Planung und Analyse elektrischer

Planung und Analyse elektrischer Energieversorgungsnetze
Teil 2.1 – Schalt- und Ausgleichsvorgänge
Planung und Analyse elektrischer
Energieversorgungsnetze
Teil 2.1
Schalt- und Ausgleichsvorgänge in Netzen
Ausgabe 0.1, 31.05.2017
Autoren: Stephan Rupp
Steinbeis Transferzentrum Energieinformationstechnik
Kontakt: [email protected]
Web: http://www.steinbeis.de/su/1766
Veröffentlicht unter CC-BY-SA
S. Rupp, 2017
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Inhaltsverzeichnis
1. Grundlagen..........................................................................................................5
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
Leistungsmessung................................................................................................................. 5
Eekvwertmessung.......................................................................................................... 12
Transformator..................................................................................................................... 15
Niederspannungsnetz......................................................................................................... 17
Mi"elspannungsnetz.......................................................................................................... 19
Nichtlineare Eekte............................................................................................................ 21
Oberschwingungen............................................................................................................. 23
Transiente Vorgänge........................................................................................................... 25
2. ...........................................................................................................................28
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
............................................................................................................................................ 28
............................................................................................................................................ 28
............................................................................................................................................ 28
............................................................................................................................................ 29
............................................................................................................................................ 29
............................................................................................................................................ 29
3. ...........................................................................................................................30
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
…......................................................................................................................................... 30
............................................................................................................................................ 30
............................................................................................................................................ 31
............................................................................................................................................ 31
............................................................................................................................................ 31
............................................................................................................................................ 32
4. ...........................................................................................................................33
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
............................................................................................................................................ 33
............................................................................................................................................ 33
............................................................................................................................................ 33
............................................................................................................................................ 33
5. ...........................................................................................................................35
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
............................................................................................................................................ 35
............................................................................................................................................ 35
............................................................................................................................................ 35
............................................................................................................................................ 35
6. ...........................................................................................................................37
6.1. ............................................................................................................................................ 37
6.2. ............................................................................................................................................ 37
6.3. ............................................................................................................................................ 37
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1.
Grundlagen
In diesem Abschnitt werden die Grundlagen der Drehstromnetze rekapituliert. Am einfachsten
verwenden Sie hierzu ein Simulationswerkzeug wie z.B. Matlab/Simulink, bzw. das OpenSource Werkzeug Scilab/Xcos. Installieren Sie für die folgenden Übungen diese Software auf Ihrem Rechner.
1.1.
Leistungsmessung
Erstellen Sie ein einfaches Drehstromnetz, wie z.B. in folgender Abbildung gezeigt.
Frage 1.1.1: Messen Sie die in der Last umgesetzte Leistung. Wie verhält sich die Leistung pro Strang
im Verhältnis zur Gesamtleistung?
Lösung: Pstr = Pges/3.
Frage 1.1.2: Leiterspannungen und Strangspannungen. Die Last ist für eine Messung der Strangspannungen nicht zugänglich. Wie lässt sich die Leistung aus den Leiterspannungen und Leiterströmen ermitteln?
Lösung: Rechnerisch: UL = √3 Ustr; Der Betrag der Leiterspannung ist im größer als der Betrag der
Strangspannung. Daher ergibt sich aus P = 3 Pstr = 3 Ustr Istr = √3 UL Istr = √3 UL IL. Für die
Sternschaltung (Last) sind Leiterstrom und Strangstrom identisch. Allgemein gilt:
P= √ (3)U L⋅IL
(1.1.1)
Messung: siehe folgende Abbildung.
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Hierbei ist die gemessene Leiterspannung um √3 größer ist als die gesuchte Strangspannung. Die
Messung erfasst außerdem den Phasenwinkel von 30 Grad zwischen Leiterspannung und Strangspannung, somit ist der gemessene Wert um cos(30o) = √3/2 zu groß. Der Messwert muss somit insgesamt um einen Faktor 3/2 nach unten korrigiert werden.
Frage 1.1.3: Last in Dreieckschaltung. Es sei angenommen, dass die Last in einer Dreieckschaltung
ausgeführt ist. Wie berechnet sich die Leistung aus den Leiterspannungen und Leiterströmen?
Wie groß wäre der Lastwiderstand R‘L, zu wählen, um eine vergleichbare Leistung wie in einer
Sternschaltung mit dem Widerstand RL zu erzielen?
Lösung: Bei der Dreieickschaltung ist die Leiterspannung gleich der Strangspannung. Wenn man R‘L
nach der Leiterspannung dimensioniert, so errechnet sich R‘L = UL2/Pstr. Da die Leiterspannung um einen Faktor √3 größer ist als die Strangspannung bei der Sternschaltung, ist folglich R‘L um einen Faktor 3 mal so groß wie RL im Fall der Sternschaltung. Folgende Abbildung zeigt einen Simulationslauf.
Da die Leistungsmessung nur mit Hilfe von Leiterspannungen und Leiterströmen erfolgt, ist die Messung von der Art der Schaltung der Last nicht betroffen und bleibt weiterhin gültig.
Frage 1.1.4: Wirkleistung und Blindleistung. Messen Sie Wirkleistung und Blindleistung mit Hilfe des
Phasenwinkels zwischen Strom und Spannung. Hinweis: Verwenden Sie den gegebenen Phasenwinkel θ der Spannungsquellen als Referenz.
Lösung: Es gelten
P=U⋅I⋅cos(ϕ)
(1.1.3)
Q=U⋅I⋅sin (ϕ)
(1.1.4)
Hierbei sind U und I die Effektivwerte von Strom und Spannung. Folgende Abbildung zeigt die
Anordnung zur Messung (siehe auch Anhang A und Anhang B).
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Die Spannung u2(t) über dem Lastwiderstand folgt dem Strom i(t). Wegen der Leitungsinduktivität L1
ergibt sich eine Phasenverschiebung von u2(t) gegenüber der Eingangsspannung u1(t). Durch Messung von Betrag und Phase von u2(t) gegenüber u1(t) lässt sich die Phasenverschiebung und somit
Wirkanteil und Blindanteil der Leistung berechnen. Die Berechnung erfolgt mit Hilfe der Transformation
abc nach dq (siehe Block abc2dq)..
Im gezeigten Beispiel ist hierbei zu beachten, dass an der Quelle die Strangspannung gemessen wird
(Leiter-zu-Sternpunkt), vor der Last jedoch die Leiterspannung (Leiter-zu-Leiterspannung). Die Phase
muss somit um einen Phasenunterschied (Offset) von 30 Grad korrigiert werden. Für die Beträge ist
ebenfalls eine Korrektur um das Verhältnis Stern zu Dreieck vorzunehmen.
Abhängig von der Netzimpedanz folgt der Strom und somit die Lastspannung u2(t) verzögert, wie in
der Abbildung oben gezeigt. Die Verhältnisse lassen sich etwas einfacher interpretieren in einer einphasigen Ersatzschaltung.
Frage 1.1.5: Lastimpedanz. Verwenden Sie als Last eine komplexe Impedanz, z.B. in Sternschaltung.
Ermitteln Sie Wirkleistung und Blindleistung durch (1) dreiphasige Messung, (2) aus den Zeigerdarstellung eines Strangs (siehe Gleichungen (1.1.3) und (1.1.4).
Lösung: (1) Dreiphasige Messung: wie vorher durch Multiplikation von Strom und Spannung der einzelnen Phasen und Addition der Ergebnisse. (2) Aus der Zeigerdarstellung: durch Transformation von
Strom und Spannung vom abs-Drehstromsystem ins stationäre dq-System. Die Ergebnisse sind Betrag und Phase von Strom und Spannung. Multiplikation der Beträge ergibt die Scheinleistung. Wirkleistung und Blindleistung ergeben sich gemäß Gleichung (1.1.3) und (1.1.4) aus dem Phasenwinkel
zwischen Strom und Spannung. Folgende Abbildung zeigt den Aufbau.
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Der zeitlicher Verlauf der Leistungen pi(t) und der gesamten Leistung ergibt sich wie folgt:
Die Last nimmt Wirkleistung auf (P>0 im Verbraucherzählpfeilsystem). Die Last nimmt Blindleistung
auf (Q>0). Der Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung beträgt annähernd 45 Grad, d.h. die Reaktanz der Last ist annähernd so groß wie der Lastwiderstand) und somit auf Q in der Größenordnung
von P). Misst man Leiterspannungen anstelle von Strangspannungen, so sind Betrag und Phase für
das Referenzsystem entsprechend zu korrigieren (Betrag/√3, Phase + 30 Grad).
Frage 1.1.6: Stromgeregelte Last. Verwenden Sie eine stromgeregelte Last. Strombetrag und Phase
(bzw. cos(φ)) sollen so vorgegeben werden, dass bei Nennspannung am Anschlusspunkt eine
vorgegebene Wirkleistung entnommen wird. Vergleichen Sie das Verhalten mit einer passiven
Lastimpedanz.
