Sc. M. Huschenbett
Fachgebiet Theoretische Informatik, TU Ilmenau
1. Übungsblatt zur Vorlesung Logik in der Informatik“
”
Besprechung am 16. April 2013
Aufgabe 1
Es seien τ eine Signatur, A eine τ -Struktur, ϕ ∈ FO[τ ] eine τ -Formel und x ∈ f V (ϕ) eine in ϕ
frei vorkommende Variable.
(a) Konstruieren Sie eine τ -Formel ψ=1 , so dass für jede Belegung α in A gilt:
A |=α ψ=1
⇐⇒
es gibt genau ein a ∈ kAk mit A |=α[ xa ] ϕ.
Diese Formel ψ=1 werden wir in Zukunft mit ∃=1 x : ϕ abkürzen.
(b) Konstruieren Sie für jedes n ∈ N eine τ -Formel ψ≥n , so dass für jede Belegung α in A gilt:
A |=α ψ≥n
⇐⇒
es gibt mindestens n paarweise verschiedene a ∈ kAk mit A |=α[ xa ] ϕ.
Diese Formel ψ≥n werden wir in Zukunft mit ∃≥n x : ϕ abkürzen.
(c) Finden Sie für jedes n ∈ N τ -Formeln, für die ∃≤n x : ϕ und ∃=n x : ϕ sinnvolle Abkürzungen
sind.
Aufgabe 2
Betrachten Sie die Graph-Signatur τGraph = {E}, ∅, ar mit ar(E) = 2. Beschreiben Sie verbal,
welche Graph-Eigenschaften die nachstehenden Sätze φ1 bis φ6 ausdrücken:
φ1 = ∀x ∃y : E(x, y) ∧ E(y, x)
φ2 = ∀x : ∃y : E(x, y) ∧ ∃y : E(y, x)
φ3 = ∀x ∀y : E(x, y) → E(y, x)
φ4 = ∀x ∀y : E(x, y) ∨ ∃z : E(x, z) ∧ E(z, y)
In den folgenden beiden Sätzen sei E 0 (x, y) eine Abkürzung für E(x, y) ∧ ¬(x = y):
φ5 = ∃x ∃y ∃z : E 0 (x, y) ∧ E 0 (y, z) ∧ E 0 (z, x)
φ6 = ∃=3 x ∃y ∃z : E 0 (x, y) ∧ E 0 (y, z) ∧ E 0 (z, x)
Finden Sie weiterhin für jeden Satz jeweils ein Modell und einen Graphen, der kein Modell ist.
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Aufgabe 3
Es seien τ eine Signatur, A eine τ -Struktur und X, Y ∈ V1 sowie F ∈ V2 Variablen 2. Stufe. Der
Graph einer Funktion f : M → N ist die binäre Relation
{ (m, n) ∈ M × N | f (m) = n } .
(a) Geben Sie für i = 1, . . . , 4 jeweils eine τ -Formel 2. Stufe ϕi (F, X, Y ) an, so dass für jede
Belegung α in A gilt: A |=α ϕi genau dann, wenn. . .
(ϕ1 ) . . . α(F ) ist der Graph einer Funktion f : α(X) → α(Y ).
(ϕ2 ) . . . α(F ) ist der Graph einer injektiven Funktion f : α(X) → α(Y ).
(ϕ3 ) . . . α(F ) ist der Graph einer surjektiven Funktion f : α(X) → α(Y ).
(ϕ4 ) . . . α(F ) ist der Graph einer bijektiven Funktion f : α(X) → α(Y ).
Hinweis: Für die Formeln ϕi benötigen Sie keine weiteren Variablen 2. Stufe außer X, Y
und F .
(b) Geben Sie eine τ -Formel 2. Stufe ψ(X) an, so dass für jede Belegung α in A gilt: A |=α ψ
genau dann, wenn α(X) eine endliche Menge gerader Mächtigkeit ist.
Aufgabe 4
Im folgenden werden Tautologien über der Signatur τGraph aus Aufgabe 2 betrachtet. In der
Vorlesung haben Sie gezeigt, dass die Menge der Tautologien rekursiv aufzählbar ist, die der
Tautologien im Endlichen jedoch nicht. Mithin unterscheiden sich die beiden Mengen. Da jede
Tautologie insbesondere eine Tautologie im Endlichen ist, gibt es demnach eine Tautologie im
Endlichen, die keine Tautologie (im Allgemeinen) ist. Es existieren (also) eine Tautologie im
Endlichen φ und ein unendlicher Graph G mit der Eigenschaft, dass G 6|= φ.
Finden Sie ein Beispiel für φ und G mit dieser Eigenschaft.
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