Ubungen zur VP Mathematische Logik

Übungen zur VP Mathematische Logik
Alexander Bors
1. März 2017
Werden je nach Bedarf im Laufe des Semesters noch um weitere Übungen ergänzt.
Übungen zur “naiven” Mengenlehre von Cantor (Vorlesung 1)
Übung 1. Recherchiere Cantors ersten Beweis für die Überabzählbarkeit von R und bereite
ihn für eine Präsentation an der Tafel vor.
Übung 2. Es sei M1 , M2 , . . . eine abzählbare Liste von Teilmengen von N. Weiter sei A eine
Teilmenge von N, sodass N \ A unendlich ist, und es sei B ⊆ A. Zeige: Es gibt eine Teilmenge
X ⊆ N, welche nicht in der Liste vorkommt und sodass X ∩ A = B.
Übung 3. Für Mengen A und B bezeichnen wir mit A × B das kartesische Produkt von A
und B, und mit AB bezeichnen wir die Menge aller Funktionen B → A. Zeige:
a. Sind A1 , A2 , B1 , B2 Mengen mit |A1 | = |A2 | und |B1 | = |B2 |, so folgt |A1 × B1 | =
B2
1
|A2 × B2 | und |AB
1 | = |A2 |.
b. Sind A, B, C Mengen, so gilt: |(AB )C | = |AB×C |.
Übung 4. Es sei C die Menge aller stetigen Funktionen R → R. Zeige: |C| = |R|.
Hinweis: Beachte, dass verschiedene stetige Funktionen R → R verschiedene Einschränkungen
auf Q besitzen und verwende Übung 3.
Übungen zur axiomatischen Mengenlehre (Vorlesung 2)
Bei der Bearbeitung der folgenden Übungen dürfen (da wir noch nicht genau definiert haben,
was eine “Formel der Mengenlehre” überhaupt ist) das Ersetzungs- und Aussonderungsaxiom
im “sorglos naiven” Sinn à la Cantor verwendet werden, wo sie eher folgende Formulierungen
hätten:
• Aussonderungs-Axiom: Ist E eine “Eigenschaft von Mengen”, und ist M eine beliebige
Menge, so gibt es eine Menge, deren Elemente gerade jene Elemente von M sind, die
die Eigenschaft E besitzen.
• Ersetzungs-Axiom: Ist M eine Menge, und ist auf M eine Funktion f (nicht formal als
Menge von Paaren, sondern im intuitiven Sinne einer eindeutigen Zuordnung) definiert,
so existiert das Bild von f , also {f (x) | x ∈ M }, als Menge.
Übung 5.
a. Leite aus den in der Vorlesung besprochenen ZF-Axiomen folgenden Satz ab:
“Sind x, y, z Mengen, so gibt es die Tripel-Menge {x, y, z}, d.h., es gibt eine (und nur
eine) Menge, deren Elemente gerade x, y und z sind.”
b. Wie steht es mit folgender Verallgemeinerung: “Ist n ∈ N und sind x1 , . . . , xn Mengen,
so gibt es {x1 , . . . , xn }, d.h., es gibt eine (und nur eine) Menge, deren Elemente gerade
x1 , . . . , xn sind.”
Übung 6. Leite aus den ZF-Axiomen ab, dass es keine Universalmenge gibt, also keine Menge,
die jede Menge als Element enthält.
Übung 7. Kunen verwendet schächere Formulierungen des Potenzmengen-, Vereinigungs- und
Paarmengen-Axioms als wir in der Vorlesung. In seinen Formulierungen wird nicht die Existenz der entsprechenden Menge selbst, sondern lediglich einer Obermenge von ihr gefordert.
Zum Beispiel lautet sein Paarmengen-Axiom so: “Zu je zwei Mengen x und y gibt es eine Menge, die x und y (und möglicherweise noch weitere Mengen) als Elemente enthält.”. Warum
ist das kein Problem?