Lösungsbeispiel: Den Sollwert des Stroms bestimmt man aus der gewünschten Leistung gemäß Gleichung (1.1.3). Vorgegeben werden der Strombetrag I und der Phasenwinkel φ (bzw. der Leistungsfaktor cos(φ)). Dieser Phasenwinkel soll zwischen der Spannung über der Last und den Strom durch
die Last gelten.
Die Winkel von Strom und Spannung werden relativ zum Bezugssystem θ(t) = ωt + θ ermittelt. Die
Vorgabe für den Realteil des Stroms Id und den Imaginärteil Iq des Stroms muss in diesem Bezugssystem erfolgen. Daher wird der Phasenwinkel der Spannung über der Last in diesem Bezugssystem
ermittelt die Vorgabe von φ erfolgt dann relativ zu diesem Bezugssystem.
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Folgende Abbildung zeigt den Aufbau der stromgeregelten Last. Mit Hilfe des Vorzeichens VZ wird
eingestellt, ob der Strom der Spannung nachlaufen oder vorauseilen soll.
Man erkennt, dass eine dreiphasige Spannungsmessung über der Last (Drehstromsystem abc) in das
ruhende Zeigersystem dq transformiert. Hier erfolgt die Bestimmung des Phasenwinkels der Spannung im Bezugssystem. Die Vorgabe für Realteil Id und Imaginärteil Iq des ruhenden Stromzeigers wird
dann in den Zeitbereich zurück transformiert. Die Steuerung der geregelten Stromquelle erfolgt mit
diesem Zeitsignal. Bemerkung: Bei Vorgabe eines negativen Stroms funktioniert die Last als geregelte
Stromquelle.
Frage 1.1.7: Leistungsgeregelte Last. Verwenden Sie eine leistungsgeregelte Last. Wirkleistung P,
Leistungsfaktor cos(φ) und Vorzeichen des Phasenwinkels sollen so vorgegeben werden, dass
am Anschlusspunkt die vorgegebene Wirkleistung entnommen wird. Vergleichen Sie die Leistungsausbeute zwischen (1) Lastimpedanz, (2) stromgeregelter Last, (3) leistungsgeregelter
Last. Welche Last verhält sich konstruktiver bei starklastbedingten Spannungseinbußen im
Netz?
Lösungsbeispiel: Bei der in folgender Abbildung gezeigten Lösung erfolgt die Realisierung mit Hilfe
einer geregelten Stromquelle. Hier werden Betrag und Phase des Stroms relativ zur Spannung über
der Last so eingestellt, dass das Produkt aus Strom und Spannung gemäß Gleichung 1.1.3 der
gewünschten Wirkleistung entspricht.
Vorgegeben werden somit z.B. die Wirkleistung P und der Leistungsfaktor cos(φ). Die Vorgabe für
Betrag und Phase des Stroms bestimmt man hieraus aus dem Betrag der gemessenen Spannung
über der Last, sowie der Phase der Spannung im Bezugssystem θ(t) = ωt + θ. Die Berechnung des
Strombetrags erfolgt gemäß Gleichung 1.1.3.
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Bemerkung: Bei der in folgender Abbildung gezeigten Realisierung erfolgt die Bestimmung des Stroms
iterativ: Eine Verzögerung des Wertes für die Stromvorgabe (Id und Iq) erzeugt zusammen mit der von
Stützstelle zu Stützstelle fortschreitenden Berechnung für eine Rekursion der Art: Id,neu = U(Id,alt).
Das Einschwingen des Verfahrens lässt durch z.B. Beobachten der Ausgangsleistung beobachten.
Hinweis: Die Implementierung enthält der Übersichtlichkeit halber keine Absicherung gegen mögliche
Divisionen durch Null für den Spannungswert zum Start der Iteration.
Lasten im Vergleich:
•
Impedanz: P ∼ U2
Begründung: PLast = U2Last / RL = I2 RL
•
stromgeregelt: P ∼ U1
Begründung: PLast = ULast I cos(φ)
•
leistungsgeregelt: P ∼ U0
Begründung: PLast = P0 = konstant
Frage 1.1.8: Einphasiges Ersatzschaltbild. Erläutern sie das Vorgehen, wie man bei symmetrischen
Verhältnissen z.B. bei Last in Sternschaltung und Messung der Leiterspannungen und Leiterströme zu einem einphasigen Ersatzschaltbild kommt. Welche Leistung gibt das einphasige Ersatzschaltung wieder im Vergleich zur dreiphasigen Schaltung? Wie verhält sich die Lastimpedanz der einphasigen Ersatzschaltung zur Last in einem der Stränge?
Frage 1.1.9: Phasenwinkel messen. Der Phasenwinkel zwischen zwei periodischen Signalen gleicher
Frequenz lässt sich mit Hilfe der Nulldurchgänge ermitteln. Hierzu werden die Signale nach
Überschreiten eines Schwellwertes auf den Wert 1 begrenzt. Die Werte werden auf ein Exklusiv-Oder-Gatter (XOR-Gatter) gegeben.
Das Tastverhältnis des resultierenden Signals entspricht nun dem Phasenwinkel. Das Tastverhältnis lässt sich z.B. mit Hilfe eines Tiefpasses ermitteln. Folgende Abbildung zeigt eine solche
Anordnung. Erläutern Sie das Funktionsprinzip der Schaltung. Welchen Nachteil besitzt diese
Methode?
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Lösung: siehe folgende Abbildung. Nachteil: Lange Messdauer.
Frage 1.1.10: PLL zur Ermittlung eines Referenzsignals. Eine Methode zur Ermittlung eines phasengenauen Referenzsignals ist der sogenannte Phased-Locked-Loop (PLL). Hierbei wird ein Referenzsignal phasengenau auf ein Messsignal aufsynchronisiert. Folgende Abbildung zeigt eine
solche Anordnung. Erläutern Sie das Funktionsprinzip. Wie lässt sich ein PLL zur Phasenmessung einsetzen?
Lösung: siehe Abbildung unten (Messsignal, Referenzsignal, Tastverhältnis und durch den PLL kompensierter Phasenoffset). Es zeigt sich ein deutlich schnelleres Einschwingverhalten als bei der Auswertung des festen Tastverhältnisses in Frage 1.1.9.
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Phasenmessung: Man nutzt die Phase des Referenzsignals. Die Phase φ(t) = 2π ω(t) des Referenzsignals lässt sich nun als Basis für die Zeigertransformation verwenden. Die Frequenz des Referenzsignals folgt der Frequenz des Messsignals.
1.2.
Effektivwertmessung
Unter dem Effektivwert einer Wechselspannung (bzw. eines Wechselstroms) versteht man den
Wert, der an einer Last den gleichen Effekt erzielt wie eine Gleichspannung (bzw. ein Gleichstrom).
Das Produkt der Effektivwerte von Strom und Spannung sollten somit die in der Last umgesetzte Leistung ergeben.
Frage 1.2.1: Effektivwerte von Strom und Spannung. Erstellen Sie ein einfaches, einphasiges Szenario bestehend aus einer Wechselspannungsquelle, einer Leitung, sowie einer Last. Messen Sie
die Effektivwerte von Strom und Spannung an der Last. Hinweis: Verwenden Sie die DeOnitionen in Anhang C.
Lösungsbeispiel:
Spannung (bzw. Strom) werden quadriert, das Ergebnis mit Hilfe eines Tiefpassfilters gemittelt. Der
Effektivwert ergibt sich aus der Quadratwurzel dieses Signals (siehe Anhang C).
Frage 1.2.2: Effektivwert der Leistung. Verwenden Sie das Szenario aus Aufgabe 1.2.1 zur Messung
des Effektivwertes der Leistung. Wie lange dauert es, bis sich der Wert für die Leistung eingeschwungen hat? Hinweis: Verwenden Sie die DeOnitionen in Anhang C.
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Lösung: Leistungsmessung siehe Lösungsbeispiel zur vorigen Aufgabe. Aus dem Produkt von Strom
und Spannung ergibt sich die zeitlich variable Leistung p(t). Die Wirkleistung stellt den Mittelwert dieser Leistung dar (siehe Anhang C). Die Mittelwertbildung erfolgt mit Hilfe eines Tiefpassfilters.
Die verwendete Messmethode ist langsam. Die Abbildung oben illustriert, dass ca 500 ms benötigt
werden, bis sich der Wert der Leistungsmessung stabilisiert hat. Der Einschwingvorgang der Leistung
nach dem Einschalten der Spannung ist vergleichsweise schnell, wie im rechten Teil der Abbildung am
zeitlichen Verlauf von Strom, Spannung und Leistung zu erkennen ist.
Frage 1.2.3: Scheinleistung, Blindleistung und Leistungsfaktor. Wie lässt sich aus den Effektivwerten
von Strom und Spannung die Scheinleistung S ermitteln? Wie berechnet sich die Blindleistung
Q und der Leistungsfaktor cos(φ)?
