e y a B v x v

Elektromagnetische Felder
Klausur 17. Februar 2004
1. Gegeben sei folgende gleichseitige Leiteranordnung, die von einem homogenen Magnetfeld B~0 durchsetzt wird. B~0 zeigt aus der Zeichenebene heraus. Die Anordnung wird
nun mit konstanter Geschwindigkeit ~v in x−Richtung aus dem Magnetfeld gezogen.
.
.
.
a
R
.
.
.
.
.
R
.
.
6
v
.
.
.
.
.
.
x
A
R
.
y
.
.
.
6v 26ex
.
6
B
0
( Startzeitpunkt t0 )
a) Berechnen Sie den Spannungsabfall UR an einem der Widerstände und den Strom I,
der durch die Schleife fließt, während die Schleife aus dem Magnetfeld gezogen wird.
b) Fertigen Sie eine eigene Skizze der Anordnung an und zeichnen Sie die Stromrichtung ein. Das bei der Berechnung verwendete Koordinatensystem muss ebenfalls
eingezeichnet sein.
c) Berechnen Sie mit Hilfe der Energiebilanz die Kraft F~ , mit der die Schleife aus dem
Magnetfeld gezogen werden muss.
d) Wie ändert sich die Kraft, wenn einer der Widerstände durch einen Kurzschluss
ersetzt wird? Bitte Formel angeben!
e) Der Stromkreis wird vor dem Herausziehen aus dem Magnetfeld an Punkt A aufgetrennt. Wie groß ist die Kraft F~ nun?
(10 Punkte)
2. Gegeben seien 2 Halbräume mit ebener Grenzschicht und den Impedanzen Z (endlich)
sowie Z 0 = ∞. Eine ebene Welle falle senkrecht auf die Grenzschicht vom Halbraum
mit Z ein.
a) Wie groß sind Reflexions- und Transmissionskoeffizient an der Grenzschicht? (Bitte
auch die Formeln angeben und nicht nur das Endergebnis.)
b) Weisen Sie nach, dass die Bilanz der Leistungsflussdichten an der Grenzschicht
stimmt.
~
c) Zeichnen Sie den E-Feldverlauf
für die zwei Zeitpunkte, bei denen an der Grenz~ (t) | = 0 aufweist sowie II.) |E
~ (t) | = max
schicht I.) die einfallende Welle den Wert |E
ist. Fertigen Sie dabei für beide Fälle je eine eigene Skizze an und kennzeichnen Sie
jeweils den Verlauf des einfallenden, des reflektierten und des gesamten Feldes über
eine ganze Wellenlänge.
(8 Punkte)
Elektromagnetische Felder
Klausur 17. Februar 2004
3. In einem geraden, idealen Leiter mit Radius R entlang der z-Achse fließe ein konstanter
Strom I. Ist es möglich für den gesamten Raum außerhalb des Leiters ein eindeutig
~ anzugeben? Begründen Sie
definiertes Skalarpotential Ψ für das magnetische Feld H
Ihre Aussage!
(4 Punkte)
4. a) Welcher Effekt wird in einem Lichtwellenleiter (LWL) in Bezug auf das Feldverhalten
an Grenzflächen ausgenutzt?
b) Wie muss der LWL hierfür aufgebaut sein und in welchem Wertebereich liegt der
sin ϕ0 , wenn ϕ0 der Ausfallwinkel“ des transmittierten Strahls für den Übergang von
”
Innen nach Außen ist?
c) Welche Dimensions-Faustformeln“ gelten in der Transversalebene für einen soge”
nannten Multi-Mode“-LWL bzw. einen Single-Mode“-LWL?