Übung 8.
a. Es sei x eine Menge. Eine Menge y heißt Nachfolger von x, falls die Elemente
von y gerade die Elemente von x, zuzüglich x selbst, sind. Zeige, dass aus den ZFAxiomen aus der Vorlesung folgt, dass jede Menge genau einen Nachfolger besitzt.
b. Bezeichne den nach Teilaufgabe (a) eindeutigen Nachfolger einer Menge x mit S(x).
Leite aus den ZF-Axiomen ab, dass für alle (Mengen) x, y gilt: S(x) 6= x, und dass aus
S(x) = S(y) folgt: x = y. Hinweis: Leite zuerst (unter Verwendung des Fundierungsaxiomes) ab, dass es keine Menge x mit x ∈ x sowie allgemeiner keine Mengen x, y mit
x ∈ y und y ∈ x gibt.
Übungen zur formalen Aussagenlogik (Vorlesung 2)
Im Folgenden sei F das in der Vorlesung vorgestellte formale System für die Aussagenlogik.
Übung 9. Zeige, dass alle Axiome von F aussagenlogische Tautologien sind.
Übung 10. Zeige: Sind ϕ und ψ aussagenlogische Formeln, sodass ϕ und → ϕψ aussagenlogische Tautologien sind, so ist auch ψ eine aussagenlogische Tautologie.
Übung 11. Zeige, dass F konsistent und entscheidbar ist.
Hinweis: Die Vollständigkeit von F darf verwendet werden, und es darf (im Hinblick auf die
Church-Turing-These) mit dem intuitiven Begriff von “Algorithmus” gearbeitet werden.
Übungen zur Rekursionstheorie (Vorlesung 3)
Im Folgenden sei A das Alphabet {0, 1}.
Übung 12. Gib, analog zu dem in der Vorlesung vorgestellten “Quell-Code”, einen QuellCode für eine Entscheidungsmaschine M über A an, sodass das von M entschiedene Problem
die Menge P aller Palindrome über A ist (und begründe, warum es sich bei der definierten
Maschine tatsächlich um eine Entscheidungsmaschine für P handelt).
Übung 13. Zeige, dass die Menge aller Codes pM q von Turing-Maschinen M über A, die auf
dem Input 0 halten, unentscheidbar ist.
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Übung 14. Zeige: Wenn man algorithmisch entscheiden kann, ob eine diophantische Gleichung
ein Lösungstupel mit ganzzahligen Einträgen besitzt, dann kann man auch algorithmisch entscheiden, ob eine diophantische Gleichung ein Lösungstupel mit natürlichen (nichtnegativen
ganzzahligen) Einträgen besitzt. Hinweis: Vier-Quadrate-Satz.
Übungen zu grundlegenden Begriffen der formalen Prädikatenlogik erster Stufe
Übung 15. Beweise Proposition 2.1.7 aus der Vorlesung, d.h., beweise folgende (genauer ausformulierte) Aussagen:
a. Es sei σ eine Signatur, M und N seien σ-Strukturen, und F : M → N sei ein Isomorphismus zwischen M und N . Dann ist F −1 : N → M ein Isomorphismus zwischen N
und M.
b. Es sei σ eine Signatur, M, N und O seien σ-Strukturen, F : M → N ein Isomorphismus
zwischen M und N sowie G : N → O ein Isomorphismus zwischen N und O. Dann ist
G ◦ F : M → O ein Isomorphismus zwischen M und O.
Übung 16. Es sei σofield die Signatur der Theorie angeordneter Körper, wie in Beispiel 2.1.4
aus der Vorlesung. Ermittle zu folgenden Zeichenketten, ob sie σofield -Terme sind (im formal
strengen Sinne von Definition 2.2.1 aus der Vorlesung) und bestimme ggf. auch die Term-Stufe
(alle Antworten sind zu begründen).
a. x5 + x6
b. −x1 x2
c.