Frage 1.2.4: Brückengleichrichter. Erstellen Sie ein Szenario mit einem Brückengleichrichter und einer
Last im DC-Zwischenkreis. Ermitteln Sie die Effektivwerte von Strom und Spannung. Ermitteln
Sie die in der Last umgesetzte Leistung.
Lösungsbeispiel: Als Leistung werden 10 kW Leistung vorgegeben (z.B. zum Aufladen eines Elektrofahrzeugs an einem Drehstromsystem). Folgende Abbildung zeigt die Schaltung.
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Die Messung der Effektivwerte von Strom und Spannung im DC-Kreis folgt den vorausgegangenen
Aufgaben. Ebenso die Messung der Leistung.
Der Übersichtlichkeit halber werden die zeitlichen Verläufe der Spannung über der Last und der elektrischen Leistung aufgezeichnet. Wegen der rein ohmschen Last folgt der Laststrom der Spannung.
Der Ladestrom des Zwischenkreiskondensators wurde nicht aufgezeichnet.
Erwartungsgemäß zeigt die Spannung über der Last eine Welligkeit. Diese ist bedingt durch das
Nachladen des Zwischenkreiskondensators aus den drei Wechselstromphasen und folgt den Spannungsspitzen. Folglich schwankt auch die Leistung um einen Mittelwert. Letzterer wird mit Hilfe des
Tiefpassfilters ermittelt, wie im linken Teil der Abbildung dargestellt.
Die Messung der Effektivwerte von Strom und Spannung benötigt ebenfalls über 500 ms, bis das
Tiefpassfilter einen stabilen Mittelwert ausgibt.
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1.3.
Transformator
Ein Übertrager (Transformator) ist durch das in folgender Abbildung gezeigte einphasige Ersatzschaltbild gegeben, bestehend aus der sogenannten Kurzschlussreaktanz Xk und einem idealen Übertrager.
Frage 1.3.1: Kurzschlussreaktanz. Erläutern Sie die DeOnition des Begriffs Kurzschlussreaktanz aus
der in der Abbildung gezeigten messtechnischen Anordnung. Welche physikalische Bedeutung
hat die Kurzschlussspannung? Wir lässt sich die Kurzschlussreaktanz berechnen bei den folgenden gegebenen Kenngrößen: (1) uk = Uk/Ur (relative Kurzschlussspannung bezogen auf die
Bemessungsspannung Ur), (2) Ur (Bemessungsspannung), (3) Sr (Bemessungsscheinleistung).
Lösung: Kurzschlussreaktanz: Die Reaktanz, die den Strom begrenzt, wenn man die Ausgangsseite
des Transformators kurzschliesst und die Eingangsspannung vorsichtig erhöht. Physikalische Bedeutung: Streureaktanz (je mehr der Übertrager streut, desto höher ist seine Kurzschlussreaktanz und somit seine Unempfindlichkeit gegen Kurzschlüsse). Die Kurzschlussspannung Uk ist dann erreicht,
wenn sich in der gezeigten Anordnung der Bemessungsstrom Ir einstellt. Berechnung:
u k=
UK
X I
∣I = k r
Ur
Ur
(1.3.1)
r
Frage 1.3.2: Zeigerdiagramm. Skizzieren sie ein Zeigerdiagramm eines belasteten Transformators.
Wie ändern sich Ersatzschaltbild und Zeigerdiagramm bei zusätzlichen ohmschen Verlusten?
Lösung: siehe z.B. Planung und Analyse von Netzen, Teil 1.1, Aufbau der Netze [1]
Frage 1.3.3: Impedanz und Leistung. Ein Übertrager mit Übersetzungsverhältnis ü = U1/U2 wird als
ideal betrachtet. Im Sekundärkreis wird die Leistung P2 konsumiert. Welche Leistung P1 nimmt
der Übertrager auf der Primärseite auf? Wie berechnet sich die Leistung auf der Primärseite
und Sekundärseite aus den Effektivwerten von Strom und Spannung? Wenn der Übertrager
sekundärseitig mit der Last Z2 = R2 = U2/I2 belastet ist, welche Impedanz ergibt sich auf der Primärseite? Wie wird die Netzimpedanz von der Primärseite auf die Sekundärseite transformiert?
Lösung: siehe z.B. Planung und Analyse von Netzen, Teil 1.1, Aufbau der Netze [1]
Leistung: Bei einem idealen Übertrager ist die abgegebene Leistung gleiche der aufgenommenen
Leistung. Somit gilt P2 = U2 I2 = P1 = U1 I1. Begründung: Erhaltung der Energie.
Impedanz: Wegen U1 = ü U2 folgt wegen der Invarianz der Leistung für die Ströme I2 = ü I1 und folglich
eine Transformation der Impedanzen (Verhältnis aus Spannung zu Strom) mit dem Faktor ü2.
Frage 1.3.4: Simulation. Erstellen Sie eine dreiphasige Simulation eines Transformators. Geben Sie
die Bemessungsgrößen vor, sowie die geforderte Leistung.
Lösungsbeispiel: siehe folgende Abbildung.
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Bemerkung: Die im Übertrager zu findenden parasitären Kapazitäten sind erforderlich, um das elektrische Potential des andernfalls idealen Übertragers speziell auf der Sekundärseite zu definieren. In der
Realität sind solche Kapazitäten zwischen allen elektrischen Komponenten stets vorhanden.
Frage 1.3.5: Schaltgruppen. Welche Rolle spielt die Verschaltung der Wicklungen auf der Primärseite
und Sekundärseite? Welche Rolle spielt eine Dreieckschaltung um Unterschied zur Sternschaltung? Welche Schaltgruppen gibt es? Wozu dienen die gängigen Schaltgruppen?
Frage 1.3.6: Sternpunktbehandlung. In der Realität besitzen die Leitungen auf der Primärseite bzw.
Sekundärseite des Übertragers Kapazitäten zueinander und zur Erde. Willkürlich sei die Sekundärseite betrachtet. Skizzieren Sie folgende Fälle: (1) geerdeter Sternpunkt, (2) isolierter Sternpunkt. Welches Verhalten ergibt sich jeweils im Fehlerfall, z.B. für einen einfachen Erdschluss? Untersuchen Sie
das Verhalten in der Simulation. Welche Konsequenzen ergeben sich für die Leistung?
Lösung: (1) geerdeter Sternpunkt:
Da das Netz annähernd ideal ist, geht durch den Erdschluss eine Phase verloren. In dieser Phase
fliesst ein Kurzschlussstrom über die Erde zum Sternpunkt.
(2) isolierter Sternpunkt:
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Wegen der Isolation des Sternpunkts ist kein nennenswerter Kurzschlussstrom möglich. Allerdings ergibt sich eine Verschiebung des Sternpunkts auf das Potential der kurzgeschlossenen Phase (neuer
Bezugspunkt). Hierdurch ändert sich der Bezugspunkt der beiden anderen Phasen: es ergibt sich eine
Spannungsüberhöhung (√3-fach) und eine Phasenverschiebung (siehe Zeigerdiagramm).
Leistung: Bei isolierten Sternpunkt wird über die verbliebenen beiden Phasen annähernd die gleiche
Leistung übertragen.
1.4.
Niederspannungsnetz
Auch in Niederspannungsnetzen sind geerdete bzw. isolierte Sternpunkte gebräuchlich. Die Erdung verfolgt hier zusätzlich den Zweck des Personenschutzes. Um einphasige Verbraucher zu unterstützen, wird außerdem in der Regel ein Nulleiter im Niederspannungssystem übertragen. Man unterscheidet folgende Typen von Netzen bzw. Systemen:
•
TN-C (Terre Neutre Combiné): geerdeter Sternpunkt mit kombiniertem Erdleiter (Schutzleiter)
und Neutralleiter (PEN, engl. Protective Earth Neutral))
•
TN-S (Terre Neutre Séparé): geerdeter Sternpunkt mit getrenntem Erdleiter (PE) und Neutralleiter (N). Der Erdleiter (PE) führt keine Betriebsströme und dient nur zum Schutz.
•
TT (Terre Terre): geerdeter Sternpunkt mit Neutralleiter (N), Erdung lokal an Erdkontakt und
Neutralleiter
•
IT (Isolé Terre): isolierter Sternpunkt, erdfreier Betrieb (Trenntransformator), kein Nulleiter;
Schutz durch lokale Erdung (jedoch kaum Fehlerströme)
Frage 1.4.1: Erläutern Sie die oben beschriebenen Netze in Form einer Skizze. Skizzieren sie den
Schutz bei Geräten mit leitfähigen Gehäuse.
Lösung: siehe Literatur, z.B. [3] Schwab, Abschnitt 12
Frage 1.4.2: Einphasige Verbraucher am TN Netz. Das Niederspannungsnetz sei 4-phasig als TN-CNetz ausgeführt. In der Verbraucheranlage (Hausanschlusskasten, Zählerschrank) wird ein zusätzlicher Schutzleiter abgezweigt und verteilt (5-phasig); es entsteht ein lokales TN-S Netz.
