Randomisierte Algorithmen“ ¨Ubungsblatt 4, WS 2010/11

TU Ilmenau, Fakultät IA
Institut für Theoretische Informatik
FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen
Univ.-Prof. Dr. Martin Dietzfelbinger, Dr. Ulf Schellbach
http://www.tu-ilmenau.de/iti/lehre/lehrews10/ra/
Randomisierte Algorithmen“
”
Übungsblatt 4, WS 2010/11
Besprechung: Mittwoch, den 15.12.2010
Aufgabe 1
(Mit Möglichkeit zum Vorrechnen.)
(Anwendung der Conditional Expectation Inequality)
Betrachten Sie das folgende Zufallsexperiment, dessen Ergebnis ein ungerichteter Graph G =
(V, E) mit Knotenmenge V = {1, . . . , n} ist: Gegeben V wählen wir E, indem wir jede der n2
möglichen Kanten jeweils unabhängig mit Wahrscheinlichkeit p zu E hinzufügen.
Zeigen Sie, dass p = 1/n ein Schwellwert für das Auftreten einer Clique aus mindestens 3 Knoten
ist, d. h. für p ∈ o(1/n) tritt eine 3-Clique mit W. o(1) auf, während für p ∈ ω(1/n) eine solche
Clique mit W. 1 − o(1) entsteht.
Überlegen Sie zunächst, ob Ihnen bereits klar ist, was Sie tun müssen, um die genannte Aufgabe
zu lösen. Wenn ja, probieren Sie es ohne die unten stehende Anleitung. Andernfalls lösen Sie
die Aufgabenteile (a), (b) und (c). Genügt Ihnen das als Anleitung? Wenn nicht, nehmen Sie
die Aufgabenteile (f) und (i) zur Kenntnis. Reicht auch das nicht, dürfen Sie auch die übrigen
Aufgabenteile abarbeiten.
(a) Bestimmen Sie einen W.-Raum, der dieses Zufallsexperiment beschreibt.
(b) Bestimmen Sie die Anzahl k verschiedener Möglichkeiten, eine 3-Clique über n Knoten zu
bilden.
(c) Seien nun C1 , . . . , Ck die k verschiedenen Cliquen über n Knoten. Die Zufallsvariable Xi ,
1 ≤ i ≤ k, messe, ob Ci bei unserem Zufallsexperiment gewählt wird ( Xi = 1“) oder
”
nicht ( Xi = 0“). Dann misst X := X1 + · · · + Xk die Anzahl verschiedener 3-Cliquen, die
”
gewählt werden.
Interpretieren Sie das Ereignis {X > 0} mit natürlicher Sprache.
(d) Berechnen Sie Pr(Xi = 1) für ein beliebig fest gewähltes i, 1 ≤ i ≤ k.
(e) Berechnen Sie E(X).
(f) Zeigen Sie: Pr(X > 0) ∈ o(1), falls p ∈ o(1/n).
Hinweis: Markov-Ungleichung
(g) Berechnen Sie Pr(Xi = 1 | X1 = 1), 1 ≤ i ≤ k.
(h) Finden Sie für E(X | X1 = 1) eine Abschätzung nach oben, in der E(X) vorkommt.
(i) Zeigen Sie: Pr(X > 0) ∈ 1 − o(1), falls p ∈ ω(1/n).
Hinweis: CEI
—bitte wenden!—
2
Randomisierte Algorithmen“
”
Aufgabe 2
Übungsblatt 4, WS 2010/11
(tail bounds)
Es seien X1 , . . . , Xn unabhängige Zufallsvariable mit Pr(Xi = 1) = Pr(Xi = −1) = 21 . Sei
X = X1 + · · · + Xn . Offensichtlich ist E(X) = 0. Wir fragen, mit welcher Wahrscheinlichkeit X
weit von diesem Mittelwert entfernt ist.
(a) Berechnen Sie Var(X) und benutzen Sie die Chebychev-Ungleichung, um eine Abschätzung
der Form Pr(|X| ≥ a) ≤ . . . zu erhalten, für a > 0.
2 /2
(b) Zeigen Sie: Für t > 0 beliebig gilt E(etXi ) < et
.
Hinweis: Man kann den Erwartungswert explizit hinschreiben. Man ermittelt die Taylor2
reihen der beiden Summanden und von et /2 und schätzt ab.
2 n/2
(c) Folgern Sie aus (b): Für t > 0 beliebig gilt E(etX ) < et
.
Mit der verallgemeinerten Markov-Ungleichung aus der Vorlesung folgert man aus (c) und (b):
Pr(X ≥ a) ≤
E(etX )
2
≤ et n/2−ta .
eta
2 n/2−ta
(d) Finden Sie zu gegebenem a den Wert t, der et
2
Schranke für Pr(X ≥ a). [Resultat: e−a /2n .]
minimiert. Folgern Sie eine obere
(e) Was kann man über Pr(X ≤ −a) und über Pr(|X| ≥ a) sagen? Formulieren Sie eine
Aussage und beweisen Sie sie.
(f) Vergleichen Sie Ihr Ergebnis aus (e) mit dem aus (a) und mit dem, das man durch Anwenden der Hoeffding-Schranke auf 12 (X1 + 1), . . . , 21 (Xn + 1) erhält.
Aufgabe 3
(Balanciertes Einfärben von Mengen)
(Anschluss an Aufgabe 2. Wir wollen einen randomisierten Algorithmus für ein Problem angeben,
das bei der Versuchsplanung auftritt.)
Gegeben ist eine Matrix A = (aij ) 1≤i≤n mit Einträgen aus {0, 1}. Wir wollen die Spalten
1≤j≤m
mit Vorzeichen versehen (gegeben durch einen Vektor b ∈ {1, −1}m ) derart dass die Einträge
c1 , . . . , cn von c = A · b möglichst geringen Absolutbetrag haben. Ausgeschrieben:
ci = ai1 b1 + · · · + aim bm , für 1 ≤ i ≤ n.
Ziel: minimiere
kA · bk∞ = max{|ci | | 1 ≤ i ≤ n}.
Interpretation: Die Zeilen von A entsprechen n Teilmengen S1 , . . . , Sn von M = {1, . . . , m}. Wir
wollen jedes Element von M rot (1) oder grün (−1) anstreichen und zielen dabei darauf, dass
in jeder Menge Si der Unterschied zwischen der Anzahl der roten und der grünen Elemente
möglichst klein ist.
Algorithmus: Wähle b1 , . . . , bm aus {1, −1} zufällig.
√
(a) Zeigen Sie: Für jedes i gilt Pr(|ci | ≥ 4m ln n) ≤ 2/n2 .
√
Hinweis: Es sei k die Anzahl
der
1-Einträge
in
(a
,
.
.
.
,
a
).
Wenn
k
≤
4m ln n, ist
i1
im
√
nichts zu zeigen. Wenn k > 4m ln n, wendet man Aufgabe 2 an.
√
(b) Zeigen Sie: Pr(max{|ci | | 1 ≤ i ≤ n} ≥ 4m ln n) ≤ 2/n.
Eine zufällige Vorzeichenwahl führt dazu, dass mit großer Wahrscheinlichkeit in keiner
der
√
Mengen Si der Unterschied zwischen roten und grünen Elementen größer als 4m ln n
wird.