−1
−−1 −−1 − x17
d. x1 −
e. + − x5 + + + x1 x2 x3 x4
Übung 17. Wie Übung 16, aber mit σofield -Formeln (im Sinne von Definition 2.2.7) statt
σofield -Termen:
a. x0 ∃ ≤
b. ∀x3 = x3 x3
c. ∧¬ = 01∃x5 ≤ x2 x3
d. ¬∃x0 ¬¬∃x1 ¬¬∃x2 ¬¬ ∧ ∧ ≤ x0 x1 ≤ x1 x2 ¬ ≤ x0 x2
e. ¬∃x0 ¬¬ ∧ ¬ = x0 0¬∃x1 = ·x0 x1 1
Übung 18. Es sei σ eine beliebige Signatur.
a. Bestimme die σ-Terme, die Palindrome sind.
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b. Bestimme die σ-Formeln, die Palindrome sind.
Im Folgenden verwenden wir erstmals unsere Konventionen aus der Vorlesung zur besseren
Lesbarkeit von Formeln.
Übung 19. Welche der folgenden σgroup -Formeln gelten in der (bereits in Beispiel 2.3.3 betrachteten) σgroup -Struktur M = Z/6Z unter der Belegung β(xn ) := n?
a. ∃x0 : (((x0 · x0 ) · x0 ) · x0 = 1).
−1
b. ∃x0 ∃x1 : ¬(((x0 · x1 ) · x−1
0 ) · x1 = 1).
c. ∀x0 : (((x0 · x3 ) · x−1
4 ) · x1 = 1 ∨ ¬(x0 = 1)).
d. x2 · x3 = x17 → ∀x2 : (((x2 · x2 ) · x2 ) · x2 = 1 → x2 · x2 = 1).
Übung 20. Beweise Lemma 2.3.21.
Übung 21. Es sei σempty := (∅, ∅, ∅, ∅) die leere Signatur, M1 und M2 unendliche σempty Strukturen, βi eine Belegung in Mi für i = 1, 2. Zeige, dass für alle σempty -Formeln ϕ =
ϕ(y1 , . . . , yn ) gilt: Wenn für 1 ≤ i < j ≤ n gilt, dass M1 |= (yi = yj )[β1 ] ⇔ M2 |= (yi =
yj )[β2 ], dann gilt auch M1 |= ϕ[β1 ] ⇔ M2 |= ϕ[β2 ].
Hinweis: Induktion über den Aufbau von ϕ, d.h., überlege zuerst, warum die Behauptung für
atomare Formeln ϕ gilt (was sind überhaupt die atomaren Formeln in der leeren Signatur?)
und führe dann die Induktionsschritte für Negations-, Konjunktions- und Existenzformeln
durch.
Insbesondere hängen die Wahrheitswerte von σempty -Formeln unter einer Belegung β unabhängig von der genauen unendlichen σempty -Struktur rein von den Wahrheitswerten atomarer σempty -Formeln unter β ab.
Übung 22.
Sätze.
a. Zeige: In allen unendlichen σempty -Strukturen gelten die gleichen σempty -
b. Gelten überhaupt in allen σempty -Strukturen die gleichen σempty -Sätze?
Übungen zum Umfeld des Gödelschen Vollständigkeitssatzes
Übung 23. Es sei µ : {P0 , P1 , . . .} → {0, 1} eine Belegung der abzählbar unendlich vielen
Aussagenvariablen mit Wahrheitswerten.
a. Gib die exakte rekursive Definition der Funktion µ̃, welche einer aussagenlogischen Formel f = f (p1 , . . . , pn ) (gebildet rein unter Verwendung der Junktoren ¬ und ∧) ihren
Wahrheitswert unter der Belegung µ zuordnet.
b. Verwende die rekursive Definition aus Punkt (a), um Lemma 2.4.2 zu beweisen.
Übung 24. Beweise Lemma 2.5.11(3).
Übung 25. Zeige, dass die im Beweis von Satz 2.5.9 definierte Relation ∼ auf C + symmetrisch
und transitiv ist.
Hinweis: Wie schon in der Vorlesung angedeutet, kann man sich am Beweis der Reflexivität
von ∼, der auch auf dieser Folie durchgeführt wird, orientieren.