Skizzieren Sie die Anordnung und diskutieren Sie Betrieb mit einphasigen Verbrauchern.
Lösung: siehe Literatur, z.B. [3] Schwab, Abschnitt 12
Frage 1.4.3: Untersuchen Sie einphasige Verbraucher an einem TN-S Netz in der Simulation.
Lösungsbeispiel:
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Das Niederspannungssystem wurde als ideale Spannungsquellen dargestellt. Der Sternpunkt ist als
Neutralleiter mitgeführt. Die Lasten sind individuell gegen den Neutralleiter geschaltet. Bei unsymmetrischer Last (hier: 1 RL in Phase 1 gegenüber 10 RL in Phase 2 und 3) bleiben die Spannungen symmetrisch (ideale Quellen).
Die Ströme folgen dem Kehrwert der Lastimpedanzen. Der Strom in der stark belasteten Phase fließt
über den Neutralleiter zurück.
Frage 1.4.4: Ergänzen Sie ein Mittelspannungssystem (3-phasig, ohne Nullleiter) und einen Ortsnetztransformator. Welche Änderungen ergeben sich hierdurch?
Lösungsbeispiel:
Die Änderungen sind abhängig von Sternpunktbehandlung: Bei galvanische Trennung der Sternpunkte am Ortsnetztransformator können Neutralleiterströme nicht zur übergeordneten Quelle weiter gegeben werden.
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Bei geerdetem Sternpunkt als Ursprung des Neutralleiters (4. Phase N) können Neutralleiterströme im
unsymmetrischen Betrieb zum Sternpunkt es Trafos fließen. Allerdings ist das übergeordnete Mittelspannungssystem 3-phasig, d.h. ohne Neutralleiter. Da im ausgewählten Beispiel keine sonstigen Lasten in Betrieb sind, folgt das Niederspannungssystem dem Mittelspannungssystem, wie folgende Abbildung zeigt.
Das System wird unsymmetrisch: Der Bezugspunkt der Spannung im Sternpunkt verschiebt sich in
Richtung der stark belasteten Phase (siehe Zeigerdiagramm). Die Ströme folgen wiederum den Spannungen im Verhältnis zu den Lastimpedanzen.
Bemerkung: Bei Betrieb mit mehreren Niederspannungssystemen und vielen, zufällig verteilten Lasten
an den Ortsnetztransformatoren kann ein Ausgleich der Neutralleiterströme stattfinden. Das verbleibende System kann jedoch Unsymmetrien enthalten.
Hinweis: Im Fall, dass beide Sternpunkte des Transformators geerdet sind, existiert im Modell eine
ideale Verbindung zum Sternpunkt der Quellen. Neutralleiterströme werden im Mittelspannungsnetz
über die Erde als Neutralleiter (idealisiert als GND) weiter gegeben. Dass diese erdgebundene Neutralleiterverbindung bis zu den Quellen dringt, erscheint in der Praxis jedoch wenig realistisch. Einerseits wird die Erde ist das Erdreich nicht als zuverlässiger Leiter vorgesehen, andererseits sind Sternpunkte der Generatoren (Ständerwicklungen) der Gefahren durch unsymmetrische Ströme wegen keinesfalls mit einem Neutralleiter verbunden bzw. niederohmig geerdet.
Frage 1.4.5: Fehlerfälle. Welches Ziel verfolgt das Konzept, leitende Gehäuse mit Hilfe des Schutzleiters (PE) zu erden? Was geschieht im Fehlerfall? Worin unterscheidet sich der Schutzleiter und
Neutralleiter hierbei?
Frage 1.4.6: Betrieb dreier einphasiger Solaranlagen an einem TN-S Netz. Ein Hausbesitzer entschließt, seine einphasige Solaranlage von 3 kW um zwei weitere Anlagen auf insgesamt 9 kW
zu erweitern. Die Anlagen werden getrennt an unterschiedliche Phasen betrieben. Wodurch
wird gewährleistet, dass die Anlagen in einem Drehstromsystem arbeiten? Worauf ist zu achten,
wenn im Inselbetrieb (Trennung vom Stromnetz) die Solaranlagen als autonome Quellen arbeiten (d.h. die Netzfrequenz eigenständig erzeugen)?
1.5.
Mittelspannungsnetz
Mittelspannungsnetze sind in Deutschland üblicherweise mit 10 kV im städtischen Gebiet und
wegen der größeren Entfernungen mit 20 kV im ländlichen Gebiet ausgeführt.
Frage 1.5.1: Geerdeter Sternpunkt mit Drosselspule. Der Sternpunkt auf der Mittelspannungsseite sei
geerdet, soll soll sich aber wie ein isolierter Sternpunkt verhalten, um große Fehlerströme zu
vermeiden. Hierzu wird der Sternpunkt mit Hilfe einer Drosselspule geerdet. Die Drosselspule
ist so bemessen, dass sie zusammen mit der mit der Erdkapazität in der Nähe der Resonanz
betrieben wird. Erläutern Sie das Funktionsprinzip mit Hilfe einer Ersatzschaltung. Welchen
Vorteil hat der so geerdete Sternpunkt gegenüber einem isolierten Sternpunkt?
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Teil 2.1 – Schalt- und Ausgleichsvorgänge
Lösung: Eine unsymmetrische Last bzw. einen Kurzschluss (Erdschluss) einer Phase kann man mit
Hilfe des Überlagerungsprinzips so darstellen (Skizze), dass die Spannungsdifferenz der Phase an
der Last bzw. Fehlerstelle mit Hilfe einer Spannungsquelle hergestellt wird (Fehlerspannung). Die umgekehrte Phasenspannung ergibt so zusammen mit der Phasenspannung den Kurzschluss (Uges = 0).
In der Ersatzschaltung liegt die Fehlerspannung somit parallel zu den Erdkapazitäten der Leitungen
und zur Drosselspule am Sternpunkt (siehe Literatur, z.B. [3] A. Schwab, Kapitel 12). In der Nähe der
Resonanz wird die Impedanz des so gebildeten Parallel-Schwingkreises sehr groß. Hierdurch wird der
Fehlerstrom gegrenzt (bzw. ein Erdschluss gelöscht).
Frage 1.5.2: Simulation des Sternpunkts mit Drosselspule. Testen Sie die Anordnung mit unsymmetrischer Last bzw. mit einem Erdschluss.
Lösungsbeispiel:
Die Schaltung enthält die Erdkapazitäten, sowie die Drosselspule am Sternpunkt. Galvanisch ist der
Sternpunkt somit geerdet. Der Fehlerfall wird durch Kurzschliessen einer Phase erzeugt.
Man erkennt, dass das System sich wie ein System mit isoliertem Sternpunkt verhält: Wegen der im
eingeschwungenen Zustand hohen Impedanz des Sternpunktes kann kein Fehlerstrom zum Sternpunkt fliessen, es ergibt sich eine Spannungsüberhöhung für die Dauer des Fehlers. Würde der Erdschluss verlöschen (in der Simulation nicht der Fall), wären die Spannungen der drei Phasen wieder
hergestellt.
Frage 1.5.3: Zweipolige Fehler. Wie verhält sich das System bei einem zweipoligen Fehler? Schätzen
Sie die Verhältnisse zunächst mit Hilfe der Ersatzschaltung ein. Simulieren Sie dann den Fall
und bewerten Sie die Ergebnisse. Vergleichen Sie mit dem einpoligen Fall.
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Teil 2.1 – Schalt- und Ausgleichsvorgänge
Lösungsbeispiel: Szenario wie in Frage 1.5.2 (Kurzschluss auf der Mittelspannungsebene)
(1) Einpolige Fehler: Strombegrenzung durch Isolation des Sternpunkts (Spule).
(2) Zweipolige Fehler: Strombegrenzung nur durch die Netzimpedanz und Leitungsimpedanz bis zur
Fehlerstelle, d.h. erhebliche Ströme.
Frage 1.5.4: Dreipolige Fehler. Wie verhält sich das System bei einem dreipoligen Fehler? Schätzen
Sie die Verhältnisse zunächst mit Hilfe der Ersatzschaltung ein. Simulieren Sie dann den Fall
und bewerten Sie die Ergebnisse. Vergleichen Sie mit den anderen Fehlerfällen.
1.6.
Nichtlineare Effekte
Bei einer Spule mit Eisenkern (ferromagnetisches Material) folgt der magnetische Fluß dem
Magnetisierungsstrom. Bei großen Strömen (bzw. magnetischen Feldstärken) geht das Material in
Sättigung, d.h. der magnetische Fluß ändert sich nur noch geringfügig mit wachsender Feldstärke.
Folgende Abbildung zeigt den Zusammenhang.
In der elektrischen Ersatzschaltung läßt sich der Effekt der Sättigung mit Hilfe einer
stromabhängigen Induktivität nachbilden. Im einfachsten Fall knickt die Magnetisierungskennlinie im
Sättigungspunkt ab. Es ergeben sich somit zwei unterschiedliche Werte für die Induktivität, abhängig
vom Strom.
