Potentialströmungen

Potentialströmungen
Potentialströmungen
ρ = konst. , reibungsfrei, 2D
dω
=0
dt
idealisierte Strömung
ν =0
realistische Strömung
Reibungseffekte nur in dünnen Wandschichten interessant.
⇒
Aufteilung :
- Außenbereich
Strömung wird reibungsfrei und drehungsfrei angenommen.
⇒
Analyse mittels d. Th. drehungsfr. Strömung
- Innenbereich
Reibung führt u. a. zur Diffusion der Wirbelstärke
Ablösung
r
ω≠0
r
Ablösung
r
ω≠0
r
Potentialfunktion, Stromfunktion, Laplace Gleichung
r r
ω = rot v = 0 Lösung der Impulsgleichung
r
Identität :
r
div v = 0
r
rot ( grad f ) = 0
r
v = grad Φ
r
ω = rot ( grad Φ ) = 0
Bestgsglg. von Φ
div ( grad Φ ) = 0
∂ 2φ ∂ 2φ
∇ φ = 2 + 2 =0
∂x
∂y
2
Laplace Gleichung der Potentialfunktion
da
u=
∂φ
∂x
v=
∂φ
∂y
Definition von ψ :
u=
∂ψ
∂y
∂ψ
∂x
v=−
• Kontinuitätsgleichung erfüllt
∂u ∂v ∂ 2ψ ∂ 2ψ
+
=
−
=0
∂x ∂y ∂x∂y ∂x∂y
• Bestimmung von ψ durch
r
ω =0
∂v ∂u
−
=0
∂x ∂y
∂ 2ψ ∂ 2ψ
∇ψ = 2 + 2 =0
∂x
∂y
2
Vergleich von
φ und ψ
Cauchy- Riemann DGL
(eben)
Laplace Gleichung der Stromfunktion
:
∂φ ∂ψ
=
∂x ∂y
∂φ
∂ψ
=−
∂y
∂x
ϕ (x, y) = konst.
Potentiallinien
ψ (x, y) = konst.
Stromlinien
∂φ
∂φ
dx +
dy = udx + vdy = 0
∂x
∂y
∂ψ
∂ψ
dy = −vdx + udy = 0
dψ =
dx +
∂x
∂y
dφ =
(1)
dy
u
=−
dx φ
v
dy
dx ψ
Cauchy-Riemann :
(1)
(2)
dy
v
=
dx ψ u
(2)
 dy 
= −

dx
 φ 
−1
⇒ ψ ⊥φ
r r
∂φ ∂ψ ∂φ ∂ψ
∇φ ⋅ ∇ψ =
+
=0
∂x ∂x ∂y ∂y
Stromlinien können sich nicht schneiden
keine Komp. normal zu ψ = konst.
Somit gilt :
ψ = konst.
n
s
∂φ
∂ψ
=−
=0
∂n
∂s
∂φ ∂ψ
vt =
=
≠0
∂s ∂n
vn =
kinematische Randbedingung
Fluidelemente gleiten auf der Kontur
Berechnung des Volumenstroms über ψ
ψ + dψ
ψ
∂ψ
dn = vt dn
∂n
dV& = bdψ
dψ =
y
dV& = bvt dn
x
Berechnung der Druckverteilung
ϕ oder ψ bekannt
u, v
Impulserhaltung für reibungsfreie Strömungen (Euler Gleichung)
r
∂v r r r r 1 r
+ ( v ⋅ ∇ ) v = b − ∇p
∂t
ρ
Identität : (unter Berücksichtigung der Drehungsfreiheit)
r
r vr 2
r r r r v2 r r r
( v ⋅ ∇ ) v = ∇ − v × (∇ × v ) = ∇
2
2
Potential :
r
r
b = −∇(gz )
stationär :
∂
→0
∂t
einsetzen und integrieren :
p+
ρ r2
2
v + ρgz = konst. ( Bernoulli )
⇒
Gleichungen sind linear
Elementarströmungen mit
zusammengesetzt.
Superposition möglich
φ1 ,....φn
werden zu neuen Strömungen
n
φ = ∑ aiφi
i =1
φ1 , φ2 ,....φn bekannt, ai
angepasst an Problem
ϕ
Komplexe Potentialfunktion
kurz : Theorie der komplexen Funktionen
wichtig für die Analyse der Laplaceschen Differentialgleichung
Definition :
komplexe Geschwindigkeit :
konjug. komplexe Geschwindigkeit :
die Funktion
F ( z ) = ∫ w dz
w = u + iv
w = u − iv
ist die komplexe Potentialfunktion
F(z) erfüllt die Laplace Gleichung
F ( z ) = ∫ w dz = ∫ (udx + vdy ) + i ∫ (udy − vdx)
 ∂φ
 ∂ψ
∂φ 
∂ψ 
= ∫  dx +
dy  + i ∫ 
dx +
dy 
∂y 
∂y
 ∂x
 ∂x

