11. ¨Ubung zur Algebra I

Prof. Dr. L. Kramer
Dipl.-Math. F. Magata
WS 2006/07
11. Übung zur Algebra I
(Abgabe: bis 12.01.2007, 12 Uhr in die ”F”-Zettelkästen im Hörsaalgebäude)
43. Zeigen Sie, daß der Ring Z[e
2πi
3
] ⊂ C bezüglich δ(z) := z z̄ euklidisch ist.
44. Sei K ein Körper. Zeigen Sie, daß es in K[X] unendlich viele normierte Primelemente
gibt, die paarweise nicht assoziiert zueinander sind.
Zwei Ringelemente r, s ∈ R heißen assoziiert, wenn es ein q ∈ R∗ gibt mit r = qs.
Ein Polynom f ∈ R[X] mit deg(f ) = n heißt normiert, falls der Koeffizient von X n
gleich 1 ist.
45. Bestimmen Sie alle irreduziblen Polynome in Z/2[X] vom Grad kleiner gleich vier.
46. Beweisen Sie, daß die folgenden Polynome in Q[X] irreduzibel sind:
a) x2 + 343x + 350,
b) x3 − 6x2 + 12x + 4,
c) 8x3 − 6x + 1,
d) x5 + 3x4 + 5x3 + 49x2 + 248x + 945.
47. Lösen
 Sie die folgenden simultanen Kongruenzen:
mod 13
 a≡5
a ≡ 10
mod 21 für a ∈ Z.
a)

a≡7
mod 37
f ≡ (X − 1)2
mod (X 2 + 2)2
b)
für f ∈ Q[X].
f ≡X +7
mod X 3 − 1
(∗) Beweisen Sie:
a) Ein Ring ist genau dann noethersch, wenn jedes Ideal von endlich vielen Elementen erzeugt wird.
b) Sie wissen bereits, daß die folgenden Inklusionen gelten:
{euklidische Ringe} ⊆ {Hauptidealringe} ⊆ {faktorielle Ringe}.
Zeigen Sie jeweils anhand eines Beispiels, daß alle Inklusionen echt sind.
-2(∗) Sei G eine
P abzählbare Gruppe. Für eine beliebige Abbildung ϕ : G → C sei
|ϕ|1 := g∈G |ϕ(g)| ∈ R ∪ {+∞}. Sei dann L1 (G) := {ϕ : G → C | |ϕ|1 < ∞}.
Dies ist ein Banachraum. Jedes ElementPϕ von CG, dem Gruppenring von G über
C, läßt sich eindeutig schreiben als ϕ = rk=1 λk gk mit geeigneten λk ∈ C \ {0} und
paarweise
verschiedenen
gk ∈ G. Wir definieren eine Abbildung ∗ : CG → CG durch
Pr
Pr
−1
k=1 λk gk 7→
k=1 λ̄k gk . Zeigen Sie:
P
P
a) CG ist ein dichter Teilraum von L1 (G). Für ϕ = rk=1 λk gk gilt |ϕ|1 = rk=1 |λk |.
b) In CG gelten für alle ϕ, ψ ∈ CG und λ ∈ C die folgenden Relationen:
(1) (ϕ + ψ)∗ = ϕ∗ + ψ ∗ , (ϕ · ψ)∗ = ψ ∗ · ϕ∗ , (λϕ)∗ = λ̄ϕ∗ , (ϕ∗ )∗ = ϕ.
(2) |ϕ · ψ|1 ≤ |ϕ|1 |ψ|1 , |ϕ∗ |1 = |ϕ|1 .
c) Die Multiplikation · im Gruppenring CG und ∗ sind stetige Abbildungen und
lassen sich nach a) und b) stetig auf L1 (G) fortsetzen. Ferner gelten in L1 (G)
die Relationen aus b).
Bemerkung: (L1 (G), +, ·, ∗ ) ist damit eine involutive Banach-Algebra.
P
(∗) Sei R ein Ring und r : Z → R, n 7→ n · 1R = nk=1 1R . Zeigen Sie:
a) r ist ein Ringhomomorphismus und P := Bild(r) ist (als Gruppe) zyklisch. Ferner ist P der kleinste Unterring von R, d.h. P ist in jedem Unterring von R
enthalten und ist somit der Durchschnitt über alle Unterringe von R. Insbesondere gilt char(R) = char(S) für jeden Unterring S von R.
Die Charakteristik char(R) von R ist der nichtnegative Erzeuger von Kern(r). Das
Bild P von r heißt der Primring von R.
b) Es gilt char(R) = 0 genau dann, wenn r injektiv ist und char(R) = 1 genau
dann, wenn R der pathologische Ring ist. Ferner ist char(R) eine Primzahl, falls
R keine Nullteiler enthält und char(R) 6= 0, 1 ist.
c) Ist R0 ein weiterer Ring mit Primring P 0 und ist ϕ : R → R0 ein Homomorphismus, so gilt ϕ(P ) ⊆ P 0 .
k
k
k
k
k
k
d) Ist char(R) = p prim, so gilt: (a + b)p = ap + bp und (a − b)p = ap − bp für
alle a, b ∈ R und k ∈ N. Insbesondere ist x 7→ xp ein Endomorphismus von R.
Ist dies ein Automorphismus?
(∗) Sei nun R = K ein Körper. Dann gilt:
a) char(K) = p > 0 ⇔ P ' Fp (wobei Fp der Ring Z/p ist) und char(K) = 0
genau dann, wenn der kleinste Unterkörper von K isomorph zu Q ist.
b) Sei char(K) = p > 0 und |K| endlich. Dann ist p − 1 ein Teiler von |K| − 1.
Frohe Weihnachten und ein guter Rutsch ins Neue Jahr!