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Teil 2.1 – Schalt- und Ausgleichsvorgänge
Frage 1.6.1: Bilden Sie den oben beschriebenen Effekt in einer Ersatzschaltung nach. Erläutern Sie
den EinVuß der Sättigung auf Strom und Spannung im Betrieb der Spule.
Lösung: Gemäß der Ersatzschaltung gilt u(t) = L di(t)/dt. Im eingeschwungenen Zustand im Betrieb mit
einer Wechselspannung gilt für eine konstante Induktivität U = jωL I. Im linearen Fall (μ = const L =
const) wäre der Strom zur Spannung proportional mit einer Phasenverschiebung von 90 Grad. Gemäß
der oben gezeigten Magnetisierungskennlinie muss der Strom im Sättigungsbereich stark ansteigen,
um der Spannung zu folgen. Der Strom verläuft stark nichtlinear.
Frage 1.6.2: Simulieren Sie das Verhalten der Spule im Betrieb mit einer Spannungsquelle und analysieren Sie das Verhalten der Spule im Betrieb mit einer Wechselspannung.
Lösungsbeispiel: Die Induktivität L = L(i) ist stromabhängig. Gemäß der Sättigungskennlinie erhält
man durch Reihenentwicklung näherungsweise: (1) unterhalb der Sättigung L(i) = L1 für i < Is, (2) oberhalb der Sättigung L(i) ~ L1 (1 - Δi/Is) für i ≥ Is (wobei Δi = i – Is).
Näherungsweise lässt sich das Verhalten durch Verringern der Induktivität oberhalb der Sättigung
nachbilden, siehe folgende Simulation.
Hierbei wurde die Induktivität bei Überschreiten des Sättigungsstromes halbiert. Gemäß der Kennlinie
müsste die Induktivität mit wachsendem Strom kontinuierlich sinken. Man erkennt jedoch den grundsätzlichen Effekt: der Strom weicht deutlich von einem sinusförmigen Verlauf ab.
Frage 1.6.3: Abweichung vom idealen Strom. Ermitteln Sie die Abweichung durch die Sättigung verformten Stroms von der Idealform. Welche zusätzlichen Anteile enthält der Strom?
Lösungsbeispiel:
Frage 1.6.4: Kompensation. Mit Hilfe einer Kompensationsanlage lässt sich die ideale Signalform wiederherstellen. Beschreiben Sie das Funktionsprinzip einer solchen Anlage.
Lösung: Indem man dem Strom am Anschlusspunkt die zusätzlichen Signalanteile (siehe Abbildung zu
Frage 1.6.3 rechts) wieder entnimmt. Das deformierte (verzerrte) Stromsignal lässt sich wie folgt interpretieren: ideformiert(t) = iideal(t) + Δi(t). Zuführen des Signalanteils -Δi(t) mit Hilfe einer gesteuerten Stromquelle sollte die gewünschte Signalform wiederherstellen (ideformiert(t) - Δi(t) = iideal(t)).
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1.7.
Oberschwingungen
Enthält ein Signal Oberschwingungen, so ergibt sich bei der Messung bzw. Berechnung der
gesamten Leistung (Wirkleistung):
K
P=
1
u^ k ^i k cos(ϕu , k −ϕi,k )
2∑
k=1
(1.7.1)
Hierbei bezeichnen ûk und îk die Scheitelwerte der k-ten Oberschwingung von Strom und
Spannung, sowie die Winkel φk = φu,k – φi,k die Phasenwinkel zwischen den Oberschwingungen von
Strom und Spannung. Für die Leistung der Grundschwingung ergibt sich demnach:
1
P1= u^ 1 ^i 1 cos(ϕu ,1−ϕi,1 )
2
(1.7.2)
Der Leistungsanteil der Oberschwingungen berechnet sich aus der Differenz dieser beiden
Leistungen. Einige Erläuterungen zu Berechnung bzw. Messung von Effektivwerten und Leistung Onden sich in Anhang C.
Frage 1.7.1: Effektivwert der Spannung. Berechnen Sie für ein geeignetes Beispiel (z.B. die Spule mit
Eisenkern in Sättigung aus Abschnitt 1.6) den Effektivwert der Spannung.
Lösung: Für das Beispiel aus Abschnitt 1.6 ergibt sich: Ueff = 230,8 V. Da die Spannung der Quellenspannung entspricht, enthält diese keine Oberwellen und entspricht der Vorgabe.
Messmethode für den Effektivwert: siehe Anhang C und Beispiel unter Frage 1.7.3.
Frage 1.7.2: Effektivwerte des Stroms. Berechnen Sie für ein geeignetes Beispiel (z.B. die Spule mit
Eisenkern in Sättigung aus Abschnitt 1.6) folgende Werte: (a) den Effektivwert des Stromes
insgesamt, (b) den Effektivwert der Grundschwingung des Stroms, (c) den Effektivwert des
Anteils der Oberschwingungen des Stroms.
Lösung: Für die Effektivwerte der Ströme erhält man für das genannte Beispiel durch Messung:
•
Iges, eff = 3,04 A
•
I1, eff = 2,39 A (Wert ggf. geringfügig zu groß, passend wären 2,32 A)
•
Iober, eff = 0,72 A
Die Summe der beiden letzten Werte liegt geringfügig oberhalb des gemessenen Effektivwertes des
Gesamtstroms. Ursache ist möglicherweise ein geringfügiger Unterschied im Strom der Grundschwingung, da dieser Strom für die aus einer Referenzschaltung ohne Sättigung ermittelt wurde.
Frage 1.7.3: Leistung. Berechnen Sie für das oben gewählte Beispiel (a) die gesamte Wirkleistung
(engl. total active power), (b) den Anteil der Wirkleistung der Grundschwingung (engl. Fundamental active power), (c) den Wirkleistungsanteil der Oberschwingungen.
Lösung: Die Wirkleistung lässt sich nach der im Anhang C beschriebenen Methode aus dem Produkt
von Strom und Spannung direkt messen. Für das genannte Beispiel ergeben sich folgende Werte:
•
Pges = 192,2 W
•
P1 = 118,8 W
(= 62%)
•
Pober = 73,3 W
(= 38%)
Die Wirkleistung teilt sich auf in beide Leistungsanteile (Grundschwingung und Oberschwingungen)
Die Oberschwingungen enthalten somit ca 38% der Wirkleistung.
Folgende Abbildung zeigt die Messungen in der Simulation.
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Teil 2.1 – Schalt- und Ausgleichsvorgänge
Frage 1.7.4: Scheinleistung. Ermitteln Sie aus den gemessenen Werten die Scheinleistung der drei
Signalanteile (gesamt, Grundschwingung und Oberschwingungen), sowie den jeweiligen
Leistungsfaktor (cos(φ)).
Lösungsansatz:
S = Ueff Ieff = P cos(φ).
Man erhält Sges= 701,6 VA, S1 = 535,5 VA und Sober=166,2 VA, sowie cos(φ)ges= 0,27, cos(φ)1= 0,22
und cos(φ)ober= 0,44. Die Oberschwingungen haben somit relativ den größten Wirkleistungsanteil.
Frage 1.7.5: Blindleistung. Ermitteln Sie aus den gemessenen Werten die Blindleistung der drei
Signalanteile (gesamt, Grundschwingung und Oberschwingungen). Erklären Sie die Anteile von
Wirkleistung und Blindleistung aus dem gewählten Beispiel. Wie verhalten sich die Anteile von
Wirkleitung und Blindleistung für die Grundschwingung und für die Oberschwingungen?
Lösungsansatz:
Q = √ (S2 -P2).
Frage 1.7.6: Spektralanalyse. Untersuchen Sie den gesamten Strom bzw. den Oberschwingungsanteil
mit Hilfe einer Spektralanalyse (Fourier-Transformation bzw. Fast Fourier Transformation).
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1.8.
Transiente Vorgänge
Unter transienten Vorgängen wird das Verhalten einer Anordnung beim Einschalten oder Ausschalten verstanden, sowie bei Störungen. Als Beispiel für die Untersuchung solcher Vorgänge wird
eine Spule (ohmsch.induktive Last, siehe Abschnitt 1.6) gewählt, sowie der Transformator (siehe Abschnitt 1.3).
Frage 1.8.1: Simulieren Sie das Verhalten der Spule beim Einschalten. Welche Role spielt der Zeitpunkt beim Einschalten in Bezug auf die Spannung?
Lösungsbeispiel: Der Einschaltvorgang stellt einen überlagerten Schaltimpuls dar. Folgende
Simulation zeigt (a) den Schaltvorgang bei einer Gleichspannungsquelle (überlagerter Schaltimpuls),
(b) den Schaltvorgang bei einer Wechselspannungsquelle.
Wird im Spannungsmaximum geschaltet, startet der Schaltvorgang bei induktiver Last im Stromminimum. Der Einschwingvorgang ist umso ausgeprägter, je weiter der Schaltzeitpunkt vom Stromminimum abweicht. Ein Maximum ergibt sich im Spannungsminimum.
