Mathematik für Informatiker 1 - ¨Ubungsblatt 2

Universität des Saarlandes
Hannah Markwig
Christian Jürgens
Wintersemester 2015/16
30. Oktober 2015
- Mathematik für Informatiker 1 Übungsblatt 2
Aufgabe 1 (1+2 Punkte).
Zur Beweismethode der vollständigen Induktion:
1. Satz Alle Katzen sind schwarz.
Beweis. Sei m ∈ N die Anzahl der Katzen auf der Welt. Nehmen wir an, dass es ein n < m gibt, so dass
jede n-elemente Menge von Katzen nur schwarze Katzen enthält. Betrachten wir nun eine n + 1-elementige
Menge M von Katzen und wählen uns zwei verschiedene Katzen aus. Diese bezeichnen wir mit k1 und
k2 . Nun gilt, dass M \ {k1 } nur schwarze Katzen enthält, denn nach Induktionsvoraussetzung beinhaltet
jede n-elementige Teilmenge von Katzen nur schwarze Katzen. Da k2 ∈ M \ {k1 }, wissen wir nun, dass k2
schwarz ist. Mit dem gleichen Argument folgt auch, dass k1 schwarz sein muss. Also enthält auch M nur
schwarze Katzen.
Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion sind damit alle Katzen schwarz. Das ist aber falsch.
Was ist im obigen “Beweis“ schief gegangen?
2. Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:
Die Menge der bijektiven Abbildungen f : M −→ M einer n-elementigen Menge M hat Mächtigkeit n!.
Qn
Hinweis: Für n ∈ N definieren wir die Fakultät von n als n! := n · (n − 1) · (n − 2) · . . . 2 · 1 = i=1 i. Dabei verwenden
wir die Konvention, dass 0! = 1.
Aufgabe 2 (2+2 Punkte).
Seien A, B, C Mengen und f : A −→ B, g : B −→ C Abbildungen.
Beweisen oder widerlegen Sie je zwei Aussagen aus den beiden Aussageblöcken:
(1) Wenn f und g injektiv sind,
so ist auch g ◦ f injektiv.
(a) Wenn f und g surjektiv sind,
so ist auch g ◦ f surjektiv.
(2) Wenn g ◦ f injektiv ist, so ist
auch f injektiv.
(b) Wenn g ◦ f surjektiv ist, so
ist auch f surjektiv.
(3) Wenn g ◦ f injektiv ist, so ist
auch g injektiv.
(c) Wenn g ◦ f surjektiv ist, so
ist auch g surjektiv.
Aufgabe 3 (2+2+2 Punkte).
Seiten M1 , M2 Mengen, A1 , A2 ⊂ M1 und B1 , B2 ⊂ M2 Teilmengen und f : M1 −→ M2 eine Abbildung.
Zeigen oder widerlegen Sie die Aussagen:
• f (A1 ∪A2 ) = f (A1 )∪f (A2 )
• f −1 (B1 ∪ B2 ) = f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 )
• f (A1 ∩A2 ) = f (A1 )∩f (A2 )
• f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 ) = f −1 (B1 ∩ B2 )
Finden Sie für jede Aussage eine Bedingung, so dass die Aussage wahr wird:
1. f f −1 (B1 ) = B1
2. A1 = f −1 (f (A1 ))
Abgabe: Abgabe in 2er-Gruppen, bis Freitag, den 6. November 2015, 10:00 Uhr in die Briefkästen im Erdgeschoss
vom Hörsaal-Gebäude E2 5.
Universität des Saarlandes
Hannah Markwig
Christian Jürgens
Wintersemester 2015/16
30. Oktober 2015
- Mathematik für Informatiker 1 Übungsblatt 2
Aufgabe 4 (1+2 Punkte).
Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen mit Hilfe des Schubfachprinzips:
1. Sei M = {1, . . . , 100} die Menge der natürlichen Zahlen von 1 bis 100. Für jede Menge N ⊂ M der Mächtigkeit
51 gilt, dass es stets zwei Elemente a, b ∈ N gibt mit a + b = 101.
2. Sie sind auf einer Feier mit 7 weiteren Gästen, d.h. insgesamt sind 8 Personen anwesend. Die Tür wird verriegelt,
d.h. keiner kommt hinzu und keiner darf gehen. Nun begrüßen sich einige der Anwesenden per Händeschütteln
(und wie es bei diesem nonverbalen Begrüßungsritual üblich ist, gibt man nur eine Hand - in der Regel die
rechte -, man tut dies paarweise maximal ein mal und man gibt sich nicht selbst die Hand). Dann gilt: Es
ist unmöglich, dass am Ende der Begrüßungsrunde alle Personen einer verschiedenen Anzahl von Personen die
Hände geschüttelt haben. Mit anderen Worten: Es gibt immer 2 Gäste, die gleich vielen anderen Gästen die
Hand geschüttelt haben.
Abgabe: Abgabe in 2er-Gruppen, bis Freitag, den 6. November 2015, 10:00 Uhr in die Briefkästen im Erdgeschoss
vom Hörsaal-Gebäude E2 5.