”
”
(6 Punkte)
5. Gegeben sei ein Koaxialkabel mit der Länge
l, bestehend aus zwei konzentrisch geschichteten Isolierungen. Das innere Dielektrikum der
Isolierschicht besteht aus Kunststoff mit εr1
und das äußere aus Hartgummi mit εr2 . Weiterhin bekannt ist die anliegende Spannung
U zwischen Innen- und Außenleiter (weiss)
sowie die Radien ri , ra und rg . Der Feldverlauf in den beiden Schichten ist zu bestimmen. Vernachlässigen Sie hierbei die Effekte
an den Enden des Kabels.
ra
rg
ri
er1
er2
a) Ermitteln Sie bei bekannter Ladung Q auf dem Innenleiter (Q > 0) die Feldstärkeverläufe E1 (r) und E2 (r) in den beiden Schichten.
b) Bestimmen Sie die Spannung U zwischen dem Außen- und dem Innenleiter aus den
zu berechnenden Teilspannungen U1 und U2 . Drücken Sie in den Feldstärkeformeln
aus a) die Ladung Q als Funktion der Spannung U aus.
c) Gegeben sei nun ein Koaxialkabel mit nur einem Dielektrikum. Bestimmen Sie hierfür die maximale im Kabel auftretende Feldstärke bei gleichbleibender Spannung
U. Beziehen Sie die beiden Feldstärken aus b) für die einzelnen Bereiche auf diese
Maximalfeldstärke.
d) Gegeben sind nun folgende Zahlenwerte: εr1 = 5 und εr2 = 3 sowie die Verhältnisse
rg /ri = 3/1 und ra /ri = 8/1. Berechnen Sie hiermit die beiden Funktionen
E1
r
= f1 ( )
Emax
ri
und
E2
r
= f2 ( )
Emax
ri
~
und skizzieren Sie den groben Verlauf des E−Feldes
innerhalb des Zylinders in
einem geeigneten Diagramm.
Hilfe: ln(3) ≈ 1;
(10 Punkte)
ln(8) ≈ 2;
ln(8/3) ≈ 1
Elektromagnetische Felder
Klausur 17. Februar 2004
6. Gegeben sind folgende Quellen von elektrischen Feldern:
- Punktladung q,
- Linienladungsdichte λ,
- Flächenladungsdichte σ,
- elektrischer Dipol p~
Die Ladungsdichten λ und σ sind homogen und entlang einer Linie bzw. Fläche unendlich ausgedehnt.
a) Geben Sie für jede der vier Quellen jeweils die Abstandsabhängigkeit des elektrischen
~ an.
Feldes E
~ für die Flächenb) Beweisen Sie Ihre Abstandsabhängigkeit des elektrischen Feldes E
ladungsdichte σ über den Gaußschen Satz.
c) Was ist der Unterschied zwischen einem elektrischen Dipol und einem Hertzschen
Dipol?
d) Geben Sie für den Hertzschen Dipol die Abstandsabhängigkeit des elektrischen Feldes
~ im Fernfeld an.
E
(8 Punkte)
7. Gegeben sei eine unendlich große und dünne metallische Platte mit der konstanten
Oberflächenstromdichte J~S , wie in der Abbildung dargestellt.
z
6
r´
6
r
6
J
S
x
P
y
.
.
.
.
.
P
y
x
~ am Punkt P .
Bestimmen Sie die magnetische Flussdichte B
(10 Punkte)
8. Eine ebene elektromagnetische Welle breitet sich in z−Richtung aus. Welche Eigenschaften müssen die Komponenten Ex und Ey aufweisen, damit die Welle
a) linear oder
b) zirkular polarisiert ist?
(4 Punkte)
Elektromagnetische Felder
9. Gegeben sei eine Linienladung τ , die
parallel zur y−Achse verläuft. Bei
x = −1 und bei x = +1 seien im
Intervall z ∈ [0, ∞] jeweils dünne,
ideal leitfähige und geerdete Folien
aufgespannt, ebenso bei z = 0 im
Intervall x ∈ [−1, 1]. Diese verlaufen gleichfalls parallel zur y−Achse
und sind im gezeigten Querschnitt
als fette Linien dargestellt. Es soll
~
das E−Feld
berechnet werden.
Klausur 17. Februar 2004
z
3
2
.
1 +t
-3
-2
-1
1
2
3
x
-1
a) Wenden Sie die Spiegelladungsmethode an, indem Sie eine Zeichnung mit den benötigten Linienladungen fertigen (hier in Teil a) wird nur die Zeichnung erwartet!).