Frage 1.8.2: Ausschalten. Untersuchen Sie das Verhalten der Spule beim Ausschalten. Welcher Zeitpunkt zum Ausschalten ist günstig, welcher ist ungünstig? Begründen Sie Ihre Aussage.
Lösungsbeispiel:
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Frage 1.8.3: Schaltvorgänge bei Gleichspannung. Untersuchen Sie Einschaltvorgänge und Ausschaltvogänge an einer ohmsch-induktiven Last mit Hilfe einer Gleichspannungsquelle. Wie verlaufen Strom und Spannung über der Last beim Einschalten? Welcher Verlauf ergibt sich beim
Ausschalten? Worauf muss speziell beim Ausschalten geachtet werden? Hinweis: Verwenden
Sie die Stichworte Energie und Lichtbogen. Begründen Sie Ihre Aussagen aus der Differenzialgleichung der Schaltung.
Frage 1.8.4: Transformator. Folgende Abbildung zeigt Aufbau und Funktionsweise mit Hilfe einer
Ersatzschaltung. Hierbei bezeichnet M die Koppelinduktivität zwischen Primärseite und Sekundärseite. Die Induktivitäten im Längszweig stellen die Streuinduktivitäten dar.
Erläutern Sie das Funktionsprinzip und die Ersatzschaltung. Welche Funktionen haben die
Reaktanzen X1, X‘2 und X12 im unteren Ersatzschaltbild? Welche Funktion hat der ideale
Übertrager im unteren Ersatzschaltbild? Wie verhält sich der Transformator im Leerlauf? Wie
verhält sich der Transformator unter Last? Erläutern Sie das Verhalten mit Hilfe der Ersatzschaltbilder. Wann gilt das vereinfachte Ersatzschaltbild aus Abschnitt 1.3? Wann kommt das
hier gezeigte Ersatzschaltbild zum Einsatz?
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Teil 2.1 – Schalt- und Ausgleichsvorgänge
Lösung: siehe Literatur, z.B. A.Schwab [3] oder K. Heuck [6].
Frage 1.8.5: Sättigung. Wie verhält sich der Transformator bei Sättigung des Eisenkerns? In welchem
Betriebszustand kann dies geschehen? Untersuchen Sie das Verhalten des Transformators in
der Simulation.
Lösung: siehe Literatur, z.B. A.Schwab [3] oder K. Heuck [6].
Simulation: Die Sättigung hat nur Einfluss im Leerlauf. Unter Last spielen die Ströme im Querzweig kaum eine Rolle.
Frage 1.8.6: Ein- und Ausschaltvorgänge. Wie verlaufen Einschaltvorgänge bzw. Ausschaltvorgänge?
Wann ist die Eisensättigung im Zusammenhang mit Einschaltvorgängen bzw. Ausschaltvorgängen von Interesse? Begründen sie Ihre Aussagen mit Hilfe der Ersatzschaltung. Untersuchen
Sie das Verhalten des Transformators in der Simulation.
Lösung: siehe Literatur, z.B. A.Schwab [3] oder K. Heuck [6]. Simulation:
Im Leerlauf ergeben sich die gleichen Verhältnisse bzgl. Sättigung und transienter Vorgänge
wie bei der Spule mit Eisenkern. Die Ladeströme des Kerns bei ungünstigem Einschaltzeitpunkt
können sich nur über der Netzimpedanz abbauen, wenn der Lastkreis hochohmig ist.
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Englisch - Deutsch
Active power
Wirkleistung
Apparent power
Scheinleistung
Capacitor
Kapazität
Circuit breaker
Leistungsschalter
Line voltage
Leiter-zu-Leiter Spannung (Effektivwert)
Inductor
Induktivität
Nominal power
Nennleistung
Nominal voltageNennspannung
Peak value
Spitzenwert
Phase voltage
Leiter-zu-Nullleiter Spannung (Effektivwert)
Reactive power
Blindleistung
Resistor
Widerstand
Transformer
Transformator
Transmission
Übertragung
Voltage source
Spannungsquelle
Winding
Wicklung
...
...
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Abkürzungen
AC
Alternating Current, Wechselstrom
DC
Direct Current, Gleichstrom
T = 1/f
Schwingungsdauer, Periodendauer [s]
f = 1/T
Frequenz, Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit [1/s]
ω = 2πf = 2π/T Kreisfrequenz, Winkelgeschwindigkeit der Kreisbewegung [1/s]
E
Energie [Joule, J, Nm, Ws, kg m2/ s2]
potentielle Energie Ep = 1/2 k y2,
kinetische Energie, Translation Ek = 1/2 m v2,
kinetische Energie, Rotation Er = 1/2 J ω2,
Energie elektrisches Feld EC = 1/2 CU2,
Energie magnetisches Feld EL = 1/2 LI2
RMS
Root mean square (Effektivwert)
Z
komplexer Widerstand (Impedanz, impedance)
R
Wirkwiderstand (resistance)
X
Blindwiderstand (Reaktanz, reactance)
Y
komplexer Leitwert (Admittanz, admittance)
G
Wirkleitwert (conductance)
B
Blindleitwert (susceptance)
S
Scheinleistung (apparent power, in VA = Volt Ampere)
P
Wirkleistung (power, in Watt)
Q
Blindleistung (reactive power, in Var = Volt ampere reactive)
A
Ampere
deg
degrees (Phasenwinkel in Grad)
kV
Kilo Volt (1000V)
kVA
Kilo Volt Ampere (Scheinleistung S, zur Unterscheidung von kW = Wirkleistung))
kVar
Kilo Volt Ampere reactive (Blindleistung, Q)
MS
Mittelspannung
NS
Niederspannung
ONT
Ortsnetztransformator
p.u.
per unit (auf Nennwert und physikalische Einheit normierte Größe)
PV
Photovoltaik
W
Watt (Wirkleistung, P)
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Teil 2.1 – Schalt- und Ausgleichsvorgänge
Literatur
(1)
Stephan Rupp, Planung und Analyse elektrischer Energieversorgungsnetze, Teil 1.1: Aufbau
der Netze, Vorlesungsunterlage, siehe auch: http://www.srupp.de
(2)
Gerd Balzer und Claus Neumann, Schalt- und Ausgleichsvorgänge in elektrischen Netzen,
Springer Vieweg, 2016, ISBN-13: 978-3662445464
(3)
Adolf J. Schwab, Elektroenergiesysteme: Erzeugung, Übertragung und Verteilung elektrischer
Energie; Springer Vieweg, 4. AuVage, 2015, ISBN-13: 978-3662468555
(4)
Scilab/Xcos Open Source Simulationswerkzeug: http://www.scilab.org/download/5.5.2
(5)
Horst Kuchling, Taschenbuch der Physik, Carl Hanser Verlag GmbH & Co. KG; 21. AuVage,
2014; ISBN-13: 978-3446442184
(6)
Klaus Heuck, Klaus-Dieter Dettmann, Detlef Schulz: Elektrische Energieversorgung: Erzeugung, Übertragung und Verteilung elektrischer Energie für Studium und Praxis,
Vieweg+Teubner Verlag, 8. AuVage, 2010, ISBN 978-3834807366
(7)
Valentin Crastan, Elektrische Energieversorgung 1: Elektrische Energieversorgung 1: Netzelemente, Modellierung, stationäres Verhalten, Bemessung, Schalt- und Schutztechnik,
Springer Vieweg, 4. AuVage, 2015, ISBN-13: 978-3-662-45984-3
(8)
Valentin Crastan, Elektrische Energieversorgung 2: Energiewirtschaft und Klimaschutz, Elektrizitätswirtschaft und Liberalisierung, Kraftwerkstechnik und alternative Stromversorgung,
chemische Energiespeicherung, Springer Vieweg, 2. Ausgabe, 2017, ISBN-13: 978
-3662489642
(9)
Valentin Crastan, Elektrische Energieversorgung 3: Dynamik, Regelung und Stabilität, Versorgungsqualität, Netzplanung, Betriebsplanung und -führung, Leit- und Informationstechnik,
FACTS, HGÜ, Springer, 2. Ausgabe, 2012, ISBN-13: 978-3642200991
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Teil 2.1 – Schalt- und Ausgleichsvorgänge
Anhang A - Raumzeigertransformation
Phasorenschreibweise
Unter Phasoren bzw. komplexen Zeigern werden komplexe Zahlen verstanden, die bei Wechelstromkreisen mit sinusförmigen Signalen fester Frequenz die Phasenlage der Spannungen, Ströme
bzw. Impedanzen oder Admittanzen darstellen. Diese Interpretation vereinfacht die Berechnung von
Schaltungen, die mit konstanter Frequenz betrieben werden, im eingeschwungenen Zustand. An
dieser Stelle seien die Grundlagen dieser Methode noch einmal zusammengefasst.