= ∫ dφ + i ∫ dψ = φ ( x , y ) + i ψ ( x , y )
Laplace Gleichung :
∂2F d 2F
,
= 2
2
∂x
dz
dF
∂F dF ∂z
∂2F d 2F 2
=
=i
,
= 2 i
2
dz
∂y dz ∂y
∂y
dz
∂F dF ∂z dF
=
=
∂x dz ∂x dz
d 2F d 2F ∂2F ∂2F
− 2 = 2 + 2 =0
2
dz
dz
∂x
∂y
bzw.
⇒
∂ 2φ ∂ 2φ  ∂ 2ψ ∂ 2ψ
+ 2 + i 2 + 2
2
∂x
∂y
∂y
 ∂x

=0


F(z) beschreibt Potentialströmung
F(z) : analytische Funktion
Singularität :
F ( z ) oder
dF
dz
0 oder
∞
Cauchy-Riemann nicht erfüllt
⇒
Bsp. :
ϕ = konst. und ψ = konst. nicht orthogonal !
F ( z ) = ln( z )
F ( z) =
1
z
analytisch außer in z = 0 !
analytisch außer in z = 0 !
Superpositionsprinzip auch für F(z) :
F(z) bekannt ⇒ w = u − iv =
⇒
dF
dz
Geschwindigkeitsverteilung
⇒
Druckverteilung
Vorgehensweise (hier) : Vorgabe von F(z)
Beispiele für die komplexe Potentialfunktion
2D, inkompressibel
Winkel- und Eckenströmung :
a n a
a
z = ( x + iy ) n = (reiϕ ) n
n
n
n
a
= r n (cos(nϕ ) + i sin( nϕ ))
n
F ( z) =
n ∈ R, a = ar ± iai
zunächst :
a∈R
a
n
a
ψ = r n sin( nϕ )
n
φ = r n cos(nϕ )
Stromlinien : ψ = konst.
r n sin( nϕ ) = konst. = 0
⇒
sin( nϕ ) = 0
π 
ϕ = ϕ n = K   K = 0,1,2,...
n
n ≥ 2:
2 > n > 1:
1> n >
1
:
2
∆ϕ ≤
π
K = 0 :ϕ = 0
K = 1: ϕ =
(spitzer Winkel)
2
< ∆ϕ < π
(konkave Ecke)
π < ∆ϕ < 2π
(konvexe Ecke)
π
2
π
n
∆ϕ =
π
n
k = 1, vϕ n =
y
π
n
ψ = konst.
v
spitzer Winkel : n ≥ 2
∆ϕ
k = 0, ϕ n = 0
x
ψ = konst.
konkave Ecke : 2 > n > 1
Θ>0
x
wobei
ψ = konst.
Θ = π − ∆ϕ = (n − 1)
x
Θ<0
konvexe Ecke : 1 > n > 1/2
π
n
dF
w ( z) =
= az n −1 = u − iv ; mit
dz
z = reiϕ
bzw.
r
v = a r n −1
konkave Ecke (n > 1) :
r
|| v ||→ 0
sofern r
0
konvexe Ecke (n < 1) :
r
|| v ||→ ∞
sofern r
0
Stromlinien anhand von
dy v
= = − tan[(n − 1)ϕ ]
dx u
Parallelströmung
n =1
⇒
∆ϕ = π
F ( z ) = az = (ar − iai )( x + iy )
dF ( z )
= w = a = ar − iai = u − iv
dz
φ = ar x + ai y , ψ = ar y − ai x
u=
∂φ ∂ψ
=
= ar
∂x ∂y
v=
∂φ
∂ψ
=−
= ai
∂y
∂x