Tipp: Nehmen Sie zunächst an, dass die beiden zur z−Achse parallelen Folien sich
bis z = −∞ erstrecken. Berücksichtigen Sie dann in einem zweiten Schritt die
noch fehlende Randbedingung.
b) Wie lauten die Formeln für das Potential und das elektrische Feld der Linienladung
+τ bei x = 0, z = 1 in Abhängigkeit von den Koordinaten x und z? Warum verschwindet die y−Abhängigkeit beim Feld und warum ist es nicht sinnvoll, ϕ aus der
entsprechenden Aufintegration von τ über alle drei Raumkoordinaten zu berechnen?
c) Schreiben Sie die Summenformel zur Berechnung des elektrischen Feldes am Ursprung für die sechs am nächsten zum Ursprung gelegenen Linienladungen hin. Geben Sie das Feld nach Betrag und Richtung an.
τ ausklammern, konvergiert die Reihe gegen den
Tipp: Wenn Sie den Vorfaktor π
0
Wert von ≈ 0,7, aber geben Sie die Beiträge von sechs der am nächsten zum
Urprung gelegenen Linienladungen explizit an.
d) Wie lässt sich die Aufgabe lösen, wenn die Folien alle auf einem gleichen Potential
liegen, dass nicht gleich Null ist? Ändert sich etwas für die Feldlösung (mit Begründung)?
(11 Punkte)
10. Gegeben sei ein elektromagnetisches Feld im Vakuum. Die elektrische Feldstärke wird
durch folgende Gleichung beschrieben:
~ r , t) = E0 [cos (ωt − k1 z − k2 x) + cos (ωt − k1 z + k2 x)] ~ey
E(~
~ r ).
a) Bestimmen Sie den Phasor der elektrischen Feldstärke E(~
~ r) der magnetischen Feldstärke mithilfe der Maxb) Berechnen Sie nun den Phasor H(~
wellschen Gleichungen.
c) Geben Sie den zeitlichen Mittelwert des Poynting-Vektors an. Welche Einheit hat
dieser und was wird damit beschrieben?
(8 Punkte)
Elektromagnetische Felder
Klausur 17. Februar 2004
jy
11. Wir betrachten eine Metallfolie auf dem Potential φ = U, die in einer Ecke aus zwei
Metallplatten aufgespannt ist. Die Zeichnung
zeigt einen Schnitt durch die Anordnung. Die
Geometrie ist invariant in der 3. Raumdimension. Das Profil der Metallfolie beschreibt eine
2
Hyperbel mit der Gleichung xy = a2 . Benutzen Sie die Abbildungsvorschrift w = f (z) =
z 2 , um die folgenden Unterpunkte zu bear- f
=0
beiten.
f =U
x
f =0
a) Wie wird die gegebene Geometrie in die w−Ebene transformiert? Beschreiben Sie
die Abbildung auf die neue Geometrie (mit Formel).
b) Skizzieren Sie die Anordnung in der w−Ebene und beschriften Sie Ihre Skizze.
~ in der w−Ebene zwischen
c) Bestimmen Sie das Potential und das elektrische Feld E
den Potentialflächen.
d) Transformieren Sie das gefundene Potential φ zurück in die z−Ebene und geben Sie
~ an.
dort das elektrische Feld E
e) Bestimmen Sie den Verlauf der Oberflächenladungsdichten σ(x) und σ(y) auf den
beiden Metallplatten mit φ = 0 .
Q1
1 cm
ε r2 = 2
Q2
1 cm
1V
1V
Q4
1 cm
ε r4 = 4
Q3
1 cm
ε r3 = 3
0V
1 cm
0V
ε r1 = 1
1 cm
12. Betrachten Sie die nebenstehende Anordnung aus vier
übereinander angebrachten Metallplatten. Diese haben
eine Dicke von jeweils 1 cm und zwischen ihnen befindet sich ein Zwischenraum von jeweils 1 cm. Die Oberund Unterseiten der Metallplatten besitzen eine Fläche
von je 1 m2 . In den Bereichen zwischen und außerhalb
der Platten sind Dielektrika mit den angegebenen relativen Dielektrizitätskonstanten vorhanden. Die Platten
werden auf einem Potential von 0 V bzw. 1 V gehalten.
Vernachlässigen Sie bei dieser Aufgabe die Effekte an
den Rändern der Platten und verwenden Sie für ε0 als
Näherung einen Wert von 10−11 As . Im Unendlichen
Vm
sei das Potential 0 V.
