¨Ubungen zur Funktionentheorie II

Blatt 12
Abgabe gibt’s nicht mehr
Besprechung auch nicht
apl. Prof. Dr. Michael Joachim
Dipl.-Math. Fabian Hebestreit
[email protected], Raum 507
Übungen zur Funktionentheorie II
Aufgabe 45.
Wir erweitern die Definition der Riemann’schen Flächen aus Beispiel 9 der Vorlesung auf beliebige holomorphe Abbildungen ϕ : G → Y , wo G ⊆ X ein Gebiet
ist und X, Y zusammenhängende Riemann’sche Flächen sind. Man betrachte die
folgende Menge
{(p, U, f ) | U ⊆ X offen, f : U → Y holomorph, p ∈ U }
Elemente hierin heißen manchmal Funktionselemente. Auf dieser Menge betrachten wir folgende Äquivalenzrelation:
(p, U, f ) ∼ (q, V, g)
genau dann, wenn p = q und es eine offene Umgebung W von p gibt, sodass
W ⊆ U ∩ V und f|W = g|W . Eine Äquivalenzklasse heißt Funktionskeim. Die
Menge der Funktionskeime bezeichnen wir mit F(X, Y ). Auf F(X, Y ) haben wir
die folgende Topologie: Eine Teilmenge O ⊆ F(X, Y ) sei offen, wenn es zu jedem
Keim F ∈ O ein Funktionselement (p, U, f ) ∈ F gibt, derart, dass für jeden
weiteren Punkt q ∈ U der Keim von (q, U, f ) ebenfalls in O liegt.
Zu einer Funktion ϕ : G → Y können wir jetzt folgenden Raum assoziieren:
F ist Keim am Endpunkt der analytischen
Sϕ = F ∈ F(X, Y ) Fortsetzung von ϕ entlang irgendeines Weges
Definieren wir noch Xϕ ⊆ X als die Menge derjenigen Punkte, in die sich ϕ
überhaupt analytisch fortsetzen lässt, so erhalten wir folgendes kommutatives
Diagramm holomorpher Abbildungen:
Sϕ
π
ϕ̂
_
Xϕ o
/Y
O
e
ϕ
? _G
wobei π([(p, U, f )]) = p, e(p) = [(p, G, ϕ)] und ϕ̂([(p, U, f )]) = f (p).
Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
(a) Die im Text erklärte Relation auf F(X, Y ) ist wirklich eine Äquivalenzrelation.
(b) Für X = C liefert Taylorentwicklung eine Bijektion
P
p ∈ C, P =
ai (x − p)i hat
F(X, Y ) → (p, P ) positiven Konvergenzradius
(c) Durch die Festsetzungen im Text wird wirklich eine Topologie auf F(X, Y )
definiert. Der entstehende Raum ist hausdorff’sch. Der Unterraum Sϕ ist
wegzusammenhängend (sogar eine Komponente) und zweitabzählbar.
(d) Die Menge Xϕ ist offen in X, die Abbildung
π 0 : F(X, Y ) −→ X,
[(p, U, f )] 7−→ p
ist ein lokaler Homöomorphismus und ihre Einschränkung π : S → Xϕ ist
sogar eine Überlagerung (siehe Anmerkung).
Nach einem Satz der Vorlesung können wir Sϕ also mittels π die Struktur einer Riemann’schen Fläche geben (das funktioniert fast auch für F(X, Y ), dieser
Raum ist aber nicht zweit abzählbar).
(e) Alle in dem dargestellten Diagramm auftauchenden Abbildungen sind wohldefiniert und holomorph und das Diagramm kommutiert auch wirklich.
(f) Für jedes offene, zusammenhängende G ⊆ U ⊆ X haben wir eine kanonische
Bijektion (die Nachschaltung von e)
{Φ : U → Y | Φ holomorph und Φ|G = ϕ}
←−{Φ : U → Sϕ | Φ holomorph und π ◦ Φ = id}
(g) Abbildungen aus der zweiten Menge in (f) sind konforme Einbettungen.
(h) Ist Xϕ einfach zusammenhängend, so ist die Abbildung π : Sϕ → Xϕ biholomorph.
Nun können wir schnell folgenden Satz beweisen:
Theorem. Gegeben sei das durchgezogene Diagramm
>X
g
Z
f
/
q
Y
aus zusammenhängenden Riemann’schen Flächen und holomorphen Abbildungen,
sodass folgende drei Bedingungen gelten:
• Bild(f ) ⊆ Bild(q)
• q ist lokal biholomorph.
• Z ist einfach zusammenhängend.
Dann existiert die im Diagramm gestrichelte Abbildung, also eine holomorphe
Abbildung g : Z → X mit q ◦ g = f .
Anmerkungen: Für diesen Satz haben wir in der Vorlesung für X, Y, Z Teilmengen
von C − {0} und q(z) = z 2 einen ‘quick and dirty’-Beweis gegeben. Er besagt in
diesem Falle genau die Existenz einer Wurzelfunktion von f .
Im Allgemeinen stellt man sich Sϕ also als den ‘größten’ Bereich ‘über’ X vor,
auf den ϕ noch eine Erweiterung besitzt, nämlich ϕ̂: Man fasse hierzu G via
e : G → Sϕ als in Sϕ eingebettet auf (Teile (g) und (e)!).
Eine stetige Abbildung h : X → Y heißt Überlagerung, falls es um jedes y ∈ Y
eine Umgebung U und einen Homöomorphismus ψ : U × h−1 (y) → h−1 (U ) gibt,
so dass
ψ
/ h−1 (U )
U × h−1 (y)
pr1
%
U
{
h|U
kommutiert; hierbei erhält h−1 (y) die diskrete Topologie.