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Übung 26. Es sei c0 = c0 (c1 , . . . , ck ) wie im Beweis von Satz 2.5.9. Zeige, wie in der Vorlesung
behauptet, dass [c0 ] durch [c1 ], . . . , [ck ] eindeutig bestimmt ist.
Hinweis: Man soll also zeigen, dass die passenden c0 zu gegebenen c1 , . . . , ck nie aus mehr als
einer ∼-Äquivalenzklasse stammen, und dass diese zu fixierten c1 , . . . , ck eindeutig bestimmte
∼-Äquivalenzklasse sich auch nicht ändert, wenn man c1 , . . . , ck jeweils durch ∼-äquivalente
Konstantensymbole ersetzt.
Übung 27. Zeige folgende, im Beweis von Lemma 2.5.17 verwendete Behauptung:
“Es sei σ eine Signatur, c1 , . . . , cn seien neue Konstantensymbole für σ; setze C := {c1 , . . . , cn }.
Weiter sei ϕ(z1 , . . . , zn ) eine σ-Formel, und es sei B(c1 , . . . , cn ) ein (σ + C)-Beweis für den
(σ+C)-Satz ϕ(c1 , . . . , cn ). Schließlich seien y1 , . . . , yn paarweise verschiedene Variablen, sodass
{y1 , . . . , yn }∩{z1 , . . . , zn } = ∅ und keines von y1 , . . . , yn in einem der Glieder von B(c1 , . . . , cn )
vorkommt. Dann gilt:
Bezeichnet B(y1 , . . . , yn ) jene endliche Folge, die entsteht, wenn man für i = 1, . . . , n in
jedem Glied von B(c1 , . . . , cn ) jedes Vorkommen von ci durch yi ersetzt, so ist B(y1 , . . . , yn )
ein σ-Beweis von ϕ(y1 , . . . , yn ).”
Hinweis: Zum formalen Vorgehen: Fasse c1 , . . . , cn als “uneigentliche Variable” auf, sodass
man eine (σ + C)-Formel ψ, welche keine der Variablen y1 , . . . , yn enthält, als ψ(t1 , . . . ,
tm , c1 , . . . , cn ) schreiben kann (t1 , . . . , tm sind die eigentlichen freien Variablen in ψ, und die
Konstantensymbole sind, als Variablen aufgefasst, ebenfalls frei, da nur eigentliche Variable
durch Quantoren gebunden werden). Damit kann man die σ-Formel ψ, die aus ψ durch Ersetzen jedes Vorkommens von ci durch yi entsteht, schreiben als ψ = ψ(t1 , . . . , tm , y1 , . . . , yn )
(sukzessives Einsetzen von yi für ci , i = 1, . . . , n). Mit dieser formalen Definition ist klar (muss
also auch nicht für die Tafelpräsentation bewiesen werden), dass für alle (σ + C)-Formeln
ψ, ψ1 , ψ2 , welche keine der Variablen y1 , . . . , yn enthalten, gilt:
• ¬ψ ≡ ¬ψ,
• ψ1 ∧ ψ2 ≡ ψ1 ∧ ψ2 sowie
• ∃tψ ≡ ∃tψ.
Zeige nun:
a. Ist ψ ein Axiom des (σ + C)-Hilbertkalküls, so ist ψ ein Axiom des σ-Hilbertkalküls.
b. Sind ψ1 , ψ2 , ψ3 drei (σ + C)-Formeln, sodass ψ3 aus ψ1 und/oder ψ2 durch Anwendung einer der beiden Schlussregeln des (σ + C)-Hilbertkalküls folgt, so folgt entsprechend ψ3 aus ψ1 und/oder ψ2 durch Anwendung einer der beiden Schlussregeln des
σ-Hilbertkalküls.
Verwende dann diese Resultate, um den eigentlichen Beweis zu führen.
Übung 28. Zeige folgende, im Beweis von Korollar 2.5.19, verwendete Behauptung:
“Es sei σ eine Signatur, T eine σ-Theorie, ϕ eine σ-Formel und τ der universelle Abschluss
von ϕ (sh. Definition 2.3.20). Dann gilt: T `σ ϕ ⇔ T `σ τ .”