y
y
ar > 0
x
ai = 0
ar = 0
x
ai > 0
Ebene Staupunktströmung
n=2
π
⇒
∆ϕ =
F ( z) =
a 2
z = φ + iψ
2
2
ψ = axy
a ist Element der reellen Zahlen
a
2
φ = (x2 − y2 )
ψ = konst. :
y~
1
x
w ( z) =
gleichseitige Hyperbel
dF
= az = ax + iay = u − iv
dz
u = ax
v = −ay
dy v
y
= =−
dx u
x
Isotachen :
r
|| v ||=| a | r
Isobaren :
p(r ) = p0 −
ρ
2
a 2r 2
Quelle oder Senke
F ( z ) = a ln z =
E
E
ln z =
ln(reiϕ )
2π
2π
E
ln r
2π
E
ψ=
ϕ = aϕ
2π
⇒ φ=
ϕ = konst. : Kreise um den Ursprung
ψ = konst. : Strahlen durch den Ursprung
w ( z) =
u=
Ex
2π ( x 2 + y 2 )
dF
E
=
= u − iv
dz 2π z
v=
Ey
2π ( x 2 + y 2 )
geeigneter in Polarkoordinaten
vr =
∂φ
E
=
∂r 2πr
vϕ =
E>0:
Quellströmung
E<0:
Senkenströmung
1 ∂φ
=0
r ∂ϕ
V& = b[ψ (ϕ + 2π ) −ψ (ϕ )]
= b[a (ϕ + 2π ) − aϕ ] = 2πab = Eb
⇒
1
: r→0
r
⇒
vr ~
a = E / 2π
vr → ∞
bzw.
(Singular.)
E = V& / b
Potentialwirbel
Vertauschen von ϕ und ψ
⇒ φ = cϕ
ψ = −c ln r
F ( z ) = φ + iψ = −ic ln z
∂φ 1 ∂ψ
=
=0
∂r r ∂ϕ
1 ∂φ
∂ψ c
vϕ =
=−
=
r ∂ϕ
∂r r
vr =
vϕ
ϕ
ψ = konst.
φ = konst.
c:?
r r
Γ = ∫ v ⋅ dr
r = R:
Γ=
c
2πR = 2πc
R
⇒ F ( z ) = −i Γ ln z, φ = Γ ϕ , ψ = − Γ ln r
2π
2π
2π
Wirbelkomponente in Polarkoordinaten
∂v
1 ∂
 (rvϕ ) − r
2r  ∂r
∂ϕ
∂vr
Γ
=
=
=
⇒
0, rvϕ c
∂ϕ
2π
ωz =
ωz = 0
für



= konst.
∂r
=0
[r ≠ 0]
r≠0
r = 0 ? ω z ≠ 0, denn Γ ≠ 0
⇒
⇒
∂ (rvϕ )
bedingt Drehung (Stokes)
bei r = 0 existiert eine Wirbellinie oder Stabwirbel ⊥ zur Strömungsebene
Dipolströmung
h
Quelle
Senke
EQuelle = ESenke = E
Bedingung :
⇒
E~
1
bzw. M = Eh = konst. für h → 0
h
Dipolströmung mit Dipolmoment M und Dipolachse x.
F ( z) =
M
M
M x − iy
ln( z + h) − ln z
=
=
= φ + iϕ
lim
2
h
→
0
2π
h
2π z 2π r
d ln( z ) 1
=
dz
z
M
x
2π x 2 + y 2
M
y
ψ =−
2π x 2 + y 2
φ=
ψ - Gleichung liefert

M
x +  y +
4πψ

2
⇒
Stromlinien :
2
  M
 = 
  4πψ

Kreis mit Zentren  0,−

(siehe Skizze)



2
M
4πψ

 und Radien M /( 4πψ )

