Randomisierte Algorithmen“ ¨Ubungsblatt 5, WS 2008/09

TU Ilmenau, Fakultät IA
Institut für Theoretische Informatik
FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen
Prof. Dr. (USA) Martin Dietzfelbinger, Dipl.-Inf. U. Schellbach
http://www.tu-ilmenau.de/fakia/RA WS08.html
Randomisierte Algorithmen“
”
Übungsblatt 5, WS 2008/09
Besprechung: Freitag, den 23.01.2009
(Mit Möglichkeit zum Vorrechnen.)
Aufgabe 1 (Berechnen eines multiplikativen Inversen)
Man berechne das multiplikative Inverse von 10 in Z17 , nach zwei in der Vorlesung angegebenen
Methoden:
(a) Finde x, y mit 10x + 17y = ggt(10, 17) = 1. (Algorithmus 5.2)
(b) Berechne 1015 mod 17. (Algorithmus 5.3)
Wieso ergibt sich jedesmal ein multiplikatives Inverses?
Aufgabe 2 (Quadratwurzeln berechnen)
(a) Man zeige mit dem Eulerschen Kriterium (Algorithmus 5.4), dass 2 in Z17 ein quadratischer
Rest ist.
(b) Man führe den randomisierten Algorithmus für das Finden einer Quadratwurzel modulo 17
(Algorithmus 5.5) für a = 2 durch.
Aufgabe 3 (Nichttriviale Quadratwurzeln der 1)
Man ermittle 4 Zahlen in a ∈ {1, . . . , 20} mit a2 mod 21 = 1.
(Folgerung: 21 ist keine Primzahl!)
Aufgabe 4 (Fermat-Test mit 2 und 3)
Man verifiziere, dass 2340 mod 341 = 1 und 3340 mod 341 6= 1 ist.
Folgerung: 341 ist keine Primzahl. Aber die Zahl a = 2 hilft nicht dabei, dies festzustellen.
Aufgabe 5
Es seien X1 , . . . , Xn unabhängige Zufallsvariable mit Pr(Xi = 1) = Pr(Xi = −1) = 12 .
Sei X = X1 + · · · + Xn .
Offensichtlich ist E(X) = 0. Wir fragen, mit welcher Wahrscheinlichkeit X weit von diesem
Mittelwert entfernt ist.
(a) Berechnen Sie Var(X) und benutzen Sie die Chebychev-Ungleichung, um eine Abschätzung
der Form Pr(|X| ≥ a) ≤ . . . zu erhalten, für a > 0.
2 /2
(b) Zeigen Sie: Für t > 0 beliebig gilt E(etXi ) < et
.
Hinweis: Man kann den Erwartungswert explizit hinschreiben. Man ermittelt die Taylor2
reihen der beiden Summanden und von et /2 und schätzt ab.
2 n/2
(c) Folgern Sie aus (b): Für t > 0 beliebig gilt E(etX ) < et
.
Mit der verallgemeinerten Markov-Ungleichung aus der Vorlesung folgert man aus (c) und (b):
Pr(X ≥ a) ≤
E(etX )
2
≤ et n/2−ta .
eta
2 n/2−ta
(d) Finden Sie zu gegebenem a den Wert t, der et
2
Schranke für Pr(X ≥ a). [Resultat: e−a /2n .]
minimiert. Folgern Sie eine obere
2
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”
Übungsblatt 5, WS 2008/09
(e) Was kann man über Pr(X ≤ −a) und über Pr(|X| ≥ a) sagen? Formulieren Sie eine
Aussage und beweisen Sie sie.
(f) Vergleichen Sie Ihr Ergebnis aus (e) mit dem aus (a) und mit dem, das man durch Anwenden der Hoeffding-Schranke auf 12 (X1 + 1), . . . , 21 (Xn + 1) erhält.
Aufgabe 6 (Balanciertes Einfärben von Mengen)
(Anschluss an Aufgabe 5. Wir wollen einen randomisierten Algorithmus für ein Problem angeben,
das bei der Versuchsplanung auftritt.)
Gegeben ist eine Matrix A = (aij ) 1≤i≤n mit Einträgen aus {0, 1}. Wir wollen die Spalten
1≤j≤m
mit Vorzeichen versehen (gegeben durch einen Vektor b ∈ {1, −1}m ) derart dass die Einträge
c1 , . . . , cn von c = A · b möglichst geringen Absolutbetrag haben. Ausgeschrieben:
ci = ai1 b1 + · · · + aim bm , für 1 ≤ i ≤ n.
Ziel: minimiere
kA · bk∞ = max{|ci | | 1 ≤ i ≤ n}.
Interpretation: Die Zeilen von A entsprechen n Teilmengen S1 , . . . , Sn von M = {1, . . . , m}. Wir
wollen jedes Element von M rot (1) oder grün (−1) anstreichen und zielen dabei darauf, dass
in jeder Menge Si der Unterschied zwischen der Anzahl der roten und der grünen Elemente
möglichst klein ist.
Algorithmus: Wähle b1 , . . . , bm aus {1,√
−1} zufällig.
(a) Zeigen Sie: Für jedes i gilt Pr(|ci | ≥ 4m ln n) ≤ 2/n2 .
√
Hinweis: Es sei k die
√ Anzahl der 1-Einträge in (ai1 , . . . , aim ). Wenn k ≤ 4m ln n, ist nichts zu
5 an.
zeigen. Wenn k > 4m ln n, wendet man Aufgabe
√
(b) Zeigen Sie: Pr(max{|ci | | 1 ≤ i ≤ n} ≥ 4m ln n) ≤ 2/n.
Eine zufällige Vorzeichenwahl führt dazu, dass mit großer Wahrscheinlichkeit
√ in keiner der Mengen Si der Unterschied zwischen roten und grünen Elementen größer als 4m ln n wird.