1 cm
(12 Punkte)
ε r5 = 5
a) Ermitteln Sie die Gesamtladungen Q1 , Q2 , Q3 und Q4 für jede der vier Metallplatten! Tipp: Stetigkeitsbedingung für die dielektrische Verschiebung.
b) Berechnen Sie die in dieser Anordnung gespeicherte elektrische Energie!
(7 Punkte)
Elektromagnetische Felder
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13. Berechnen Sie die Gegeninduktivität je Längeneinheit M´ zweier paralleler Doppelleitungen (1, 10 ) und (2, 20 ), die in folgender Weise angeordnet sind. Gegeben sind die
Abstände (a, b, c, d).
Leitung 1
+
c
1
.
b
b
d
2
d
6
6
H
2´
-I
1´
c
a
a
2
b
a
I
+
. 1´
.1
Leitung 2
H
2´
Lösungshinweis: Nehmen Sie in einer der Leitungen einen Strom I an, der in der
einen Ader dieser Leitung hin und in der anderen zurück fließt.
a) Überlegen Sie genau, welche Fläche zwischen den einzelnen Adern für den magnetischen Fluss wirksam ist. Geben Sie diese Fläche für Leitung (2, 20) unter der Annahme an, dass in Leitung (1, 10) ein Strom I hin und zurück fließt.
b) Berechnen Sie nun die Gegeninduktivität.
(7 Punkte)
14. Rechts ist ein Querschnitt durch eine Zweidrahtleitung gezeichnet. Die Leiter sind ideal leitfähig und senkrecht zur Zeichenebene unendlich lang. Im linken Leiter fliesst der (positive)
Gleichstrom I in die Zeichenebene hinein, im rechten Leiter aus
der Zeichenebene heraus. Er ist gleichmäßig über den jeweiligen Leiterquerschnitt verteilt. Das elektrostatische Potential
des linken Leiters ϕl ist kleiner als das Potential ϕr des rechten:
ϕ l < ϕr .
ϕl
ϕr
a) Skizzieren Sie in einer eigenen Zeichnung den Verlauf der elektrischen Feldlinien im
gesamten Querschnitt. Richtung und Stärke des Feldes müssen eindeutig erkennbar
sein.
b) Skizzieren Sie ebenso den Verlauf der Magnetfeldlinien in einer separaten Zeichnung.
c) In welche Richtung wird (positive) Energie transportiert?
d) Begründen Sie Ihre Antwort aus Teil c) mit Hilfe der Felder aus den Teilen a) und
b). Wie heisst die Größe, die Sie hierfür bestimmen müssen?
e) An welchen Stellen oder Bereichen im Querschnitt ist die in Teil d) gesuchte Größe
gleich Null? Wieso?
(8 Punkte)
Elektromagnetische Felder
Klausur 17. Februar 2004
Technische Hilfsformeln:
Verschiedene Integrale:
Z
Z
dx
(x2 + a2 )
3
2
=
a2
√
x
x2 + a2
1
x
dx
=
(x2 − a2 )2
2(a2 − x2 )
Z
dx
1
x
= arctan
2
2
x +a
a
a
x
~ senkrecht zur Einfallsebene
E
Erefl
Z2 cos(θeinf ) − Z1 cos(θtrans )
=
Eeinf
Z2 cos(θeinf ) + Z1 cos(θtrans )
Etrans
2Z2 cos(θeinf )
=
Eeinf
Z2 cos(θeinf ) + Z1 cos(θtrans )
Grenzfläche
Reflexion und Brechung an Grenzflächen:
f
Ein
kt
Ht
qt
ne
ebe
s
l
l
a
qe
Et
qe
Hr
kr
m2
diu
e
M
ke
m1
diu
e
M
E r He
Ee
z
x
~ parallel zur Einfallsebene
E
Erefl
Z2 cos(θtrans ) − Z1 cos(θeinf )
=
Eeinf
Z2 cos(θtrans ) + Z1 cos(θeinf )
Etrans
2Z2 cos(θeinf )
=
Eeinf
Z2 cos(θtrans ) + Z1 cos(θeinf )
Grenzfläche
y
Et
qe
He
Hr
kt
qt
ne
ebe
s
l
l
Er
fa
Ein
kr
Ht
Ee
m2
diu
e
M
qe
ke
m1
diu
e
M
z
y