π
π
π
e 2 = cos + i sin
=i
2
2
i
⇒ Multiplikation mit i ⇒ Rotation um π / 2.
D. h.
⇒
iM statt M
Mx
2π ( x 2 + y 2 )
ψy =
2
bzw.




 x − M  + y2 =  M 

 4πψ y 
4πψ y 



2
ψ y = konst
Aus
F ( z) =
M
2πz
w ( z) =
folgt :
dF
M
=−
= u − iv
2
dz
2πz
M
M x2 − y2
u=−
cos(2ϕ ) = −
2
2π r 4
2πr
M
M 2 xy
ϕ
=
−
v=−
sin(
2
)
2π r 4
2πr 2
r
v ~ 1/ r 2
Singularität bei r = 0
Halbkörper
Parallelströmung + Quellenströmung
E
F ( z ) = u∞ z +
ln z
2π
ψk =
E
2
(Konturstromlinie)
E
E
ln r = u∞ x +
ln( x 2 + y 2 )
2π
4π
E
ψ = u∞ y + ϕ
2π
φ = u∞ x +
bzw. die Geschwindigkeitskomponenten :
∂φ
∂ψ
E
x
= u∞ +
=
∂x
2π x 2 + y 2 ∂y
∂φ
E
y
∂ψ
v=
=
=
−
∂y 2π x 2 + y 2
∂x
u=
⇒
Koordinaten des Staupunkts ( u = v = 0 )
v = 0:
ys = 0
u = 0:
xs = −
E
2π u∞
Wandstromlinie : ?
ψ k = ψ s ( Wert von ψ im Staupunkt)
E
2
E
E
ψ k = u∞ r k sin ϕ + ϕ =
2π
2
ϕs = π
⇒
rk =
ψs =
⇒
E π −ϕ
2π u∞ sin ϕ
∞:
max. (Halb) breite h bei x
x
∞:
y=h
,
φ=0
ψ ∞ =ψ k
ψ ∞ = u∞ h = ψ k =
E
2
⇒
h=
E
2u∞
Druckverteilung : ?
p∞ +
ρ
2
u∞2 = p +
ρ
(u 2 + v 2 )
2
 u  2  v  2 
p − p∞
cp =
= 1 −   +   
ρ 2
 u∞   u∞  
u∞
2
2
2
 h
x  h
y  
 + 
 
c p = 1 − 1 +
2
2 
2
2 
 π x + y   π x + y  


Druckverteilung auf der Kontur :
E cos ϕ
u
= u∞ + ∞ sin ϕ cos ϕ
π −ϕ
2π rk
E sin ϕ
u
vk =
= ∞ sin ϕ sin ϕ
π −ϕ
2π rk
u k = u∞ +
c pk
 cos ϕ sin ϕ  2  sin 2 ϕ  2 
 
 + 
= 1 − 1 +
π − ϕ   π − ϕ  



Additionstheoreme :
sin( 2ϕ ) = 2 cos ϕ sin ϕ
sin( 2(π − ϕ )) = − sin( 2ϕ )
c pk
sin( 2ϕ )  sin ϕ
=
− 
ϕ
 ϕ
Staupunkt :
ϕ =π
cp = 1



2
bzw.
ϕ =0
c p (ϕ =
π
2
)=−
4
π2
c p → 0 für x → ∞
bzw.
ϕ →0
cp
Kontur des Halbkörpers
1
0
Kreiszylinder
Parallelströmung + Quellenströmung + Senkenströmung
EQ
⇒
geschlossene Wandstromlinie
=
Es
⇒
Abstand von Quelle + Senke
0
Dipolströmung
Parallelströmung + Dipolströmung
F ( z ) = u∞ z +
M
2π z

