Analytische Zahlentheorie – Blatt 7

Prof. Dr. Benjamin Klopsch
Sommersemester 2015
Analytische Zahlentheorie – Blatt 7
Abgabe der Lösungen zu den ersten beiden Aufgaben am 08.06.2015 in der Vorlesung
Weitere Informationen zur Vorlesung und den Übungen finden Sie unter
http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/AnaZaTh_SS15/.
Aufgabe 7.1
(8 Punkte)
∞
∞
Betrachten Sie die Dirichletreihen ∑n=1 an n−s und ∑n=1 bn n−s mit Koeffizienten
an = (−1)n+1 ;
⎧
⎪
⎪ 1 für n ≡/ 3 0,
bn = ⎨
⎪
⎪
⎩−2 für n ≡3 0
für n ∈ N.
(a) Zeigen Sie: Die beiden Dirichletreihen konvergieren und definieren somit analytische
Funktionen f und g auf der Halbebene {s ∈ C ∣ Re(s) > 0}.
(b) Zeigen Sie: Für s ∈ C mit Re(s) > 1 gelten:
f (s) = (1 − 21−s )ζ(s)
g(s) = (1 − 31−s )ζ(s).
(c) Folgern Sie aus (a) und (b), daß sich die Riemannsche Zetafunktion ζ(s) zu einer
meromorphen Funktion auf {s ∈ C ∣ Re(s) > 0} fortsetzen läßt und dort einen einzigen
Pol besitzt, nämlich einen einfachen Pol an der Stelle s = 1 mit Residuum 1.
Bemerkung: Die Aufgabe liefert einen alternativen Beweis für Korollar 5.2 der Vorlesung.
Aufgabe 7.2
Betrachten Sie die arithmetische Funktion
ω ∶ N → C,
(8 Punkte)
ω(n) = ∣{p ∈ P ∣ p divides n}∣.
(a) Beweisen Sie per Induktion die Abschätzung1 t! ≥ (t/e)t = et log t−t für t ∈ N.
(Hinweis: Begründen und verwenden Sie die Abschätzung (1 + t−1 )t ≤ e für t ∈ N.)
(b) Zeigen Sie: ω(n) = O(log n/ log log n) für n → ∞.
(Hinweis: Setzen Sie t = ω(n) und benutzen Sie t! ≤ n sowie (a).)
(c) Bestimmen Sie eine Konstante c ∈ R>0 , so daß für unendlich viele n ∈ N gilt ω(n) ≥
c log n/ log log n.
(Hinweis: Überlegen Sie sich, welche Zahlen n ∈ N ein besonders großes ω(n) liefern und
verwenden Sie eine geeignete Abschätzung aus Aufgabe 1.3 sowie die Tschebyscheffsche
Abschätzung für π(x).)
Bemerkung: Der Wert von ω(n) liegt zumeist ‘nahe’ log log n. Genauere Aussagen zu der
Verteilung von ω(n) um log log n liefert ein Resultat von Erdős und Kac.
Bitte wenden!
1
Eine genauere Abschätzung liefert die Stirlingsche Formel.
S. 1/2
Analytische Zahlentheorie – Blatt 7
S. 2/2
Aufgabe 7.3
Für diese Aufgabe benötigen Sie vorab die Definition eines Dirichletcharakters. Sei dazu
̂m
m ∈ N≥2 und Am = (Z/mZ)∗ die Einheitengruppe des Restklassenringes Z/mZ. Zu χ̃ ∈ A
definieren wir den Dirichletcharakter (modulo m) gemäß
χ ∶ Z → C,
⎧
⎪
⎪χ̃(a + mZ) falls ggT(a, m) = 1,
χ(a) = ⎨
⎪
sonst.
⎪
⎩0
Die Menge G(m) der Dirichletcharaktere modulo m bildet offenbar eine Gruppe, die
̂m ist. Das neutrale Element von G(m) ist der triviale
isomorph zur Charaktergruppe A
Charakter χ0 modulo m,
χ0 ∶ Z → C,
⎧
⎪
⎪1 falls ggT(a, m) = 1,
χ0 (a) = ⎨
⎪
⎪
⎩0 sonst.
(a) Sei m ∈ N≥2 und χ∶ Z → C. Zeigen Sie, daß χ genau dann ein Dirichletcharakter modulo
m ist, d. h. χ ∈ G(m) gilt, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
• χ(1) = 1,
• ∀a, b ∈ Z ∶ χ(ab) = χ(a)χ(b),
• ∀a, b ∈ Z ∶ a ≡m b ⇒ χ(a) = χ(b),
• ∀a ∈ Z ∶ a ≡m 0 ⇒ χ(a) = 0.
(b) Bestimmen Sie explizit (d. h. in Form einer vollständigen Tabelle) alle Dirichletcharaktere modulo 15.
(c) Sind χ1 ∈ G(m1 ) und χ2 ∈ G(m2 ) für m1 , m2 ∈ N≥2 , so ist χ1 χ2 ∈ G(kgV(m1 , m2 )).
(d) Sei m ∈ N≥2 und χ ∈ G(m) ein Dirichletcharakter modulo m. Zeigen Sie:
Ist χ nicht der triviale Charakter χ0 ∈ G(m) modulo m, so gilt
⌊x⌋
∣ ∑n=1 χ(n)∣ ≤ ϕ(m)
für x ∈ R≥1 .
Ist χ = χ0 der triviale Charakter modulo m, so gilt
⌊x⌋
∣ ∑n=1 χ(n) −
ϕ(m)
x∣ ≤ 2ϕ(m)
m
für x ∈ R≥1 .
(e) Die arithmetische Funktion f ∶ N → C sei periodisch und vollständig multiplikativ.
Zeigen Sie, daß f sich eindeutig zu einem Dirichletcharakter fortsetzt.
Aufgabe 7.4
Zeigen Sie: Gibt es für alle a, m ∈ Z mit ggT(a, m) = 1 stets wenigstens eine Primzahl p mit
p ≡m a, so gibt es zu allen a, m ∈ Z mit ggT(a, m) = 1 schon unendlich viele Primzahlen
p mit p ≡m a.