Übung 29. Beweise einen der drei Unterpunkte von Lemma 2.5.25.
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Übung 30. Beweise Satz 2.5.28.
Hinweis: Es darf, der Einfachheit halber, angenommen werden, dass die Menge X aus der
Formulierung des Satzes eine Menge aus neuen Konstantensymbolen für σ ist (um uns ein
wenig elegantes und nicht sehr erhellendes mengentheoretisches “o.B.d.A”-Argument dafür
ersparen zu können).
Übungen zum Umfeld der Gödelschen Unvollständigkeitssätze
Übung 31. Es sei A ein endliches Alphabet, das die Zeichen 0 und 1 enthält. Zeige: Endliche
Teilmengen von A∗ sind stets entscheidbar.
Hinweis: Es darf natürlich wieder mit dem intuitiven Begriff von “Algorithmus” gearbeitet
werden.
Übung 32. Zeige Proposition 2.7.9.
Hinweis zur Schlussrichtung “(1)⇒(2)”: Zeige zuerst, dass {Code(t, ι) | t ist ein σ-Term}
entscheidbar ist (angesichts der “rekursiven Natur” des Termbegriffs ist dabei rekursive Programmierung, also das Einsetzen von Algorithmen, die sich selbst auf immer “kleiner” werdenden Inputs aufrufen, hilfreich). Für das eigentlich zu zeigende Entscheidbarkeitsresultat
ist ebenfalls rekursive Programmierung hilfreich.
Übung 33. Es sei σ = σPA , die Signatur der Peano-Arithmetik. Zeichne folgende gelabelte
Graphen zum σ-Term t :≡ + · +0SSS0 · S0SS0S0:
a. Tree(t) (sh. Definition 2.7.19),
b. den kleinsten (im Sinne der Ausführungen vor Definition 2.7.23) zulässigen Variablenbaum für t.
Übung 34. Zeige Korollar 2.7.25.
Hinweis: Verwende Satz 2.7.24 und den Gödelschen Vollständigkeitssatz.
Übung 35. Es sei σPA die Signatur der Peano-Arithmetik (siehe Definition 2.5.22). Weiter sei
ι jene Codierungsfunktion für σPA , welche wie folgt abbildet: 0 7→ 0, S 7→ 0, + 7→ 1, · 7→ 2.
Welche σPA -Formel besitzt unter diesem ι folgende Gödelnummer:
46733642007292941128601120866069501661511200000
Übung 36. Folgere Satz 2.7.36(2) aus Satz 2.7.36(1).
Hinweis: Zeige zuerst, dass aus der Entscheidbarkeit von R ⊆ Nn folgt, dass die charakteristische Funktion von R, χR : Nn → N, welche Tupel aus R auf 1 und Tupel, die nicht in R
liegen, auf 0 abbildet, berechenbar ist.
Übung 37. Vervollständige den Beweis von Lemma 2.7.38 aus der Vorlesung durch den Beweis
folgender Aussage: Wenn (unter Voraussetzungen wie im ersten Unvollständigkeitssatz, Satz
2.7.2) b ∈ N die Gödelnummer eines σ-Klassenzeichens ϕb (vb ) ist, und a ∈ N nicht die
Gödelnummer eines T -Beweises von ϕb (b) ist, dann gilt: PA ` ¬ψGdl (a, b).
Hinweis: Das Argument geht ähnlich wie im anderen Fall (dass b gar nicht die Gödelnummer
eines σ-Klassenzeichens ist), welcher in der Vorlesung besprochen wurde.
Übung 38. Zeige, dass die σPA -Theorie PA ω-konsistent (ohne Bezug auf eine relative Interpretation) ist in dem Sinne, dass für alle σPA -Formeln ψ(y) gilt: Wenn PA ` ¬ψ(n) für alle
n ∈ N, dann folgt PA 6` ∃y : ψ(y).
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