M
M 

r cos ϕ
x
=
u
+
∞
2
2 

2πr
2π r 

M
M 

ψ = u∞ y −
y
=
u
−
r sin ϕ

∞
2
2
2πr
2πr 

M
w ( z ) = u∞ −
2πz 2
φ = u∞ x +
bzw.
∂φ 
M 
=  u∞ −
cos ϕ
2 
∂r 
2πr 
1 ∂φ
M 

vϕ =
= − u∞ +
sin ϕ
2 
r ∂ϕ
2πr 

vr =
Staupunkte (vr = vϕ = 0)
vr = 0
⇒
bei φ = 0 und φ = π
⇒
Wandstromlinie ψ = 0 ;
u∞ −
M
2
=0
2πR
M
R=
2π u∞
Geschwindigkeit auf ψ = 0
vr = 0
vϕ = −2u∞ sin ϕ
ϕ=
π
2
oder ϕ =
3
π : | vϕ |= 2 u ∞
2
Druckverteilung auf Kontur :
pk +
c pk =
ρ
vk2 = p∞ +
2
p k − p∞
ρ
2
u∞2
ρ
2
u∞2
2
v 
= 1 −  k  = 1 − 4 sin 2 ϕ
 u∞ 
Potentialtheorie
Potentialtheorie
symmetrische p-Verteilung
keine resultierende Kraft
d‘Alembertsches Paradoxon
Addition eines Potentialwirbels
⇒
Seitenkraft

R2 
Γ
 + i vln z
F ( z ) = u∞  z +
z  2π


R2  Γ
φ = u∞ cos ϕ  r +  − ϕ
r  2π


R2  Γ
ln r
ψ = u∞ sin ϕ  r −  +
r
2
π


 R2 
∂φ
vr =
= u∞ cos ϕ 1 − 2 
∂r
 r 
 R2  Γ
1 ∂φ
vϕ =
= −u∞ sin ϕ 1 + 2  −
r ∂ϕ
r  2π r

vr = 0
für r = R
vϕ = −2u∞ sin ϕ −
Γ
2πR
Staupunkt(e) : ?
vϕ = 0 → sin ϕ = −
Γ
4π u∞ R
Γ < 4π u∞ R
⇒
Γ = 4π u∞ R ⇒
Γ > 4π u∞ R ⇒
2 Staupunkte
1 Staupunkt
keine Lösung auf der Kontur, jedoch ein freier Staupunkt
vr ( r ≠ R , ϕ ) = 0 ⇒ ϕ = −
π
2
π
R2
Γ
vϕ (r ≠ R, ϕ = − ) = 0 ⇒ u∞ (1 + 2 ) −
=0
2
2π r
r
⇒r=
1
4π u∞
Γ ± Γ 2 − (4π u R) 2 
∞


nur r > R berücksichtigen
Γ < 4πu∞ R
Potentialwirbel
Γ
Γ = 4πu∞ R
Seitenkraft
Magnus Effekt
Druckverteilung auf der Kontur
p+
ρ
2
(vr2 + vϕ2 ) = p∞ +
ρ
ρ
2
u∞2
Γ 

pk = p∞ + u∞2 −  − 2u∞ sin ϕ −

2 
2
π
R


2


Γ > 4πu∞ R
bzw.

p k − p∞
Γ 


cp =
= 1 −  2 sin ϕ +
ρ 2
2πu∞ R 

u∞
2
2
Kraft in y - Richtung :
2π
L = − ∫ p k sin ϕR dϕ
0
2π
2π
ρu Γ
ρu Γ
L = ∞ ∫ sin 2 ϕ dϕ = ∞ ∫ (1 − cos 2ϕ )dϕ
2π 0
π 0
L = ρu∞ Γ
L~Γ
Kutta, Zhukhovski
Auftriebssatz von Kutta – Zhukhovski
Für beliebige ebene Körper gilt :
L = ρu∞ Γ
reibungsfreie Strömung :
dD = − pdy
dL = pdx
infinitesimale Kraft
dD − idL = − pdy − ipdx = −ipdz
dz = dx − idy
Gesamtkraft
D − iL = −i ∫ pdz
C
Druckverteilung
ρ
ρ
(
u
2
)
1
ρ (u + iv )(u − iv )
2
2
ρ
ρ


