NACHKLAUSUR ZUR THEORETISCHEN PHYSIK II

Fachbereich Physik, Freie Universität Berlin
NACHKLAUSUR ZUR THEORETISCHEN PHYSIK II (LAK)
Sommersemester 2013
Dienstag, 15.10.13, 14:15 Uhr
0
1
2
3
4
P
5
5
6
5
21
Name:
Geburtsdatum:
Matrikelnummer:
Falls Sie wünschen, dass ich Ihr Ergebnis im Blackboard veröffentliche, geben
Sie hier bitte (in Blockschrift!) ein 5-stelliges Codewort/ eine Code-Nr. an
(evt. die ersten oder letzten Ziffern Ihrer Matrikelnr.)
Unterschrift: (ist erforderlich!)
Bearbeitungszeit: 90 Minuten
Erlaubte Hilfsmittel: Hinweise und Warnungen:
Die Klausur darf nicht mit Bleistift
geschrieben werden.
√
Konstanten wie z.B. 4πǫ0 , e, 2 müssen nicht berechnet werden.
Vereinfachen und kürzen Sie die Ergebnisse – soweit nicht ausdrücklich anders angegeben – soweit wie möglich.
Wenn Sie neue Bezeichnungen einführen, so erläutern Sie diese, evt. anhand
einer Skizze!
Rechnen Sie überall in SI-Einheiten.
Am Ende befindet sich eine Formelsammlung.
1
Aufgabe 0: Grundwissen
Hier gibt es einen halben Minuspunkt für jede nicht oder falsch beantwortete Frage!
1. Schreiben Sie als natürliche Zahlen:
√ √
2· 8=
4/3
=
2/9
2. Bei völlig gleichmäßigem Wasserfluss fließen in 3 Stunden 7 m3 Wasser durch ein Rohr. In welcher Zeit
fließen 11 m3 hindurch? (Das Ergebnis ist keine natürliche Zahl - stellen Sie es bitte als gewöhnlichen
Bruch dar.)
3. Wieviele reelle Nullstellen haben die folgenden Funktionen?
(i) f (x) = −x2 + 1,
(ii) f (x) = (x − 2)2
Antworten:
(i)
(ii)
Tipp: Stellen Sie sich die zugehörigen Funktionsgraphen vor!
4. Welche der folgenden Größen sind Vektoren aus R3 ? (Unterstreichen reicht):
Stromdichte,
Fluss durch eine Fläche,
(elektrostatische) Spannung,
Dipolmoment
Maximal 2 Minuspunkte.
2
Aufgabe 1: Grundbegriffe aus der Vorlesung (5 Punkte)
~ = (x, y, z). Berechnen Sie den Fluss dieses Feldes durch die Oberfläche
a.) Gegeben sei ein Vektorfeld C
eines Würfels der Seitenlänge a mit 0 ≤ x, y, z ≤ a (2 Punkte)
b.) Berechnen Sie: (1 Punkt)
Z
0
∞
sin(x) δ(x − π/2) dx =
Z
0
1
x2 δ(x − π) dx =
~
c.) Eine Punktladung +Q0 befinde sich am Ort (a, 2a, 3a). Wie groß ist das von ihr erzeugte E-Feld
(in
allen 3 Komponenten) im ganzen Raum? (1 Punkt)
d.) Wie groß ist das Feld aus c.) am Ort (2a, a, a) (in allen Komponenten)? (1 Punkt)
3
Aufgabe 2: Ampere-Gesetz (5 Punkte)
R, j0 , und I0 sind positive Konstanten. r, ϕ, z sind Zylinderkoordinaten.
a.) Gegeben sei ein zylindrischer Draht (in z-Richtung) vom Radius R, der vom elektrischen Strom der
~
Stromdichte ~j = j0 exp[r/R] ~ez durchflossen werde. Berechnen Sie das hiervon erzeugte B-Feld
innerhalb
und außerhalb des Drahtes mit Hilfe des Ampere-Gesetzes.
Erstellen Sie für beide Fälle (getrennt!) eine übersichtliche Skizze (wahlweise in d = 2 oder d = 3), aus der
Ihre Integrationswege sowie alle eventuell zusätzlich eingeführten Größen hervorgehen.
Wichtige Zusatzfragen (um zu zeigen, dass Sie den Sinn Ihrer Rechnung verstanden haben):
~ stetig für r = R?
Ist B
~ in Betrag und Richtung für r = 2R? (Insgesamt 3 Punkte)
Wie groß ist B
b.) Ein Strom I0 läuft wie in der Skizze gezeigt durch einen Würfel der Seitenlänge 3a (Durchstoßpunkte
durch die geometrische Mitte von Deckel- und Bodenfläche). Wie groß ist das Linienintegral
I
~ · d~s
B
entlang der Wege (Umlauf im Uhrzeigersinn)
(i) entlang des Randes der Deckelfläche des Würfels?
(ii) entlang des Randes der rechten Seitenfläche des Würfels?
