Logik und Diskrete Strukturen Aufgabenblatt 7

Hertrampf/Fleischer/Wächter
Wintersemester 2015/16
Logik und Diskrete Strukturen
Aufgabenblatt 7
Abgabe: bis Do. 21.01. 14:00 Uhr in den Abgabekästen im Mittelgang des 1. Stocks.
Besprechung: 25.01.2016–05.02.2016
Hinweis: Bitte melden Sie sich über das eClaus-System unter Aufgabenblatt 20 bis spätestens
16:00 Uhr am Mittwoch, den 20. Januar 2016 zur Scheinklausur an.
1. RSA mit drei Primzahlen
(5 Punkte)
Betrachten Sie die folgende Variante des RSA-Verfahrens: Es seien drei Primzahlen p, q, r
gewählt und n = p · q · r. Nun wird e teilerfremd zu ϕ(n) gewählt. Der öffentliche Schlüssel
ist weiterhin (n, e). Der private Schlüssel wird über e · s ≡ 1 mod ϕ(n) bestimmt. Ver- und
Entschlüsseln funktionieren wieder wie normal über y ≡ xe mod n und x ≡ y s mod n.
a) Verschlüsseln Sie x = 5 mithilfe dieser Variante des RSA-Verfahrens. Verwenden Sie
dazu den öffentlichen Schlüssel (n, e) = (70, 7).
b) Entschlüsseln Sie die Nachricht y = 28, die mithilfe dieser Variante des RSA-Verfahrens
und dem öffentlichen Schlüssel aus der vorigen Teilaufgabe verschlüsselt wurde.
c) Beweisen Sie die Korrektheit dieser Variante des RSA-Verfahrens.
2. Eine allgemeine Formel für ϕ(mn)
Zeigen Sie: Sind m, n ∈ Z und g = ggT(m, n), dann gilt
ϕ(mn) =
(5 Punkte)
ϕ(m)ϕ(n)g
.
ϕ(g)
Hinweis: Führen Sie einen Beweis per Induktion über die Anzahl der gemeinsamen Primteiler
von m und n.
3. Eulerformel für unzusammenhängende Graphen
(4 Punkte)
Eine Zusammenhangskomponente eines Graphen ist eine maximale Teilmenge von Knoten,
welche paarweise durch Wege verbunden sind.
Sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph. Wir bezeichnen mit n die Anzahl der Knoten,
mit m die Anzahl der Kanten, mit f die Anzahl der Facetten und mit z die Anzahl der
Zusammenhangskomponenten von G.
Zeigen Sie: n − m + f = z + 1.
4. Knotengrade
Sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph mit |V | ≥ 2.
(5 Punkte)
a) Zeigen Sie, dass mindestens zwei Knoten denselben Grad haben.
b) Zeigen oder widerlegen Sie:
(i) Ist |V | ungerade, dann existiert ein Knoten mit ungeradem Grad.
(ii) Ist |V | ungerade, dann existiert ein Knoten mit geradem Grad.
(iii) Ist |V | gerade, dann existiert ein Knoten mit ungeradem Grad.
(iv) Ist |V | gerade, dann existiert ein Knoten mit geradem Grad.
c) Sei nun G planar und |V | gerade. Zeigen Sie: Wenn die Hälfte der Knoten Grad d und
die andere Hälfte der Knoten Grad 2d hat, so ist d ≤ 3.
5. Hornformeln und STCON
(4 Punkte)
Ein gerichteter Graph ist ein Tupel G = (V, E) mit E ⊆ V × V . Wie bei ungerichteten
Graphen ist V die Menge der Knoten und E die Menge der Kanten. Für zwei Knoten
s, t ∈ V heißt t erreichbar von s, falls eine Folge (v0 , v1 , . . . , vk ) existiert, sodass v0 = s,
vk = t und (vi−1 , vi ) ∈ E für alle i ∈ {1, . . . , k}.
Sei G = (V, E) ein gerichteter Graph. Konstruieren Sie eine Hornformel F über den atomaren
Formeln { Av | v ∈ V }, sodass für alle Paare s, t ∈ V gilt: F ∧ As ∧ ¬At ist genau dann
erfüllbar, wenn t in G nicht von s erreichbar ist.
Beweisen Sie die Korrektheit Ihrer Konstruktion.
6. Fibonacci-Zahlen
Beweisen Sie die folgenden Identitäten für alle n ∈ N = {0, 1, 2, . . . }.
Pn
a)
i=1 F2i = F2n+1 − 1
n 1 1
Fn+1 Fn
b)
=
1 0
Fn Fn−1
Hinweis: Für n < 0 ist Fn = F−n und daher gilt F−1 = F1 = 1.
(3 Punkte)