D − iL = −i ∫  p∞ + u∞2 − (u + iv)(u − iv) dz
2
2


p∞ +
⇒
u∞2 = p +
2
+ v2 = p +
ρ 2

p
+
∫  ∞ 2 u ∞ dz = 0
C
dz = dz eiϕ
u + iv = u 2 + v 2 eiϕ
⇒ dz || u + iv
⇒ (u + iv)dz
reell und
(u − iv)dz = (u + iv)dz
2
i
i
 dF 
D − iL = ρ ∫ (u − iv ) 2 dz = ρ ∫ 
 dz
2 C
2 C  dz 
( I. Blasiussche Formel )
gültig für ebene, stat. , drehungsfreie Strömungen
Funktionentheorie :
Integration auf jeder beliebigen Kontur möglich, sofern keine Singularitäten
zwischen Körper und gewählter Kontur.
hier :
• Strömung setzt sich u. a. aus Sing. zusammen, die
sich jedoch innerhalb des Körpers befinden.
• Wahlkontur weit entfernt vom Körper
F ( z ) = u∞ z +
E
iΓ
M
ln z +
ln z +
+ ...
2π
2π
2π z
∑ ( EQi + Esi ) = 0
Körperoberfläche ist geschlossen
i
I. Blasiussche Formel :
2