~
(Außer dem Strom soll es nichts geben, das ein B-Feld
verursachen kann.) (2 Punkte)
1/2 Zusatzpunkt, wenn (fast) alles richtig ist.
✻
I0
z
y
✑
✸
✑
✑
✻
s
3a
s
0
4
✲
3a
x
Aufgabe 3: Maxwell-Gleichungen (6 Punkte)
q, ω, E0 und B0 sind positive Konstanten.
a.) Schreiben Sie alle 4 Maxwell-Gleichungen in integraler Form. Unterstreichen Sie den Term, der den
Maxwell’schen Verschiebungsstrom bezeichnet. (2.5 Punkte)
b.) Gegeben sei die elektromagnetische Welle (es sei ρ = 0, ~j = 0):
~ = E0 exp[i(qz − ωt)] ~ex ,
E
~ = B0 exp[i(qz − ωt)] ~ey
B
~ als auch B
~ enthält und überprüfen Sie
Wählen Sie eine der Maxwell-Gleichungen aus, die sowohl E
~ und B
~ diese Maxwell-Gleichung erfüllen. Geben Sie auch eventuelle Bedingungen
durch Rechnung, ob E
für die Konstanten an.
Die Rechnung muss in integraler Form erfolgen (ohne Verwendung des Gauß’schen und Stokes’schen Integralsatzes). Erstellen Sie eine übersichtliche Skizze, aus der Ihre gewählten Integrationsflächen und -wege
ersichtlich sind. Wählen Sie diese so, dass nicht beide Seiten der Maxwell-Gleichung trivial Null sind.
(3 Punkte)
c.) Wie lautet der ~k-Vektor der gegebenen Welle? (0,5 Punkte)
1/2 Zusatzpunkt, wenn (fast) alles richtig ist.
5
Aufgabe 4: Relativitätstheorie (5 Punkte)
Auf der Erde befinde sich eine (ruhende) Beobachtungsstation (System S). Um 0 Uhr fliegt ein Raumschiff
S ′ an der Station S mit der Geschwindigkeit v = 0.6 c vorbei. Sowohl die Raumschiffszeit als auch die Zeit
auf der Station beträgt in diesem Moment 0 Uhr. Wenn im Folgenden die Begriffe ”auf dem RS”, ”auf S”,
etc. verwendet werden, sind die jeweiligen Koordinatenursprünge gemeint.
Alle Bewegungen der Raumschiffe S’ und S” sollen parallel entlang der gleichen x-Achse erfolgen.
a.) Zur Erdzeit t = 2 h wird das Raumschiff S’ von einem anderen (schnelleren) Raumschiff S” von hinten gerammt (Ereignis E). Bestimmen Sie die Koordinaten x, t′ und x′ dieses Ereignisses (d.h. die noch
fehlenden Orts- und Zeitangaben in den Systemen S und S ′ ). (2 Punkte)
b.) Das Raumschiff S” war mit der Geschwindigkeit v = 0.8 c unterwegs. Seine Uhr wurde ebenfalls bei
(seinem!) Vorbeiflug an S auf 0 Uhr gestellt. Bestimmen Sie Ort- und Zeitkoordinate (t′′ , x′′ ) von Ereignis
E im Bezugssystem von S”. (2 Punkte)
c.) Skizzieren Sie die Bahnen beider Raumschiffe in ein Minkowski-Diagram.
(1 Punkt).
1 Zusatzpunkt, wenn (fast) alles richtig ist.
6
Formelsammlung (darf abgerissen werden) Ueberpruefen, ob alle wichtigen da!!!
Zylinderkoordinaten:
~ · C(ρ,
~ ϕ, z) = 1 ∂(ρCρ ) + 1 ∂Cϕ + ∂Cz ,
~ (ρ, ϕ, z) = ~eρ ∂V + ~eϕ 1 ∂V + ~ez ∂V ,
∇
∇V
∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
ρ ∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
~ × C(ρ,
~ ϕ, z) = ~eρ 1 ∂Cz − ∂Cϕ + ~eϕ ∂Cρ − ∂Cz + ~ez 1 ∂(ρCϕ ) − ∂Cρ ,
∇
ρ ∂ϕ
∂z
∂z
∂ρ
ρ
∂ρ
∂ϕ
2
2
~ 2 V (ρ, ϕ, z) = 1 ∂ ρ ∂V + 1 ∂ V + ∂ V .
∇
ρ ∂ρ
∂ρ
ρ2 ∂ϕ2
∂z 2
Kugelkoordinaten:
x = r sin ϑ cos ϕ,
~er = (sin ϑ cos ϕ, sin ϑ sin ϕ, cosϑ),
y = r sin ϑ sin ϕ
~eϕ = (− sin ϕ, cos ϕ, 0),
z = r cos ϑ
~eϑ = (cos ϑ cos ϕ, cos ϑ sin ϕ, − sin ϑ).
