Mechanik für Bachelor plus Aufgabenblatt 3

Mechanik für Bachelor plus
Ludwig-Maximilians-Universität München
Dr. Michael Haack
Aufgabenblatt 3
Abgabe: 13. Mai 2013
Aufgabe 1: Koordinatenursprung
Zeigen Sie, daß der Gesamtdrehimpuls eines Mehrteilchensystems nicht von
der Wahl des Koordinatenursprunges abhängt, wenn der Schwerpunkt des
Mehrteilchensystems ruht.
Aufgabe 2: Schwerpunktsystem
Das Schwerpunktsystem ist dadurch definiert, daß alle Positionen relativ
zum Schwerpunkt gemessen werden, d.h. die Positionen im Schwerpunktsystem werden durch die alten gemäß
~ .
~ri0 = ~ri − R
(2.1)
ausgedrückt.
(a) Zeigen Sie, daß sich der Schwerpunkt im Schwerpunktsystem am Ursprung befindet und daß der Gesamtimpuls im Schwerpunktsystem verschwindet.
~ = PN ~ri × mi~r˙i durch
(b) Zeigen Sie, daß der Gesamtdrehimpuls L
i=1
N
X
~ =R
~ × MR
~˙ +
L
~ri0 × mi~r˙i0
(2.2)
i=1
ausgedrückt werden kann. Er ist also gegeben durch die Summe des Drehimpulses des Schwerpunkts um den Ursprung und des Drehimpulses um den
Schwerpunkt herum (d.h. des gesamten inneren Drehimpulses).
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Aufgabe 3: Fliegende Hantel∗
Zwei Massenpunkte m1 und m2 seien durch eine Stange der Länge ` miteinander verbunden. Es wird angenommen, daß die Masse der Stange vernachlässigt werden kann und es ihre einzige Funktion ist, die beiden Massenpunkte auf konstantem Abstand ` zu halten, indem sie eine Kraft F~12 =
−F~21 entlang der Verbindungslinie (~r1 − ~r2 ) überträgt. Die Hantel, die sich
im homogenen Schwerefeld der Erde befinde, wird zum Zeitpunkt t = 0 vom
Koordinatenursprung in beliebiger Richtung geworfen.
~
(a) Wie lautet die Bewegungsgleichung für den Schwerpunkt R?
(b) Welche Bahn beschreibt der Schwerpunkt bei einer Anfangsgeschwindigkeit ~v0 ?
(c) Führen Sie die Koordinate ~r ≡ ~r1 − ~r2 für die Relativbewegung der
beiden Massenpunkte ein. Zeigen Sie
~ +
~r1 (t) = R(t)
m2
~r(t) ,
M
~ −
~r2 (t) = R(t)
m1
~r(t) ,
M
(3.1)
wobei M = m1 + m2 die Gesamtmasse ist.
~ zerlegen lässt in einen
(d) Zeigen Sie, daß sich der Gesamtdrehimpuls L
~
~
~
Relativ- und einen Schwerpunktanteil L = Lr + LS mit
~˙ ,
~ S = M (R
~ × R)
L
~ r = µ(~r × ~r˙ ) ,
L
wobei µ =
m1 m2
M
(3.2)
die reduzierte Masse darstellt.
(e) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für die Relativbewegung auf. Zeigen
~ r erhalten ist.
Sie, daß der Relativdrehimpuls L
~ r verläuft die Bewegung von ~r in einer Ebe(f ) Wegen der Erhaltung von L
~ r , wie bei der Besprechung des Zweikörperproblems in der
ne senkrecht zu L
Vorlesung diskutiert wird. Führen Sie nun Polarkoordinaten in dieser Ebene
ein und zeigen Sie, daß die beiden Massen m1 und m2 Kreisbahnen um den
Schwerpunkt mit konstanter Winkelgeschwindigkeit beschreiben. Wie verhalten sich deren Radien?
Hinweis: Nach Aufgabe 1 von Blatt 1 gilt: ~e˙ ρ = ϕ̇~eϕ und ~e˙ ϕ = −ϕ̇~eρ .
Bei Fragen:
[email protected]
∗:
Aufgabe wird korrigiert.
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