Elektrische Schaltungen werden durch Differenzialgleichungen beschrieben. Beim Betrieb mit
sinusförmigen Signalen fester Frequenz (harmonische Schwingung, erzwungene Schwingung) ist die
Lösung der Differenzialgleichung ebenfalls ein sinusförmiges Signal. Für die Lösung der Differenzialgleichung kann man somit folgende Annahme treffen:
u(t)= u^ cos (ω t+ ϕu )
(A.1)
Hierbei bedeuten û die Amplitude des Signals u(t) und φu den Phasenwinkel des Signals mit
Kreisfrequenz ω. Für die Phasorenschreibweise wird das Signal mit Hilfe eines Imaginärteils zu einer
komplexen Funktion ergänzt.
u(t)= u^ cos(ω t+ ϕu )+ j u^ sin (ωt +ϕu ) (A.2)
Diese Konstruktion dient der Vereinfachung der Berechnung. Das ursprüngliche Signal u(t) im
Zeitbereich erhält man aus dem Realteil der komplexen Funktion, d.h. u(t) = Re{(u(t))}. Die komplexe
Schreibweise lässt sich nun mit Hilfe der Eulerschen Beziehung ejθ = cos(θ) + j sin(θ) wie folgt umwandeln.
u(t)= u^ e jω t e jϕ = u^ e jϕ e j ω t
u
(A.3)
u
Letzterer Ausdruck ejωt beschreibt als Zeitfaktor eine Kreisbewegung mit der Frequenz ω im Einheitskreis (wegen |ejωt| = 1). Ersterer Ausdruck beschreibt die Amplitude und Phasenlage des Signals,
somit den komplexen Zeiger (bzw. Phasor) U.
u(t)= u^ e jϕ e jω t =U e jω t
(A.4)
u
Der komplexe Zeiger U enthält keinerlei Zeitabhängigkeit mehr, sondern beschreibt Amplitude
und Phasenlage des Signals als komplexe Amplitude.
U= u^ e jϕ
u
(A.5)
Setzt man die Schreibweise
u(t)=U e jω t
(A.6)
in eine Differenzialgleichung ein, so lässt sich die Zeitabhängigkeit eliminieren, da diese einheitlich der Beziehung ejωt entspricht. Die Differenzialgleichung reduziert sich dann auf eine algebraische
Gleichung, die sich mit algebraischen Mitteln lösen lässt.
Koordinatensystem αβ der komplexen Erweiterung des Zeitsignals
Ein reelles Zeitsignal wird in Phasorenschreibweise wird das Signal mit Hilfe eines Imaginärteils
zu einer komplexen Signal ergänzt (siehe A.1 und A.2):
u(t)= u^ cos(ω t+ ϕu )
u(t)= u^ cos(ω t+ ϕ u )+ j u^ sin (ω t+ϕ u )
Realteil und Imaginärteil kann man somit in der Zeigerdarstellung in der komplexen Ebene wie
in folgender Abbildung gezeigt darstellen.
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Man erhält für den Realteil und den Imaginärteil:
u α (t)= u^ cos(ω t+ϕu )
uβ (t)= u^ sin (ωt +ϕu )
Das Koordinatensystem αβ entspricht somit der komplexen Erweiterung des Zeitsignals u(t).
Koordinatensystem dq des komplexen Zeigers
Ist man nur an der Phasenlage des komplexen Zeigers interessiert, ohne die Drehbewegung mit
Frequenz ω, nimmt man statt des Zeitsignals u(t) den komplexen Zeiger U als Basis, wie in folgender
Abbildung gezeigt (siehe A.5).
Man erhält für den Realteil und den Imaginärteil:
U d= u^ cos(ϕu )
U q (t)= u^ sin(ϕu )
Wie man sieht, ist dieses Koordinatensystem statisch: es enthält keine Drehbewegung.
Rekonstruktion des Zeitsignals aus dem Zeiger: Transformation dq nach αβ
Möchte man ein statisches Koordinatensystem dq mit dem Zeiger (siehe A.5)
U= u^ e jϕ
u
in Drehbewegung versetzten, so gelingt dies durch folgende Transformation:
u(t)= u^ e jϕ e jω t =U e jω t
u
Der stationäre Zeiger U wird mit dem rotierenden Einheitszeiger ejωt multipliziert. Im allgemeinen
Fall soll für der Phasenwinkels θ(t) = ωt bzw. allgemein θ(t) = ωt + φ 0 verwendet werden. In diesem
Fall ergibt sich die Schreibweise:
u(t)= u^ e jϕ e jω t =U e jθ
u
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Sortiert nach Realteil und Imaginärteil lautet die Transformation somit:
u α (t)=U d⋅cos θ−U q (t)⋅sin θ
uβ (t)=U d⋅sin θ+ Uq⋅cosθ
In Matrix-Schreibweise erhält man:
( uu (t)(t))=[ cosθ
sin θ
]( )
−sin θ ⋅ ud (t)
cosθ uq (t)
α
β
Folgende Abbildung illustriert die Transformation an einem Beispiel.
Ermittlung des komplexen Zeigers aus dem Zeitsignal: Transformation αβ nach dq
Liegt ein Zeitsignal u(t) vor und möchte man aus diesem den komplexen Zeiger U ermitteln, so
wird die Umkehrtransformation benötigt. Mit Hilfe der dq-Koordinaten wird die Lage des Zeigers relativ
zur Drehbewegung mit θ(t) = ωt + φ0 beschrieben. In Matrixform lautet die Transformation:
( )[
]( )
ud (t ) = cos θ sin θ ⋅ u α (t)
uq (t) −sin θ cosθ uβ (t)
Das Zeigerdiagramm aus der letzten Abbildung bleibt hier weiterhin gültig. Allerdings werden
jetzt die rotierenden Achsen αβ auf die ihrerseits mit θ(t) = ωt + φ0 ebenfalls in Rotation versetzten
Achsen dq projiziert. Bei Gleichlauf wird hierdurch die Drehbewegung eliminiert. Bei phasensynchronem Gleichlauf (φ0 = φu) verbleibt nur der Realteil Ud des Zeigers, andernfalls ergibt sich die Phasenlage aus dem Realteil Ud und dem Imaginärteil Uq.
Anstelle der Verwendung der inversen Matrix lässt sich auch diese Transformation anschaulich
herleiten. Möchte man aus einem sich drehenden Koordinatensystem αβ mit dem Zeiger
u(t)= u^ e jϕ e jω t =U e jω t
u
die Drehbewegung eliminieren, so gelingt dies durch folgende Transformation:
U= u^ e jϕ = u^ e jϕ e j ω t⋅e−j ω t
u
u
Im allgemeinen Fall soll für den Phasenwinkels θ(t) = ωt bzw. allgemein θ(t) = ωt + φ0 gelten. In
diesem Fall ergibt sich Schreibweise:
U= u^ e jϕ =u(t)⋅e−j θ
u
Sortiert nach Realteil und Imaginärteil ergibt sich die oben genannte Transformation.
Beispiel: Transformation αβ nach dq und zurück
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Folgende Abbildung zeigt die Bestimmung des Zeigers aus dem Zeitsignal, sowie die Rekonstruktion des Zeitsignals aus dem Zeiger.
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Anhang B – Wirkleistung und Blindleistung
Wechselstromsystem
Für Spannung und Strom gemäß
u(t)= u^ cos(ω t)
i(t)= ^i cos(ω t−ϕ)
berechnet sich die elektrische Leistung aus
p(t)=u(t)⋅i(t)= u^ cos(ω t)⋅^i cos(ωt−ϕ) .
Mit Hilfe der Beziehung
1
cos(α)⋅cos(β)= (cos(α−β)+cos(α+β))
2
folgt hieraus für den zeitlichen Verlauf der Leistung:
1
1
p(t)= u^ ^i cos(ϕ)+ u^ ^i cos(2ω t−ϕ) .
2
2
Die resultierende Leistung hat somit zwei Anteile:
◦
einen konstanten Anteil (= mittlere Leistung)
◦
einen Anteil, der mit doppelter Frequenz um den Wert 0 schwankt.
Abhängig vom Phasenwinkel φ zwischen Strom und Spannung beträgt die mittlere Leistung
1
P= u^ ^i⋅cos(ϕ)=U I⋅cos(ϕ) .
2
Dieser Anteil wird als Wirkleistung bezeichnet. Bei einem Wechselstromsystem beträgt er nur
die Hälfte des Produktes der Amplituden (= Scheitelwerte) von Strom und Spannung. Zur Vereinfachung der Leistungsberechnung werden daher auf √2 normierte Spannungen U und Ströme I verwendet, die sogenannten Effektivwerte.
Der zeitlich variable Anteil
1
p var (t)= u^ ^i cos(2ω t−ϕ)
2
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kennzeichnet eine Leistung, die zwischen zwei Energiespeichern mit doppelter Netzfrequenz
hin und her pendelt. Dieser Anteil wird als Blindleistung bezeichnet.