iρ 
iΓ
M
D − iL = ∫ u∞ +
−
+ ... dz
2
2 
2π z 2π z

Residuensatz :
∫ f ( z )dz = 2πi ⋅ (∑ Res[ f ( z )])
c
Res [f(z)]:?
iΓ 

u
+
 ∞ 2πz 
→
D − iL =
2
iρ
2
→
u∞2
Γ2
iu Γ
− 2 2+ ∞
πz
4π z
  iu∞ Γ 
2πi π 

 
D=0
L = ρu∞ Γ
Somit verschwindet die Widerstandskraft und die Seitenkraft ist proportional zur
Zirkulation!
Entstehung der Zirkulation
nur Körper mit scharfen Hinterkanten erzeugen Γ (exp. Ergebnis)
vorangegangene Darstellung : drehungsfreie Strömung, Γ steigt an
Γ=0
Staupunkt (B) auf der Oberfläche
Γ↑
A,B wandern auf der Oberfläche
ΓKutta
B auf der Hinterkante
Hypothese von Kutta :
Strömung über ebenen, scharfkantigen Körper besitzt genau die Zirkulation Γ,
so dass B auf der Hinterkante liegt. (Kutta Bedingung)
Warum genügt eine realistische Strömung der Kutta Bedingung?
aufgerollte Scherschicht
Anfahrwirbel
D
Γ
A
Γ
u∞
B
C
Satz von Thomson : Γ um jede geschlossene Kurve ist konstant, wenn die Kurve in
einer reibungsfreien Strömung bleibt.
→ ΓABCD (t > t0 ) = 0, da ΓABCD (t0 = 0) = 0
⇒ ΓABD kompensier t ΓBCD = ΓAnfahr
nur ΓKutta bewirkt keine Oszillation des hinteren Staupunktes
D.h. Viskosität ruft zwar D hervor, jedoch ebenfalls Γ und somit L.
Schwerewellen
H : mittlere Tiefe
• a / λ << 1 und a / H << 1
• H <<
>> λ
• η klein
Reibung hat keinen Einfluss auf Wellenausbreitung
• Bewegung aus der Ruhe
drehungsfreie Analyse
ζ (x, t) beschreibt die Oszillationen, drehungsfreie Strömung
u=
⇒
∂φ
∂x
v=
∂φ
∂y
Potential einführen
in Kontinuitätsgleichung :
∇ 2φ = 0
Randbedingungen :
y=ζ :
y = −H :
Annahme : a klein ⇒ u
dζ ∂ζ
∂ζ
=
+u
dt ∂t
∂x
∂ϕ
=v=0
∂y
∂ζ
klein
∂x
=
y=ζ
∂ϕ
∂y
= v y=ζ
y=ζ
u
somit :
∂ζ
∂ζ
<<
∂x
∂t
y =ζ
∂ζ ∂φ
=
∂t ∂y
y =ζ
Taylorentwicklung
∂φ
∂y
y =ζ
∂φ
=
∂y
∂ 2φ
∂φ
+ ζ 2 + ... ≈
∂y
∂y
y =0
y =0
dynamische Randbedingung bei y = ζ :
y =ζ
: p = pa = 0
mittels Bernoulli Gleichung
∂φ 1 2 2
p
+ (u + v ) + + gy = F (t )
∂t 2
ρ
~
φ = f (φ , F )
∂φ p
+ + gy = 0
∂t ρ
y =ζ
mit
∂φ
∂t
∂φ
+ gζ = 0
∂t
:
y=ζ
∂φ
=
∂t
∂2φ
+ζ
+....
∂y∂t
y=0
∂φ
= − gζ
∂t
y=0 :
Zusammenfassung des Problems
∂φ
=0
∂y
∂φ ∂ζ
y=0 :
=
,
∂y ∂t
mit RB :
y = −H :
k=
λ
∂φ
= − gζ
∂t
ζ ( x, t ) = a cos(kx − ωt )
Annahme :
T=
∇ 2φ = 0
2π
λ
, c
c
bzw. ω = kc
: Wellenzahl
ω=
2π
: Kreisfrequenz
T
: Phasengeschwindigkeit
Bedenkt man die Bedingungen
∂ζ ∂φ
=
∂t ∂y
y=0
und
∂φ
= − gζ
∂t
folgt als Ansatz für ϕ :
φ = f ( y ) sin( kx − ω t )
f (y), k bzw. ω unbekannt
Laplace ergibt :
d2 f
− k2 f = 0
2
dy
allgemeine Lösung :
f ( y ) = Ae ky + Be − ky
φ = ( Ae ky + Be − ky ) sin(kx − ωt )
A, B aus Randbedingungen
∂φ
= Ake − kH − Bke kH sin( kx − ω t ) = 0
∂y
(
y=-H
⇒
B = Ae −2 kH
)
y=0:
∂ζ
= aω sin( kx − ωt )
∂t
∂φ
= k Ae ky − Be − ky sin( kx − ωt ) = k ( A − B )sin( kx − ωt )
∂y
(
∂φ ∂ζ
=
:
∂t
∂t
⇒
)
k ( A − B ) = aω
A=
aω
k (1 − e −2 kH )
aωe −2 kH
B=
k (1 − e −2 kH )
aω cosh (k ( y + H ) )
sin(kx − ωt )
k
sinh(kH )
cosh (k ( y + H ) )
cos(kx − ωt )
u = aω
sinh(kH )
sinh (k ( y + H ) )
v = aω
sin(kx − ωt )
sinh(kH )
φ=
Zusammenhang zwischen c, ω, k über die dynamische Bedingung
ζ und φ in
∂φ
= − gζ
∂t
(y=0)
⇒
aω 2 cosh(kH )
−
cos(kx − ωt ) = − ga cos(kx − ωt )
k sinh(kH )
ζ
ω = gk tanh(kH )
⇒
c=
ω
k
c = f (k)
=
g
tanh(kH ) =
k
gλ
2πH
tanh
2π
λ
: dispersive Wellen
k = g (c)
ω = f (k)
heißt Dispersionsbeziehung
Gleichung * für :
H / λ >> 1 und
H / λ << 1
(∗)
H / λ >> 1
tanh ( x → ∞) → 1
Näherung : tanh (1.75) = 0.9414
⇒
KH > 1.75 bzw. H > 0.28λ
c=
gλ
=
2π
g
k
3 % genau
Tiefwasserwellen, sofern H > 0.28λ ; c = f (λ), c ≠ f (H)
H / λ << 1
tanh ( x → 0) ≈ x
H / λ << 1
tanh
⇒
2πH
λ
c = gH
≈
2πH
λ
Genauigkeit besser 3% für H / λ < 0.07λ
Flachwasserwellen, sofern H < 0.07λ ; c ≠ f (λ), c = f (H)
Bemerkung zur Berechnung von Flachwasserwellen
tief
Wellenberg
H = konst.
flach
in Strandnähe : c =
gH
Drehung der Wellenberge parallel zur Küste in Richtung Strand
⇒
Wellen immer parallel zur Küste; sie treffen senkrecht auf den Strand auf