~ (r, ϑ, ϕ) = ~er ∂V + ~eϑ 1 ∂V + ~eϕ 1 ∂V ,
∇V
∂r
r ∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ
2
~ · C(r,
~ ϑ, ϕ) = 1 ∂(r Cr ) + 1 ∂(sin ϑCϑ ) + 1 ∂Cϕ ,
∇
r2 ∂r
r sin ϑ
∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ
~
~
∇ × C(r, ϑ, ϕ) =
1 ∂Cr
1
1 ∂(rCϑ ) ∂Cr
∂
∂Cϑ
1 ∂(rCϕ )
= ~er
+ ~eϑ
+ ~eϕ
,
(sin ϑCϕ ) −
−
−
r sin ϑ ∂ϑ
∂ϕ
r sin ϑ ∂ϕ
r ∂r
r
∂r
∂ϑ
1
∂V
1
∂
∂2V
~ 2 V (r, ϑ, ϕ) = 1 ∂ r2 ∂V +
∇
sin
ϑ
+ 2 2
.
2
2
r ∂r
∂r
r sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ2
Kurven- und Flächenelemente (Richtungsvektoren bitte selbst überlegen!):
Kreislinie (Radius R) in oder parallel zu xy-Ebene: ds = R dϕ.
Kreislinie (Radius R) entlang Längengrad: ds = R dϑ
Kreisfläche in oder parallel zu xy-Ebene: df = r dr dϕ
Kugeloberfläche: df = R2 sin ϑ dϑ dϕ
Zylindermantel: df = R dϕ dz
Integralsätze:
Gauss:
ZZZ
ZZ
~ · df~,
~
~
∇ · A dV = A
Stokes:
qj
1 X
Potenzial: φ(~ri ) =
,
4πǫ0 j |~ri − ~rj |
Z Z
~ × A)
~ · df~ =
(∇
1
φ(~r) =
4πǫ0
Z
d3 r′
I
~ · d~r
A
ρV (~r ′ )
|~r − ~r ′ |
~r − ~r ′
1
~r
= −∇
′
3
|~r − ~r |
|~r − ~r ′ |
Z ~r2
~ r ) d~r
E(~
Spannung: U = −
~
r1
|∆Q|
Stromdichte: |~j| =
,
und ~j = ρV (~r) ~v
∆t F Z
ǫ0
~ r )|2
d3 r|E(~
Energie: Eg =
2
∞
X
1 (n)
f (x0 )(x − x0 )n
Taylor: f (x) =
n!
n=0
b.w.
7
Dipolmoment:
p~ =
X
j
~rj qj →
Dipolpotenzial: φDipol =
Z
~rρV (~r) dV
~r · ~a
1
q 3
4πǫ0 r
p · ~r) − p~r2
~ Dipol = −∇φ
~ Dipol = −∇
~ ~r · p~ = 1 3~r(~
E
r3
4πǫ0
r5
~
~ = σ/(2ǫ0 )
E-Feld
einer Platte: |E|
Poisson-Gleichung: ∆φ(~r) = −
1
Magn. Moment: m
~ =
2
Z
d r ~r × ~j(~r)
3
ρV (~r)
ǫ0
1
m
~ = I
2
→
Z
~r × d~r,
... einer Leiterschleife: m
~ = IF ~n,
~ =m
~
Drehmoment: N
~ × B,
1. Ampère’sches Gesetz:
I I
µ0 I1 I2
~r12
d~r1 × (d~r2 × ~r12 )
=
−
(d~r1 d~r2 ) 3 ,
3
r
4π
r12
C1 C2
C1 C2
12
I
I
d~r2 × ~r12
~ 2 (~r1 ) = µ0 I2
~12 = I1
~ 2 (~r1 )
Biot-Savart: B
,
F
d~r1 × B
3
4π C2
r12
C1
µ0 I1 I2
F~12 = F~2→1 =
4π
I
I
Ampère’sches Durchflutungsgesetz
Z
~ =
Spule: |B|
Γ
~ · d~r = µ0
B
µ0 N I
,
ℓ
Z
f
~j · df~ = µ0 I,
Selbstinduktivität:
L = µr µ0
N2
f
ℓ
∂ρ(~r)
~ · ~j(~r)
= −∇
∂t
Kontinuitätsgleichung:
Wellengleichungen:
~ =
∆E
1
c′2
Galilei: S ′ → S,
x = x′ + vt′ ,
y = y′,
z = z′,
ct = ct′ ,
∂2 ~
E,
∂t2
~ =
∆B
1
c′2
∂2 ~
B,
∂t2
Galilei: S → S ′
k=
ω
,
c′
1
c′ = √
ǫ 0 µ0 ǫ r µr
Inv. LT: Beob. in S ′ ,
LT: Beob. in S
′
′
x + vt
x − vt
x= p
,
x′ = p
1 − v 2 /c2
1 − v 2 /c2
x′ = x − vt
y′ = y
z′ = z
y = y′,
z = z ′,
ct′ + vx′ /c
ct = p
,
1 − v 2 /c2
ct′ = ct
8
y′ = y
z′ = z
ct − vx/c
ct′ = p
.
1 − v 2 /c2