Wenn man sich an den Zeigern für Strom und Spannung orientiert, lässt sich die Blindleistung
nach folgender Gleichung beschreiben:
Q=U I⋅sin (ϕ)
Der Betrag der Blindleistung entspricht der Amplitude des Leistungsanteils von p(t), der um den
Nullpunkt schwingt.
Leistungsbilanz
Im Verbraucherzählpfeilsystem gilt folgende Vereinbarung:
◦
P > 0: Leistung wird aufgenommen
◦
P < 0: Leistung wird abgegeben.
Folgt man dieser Lesart für die Blindleistung, so gilt:
◦
Q > 0: Blindleistung wird aufgenommen
◦
Q < 0: Blindleistung wird abgegeben.
Folgende Abbildung illustriert die möglichen Betriebsarten für unterschiedliche Phasenwinkel:
Blindleistung mit positivem Vorzeichen wird auch als induktive Blindleistung bezeichnet (hier eilt
der Strom der Spannung im Bereich 0 < φ < π nach, Blindleistung wird aufgenommen). Blindleistung
mit negativem Vorzeichen wird auch als kapazitive Blindleistung bezeichnet (hier eilt der Strom der
Spannung im Bereich -π < φ < 0 vor, Blindleistung wird abgegeben).
S. Rupp, 2017
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Planung und Analyse elektrischer Energieversorgungsnetze
Teil 2.1 – Schalt- und Ausgleichsvorgänge
Drehstromsystem
Bei einem Drehstromsystem sei der Winkel zwischen Strom und Spannung jeweils in jeder
Phase angenommen, d.h.
u 1 (t)= u^ cos(ωt); i1 (t)= ^i cos(ωt−ϕ)
u 2 (t)= u^ cos(ωt−2π /3); i2 (t)= ^i cos(ωt−ϕ−2 π/3)
u 3 (t)= u^ cos(ωt−4 π /3); i3 (t)= ^i cos(ωt−ϕ−4 π/3)
Die Anteile p1(t), p2(t) und p3(t) der Leistung berechnen sich hieraus phasenweise wie beim einfachen Wechselstromsystem.
Auch hier ergeben die Mittelwerte abhängig von cos(φ) Anteile zwischen -0,5 ≤ pi(t) ≤ 0,5. Die
gesamte Leistung ergibt sich aus der Summe der einzelnen Leistungen:
pges (t )=p1 (t)+ p2 (t)+p 3 (t)
Hierbei mitteln sich sich bei einem symmetrischen Drehstromsystem die variablen Anteile der
einzelnen Phasen heraus.
Wirkleistung und Blindleistung im Drehstromsystem
Im Drehstromsystem lässt sich der Phasenwinkel von Strom und Spannung am einfachsten in
der Zeigerdarstellung ablesen, d.h. nach Transformation des Systems (a, b, c) nach (α, β) und weiter
nach (d, q). Letzteres beschreibt einen Zeiger nach Realteil und Imaginärteil, d.h. U = (Ud, Uq), wobei
Ud = Re{U} und Uq = Im{U}. Aus der Zeigerdarstellung berechnen sich Betrag und Phasenwinkel
gemäß:
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Teil 2.1 – Schalt- und Ausgleichsvorgänge
ℜ(U)=Ud ;
tan (ϕu )=
ℑ(U)=U q
Uq
Ud
Bei der Berechnung des Winkels ist die genaue Phasenlage wegen der Mehrdeutigkeit der
Funktionen Tangens und Arcustangens mit Hilfe des Vorzeichens den Realteils und Imaginärteils zu
rekonstruieren. Aus den Vorzeichen von Real- und Imaginärteil geht hervor, in welchem Quadranten in
der komplexen Ebene der Zeiger sich beOndet.
Umgekehrt lässt sich mit Hilfe der Transformation aus dem System (d, q) zurück ins System (α,
β) bzw. weiter in das System (a, b, c) ein Drehstromsystem mit vorgegebener Phasenlage erzeugen.
Benötigt wird hierzu nur der Rotorwinkel θ(t) = ω0 t, sowie die Vorgabe der Zeiger U und I im (d, q)
System. Folgende Abbildung zeigt ein Beispiel.
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Teil 2.1 – Schalt- und Ausgleichsvorgänge
Anhang C – Messmethoden
Effektivwerte
zeitkontinuierlich:
√
1
∫ s2 (t)dt
T 0
√
1
∑ s2 (i)
N i=0
Srms =
zeitdiskret:
Srms =
T
N−1
für ein Signal s(i) mit Stützstellen i = 0, 1, …, N-1
Harmonische Signale
Signal:
s(t)=s^1 sin (ω t+ϕ1 )
Signal mit Oberwellen:
s(t)=∑ s^k sin (k ω t+ϕk )
K
k=1
√
Effektivwert:
s2 (t)=
K
T
1
Srms = ∫ s2 (t)dt
T 0
K
K
1
^s2k − 1 ∑ s^2k cos(2 k ω t+2 ϕk ) + 2 ∑ ^s k ^s m sin (k ω t+ϕk )sin (m ω t+ ϕm )
2∑
2 k=1
k=1
k , m=1, k≠m
Nach Tiefpass-Filterung:
s2 (t)tiefpass=
K
1
^s 2k
2∑
k=1
Effektivwert:
√
Srms=
K
1
∑ ^s2 =√ s2 (t)tiefpass
2 k=1 k
Messung des Effektivwertes
direkte Methode: siehe DeOnition der Effektivwerte oben.
Speziell im zeitdiskreten Fall: numerisch aus abgetasteten Werten.
Harmonische Signale (mit Oberwellen):
SignalVuss siehe folgende Abbildung.
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Teil 2.1 – Schalt- und Ausgleichsvorgänge
Leistungsmessung
Harmonische Signale (mit Oberwellen):
K
Spannung:
u(t)=∑ u^ k sin (k ωt +ϕu,k )
k=1
K
Strom:
i(t)=∑ ^i k sin (k ω t+ϕi ,k )
k=1
Leistung:
p(t)=u(t)⋅i(t)= P + p HF (t )
Gleichanteil + pendelnde Leistung
K
P=
1
u^ k ^i k cos(ϕu , k −ϕi,k )
2∑
k=1
K
pHF (t)=−
1
u^ k ^i k cos(2 k ω t+ϕu ,k +ϕi ,k ) +
2∑
k=1
K
1
∑ u^ ^i (cos((k−m)ω t+ϕu, k−ϕi ,k )+cos((k +m)ω t+ϕu , k +ϕi , k ))
2 k , m=1,k≠m k k
SignalVuss siehe folgende Abbildung.
Wirkleistung P:
Scheinleistung S:
Leistung gemäß Berechnung bzw. Messung oben
S=U⋅I
Produkt der Effektivwerte von Spannung und Strom
Blindleistung Q:
Q=√ S2 −P2
Berechnung aus Scheinleistung und Wirkleistung
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Teil 2.1 – Schalt- und Ausgleichsvorgänge
Leistungsfaktor cos(φ):
cos(ϕ)=
P
S
Oberwellen
Mit Hilfe eines TiefpassOlters kann zwischen Grundschwingung und Oberschwingungen unterschieden werden. Gemessen werden auf diese Art direkt auf dem Messchip:
•
Gesamte Leistung (Total Active Power): UngeOltertes Signal, siehe Leistungsmessung im
vorausgegangenen Abschnitt.
•
Leistung der Grundschwingung (Fundamental Active Power): Leistungsmessung des geOlterten Signals.
1
P1= u^ 1 ^i 1 cos(ϕu ,1−ϕi,1 )
2
•
Leistung der Oberschwingungen: Differenz beider Messungen.
Nach der gleichen Methode ist mit einem π/2 = 90 o phasenverschobenen Strom auch eine Messung der Blindleistung insgesamt (Total Reactive Power), sowie der Blindleistung der Grundschwingung (Fundamental Reactive Power) möglich.
Alternative: Messung der Zeitverläufe der Signale (Strom und Spannung der einzelnen Phasen
z.B. mit Abtastrate 4 kSamples/s entsprechend einer Grenzfrequenz von 2 kHz) und Signalverarbeitung (FFT) auf einem Rechner.
Frequenz
Die Frequenzmessung erfolgt durch Detektion der Nullstellen und Ausmessen des Zeitintervalls
zwischen diesen. Ein Messchip übernimmt die Nullstellendetektion und erzeugt Interrupts für einen Mikrocontroller, der die Zeitmessung und Berechnung der Frequenz übernimmt.
Alternativ kann ein PLL verwendet werden (siehe Manuskript, Abschnitt 1). Hierzu wäre eine
Messung der Zeitverläufe mit ausreichender zeitlicher AuVösung erforderlich. Der PLL kann dann z.B.
mit Hilfe der Signalverarbeitung realisiert werden.
Erkennung der Phasensequenz
Die Messung der Reihenfolge der angeschlossenen Phasen erfolgt ebenfalls mit Hilfe der Ermittlung der Nullstellen. Aufeinander folgende Phasen besitzen aufeinander folgende Nullstellen.
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